Prob_3ºEncontro_S54(01) a S78(24) - PDF

Prévia do material em texto

Probabilidade
Variável Aleatória
Def.: Variável Aleatória é uma função 𝑋 que associa cada ponto do espaço amostral a
um valor na reta real, ou seja:
onde: 𝑋 Variável aleatória
𝑎𝑖 Resultados do espaço amostral (Ω)
𝑥(𝑎𝑖) Valores que X assume nos Reais
Probabilidade
 𝑋 
 
 - 𝑥(𝑎1) 
 
 𝑎𝑖 - 𝑥(𝑎2) 
 ……. 
 - 𝑥(𝑎𝑛) 
 Ω ℛ 
 
Variável Aleatória
Exemplo:
Seja 𝑋 a Variável aleatória (𝑣. 𝑎.) representando a ocorrência de caras
no lançamento de duas moedas. Construa o diagrama do comportamento dessa 𝑣. 𝑎..
Sol.:
Diagrama de comportamento da v. a. X
Probabilidade
 
 
1
2
 k (kk) 
 
 k 
 
1
2
 
1
2
 c (kc) 
 k (ck) 
 
1
2
 
1
2
 
 c 
 
1
2
 c (cc) 
 
 
𝑋 → 𝑣.𝑎. 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 
 
 𝑥 = 0, 1, 2 
 
 𝑋 
 
 𝑘𝑘 - 2 
 𝑘𝑐 
 𝑐𝑘 - 1 
 𝑐𝑐 
 - 0 
 Ω ℛ 
 
Variável Aleatória
Obs.:
Uma variável aleatória 𝑋 pode ser do tipo DISCRETA ou CONTÍNUA. Ela será discreta se
o número de valores possíveis de 𝑋 for finito ou infinito enumerável. Caso contrário, ela
será uma variável contínua.
Funções de Probabilidade
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
Seja 𝑋 uma variável aleatória discreta.
A probabilidade de que a variável aleatória 𝑋 assuma um particular valor 𝑥, é a função
de probabilidade de 𝑋 que se representa por 𝑃(𝑋 = 𝑥) ou simplesmente 𝑃(𝑥). A função
𝑃(𝑋 = 𝑥) determina a distribuição de probabilidades da variável aleatória, e pode ser
representada por uma tabela, gráfico ou fórmula. Obs.: σ𝑃 𝑥𝑖 = 1.
Probabilidade
Exemplo:
Construa a função distribuição de probabilidades (f. d. p.) da variável aleatória 𝑋 que
representa a ocorrência de caras no lançamento de duas moedas e represente-a
de forma: a) tabular; b) gráfica; c) modelo matemático.
Sol.:
Experimento: lançamento de duas moedas ⇒ Ω = {𝑘𝑘, 𝑘𝑐, 𝑐𝑘, 𝑐𝑐}
Variável: 𝑋 → representa a ocorrência de caras ⇒ 𝑋 pode assumir os valores: 0, 1, 2.
Logo:
para 𝑋 = 0 ⇒ 𝑃 𝑥 = 𝑃 𝑋 = 0 = 𝑝 𝑐𝑐 =
1
2
.
1
2
=
1
4
⇒ 𝑃 𝑋 = 0 =
1
4
para 𝑋 = 1 ⇒ 𝑃 𝑥 = 𝑃 𝑋 = 1 = 𝑝 𝑘𝑐, 𝑐𝑘 =
1
2
.
1
2
+
1
2
.
1
2
=
2
4
⇒ 𝑃 𝑋 = 1 =
2
4
para 𝑋 = 2 ⇒ 𝑃 𝑥 = 𝑃 𝑋 = 2 = 𝑝 𝑘𝑘 =
1
2
.
1
2
=
1
4
⇒ 𝑃 𝑋 = 2 =
1
4
Probabilidade
Exemplo: (cont.)
Variável: 𝑋 → representa a ocorrência de caras ⇒ 𝑋 pode assumir os valores: 0, 1, 2.
para 𝑋 = 0 ⇒ 𝑃 𝑥 = 𝑃 𝑋 = 0 = 𝑝 𝑐𝑐 =
1
2
.
1
2
=
1
4
⇒ 𝑃 𝑋 = 0 =
1
4
para 𝑋 = 1 ⇒ 𝑃 𝑥 = 𝑃 𝑋 = 1 = 𝑝 𝑘𝑐, 𝑐𝑘 =
1
2
.
1
2
+
1
2
.
1
2
=
2
4
⇒ 𝑃 𝑋 = 1 =
2
4
para 𝑋 = 2 ⇒ 𝑃 𝑥 = 𝑃 𝑋 = 2 = 𝑝 𝑘𝑘 =
1
2
.
1
2
=
1
4
⇒ 𝑃 𝑋 = 2 =
1
4
Probabilidade
𝑎) 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎çã𝑜 𝑡𝑎𝑏𝑢𝑙𝑎𝑟 
 
