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Parábola - Teoria

Vamos ver agora uma cônica bastante conhecida - a parábola - com outros olhos. Acompanhe a sua definição geométrica.

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    lockCircunferência - Teoria

    lockElipse - Teoria

    lockParábola - Teoria

    lockHipérbole - Teoria

    lockRevisão e comparação - Teoria

    lockResumo - cônicas - Resumo

  • E aí, pessoal. Tudo bom?
    Vamos lá. Vamos falar agora sobre a parábola.
    Bom, pessoal. Essa aqui provavelmente é a cônica a qual você está mais familiarizado, porque é algo que você estudou muito no ensino médio na equação do 2º grau, a interpretação da parábola e tal, então eu não vou me ater muito aos detalhes aqui.
    Eu vou dar uma revisada, é claro, mas a gente vai fazer um exercício bem legal utilizando definição geométrica. Provavelmente o que há de novo para você aqui é justamente a definição geométrica, porque eu sempre entendia uma parábola como um gráfico de uma equação do 2º grau, mas essa definição aqui é importante que a gente entenda agora.
    Talvez isso seja novo. O que é a definição geométrica de parábola?
    É o seguinte: seja um ponto F que a gente chama de foco e uma reta D que a gente chama de reta diretriz dessa parábola. A parábola é o lugar geométrico dos pontos, ou seja, o conjunto dos pontos que são equidistantes tanto desse ponto F quanto dessa reta D, por exemplo, se eu pegar esse ponto aqui do meio, ele vai pertencer a parábola, não é?
    Porque se ele for exatamente o ponto médio disso daqui, a distância desse ponto amarelo até o F, é igual a distância até a reta, então isso caracteriza a parábola. E a parábola, pessoal, o desenho dela que está aí é mais ou menos isso daqui, aquela figura que a gente conhece, não é?
    Da do gráfico de uma função do segundo grau, seria algo desse tipo. Então a propriedade, pela definição geométrica da parábola, se eu pegar, por exemplo, esse ponto aqui, se eu pegar essa distância aqui até o F, até o foco, não é?
    A distância retilínea, não é? Essa minha reta não ficou tão boa, vou pegar essa distância que tem que ser igual a distância desse ponto até a reta diretriz, então isso seria igual a isso.
    Se eu pegar, por exemplo, esse ponto que está aqui, essa distância tem que ser igual a essa daqui. Então isso é igual a isso.
    Essa é a definição geométrica da parábola, pessoal. Esse ponto que está aqui a gente chama de vértice da parábola.
    Então vamos lá. Vamos dar nome as coisas.
    Reta diretriz, não é? Essa reta é a reta diretriz.
    Reta diretriz. Esse ponto F é o que a gente chama de foco, beleza pessoal?
    O que mais? O V aqui, pessoal, é o que a gente chama de vértice e toda a parábola, ela é simétrica em relação ao seu eixo, o que é o eixo da parábola?
    Seria isso daqui, olha. O eixo é uma reta que é perpendicular a reta diretriz e contém o vértice.
    Então a parábola é simétrica em relação a essa reta aqui, a este eixo aqui, ou seja, o que significa eixo simétrico? O que está do lado direito é igual ao que está do lado esquerdo.
    Beleza? Então é isso, pessoal.
    Essa definição geométrica vai ser importante talvez seja algo novo para você. Então vamos lá.
    Vamos aqui então para as equações não é, turma? As equações de uma parábola.
    Bom, está aí, gráficos que provavelmente você já viu, gráficos que você conhece, do seu ensino médio, não é? E aí?
    Se eu tenho um gráfico desse tipo, aqui, só um detalhe tá, pessoal? Aqui eu vou fazer apenas para casos em que o vértice está na origem.
    Como veem feito para as outras cônicas. Situações em que o centro está na origem, como a parábola não tem centro, faz mais sentido eu falar em vértice, então, nesse caso aqui, caso em que a reta diretriz, beleza?
    A reta diretriz é horizontal, não é? Aonde que está aí que a minha reta é diretriz?
    Estaria mais ou menos pro aqui, não é? Aqui estaria a minha reta diretriz e por aqui assim estaria o meu foco, não é?
    A minha parábola está aqui. Nesse caso pessoal, a equação é dada por isso aqui y=a vezes x².
