Teorema de Bernoulli e Perda de Carga

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01/03/2020 
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CONTEÚDO ABORDADO: 
 REVISÃO: PRINCÍPIO DE 
BERNOULLI E EQUAÇÕES 
CORRELATAS 
 PRINCÍPIOS GERAIS SOBRE 
PERDA DE CARGA E LINHAS DE 
ENERGIA 
DISCIPLINA: HIDRÁULICA E HIDROLOGIA 
SEMESTRE: 2020/1 
 
Eng. Civil, MSc. Danilo Gonçalves Batista 
 
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1












t
V
S
V
V
S
Z
g
S
P

cte
V
Zg
P

2
.
2

Equação de Euler Equação de Bernoulli 
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 Como pode-se observar na obtenção da equação da continuidade, um 
fluido incompressível em regime estacionário, ao escoar por um cano 
com área de secção transversal variável, sofre mudanças na velocidade 
de forma que a vazão volumétrica permanece constante de modo a 
respeitar o Princípio de Conservação de Massa. 
 
 Verifica-se, assim, que via Leis de Newton, se a velocidade muda é 
porque existem diferenças de pressão ao longo do cano, sendo a força 
resultante composta pela força gravitacional e pela força associada a 
diferença de pressão. 
 
 A equação da continuidade exprime a conservação de massa do 
fluido, ou seja, reporta o fato básico de que massa não pode ser criada 
nem destruída. 
 A equação de Bernoulli expressa a conservação da energia do 
fluido. 
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DEFINIÇÃO: 
• O princípio de Bernoulli, também denominado equação de Bernoulli 
ou Trinômio de Bernoulli, ou ainda Teorema de Bernoulli descreve o 
comportamento de um fluido movendo-se ao longo de uma linha de 
corrente e traduz para os fluidos o princípio da conservação da 
energia. 
CONTEXTUALIZAÇÃO: 
• Foi exposto por Daniel Bernoulli em sua obra Hidrodinâmica, publicada 
em 1738, e expressa que num fluido ideal (sem viscosidade, sem atrito 
e incompressível) em regime de circulação por um conduto fechado, a 
energia que possui o fluido permanece constante ao longo de seu 
percurso. 
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 A equação da continuidade expressa a conservação da massa e relaciona a massa 
específica e a velocidade do fluido ao longo do fluxo. Empregando a análise em 
termos da energia e do trabalho, podem-se relacionar, além dessas grandezas, 
variáveis com a altura e pressão do fluido. A conservação da energia mecânica, 
aplicada ao escoamento de um fluido leva à equação, que foi obtida pelo matemático 
suiço Daniel Bernoulli no século XVIII, conhecida como Equação de Bernoulli . Essa 
equação é válida para: 
 Escoamento permanente; 
 Fluido incompressível e perfeito (sem atrito e sem viscosidade); e 
 Sem máquinas no trecho de escoamento do fluido. 
 Para obter a Equação de Bernoulli considera-se a lei da conservação da energia por 
meio do teorema do trabalho e energia cinética: 
onde W corresponde ao trabalho total realizado ao longo do escoamento e ΔEc é a 
variação da energia cinética. 
 Considerando o fluido delimitado pelo tubo de corrente e pelas seções de área A1 e 
A2 (Figura 1), algum trabalho precisa ser realizado sobre o sistema para empurrar o 
fluido para o tubo e algum trabalho precisa ser realizado pelo sistema para o fluido 
sair do tubo. 
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DISCIPLINA: FEN. DE TRANSPORTE 
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Figura 1: Escoamento permanente de um 
fluido ao longo de um tubo de corrente. 
A força (F) exercida sobre uma seção de área 
A pelo fluido com pressão p é dada pelo 
produto: 
Como trabalho (W) é definido como 
força vezes a distância percorrida pelo 
fluido (Δx), então: 
sendo que o produto A·Δx 
corresponde ao volume ΔV. 
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Assim, o trabalho realizado sobre o sistema é + p1·ΔV e o trabalho realizado pelo sistema 
é - p2·ΔV. Deste modo, a soma dos dois trabalhos (Wp) é: 
Já o trabalho (WG) realizado pela força da gravidade sobre o fluido de massa Δm durante 
a subida do tubo da Figura 1 é: 
onde g é aceleração da gravidade e y1 e y2 são as alturas do fluido nos pontos 1 e 2, 
respectivamente. Portanto, o trabalho total é a soma do trabalho realizado para 
empurrar o fluido (Wp) e o trabalho da força gravitacional (WG). Ainda, segundo o 
teorema do trabalho e energia cinética (Eq. (1)) tem-se: 
sendo que v1 e v2 correspondem, respectivamente, às velocidades nos pontos 1 e 2 do 
tubo de corrente. Como a massa pode ser representada em termos da massa específica 
do fluido (ρ) e de seu volume (ΔV) por meio da relação Δm = ρ·ΔV, então a Eq. (6) fica: 
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Dividindo a Eq. (7) por ΔV e rearranjando os termos, tem-se: 
Dividindo a Eq. (8) por ρ·g, equivale ao peso específico do fluido, obtém-se: 
Esta equação é conhecida como Equação de Bernoulli e permite relacionar alturas, 
velocidades e pressões de dois pontos do escoamento de um fluido ao longo de 
uma linha de corrente. A seguir será indicado o significado de cada parcela dessa 
equação. 
De maneira geral, a Equação de Bernoulli pode ser escrita como: 
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A energia de um fluido em qualquer momento consta de três componentes: 
• Cinética: é a energia devida à velocidade que possua o fluido. 
• Potencial gravitacional: é a energia devida à altitude que um fluido 
possua. 
• Energia de fluxo ou de pressão (piezométrica): é a energia que um 
fluido contém devido à pressão que possui. 
 A seguinte equação conhecida como "Equação de Bernoulli" (Trinômio de 
Bernoulli) consta destes mesmos termos. 
Energia Cinética Energia Potencial Gravitacional Energia Piezométrica 
Sendo: 
• V = velocidade do fluido na seção considerada. 
• g = aceleração gravitacional 
• h = altura na direção da gravidade desde uma cota de referência. 
• P = pressão ao longo da linha de corrente. 
• p = densidade do fluido. 
 
