Eletromagnetismo 04 - problema de valor de fronteira em eletrostática

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ELETROMAGNETISMO
Sidney Cerqueira Bispo dos Santos
Problemas de valor de 
fronteira em eletroestática
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Interpretar as equações de Poisson e Laplace para o potencial 
eletroestático.
 � Relacionar resistência e capacitância nos materiais.
 � Determinar o princípio fundamental do método das imagens.
Introdução
O eletromagnetismo estuda as interações que surgem entre os campos 
elétricos e magnéticos gerados por cargas elétricas. Esses campos podem 
surgir no espaço livre ou na matéria. 
Existem diversas formas de se calcular o campo elétrico: normal-
mente, utiliza-se as leis de Gauss ou de Coulomb, quando se conhece a 
distribuição de cargas, ou o relacionamento entre o potencial e o campo 
elétrico, quando se conhece o potencial de uma região. Infelizmente, o 
que acontece é que, na maioria das situações de interesse prático, não 
se conhece o potencial elétrico, nem a distribuição das cargas. 
Neste capítulo, analisaremos situações referidas como problemas de 
valor de fronteira em eletroestática, onde as cargas e os potenciais são 
conhecidos apenas nas fronteiras de algumas regiões determinadas, e se 
quer calcular o campo elétrico E e o potencial V, nessa região. Esses tipos 
de problemas normalmente são resolvidos por meio de equações (de 
Poisson e Laplace) ou do método das imagens. Abordaremos, também, 
a utilização da equação de Laplace para calcular o valor da resistência 
de materiais ou a capacitância de um capacitor. 
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Equações de Poisson e Laplace
Para chegarmos às equações de Poisson e Laplace, é necessário utilizarmos 
a lei de Gauss para um meio linear, dada por: 
� ∙ D = � ∙ εE = ρv (1)
onde D é o vetor densidade de fluxo elétrico, E é o vetor campo elétrico, ε 
é a permissividade do material e ρv é a distribuição de cargas em um volume. 
Precisamos, também, da equação que nos permite obter o campo elétrico, 
independente da lei de Gauss, se o potencial for conhecido:
E = –�V (2)
onde o campo elétrico E é igual ao gradiente do campo potencial V. O sinal 
negativo indica que o campo elétrico tem direção contrária à do crescimento 
do potencial elétrico.
Combinando-se as equações (1) e (2), tem-se que:
� ∙ (–ε�V) = ρv (3)
que pode ser utilizada para cálculos em qualquer meio. Se este for homo-
gêneo, ela pode ser escrita como:
�2V = – ρvε
 (4)
que é a chamada equação de Poisson. Quando uma região está livre de 
cargas (ρv = 0), chegamos à equação de Laplace, que é um caso especial da 
equação de Poisson. 
Fazendo a distribuição de cargas, na equação (4), igual a zero, ela se torna:
�2V = 0 (5)
Problemas de valor de fronteira em eletroestática2
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A equação (3) é a de Poisson para meios não homogêneos. A equação (4) é para meios 
homogêneos, onde ε é o mesmo em qualquer região considerada. Mas, para uma 
região onde a distribuição de cargas é zero, ela se torna a equação de Laplace para 
meios não homogêneos.
O Laplaciano é definido como a soma das derivadas parciais segundas da 
função na direção de cada eixo coordenado. A equação (5), por exemplo, em 
coordenadas cartesianas, se torna:
∂2V
∂x2
∂2V
∂y2
+ ∂
2V
∂z2
+ = 0 (6)
Se o zero, do lado direito da equação (6), for substituído por –
ρv
ε , essa 
equação se torna a equação de Poisson.
Formas da equação de Laplace
A parte esquerda da equação de Laplace, equação (5), é a divergência do 
gradiente de V. Podemos, então, explicitar essa equação para alguns sistemas 
de coordenadas.
Em coordenadas cartesianas, pode-se escrever: 
�V = ∂V∂x ax+
∂V
∂y ay+
∂V
∂z az = 0 (7)
Assim como um campo vetorial genérico S pode ser escrito como:
� ∙ S =
∂Sx
∂x
+
∂Sy
∂y
+
∂Sz
∂z
= 0 (8)
Chega-se à equação de Laplace em coordenadas cartesianas:
�2V = ∂
2V
∂x2
∂2V
∂y2
+ ∂
2V
∂z2
+ = 0 (9)
3Problemas de valor de fronteira em eletroestática
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Em coordenadas cilíndricas, será igual a:
(r )�2V = 1r
1
r2
∂
∂r
∂V
∂r
∂2V
∂φ2
∂2V
∂z2+ + = 0 (10)
Já em coordenadas esféricas:
(r2 )�2V = 1r2
∂
∂r
∂
∂θ
∂V
∂r
∂2V
∂φ(sen θ )
∂V
∂θ+ +
1
r2sen θ
1
r2sen2 θ = 0 (11)
Essas equações são de enorme importância na resolução de muitos pro-
blemas envolvendo não só a eletroestática, como também o magnetismo, a 
dinâmica de fluidos, a condução térmica, entre muitos outros.
