Curso de Matemática Básica - Parte I

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CAPÍTULO 01 - POTENCIAÇÃO 
1.1 - POTENCIAÇÃO 
1.1.1 - Potências com expoente natural 
𝑎𝑛 = 𝑎. 𝑎. 𝑎 … 𝑎(𝑛 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠) 
Exemplos 
71 = 7 32 = 3.3 = 9 25 = 2.2.2.2.2 = 32 
 
Observação: Por convenção temos: 𝑎0 = 1 (𝑎 ≠ 0) 
 
1.1.2 - Potências com expoente inteiro 
Se 𝑎 é um número real não-nulo e 𝑛 ∈ ℕ, definimos: 
𝑎−𝑛 =
1
𝑎𝑛
 
Exemplos 
7−1 = 
1
71
=
1
7
 (
1
3
)
−3
=
1
(
1
3)
3 =
1
1
27
= 27 
1.1.3 - Potências com expoente racional 
Se 𝑎 é um número real positivo e 
𝑚
𝑛
 um número racional, com 𝑛 ∈ ℕ, definimos: 
𝑎
𝑚
𝑛 = √𝑎𝑚
𝑛
 
Exemplos 
9
1
2 = √91
2
= √9 = 3 8
2
3 = √82
3
= √64
3
= 4 
1.1.4 - Potências com expoente real 
As potências com expoentes irracionais, como por exemplo 10√2, são calculadas através de aproximações. 
Dessa forma, podemos dizer que as potências com expoente real têm significado no contexto dos números 
reais. 
 
1.1.5 - Propriedades da potenciação 
Propriedade Exemplo 
𝑎𝑚. 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 22. 23 = 22+3 = 25 = 32 
𝑎𝑚
𝑎𝑛
= 𝑎𝑚−𝑛 
34
32
= 34−2 = 32 = 9 
(𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚.𝑛 (42)2 = 42.2 = 44 = 256 
(𝑎. 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛. 𝑏𝑛 
 
(3.2)3 = 33. 23 = 27.8 = 216 
(
𝑎
𝑏
)
𝑛
=
𝑎𝑛
𝑏𝑛
 (
3
2
)
2
=
32
22
=
9
4
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO - POTENCIAÇÃO 
QUESTÃO 01. Das sentenças a seguir, assinale a que NÃO é verdadeira: 
𝑎) (
2
3
)
2
= (
3
2
)
−2
 
𝑏) (0,1)2 =
1
10
 
𝑐) 𝑥−1 = 𝑥,  𝑠𝑒 𝑥 = 1 
𝑑) (−2)0 = 1 
𝑒) (
2
3
) < (
3
2
) 
 
 
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QUESTÃO 02. Simplificando-se a expressão 
33−𝑛 + 3. 32−𝑛 − 9. 31−𝑛
9. 32−𝑛
 
para 𝑛 ∈ 𝐼𝑅, obtém-se 
𝑎) 
1
6
 
𝑏) 
1
3
 
𝑐) 6 . 3𝑛−1 
𝑑) 1 − 31−𝑛 
 
QUESTÃO 03. Qual dentre as sentenças seguintes é verdadeira? 
𝑎) 323 ∶ 24 = 1612 
𝑏) 258 + 254 = (252 + 25)4 
𝑐) (122)3 = 1443 
𝑑) (21 − 4)5 = 215 − 45 
𝑒) 66 . 105 = 6011 
 
QUESTÃO 04. 251 − 250 − 249 é igual a 
𝑎) 2−48 
𝑏) −249 
𝑐) 248 
𝑑) 249 
 
QUESTÃO 05. Simplificando-se a expressão [(23)2]3, obtém-se: 
𝑎) 66 
𝑏) 68 
𝑐) 28 
𝑑) 218 
 
QUESTÃO 06. Se 𝑥 e 𝑦 são números reais, então 
a)(3𝑥)𝑦 = 3𝑥 𝑦 
b) (2𝑥 − 3𝑦)2 = 22𝑥 − 32𝑦 
c) (2𝑥 − 3𝑥)𝑦 = 2𝑥𝑦 − 3𝑥𝑦 = −1𝑥𝑦 
d) 5𝑥 + 3𝑥 = 8𝑥 
e)3. 2𝑥 = 6𝑥 
 