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O teorema de Bernoulli aplicado a líquidos perfeitos (compressibilidade e 
viscosidade nulas) aplicado ao escoamento variável é dado pela seguinte 
expressão: 
Refere-se à 
energia potencial 
de posição por 
unidade de peso de 
líquido (m) 
Refere-se à energia 
cinética por unidade 
de peso de liquido 
 Refere-se à 
energia potencial 
de pressão por 
unidade de peso 
de líquido (m) A soma das parcelas z + (p/g ) + (a . v
2/2g) é 
denominada de energia mecânica do líquido 
por unidade de peso. Portanto, a energia 
mecânica de um líquido sempre estará sob 
uma ou mais das três formas citadas. 
Para escoamentos permanentes 
e líquidos perfeitos a energia 
mecânica total do sistema é 
constante ao longo da 
trajetória, 
TEOREMA DE BERNOULLI PARA FLUIDOS REAIS 
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Na realidade não existem fluidos ideais, pois qualquer que seja o fluido, 
possui viscosidade. Assim torna-se necessário acrescentar à equação em 
questão, um parâmetro que tenha em consideração o efeito do atrito 
entre o fluido e a tubulação. Este parâmetro é geralmente denominado 
de perda de energia ou perdas de carga. 
 
Sendo H1, o ponto inicial (1); e H2, o ponto final (2) e Δ H= H1-H2 a 
energia que se dissipa entre os dois pontos, temos a seguinte 
formulação: 
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LINHA PIEZOMÉTRICA E LINHA DE ENERGIA 
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Considere-se uma trajetória num escoamento da qual são 
conhecidos, nos respectivos pontos, as variadas cotas geométricas 
em relação a um plano horizontal de referência e os valores 
correspondentes aos campos de velocidade e de pressão. 
 
Caso se admita que o escoamento é permanente e que o fluido 
pode ser considerado como perfeito, a carga hidráulica H mantém-se 
constante em todos os pontos da trajetória. 
 
Se representarmos, na vertical de cada ponto da trajetória, os 
valores p/γ e (p/γ + z) obteremos a linha piezométrica. 
 
Para os fluidos reais, deve-se representar a perda de carga ao longo da 
trajetória (Ex. Figura a) 
 
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Detalhe da configuração de energia dentro 
de uma canalização 
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A linha de carga referente 
a uma canalização é o lugar 
geométrico dos pontos 
representativos das três 
cargas: de velocidade, de 
pressão e de posição. A 
linha piezométrica 
corresponde às alturas a 
que o líquido subiria em 
piezômetros instalados ao 
longo da canalização; é a 
linha das pressões. As duas 
linhas estão separadas 
pelo valor correspondente 
ao termo v²/2g, isto é, 
energia cinética ou carga 
de velocidade 
Equação de Bernoulli 
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Equação de Bernoulli 
Cada valor da soma p/γ+ z é chamado de cota piezométrica ou carga 
piezométrica. Se acima da linha piezométrica acrescentarem-se os 
valores da carga cinética v²/2g, obtém-se a linha de cargas totais ou 
linha de energia, que designa a energia mecânica total por unidade de 
peso de líquido, conforme equação de Bernoulli. 
Cota geométrica (C.G.) = z 
Cota piezométrica (C.P.) = z + p/γ 
Pressão disponível: p/ (m) = CP – CG; p/ pode ser positiva, negativa ou 
nula. 
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• A linha de energia está acima da linha piezométrica ou coincidente 
com esta quando a velocidade for nula. 
• A linha piezométrica pode passar abaixo da trajetória se 
tomarmos como referência pressões relativas – o que não 
acontece nunca caso usemos pressões absolutas. 
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Se representarmos, a partir de um plano horizontal de referência os 
valores (p/γ + z) obteremos a cota piezométrica ou carga piezométrica. 
 
Se representarmos os valores V2/2g acima da linha piezométrica obtemos 
a linha de cargas totais ou linha de energia (por unidade de peso 
de líquido) cujas cotas em relação ao plano de referência 
representam os valores da energia mecânica total por unidade de 
peso de líquido, ou da carga total, correspondente à trajetória. 
 
 
 Qual o significado físico da 
cota piezométrica? 
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Considere-se, para responder a esta pergunta, um tubo fino com o 
topo em contato com a atmosfera e cujo eixo é normal à trajetória 
num ponto P, pertencente ao eixo mas na base do tubo, neste 
modelo temos o tubo Piezométrico ou tubo de Prandtl. 
 
A cota atingida pela superfície livre da água num tubo piezométrico (p/γ) 
corresponde à cota piezométrica na base do tubo e a distância na vertical 
entre esta base e a superfície livre no piezómetro representa a correspondente 
altura piezométrica (relativa). 
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Considere-se um tubo ligeiramente diferente do anterior: com um 
ramo em ângulo reto, que é colocado no ponto P da linha de 
corrente do escoamento tendo a abertura dirigida para a montante 
(sentido do escoamento) => este tubo é designado por tubo de Pitot. 
 
