Mecânica Aplicada -Aula 02

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MECÂNICA APLICADA - ENGENHARIA MECÂNICA - AULA 24/03 
Comentário: Vamos resolver o problema dado na aula de 10/3 e propor um novo 
exercício sobre Energia. Peço aos alunos que estudem a aula de hoje e resolvam os 
exercícios propostos. Quando retornarem as aulas presenciais poderei pedir que 
resolvam em aula um dos problemas propostos, valendo nota. Na aula de hoje 
estudaremos também o Pêndulo simples. 
ENERGIA NO MHS 
Resumo Teórico 
A energia mecânica total de um sistema permanece inalterada e é calculada pela soma 
da energia potencial (Ep) e da Energia Cinética (Ec), isto é 
𝐸𝑡 = 𝐸𝑝 + 𝐸𝑐 
Mas 𝐸𝑝 =
𝑘.𝑥2
2
 𝑒 𝐸𝑐 =
𝑚.𝑣2
2
 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐸𝑡 =
𝑘.𝑥2
2
+
𝑚.𝑣2
2
 
Nos pontos de deslocamento máximos (xm) temos: 𝐸𝑡 =
𝑘.𝑥𝑚
2
2
 
Nos pontos de velocidades máximas (vm) temos: 𝐸𝑡 =
𝑚.𝑣𝑚
2
2
 
A unidade de energia no SI é o joule (J): 1J=1N.m 
Exercício resolvido 
(Prof. Sartori) Um corpo de massa 2kg oscila preso a uma mola cuja constante elástica 
é 40N/m. Sua velocidade, quando está na posição de equilíbrio, é 25cm/s. Determinar 
(a) a energia total do sistema e (b) a amplitude do movimento e (c) a sua frequência 
angular 
Solução 
São dados: m=2kg, k=40N/m, v=25cm/s=0,25m/s, 
a) Para x=0 v=vm=0,25m/s então utilizamos a fórmula 𝐸𝑡 =
𝑚.𝑣𝑚
2
2
=
2.0,252
2
= 0,0625𝐽 
b) Temos 𝐸𝑡 =
𝑘.𝑥𝑚
2
2
 ⇒ 𝑥𝑚 = ±√
2.𝐸𝑡
𝑘
= ±√
2.0,0625
40
 = ±0,0559𝑚 
c) Temos 𝜔 = ±√
𝑘
𝑚
= ±√
40
2
= ±4,47𝑟𝑎𝑑/𝑠 
Exercício proposto. 
Um corpo de massa 300g preso a uma mola de constante elástica 1,8kN/m 
descreve um MHS de amplitude 20cm. Determinar a velocidade e a posição do 
corpo quando a energia cinética for igual à energia potencial. 
Respostas: a) ±10,95m/s b) =±0,14m 
 
 
2 
 
PÊNDULO SIMPLES 
O pêndulo simples é um sistema constituído por um corpo pendurado através de um 
cabo flexível e que ao ser retirado de sua posição de equilíbrio e solto oscila em 
torno do ponto de fixação do cabo, como mostrado na figura abaixo. Seu estudo 
será restrito a pequenas amplitudes de modo a se aproximar de um movimento 
harmônico simples. 
 
Sendo: P = peso do corpo, m = massa do corpo, θ = ângulo do pêndulo no instante 
t, θm = amplitude angular, L = comprimento do pêndulo. 
Equação do Pêndulo: �̈� + 𝜔2. 𝜃 = 0 No MHS, temos: �̈� + 𝜔2. 𝑥 = 0 
Frequência angular: 𝜔 = √
𝑔
𝐿
 No MHS, temos: 𝜔 = √
𝑘
𝑚
 
Período: 𝑇 = 2. 𝜋. √
𝐿
𝑔
 No MHS, temos: 𝑇 = 2𝜋√
𝑚
𝑘
 
Velocidade angular máxima: �̇�𝑚 = 𝜔. 𝜃𝑚 No MHS, temos: 𝑣𝑚 = 𝜔. 𝑥𝑚 
Aceleração angular máxima: �̈�𝑚 = 𝜔. �̇�𝑚 = 𝜔
2. 𝜃𝑚 
 No MHS, temos: 𝑎𝑚 = 𝜔. 𝑣𝑚 = 𝜔
2. 𝑥𝑚 
Velocidade tangencial: 𝑣𝑡 = �̇�. 𝐿 
Velocidade tangencial máxima: 𝑣𝑡𝑚 = �̇�𝑚. 𝐿 
Aceleração tangencial máxima: 𝑎𝑡𝑚 = 𝜔
2. 𝜃𝑚. 𝐿 = 𝜔. �̇�𝑚. 𝐿 
Exercícios resolvidos 
Exercício 1 
Determinar o período de oscilação de um pêndulo simples que tem 1,3m de 
comprimento. Considerar g=9,81m/s2. 
3 
 
Solução 
Fórmula 𝑇 = 2. 𝜋. √
𝐿
𝑔
= 2. 𝜋√
1,3
9,81
 ⇒ 𝑇 = 2,287𝑠 
Observar que o período não depende nem de m e nem da amplitude angular. 
Exercício 2 
Qual deve ser o comprimento de um pêndulo simples para que o seu período seja 
de 1s? 
Solução 
Temos 𝑇 = 2. 𝜋. √
𝐿
𝑔
 ⇒ 𝐿 =
𝑇2.𝑔
4.𝜋2
=
12.9,81
4.𝜋2
 ⇒ 𝐿 = 0,2485𝑚 
Exercício 3 
(Beer&Johnston) Um pêndulo constituído por uma esfera presa a uma corda oscila 
no plano vertical com um período de 1,3s. Assumindo que o movimento do pêndulo 
é harmônico simples e sabendo-se que a velocidade máxima da esfera é 0,4m/s, 
determinar (a) o comprimento do pêndulo (b) a amplitude do movimento em graus e 
(c) a aceleração tangencial máxima da esfera. Considerar g=9,81m/s2. 
Solução: São dados: T=1,3s, vtm=0,4m/s então 
a) 𝜔 =
2.𝜋
𝑇
=
2.𝜋
1,3
= 4,83 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
Mas 𝜔 = √
𝑔
𝐿
 ⇒ 𝐿 =
𝑔
𝜔2
=
9,81
4,832
 
=
⇒ 𝐿 = 0,421𝑚 
b) Temos 𝑣𝑡𝑚 = �̇�𝑚 . 𝐿 e �̇�𝑚 = 𝜔. 𝜃𝑚 
então 𝑣𝑡𝑚 = 𝜔. 𝜃𝑚. 𝐿 ⇒ 𝜃𝑚 =
𝑣𝑡𝑚
𝜔.𝐿
=
0,4
4,83.0,421
 ⇒ 𝜃𝑚 = 0,197𝑟𝑎𝑑 = 11,28
𝑜 
b) 
 𝑎𝑡𝑚 = 𝜔
2. 𝜃𝑚. 𝐿 = 4,83
2. 0,197.0,421 ⇒ 𝑎𝑡𝑚 = 1,93
𝑚
𝑠2
 
 
Exercício Proposto 
(Beer&Johnston) Um pêndulo composto por uma esfera presa a uma corda de 
1,02m de comprimento oscila em MHS. Sabendo-se que a esfera é solta á partir do 
repouso quando θ = 6°, determinar (a) a frequência da oscilação e (b) a velocidade 
máxima da esfera. Considerar g=9,81m/s2. 
Respostas: a) 0,494 Hz, b) 0,331m/s