CAPITULO XXXVII- NUMEROS COMPLEXOS

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Números Complexos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 
 
1) Determine o valor real de k para que o numero complexo z = (k-2) + 4i seja um 
imáginario puro. 
Solução: 
Para que um numero complexo seja imáginario puro , a parte real do mesmo deve ser 
zero. 
Assim sendo 
K – 2 = 0 que resulta em k = 2 
2) Qual deve ser o valor do numero real k para que 𝑧 = (
1
2
 , 𝑘 − 3) seja um numero 
real. 
Solução: 
Para que o complexo z seja um numero real , a sua parte imaginária deve ser nula 
.Assim sendo , podemos escrever 
K – 3 = 0 que nos fornece k = 3 
3) Resolva em ℂ as seguintes equações. 
a) 𝑥2 + 25 = 0 
Soluçao: 
Sabemos que : 
𝑥 = ±√−25 
Como (±5𝑖)2 = (±5𝑖)2 × 𝑖2 = 25(−1) = −25 
Logo podemos concluir que 
𝑥 = ±5𝑖 
b) 𝑥2 − 8𝑥 + 25 = 0 
Solução: 
Neste caso temos uma equação do segundo grau onde: 
∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 64 − 4(25) = 64 − 100 = −36 
𝑥 =
8 ± √−36
2
= 
8 ± 6𝑖
2
= {
𝑥 = 4 + 3𝑖
𝑥 = 4 − 3𝑖
 
4) dados os números complexos abaixo , identifique as partes real e imaginaria dos 
mesmos. 
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3 
 
a) 4 + 5 i 
Solução: 
Re = 4 Im = 5 
b) 3i + 3 
Solução: 
Re = 3 Im = 3 
c) -7 – i 
Solução: 
Re = -7 Im = -1 
5) Determine m ∈ ℝ de modo que: 
a) 𝑧 = (𝑚 − 3) + 4𝑖 seja um imaginário puro. 
Solução: 
Para que z seja um imaginário puro , a parte real do mesmo deve ser zero. 
Logo podemos escrever 
𝑚 − 3 = 0 → 𝑚 = 3 
b) 𝑧 = −3 + (𝑚 + 3)𝑖 seja um numero real. 
Solução: 
Para que z seja um numero real , a condição para tal é que a parte imaginaria seja igual a 
zero. 
Logo podemos escrever 
𝑚 + 3 = 0 → 𝑚 = −3 
c) 𝑧 = (𝑚2 − 25) + (𝑚 + 5)𝑖 seja um imaginário puro. 
Solução: 
Para que um numero complexo seja um imaginário puro , a parte real do mesmo deve 
ser nula, ou seja: 
𝑚2 − 25 = 0 → 𝑚2 = 25 → 𝑚 = 5 
d) 𝑧 = (1 − 𝑚) + (𝑚2 − 1)𝑖 seja um numero real. 
Solução: 
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4 
 
Para que z seja um número real , aparte imaginaria d e z deve ser nula. 
𝑚2 − 1 = 0 → 𝑚2 = 1 → 𝑚 = ±1 
e) 𝑧 = (1 + 𝑚2) + (𝑚 − 1)𝑖 seja um imaginário puro. 
Solução: 
Para que a condição solicitada seja atendida , devemos ter 
(1 + 𝑚2) = 0 → 𝑚2 = −1 → 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠. 
6) Seja z = (3 – x ) + (x – 2) i. determine os valores reais de x para que se tenha: 
a ) Re (z) = 2 
Solução: 
Fazendo a parte real = 2 obtemos 
3 – x = 2 o que resulta em x = 1 
b) Im (z) = - 4 
Solução: 
x – 2 = -4 , resultando em x = - 2 
c) Re(z) > Im (z) 
Solução: 
3 – x > x – 2 
Resolvendo a desigualdade acima 
-2x > -5 ou x < 5/2 
d) Im (z) <0 
Solução: 
x – 2 < 0 que nos leva a x < 2 
7) Resolva em ℂ as equações abaixo: 
a) 𝑥2 − 6𝑥 + 10 = 0 
Solução: 
Temos uma equação do segundo grau completa onde 
∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 36 − 4(10) = 36 − 40 = −4 
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5 
 
𝑥 = 
−𝑏 ± √∆
2𝑎
= 
−(−6) ± √−4
2(1)
=
6 ± 2𝑖
2
 → 𝑥 = {
3 + 𝑖
3 − 𝑖
 
b) 𝑥2 + 100 = 0 
Solução; 
Aqui temos uma equação do segundo grau incompleta , uma vez que a mesma não 
apresenta o termo em x. 
∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0 − 4(1)(100) = −400 
𝑥 = 
−𝑏 ± √∆
2𝑎
= 
0 ± √−400
2(1)
=
0 ± 20𝑖
2
 → 𝑥 = {
10𝑖
−10𝑖
 
8) Determine os valores de x e y para que os números complexos x + y i e -2 + 3 i sejam 
iguais. 
Solução: 
Para que dois números complexos sejam iguais , as partes reais e complexas dos 
mesmos devem ser iguais, logo podemos escrever: 
𝑥 = −2 𝑒 𝑦 = 3 
9) Determine os valores de x e y de modo que a igualdade (x+1)+(y-3)i = 4i seja 
satisfeita. 
Solução: 
4 i pode ser escrito como 0 + 4 i 
Assim sendo 
(𝑥 + 1) + (𝑦 − 3)𝑖 = 0 + 4𝑖 
Igualando as partes reais obtemos 
𝑥 + 1 = 0 → 𝑥 = −1 
Igualando as partes imaginarias teremos: 
𝑦 − 3 = 4 → 𝑦 = 7 
Logo : x = -1 e y = 7 
10) Determine os valores de m e n reais , de modo que 𝑚 + (𝑛 − 1)𝑖 = −4 + 3𝑖. 
Solução: 
Igualando as partes reais temos m = - 4 
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6 
 
Igualando as partes imaginárias 
𝑛 − 1 = 3 → 𝑛 = 4 
11) Encontre os valores de x e y de modo que (𝑥 − 3) + (𝑦 − 2)𝑖 = 5𝑖. 
Solução: 
5 𝑖 = 0 + 5𝑖 
Logo podemos reescrever a igualdade dada como 
(𝑥 − 3) + (𝑦 − 2)𝑖 = 0 + 5𝑖 
𝑥 − 3 = 0 → 𝑥 = 3 
𝑦 − 2 = 5 → 𝑦 = 7 
12) Determine os valores de x e y de modo que (𝑥 − 𝑦 + 1) + (2𝑥 + 𝑦 − 4)𝑖 = 0 
Solução: 
Reescrevendo a igualdade dada como 
(𝑥 − 𝑦 + 1) + (2𝑥 + 𝑦 − 4)𝑖 = 0 + 0𝑖 
Igualando as partes real e imaginaria obtemos 
𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 → 𝑥 − 𝑦 = −1 (1) 
2𝑥 + 𝑦 − 4 = 0 → 2𝑥 + 𝑦 = 4 (2) 
Somando as equações (1) e (2) 
3𝑥 = 3 ∴ 𝑥 = 1 
Substituindo o valor de x obtido em (2) obtemos y = 2 
13) Efetue as seguintes operações com números complexos. 
a) (2 + 3𝑖) + (−4 + 5𝑖) 
Solução: 
(2 + 3𝑖) + (−4 + 5𝑖) = (2 + (−4)) + (3 + 5)𝑖) = −2 + 8𝑖 
b) (4 − 5𝑖) − (2 + 𝑖) 
Solução: 
(4 − 5𝑖) − (2 + 𝑖) = (4 − 2) + (−5 − 1)𝑖 = 2 − 6𝑖 
c) (7 + 3𝑖) − (5 − 3𝑖) + (4 − 7𝑖) 
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7 
 
