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PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS AULA 2 Profª Viviana Raquel Zurro. 2 CONVERSA INICIAL Caro aluno, este é um guia de estudos. Material de estudo, exemplos e exercícios resolvidos estão disponíveis no livro texto e no material de leitura obrigatória disponibilizados na aula. Podemos dizer que a transformada z é para sistemas discretos o que a transformada de Laplace representa para sistemas contínuos. Em sistemas contínuos, é comum trabalhar com a variável complexa s. Em sistemas discretos, a transformada z converte sinais em tempo discreto, compostos por uma sequência de números reais ou complexos, em uma representação complexa no domínio da frequência. A transformada z é considerada uma generalização da transformada de Fourier. Esta última apresenta limitações em relação à convergência, enquanto a primeira abrange uma gama mais ampla de sinais. Outra desvantagem da transformada de Fourier é que a notação é mais complexa que a da transformada z. Ela tem grande importância em processamento digital de sinais, em processos de amostragem e em análises de sistemas de controle discreto. Tanto a resposta em frequência quanto a estabilidade e a causalidade do sistema podem ser determinadas fazendo 𝑧 = ⅇ𝑗𝜔 e determinando polos e zeros do sistema. Trata- se também de uma ferramenta que, usada em conjunto com a transformada discreta de Fourier, pode determinar espectro de sinais discretos. TEMA 1 – DEFINIÇÃO E REGIÃO DE CONVERGÊNCIA Na Aula 1, equação (24), a transformada de Fourier foi definida como: 𝑋(ⅇ𝑗⍵) = ∑ 𝑥(𝑛)ⅇ−𝑗⍵𝑛 ∞ 𝑛=−∞ (1) Considerando a sequência infinita 𝑥(𝑛) como: 𝑥(𝑛)|𝑛=0,±1,±2,… (2) Podemos definir a transformada z como uma série de potências representada pela equação (3): 𝑋(𝑧) = ∑ 𝑥(𝑛)𝑧−𝑛 ∞ 𝑛=−∞ (3) 𝑋(𝑧) é o operador da transformada e pode ser definido como:e 3 𝑍{𝑥(𝑛)} = ∑ 𝑥(𝑛)𝑧−𝑛 ∞ 𝑛=−∞ = 𝑋(𝑧) (4) Analisando as equações (1) e (3), é possível ver que há semelhança entre as duas; portanto, podemos afirmar que substituindo a exponencial ⅇ𝑗⍵ pela varável complexa z, as transformadas de Fourier e z são semelhantes. A variável complexa z pode ser definida da seguinte forma: 𝑧 = 𝑟ⅇ𝑗⍵ Onde 𝑟 é o módulo da variável e ⍵ é o ângulo de fase. Substituindo na equação (3): 𝑋(𝑟ⅇ𝑗⍵) = ∑ 𝑥(𝑛)(𝑟ⅇ𝑗⍵) −𝑛 ∞ 𝑛=−∞ Logo: 𝑋(𝑟ⅇ𝑗⍵) = ∑ (𝑥(𝑛)𝑟−𝑛)ⅇ−𝑗⍵n ∞ 𝑛=−∞ (5) Para 𝑟 = 1, 𝑧 = ⅇ𝑗⍵. Assim, a equação (5) se transforma na equação (1). Como z é uma variável complexa, para interpretar a transformada é conveniente usar um plano complexo. A Figura 1 mostra o plano z com a circunferência unitária. Figura 1 – Plano complexo z e círculo de raio unitário O ângulo de fase do vetor z (⍵) é o ângulo entre o eixo real do plano e a posição do vetor. Podemos observar que, partindo de ⍵=0 (z=1) até ⍵=π (z=-1), 4 teremos a transformada de Fourier de x(n) para 0 ≤ ⍵ ≤ - π. Se continuarmos o giro no sentido anti-horário, chegaremos novamente ao ponto inicial z=1 para ⍵=2π. Podemos dizer então que a transformada de Fourier é periódica porque, se repetirmos o processo, a partir de 2π os cálculos se repetem. O período da transformada é de 2π porque o vetor faz voltas inteiras no círculo, chegando sempre ao ponto de partida (Oppenheim; Schafer, 2012). 