54. El Bario 133 (133Ba) es una sustancia radioactiva y se desintegra a una velocidad proporcional a la cantidad presente. La vida media (tiempo qu...

54. El Bario 133 (133Ba) es una sustancia radioactiva y se desintegra a una velocidad proporcional a la cantidad presente. La vida media (tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de cualquier cantidad inicial) es de 10.53 años.

a) Determina la ecuación diferencial que modeliza la evolución temporal de la cantidad de 133Ba.

b) Calcula la constante de desintegración del 133Ba.

c) Averigua el tiempo que tarda 1 kg de 133Ba en reducirse a 1 g.
a) La ecuación diferencial que modela la desintegración radiactiva y expresa que la desintegración se produce a una velocidad proporcional a la cantidad existente es: y′ = −λ y donde y(t) es la cantidad de 133Ba presente en el instante t (tiempo, medido en años) y λ > 0 es la constante de desintegración o decaimiento del 133Ba. Las soluciones de esta ecuación son de la forma: y = C e−λt, C ∈ R
b) La constante de desintegración se calcula a partir de la vida media. Supongamos que inicialmente hay una cantidad y0 de 133Ba: y(0) = y0. Puesto que la vida media es Vm es el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad, se tendrá y(Vm) = y0/2. De estas dos ecuaciones se puede despejar λ en función de la vida media: λ = ln(2)/Vm. Esta es la relación entre la vida media y la constante de desintegración de cualquier sustancia radiactiva. En este caso, pues, se tiene que la constante de desintegración del 133Ba es λ = ln(2)/10.53 ≈ 0.0658
c) De los apartados anteriores se tiene que la función que nos da la cantidad de 133Ba presente en el instante t, si se ha comenzado con una cantidad y0 es: y = y0 e−0.0658 t. Queremos calcular para qué valor de t se tiene y(t) = 1000 e−0.0658 t = 1 ⇐⇒ e−0.0658 t = 1/1000 ⇐⇒ −0.0658 t = ln(1/1000) ⇐⇒ t = -1/0.0658 ln(1/1000) ≈ 105 años