Solução: 
(7 + 3𝑖) − (5 − 3𝑖) + (4 − 7𝑖) = 7 + 3𝑖 − 5 + 3𝑖 + 4 − 7𝑖 = 6 − 𝑖 
14) Sejam z1 = (x , 3) e z2 = (5 , 2y). Determine x e y de modo que z1+z2 = (3 , 4) + (4 , 
-5) 
Solução: 
Inicialmente vamos reescrever a expressão acima 
(𝑥 + 3𝑖) + (5 + 2𝑦 𝑖) = 3 + 4𝑖 + 4 − 5𝑖 
𝑥 + 3𝑖 + 5 + 2𝑦𝑖 = 7 − 𝑖 
Igualando as partes real e imaginária temos 
𝑥 + 5 = 7 ∴ 𝑥 = 2 
3 + 2𝑦 = −1 ∴ 𝑦 = −2 
15) Efetue as seguintes operações: 
a) (4 + 𝑖) + (1 − 3𝑖) + (−2 + 𝑖) 
Solução: 
(4 + 𝑖) + (−1 − 3𝑖) + (−2 + 𝑖) = 4 + 𝑖 − 1 − 3𝑖 − 2 + 𝑖 = 𝑖 − 𝑖 
b) (−7 + 5𝑖) − (3 − 2𝑖) 
Solução: 
(−7 + 5𝑖) − (3 − 2𝑖) = −7 + 5𝑖 − 3 + 2𝑖 = −10 + 7𝑖 
16) Sejam os números complexos 𝑧1 = (−2, 𝑥) 𝑒 𝑧2 = (𝑦 , −3) , onde x e y são 
números reais. 
a) Escreva z1 e z2 na forma algébrica. 
Solução: 
𝑧1 = (−2, 𝑥) = −2 + 𝑥𝑖 e 𝑧2 = (𝑦 , −3) = 𝑦 − 3𝑖 
b) Determine os valores de x e y de modo que z1 + z2 = - 4 + 2i 
Solução: 
Somando os complexos dados 
−2 + 𝑥𝑖 + 𝑦 − 3𝑖 = −4 + 2𝑖 
Igualando as partes real e imaginária 
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8 
 
−2 + 𝑦 = −4 → 𝑦 = −2 
𝑥 − 3 = 2 → 𝑥 = 5 
17) Sendo z1 = (x , 3) e z2 = (2-y , y) , determine os valores de x e y de modo que z1 – z2 
= 0. 
Solução: 
Inicialmente vamos colocar os complexos dados na forma algébrica 
z1 = (x , 3) = x + 3i z2 = (2-y , y)= (2-y)+ yi 
𝑧1 − 𝑧2 = 𝑥 − 2 + 𝑦 + (3 − 𝑦)𝑖 = 0 + 0𝑖 
Igualando as partes real e imaginária temos 
𝑥 − 2 + 𝑦 = 0 → 𝑥 + 𝑦 = 2 
3 − 𝑦 = 0 → 𝑦 = 3 
Logo : x = --1 
18) Determine z1 e z2 numeros complexos tais que z1 + z2 = -4 + 7i e z1 – 2z2 = 17-8i 
Solução: 
De forma imediata podemos escrever o seguinte sistema 
{
z1 + z2 = −4 + 7i
z1 – 2z2 = 17 − 8i
 
Multiplicando a primeira igualdade por (-1) obtemos 
{
−𝑧1 − 𝑧2 = 4 − 7𝑖
𝑧1 − 2𝑧2 = 17 − 8𝑖
 
Somando as igualdades acima termo a termo obtemos 
−3𝑧2 = 21 − 15𝑖 → 𝑧2 = −7 + 5𝑖 
Substituindo z2 na primeira igualdade 
𝑧1 + (−7 + 5𝑖) = −4 + 7𝑖 
𝑧1 = (−4 + 7) + (7 + 5)𝑖 = 3 + 2 𝑖 
19) Determine os valores de x e y de modo que (x + yi) (3+4i) = 1- 2i 
Solução: 
Efetuando a multiplicação do lado esquerdo da igualdade 
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9 
 
3𝑥 + 4𝑥𝑖 + 3𝑦𝑖 + 4𝑦(𝑖2) = 1 − 2𝑖 
3𝑥 + 4𝑥𝑖 + 3𝑦𝑖 − 4𝑦= 1 − 2𝑖 
Igualando as partes reais e imaginaria obtemos 
3𝑥 − 4𝑦 = 1 
4𝑥 + 3𝑦 = −2 
Resolvendo o sistema acima obtemos 
x = -1/5 e y = -2/5 
20) Dados os números complexos z1 = 4 – 3i , z2 = -5i e z3 = 1+2i , determine z1.z2.z3. 
Solução: 
𝑧1. 𝑧2. 𝑧3 = (4 − 3𝑖)(−5𝑖)(1 + 2𝑖) = (4 − 3𝑖)(−5𝑖 − 5(2)𝑖
2) 
𝑧1. 𝑧2. 𝑧3 = (4 − 3𝑖)(−5𝑖 + 10) = −20𝑖 + 40 + 15𝑖
2 − 30𝑖 
𝑧1. 𝑧2. 𝑧3 = 40 − 15 − 50𝑖 = 25 − 50𝑖 
21) Desenvolva os seguintes produtos notáveis: 
a) (1 + 𝑖)(1 − 𝑖) 
Solução: 
Aplicando a propiedade distributiva 
(1 + 𝑖)(1 − 𝑖) = 1 − 𝑖 + 𝑖 − 𝑖2 = 1 − (−1) = 2 
b) (2 − 3𝑖)2 
Solução: 
(2 − 3𝑖)2 = (2 − 3𝑖)(2 − 3𝑖) = 4 − 6𝑖 − 6𝑖 + 9𝑖2 = 4 − 9 − 12𝑖 = −5 − 12𝑖 
c) (4 + 𝑖)2 
Solução: 
(4 + 𝑖)2 = (4 + 𝑖)(4 + 𝑖) = 16 + 4𝑖 + 4𝑖 + 𝑖2 = 16 + 8𝑖 − 1 = 15 + 8𝑖 
22) Determine os reais x e y para que se tenha (x + yi)(x + 2i) = 4 - i. 
Solução: 
Aplicando a propriedade distributiva ao lado esquerdo da igualdade. 
𝑥2 + 2𝑥𝑖 + 𝑥𝑦𝑖 + 2𝑦𝑖2 = 4 − 𝑖 
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10 
 
𝑥2 + (2𝑥 + 𝑥𝑦)𝑖 − 2𝑦 = 4 − 𝑖 
𝑥2 − 2𝑦 = 4 
2𝑥 + 𝑥𝑦 = −1 → 𝑥(2 + 𝑦) = −1 → 𝑥 = 
−1
2 + 𝑦
 
