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Aula 10 - Inferencia - parte 2
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Aula 10 - Em - Econometria - v. 1.0.pdf 2021-1 Econometria Prof. MSc. Jader de Amorim Email: jader.amorim@anhembi.br Curso de Economia mailto:mauricio.penteado@anhembi.br Econometria Aula 10 Inferência (parte 2) Objetivos de Aprendizagem da Aula Para a aula de hoje: Objetivo: “Testar hipóteses sobre os parâmetros do modelo da regressão populacional como ferramentas de análise de cenários e para a tomada de decisões”. Metodologia ensino: Aula expositiva e uso da metodologia ativa “Atividade em aula”. Objetivos de Aprendizagem da Aula Competências a serem fortalecidas: ✓ ANALISAR E RESOLVER PROBLEMAS ✓ ATINGIR OBJETIVOS ✓ RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO – Usar raciocínio lógico-matemático na resolução de problemas. ✓ ANÁLISE DE PROCESSOS ECONÔMICOS – Analisar os fenômenos socioeconômicos a partir dos fundamentos da teoria econômica e instrumental quantitativo a fim de resolver problemas econômicos numa realidade diversificada, global e em constante transformação. (Ciências Econômicas) ✓ PLANEJAMENTO ECONÔMICO – Analisar e mensurar o impacto do cenário econômico e político global no processo de tomada de decisões de caráter econômico em organizações. (Ciências Econômicas) Agenda 1. Intervalo de Confiança 2. Testes de hipóteses sobre uma combinação linear dos parâmetros 3. Testes de Restrições lineares múltiplas: o teste F 4. Teste de Restrições de exclusão 5. Teste contra hipóteses alternativas bilaterais 6. Teste F 7. A forma R² e a estatística F 8. P-valores para os testes F 9. Resumo 10.Revisão do aprendizado Intervalo de Confiança Sob as hipóteses do modelo linear clássico, podemos facilmente construir um intervalo de confiança (IC) para o parâmetro populacional 𝛽𝑗. Um intervalo de confiança de 95% é dado por: 𝜷𝒋 ± 𝒄 ∗ 𝒆𝒑(𝜷𝒋) Construir um intervalo de confiança é muito simples, quando se usa a tecnologia computacional atual. Para obter o valor de c devemos conhecer os graus de liberdade, n-k-1 e o nível de confiança. Para graus de liberdade pequenos (menores que 120), os percentis exatos devem ser obtidos das tabelas t. Intervalo de Confiança Um intervalo de confiança é apenas tão bom quanto as hipóteses subjacentes feitas para construí-lo. Se omitirmos fatores importantes que são correlacionados com as variáveis explicativas, então as estimativas dos coeficientes não são confiáveis: MQO é viesado. Se a heterocedasticidade está presente, então o erro padrão não é válido e o intervalo de confiança calculado não será verdadeiramente um IC de 95%. Relembrando: Hipóteses de Gauss-Markov 5 - Homoscedasticidade: o erro (u) tem a mesma variância quaisquer que sejam os valores das variáveis explicativas. Testes de hipóteses sobre uma combinação linear dos parâmetros As seções anteriores mostraram como usar o teste de hipóteses clássico ou os intervalos de confiança para testar hipóteses sobre um único 𝛽𝑗 de cada vez. Agora vamos mostrar como testar uma única hipótese envolvendo mais de um 𝛽𝑗. Testes de hipóteses sobre