Cônicas

Avançando no nosso conhecimento de geometria analítica, vamos agora ver as cônicas, como as parábolas, hipérboles, circunferências e elipses. Vamos apresentar as suas equações e elementos fundamentais para a resolução de problemas.

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Aulas de Cônicas

Introdução às cônicas e definições - Teoria

Introdução às seções cônicas - como obtemos as cônicas através de interseções de superfícies com plano.

TRANSCRIÇÃO

E aí, pessoal. Como é que vocês estão?
Beleza? Vamos lá então, continuar o nosso estudo de geometria analítica, agora a gente vai entrar na parte de seções cônicas ou simplesmente cônicas não é, pessoal?
Mas falar seções cônicas, eu acho melhor, a gente vai entender o porquê daqui a pouquinho com a conceituação de como a gente obtém as cônicas. Então, pessoal, o que a gente tem?
A gente tem isso daqui que é o que a gente chama de uma superfície cônica, uma superfície cônica de duas folhas, não é? Quando tivesse um cone aqui, conectado por esse vértice, através de outro cone.
Então isso aqui é uma superfície cônica, beleza? E aí, pessoal, as cônicas todas, por exemplo, a circunferência que você deve conhecer, é uma cônica, é uma seção cônica.
Por que se chama isso, pessoal? Porque a gente obtém essas figuras a partir de seções que eu faço nessa superfície cônica.
Seções de um plano então. Então que é uma seção cônica?
É a interseção dessa superfície cônica com qualquer plano Pi. Então vou colocar aqui.
Uma cônica é a interseção in-ter-se-ção. Vou chamar de superfície cônica, por exemplo, aqui se eu der o nome de, sei lá, sigma, então a interseção de sigma, ou seja, da superfície cônica com um plano Pi, que eu vou chamar de Pi aqui, tá pessoal?
Com um plano Pi. Como assim?
Então vamos lá. Vamos começar a conceituar isso aqui para não ficar abstrato demais, não é?
Então, por exemplo, a circunferência. A circunferência, pessoal, é eu pegar então ah, tá, desculpa, vamos voltar ali, só para considerar um negócio que vai ser importante vai ser esse eixo Z.
O Z seria esse eixo do cone, da superfície cônica, um eixo que é perpendicular, tá pessoal? A essa circunferência da base do cone, legal?
Então tá. O que define, o que caracteriza uma circunferência?
Vamos voltar lá? É eu pegar um plano Pi que for perpendicular a esse eixo Z.
Nesse caso pessoal, eu desenhei só uma folha do cone aqui que é o que importa para a gente. Então, se esse plano P, está aqui o meu eixo Z, se esse plano, ele é perpendicular a Z, a seção, essa seção do cone a gente chama ela de circunferência, que eu até destaquei aqui, com certeza uma figura que você já conhece, não é?
Beleza. Então a circunferência é isso.
Seccionar esse cone para um plano perpendicular a esse eixo Z. Legal?
E a elipse? A elipse, pessoal, é eu pegar um plano que é oblíquo a Z, certo?
Então aqui, olha, de novo, eu desenho só uma folha do cone, só uma folha é que importa para mim nesse momento, então está aqui o meu eixo, então ela é oblíqua, não é perpendicular. E intercepta apenas uma folha da superfície cônica, então isso aqui seria uma elipse, um elipse seria tipo uma circunferência, não é, pessoal?
Se assemelha a uma circunferência, só que ela é mais achatada um pouco, olha aqui, isso aqui é uma elipse, se eu fizer um desenho aqui, isso aqui é uma elipse, entendeu? Então é um formato um pouco mais oval.
Legal? Então essa é a definição.
Se eu pegar e seccionar obliquamente esse cone, essa seção aqui transversal vai me dar uma elipse, beleza? E a hipérbole, pessoal?
Olha só. A hipérbole é bem legal, não é?
Vamos lá, deixa eu desmanchar isso daqui. A hipérbole, pessoal, espera aí a hipérbole, eu obtenho ela, como que eu faço para obtê-lá, não é?
Para obter uma hipérbole, eu vou pegar um plano que corte as duas folhas da superfície cônica. Então, por exemplo, esse plano ele corta as duas folhas.
O que seria a seção, a interseção, desse plano com a superfície cônica? Seria algo desse tipo aqui, não é?
Olha só. Algo mais ou menos desse tipo aqui e aqui embaixo é a mesma coisa, a interseção dessa superfície cônica com esse plano seria algo desse tipo aqui, olha.
