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3 Física Geral II Prof. Dr. Edmundo Marinho do Monte edmundo@fisica.ufpb.br Curso de Licenciatura em Matemática – UFPBVIRTUAL Ambiente Virtual de Aprendizagem: Moodle (www.ead.ufpb.br) Site da UFPBVIRTUAL: www.virtual.ufpb.br Site do curso: www.mat.ufpb.br/ead Telefone UFPBVIRTUAL (83) 3216 7257 Carga horária: 60 horas Créditos: 04 Ementa Gravitação, Oscilação, Ondas, Ondas de Som, Estática e Dinâmica dos Fluidos, Temperatura, Calor, Transferência de Calor, Teoria Cinética dos Gases, Primeira e Segunda Lei da Termodinâmica. Descrição Este é um curso para alunos que tenham estudado mecânica newtoniana e cursado um ou mais semestres de cálculo. O conteúdo deste curso dá ao aluno uma boa cultura de física básica, exceto por não estudarmos outras propriedades da matéria, como por exemplo, carga. Como a própria ementa nos mostra, os assuntos abordados da física básica são em bom número e em muitos casos não imediatamente relacionados. Portanto, devemos estar atentos que este é um curso que requer muita dedicação e paciência para nos adaptarmos a mudanças bruscas de assunto de um capítulo para outro. Porém, este texto foi construído para servir de guia para formação de um curso básico de física para alunos, especialmente, da licenciatura em matemática. O propósito da unidade - Gravitação - é o de introduzir a lei da gravitação Newtoniana. Na unidade II introduziremos algumas ideias sobre oscilação. Na unidade temática III daremos algumas ideias do fenômeno ondulatório e sua introdução como modelo matemático, especialmente em uma corda. Na unidade IV daremos algumas ideias de fenômenos ondulatórios mais específicos como a propagação desses fenômenos em duas e três dimensões, tais como: ondas sonoras no ar. A mecânica dos fluidos será estudada de forma muito superficial, porém procuramos abordar os elementos essenciais. Noções de temperatura, calor e transferência de calor serão estudadas nos capítulo VI. No capítulo VII usaremos descrições macroscópicas e microscópicas para compreender as propriedades térmicas da matéria. O estudo das transformações de energia envolvendo calor, trabalho mecânico e outros tipos de energia e como essas transformações podem estar relacionadas com as propriedades da matéria chamaremos termodinâmica, no capítulo VIII estudaremos as leis da termodinâmica. Alguns problemas resolvidos e propostos serão fornecidos com a finalidade do estudante ter uma maior compreensão da teoria fixando alguns conceitos, medidas de grandezas físicas, etc. Objetivos O objetivo deste curso é fornecer para o aluno uma formulação mais precisa, em termos matemáticos, da gravitação newtoniana, oscilação, ondas, ondas sonoras, mecânica dos fluídos e da termodinâmica. Com isto, ao final deste curso o estudante deverá adquirir noções de física básica. 4 Bibliografia No final deste texto será apresentada uma bibliografia básica, donde me apoiei para montar estas notas de aula. Muitos exemplos, problemas e figuras serão retirados dessa bibliografia, além de buscar muitas vezes a internet como ponto de apoio. Unidades Temáticas Integradas Unidade I Gravitação A Lei de Newton da Gravitação Universal Força Gravitacional Exercida pela Terra sobre uma Partícula A Medida da Constante Gravitacional Órbitas dos Planetas Energia Gravitacional O Campo Gravitacional Interação Gravitacional entre uma Partícula e um Objeto Extenso Teorema de Newton da Interação Gravitacional entre Distribuições Esféricas de Massa Massa Gravitacional, Massa Inercial e o Princípio de Equivalência Problemas resolvidos e propostos Unidade II Oscilação Movimento Harmônico Simples O Oscilador Harmônico Simples Energia do Oscilador Pêndulo Simples Pêndulo Físico e Pêndulo de Torção Oscilações Amortecidas e Oscilações Forçadas Problemas resolvidos e propostos Unidade III Ondas Pulsos de Onda Ondas Viajando Velocidade de Onda em uma Corda Energia em uma Onda A Superposição de Ondas Ondas Estacionárias Problemas Resolvidos e Propostos Unidade IV Ondas de Som Elasticidade Ondas Sonoras – Ondas Longitudinais Ondas Sonoras Estacionárias Efeito Doppler Problemas Resolvidos e Propostos 5 Unidade V Estática e Dinâmica dos Fluidos Pressão em um Fluido Empuxo Escoamento do Fluido Equação de Bernoulli Problemas Resolvidos e Propostos Unidade VI Temperatura, Calor e Transferência de Calor Expansão Térmica Calor e Energia Térmica Capacidade Calorífica e Calor Latente Transferência de Calor Problemas Resolvidos e Propostos Unidade VII Teoria Cinética dos Gases Equação do Gás Ideal O Conceito de Pressão e Temperatura do Ponto de Vista Molecular A Distribuição de Maxwell-Boltzmann Calor Específico de um Gás Processos Adiabáticos Problemas Resolvidos e Propostos Unidade VIII 1a , 2a e 3a Leis da Termodinâmica Primeira Lei da Termodinâmica Segunda Lei da Termodinâmica A Máquina de Carnot Entropia Terceira Lei da Termodinâmica Problemas Resolvidos e Propostos 5 6 Unidade I - Gravitação fig. I.1. A figura mostra a interação gravitacional entre a Lua e a Terra. 1. Situando a Temática O propósito desta unidade temática é o de introduzir a lei da gravitação Newtoniana. Estudaremos a lei da gravitação universal formulada por Newton, a constante gravitacional G e sua medida, a aceleração da gravidade g de corpos caindo próximos à Terra, as órbitas dos planetas, a energia potencial gravitacional, a velocidade de escape, a ação gravitacional de uma massa esférica, a massa inercial e massa gravitacional com o princípio de equivalência. A fig. I.1 mostra a Lua em seu movimento orbital em volta da Terra e através da formulação Newtoniana da gravitação universal, a Lua e a Terra estão ligadas por uma força. 2. Problematizando a Temática A alta precisão da mecânica celeste é legendária. Cálculos usando as leis de Newton do movimento e a lei de Newton da gravitação permitiu predições para o movimento de planetas, satélites e cometas. Essa abordagem teórica concorda muito precisamente com as observações astronômicas. Por exemplo, predições de posições angulares planetárias concordam com as observações com uma precisão de poucos segundos de arco, mesmo depois de um período de dez anos. A teoria da gravitação Newtoniana provou ser eficiente quando astrônomos notaram um movimento anômalo de Urano. Eles previram que esse movimento anômalo estaria sendo provocado por uma força gravitacional vinda de uma massa nas 2 Gm ML TF r 1 2 R Rg T r 7 vizinhanças daquele planeta. Um novo planeta foi encontrado, Netuno. A força gravitacional é uma das quatro forças da natureza. Apesar de permear todo o nosso espaço físico, agindo sobre massas, é uma força de muito pouca intensidade quando comparada às forças fraca, forte e eletromagnética. Quando calculamos essa força entre dois prótons separados por uma distância de 15102 m obtemos um valor de 3410 N, enquanto obtemos 100 N para força eletromagnética. A principal aplicação da gravitação é na astronomia, viagens espaciais de satélites, na medicina, etc. Apesar da gravitação de Newton ser uma teoria de alta precisão, algumas observações, como o desvio do periélio de Mercúrio, não coincidem com os cálculos previstos por essa teoria.Ao contrário da gravitação formulada pela Relatividade Geral, os dados observacionais do desvio do periélio de Mercúrio vêm a ser confirmados por essa outra teoria. Atualmente, problemas fundamentais da física continuam a existir, por exemplo, como explicar a expansão acelerada do universo. Algumas tentativas estão sendo feitas, agora formulando a gravitação com teorias mais gerais do que a Relatividade Geral. 3. A Lei de Newton da Gravitação Universal Foi Newton quem descobriu que a força interplanetária que mantém os corpos celestes em suas órbitas é a força gravitacional. A lei da gravitação universal formulada por Newton estabelece que: Uma partícula atrai uma outra com uma força diretamente proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. A intensidade da força gravitacional entre duas massas 1m M e 2m m separadas por uma distância r é 2r GMmF eq. I.1 fig. I-2. Interação gravitacional entre duas massa. onde G é a constante universal. Seu valor em unidades internacionais ou métrica é 2211 /1067,6 kgNmG A fig. I-2 mostra a direção da força atrativa sobre cada partícula. Note que as duas forças são de igual intensidade e direções opostas, elas formam um par ação e reação. Por outro lado, a ação da força é a distância, 8 não requerendo contado entre as partículas e a atração gravitacional entre duas partículas é completamente independente da presença de outras partículas. Segue que a força gravitacional obedece ao princípio da superposição linear, isto é, a força gravitacional líquida entre dois corpos (por exemplo, Terra e Lua) é o vetor soma das forças individuais entre todas as partículas que compõem os corpos. Podemos assim usar este fato para aproximarmos os corpos celestes como partículas pontuais. 