(
−1
2 + 𝑦
)2 − 2𝑦 = 4 → 
1
𝑦2 + 4𝑦 + 4
− 2𝑦 = 4 → 
1 − 2𝑦(𝑦2 + 4𝑦 + 4) = 4(𝑦2 + 4𝑦 + 4) 
1 − 2𝑦3 + 8𝑦2 − 8𝑦 = 4𝑦2 + 16𝑦 + 16 
23) Seja z = (x + i) . (x + 2i) , com x ∈ ℝ . Determine o valor de x afim de que z seja: 
a) Imaginario puro. 
Solução: 
Efetuando o produto obtemos 
𝑧 = 𝑥2 + 2𝑥𝑖 + 𝑥𝑖 + 2𝑖2 = (𝑥2 − 2) + 3𝑥𝑖 
Para que z seja imaginário puro devemos ter Re (z) = 0, logo 
𝑥2 − 2 = 0 → 𝑥2 = 2 → 𝑥 = ±√2 
b) Um número real 
Solução: 
Para que z seja um número real devemos ter Im (z) = 0 , então podemos escrever 
3𝑥 = 0 → 𝑥 = 0 
24) Quais os possíveis valores reais de x e y que satisfazem a igualdade (𝑥 + 𝑦𝑖)2 = 8𝑖 
Solução: 
Desenvolvendo o quadrado obtemos 
𝑥2 + 2𝑥𝑦𝑖 + 𝑦2𝑖2 = 0 + 8𝑖 
(𝑥2 − 𝑦2) + 2𝑥𝑦𝑖 = 0 + 8𝑖 
Igualando as partes real e imaginária teremos 
𝑥2 − 𝑦2 = 0 (1) 
2𝑥𝑦 = 8 (2) 
Da equação (1) obtemos x = ±𝑦 
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11 
 
Para x = y 
2𝑦2 = 8 → 𝑦2 = 4 → 𝑦 = ±2 
Logo 𝑥 = ±2 
Concluimos que: 
Quando x = 2 y =2 
Quando x = -2 y = -2 
25) Sejam z1 e z2 numeros complexos tais que: 
- z1 é um imaginário puro 
- a parte real de z2 é 3 
- z1 . z2 =12 - 6i 
Determine z1 e z2. 
Solução: 
De acordo com o enunciado podemos escrever 
𝑧1 = 0 + 𝑏𝑖 𝑒 𝑧2 = 3 + 𝑐𝑖 
(0 + 𝑏𝑖)(3 + 𝑐𝑖) = 12 − 6𝑖 
3𝑏𝑖 + 𝑏𝑐𝑖2 = 12 − 6𝑖 
Como 𝑖2 = −1 
−𝑏𝑐 + 3𝑏𝑖 = 12 − 6𝑖 
Igualando as partes real e imaginária obtemos 
3𝑏 = −6 → 𝑏 = −2 
− 𝑏𝑐 = 12 → −(−2)𝑐 = 12 → 2𝑐 = 12 → 𝑐 = 6 
Logo : 
𝑧1 = −2𝑖 𝑒 𝑧2 = 3 + 6𝑖 
26) Determine z ∈ ℂ tal que 𝑧 . 𝑖 = 4 − 3𝑖. 
Solução: 
Façamos z = a + bi 
(𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑖) = 4 − 3𝑖 
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12 
 
𝑎𝑖 + 𝑏𝑖2 = 4 − 3𝑖 
−𝑏 + 𝑎𝑖 = 4 − 3𝑖 
Podemos concluir que 
𝑏 = −4 𝑒 𝑎 = −3 
Assim sendo 
𝑧 − 3 − 4𝑖 
27) Determine z ∈ ℂ tal que 𝑧2 = 2𝑖. 
Solução: 
Seja z = a + bi 
(𝑎 + 𝑏𝑖)2 = 2𝑖 
𝑎2 + 2𝑎𝑏𝑖 + 𝑏2𝑖2 = 2𝑖 
(𝑎2 − 𝑏2) + 2𝑎𝑏𝑖 = 2𝑖 
Igualando as partes real e imaginária podemos escrever 
𝑎2 − 𝑏2 = 0 → 𝑎 = ± 𝑏 
2𝑎𝑏 = 2 → 𝑎𝑏 = 1 
Podemos verificar facilmente que : 
Se a = 1 obtemos b = 1 e 
Se a = -1 chegamos a b = -1 
Logo 
𝑧 = 1 + 𝑖 𝑜𝑢 𝑧 = 1 − 𝑖 
28) Efetue: 
a) 1 + 2𝑖̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ 
Solução: 
1 + 2𝑖̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 1 − 2𝑖 
b) −3𝑖̅̅ ̅̅ ̅ 
Solução: 
−3𝑖̅̅ ̅̅ ̅ = 3𝑖 
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13 
 
c) 5 − 3𝑖̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ + 2𝑖 
Solução: 
5 − 3𝑖̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 5 + 3𝑖 
5 + 3𝑖 + 2𝑖 = 5 + 5𝑖 
d) 3 − 4𝑖̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ + −3 − 4𝑖̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ 
Solução: 
3 − 4𝑖̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ + −3 − 4𝑖̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 3 + 4𝑖 − 3 + 4𝑖 = 8𝑖 
e) (1 − 2𝑖)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅2 
Solução: 
1 − 2𝑖̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 1 + 2𝑖 
(1 + 2𝑖)2 = 1 + 4𝑖 + 4𝑖2 = 1 + 4𝑖 − 4 = −3 + 4𝑖 
29) Qual é o numero complexo z que satisfaz as condições ; 
𝑧 − 𝑧̅ = 6𝑖 𝑒 𝑧 + 2𝑧̅ = 9 − 3𝑖 
Solução: 
Fazendo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑡𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖 
Voltando as condições dadas podemos escrever 
(𝑎 + 𝑏𝑖) − (𝑎 − 𝑏𝑖) = 6𝑖 → 2𝑏𝑖 = 6𝑖 → 2𝑏 = 6 → 𝑏 = 3 
Vamos em seguida trabalhar a segunda condição 
(𝑎 + 𝑏𝑖) + 2(𝑎 − 𝑏𝑖) = 9 − 3𝑖 
(𝑎 + 𝑏𝑖) + (2𝑎 − 2𝑏𝑖) = 9 − 3𝑖 
3𝑎 − 𝑏𝑖 = 9 − 3𝑖 
Igualando as partes real e imaginária 
3𝑎 = 9 ∴ 𝑎 = 3 
Logo obtemos 𝑧 = 3 + 3𝑖 
30) Determine 𝑧 ∈ ℂ tal que (𝑧̅)2 + 𝑧𝑖 = −2 
Solução: 
Façamos z = a + bi 
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14 
 
Consequentemente 𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖 
Substituindo z e seu conjugado na expressão dada obtemos 
(𝑎 − 𝑏𝑖)2 + (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑖) = −2 
𝑎2 − 2𝑎𝑏𝑖 + 𝑏2𝑖2 + 𝑎𝑖 + 𝑏𝑖2 = −2 
𝑎2 − 𝑏2 − 𝑏 = −2 
−2𝑎𝑏 + 𝑎 = 0 → 𝑎(−2𝑏 + 1) = 0 → {
𝑎 = 0
−2𝑏 + 1 = 0 → 𝑏 = 1/2
 
31) Efetue as seguintes divisões: 
a) 
3−7𝑖
3+4𝑖
 
Solução: 
Multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador obtemos 
 
3−7𝑖
3+4𝑖
= 
3−7𝑖
3+4𝑖
× 
3−4𝑖
3−4𝑖
= 
9−12𝑖−21𝑖+28𝑖2
9−12𝑖+12𝑖−16𝑖2
= 
9−33𝑖−28
9+16
= 
−19−33𝑖
25
= −
19
25
−
33
25
𝑖 
b) 
2𝑖
1−𝑖
 
