Slides Aula 5 a 9

Prévia do material em texto

Muros de Contenção por Gravidade 
O exercício a seguir é um guia teórico-prático que visa ilustrar dois conceitos: 
• Aplicação da Teoria de Empuxos de Coulomb; 
• Rotinas de cálculo, dimensionamento e Verificações de Muros de arrimo 
por gravidade. 
 
Exercício 01 
Para a situação ilustrada na figura abaixo, projetar o muro de arrimo por 
gravidade de seção retangular, em concreto ciclópico. Utilizar a Teoria de 
Coulomb para o cálculo dos Empuxos. 
 
Dados: 
σ adm = 250 kPa # Tensão admissível no solo de fundação (obtida pelo SPT) 
γc = 24 kN/m³ # Peso específico do Concreto ciclópico 
 
 
 
 
1) Cálculo do Empuxo ativo, pela Teoria de Coulomb 
 
 
 
 
1.1) Cálculo do ângulo de atrito solo-muro 
Primeiramente calcula-se o ângulo de atrito solo-muro (δ), através da seguinte 
expressão proposta por Muller Breslau. 
 
 
1.2) Cálculo do coeficiente de Empuxo ativo (Ka) 
O empuxo ativo é então calculado através da seguinte expressão: 
𝐾𝑎 = 
𝑠𝑒𝑛2(𝛼 + 𝜑)
𝑠𝑒𝑛2(𝛼)𝑠𝑒𝑛(𝛼 − 𝛿) [1 + √
𝑠𝑒𝑛(𝜑 + 𝛿)𝑠𝑒𝑛(𝜑 − 𝛽)
𝑠𝑒𝑛(𝛼 − 𝛿)𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 𝛽)
]
2 
 
𝐾𝑎 = 
𝑠𝑒𝑛2(90 + 25)
𝑠𝑒𝑛2(90)𝑠𝑒𝑛(90 − 18,75) [1 + √
𝑠𝑒𝑛(25 + 18,75)𝑠𝑒𝑛(25 − 0)
𝑠𝑒𝑛(90 − 18,75)𝑠𝑒𝑛(90 + 0)
]
2 
 
𝐾𝑎 = 0,358 
Para o problema proposto 
temos os seguintes valores: 
 
φ = 25º 
β = 0º 
α = 90º 
1.3) Cálculo das tensões horizontais (σh) 
Primeiramente calculam-se as tensões verticais efetivas (σ′𝑣), dadas pelo peso 
do solo, nos Pontos de interesse, através da seguinte expressão: 
 
σ′𝑣 = σ𝑣𝑇 − 𝑢 
 
Onde, σ𝑣𝑇 é a tensão vertical total e 𝑢 é a poropressão. 
 
 
 
 
Em seguida calculam-se as tensões horizontais, dadas pelo peso do solo 
(σℎγ), coesão (σℎ𝑐), sobrecarga (σℎ𝑞) e poropressão (σℎ𝑤), nos pontos de 
interesse, através das seguintes expressões: 
 
Onde, γw = 10kn/m³, e H = Altura da coluna de água, Kw = 1. 
 
Então, calculam-se as tensões horizontais totais, através da seguinte 
expressão: 
σh Total = σℎγ + σℎ𝑐 + σℎ𝑞 + σℎ𝑤 
 
 
Para o ponto A: 
 
Para o ponto B: 
 
 
Com os valores obtidos, montamos a tabela e o gráfico: 
Ponto Ka σv' σhγ σhq σhc σhw σh Total 
A 0,358 0,00 0,00 10,74 0,00 0,00 10,74 
B 0,358 80,00 28,64 10,74 0,00 0,00 39,38 
 *kPa 
 
 
 
1.4) Cálculo do Empuxo ativo (Ea) e Ponto de aplicação (y) 
 
Primeiramente dividimos o gráfico em figuras geometricamente fáceis de 
calcular. A soma das áreas das figuras representa o valor do Empuxo ativo 
Total (Ea). 
Em seguida, calculamos as distâncias dos baricentros das figuras em relação à 
Base (Ponto B). Conforme figura abaixo: 
 
 
Figura Área (kN) d (m) 
A1 42,96 2,00 
A2 57,28 1,33 
 
Ea = A1+A2 = 42,96 + 57,28 = 100,24 kN 
 
Para o cálculo do ponto de aplicação, aplica-se a igualdade entre a soma do 
produto entre as áreas das figuras e seus baricentros e o Empuxo ativo (Ea) 
multiplicado pelo ponto de aplicação da Resultante (y). Dessa forma: 
 
 
 
 
 
2) Dimensionamento Inicial do Muro de Gravidade 
 
2.1) Modelagem inicial 
A primeira rotina para o dimensionamento/modelagem de um muro é estimar 
algumas dimensões iniciais. Na figura abaixo seguem recomendações 
bibliográficas: 
 
 
Como nosso muro deve ser retangular (imposição do exercício), iremos estimar 
apenas a base: 
 
B = 0,5 H = 0,5 x 4 = 2 metros. 
 
Sendo assim, teremos um muro com 4 metros de altura e 2 metros de base, 
constituído de concreto ciclópico. 
 
2.2) Cálculo do Peso do Muro (Wm) e do Ponto de aplicação (dm) 
 
Uma vez que o Empuxo ativo é a Ação Prejudicial ao nosso Muro, o Peso do 
muro é a ação favorável, calculado através da seguinte expressão: 
 
 
 
O Ponto de aplicação, para um muro retangular, simétrico é dado por: 
 
 
 
 
2.3) Verificações 
 
Definidas as forças do Sistema, teremos a configuração apresentada na figura 
abaixo, que necessita ser verificada quanto ao Tombamento, Deslizamento e 
Tensões excessivas na Base. 
 
 
As verificações são feitas comparando-se os Fatores de segurança obtidos 
com aqueles preconizados pela NBR 11682, conforme figura abaixo: 
 
 
 
Dessa forma, os Fatores de segurança obtidos a seguir, devem ser MAIORES 
ou IGUAIS aos da Tabela 4 da norma. 
 
2.3.1) Estabilidade ao Tombamento 
 
O fator de segurança ao tombamento (FST), definido na NBR 11682, deverá 
ser Maior ou igual a 2, e é calculado através do somatório dos Momentos no 
Fulcro do Muro (ponto C), pela seguinte expressão: 
 
 
 
FST é menor que 2 logo, não passou na verificação de estabilidade! 
 
 
Ao realizar a verificação ao Tombamento, o fator de segurança ficou abaixo do 
mínimo, ou seja, a estrutura Tombaria. Neste caso, aumenta-se a largura da 
Base, aumentando o Peso do Muro, e faz-se nova verificação. 
 
Repare que, caso nosso muro estivesse enterrado (D>0), teríamos empuxo 
passivo (EP) auxiliando o sistema de equilíbrio. Entretanto, embora tenhamos 
EP, o mesmo não deve ser considerado nas verificações de muros de 
gravidade, pois admite-se que um dia aquele solo que estaria produzindo o EP 
poderá ser escavado. Como citado na Apostila do professor Adriano V.D. Bica., 
da UFRGS: 
 
 
Vamos verificar o muro para as demais situações a título teórico e em seguida 
faremos o dimensionamento correto. 
 
2.3.2) Estabilidade ao Deslizamento 
 
O fator de segurança ao deslizamento (FSD), definido na NBR 11682, deverá 
ser Maior ou igual a 1,5. Primeiramente devemos calcular o ângulo de atrito 
entre a Base do Muro e o Solo de fundação (φf). Segundo a bibliografia: 
 
 
Então, a tangente do ângulo de atrito entre a Base e o solo de fundação é 
função da tangente do ângulo de atrito interno do solo de fundação, com um 
redutor dado entre 0,67 e 0,99. 
Para nosso exercício consideraremos 𝒕𝒈𝝋𝒇 = 𝒕𝒈 𝝋’ 
 
O Fator de segurança ao deslizamento (FSD) é então calculado pela seguinte 
expressão: 
 
 
FSD é menor que 1,5 logo, não passou na verificação de estabilidade! 
 
 
Ao realizar a verificação ao deslizamento, o fator de segurança ficou 
extremamente abaixo do mínimo, ou seja, a estrutura Deslizaria. Neste caso, 
aumenta-se a largura da Base, aumentando o Peso do Muro, e faz-se nova 
verificação. 
Vamos verificar o muro para as demais situações a titulo teórico e em seguida 
faremos o dimensionamento correto. 
 
 
3) Dimensionamento Final do Muro de Gravidade 
 
3.1) Modelagem Final 
 
Utilizando Base = 2 verificamos que a estrutura ficou instável, dessa forma, 
iremos aumentar sua Base. 
 
Através de simulações, previamente verificou-se os resultados, e para 
entendimento do problema aumentaremos a base para B = 3,4 metros. 
 