4. Força Gravitacional Exercida pela Terra sobre uma Partícula Aproximando a Terra e um corpo próximo a ela por um ponto, a força gravitacional exercida pela Terra sobre este corpo (partícula) é 2r mGMF T ou r r r mGMF T 2 eq. I.2 onde r é a distância medida do centro da Terra à partícula fora da Terra. Se a partícula está dentro da Terra a força é menor. Se a partícula está na superfície da Terra em TRr , então a eq. I.2 2 T T R mGMF eq. I.3 A corresponde aceleração da massa m é g R GM m Fa T T 2 eq. I.4 Mas essa aceleração é exatamente aquela que chamamos aceleração da gravidade g. Em geral teremos a aceleração para uma distância r g r R r GMa TT 2 2 2 eq. I.5 fig. I.4. Gráfico da aceleração em m/s 2 da gravidade versus distância radial r em metros. TR 2 TR 3 TR 4,9 9,8 a r fig. I.3. Força gravitacional entre duas partículas. 9 fig. I.5. Experimento de Cavendish. 5. A Medida da Constante Gravitacional A constante G é muito difícil de ser medida com precisão. Isto ocorre devido às forças gravitacionais entres massas no laboratório serem pequenas e portanto os instrumentos para detectar estas forças serem extremamente sofisticados. As medidas de G são feitas com uma balança de torsão de Cavendish. O valor da constante G é determinado através da aproximação das pequenas massas das massas grandes e a comparação dos torques surgidos no cabo central de sustentação. 6. Órbitas dos Planetas É razoável considerarmos o Sol fixo e imóvel estudando apenas o movimento dos planetas. Se supusermos as órbitas dos planetas aproximadamente circulares de raio r, a força gravitacional age como uma força centrípeta, tendo o Sol como o corpo central. Se a velocidade do planeta é v, a equação de movimento 2 2 2 vr GM r mvF r mGM F sc s eq. I.6 Temos que 2r v T , onde T é chamado o período da órbita. Assim o período para órbita circular é dado por 3 2 2 4 r GM T s eq. I.7 Mesmo as órbitas dos planetas em torno do Sol sendo aproximadamente circulares nenhuma dessas órbitas é circular. Foi Kepler que mostrou através das observações este fato. Isso é a primeira lei de Kepler: ‘As órbitas dos planetas são elipses com o Sol em um dos focos’ fig. I.6. Uma órbita elíptica de um planeta, com o Sol em um dos focos. A segunda lei de Kepler expressa essencialmente a conservação do momentum angular do planeta em torno do Sol, já que a força gravitacional 10 fig. I.7. Lei de Kepler das áreas é uma força central. Ela é chamada lei das áreas. ‘O segmento de reta que une o Sol ao planeta varre áreas iguais em tempos iguais’ A terceira lei de Kepler relaciona o período da órbita ao tamanho dela. Uma generalização da equação eq. I..7: ‘O quadrado do período é proporcional ao cubo do semi-eixo maior da órbita do planeta’ As três leis de Kepler são também aplicadas a satélites e a cometas. Também são aplicadas a órbitas de estrelas, como em sistemas binários de estrelas. Por outro lado, são aplicadas a movimento de projéteis próximos da Terra. Notamos que na nossa descrição matemática do movimento planetário não contemplamos as forças dos outros planetas muito menores do que a do Sol. Porém, num tratamento mais preciso, essas forças devem ser levadas em conta. A força líquida sobre qualquer um dos planetas é então uma função da posição de todos os outros planetas. A solução da equação do movimento envolve o problema de muitos corpos. No cálculo do movimento de um planeta é incluído o cálculo do movimento dos outros planetas. Não temos uma solução exata desse problema, apenas cálculos envolvendo análise numérica. Dessa forma as leis de Kepler descrevem uma primeira aproximação do movimento planetário. Isto resulta no desvio do periélio de alguns planetas. 7. Energia Gravitacional Sabemos do estudo da mecânica que a força gravitacional é uma força conservativa, isto é, o trabalho realizado por esta força para deslocar uma partícula de um ponto a outro somente depende da localização destes pontos e não do caminho entre eles. Assim podemos definir a energia potencial gravitacional )()( 0PUrdFrU r eq. I.7 Tomamos aqui um ponto numa distância infinita da massa central M e colocamos 0)( 0 PU . Note que esta integral pode ser calculada para qualquer caminho, em particular numa linha reta. Então, r GMmdxiixGMmPUrdFrU rr )/(0)()( 20 q.I.8 Veja que a energia potencial gravitacional cresce com a distância, de um valor negativo para zero. Isto decorre naturalmente pelo fato da força ser atrativa. Por outro lado essa energia é mútua, de M e m, mas por exemplo se M >> m podemos dizer que a energia é apenas de m, já que praticamente M 11 não se move. Algumas vezes é desejável calcular a força da energia potencial. Suponha que dois pontos P e Q são separados apenas por um deslocamento infinitesimal rd , então U(P) será diferente de U(Q) somente por uma quantidade infinitesimal, dzFdyFdxFrdFQUPUdU zyx )()( , assim )(),,( rU z U y U x UF . Neste caso dizemos que F provém de um potencial. Podemos rever este resultado em um curso básico de cálculo. A energia total é igual a U+K, mas se M é estática, entãoa energia cinética K é devida apenas ao movimento de m, assim pela conservação de energia, . 2 1 2 const r GMmmvKUE eq. I.9 Da eq. I.6 e eq. I.9 podemos calcular facilmente a energia para uma órbita circular: r mGM r mGM r mGM KUE sss 2 1 2 1 eq. I.10 A energia negativa E é exatamente a metade da energia potencial. Para uma órbita elíptica a energia total é também negativa. Pode-se mostrar que E é escrito como na eq. I.10, substituindo r pelo semi-eixo maior da elipse. A energia total não depende do formato da elipse e sim do seu tamanho global. Se a energia é próxima de zero, então o tamanho da órbita é muito grande. O que caracteriza as órbitas de cometas, indo além do limite do sistema solar. Se a energia é exatamente zero, então a elipse torna-se uma parábola, para distâncias infinitas e velocidade zero. Se a energia é positiva, então a órbita é uma hipérbole, o astro alcança distâncias infinitas com velocidades diferentes de zero e continua movendo-se em linha reta. Para um detalhamento sobre as órbitas dos planetas podemos estudar as curvas de potencial através da eq. I.9, calculando-se a expressão da velocidade para determinar qualitativamente: pontos de retorno e equilíbrio, níveis de energia, órbitas ligadas e não ligadas. Ou, de forma mais precisa, muito mais difícil, resolver uma equação diferencial definida pela eq. I.9 para a posição da partícula. Um objeto de massa m na superfície de um astro de massa M está sujeito a uma força da gravidade exercida por tal astro. Qual deve ser a velocidade inicial mínima aproximada que deverá ser lançado o objeto, da superfície do astro, para que ele não retorne mais? Como tal objeto escapará do astro? A velocidade correspondente é chamada velocidade de escape. No infinito a velocidade do objeto é zero e a energia potencial também. Dessa 12 forma E = 0, como a única força que realiza trabalho é a gravitacional, que é conservativa, então na superfície, T T R mGMmvUKE 2 2 10 T T R GMv 2 eq. I.11 Note que estamos considerando um corpo lançado em pontos acima da superfície da Terra onde, aproximadamente, o atrito com o ar é zero e a força do Sol sobre ele tem um pequeno efeito. 8. O Campo Gravitacional Uma abordagem para descrever interações entre objetos na Terra que não estão em contato, veio com o conceito de um campo gravitacional o qual permeia nosso espaço físico. O campo gravitacional é definido como F m g 1 eq. I.12 O campo gravitacional em um ponto do espaço é igual à força experimentada por uma partícula teste colocada no ponto multiplicada escalarmente pelo inverso da massa da partícula. Note que a presença da partícula teste não é necessária para o campo existir. A Terra cria o campo. Como exemplo, considere um objeto de massa m próximo a superfície da Terra. O campo gravitacional a uma distância r do centro da Terra é r r r mGM m F m g T2 11 r r GMg T2 eq. I.13 onde rr r 1 é o vetor unitário apontando radialmente em direção à Terra e o sinal menos indica que o campo está na direção do centro da Terra. 