a) Esta ecuación es de variables separables: 2yy′ = (y2 + 1)x cos(x) ⇔ 2y y2 + 1 y′ = x cos(x) ⇔ ∫ 2y y2 + 1 dy = ∫ x cos(x) dx La integral del seg...

a) Esta ecuación es de variables separables:
2yy′ = (y2 + 1)x cos(x) ⇔ 2y
y2 + 1
y′ = x cos(x) ⇔
∫
2y
y2 + 1
dy =
∫
x cos(x) dx
La integral del segundo miembro se calcula utilizando la fórmula de integración por partes:∫
x cos(x) dx =
[
u = x ⇒ u′ = 1
v′ = cos(x) ⇒ v = sen(x)
]
= x sen(x)−
∫
sen(x) dx = x sen(x) + cos(x) + C
En consecuencia se tiene
ln
∣∣y2 + 1
∣∣ = x sen(x) + cos(x) + C
De aquí, tomando exponenciales en ambos miembros, se tiene
y2 + 1 = ex sen(x)+cos(x)+C = ex sen(x)+cos(x) eC = C ex sen(x)+cos(x)
⇔ y2 = C ex sen(x)+cos(x) − 1 ⇔ y = ±
√
C ex sen(x)+cos(x) − 1
b) Veamos ahora para qué valor de C se tiene y(0) = 1. Lo primero que se observa es que, puesto que 1 es positivo, hay que tomar el signo positivo de la raíz cuadrada:
1 = +
√
C e0 sen(0)+cos(0) − 1 = +
√
Ce− 1 ⇒ 1 = Ce− 1 ⇔ 2 = Ce ⇔ C =
2
e
Así pues, la solución buscada es:
y = ±
√
2
e
ex sen(x)+cos(x) − 1