Sendo assim, teremos um muro com 4 metros de altura e 3,4 metros de base, 
constituído de concreto ciclópico. 
 
Nota: Este processo de modificação de dimensões é iterativo, ou seja, 
aumenta-se gradativamente as dimensões até alcançar o equilíbrio e o sucesso 
nas verificações. 
 
3.2) Cálculo do Peso do Muro (Wm) e do Ponto de aplicação (dm) 
 
Uma vez que o Empuxo ativo é a Ação Prejudicial ao nosso Muro, o Peso do 
muro é a ação favorável, calculado através da seguinte expressão: 
 
 
 
O Ponto de aplicação, para um muro retangular, simétrico é dado por: 
 
 
 
 
3.3) Verificações 
 
Definidas as forças do Sistema, teremos a configuração apresentada na figura 
abaixo, que necessita ser verificada quanto ao Tombamento, Deslizamento e 
Tensões excessivas na Base. 
 
 
 
 
 
 
3.3.1) Estabilidade ao Tombamento 
 
O fator de segurança ao tombamento (FST), definido na NBR 11682, deverá 
ser Maior ou igual a 2, e é calculado através do somatório dos Momentos no 
Fulcro do Muro (ponto C), pela seguinte expressão: 
 
 
 
FST é maior que 2 logo, passou na verificação de estabilidade! 
 
Ao realizar a verificação ao Tombamento, o fator de segurança ficou bastante 
superior ao mínimo, ou seja, a estrutura está estável, embora não econômica. 
 
3.3.2) Estabilidade aoDeslizamento 
 
O fator de segurança ao deslizamento (FSD), definido na NBR 11682, deverá 
ser Maior ou igual a 1,5. Primeiramente devemos calcular o ângulo de atrito 
entre a Base do Muro e o Solo de fundação (φf). Segundo a bibliografia: 
 
 
Então, a tangente do ângulo de atrito entre a Base e o solo de fundação é 
função da tangente do ângulo de atrito interno do solo de fundação, com um 
redutor dado entre 0,67 e 0,99. 
Para nosso exercício consideraremos 𝒕𝒈𝝋𝒇 = 𝒕𝒈 𝝋’ 
 
O Fator de segurança ao deslizamento (FSD) é então calculado pela seguinte 
expressão: 
 
 
FSD é maior que 1,5 logo, passou na verificação de estabilidade! 
 
Ao realizar a verificação ao deslizamento, o fator de segurança ficou um pouco 
superior ao mínimo, ou seja, a estrutura está estável. É importante reparar que 
este foi o FS limitante para esta estrutura. Em outras palavras, se o muro 
tivesse largura um pouco inferior aos 3,4 metros adotados, todos os outros 
FS’s estariam “Ok”, exceto FSD. Isso se deve ao fato de que o atrito “solo-
muro” é baixo em relação à magnitude das cargas horizontais. 
 
Se o solo da Base tivesse um ângulo de atrito (φ’) maior a situação seria um 
pouco mais favorável. 
 
3.3.3) Tensões excessivas na Base 
 
A tensão admissível em fundações diretas é a tensão aplicada pelo elemento 
de fundação ao solo que oferece a segurança adequada contra a ruptura. 
Para a avaliação da segurança contra tensões excessivas na fundação de um 
muro de arrimo, admite-se que o solo seja submetido a uma distribuição de 
tensões verticais não-uniforme. Esta distribuição é causada pela resultante das 
forças verticais Rv que está situada a uma distância dm do fulcro do muro 
(Ponto C), e também pelo momento em relação à base causado pela resultante 
das forças horizontais M = Rh y . 
Pode-se calcular a excentricidade gerada por esse sistema de equilíbrio (e), e a 
partir desta, a distribuição de tensões. Através das seguintes Equações: 
 
 
 
Para que as equações das tensões sejam válidas, Rv deverá estar localizada 
no terço médio da fundação, isto é, deve ser atendida a condição e < Base/6. 
 
 
 
Em seguida, calculam-se as tensões na Base, considerando à excentricidade, 
através das seguintes expressões: 
 
 
 
Teremos então a seguinte distribuição de tensões: 
 
 
 
 
 
 
De posse dessas informações, as verificações finais devem ser feitas: 
 
 
 
4) Comentários Finais 
 
Através desse guia teórico-prático, verificou-se todas as etapas de 
dimensionamento de um muro de arrimo por gravidade. 
Primeiramente foi demonstrado um dimensionamento que levou ao 
tombamento e ao deslizamento. Em seguida, alargando-se a Base, foi 
demonstrado um dimensionamento seguro, com critério limitante em FSD 
(deslizamento), e antieconômico. 
 
Por que isso ocorreu? Qual a solução na prática? 
 
Para o caso apontado algumas alternativas poderiam ser avaliadas: 
1) Substituir o Muro de Gravidade por uma cortina, de forma que o Empuxo 
Passivo estaria então atuando; 
2) Trocar o material do muro (concreto ciclópico) por outro com maior peso 
específico; 
3) Aprofundar o muro a fim de encontrar um solo com ângulo de atrito 
maior na base da fundação; 
 
Diversas são as possibilidades e cada caso é um caso. 
A tensão Máxima ficou 
menor que a tensão 
admissível, não haverá 
ruptura! 
 
A tensão Máxima não 
ultrapassou o coeficiente de 
segurança (1,3) para 
fundações, é segura! 
 
A média das tensões não 
ultrapassou a tensão 
admissível, não haverá 
ruptura! 
 
A tensão mínima ficou maior 
que zero, não haverá tração! 
Obras de Terra e Contenções – Aula 05
Empuxos de Terra
Teoria de Coulomb
Obras de Terra e Contenções – Aula 05
Teoria de Coulomb (1776)
Em resumo são consideradas as seguintes hipóteses: 
• Solo homogêneo e isotrópico; 
• A ruptura ocorre sob o estado plano de deformação, ou seja, a ruptura é 
tratada como um problema bidimensional; 
• Ao longo da superfície de deslizamento o material se encontra em estado 
de equilíbrio limite (critério de Mohr-Coulomb), ou seja, o estado de 
equilíbrio plástico é proveniente do peso de uma cunha de terra; 
• Forças de atrito são uniformemente distribuídas ao longo da superfície de 
ruptura junto ao paramento do muro (atrito solo-muro). 
Empuxos de Terra
Obras de Terra e Contenções – Aula 05
Teoria de Coulomb (1776) – Empuxo ativo
Empuxos de Terra
P é o peso da cunha;
R é a reação do solo formando um ângulo (φ) com a
normal à linha de ruptura BC;
Ea é o empuxo resistido pela parede, força cuja
direção é determinada pelo ângulo (δ) de atrito entre a
superfície rugosa AB e o solo arenoso.
Obras de Terra e Contenções – Aula 05
Teoria de Coulomb (1776) – Empuxo passivo
Empuxos de Terra
P é o peso da cunha;
R é a reação do solo formando um ângulo (φ)
com a normal à linha de ruptura BC;
Ep é o empuxo resistido pela parede, força cuja
direção é determinada pelo ângulo (δ) de atrito
entre a superfície rugosa AB e o solo arenoso.
Obras de Terra e Contenções – Aula 05
Teoria de Coulomb (1776) 
Empuxos de Terra
Para solos coesivos, o parâmetro coesão
diminui o empuxo ativo sobre a estrutura de
contenção e aumenta os valores do empuxo
passivo. Na prática, normalmente não se
considera o efeito da coesão, obtendo-se valores
a favor da segurança
Ângulo de atrito solo-muro Ocorrência de Coesão
Obras de Terra e Contenções – Aula 05
As soluções de Coulomb e Rankine são analíticas, embora sob conceituações
distintas, são simples e de fácil utilização e vem sendo largamente empregadas
até o presente, apesar de algumas limitações de aplicabilidade em situações
práticas.
Empuxos de Terra
Teoria de Coulomb (1776) 
Muros de Contenção por Gravidade – Parte 02 
O exercício a seguir é um guia teórico-prático que visa ilustrar: 
• Rotinas de cálculo, dimensionamento e Verificações de Muros de arrimo 
por gravidade; 
 
Exercício 02 
Para a situação ilustrada na figura abaixo, verificar o muro de arrimo em 
concreto, quanto ao deslizamento, tombamento e ruptura das fundações. Caso 
não seja adequado, propor alterações. Utilizar a Teoria de Rankine para o 
cálculo dos Empuxos. 
 