1.1 Região de convergência Assim como a transformada de Fourier não é convergente para todas as sequências (a soma infinita pode não ser finita), a transformada z também não converge para todas as sequências ou valores de z. Por definição, a região de convergência (RDC) é aquela região na qual a série de potências da transformada z converge, ou seja, onde 𝑋(𝑧) é finita. |𝑋(𝑧)| = | ∑ 𝑥(𝑛)𝑧−𝑛 ∞ 𝑛=−∞ | < ∞ (6) Como a RDC é muito importante, ela deve ser indicada junto com a transformada z. Vejamos alguns exemplos. Para as sequências finitas a seguir, determine a transformada z e a RDC. O valor em vermelho indica o valor em n=o. 𝑥(𝑛) = {…𝑥(−3), 𝑥(−2), 𝑥(−1), 𝑥(0), 𝑥(1), 𝑥(3), 𝑥(3)… } 1 𝑥(𝑛) = {−2,1,0,3,4,2}: sequência infinita. 𝑋(𝑧) = −2𝑧3 + 𝑧2 + 3 + 4𝑧−1 + 2𝑧−2 Em 𝑧 = ∞, 𝑋(𝑧) = ∞, os termos 𝑥(−3) e 𝑥(−2) seriam multiplicados por ∞, portanto 𝑋(𝑧) = ∞. Em 𝑧 = 0, 𝑋(𝑧) = ∞, os termos 𝑥(1) e 𝑥(2) seriam divididos por 0, portanto 𝑋(𝑧) = ∞. RDC: todo o plano z, exceto em 𝑧 = 0 e 𝑧 = ∞. 2 𝑥(𝑛) = {−3,−1,3,7,1,4}: sequência lateral esquerda. 𝑋(𝑧) = −3𝑧5 − 𝑧4 + 3𝑧3 + 7𝑧2 + 𝑧 + 4 RDC: todo o plano z, exceto em 𝑧 = ∞. 3 𝑥(𝑛) = 2𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≥ 0: sequência lateral direita. 5 𝑥(𝑛) = 𝑥(0,1,2,3,4,5) = {0,2,4,8,16,32} 𝑋(𝑧) = 2𝑧−1 + 4𝑧−2 + 8𝑧−3 + 16𝑧−4 + 32𝑧−5 RDC: todo o plano z, exceto em 𝑧 = 0. Considerando os exemplos, é possível verificar que a região de convergência da transformada z cobre praticamente todo o plano z, com exceção de 𝑧 = 0 e 𝑧 = ∞. Além disso, o expoente de z determina a localização temporal das amostras. Portanto, 𝑧−𝑘 pode ser interpretado como um operador de deslocamento com um atraso de 𝑘𝑇𝑎 segundos (sendo 𝑇𝑎 o período de amostragem). A região de convergência para uma sequência infinita é dada pela equação (7): |𝑋(𝑧)| ≤ ∑ |𝑥(𝑛)𝑟−𝑛| −1 𝑛=−∞ +∑|𝑥(𝑛)𝑟−𝑛| ∞ 𝑛=0 (7) Fazendo mudança de variável: |𝑋(𝑧)| ≤ ∑|𝑥(−𝑛)𝑟𝑛| ∞ 𝑛=0 +∑|𝑥(𝑛)𝑟−𝑛| ∞ 𝑛=0 (8) As equações (7) e (8) são iguais. Na equação (8), o primeiro termo representa uma sequência lateral esquerda. A RDC desta sequência é a parte interna de um círculo com raio 𝑅𝐻 < ∞. O segundo termo representa uma sequência lateral direita cuja RDC é a parte externa de um círculo de raio 𝑅𝐿 > 0. Então, a RDC de uma sequência infinita será um anel correspondente à interseção das RDC de sequências laterais esquerdas e direitas. A Figura (2) mostra diferentes regiões de convergência. Figura 2 – Região de convergência de sequências: (a) lateral esquerda (a) (b) (c) 𝑅𝐻 < ∞, (b) lateral direita 𝑅𝐿 > 0, (c) infinita 𝑅𝐿 < |𝑧| < 𝑅𝐻. 6 Vejamos as propriedades da RDC. Primeiramente, é um anel centrado na origem: 0 ≤ 𝑅𝐿 < |𝑧| < 𝑅𝐻 Se a região de convergência contém o raio unitário, a transformada de Fourier da sequência converge absolutamente porque 𝑧 = ⅇ𝑗⍵ pertence ao círculo unitário. Além disso (Albuquerque, 2000): não existem polos na RDC; para sequências de duração finita, a região de convergência se estende por todo o plano z, com exceção de 𝑧 = 0 e 𝑧 = ∞; para sequências laterais esquerdas, se estende desde zero até o polo mais próximo (mais interno); para sequências laterais direitas, se estende a partir do polo mais externo para fora, incluindo provavelmente 𝑧 = ∞; no caso das sequências bilaterais infinitas, a RDC tem forma de anel e não contém polos; a transformada de Fourier da sequência converge se, e somente se, a transformada z da mesma contiver o círculo unitário. A Tabela 1 mostra algumas transformadas z básicas. 