9. Interação Gravitacional entre uma Partícula e um Objeto Extenso Notemos que até agora a interação gravitacional que estamos considerando é entre partículas. Porém agora temos interesse em saber como tratamos o caso de interação gravitacional entre objetos extensos. Se uma partícula de massa m interage gravitacionalmente com um objeto extenso de massa M, a força gravitacional total exercida pelo objeto sobre a partícula pode ser obtida dividindo o objeto em vários elementos de 13 massa iM para tomar o vetor soma sobre todas as forças exercidas por todos os elementos. A energia potencial para qualquer um desses elementos é dada por ii rMGmU / , como podemos ver na fig. I.8. A energia potencial total do sistema de partículas de massa M é obtida, quando tomamos 0 iM , dM U Gm r eq. I.14 Agora calculamos a força gravitacional através de drdU / para obter rr dMGmF 3 eq. I.15 onde r r r é o vetor unitário dirigido do elemento dM em direção a partícula e o sinal menos indica que a direção da força é oposta a de r . 10. Teorema de Newton da Interação Gravitacional entre Distribuições Esféricas de Massa Vamos mostrar um teorema muito importante que trata da interação entre corpos extensos com simetria esférica. Os planetas, bem como outros corpos, podem ser considerados com esta simetria. Teorema: A interação gravitacional entre dois corpos que possuem distribuições de massa com simetria esférica, para pontos externos das esferas, é igual à interação gravitacional entre duas partículas localizadas nos centros dessas esferas. Prova: Podemos começar calculando a energia potencial total entre uma casca esférica, dividindo a casca em elementos de massa iM , e uma partícula m no seu exterior, )( i i r MGmU eq. I.15 onde ir é a distância entre iM e m. Tome um anel da casca como na fig. I.9 Tome um anel de uma casca esférica, obviamente a reunião de desses anéis nos dá a casca inteira. O anel está a uma distância Lri da partícula m. O anel tem uma largura Rd , um raio Rsenθ e uma circunferência m fig. I.8. Interação entre uma partícula e um objeto extenso de massa M. fig. I. 9. Interação gravitacional entre duas massas esféricas. 14 Rsen2 e assim à área da superfície do anel é dsenR22 . A massa do anel é proporcional a área dessa superfície. Como a massa total M é uniformemente distribuída sobre a área total 24R da casca, podemos escrever dMsen R dsenRMM i 2 1 4 2 2 2 para massa do anel. No limite 0 iM e encontramos da eq. I.15 L dGmMsenU 2 eq. I.16 Aplicando a lei dos cossenos, cos2222 rRrRL e calculando ddL / , onde r e R são constantes, RrL como maior valor de L e RrL como menor valor de L, teremos )2( 2 ][ 22 R rR GmML rR GmMdL rR GmMU Rr Rr Rr Rr r GmMU eq.I.17 Esse resultado mostra que a energia potencial é calculada como se toda a massa estivesse em seu centro. Então a força, drdU / , entre a casca e a partícula é exatamente calculada como se toda a massa estivesse no centro. A distribuição de massa esférica é uma coleção de cascas esféricas. Assim a força gravitacional entre a distribuição de massa esférica e a massa m será calculada como se toda a massa da esfera estivesse no seu centro, quando aplicado o princípio da superposição de forças. Note que este resultado permanece para uma densidade de massa não uniforme. Pela terceira lei de Newton, a distribuição de massa sente igual força. Agora se substituímos a partícula de massa m por uma distribuição de massa esférica, e indagamos sobre a força de atração gravitacional entre as distribuições de massa esférica, pelos argumentos acima é fácil ver que a força gravitacional é calculada como se as massas estivessem concentradas em um ponto. Terminando assim a prova do teorema. Se agora a partícula está dentro da distribuição esférica o cálculo procede de forma análoga, isto é, apenas os limites da última integral são trocados para rRL e rRL , para obtermos, R GmMU eq. I.18 Note que U é constante, dessa forma quando m se move no interior da esfera nenhum trabalho é realizado sobre ela, como consequência a força gravitacional é igual a zero em qualquer ponto no interior da casca esférica. Para uma distribuição de massa esférica consideremos uma partícula dentro dessa distribuição. A força líquida que temos é devido à massa 15 contida em um raio menor do que o raio onde a partícula está, como se a massa dessa parte da esfera estivesse concentrada em seu centro. Assim, de uma forma geral, teremos para intensidade de F 2 )( r rGmMF eq. I.19 onde M(r) é a quantidade de massa contida dentro da massa esférica, cujo o raio é r, calculado a partir da localização da massa m. Esta é a força gravitacional sobre uma partícula localizada dentro de uma massa esférica. 11. Massa Gravitacional, Massa Inercial e o Princípio de Equivalência Quando a massa de um corpo é medida de acordo com sua inércia, dizemos que essa massa é inercial. Isto é, quando queremos medir a massa de um corpo, comparamos a massa desconhecida com uma massa padrão, fazendo-se exercer forças uma sobre a outra e calculando as razões das acelerações obtendo a razão inversa dessas massas. De acordo com essa definição, massa é a medida de sua inércia, ou seja, a medida da oposição que o corpo oferece a qualquer mudança de seu estado de movimento. Por outro lado, quando medimos massa através de um peso padrão através de uma balança comparamos a força gravitacional que a Terra exerce sobre as massas. A massa medida dessa forma é chamada massa gravitacional. Seria razoável que a massa de um corpo tivesse a mesma medida por ambos os métodos. Sejam 1P e 2P os pesos de dois corpos, se 21 PP , teremos 2121 mmgmgm . Isto é, as massas inerciais são iguais. A igualdade dessas massas inerciais se mantém devido ao fato delas poderem cair livremente com a mesma aceleração. Por outro lado, podemos de um sistema referência acelerado simular os efeitos da gravidade. A similaridade entre os dois efeitos é chamada de princípio de equivalência. Por exemplo, se estamos num elevador fechado, em queda livre, não saberemos se estamos em um sistema acelerado ou se sujeitos a um campo gravitacional. Exercícios Resolvidos Exemplo I. 1 Qual é a força gravitacional entre um homem de 70 kg e uma mulher de 70 kg quando estão separados por uma distância de 10m? Trate as massas como particulas. Solução: N m kgkgkgmN r mGMF T 92 2211 2 103,3)10( 7070/.1067,6 . Exemplo I. 2 16 As órbitas do planeta Vênus e da Terra são aproximadamente circulares quando giram em torno do Sol. O período de Venus é 0,615 anos e o da Terra é 1 ano. Mostre que os raios das órbitas são tais que .38,1 VT rr Solução: De fato, usamos 3 2 2 4 r GM T s para ambos os planetas para chegarmos a relação, 38,1 )615,0( )1( 5,1 5,1 5,1 5,1 ano ano T T r r V T V T . Exemplo I. 3 Sabendo-se que o raio médio orbital da Terra é m1110496,1 , calcule a massa do Sol. Solução: Usamos kg GT rMr GM T s s 30 2 32 3 2 2 10989,144 , onde T= s710156,3 . Exemplo I. 4 Um astronauta está em uma espaçonave com uma órbita circular de raio km3106,9 ao redor da Terra. Em um ponto da órbita ele faz a nave impulsionar para frente e reduz sua velocidade. Isto coloca a nave em uma nova órbita elíptica com apogeu igual ao raio da órbita velha, mas com perigeu menor. Suponha que o perigeu da nova órbita é km3100,7 . Compare os períodos da nova e velha órbita. Solução: O período da órbita velha, que é circular, sr GM T T velha 33 2 104,94 , enquanto de acordo com a terceira lei de Kepler o período da nova, que é elíptica, sa GM T T nova 33 2 105,74 , onde 2/)100,7106,9( 33 kmkma , a sendo o semi-eixo maior. Então o período da nova órbita é aproximadamente 20% menor do que o da velha. Mesmo o astronauta diminuindo sua velocidade no apogeu, ele leva menos tempo para completar a órbita. A razão disso vem do fato que o piloto cresceu sua velocidade no perigeu e encurtou a distância em torno da órbita. Exemplo I. 5 Sabendo-se que o periélio de Mercúrio é m9109,45 e o afélio m9108,69 encontre a velocidade de Mercúrio no periélio e no afélio. Solução: 17 Note que no afélio e periélio as velocidades são perpendiculares ao raio assim a norma do momentum angular de cada ponto é dado por pPrmv e aa rmv . Usando a conservação de momentum angular aapP rmvrmv Por conservação de energia mecânica a S a p S p r mGMmv r mGMmv 22 2 1 2 1 . Substituindo a equação anterior nesta última, obtemos facilmente, smv p /1091,5 4 e smva /1088,3 4 . Exemplo I. 6 Um ‘meteoróide’ está inicialmente em repouso no espaço interplanetário a uma grande distância do Sol. Devido a influência da gravidade, ele começa a cair em direção ao Sol ao longo de uma linha radial. Com qual velocidade ele colide com o Sol? Solução: A energia do ‘meteoróide’ é . 