Dados: 
σ adm = 150 kPa # Tensão admissível no solo de fundação (obtida pelo SPT) 
γc = 25 kN/m³ # Peso específico do Concreto utilizado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Cálculo do Empuxo ativo, pela Teoria de Rankine 
 
1.1) Cálculo dos coeficientes de Empuxo ativo (Ka) 
 
Para o Silte: 
 
 
Para a argila arenosa: 
 
 
 
1.2) Cálculo das tensões horizontais (σh) 
Primeiramente calculam-se as tensões verticais efetivas (σ′𝑣), dadas pelo peso 
do solo, nos Pontos de interesse, através da seguinte expressão: 
 
σ′𝑣 = σ𝑣𝑇 − 𝑢 
 
Onde, σ𝑣𝑇 é a tensão vertical total e 𝑢 é a poropressão. 
 
 
 
 
 
Em seguida calculam-se as tensões horizontais, dadas pelo peso do solo 
(σℎγ), coesão (σℎ𝑐), sobrecarga (σℎ𝑞) e poropressão (σℎ𝑤), nos pontos de 
interesse, através das seguintes expressões: 
 
Onde, γw = 10kn/m³, e H = Altura da coluna de água, Kw = 1. 
 
Então, calculam-se as tensões horizontais totais, através da seguinte 
expressão: 
σh Total = σℎγ + σℎ𝑐 + σℎ𝑞 + σℎ𝑤 
Para o ponto A: 
 
Para o ponto B1: 
 
 
Para o ponto B2: 
 
 
Para o ponto C: 
 
Com os valores obtidos, montamos a tabela e o gráfico: 
 
Ponto Ka σv' σhγ σhq σhc σhw σh Total 
A 0,390 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 
B1 0,390 33,00 12,87 0,00 0,00 0,00 12,87 
B2 0,333 33,00 10,99 0,00 -4,62 0,00 6,37 
C 0,333 69,00 22,98 0,00 -4,62 0,00 18,36 
 *kPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.3) Cálculo do Empuxo ativo (Ea) e Ponto de aplicação (y) 
Primeiramente dividimos o gráfico em figuras geometricamente fáceis de 
calcular. A soma das áreas das figuras representa o valor do Empuxo ativo 
Total (Ea). Em seguida, calculamos as distâncias dos baricentros das figuras 
em relação à Base (Ponto C). Conforme figura abaixo:Figura Área (kN) d (m) 
A1 12,87 2,67 
A2 11,99 0,67 
A3 12,74 1,00 
 
Ea = A1 + A2 + A3 = 12,87 + 11,99 + 12,74 = 37,60 kN 
 
Para o cálculo do ponto de aplicação, aplica-se a igualdade entre a soma do 
produto entre as áreas das figuras e seus baricentros e o Empuxo ativo (Ea) 
multiplicado pelo ponto de aplicação da Resultante (y). Dessa forma: 
 
 
2) Verificação do Muro de Gravidade 
 
2.1) Cálculo do Peso do Muro (Wm) e do Ponto de aplicação (dm) 
Uma vez que o Empuxo ativo é a Ação Prejudicial ao nosso Muro, o Peso do 
muro é a ação favorável e deve ser calculado. 
Para um Muro trapezoidal, divide-se o mesmo em figuras geometricamente 
fáceis de calcular. A soma das áreas das figuras multiplicada pelo Peso 
específico do muro (γm) representa o Peso do Muro (Wm). Em seguida, 
calculamos as distâncias dos baricentros das figuras em relação ao Fulcro 
(Ponto D). Conforme figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o cálculo do ponto de aplicação (dm), aplica-se a igualdade entre a soma 
do produto entre as áreas das figuras e seus baricentros e o Peso do Muro 
(Wm) multiplicado pelo ponto de aplicação da Resultante (dm). Dessa forma: 
 
 
 
2.2) Verificações 
 
Definidas as forças do Sistema, teremos a configuração apresentada na figura 
abaixo, que necessita ser verificada quanto ao Tombamento, Deslizamento e 
Tensões excessivas na Base. 
 
 
Figura Área (kN) d (m) 
Wm1 105,00 1,90 
Wm2 56,88 0,87 
Wm3 31,25 1,25 
 
Wm = 105 + 56,88 + 31,25 = 193,13 kN 
As verificações são feitas comparando-se os FS’s obtidos com aqueles 
preconizados pela NBR 11682, conforme figura abaixo: 
 
 
 
2.2.1) Estabilidade ao Tombamento 
 
O fator de segurança ao tombamento (FST), definido na NBR 11682, deverá 
ser Maior ou igual a 2, e é calculado através do somatório dos Momentos no 
Fulcro do Muro (ponto D), pela seguinte expressão: 
 
 
 
Ao realizar a verificação ao Tombamento, o fator de segurança ficou bastante 
superior ao mínimo, ou seja, a estrutura está estável. 
 
Repare que temos uma parte do muro enterrada (D>0), temos então empuxo 
passivo (EP) auxiliando o sistema de equilíbrio. Entretanto, embora tenhamos 
EP, o mesmo não deve ser considerado nas verificações de muros de 
gravidade, pois admite-se que um dia aquele solo que estaria produzindo o EP 
poderá ser escavado. Como citado na Apostila do professor Adriano V.D. Bica., 
da UFRGS: 
 
 
 
2.2.2) Estabilidade ao Deslizamento 
 
O fator de segurança ao deslizamento (FSD), definido na NBR 11682, deverá 
ser Maior ou igual a 1,5. Primeiramente devemos calcular o ângulo de atrito 
entre a Base do Muro e o Solo de fundação (φf). Como citado na Apostila do 
professor Adriano V.D. Bica., da UFRGS: 
 
 
Então, o ângulo de atrito entre a Base e o solo de fundação é função do ângulo 
de atrito interno do solo de fundação, com um redutor dado entre 0,67 e 1. 
Para nosso exercício, desta vez, consideraremos: 
 
φf = 0,67 tg φ’ = 0,67.tg(30) 
 
O Fator de segurança ao deslizamento (FSD) é então calculado pela seguinte 
expressão: 
 
Ao realizar a verificação ao deslizamento, o fator de segurança ficou superior 
ao mínimo, ou seja, a estrutura está estável. 
 
 
2.2.3) Tensões excessivas na Base 
 
A tensão admissível em fundações diretas é a tensão aplicada pelo elemento 
de fundação ao solo que oferece a segurança adequada contra a ruptura. 
Para a avaliação da segurança contra tensões excessivas na fundação de um 
muro de arrimo, admite-se que o solo seja submetido a uma distribuição de 
tensões verticais não-uniforme. Esta distribuição é causada pela resultante das 
forças verticais Rv que está situada a uma distância dm do fulcro do muro 
(Ponto D), e também pelo momento em relação à base causado pela resultante 
das forças horizontais M = Rh y . 
Pode-se calcular a excentricidade gerada por esse sistema de equilíbrio (e), e a 
partir desta, a distribuição de tensões. Através das seguintes Equações: 
 
 
 
 
 
Para que as equações das tensões sejam válidas, Rv deverá estar localizada 
no terço médio da fundação, isto é, deve ser atendida a condição e < Base/6. 
 
 
Em seguida, calculam-se as tensões na Base, considerando à excentricidade, 
através das seguintes expressões: 
 
 
 
Teremos então a seguinte distribuição de tensões: 
 
De posse dessas informações, as verificações finais devem ser feitas: 
 
 
 
 
3) Comentários Finais 
 
Através desse guia teórico-prático, verificou-se todas as etapas de 
dimensionamento de um muro de arrimo por gravidade, com formato não 
retangular. 
 
Primeiramente foram assumidas dimensões iniciais e em seguida foram 
verificados FSD, FST e as tensões. Todas as verificações foram bem 
sucedidas, muitas vezes estando confortavelmente acima do mínimo. 
 
Por que isso ocorreu? Qual o procedimento na prática? 
 
Isso ocorreu porque o muro tem dimensões maiores do que o mínimo 
necessário. Na prática, como buscamos valores de FS’s ligeiramente maiores 
que o mínimo, ou seja, um dimensionamento econômico, as dimensões do 
muro deveriam ser reduzidas, e em seguida, com as novas dimensões, o muro 
deveria ser novamente verificado. 
 
 
 
A tensão Máxima ficou 
menor que a tensão 
admissível, não haverá 
ruptura! 
 
A tensão Máxima não 
ultrapassou o coeficiente de 
segurança (1,3) para 
fundações, é segura! 
 
A média das tensões não 
ultrapassou a tensão 
admissível, não haverá 
ruptura! 
 
