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ORIENTAÇÕES PARA AS PROVAS DOS ALUNOS EM REGIME DE DEPENDÊNCIA OU ADAPTAÇÃO:   
 
P1: Cinemática dos Fluidos - Conceitos_Parte I; Cinemática dos Fluidos - Conceitos_Parte II; Tipos de Vazões e suas Relações; Equação da Continuidade.
 
P2: Equação de Bernoulli; Aplicação da Equação de Bernoulli; Máquinas (Bombas e Turbinas); Equação da Energia para Fluido Real. 
 
SUB: Todo conteúdo.
 
EXAME: Todo conteúdo. 
PLANO DE ENSINO
CURSO: Engenharia
DISCIPLINA: Fenômenos de Transporte
CARGA HORÁRIA SEMESTRAL: 40 Horas
I – EMENTA
Definição dos Conceitos e Principais Propriedades de Cinemática dos Fluidos; Equação da Continuidade; Equação da Energia; Equação da Energia para Fluido Real.
II - OBJETIVOS GERAIS
Fornecer ao aluno de engenharia os fundamentos de Fenômenos de Transporte, capacitando-o a aplicar os princípios básicos e leis físicas que regem o comportamento cinético dos fluidos em escoamento e também para o estudo das diversas disciplinas do curso de Engenharia.
III - OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Estudar os conceitos fundamentais e definição das propriedades de cinemática dos fluidos. Mostrar aplicações reais de movimentos de fluidos na engenharia.
Elucidar a equação da continuidade para regime permanente propondo aplicações práticas.
Explicar as formas de energia envolvidas no movimento dos fluidos, abarcando a equação da energia, potência e rendimento na presença de uma máquina.
Esclarecer o princípio físico da equação de Bernoulli aplicando-a em sistemas encontrados no dia a dia do engenheiro. 
IV - CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
· Cinemática dos Fluidos - Conceitos: Descrição do movimento de um fluido; aplicações de movimentos de fluidos na engenharia; regimes de movimento: permanente (estacionário) e variado; regimes de escoamento (experimento de Reynolds): laminar e turbulento; tensão de cisalhamento; equação de Reynolds; trajetória e linha de corrente; tubo de corrente; tipos de escoamento: unidimensional e bidimensional.
· Equação da Continuidade: Vazão volumétrica; vazão em massa; vazão em peso; relações entre vazão volumétrica, vazão em massa e vazão em peso; equação da continuidade para regime permanente; equação da continuidade para fluido incompressível; equação da continuidade – entradas e saídas não únicas.
· Equação da Energia: Equação da energia para regime permanente; formas de energia: energia potencial (de posição e de pressão), cinética e mecânica; equação de Bernoulli; aplicação da equação de Bernoulli: tubo de Venturi e tubo de Pitot; equação da energia na presença de uma máquina; potência e rendimento de uma máquina.
· Equação da Energia – Fluido Real: Equação da energia para fluido real; escoamento não uniforme; equação da energia para entradas e saídas não únicas; definição de perda de carga; equação geral da energia.
V – BIBLIOGRAFIA
Básica
BRUNETTI, F. Mecânica dos Fluidos. São Paulo: Prentice Hall, 2005.
MUNSON, B. R; YOUNG, D. F; OKIISHI, T. H. Fundamentos da Mecânica dos Fluidos.São Paulo: Edgard Blucher, 2004.
FOX, R. W; MACDONALD, A. T. Introdução à Mecânica dos Fluidos. Rio de Janeiro: LTC - Guanabara, 2006.
Complementar
CHAVES, A. Física – Sistemas Complexos e Outras Fronteiras, Vol. 4. Rio de Janeiro: Reichmann e Affonso, 2001.
SCHIOZER, D. Mecânica dos Fluidos, Rio de Janeiro: LTC – Guanabara, 1996.
POTTER, M. C.; WIGGERT, D. C. Mecânica dos Fluidos. São Paulo: Thomson Pioneira, 2004.
MUNSON, B. R; YOUNG, D. F; OKIISHI, T. H. Uma Introdução Concisa à Mecânica dos Fluidos.  São Paulo: Edgard Blucher, 2005.
SANTOS, T. C.; FERREIRA, P. J. G. Fenômenos de Transporte. ISBN: 978-85-917144-1-4, 1a Ed., São Paulo, 2014.
 