    Lembrando que se meu A for positivo, eu tenho exatamente esse caso aqui a concavidade para cima. E se meu a for negativo, eu teria uma concavidade para baixo, então esse aqui seria no caso um a negativo, beleza?
    E essa situação aqui? Essa aqui seria a situação em que a reta diretriz, ela é vertical, por exemplo, a minha reta diretriz nesse caso daria mais ou menos aqui, o meu foco estaria mais ou menos aqui, de tal maneira que essa distância seria igual a essa distância.
    Nesse caso turma, quando a reta é diretriz é vertical, como que fica? A equação da minha parábola fica aquilo ali, olha.
    X é a vezes y². Se o a for positivo, eu tenho justamente o que está desenhado aqui, olha: A positivo.
    E se o A for negativo. Se o A for negativo, eu vou ter concavidade então para a esquerda.
    Então seria uma parábola mais ou menos assim, olha: Então isso daqui seria o A negativo, então está aí, pessoal. Se a reta diretriz é horizontal, eu tenho isso daqui.
    A positivo a concavidade é para cima, provavelmente você vai se recordar disso aqui, não é? Do seu estudo lá do ensino médio.
    A positivo concavidade para cima, A negativo concavidade para baixo, mas agora a gente tem que tomar cuidado com esse caso também. Com esse tipo de equação x é A vezes y² se o meu A é positivo, a concavidade para cá, correto?
    Para a direita Se o meu A é negativo, a concavidade para a esquerda.
    Pessoal, um outro parâmetro que às vezes é importante é esse daqui, olha. Normalmente, alguns autores aí, você pode encontra isso daí chamam isso daqui, essa distância do foco até a reta diretriz de parâmetro.
    Eu chamo isso aqui de 2P seria o parâmetro da parábola, o parâmetro. Certo?
    Por que 2p, não é? 2p é simplesmente porque a gente vai fazer até um novo desenho, aqui já está começando a ficar bem poluído, se eu tenho aqui, olha, uma reta diretriz e o meu foco, não é?
    Se eu pegar a distância daqui até o vértice seria P a distância do vértice até a reta seria P, então eu teria aqui, olha, vamos lá isso daqui seria P, por quê? A distância de um ponto da parábola até o foco tem que ser igual a distância desse ponto da parábola até a reta.
    E aí 2p chama-se o parâmetro dessa parábola. E aí, pessoal.
    Da mesma forma como a gente discutiu, não é? Se eu usar a definição geométrica e forma de distância entre pontos, eu consigo provar a equação da parábola, aí você vai provar isso daqui e você pode se perguntar.
    Quem é esse A? Que A é esse aí?
    Esse A se relaciona com aquele parâmetro de tal maneira que acontece isso daqui, o parâmetro é 1 sobre 4 vezes o módulo de A, beleza pessoal? Vocês conseguem provar isso daí utilizando a definição geométrica da parábola.
    Então esse A não é um cara ah, desculpa, isso mesmo, está certo. Esse cara então esse A é um cara que está relacionado com as propriedades geométricas da parábola, beleza?
    Tudo bem, vamos lá. Vamos fazer um exercício para que isso fique mais simples.
    Olha só. Encontre a equação da parábola de reta diretriz x = 2 e foco F = -2 e 0.
    Vamos tentar só enxergar o que a gente tem que obter aqui, então vamos lá. Teria aqui o meu eixo Y e teria aqui o meu eixo X, beleza?
    Olha só. A reta x = 2, a reta x = 2, vamos ver aqui está o 1, aqui está o 2, não é?
    Se ele é -1, seria -2. Então que reta é esse que ele está falando?
    É uma reta vertical. Seria algo do tipo não é nem um pouco vertical essa minha reta não é, pessoal?
    Seria algo mais ou menos assim. Reta x = 2.
    E o meu foco? O meu foco seria esse cara aqui, olha.
    Esse aqui seria o foco, não é? -2 e 0.
    Bom, pessoal, a gente já sabe então que a minha parábola como que ela iria estar disposta aqui? Olha, a distância daqui até a origem é 2.
    A distância da origem até a reta também é 2, então isso aqui seria o meu vértice, não é? Inclusive o meu parâmetro vale 4 não é isso?
    Então a minha parábola ela ficaria mais ou menos assim não é, pessoal? Passando por aqui, o vértice dela estaria ali, não é?
    Então vamos encontrar a equação dela. Isso aqui é só para gente entender o que a gente tem que encontrar, é interpretação geométrica.