𝑋 0 1 2 
𝑃(𝑥) 
1
4
 
2
4
 
1
4
 1 
 
𝑐) 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑜 
 
 𝑃(𝑥) =
1
4
 2
𝑥
 
𝑐) 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑜 
 
 𝑃(𝑥) =
1
4
 2
𝑥
 
𝑜𝑏𝑠.: 
 
2
𝑥
 = 𝐶𝑛 ;𝑥 =
𝑛!
𝑥! (𝑛 − 𝑥)!
 
𝑎) 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎çã𝑜 𝑡𝑎𝑏𝑢𝑙𝑎𝑟 
 
𝑋 0 1 2 
𝑃(𝑥) 
1
4
 
2
4
 
1
4
 1 
 
𝑏) 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎çã𝑜 𝑡𝑎𝑏𝑢𝑙𝑎𝑟 
 
 𝑃(𝑥) 
 1 - 
 
 
2
4
 --------------- 
 
1
4
 ----------------------- 
 
 0 1 2 𝑥 
𝑏) 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎çã𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 
Obs.:
Qualquer combinação de variáveis aleatórias gera uma variável aleatória, ou seja, se 𝑋 𝑒 𝑌
são 𝑣. 𝑎., então Z = 𝜑(𝑥; 𝑦) também será uma variável aleatória.
Exemplo:
sejam as seguintes variáveis aleatórias:
𝑋 → Representando os pontos de um dado;
𝑌 = 𝑋1 + 𝑋2 → Representando a soma dos pontos de dois dados (𝑋1 𝑒 𝑋2) ;
𝑍 = 𝑀𝑎𝑥{ 𝑥1, 𝑥2 → onde 𝑥1, 𝑥2 são os pontos de dois dados.
Represente, de forma tabular, as funções distribuições de probabilidade dessas variáveis
aleatórias 𝑋; 𝑌; 𝑒 𝑍.
Sol.: No lançamento de um dado, 𝑋 pode assumir os valores: 1, 2, 3, 4, 5, 6 todos
com probabilidades iguais a
1
6
, logo:
A distribuição de probabilidades
de 𝑋, representada por uma tabela, será:
Probabilidade
 
 
𝑋 1 2 3 4 5 6 
𝑃(𝑥) 
1
6
 
1
6
 
1
6
 
1
6
 
1
6
 
1
6
 1 
 
 
Exemplo: (cont.)
𝑌 = 𝑋 + 𝑋 → Representando a soma dos pontos de dois dados;
Sol.:
Construindo o espaço amostral dos dados 𝑋1 e 𝑋2 e de 𝑌:
Logo, a distribuição de probabilidade de 𝑌 = 𝑋1 + 𝑋2 será:
Probabilidade
 𝐸𝑠𝑝𝑎ç𝑜 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑋1 𝑐𝑜𝑚 𝑋2 𝐸𝑠𝑝𝑎ç𝑜 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑌 = 𝑋1 + 𝑋2 
 
 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 
1 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 
2 21 22 23 24 25 26 2 3 4 5 6 7 8 
3 31 32 33 34 35 36 3 4 5 6 7 8 9 
4 41 42 43 44 45 46 4 5 6 7 8 9 10 
5 51 52 53 54 55 56 5 6 7 8 9 10 11 
6 61 62 63 64 65 66 6 7 8 9 10 11 12 
 
 
 𝐸𝑠𝑝𝑎ç𝑜 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑋1 𝑐𝑜𝑚 𝑋2 𝐸𝑠𝑝𝑎ç𝑜 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑌 = 𝑋1 + 𝑋2 
 
 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 
1 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 
2 21 22 23 24 25 26 2 3 4 5 6 7 8 
3 31 32 33 34 35 36 3 4 5 6 7 8 9 
4 41 42 43 44 45 464 5 6 7 8 9 10 
5 51 52 53 54 55 56 5 6 7 8 9 10 11 
6 61 62 63 64 65 66 6 7 8 9 10 11 12 
 
 
 