QUESTÃO 07. Se 𝐴 = (−3)2 − 22, 𝐵 = −32 + (−2)2 𝑒 𝐶 = (−3 − 2)2, então 𝐶 + 𝐴 × 𝐵 é igual a 
𝑎) − 150 
𝑏) − 100 
𝑐) 50 
𝑑) 10 
𝑒) 0 
 
QUESTÃO 08. Das opções abaixo, qual apresenta a relação correta? 
𝑎) (−68)3 = (−6)24 
𝑏) (−2)3 = 2−3 
𝑐) 23 + 24 = 27 
𝑑) 
(192 + 402)
1312
 = 
59
131
 
𝑒) 112 × 362 = 3962 
 
 
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QUESTÃO 09. Considere as desigualdades a seguir. 
𝐼) 32000 < 23000. 
𝐼𝐼) −
1
3
< (−
1
3
)
2
. 
𝐼𝐼𝐼) 
2
3
 < (
2
3
)
2
. 
Quais são verdadeiras? 
𝑎) 𝐴𝑝𝑒𝑛𝑎𝑠 𝐼. 
𝑏) 𝐴𝑝𝑒𝑛𝑎𝑠 𝐼𝐼. 
𝑐) 𝐴𝑝𝑒𝑛𝑎𝑠 𝐼 𝑒 𝐼𝐼. 
𝑑) 𝐴𝑝𝑒𝑛𝑎𝑠 𝐼 𝑒 𝐼𝐼𝐼. 
𝑒) 𝐴𝑝𝑒𝑛𝑎𝑠 𝐼𝐼 𝑒 𝐼𝐼𝐼. 
 
QUESTÃO 10. Andando pela praia, Zezinho encontrou uma garrafa fechada com uma mensagem dentro. Na 
mensagem estava escrito: O tesouro foi enterrado na rua Frederico Lamas, a 6 m do portão da casa cujo 
número é o expoente da potência obtida transformando-se a expressão 
[(225.812)
100
.(3150)
40
.950]
42.81
 numa só 
potência de base igual à distância do portão à posição em que foi enterrado o tesouro.Imediatamente 
Zezinho, que conhecia muito bem a referida rua, recorreu aos seus conhecimentos aritméticos e, calculando 
corretamente, concluiu que o número da casa era: 
𝑎) 782. 
𝑏) 1525. 
𝑐) 3247. 
𝑑) 6096. 
𝑒) 6100. 
 
QUESTÃO 11. Assinale a alternativa errada: 
𝑎) – 32 = – 9. 
𝑏) – 23 = – 8. 
𝑐) 24 = 42 = 16, 𝑙𝑜𝑔𝑜, é 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 23 = 32. 
𝑑) (3 + 4)2 = 49. 
𝑒) (8 – 3)3 = 125. 
 
QUESTÃO 12. No século 𝐼𝐼𝐼, o matemático grego Diofante idealizou as seguintes notações das potências: 
𝑥 − 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑎𝑟 𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎; 
𝑥𝑥 − 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑎𝑟 𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎; 
𝑥𝑥𝑥 − 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑎𝑟 𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎. 
No século 𝑋𝑉𝐼𝐼, o pensador e matemático francês René Descartes (1596 − 1650) introduziu as notações 
𝑥, 𝑥2, 𝑥3 para potências, notações essas que usamos até hoje. 
 
Analise as igualdades abaixo: 
 
I. (𝑥3𝑦4)4 = 𝑥12𝑦16. 
II. −50 + 30 − (−4)0 = 1. 
III. 
20+
1
2
1
4
−30
= −2. 
IV. (40 + 4−1) ÷ (40 − 4−1) =
5
3
. 
 
 
 
 
 
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Assinale a alternativa CORRETA. 
𝑎) 𝐴𝑝𝑒𝑛𝑎𝑠 𝑎𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝐼 𝑒 𝐼𝐼 𝑠ã𝑜 𝑉𝐸𝑅𝐷𝐴𝐷𝐸𝐼𝑅𝐴𝑆. 
𝑏) 𝐴𝑝𝑒𝑛𝑎𝑠 𝑎𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝐼, 𝐼𝐼𝐼 𝑒 𝐼𝑉 𝑠ã𝑜 𝑉𝐸𝑅𝐷𝐴𝐷𝐸𝐼𝑅𝐴𝑆. 
𝑐) 𝐴𝑝𝑒𝑛𝑎𝑠 𝑎𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝐼𝐼 𝑒 𝐼𝑉 𝑠ã𝑜 𝑉𝐸𝑅𝐷𝐴𝐷𝐸𝐼𝑅𝐴𝑆. 
𝑑) 𝐴𝑝𝑒𝑛𝑎𝑠 𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒 𝐼𝑉 é 𝑉𝐸𝑅𝐷𝐴𝐷𝐸𝐼𝑅𝐴. 
𝑒) 𝑇𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑎𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑠ã𝑜 𝑉𝐸𝑅𝐷𝐴𝐷𝐸𝐼𝑅𝐴𝑆. 
 
