MAT - AULA 03 - EQUAÇÃO DE 1 E 2 GRAU

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Professor(a) Dra Deiby Gouveia
Matemática 
Aula 03 – Equação de 1º e 2º grau
Equação de 1º grau
Aplicação
Equação de 2º grau
Regra da Soma e Produto
Aplicação
Sistemas de Equação
Aplicação
SUMÁRIO
MATEMÁTICA
▪ Finalidade de uma equação: 
▪ Encontrar o valor da incógnita que torne a igualdade verdadeira.
▪ Estrutura Geral da Equação de 1 grau:
▪ Estrutura Geral da Equação de 2 grau:
EQUAÇÕES 
a.x + b = 0 , a e b  R e a  0
a.x2 + b.x + c = 0 , a, b e c  R e a  0
▪ Estrutura Geral da Equação de 1 grau:
▪ Resolver as equações:
1- Isolar a incógnita em um dos lados da equação
2 – Apresentar o resultado no conjunto solução (S)
O valor da incógnita que torna a equação verdadeira chama-se
RAIZ DA EQUAÇÃO 
a.x + b = 0 , a e b  R e a  0
EQUAÇÃO DE 1º GRAU
Exemplo: Determinar o valor do x da equação 
a) 
5
2
𝑥 + 4 = 0
b) 
3𝑥+6
8
=
2𝑥+10
6
c) 3bx + 6bc = 7bx + 3bc
d) mx = 4 – 2px
e) 3𝑥 − 42 = 100 − (16 − 60)
R. a) S = {-8/5} b) S = {22} c) S = {3/4c} d) S = {4/(m+2p)} e) S = {18}
EQUAÇÃO DE 1º GRAU
Exemplo: Determinar o valor do x da equação 
a) 
5
2
𝑥 + 4 = 0
b) 
3𝑥+6
8
=
2𝑥+10
6
c) 3bx + 6bc = 7bx + 3bc
d) mx = 4 – 2px
e) 3𝑥 − 42 = 100 − (16 − 60)
R. a) S = {-8/5} b) S = {22} c) S = {3/4c} d) S = {4/(m+2p)} e) S = {18}
EQUAÇÃO DE 1º GRAU
Exemplo: Determinar o valor do x da equação 
a) 
5
2
𝑥 + 4 = 0
b) 
3𝑥+6
8
=
2𝑥+10
6
c) 3bx + 6bc = 7bx + 3bc
d) mx = 4 – 2px
e) 3𝑥 − 42 = 100 − (16 − 60)
R. a) S = {-8/5} b) S = {22} c) S = {3/4c} d) S = {4/(m+2p)} e) S = {18}
EQUAÇÃO DE 1º GRAU
Exemplo: Determinar o valor do x da equação 
a) 
5
2
𝑥 + 4 = 0
b) 
3𝑥+6
8
=
2𝑥+10
6
c) 3bx + 6bc = 7bx + 3bc
d) mx = 4 – 2px
e) 3𝑥 − 42 = 100 − (16 − 60)
R. a) S = {-8/5} b) S = {22} c) S = {3/4c} d) S = {4/(m+2p)} e) S = {18}
EQUAÇÃO DE 1º GRAU
Exemplo: Determinar o valor do x da equação 
a) 
5
2
𝑥 + 4 = 0
b) 
3𝑥+6
8
=
2𝑥+10
6
c) 3bx + 6bc = 7bx + 3bc
d) mx = 4 – 2px
e) 3𝑥 − 42 = 100 − (16 − 60)
R. a) S = {-8/5} b) S = {22} c) S = {3/4c} d) S = {4/(m+2p)} e) S = {18}
EQUAÇÃO DE 1º GRAU
Exemplo: João tem R$ 10,00 e quer gastar seu dinheiro comprando trufas de chocolate. Se 
cada trufa custa R$ 2,50, quantas trufas João pode comprar com seu dinheiro?
▪ Modelagem matemática: x = quantidade de trufas
2,5. x = 10
x = 10 /2,5 
x = 4 trufas
Portanto, João poderá comprar 4 trufas com R$ 10,00.
S = { 4 }
Assim, 4 é a Raiz da Equação
EQUAÇÃO DE 1º GRAU - APLICAÇÃO
Resolver os problemas:
1. Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam
iguais.
2. Rafael recebeu o salário do mês de Maio e verificou que o mesmo teve um acréscimo de
25%, resultando em um total de R$1125,00. Qual era o valor do salário inicial?
3. Flávio teve cinco filhos em cinco anos seguidos. Em seu aniversário de cinquenta e cinco
anos reparou que essa sua idade era igual à soma das idades dos seus cinco filhos. Determine
a idade do filho do meio.