uma combinação linear dos parâmetros Consideraremos um modelo simples para comparar os retornos (wage) da educação de cursos superiores profissionalizantes (jc) de dois anos e de cursos superiores (univ) de quatro anos. A população inclui pessoas com o ensino médio completo que trabalham. e o modelo é: Metodologia Ativa Atividade em sala de aula No aplicativo Gretl, acesse o arquivo de exemplos do Wooldridge. Selecione o banco de dados “twoyear” (Returns to two- and four-year College education) a) Ache o modelo que explica a variável y = log(wage) (salário por hora) e as variáveis x1 = jc (número de anos frequentados em um curso superior profissionalizante de dois anos), x2 = univ (número de anos frequentados em um curso superior de quatro anos) e x3 = exper (anos de experiência de trabalho). Resposta: log(𝑤𝑎𝑔𝑒) = 1,472 + 0,0667jc + 0,0769𝑢𝑛𝑖𝑣+ 0,00494𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟 + 𝑢 b) Qual a significância dos estimadores? log(𝑤𝑎𝑔𝑒) = 𝛽0 + 𝛽1𝑐𝑜𝑙 + 𝛽2𝑢𝑛𝑖𝑣 + 𝛽3𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟 + 𝑢 A hipótese de interesse é se um ano no curso profissionalizante é equivalente a um ano na universidade: Isso é expresso como: 𝐻0: 𝛽1 = 𝛽2 Sob a hipótese nula, um ano a mais no curso profissionalizante e um ano a mais na universidade levam ao mesmo aumento percentual ceteris paribus no salário (wage). Na maioria dos casos, a hipótese alternativa de interesse é unilateral: um ano no curso profissionalizante é menos valioso do que um ano na universidade. Isso é: 𝐻1 = 𝛽1<𝛽2 Não podemos simplesmente usar as estatísticas t individuais para testar a hipótese nula. Vamos reescrever a hipótese nula e a alternativa como: 𝐻0: 𝛽1 − 𝛽2 = 0 e 𝐻1: 𝛽1 − 𝛽2 < 0 𝒕 = 𝜷𝟏 − 𝜷𝟐 𝒆𝒑( 𝜷𝟏 − 𝜷𝟐) Uma vez que temos a estatística t o teste segue o procedimento anterior. Escolhermos um nível de significância para o teste e, com base nos gl, obtermos um valor crítico. A única coisa que faz que o teste seja mais difícil do que testar um único parâmetro é a obtenção do erro padrão do denominador. Obter o numerador é trivial, uma vez que tenhamos computado a regressão de MQO. Modelo 1: MQO, usando as observações 1-6763 Variável dependente: lwage Coeficiente Erro Padrão razão-t p-valor const 1,47233 0,0210602 69,91 <0,0001 *** jc 0,0666967 0,00682879 9,767 <0,0001 *** univ 0,0768763 0,00230873 33,30 <0,0001 *** exper 0,00494422 0,000157474 31,40 <0,0001 *** Média var. dependente 2,248096 D.P. var. dependente 0,487692 Soma resíd. quadrados 1250,544 E.P. da regressão 0,430138 R-quadrado 0,222442 R-quadrado ajustado 0,222097 F(3, 6759) 644,5330 P-valor(F) 0,000000 Log da verossimilhança −3888,687 Critério de Akaike 7785,374 Critério de Schwarz 7812,651 Critério Hannan-Quinn 7794,789 log(𝑤𝑎𝑔𝑒) = 1,472 + 0,0667jc + 0,0769𝑢𝑛𝑖𝑣 + 0,00494𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟 + 𝑢 (0,021) (0,0068) (0,0023) (0,00016) n = 6.763, R² = 0,222 Para encontrar 𝒆𝒑(𝜷𝟏 − 𝜷𝟐), primeiro obtemos a variância da diferença. 𝑉𝑎𝑟(𝜷𝟏 − 𝜷𝟐) = 𝑉𝑎𝑟( 𝜷𝟏) + Var(𝜷𝟐) − 2𝐶𝑜𝑣(𝜷𝟏, 𝜷𝟐) O desvio padrão é exatamente a raiz quadrada dessa equação. 