A tensão mínima ficou maior 
que zero, não haverá tração! 
Lembrando que, 
 
A primeira rotina para o dimensionamento/modelagem de um muro é estimar 
algumas dimensões iniciais. Na figura abaixo seguem recomendações 
bibliográficas: 
 
 
Sendo nosso H= 4,00 metros, 
 
Uma modelagem inicial possível seria: 
 
Topo = 0,08H = 0,32 ~= 0,30m (Nosso muro está com 1,20m) 
 
Base = 0,5H = 2,00m (Nosso muro está com 2,50m) 
 
D = 0,2H = 0,80m (Nosso muro está com 0,50m) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Solos e Geotecnia – Aula 07
Dimensionamento de Cortinas
Mecânica dos Solos e Geotecnia – Aula 07
O que são as cortinas de contenção
• Elementos “delgados” que podem suportar o 
carregamento através de uma parte cravada (ficha), com 
ou sem a utilização de tirantes.
Mecânica dos Solos e Geotecnia – Aula 07
Modelos estruturais
Livre ou em balanço 
H < +/- 4m
Mecânica dos Solos e Geotecnia – Aula 07
Sistemas para cortinas
Mecânica dos Solos e Geotecnia – Aula 07
Estacas prancha metálicas
Mecânica dos Solos e Geotecnia – Aula 07
Estacas prancha metálicas
Cravação das estacas 
pranchas metálicas com uso 
de gabarito
Mecânica dos Solos e Geotecnia – Aula 07
Estacas prancha metálicas
Mecânica dos Solos e Geotecnia – Aula 07
Paredes Diafragma.
• Muros verticais de concreto armado 
em espessuras variáveis de 30 até 
120cm.
• Utiliza-se lama bentonitica.
• Utiliza o equipamento Clam Shell.
Mecânica dos Solos e Geotecnia – Aula 07
Clam shell
Mecânica dos Solos e Geotecnia – Aula 07
Parede diafragma
• moldagem dos painéis macho e
fêmea
• A Armadura é introduzida.
Mecânica dos Solos e Geotecnia – Aula 07
Parede diafragma
• Concretagem utiliza tubo 
tremonha
• Painéis/lamelas executados 
intercaladamente
Mecânica dos Solos e Geotecnia – Aula 07
Parede diafragma
Mecânica dos Solos e Geotecnia – Aula 07
Parede diafragma
• Comum serem instaladas
ancoragens no terreno
em níveis adequados, a
medida que a escavação
se desenvolve
• Método muito conveniente
para construção de
subsolos profundos e
passagens subterrâneas
Mecânica dos Solos e Geotecnia – Aula 07
Parede diafragma pré-moldada
Mecânica dos Solos e Geotecnia – Aula 07
Cortina de estacas
• Estacas justapostas tangentes
• Estacas justapostas secantes
Mecânica dos Solos e Geotecnia – Aula 07
Estaca raiz
Mecânica dos Solos e Geotecnia – Aula 07
Cortina de estacas escavadas
Passagem 
de nível 
Cristóvão 
ColomboMecânica dos Solos e Geotecnia – Aula 07
Tirantes
• Elementos inseridos no solo 
que suportam somente tração.
Mecânica dos Solos e Geotecnia – Aula 07
Tirantes com barras.
Mecânica dos Solos e Geotecnia – Aula 07
Tirantes com cordoalhas.
Mecânica dos Solos e Geotecnia – Aula 07
Composição de um tirante de fios ou cordoalha
Mecânica dos Solos e Geotecnia – Aula 07
Tirantes: 
equipamentos
Mecânica dos Solos e Geotecnia – Aula 07
Tirante
Sequência executiva:
• Preparo da armação do tirante e tubo de injeção;
• Perfuração da bainha;
• Injeção da bainha;
• Instalação do tirante;
• Injeção do bulbo de ancoragem;
• Ensaio de recebimento;
• Protensão e incorporação.
Mecânica dos Solos e Geotecnia – Aula 07
Tirante - Preparo da armação do tirante e tubo de injeção
Mecânica dos Solos e Geotecnia – Aula 07
Tirante - Preparo da armação do tirante e tubo de injeção
Mecânica dos Solos e Geotecnia – Aula 07
Tirante – Perfuração da bainha
Mecânica dos Solos e Geotecnia – Aula 07
Tirante – Injeção da bainha
Mecânica dos Solos e Geotecnia – Aula 07
Tirante – Instalação do tirante
Mecânica dos Solos e Geotecnia – Aula 07
Tirante – Injeção do bulbo de ancoragem
Mecânica dos Solos e Geotecnia – Aula 07
Tirante – Protensão
Mecânica dos Solos e Geotecnia – Aula 07
Tirante – Incorporação
Cortinas 
O exercício a seguir é um guia teórico-prático que visa ilustrar: 
• Rotinas de cálculo, dimensionamento e Verificações de Cortinas sem 
ancoragem (método de Blum); 
 
Exercício 04 
Como citado na Apostila do professor Adriano V.D. Bica., da UFRGS: 
 
 
 
Para a situação ilustrada na figura abaixo, verificar a cortina de contenção em 
balanço. Utilizar a Teoria de Rankine para o cálculo dos Empuxos. 
 
 
 
1) Considerações Iniciais 
Se considerarmos o solo não coesivo (c = 0) e de peso específico γ (sem 
estratificação de camadas) e sem sobrecarga (q=0), tomando-se os momentos 
das forças em relação ao ponto C, tem-se: 
 
 
 
Onde f é a ficha e h é o desnível inicial. 
 
Ou ainda, Se o solo é puramente coesivo (φ = 0°), a ficha pode ser obtida em 
função da coesão: 
 
 
 
O empuxo passivo equilibrará o empuxo ativo Se: 4c – γh > 0. 
 
Dessa forma, uma cortina em um solo homogêneo e em situações de projeto 
simples, pode ser facilmente calculada com estas expressões. 
 
No entanto, situações reais de projeto dificilmente enquadram-se nessas 
alternativas. E neste caso, o método recomendável é a “tentativa e erro”, ou 
seja, estimar uma profundidade e efetuar as verificações. 
Com o auxilio de um software ou de uma planilha eletrônica, essa rotina torna-
se rápida. 
2) Cálculo dos Empuxos ativo e passivo, pela Teoria de Rankine 
 
Conforme Caputo, admitindo-se o giro em um ponto “o” qualquer (figura a), o 
gráfico dos empuxos seria aquele dado na figura b, entretanto, considera-se 
uma simplificação no gráfico (giro ocorrendo na base), resultando na figura c. 
 
 
Teremos então em nosso problema duas zonas, a ativa e a passiva: 
 
 
 
1.1) Cálculo do coeficientes de Empuxo ativo (Ka) 
 
Para o Silte: 
 
 
 
Para a Areia: 
 
 
1.2) Cálculo do coeficiente de Empuxo Passivo (Kp) 
 
Para a Areia: 
 
 
1.3) Cálculo das tensões horizontais (σh) ATIVAS. 
Primeiramente calculam-se as tensões verticais efetivas (σ′𝑣), dadas pelo peso 
do solo, nos Pontos de interesse, através da seguinte expressão: 
σ′𝑣 =σ𝑣𝑇−𝑢 
Onde, σ𝑣𝑇 é a tensão vertical total e 𝑢 é a poropressão. 
 
Em seguida calculam-se as tensões horizontais, dadas pelo peso do solo 
(σℎγ), coesão (σℎ𝑐), sobrecarga (σℎ𝑞) e poropressão (σℎ𝑤), nos pontos de 
interesse, através das seguintes expressões: 
 
 
 
Onde, γw = 10kn/m³, e H = Altura da coluna de água, Kw = 1. 
Então, calculam-se as tensões horizontais totais, através da seguinte 
expressão: 
σh Total = σℎγ + σℎ𝑐 + σℎ𝑞 + σℎ𝑤 
 
Para o ponto A: 
 
Para o ponto B1: 
 
Para o ponto B2: 
 
Para o ponto C: 
 
 
Com os valores obtidos, montamos a tabela do lado ativo: 
 
Ponto Ka σv' σhγ σhq σhc σhw σh Total 
A 0,406 0,00 0,00 2,03 -2,55 0,00 -0,52 
B1 0,406 51,00 20,71 2,03 -2,55 0,00 20,19 
B2 0,307 51,00 15,66 1,54 0,00 0,00 17,20 
C 0,307 117,00 35,92 1,54 0,00 0,00 37,46 
 *kPa 
 
1.4) Cálculo das tensões horizontais (σh) PASSIVAS. 
Primeiramente calculam-se as tensões verticais efetivas (σ′𝑣), dadas pelo peso 
do solo, nos Pontos de interesse, através da seguinte expressão: 
σ′𝑣 =σ𝑣𝑇−𝑢 
 
Onde, σ𝑣𝑇 é a tensão vertical total e 𝑢 é a poropressão. 
 
 
Em seguida calculam-se as tensões horizontais, dadas pelo peso do solo 
(σℎγ), coesão (σℎ𝑐), sobrecarga (σℎ𝑞) e poropressão (σℎ𝑤), nos pontos de 
interesse, através das seguintes expressões: 
 
Onde, γw = 10kn/m³, e H = Altura da coluna de água, Kw = 1. 
 
Então, calculam-se as tensões horizontais totais, através da seguinte 
expressão: 
σh Total = σℎγ + σℎ𝑐 + σℎ𝑞 + σℎ𝑤 
 
Para o ponto B: 
 
Obs.: Ponto A com tensão 
negativa dada pela coesão. 
Assume-se Zero para o 
gráfico, em função de um 
possível preenchimento das 
trincas por água. 
 