    Vamos utilizar a definição geométrica, a gente precisa utilizar a definição geométrica. Uma parábola, todos os pontos da parábola, se eu pegar um ponto B dessa parábola aqui, de coordenadas X e Y, a distância de P até o foco tem que ser igual a distância de P até essa reta, então vamos dizer isso.
    Se isso é uma parábola e aquele ponto P pertence a ela a distância desse ponto P até o foco tem que ser igual a distância desse ponto P até a reta R, então olha só, pessoal, a gente vai utilizar aqui a distância de ponto a ponto e distância de ponto a reta. Então vamos lá.
    Como que ficaria isso? Distância de P até o F, então seria a raiz quadrada de x do P que é X, menos o X do F, então vai ficar - (-2), (x + 2)², mais o Y do P que eu chamei de Y menos o Y do F que é 0. (Y - 0)². Beleza.
    Isso tem que ser igual vamos reescrever aqui, pessoal? Qual o valor da distância do ponto a reta?
    Seria a vezes o x do ponto + b vezes o y do ponto + C, o módulo disso tudo, não é? Dividido pela raiz quadrada de a² + b², lembraram?
    A gente precisa não é, pessoal? A gente discutiu isso, a gente precisa da reta do formato geral.
    Como que seria o formato geral dessa reta? O formato geral da reta é esse aqui, não é?
    Ax+ by + c = 0. E esses parâmetros a, b e c são os que aparecem na fórmula.
    Então como que ficaria para aquela reta x = 2? Joga o -2 para o lado de lá não é, pessoal?
    Ia ficar x - 2 = 0. Essa seria a nossa reta, eu escrevi nesse formato só para ficar mais fácil de ver.
    O meu A seria 1, não é? Aqui, olha.
    O meu A é 1, como se tivesse 1 aqui, o meu A é 1. O meu B é 0, é como se eu tivesse um 0y aqui, meu B é zero e meu C é -2.
    Legal? Então vamos substituir nessa fórmula aqui.
    Como que ficaria isso daqui? raiz quadrada de A², ou seja, 1², que é o 1, mais b², que é 0, então fica raiz de 1, isso aqui fica simplesmente 1.
    Dividir por 1 não é, pessoal? É a mesma coisa que não fazer nada, então essa fração aqui se reduz só ao seu numerador, não é?
    Não posso esquecer o denominador que deu 1. A divisão por 1 deixa de lado, beleza?
    Então vamos fazer isso daqui. Como que vai ficar esse cara?
    Vai ficar assim, olha. Vamos lá.
    Aqui eu vou ter módulo, vamos lá então, módulo de A. Quem é o A?
    É 1. Quem é o x do P?
    Está aqui, olha. Eu chamei simplesmente de X, não é?
    X mais B, o B é zero, não é, então esse cara aqui já zera. E o C.
    Quem é o C? -2.
    Então fica x - 2. Módulo disso.
    Beleza, turma. Então o que eu vou fazer?
    Quanto que é o módulo disso? Eu não sei, mas se eu elevar ao quadrado, eu sei que fica positivo, então eu vou levar ao quadrado os dois lados, para resolver minha vida, não é?
    Então vai ficar assim, olha: (x + 2)² + y² = (x - 2)². Não posso esquecer do módulo, porque agora que eu elevei ao quadrado certamente vai ficar positivo.
    Então vamos lá, vamos desenvolver isso daí. Como que fica isso daqui então?
    X² ali mais 2x o primeiro vezes o segundo, mais 4x + 4. Aí + y² e desse lado?
    X² - 4x + 4. Expande ele no produto notável não é, pessoal?
    Bom, eu sei que eu tenho aqui +x² + x² vai simplificar: +4 + 4 também simplifica. E se eu jogar esse termo para lá subtraindo vai ficar assim, olha: y² é igual a -4x -4x - 8x.
    Então está aí essa seria a equação da minha parábola e olha só, pessoal, dá para a gente compreender, não é? Eu sei, aliás, a equação de fato seria isso daqui, não é?
    A equação naquele formato que a gente colocou seria X é igual -1/8 de y². Naquele formato que a gente colocou.
    Bom, eu sei, pessoal, que a equação tinha que cair nesse formato não é porque eu vi que a reta diretriz é vertical, então tinha que dar algo desse tipo, foi o que a gente discutiu logo ali em cima. Não foi?
    Olha aqui, olha. X = a x y².
    E eu sei que o meu tinha que dar negativo, não é, porque a minha concavidade está para esquerda, então a gente vê que o nosso resultado até bate com o que a gente esperava. O meu A deu negativo porque a minha concavidade está para esquerda.
    Tá legal, pessoal? Então está aí.
    Obtendo a equação de uma parábola, utilizando sua definição geométrica que é provavelmente o que há de novo aí, não é? Então é isso, turma, muito obrigado pela atenção e até a próxima aula.
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