7 Tabela 1 – pares comuns de transformadas z Fonte: Oppenheim; Schafer, 2012. A Figura 3 mostra diferentes RDC de quatro transformadas z correspondentes a sequências diferentes com os mesmos polos e zeros. Figura 3 – (a) Sequência lateral direita. (b) Sequência lateral esquerda. (c) e (d) Sequências bilaterais 8 Fonte: Oppenheim; Schafer, 2012. TEMA 2 – TRANSFORMADA Z INVERSA No processamento de sinais em tempo discreto, a transformada z pode ser usadapara trabalhar e processar certas sequências no plano z com alguma finalidade. No entanto, vezes é necessário levar novamente essas sequências do plano z para o domínio do tempo, uma vez processadas. Para isso, utiliza-se a transformada inversa. Os polos e zeros são parâmetros muito importantes na análise e na inversão das transformadas z. Os zeros são determinados pelos valores que zeram a função (zeros no numerador) e os polos são determinados pelos valores que levam a amplitude da função a infinito (zeros no denominador). Portanto, podemos concluir que a região de convergência de uma transformada não pode conter polos. 9 2.1 Integral de contorno A transformada inversa é definida pela seguinte integral de contorno, sendo C a região de contorno em sentido anti-horário que inclui a origem: 𝑥(𝑛) = 1 2𝜋𝑗 ∮ 𝑋(𝑧)𝑧𝑛−1𝑑𝑧 𝐶 (9) Segundo a integral de Cauchy: 1 2𝜋𝑗 ∮ 𝑧−𝑘𝑑𝑧 𝐶 = { 1, 𝑘 = 1 0, 𝑘 ≠ 1 (10) A equação (9) pode ser deduzida trabalhando com as equações (3) e (10). Se a RDC incluir o círculo unitário, a região de contorno estará limitada por |𝑧| = 1; se nesse caso substituirmos z por ⅇ𝑗⍵, teremos a transformada de Fourier, cujo contorno está entre ±𝜋. Mas a equação (9) é difícil de trabalhar, motivo pelo qual não é muito usada. 2.2 Método de inspeção Este é um método simples que permite calcular a transformada inversa, reconhecendo pares conhecidos da transformada z, como os mostrados na Tabela 1. Por exemplo, dada a transformada z, determine o sinal causal à qual essa transformada pertence: 𝑋(𝑧) = −1 1 − 0,5𝑧−1 + 2 1 − 𝑧−1 (11) Sendo o sinal causal por definição, a RDC é lateral direita, portanto |𝑧| > 𝑅𝐻 = 1. Observando a Tabela 1, substituindo o primeiro termo pelo par da linha 5 e o segundo termo pelo par da linha 2, temos que a sequência x(n) vai ser dada por: 𝑥(𝑛) = − 1 2 𝑢(𝑛) + 2𝑢(𝑛) (12) 2.3 Expansão por frações parciais No caso da transformada ser dada pela razão de dois polinômios, este método é adequado: 𝑋(𝑧) = 𝑁(𝑧) 𝐷(𝑧) = ∑ 𝑏𝑘𝑧 −𝑘𝑀 𝑘=0 ∑ 𝑎𝑘𝑧−𝑘 𝑁 𝑘=0 (13) 10 O polinômio deve ser decomposto em polinômios de ordem menor (no geral de primeira ordem). A seguir, identifica-se na Tabela 1 a sequência temporal correspondente. A transformada z é a soma das sequências. Primeiramente, é necessário identificar os polos e zeros da função expressando X(z) em função do produtório. 𝑋(𝑧) = 𝑏0 𝑎0 ∏ (1 − 𝑐𝑘𝑧 −1)𝑀𝑘=1 ∏ (1 − 𝑑𝑘𝑧−1) 𝑁 𝑘=1 (14) Onde 𝑐𝑘 são os zeros não nulos e 𝑑𝑘 são os polos não nulos de X(z). Vejamos o primeiro caso. M<N e todos os polos de primeira ordem. 𝑋(𝑧) = ∑ 𝐴𝑘 1 − 𝑑𝑘𝑧−1 𝑁 𝑘=1 (15) Os parâmetros Ak serão calculados de acordo com a equação a seguir: 𝐴𝑘 = (1 − 𝑑𝑘𝑧 −1)𝑋(𝑧)|𝑧=𝑑𝑘 (16) Vejamos o segundo caso. M≥N e todos os polos de primeira ordem. 