Solução: 
2𝑖
1 − 𝑖
= 
2𝑖
1 − 𝑖
×
1 + 𝑖
1 + 𝑖
= 
2𝑖 + 2𝑖2
1 + 𝑖 − 𝑖 − 𝑖2
= 
−2 + 2𝑖
2
= −1 + 𝑖 
c) 
1
3−𝑖
 
Solução: 
1
3 − 𝑖
= 
1
3 − 𝑖
×
3 + 𝑖
3 + 𝑖
= 
3 + 𝑖
9 + 3𝑖 − 3𝑖 − 𝑖2
= 
3 + 𝑖
10
=
3
10
+
1
10
𝑖 
32) Dado z = 3 – 4i , determine: 
a) o inverso de z 
Solução: 
1
𝑧
= 
1
3 − 4𝑖
 × 
3 + 4𝑖
3 + 4𝑖
=
3 + 4𝑖
9 + 12𝑖 − 12𝑖 − 16𝑖2
= 
3 + 4𝑖
9 + 16
=
3 + 4𝑖
25
= 
3
25
+
4
25
𝑖 
b) O conjugado do inverso de 𝑧2. 
Solução: 
Inicialmente determinamos z2 
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15 
 
(3 − 4𝑖)(3 − 4𝑖) = 9 − 12𝑖 − 12𝑖 + 16𝑖2 = −7 − 24𝑖 
Em seguida determinamos o inverso de -7 – 24 i 
1
−7 − 24𝑖
= 
1
−7 − 24𝑖
× 
−7 + 24𝑖
−7 + 24𝑖
= 
−7 + 24𝑖
49 − 168𝑖 + 168𝑖 − 576𝑖2
=
−7 + 24𝑖
49 + 576
 
 
1
−7 − 24𝑖
= 
−7 + 24𝑖
625
= −
7
625
+
24
625
𝑖 
Finalmente determinamos o conjugado 
Logo obtemos −
7
625
−
24
625
𝑖 
c) O inverso de z . i 
Solução: 
(3 − 4𝑖)𝑖 = 3𝑖 − 4𝑖2 = 4 + 3𝑖 
1
4 + 3𝑖
= 
1
4 + 3𝑖
×
4 − 3𝑖
4 − 3𝑖
= 
4 − 3𝑖
16 − 12𝑖 + 12𝑖 − 9𝑖2
= 
4 − 3𝑖
25
=
4
25
−
3
25
𝑖 
33) Determine 𝑎 ∈ ℝ de modo que 𝑧 = 
2+𝑖
3−𝑎𝑖
 seja um imaginário puro. 
Solução: 
2 + 𝑖
3 − 𝑎𝑖
=
2 + 𝑖
3 − 𝑎𝑖
×
3 + 𝑎𝑖
3 + 𝑎𝑖
= 
6 + 2𝑎𝑖 + 3𝑖 + 𝑎𝑖2
9 + 3𝑎𝑖 − 3𝑎𝑖 − 𝑎2𝑖2
=
(6 − 𝑎) + (2𝑎 + 3)𝑖
9 + 𝑎2
 
Para que z seja um imaginário puro devemos ter Re (z) = 0 ou seja: 
6 − 𝑎
9 + 𝑎2
= 0 → 6 − 𝑎 = 0 ∴ 𝑎 = 6 
34) Seja 𝑧 =
2+𝑚𝑖
1−𝑖
 . determine o valor de m para que z seja um número real . qual é 
nesse caso o valor de z. 
Solução: 
Inicialmente vamos efetuar a divisão 
2 + 𝑚𝑖
1 − 𝑖
= 
2 + 𝑚𝑖
1 − 𝑖
×
1 + 𝑖
1 + 𝑖
= 
2 + 2𝑖 + 𝑚𝑖 + 𝑚𝑖2
1 + 𝑖 − 𝑖 − 𝑖2
= 
(2 − 𝑚)
2
+
(2 + 𝑚)𝑖
2
 
Como z deve ser real devemos fazer Im (z) = 0 , logo 
2 + 𝑚
2
= 0 → 𝑚 = −2 
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16 
 
Como 𝑧 = 
(2−𝑚)
2
+
(2+𝑚)𝑖
2
 
Substituindo valor de m obtido 
𝑧 = 
2 − (−2)
2
+
2 − 2
2
𝑖 → 𝑧 = 2 
35) Efetue 
a) 𝑖54 
Solução: 
Dividindo o expoente por 4 
54 4⁄ = 13 𝑐𝑜𝑚 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 2 
Logo 𝑖54 = 𝑖2 = −1 
b) 𝑖17 
Solução: 
17
4
= 4 com resto 1, logo 
𝑖17 = 𝑖1 = 𝑖 
c) 𝑖95 
Solução: 
95
4
= 23 𝑐𝑜𝑚 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜3 
Logo 𝑖95 = 𝑖3 = 𝑖2 . 𝑖 = (−1)𝑖 = −𝑖 
d) 𝑖200 
Solução: 
200
4
= 50 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑧𝑒𝑟𝑜 
Assim sendo 𝑖200 = 𝑖0 = 1 
e) 𝑖21. 𝑖45 
Solução: 
Observando que temos um produto de potencias da mesma base , podemos escrever 
𝑖21. 𝑖45= 𝑖66 
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17 
 
Dividindo 66 por 4 , obtemos 16 e resto 2 
Logo 𝑖66 = 𝑖2 = −1 
35) Efetue 
a) 
𝑖132+𝑖61
𝑖13
 
Solução: 
Vamos inicialmente determinar o valor de cada parcela do numerador e em seguida 
quanto vale o denominador. 
Assim sendo 
𝑖132 = 𝑖132/4 
132/4 = 33 e o resto é zero 
Assim sendo 𝑖132 = 𝑖0 = 1 
𝑖61 = 𝑖61/4 
61/4 = 15 com resto 1 
Assim sendo 𝑖61 = 𝑖1 = 𝑖 
𝑖13 = 𝑖13/4 
13/4 = 3 com resto 1 
Logo 𝑖13 = 𝑖1= i 
Finalmente 
𝑖132 + 𝑖61
𝑖13
=
1 + 𝑖
𝑖
 
b) [(5 + 𝑖)(4 − 𝑖) − 21]37 
Solução: 
Inicialmente efetuamos a multiplicação dos dois numeros complexos 
[20 − 5𝑖 + 4𝑖 − 𝑖2 − 21]37 = [21 − 21 − 𝑖]37 = −𝑖37 
Dividindo 37 por 4 obtemos 9 e resto 1 , logo 
−𝑖37 = −𝑖1 = −𝑖 
c) (−2𝑖)6 
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18 
 
Solução: 
(−2𝑖)6 = (−2)6𝑖6 = 64(𝑖2. 𝑖2. 𝑖2) = 64(−1) = −64 
d) (
1+𝑖
1−𝑖
)202 
Solução; 
Vamos primeiramente efetuar a divisão dos dois números complexos 
1 + 𝑖
1 − 𝑖
×
1 + 𝑖
1 + 𝑖
= 
1 + 𝑖 + 𝑖 − 𝑖2
1 + 𝑖 − 𝑖 − 𝑖2
=
2𝑖
2
= 𝑖 
Logo 
(
1 + 𝑖
1 − 𝑖
)202 = 𝑖202 
202/4 = 50 com resto 2 
𝑖202 = 𝑖2 = −1 
36) Qual é o valor de : 
𝑦 = 𝑖 . 𝑖2. 𝑖3. 𝑖4. … … … … … … . . 𝑖19. 𝑖20 
Solução: 
Note que temos um produto de potencias de mesma base , assim sendo podemos 
reescrever y como 
𝑦 = 𝑖(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17.18+19+20) = 𝑖210 
Dividindo 210/4 obtemos 52 e o resto é 2. 
Assim sendo 𝑖210 = 𝑖2 = −1 
37) Na figura abaixo , P é o afixo de z1 e Q o afixo de z2. 
 