2 1 2 const r mGMmvE S Inicialmente U = 0 e K = 0, já que v = 0 e r . Assim em qualquer tempo depois 0 2 1 2 r mGMmvE S ou r GMv S2 , no momento do impacto, SRr , onde mRS 81096,6 . Logo smv /1018,6 5 . Essa quantidade é chamada velocidade de escape, caso o corpo estivesse sendo lançado do Sol. Exemplo I. 7 Qual a energia potencial gravitacional de uma partícula na vizinhança da Terra? Solução: Sabemos que, r mGMrU T)( A mudança de energia potencial entre o ponto r e o ponto sobre a superfície da Terra é então T TT T R mGM r mGMRUrUU )()( Se TRr e zRr T é a altura acima da superfície da Terra da partícula m gmzz R mGMU T T 2 . Essa é nossa velha expressão da energia potencial gravitacional de uma partícula de massa m a uma altura z da superfície da Terra. Note que esta aproximação que fizemos vale para TT RzRr . Exemplo I. 8 18 Uma esfera tem massa M e raio R. Encontre a força gravitacional sobre uma partícula de massa m em um raio Rr . Solução: A massa contida na esfera de raio r é diretamente proporcional ao volume 3/4 3r . A massa total M é distribuída sobre o volume 3/4 3R . Assim 3 3 3 3 3/4 3/4)( R Mr R rMrM e r R GmM r rGmMF 32 )( Note que a força cresce diretamente proporcional ao raio r, quando r = R a força para de crescer e começa a decrescer com 2/1 r . Exercícios Propostos Exercício I. 1 Um satélite de comunicações tem uma órbita circular equatorial ao redor da Terra. O período da órbita é exatamente um dia, pois o satélite sempre permanece numa posição fixa relativa a rotação da Terra. Qual deve ser o raio de tal órbita geoestacionária? Resposta: mr 71023,4 Exercício I. 2 A massa 1m de uma das esferas pequenas da balança de Cavendish é igual a 0,0100 kg, a massa 2m de uma das esferas grandes é igual a 0,500 kg, e a distância entre o centro de massa da esfera pequena e o centro de massa da esfera grande é igual a 5 cm. Calcule a força gravitacional F sobre cada esfera produzida pela esfera mais próxima. Resposta: use a expressão da força para achar duas forças de mesmo valor e de intensidade muito pequena. Exercício I. 3 Suponha que uma esfera pequena e uma esfera grande sejam destacadas do dispositivo da balança de Cavendish, descrita no exercício acima, e colocadas a uma distância de 5 cm entre os centros das esferas, em um local do espaço muitoafastado de outros corpos. Qual é a intensidade da aceleração de cada esfera em um referencial inercial? Resposta: 28 /1033,1 sm e 101066,2 Exercício I. 4 r F R 19 Uma nave está sendo projetada para levar material até Marte que tem mRM 61040,3 e massa kgmM 231042,6 . O veículo explorador que deve pousar em Marte possui peso na Terra igual a N39200 . Calcule o peso e a aceleração desse veículo em Marte. (a) a uma altura de m6106 acima da superficie de Marte. (b) e sobre a superfície de Marte. Despreze os efeitos gravitacionais das Luas de Marte que são muito pequenas. Resposta: (a) 1940 N e 0,48 2/ sm ; (b) 15000 N e 3,7 2/ sm Exercício I. 5 (a) Um corpo de massa m é lançado verticalmente da Terra. Qual a velocidade mínima necessária para atingir uma altura igual ao raio da Terra? (b) Qual a velocidade de escape desse corpo? Despreze a resistência do ar, a rotação da Terra e a atração da Lua. mRT 61038,6 e kgM T 241097,5 . Resposta: (a) hkm /28400 e (b) hkm /40200 Exercício I. 6 Três esferas estão localizadas nos vértices de um triângulo retângulo de 045 . Determine a norma e a direção da força gravitacional resultante sobre a esfera menor exercida pela ação das duas esferas maiores. Resposta: Força de 111017,1 N e 06,14 em relação ao eixo x. Exercício I. 7 Pesquise para encontrar uma relação entre o peso aparente e o peso real de um corpo localizado na Terra. Exercício I. 8 Pesquise para descrever a ideia fundamental do conceito de buraco negro com base nos princípios da mecânica de Newton. Exercício I. 9 Pesquise e responda: Quando o centro de gravidade de um sistema de partículas coincide com seu centro de massa? Exercício I. 10 Uma barra homogênea de comprimento L e massa M, fina (sem espessura), está a uma distância h de uma partícula de massa m, ambas as massas localizadas na horizontal. Calcule a força gravitacional exercida pela barra sobre a partícula. Resposta: i Lhh GMmF )( . Exercício I. 11 20 Duas partículas cada uma de massa M estão fixadas sobre o eixo y, em y = b e y = - b. Encontre o campo gravitacional em um ponto p sobre o eixo x, a uma distância x a direita de x = 0. Resposta: i bx GMxg 2 322 )( 2 . Exercício I. 12 Um projétil é lançado verticalmente para cima da superfície da Terra com uma velocidade inicial de 15 km/s. Encontre a velocidade do projétil quando ele estiver ‘muito longe da Terra’, desprezando os efeitos do ar. Se ele tivesse inicialmente uma velocidade de 8 km/s, qual a atura máxima que ele atinge? Despreze novamente os efeitos do ar. Resposta: 10 km/s e 1,05 TR . Exercício I. 13 Uma esfera sólida de raio R e massa M é simetricamente esférica, mas não uniforme. Sua densidade ρ é proporcional à distância do centro da esfera, para Rr . Isto é, Cr para Rr e ρ = 0 para Rr , onde C é uma constante. (a) Encontre C. (b) Encontre o campo gravitacional para Rr . (c) Encontre o campo gravitacional em r = R/2. Resposta: (a) 4/ RMC , (b) 2/ rGMg , (c) 24/ RGM . Exercício I. 14 Pesquise sobre o fenômeno das marés em gravitação. 21 Unidade II - Oscilação 1. Situando a Temática O propósito desta unidade temática é o de introduzir algumas ideias sobre oscilação. Estudaremos o movimento harmônico simples, o oscilador harmônico simples, que pode ser modelado por um sistema acoplado massa- mola, a energia de um oscilador, o pêndulo simples e outros sistemas oscilantes, como por exemplo, o pêndulo físico. Também estudaremos as oscilações amortecidas e forças. A fig. II.1 mostra o gráfico de um sistema oscilante e uma engrenagem oscilante. 2. Problematizando a Temática Um dos assuntos de mais importância na física é aquele que estuda os fenômenos oscilantes. A oscilação está presente na natureza, como o movimento orbital de um planeta ao redor do Sol, o movimento de rotação de um CD em um computador, o movimento de vai e vem de um pistão em uma engrenagem de um automóvel, a vibração de uma corda em uma guitarra, o movimento vibratório de uma ponte ou edifício, etc. Quando estudamos em detalhes um sistema acoplado mola-massa, as equações matemáticas que se desenvolvem para descrever tal sistema são de grande importância, pois equações análogas são resgatadas na descrição de todos outros sistemas oscilantes. Dentre muitos problemas ligados a oscilação de um sistema físico, pode ser citado um problema prático que existir na mecânica de automóveis: as forças dos gases da combustão geram torque pulsante na árvore de manivelas e no volante, em regimes de baixas rotações, onde se podem detectar com mais evidência essas oscilações de torção. Essas oscilações são transmitidas através da embreagem ao sistema de transmissão do veículo. As engrenagens livres da transmissão recebem essas oscilações, gerando vibrações entre os dentes das engrenagens livres, resultando em ruídos em regimes de marcha lenta. A solução desse problema surge através de um sistema de amortecimento de molas e um volante bi-massa. Esse é um exemplo de oscilação ligada à indústria automobilística. Veja a fig. II.2 para ter uma ideia do problema. fig. II.1. Exemplos de oscilações e osciladores. 22 fig. II.2. Exemplo de um sistema oscilante na indústria automobilística. 3. Movimento Harmônico Simples O movimento de uma partícula ou de um sistema de partículas é periódico se ele é repetido em intervalos regulares de tempo. Um movimento periódico de vai e vem de um corpo é chamado de oscilação. Existem muitos movimentos dessa natureza como, por exemplo, o movimento de um pistão, de um pêndulo, de uma corda de guitarra, etc. Um movimento é dito movimento harmônico simples (MHS) se a posição como função do tempo tem a forma )cos( tAx eq. II.1 onde A, e são constantes. A quantidade A e chamada de amplitude do movimento, que é a distância entre o ponto médio (x = 0) e o ponto de retorno ( x = A ou x = -A); é a frequência angular, que está relacionado ao período do movimento, isto é, 2 T eq. II.2 Enquanto que a frequência do movimento, T 1 2 eq. II.3 A unidade de frequência é dada em ciclos por segundo e de frequência angular radianos por segundo. A unidade de frequência usualmente é o Hz (hertz): 1 hertz = 1 Hz = 1 ciclo por segundo. O argumento do cosseno, )2( t é chamado de fase e é dita fase constante. Essa constante determina em que tempo a partícula alcança o 23 ponto de deslocamento máximo. Isto é, 0max t ou maxt . O que nos mostra que a partícula alcança o ponto de deslocamento máximo em - / , antes de t = 0. Note que )]2/([)cos( tAsentAx , pode ser representado por uma função seno quando mudamos a fase constante. Por outro lado, tsenAsentAtAx )(cos)cos()cos( , expressando o MHS como uma superposição de funções senos e cossenos. Existe uma simples relação geométrica entre o MHS e MCU – movimento circular uniforme. Considere uma partícula movendo-se com uma velocidade angular sobre um círculo de raio A. Se em t = 0 a posição angular dela é , então a posição angular num tempo depois é t , as coordenadas do ponto do círculo são )cos( tAx e )2/cos()( tAtAseny , donde vemos que xe y possuem MHS. 4. O Oscilador Harmônico Simples O Oscilador Harmônico Simples consiste de uma massa acoplada uma mola de massa ideal que obedece a lei de Hooke. fig. II-3. Deslocamento de uma massa ligada a uma mola de acordo com a lei de Hooke. Usando a segunda lei de Newton obtemos a equação de movimento da massa do sistema acoplado massa-mola kx dt xdm 2 2 eq. II.4 Podemos resolver essa equação através de equações diferenciais, mas vamos deixar para um curso de mecânica geral esses cálculos. Sabemos que, dadas as condições iniciais de eq. II.4, podemos garantir a existência da solução da equação e, nesse caso, determinar o movimento. 