 
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1. Cinemática dos fluidos: conceitos – parte 1
           
            A análise cinética dos fluidos baseia-se na classificação das propriedades e do regime de escoamento do fluido em questão. A primeira distinção é com relação às propriedades elásticas do fluido. Se a massa específica do fluido permanecer uniforme e constante, o fluido é classificado como incompressível, caso contrário, o fluido é classificado como compressível. Quase sempre os líquidos podem ser considerados como fluidos incompressíveis. Além dessa distinção, é importante identificar os diferentes regimes de escoamento de um fluido. Se as propriedades do fluido, em cada ponto do espaço, permanecerem constantes com o tempo, o regime de escoamento é dito permanente (ou estacionário), já se as propriedades desse fluido em um determinado ponto variam com o tempo, este regime é denominado não permanente (ou não estacionário).
 
 
1.1 Experimento de Reynolds
            Em artigo publicado em 1883 o engenheiro britânico Osborne Reynolds apresentou uma demonstração visual da transição de regimes de escoamento. Nesse experimento, Reynolds empregou um reservatório de água com um tubo de vidro, contendo em uma de suas extremidades uma adaptação convergente. Além disso, esse tubo era ligado a um sistema externo com uma válvula, que permitia regular a vazão. No eixo do tubo de vidro era injetado um corante para a visualização do regime de escoamento (Figura 1). Por meio desse experimento Reynolds observou dois regimes de escoamento do fluido denominados de laminar e turbulento.
 
Figura 1: Ilustração artística do experimento de Reynolds (N. Rott, Annu. Rev. Fluid Mech. I990, 22: 1-11).
 
1.2 Escoamento Laminar
           No experimento de Reynolds, para pequenas vazões, o corante formava um filete contínuo paralelo ao eixo do tubo (Figura 2). Nesse regime, o escoamento é chamado de laminar e é caracterizado pelo fato da velocidade do fluido em um ponto fixo qualquer não variar com o tempo, nem em módulo nem em orientação. Assim, as partículas do fluido deslocam-se sem agitações transversais, mantendo-se em lâminas (ou camadas), sendo que cada lâmina de fluido exerce uma força sobre a camada mais próxima, contudo, como o a vazão não é elevada, as lâminas não se misturam. Um regime laminar pode ser observado durante o escoamento suave de água na parte central de um rio de águas calmas.
 
Figura 2: Ilustração de regime de escoamento laminar no experimento de Reynolds (F. White, Fluid Mechanics, 2009).
 
 
1.3 Escoamento Turbulento
             Ainda considerando o experimento de Reynolds, com o aumento da vazão, a velocidade das partículas do corante aumenta, resultando no desaparecimento do filete colorido, já que as partículas fluidas rapidamente se misturam enquanto se movimentam (Figura 3). Esse regime de escoamento é denominado turbulento e é caracterizado pelo fato do campo de velocidades das partículas do fluido mudar com o tempo de forma aparentemente aleatória.
 
 
Figura 3: Ilustração de regime de escoamento turbulento no experimento de Reynolds (F. White, Fluid Mechanics,2009).
 
1.4 Tensão de Cisalhamento
             Considerando um fluido, inicialmente em repouso, entre placas ao submeter a placa superior a uma força F, essa será arrastada ao longo do fluido com velocidade v (Figura 4). Nesta configuração, a tensão de cisalhamento é definida como sendo a razão entre o módulo da força tangente à superfície (F) e a área (A) submetida à ação da força:
 
Figura 4: Deformação de um fluido submetido a uma força tangencial F (R. W. Fox, et al., Introdução à Mecânica dos Fluidos, 2014).     
 
             Para fluidos newtonianos (fluidos para os quais a tensão de cisalhamento é proporcional à taxa de deformação) em regime de escoamento laminar, a constante de proporcionalidade entre a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação (dv/dy) é a viscosidade absoluta (ou dinâmica), µ.         
 
 
onde v é a velocidade impressa pela força Ft e y é a altura da camada de fluido.
         A equação anterior é conhecida como lei de Newton da viscosidade e é aplicada para escoamentos laminares. Embora muitos escoamentos turbulentos de interesse sejam permanentes na média, a presença de flutuações aleatórias da velocidade torna a análise do escoamento turbulento difícil. Assim, para o regime de escoamento turbulento não existem relações universais entre a tensão e a velocidade média. Portanto, parao escoamento turbulento deve-se que considerar teorias semiempíricas e dados experimentais. 
 