R. 1) S= {22} 2) S = {R$ 900 anos} 3) S = {9 anos}
APLICAÇÃO
Resolver os problemas:
1. Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam
iguais.
R. 1) S= {22} 2) S = {R$ 900 anos} 3) S = {9 anos}
APLICAÇÃO
Resolver os problemas:
2. Rafael recebeu o salário do mês de Maio e verificou que o mesmo teve um acréscimo de
25%, resultando em um total de R$1125,00. Qual era o valor do salário inicial?
APLICAÇÃO
Resolver os problemas:
3. Flávio teve cinco filhos em cinco anos seguidos. Em seu aniversário de cinquenta e cinco
anos reparou que essa sua idade era igual à soma das idades dos seus cinco filhos. Determine
a idade do filho do meio.
R. 1) S= {22} 2) S = {R$ 900 anos} 3) S = {9 anos}
APLICAÇÃO
▪ Estrutura Geral da Equação de 2 grau:
▪ Principal método para calcular equações de 2 grau:
▪ Fórmula de Bháskara
∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 𝑥 =
−𝑏± ∆
2𝑎
a.x2 + b.x + c = 0 , a, b e c  R e a  0
EQUAÇÃO DE 2º GRAU
▪  é chamado discriminante
▪ Possibilita saber a quantidade de soluções possíveis para uma equação de 2 grau
 = 0 → a Equação admite uma raiz real 
 > 0 → a Equação admite duas raízes reais e diferentes
 < 0 → a Equação não admite duas raízes reais
EQUAÇÃO DE 2º GRAU
Exemplo: Encontrar as possíveis soluções (ou raízes) da equação quadrática x2- 5x + 6 = 0
1º passo: identificar os coeficientes
2º passo: calcular o discriminante Δ e analisar o resultado
3º passo: calcular as raízes
EQUAÇÃO DE 2º GRAU
Exemplo: Encontrar as possíveis soluções (ou raízes) da equação quadrática x2 + 2x + 1 = 0
1º passo: identificar os coeficientes
2º passo: calcular o discriminante Δ e analisar o resultado
3º passo: calcular as raízes
EQUAÇÃO DE 2º GRAU
Exemplo: Encontrar as possíveis soluções (ou raízes) da equação quadrática x2 + 2x + 2 = 0
1º passo: identificar os coeficientes
2º passo: calcular o discriminante Δ e analisar o resultado
3º passo: calcular as raízes
EQUAÇÃO DE 2º GRAU
Sejam X1 e X2 as raízes reais da equação 𝑎𝑥
2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 com a ≠ 0.
Sejam ainda S e P a soma e o produto dessas raízes, respectivamente.
𝑆 = 𝑋1 + 𝑋2 = −
𝑏
𝑎
X2 – SX + P = 0
𝑃 = 𝑋1. 𝑋2 =
𝑐
𝑎
Exemplo: Encontre as raízes da equação x2 - 5x + 6 = 0
▪ Olhando a equação do 2º grau identificamos os coeficientes a = 1, b = -5 e c = 6.
▪ Aplicando a regra soma e produto, calculamos que a soma das raízes é 5 e o produto é 6.
▪ Então, temos que encontrar dois números cuja soma seja igual a 5 e o produto seja igual a 6.
▪ Os únicos números que satisfazem essas condições são 2 e 3.
REGRA DA SOMA E PRODUTO
REGRA DA SOMA E PRODUTO
QUANDO O MÉTODO DA SOMA E PRODUTO DEVE SER APLICADO?
▪ Nem todas as equações de 2º grau podem se aproveitar o método da soma e produto,
principalmente quando os dois números – que devem satisfazer tanto a soma quanto o
produto – não forem encontrados.
▪ Além disso, o uso do método de soma e produto é indicada, como comentado anteriormente,
a casos em que as raízes forem números inteiros.
▪ Caso isso não aconteça, o método se tornará bastante complicado.
Exemplo: Determine as raízes da equação utilizando a regra da soma e produto
a) x2 -7x +12 = 0
b) 2x2 - 6x + 8 = 0
R. a) S = { x’ = 4 e x’’=3} b) S = { x’ = -1 e x’’ = 4} 
REGRA DA SOMA E PRODUTO
APLICAÇÃO
1. Uma tela retangular com área de 9600 cm2 tem de largura uma vez e meia a sua altura. 
Quais são as dimensões desta tela?
2. Determine o número cujo quadrado aumentado de seu dobro é igual a 15.
3. O quadrado da minha idade menos a idade que eu tinha 20 anos atrás é igual a 2000. 
Quantos anos eu tenho agora?
