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Revisão e comparação - Teoria

Encerrando a seção sobre cônicas, vamos revisar e comparar os principais elementos estudados.

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    lockCircunferência - Teoria

    lockElipse - Teoria

    lockParábola - Teoria

    lockHipérbole - Teoria

    lockRevisão e comparação - Teoria

    lockResumo - cônicas - Resumo

  • E aí, pessoal. Vamos lá então, vamos dar uma resumida.
    Vamos fazer um apanhado geral aqui das cônicas bem rapidinho. Depois a gente faz um exercício envolvendo mais de uma cônica.
    Antes a gente estava estudando as cônicas separadamente e tal, agora um exercício que tem duas cônicas aí. Beleza?
    Duas ou mais cônicas. A ideia vai ser a mesma.
    Então vamos lá. Primeiro, circunferência.
    Se eu tenho uma circunferência cujo centro C, está ali , coordenadas A e B e o raio é R como é a equação dessa circunferência, pessoal? X menos o X centro ao quadrado, mais Y menos o y do centro ao quadrado isso é igual ao raio ao quadrado.
    Tranquilo, turma? Beleza, vamos lá.
    Elipse, pessoal. A definiçã geométrica de elipse.
    O que é uma elipse? Se isso aqui é uma elipse se eu pegar qualquer ponto aqui dela, vamos dizer que eu peguei esse ponto aqui.
    Se eu pegar a distância até um foco, mais a distância até outro foco, dá uma constante. Se eu chamar aqui de D1 e aquele lá de D2 se eu fizer D1 + D2 vai dar uma constante que é 2A que é exatamente o valor do eixo maior.
    Isso é uma elipse, pessoal. E aí equação das elipse, pessoal?
    Vamos lá. Elipse onde o eixo maior é horizontal, o eixo maior é paralelo ao eixo x, a equação fica assim, não é?
    (X² / a²) + y² / b² = 1. Beleza turma.
    E se o eixo maior for vertical? Eixo maior paralelo ao eixo y.
    Fica isso daqui. Na verdade, até está errado, deixa eu corrigir aqui.
    Isso aqui continua sendo uma adição, isso é uma soma, a única diferença é que agora o semi eixo maior fica dividido o Y, pelo Y, não é? Justamente por quê?
    Porque agora nesse caso aqui, o eixo maior é paralelo ao eixo Y, ele é vertical. Legal, turma?
    Mas continuo tendo uma soma continuo tendo uma adição. Tranquilo?
    Beleza. Hipérbole, pessoal, vamos lá, vamos nos lembrar das semelhanças entre hipérbole e elipse.
    Primeiro, definição geométrica da hipérbole se esse ponto pertence a hipérbole, as diferenças entre as distâncias aos focos é uma constante. Se eu chamar isso de D1 e isso de D2, se eu fizer um módulo, não é?
    De D1 - D2 isso aí dá 2A que seria o eixo real agora não tem mais eixo maior e eixo menor. Tem eixo real e eixo imaginário, não é?
    Beleza. Vamos lá.
    Nesse caso aqui, olha, o que eu tenho? Eu tenho uma hipérbole, onde o eixo real é horizontal paralelo ao eixo X.
    Deixa eu até colocar, esse aqui é o meu eixo X, não é? Paralelo ao eixo X.
    Nesse caso turma, a gente sabe, a gente já viu então a equação da hipérbole fica assim: (x² / a²) - (y²/b²) = 1. E b é o semieixo imaginário, não é?
    E aí? A mesma troca.
    Agora, a mesma troca eu faço na elipse, não é? Se eu tiver meu eixo real vertical do mesmo jeito quando o eixo maior passa a ser vertical na elipse, eu só faço a troca, eu continuo tendo aqui no caso então uma subtração, mas eu faço essa troca aqui agora.
    Fica y² / b² - x²/b² = 1. Beleza.
    E a parábola agora, pessoal. Parábola.
    O que é uma parábola? É o lugar geométrico, é o conjunto dos pontos que são equidistantes de um certo ponto dado e de uma certa reta dada, esse ponto é chamado de foco e essa reta é chamada de diretriz, por exemplo, esse ponto aqui do meio já pertence a parábola, não é?
    Porque a distância daqui até o F é igual daqui até a reta, e a parábola tem esse formato aqui não é, pessoal? Como a gente já viu.
    Legal? Definição geométrica essa equidistante do foco e da diretriz, todos os pontos da parábola, a distância até aqui é igual a distância até aqui.
    Beleza, turma? Se eu tiver tratando então desse caso, ah, pessoal, uma coisa que vale a pena lembrar é o seguinte: todos os casos que eu estou fazendo aqui são para as cônicas com o centro na origem, aqui o centro da hipérbole está na origem, o centro da hipérbole está na origem, quando eu fiz para elipse, a mesma coisa, elipse com o centro na origem, eu só estou mudando o eixo maior seria vertical ou horizontal.
    Só na circunferência que o centro está em qualquer lugar, as coordenadas do centro estão dadas por isso daqui, não é? A e B.
    Beleza? Então a gente continua vendo agora para a parábola.
    Agora a gente está falando de parábolas com vértice na origem, beleza? Como que é a equação desse tipo de parábola, pessoal?
    Y = a. X², não é isso?
    Se o A for positivo, eu tenho justamente aquele caso ali. E se o A for negativo?
    Se o A for negativo, a concavidade muda, a concavidade fica para baixo não é, isso? Então aqui eu teria A negativo e aqui A positivo.
    Beleza. E nessa situação aqui, pessoal?
    Vértice ainda na origem, a equação seria x = A x Y², não é isso? Se o A for positivo, eu tenho justamente o que está ali, então a concavidade é para direita se o A é positivo e se o A for negativo a concavidade fica para esquerda, então isso aqui seria o caso do A negativo.
    Isso é importante a gente saber, então nesse caso aqui, pessoal, o que a gente tem? Quando a reta diretriz e a horizontal, não é?
    Se A é positivo, a concavidade para cima, A negativo, a concavidade para baixo. E aqui quando a reta diretriz é vertical, não é?
    Se o A é positivo, a concavidade é para direita, A negativo, concavidade para esquerda. Beleza.
    Então vamos fazer um exercício, olha só, onde a parábola Y = (4/27x²) intercepta a elipse (x²/9) + (y² / 4) = 1. Vamos lá turma.
    A gente vai ganhar até um espaço aqui, eu vou copiar essas equações vamos lá, deixa eu pegar mais uma folha aqui. Então fica assim: a elipse que ele deu é esta daqui, olha.
    Vou colocar aqui. (x² / 9) + (y² / 4) = 1 e a parábola vou colocar aqui é y=4/27x², onde que uma intercepta a outra. Vamos até imaginar, pessoal, como que isso está no plano.
    Isso vai ser importante, essa interpretação geométrica vai ser importante, então essa parábola, pessoal, o que eu sei? Primeiro vamos começar com a elipse aqui.
    A elipse então está aqui, o meu eixo X, essa elipse, o eixo maior dela vale 3, aliás, o semieixo maior vale 3, porque isso aqui é um 3² e o semieixo menor vale 2, isso aqui é um 2². Qual que é o eixo maior?
    O eixo maior está aqui, está dividido pelo x então o eixo maior é paralelo ao x. Ele é horizontal, então teria essa elipse aqui assim.
    Não é isso? Onde aqui vale 3, aqui vale 2, aqui vale -2, não vou colocar todos os pontos não.
    -3, beleza. Ali seria um dois.
    E a parábola turma? Essa parábola aqui, eu sei que a d a reta diretriz dela é horizontal e se isso aqui é positivo, não é?
    4/27 é positivo, a concavidade dela é para cima, então teria algo desse tipo aqui, olha. Não é isso?
    E o que o exercício pede para que a gente encontre? Pessoal, pede para que a gente encontre justamente esses dois pontos aqui, vou destacar de rosa esse ponto e esse ponto.
    Os pontos em que as retas cônicas se cruzam, se interceptam. A ideia que a gente vai usar aqui é a mesma para as retas, pessoal.
    A gente vai igualar as equações. A gente vai resolver os sistemas formados pelas duas equações.
    Podemos igualá-las, podemos simplesmente substituí-las isolar uma incógnita e substituir na outra, beleza? Só uma coisa: a gente consegue perceber, pessoal, que aqui isso vai me dar um Y positivo que vai ser igual para as duas.
    E o X como isso daqui é simétrico não é, pessoal? Por exemplo, o X deve ser, digamos, que se o X for 2, então aqui seria 2 e aqui seria -2.
    E o Y é o mesmo. Então é importante a gente enxergar a simetria para a gente saber julgar o resultado.
    Então vamos lá. Como que ficaria isso daqui?
    Vou desenvolver aqui em cima as contas e depois a gente volta para o desenho lá embaixo. Olha, essa equação aqui, pessoal, eu vou multiplicá-la toda por 36, que é o mínimo múltiplo comum entre 09 e 04.
    Se eu multiplicar isso por 36, 36 por 9 fica 4, então vai ficar 4x². Mais isso aqui por 36, 36 por 4, 9, 9y² e 1x 36 vai dar simplesmente 36.
    Legal. Dessa equação, pessoal, olha o que eu vejo.
    Se eu multipli por 27 os dois lados, eu vou ter que 27y é igual a 4x², não é isso? E o que aparece aqui é justamente o 4x², então eu vou pegar, já vou fazer a interseção entre as duas, vou substituir uma equação na outra onde aparece o 4x², eu vou colocar o 27y.
    Então 27y mais 9x² = 36 e agora? Posso dividir, pessoal, essa equação inteira por 9 não posso?
    Então fica 27/9 = 3, 3y, mais 9/9=1, ou seja, y² é igual a 36/9 = 4. Então eu fico com essa equação y² + 3y - 4=0 que é uma equação do 2º grau não é, turma?
    Então a gente consegue resolver isso daqui. Quanto que vale delta?
    B² = 9 - 4 vezes 1 vezes -4, então vai ficar +4 vezes 4 = 16, isso aqui dá 25, pessoal. Delta = 25.
    Então a raiz de delta vai dar 5, não é? Beleza.
    Então y é -b, -3, mais ou menos a raiz de delta que é 5 sobre 2a e o A é 1, então fica só assim. Então eu tenho duas raizes não é, pessoal?
    O primeiro seria y=3-5= -8. -8/2 = -4.
    E a outra seria -3 + 5 dá 2, 2 dividido por 2, dá 1. Agora, pessoal, a gente precisa da interpretação geométrica.
    Olha só, vamos voltar ali. Eu sei que o meu Y, ele te que ser positivo, eu estou falando desse ponto e desse ponto, a ordenada deles é que é positiva, então usando a interpretação geométrica, a gente vê que isso daqui não faz sentido, o que faz sentido é justamente o y=1.
    Então eu descobri qual que é o Y, qual é a ordenada dos pontos de interseção. Então isso daqui seria y = 1, não é?
    E como que eu descubro o X? Basta eu voltar em qualquer uma das equações, não é?
    Mas como o ponto pertence as duas cônicas, eu posso substituir em qualquer equação, mas eu vou usar essa que está mais simples, essa equação me fala aqui, que x² = 27y/4, não é? Beleza.
    Só que o meu Y é 1, então fica x tirando a raiz dos dois lados é igual a + ou - raiz de 27/ raiz de 4 que é dois, não é? Então está aqui o meu X.
    Então, pessoal, eu já descobri quem são aqueles pontos ali exatamente quem são os pontos. Olha só.
    Vamos lá. Quem são os pontos?
    Esse cara aqui, esse ponto aqui é raiz de 27/2 e y vale 1. Não é isso?
    E esse ponto aqui? É menos, é o simétrico ali em relação a reta, ao eixo Y, não é?
    Menos raiz de 27/2 e o Y também vale 1, então está aí, pessoal. Esses são os pontos de interseção entre as duas cônicas.
    Legal esse exercício, não é? É um pouco mais difícil quando envolve várias cônicas e tal, mas a mesma ideia de que a gente fazia interseção entre retas não é, turma?
    Então beleza, pessoal. Espero que tenha ficado claro, de novo, muito obrigado pela atenção e aqui a gente encerra o nosso curso de Geometria Analítica, pessoal.
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