CÁLCULO DIFERENCIAL AVALIAÇÃO ON LINE 3

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Cálculo Diferencial - 20212.B
Avaliação On-Line 3 (AOL 3) – Questionário
Pergunta 1
O estudo das funções polinomiais é muito importante devido a uma série de aplicações que possui na vida real, como em funções que modelam custos de mercadorias, contas de energia e água, movimento de corpos e etc. 
Dessa forma, considerando a importância dessas funções e seus conhecimentos sobre a regra da derivada da potência de base x, analise as afirmativas a seguir. 
I. A derivada de uma função constante sempre é igual a zero. 
II. Dada uma função , sua derivada é . 
III. A derivada de uma função vezes uma constante é igual à derivada da função vezes a derivada da constante. 
IV. Dada a função f(x)=5(x³+2x²+5x), f’(x)=5(3x²+4x+5). 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1.  II e IV. 
2. II e III.    
3.  I, e IV. 
4.  I, II e III. 
5. I e IV.  Resposta correta
Pergunta 2
A diferenciabilidade de uma função depende de alguns fatores. Dizer isso significa que não podemos tomar toda e qualquer função como diferenciável em um ponto, pois, para isso, é necessário analisar seu comportamento geral na região de interesse. 
 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre funções diferenciáveis, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
 
I. No ponto onde x=0, a derivada da função f(x)=1/x² não pode ser calculada. 
 
Porque: 
 
II. A função f(x) não é definida onde x=0, pois a reta tangente a f(x) nesse ponto é vertical. 
 
A seguir, assinale a alternativa correta: Ocultar opções de resposta 
1.  A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. Resposta correta
2. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.  
3.  As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 
4. As asserções I e II são proposições falsas.  
5. Aasserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.  
2. 
Pergunta 3
1. 
2. A estudo de taxas de variação tem importantes aplicações em fenômenos físicos, como o do movimento de corpos, o do escoamento de líquidos, o do fluxo de campos magnéticos, entre outros. 
Considerando a relevância dessas informações e dos seus conhecimentos sobre o significado das taxas de variação e sua relação com o estudo do Cálculo, analise as afirmativas a seguir. 
I. O limite de , quando x≥h, é conhecido como a derivada da função f em x=a, caso a função seja diferenciável nesse ponto. 
II. Encontrando a derivada da função em um ponto P(a,f(a)), para encontrar uma equação da reta tangente é possível substituir as coordenadas dos pontos e o valor da derivada na equação da reta, que pode ser escrita como y−f(a)=f’(a)(x−a). 
III. É impossível entender a derivada como uma função, pois ela é apenas uma taxa de variação da função no ponto que representa o ângulo de inclinação da reta tangente à função nesse mesmo ponto. 
IV. A reta tangente a f(x), que passa pelo ponto P(a,f(a)), tem inclinação igual a f’(a), que é a derivada de f(x), onde x=a. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. I, II e IV.   Resposta correta
2.  II e III.   
3.  I, II e III. 
4.  I, e IV. 
5. II e IV. 
3. 
Pergunta 4
1. 
2. O estudo do Cálculo Diferencial é repleto de interpretações geométricas acerca das curvas de funções.  
 
Considerando as funções e g(x)=x³−3 e com base nos seus conhecimentos acerca de funções compostas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) A inclinação da reta tangente à curva do gráfico de f(x) em x=½ é igual a 3/2. 
 
II. ( ) O gráfico de 3.f(x) é alongado verticalmente em relação ao gráfico de f(x). 
 
III. ( ) A derivada de c.g(x), onde c é constante, é igual a cx². 
 
IV. ( ) f(g(x)) possui derivada igual a f’(x)g(x)+f(x)g’(x). 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1.  V, F, F, V. 
2.  V, V, V, F.    
3. V, V, F, F.  Resposta correta
4.  V, V, V, F. 
5. F, F, F, V. 
3. 
Pergunta 5
1. 
Diversas são as regras de derivação, que podem variar conforme a categoria da função, algébrica ou não, ou até mesmo por estaren explícitas ou não. Entre essas regras de derivação, há a regra do quociente. 
 
Acerca dessa regra de derivação, e considerando os conteúdos estudados, analise as afirmativas a seguir: 
 
