Função logarítmica e aplicações

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Função logaŕıtmica: construção e
aplicações
Charles Braga Amorim
Universidade Federal de Sergipe
charlesbamorim@gmail.com
Edital 004/2021
Charles Braga Amorim Função logaŕıtmica: construção e aplicações
Funções Exponenciais
Charles Braga Amorim Função logaŕıtmica: construção e aplicações
Definição:
Uma função exponencial é uma função da forma
f (x) = ax
onde a é uma constante positiva.
Por exemplo, a função f (x) = 2x é uma função exponencial, pois a
variável, x , é o expoente. Ela não deve ser confundida com a
função potência g(x) = x2, na qual a variável é a base.
Charles Braga Amorim Função logaŕıtmica: construção e aplicações
Definição:
Uma função exponencial é uma função da forma
f (x) = ax
onde a é uma constante positiva.
Por exemplo, a função f (x) = 2x é uma função exponencial, pois a
variável, x , é o expoente. Ela não deve ser confundida com a
função potência g(x) = x2, na qual a variável é a base.
Charles Braga Amorim Função logaŕıtmica: construção e aplicações
Se x = n, um inteiro positivo, então
an = a · a · · · · · a︸ ︷︷ ︸
n fatores
.
Se x = 0, então a0 = 1, e se x = −n, onde n é um inteiro positivo,
então
a−n =
1
an
.
Se x for um número racional, x = p/q, onde p e q são inteiros e
q > 0, então
ax = ap/q =
q
√
ap = ( q
√
a)p.
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Se x = n, um inteiro positivo, então
an = a · a · · · · · a︸ ︷︷ ︸
n fatores
.
Se x = 0, então a0 = 1, e se x = −n, onde n é um inteiro positivo,
então
a−n =
1
an
.
Se x for um número racional, x = p/q, onde p e q são inteiros e
q > 0, então
ax = ap/q =
q
√
ap = ( q
√
a)p.
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Se x = n, um inteiro positivo, então
an = a · a · · · · · a︸ ︷︷ ︸
n fatores
.
Se x = 0, então a0 = 1, e se x = −n, onde n é um inteiro positivo,
então
a−n =
1
an
.
Se x for um número racional, x = p/q, onde p e q são inteiros e
q > 0, então
ax = ap/q =
q
√
ap = ( q
√
a)p.
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Os gráficos de funções y = ax estão exibidos abaixo para alguns
valores da base a. Observe que todos esses gráficos passam pelo
mesmo ponto (0, 1) porque a0 = 1 para a 6= 0.
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Uma razão para a importância da função exponencial está nas
propriedades a seguir.
Propriedades dos Expoentes
Se a e b forem números positivos e x e y , quaisquer números reais,
então
1. ax+y = axay
2. ax−y =
ax
ay
3. (ax)y = axy
4. (ab)x = axbx
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Exemplo
Esboce o gráfico da função y = 3− 2x e determine seu doḿınio e
imagem.
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Exemplo
Esboce o gráfico da função y = 3− 2x e determine seu doḿınio e
imagem.
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O número e
Dentre todas as bases posśıveis para uma função exponencial, há
uma que é mais conveniente para os propósitos do cálculo. A
escolha de uma base a é influenciada pela maneira que o gráfico de
y = ax cruza o eixo y .
Podemos chamar a função f (x) = ex de função exponencial
natural.
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Exemplo
Esboce o gráfico de y = 12e
−x − 1 e diga qual o doḿınio e imagem.
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Exemplo
Esboce o gráfico de y = 12e
−x − 1 e diga qual o doḿınio e imagem.
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Construção da função logaŕıtmica
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Funções inversas
Definição:
Uma função f é chamada função injetiva se ela nunca assume o
mesmo valor duas vezes, isto é,
f (x1) 6= f (x2) sempre que x1 6= x2.
Por exemplo, a função g(x) = x2 não é injetiva. De fato, pois, por
exemplo,
g(1) = 1 = g(−1).
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Funções inversas
Definição:
Uma função f é chamada função injetiva se ela nunca assume o
mesmo valor duas vezes, isto é,
f (x1) 6= f (x2) sempre que x1 6= x2.
Por exemplo, a função g(x) = x2 não é injetiva. De fato, pois, por
exemplo,
g(1) = 1 = g(−1).
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Teste da reta horizontal:
Uma função é injetiva se nenhuma reta horizontal intercepta seu
gráfico em mais de um ponto.