24 Da eq. II.1 calculando-se a primeira e segunda derivadas com relação ao tempo obtemos x dt xdm 22 2 eq. II.5 Assim comparando eq. II.4 e eq. II.5 concluímos que o movimento massa- mola é um MHS com uma frequência angular m k eq. II.6 Para as condições iniciais, t = 0, teremos, a velocidade 0vv e a posição 0xx , onde cos0 Ax e Asenm kv 0 . Daí e do fato do sistema massa-mola ser um MHS )()cos()cos( 00 tm ksen k mvt m kxt m kAx eq. II.7 que expressa o movimento em termos das condições iniciais. 5. Energia do Oscilador A energia cinética de uma massa m em um MHS é: K = 2 2 1 mv , 1 2[ ( )] 2 1 12 2 2 2 2( ) ( ) 2 2 K m A sen t mA sen t kA sen t eq. II.8 Enquanto a energia potencial associada à força restauradora da mola, que é conservativa, é )(cos 2 1)]cos([ 2 1 2 1 2222 tkAtAkkxU eq. II.9 O valor máximo para K e U é igual a 2 2 1 kA e o valor mínimo é 0. Quando x = 0, K é máxima pois a velocidade é máxima nesse ponto, enquanto U = 0. Quando a massa alcança o ponto de retorno K = 0 e U é máxima, isto para um deslocamento máximo. Como a força é conservativa, E = K + U é uma constante de movimento. Note que podemos ver facilmente 2 2 1 kAE eq. II.10 25 fig. II. 4. Curva de potencial do MHS como função de x Note que o deslocamento máximo e velocidade máxima podem ser dados em termos de E k EAx 2max e m Ev 2max eq. II.11 Vamos analisar a curva de potencial para um MHS 2 2 1 kxU que podemos ver no gráfico ao lado: Note que os valores máximos para os deslocamentos dependem do valor de E mostrado no gráfico como o nível de energia. Aumentando-se a altura do nível de energia a amplitude de oscilação aumenta, visto que a distância entre os pontos de retorno aumenta. 6. Pêndulo Simples O pêndulo simples consiste de uma partícula sustentada por um fio inextensível de massa desprezível. Ele oscila em torno da posição de equilíbrio, como podemos ver na fig. II.5. Como a partícula e o fio estão dispostos como uma unidade rígida, o movimento pode ser considerado como uma rotação em torno de um eixo localizado no ponto de suspensão, então 2 2 2 2 I mgLsen dmL mgLsen mL dt 2 2 dt dLgsen eq. II.11 Para pequenas oscilações do pêndulo, sen (isto pode ser entendido através da série de Taylor para função senf )( sobre o ponto 0 ) a eq. II.11 torna-se, 2 2 dt dLg eq. II.12 Veja que esta equação tem a mesma forma da eq. II.4 e, dessa forma, é um MHS, isto é, )cos( tA eq. II.13 fig. II.5. Diagrama de um pêndulo simples. 26 com frequência angular de um pêndulo simples igual a Lg / . Enquanto o período é dado por gLT /2/2 . Notemos que o período somente depende do comprimento do fio e da aceleração da gravidade e não da massa da partícula e amplitude de oscilação. A energia de cinética pode ser vista como, 2222 )]([ 2 1][ 2 1 2 1 tAsenmL dt dIIK )( 2 1 22 tsenmgLAK eq. II.14 A energia potencial é simplesmente a energia potencial gravitacional, )cos1()cos( mgLLLmgmghU , mas se é suficiente pequeno, levando em conta uma aproximação através da série de Taylor para função cos)( f sobre o ponto 0 , 2 2 11cos , portanto a energia potencial 2 2 1 mgLU )(cos 2 1 22 tmgLAU eq. II.15 Notemos que . 2 1 2 constmgLAUKE . Assim E é uma constante de movimento. 7. Pêndulo Físico e Pêndulo de Torção Nós vimos na secção anterior que o pêndulo simples comporta-se como um MHS para pequenas amplitudes de oscilação, próximas à posição de equilíbrio. Muitos outros sistemas físicos comportam-se dessa forma. Isto é, a força efetiva é usualmente proporcional ao deslocamento. Vejamos isto através da série de Taylor para uma F = F(x), onde x é o deslocamento. ... 2 1)0()( 2 0 2 2 0 x dx Fdx dx dFFxF xx eq. II.16 Se o movimento é em três dimensões cada componente da força tem um desenvolvimento de Taylor semelhante nas respectivas direções. Podemos ter x = quando o deslocamento for angular. Para x = 0, no ponto de equilíbrio, F(0) = 0 e se o deslocamento é suficientemente pequeno os termos de ordem superior ou igual a dois podem ser desprezados quando comparados aos de primeira ordem. Assim, x dx dFxF x 0 )( eq. II.17 27 Se tivermos kxxF )( , onde 0 xdx dFk vemos que a lei de Hooke é uma aproximação geral que descreve forças para pontos próximos ao de equilíbrio. É fácil ver, analisando a derivada de F com relação a x, que podemos verificar que teremos um equilíbrio estável quando 0k (a força é restauradora), equilíbrio instável quando 0k (a força é repulsiva), enquanto x = 0 teremos um equilíbrio neutro. Um pêndulo físico consiste de um corpo sólido que está suspenso por um eixo. Sob a influência da gravidade, o corpo tem um movimento de vai e vem. Podemos ver na fig. II.6 o diagrama de um pêndulo físico. A equação de movimento é aquela para um corpo rígido, 2 2 dt dII , por um lado MgLsen e assim obtemos a equação de movimento para oscilações suficientemente pequenas, 2 2 dt dIMLg eq. II.18 A solução dessa equação representa um MHS com frequência IMgL / . O pêndulo de torção é muito parecido com o pêndulo físico, entretanto a força de restituição (peso) é substituída por um tipo de mola espiral. Sob a suposição que o deslocamento do pêndulo de torção da posição de equilíbrio seja suficientemente pequeno, o torque é proporcional ao deslocamento angular eq. II.19 onde é a constante de torção da mola ou fibra, com unidades Nm/rad. A equação de movimento do corpo rígido é 2 2 dt dI eq. II.20 Que é novamente a equação de um oscilador que possui MHS, cuja frequência é dada por I/ . Podemos ver exemplos de pêndulos de torção na figura ao lado. 8. Oscilações Amortecidas e Oscilações Forçadas Em um oscilador real, digamos um pêndulo, existem forças externas, por exemplo forças de atrito. Se o pêndulo começa a se movimentar com uma amplitude ao longo do tempo essa amplitude diminui. fig. II.6. Diagrama de um pêndulo físico. 28 A fig. II.8 mostra o deslocamento de umoscilador com atrito. O movimento resultante é chamado de movimento harmônico amortecido. Esse movimento pode ser representado pela função )cos( _ )2/( 0 teAx tmb eq. II.21 quando a força de amortecimento bv é suficientemente pequena e x é solução da equação diferencial, 2 2 dt xdm dt dxbkx , onde 22 _ 4// mbmk na eq. II.21. Quando kmb 2 em _ , teremos um amortecimento crítico, o sistema não oscila mais, retornando para sua posição de equilíbrio sem oscilar. kmb 2 corresponde a um superamortecimento. O sistema não mais oscila também mas volta para posição de equilíbrio mais devagar do que o caso anterior. Enquanto para kmb 2 o sistema oscila com uma amplitude que diminui continuamente. Essa condição denomina-se de subamortecimento. Um amortecedor de carro é um exemplo de oscilador amortecido, bem como um dispositivo usado nas raquetes de tênis que diminui as vibrações. Nas oscilações amortecidas, a força de amortecimento não é conservativa, a energia mecânica não é constante e diminui tendendo a zero ao passar o tempo. Vamos deduzir a taxa de variação da energia. Temos que dt dxkx dt dvmv dt dEkxmvE 22 2 1 2 1 como 2 2 dt xdm dt dxbkx 2bv dt dE eq. II.22 Podemos manter constante a amplitude das oscilações amortecidas se fornecemos ao sistema um empurrão no final de cada ciclo. Esta força adicional é chamada de força propulsora. Quando aplicamos uma força propulsora variando periodicamente com a um oscilador harmônico amortecido, o movimento resultante é uma oscilação forçada. A frequência da oscilação da massa é igual a frequência da força propulsora . Veja que . _ O caso mais simples é aquele em que a força propulsora é senoidal, isto é, tsenFtF max)( . Novamente não vamos resolver a equação diferencial, deixado para outro fig. II.8. Linha de universo de uma partícula com movimento harmônico amortecido. fig. II.9. Exemplos de osciladores amortecidos 29 curso. A expressão da amplitude de um oscilador forçado em função de é 222 max )( wbmk FA . Quando mk / em 2mk = 0, maxAA . Quando a amplitude correspondente à oscilação forçada está próxima da frequência da oscilação