Cônicas - Elipse - Teoria | Aulas, resumos e exercícios

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Elipse - Teoria

Seguindo a análise das seções cônicas, veremos agora a definição de elipse e sua equação.

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  • play_arrowIntrodução às cônicas e definições - Teoria

    lockCircunferência - Teoria

    lockElipse - Teoria

    lockParábola - Teoria

    lockHipérbole - Teoria

    lockRevisão e comparação - Teoria

    lockResumo - cônicas - Resumo

  • Fala aí, pessoal. Beleza?
    Vamos lá então, vamos começar mais uma aula de cônicas, agora a gente vai falar da elipse, pessoal. Vamos lá então.
    Primeiro vamos começar como sempre com a definição geométrica, a gente viu que ela é importante para a gente obter a equação, não é? Então, olha só, aqui ele está falando sobre definição geométrica.
    Considere dois pontos: F1 e F2 que a gente vai definir daqui a pouco são os focos de uma elipse, a distando dois C entre si. Tá.
    Seja um número real 2a tal que 2a é maior que 2c, ou seja, poderia até cortar o 2 aqui, A é maior que C, não é? Beleza.
    A elipse é o lugar geométrico dos pontos, ou seja, é o conjunto dos pontos cuja soma das distâncias a F1 e F2 é igual a 2a. Como assim, professor?
    Eu não entendi nada. Tem problema não, vamos ver o desenho aqui.
    Olha só. A elipse, pessoal, ela tem esse formato aqui, como a gente comento nessa circunferência mais achatada, eu tenho 2 pontos aqui F1 e F2 são os focos e a distância entre eles é 2c.
    A elipse, pessoal, é o lugar geométrico dos pontos, olha a definição que ele está falando que se eu pegar qualquer ponto da elipse somado a distância desse ponto até o primeiro foco, vou chamar de x aqui, a distância desse ponto até o outro foco, vou chamar de y, essa distância, ela é constante. Todos os pontos da elipse se eu pegar, então eu pego esse ponto aqui.
    Se eu somar essa distância até o F1 e a distância até o F2, vai dar o mesmo valor? Vai.
    Que constante que é essa? É o 2a.
    A gente vai entender daqui a pouco quem que é esse 2a. Então elipse é isso, é essa definição geométrica.
    Todos os pontos da elipse se eu pegar a distância até um foco, aqui já está começando a ficar ruim, muitas a mesma cor aqui, não é? Vou mudar de cor aqui.
    Se eu pegar esse ponto e pegar a distância até o F2, depois a distância até o F1, mais ou menos isso, na verdade, seria mais para cima, não é? Vou pegar a distância até o F1, vai dar uma constante, vou somar essas distâncias, essa constante é o 2a.
    Legal? Não é muito complicado então, não é?
    Beleza. Agora vamos ver, pessoal, alguns parâmetros, vamos definir aqui alguns parâmetros, então vamos lá pessoal.
    Isso daqui é F1 e F2, como eu cheguei a comentar, eles recebem o nome de focos da elipse, beleza? F1 e F2 são o focos de uma elipse.
    Isso daqui, pessoal, esse 2C é a distância focal, é a distância entre os focos, então aqui, olha. Se eu pegar esses dois caras aqui, isso aqui dá 2c, não é?
    2c e recebe o nome de distância focal e o nome já define o que é a distância entre os focos. Distância focal, beleza?
    Se eu pegar, pessoal, o ponto médio entre esses focos, ou seja, esse ponto C que está distando C daqui e a distância dali é C também o ponto médio, isso aqui é o que a gente dá o nome de centro, não é? Esse é o centro da elipse, beleza?
    Então esse C aqui seria o centro da elipse. Então temos os focos, temos a distância focal, temos o centro, tem o ponto médio aqui e aí, pessoal, esse 2a recebe o nome de eixo maior, porque ele é maior, é o maior eixo.
    E aí você pode perguntar: "Ah, mas elipse não pode ser assim, não? Ou oval de outro jeito?
    " Pode, não tem problema não. Aí o 2a vai estar deitado, a gente vai discutir isso daqui a pouquinho, fica tranquilo.
    Isso aqui seria então o eixo menor, beleza? O eixo menor.
    Então esses conceitos se fosse só o A, pessoal, seria o semieixo, às vezes pode aparecer para você o semieixo maior, o semieixo maior é só o A, seria metade do eixo, então seria essa distância aqui, essa aqui seria o semieixo maior, metade do eixo menor, semieixo menor também vale? Vale.
    Seria só o B, metade do eixo menor. Então está aí, pessoal.
    O centro, os focos, a distância focal, eixo maior, eixo menor, beleza? Um outro parâmetro, pessoal, que é muito importante principalmente para a elipse, ele existe para as demais cônicas, mas para elipse especificamente ele é muito importante, é a excentricidade, pessoal, o que é a excentricidade?
    A excentricidade ela é a razão entre a distância focal 2c e o eixo maior e aí você pode simplesmente ver que esse dois é simplificado, então é uma forma mais simples seria simplesmente C / A para a excentricidade. Mas a excentricidade é isso, ela é a razão entre a distância focal e o semieixo maior.
    Por que isso é um parâmetro importante? pena só.
    Quanto maior for a distância focal, pessoal, maior vamos voltar para a nossa fórmula, maior fica esse C, não é? E aí o que significa então?
    Significa que essa elipse, ela fica mais achatada, não é? Uma elipse mais achatada.