Num ponto Q no interior do 
tubo, junto à entrada do mesmo, 
a velocidade é nula – 
velocidade de estagnação – e a 
pressão é 
maior do que a que ocorre no 
ponto P, situado na mesma linha 
de corrente, a montante, a uma 
distância pequena mas suficiente 
para que o escoamento não seja 
perturbado. 
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TUBO DE PITOT 
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 O tubo de Pitot é um dispositivo empregado para medir a velocidade de fluidos em 
escoamento em regime permanente e recebe esse nome em homenagem ao 
engenheiro francês Henri de Pitot, que projetou esse instrumento em 1732. Hoje em 
dia, tubos de Pitot são frequentemente utilizados no exterior de aviões para 
determinar a velocidade do avião em relação ao ar. Para compreender o princípio de 
funcionamento do tubo de Pitot é necessário definir as pressões em relação ao 
escoamento do fluido como: estática, de estagnação e dinâmica. 
• Pressão estática é a pressão que a partícula do fluido está submetida. É possível 
medir a pressão estática utilizando uma tomada de pressão instalada na parede 
de um conduto (Piezômetro) em uma região onde as linhas de corrente são 
retilíneas. 
• Pressão de estagnação (ou total) é obtida quando um fluido em escoamento é 
desacelerado até a velocidade zero por meio de um processo sem atrito. 
• Pressão dinâmica corresponde à diferença entre a pressão de estagnação e a 
pressão estática. 
 Com base no tipo de tomada de pressão existem dois principais tipos de tubo de Pitot: 
tubo de Pitot com tomada de pressão estática na parede e tubo de Pitot com tomada 
de pressão no próprio tubo (Tubo de Pitot-estático). Na Figura 2 são mostrados esses 
dois de tubo de Pitot com detalhes sobre os pontos de tomada de pressão. 
 
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Lembrem-se que o princípio de Bernoulli é comumente expresso em 
forma de soma de pressões. Desta forma o termo relativo à velocidade se 
chamará pressão dinâmica, os termos de pressão e altura se agrupam na 
pressão estática: 
EM OUTRAS PALAVRAS... 
A pressão dinâmica pode também ser entendida como a altura cinética, 
que corresponde à energia cinética por unidade de peso. 
 
A pressão estática pode ser entendida como sendo a carga piezométrica 
representa a energia de pressão da unidade de peso de líquido 
submetido á pressão P e na altitude z. 
PRESSÃO DO FLUIDO EM ESCOAMENTO 
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Figura: (a) Tubo de Pitot com tomada de pressão estática na parede e (b) tubo de Pitot-
estático. Os pontos A e B correspondem a pontos de estagnação, para os quais a 
velocidade do fluido é zero. 
 Relacionando as variações de velocidade e na pressão ao longo de uma linha de 
corrente, por meio da equação de Bernoulli, e desprezando diferenças de elevação, 
tem-se: 
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onde p0 e v0 correspondem, respectivamente, à pressão e à velocidade do fluido no 
ponto de estagnação e p corresponde à pressão de estática em um ponto do 
escoamento com velocidade v. 
 Como v0 = 0 (velocidade de estagnação), isolando a velocidade v na Eq. (6) tem-
se: 
Portanto, medindo-se a pressão de estagnação e a pressão estática é possível 
determinar a velocidade local do escoamento. 
MEDIÇÃO DE VELOCIDADE EMPREGANDO O TUBO DE 
PITOT 
• Um tubo de Pitot é, desta forma, um dispositivo utilizado para a medição da 
velocidade. 
• Consiste em dois tubos: um para a medição da carga total, ligado a um orifício no 
extremo do perfil arredonda do ramo inferior, e outro que se destina a medir a cota 
piezométrica. 
• A diferença de cotas da superfície do líquido atingidas nos dois tubos é a altura 
cinética V2/2g. 
 
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Energia de Pressão por 
unidade de peso do 
fluido ou carga devida 
à pressão estática local 
Energia Cinética por 
unidade de peso do 
fluido ou carga devida 
à pressão dinâmica 
local 
Energia de Posição 
por unidade de peso 
do fluido ou carga de 
elevação 
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Escoamento forçado 
Escoamento Livre 
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MEDIÇÃO DE VELOCIDADE EMPREGANDO O TUBO 
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Exemplo de leituras de pressões 
estática, total e dinâmica. 
 
Pressão Estática – é a pressão 
real ou a pressão termodinâmica 
que atua no fluido. 
 
Pressão Dinâmica –é a pressão 
decorrente da transformação 
da energia cinética do fluido 
em pressão, através de uma 
desaceleração isoentrópica do 
mesmo. 
 