1.5 Número de Reynolds (Re)
          Durante seus estudos sobre a transição entre os regimes de escoamentos laminar e turbulento Reynolds descobriu o parâmetro que permite determinar o regime de escoamento. Esse parâmetro é conhecido comonúmero de Reynolds (Re):
 
 
sendo:
         ρ é massa específica do fluido;
         v é a velocidade média de escoamento do fluido;
         L é um comprimento característico da geometria de escoamento;
         µ é a viscosidade dinâmica do fluido; e
 é a viscosidade cinemática do fluido.
 
             Pode-se estimar se as forças viscosas são ou não desprezíveis em relação às forças de pressão por meio do cálculo do número de Reynolds. Se o número de Reynolds for “grande”, os efeitos viscosos são desprezíveis; se o número de Reynolds for “pequeno” os efeitos viscosos são dominantes.
              Para escoamentos em tubos, sob condições normais, a transição para o regime de turbulência ocorre para:
 
Re ≈ 2300
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 1:
Considere duas placas planas e paralelas, com espaçamento de 2 mm. Entre as placas há óleo com viscosidade dinâmica 8,3 x 10-3 N·s/m². Sabendo que a placa superior desloca-se com velocidade de 5 m/s e que a inferior é fixa, determine a tensão de cisalhamento (N/m2) que atuará no óleo.
 
  
A) = 20,75 N/m²
Exercício 2:
Para um escoamento sobre uma placa, a variação vertical de velocidade v com a distância y na direção normal à placa é dada por v(y) = ay - by², onde a e b são constantes. Obtenha uma relação para a tensão de cisalhamentona parede (y = 0) em termos de a, b e viscosidade dinâmica).
C) 
Exercício 3:
O que é um fluido newtoniano? A água é um fluido newtoniano?
D) é um fluido cuja tensão de cisalhamento é proporcional à taxa de deformação. A água é um fluido newtoniano.
Exercício 4:
Uma placa fina move-se entre duas placas planas horizontais estacionárias com uma velocidade constante de 5 m/s. As duas placas estacionárias estão separadas por uma distância de 4 cm, e o espaço entre elas está cheio de óleo com viscosidade de 0,9 N.s/m². A placa fina tem comprimento de 2 m e uma largura de 0,5 m. Se ela se move no plano médio em relação às duas placas estacionárias (h1 = h2 = 2 cm), qual é a força, em newtons (N) requerida para manter o movimento?
 
E) F = 450 N
Exercício 5:
Um fio passará por um processo de revestimento com verniz isolante. O processo consiste em puxá-lo por uma matriz circular com diâmetro de 1 mm e comprimento de 50 mm. Sabendo-se que o diâmetro do fio é de 0,9 mm, e que, a velocidade com que é puxado, de forma centralizada na matriz, é de 50 m/s, determine a força, em newtons (N), necessária para puxar o fio através dela em um verniz de viscosidade dinâmica   = 20 m Pa.s.
 
B) F = 2,83 N
Exercício 6:
Água ( = 1,003 m Pa.s e água= 1000 kg/m³) escoa em um conduto de 5 cm de diâmetro, com velocidade de 0,04 m/s. Sabendo que o número de Reynolds é utilizado para determinar o regime de escoamento de um fluido, portanto, é correto afirmar que o seu valor, para situação descrita e, consequentemente, o regime de escoamento do fluido são respectivamente: 
E) Re = 1994 ; Escoamento Laminar
Exercício 7:
Acetona escoa por um conduto com 2 cm de diâmetro, em regime de escoamento laminar (considerar Reynolds igual a 2000). Sabendo que a massa específica e viscosidade cinemática da acetona, valem respectivamente ρ = 790 kg/m3 e μ = 0,326 mPa.s, determine a velocidade de escoamento (em m/s) para que as condições acima sejam mantidas. 
A) v = 41,27 x 10-3 m/s
Exercício 8:
O regime de escoamento permanente (ou estacionário) de um fluido é caracterizado por:
B) propriedades do fluido, em cada ponto do espaço, permanecerem constantes com o tempo.
Exercício 9:
Uma placa quadrada, de 1 m de lado e 50 N de peso, desliza por um plano inclinado de 30 graus sobre uma película de óleo. A velocidade da placa é de 1 m/s e a espessura da película de óleo é 2,0 mm. A viscosidade dinâmica do óleo (Pa.s) vale:
 