natural do sistema, essa amplitude atinge um pico, dizemos que ocorreu o fenômeno da ressonância. A ressonância de um sistema mecânico pode ser destrutiva. Em projetos da aviação e de engenharia este conceito é fundamental. O tratamento matemático da ressonância é deixado para um curso de mecânica geral. Exercícios Resolvidos Exemplo II. 1 Uma espécie de altofalante usado para diagnóstico médico, oscila com uma frequência de MHz7,6 . Quanto dura uma oscilação e qual é a frequência angular? Solução: O período T é dado por s Hz T 76 105,1107,6 11 . Por outro lado sabemos que )(/2(2 ciclorad 6107,6 ciclos/s) = 7102,4 rad/s. Exemplo II. 2 Em um sistema acoplado verificamos que ao puxarmos a mola por um dinamômetro da esquerda para direita com uma força de 6 N, este produz um deslocamento de 0,030 m. A seguir removemos o dinamômetro e colocamos uma massa de 0,50 kg em seu lugar. Puxamos a massa a uma distância de 0,020 m e observamos o MHS resultante. Calcule a constante da mola. Calcule a frequencia, frequencia angular e o período da oscilação. Solução: A força restauradora da mola é -6,0 N, assim mN x Fk /200 030,0 6 . A frequência 20 m k rad/s. A frequência angular é Hzsciclos ciclorad srad 2,3/2,3 /2 /20 2 . O período ciclosT /31,01 ou simplesmente 0,31 s. Exemplo II. 3 No exemplo anterior coloque m = 0,50 kg, um deslocamento inicial de 0,015 m e uma velocidade inicial 0,40 m/s. Calcule o período, a amplitude e o ângulo de fase do movimento. Escreva as equações para o deslocamento, a velocidade e a aceleração em função do tempo. 30 Solução: O período é o mesmo pois, para um MHS, este somente depende da massa e de k . A amplitude m v xA 025,0)( 2 1 2 2 02 0 . O ângulo de fase é calculado por tg x v 0 0 rad93,053 . Agora teremos )cos( tAx = 0,025cos(20t-0,93); )93,020(50,0)( tsentAsenv ; ).93,020cos(10)cos(2 ttAa Exemplo II. 4 Na oscilação do ex.II.2 coloque x = 0,020 m. Ache a velocidade máxima e mínima atingidas pela massa que oscila. Ache também a aceleração máxima. Calcule a velocidade e a aceleração quando a massa está na metade da distância entre o ponto de equilíbrio e seu afastamento máximo. Qual a energia total, a potencial e a energia cinética nesse ponto? Solução: Da eq. II.10 podemos expressar 22 xA m kv . A velocidade máxima acontece quando x = 0 passando a massa da esquerda para direita e assim v = +0,40 m/s. Enquanto a velocidade mínima acontece quando x = 0 passando a massa da direita para esquerda, v = -0,40 m/s. Temos que x m ka . A aceleração máxima se dará para x = -A. Logo a = +8 2/ sm . A aceleração mínima ocorre em x = +A e assim, a = 2/8 sm . Para 2/Ax , smv /35,0 e 4a m/s. A energia total será dada por eq. II.10, E = 0,040J. Enquanto JkxU 010,0 2 1 2 e .030,0 2 1 2 JmvK Exemplo II. 5 Um bloco de massa M preso a uma mola de constante k descreve um MHS na horizontal com uma amplitude 1A . No instante em o bloco passa na posição de equilíbrio, uma massa m cai verticalmente sobre o bloco de uma pequena altura. Calcule a nova amplitude e o período do movimento. Solução: Note que o movimento está dependo da posição e assim usamos o método da energia. Antes da massa cair E = const.. Quando ela cai a colisão é totalmente inelástica, a energia diminui, voltando a ser constante depois da colisão. Antes da colisão: 111 2 11 2 1 2 10 A M kvkAMvE . Enquanto o momentum linear é .01 Mv Durante a colisão existe conservação do momentum linear do sistema massa-bloco. A colisão dura muito pouco tempo, de forma que a massa e o bloco se encontram em 31 x = 0. Note que U = 0 e que temos somente K, porém menor do que K antes da colisão. Depois da colisão: O momentum linear é 2)( vmM e pela lei de conservação de momentum linear 21 )( vmMMv , de onde podemos obter 2v e obtermos, 1 2 1 2 2 22 2 1)( 2 1 E mM Mv mM MvmME . Na verdade podemos dizer que a energia cinética perdida é usada para elevar a temperatura do bloco. Como mM MAAkAE 1222 2 1 . O cálculo do período é k MmT 2 . Veja que a amplitude tornou-se maior e o período menor. Exemplo II. 6 Os amortecedores de um carro velho de 1000 kg estão completamente gastos. Quando uma pessoa de 980 N sobe lentamente no centro de gravidade do carro, ele baixa 2,8 cm. Quando essa pessoa está dentro do carro durante uma colisão com um buraco, o carro oscila verticalmente com MHS. Modelando o carro e a pessoa como uma única massa apoiada sobre uma única mola, calcule o período e a frequência da oscilação. Solução: A constante da mola é 4105,3 028,0 980 x Fk . A massa da pessoa é kggP 100/ . A massa total que oscila é m=1100 Kg. O período s k mT 11,12 . Enquanto a frequência é Hz90,0 . Exemplo II. 7 Suponha que o corpo de um pêndulo físico seja uma barra de comprimento L suspensa em uma de suas extremidades. Calcule o período de seu movimento oscilatório. Solução: O momento de inércia de uma barra em relação a um eixo passando em sua extremidade é 2 3 1 MLI . A distância entre o eixo de rotaçãoe o centro de massa é L/2. Para este pêndulo físico, g L g L MgL IT 2 3 2 3 22 2/ 2 . Note que o período desse pêndulo físico é 3 2 do período de um pêndulo simples. 32 Exercícios Propostos Exercício II. 1 Uma massa de 400 kg está se movendo ao longo do eixo x sob a influência da força de uma mola com mNk /105,3 4 . Não existem outras forças agindo na massa. O ponto de equilíbrio é em x = 0. Suponha que em t = 0 a massa está em x = 0 e tem velocidade de 2,4 m/s na direção positiva. Qual a frequência de oscilação, qual a amplitude e onde a massa estará em t = 0,60 s? Resposta: 1,5 Hz; 0,26 m; -0,16 m. Exercício II. 2 Uma massa m está pendurada vertivalmente acoplada a uma mola de constante k. Encontre a equação de movimento, quando levamos em conta a força da gravidade. Resposta: kmgtAx /)cos( . Exercício II. 3 Uma molécula de hidrogênio ( 2H ) pode ser considerada um sistema de duas massas ligadas por uma mola. O centro da mola, ou seja, o centro de massa do sistema pode ser considerado fixo e assim a molécula consiste de dois osciladores vibrando em direções opostas. A constante da mola é mN /1013,1 3 e a massa de cada H é kg271067,1 . Suponha que a energia de vibração da molécula é J19103,1 . Encontre a amplitude da oscilação e a velocidade máxima. Resposta: m11101,1 e sm /108,8 3 . Exercício II. 4 Qual é o comprimento do pêndulo em um lugar cuja gravidade 2/81,9 smg ? O pêndulo tem um período de exatamente 2 s , onde cada balanço leva 1 s. Resposta: 0,994 m. Exercício II. 5 Um pêndulo físico consiste de uma esfera uniforme de massa M e raio R suspensa por um cabo com massa desprezível e comprimento L. Levando em conta o tamanho da bola, qual é o período de ‘pequenas’ oscilações desse pêndulo? Resposta: 2 ( ) 2 2 2( ) 5 g R L R R L Exercício II. 6 O haltere da balança de Cavendish consiste de duas massas iguais de 0,025 kg conectadas por uma barra com massa desprezível e de comprimento 0,40 m. Quando o conjunto se movimenta, a balança gira para frente e para trás com um período de 3,8 minutos. Encontre o valor da constante de torção. Resposta: radmN /.1052,1 6 . 33 Unidade III - Ondas 1. Situando a Temática Nesta unidade temática daremos algumas ideias do fenômeno ondulatório e sua introdução como modelo matemático, especialmente em uma corda. Estudaremos os conceitos básicos como ondas transversais, longitudinais, pulsos de onda, função de onda geral, ondas em uma corda, energia de uma onda, superposição de ondas e ondas estacionárias. Nesta unidade e na próxima estudaremos as ondas mecânicas que são perturbações que se propagam em um meio. Porém na natureza não temos apenas ondas mecânicas, temos as ondas eletromagnéticas que não necessitam de meio para se propagar. Ainda existem outros fenômenos ondulatórios associados ao comportamento das partículas atômicas e subatômicas, ligados aos fundamentos da mecânica quântica. 2. Problematizando a Temática Quando estudamos o movimento de rotação de um corpo rígido, as partículas que o compõe não se movem umas com relação as outras. Diferentemente para um corpo deformável como o ar, água, cordas, sólidos elásticos, podemos estudar o movimento ondulatório desse corpo, isto é, um movimento coletivo de partículas em um corpo, mas aqui as partículas se movem relativamente umas com relação as outras e elas exercem forças, que dependem do tempo, umas contra as outras. 3. Pulsos de Onda Considere uma corda elástica como um sistema de partículas que está submetida a uma perturbação em um de seus pontos. O movimento é fig. III.1. Exemplos de ondas. 34 transmitido de uma partícula a outra e a perturbação se propaga ao longo das linhas das partículas. Tal perturbação é chamada de pulso de onda. Dependendo da direção da perturbação, ela pode ser chamada de onda transversal ou onda longitudinal, como podemos distinguir na fig. III.2. 