𝒆𝒑 𝜷𝟏 − 𝜷𝟐 = 𝒆𝒑(𝜷𝟏) 𝟐 + 𝒆𝒑(𝜷𝟐) 𝟐 − 𝟐𝒔𝟏𝟐 Τ𝟏 𝟐 𝒔𝟏𝟐 é a estimativa de 𝐶𝑜𝑣(𝜷𝟏, 𝜷𝟐) ????????????? Alternativa para encontrar 𝒆𝒑 𝜷𝟏 − 𝜷𝟐 Definimos: 𝜃1 = 𝛽1 − 𝛽2 Queremos testar: 𝐻0: 𝜃1 = 0 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎 𝐻1: 𝜃1 < 0 Substituindo 𝛽1 = 𝜃1 + 𝛽2 no modelo anterior: log 𝑤𝑎𝑔𝑒 = 𝛽0 + 𝜽1𝑗𝑐 + 𝛽2 𝒋𝒄 + 𝒖𝒏𝒊𝒗 + 𝛽3𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟 + 𝑢 Onde (jc + univ) = totcoll (total de anos de curso superior): No Gretl, obtemos as novas estatísticas: log(𝑤𝑎𝑔𝑒) = 1,472 – 0,00102jc + 0,0769𝑢𝑛𝑖𝑣 + 0,00494𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟 + 𝑢 (0,021) (0,0069) (0,0023) (0,00016) n = 6.763, R² = 0,222 Ou seja, obtivemos 𝒆𝒑 𝜷𝟏 − 𝜷𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟔𝟗 Portanto, 𝒕 = 𝜷𝟏 − 𝜷𝟐 𝒆𝒑(𝜷𝟏 − 𝜷𝟐) = 0,0667 − 0,769 0,0069 = −1,48 P-valor = 0,07. Há alguma evidência contra 𝐻0: 𝛽1 = 𝛽2 e a favor de 𝐻1 = 𝛽1<𝛽2. Testes de Restrições lineares múltiplas: o teste F A estatística t associada a qualquer coeficiente de MQO pode ser usada para testar se o parâmetro desconhecido correspondente na população é igual a qualquer constante dada. Frequentemente, desejamos testar hipóteses múltiplas sobre os parâmetros. Vamos começar com o procedimento principal de testar se um conjunto de variáveis independentes não tem efeito parcial sobre uma variável dependente. Metodologia Ativa Atividade no Blackboard No aplicativo Gretl, acesse o arquivo do usuário. Importe do PC o banco de dados “mlb1 – acertado.xls” (Major League baseball salaries, acertado pelo professor pois o original do Wooldridge apresenta problemas) a) Ache o modelo que explica a variável y = log(salary) (salário total do jogador em 1993) e as variáveis x1 = years (anos do jogador na liga), x2 = gamesyr (média de partidas jogadas por ano), x3 = bavg (média de rebatidas na carreira do jogador), x4 = hrunsyr (rebatidas que resultaram em pontos – volta completa por todas as bases - por ano) e x5 = rbisyr (rebatidas que resultaram em corrida até a próxima base por ano). 𝐥𝐨𝐠 𝒔𝒂𝒍𝒂𝒓𝒚 = 𝜷𝟎 + 𝜷𝟏𝒚𝒆𝒂𝒓𝒔 + 𝜷𝟐𝒈𝒂𝒎𝒆𝒔𝒚𝒓 + 𝜷𝟑𝒃𝒂𝒗𝒈 + 𝜷𝟒𝒉𝒓𝒖𝒏𝒔𝒚𝒓 + 𝜷𝟓𝒓𝒃𝒊𝒔𝒚𝒓 + 𝒖 b) Verifique se bavg, hrunsyr e rbisyr têm ou não efeito sobre o salário Teste de Restrições de exclusão Já sabemos como testar se uma variável determinada não tem efeito parcial sobre a variável dependente: estatística t. Agora, queremos testar se um grupo de variáveis não tem efeito sobre a variável dependente. Mais precisamente, a hipótese nula é que um conjunto de variáveis não tem efeito sobre y, uma vez que outro conjunto de variáveis foi controlado. 𝐥𝐨𝐠 𝒔𝒂𝒍𝒂𝒓𝒚 = 𝜷𝟎 + 𝜷𝟏𝒚𝒆𝒂𝒓𝒔 + 𝜷𝟐𝒈𝒂𝒎𝒆𝒔𝒚𝒓 + 𝜷𝟑𝒃𝒂𝒗𝒈 + 𝜷𝟒𝒉𝒓𝒖𝒏𝒔𝒚𝒓 + 𝜷𝟓𝒓𝒃𝒊𝒔𝒚𝒓 + 𝒖 Teste contra hipóteses alternativas bilaterais Suponha que queiramos testar a hipótese nula de que, uma vez tendo sido controlados os anos na liga (year) e os jogos por ano (gamesyr), as estatísticas que medem o desempenho (bavg, hrunsyr e rbisyr), não tem efeito sobre o salário. 