𝑌 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
𝑃(𝑦) 
1
36
 
2
36
 
3
36
 
4
36
 
5
36
 
6
36
 
5
36
 
4
36
 
3
36
 
2
36
 
1
36
 
 
Exemplo: (cont.)
𝑍 = 𝑀𝑎𝑥{ 𝑥1, 𝑥2 → onde 𝑥1, 𝑥2 são os pontos de dois dados
Sol.:
Construindo o espaço amostral dos dados 𝑋1 e 𝑋2:
ex.: 𝑀𝑎𝑥 1, 1 = 1
𝑀𝑎𝑥 1, 2 =2
......................................
𝑀𝑎𝑥 6, 6 =6
Logo, a distribuição de probabilidade de 𝑍 = 𝑀𝑎𝑥{ 𝑥1, 𝑥2 } será:
Probabilidade
 𝐸𝑠𝑝𝑎ç𝑜 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑋1 𝑐𝑜𝑚 𝑋2 𝐸𝑠𝑝𝑎ç𝑜 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑌 = 𝑋1 + 𝑋2 
 
 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 
1 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 
2 21 22 23 24 25 26 2 3 4 5 6 7 8 
3 31 32 33 34 35 36 3 4 5 6 7 8 9 
4 41 42 43 44 45 46 4 5 6 7 8 9 10 
5 51 52 53 54 55 56 5 6 7 8 9 10 11 
6 61 62 63 64 65 66 6 7 8 9 10 11 12 
 
 
 
 
𝑍 1 2 3 4 5 6 
𝑃(𝑧) 
1
36
 
3
36
 
5
36
 
7
36
 
9
36
 
11
36
 1 
 
1 – Média aritmética ou Esperança Matemática
Def.: Seja 𝑋 uma variável aleatória discreta com probabilidades 𝑃(𝑥𝑖) . O valor
esperado de 𝑋, denotado por Ε(𝑋) é dado por:
Ε 𝑋 = 
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖𝑃(𝑥𝑖)
2 – Variância
Def.: Define-se variância da 𝑣. 𝑎. 𝑋 como sendo “a esperança matemática do
quadrado dos desvios de cada elemento com relação a sua média”, ou seja:
𝑉 𝑋 = 𝜎𝑋
2 = Ε 𝑋 − Ε 𝑋
2
Probabilidade
Desenvolvendo-se o quadrado perfeito da expressão da 𝑉 𝑋 , pode-se
chegar a um modo alternativo do cálculo de seu valor, ou seja:
𝑉 𝑋 = 𝜎𝑋
2 = Ε 𝑋 − Ε 𝑋
2
= Ε 𝑋2 − 2. 𝑋. Ε 𝑋 + Ε 𝑋
2
=
= Ε 𝑋2 − Ε 2. 𝑋. Ε 𝑋 + Ε Ε 𝑋
2
= Ε 𝑋2 − 2. Ε 𝑋 Ε 𝑋 + Ε 𝑋
2
=
= Ε 𝑋2 − 2 Ε 𝑋
2
+ Ε 𝑋
2
= Ε 𝑋2 − Ε 𝑋
2
⇒
⇒ 𝑉 𝑋 = Ε 𝑋2 − Ε 𝑋
2
; 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝛦 𝑋2 = σ𝑥2𝑃(𝑥)
3 – Desvio padrão
Def.: É, por definição, a raiz quadrada da variância, ou seja:
𝜎𝑋 = 𝑉(𝑋)
Probabilidade
Aplicação:
No lançamento de duas moedas, seja 𝑋a 𝑣. 𝑎. representando a ocorrência de
caras. Determine a Esperança Matemática e a Variância de 𝑋.
Sol.:
Sabe-se que a função distribuição de probabilidade (f. d. p) de 𝑋 é dada por:
Logo:
Probabilidade
 
𝑋 0 1 2 
𝑃(𝑋) 
1
4
 
2
4
 
1
4
 1 
 
𝑬𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒏ç𝒂 𝒅𝒆 𝑿 
𝛦(𝑋) = σ 𝑥𝑖𝑃(𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=1 = 
 
= 0.
1
4
+ 1.
2
4
+ 2
1
4
= 
 
= 0 +
2
4
+
2
4
=
4
4
= 1 ⇒ 𝑬(𝑿) = 𝟏 
𝑽𝒂𝒓𝒊â𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝑿 
𝑉(𝑋) = 𝛦(𝑋2) − 𝛦(𝑋) 
2
 
