Resumo - Séries de potências - Raio e Intervalo de Convergência

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Leila Rodrigues 
 
Raio e intervalo de convergência 
 
O número r é chamado raio de convergência da série. Essa denominação se 
justifica porque o domínio natural de estudo das séries de potências é o plano 
complexo, e quando x varia no plano de complexo, o conjunto |x| < r é um círculo de 
centro na origem e raio r. Demonstra-se então que a série converge no interior do 
círculo e diverge em seu exterior. 
A série converge absolutamente no intervalo aberto |x| < r e diverge fora 
desse intervalo, mas nada informa sobre os extremos -r e +r. Nesses extremos a 
série pode convergir simplesmente, absolutamente ou divergir. É fácil dar exemplos 
simples que ilustram essas três possibilidades. 
 , e ∑
 
 
n2
xn ∑
 
 
n 
xn ∑
 
 
xn 
 
 Assim, as séries têm todas o mesmo raio de convergência, r = 1, como se 
constata facilmente. Todas elas convergem quando |x| < 1 e diverge quando |x| > 1. 
A primeira converge em -1 e +1, a segunda converge em -1 e diverge em + 1 e a 
terceira diverge nos dois extremos o: = ± 1. 
A definição de raio de convergência como supremo dos números |x|, x 
variando entre os valores onde a série converge, pode ser zero ou infinito, como é o 
caso das séries Σ n!x^n e Σ x^n/n!, respectivamente. 
Vamos provar agora que o raio de convergência da série Σ anx^n é dado pelo 
limite da razão |na/an+1|, desde que esse limite exista. Para isso aplicamos o teste 
da razão à série de módulos. De fato, sabemos que a série dada é absolutamente 
convergente se existe e é menor do que 1 o limite da razão |na+1x^n+1/anx^n|, isto 
é 
 
 im iml ∣ ∣ a xn n
a +1xn n+1 ∣ 
∣ = x∣ ∣ l
 ∣ 
∣ an
a +1n ∣ 
∣ < 1 
Mas isso equivale a 
 imx∣ ∣ < r = l ∣ ∣ an
a +1n ∣ 
∣ 
 
Leila Rodrigues 
Pelo mesmo critério da razão, a série diverge se |a;| > r; portanto, r é o raio de 
convergência da série. Mas, atenção: é preciso que o limite em (5.6) exista. 
 
Exemplo . Seja calcular o intervalo de convergência da série 
 
 ∑
∞
n=0
5n
( 1) n x− n 3 n 
Como 
 
 ∣ ∣ 
an 
a +1n 
 ∣ 
∣ = 5n
n3 · 5
n+1
(n+1)³ 
= 5n³
 
(n+1)³ 
→ 5 
 
 
Concluímos que o raio de convergência é cinco; portanto, a série converge 
absolutamente no intervalo |x| < 5 e diverge em |x| > 5. 
 
● Funções definidas por uma série de potências 
 
Uma série de potências é uma série infinita de termos variáveis. Essas séries 
podem ser usadas para encontrar aproximações de números irracionais, integrais 
que não são integradas de forma analítica e solução de equações diferenciais. 
Uma séria de potência em é uma série da forma: x )( − a 
 (x ) (x ) .. (x ) ..a0 + a1 − a + a2 − a
2 + . + an − a n + . 
da qual, é representada por . ∑
∞
n=0
(x )an − a n 
I. A série converge apenas para ; x = a 
II. A série converge para os valores reais de ; x 
III. Quando (chamado raio de convergência) a série converge para os R > 0 
valores de x para os quais e diverge para todos os valores de x∣ − a∣ < R x
para os quais . x∣ − a∣ > R 
 
Quando ocorre um caso especial onde se tem uma série de potências em a = 0 x 
na forma de: 
Leila Rodrigues 
 ∑
∞
n=0
x x x .. x ..an n = a0 + c1 + c2 2 + . + cn n + . 
 
Exemplo: Encontrar os valores de para a série é convergente. x ∑
∞
n=0
3n
n xn 
an = 3n
n xx = an+1 = 3n+1
(n+1)xn+1
3 3n
(n+1)x xn 
 L = lim
n→∞
 ∣ 
∣ an
an+1 ∣ 
∣ = limn→∞ ( )
 ∣ 
∣ 
∣ 3nn x
n
3 3n
(n+1)x xn ∣ 
∣ 
∣ 
= lim
n→∞
 ∣ 
∣ 3n
x(n+1) ∣ 
∣ = limn→∞ 3
x∣ ∣
n
(n+1) 
Deste modo, conforme o teste da razão, a série de potências apresentada é 
convergente se . Assim, temos: L < 1 
 ( )L = 3
x∣ ∣ lim
n→∞ n
(n+1) = 3
x∣ ∣ < 1 → x∣ ∣ < 3 
Para L = 1 → 3
x∣ ∣ = 1 → x = ± 3 
Assim, temos: 
● Para x = 3 → ∑
∞
n=0
3n
n xn = ∑
∞
n=0
3n
n 3n = ∑
∞
n=0
n 
● Para ( ) nx = − 3 → ∑
∞
n=0
3n
n xn = ∑
∞
n=0
3n
n( 3)− n = ∑
∞
n=0
− 1 n 
Desta forma, a série em análise converge apenas para o intervalo aberto (-3, 3). 
 