𝐻0: 𝛽3 = 0, 𝛽4 = 0 𝑒 𝛽5 = 0 𝐻1: 𝐻0 não é verdadeira Usar estatísticas t separadas para testar uma hipótese múltipla pode ser muito enganoso. Precisamos de uma maneira para testar as restrições de exclusão conjuntamente. Esse é um exemplo de conjunto de restrições múltiplas ou teste de hipóteses conjuntas. Solução Exemplo log(𝑠𝑎𝑙𝑎𝑟𝑦) = 11,19 + 0,0689𝑦𝑒𝑎𝑟𝑠 + 0,0126𝑔𝑎𝑚𝑒𝑠𝑦𝑟 + 0,00098𝑏𝑎𝑣𝑔 + 0,0144ℎ𝑟𝑢𝑛𝑠𝑦𝑟 + 0,0108𝑟𝑏𝑖𝑠𝑦𝑟 (0,29) (0,0121) (0,0026) (0,00110) (0,0161) (0,0072) n = 353 SQR = 183,186 R² = 0,6278 Em que SQR é a soma dos quadrados dos resíduos. Vamos daqui a pouco usar. Temos que só years e gamesyr são estatisticamente significantes. years gamesyr bavg hrunsyr rbisyr 0,0689 0,0126 0,00098 0,0144 0,0108 0,0121 0,0026 0,0011 0,0161 0,0072 Teste t 5,694215 4,846154 0,890909 0,89441 1,5 n = 353 k = 5 gl = 347 c (5% unilateral) = 1,645 Solução - Teste F Assim, baseado nas três estatísticas t, parece que não podemos rejeitar H0. Essa conclusão releva-se errada. Conhecer a soma dos quadrados dos resíduos não nos diz nada sobre a hipótese. No entanto, o fator que nos dirá algo é: Saber quanto aumenta a SQR quando retiramos as variáveis bavg, hrunsyr e rbisyr do modelo. Lembre-se: O SQR sempre aumenta quando variáveis são retiradas do modelo. A questão é saber se esse aumento é suficientemente grande (em relação ao SQR do modelo com todas as variáveis) para garantir a rejeição da hipótese nula. Solução - Teste F O modelo sem as três variáveis (modelo restrito) será: • O modelo restrito sempre tem menos parâmetros que o modelo irrestrito. log(𝑠𝑎𝑙𝑎𝑟𝑦) = 11,22 + 0,0713𝑦𝑒𝑎𝑟𝑠+ 0,02020𝑔𝑎𝑚𝑒𝑠𝑦𝑟 (0,11) (0,0125) (0,0013) n=353 SQR=198,311 R²=0,5971 Solução - Teste F Teste F 𝑭 ≡ (𝑺𝑸𝑹𝒓 − 𝑺𝑸𝑹𝒊𝒓)/𝒒 𝑺𝑸𝑹𝒊𝒓/(𝒏 − 𝒌 − 𝟏) SQRr soma dos quadrados dos resíduos do modelo restrito SQRir soma dos quadrados dos resíduos do modelo irrestrito q variáveis independentes foram retiradas n-k-1 = graus de liberdade do modelo irrestrito q = graus de liberdade do numerador = glr - glir Teste F SQRr não pode ser maior que SQRir então a estatística F é sempre não negativa. Assim, se você calcular uma estatística F negativa, algo está errado. Da definição de F, é bastante claro que rejeitaremos H0 em favor de H1 quando F for suficientemente “grande”. A grandeza depende do nosso nível de significância escolhido, de q e de n-k-1. Uma vez obtido c, rejeitaremos H0 em favor de H1, no nível de significância escolhido se F > c. Solução - Teste F O valor crítico depende de q (graus de liberdade do numerador) e n-k-1 (graus de liberdade do denominador). 𝐹 = (198,311 − 183,186)/3 183,186/(353 − 5 − 1) = 9,55 Peguemos os valores críticos c nas tabelas F (em “Tabelas estatísticas.pdf”, tabelas G.3). Valor crítico de 10% da distribuição F (tabela G.3 a) = 2,08 Valor crítico de 5% da distribuição F (tabela G.3 b) = 2,60 Valor crítico de 1% da distribuição F (tabela G.3 c) = 3,78 Como F > c, rejeitaremos completamente a hipótese de que bavg, hrunsyr e rbisyr não têm efeito conjuntamente sobre o salário (salary). Teste F Se H0 é rejeitada dizemos que as variáveis são estatisticamente significantes conjuntamente (ou apenas conjuntamente significantes) no nível de significância apropriado. Esse teste sozinho não nos permite dizer quais das variáveis tem um efeito parcial sobre y; todas elas podem afetar y ou talvez somente uma afeta. Se a hipótese nula não for rejeitada, as variáveis