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19 
 
Escreva o par ordenado correspondente a: 
a) 𝑧1̅ 
Solução: 
𝑧1 = 2 − 3𝑖 → 𝑧1̅ = 2 + 3𝑖 
b) 𝑧1 − 𝑧2 
Solução: 
Observando o gráfico constatamos que: 
𝑧1 = 2 − 3𝑖 𝑒 𝑧2 = −1 + 2𝑖 
Logo 𝑧1 − 𝑧2 = (2 − (−1)) + (−3𝑖 − 2𝑖) = 3 − 5𝑖 
c) 𝑧1 . 𝑧2 
Solução: 
𝑧1 . 𝑧2 = (2 − 3𝑖 )(−1 + 2𝑖) = −2 + 4𝑖 + 3𝑖 − 6𝑖
2 = −2 + 7𝑖 + 6 = 4 + 7𝑖 
38) Na figura abaixo P é o afixo de z 
 
Determine o par ordenado correspondente a z , sendo este 
a) O simétrico em relação ao eixo y. 
z = 4 + 7i 
b) O simétrico de z em relação a origem. 
Solução 
Da figura acima concluímos que z = -4 + 7i 
O simétrico em relação a origem é z = 4 – 7i 
c) O numero complexo quando multiplicarmos z por i 
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20 
 
Solução: 
𝑧 . 𝑖 = (−4 + 7𝑖)(𝑖) = −4𝑖 + 7 𝑖2 = −7 − 4𝑖 
39) represente no plano de Argand - Gauss os números complexos z que satisfazem 
simultaneamente as condições Im (z) < 1 e Re (z)≥ 3. 
Solução: 
 
 
 40) Calcule o modulo de cada um dos complexos abaixo. 
a) z = 2 + i 
Solução: 
|𝑧| = √22 + 12 = √5 
b) z = -4 + 3i 
Solução: 
|𝑧| = √(−4)2 + 32 = √16 + 9 = √25 = 5 
c) z = 5i 
Solução: 
𝑧 = 5𝑖 = 0 + 5𝑖 
|𝑧| = √02 + 52 = √25 = 5 
d) z = -3 
Solução: 
𝑧 = −3 = −3 + 0𝑖 
|𝑧| = √(−3)2 + 02 = √9 = 3 
e) z = 2 i19 
Solução: 
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21 
 
Inicialmente devemos determinar o valor de i19 
𝑖19 = 𝑖16. 𝑖3 = 1(−𝑖) = −𝑖 
Logo Z = -2i 
|𝑧| = √02 + (−2)2 = 2 
41) O modulo de (a ,4) é igual a √20 . Determine o valor de a. 
Solução: 
Transformando o complexo para a forma algébrica 
(a , 4) = a + 4i 
|𝑎 + 4𝑖| = √20 
√𝑎2 + 42 = √20 
Logo podemos escrever 
𝑎2 + 16 = 20 → 𝑎2 = 4 → 𝑎 = ±2 
42) Determine a forma trigonométrica de z = √3 + 𝑖. 
Solução: 
Inicialmente representamos no plano de Argand Gauss o complexo dado 
 
𝜌 = √(√3 )2 + 12 =√4 = 2 
sen 𝜃 = 
1
2
 
cos 𝜃 = 
√3
2
 
Dos valores acima podemos concluir que 𝜃 = 30° 
Finalmente podemos escrever 
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𝑧 = 2(cos 30 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 30) 
43) Obtenha a forma polar de z = -3i. 
Solução 
A figura abaixo mostra a representação do complexo dado 
 
O afixo do ponto P é (0,-3) 
𝜌 = 3 𝑞𝑢𝑒 𝑣𝑒𝑚 𝑎 𝑠𝑒𝑟 𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑂 𝑎 𝑃 
𝜃 = 270° = 
3𝜋
2
 
Logo a forma polar pode ser escrita como 
𝑧 = 3(cos 270 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 270) 
44) Escreva a forma trigonométrica de z = -2 – 2i. 
Solução : 
Inicialmente vamos representar o complexo dado no plano Argand Gauss 
 
 
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23 
 
 𝜌 = √(−2)2 + (−2)2 = √8 = 2√2 
Da figura podemos verificar que 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = cos 𝛼 = 
√2
2
 → 𝛼 = 45° 
Logo temos 𝜃 = 270 − 45 = 225° 
𝑧 = 2√2 (cos 225 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 225) 
45) Obtenha a forma algébrica de 𝑧 = 4 (cos 120 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 120). 
Solução: 
A figura abaixo nos mostra a representação de z 
 
Observando a figura verificamos que: 
cos 120° = − cos 60° = −1/2 
𝑠𝑒𝑛 120 = 𝑠𝑒𝑛 60 = 
√3
2
 
Logo podemos escrever 
𝑧 = 4 (−
1
2
+ 𝑖 
√3
2
) = −2 + 2√3 𝑖 
46) O modulo de (a,4) é igual a √20 . determine o valor de a. 
Solução: 
O numero complexo dado pode ser escrito como a + 4i 
|𝑎 + 4𝑖)| = √𝑎2 + 42 
Logo √𝑎2 + 42 = √20 
Elevando ambos os lados da igualdade ao quadrado obtemos 
𝑎2 + 16 = 20 → 𝑎2 = 4 → 𝑎 = ±2 
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24 
 
 
47) Considere os úmeros complexos z = 2- i e w = -3 – i , sem do i a unidade 
imaginária. 
a) Determine z . w e |𝑤 − 𝑧|. 
Solução: 
𝑧. 𝑤 = (2 − 𝑖)(−3 − 𝑖) = −6 − 2𝑖 + 3𝑖 + 𝑖2 = −6 − 2𝑖 + 3𝑖 − 1 = −7 + 𝑖 
|𝑤 − 𝑧| = |(2 − 𝑖) − (−3 − 𝑖)| = |(2 + 3)| = 5 
b) Represente z e w no plano Argand Gauss e determine b ∈ ℝ , b > 0 , de modo que os 
números complexos z , w e t = bi sejam vértices de um triangulo no plano complexo 
cuja área é 20. 
Solução: 
Como b > 0 , teremos 
 
 bi 
 
 
 (-3 – i) (2 – i) 
 
𝐴 = 
𝑏 𝑏
2
 
𝑏 = (2 − 𝑖) − (−3 − 𝑖) = 5 
20 = 
5𝑏
2
 → 40 = 5 𝑏 ∴ 𝑏 = 8 
48) Determine o argumento dos complexos dados abaixo. 
a) 𝑧 = √3 + 𝑖 
Solução: 
Vamos colocar o numero complexo dado em sua forma trigonométrica ,mediante o 
emprego da relação: 
𝑧 = 𝜌 (cos 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃) , onde 
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25 
 
𝜌 = √𝑎2 + 𝑏2 = √(√3 )2 + 12 = √4 = 2 
cos 𝜃 =
𝑎
𝜌
= 
√3
2
 𝑒 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 
𝑏
𝜌
=
1
2
 