GABARITO - POTENCIAÇÃO 
01 B 02 B 03 C 
04 D 05 D 06 B 
07 E 08 E 09 B 
10 D 11 C 12 B 
 
CAPÍTULO 02 - RADICIAÇÃO 
2.1 - Definição de Radiciação 
A radiciação é a operação inversa da potenciação. De modo geral podemos escrever: 
√𝑎
𝑛
= 𝑏 ⇔ 𝑏𝑛 = 𝑎(𝑛 ∈ 𝛮 𝑒 𝑛 ≥ 1) 
Ex. 1: √4 = 2 𝑝𝑜𝑖𝑠 22 = 4 
Ex. 2: √8
 3
= 2 𝑝𝑜𝑖𝑠23 = 8 
 
Na raiz √𝑎
𝑛
, temos: 
O número 𝒏 é chamado índice. 
O número 𝒂 é chamado radicando. 
 
2.2 - Propriedades dos radicais 
𝑷𝟏: √𝒂𝒑
𝒏
⇔ 𝒂
𝒑
𝒏 
Ex: √2
3
= 2
1
3 
 
OBS: É importante lembrar que esta propriedade também é muito usada no sentido contrário ou seja 
𝒂
𝒑
𝒏 = √𝒂𝒑
𝒏
 (o denominador “𝑛” do expoente fracionário é o índice do radical). 
𝐸𝑥 ∶ 2
3
5 = √23
5
. 
𝑷𝟐: √𝒂𝒏
𝒏
= 𝒂
𝒏
𝒏 = 𝒂𝟏 = 𝒂 
𝐸𝑥: √23
3
= 2
3
3 = 21 = 2 
 
𝑷𝟑: √𝒂 ⋅ 𝒃
𝒏
= √𝒂
𝒏
⋅ √𝒃
𝒏
 
𝐸𝑥: √𝑎3 ⋅ 𝑏6
3
= √𝑎3
3
⋅ √𝑏6
3
= 𝑎
3
3 ⋅ 𝑏
6
3 = 𝑎 ⋅ 𝑏2 
 
𝑷𝟒: √
𝒂
𝒃
𝒏
 =
√𝑎
𝑛
√𝑏
𝑛 
𝐸𝑥: √
𝑎6
𝑏5
 =
√𝑎6
√𝑏5
=
𝑎
6
2
𝑏
5
2
=
𝑎3
𝑏
5
2
 𝑜𝑢
𝑎3
√𝑏5
 
 
𝑷𝟓: ( √𝒃
𝒏
)
𝒎
= (𝒃
𝟏
𝒏)
𝒎
= 𝒃
𝟏
𝒏
⋅𝒎 = 𝒃
𝟏.𝒎
𝒏.𝟏 = 𝒃
𝒎
𝒏 
𝐸𝑥: (√𝟓
𝟐
)
𝟑
= (𝟓
𝟏
𝒏)
𝟑
= 𝟓
𝟏
𝟐
.𝟑 = 𝟓
𝟏..𝟑
𝟐.𝟏 = 𝟓
𝟑
𝟐 
 
 
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𝑷𝟔: √ √𝒂
𝒎𝒏
= √𝒂
𝒎⋅𝒏
 
𝐸𝑥: √√3
23
= √3
3⋅2
= √3
6
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO - RADICIAÇÃO 
QUESTÃO 01. O valor de: 𝑚 = (2√8 + 3√5 − 7√2) (√72 + √20 − 4√2) é 
𝑎) 6 
𝑏) 6√2 
𝑐) 16 
𝑑) 18 
𝑒) 12√5 
 
QUESTÃO 02. Se 𝑎 = 16 e 𝑥 = 1,25 quanto vale 𝑎𝑥? 
𝑎) 16 
𝑏) 32 
𝑐) 20 
𝑑) 24 
𝑒) 64 
 