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Teste da reta horizontal:
Uma função é injetiva se nenhuma reta horizontal intercepta seu
gráfico em mais de um ponto.
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Exemplo
A função f (x) = x3 é injetiva?
Se x1 6= x2, então x31 6= x32 (dois números diferentes não podem ter
o mesmo cubo). Portanto, f (x) = x3 é injetiva.
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Exemplo
A função f (x) = x3 é injetiva?
Se x1 6= x2, então x31 6= x32 (dois números diferentes não podem ter
o mesmo cubo). Portanto, f (x) = x3 é injetiva.
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Exemplo
A função f (x) = x3 é injetiva?
Se x1 6= x2, então x31 6= x32 (dois números diferentes não podem ter
o mesmo cubo). Portanto, f (x) = x3 é injetiva.
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Seja f uma função injetiva com doḿınio A e imagem B. Então, a
sua função inversa f −1 tem doḿınio B e imagem A e é definida por
f −1(y) = x ⇐⇒ f (x) = y
para todo y em B.
Note que
doḿınio de f −1 = imagem de f
imagem de f −1 = doḿınio de f
Por exemplo, a função inversa de f (x) = x3 é f −1(x) = x1/3
porque se y = x3, então
f −1(y) = f −1
(
x3
)
=
(
x3
)1/3
= x .
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Seja f uma função injetiva com doḿınio A e imagem B. Então, a
sua função inversa f −1 tem doḿınio B e imagem A e é definida por
f −1(y) = x ⇐⇒ f (x) = y
para todo y em B.
Note que
doḿınio de f −1 = imagem de f
imagem de f −1 = doḿınio de f
Por exemplo, a função inversa de f (x) = x3 é f −1(x) = x1/3
porque se y = x3, então
f −1(y) = f −1
(
x3
)
=
(
x3
)1/3
= x .
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Seja f uma função injetiva com doḿınio A e imagem B. Então, a
sua função inversa f −1 tem doḿınio B e imagem A e é definida por
f −1(y) = x ⇐⇒ f (x) = y
para todo y em B.
Note que
doḿınio de f −1 = imagem de f
imagem de f −1 = doḿınio de f
Por exemplo, a função inversa de f (x) = x3 é f −1(x) = x1/3
porque se y = x3, então
f −1(y) = f −1
(
x3
)
=
(
x3
)1/3
= x .
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Equações de cancelamento:
f −1(f (x)) = x para todo x em A
f
(
f −1(x)
)
= x para todo x em B
Como achar a função inversa de uma função f injetiva:
1. Escreva y = f (x).
2. Isole x nessa equação, escrevendo-o em termos de y (se
posśıvel).
3. Para expressar f −1 como uma função de x , troque x por y . A
equação resultante é y = f −1(x).
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Equações de cancelamento:
f −1(f (x)) = x para todo x em A
f
(
f −1(x)
)
= x para todo x em B
Como achar a função inversa de uma função f injetiva:
1. Escreva y = f (x).
2. Isole x nessa equação, escrevendo-o em termos de y (se
posśıvel).
3. Para expressar f −1 como uma função de x , troque x por y . A
equação resultante é y = f −1(x).
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Exemplo
Encontre a função inversa f (x) = x3 + 2.
Primeiro,escrevemos
y = x3 + 2,
então, isolamos x nessa equação:
x3 = y − 2 =⇒ x = 3
√
y − 2,
finalmente, trocando x por y :
y = 3
√
x − 2,
portanto, a função inversa é f −1(x) = 3
√
x − 2.
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Exemplo
Encontre a função inversa f (x) = x3 + 2.
Primeiro, escrevemos
y = x3 + 2,
então, isolamos x nessa equação:
x3 = y − 2 =⇒ x = 3
√
y − 2,
finalmente, trocando x por y :
y = 3
√
x − 2,
portanto, a função inversa é f −1(x) = 3
√
x − 2.
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O prinćıpio de trocar x e y para encontrar a função inversa
também nos dá um método de obter o gráfico f −1 a partir de f .
Uma vez que f (a) = b se e somente se f −1(b) = a, o ponto (a, b)
está no gráfico de f se e somente se o ponto (b, a) estiver no
gráfico de f −1. Mas obtemos o ponto (b, a) de (a, b) refletindo-o
em torno da reta y = x .