𝑋(𝑧) = ∑ 𝐵𝑘 𝑀−𝑁 𝑘=0 𝑧−𝑘 +∑ 𝐴𝑘 1 − 𝑑𝑘𝑧−1 𝑁 𝑘=1 (17) Os parâmetros Ak são calculados de acordo com a equação (16) e os Bk pela divisão longa entre numerador e denominador. Vejamos agora o terceiro caso. M≥N e um polo dj de ordem múltipla L>1. 𝑋(𝑧) = ∑ 𝐵𝑘 𝑀−𝑁 𝑘=0 𝑧−𝑘 +∑ 𝐴𝑘 1 − 𝑑𝑘𝑧−1 𝑁 𝑘=1 𝑘≠𝑗 +∑ 𝐶𝑙 (1 − 𝑑𝑗𝑧−1) 𝑙 𝐿 𝑙=1 (18) L é a ordem do polo e os parâmetros Ak e Bk são calculados, como explicado anteriormente. Os parâmetros Cl serão calculados com a seguinte fórmula: 𝐶𝑙 = 1 (𝐿 − 𝑙)! (−𝑑𝑗) 𝐿−1 [ 𝑑𝐿−1 𝑑𝑧𝐿−1 (1 − 𝑑𝑗𝑧 −1) 𝐿 𝑋(𝑧)] 𝑧=𝑑𝑗 (19) 2.4 Expansão por série de potências Neste caso, a transformada seria dada pela série de Laurent, em que os valores da sequência são os coeficientes de z-n. 𝑋(𝑧) = ∑ 𝑥(𝑛)𝑧−𝑛 ∞ 𝑛=−∞ = ⋯+ 𝑥(−1)𝑧1 + 𝑥(0) + 𝑥(1)𝑧−1 +⋯ (20) Calcula-se posteriormente x(n) por inspeção. 11 2.5 Divisão longa Este método é aplicado quando a transformada z é o quociente entre dois polinômios. Nesse caso, o valor encontrado para z-n é o valor x(n) da sequência. É necessário ter cuidados especiais ao aplicar o método de inversão, porque o jeito como a divisão é feita depende da RDC. TEMA 3 – PROPRIEDADES E TEOREMAS As propriedades da transformada z são similares às da transformada de Fourier. É conveniente conhecer essas propriedades, porque elas podem ser usadas em conjunto com as técnicas explicadas anteriormente, para resolver as transformadas inversas de expressões complicadas (Oppenheim; Schafer, 1975). 𝑥(𝑛) 𝑍 ↔𝑋(𝑧), 𝑅𝐷𝐶 = 𝑅𝑥 3.1 Linearidade Duas séries diferentes com suas transformadas correspondentes: 𝑎𝑥1(𝑛) + 𝑏𝑥2(𝑛) 𝑍 ↔𝑎𝑋1(𝑧) + 𝑏𝑋2(𝑧) 𝑅𝐷𝐶: 𝑅𝑋1 ∩ 𝑅𝑋2 (21) A região de convergência é a interseção das regiões de convergência de 𝑋1 e 𝑋2. 3.2 Deslocamento no tempo Neste caso, n0 é um número inteiro. Se for positivo, a sequência será deslocada para a direita, e se for negativo será para a esquerda. A RDC pode ser modificada porque poderá haver alteração no número de polos em z=0 ou z=∞. 𝑥(𝑛 − 𝑛0) 𝑍 ↔𝑧−𝑛0𝑋(𝑧) 𝑅𝐷𝐶: 𝑅𝑋 ⅇ𝑥𝑐ⅇ𝑡𝑜 ⅇ𝑚 𝑧 = 0 ⅇ/𝑜𝑢 𝑧 = ∞ (22) 3.3 Multiplicação por uma sequência exponencial A RDC é igual à região de convergência da sequência x(n) multiplicada pelo módulo de a. 12 𝑎𝑛𝑥(𝑛) 𝑍 ↔𝑋(𝑎−1𝑧) 𝑅𝐷𝐶: |𝑎|𝑅𝑋 (23) 3.4 Diferenciação de X(z) 𝑛𝑥(𝑛) 𝑍 ↔− 𝑧 𝑑𝑋(𝑧) 𝑑𝑧 𝑅𝐷𝐶: 𝑅𝑋 ⅇ𝑥𝑐ⅇ𝑡𝑜 ⅇ𝑚 𝑧 = 0 ⅇ/𝑜𝑢 𝑧 = ∞ (24) 3.5 Conjugação de uma sequência complexa 𝑥∗(𝑛) 𝑍 ↔𝑋∗(𝑧∗) 𝑅𝐷𝐶: 𝑅𝑋 (25) 3.6 Reflexão no tempo 𝑥(−𝑛) 𝑍 ↔𝑋(𝑧−1) 𝑅𝐷𝐶: 1 𝑅𝑋⁄ (26) 3.7 Convolução de sequências 𝑥(𝑛) ∗ 𝑦(𝑛) 𝑍 ↔𝑋(𝑧)𝑌(𝑧) 𝑅𝐷𝐶: 𝑅𝑋 ∩ 𝑅𝑌 (27) 3.8 Teorema do valor inicial Se x(n)=0 para n<0: 𝑥(0) = lim 𝑧→∞ 𝑋(𝑧) (28) Neste caso, x(n) é uma sequência causal. 3.9 Teorema do valor final lim 𝑛→∞ 𝑥(𝑛) = lim 𝑧→1 (1 − 𝑧−1)𝑋(𝑧) (29) 3.10 Teorema da convolução complexa Na equação (27), verificamos que a transformada da convolução de duas sequências é igual ao produto das transformadas das sequências individuais. 13 Sabemos que, para sinais em tempo contínuo e transformada de Fourier, existe uma dualidade entre domínio do tempo e domínio da frequência. Em tempo contínuo, a convolução das funções leva ao produto das transformadas, e a convolução das transformadas leva ao produto das funções no tempo. No caso das sequências, essa dualidade não é tão exata, devido ao fato de que as sequências são discretas, enquanto suas transformadas são contínuas. Mas é possível obter uma relação em que a transformada z de um produto de sequências seja similar à convolução. Sendo 𝑦(𝑛) = 𝑥1(𝑛)𝑥2(𝑛) 𝑌(𝑧) = 1 2𝜋𝑗 ∮ 𝑋1 𝐶1 (𝑣)𝑋2 ( 𝑧 𝑣 ) 𝑣−1𝑑𝑣 𝑜𝑢 𝑌(𝑧) = 1 2𝜋𝑗 ∮ 𝑋1 ( 𝑧 𝑣 )𝑋2 𝐶2 (𝑣)𝑣−1𝑑𝑣 𝑅𝐷𝐶: (𝑅𝑋1𝑅𝑋2)𝐿 < |𝑧| < (𝑅𝑋1𝑅𝑋2)𝐻 (30) Se C1 conter o círculo unitário, a transformada de Fourier existe: 𝑌(ⅇ𝑗⍵) = 1 2𝜋 ∫ 𝑋1(ⅇ 𝑗⍵)𝑋2(ⅇ 𝑗(⍵−𝜃)) 𝜋 −𝜋 𝑑𝜃 (31) Este teorema é a base do método de janelamento para o projeto de filtros digitais não recursivos (Aula 5). 