𝛦(𝑋2) = σ 𝑥𝑖
2𝑃(𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=1 = 
= 02.
1
4
+ 12.
2
4
+ 22.
1
4
= 0 +
2
4
+
4
4
=
6
4
=
3
2
 
⇒ 𝑽(𝑿) =
𝟑
𝟐
− (𝟏)𝟐 =
𝟑
𝟐
− 𝟏 =
𝟏
𝟐
 
𝛦(𝑋) = 1 ⇒ 𝛦(𝑋) 
2
= (1)2 = 1 
Aplicação
Um jogador lança duas moedas não viciadas. Ganha R$1,00 ou R$2,00, conforme ocorra
uma ou duas caras. Por outro lado, perde R$5,00 se não ocorrer cara. Ache o valor
esperado do jogo e se o mesmo é favorável ao jogador.
Sol.:
Experimento: lançamento de duas moedas ⇒ Ω = {𝑘𝑘, 𝑘𝑐, 𝑐𝑘, 𝑐𝑐}
Variável: 𝑋 → representa a ocorrência de caras ⇒ 𝑋 pode assumir os valores: 0, 1, 2.
Logo:
Ε 𝐺𝑎𝑛ℎ𝑜 = σ𝑖=1
3 𝑔𝑎𝑛ℎ𝑜𝑖𝑃(𝑔𝑎𝑛ℎ𝑜𝑖) ⇒
⇒ Ε 𝐺𝑎𝑛ℎ𝑜 = −5,00
1
4
+ 1,00
2
4
+ 2,00
1
4
⇒
⇒ Ε 𝐺𝑎𝑛ℎ𝑜 =
−5,00
4
+
2,00
4
+
2,00
4
=
−5,00+2,00+2,00
4
=
−1,00
4
= −0,25
Conclusão: Como se pode ver o jogo é desfavorável ao jogador com uma perda estimada em
R$0,25, ou seja, de 25 centavos.
Probabilidade
 
 𝑋 0 1 2 
𝐺𝑎𝑛ℎ𝑜 − 5,00 1,00 2,00 
 𝑃(𝑋) 
1
4
 
2
4
 
1
4
 
 
Exercícios:
Determine a Esperança Matemática, a Variância e o Desvio padrão das seguintes
variáveis aleatórias:
𝑋 → Representando os pontos de um dado;
𝑌 = 𝑋1 + 𝑋2 → Representando a soma dos pontos de dois dados (𝑋1 𝑒 𝑋2) ;
𝑍 = 𝑀𝑎𝑥{ 𝑥1, 𝑥2 → onde 𝑥1, 𝑥2 são os pontos de dois dados.
DEVER DE CASA!
Probabilidade
Principais Distribuições de Probabilidade da Variável Aleatória Discreta
Bernoulli (Jokob Bernoulli – 1654/1705 – Basiléia/Suiça)
Binomial ( “ “ “ )
Multinomial ( “ “ “ )
Poisson (Siméon Denis Poisson – 1781/1840 – Paris/França)
etc
Distribuição Bernoulli
Descreve o comportamento de variáveis, cujos experimentos apresentam
apenas dois resultados possíveis: ocorrer ou não o que se espera. Ex.:
1.) lançamento de uma moeda: ocorrência ou não de cara;
2.) um dado é lançado: ocorrência ou não da face 5;
3.) um lote de peças produzidas por uma máquina: ocorrência ou não de peça defeituosa;
4. etc.
Probabilidade
Distribuição Bernoulli
Def.:
Seja 𝑋 uma 𝑣. 𝑎. proveniente de um experimento aleatório onde “𝑝” é a probabilidade
de “sucesso” (ocorrer o que se pretende) e “ 𝑞 = 1 − 𝑝 ” a probabilidade de “fracasso”
(ocorrer o que não se deseja). Se adotarmos que para cada “sucesso” a 𝑣. 𝑎. 𝑋 assuma
valor “1” e “0” para cada “fracasso”, podemos construir sua 𝑓. 𝑑. 𝑝. , dada por:
Características:
Ε 𝑋 = 
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖𝑃(𝑥𝑖) = 1. 𝑝 + 0. 𝑞 ⇒ 𝜠 𝑿 = 𝒑
𝑉 𝑋 = Ε 𝑋2 − 𝐸(𝑋) 2 = 12. 𝑝 + 02 − 𝑝2 = 𝑝 − 𝑝2 = 𝑝 1 − 𝑝 = 𝑝𝑞 ⇒ 𝑽 𝑿 = 𝒑𝒒
Probabilidade
 