4. Ondas Viajando Considere um pulso de onda transversal, como na fig. III.3, viajando ao longo de uma corda com uma velocidade v. Suponha que a forma do pulso permanece constante. Para um tempo t = 0, a forma da onda representa uma função y = f(x). Em um tempo t > 0, um tempo depois, y = f(x - vt). Note que, se a onda viaja no sentido contrário de x, y = f(x + vt), para um tempo t > 0. No caso especial de ondas harmônicas, isto é, que em t = 0, a forma da onda é uma função seno ou cosseno. Temos kxAy cos eq. III.1 para t = 0, onde A é chamada a amplitude da onda, k é o número de onda, não confunda com a constante de uma mola. As cristas da onda ocorrem em kx = 0, 2π, 4π, ...Os valores mínimos de y são chamados de vales da onda que ocorrem em kx = π, 3π, 5π, ...A distância de uma crista a outra é chamado comprimento de onda k 2 eq. III.2 A onda pode ser descrita pelas seguintes expressões, viajando na direção positiva de x ou negativa de x. Isto é, )(cos vtxkAy e )(cos vtxkAy eq. III.3 O período da onda é o tempo de sua viagem correspondente a , vT / eq. III.4 enquanto a frequência da onda é fig. III.2. Exemplos de propagação de uma onda longitudinal na primeira figura e onda transversal na segunda figura. fig. III-3. Pulso de onda em t = 0 e em t = x/v > 0, o pico viajou uma distância vt. 35 Fig. III.5. Forças que atuam no segmento L da corda, onde F é a resultante. /vf eq. III.5 A frequência angular é dada por kvf 2 Agora teremos a função de onda, )cos(]2)/2cos[( tkxAvtxAy eq. III.6 5. Velocidade de Onda em uma Corda A velocidade de uma onda depende da característica do meio e, às vezes, de . Vamos mostrar a velocidade de uma onda numa corda. Considere uma corda como na fig. III.4. A tensão na corda é 1F e sua densidade é d kg/m, vamos assumir a amplitude da onda muito pequena, comparada ao tamanho da corda. Desta forma podemos dizer também que 1F = const. já que a perturbação é muito pequena. Nosso sistema de referência está se movendo para direita com velocidade do pulso. Nesse sistema, o pulso está em repouso e a corda viaja para esquerda. Cada segmento da curva viaja ao longo de um caminho tal como o pulso. Tome L da corda ao redor do caminho curvo, muito pequeno, para um muito pequeno do círculo. Note que 1 F + 2 F = F = centripetaF , tal que RLvdF /2 , por outro lado a norma de F é 1F . Temos que LR , assim a velocidade de uma onda transversal é d Fv 1 eq. III.7 Observe que, como a velocidade da onda é independente da forma, podemos pensar uma onda harmônica como uma sucessão de pulsos negativos e positivos. Se os pulsos têm mesma velocidade, todas ondas harmônicas sobre a corda tem mesma velocidade, independente do comprimento de onda. Apesar de nosso exemplo ser uma corda, o calculo da velocidade é geral. A velocidade de onda depende da força de restituição e da inércia do meio. Porém a velocidade depende da forma na maioria dos tipos de onda e assim os pulsos se tornam rasos. Um meio que proporciona fig. III.4. Uma corda inicialmente esticada e bem ajustada entre dois pontos fixos, com tensão 1F , depois um pulso é aplicado adquirindo uma velocidade v. 36 fig. III.6. Pedaço ‘pequeno’ da corda entre x e x+dx. isto é chamado de meio dispersivo. Em contraste, para o caso de ondas harmônicas sobre uma corda, essas ondasem meio dispersivo não podem ser considerados como simplesmente uma sucessão de pulsos, pois os pulsos mudam sua forma, enquanto as ondas harmônicas não. Então nós chamaremos a velocidade do pico de um pulso de onda de velocidade de grupo, enquanto a velocidade de uma onda harmônica a velocidade de fase. 6. Energia em uma Onda Uma onda transversal em uma corda tem energia cinética, pois as partículas estão em movimento e por outro lado tem energia potencial porque um trabalho é preciso para esticar a corda. Considere um intervalo dx e a densidade de massa da corda para esse intervalo dx , assim 2)()( 2 1 dt dydxdK eq. III.8 é a energia cinética desse pedaço de corda, onde dt dy é sua velocidade. Note que quando a onda passa em dx a corda estica mais com um comprimento aproximado de 22 dydx , a corda perturbada e invadindo a dimensão y. Então a mudança de comprimento da corda é, dxdydxL 22 ou ]1)( 2 11[]1)(1[ 22 dx dydx dx dydxL dx dx dyL 2)( 2 1 , para dx dy suficientemente pequeno. A energia potencial dx dx dyFLFdU 2)( 2 1 eq. III.9 onde F é a força de tensão para esticar a corda e dU é a energia associada ao intervalo dx interpretada como o trabalho que deve ser feito contra a F. A energia total associada a dx é dx x yFdx t ydUdKdE 22 )( 2 1)( 2 1 , enquanto a densidade de energia da onda 22 )( 2 1)( 2 1 x yF t y dx dE eq. III.10 Tem-se uma onda harmônica, 37 )(])[( 2 1 2222 tkxsenAFk dx dE , em virtude de kv e Fv )(222 tkxsenA dx dE eq. III.11 A energia deve viajar com uma onda de velocidade v , então para dx: v dxdt é o tempo de mover esse intervalo. Assim, para uma onda harmônica, a potência transportada de uma onda é )(222 tkxsenAv dx dEv dt dEP eq. III.12 7. A Superposição de Ondas Muitos tipos de ondas obedecem ao princípio de superposição, isto é, quando duas ou mais ondas se propagam, esta propagação é independente, ou seja, uma onda se propaga como se nenhuma outra onda a perturbasse. Muito embora, se uma onda de som é muito forte, o princípio da superposição não vale mais, assim como ondas de choque. Aqui não devemos nos preocupar com esse tipo de ondas e assim o princípio da superposição continua valendo. Como primeiro exemplo, vamos considerar duas ondas propagando- se em uma mesma direção com mesma frequência e amplitude, mas fases diferentes, como ondas em uma corda, no ar, na superfície da água. As funções de onda são, )cos(1 tkxAy e )cos(2 tkxAy , pelo princípio da superposição 21 yyy e usando uma identidade trigonométrica, 2 1cos) 2 1cos(2 tkxAy . Se 0 , as ondas estão em fase, elas encontram crista com crista e vale com vale. Isto é uma interferência construtiva. Enquanto se , as cristas das ondas se encontram com vales e a interferência é destrutiva, neste caso y = 0. Se duas ondas tem amplitudes diferentes suas interferências destrutivas não darão um cancelamento total das ondas. Um outro exemplo de superposição é quando consideramos frequências diferentes, )cos( 111 txkAy e )cos( 222 txkAy , teremos )cos(])( 2 1cos[2 _ 21 xkxkAyyy , para t = 0, 21 kkk e 38 fig. III.7. Ondas de frequências diferentes. fig. III.8. O gráfico mostra uma superposição de ondas dando uma amplitude modulada. )( 2 1 21 _ kkk . Se k << _ k a onda y pode ser interpretada como uma onda cujo número de onda é _ k e amplitude ])( 2 1cos[2 xkA , sua amplitude variando devagar com a posição. Essa amplitude é chamada de amplitude modulada. Veja a figura mostrando a superposição resultante de ondas com e diferentes. Ao passar o tempo, o padrão dessa fig. III.8 se move para direita com velocidade de onda. Isto evolui para o fenômeno dos batimentos. Isto é o fenômeno da amplitude baixar e subir. A frequência de tais pulsos é dita frequência de batimento. O intervalo de tempo entre esses batimentos é kvvxt /2/ e a frequência de batimento é 21 21 222 1 fffvkvkkv t f batimento . Pela superposição de ondas harmônicas de diferentes amplitudes e freqüências, nós construímos formas de ondas complicadas. De fato, pode-se mostrar que qualquer onda periódica pode ser construída pela superposição de um número suficientemente grande de ondas harmônicas senoidais e cossenoidais. Chamamos este resultado de teorema de Fourier. Para fazermos essa composição usamos as séries de Fourier que poderemos ver em um curso mais avançado. 8. Ondas Estacionárias Vamos considerar a superposição de duas ondas com mesmas frequências e amplitudes, mas propagando-se em direções opostas. As funções de onda e sua resultante são )cos(1 tkxAy e )cos(2 tkxAy e tkxAyyy coscos221 eq. III.13 y descrevendo uma onda estacionária. Essa onda viaja nem para direita nem para esquerda, seus picos permanecem fixos enquanto toda a onda cresce e decresce em harmonia. Se y acima representa o movimento de uma corda, então cada partícula da corda executa um MHS. Entretanto, em contraste ao caso de onda viajante, onde a amplitude de oscilação de cada partícula é a mesma, a amplitude de oscilação agora depende da posição com valor kxAcos em uma posição x. Posições onde a amplitude de oscilação é máxima são: ,...2,,0 kx , onde /2k ,2/3,,2/,0 x ..... Os máximos são devidos a interferência construtiva entre as ondas. Da mesma forma para 39 amplitude zero: , 2 3, 2 kx ..., ou ,...,4/3,4/ x os mínimos são devido a interferência destrutiva entre as ondas. Os mínimos de ondas estacionárias são chamados de nodos e os máximos de antinodos. Estamos supondo até agora que uma corda é um objeto longo sem pontos finais. Existe uma condição de contorno, nos pontos extremos da corda. A deformação y deve ser zero nesses pontos em todos os tempos. Isto impõe sérias restrições sobre as ondas que podem ser geradas na corda. Note que ondas estacionárias com nodos nos extremos satisfazem essa condição de contorno. Podemos ver um exemplo a seguir: )cos()(1 vtl x l Aseny , )2cos()2(2 vtl x l Aseny e )3cos()3(3 vtl x l Aseny , onde correspondem respectivamente os gráficos da fig. III.9, Esses possíveis movimentos da corda são ditos modos normais. Os comprimentos de onda desses modos são: 2l, l, ,... 