Pressão Total, de Impacto ou de Estagnação –é a soma da pressão estática com a 
pressão dinâmica. A sua medição é feita através de uma tomada de pressão voltada 
contra o escoamento e alinhada com as linhas de corrente, de forma a receber o 
impacto do fluido. 
INFLUÊNCIA NAS REDES DE DISTRITUIÇÃO DE 
ÁGUA 
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DO TEMA 
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UNICEUG, CURSO DE ENGENHARIA CIVIL - 4º/5º PERÍODOS: 2020/1 
– Qual a velocidade da água através de um furo na lateral de um tanque, se 
o desnível entre o furo e a superfície livre é de 2 m? 
Solução: 
Utilizando a equação de 
Bernoulli simplificada e 
considerando z1 = 2 m e g 
= 9,81 m/s2, podemos 
calcular a velocidade da 
água pela equação a 
seguir: 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DO TEMA 
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– Determinar a velocidade média de saída do bocal instalado na parede do 
reservatório e a vazão no bocal. 
(Resposta: V = 8,859 m/s ; Q = 69 l/s 
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DO TEMA 
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– Um tubo de Pitot é preso num barco que se desloca com 45 km/h. qual 
será a altura h alcançada pela água no ramo vertical? 
Resposta: h=7,96 m 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DO TEMA 
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– Água escoa em regime permanente no Venturi da figura. No trecho 
considerado, supõem-se as perdas por atrito desprezíveis e as 
propriedades uniformes nas seções. A área (1) é 20 cm², enquanto a da 
garganta (2) é 10 cm². Um manômetro cujo fluido manométrico é mercúrio 
(γHg=136000 N/m³) é ligado entre as seções (1) e (2) e indica o desnível 
mostrado na figura. Pede-se a vazão da água que escoa pelo Venturi (γ 
H20=10000 N/m³) . Adote g = 10 m/s² 
Resposta: Q = 5,8 l/s 
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- Condutos forçados => fundamento racional de perda de 
carga; 
- Expressão universal (Darcy -Weissbach) de perda de carga; 
- Expressões práticas para o cálculo de perda de carga 
distribuída (Hazen Williams, Fair Whipple Hsiao e Flamant); 
- Perda de carga localizada, método de comprimento 
equivalente e método Ks. 
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DEFINIÇÕES IMPORTANTES 
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Definições Importantes: 
Cada valor da soma p/γ + z é 
chamado de cota piezométrica 
ou carga piezométrica. Se 
acima da linha piezométrica 
acrescentarem-se os valores 
da carga cinética v²/2g, 
obtém-se a linha de cargas 
totais ou linha de energia, 
que designa a energia 
mecânica total por unidade de 
peso de líquido. 
Assim, temos: 
Cota geométrica (C.G.) = z 
Cota piezométrica (C.P.) = z + p/γ 
Pressão disponível: p/ (m) = CP – CG; pode ser positiva, negativa ou nula. 
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PERDA DE CARGA - DEFINIÇÃO 
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A perda de carga de uma rede hidráulica pode ser visualizada 
por meio da perda de pressão estática do sistema. 
 
Sempre que um fluido se desloca no interior de umatubulação 
ocorre atrito deste fluido com as paredes internas desta 
tubulação, ocorre também uma turbulência do fluido com ele 
mesmo, além do atrito devido ao cisalhamento entre as camadas 
de fluidos. Este fenômeno faz com que a pressão que existe no 
interior da tubulação vá diminuindo gradativamente à medida 
com que o fluido se desloque, esta diminuição da pressão é 
conhecida como “Perda de Carga”. 
CONTEXTUALIZANDO OS TERMOS... 
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 Quando um fluido escoa de um ponto para outro no interior de um 
tubo, haverá sempre uma perda de energia. 
 
 Quando temos condução de gases por tubulações a “perda de 
energia” é denominada como queda de pressão. 
 
 Quando temos condução de líquidos por tubulações, como a água 
no caso de instalações prediais, a “perda de energia” é denominada 
como perda de carga. 
 
 Conforme já explicado, esta perda de energia é devida ao atrito do 
fluido com a superfície interna da parede do tubo e turbulências no 
escoamento do fluido. Portanto quanto maior for a rugosidade da 
parede da tubulação ou mais viscoso for o fluido, maior será a perda 
de energia. 
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RELEMBRANDO O CONCEITO DE PRESSÃO 
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 Pressão é uma força exercida sobre uma determinada área. Sendo assim, 
sua unidade de medida é quilograma força por centímetro quadrado – 
kgf/cm². Também pode ser expressa em mca (metros de coluna d’água) 
ou Pascal (Pa) – no sistema internacional - SI. 
 Correspondência destas unidades: 1kgf/cm² é a pressão exercida por uma 
coluna com 10 metros de altura, ou seja, 10 metros de coluna d’água 
(m.c.a.), ou 100.000 Pa. 
 OBSERVAÇÕES MÉTRICAS 
PESO ESPECÍFICO DA ÁGUA 
No sistema internacional: 
ɣ (peso específico) da água aproximadamente 10.000 N/m³ (T= 20ºC e P= 1atm) 
Ou no sistema técnico: 
ɣ (peso específico) da água aproximadamente 1.000 kgf/m³ (T= 20ºC e P= 1atm) 
 
UNIDADE DE PRESSÃO 
Pa (Pascal) = é a unidade padrão de pressão e tensão no SI. Equivale a força de 
1N aplicada uniformemente sobre uma superfície de 1 m². 
No sistema técnico equivale a aprox. 0,101972 kgf/m². 
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TOMAR CUIDADO COM OS CONCEITOS!!! 
 Nas tubulações que compõem as instalações prediais, a Pressão 
Estática refere-se ao valor da pressão quando não há movimento, ou 
seja, quando o fluido está parado dentro da tubulação. O seu valor é 
proporcional ao desnível existente, caso não esteja sendo pressurizada 
por qualquer equipamento existente na linha. 
 A Pressão dinâmica, ou pressão de serviço, é a pressão verificada 
quando a água está em movimento. Esta pressão depende do traçado da 
tubulação e os diâmetros adotados para os tubos. O seu valor é a 
pressão estática menos as perdas de carga distribuída e localizada. 
 