Para o ponto C: 
 
 
Com os valores obtidos, montamos a tabela do lado passivo, e então o 
diagrama de Empuxos, passivo e ativo: 
 
Ponto Kp σv' σhγ σhq σhc σhw σh Total 
B 3,256 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 
C 3,256 66,00 214,90 0,00 0,00 0,00 214,90 
*kPa 
 
 
 
 
1.5) Cálculo dos Empuxos ativo (Ea) e passivo (Ep) e Pontos de aplicação (y’ e y’’) 
Primeiramente dividimos o gráfico em figuras geometricamente fáceis de calcular. A soma das áreas das figuras representa os 
valores dos Empuxos ativo e Passivo. Em seguida, calculamos as distâncias dos baricentros das figuras em relação à Base (Ponto 
C). Conforme figura abaixo: 
 
 
Empuxo Ativo 
Figura Área (kN) d (m) 
A1 30,29 4,00 
A2 51,60 1,50 
A3 30,39 1,00 
 
Ea = A1+A2+A3 = 30,29+51,60+30,39 = 112,28 kN 
 
Para o cálculo do ponto de aplicação, aplica-se a igualdade entre a soma do 
produto entre as áreas das figuras e seus baricentros e o Empuxo ativo (Ea) 
multiplicado pelo ponto de aplicação da Resultante (y). Dessa forma: 
 
 
 
Empuxo Passivo 
Figura Área (kN) d (m) 
A4 322,35 1,00 
 
Ep = A4 = 322,35 kN 
 
O empuxo passivo será a área do triângulo da figura A4, e o ponto de aplicação 
será coincidente com seu baricentro. 
 
y'’ = 1,00m 
 
Obs.: Caso tivéssemos parcela de coesão ou sobrecarga, o valor de EP seria o 
somatório das diferentes áreas das figuras da zona passiva, e cálculo de y’’ 
também seria feito como demonstrado para o Empuxo ativo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Verificações 
 
Definidas as forças do Sistema, teremos a configuração apresentada na figura 
abaixo, que necessita ser verificada quanto ao Tombamento. 
 
 
 
As verificações são feitas comparando-se o FS’s obtidos com aqueles 
preconizados pela NBR 11682, conforme figura abaixo: 
 
 
3.1) Estabilidade ao Tombamento 
 
Teremos então os Momentos Resistentes (MR), ou seja, o Empuxo Passivo 
aplicado a uma distância y’’, que é o momento atuante na ficha da cortina que 
tende a Estabilizar o sistema. 
E teremos os Momentos Instabilizantes (MI), ou seja, o Empuxo Ativo 
aplicado a uma distância y’, que é o momento atuante ao longo de todo 
comprimento da cortina e que tende a Instabilizar o sistema. 
O fator de segurança ao tombamento (FST), definido na NBR 11682, deverá 
ser Maior ou igual a 2, e é calculado através do somatório dos Momentos na 
base da cortina (ponto C), pela seguinte expressão: 
 
 
 
Ao realizar a verificação ao Tombamento, o fator de segurança ficou bastante 
inferior ao mínimo, ou seja, a estrutura está instável. 
 
Qual o procedimento a ser adotado? 
 
A) Aumentar a Ficha; 
B) Projetar Tirantes. 
 
 
 
4) Hipótese de aumento da ficha 
 
Com o auxilio de uma planilha eletrônica, constatou-se que o tamanho mínimo 
da ficha para FS ≥ 2 é aproximadamente 3,80 metros. 
 
A seguir serãodemonstrados os resultados. 
 
4.1) Cálculo das tensões horizontais (σh) ATIVAS. 
 
Ponto Ka σv' σhγ σhq σhc σhw σh Total 
A 0,406 0,00 0,00 2,03 -2,55 0,00 -0,52 
B1 0,406 51,00 20,71 2,03 -2,55 0,00 20,19 
B2 0,307 51,00 15,66 1,54 0,00 0,00 17,20 
C 0,307 134,60 41,32 1,54 0,00 0,00 42,86 
 *kPa 
 
4.2) Cálculo das tensões horizontais (σh) PASSIVAS. 
 
Ponto Kp σv' σhγ σhq σhc σhw σh Total 
B 3,256 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 
C 3,256 83,6 272,20 0,00 0,00 0,00 272,20 
*kPa 
 
 
 
 
Obs.: Ponto A com tensão 
negativa dada pela coesão. 
Assume-se Zero para o 
gráfico, em função de um 
possível preenchimento das 
trincas por água. 
4.3) Cálculo dos Empuxos ativo (Ea) e passivo (Ep) e Pontos de aplicação (y’ e y’’) 
Primeiramente dividimos o gráfico em figuras geometricamente fáceis de calcular. A soma das áreas das figuras representa os 
valores dos Empuxos ativo e Passivo. Em seguida, calculamos as distâncias dos baricentros das figuras em relação à Base (Ponto 
C). Conforme figura abaixo: 
 
 
 
Empuxo Ativo 
Figura Área (kN) d (m) 
A1 30,29 4,80 
A2 65,36 1,90 
A3 48,75 1,27 
 
Ea = A1+A2+A3 = 30,29+65,36+48,75 = 144,40 kN 
 
Calcula-se y’ de forma análoga à primeira resolução, 
 
y' = 2,30m 
 
 
Empuxo Passivo 
Figura Área (kN) d (m) 
A4 517,18 1,27 
 
Ep = A4 = 517,18 kN 
 
O empuxo passivo será a área do triângulo da figura A4, e o ponto de aplicação 
será coincidente com seu baricentro. 
 
y'’ = 1,27m 
 
Obs.: Caso tivéssemos parcela de coesão ou sobrecarga, o valor de EP seria o 
somatório das diferentes áreas das figuras da zona passiva, e cálculo de y’’ 
também seria feito como demonstrado para o Empuxo ativo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.4) Verificações 
 
Definidas as forças do Sistema, teremos a configuração apresentada na figura 
abaixo, que necessita ser verificada quanto ao Tombamento. 
 
 
 
As verificações são feitas comparando-se o FS’s obtidos com aqueles 
preconizados pela NBR 11682, conforme figura abaixo: 
 
 
 
 
4.5) Estabilidade ao Tombamento 
 
Teremos então os Momentos Resistentes (MR), ou seja, o Empuxo Passivo 
aplicado a uma distância y’’, que é o momento atuante na ficha da cortina que 
tende a Estabilizar o sistema. 
E teremos os Momentos Instabilizantes (MI), ou seja, o Empuxo Ativo 
aplicado a uma distância y’, que é o momento atuante ao longo de todo 
comprimento da cortina e que tende a Instabilizar o sistema. 
O fator de segurança ao tombamento (FST), definido na NBR 11682, deverá 
ser Maior ou igual a 2, e é calculado através do somatório dos Momentos na 
base da cortina (ponto C), pela seguinte expressão: 
 
 
 
Ao realizar a verificação ao Tombamento, o fator de segurança atingiu o valor 
mínimo, ou seja, a estrutura está Estável. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.6) Ajuste Final 
 
Como citado na Apostila do professor Adriano V.D. Bica., da UFRGS: 
 
 
A ficha de cálculo é 3,80m , entretanto para compensar as simplificações do 
método, a bibliografia recomenda: 
 
F projeto = 1,2 . F cálculo 
 
Ou seja, um fator de acréscimo na profundidade para garantir a hipótese de 
engastamento da base. 
 
Dessa forma o valor final da ficha será: 
 
F projeto = 1,2 .3,80m = 4,56m ≅ 4,60m 
Cortinas 
O exercício a seguir é um guia teórico-prático que visa ilustrar: 
• Rotinas de cálculo, dimensionamento e Verificações de Cortinas sem 
ancoragem; 
• Rotinas de cálculo, dimensionamento e Verificações de Cortinas com 
ancoragem; 
 
Exercício 04 
Para a situação ilustrada na figura abaixo 
• Verificar a cortina de contenção para a hipótese em balanço; 
• Verificar a cortina de contenção para a hipótese atirantada. 
Utilizar a Teoria de Rankine para o cálculo dos Empuxos. 
 
 
 
1) Cálculo dos Empuxos ativo e passivo, pela Teoria de Rankine 
 
Teremos então em nosso problema duas zonas, a ativa e a passiva: 
 
 
 
 
1.1) Cálculo do coeficientes de Empuxo ativo (Ka) 
 
Para as duas camadas: 
 
 
 
1.2) Cálculo do coeficiente de Empuxo Passivo (Kp) 
 
 
 
1.3) Cálculo das tensões horizontais (σh) ATIVAS. 
Primeiramente calculam-se as tensões verticais efetivas (σ′𝑣), dadas pelo peso 
do solo, nos Pontos de interesse, através da seguinte expressão: 
 
σ′𝑣 =σ𝑣𝑇−𝑢 
 
Onde, σ𝑣𝑇 é a tensão vertical total e 𝑢 é a poropressão. 
 