B) 0,05
MOD 2
2. Cinemática dos fluidos: conceitos – parte 2
 
            As tensões em sólidos surgem quando estes são cilhados elasticamente, já para fluidos as tensões de cisalhamento são desenvolvidas em decorrência de escoamento viscoso. Assim, pode-se afirmar que sólidos são elásticos e fluidos são viscosos.  Grandezas como pressão, temperatura e massa específica são variáveis termodinâmicas características de qualquer sistema. Já a viscosidade é uma grandeza que caracteriza o comportamento mecânico de um fluido.
            A viscosidade é uma medida do atrito interno do fluido, assim, representa a resistência que um fluido oferece ao escoamento. Um fluido de viscosidade nula é denominado de fluido perfeito, ou superfluido, e um exemplo é o hélio líquido.
         Para a medição da viscosidade empregam-se instrumentos denominados de viscosímetros. Entre os tipos de viscosímetros, vale citar o Viscosímetro de Stokes, no qual a viscosidade é determinada por meio de medições do tempo de queda livre de uma esfera através de um fluido estacionário. Nos estudos sobre viscosidade pode-se definir dois tipos de viscosidade: dinâmica e cinemática.
 
2.1 Viscosidade dinâmica (ou absoluta)
 
           Para fluidos newtonianos a tensão de cisalhamento de escoamento () é proporcional à taxa de deformação do fluido (dv/dy), e a constante de proporcionalidade entre essas grandezas é a viscosidade dinâmica (ouabsoluta), µ. Dessa forma, para o escoamento unidimensional, tem-se a lei de Newton da viscosidade:
 
 
            Vale destacar que, as dimensões de são [F/L²] e as dimensões de (dv/dy) são [T-1]. Portanto, as dimensões da viscosidade dinâmica µ são [FT/L²]. Como as grandezas força, massa, comprimento e tempo são relacionadas pela segunda lei do movimento de Newton, as dimensões de µ também podem ser representadas por [M/LT]. Na Tabela 1 a seguir são mostradas as unidades para viscosidade dinâmica no Sistema Internacional (ou MKS) e no sistema CGS.
 
 
  Tabela 1: Unidades para viscosidade dinâmica (µ) no Sistema Internacional e no CGS.
 
Nota do autor: No sistema CGS de unidades a viscosidade é dada em poise, símbolo P, em homenagem ao médico fisiologista e físico francês Jean-Louis-Marie Poiseuille, que estudou o efeito da viscosidade no escoamento de fluidos em um tubo, com o propósito de entender a circulação sanguínea.
 
          A viscosidade é uma grandeza que depende do estado do fluido. Portanto, a viscosidade depende da temperatura e da pressão. Para gases a viscosidade aumenta com temperatura, enquanto que para líquidos a viscosidade decresce com o aumento da temperatura. Na Tabela 2 são mostrados alguns valores de viscosidade em função da temperatura para: ar, água e óleo lubrificante SAE 30. A classificação SAE de óleos lubrificantes de motores e transmissões refere-se a uma denominação da Society of Automotive Engineers (Sociedade dos Engenheiros Automotivos dos Estados Unidos).
 
Tabela 2: Valores de viscosidade dinâmica em função da temperatura para alguns fluidos.
 
 
 
 
2.2 Viscosidade cinemática
 
            Em mecânica dos fluidos a viscosidade cinemática () é definida como sendo razão entre a viscosidade dinâmica (µ) e massa específica (ρ):
 
 
            Como a viscosidade dinâmica tem dimensões [M/LT] e a massa específica dimensões de [M/L³], então a viscosidade cinemática tem dimensões de [L²/T]. Ela é chamada de cinemática, pois essa grandeza não depende da massa do fluido. Na Tabela 3 são mostradas as unidades para viscosidade cinemática no SI e no CGS.
 
Tabela 3: Unidades para viscosidade cinemática () no Sistema Internacional e no CGS.
 
2.3 Exercício resolvido:
               Uma placa infinita move-se sobre uma segunda placa, havendo entre elas uma camada de líquido. Para uma altura d da camada, pode-se supor uma distribuição linear de velocidade no fluido. A viscosidade do líquido é 0,0065 g/cm e sua densidade relativa é 0,88.
 
 
Determinar:(a) A viscosidade dinâmica do líquido, em Pa·s.
 
Solução:
 
         Lembrar que as dimensões da viscosidade dinâmica µ são [FT/L²] ou também podem ser representadas por [M/LT]. Portanto, µ = 0,0065 g/cm·s em unidade do SI pode ser determinada por:
 
 
 
 
 
(b) A viscosidade cinemática do líquido, em m²/s.
 