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PERDA DE CARGA - DEFINIÇÃO 
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 Perda de carga pode ser definida como sendo a perda de energia que o 
fluido sofre durante o escoamento em uma tubulação. Deve-se ao atrito 
entre o fluido (no nosso caso a água) e a tubulação, quando o fluido 
está em movimento. 
 Pode ser entendida como a resistência ao escoamento devido ao 
atrito entre o fluido e a tubulação e também entre as camadas do 
fluido que se deslizam umas em relação as outras. 
 A preda de carga pode ser maior ou menor devido a fatores como: o 
tipo de fluido (viscosidade do fluido), o tipo de material do tubo (um 
tubo com paredes rugosas causa maior turbulência), o diâmetro do 
tubo e a quantidade de conexões, registros, dentre outras conexões 
existentes no trecho analisado. 
 Admite–se que a perda carga seja uniforme em qualquer trecho de 
uma canalização de dimensões constantes, independente da posição da 
canalização. 
VARIÁVEIS HIDRÁULICAS QUE INTERFEREM NA PERDA 
DE CARGA DURANTE O ESCOAMENTO 
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 I. Comprimento da tubulação ( l ). 
Quanto maior o comprimento da tubulação, maior a perda de carga. O 
comprimento é diretamente proporcional à perda de carga. O 
comprimento é identificado pela letra l (do inglês length, comprimento) 
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VARIÁVEIS HIDRÁULICAS QUE INTERFEREM NA PERDA 
DE CARGA 
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 Diâmetro da tubulação ( d ) 
Quanto maior o diâmetro, menor a 
perda de carga. O diâmetro é 
inversamente proporcional à perda 
de carga. 
VARIÁVEIS HIDRÁULICAS QUE INTERFEREM NA PERDA 
DE CARGA 
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 Velocidade de escoamento ( v ) 
Quanto maior a velocidade do fluido, maior a perda de carga. 
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VARIÁVEIS HIDRÁULICAS QUE INTERFEREM NA PERDA 
DE CARGA 
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 Rugosidade 
A rugosidade depende do material do tubo. Existem tabelas onde 
encontramos esses valores em função da natureza do material do tubo. 
O tempo de uso da tubulação, ou seja, a idade do tubo também é uma 
variável a ser considerada, devido principalmente ao tipo de material que 
for utilizado (ferro fundido, aço galvanizado, aço soldado com 
revestimento, etc.). 
 
O envelhecimento de um tubo 
provoca incrustações ou corrosões 
que poderão alterar desde o fator 
de rugosidade ou até o diâmetro 
 interno do tubo. 
VARIÁVEIS HIDRÁULICAS QUE INTERFEREM NA PERDA 
DE CARGA 
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 Viscosidade do fluido 
A viscosidade, ou seja, o atrito intermolecular do fluido também influencia 
a perda de carga em um sistema. Líquidos com viscosidades diferentes 
vão possuir perdas de cargas distintas ao passar dentro de uma mesma 
tubulação. 
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 EXPRESSÕES DA PERDA DE CARGA ( J ) 
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 I. Método Racional - Fórmula Universal ou Darcy- Weisbach 
 EXPRESSÕES DA PERDA DE CARGA ( J ) 
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 II. Método Empírico 
Esse método consiste em aplicar uma fórmula empírica criada para água 
em uma tubulação feita com determinado material. Dentre as várias 
fórmulas criadas com esse método, cita-se, como exemplo, a fórmula de 
Fair-Whipple-Hsiao (FWH), pois é a que melhor se adapta aos nossos 
projetos (tubulações em PVC de até 100 mm de diâmetro). 
Sendo: 
Q = Vazão do sistema 
d = diâmetro da tubulação 
Em fase de projeto, o cálculo de perda de Carga 
( J ) não é comumente obtido através da 
fórmula e sim através da leitura direta do ábaco 
de Fair-Whipple-Hsiao, onde se conhecermos 
os valores de duas grandezas encontraremos os 
valores das outras duas. 
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 TIPOS DE PERDA DE CARGA 
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As perdas de carga podem ser de dois tipos: 
• Normais ou distribuídas, e; 
 
 
 
• Acidentais ou localizadas. 
 TIPOS DE PERDA DE CARGA 
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 I. PERDA DE CARGA NORMAL OU DISTRIBUÍDA 
As perdas de cargas normais ocorrem ao longo de um trecho de tubulação 
retilíneo, com diâmetro constante. Se houver mudança de diâmetro, muda-
se o valor da perda de carga. 
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 TIPOS DE PERDA DE CARGA 
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 II. PERDA DE CARGA ACIDENTAIS OU LOCALIZADAS 
 As perdas de carga acidentais ou localizadas são as perdas que ocorrem 
nas conexões (curvas, derivações), válvulas (registros de gaveta, 
registros de pressão, válvulas de descarga) e nas saídas de 
reservatórios. 
 
 Essas peças causam turbulência, alteram a velocidade da água, 
aumentam o atrito e provocam choques das partículas líquidas. 
Ilustração de conexões usuais em sistemas de abastecimento de água fria 
 TIPOS DE PERDA DE CARGA 
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 II. PERDA DE CARGA ACIDENTAIS OU LOCALIZADAS 
O método que será utilizado para calcular as perdas de carga localizadas é 
o método dos comprimentos equivalentes ou virtuais, ou pelo método 
K’s. 
Exemplo de aplicação 
do método do 
comprimento 
equivalente: A perde de 
carga existente em um 
registro de gaveta aberto 
de 20 mm equivale a 
perda de carga existente 
em um tubo de PVC de 
20 mm (mesmo 
diâmetro) com 0,20 m de 
comprimento. 
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PERDA DE CARGA TOTAL 
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A perda de carga total ( hf ) é a soma das 
perdas normais e das perdas de cargas 
acidentais ou localizadas. 
 