QUESTÃO 03. 
4+√5
2+√5
 é igual a: 
𝑎) √5 + 1 
𝑏) √5 − 1 
𝑐) √5 + 3 
𝑑) 2 √5 − 3 
𝑒) √5 − 3 
 
QUESTÃO 04. O valor da expressão numérica 
 
[( √−1
3
)+( √8
3
)+(√4)]
√(9+16)
 é: 
 
𝑎) 
3
7
 
𝑏) 0,75 
𝑐) 0,7 
𝑑) 0,6 
𝑒) 
1
2
 
 
QUESTÃO 05. Simplificando a expressão 3√2 − 2√18 + 3√72, obtemos: 
𝑎) 3√2 
𝑏) 24√2 
𝑐) 15√2 
𝑑) − 15√2 
𝑒) √2 
 
 
 
 
 
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QUESTÃO 06. Se 𝑥 = √2 e 𝑦 = √98 − √32 − √8 então: 
𝑎) 𝑦 = 3𝑥 
𝑏) 𝑦 = 5𝑥 
𝑐) 𝑦 = 𝑥 
𝑑) 𝑦 = −𝑥 
𝑒) 𝑦 = 7𝑥 
 
QUESTÃO 07. 
√2+√3
√3
 é igual a: 
 𝑎) 
2 + √66
 
𝑏) 
5 + 2√6
3
 
𝑐) 
√6 + 3
6
 
𝑑) 
3 + √6
3
 
𝑒) 
3 − √6
3
 
 
QUESTÃO 08.Assinale a alternativa INCORRETA: 
𝑎) 𝑜 𝑑𝑜𝑏𝑟𝑜 𝑑𝑒 √8 é √32. 
𝑏) √100 − √64 = 6 
𝑐) √2 + √8 = 3√2 
𝑑) √60 + √16 = 8 
𝑒) √2 + √3 = √5 + √24 
 
QUESTÃO 09. Assinale a alternativa correta: 
𝑎) √4 + √5 = √9 = 3 
𝑏) (√3 + √2)
2
= (√3)
2
+ (√2)
2
= 3 + 2 = 5 
𝑐) 
9
√3
=
√3
3
 
𝑑) 
4
(√5 − 1)
= √5 + 1 
𝑒) √16 = ±4 
 
QUESTÃO 10. Dentre outros objetos de pesquisa, a Alometria estuda a relação entre medidas de diferentes 
partes do corpo humano. Por exemplo, segundo a Alometria, a área 𝐴 da superfície corporal de uma pessoa 
relaciona-se com a sua massa m pela fórmula 𝐴 = 𝑘 ⋅ 𝑚
2
3, em que 𝑘 e uma constante positiva. Se no período 
que vai da infância até a maioridade de um indivíduo sua massa é multiplicada por 8, por quanto será 
multiplicada a área da superfície corporal? 
𝑎) √16
3
 
𝑏) 4 
𝑐) √24 
𝑑) 8 
𝑒) 64 
 
 
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QUESTÃO 11. O valor de √(−3)2 + (−1)6 − (−1,2)0 + √46
3
 é: 
𝑎) 13 
𝑏) 15 
𝑐) 17 
𝑑) 19 
𝑒) 21 
 
QUESTÃO 12. Considere a expressão numérica 𝐴  =  0,001/1000+82/3 + √25. É CORRETO afirmar que o 
valor de 𝐴 é: 
𝑎) 9 
𝑏) 10 
𝑐) 81,003 
𝑑) 69 
𝑒) 9,000001 
 
GABARITO – RADICIAÇÃO 
01 D 02 B 03 D 
04 D 05 C 06 C 
07 D 08 B 09 D 
10 B 11 D 12 E 
 
CAPÍTULO 03 - PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 
Fatorar uma expressão algébrica significa escrevê-la na forma de um produto de expressões mais simples. 
3.1 – CASOS DE FATORAÇÃO: 
✓ FATOR COMUM 
Ex: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 = 𝑥 . (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) 
O fator comum é 𝑥. 
 
Ex: 12𝑥3 − 6𝑥2 + 3𝑥 = 3𝑥 . (4𝑥2 − 2𝑥 + 1) 
O fator comum é 3𝑥. 
 