 
 
Em seguida calculam-se as tensões horizontais, dadas pelo peso do solo 
(σℎγ), coesão (σℎ𝑐), sobrecarga (σℎ𝑞) e poropressão (σℎ𝑤), nos pontos de 
interesse, através das seguintes expressões: 
 
Onde, γw = 10kn/m³, e H = Altura da coluna de água, Kw = 1. 
Então, calculam-se as tensões horizontais totais, através da seguinte 
expressão: 
σh Total = σℎγ + σℎ𝑐 + σℎ𝑞 + σℎ𝑤 
 
Para o ponto A: 
 
 
 
 
 
 
Para o ponto B: 
 
 
Para o ponto C: 
 
 
Com os valores obtidos, montamos a tabela do lado ativo: 
 
Ponto Ka σv' σhγ σhq σhc σhw σh Total 
A 0,333 0,00 0,00 3,33 0,00 0,00 3,33 
B 0,333 72,00 24,00 3,33 0,00 0,00 27,33 
C 0,333 117,00 39,00 3,33 0,00 45,00 87,33 
 
 
1.4) Cálculo das tensões horizontais (σh) PASSIVAS. 
Primeiramente calculam-se as tensões verticais efetivas (σ′𝑣), dadas pelo peso 
do solo, nos Pontos de interesse, através da seguinte expressão: 
σ′𝑣 =σ𝑣𝑇−𝑢 
 
Onde, σ𝑣𝑇 é a tensão vertical total e 𝑢 é a poropressão. 
 
 
 
 
 
 
Em seguida calculam-se as tensões horizontais, dadas pelo peso do solo 
(σℎγ), coesão (σℎ𝑐), sobrecarga (σℎ𝑞) e poropressão (σℎ𝑤), nos pontos de 
interesse, através das seguintes expressões: 
 
 
Onde, γw = 10kn/m³, e H = Altura da coluna de água, Kw = 1. 
 
Então, calculam-se as tensões horizontais totais, através da seguinte 
expressão: 
σh Total = σℎγ + σℎ𝑐 + σℎ𝑞 + σℎ𝑤 
 
Para o ponto B: 
 
 
 
 
 
 
Para o ponto C: 
 
 
Com os valores obtidos, montamos a tabela do lado passivo, e então o 
diagrama de Empuxos, passivo e ativo: 
 
Ponto Kp σv' σhγ σhq σhc σhw σh Total 
B 3 0 0 0 0,00 0,00 0 
C 3 45,00 135,00 0 0,00 45,00 180,00 
 
 
 
 
 
1.5) Cálculo dos Empuxos ativo (Ea) e passivo (Ep) e Pontos de aplicação (y’ e y’’) 
Primeiramente dividimos o gráfico em figuras geometricamente fáceis de calcular. A soma das áreas das figuras representa os 
valores dos Empuxos ativo e Passivo. Em seguida, calculamos as distâncias dos baricentros das figuras em relação à Base (Ponto 
C). Conforme figura abaixo: 
 
 
EMPUXO ATIVO 
Figura Área (kN) d (m) 
A1 13,32 6,50 
A2 48,00 5,83 
A3 122,99 2,25 
A4 135,00 1,50 
 
Ea = A1+A2+A3+A4 = 13,32+48+122,99+135 = 319,31 kN 
 
Para o cálculo do ponto de aplicação, aplica-se a igualdade entre a soma do 
produto entre as áreas das figuras e seus baricentros e o Empuxo ativo (Ea) 
multiplicado pelo ponto de aplicação da Resultante (y). Dessa forma: 
 
 
 
Empuxo Passivo 
Figura Área (kN) d (m) 
A5 405,00 1,50 
 
Ep = A5 = 405,00 kN 
 
O empuxo passivo será a área do triângulo da figura A5, e o ponto de aplicação 
será coincidente com seu baricentro. 
 
y'’ = 1,50m 
 
Obs.: Caso tivéssemos parcela de coesão ou sobrecarga, o valor de EP seria o 
somatório das diferentes áreas das figuras da zona passiva, e cálculo de y’’ 
também seria feito como demonstrado para o Empuxo ativo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Verificações 
 
Definidas as forças do Sistema, teremos a configuração apresentada na figura 
abaixo, que necessita ser verificada quanto ao Tombamento. 
 
 
 
As verificações são feitas comparando-se o FS’s obtidos com aqueles 
preconizados pela NBR 11682, conforme figura abaixo: 
 
 
 
 
2.1) Estabilidade ao Tombamento 
 
Teremos então os Momentos Resistentes (MR), ou seja, o Empuxo Passivo 
aplicado a uma distância y’’, que é o momento atuante na ficha da cortina que 
tende a Estabilizar o sistema. 
E teremos os Momentos Instabilizantes (MI), ou seja, o Empuxo Ativo 
aplicado auma distância y’, que é o momento atuante ao longo de todo 
comprimento da cortina e que tende a Instabilizar o sistema. 
O fator de segurança ao tombamento (FST), definido na NBR 11682, deverá 
ser Maior ou igual a 2, e é calculado através do somatório dos Momentos na 
base da cortina (ponto C), pela seguinte expressão: 
 
 
 
Ao realizar a verificação ao Tombamento, o fator de segurança ficou bastante 
inferior ao mínimo, ou seja, a estrutura está instável. 
 
Qual o procedimento a ser adotado? 
 
A) Aumentar a Ficha; 
 
Através de simulações computacionais (iterações), o valor para ficha que 
satisfaz FS ≥ 2 será de 16,04 metros. Os resultados principais são 
apresentados no quadro abaixo (Como exercício, efetuar a conferência dos 
valores): 
 
 
EAT Y' EPT Y'' M. Inst. M. Res. Coef
2214,02 6,21 5143,10 5,35 13752,56 27491,70 2,00
B) Projetar Tirantes. 
Para solos com sobrecarga, incidência de água, e H ≥ 4 metros, o sistema de 
cortinas em balanço se mostra pouco eficiente e desaconselhável, dessa 
forma, deve-se verificar a possibilidade da execução de Tirantes. 
 
3. Projeto de Tirantes 
 
3.1) Considerações Iniciais 
 
• Introduz-se o tirante no sistema no ponto “O” a uma profundidade “d”. 
• A localização do ponto “O” altera significativamente os resultados; 
• A escolha da localização do ponto “O” é arbitrária (em situação real de 
projeto pode-se variar a localização do tirante buscando uma posição 
otimizada); 
• A linha de tirantes localiza-se a uma distância “a” do nível interno. 
• Chamaremos a ficha inicial de F0. 
 
Para a aplicação de cortinas atirantadas, o modelo estrutural muda 
completamente. Uma vez introduzido o tirante no sistema, teremos o somatório 
dos momentos em relação ao ponto “O”, onde localiza-se o tirante. 
 
 
 
3.2) Arbitrar uma ficha inicial (F0) 
 
Assim como nos exercícios anteriores um valor inicial deve ser adotado para a 
ficha (F0) e através de iterações deve ser determinada a ficha ideal (aquela 
que resulta em FST = 2). 
 
Para este exercício começaremos com uma ficha arbitrária F0 = 7 metros. 
 
3.3) Cálculo dos Empuxos ativo (Ea) e passivo (Ep) e Pontos de aplicação (y’ e y’’) 
 
Da mesma maneira que para cortinas em balanço, primeiramente dividimos o gráfico em figuras geometricamente fáceis de calcular. A soma 
das áreas das figuras representa os valores dos Empuxos ativo e Passivo. Em seguida, calculamos as distâncias dos baricentros das figuras 
em relação à Base (Ponto C). Conforme figura abaixo: 
 
 
 (Como exercício, efetuar a conferência dos valores)
3.4) Verificações 
 
Definidas as forças do Sistema, teremos a configuração apresentada na figura 
abaixo, que necessita ser verificada quanto ao Tombamento. 
 
 
 
 
 
As verificações são feitas comparando-se o FS obtido com aquele preconizado 
pela NBR 11682, conforme figura abaixo: 
 
 
Para cortinas atirantadas, o braço de alavanca das forças no somatório dos 
momentos é em relação ao ponto “O” (posição do tirante). 
 
Chamaremos o braço de alavanca do Empuxo passivo de y Tirante”. 
 
Chamaremos o braço de alavanca do Empuxo ativo de y Tirante’. 
 
Os valores são apresentados na figura baixo e são facilmente obtidos 
geometricamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.5) Estabilidade ao Tombamento 
 
 
 
Teremos então os Momentos Resistentes (MR), ou seja, o Empuxo Passivo 
aplicado a uma distância y Tirante’’, que é o momento atuante na ficha da 
cortina que tende a Estabilizar o sistema. 
 