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 DARCY-WEISBACH 
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 Existem várias formulações desenvolvidas por alguns pesquisadores 
para o cálculo de perda de carga, sendo as mais utilizadas as equações de 
Flamant, Hazen-Willians e Darcy-Weisbach. 
 De acordo com publicações recentes, a equação desenvolvida por Darcy-
Weisbach é a mais utilizada no meio técnico. 
 A equação de Darcy-Weisbach é conhecida como Fórmula Universal de 
Perda de Carga, e possui a seguinte expressão: 
 
Onde: hf é a perda de carga (m), f é o 
fator de atrito (adimensional), L é o 
comprimento da tubulação (m), D é o 
diâmetro (m), V é a velocidade (m/s) e g é 
a constante gravitacional (m/s2). 
 OBSERVAÇÃO COM RELAÇÃO A NBR!!! 
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 De acordo com a NBR 5626:1998 - Instalação predial de água fria, 
para calcular o valor da perda de carga nos tubos, recomenda-se utilizar 
a equação universal, obtendo-se os valores das rugosidades junto aos 
fabricantes dos tubos. 
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 FATOR DE ATRITO DA FORMULA DE DARCY-WEISBACH 
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 O fator de atrito (f) representa a principal dificuldade ao cálculo da 
perda de carga. 
As formulações disponíveis na literatura são do tipo implícitas, com f 
em ambos os membros da equação, sendo de difícil resolução! 
 
 - QUAIS SÃO ESTAS FORMULAS/EXPRESSÕES? 
- COMO PROCEDER NA PRÁTICA??? 
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 O fator de atrito ou coeficiente de resistência de Darcy-Weisbach, 
algumas vezes citado como fator de fricção (f) é um parâmetro 
adimensional que é utilizado para calcular a perda de carga em uma 
tubulação devida ao atrito. 
 O cálculo do fator de atrito e a influência de dois parâmetros (número de 
Reynolds Re e rugosidade relativa εr) depende do regime de fluxo. 
 Para regime laminar (Re < 2000) o fator de atrito é calculado como: 
 Em regime laminar, o fator de 
fricção é independente da 
rugosidade relativa e depende 
unicamente do número de 
Reynolds 
Fator de atrito ou coeficiente de resistência de Darcy-Weisbach 
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Fator de atrito ou coeficiente de resistência de Darcy-Weisbach 
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 Para regime turbulento (Re > 4000) o fator de atrito é calculado em 
função do tipo de regime. 
 Para regime turbulento liso, se utiliza a 1ª equação de Karmann-Prandtl: 
 
Em regime turbulento liso, o 
fator de atrito é independente da 
rugosidade relativa e depende 
unicamente do número de 
Reynolds 
Fator de atrito ou coeficiente de resistência de Darcy-Weisbach 
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 Para regime turbulento intermediário se utiliza a equação de Colebrook 
simplificada, mais conhecida como equação de Haaland: 
 
Em regime turbulento 
intermediário, o fator de atrito 
depende da rugosidade relativa e do 
número de Reynolds 
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Fator de atrito ou coeficiente de resistência de Darcy-Weisbach 
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 Para regime turbulento rugoso se utiliza a 2ª equação de Karmann-
Prandtl: 
 