✓ AGRUPAMENTO 
Ex: ax + ay + bx + by 
 
Agrupar os termos de modo que em cada grupo haja um fator comum. 
(𝑎𝑥 + 𝑎𝑦) + (𝑏𝑥 + 𝑏𝑦) 
 
Colocar em evidência o fator comum de cada grupo 
𝑎(𝑥 + 𝑦) + 𝑏(𝑥 + 𝑦) 
Colocar o fator comum (𝑥 + 𝑦) em evidência 
(𝑥 + 𝑦) . (𝑎 + 𝑏) Este produto é a forma fatorada da expressão dada 
 
✓ DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS 
A expressão 𝑎2 - 𝑏2 representa a diferença de dois quadrados e sua forma fatorada é : 
(𝑎 + 𝑏) (𝑎 − 𝑏) 
Ex: 𝑥2 − 36 = (𝑥 + 6) (𝑥 − 6) 
 
 
 
 
 
 
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✓ TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO 
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
Um trinômio é quadrado perfeito quando : 
• dois de seus termos são quadrados perfeitos (𝑎2 e 𝑏2 ) 
• o outro termo é igual ao dobro do produto das raízes dos quadrados perfeitos (2𝑎𝑏) 
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)2 
Ex: 𝑥2 + 6𝑥 + 9 = (𝑥 + 3)2 
𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)2 
Ex: 𝑥2 − 6𝑥 + 9 = (𝑥 − 3)2 
 
✓ TRINÔMIO DO 2º GRAU 
Trinômio do tipo 𝑥2 + 𝑆𝑥 + 𝑃 
Devemos procurar dois números a e b que tenham soma S e produto P. 
𝑥2 + 𝑆𝑥 + 𝑃 = (𝑥 + 𝑎) (𝑥 + 𝑏) 
 
Ex: 𝑥2 + 5𝑥 + 6 = (𝑥 + 2)(𝑥 + 3) 
𝑥2 + 2𝑥 − 8 = (𝑥 + 4) (𝑥 − 2) 
𝑥2 − 5𝑥 + 6 = (𝑥 − 2) (𝑥 − 3) 
𝑥2 − 2𝑥 − 8 = (𝑥 − 4) (𝑥 + 2) 
 
✓ SOMA DE DOIS CUBOS 
A expressão 𝑎3 + 𝑏3 representa a soma de dois cubos. 
Sua forma fatorada é : 
(𝑎 + 𝑏) (𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2) 
 
Ex: 𝑥3 + 8 = (𝑥 + 2) (𝑥2 − 2𝑥 + 4) 
✓ DIFERENÇA DE DOIS CUBOS 
A expressão 𝑎3 − 𝑏3 representa a diferença de dois cubos. 
Sua forma fatorada é : 
(𝑎 − 𝑏) (𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) 
𝐸𝑥: 𝑥3 − 27 = (𝑥 − 3) (𝑥2 + 3𝑥 + 9) 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO – FATORAÇÃO E PRODUTOS NOTÁVEIS 
QUESTÃO 01. O valor da expressão 
𝑥2 − 𝑦2
𝑥 + 𝑦
.
𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2
𝑥 − 𝑦
 
para 𝑥 = 1,25 e 𝑦 = −0,75 é: 
𝑎) − 0,25 
𝑏) − 0,125 
𝑐) 0 
𝑑) 0,125 
𝑒) 0,25 
 
QUESTÃO 02. A expressão (𝑥 − 𝑦)2 − (𝑥 + 𝑦)2 é equivalente a: 
𝑎) 0 
𝑏) 2𝑦2 
𝑐) − 2𝑦2 
𝑑) − 4𝑥𝑦 
𝑒) − 2(𝑥 + 𝑦)2 
 
 
 
 
 
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QUESTÃO 03. Qual é o fator comum a todos os termos do polinômio 18𝑥2𝑦8 − 36𝑥9𝑦9 + 24𝑥3𝑦5. 
𝑎) 6𝑥2𝑦5 
𝑏) 2𝑥2𝑦9 
𝑐) 36𝑥9𝑦9 
𝑑) 3𝑥9𝑦9 
𝑒) 6𝑥9𝑦9 
 
QUESTÃO 04. Fatorando a expressão 𝑥3 + 𝑥2 − 4𝑥 − 4, tem-se: 
𝑎) 𝑥(𝑥2 + 𝑥 + 4) + 4 
𝑏) (𝑥2 + 4) 
𝑐) 𝑥3 + 𝑥2 + 4(𝑥 + 1) 
𝑑) (𝑥 + 1) (𝑥 + 2) (𝑥 − 2) 
𝑒) (𝑥 + 4)3 
 