E teremos os Momentos Instabilizantes (MI), ou seja, o Empuxo Ativo 
aplicado a uma distância y Tirante’, que é o momento atuante ao longo de todo 
comprimento da cortina e que tende a Instabilizar o sistema. 
 
O fator de segurança ao tombamento (FST), definido na NBR 11682, deverá 
ser Maior ou igual a 2, e é calculado através do somatório dos Momentos no 
Tirante (ponto O), pela seguinte expressão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.6) Considerações Finais 
 
A partir deste ponto, deve-se proceder o dimensionamento estrutural e 
geotécnico dos tirantes. 
 
 
 
Esse dimensionamento envolve os seguintes passos: 
 
• Cálculo da Carga horizontal (Th) no Tirante 
• Definições Geométricas do tirante 
• Cálculo da Carga Final no tirante (Tf) 
• Cálculo do comprimento de ancoragem (LA) 
• Cálculo do comprimento Livre (LL) 
• Cálculo do comprimento Total (LT) 
• Especificação técnica do tirante 
• Arranjo Final 
• Detalhes construtivos 
 
Na próxima aula veremos um exemplo desse dimensionamento. 
Tópicos Especiais 
O exercício a seguir é um guia teórico-prático que visa ilustrar: 
• Rotinas de cálculo de Tirantes; 
• Rotinas de cálculo de Muros em Gabião 
 
Exercício 05 
 
Dimensionar a linha de Tirantes para a Cortina representada abaixo: 
 
 
 
N60 Médio da camada de areia = 8 # Valor de NSPT para a camada, corrigido. 
 # N60= (NSPT x 0,7)/0,6 (Brasil) 
 
 
 
 
 
1.1) Cálculo da Carga horizontal no Tirante (Th) 
 
Para determinar a carga atuando no tirante devemos recalcular a ficha para 
FST = 1, ou seja, o valor para a ficha em que os momentos em relação ao 
tirante entram em equilíbrio (na iminência do colapso). 
 
Podemos dizer então que essa é a carga “real” no tirante, sem um fator de 
segurança aplicado. 
 
Através de iterações computacionais encontrou-se o valor para ficha F = 2,16 
metros, a seguir serão apresentados os resultados e o desenvolvimento do 
cálculo da carga no tirante (Como exercício, efetuar a conferência dos valores): 
 
 
 
 
 
EA(kN) Y' Base (m) EP (kN) Y'' Base Y' O (Ativo) (m) M. Inst. (kN.m) Y" O (Passivo) (m) M. Res. (kN.m) FST
151,40 2,04 93,19 0,720 2,12 320,50 3,44 320,47 1,00
Uma Ficha de 2,16 metros resultará em 
um Fator de Segurança igual a 1. 
 
Encontrar esse valor é o primeiro 
passo para determinar a carga no 
tirante. 
Com os Valores Conhecidos para Ea e Ep e assumindo-se que o Ponto de 
aplicação de Ep e o Ponto “O” são apoios simples, faz-se o cálculo da carga 
horizontal no tirante (Th) através de um somatório de Reações: 
 
𝑇ℎ = 𝐸𝑎 – 𝐸𝑝 
 
𝑇ℎ = 151,40𝑘𝑁 – 93,19𝑘𝑁 = 58,21𝑘𝑁 
 
 
Na figura abaixo, a conferência através do software Ftool, apresentando 
valores muito próximos do esperado: 
 
 
1.2) Definições Geométricas 
 
O próximo passo será definir o arranjo dos nossos tirantes, para tanto, algumas 
recomendações bibliográficas devem ser observadas: 
 
 
 
 
Além disso, deve-se observar que o valor de Sh definirá a área de influência do 
tirante, ou seja, quanto maior o espaçamento, maior será a carga. 
 
 
 
 
 
 
O ângulo do tirante (α), associado à carga horizontal do tirante (Th), formará 
então o seguinte vetor de cargas: 
 
 
 
 
1.3) Cálculo da Carga Final no tirante (Tf) 
 
Para espaçamento horizontal adotaremos Sh = 2m; 
Para a inclinação do tirante adotaremos α = 30º; 
A carga horizontal no tirante calculada anteriormente foi Th = 58,21kN. 
 
Conhecidos os valores de α, Th e Sh, determinamos então a carga Final (Tf) 
no tirante através da seguinte expressão: 
 
 
 
 
 
 
 
1.4) Cálculo do comprimento de ancoragem (LA) 
 
 
 
Para o primeiro caso, ou seja, ruptura geotécnica, calculamos o comprimento 
de ancoragem LA através do seguinte método. 
 
Primeiramente deve ser considerado que: 
 
Em seguida, adota-se um método de cálculo: 
 
 
Onde, 
 
Ta (t) = Tf 
γ = fator de aderência 
La = Comprimento ancorado. 
Fs = Fator de Segurança = 2. 
__ 
FS 
E,
 
 
Sabendo-se então que o N60 Médio da camada de areia é 8 (dado do problema, 
obtido pela sondagem SPT), através da tabela a seguir determinamos então o 
fator de aderência γ . 
 
 
Teremos então: Areia 4≤ N60 ≤10 , γ=100 kN/m. 
 
De posse de todas as variáveis calculamos o comprimento de ancoragem 
através da seguinte expressão: 
 
 
 
1.5) Cálculo do comprimento Livre (LL) 
 
 
 
 
Sendo assim,geometricamente deduzimos que: 
 
 
 
Devemos em seguida acrescentar a cota de segurança “X”, 
 
𝐿𝐿 = 1,33 + 𝑋 
 
Onde, 
 
𝑋 = 0,2𝐻 ≥ 1,5 ; 
𝑋 = 0,2. (4) = 0,8𝑚 
𝑋 = 1,5𝑚 
 
𝐿𝐿 = 1,33 + 1,5 = 2,83𝑚 
 
Por imposição do método teremos que, 
 
𝐿𝐿 ≥ 3 𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑜𝑛𝑜𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 
𝐿𝐿 ≥ 4,5 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑑𝑜𝑎𝑙ℎ𝑎𝑠 
 
Adotando monobarras, devemos então utilizar o LL mínimo para esse tipo de 
tirante, 
𝐿𝐿 = 3 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 
1.6) Calculo do comprimento Total (LT) 
 
𝐿𝑇 = 𝐿𝐴 + 𝐿𝐿 
 
(Em múltiplos de 1, para facilitar o processo construtivo) 
 
𝐿𝑇 = 2,69 + 3 = 5,69 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 = 6 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 
 
Uma vez que para facilitar o processo construtivo aumentamos o comprimento 
total de 5,69 metros para 6 metros, ou seja, aumentamos em 0,31 metros, 
devemos corrigir o comprimento ancorado, que agora é maior. 
 
𝐿𝐴 = 2,69 + 0,31 = 3 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para esta verificação então utiliza-se a seguinte equação: 
 
𝐻𝑚 = 𝑑 + [𝑠𝑒𝑛(𝛼) (𝐿𝐿 +
𝐿𝐴
2
)] 
 
𝐻𝑚 = 2 + [𝑠𝑒𝑛(30) (3 +
3
2
)] 
 
𝐻𝑚 = 4,25𝑚 , 
 
Menor que 4,5m Não está Ok! 
 
 
Não há solo suficiente em cima do ponto médio do comprimento de ancoragem 
da linha de tirantes (vimos que essa camada deve ter no mínimo 4,5metros). 
 
Duas ações podem ser tomadas: 
 
• Mudar a inclinação do tirante (α). 
• Aumentar o comprimento de ancoragem (LA). 
 
Opta-se pela segunda e faz-se então o processo inverso para encontra o valor 
final de LA que atende Hm = 4,5 metros , da seguinte forma: 
 
𝐻𝑚 = 𝑑 + [𝑠𝑒𝑛(𝛼) (𝐿𝐿 +
𝐿𝐴
2
)] 
 
4,5 = 2 + [𝑠𝑒𝑛(30) (3 +
𝐿𝐴
2
)] 
 
𝐿𝐴 = 4,00𝑚 , 
 
Após os ajustes, faz-se necessário portanto ajustar novamente o comprimento 
total (LT): 
 
𝐿𝑇 = 𝐿𝐿 + 𝐿𝐴 = 3 + 4 = 7,00 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.7) Especificação do tirante 
 
Através das informações dos fabricantes e calculados os valores, podemos 
então especificar o tirante: 
 
Temos, 
 
Monobarras, Tf = 134,43 kN, permanente = Dywidag ST50/55 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.8) Arranjo Final 
 
Após todas as etapas de verificação e dimensionamento, teremos o seguinte 
arranjo final: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.9) Detalhes construtivos (Leitura obrigatória) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.10) Fontes: 
 
Apostila professor Adriano V.D. Bica., UFRGS. 
Fundações e Estruturas de Contenção, Muni Budhu, 2015. 
Muros de Arrimo, Marchetti, 2007. 
NBR’s diversas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 06 
 
Para a situação ilustrada na figura abaixo: 
Definir as dimensões para o muro de contenção por gravidade em Gabião. 
Calcular os Fatores de segurança (utilizar Rankine). 
Suponha que o material de aterro tem 𝜸𝒔 = 𝟏𝟓 𝒌𝑵/𝒎³. 
 