Em regime 
turbulento rugoso, o 
fator de atrito depende 
somente da 
rugosidade relativa 
Como alternativa ao emprego das formulações citadas para obtenção 
do fator de atrito ou coeficiente de resistência de Darcy-Weisbach, 
este coeficiente pode ser determinado de forma gráfica mediante o 
diagrama de Moody. Tanto entrando-se com o número de Reynolds 
(regime laminar) quanto com o número de Reynolds e a rugosidade 
relativa (regime turbulento). 
IMPORTANTE 
Fator de atrito ou coeficiente de resistência de Darcy-Weisbach 
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 Para regime turbulento rugoso também é possivel utilizar a equação de 
Colebrook-White que descreve o diagrama de Moody. De maneira 
comum esta equação é resolvida de maneiro recursiva, pois o coeficiente 
de atrito não pode ser isolado de um lado da equação: 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_Moody
https://pt.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_Moody
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 A perda de carga em uma tubulação devida ao atrito pode ser calculada 
mediante a equação de Darcy-Weisbach, conforme apresentada abaixo: 
Obtido o Fator de atritoou coeficiente de resistência de Darcy-
Weisbach é só calcular a perda de carga total do sistema!! 
Onde: 
Mas como obter Fator de atrito empregando o DIAGRAMA DE 
MOOD??? 
DIAGRAMA DE MOODY 
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 O diagrama de Moody é a representação gráfica em escala duplamente 
logarítmica do fator de atrito em função do número de Reynolds e a 
rugosidade relativa de uma tubulação. 
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OBSERVAÇÕES SOBRE O DIAGRAMA DE MOODY 
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 Na equação de Darcy-Weisbach aparece o termo λ que representa o fator 
de atrito de Darcy, conhecido também como coeficiente de atrito. O 
cálculo deste coeficiente não é imediato e não existe uma única fórmula 
para calculá-lo em todas as situações possíveis. 
 Pode-se distinguir duas situações diferentes, o caso em que o fluxo seja 
laminar e o caso em que o fluxo seja turbulento. No caso de fluxo 
laminar se usa uma das expressões da equação de Poiseuille; no caso de 
fluxo turbulento se usa a equação de Colebrook-White. 
 No caso de fluxo laminar o fator de atrito depende unicamente do 
número de Reynolds. Para fluxo turbulento, o fator de atrito depende 
tanto do número de Reynolds como da rugosidade relativa da tubulação, 
por isso neste caso é representado mediante uma família de curvas, uma 
para cada valor do parâmetro k/D, onde k é o valor da rugosidade 
absoluta, ou seja, o comprimento (habitualmente em milímetros) da 
rugosidade diretamente mensurada na tubulação. 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
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 Calcule a perda de carga ao longo de um tubo de ferro fundido, com 
rugosidade absoluta (k) de 3,0x10-4m, diâmetro interno (D) de 0,025m 
e 200m de comprimento (L), que conduz 1L/s de água com viscosidade 
cinemática (ν) de 1,0x 10-6m2/s. 
Resolução: 
1º Passo: calcula-se a velocidade média de escoamento; 
2º Passo: calcula-se o número de Reynolds; 
3º Passo: obtém-se o fator de atrito pelo Diagrama de Moody, para assim calcular a 
perda de carca! 
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NÃO!!! 
OK! 
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OK! 
OK! 
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
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 Calcule a perda de carga ao longo de um tubo de ferro fundido, com 
rugosidade absoluta (k) de 3,0x10-4m, diâmetro interno (D) de 0,025m 
e 200m de comprimento (L), que conduz 1L/s de água com viscosidade 
cinemática (ν) de 1,0x 10-6m2/s. 
f = 0,041 
EXERCÍCIOS PARA MEMORIZAR... (enviado também em arquivo separado!) 
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EXERCÍCIOS PARA MEMORIZAR... 
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 OUTRAS FORMULAÇÕES PARA DETERMINAÇÃO DA 
PERDA DE CARDA 
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• Apesar da fórmula de Darcy-Weisbach ser o método 
recomendado para cálculo de perda de carga em 
tubulações, é muito comum encontrar na literatura 
especializada referências às chamadas fórmulas 
práticas 
• Dentre as centenas, ou milhar es, de fórmulas práticas 
encontradas na literatura, estudaremos apenas três delas: 
a fórmula de Hazen-Williams e a fórmula de Flamant. 
 
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 FÓRMULA DE HAZEN-WILLIAMS 
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• É uma fórmula que pode ser satisfatoriamente aplicada em qualquer 
tipo de escoamento e tubulações. 
• Foi elaborada através de um estudo estatístico cuidadoso no qual 
foram considerados dados dos experimentais de diversas fontes e 
observações feitas pelos próprios autores. 
• Os seus limites de aplicação são: diâmetros das tubulações de 50 a 
300 mm e velocidades de até 3m/s. 
• A Fórmula de Hazen-Williams é a mais usada no Brasil. Também 
é amplamente empregada na prática da Engenharia Sanitária 
americana. 
 
 FÓRMULA DE HAZEN-WILLIAMS 
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• De acordo com Azevedo Neto, no Sistema Internacional de 
Unidades a fórmula de Hazen-Williams tem a seguinte apresentação: 
 
Sendo: Constante! 
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 FÓRMULA DE HAZEN-WILLIAMS – em outras palavras... 
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 FÓRMULA DE HAZEN-WILLIAMS 
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• Normalmente calcula-se a perda de carga unitária (J) e depois 
multiplica pelo comprimento total da tubulação. 
 
Sendo: 
J = perda de carga unitária (m/m); 
Q = vazão (m³/s); 
D = diâmetro (m); 
C = coeficiente de rugosidade – depende da natureza e estado 
das paredes do tubo (m0,367/s) 
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 DEMAIS FÓRMULAS PARA CÁLCULO DA PERDA DA 
PERDA DE CARGA 
• Expressões de Fair-Whipple-Hsiao. 
 
De acordo com a NBR 5626 - Instalação predial de água fria, na falta 
dos valores das rugosidades junto aos fabricantes dos tubos, deve-se 
calcular a perda de carga por meio da utilização das expressões de Fair-
Whipple-Hsiao indicadas acima! 
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 DEMAIS FÓRMULAS PARA CÁLCULO DA PERDA DA 
PERDA DE CARGA 
• Expressões de Flamant. 
 
Pode ser satisfatoriamente aplicada em tubos de pequeno diâmetro. De 
acordo com Azevedo Neto, no Sistema Internacional de Unidades, a 
Fórmula de Flamant tem a seguinte apresentação: 
Sendo: 
J= hf/L = taxa de perda de carga entre dois pontos 
da tubulação (em metros/metros); 
b = coeficiente que depende da natureza ( material e 
estado) das paredes dos tubos ( ver tabela abaixo); 
V = velocidade média da água em m/s; 
L = é comprimento, em metros, entre os dois pontos 
da tubulação em que se deseja medir a perda de 
carga; 
D = diâmetro interno da tubulação (m), sendo 
recomendado observar o limite entre 0,01m e 1,0m. 
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• Fórmula de Flamant – comumente encontrada no meio técnico. 
 
