Qual a explicação básica para o fato das paralelas se encontrarem no infinito?

Essa resposta, depende do tipo de geometria que você estiver considerando no momento da análise deste assunto. Sabemos que a solução pode ser dada de duas maneiras distintas que depende do tipo de Geometria que você se basear. Enfatizamos que, talvez a geometria projetiva apresente uma resposta afirmativa condizente e de modo muito satisfatório. No entanto, pela visão da geometria euclidiana, considerando-se que estas retas ou duas linhas paralelas são definidas como duas linhas que nunca se cruzam, quando consideramos apenas o plano finito. Então, a resposta obtida seria, segundo Euclides negativa. Ou seja, considerando-se esta corrente de pensamento, linhas paralelas nunca vão se cruzar.

No entanto, quando o plano euclidiano, chamado também de plano finito, for ampliado ou alargado, adicionando uma ou mais linhas no infinito, para então criarmos o plano projetivo. Quando isso acontece, cada conjunto de linhas paralelas, quando consideradas no plano finito, vão se cruzar em um ponto que reside naquela linha no infinito, ou seja fora do plano finito. Pensando assim, a resposta à nossa pergunta seria sim, pois eles se encontram em um ponto no infinito. Por isso, conhecer e nos inteirarmos da Geometria Projetiva é de extrema importância a todos que gostamos de Matemática.

na geometria normal desenvolvida por Euclides, linhas paralelas nunca se encontram. Não existe a tal circunstância como o infinito, e é errado dizer que as linhas paralelas se encontram no infinito, quando estudamos isso numa geometria comum.

Mas, quando consideramos, outros sistemas geométricos, cujos "pontos" incluem não apenas pontos da geometria familiarizados (descritíveis como pares de coordenadas (x, y)), incluindo outros objetos. Estes outros materiais podem ser construídos de vários modos, conforme descrito na discussão da geometria projetiva. Considerando estes outros sistemas geométricos, as linhas retas paralelas podem reunir-se em um "ponto no infinito". Se este é um único ponto ou pontos diferentes para diferentes classes de linhas retas paralelas, depende do sistema geométrico particular que você estará considerando nos seus estudos.