são conjuntamente não significantes, o que, em geral, justifica retirá-las do modelo. Teste F A estatística F é frequentemente útil para testar a exclusão de um grupo de variáveis quando as variáveis do grupo são altamente correlacionadas. Por exemplo, suponha que queiramos testar se o desempenho da empresa afeta os salários dos seus diretores-executivos. Há muitas maneiras de medir o desempenho das empresas, e provavelmente não será claro dizer, antecipadamente, qual medida é a mais importante. Como as medidas de desempenho das empresas são, provavelmente, altamente correlacionadas, esperar encontrar medidas individualmente significantes pode ser pedir demais, em razão da multicolinearidade. No entanto, um teste F pode ser usado para determinar se, como um grupo, as variáveis de desempenho das empresas afetam o salário. Teste F Suponha uma variável estatisticamente muito significante. Vamos testar essa variável conjuntamente com outro conjunto de variáveis. Como consequência, frequentemente, o conjunto todo será conjuntamente significante. Nesses casos, não há mais inconsistência lógica em rejeitar ambas as hipóteses nulas (da variável isolada e do conjunto). A variável isolada empresta sua significância ao conjunto. Por tanto o conjunto fica significante. No exercício anterior, fizemos um conjunto de variáveis não significantes isoladamente, mas que, em conjunto, eram significantes. A forma R² e a estatística F Para testar restrições de exclusão, frequentemente é mais conveniente ter uma forma da estatística F que possa ser calculada usando o R² dos modelos restrito e irrestrito. Uma razão para isso é que o R² está sempre entre zero e um. 𝐹 = 𝑅𝑖𝑟 2 − 𝑅𝑟 2 𝑞 1 − 𝑅𝑖𝑟 2 𝑛 − 𝑘 − 1 Onde: q variáveis independentes foram retiradas (gl do numerador) n-k-1 = graus de liberdade do modelo irrestrito (gl do denominador) P-valores para os testes F Para apresentar os resultados dos testes F, os p-valores são especialmente úteis. Como a distribuição F depende dos graus de liberdade do numerador e denominador, é difícil obter uma impressão quanto é forte ou fraca a evidência contra a hipótese nula simplesmente olhando para o valor da estatística F e um ou dois valores críticos. O p-valor tem a mesma interpretação que tinha para a estatística t: é a probabilidade de observarmos um valor de F pelo menos tão grande quanto aquele que encontrarmos, dado que a hipótese nula é verdadeira. Um p-valor pequeno é evidência contra H0. Resumo 1 – Usamos as estatísticas t para testar hipóteses sobre um único parâmetro contra alternativas unilaterais ou bilaterais, adotando testes monocaudais ou bicaudais. 2 – A estatística F é usada para testar restrições múltiplas de exclusão, e há duas formas equivalentes do teste. Uma está baseada nos SQRs dos modelos restrito e irrestrito. Uma forma mais conveniente está baseada nos R-quadrados dos dois modelos. Revisão do aprendizado 1. Intervalo de Confiança 2. Testes de hipóteses sobre uma combinação linear dos parâmetros 3. Testes de Restrições lineares múltiplas: o teste F 4. Teste de Restrições de exclusão 5. Teste contra hipóteses alternativas bilaterais 