 
 
 
𝑋 1 0 
𝑃(𝑥) 𝑝 𝑞 1 
Distribuição Binomial - Def.:
Seja 𝑋 = {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛} uma 𝑣. 𝑎. proveniente de “ 𝑛 ” provas de um
experimento do tipo Bernoulli com parâmetro “ 𝑝 ”. A probabilidade de ocorrer,
exatamente, “𝑥 − 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜𝑠” é dada por:
𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑛
𝑥
𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥 → 𝑏(𝑥; 𝑛, 𝑝)
onde: 𝑝 → 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜; 𝑞 → 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑎𝑠𝑠𝑜
Características:
Ε 𝑋 = Ε 𝑥1 + 𝑥2 +⋯+ 𝑥𝑛 = Ε 𝑥1) + Ε(𝑥2) + ⋯+ Ε(𝑥𝑛 = 𝑝 + 𝑝 +⋯+ 𝑝 ⇒ 𝜠 𝑿 = 𝒏𝒑
V 𝑋 = 𝑉 𝑥1 + 𝑥2 +⋯+ 𝑥𝑛 = 𝑉 𝑥1) + 𝑉(𝑥2) + ⋯+ 𝑉(𝑥𝑛 = 𝑝𝑞 + 𝑝𝑞 +⋯+ 𝑝𝑞 ⇒ 𝑽 𝑿 = 𝒏𝒑𝒒
Probabilidade
Distribuição Binomial - Aplicação:
1.) Uma moeda não viciada é lançada seis vezes. Determine a probabilidade de que ocorra
a) exatamente duas caras; b) mais de quatro caras; c) Calcule a Esperança
matemática, a Variância e o Desvio Padrão.
Sol.:
Seja “𝑥” a 𝑣. 𝑎. representando a ocorrência de cara, logo: 𝑝 =
1
2
; 𝑞 =
1
2
, 𝑐𝑜𝑚 𝑛 = 6:
a) 𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑛
𝑥
𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥 ⇒ 𝑃 𝑋 = 2 = 6
2
1
2
2 1
2
6−2
=
6!
2! 6−2 !
1
2
2 1
2
4
⇒
⇒ 𝑃 𝑋 = 2 =
6.5.4!
2.1.4!
1
2
6
= 15
1
64
⇒ 𝑃 𝑋 = 2 =
15
64
= 0,234.
𝛦 𝑋 = 𝑛𝑝 = 6
1
2
= 3; 𝑉 𝑋 = 𝑛𝑝𝑞 = 6.
1
2
.
1
2
=
3
2
= 1,5 𝜎 = 𝑉(𝑋) = 1,5 = 1,22
b) 𝑃 𝑋 > 4 = 𝑃 𝑋 = 5 + 𝑃 𝑋 = 6 =
7
64
= 0,109.
Obs.: o item “b” resolve da mesma forma que o “a”. DEVER DE CASA
Probabilidade
Distribuição Binomial - Aplicação:
2.) Três dados comuns e honestos serão lançados. Determine a probabilidade de que o
número 6 seja obtido mais de uma vez. Calcule a E(X); V(X); 𝜎 𝑋 .
Sol.:
O número 6 ser obtido mais de uma vez, é obter duas ou três vezes, ou seja:
Seja 𝑋 a 𝑣. 𝑎. representando a ocorrência do número 6, logo: 𝑃 𝑋 ≥ 2 =?
Lançar três dados é o mesmo que lançar um dado três vezes, logo, a probabilidade de
“sucesso” é ocorrer face 6, ou seja, 𝑝 =
1
6
. Não ocorrer face6 seria o “fracasso”, ou seja,
𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 −
1
6
=
5
6
. (obs.: o valor de 𝑝 é referente a obter o 6 quando lança-se um
dado, uma única vez).
𝑃 𝑋 ≥ 2 = 𝑃 𝑋 = 2 + 𝑃 𝑋 = 3 → 𝑏 𝑥; 𝑛; 𝑝 → 𝑏 2; 3;
1
6
; 𝑏(3; 3;
1
6
) .
Probabilidade
Distribuição Binomial - Aplicação:
2.) Sol.: (cont.)
𝑃 𝑋 ≥ 2 = 𝑃 𝑋 = 2 + 𝑃 𝑋 = 3 → 𝑏 𝑥; 𝑛; 𝑝 → 𝑏 2; 3;
1
6
; 𝑏(3; 3;
1
6
) .
𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑛
𝑥
𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥 ⇒?
𝑃 𝑋 = 2 = 3
2
1
6
2 5
6
3−2
=
3!
2!(3−2!
1
6
2 5
6
1
=
3.2!
2!.1
.
1
36
.
5
6
=
15
216
𝑃 𝑋 = 3 = 3
3
1
6