Unicidade das soluções da equação de Laplace
Uma questão que frequentemente é colocada a respeito da equação de Laplace 
é a unicidade de suas soluções, já que existem diversos métodos para resolução 
dos problemas de valor de fronteiras utilizando essas equações. Sadiku (2004, 
p. 194) apresenta o teorema da unicidade, que diz: “[...] se uma solução para 
a equação de Laplace que satisfaz as condições de fronteira pode ser encon-
trada, então essa solução é única [...]”. Portanto, isso nos garante que qualquer 
solução encontrada para a equação de Laplace, que satisfaça as condições de 
fronteira, será uma solução adequada. 
O teorema da unicidade, ao exprimir que qualquer solução da equação de Laplace 
que satisfaça, também, às condições de fronteira, deve ser a única solução existente, 
podendo conduzir a dúvidas em determinadas situações. Por exemplo, se tivermos 
um plano condutor em x = 0 com uma tensão de 50 V, tanto a solução V1 = 50 como 
V2 = 5x + 50 satisfarão à exigência de 50 V em x = 0 e, também, à equação de Laplace. 
Nesse caso, deve-se ter em mente que simplesmente especificar um único plano 
condutor com uma tensão específica e sem nenhuma referência não caracteriza 
completamente as condições de fronteira numa região definida.
Problemas de valor de fronteira em eletroestática4
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Resistência e capacitância
Cálculo da resistência de um condutor com 
seção reta não homogênea
A resistência de um condutor com seção reta uniforme é dada pela equação:
R = 
V
I (12)
Entretanto, se a seção reta não for uniforme, a equação (12) não pode ser 
utilizada, e será necessário calcular a resistência, utilizando a equação (13):
R = ∫ E · dl∮σE · dS (13)
A solução dessa equação pode ser tratada como um problema de fronteira. 
Após escolher um sistema de coordenadas para se trabalhar (cartesianas, 
cilíndricas ou esféricas), e que facilite a solução do problema, admita que a 
diferença de potencial entre os terminais do condutor é V0. Resolva a equação 
(5), a equação de Laplace, e calcule V. Em seguida, determine o campo elétrico, 
utilizando a equação (2), e calcule a corrente por meio de:
I = ∮σE · dS (14)
Em seguida, calcule R, por meio da equação (12):
R =
V0
I
onde V0 é um valor assumido.
Cálculo da capacitância de um capacitor
Um capacitor normalmente é composto de duas placas condutoras, carregadas 
eletricamente com a mesma carga, mas com polaridades opostas e separadas 
por um dielétrico ou espaço livre. Podemos generalizar o conceito de capa-
citor, considerando qualquer par de condutores com cargas iguais e opostas, 
separados por um dielétrico ou espaço livre.
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Devido ao fato de os condutores apresentarem cargas iguais e opostas, 
surge um campo elétrico cujo fluxo sai de um condutor e termina na superfície 
do outro.
Considere um capacitor de dois condutores, como mostrado na Figura 1, 
a seguir, que apresentam uma diferença de potencial V entre eles, ou seja: 
V = V1 – V2 = –∫
1
2 E · dl (15)
onde E é o campo elétrico, dl é um comprimento infinitesimal, 1 é o 
condutor carregado positivamente, e 2 é o condutor carregado negativamente. 
Define-se a capacitância C como a razão entre o módulo da carga de um dos 
condutores (lembre-se de que as cargas são iguais) e a diferença de potencial 
entre eles, ou seja:
C =
Q
V =
ε ∫ E · dS
∫ E · dl (16)
Figura 1. Capacitor de doiscondutores.
+ Q
++++
– Q
––
–
–
E
2
+ V –
1
Podemos calcular a capacitância, para qualquer par de condutores, por 
meio da equação de Laplace, obtendo Q em função de V , ou pela lei de Gauss, 
obtendo V em função de Q.
A sequência para o cálculo é simples: primeiro, escolha o sistema de coor-
denadas que facilite seu cálculo; associe uma carga Q , com sinais opostos, 
aos condutores; determine E, por meio da lei de Coulomb ou de Gauss; em 
seguida, calcule V , utilizando a equação (15) e, finalmente, encontre C, com 
o uso da equação (16).