I. Essa regra considera funções racionais. 
 
II. Essa regra não considera funções algébricas. 
 
III. Essa regra não considera funções constantes, pois a derivada dessa função é igual a zero. 
 
IV. A derivada do quociente entre duas funções é definida por [f(x)/g(x)]’=[f’(x)g(x)–f(x)g’(x)]/[g(x)]2. 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1.  I e III. 
2.  III e IV    
3.  I e II. 
4.  I e IV.  Resposta correta
5.  II e IV. 
2. 
Pergunta 6
O estudo de formas geométricas e seus gráficos, como parábolas, hipérboles e elipses, é muito importante para a disciplina de Cálculo, já que diversos fenômenos naturais são descritos por equações dessas formas. Considere, então, a parábola f(x)=x²+8 e a hipérbole g(x)=3/x.  
 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre o significado da taxa de variação de uma função, é correto afirmar que: Ocutar opções de resposta 
1. nenhuma das funções possui taxa de variação em x=0.   
2. para x>0, a taxa de variação de f(x) sempre será positiva, e a de g(x) sempre será negativa.  Resposta correta
3. para x=0, a taxa de variação de f(x) é nula, assim como a de g(x). 
4. para x>0, a taxa de variação de f(x) será sempre positiva, e a de g(x) também. 
5. para x<0, a taxa de variação de f(x) sempre será positiva, e a de g(x) sempre será negativa. 
2. 
Pergunta 7
1. 
2. As regras de derivação permitem uma manipulação algébrica mais rápida das expressões, tornando-se ferramentas importantes para o estudo do Cálculo Diferencial.  
 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados a respeito da regra de derivação da diferença entre funções, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) A derivada de uma função f(x)=x²−x−1 é f’(x)=2x−1. 
 
II. ( ) A regra é aplicável às funções algébricas e não algébricas. 
 
III. (  ) A função trigonométrica f(x)=cosx−2senx não é diferenciável pela regra de derivação da diferença entre funções. 
 
IV. ( ) Essa regra é representada pela relação [f(x)−g(x)]’=f’(x)–g’(x). 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1.  V, V, F, V.  Resposta correta
2.  V, F, V, V. 
3.  V, F, F, F. 
4.  V, V, V, F.  
5.  F, F, V, V.   
3. 
Pergunta 8
As aplicações da derivada de uma função são inúmeras dentro da física, sendo que nosso primeiro contato com esses conceitos em física ocorre no estudo das velocidades instantâneas e sua relação com as equações horárias do espaço, velocidade (que é a taxa de variação da posição) e aceleração (que é a taxa de variação da velocidade). 
 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da derivada pelo limite e com seus conhecimentos sobre funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) A derivada de uma função sempre é calculável em um ponto no qual os limites laterais coincidirem. 
 
II. ( ) A função f(x)=tgx é diferenciável para qualquer valor real de x. 
 
III. ( ) A derivada da função g(x)=3x³+3x²+x, no ponto onde x=a, é g’(a)=(3a+1)². 
 
IV. ( ) Um objeto disparado ao ar tem altura dada por y=10t−5t². Assim sua velocidade quando t=2 é de -10m/s. 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1.  F, F, V, F.  
2.  V, F, F, V.
3. V, V, F, F. 
4.  F, F, V, V.   Resposta correta
5.  F, V, F, V.    
2. 
Pergunta 9
As funções trigonométricas estão relacionadas ao círculo trigonométrico de raio unitário, e relacionam-se entre si de diversas maneiras. A tangente, por exemplo, é a razãoentre seno e cosseno, e esses referem-se a comprimentos dentro desse círculo trigonométrico. Compreender e manipular suas derivadas é fundamental para o desenvolvimento dos estudos de Cálculo Diferencial e Integral.  
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre derivada de funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. (  ) A função trigonométrica f(x)=5cosx tem como derivada −5senx. 
II. ( ) A função f(x)=sen é uma função trigonométrica composta, que pode ser derivada pela regra da cadeia. 
III. ( ) As derivadas de f(x)=cosx e g(x)=senx são iguais a, respectivamente, f’(x)=senx e g’(x)=cosx. 
IV. ( ) A função f(x)=sen(3x)+1 tem sua derivada definida por f’(x)=cos(3x). 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1.  V, F, V, V.  
2.  V, V, F, V. 
3.  F, F, V, F.    
4.  F, F, V, F.  
5.  V, V, F, F.  Resposta correta
Pergunta 10
1. Para os estudos nas ciências exatas, é necessário que se saiba identificar quais métodos de derivação utilizar em cada situação e a teoria que fundamenta aquele método. 
 
Com base nessas informações e nos seus conhecimentos acerca da Regra da Cadeia, faça as associações a seguir: 
 
1) f(x)=cos(2x). 
2) f(x)=3x²+1. 
3) Regra da Cadeia. 
4) f(x)=(x+1)². 
 
( ) É útil na derivação de funções compostas. 
 
( ) É uma função composta que pode ser derivada pela Regra da Cadeia, mas também pela regra do produto. 
 
( ) É uma função composta que pode ser diferenciável pela Regra da Cadeia. 
 
( ) Não é uma função composta, portanto, não há necessidade da aplicação da Regra da Cadeia. 
 
Agora assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
 
Ocultar opções de resposta 
1.  2, 1, 3, 4. 
2.  1, 2, 4, 3.  
3.  3, 4, 2, 1. 
4.  3, 4, 1, 2.  Resposta correta
5.  1, 3, 2, 4.   
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