Como o seno e o cosseno são positivos o ângulo 𝜃 pertence ao primeiro quadrante. 
Assim sendo 𝜃 = sin−1
1
2
 → 𝜃 = 30° 
b) 𝑧 = −√3 − 𝑖 
Solução: 
Empregando o mesmo raciocínio do item acima obtemos: 
𝜌 = √𝑎2 + 𝑏2 = √(−√3 )2 + (−1)2 = √4 = 2 
cos 𝜃 =
𝑎
𝜌
= 
−√3
2
 𝑒 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 
𝑏
𝜌
= −
1
2
 
Como o seno é negativo e o cosseno idem o ângulo 𝜃 pertence ao terceiro quadrante. 
Logo 𝜃 = sin−1 −
1
2
= 210° 
49) Determine a forma trigonométrica do complexo 𝑧 = −2 − 2𝑖 
Solução: 
Empregando o mesmo raciocínio do item acima obtemos: 
𝜌 = √𝑎2 + 𝑏2 = √(−2)2 + (−2)2 = √8 = 2√2 
cos 𝜃 =
𝑎
𝜌
= 
−2
2√2
= −
1
√2
=
√2
2
 𝑒 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 
𝑏
𝜌
= −
2
2√2
= −
√2
2
 
Como o seno é negativo e o cosseno idem o ângulo 𝜃 pertence ao terceiroquadrante. 
Logo 𝜃 = sin−1 −
√2
2
= 225° 
50) Determine a forma algébrica do complexo 𝑧 = 4 (cos 120° + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 120°) 
Solução: 
cos 120 = − cos 60 = −1/2 
𝑠𝑒𝑛 120 = 𝑠𝑒𝑛 60 = 
√3
2
 
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26 
 
𝑧 = 𝜌 (cos 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃) 
Substituindo os valores na expressão acima obtemos 
𝑧 = 4 (−
1
2
+ 𝑖 
√3
2
) = −2 + 2√3 𝑖 
51) Expresse os complexos dados na forma trigonométrica. 
a) 𝑧 = 1 + 𝑖 
Solução: 
Sabemos que : 
𝑧 = 𝜌 (cos 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃) 
𝜌 = √(1)2 + (1)2 = √2 
Por definição: 
cos 𝜃 = 
𝑎
𝜌
= 
1
√2
=
√2
2
 
𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 
𝑏
𝜌
=
1
√2
=
√2
2
 
Como o seno e o cosseno são positivos e iguais , 𝜃 pertence ao primeiro quadrante e é 
igual a 45° 
Logo podemos escrever: 
𝑧 = √2 (cos 45 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 45) 
b) 𝑧 = −√2 − 𝑖√2 
Solução: 
Empregando o mesmo raciocínio do problema do item acima 
𝑧 = 𝜌 (cos 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃) 
𝜌 = √(−√2)2 + (−√2)2 = √4 = 2 
Por definição: 
cos 𝜃 = 
𝑎
𝜌
= 
−√2
2
 
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27 
 
 
𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 
𝑏
𝜌
=
−√2
2
 
Como o seno e o cosseno são negativos e iguais , 𝜃 pertence ao terceiro quadrante e é 
igual a 225° 
Logo podemos escrever: 
𝑧 = 2 (cos 225 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 225) 
c) 𝑧 = 1 − 𝑖 √3 
Solução: 
𝑧 = 𝜌 (cos 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃) 
𝜌 = √(1)2 + (−√3)2 = √4 = 2 
Por definição: 
cos 𝜃 = 
𝑎
𝜌
= 
1
2
 
𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 
𝑏
𝜌
=
−√3
2
 
Como o seno é negativo e o cosseno positivo , o ângulo pertence ao 4º quadrante. E vale 
300º 
Logo podemos escrever: 
𝑧 = 2 (cos 300 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 300) 
52) Seja 𝑧 = 
𝑖
𝑖+1
+
1
𝑖
 
a) Determine as formas algébrica e trigonométrica de z. 
Solução: 
𝑧 = 
𝑖
𝑖 + 1
+
1
𝑖
= 
𝑖2 + 𝑖 + 1
𝑖2 + 𝑖
= 
𝑖
−1 + 𝑖
= 
𝑖(−1 − 𝑖)
(−1 + 𝑖)(−1 − 𝑖)
= 
−𝑖 − 𝑖2
1 − 𝑖2
= 
 
= 
1 − 𝑖
2
= 
1
2
− 
1
2
𝑖 
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28 
 
Logo na forma algébrica 𝑧 =
1
2
−
1
2
𝑖 
Vamos agora transformar o complexo acima para a forma trigonométrica 
Sabemos que : 
𝑧 = 𝜌 (cos 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃) 
𝜌 = √(
1
2
)2 + (−
1
2
)2 = √
2
4
 =
√2
2
 
𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 
−
1
2
√2
2
= −
√2
2
 𝑒 cos 𝜃 = 
1
2
√2
2
=
√2
2
 
Observando que o seno é negativo e cosseno é positivo podemos concluir que mesmo 
pertence ao 4º quadrante. 
Logo 𝑧 = 
√2
2
 (cos 315 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 315) 
b) determine a forma trigonométrica de z2. 
Solução: 
𝑧2 = (
1
2
−
1
2
𝑖)(
1
2
−
1
2
𝑖) = −1/2 𝑖 
𝑧2 = 0 −
1
2
𝑖 
𝜌 = √02 + (−
1
2
)2 =
1
2
 
cos 𝜃 = 
0
1/2
= 0 
𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 
−1/2
1/2
= −1 → 𝜃 = sin−1 −1 = 270° 
Finalmente podemos escrever z na forma trigonométrica 
𝑧 =
1
2
 ( cos 270 + i sen 270) 
53) Obtenha a forma trigonométrica de z1 , z2 e z3 representado na figura abaixo. 
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29 
 
 
Solução: 
Da figura acima podemos constatar que o imaginário z1 situa-se no eixo Im e seu 
argumento é 90º 
Logo : 
𝑧1 = 3(cos 90 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 90) 
O complexo z2 situa-se no circulo com raio 5 e seu argumento é dado por 180-30=150º 
Z2 = 5 ( cos 150 + i sem 150) 
O complexo z3 tambem situa-se no circulo com raio 5 e seu argumento é dado por 
270+45= 315º 
Logo 
𝑧3 = 5 (cos 315 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 315) 
54) A medida do lado do quadrado ABCD é 10. 
 
Obtenha a forma polar dos complexos z1 , z2 ,z3 e z4 que vem a ser afixos de A , B , C e 
D. Expresse os ângulos em radianos. 
Solução: 
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30 
 