Resp. 1) 80 x 120 2) x’= -5 ou x’’= 3 3) 45 anos
APLICAÇÃO
1. Uma tela retangular com área de 9600 cm2 tem de largura uma vez e meia a sua altura. 
Quais são as dimensões desta tela?
Resp. 80 x 120 
APLICAÇÃO
2. Determine o número cujo quadrado aumentado de seu dobro é igual a 15.
Resp. x’= -5 ou x’’=3 
APLICAÇÃO
3. O quadrado da minha idade menos a idade que eu tinha 20 anos atrás é igual a 2000. 
Quantos anos eu tenho agora?
Resp. 45 anos
Vamos praticar!
EQUAÇÃO DE 2º GRAU
Exemplo: Determinar as raízes da equação 
a) 
1
4
𝑥2 −
3
4
= 0
b) 4𝑥2 − 10𝑥 = 0
c) 𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 0
d) 4𝑥2 − 16 = 0
e) 𝑥2 − 4𝑥 = 3𝑥 + 8
f) 
𝑥(2𝑥+1)
3
= 5
EQUAÇÃO DE 2º GRAU
Determinar as raízes da equação 
a) 
1
4
𝑥2 −
3
4
= 0 Resp 𝑥 = ± 3
b) 4𝑥2 − 10𝑥 = 0 Resp 𝑥′ = 0 𝑒 𝑥′′ = 5/2
c) 𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 0 Resp 𝑥′ = 2
d) 4𝑥2 − 16 = 0 Resp 𝑥 = ±2
e) 𝑥2 − 4𝑥 = 3𝑥 + 8 Resp 𝑥′ = −1 𝑒 𝑥′′ = 8
f) 
𝑥(2𝑥+1)
3
= 5 Resp 𝑥′ = −3 𝑒 𝑥′′ = 2,5
APLICAÇÃO
Encontre o valor do x para que a área do retângulo abaixo seja igual a 2.
R x = 3
X - 2
X
 -
1
SISTEMAS DE EQUAÇÃO
▪ Os Sistemas de equações do 1º grau são constituídos por um conjunto de equações que 
apresentam mais de uma incógnita.
▪ Resolver um sistema é encontrar os valores que satisfaçam simultaneamente todas 
essasequações.
▪ Muitos problemas são resolvidos através de sistemas de equações. 
▪ Portanto, é importante conhecer os métodos de resolução para esse tipo de cálculo.
▪ A solução de um sistema pode ser feita através dos métodos:
✓Adição 
✓Substituição
SISTEMAS DE EQUAÇÃO
Exemplo: Resolver o sistema de equações identificando o conjunto solução
a) ቊ
𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥 − 𝑦 = 1
b) ቊ
3𝑥 − 2𝑦 = 7
𝑥 + 4𝑦 = 0
c) ቊ
𝑦 = 3 − 5𝑥
𝑥 + 2𝑦 = 15
Resp. a) S = {3;2} b) S = {2;-1/2} c) S = {-1;8} 
SISTEMAS DE EQUAÇÃO
b) ቊ
3𝑥 − 2𝑦 = 7
𝑥 + 4𝑦 = 0
Resp. b) S = {2;-1/2} 
SISTEMAS DE EQUAÇÃO
b) ቊ
3𝑥 − 2𝑦 = 7
𝑥 + 4𝑦 = 0
Resp. b) S = {2;-1/2} 
SISTEMAS DE EQUAÇÃO
c) ቊ
𝑦 = 3 − 5𝑥
𝑥 + 2𝑦 = 15
Resp. c) S = {-1;8} 
SISTEMAS DE EQUAÇÃO
d) ቊ
𝑥 + 2𝑦 = 12
𝑥2 + 2𝑦 = 42
Resp. 
SISTEMAS DE EQUAÇÃO - APLICAÇÃO 
Exemplo Resolva os problemas utilizando sistema de equações
a) Determine dois números cuja soma é 22 e a diferença entre o dobro do primeiro e o triplo do 
segundo é 9.
b) A adição das idades de Luiza, Lucas e Letícia resulta em 63 anos. Sabendo que a idade de 
Lucas é o dobro da idade de Luíza e, que da Letícia é igual a metade da idade da Luíza, qual a 
idade dos três?
c) Em uma oficina há automóveis e motocicletas num total de 18 veículos e 56 rodas. Quantos 
automóveis e motocicletas há na oficina?
Resp. a) x = 15 e y = 7 b) Luíza = 9 anos Lucas = 36 anos e Letícia = 9 anos C) 10 automóveis e 8 motocicletas
SISTEMAS DE EQUAÇÃO - APLICAÇÃO 
a) Determine dois números cuja soma é 22 e a diferença entre o dobro do primeiro e o triplo do 
segundo é 9.