3 2 l Enquanto as frequências desses modos: l v 2 , l v , ..... 2 3 l v Essas frequências são chamadas também de frequências normais, próprias ou autofrequências que, em geral, são escritas como, l nvf 2 , n = 1, 2, 3, .... mostrando que todas as autofrequências são múltiplos da frequência fundamental lv 2/ . Em geral, qualquer movimento da corda será alguma superposição de vários modos normais, dependentes de como o movimento começou. Um exemplo de modos normais de uma corda fixa nos extremos se assemelha a uma barra numa mesma condição, como em uma ponte. Exercícios Resolvidos Exemplo III. 1 Uma corda esticada e presa em uma das extremidades sofre uma oscilação senoidal na extremidade que não está presa com uma amplitude de 0,075 m, e uma frequência de 2 Hz. A velocidade da onda é 12 m/s. No instante t = 0 a extremidade possui um deslocamento nulo e começa a mover no sentido +y. Suponha que nenhuma onda seja refletida na extremidade presa. Achea amplitude, frequência angular, período, comprimento, e número de onda. Escreva uma função de onda. Escreva equações fig. III.9. Modo fundamental(G1), primeiro modo harmônico(G2), segundo modo harmônico(G3). 40 para o deslocamento em função do tempo na extremidade da corda que é dado o pulso em um ponto situado a 3 m desta extremidade. Solução: A amplitude é aquela dada no problema, A = 0,075 m. A frequencia angular é sradsciclosciclorradf /6,12/2/22 . O período é .5,0/1 sfT O comprimento de onda, mfv 6/ . O número de onda, mradk /05,1/2 ou mradvk /05,1/ . Coloque x = 0 onde se encontra a extremidade do pulso no sentido +x. A função de onda é, )()(2),( kxtAsenx T tAsentxyy . Agora para x = 0: )(),0( tAsentyy e para x = 3 m: )3(),3( ktAsentyy . Exemplo III. 2 No exemplo anterior a densidade da corda é 0,250 kg/m. Qual é a tensão na extremidade do pulso da corda para que a velocidade da onda observada seja igual a 12 m/s? Solução: NdvF d Fv 362 . Exemplo III. 3 Uma das extremidades de uma corda está presa a um suporte fixo no topo de um poço vertical de uma mina com profundidade igual a 80 m. A corda fica esticada pela ação do peso de uma caixa com massa igual a 20 kg presa na extremidade inferior da corda. Um geólogo no fundo da mina balança a corda enviando um sinal lá em cima. Qual é a velocidade da onda transversal propagada na corda? Sabendo que um ponto da corda executa um MHS com frequência igual a 2 Hz, qual é o comprimento de onda? Solução: Despreze a variação da tensão devido ao peso da corda. A tensão F na corda é produzido pelo peso da caixa. Então NmgF 196 . A densidade é dada por d Fvkg l md 0250,0 . Por outro lado m s sm f v 3,44 2 /5,88 1 . Exemplo III. 4 No exemplo III. 1 qual é a taxa de transferência de energia máxima que o pulso fornece para a corda? Ou seja, qual a potência instantânea máxima? E a média? Solução: dtkxsenAv dx dEv dt dEP )(222 a potência máxima é .22 dAv A potência média é a metade da máxima. 41 Exemplo III. 5 Deduza a equação da onda em uma corda para deformações suficientemente pequenas em um ‘pequeno’ segmento da corda. Solução: A fig. III.10 mostra um segmento de corda esticada. Vamos considerar pequenos deslocamentos verticais. O segmento mede x e sua massa xdm , onde d é massa por unidade de comprimento. O segmento se move verticalmente na direção y e a força de tensão resultante nessa direção é, 12 FsenFsenFRy . Como é muito pequeno, tgsen e assim 12 FtgFtgFRy . Veja que a tangente do ângulo feita pela corda com a horizontal é a deformação (declive) da curva formada pela corda. Isto é, x ytg , onde ),( txyy . Então )( 12 FFRy . Teremos )( 12 como a variação de declives nos extremos do segmento. Usando a segunda lei de Newton, 2 2 2 2 t yd x F t yxdF . No limite ,0x portanto 2 2 0 lim x y x y xxxx . Usando a expressão da velocidade da onda obtemos a equação da onda: 2 2 22 2 1 t y vx y eq. III. 14 Exercícios Propostos Exercício III. 1 A tensão em uma corda é fornecida por um objeto pendurado de massa 3 kg como mostra a figura abaixo. O comprimento da corda é l = 2,5 m e sua massa m = 50 g. Qual é a velocidade das ondas sobre a corda? Resposta: 38,3 m/s fig. III.10. Segmento de uma corda 42 Exercício III. 2 Mostre que a função do tipo )(),( vtxytxy satisfaz a equação de onda. Em particular verifique para a função de onda ).(),( tkxAsentxy Resposta: Observe a eq. III.14. Exercício III. 3 Uma onda é descrita por )6285,0(002,0 txseny . Determine a amplitude, frequência, período, comprimento de onda e velocidade da onda. Resposta: 0,002 m; 100 Hz; 0,01 s; 12,6 m; 1260 m/s. Exercício III. 4 Uma corda de densidade linear 480 g/m está sob uma tensão de 48 N. Uma onda de frequencia 200 Hz e amplitude 4 mm viaja na corda. Qual a taxa média de transporte de energia da onda? Resposta: 61 W. Exercício III. 5 A função de onda para uma onda harmônica sobre uma corda é ).5,32,2()03,0(),( 11 tsxmsenmtxy Para qual direção a onda viaja? Qual é sua velocidade? Encontre o comprimento de onda, frequência, período dessa onda. Qual o deslocamento máximo de qualquer segmento dessa corda? Qual a velocidade máxima de qualquer segmento? Resposta: Para direita, max 2,86 , 1,59 / , 0,557 , 1,80 , 0,03 , 0,105 / m v m s f Hz T s A m v m s Exercício III. 6 Considere duas ondas viajando em direções opostas e suas funções de onda )(1 tkxAseny e )(2 tkxAseny . Mostre que a soma dessas ondas é uma onda estacionária. Uma onda estacionária sobre uma corda que está fixa nos extremos é dada por )480cos()3,52(024,0),( txsentxy , daí encontre a velocidade da onda e a distância entre os dois nodos. Resposta: smv /18,9 e a distância 6 cm. 43 fig. IV.2 Ondas sonoras provocadas por um diapasão. Unidade IV - Ondas de Som 1. Situando a Temática Nesta unidade temática daremos algumas ideias de fenômenos ondulatórios mais específicos como a propagação desses fenômenos em duas e três dimensões, tais como: ondas sonoras no ar. Em outro curso pode-se ver a propagação de ondas de luz em um meio transparente e no vácuo. Todas essas ondas podem ser descritas graficamente por suas frentes de onda, ou seja, os locais das cristas da onda em um dado instante de tempo. De todas as ondas mecânicas da natureza, em nosso cotidiano, as m ais importantes são as ondas longitudinais que se propagam em um meio, como por exemplo, as ondas sonoras percebidas pelo ouvido humano num certo limite de frequência. Quando o tempo passa, as frentes de onda se dispersam para longe da fonte. Essa dispersão é uma característica da propagação das ondas em duas e três dimensões. Isto significa que a intensidade da onda decresce quando a frente de onda cresce em tamanho. Podemos tomar como exemplo as ondas sonoras provocadas por um diapasão. 2. Problematizando a Temática Nesta unidade discutiremos as diversas propriedades das ondas sonoras, não apenas em termos de deslocamentos, mas sim em termos de flutuações de pressão de um meio. Estudaremos as relações entre deslocamento, flutuações de pressão e intensidade e ainda algumas propriedades como interferência entre dois sons. Estudaremos também um fenômeno ondulatório chamado efeito Doppler que trata do movimento da fonte, por exemplo, sonora ou de um ouvinte se movendo no ar. Sem dúvida existe uma grande importância em estudarmos as ondas longitudinais, tais como a onda sonora, em instrumentos musicais, em aplicações tecnológicas voltadas para medicina, etc. fig. IV.1. Ondas sonoras recebidas pelo ouvido e cérebro humano. 44 3. Elasticidade Materiais reais não são perfeitamente rígidos, quando sujeitos a uma força eles deformam. Quando uma substância deforma, sujeita a uma força, mas retorna a sua forma inicial quando removemos a força, a substância é dita elástica. Considere um cilindro de um material de tamanho L e seção transversal de área A. Se uma força F é aplicada alo longo do eixo do cilindro e isso causa uma mudança no comprimento L do cilindro, então nós definimos a tensão de dilatação e a deformação de dilatação como: A Fdilataçãotensão L Ldilataçãodeformação
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