Solução:
 
            Lembrar que a densidade relativa (dr) de um líquido é a razão entre a massa específica deste líquido (ρ) e a massa específica da água (ρágua = 1000 kg/m³). Assim:
 
 
Portanto, a viscosidade cinemática do líquido é:
 
 
(c) A tensão de cisalhamento na placa superior, em N/m².
 
Solução:
 
            Para a resolução deste item deve-se considerar a distribuição linear velocidade (figura). Como u varia linearmente com y, a taxa de deformação é:
 
 
 
Assim, a tensão de cisalhamento pode ser calculada como:
 
 
 
Exercício 1:
Duas placas de área igual a 25 cm² estão justapostas e paralelas, separadas por uma distância de 5,0x10-6 m. Seu interior é preenchido com óleo SAE 30. As placas são sujeitas a forças opostas e paralelas a suas faces, de intensidade igual a 0,2 N, e se deslocam uma em relação à outra com velocidade de 1 mm/s. Qual é a viscosidade dinâmica (Pa.s) do óleo?
B)  = 0,4 Pa.s
Exercício 2:
Considere duas pequenas esferas de vidro idênticas lançadas em dois recipientes idênticos, um preenchido com água e o outro com óleo. Qual das esferas atingirá o fundo do recipiente primeiro? Por quê?
A) a esfera lançada no recipiente preenchido com água, devido a viscosidade da água ser menor do que a do óleo.
Exercício 3:
Um óleo tem uma viscosidade cinemática de 1,25 x 10-4 m²/s e uma massa específica de 800 kg/m³. Qual é sua viscosidade dinâmica (absoluta) em kg/(m.s)?
E) = 0,1 kg/(m.s)
Exercício 4:
Como a viscosidade dinâmica de (i) líquidos e (ii) gases varia com a temperatura?
D) (i) a viscosidade dinâmica de líquidos diminui com o aumento da temperatura e (ii) a viscosidade dinâmica de gases aumenta com o aumento de temperatura.
Exercício 5:
A viscosidade cinemática de um óleo é de 2,8 x 10-4 m²/s e a sua densidade relativa é 0,85. Determinar a viscosidade dinâmica no sistema CGS.
C)  = 2,38 P
Exercício 6:
Um bloco de 6 kg de massa desliza em um plano inclinado ( = 15º), lubrificado por um filme fino de óleo SAE 30 a 20 °C. ( = 0,2 Pa.s), como mostrado na figura a seguir. A área de contato do filme é 35 cm² e sua espessura é 1 mm. Considerando uma distribuição linear de velocidade no filme, determine a velocidade (em m/s) terminal do bloco (com aceleração igual a zero).
 
 
D) v = 22,18 m/s
Exercício 7:
Um bloco cúbico pesando 45 N e com arestas de 250 mm é puxado para cima sobre uma superfície inclinada sobre a qual há uma fina película de óleo SAE 10 W a 37 ºC ( = 3,7 x 10-2 Pa.s). Se a velocidade do bloco é de 0,6 m/s e a película de óleo tem 0,025 mm de espessura, determine a força requerida para puxar o bloco. Suponha que a distribuição de velocidade na película de óleo seja linear. A superfície está inclinada de 25º a partir da horizontal.
A) F = 74,52 N
Exercício 8:
Uma placa móvel move-se sobre uma placa fixa, com velocidade de 0,3 m/s. Sabendo-se que entre as duas existe uma camada de óleo, com espessura de 0,3 mm e supondo que ocorre uma distribuição linear de velocidade, com tensão de cisalhamento de 0,65 N/m², determine a viscosidade dinâmica do fluido (em Pa.s).?
 
E) = 6,5 x 10-4 Pa.s
Exercício 9:
Um êmbolo de 150 kg, se move por gravidade no interior de um cilindro vertical. O diâmetro do êmbolo é de 220 mm e o diâmetro do cilindro é de 220,1 mm. A altura do êmbolo é de 420 mm. O espaço entre o êmbolo e o cilindro está cheio de óleo com viscosidade dinâmica igual a 8,5 N.s/m². A velocidade na descida, considerando um perfil linear de velocidade, vale (em cm/s):
A) 3,04
MOD 3
3. Tipos de vazões e suas relações
 
3.1 Vazão volumétrica (Q)
            A vazão volumétrica (ou simplesmente vazão) corresponde à taxa de escoamento e pode ser calculada por meio da razão entre o volume () que passa por uma seção reta e o intervalo de tempo de escoamento (t) do fluido:
 
 
            Considerando o escoamento de um fluido em uma região do espaço com seção de área A e distância s (Figura 1), a vazão volumétrica pode ser escrita como sendo:
 
 
 
Figura 1: Fluido escoando com velocidade média constante por uma região do espaço com seção reta de área A e comprimento s.
 