Resp. a) x = 15 e y = 7 
SISTEMAS DE EQUAÇÃO - APLICAÇÃO 
b) A adição das idades de Luiza, Lucas e Letícia resulta em 63 anos. Sabendo que a idade de 
Lucas é o dobro da idade de Luíza e, que da Letícia é igual a metade da idade da Luíza, qual a 
idade dos três?
Resp. b) Luíza = 9 anos Lucas = 36 anos e Letícia = 9 anos 
SISTEMAS DE EQUAÇÃO - APLICAÇÃO 
c) Em uma oficina há automóveis e motocicletas num total de 18 veículos e 56 rodas. Quantos 
automóveis e motocicletas há na oficina?
Resp. C) 10 automóveis e 8 motocicletas
Vamos praticar!
SISTEMAS DE EQUAÇÃO
Exemplo: Resolver o sistema de equações identificando o conjunto solução
a) ቊ
4𝑥 + 3𝑦 = 6
3𝑥 − 2𝑦 = 13
b) ቊ
3 𝑥 + 1 = 9 − 𝑦
5𝑥 = 2(4 − 𝑦)
c) ൝
𝑥
2
−
𝑦
5
= 4
3𝑥 + 𝑦 = 35
d) ቐ
𝑥−𝑦
3
= 1
𝑥+2
2
+ 𝑦 = −2
Resp. a) S = {3;-2} b) S = {4;-6} c) S = {10;5} d) S = {0; -3} 
SISTEMAS DE EQUAÇÃO
d) ቊ
𝑥 + 2𝑦 = 12
𝑥2 + 2𝑦 = 42
e) ቊ
𝑥2 − 𝑥 = 12
𝑥 − 𝑦 = 0
c) ቊ
𝑥𝑦 − 𝑥 = 3
𝑥 − 2𝑦 = −1
Resp. 
SISTEMAS DE EQUAÇÃO
d) ቊ
𝑥 + 2𝑦 = 12
𝑥2 + 2𝑦 = 42
e) ቊ
𝑥2 − 𝑥 = 12
𝑥 − 𝑦 = 0
c) ቊ
𝑥𝑦 − 𝑥 = 3
𝑥 − 2𝑦 = −1
Resp. 
SISTEMAS DE EQUAÇÃO
d) ቊ
𝑥 + 2𝑦 = 12
𝑥2 + 2𝑦 = 42
e) ቊ
𝑥2 − 𝑥 = 12
𝑥 − 𝑦 = 0
c) ቊ
𝑥𝑦 − 𝑥 = 3
𝑥 − 2𝑦 = −1
Resp. 
SISTEMAS DE EQUAÇÃO
Exemplo: Resolver o sistema de equações identificando o conjunto solução
a) ቊ
𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥 − 𝑦 = 1
b) ቊ
3𝑥 − 2𝑦 = 7
𝑥 + 4𝑦 = 0
c) ቊ
𝑦 = 3 − 5𝑥
𝑥 + 2𝑦 = 15
Resp. a) S = {3;2} b) S = {2;-1/2} c) S = {-1;8} 
Resolva os problemas:
a) A soma de um número x com o dobro de um número y é - 7; e a diferença entre o triplo
desse número x e número y é igual a 7. Sendo assim, é correto afirmar que o produto xy é
igual a
b) Felipe mora em uma fazenda juntamente com seus dois avós. Certo dia, uma amigo
perguntou quantos cavalos e vacas tinha na chácara dos avos dele. Como Felipe gostava
muito de charada, respondeu ao amigo da seguinte forma: “a soma do dobro do número de
vacas e do triplo do número de cavalos é igual a17. E, a diferença entre o número de vacas
e de cavalos é apenas 1”. Quantos cavalos e vacas tem na fazenda do avô de Felipe?
c) Ana e Alice irão disputar uma partida de arco e flecha. Combinaram que cada uma iria
lançar a flecha dez vezes. Terminada a partida, as duas, juntas, haviam marcado 6 pontos.
Ana ganhou por uma diferença de 4 pontos. Quantos pontos cada uma fez?
Resp. a) x= 1 e y = -7 b) 3cavalos e 4 vacas c) Alice fez 1 ponto e Ana fez 5 pontos
REFERÊNCIAS
Bibliografia
BONORA Jr., D. et al. Matemática – complementos e aplicações nas áreas de Ciências Contábeis, 
Administração e Economia. 4ª ed. São Paulo: Ícone, 2006.
SILVA, F. c. m.; ABRÃO, M. Matemática básica para decisões administrativas. 2ª ed. São Paulo: ATLAS, 
2008.
SILVA, S. M. et al. Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2001.
Material elaborado por:
Prof.ª Dra. Deiby Santos Gouveia 
Profº Raul Messias Neto
Até a próxima Aula!