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Capacitor de placas paralelas
Suponha um capacitor de placas paralelas, com áreas iguais a S e separadas 
por uma distância d, como mostrado na Figura 2. Quando a separação entre 
as placas é pequena em relação às suas dimensões, podemos supor um plano 
infinito e desprezar os efeitos de borda ou o espraiamento das linhas de fluxo 
do campo elétrico, ou seja, podemos considerar que o campo elétrico E, entre 
as placas, pode ser considerado uniforme.
Figura 2. Capacitor de placas paralelas.
Fonte: Sousa (2017?, documento on-line).
Va Vb
d
E
+ Q – Q
+ –
+ –
+ –
+ –
+ –
+ –
+ –
+ –
+ –
Assumindo as placas carregadas com cargas Q opostas, e uniformemente 
distribuídas sobre elas, temos que:
ρs =
Q
S (17)
Além disso:
D = ρs = –εE (18)
Considerando um dielétrico homogêneo de permissividade ε, teremos:
E = –
ρs
ε
Q
εS= (19)
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onde o sinal negativo aparece porque o sentido das linhas do campo elétrico 
é contrário à densidade de fluxo elétrico.
Calculando a diferença de potencial entre as placas a e b, utilizando a 
equação (15), temos:
V = Va – Vb = –∫
a
b E ∙ dl = –∫
d
0 dx = [ ]– QεS QdεS (20)
Como, pela equação (16):
C =
Q
V
temos que: 
C =
εS
d (21)
Isso nos mostra que a capacitância só depende de uma constante (ε) e 
das dimensões do capacitor, além de que nos permite uma forma de calcular 
a constante dielétrica de um determinado material dielétrico, por meio da 
medida de capacitâncias. 
Primeiro, mede-se a capacitância C0 com o ar entre as placas e, depois, a 
capacitância C com o espaço entre as placas preenchidas com material dielé-
trico. Então, por meio da equação (21) e devido ao fato de que ε = εr εo, temos:
dC
S
dC0
S= εr
Simplificando:
εr =
C
C0 (22)
Podemos, também, deduzir a equação da energia armazenada no capacitor, 
utilizando a equação (SADIKU, 2004):
W = 12
1
2∫ D · E dv = ∫ ε0 E
2 dv
Chega-se a: 
W = CV2 = QV =12
1
2
Q2
2C (23)
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Capacitor coaxial
Um capacitor coaxial é composto de um núcleo cilíndrico e uma casca cilín-
drica, igual ao mostrado na Figura 2. Ele é semelhante a um cabo coaxial, 
mas com um comprimento especificado. 
Para efeito de análise, considere os dois condutores apresentados na Figura 3, 
a seguir, com raios internos a e b, espaços entre eles preenchidos com mate-
rial dielétrico homogêneo e permissividade ε e comprimento L. Considere, 
também, que o condutor interno esteja carregado com carga +Q e o externo 
com carga –Q.
Desprezando o espraiamento das linhas de fluxo nas bordas e utilizando a 
lei de Gauss, em um cilindro imaginário de raio r entre os condutores, teremos:
Q = ε ∮ E · ds = εEr2�rL (24)
Ou seja:
E =
Q
2�εrL ar (25)
onde ar é o vetor unitário na direção de r.
Figura 3. Capacitor coaxial.
Fonte: Electrical Library (2017, documento on-line).
+ Q
a
L
b – Q
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A tensão pode ser calculada da seguinte forma:
Q
2�εrL ar[ ]V = –∫ E · dl= –∫ab ∙ dr ar
V = Q2�εL ln
b
a (26)
Como a capacitância é igual a C = Q/V, temos:
C =
2�εL
ln 
b
a
 (27)
Método das imagens
Quando se quer evitar os cálculos envolvidos na utilização das equações de 
Poisson ou Laplace, normalmente se procura utilizar um método chamado de 
“método das imagens”, que leva em consideração a superfície equipotencial 
do condutor. 
Esse método não se aplica a todos os problemas de eletroestática. Entretanto, quando 
pode ser utilizado, reduz bastante a complexidade da solução.
A teoria da imagem, segundo Sadiku (2004, p. 226): 
[...] estabelece que uma dada configuração de carga próxima a um plano 
infinito condutor perfeito aterrado pode ser substituída pela própria con-
figuração de carga, por sua imagem e por uma superfície equipotencial no 
lugar do plano condutor.
Assim, na solução de alguns problemas de eletroestática, podemos consi-
derar as seguintes premissas:
1. Podemos utilizar o método das imagens para problemas que envolvem 
cargas na proximidade de condutores elétricos perfeitos.
