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10/08/2017 Lógica Matemática Professor Fabriccio Dias Canhete E-mail: fabricciocanhete@yahoo.com.br Goiânia, Agosto de 2017 Curso: Ciência da Computação Conteúdo programático • Módulo 1: • Apresentação do conteúdo programático. Bibliografia. • Introdução: panorama histórico da disciplina; Matemática como Ciência Dedutiva. Implicações, possibilidades de diversas “lógicas”. • Módulo 2: • Cálculo Proposicional: tratamento intuitivo. • Argumento e Premissas; • Proposições e conectivos. 2 10/08/2017 Conteúdo programático 3 • Módulo 3: • Operações Lógicas (Negação, Conjunção, Disjunção, Disjunção Exclusiva; Condicional, Bicondicional); • Tabelas de Verdade; Tautologia, Contradições e Contingências. • Módulo 4: • Equivalência e Implicações Lógicas; Propriedades; • Proposições associadas a uma condicional; • Substituição nas formas proposicionais; • Conjuntos Completos de Conectivos; 4 Conteúdo programático • Módulo 5 • Conectivo de Sheffer; • Validade de argumentos; • Regras de Inferência; • Técnicas Dedutivas: direta, conclusão condicional, bicondicional; • Falácias. • Módulo 6: • Álgebra dos Conjuntos • Relação de Pertinência; • Determinação de um Conjunto; • Tipos de Conjuntos; 10/08/2017 5 Conteúdo programático • Módulo 7: • Relações entre Conjuntos: Inclusão, Igualdade, partes; • Operações com Conjuntos: união, intersecção, diferença, complementação. • Módulo 8: • Silogismos. 6 • Avaliações: Np1 e Np2 (100% da nota); • Avaliações Substitutiva e Exame: (Não contemplam trabalhos); • Proibido gravar (áudio e vídeo das aulas). Avisos 10/08/2017 7 • O que é lógica? É a ciência que estuda princípios e métodos de inferência, tendo o objetivo principal de determinar em que condições certas coisas se seguem (são consequência), ou não de outras. Matemática como Ciência Dedutiva 8 • Validade e forma Quando falamos em lógica, estamos falando de argumentos. Um argumento é válido se qualquer circunstância que torna suas premissas verdadeiras faz com que sua conclusão seja automaticamente verdadeira. Matemática como Ciência Dedutiva 10/08/2017 9 • Exemplo: Matemática como Ciência Dedutiva 10 • Proposição Chama-se proposição todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. As proposições transmitem pensamentos, isto é, afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados entes. Proposições e Conectivos 10/08/2017 11 • Proposição Exemplos: a) A lua é um satélite da Terra. b) Recife é a capital de Pernambuco. c) � > 5 d) Sen � � = 1 Todas as proposições são verdadeiras. Proposições e Conectivos 12 • Proposição A lógica matemática adota como regras fundamentais do pensamento os dois princípios: • Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. • Princípio do terceiro excluído: Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro. Proposições e Conectivos 10/08/2017 13 Proposições e Conectivos • Proposição Exemplos: e) Vasco da Gama descobriu o Brasil. f) 3/5 é um número inteiro g) O número � é racional. h) tan � = 2 Todas as proposições são falsas. 14 Proposições e Conectivos • Valores lógicos das proposições Definição: Chama-se valor lógico de uma proposição a verdade se a proposição é verdadeira e a falsidade se a proposição é falsa. Os valores lógicos verdade e falsidade de uma proposição designam-se abreviadamente pelas letras V e F, respectivamente. 10/08/2017 15 Proposições e Conectivos • Valores lógicos das proposições Logo, o que os princípios da não contradição e do terceiro excluído afirmam que: Toda proposição tem um, e um só dos valores V, F. 16 Proposições e Conectivos • Exemplo: Consideremos as proposições: a) O mercúrio é mais pesado que a água. b) O sol gira em torno da terra. O valor lógico da proposição A é V e o valor lógico da proposição B é F. 10/08/2017 17 Proposições e Conectivos • Proposições simples e compostas As proposições podem ser classificadas em simples ou compostas. Chama-se proposições simples aquela que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante da mesma. As proposições simples são geralmente designadas pelas letras latinas minúsculas p, q, r, s, ..., chamadas letras proposicionais. Exemplos: p: Carlos é careca. q: Pedro é estudante. r: O número 25 é quadrado perfeito. 18 Proposições e Conectivos • Proposições simples e compostas Chama-se proposições composta aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições. As proposições compostas são habitualmente designadas pelas letras latinas maiusculas P, Q, R, S, ..., chamadas letras proposicionais. Exemplos: P: Carlos é careca e Pedro é estudante. Q: Carlos é careca ou Pedro é estudante. R: Se Carlos é careca, então Pedro é feliz. 10/08/2017 19 Proposições e Conectivos • Conectivos Chamam-se conectivos palavras que se usam para formar novas proposições a partir de outras. Exemplos: P: O número 6 é par e o número 8 é cubo perfeito. Q: O triângulo ABC é retângulo ou isósceles. R: Não está chovendo. T: O triângulo ABC é equilátero se e somente se é equiângulo. 20 Proposições e Conectivos • Conectivos São conectivos usuais na lógica matemática as palavras que estão grifadas, isto é: “e”, “ou”, “não”, “se ... então...”, “... se e somente se” 10/08/2017 21 Proposições e Conectivos • Tabela verdade Segundo o princípio do terceiro excluído, toda proposição simples p é verdadeira ou é falsa, isto é, tem o valor lógico V(verdade) ou o valor lógico F(falso). Em se tratando de uma proposição composta a determinação do seu valor lógico, conhecido o valores lógicos das proposições simples componentes, se faz com base no seguinte princípio: 22 Proposições e Conectivos • Tabela verdade O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles univocamente determinado. 10/08/2017 23 Proposições e Conectivos • Tabela verdade No caso de uma proposição composta cujas proposições simples componentes por p e q, as únicas atribuições de valores lógicos a p e q são: 24 Proposições e Conectivos • Tabela verdade No caso de uma proposição composta cujas proposições simples componentes por p, q e r, as únicas atribuições de valores lógicos a p, q e r são: 10/08/2017 25 Proposições e Conectivos • Tabela verdade O valor lógico de uma proposição simples p indica-se por V(p). Assim exprime-se que p é verdadeira (v) escrevendo V(p) = V Analogamente, exprime-se que p é falsa (f), escrevendo V(p) = F Exemplo: p: O sol é verde. q: Um hexágono tem 9 diagonais. r: 2 é raíz da equação � + 3 − 4 = 0 V(p) = F V(q) = V V(r) = F 26 Proposições e Conectivos • Exercício: Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições. a: O número 17 é primo. b: Fortaleza é a capital do Maranhão. c: Tiradentes morreu afogado. d: (3 + 5)�= 3� + 5� e: O valor archimediano de � é �� � 10/08/2017 27 Proposições e Conectivos • Exercício: Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições. f: -1 < -7 g: 0,131313... é uma dízima periódica simples. h: As diagonais de um paralelogramo são iguais. i: Todo polígono regular convexo é inscritível. j: O hexaedro regular tem 8 arestas.
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