6. Teste F 7. A forma R² e a estatística F 8. P-valores para os testes F 9. Resumo •Obrigado ! mlb1 - acertado.xls MLB1 salary teamsal nl years games atbats rruns hits doubles triples hruns rbis bavg bb so sbases fldperc frstbase scndbase shrtstop thrdbase outfield catcher yrsallst hispan black whitepop blackpop hisppop pcinc gamesyr hrunsyr atbatsyr allstar slugavg rbisyr sbasesyr runsyr percwhte percblck perchisp blckpb hispph whtepw blckph hisppb lsalary 6329213 38407380 1 12 1705 6705 1076 1939 320 67 231 836 289 619 948 314 989 0 1 0 0 0 0 9 0 0 5772110 1547725 893422 18840 142.0833 19.25 558.75 75 46.02535 69.66666 26.16667 89.66666 70.27797 18.84423 10.8778 0 0 70.27797 0 0 15.66069 3375000 38407380 1 8 918 3333 407 863 156 38 73 342 259 137 582 133 968 0 0 1 0 0 0 2 0 1 5772110 1547725 893422 18840 114.75 9.125 416.625 25 39.42394 42.75 16.625 50.875 70.27797 18.84423 10.8778 18.84423 0 0 10.8778 0 15.03191 3100000 38407380 1 5 751 2807 370 840 148 18 46 355 299 341 228 41 994 1 0 0 0 0 0 0 0 0 5772110 1547725 893422 18840 150.2 9.2 561.4 0 41.39651 71 8.2 74 70.27797 18.84423 10.8778 0 0 70.27797 0 0 14.94691 2900000 38407380 1 8 1056 3337 405 816 143 18 107 421 245 306 653 15 971 0 0 0 1 0 0 0 0 0 5772110 1547725 893422 18840 132 13.375 417.125 0 39.43662 52.625 1.875 50.625 70.27797 18.84423 10.8778 0 0 70.27797 0 0 14.88022 1650000 38407380 1 12 1196 3603 437 928 19 16 124 541 258 316 725 32 977 0 0 0 0 1 0 0 0 1 5772110 1547725 893422 18840 99.66666 10.33333 300.25 0 37.49653 45.08333 2.666667 36.41667 70.27797 18.84423 10.8778 18.84423 0 0 10.8778 0 14.31629 700000 38407380 1 17 2032 7489 1136 2145 270 142 40 574 286 416 1098 660 987 0 0 0 0 1 0 2 0 1 5772110 1547725 893422 18840 119.5294 2.352941 440.5294 11.76471 37.64188 33.76471 38.82353 66.82353 70.27797 18.84423 10.8778 18.84423 0 0 10.8778 0 13.45884 695000 38407380 1 4 394 1293 179 303 51 13 37 141 234 77 358 67 965 0 0 0 0 1 0 0 1 0 5772110 1547725 893422 18840 98.5 9.25 323.25 0 37.97371 35.25 16.75 44.75 70.27797 18.84423 10.8778 0 10.8778 0 0 18.84423 13.45167 275000 38407380 1 10 432 1005 78 240 35 5 13 95 239 39 140 1 990 0 0 0 0 0 1 0 0 0 5772110 1547725 893422 18840 43.2 1.3 100.5 0 32.23881 9.5 0.1 7.8 70.27797 18.84423 10.8778 0 0 70.27797 0 0 12.52453 235000 38407380 1 4 223 491 37 118 16 5 1 29 240 23 62 6 963 0 0 1 0 0 0 0 1 0 5772110 1547725 893422 18840 55.75 0.25 122.75 0 29.9389 7.25 1.5 9.25 70.27797 18.84423 10.8778 0 10.8778 0 0 18.84423 12.36734 212500 38407380 1 3 156 434 45 116 16 0 10 59 267 18 48 6 971 0 0 0 0 1 0 0 0 1 5772110 1547725 893422 18840 52 3.333333 144.6667 0 37.32719 19.66667 2 15 70.27797 18.84423 10.8778 18.84423 0 0 10.8778 0 12.2667 212500 38407380 1 2 169 447 41 111 18 1 14 44 248 47 109 3 993 0 0 0 0 0 1 0 0 0 5772110 1547725 893422 18840 84.5 7 223.5 0 38.70246 22 1.5 20.5 70.27797 18.84423 10.8778 0 0 70.27797 0 0 12.2667 180000 38407380 1 2 87 278 25 70 14 3 1 21 252 14 20 2 977 0 0 1 0 0 0 0 1 0 5772110 1547725 893422 18840 43.5 0.5 139 0 33.45324 10.5 1 12.5 70.27797 18.84423 10.8778 0 10.8778 0 0 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