3 5
6
3−3
=
3!
3!(3−3!
1
6
3 5
6
0
= 1.
1
216
. 1 =
1
216
Logo:
𝑃 𝑋 ≥ 2 = 𝑃 𝑋 = 2 + 𝑃 𝑋 = 3 =
15
216
+
1
216
=
16
216
=
2
27
⇒ 𝑷 𝑿 ≥ 𝟐 =
𝟐
𝟐𝟕
= 𝟎, 𝟎𝟕𝟒.
𝛦 𝑋 = 𝑛𝑝 = 3
1
6
=
3
6
= 0,5; 𝑉 𝑋 = 𝑛𝑝𝑞 = 3.
1
6
.
5
6
=
15
36
= 0, 417; 𝜎 = 𝑉(𝑋) = 0,417 = 0,65
Probabilidade
Distribuição Binomial - Aplicação:
3.) Num teste do tipo certo-errado, com 100 perguntas, qual a probabilidade de um aluno,
respondendo as questões ao acaso, acertar 70% das perguntas?
Sol.:
- observa-se que o teste é do tipo certo-errado ⇒ 𝑝 = 𝑞 =
1
2
;
- o total de questões é igual a 100. Acertar 70% ⇒ 𝑥 = 70%. 100 = 70;
logo: 𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑛
𝑥
𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥 ⇒? 𝑏 𝑥; 𝑛; 𝑝 → 𝑏 70; 100;
1
2
𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑃 𝑋 = 70 = 100
70
1
2
70 1
2
100−70
= 100
70
1
2
100
⇒ 𝑃 𝑋 = 70 = 100
70
1
2
100
⇒
⇒ 𝑃 𝑋 = 70 = 2,31707 10 −5
Probabilidade
Distribuição Binomial - Aplicação:
4.) Se 10% das peças produzidas por uma maquina são defeituosas, achar a probabilidade
de que, numa amostra de 50 peças, escolhidas ao acaso, tenhamos:
a) três defeituosas; b) duas boas
Sol.: item a):
a) como nesse item o “sucesso” se refere a peças defeituosas, e como o problema
informa que 10% são defeituosas, então esse é o valor de 𝑝. Logo:
𝑛 = 50; 𝑝 = 10% = 0,10; 𝑒 𝑥 = 3, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎: 𝑏 𝑛; 𝑥; 𝑝 = 𝑏 50; 3; 0,10 .
𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑛
𝑥
𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥 ⇒ 𝑃 𝑋 = 3 = 50
3
0,10 3 0,90 50−3 =
50!
3! 50−3 !
0,10 3 0,90 47
⇒ 𝑃 𝑋 = 3 =
50.49.48.47!
3.2.1.47!
0,001 0,007070 ⇒ 𝑃 𝑋 = 3 = 0,1386.
Probabilidade
Distribuição Binomial - Aplicação: (cont.)
4.) Se 10% das peças produzidas por uma maquina são defeituosas, achar a probabilidade
de que, numa amostra de 50 peças, escolhidas ao acaso, tenhamos:
a) três defeituosas; b) duas boas
Sol.: item b):
b) como nesse item o “sucesso” se refere a peças boas, e como o problema informa que
90% são boas, então esse é o valor de 𝑝. Logo:
𝑛 = 50; 𝑝 = 90% = 0,90; 𝑒 𝑥 = 2, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎: 𝑏 𝑛; 𝑥; 𝑝 = 𝑏 50; 2; 0,90 .
𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑛
𝑥
𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥 ⇒ 𝑃 𝑋 = 2 = 50
2
0,90 2 0,10 50−2 =
50!
2! 50−2 !
0,90 2 0,10 48
⇒ 𝑃 𝑋 = 2 =
50.49.48!
3.2.1.48!
0,81 . 10 −48 ⇒ 𝑃 𝑋 = 2 ≅ 9,9225 10 −46.
Probabilidade
Distribuição Binomial
Dever de casa:
Série I – Capítulo 3 – Livro: Curso de Estatística
Autores: Jairo S. da Fonseca e Gilberto de A. Martins
Exercícios: 
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10.
Probabilidade