3.11 Teorema de Parseval ∑ 𝑥1(𝑛)𝑥2 ∗(𝑛) ∞ 𝑛=−∞ = 1 2𝜋𝑗 ∮ 𝑋1(𝑣)𝑋2 ∗ ( 1 𝑣∗ ) 𝑣−1𝑑𝑣 𝐶 (32) Se a RDC conter o círculo unitário, a transformada de Fourier existe: ∑ 𝑥1(𝑛)𝑥2 ∗(𝑛) ∞ 𝑛=−∞ = 1 2𝜋 ∫ 𝑋1(ⅇ 𝑗⍵)𝑋2 ∗(ⅇ𝑗⍵)𝑑⍵ 𝜋 −𝜋(33) Caso particular, se 𝑥(𝑛) = 𝑥1(𝑛) = 𝑥2(𝑛): ∑ |𝑥(𝑛)|2 ∞ 𝑛=−∞ = 1 2𝜋 ∫ |𝑋(ⅇ𝑗⍵)| 2 𝑑⍵ 𝜋 −𝜋 (34) É possível calcular a equação (34) tanto no domínio da frequência quanto no domínio do tempo, e representando a energia de x(n). Na Tabela 2, podemos observar algumas propriedades da transformada z (Oppenheim; Schafer, 2012). 14 Tabela 2 – Propriedades da transformada z TEMA 4 – SISTEMAS LINEARES Devido a suas propriedades e características, a transformada z é uma ferramenta matemática muito importante para trabalhar com sistemas LIT. A aplicação mais comum da transformada z é para verificar resposta em frequência, além da causalidade e da estabilidade de um sistema. De acordo com o que apresentamos na Aula 1, a saída de um sistema LIT y(n) é igual à convolução entre a sequência de entrada x(n) e a resposta à função amostra unitária h(n). 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) ∗ ℎ(𝑛) (35) Considerando a propriedade de convolução da equação (27), temos que: 𝑌(𝑧) = 𝑋(𝑧)𝐻(𝑧) (36) X(z) e H(z) são as transformadas de x(n) e h(n), respectivamente. H(z) é chamada de função de transferência ou função do sistema; é a relação entre saída e entrada do sistema LIT, cuja resposta ao impulso é h(n). Para analisar o sistema no domínio da frequência, basta estabelecer 𝑧 = ⅇ𝑗𝜔. Vejamos um exemplo. Considerando duas sequências de comprimento infinito ℎ(𝑛) = 𝑎𝑛𝑢(𝑛) e 𝑥(𝑛) = 𝐴𝑢(𝑛), calcular a saída do sistema usando a transformada z. Vamos passar para a resolução. A saída do sistema é dada pela 15 convolução de x(n) com h(n): 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) ∗ ℎ(𝑛). O primeiro a ser feito é calcular a transformada das duas sequências. 𝐻(𝑧) = ∑𝑎𝑛𝑧−𝑛 ∞ 𝑛=0 = 1 1 − 𝑎𝑧−1 |𝑧| > |𝑎| 𝑋(𝑧) = ∑𝐴𝑧−𝑛 ∞ 𝑛=0 = 𝐴 1 − 𝑧−1 |𝑧| > 1 Sendo |𝑎| < 1, transformada da convolução é: 𝑌(𝑧) = 𝐴 (1 − 𝑎𝑧−1)(1 − 𝑧−)1 = 𝐴𝑧2 (𝑧 − 𝑎) ⋅ (𝑧 − 1) |𝑧| > 1 Fazendo expansão por frações parciais: 𝑌(𝑧) = 𝐴 1 − 𝑎 ( 1 1 − 𝑧−1 − 𝑎 1 − 𝑎𝑧−1 ) |𝑧| > 1 Como y(n) é a transformada inversa de Y(z): 𝑦(𝑛) = 𝐴 1 − 𝑎 (1 − 𝑎𝑛+1)𝑢(𝑛) Na Figura 4, podemos observar que a transformada da convolução dessas duas sequências de comprimento infinito tem um zero duplo na origem e polos em a e em 1. A RDC da convolução é dada pela superposição das RDCs individuais. Figura 4 – Polos, zeros e RDC da transformada Y(z) da convolução de sequências de comprimento infinito 4.1 Função de transferência a partir de uma equação de diferenças Na Aula 1, já vimos que a equação de diferenças é definida por: 16 𝑦(𝑛) = −∑( 𝑎𝑘 𝑎0 ) 𝑦(𝑛 − 𝑘) 𝑁 𝑘=1 +∑( 𝑏𝑘 𝑎0 ) 𝑥(𝑛 − 𝑘) 𝑀 𝑘=0 (37) A transformada z é muito útil para trabalhar com equações de diferença. Essas equações, quando a entrada é nula para 𝑛 ≤ 0, comportam-se como sistemas causais. Para conhecer a função do sistema, aplicaremos à equação (37) as propriedades de linearidade e deslocamento no tempo. Na maioria dos casos, se estabelece que 𝑎0 = 1. 𝑌(𝑧) = −∑( 𝑎𝑘 𝑎0 ) 𝑧−𝑘𝑌(𝑧) 𝑁 𝑘=1 +∑( 𝑏𝑘 𝑎0 ) 𝑧−𝑘𝑋(𝑧) 𝑀 𝑘=0 (38) Deixando Y(z) em função de X(z): 𝑌(𝑧) = ( ∑ 𝑏𝑘𝑧 −𝑘𝑀 𝑘=0 ∑ 𝑎𝑘𝑧−𝑘 𝑁 𝑘=0 )𝑋(𝑧) (39) Desta última equação, podemos deduzir que a função de transferência será: 𝐻(𝑧) = 𝑌(𝑧) 𝑋(𝑧) = ∑ 𝑏𝑘𝑧 −𝑘𝑀 𝑘=0 ∑ 𝑎𝑘𝑧−𝑘 𝑁 𝑘=0 (40) Como o sistema é causal, a RDC deverá ser |𝑧| > 𝑟𝑅. Como a RDC não pode conter polos, 𝑟𝑅 é o polo de H(z) mais distante da origem. Os zeros do numerador determinam o zero de H(z), e os zeros do denominador determinam os polos de H(z). A equação (40) pode ser escrita em função do seus polos e zeros da seguinte maneira: 𝐻(𝑧) = 𝑏0 𝑎0 (1 − 𝑐1𝑧 −1)(1 − 𝑐2𝑧 −1)… (1 − 𝑑1𝑧−1)(1 − 𝑑2𝑧−1)… = 𝑏0 𝑎0 ∏ (1 − 𝑐𝑘𝑧 −1) 𝑀 𝑘=1 ∏ (1 − 𝑑𝑘𝑧−1) 𝑁 𝑘=1 (41) Cada fator (1 − 𝑐𝑘𝑧 −1) corresponde a um zero em 𝑧 = 𝑐𝑘, e cada fator (1 − 𝑑𝑘𝑧 −1) corresponde a um polo em 𝑧 = 𝑑𝑘 e um zero na origem. Vejamos um exemplo. Um determinado sistema causal é determinado pela seguinte equação de diferenças: 𝑦(𝑛) = 1 2 𝑦(𝑛 − 1) + 𝑥(𝑛) Qual é a função do sistema H(z)? Calcule os polos e zeros do sistema e faça o gráfico do módulo e da fase de H(z). Vejamos a resolução: 𝑌(𝑧) = 0,5z−1𝑌(𝑧) + 𝑋(𝑧) (1 − 0,5𝑧−1)𝑌(𝑧) = 𝑋(𝑧) 17 𝐻(𝑧) = 𝑌(𝑧) 𝑋(𝑧) = 1 1 − 0,5𝑧−1 : |𝑧| > 0,5 H(z) tem um polo em 𝑧 = 0,5 e um zero na origem. Como o polo está localizado dentro do círculo unitário, H(z) converge para 𝑧 = ⅇ𝑗𝜔 . Vejamos a resposta em frequência: 𝐻(ⅇ𝑗𝜔) = 1 1 − 0,5ⅇ−𝑗𝜔 Cálculo do módulo de 𝐻(ⅇ𝑗𝜔): |𝐻(ⅇ𝑗𝜔)| = √𝐻(ⅇ𝑗𝜔)𝐻∗(ⅇ𝑗𝜔) = √ 1 1 − 0,5ⅇ−𝑗𝜔 ⋅ 1 1 − 0,5ⅇ𝑗𝜔 Resolvendo o denominador: 𝐷 = (1 − 0,5ⅇ−𝑗𝜔) ⋅ (1 − 0,5ⅇ𝑗𝜔) = 1 − 0,5ⅇ𝑗𝜔 − 0,5ⅇ−𝑗𝜔 + 0, 52ⅇ−𝑗𝜔ⅇ𝑗𝜔 = 1,25 − 0,5(ⅇ𝑗𝜔 + ⅇ−𝑗𝜔) Considerando a fórmula de Euler: 𝑐𝑜𝑠(𝜔) = ⅇ𝑗𝜔 + ⅇ−𝑗𝜔 2 ⟹ ⅇ𝑗𝜔 + ⅇ−𝑗𝜔 = 2𝑐𝑜𝑠(𝜔) A equação do denominador fica: 𝐷 = 1,25 − 𝑐𝑜𝑠(𝜔) Portanto: |𝐻(ⅇ𝑗𝜔)| = √ 1 1,25 − 𝑐𝑜𝑠(𝜔) Cálculo da fase: 𝐻(ⅇ𝑗𝜔) = 𝐻(ⅇ𝑗𝜔) 𝐻∗(ⅇ𝑗𝜔) 𝐻∗(ⅇ𝑗𝜔) = 1 1 − 0,5ⅇ−𝑗𝜔 . 1 − 0,5ⅇ𝑗𝜔 1 − 0,5ⅇ𝑗𝜔 = 𝐻(ⅇ𝑗𝜔) = 1 − 0,5 𝑐𝑜𝑠(𝜔) − 𝑗0,5𝑠ⅇ𝑛(𝜔) 1,25 − 𝑐𝑜𝑠(𝜔) Então a fase pode ser definida como: ∡𝐻(ⅇ𝑗𝜔) = 𝑡𝑎𝑛−1 { 𝐼𝑚[𝐻(ⅇ𝑗𝜔)] 𝑅ⅇ[𝐻(ⅇ𝑗𝜔)] } = 𝑡𝑎𝑛−1 ( −0,5𝑠ⅇ𝑛(𝜔) 1 − 0,5 𝑐𝑜𝑠(𝜔) ) A Figura 5 mostra a amplitude e a fase da função do sistema. Figura 5 – (a) Resposta em frequência do módulo da função. (b) Resposta em frequência da fase da função – ângulo em radianos 18 (a) (b) 4.2 Estabilidade e causalidade Para que H(z) represente a resposta em frequência do sistema, ela deve incluir o círculo unitário. Portanto, 𝑧 = ⅇ𝑗𝜔. A condição necessária e suficiente para um sistema LIT ser estável é que h(n) seja absolutamente somável, então: ∑ |ℎ(𝑛)| ∞ 𝑛=−∞ < ∞ (42) Para que a RDC inclua o círculo unitário: |𝐻(𝑧)| = ∑ |ℎ(𝑛)𝑧−𝑛| ∞ 𝑛=−∞ = ∑ |ℎ(𝑛)||𝑧−𝑛| ∞ 𝑛=−∞ Então, quando |𝑧| = 1 (círculo de raio unitário): |𝐻(𝑧)| = ∑ |ℎ(𝑛)| ∞ 𝑛=−∞ (43) Um sistema LIT é estável quando a região de convergência inclui o círculo unitário (teorema da estabilidade no domínio da transformada z) (Oppenheim; Schafer, 1975). O sistema é causal se satisfaz a seguinte condição: 0 0,5 1 1,5 2 2,5 |H(e^jω )| ω -π π -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 ∠H(e^jω ) ω -π π 19 ℎ(𝑛) = 0: 𝑛 < 0 (44) Como podemos ver, h(n) é uma sequência lateral direita, sendo a RDC para fora de um círculo cujo raio é determinado pelo polo de H(z) que está mais longe da origem. Portanto, a estabilidade e causalidade de um sistema SLDI (LIT) é verificada através da obtenção dos polos de sua função de transferência e checando se todos eles têm módulo menor do que 1 (Albuquerque, 2000). Vejamos os sistemas: Sistema estável: A RDC inclui o círculo unitário, não contém polos e tem forma de anel; Sistema causal: A RDC é externa ao polo de módulo maior e não o inclui; Sistema causal e estável: todos os polos se encontram dentro do círculo de raio unitário. 4.3 Resposta em frequência a partir dos polos e zeros Como visto na equação (41), a função do sistema pode ser expressa em função dos seus polos e zeros. Ela podeser reescrita da seguinte maneira: 𝐻(𝑧) = (𝑧 − 𝑐1)(𝑧 − 𝑐2)⋯ (𝑧 − 𝑐𝑀) (𝑧 − 𝑑1)(𝑧 − 𝑑2)⋯ (𝑧 − 𝑑𝑁) (45) Os parâmetros c indicam os zeros e os d os polos. O módulo é calculado pela equação (46): |𝐻(𝑧)| = |𝑧 − 𝑐1||𝑧 − 𝑐2|⋯ |𝑧 − 𝑐𝑀| |𝑧 − 𝑑1||𝑧 − 𝑑2|⋯ |𝑧 − 𝑑𝑁| (46) Para a resposta em amplitude, usa-se 𝑧 = ⅇ𝑗𝜔 com ω variando entre ±π o qual corresponde a calcular H(z) no círculo unitário. A resposta em amplitude do sistema dependerá da posição de cada polo e zero no plano z. Se o polo estiver perto de z=0, ele praticamente não terá muita influência na resposta. Mas se ele estiver perto do círculo unitário, a resposta será bem pronunciada (aguda). No caso dos zeros, se estiver perto de z=0, também não terão muita influência, mas se estiverem perto do círculo unitário, a característica apresentará um vale nas frequências próximas do zero. TEMA 5 – TRANSFORMADA Z UNILATERAL A equação (3) define a transformada z bilateral, ou seja, para os dois lados de n=0. A diferença com a transformada unilateral da equação (47) é que, para 20 a transformada unilateral, independentemente dos valores de x(n) para n<0, o limite inferior da soma é sempre fixado em zero. 𝑋(𝑧) = ∑𝑥(𝑛)𝑧−𝑛 ∞ 𝑛=0 (47) No caso de x(n) ser igual a zero para todos os valores de n<0, as transformadas unilateral e bilateral são iguais. Elas serão diferentes no caso de x(n) ser diferente de zero para n<0. Veja o exemplo da Figura 6. Figura 6 – Transformada unilateral de uma função impulso. A equação 3.74 é a equação (47) Fonte: Oppenheim; Schafer, 2012. Se considerarmos uma transformada bilateral de uma sequência lateral direita, veremos que as propriedades da transformada unilateral são as mesmas devido a que a transformada unilateral desconsidera todas as componentes laterais esquerdas. Para todas as transformadas unilaterais, a RDC será |𝑧| > 𝑟𝑅, e para as transformadas unilaterais racionais, será definida pelo polo que está mais afastado de z=0. As equações de diferença da forma da equação (37) são usadas geralmente considerando condições de repouso inicial. Mas, em outros casos, as propriedades de deslocamento no tempo e de linearidade são ferramentas fundamentais para a transformada z unilateral. Enquanto a propriedade de linearidade é igual para as transformadas bi e unilateral, a propriedade de deslocamento no tempo não é devido a que o limite inferior da transformada unilateral é fixado em zero. 21 5.1 Propriedade de deslocamento no tempo para a transformada z unilateral Para determinar essa propriedade, vamos considerar a sequência 𝑥(𝑛) com transformada unilateral 𝑋(𝑛), e 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛 − 1). Portanto: 𝑌(𝑧) = ∑𝑋(𝑛 − 1)𝑧−𝑛 ∞ 𝑛=0 (48) Substituindo o índice 𝑛 por 𝑛 = 𝑚 − 1: 𝑌(𝑧) = ∑ 𝑥(𝑚)𝑧−(𝑚+1) ∞ 𝑚=−1 = 𝑥(−1) + 𝑧−1 ∑ 𝑥(𝑚)𝑧−𝑚 ∞ 𝑚=0 (49) Trabalhando com a equação (49): 𝑌(𝑧) = 𝑥(−1) + 𝑧−1 ⋅ 𝑋(𝑧) (50) Para 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛 − 𝑘) com 𝑘 = 0, a transformada ficará de acordo com a equação (51). 𝑌(𝑧) = ∑ 𝑥(𝑚 − 𝑘 − 1)𝑧−𝑚+1 𝑘 𝑚=1 + 𝑧−𝑘𝑋(𝑧) (51) No exemplo a seguir, mostraremos o uso da transformada z unilateral para calcular a saída de uma equação de diferença cujas condições iniciais são diferentes de zero. Vejamos um exemplo. A equação de diferenças representa um sistema linear com coeficientes constantes. Considerando 𝑥(𝑛) = 0 para 𝑛 < 0 e a condição inicial em 𝑛 = −1 equivale a 𝑦(−1). 𝑦(𝑛) − 𝑎𝑦(𝑛 − 1) = 𝑥(𝑛) (52) 𝑌(𝑧) − 𝑎𝑦(−1) − 𝑎𝑧−1𝑌(𝑧) = 𝑋(𝑧) (53) Isolando 𝑌(𝑧): 𝑌(𝑧) = 𝑎𝑦(−1) 1 − 𝑎𝑧−1 + 1 1 − 𝑎𝑧−1 𝑋(𝑧) (54) Se 𝑦(−1) = 0, sendo 𝑌(𝑧) = 𝐻(𝑧)𝑋(𝑧): 𝐻(𝑧) = 1 1 − 𝑎𝑧−1 |𝑧| > |𝑎| (55) Esta função do sistema corresponde à equação de diferenças (52), quando iterada com as condições de repouso inicial. Se 𝑥(𝑛) = 0 ∀ 𝑛: 𝑦(𝑛) = 𝑦(−1)𝑎𝑛+1 𝑛 ≥ −1 Portanto, se 𝑦(−1) ≠ 0, o sistema não terá um comportamento linear, devido ao fato de que a propriedade de mudança de escala para sistemas 22 lineares diz que, quando a entrada for nula para todo n, a saída deverá ser nula para todo n. Por exemplo, considerando 𝑥(𝑛) = 𝐴𝑢(𝑛): 𝑋(𝑧) = 𝐴 1 − 𝑧−1 |𝑧| > 1 A equação para 𝑦(𝑛) com 𝑛 ≥ −1 fica: 𝑌(𝑧) = 𝑎𝑦(−1) 1 − 𝑎𝑧−1 + 𝐴 (1 − 𝑎𝑧−1)(1 − 𝑧−1) (56) Resolvendo a equação (56), chegamos à solução completa: 𝑦(𝑛) = { 𝑦(−1) 𝑛 = −1 𝑦(−1)𝑎𝑛+1⏟ 𝑅𝐸𝑁 + 𝐴 1 − 𝑎 (1 − 𝑎𝑛+1) ⏟ 𝑅𝐶𝐼𝑁 𝑛 ≥ 0 (57) Como podemos ver na equação (57), a resposta do sistema é composta de duas partes: REN (resposta à entrada nula) e RCIN (resposta a condições iniciais nulas). A REN corresponde a A=0 e RCIN é a componente diretamente proporcional à entrada (linearidade), e permanece quando 𝑦(−1) = 0. FINALIZANDO Nesta aula, estudamos o capítulo 3 do livro. Estudamos a transformada z de uma sequência, mostrando que ela é uma generalização da transformada de Fourier. Verificamos que a transformada z pode convergir onde a transformada de Fourier não converge. O estudo concentrou-se na própria transformada z e na transformada z inversa. Tivemos a oportunidade de trabalhar tanto no domínio do tempo discreto quanto na frequência. Vimos propriedades fundamentais da transformada z, assim como sua região de convergência; estudamos também as técnicas de transformação inversa. Trabalhamos a relação entre domínio do tempo e domínio da frequência para sequências, estudando a função do sistema, também chamada de função de transferência. Uma parte importante desta aula foi o estudo de algumas propriedades que facilitam a análise de sequências (sinais) em tempo discreto. Capítulo 3: Introdução – página 61 23 REFERÊNCIAS ALBUQUERQUE, M. P. D. Processamento de Sinais. Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas, 2000. Disponivel em: <www.cbpf.br/cat/pdsi/pps/AulaDeMotivacao.pps>. Acesso em: 16 mar. 2018. OPPENHEIM, A. V.; SCHAFER, R. W. Digital Signal Processing. New Jersey: Prentice-Hall, 1975. _____. Processamento em Tempo Discreto de Sinais. 3. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012.
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