 
            A razão entre a distância e o tempo define a velocidade (v) do fluido. Portanto, a Eq.(2) fica:
 
 
            A equação anterior é válida somente se a velocidade for constante ao longo da seção considerada. Caso contrário, para determinar a vazão volumétrica deve-se analisar o perfil da velocidade ao longo da seção. De maneira geral pode-se calcular a vazão por meio de:
 
 
 
3.2 Vazão mássica (QM)
            Define-se a vazão mássica (ou vazão em massa) como sendo a razão entre a massa (m) e o tempo de escoamento (t) do fluido:
 
 
 
Como a massa do fluido pode ser determinada por meio da massa específica e do volume desse. Então:
 
 
Substituindo a Eq. (6) na Eq.(5) tem-se:
 
 
3.2.1 Relação entre vazão mássica e vazão volumétrica
            Como volume () por unidade de tempo (t) define a vazão volumétrica (Q, Eq.(1)), pode-se escrever a Eq.(7) como:
 
 
 
3.3 Vazão em peso (QG)
            A vazão em peso pode ser calculada por meio da razão entre a força peso (G) que passa por uma seção reta e o intervalo de tempo de escoamento (t) do fluido:
 
 
 
            Por meio da segunda Lei de Newton do movimento tem-se que a força peso corresponde ao produto entre massa (m) e a aceleração da gravidade (g). Assim, a Eq.(9) pode ser escrita como:
 
 
 
3.3.1 Relação entre vazão em peso e vazão mássica
            A razão entre a massa (m) e o intervalo de tempo (t) define a vazão mássica (QM,) então a Eq.(10) fica:
 
 
 
3.3.2 Relação entre vazão em peso e vazão volumétrica
            Como a vazão mássica relaciona-se com a vazão volumétrica, substituindo a Eq. (8) na Eq. (11) tem-se:
 
 
 
            O produto entre a massa específica do fluido e a aceleração da gravidade determina a grandeza peso específico (γ). Portanto:
 
 
 
3.3.3 Exercício Resolvido:
       Os reservatórios I e II, da figura a seguir, são cúbicos. Eles são cheios pelas tubulações, respectivamente, em 100s e 500s. Determinar a velocidade da água na seção A indicada, sabendo-se que o diâmetro da tubulação é 1m.
 
 
 
Solução:
A vazão volumétrica total (QT) é soma da vazão em cada tubulação. Assim:
 
 
 
Porém, a vazão volumétrica total também se relaciona com a velocidade (v) da água na seção A por meio da Eq. (3). Portanto:
 
Exercício 1:
Uma mangueira de jardim é usada para encher um balde de 38 litros. Sabendo que são necessários 50 s para encher o balde com água, determine a vazão volumétrica (em m3/s) e a vazão mássica (kg/s) da água através da mangueira.
Dado: água = 1000 kg/m³
C) Q = 0,76 x 10-3 m³/s
QM = 0,76  kg/s
Exercício 2:
 Um tanque de água tem uma torneira próxima de seu fundo, cujo diâmetro interno é de 20 mm. O nível da água está 3 m acima do nível da torneira. Qual é a vazão ( em m3/s) da torneira quando inteiramente aberta?
E) Q = 2,4 x 10-3 m³/s
Exercício 3:
Considerando que a velocidade da água em uma tubulação de 32 mm de diâmetro seja 4 m/s, determine a vazão volumétrica (em m3/s), a vazão mássica (em kg/s) e a vazão em peso (em N/s).
A) Q = 3,2 x 10-3 m³/s
QM = 3,2 kg/s
QG = 32 N/s
Exercício 4:
Calcular o diâmetro (em cm) de uma tubulação para conduzir uma vazão de 100 litros/s, com velocidade média do líquido em seu interior de 2 m/s.
B) D = 25 cm
Exercício 5:
Calcular o diâmetro ( em mm) de uma tubulação sabendo-se que pela mesma escoa água a uma velocidade de 6m/s. A tubulação está conectada a um tanque com volume de 14000 litros e leva 1 hora, 5 minutos e 45 segundos para enchê-lo totalmente.
C) D = 27,4 mm
Exercício 6:
Em um reservatório de superfície livre constante, tem-se um orifício de 20 mm de diâmetro a uma profundidadede 3,0 m Substitui-se o orifício por outro de 10 mm de diâmetro. Qual deve ser a altura (em m) a ser colocado o orifício para que a vazão do fluido seja a mesma?
 