Não é isso? Então, isso daqui, pessoal, a gente dá o nome de hipérbole, beleza?
Eu vou colocar uma imagem depois no final para quem estiver com dificuldade de visualizar, para a gente conceituar melhor isso daqui. E o que mais?
Uma parábola. Uma parábola é quando eu pegar um plano P que for paralelo a uma geratriz.
Lembrando não é, pessoal? Se eu tenho um cone, o que é a geratriz de um cone?
Então está aqui, olha. O meu cone a geratriz de um cone, pessoal, é isso daqui, olha.
Isso daqui é o que a gente chama de geratriz, beleza? Isso aqui é uma geratriz.
Então se eu pegar um plano paralelo a essa geratriz aqui, acompanhe aqui. Paralelo a essa geratriz, não é?
Então intercessão desse plano com a superfície cônica está aqui, não é? É o que a gente chama de parábola, provavelmente você vai se lembrar da equação do 2º grau, uma parábola.
Beleza? Então está aí, turma.
Essas são as quatro cônicas que nós vamos estudar e até para quem não ficou tão claro, deixa eu colocar uma imagem aqui, quer ver? Está aqui, olha.
Isso daqui, pessoal, é um resumo do que a gente acabou de discutir ali. Legal?
O que isso aqui significa? Isso aqui está mostrando basicamente ali o que a gente discutiu agora, não é?
Se eu tenho um plano que é perpendicular ao meu eixo, tenho aqui uma circunferência, é fácil da gente ver. Tenho uma circunferência aqui, certo?
Se eu tenho um plano que é oblíquo a esse eixo, tenho uma elipse, como eu disse, se assemelha muito a circunferência, não é? Ela é um pouco mais achatada.
Se eu tenho aqui, olha, a geratriz destacada, não é? Se eu tenho um plano paralelo a uma geratriz, essa figura que aparece aqui é o que a gente chama de parábola, a intercessão do plano com a superfície cônica é o que chamamos de parábola.
E aqui a gente teria a hipérbole, não é? Se o plano cortar as duas folhas da superfície cônica, eu tenho a hipérbole.
Então a hipérbole é composta por essas duas, a gente chama de ramos da hipérbole, aqui eu tenho um ramo e aqui eu tenho outro ramo. A gente vai discutir isso melhor.
Então é isso, pessoal. Assim, é importante a gente entender essas definições geométricas por que como vocês vão ver todas essas equações dessas cônicas a gente obtém a partir da definição geométrica delas.
Então é legal a gente entender da onde isso aqui vem e por que a gente estuda isso. Então está tudo aqui, tudo contido em seções da superfície cônica, beleza?
Seções de planos seccionados a superfície cônica e a gente vai entender, vai ser legal a gente ter o conhecimento da definição geométrica dessas cônicas para a gente chegar nas equações delas. Beleza?
Então é isso, pessoal. Na aula que vem então, a gente começa o tema da circunferência e a gente obtém a equação dela e vamos fazer alguns exercícios.
Beleza? Então até a próxima, pessoal.
...

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Exercícios resolvidos: Cálculo - Um Novo Horizonte - Vol. 2 - 8ª Ed. 2007

Howard Anton

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Confirme que é uma solução do problema de valor inicial y′ = 3x2y, y(0) = 3.

Passo 1 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Aqui o objetivo não é resolver o problema de valor inicial e sim explorar o conceito de solução de um problema de valor inicial. Como estudado no início da seção 9.1 do capítulo 9 do livro, uma solução é uma função que satisfaz a equação diferencial e cumpre com as condições iniciais.

Passo 2 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Acompanhe o passo a passo!

Passo 3 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vamos começar derivando , usando a regra da cadeia:

Passo 4 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Passo 5 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Mostrando que é realmente uma solução da equação diferencial

Passo 6 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora resta verificar que a condição inicial também é satisfeita:

Com isso, está confirmado que é solução do problema de valor inicial , .