Existe um desnível de 03 metros a conter. 
Deseja-se analisar a viabilidade do uso de uma contenção em gabião. 
 
1) Gabião: Especificações e particularidades 
 
Primeiramente, algumas considerações devem ser feitas. 
 
 
 
Dessa forma, quando a água é uma variável do sistema, o gabião é uma 
alternativa interessante. Por isso, é largamente utilizado em margens de cursos 
d’água. 
 
A manta geotextil é um dos componentes do sistema, evitando a fuga de finos 
do solo e a erosão. 
 
O preenchimento dos gabiões é realizado “in-loco”, com material especificado 
pelo projetista (que deve estar atento aos materiais disponíveis na região). 
Abaixo é apresentada uma tabela com valores referência para os materiais de 
preenchimento: 
 
 
2) Modelagem Inicial 
 
 
 
Por fim, deve-se verificar o fornecedor e as dimensões dos módulos disponíveis, e 
então estimar uma dimensão inicial. 
 
Para uma caixa de gabião de Comprimento 2m , Largura 1m e Altura 0,50m, 
estima-se as seguintes dimensões: 
 
 
Sendo nosso H= 3,00 metros, 
 
Uma modelagem inicial possível seria: 
 
Topo = 0,08H = 0,24 =^ 1,00m (Largura mínima para o módulo) 
 
Base = 0,5H = 1,50m =^ 2,00m (Largura de 02 módulos) 
Os módulos possuem 0,50m de altura, dessa forma, para uma distribuição 
linear e coerente com as cargas (que aumentam com a profundidade), teremos 
03 fiadas com 02 módulos, e 03 fiadas com 01 módulo. 
 
Da seguinte maneira: 
 
 
3) Cálculo do Empuxos ativo, pela Teoria de Rankine 
 
1.1) Cálculo do coeficiente de Empuxo ativo (Ka) 
 
Para o Silte: 
 
1.2) Cálculo das tensões horizontais (σh) ATIVAS. 
Primeiramente calculam-se as tensões verticais efetivas (σ′𝑣), dadas pelo peso 
do solo, nos Pontos de interesse, através da seguinte expressão: 
 
𝝈′𝒗 = 𝝈𝒗𝑻 − 𝒖 
 
Onde, σ𝑣𝑇 é a tensão vertical total e 𝑢 é a poropressão. 
 
 
 
Em seguida calculam-se as tensões horizontais, dadas pelo peso do solo 
(σℎγ), coesão (σℎ𝑐), sobrecarga (σℎ𝑞) e poropressão (σℎ𝑤), nos pontos de 
interesse, através das seguintes expressões: 
 
 
 
Onde, γw = 10kn/m³, e H = Altura da coluna de água, Kw = 1. 
Então, calculam-se as tensões horizontais totais, através da seguinte 
expressão: 
σh Total = σℎγ + σℎ𝑐 + σℎ𝑞 + σℎ𝑤 
 
Para o ponto A: 
 
 
Para o ponto B: 
 
 
 
Com os valores obtidos, montamos a tabela: 
 
Ponto Ka σv' σhγ σhq σhc σhw σh Total 
A 0,406 0,00 0,00 2,03 -2,55 0,00 -0,52 
B 0,406 51,00 20,71 2,03 -2,55 0,00 20,19 
 *kPa 
 
 
 
1.3) Cálculo do Empuxo ativo (Ea) e Ponto de aplicação (y) 
 
Primeiramente dividimos o gráfico em figuras geometricamente fáceis de 
calcular. A soma das áreas das figuras representa o valor do Empuxo ativo 
Total (Ea). 
Em seguida, calculamos as distâncias do baricentro da figura em relação à 
Base (Ponto B). Conforme figura abaixo: 
 
 
Obs.: Ponto A com tensão 
negativa dada pela coesão. 
Assume-se Zero para o 
gráfico, em função de um 
possível preenchimento das 
trincas por água. 
𝑬𝒂 = 𝑨𝟏 = 𝟑𝟎, 𝟐𝟗 𝒌𝑵 
 
Para o cálculo do ponto de aplicação, aplica-se a igualdade entre a soma do 
produto entre as áreas das figuras e seus baricentros e o Empuxo ativo (Ea) 
multiplicado pelo ponto de aplicação da Resultante (y). Como teremos apenas 
uma única figura, seu Baricentro é também o ponto de aplicação: 
 
𝐲 = 𝐇/𝟑 = 𝟏𝐦 
 
 
 
4) Cálculo do Peso do Muro (Wm), Peso do Solo (Ws) e do Ponto de 
aplicação (dm) 
 
Primeiramente, define-se um valor para o peso específico do Gabião. Esse valor é 
dado pela seguinte expressão: 
 
𝛾𝑔 = 𝛾𝑝 . (1 − 𝑛) 
 
Onde, 
γg é o peso específico do gabião. 
γp é o peso específico da pedra utilizada no preenchimento. 
n é a porosidade do preenchimento. 
 
O valor da porosidade “n” depende diretamente da qualidade do material utilizado 
e da qualidade da mão de obra, uma vez que o preenchimento dos gabiões é feito 
manualmente. As empresas que executam contenções em gabião estimam uma 
porosidade baseada no material a na sua própria equipe, empiricamente. 
 
Adotaremos 30% de porosidade, ou seja n = 0,30 
 
Para preenchimento dos gabiões, a título teórico, utilizaremos Basalto. 
 
 
Adotaremos γp = 3,0 tf/m³ ou 30 kN/m³ 
 
Então, 
 
𝛾𝑔 = 𝛾𝑝 . (1 − 𝑛) = 30. (1 − 0,3) = 21 𝑘𝑁/𝑚³ 
 
Com as dimensões iniciais estimadas, e o Peso específico do gabião, calcula-se o 
Peso do Muro e o Peso da massa de solo, bem como o ponto de aplicação. Para 
tanto, divide-se o problema em figuras geométricas: 
 
 
 
Para o cálculo do ponto de aplicação (dm), aplica-se a igualdade entre a soma 
do produto entre as áreas das figuras e seus baricentros e o valor total da 
resultante vertical (Rv) multiplicado pelo ponto de aplicação (dm). Dessa forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura Área (kN) d (m) 
Wm1 63,00 0,50 
Wm2 31,50 1,50 
Ws 22,50 1,50 
 
Rv = 63 + 31,50 + 22,50 
Rv = 117 kN 
2.1) Verificações 
 
Definidas as forças do Sistema, teremos a configuração apresentada na figura 
abaixo, que necessita ser verificada quanto ao Tombamento, Deslizamento eTensões excessivas na Base. Esses cálculos seguem o mesmo roteiro dos 
exercícios anteriores para Muros de Gravidade. 
 
 
 
As verificações são feitas comparando-se os Fatores de segurança obtidos 
com aqueles preconizados pela NBR 11682, conforme figura abaixo: 
 
 
 
Dessa forma, os Fatores de segurança obtidos a seguir, devem ser MAIORES 
ou IGUAIS aos da Tabela 4 da norma. 
 
2.3.1) Estabilidade ao Tombamento 
 
O fator de segurança ao tombamento (FST), definido na NBR 11682, deverá 
ser Maior ou igual a 2, e é calculado através do somatório dos Momentos no 
Fulcro do Muro (ponto C), pela seguinte expressão: 
 
 
 
FST é maior que 2 logo, passou na verificação de estabilidade! 
 
2.3.2) Estabilidade ao Deslizamento 
 
O fator de segurança ao deslizamento (FSD), definido na NBR 11682, deverá 
ser Maior ou igual a 1,5. Primeiramente devemos calcular o ângulo de atrito 
entre a Base do Muro e o Solo de fundação (φf). Segundo a bibliografia: 
 
 
Então, a tangente do ângulo de atrito entre a Base e o solo de fundação é 
função da tangente do ângulo de atrito interno do solo de fundação, com um 
redutor dado entre 0,67 e 0,99. 
 
Para nosso exercício consideraremos 𝒕𝒈𝝋𝒇 = 𝒕𝒈 𝝋’ 
 
O Fator de segurança ao deslizamento (FSD) é então calculado pela seguinte 
expressão: 
 
 
FSD é maior que 1,5 logo, passou na verificação de estabilidade! 
 
 
2.3.3) Tensões excessivas na Base 
 
Ficará como exercício.