Aula 03 - Empuxo - Rnakine e Coulomb

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Prof. Miguel Angelo Araújo Lima
miguel.araujo@unipac.br
Fundação Presidente Antônio Carlos
UNIPAC Lafaiete
Aula 03 - Empuxo – Rankine e Coulomb
OBRAS DE TERRA
EMPUXO DE TERRA
Empuxo de terra é a ação produzida pelo maciço terroso sobre as
obras com ele em contato. A determinação do valor do empuxo de terra é
fundamental na análise e projeto de obras como:
a. Muros de arrimo – empuxo ativo sobre o muro.
b. Cortinas de estacas-pranchas – empuxo ativo e passivo (ficha) na
cortina.
c. Construções de subsolos – empuxo no repouso sobre as paredes de um
edifício.
d. Encontros de pontes – empuxo passivo.
É um dos temas mais intricados da Mecânica dos Solos. Todas as teorias
propostas admitem hipóteses simplificadoras que não expressam
totalmente a realidade dos solos. O empuxo geralmente é calculado por
uma faixa de largura unitária da estrutura de arrimo, não se considerando
as forças que atuariam sobre as superfícies laterais dessa faixa. A
magnitude do empuxo depende:
▪ Desnível vencido pela estrutura de arrimo;
▪ Tipo e das características do solo;
▪ Deformação sofrida pela estrutura;
▪ Posição do nível de água;
▪ Inclinação do terrapleno, etc.
Valor do Empuxo
O valor do empuxo de terra, assim como a distribuição de tensões ao
longo do elemento de contenção, depende da interação solo-elemento
estrutural durante todas as fases da obra. O empuxo atuando sobre o
elemento estrutural provoca deslocamentos horizontais que, por sua vez,
alteram o valor e a distribuição do empuxo, ao longo das fases
construtivas da obra.
Os termos ativo e passivo são
usualmente empregados para
descrever as condições limites
de equilíbrio correspondente ao
empuxo do solo de retroaterro
contra a face interna (tardoz) do
muro de arrimo ou contenção.
A figura, ao lado, mostra a variação de empuxos em função do
deslocamento. A pressão horizontal diminui ou aumenta, conforme o muro
aproxima-se ou afasta-se do maciço de terra.
COEFICIENTES DE EMPUXO 
Consideremos uma massa semi-infinita de solo e calculemos a pressão
vertical v em uma profundidade z:
A relação entre h e v em repouso é
chamado de k, que é o coeficiente de
empuxo.
Se a solicitação imposta ao solo
envolver deformações laterais de
compressão ou de extensão, o
equilíbrio é alterado e o solo se
afasta da condição de repouso.
Terzaghi mediu o valor da força necessária para manter o anteparo
estático, denominado de “empuxo em repouso” (Eo), denominou a força
sobre o anteparo no momento da ruptura, de “empuxo ativo” (Ea),
afastando o anteparo da massa de solo e a força empurrando o anteparo
contra a massa de areia até a ruptura de “empuxo passivo” (Ep).
EMPUXO NO REPOUSO 
Estados de Equilíbrio Plástico: 
O estado de repouso corresponde à
pressão exercida pelo solo de retroaterro
sobre um muro de contenção rígido e fixo,
ou seja, que não sofre movimentos na
direção lateral.
V
a
lo
re
s
 d
e
 k
0
Passivo ou 
Ativo???? 
Teorias de Empuxo de Terra
Teoria de Empuxo de Coulomb
Teoria de Empuxo de Rankine
Método de Culmann – Gráfico
Método de Poncelet – Gráfico
Análise Limite
Métodos Numéricos
Os primeiros 4 métodos usam o critério de ruptura de
Mohr-Coulomb
Teoria de Empuxo de Coulomb (1776) 
Coulomb assume atrito entre o muro e o 
solo 
Teoria de Empuxo de Rankine (1857) 
Rankine (original) assume: 
Muro sem atrito 
Solo não coesivo 
Paramento do muro é vertical 
O aterro é horizontal 
O muro é flexivel 
TEORIA DE RANKINE (1857) 
Rankine baseou-se na hipótese de que uma ligeira deformação no solo é
suficiente para provocar uma total mobilização da resistência de atrito,
produzindo o estado ativo se o solo sofre expansão e passivo se sofre
compressão.
HIPÓTESES FUNDAMENTAIS 
I. Terrapleno homogêneo (Solo 
Homogêneo) 
II. Superfície plana; 
III. Válida a Teoria de Möhr; 
IV. Sem pressão de percolação; 
V. Movimento livre do anteparo; 
VI. Não há atrito entre solo e muro. 
Diz se que a massa de solo esta 
sob equilíbrio plástico quando 
todos os pontos estão em 
situação de ruptura 
• Muro perfeitamente liso (atrito solo-muro: δ = 0) => os empuxos de
terra atuam paralelamente à superfície do terreno.
• A parede da estrutura em contato com o solo é vertical
RANKINE 
c’ = 0
v = 1 = ( x z)
h = 3 = ( x z) x k?
DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE DE EMPUXO
SOLOS NÃO COESIVOS 
ESTADO ATIVO - Ka
EMPUXO ATIVO TOTAL ÁREA ABD 
CARACTERÍSTICAS & TENSÕES
PONTO DE APLICAÇÃO 
Obs:
ESTADO PASSIVO - Kp
CARACTERÍSTICAS & TENSÕES
SOLOS NÃO COESIVOS 
EMPUXO PASSIVO TOTAL ÁREA ABD 
PONTO DE APLICAÇÃO 
SUPERFÍCIE INCLINADA DO TERRAPLENO (i) 
SOLOS NÃO COESIVOS 
TERRAPLENGO HORIZONTAL COM SOBRECARGA 
UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA 
COEFICIENTES DE EMPUXO ATIVO E 
PASSIVO DE ACORDO COM ϕ 
(RANKINE)
SOLOS NÃO COESIVOS 
SOLOS COESIVOS 
SOLOS COESIVOS 
ESTADO ATIVO 
SOLOS COESIVOS 
Se c  0 e  = 0
TERRAPLENO COM SUPERFÍCIE 
INCLINADA
SOLOS COESIVOS 
β
Duas situações possíveis:
β   e β > 
β  
As superfícies de ruptura são curvas e se aprofundam
indefinidamente.
β > 
ESTADO ATIVO & PASSIO – EMPUXO - DIAGRAMAS 
Caso Ativo
Z
Caso Passivo
Z
Obs.: O empuxo total é dado pela área formada pela distribuição
das forças.
RANKINE
ATENÇÃO PARA O CASO DE MACIÇOS ESTRATIFICADOS 
TEORIA DE EMPUXO DE COULOMB (1776) 
ATRITO TIPO DE SOLO X TIPO DE CONTENÇÃO
COULOMB - EMPUXOS
Área da Cunha de Solos (Lei dos Senos)
Peso da Cunha de Solos
3
EMPUXOS - exemplos
EMPUXOS - exemplos
EMPUXOS - exemplos
Para o muro abaixo e características do solo dado, calcular a
distribuição de empuxo e desenhar o seu diagrama.
´=10o , c´= 
10,5kPa e γ
=17,52kN/m3
Solo Coesivo - Rankine
6
,5
m