B) h = 48 m
Exercício 7:
O sangue circula a 30 cm/s em uma aorta de 9 mm de raio. (a) Calcule a vazão do sangue em litro por minuto. (b) Embora a área da seção reta de um capilar sanguíneo seja muito menor do que a da aorta, há muitos capilares, de modo que a área total das seções retas do sistema de capilares é muito maior do que a da aorta. O sangue da aorta passa através dos capilares a uma velocidade de 1,0 mm/s. Estime a área total (em cm2) das seções retas dos capilares.
E) a) 4,58 litros/min
b) 763 cm²
Exercício 8:
Os reservatórios I e II, da figura a seguir, são cúbicos. Eles são cheios pelas tubulações, respectivamente, em 200 s e 600 s. Determinar a velocidade (em m/s) da água na seção A indicada, sabendo-se que o diâmetro da tubulação é 1 m.
 
A) v = 2,92 m/s
MOD 4
4. Equação da continuidade
 
            No estudo do movimento de um fluido emprega-se o conceito de linhas de corrente (ou linhas de fluxo) para descrever como as partículas do fluido se movem. As linhas de corrente são definidas de modo que em cada ponto sua tangente é paralela ao vetor velocidade do fluido (Figura 1).
 
 
Figura 1: Linha de corrente em um fluido móvel. Em cada ponto da linha de corrente a velocidade do fluido é paralela à reta tangente.
 
 
            Um tubo imaginário limitado por linhas de corrente é definido como sendo um tubo de corrente (Figura 2). Como uma linha de corrente é paralela ao vetor velocidade do fluido, este flui ao longo do tubo e nenhum fluxo pode atravessar suas paredes. Desta forma, pode-se estabelecer uma expressão para a conservação da massa do fluido.
 
 
Figura 2: Tubo de corrente em um fluido que escoa em regime não turbulento.
 
 
            Para o tubo de corrente anterior, as velocidades das seções retas de área A1 e A2 são, respectivamente, v1 e v2. Considerando um elemento de fluido que penetra na parte inferior do tubo de corrente da Figura 2, o volume desse elemento (ΔV1) corresponde à área A1 vezes o comprimento de volume (ΔL1).
 
 
 
onde Δt é o tempo que o fluido leva para percorrer o elemento de volume naquela extremidade do tubo.
            Consequentemente, a massa de fluido que entra na extremidade inferior do tubo durante o intervalo Δt corresponde à massa específica ρ1 vezes o volume ΔV1. Assim:
 
 
 
            Analogamente a massa (m2) do fluido que sai pela extremidade superior durante o mesmo intervalo de tempo é:
 
 
 
 
            Como nenhum fluido se acumula no tubo, em regime permanente de escoamento, as duas massas m1 e m2 são iguais. Logo:
 
              
 
 
            Esta equação é conhecida como equação da continuidade e representa a conservação de massa em fluxo constante. Assim, em regime permanente a vazão mássica é conservada (QM1 = QM2). Além disso, se o fluido for incompressível, como a massa específica é constante, então ρ1 = ρ2, e a vazão volumétrica se conserva (Q1 = Q2). Portanto:
 
 
 
Exemplo 1:
Um conduto de água se afunila de um raio de 12,5 mm para um raio de 9 mm. Sendo que a velocidade da água na parte de 12,5 mm é 1,8 m/s, determine:
 
a) a velocidade da água na parte mais estreita do conduto;
 
 
Solução: Aplicando a equação da continuidade para um fluido incompressível e isolando a velocidade v2 tem-se:
 
 
b) a vazão volumétrica;
 
Solução: A vazão volumétrica corresponde à velocidade vezes a área. Como o fluido é incompressível, a vazão volumétrica se conserva (Q1 = Q2 = Q). Então:
 
 
 
c) a vazão mássica;
 
Solução: A vazão mássica corresponde ao produto entre a massa específica do fluido (ρágua = 1000 kg/m³) e a vazão volumétrica. Logo,
 
 
 
 
Exemplo 2:
No ponto A o diâmetro do tubo é de 50 mm e a velocidade da água é de 1,7 m/s. O tubo se bifurca em dois tubos menores, cada um com diâmetro de 25 mm. Pedem-se:
 
 
(a) Quais são as vazões nos pontos A e B?
 