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JÁ SABEMOS COMO 
CALCULAR AS PERDAS DECARGA DISTRIBUIDAS AO 
LONGO DAS TUBULAÇÕES! 
MAS COMO CALCULAR AS 
PERDAS DE CARGAS 
LOCALIZADAS? 
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 PERDAS DE CARGA LOCALIZADAS EM 
CANALIZAÇÕES 
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• Na prática as canalizações não são 
constituídas exclusivamente de tubos 
retilíneos e de mesmo diâmetro. 
• Usualmente, as canalizações apresentam 
peças especiais (válvulas, registros, 
medidores de vazão e etc) e conexões 
(ampliações, reduções, curvas, 
cotovelos, tês e etc) que pela sua forma 
geométrica e disposição elevam a 
turbulência, resultando em perdas de 
carga. 
• Estas perdas são denominadas 
localizadas, acidentais ou singulares 
 
 PERDAS DE CARGA LOCALIZADAS EM 
CANALIZAÇÕES 
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Perda de carga total 
= 
 perda de carga linear 
 + 
perda de carga localizada 
Em resumo, a perda de carga total (hf Total) ao longo de uma canalização é o 
resultado da soma das perdas de carga ao longo dos trechos retilíneos (perda 
de carga contínua ) com as perdas de carga nas conexões e peças especiais 
(perda de carga localizada) 
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 PERDA DE CARGA LOCALIZADA – MÉTODO 
DOS K’s (Teorema de Borda) 
Expressão geral: 
Sendo: 
- K – coeficiente adimensional (Valores Tabelados) 
- V – velocidade média de referência (m/s); 
- g – aceleração gravitacional (m/s2). 
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 PERDA DE CARGA LOCALIZADA – MÉTODO 
DOS K’s 
K – coeficiente adimensional – exemplo de valores 
tabelados 
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 PERDA DE CARGA LOCALIZADA – Método dos 
comprimentos virtuais ou equivalentes 
 Considera-se que as peças e conexões podem ser substituídas 
(no cálculo) por comprimentos virtuais de tubulação que 
resultem na mesma perda de carga; 
 Ou seja, a conexão é substituída por um comprimento de tubo, 
de mesmo diâmetro, no qual a perda de carga linear é igual a 
perda de carga localizada; 
 O método consiste em se adicionar ao comprimento real da 
tubulação um comprimento extra (o chamado comprimento 
equivalente), que corresponde ao mesmo valor de perda de 
carga que seria causado pelas peças especiais que compõem a 
tubulação. Desta forma, cada singularidade da tubulação 
corresponde a um certo comprimento fictício adicional de 
tubo. 
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 PERDA DE CARGA LOCALIZADA – Método dos 
comprimentos virtuais ou equivalentes 
 Exemplo: 
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 PERDA DE CARGA LOCALIZADA – Método dos 
comprimentos virtuais ou equivalentes 
 Exemplo: 
 É como se transforma-se o sistema em uma tubulação 
única, retilínea e de mesmo diâmetro!!! 
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 PERDA DE CARGA LOCALIZADA – Método dos 
comprimentos virtuais ou equivalentes 
 Em resumo: A perda de carga total ao longo da tubulação é 
calculada pelos métodos usuais de cálculo da perda de carga 
contínua, considerando o COMPRIMENTO VIRTUAL da 
tubulação (LVIR): 
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 PERDA DE CARGA LOCALIZADA – Método dos 
comprimentos virtuais ou equivalentes 
 Conforme NBR 5626 - Instalação predial de água fria, “A 
perda de carga nas conexões que ligam os tubos, formando as 
tubulações, deve ser expressa em termos de comprimentos 
equivalentes desses tubos. As tabelas A.2 e A.3 apresentam 
esses comprimentos para os casos de equivalência com tubos 
rugosos e tubos lisos, respectivamente”. 
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 PERDA DE CARGA LOCALIZADA – Método dos 
comprimentos virtuais ou equivalentes 
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 EXERCÍCIOS 
I. A tubulação esquematizada abaixo é composta de 2.500 m de tubo de PVC com 
diâmetro interno de 200 mm e 1500 m de tubo de PVC com diâmetro interno de 50mm. 
Considerando na fórmula de Hazen Williams um valor do coeficiente C igual a 140 e 
considerando as perdas localizadas causadas pelas peças descritas no esquema da 
adutora, calcule o comprimento virtual da adutora (m) e determine a máxima vazão 
(em L/s) ao longo da adutora quando o registro gaveta se encontra completamente 
aberto. 
Resposta: 24 L/s 
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II. Para o mesmo traçado apresentado no exercício anterior, caso se 
considere um valor do coeficiente C ( coeficiente de Hazen Williams) igual 
a 140 e considerando as perdas localizadas das peças descritas no esquema 
da adutora, calcule as vazões (em L/s) ao longo da adutora, correspondentes 
aos fechamentos parciais do registro gaveta que resultam em perdas 
localizadas da ordem de 10mca, 15mca e 20 mca. 
 
Repostas : 18L/s para 10 mca , 15L/s para 15 mca e 10L/s para 20 mca 
 
III - Na mesma adutora, considerando na fórmula de Hazen Williams um 
valor do coeficiente C igual a 140 e desprezando as perdas localizadas, 
calcule 
os comprimentos totais de tubos de 200mmm e tubos de 150 mm que 
resultam 
em vazão de 28L/s. 
 
Respostas: 839,6 m de 150 mm e 3160,4 m de 200 mm 
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Para a resolução dos exercícios acima utilizar a Tabela abaixo - Valores de comprimento 
equivalente para os elementos mais comuns das canalizações