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Funções Logaŕıtmicas
Se a > 0 e a 6= 1, a função exponencial f (x) = ax é crescente ou
decrescente, e, portanto, injetiva pelo teste da reta horizontal.
Assim, existe uma função inversa f −1, chamada função logaŕıtmica
com base a denotada por loga.
Se usarmos a formulação de função inversa, teremos
loga x = y ⇐⇒ ay = x .
Pelas equações de cancelamento, temos que
loga (a
x) = x para todo x ∈ R
aloga x = x para todo x > 0.
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Funções Logaŕıtmicas
Se a > 0 e a 6= 1, a função exponencial f (x) = ax é crescente ou
decrescente, e, portanto, injetiva pelo teste da reta horizontal.
Assim, existe uma função inversa f −1, chamada função logaŕıtmica
com base a denotada por loga.
Se usarmos a formulação de função inversa, teremos
loga x = y ⇐⇒ ay = x .
Pelas equações de cancelamento, temos que
loga (a
x) = x para todo x ∈ R
aloga x = x para todo x > 0.
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Funções Logaŕıtmicas
Se a > 0 e a 6= 1, a função exponencial f (x) = ax é crescente ou
decrescente, e, portanto, injetiva pelo teste da reta horizontal.
Assim, existe uma função inversa f −1, chamada função logaŕıtmica
com base a denotada por loga.
Se usarmos a formulação de função inversa, teremos
loga x = y ⇐⇒ ay = x .
Pelas equações de cancelamento, temos que
loga (a
x) = x para todo x ∈ R
aloga x = x para todo x > 0.
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Propriedades de Logaritmos
Se x e y forem números positivos, então
1. loga(xy) = loga x + loga y
2. loga
(
x
y
)
= loga x − loga y
3. loga (x
r ) = r loga x (onde r é qualquer número real)
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Propriedades de Logaritmos
Se x e y forem números positivos, então
1. loga(xy) = loga x + loga y
2. loga
(
x
y
)
= loga x − loga y
3. loga (x
r ) = r loga x (onde r é qualquer número real)
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Exemplo
Resolva a equação e5−3x = 10.
Tomando-se o logaritmo natural de ambos os lados da equação e
usando as propriedades, temos que
loge
(
e5−3x
)
= loge 10
5− 3x = loge 10
3x = 5− loge 10
x =
1
3
(5− loge 10)
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Exemplo
Resolva a equação e5−3x = 10.
Tomando-se o logaritmo natural de ambos os lados da equação e
usando as propriedades, temos que
loge
(
e5−3x
)
= loge 10
5− 3x = loge 10
3x = 5− loge 10
x =
1
3
(5− loge 10)
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Logaritmo Natural
O logaritmo na base e é chamado logaritmo natural e tem uma
notação especial:
loge x = ln x
1. ln x = y ⇐⇒ ey = x
2. ln (ex) = x para todo x ∈ R.
3. e ln x = x para todo x > 0
4. ln e = 1
Fórmula de Mudança de Base
Para todo número positivo a (a 6= 1), temos
loga x =
ln x
ln a
.
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Logaritmo Natural
O logaritmo na base e é chamado logaritmo natural e tem uma
notação especial:
loge x = ln x
1. ln x = y ⇐⇒ ey = x
2. ln (ex) = x para todo x ∈ R.
3. e ln x = x para todo x > 0
4. ln e = 1
Fórmula de Mudança de Base
Para todo número positivo a (a 6= 1), temos
loga x =
ln x
ln a
.
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Logaritmo Natural
O logaritmo na base e é chamado logaritmo natural e tem uma
notação especial:
loge x = ln x
1. ln x = y ⇐⇒ ey = x
2. ln (ex) = x para todo x ∈ R.
3. e ln x = x para todo x > 0
4. ln e = 1
Fórmula de Mudança de Base
Para todo número positivo a (a 6= 1), temos
loga x =
ln x
ln a
.
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Exemplo
Esboce o gráfico da função y = ln(x − 2)− 1.
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Exemplo
Esboce o gráfico da função y = ln(x − 2)− 1.
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Teorema de caracterização
Teorema: (Caracterização das funções logaŕıtmicas)
Seja f : R+ → R uma função monótona injetiva (isto é, crescente
ou decrescente) de modo que f (xy) = f (x) + f (y) para quaisquer
x , y ∈ R+. Então existe a > 0 tal que f (x) = loga(x) para todo
x ∈ R+.