Inicialmente devemos determinar o raio do círculo mostrado (𝜌) 
𝜌 = √52 + 52 = √50 = 5√2 
Podemos observar que os vértices A , B , C e D que os argumentos de cada ponto são 
múltiplos de 45º. Assim sendo , uma vez que 𝜌 é constante ,obtemos 
𝐴 = 5√2 (cos
𝜋
4
+ 𝑠𝑒𝑛 
𝜋
4
 𝑖) 
𝐵 = 5√2 (cos
3𝜋
4
+ 𝑠𝑒𝑛 
3𝜋
4
 𝑖) 
𝐶 = 5√2 (cos
5𝜋
4
+ 𝑠𝑒𝑛 
5𝜋
4
 𝑖) 
𝐷 = 5√2 (cos
7𝜋
4
+ 𝑠𝑒𝑛 
7𝜋
4
 𝑖) 
55) Sendo 𝑧1 = 4(cos 60 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 60) 𝑒 𝑧2 = 3(cos 240 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 240) . Determine o 
produto z1 . z2. 
Solução: 
O produto de dois números complexos na forma trigonométrica é obtido mediante o 
emprego da formula: 
𝑧1. 𝑧2 = 𝜌1𝜌2 (cos(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 (𝜃1 + 𝜃2)) 
Logo: 
𝑧1. 𝑧2 = 4(3) [cos(60 + 240) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 (60 + 240)] = 12 (cos 300 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 300) 
56) Sendo 𝑧1 = 6(cos 120 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 120) 𝑒 𝑧2 = 2(cos 30 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 30) . Determine o 
produto z1 / z2. 
Solução: 
Por definição a divisão de números complexos em sua forma trigonométrica é dado por 
𝑧1
𝑧2
= 
𝜌1
𝜌2
 [cos(𝜃1 − 𝜃2) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 (𝜃1 − 𝜃2)] 
Substituindo os valores dados na expressão acima: 
𝑧1
𝑧2
=
6
2
 (cos(120 − 30) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 (120 − 30) = 3(cos 90 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 90) 
57) Sejam os números complexos 𝑧1 = 6 (cos 240 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 240) , 𝑧2 = (cos 30 +
𝑖 𝑠𝑒𝑛 30) 𝑒 𝑧3 = 2 (cos 150 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 150). Escreva na forma trigonométrica : 
a) 𝑧1 . 𝑧3 
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31 
 
Solução: 
Empregando a formula de multiplicação de dois números complexos na forma 
trigonométrica mostrada abaixo , 
𝑧1 . 𝑧3 = 𝜌1𝜌3[cos(𝜃1 + 𝜃3) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛(𝜃1 + 𝜃3) ] 
Substituindo os valores teremos 
𝑧1 . 𝑧3 = 6(1)[cos(240 + 30) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 (240 + 30)] = 6 (cos 270 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 270) 
b) 𝑧2 . 𝑧3 
Solução: 
Da mesma forma que no item acima termos 
𝑧2 . 𝑧3 = 𝜌2𝜌3[cos(𝜃2 + 𝜃3) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛(𝜃2 + 𝜃3) ] 
𝑧2 . 𝑧3 = 2(1)[cos(30 + 150) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 (30 + 150)] = 2 (cos 180 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 180) 
c) 𝑧1. 𝑧2. 𝑧3 
Solução: 
𝑧1. 𝑧2. 𝑧3 = 𝜌1𝜌2𝜌3[cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 (𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3)] 
Substituindo os valores obtemos 
𝑧1. 𝑧2. 𝑧3 = 6(1)(2)[cos(240 + 30 + 150) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 (240 + 30 + 150)] 
𝑧1. 𝑧2. 𝑧3 = 12(cos 420 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 420) 
Como 420 = 360 + 60 podemos escrever 
𝑧1. 𝑧2. 𝑧3 = 12 (cos 60 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 60) 
d) 
𝑧1
𝑧2
 
Solução: 
𝑧1
𝑧2
= 
𝜌1
𝜌2
 [cos(𝜃2 − 𝜃1) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 (𝜃2 − 𝜃1)] 
𝑧1
𝑧2
=
6
1
 [cos(30 − 240) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 (30 − 240)] = 6 (cos(−210) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(− 210)) 
e) 𝑧1
2 
Solução: 
Por definição , sabemos que 
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32 
 
𝑧1
2 = 𝑧1 . 𝑧1 
Aplicando a propriedade da multiplicação de números complexos na forma 
trigonométrica 
𝑧1
2 = 𝜌1 . 𝜌1 [cos(𝜃1 + 𝜃1) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛(𝜃1 + 𝜃1) ] 
Logo , substituindo os valores de z1 
𝑧1
2 = 6(6)[cos(240 + 240) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 (240 + 240)] = 36 (cos 480 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 480) 
Sabemos que 480 = 360+ 120 
Logo 
𝑧1
2 = 36 (cos 120 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 120). 
58) Sejam 𝑧1 𝑒 𝑧2 dois números complexos tais que: 
𝑧1 . 𝑧2 = 80 (cos 160 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 160) 𝑒 𝑧2 𝑧1 = 5 (cos 40 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 40)⁄ 
Escreva 𝑧1 𝑒 𝑧2 na forma trigonométrica. 
Solução: 
Sabemos que 
𝑧1 . 𝑧2 = 𝜌1𝜌2 (cos(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 (𝜃1 + 𝜃2)) 
Logo podemos escrever 
80(cos 160 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 160) = 𝜌1𝜌2 (cos(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 (𝜃1 + 𝜃2)) 
Comparando termo a termo a igualdade acima , podemos concluir que : 
𝜌1𝜌2 = 80 (1) 
Por definição sabemos que : 
𝑧2
𝑧1
= 
𝜌2
𝜌1
 [cos(𝜃2 − 𝜃1) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 (𝜃2 − 𝜃1)] 
Assim sendo podemos obter: 
5 (cos 40 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 40) =
𝜌2
𝜌1
 [cos(𝜃1 − 𝜃2) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 (𝜃1 − 𝜃2)] 
Da igualdade acima podemos concluir que : 
𝜌2
𝜌1
= 5 ∴ 𝜌2 = 5𝜌1 (2) 
Resolvendo simultaneamente (1) e (2) obtemos 
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𝜌1 . 5𝜌1 = 80 ∴ 𝜌1 = √16 = 4 
Consequentemente 𝜌2 = 5(4) = 20 
Empregando a mesma linha de raciocínio vamos trabalhar com os argumentos. 
𝜃1 + 𝜃2 = 160 
𝜃2 − 𝜃1 = 40 
Resolvendo simultaneamente o sistemaformado pelas igualdades acima , obtemos 
𝜃2 = 100 𝑒 𝜃1 = 60 
Finalmente podemos escrever os complexos procurados 
𝑧1 = 4(cos 60 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 60) 𝑒 𝑧2 = 20(cos 100 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 100) 
59) Se z = 4 ( cos 30 + i sen 30) , determine o valor de z8. 
Solução: 
Empregando a formula de Moivre , a qual é mostrada abaixo: 
𝑧𝑛 = 𝜌𝑛 [cos 𝑛𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃] 
Observado o complexo z8 , concluímos que n = 8 , 𝜌 = 4 𝑒 𝜃 = 30° 
Substituindo estes valores na formula de Moivre , obtemos: 
𝑧8 = 48 [cos 8 × 30 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 8 × 30] = (22)8 (cos 240 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 240) 
cos 240 = − cos 60 = −1/2 
𝑠𝑒𝑛 240 = −𝑠𝑒𝑛 60 = −
√3
2
 
Logo: 𝑧8 = 216(−
1
2
− 
√3
2
) 
60) Determine o valor de z = (-1/2 + i 
√3
2
)8. 
Solução: 
Inicialmente vamos transformar o complexo dado para a forma trigonométrica. 
𝜌 = √(−
1
2
)
2
+ (
√3
2
)
2
 = √
1
4
+
3
4
 = 1 
cos 𝜃 = − 
1/2
1
= −1/2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 
√3
2
 
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Temos cosseno negativo e seno positivo logo o argumento pertence ao 2º quadrante. 
𝜃 = 120º 
Logo 𝑧 = cos 120 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 120 
Podemos agora aplicar a formula de Moivre para determinar z17 
𝑧17 = 𝜌2(cos(120 × 17) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 (120 × 17) = cos 2040 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 2040 
Como 2040 = 5(360) + 240 
𝑧17 = cos 240 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 240 = −
1
2
− 𝑖 
√3
2
 
61) Determine quais são as raízes quadradas de 2i. 
Solução: 
Inicialmente devemos transformar o complexo dado para a forma trigonométrica. 
𝜌 = √02 + 22 = 2 
cos 𝜃 = 
0
2
= 0 𝑒 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
2
2
= 1 → 𝜃 = 
𝜋
2
 
Por facilidade devemos exprimir o argumento em radianos como feito acima. 
Logo 𝑧 = 2 (cos
𝜋
2
+ 𝑖 𝑠𝑒𝑛 
𝜋
2
) 
O problema consiste em determinar 𝑧𝑘 ∈ ℂ tal que 𝑧𝑘
2 = 2𝑖 
Assim sendo vamos escrever zk e 2i na forma trigonométrica. 
[𝜌(cos 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃]2 = 2 (cos
𝜋
2
+ 𝑖 𝑠𝑒𝑛 
𝜋
2
) 
Aplicando a formula de Moivre ao lado esquerdo da igualdade temos 
𝜌2[(cos 2𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 2𝜃] = 2 (cos
𝜋
2
+ 𝑖 𝑠𝑒𝑛 
𝜋
2
) 
Comparando os módulos e argumentos na igualdade acima obtemos 
𝜌2 = 2 → 𝜌 = √2 
2𝜃 = 
𝜋
2
+ 𝑘(2𝜋) 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 𝜖 ℤ 
𝜃 = 
𝜋
4
+ 𝑘𝜋 onde 𝑘 𝜖 ℤ 
Vamos agora atribuir valores inteiros para k 
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𝑘 = 0 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝜃 = 
𝜋
4
 
Logo; 𝑧0 = √2 (cos
𝜋
4
+ 𝑖 𝑠𝑒𝑛 
𝜋
4
) = √2 (
√2
2
+ 𝑖 
√2
2
) = 1 + 𝑖 
Para k = 1 obtemos 𝜃 = 
𝜋
4
+ 𝜋 = 
5𝜋
4
 
Assim sendo 𝑧1 = √2 (cos
5𝜋
4
+ 𝑖 𝑠𝑒𝑛 
5𝜋
4
) = √2 (−
√2
2
+ 𝑖
√2
2
) = −1 − 𝑖 
Para k = 2 obtemos 𝜃 = 
𝜋
4
 +2𝜋 = 
9𝜋
4
 
Como 
9𝜋
4
 é um arco côngruo de 
𝜋
4
 iriamos encontrar um resultado que coincide com 𝑧0 = 
1+i . 
Logo não se faz necessário atribuir outros valores de k , e consequentemente as raízes 
quadradas de 2 i são: 
 𝑧0 = 1 + 𝑖 e 𝑧1 = −1 − 𝑖 
62) Determine as raízes cubicas de -1 
Solução: 
A figura abaixo mostra a representação gráfica do complexo z = -1 
 
Transformando z para a forma trigonométrica obtemos 
𝑧 = 1 (cos 𝜋 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜋) 
𝑧𝑘
3 = −1 
𝜌3(cos 3𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 3𝜃) = 1 (cos 𝜋 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜋) 
Comparando os módulos e argumentos na igualdade acima 
𝜌3 = 1 ∴ 𝜌 = 1 
3𝜃 = 𝜋 + 2𝑘𝜋 ∴ 𝜃 = 
𝜋
3
 + 𝑘 (
2𝜋
3
) 
Fazendo k = 0 obtemos 𝜃 = 
𝜋
3
 
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𝑧0 = 1 (cos
𝜋
3
+ 𝑖 𝑠𝑒𝑛 
𝜋
3
) =
1
2
+ 𝑖 
√3
2
 
Para k = 1 teremos 𝜃 = 𝜋 
𝑧1 = 1 (cos 𝜋 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜋) = −1 
Para k = 2 obtemos 𝜃 = 
5𝜋
3
 
𝑧2 = 1 (cos
5𝜋
3
+ 𝑖 𝑠𝑒𝑛 
5𝜋
3
) =
1
2
− 𝑖 
√3
2
 
Note que para k = 3 os valores dos argumentos começam a se repetir , 
consequentemente podemos concluir que as raízes cubicas de -1 são: 
𝑧0 = 
1
2
+ 𝑖 
√3
2
 , 𝑧1 = −1 𝑒 𝑧2 = 
1
2
− 𝑖 
√3
2
 
63) O inverso do numero complexo z = 2+ i é: 
𝑎)
1
2
+ 𝑖 𝑏)
2
5
−
1
5
𝑖 𝑐) 1/2 − 𝑖 𝑑) − 2 + 𝑖 𝑒) − 1/5 + 2/5 𝑖 
Solução: 
Chamemos de 𝑧1 o complexo procurado. 
Assim sendo: 
𝑧1 = 
1
𝑧
= 
1
2 + 𝑖
 
Efetuando a divisão teremos 
𝑧1 = 
1
2 + 𝑖
× 
2 − 𝑖
2 − 𝑖
= 
2 − 𝑖
4 − 2𝑖 + 2𝑖 − 𝑖2
= 
2 − 𝑖
5
=
2
5
−
1
5
𝑖 
Logo a resposta é a letra b 
64) Sabendo que x é um numero real e que a parte imaginária de do número complexo 
2+𝑖
𝑥+2𝑖
 é zero , então x vale: 
a) -1 b) 1 c) 2 d) -2 e) 4. 
Solução: 
Efetuando a divisão do complexo dado 
2 + 𝑖
𝑥 + 2𝑖
×
𝑥 − 2𝑖
𝑥 − 2𝑖
= 
2𝑥 − 4𝑖 + 𝑥𝑖 − 2𝑖2
𝑥2 − 2𝑥𝑖 + 2𝑥𝑖 − 4𝑖2
= 
(2𝑥 + 2) + (−4 + 𝑥)𝑖
𝑥2 + 4
 
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Como a parte imaginaria do complexo é nula , podemos escrever 
−4 + 𝑥
𝑥2 + 4
= 0 → 𝑥 = 4 
Resposta é a letra c 
65) Obtenha a forma trigonométrica do numero complexo z = 10 + 10 i. 
Solução: 
𝜌 = √102 + 102 = √200 = 10√2 
cos 𝜃 = 
10
10√2
= 
1
√2
= 
√2
2
 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 
10
10√2
= 
√2
2
 
Como cos 𝜃 𝑒 𝑠𝑒𝑛 𝜃 são positivos o argumento pertence ao primeiro quadrante, logo: 
𝜃 = 45° 
Finalmente podemos escrever 𝑧 = 10√2 (cos 45 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 45) 
66) Determine o numero complexo z tal que 𝑧̅ = 3 𝑖97 + 2𝑖75 + 9𝑖18 
Solução : 
97
4
= 24 𝑐𝑜𝑚 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 1 , 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑖97 = 𝑖1 = 𝑖 
75
4
= 18 𝑐𝑜𝑚 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 3 , 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑖75 = 𝑖3 = 𝑖2(𝑖) = −𝑖 
18
4
= 4 𝑐𝑜𝑚 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 2 , 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑖18 = 𝑖2 = −1 
Logo podemos escrever: 
𝑧̅ = 3𝑖 + 2(−𝑖) + 9(−1) = 3𝑖 − 2𝑖 − 9 = −9 + 𝑖 
Finalmente z = -9 – i 
67) Se z = cos 40 + i sen 40 , então z15 vale: 
Solução: 
Aplicando a formula de Moivre 
𝑧15 = 115 (cos 40 × 15 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 40 × 15) = 1 (cos 600 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 600) 
cos 600 = - ½ e sen 600 = - sen 60 = - 
√3
2
 
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38 
 
𝑧15 = 1 (−
1
2
− 𝑖 
√3
2
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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