● Fórmulas e séries de Taylor e Séries de Maclaurin 
A Série de Taylor é uma expressão que aproxima uma dada função em torno 
de um ponto escolhido. 
 (x) (x ) (x )²c (x )³ (x a) ... f = c0 + c1 − a + c2 − a 3 − a + c4 − 
4 + x∣ − a∣ < R 
Determinando o coeficiente , ele deve aparecer em termos de . Quando cn f 
colocado x =a, todos os termos após o primeiro são 0, desse modo 
 (a)f = c0 
 
Derivando a série termo a termo 
 (x) c (x ) 3c (x )² c (x )³ .. f ′ = c1 + 2 2 − a + 3 − a + 4 4 − a + . x∣ − a∣ < R 
A substituição de x =a fornece 
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 (a) 1 f ′ = c 
Derivando os dois lados obtém 
 "(x) c c (x ) c (x )² .. f = 2 2 + 2 · 3 3 − a + 3 · 4 4 − a + . x∣ − a∣ < R 
Novamente o x =a 
 (a) cf n = 2 2 
Aplicando o procedimento mais uma vez. A derivação da série fornece 
 "(x) c (x ) c (x )² .. f ′ = 2 · 3 3 + 2 · 3 · 4 − a + 2 · 3 · 4 · 5 5 − a + . x∣ − a∣ < R 
E a substituição x = a fornece 
 "(x) c !c f ′ = 2 · 3 3 = 3 3 
Agora pode perceber o padrão. Se continuar derivando e substituindo o x = a, obtém 
 (a) ....... nc !cf (n) = 2 · 3 · 4 n = n n 
Isolando o n-ésimo coeficiente , obtém cn 
 cn = n!
f (a)(n) 
 
Essa fórmula permanecerá válida mesmo para se adotar as convenções de que 
0!=1 e . Assim, o seguinte teorema é aplicado f (n) = f 
Se tiver uma representação ( expansão) em série de potências em a, isto é, se f 
 (x) c (x ) f = ∑
∞
n=0
 n − a n x∣ − a∣ < R 
Então seus coeficientes são dados pela fórmula 
 cn = n!
f (a)(n) 
Substituindo essa fórmula para cn de volta na série, vemos que, se f tiver uma 
expansão em série de potências em a, então ela deve ser da seguinte forma: 
 (x) (x ) f = ∑
∞
n=0
n!
f (a)(n) − a n = (a) (x ) (x )² (x )³ ....f + 1!
f (a)′ − a + 2!
f (a)′′ − a + 3!
f (a)′′′ − a + . 
 A série vira uma série de Taylor da função f em a (ou em torno de a ou centrado 
em a). Para o caso especial , a série de Taylor torna-se 
(x) x (0) x x ..... f = ∑
∞
n=0
n!
f (0)(n) n = f + f 1!
f (0)′ + 2!
f (0)′′ 2 + . 
Esse caso surge com frequência e lhe foi dado o nome especial de série de 
Maclaurin. 
 
 
Leila Rodrigues 
 
Referências 
 
https://www.feis.unesp.br/Home/departamentos/engenhariaeletrica/mcap02.pdf 
 
http://www.esalq.usp.br/departamentos/lce/arquivos/aulas/2011/LCE5866/series6.pd 
f 
https://www.ime.unicamp.br/~valle/Teaching/2016/MA311/Aula20.pdf 
 
http://sweet.ua.pt/rosalia/cadeiras/CII/CalcIIcap4b.pdf 
 
https://pessoal.ect.ufrn.br/~carlos.pellicer/ED/c3-series-de-funcoes.pdfhttp://www.estgv.ipv.pt/PaginasPessoais/odetecr/An%C3%A1lise%20Matem%C3%A 
1tica%2007-08/AMAcetaCap6_2007-08_.pdf 
https://www.feis.unesp.br/Home/departamentos/engenhariaeletrica/mcap02.pdf
http://www.esalq.usp.br/departamentos/lce/arquivos/aulas/2011/LCE5866/series6.pdf
http://www.esalq.usp.br/departamentos/lce/arquivos/aulas/2011/LCE5866/series6.pdf
https://www.ime.unicamp.br/~valle/Teaching/2016/MA311/Aula20.pdf
http://sweet.ua.pt/rosalia/cadeiras/CII/CalcIIcap4b.pdf
https://pessoal.ect.ufrn.br/~carlos.pellicer/ED/c3-series-de-funcoes.pdf
http://www.estgv.ipv.pt/PaginasPessoais/odetecr/An%C3%A1lise%20Matem%C3%A1tica%2007-08/AMAcetaCap6_2007-08_.pdf
http://www.estgv.ipv.pt/PaginasPessoais/odetecr/An%C3%A1lise%20Matem%C3%A1tica%2007-08/AMAcetaCap6_2007-08_.pdf