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Prova do Teorema:
Vamos nos concentrar no caso f crescente. Além disso vamos
provar o Teorema inicialmente supondo que exista a ∈ R de tal
modo que f (a) = 1.
Com estas hipóteses e tomando m ∈ N devemos chegar as
seguintes conclusões:
f (1) = 0
f (am) = m
f (a−m) = −m
Se r = n/m com n ∈ Z e m ∈ N, teremos rm = n e portanto,
n = f (an) = f (arm) = f ((ar )m) = m · f (ar ),
ou seja, f (ar ) = r .
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Prova do Teorema
Agora vamos observar se x ∈ R é um número irracional. Assim
para r , s racionais devemos ter:
r < x < s =⇒ ar < ax < as =⇒
f (ar ) < f (ax) < f (as) =⇒ r < f (ax) < s
Deste modo todo número racional r , menor que x , é também
menor que f (ax), analogamente todo número racional s maior que
x é também maior que f (ax). Segue que f (ax) = x para todo
x ∈ R. Portanto f (y) = loga y para todo y > 0.
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Prova do Teorema
Agora consideremos o caso geral, em que se tem uma função
crescente g : R+ → R, tal que
g(xy) = g(x) + g(y)
sem aquela hipótese que adicionamos inicialmente. Então g(1) = 0
e, como 1 < 2 devemos ter g(2) = b > 0. Definamos a função
auxiliar f : R+ → R, f (x) = g(x)/b, função esta que é crescente,
transforma produtos em somas e cumpre f (2) = 1. Logo pela
primeira parte da demonstração devemos ter f (x) = log2 x para
todo x > 0.
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Prova do Teorema
Assim conclúımos,
x = 2f (x) = 2g(x)/b = (21/b)g(x) = ag(x),
com a = 21/b. Basta agora tomar loga em ambos os membros da
igualdade ag(x) = x para concluir que g(x) = loga x .
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Aplicações da Função Logaŕıtmica
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Altitude de uma localidade
A pressão atmosférica a uma altura h, em relação ao ńıvel do mar,
é o peso de uma coluna vertical de ar cuja base é horizontal, tem
altura h e área igual a 1. A saber a pressão p a uma altitude h é
dada por,
p(h) = p0e
−αh
onde p0 é a pressão atmosférica ao ńıvel do mar e α é uma
constante. Deste modo fazendo o uso de um barômetro é posśıvel
medir a pressão atmosférica p e consequentemente determinar a
altura h,
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Altitude de uma localidade
p = p0e
−αh ⇔
p
p0
= e−αh ⇔
ln
(
p
p0
)
= ln e−αh ⇔
h = − 1
α
ln
(
p
p0
)
⇔
h(p) =
1
α
ln
(
p0
p
)
.
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Altitude de uma localidade
A função logaŕıtmica h(p) retorna para nós a altitude ao ńıvel do
mar desde que conheçamos a pressão atmosférica do local. Tal
função tem doḿınio (0, p0] e conjunto imagem [0,+∞).
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Ńıvel de intensidade sonora
A altura de um som, experimentada pelo ouvido humano, baseia-se
no ńıvel de intensidade. O ńıvel de intensidade sonora, N, medido
em decibéis (dB), é definido em escala logaŕıtmica pelo fato de que
o ser humano possui a peculiaridade de que sua sensibilidade varia
linearmente enquanto que o est́ımulo respectivo varia
exponencialmente. O ńıvel de intensidade sonora N é dado por:
N = 10 log2
(
I
I0
)
onde I e I0 são intensidades sonoras, em W /m
2 (Watt por metro
quadrado) que queremos comparar.
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Ńıvel de intensidade sonora
Usualmente escolhemos I0 = 10
−12W /m2 por se tratar da
intensidade sonora mais baixa da faixa aud́ıvel para um ser
humano. O gráfico da função N(I ) é dado abaixo
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Bibliografia
1) Lima, Elon Lages, et al. A matemática do ensino médio. Vol. 1.
SBM, 1997.
2) Lima, Elon Lages. Logaritmos. SBM, 6ª edição, 2016.
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	0.27: 
	0.26: 
	0.25: 
	0.24: 
	0.23: 
	0.22: 
	0.21: 
	0.20: 
	0.19: 
	0.18: 
	0.17: 
	0.16: 
	0.15: 
	0.14: 
	0.13: 
	0.12: 
	0.11: 
	0.10: 
	0.9: 
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	0.3: 
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	0.1: 
	0.0: