Prob_5ºEncontro_S99(01) a S7117(19)-Aula-PDF

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Curso de Estatística
Prof. Leudo
Probabilidade
A distribuição normal é também chamada distribuição gaussiana, distribuição de
Gauss ou distribuição de Laplace–Gauss, em referência aos matemáticos, físicos e
astrônomos francês Pierre–Simon Laplace (1749 – 1827) e o alemão Carl Friedrich
Gauss (1777 – 1855).
Def.: Seja 𝑋 uma variável aleatória contínua. Dizemos que 𝑋 tem uma Distribuição
Normal com parâmetros 𝜇 e 𝜎2 ( 0 ≤ 𝜎2 ≤ ∞ ) se sua função densidade de
probabilidade for dada por:
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝝈 𝟐𝝅
𝒆
−
𝟏
𝟐
𝑿−𝝁
𝝈
𝟐
; −∞ ≤ 𝑥 ≤ ∞ Gráfico
Onde:
𝜇 = média da distribuição
𝜎 = desvio-padrão da distribuição
𝜋 = 3,1416 ...
e = 2,7183 ....
Probabilidade
 X 
−∞ 𝜇 ∞ 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Pierre_Simon_Laplace
https://pt.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss
Probabilidade
› 𝑓 𝑥 =
1
𝜎 2𝜋
𝑒
−
1
2
𝑋−𝜇
𝜎
2
𝒁 =
𝑿−𝝁
𝝈
𝑓 𝑍 =
1
2𝜋
𝑒−
1
2
𝑍2
› Então:
𝑓(𝑥) 𝑓(𝑧)
𝑍 =
𝑋−𝜇
𝜎
› 𝑃 𝑥1 ≤ 𝑋 ≤ 𝑥2 = 𝑃 𝑧1 ≤ 𝑍 ≤ 𝑧2 = 𝑧1׬
𝑧2 𝑓 𝑧 𝑑𝑧 = 𝑧1׬
𝑧2 1
2𝜋
𝑒−
1
2
𝑧2; −∞ ≤ 𝑍 ≤ ∞
Obs.: Devido a integração dessa função [𝑓 𝑋 𝑜𝑢 𝑓(𝑍)] não ser trivial, foi construída uma
tabela de probabilidades para alguns valores de 𝑍, mostrada a seguir:
 X 
−∞ 𝜇 𝑥1 𝑥2 ∞ 
 
 
 Z 
 −∞ 0 𝑧1 𝑧2 ∞ 
Probabilidade 
Exemplo:
› A parte hachurada corresponde a área
› sob a curva que é a probabilidade de 
› 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑧1, ou seja, 𝑃 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑧1 =?
› Ex.: seja 𝒛𝟏 = 𝟐, 𝟑𝟕,
› 𝑃 0 ≤ 𝑧 ≤ 2,37 =?
›
› 𝑃 0 ≤ 𝑧 ≤ 2,37 = 0׬
2,37 1
2𝜋
𝑒−
1
2
𝑧2 𝑑𝑧 ⇒
› ⇒ 𝑃 0 ≤ 𝑧 ≤ 2,37 = 𝟎, 𝟒𝟗𝟏𝟏. 
 z 
−∞ 0 𝑧1 ∞ 
 
 
 
……………………………………………………………………………………………………………………….. 
 
………………………………………………………………………………………………………………………… 
 
Probabilidade 
Exemplo: 𝑃 −3,15 ≤ 𝑧 ≤ 0 =?
3,15
𝑃 −3,15 ≤ 𝑧 ≤ 0 = 𝑃 0 ≤ 𝑧 ≤ 3,15 =
= 0׬
3,15 1
2𝜋
𝑒−
1
2
𝑧2 𝑑𝑧 = 0,4992
 
 
 
……………………………………………………………………………………………………………………….. 
 
………………………………………………………………………………………………………………………… 
 
 
 
 
 z 
 -3,15 0 
Probabilidade 
Exemplo: 𝑃 −0,38 ≤ 𝑧 ≤ 2,32 =?
0,38
𝑃 −0,38 ≤ 𝑧 ≤ 2,32 =
= 𝑃 −0,38 ≤ 𝑧 ≤ 0 + 𝑃 0 ≤ 𝑧 ≤ 2,32 =
= 𝑃 0 ≤ 𝑧 ≤ 0,38 + 𝑃 0 ≤ 𝑧 ≤ 2,32 =
= 0,1480 + 0,4898 = 0,6378
 
 
 
……………………………………………………………………………………………………………………….. 
 
………………………………………………………………………………………………………………………… 
 
 
 
 z 
 - 0,38 0 2,32 
 
Probabilidade 
Exemplo: 𝑃 0,42 ≤ 𝑧 ≤ 3,44 =?
ÁREA PROCURADA
𝑃 0,42 ≤ 𝑧 ≤ 3,44 =
= 𝑃 0 ≤ 𝑧 ≤ 3,44 − 𝑃 0 ≤ 𝑧 ≤ 0,42 =
= 0,4997 − 0,1628 = 0,3369
 
 
 
……………………………………………………………………………………………………………………….. 
 
………………………………………………………………………………………………………………………… 
 
 
 
 
 z 
 0 0,42 3,44 
 
Probabilidade 
Exemplo: 𝑃 −3,25 ≤ 𝑧 ≤ −0,27 =?
0,27 3,25 
ÁREA PROCURADA 
𝑃 −3,25 ≤ 𝑍 ≤ −0,27 =
= 𝑃 −3,25 ≤ 𝑍 ≤ 0 − 𝑃 −0,27 ≤ 𝑍 ≤ 0 =
= 𝑃 0 ≤ 𝑍 ≤ 3,25 − 𝑃 0 ≤ 𝑍 ≤ 0,27 =
= 0,4994 − 0,1064 = 0,393. 
 
 
 
……………………………………………………………………………………………………………………….. 
 
………………………………………………………………………………………………………………………… 
 
 
 
 Z 
−∞ - 3,25 - 0,27 0 ∞ 
 
Probabilidade 
Exemplo: 𝑃 𝑍 ≤ −2,34 =?
2,34
ÁREA PROCURADA
0,5 
𝑃 𝑍 ≤ −2,34 = 𝑃 𝑍 ≥ 2,34 =
› = 0,5 − 𝑃 0 ≤ 𝑍 ≤ 2,34 =
› = 0,5 − 0,4904 = 0,0096.
 
 
 
……………………………………………………………………………………………………………………….. 
 
………………………………………………………………………………………………………………………… 
 
 
 
 Z 
−∞ - 2,34 0 ∞ 
› Aplicação:
› As alturas dos alunos de determinada escola são normalmente distribuídas com
média 1,60 m e desvio padrão 0,30 m. Encontre a probabilidade de um aluno,
escolhido ao acaso, medir:
› a) entre 1,50 m e 1,80 m; b) mais de 1,80 m; c) menos de 1,48 m;
› d) qual deve ser a medida mínima para escolhermos 5% dos mais altos?
› Sol.:
› Seja X a variável aleatória representando a altura dos alunos;
› Do problema, vemos que:
› Ε 𝑋 = 𝜇 = 1,60 𝑚 e 𝜎𝑋 = 0,30 𝑚, logo:
› a) 𝑃 1,50 ≤ 𝑋 ≤ 1,80 =?
Probabilidade – Distribuição Normal
› Exercício: (Cont.) 
› a) 𝑃 1,50 ≤ 𝑋 ≤ 1,80 =? ; 𝜇 = 160, 𝜎 = 0,30
›
› 𝑍 =
𝑥−𝜇
𝜎
𝑧1 =
𝑥1−𝜇
𝜎
=
1,50−1,60
0,30
= −0,33; 𝑧2 =
𝑥2−𝜇
𝜎
=
1,80−1,60
0,30
= 0,67
𝑃 1,50 ≤ 𝑋 ≤ 1,80 = 𝑃 −0,33 ≤ 𝑍 ≤ 0,67 = 𝑃 0 ≤ 𝑍 ≤ 0,33 + 𝑃 0 ≤ 𝑍 ≤ 0,67 ⇒
⇒ 𝑃 1,50 ≤ 𝑋 ≤ 1,80 = 0,1293 + 0,2486 = 0,3779 ⇒ 𝑃 1,50 ≤ 𝑋 ≤ 1,80 = 0,3779
Probabilidade – Distribuição Normal
 
 
 Z 
−∞ 𝜇 = 0 ∞ 
 𝑧1 = −0,33 𝑧2 = 0,67 
 
 
 
 Z 
−∞ 𝜇 = 0 𝑧1 = −0,33 ∞ 
 
 
 Z 
−∞ 𝜇 = 0 𝑧2 = 0,67 ∞ 
 
 X 
−∞ 𝜇 = 1,60 ∞ 
 𝑥1 = 1,50 𝑥2 = 1,80 
 
 
› Exercício: (Cont.) 
› b) 𝑃 𝑋 ≥ 1,80 =? ; 𝜇 = 160, 𝜎 = 0,30
› 0,5 
› 𝑍 =
𝑥−𝜇
𝜎
› 0,2486
𝑧1 =
𝑥1−𝜇
𝜎
=
1,80−1,60
0,30
= 0,67
𝑃 𝑋 ≥ 1,80 = 𝑃 𝑍 ≥ 0,67 = 0,5 − 𝑃 0 ≤ 𝑍 ≤ 0,67 ⇒
⇒ 𝑃 𝑋 ≥ 1,80 = 0,5 − 0,2486 = 0,2514 ⇒ 𝑃 𝑋 ≥ 1,80 = 0,2514
Probabilidade – Distribuição Normal
 
 Z 
−∞ 𝜇 = 0 𝑧1 = 0,67 ∞ 
 
 
 
 X 
−∞ 𝜇 = 1,60 𝑥1 = 1,80 ∞ 
 
 
› Exercício: (Cont.) 
› c) 𝑃 𝑋 ≤ 1,48 =? ; 𝜇 = 160, 𝜎 = 0,30
› 0,5 
› 𝑍 =
𝑥−𝜇
𝜎
›
z=0,40
z =
𝑥−𝜇
𝜎
=
1,48−1,60
0,30
= −0,40
𝑃 𝑋 ≤ 1,48 = 𝑃 𝑍 ≤ −0,40 = 𝑃 𝑍 ≥ 0,40 = 0,5 − 𝑃 0 ≤ 𝑍 ≤ 0,40 ⇒
⇒ 𝑃 𝑋 ≤ 1,48 = 0,5 − 0,1554 = 0,3446 ⇒ 𝑃 𝑋 ≤ 1,48 = 0,3446
Probabilidade – Distribuição Normal
 
 Z 
−∞ −𝑧 = −0,40 𝜇 = 0 ∞ 
 
 
 
 X 
−∞ 𝑥1 = 1,48 𝜇 = 1,60 ∞ 
 
› Exercício: (Cont.) 
› d) Qual deve ser a medida mínima para escolhermos 5% dos mais altos? 
› Z =
𝑋−𝜇
𝜎
› 0,5 
› 5% = 0,05 0,45 5% = 0,05
›
› Obs: 𝒁𝟎,𝟎𝟓 = 𝒁𝟎,𝟒𝟓 = 𝟏, 𝟔𝟓
› OBS.: deve existir um valor de z, na tabela, correspondente a um valor de área = 
0,45 (que é equivalente a 0,05).
› z =
𝑋−𝜇
𝜎
=
𝑋−1,60
0,30
= 1,65 ⇒ 𝑋 = 0,30 1,65 + 1,60 = 0,495 + 1,60 = 2,095 ≅ 2,1𝑚
Probabilidade – Distribuição Normal
 
 
 X 
−∞ 𝜇 = 1,60 𝑥 =? ∞ 
 
 Z 
−∞ 𝜇 = 0 𝑍 =? ∞ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.) Seja Z uma variável aleatória com distribuição normal padronizada e encontre
as seguintes probabilidades (prática do uso da tabela):
a) 𝑃(0 ≤ 𝑧 ≤ 1,44); b) 𝑃(−0,85 ≤ 𝑧 ≤ 0); c) 𝑃(−1,48 ≤ 𝑧 ≤ 2,05); d) 𝑃 𝑧 ≥ −0,66 .
Resp.: a) 0,4251 b) 0,3023 c) 0,9104 d) 0,7454
2.) A duração de um certo componente eletrônico tem média 𝜇 = 850 dias e desvio-padrão
𝜎 = 45 dias. Calcular a probabilidade desse componente durar:
a) Entre 700 e 1.000 dias; b) mais de 800 dias; c) menos de 750 dias;
Resp.: a) 1 b) 0,8665 c) 0,0132
3.) Suponha que o diâmetro médio dos parafusos produzidos poruma fábrica seja 𝜇 = 0,25
polegadas, e desvio padrão 𝜎 = 0,02 polegadas. Um parafuso é considerado defeituoso se
seu diâmetro é maior que 0,28 polegadas ou menor que 0,20 polegadas. Escolhido um
parafuso produzido por essa fábrica, ao acaso, determine a probabilidade dele ser
defeituoso.
Resp.: 0,0730
Probabilidade – Distribuição Normal
4.) Suponha que as notas de uma prova sejam normalmente distribuídas com média 73 e
desvio-padrão 15. 15% dos alunos mais adiantados recebem a nota A e 12% dos mais
atrasados recebem a nota F. Encontre o mínimo para receber A e o mínimo para passar,
não receber F.
Res. 88,5 e 55.
Complementando o dever de casa
Livro: Estatística Fácil
Exercícios de 1 a 4 da página 147.
Probabilidade – Distribuição Normal