    Quanto maior a distância focal, maior é o C. Ou seja, maior é a excentricidade são elipses mais achatadas e se essa distância focal for bem pequena, eu tenho um foco aqui e o outro foco está logo aqui, essa elipse se aproxima de uma circunferência, não é?
    Muito pouco achatada e a excentricidade se aproxima de zero, porque esse valor é muito baixo, então isso é importante, pessoal, a excentricidade no valor que está entre 0 e 1, entre 0 e 1 por que entre 1? Porque o A não é maior que C?
    Se o A é maior que C não tem como esse número ser maior que um, então a excentricidade é um parâmetro entre 0 e 1, quanto mais próximo de zero, mais achatada é a elipse. Desculpa, quanto mais próximo de 1, mais achatada é a elipse, quanto mais próximo de zero mais próximo da circunferência.
    Se a excentricidade for zero, pessoal, a distância entre os focos for nula, o que significa? Os focos são um foco só, não é?
    Imagina. Esse ponto é o mesmo que esse, é o centro de uma circunferência, imagina que esse ponto F vem para cá, o F2 e o F1 também, eles se aproximam, então está aqui o F1 e o F2, eu vou listar aqui o F1 e o F2, até que eles chegam a se encontrar no mesmo ponto, ou seja, a distância focal é zero, ou seja, eu tenho uma circunferência, não é?
    Os focos são no mesmo ponto, isso é uma circunferência, então qualquer tem um exemplo aqui, olha, por exemplo, olha aqui uma elipse, a excentricidade dela é 0,7, ela é um pouquinho achatada, olha isso aqui, a excentricidade é 0,9, ela é bem mais achatada, não é? Quanto mais próximo de 1, mais achatada é a elipse, olha essa aqui.
    A excentricidade é 0,1, eu até representei os dois focos aqui muito próximos não é, pessoal? Isso se aproxima de uma circunferência.
    Isso é legal, turma. Porque, por exemplo, um exemplo prático disso seria a órbita da terra em torno do sol, vamos fazer uma representação aqui.
    Pera aí. A orbita da Terra, turma, em torno do sol, é uma elipse, só que ela é uma elipse que se aproxima muito de uma circunferência.
    Em vários livros talvez você tenha visto aí que a órbita da Terra em torno do sol é algo desse tipo, não é? Está aqui o sol em um dos focos, não é?
    Esse aqui seria o sol e aí a terra está aqui. Mas isso não é bem uma verdade, porque a excentricidade, pessoal, a excentricidade da elipse, de fato é uma elipse, a órbita, a trajetória da Terra em torno do Sol só que é uma elipse de excentricidade muito baixa 0,016 aproximadamente.
    Ou seja, próximo de zero se aproxima de uma circunferência, sim, a elipse, pessoal, é mais ou menos assim é quase uma circunferência, os focos estão bem próximos. Tem um foco aqui e o outro foco bem aqui.
    Então isso daqui seria um jeito mais correto de descrever a trajetória da órbita, desculpa, a trajetória da Terra, a órbita da Terra, em torno do sol. Então aqui eu teria a Terra e em um desses focos aqui eu teria o Sol, é uma elipse que se aproxima muito de uma circunferência, é uma excentricidade muito baixa.
    Então está aí, pessoal. Esse parâmetro ele é muito importante para a gente definir então, para a gente caracterizar uma elipse, o quão achatada ela é.
    Beleza? A excentricidade.
    E é c/a. A distância focal sobre semieixo maior, beleza?< Então vamos lá. A equação aqui agora.
    A equação da elipse, pessoal. Então eu tenho dois casos.
    Se a elipse, o semieixo maior, for paralelo aqui ao eixo x, isso são para as elipses centradas na origem, tá pessoal? Centro na origem.
    A equação é essa daqui: (x²/a²) + (y²/b²) = 1. Se você quiser obtê-la pessoal, é só fazer o que eu falei, uso o quê?
    A definição da elipse e a forma da distância de ponto a ponto. Igual a gente fez para a circunferência, beleza?
    E, pessoal, se essa elipse o semieixo maior estiver aqui na vertical fica assim na equação: (y² / a²) + (x²/b²) = 1. Beleza?
    Então as fórmulas são bem parecidas, o que importa é sempre isso. O semieixo maior, o A aqui, não é, ele vai estar sempre dividindo aqui ele divide o X, aqui ele divide o Y.
    Então quem ele divide? Ele divide vai depender, o que vai depender aqui vai ser simplesmente qual é o eixo não é, pessoal?
    No qual está o semieixo maior, no caso aqui é o eixo vertical, o eixo y, então aparece y² / o semieixo maior. Aqui é o eixo horizontal, o eixo x, então aparece x² dividindo o semieixo maior.
    Beleza, turma? São equações parecidas, não é?
    Então vou fazer um pequeno exemplo aqui só para ficar um pouco mais claro. Tenho essa elipse como que seria a equação dela?
    Bom, estou nesse caso aqui, não é? Então ficaria assim.
    x² / 4², ou seja, 16. Mais y² / 3², ou seja, 9 = 1.
    Então está aí, pessoal. É bem simples.
    Essa seria a equação dessa elipse. Todos os pontos que pertencem a ela satisfazem essa equação, pontos que não pertencem a ela pontos fora dela ou dentro dela não satisfazem a essa equação.
    Beleza, turma? Então está aí as equações a equação, na verdade, da elipse, não é?
    Só que ela tem um formato um pouco diferente quando o eixo maior está aqui na vertical e quando ele está na horizontal. Beleza, turma?
    Então é isso, pessoal. Muito obrigado pela atenção, eu espero que tenha ficado claro e até a próxima aula.
    ...

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