Problemas de valor de fronteira em eletroestática10
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2. Levamos em consideração que os bons condutores apresentam o mesmo 
potencial ao longo de seu volume.
3. Cargas de mesma magnitude e sinais opostos geram tensão nula no 
plano de simetria entre elas.
Na realidade, o método funciona como se um plano condutor perfeito fosse 
um espelho que refletisse a carga de forma simétrica e invertida, e o plano 
tivesse potencial igual a zero, como mostrado na Figura 4, a seguir.
Figura 4. a) Uma configuração de cargas qualquer sobre um plano condutor infinito. 
b) Equivalente utilizado no método das imagens.
(a)
+2 +2
+6
–2
Condutor
Superfície equipotencial
v=0
v=0
–6 –6
ρ ρ
–ρ
(b)
Para aplicar o método das imagens, é preciso satisfazer a duas condições:
 � As cargas refletidas (imagens) devem estar dentro da região condutora 
— isso é necessário para satisfazer a equação de Poisson.
 � A reflexão das cargas deve ser de tal modo que resulte em um poten-
cial zero ou constante na superfície condutora — isso garante que as 
condições de contorno serão satisfeitas.
Vamos examinar um exemplo.
Consideramos um ponto A = (2, 0, 1) na superfície de um plano condutor 
em y = 0 e uma linha de cargas com ρ = 20 nC/m, paralela ao eixo x e que 
passa pelo ponto (0,2,0), como mostrado na Figura 5a.
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Figura 5. a) Linha de cargas sobre um plano condutor. b) Linha de cargas adicionada após 
a remoção do plano.
(a) (b)
2
2
–2
2 2
1
1
x
x
y y
z
z
A(2,0,1)
A(2,0,1)
ρL = 20 nC/m
ρL = 20 nC/m
ρL = –20 nC/m
Para calcular o campo elétrico, remove-se o plano e insere-se uma linha 
de cargas imagem de –20 nC/m em (0, –2, 0), conforme mostrado na Figura 
5b. Pode-se, agora, obter o campo no ponto A, utilizando o teorema da su-
perposição dos campos. O vetor r+, que vai da linha de cargas positivas até o 
ponto A, é dado por r+ = –2 ay + az , e o vetor r–, que vai da linha de cargas 
negativas até o ponto A, é dado por r– = 2 ay + az.
Assim, a contribuição de cada campo para o campo elétrico total é dada por: 
E+ =
ρ
2�ε0R+
ar+ =
20 × 10–9
2�ε0√5
–2ay + az
√5
e
20 × 10–9
2�ε0√5
–2ay + az
√5
E– =
Somando as duas contribuições, obtém-se:
E =
–80 × 10–9 ay
2�ε05
= –287,6 ay V/m
Esse é o campo em A nos dois esquemas apresentados na Figura 5. Pode-se 
verificar que o campo elétrico resultante é perpendicular ao plano condutor.
Se quisermos calcular a densidade de fluxo elétrico, basta fazer:
D = ε0E = – 2,55ay nC/m
2
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ELECTRICAL LIBRARY. 2017. Disponível em: <http://www.electricallibrary.com/ 
2017/08/18/resistencia-capacitancia-indutancia-impedancia-e-reatancia>. Acesso 
em: 11 maio 2017.
SADIKU, M. N. O. Elementos de eletromagnetismo. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2004.
SOUSA, A. S. Apostila de física III para engenheiros. [2017?]. Disponível em: <http://
www.ebah.com.br/content/ABAAAANuQAJ/apostila-fisica-iii-engenheiros?part=11>.Acesso em: 11 maio 2017.
Leituras recomendadas
HAYT JR., W. H.; BUCK, J. A. Eletromagnetismo. 8. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013. 
MACHADO, K. D. Teoria do eletromagnetismo. Ponta Grossa: UEPG, 2002.
NOTAROS, B. M. Eletromagnetismo. São Paulo: Pearson, 2012.
REGO, R. A. Eletromagnetismo básico. Porto Alegre: LTC, 2010. 
SILVA, C. E. S. et al. Eletromagnetismo: fundamentos e simulações. São Paulo: Pearson, 
2014.
WENTWORTH, S. M. Eletromagnetismo aplicado: abordagem antecipada das linhas 
de transmissão. Porto Alegre: Bookman, 2008.
WENTWORTH, S. M. Fundamentos de eletromagnetismo. Porto Alegre: LTC, 2006. 
13Problemas de valor de fronteira em eletroestática
Identificação interna do documento EFJB2XFV1E-IJJCN61