 
Solução: Aplicando a equação da continuidade para um fluido incompressível e sabendo que os diâmetros de saída do fluido são iguais, logo, as vazões volumétricas são iguais nos dois tubos menores, então:
 
 
Como:   
Portanto:   
 
(b) Qual é a velocidade no ponto B?
Solução: Isolando a variável velocidade na expressão da vazão volumétrica, tem-se:
 
 
Exercício 1:
Um jato de água que sai de uma torneira fica progressivamente mais fino durante a queda (figura a seguir). Essa seção reta horizontal é característica de jatos de água laminares em queda livre porque a força gravitacional aumenta a velocidade da água. Determine a velocidade v0 (em m/s).
Dados:
A0 = 1,2 cm²
A = 0,35 cm²
h = 45 mm
g = 10 m/s²
 
D)  v0 = 0,29 m/s
Exercício 2:
Um jato de água que sai de uma torneira fica progressivamente mais fino durante a queda (figura a seguir). Essa seção reta horizontal é característica de jatos de água laminares em queda livre porque a força gravitacional aumenta a velocidade da água. Determine a vazão (em m³/s) da torneira.
 
Dados:
A0 = 1,2 cm²
A = 0,35 cm²
h = 45 mm
g = 10 m/s²
 
A) Q = 35 x 10-6 m³/s
Exercício 3:
Uma mangueira de jardim é conectada a um bocal é usada para encher um balde de 38 litros. O diâmetro interno da mangueira é de 2 cm, e se reduz a 0,8 cm na saída do bocal. Sabendo que são necessários 50 s para encher o balde com água, determine a vazão volumétrica (em m³/s) da água através da mangueira e a velocidade média (m/s) da água na saída do bocal.
E) Q = 0,76 x 10-3 m³/s
v = 15,1 m/s
Exercício 4:
Para a irrigação de um jardim utiliza-se uma mangueira de 3 cm de diâmetro diretamente ligada a um irrigador que possui 24 orifícios. Cada um destes orifícios possui 0,16 cm de diâmetro. Sabendo que o módulo da velocidade de escoamento da água na mangueira é de 5 m/s, calcule o módulo da velocidade (em m/s) da água ao sair pelos orifícios do irrigador.
C) v = 73,6 m/s
Exercício 5:
Um determinado circuito hidráulico admite água em um reservatório com vazão de 25 l/s. No mesmo reservatório é trazido óleo por outro tubo com vazão de 14 l/s. A mistura homogênea formada é então descarregada por outro tubo, cuja secção transversal tem uma área de 37 cm². Determine a velocidade (em m/s) da mistura.
B) v = 10,54 m/s
Exercício 6:
O ar escoa em um tubo cuja área de maior seção transversal é de 20 cm² e a menor de 10 cm². A massa específica do ar na seção (1) é 1,4 kg/m³, enquanto na seção (2) é de 0,9 kg/m³. Sabendo que a velocidade na seção (1) é de 12 m/s, determine a velocidade (em m/s) da seção (2) e a vazão em massa (em kg/s).
 
E) v2 = 37,33 m/s.
Q2 = 0,0336 kg/s
Exercício 7:
Um conduto de água (água = 1000 kg/m³) se afunila de um raio de 10 mm para um raio de 5 mm. Sendo a velocidade da água no raio de 10 mm igual a 2,0 m/s, determine:
 
a) a velocidade da água na parte mais estreita do conduto (em m/s);
 
b) a vazão volumétrica (em m³/s);
 
c) a vazão mássica (em kg/s);
 
 
A) a) v2 = 8 m/s
b) Q = 6,3 x 10-4 m³/s
c) QM = 0,63 kg/s
Exercício 8:
No ponto A o diâmetro do tubo é de 50 mm e a velocidade da água é de 2,3 m/s. O tubo se bifurca em dois tubos menores, cada um com diâmetro de 25 mm. Pedem-se:
a) Quais são as vazões (em m³/s) nos pontos A e B?
b) Qual é a velocidade (em m/s) no ponto B?
 
D) a) QA = 4,5 x 10-3 m³/s e QB = 2,2 x 10-3 m³/s
b) v2 = 4,5 m/s