QUESTÃO 05. Assinale a expressão que não é um trinômio quadrado perfeito: 
𝑎) 𝑎2 − 2𝑎 + 1 
𝑏) 𝑥4 − 4𝑥2𝑦 + 4𝑦2 
𝑐) 1 − 2𝑎4 + 𝑎8 
𝑑) 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 
𝑒) 𝑥2 + 6𝑥 + 16 
 
QUESTÃO 06. Seja 𝑁 o resultado da operação 3752 − 3742. A soma dos algarismos de 𝑁 é: 
𝑎) 18 
𝑏) 19 
𝑐) 20 
𝑑) 21 
𝑒) 22 
 
QUESTÃO 07. 𝑝(𝑥) = 𝑥2 − 50𝑥 + 𝐴, onde 𝐴 ∈ 𝐼𝑅. Para que o polinômio 𝑃(𝑥) torne-se um trinômio 
quadrado perfeito, o valor de 𝐴 é: 
𝑎) 25 
𝑏) 125 
𝑐) 225 
𝑑) 625 
𝑒) 1025 
 
QUESTÃO 08. Se 𝑎 e 𝑏 são números reais inteiros positivos tais que 𝑎 − 𝑏 = 7 e 𝑎2𝑏 − 𝑎𝑏2 = 210, o 
valor de 𝑎𝑏 é: 
𝑎) 7 
𝑏) 10 
𝑐) 30 
𝑑) 37 
 
QUESTÃO 09. Sabendo que 𝑦 = (2010)2 ⋅ 2000 − 2000 ⋅ (1990)2, o valor de 
𝑦
107
 é igual a 
𝑎) 8 
𝑏) 16 
𝑐) 20 
𝑑) 32 
 
 
 
 
 
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QUESTÃO 10. A expressão: 2𝑥2 – 4𝑥 + 5 – (𝑥2 + 2𝑥 – 4) equivale a 
𝑎) 3𝑥2– 2𝑥 + 1. 
𝑏) 𝑥2 – 6𝑥 + 1. 
𝑐) (2𝑥 + 1)2 . 
𝑑) (𝑥 − 3)2 . 
𝑒) (𝑥 − 2)2 – (𝑥 + 1)2 . 
 
QUESTÃO 11. Ao simplificar a expressão 𝑦 =
𝑥3−4𝑥2−4𝑥+16
𝑥2−6𝑥+8
, em que 𝑥 ≠ 2  𝑒  𝑥 ≠ 4, obtém-se 
𝑎) 𝑥. 
𝑏) 𝑥 – 2. 
𝑐) 𝑥 + 2. 
𝑑) 𝑥 + 4. 
 
QUESTÃO 12. O valor da expressão: (𝑎 + 𝑏)2 − (𝑎 − 𝑏)2 é 
𝑎) 𝑎𝑏. 
𝑏) 2𝑎𝑏. 
𝑐) 3𝑎𝑏. 
𝑑) 4𝑎𝑏. 
 
QUESTÃO 13. Dado 𝑥 −
1
𝑥
= 13, o valor de 𝑥2 +
1
𝑥2
 é igual a: 
𝑎) 171 
𝑏) 169 
𝑐) 167 
𝑑) 130 
 
QUESTÃO 14. O valor numérico da expressão √682 − 322 está compreendido no intervalo 
𝑎) [30,40[ 
𝑏) [40,50[ 
𝑐) [50,60[ 
𝑑) [60,70[ 
 
QUESTÃO 15. Se 𝑥 e 𝑦 são números reais distintos, então: 
𝑎) (𝑥2 + 𝑦2)/(𝑥 − 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 
𝑏) (𝑥2 − 𝑦2)/(𝑥 − 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 
𝑐) (𝑥2 + 𝑦2)/(𝑥 − 𝑦) = 𝑥 − 𝑦 
𝑑) (𝑥2 − 𝑦2)/(𝑥 − 𝑦) = 𝑥 − 𝑦 
 
QUESTÃO 16. Fatorando a expressão 𝑥2𝑦 − 𝑦, obtemos: 
𝑎) 𝑥 (𝑦 − 1) 
𝑏) 𝑦 (𝑥 − 1) 
𝑐) 𝑦2 (1 − 𝑥) 
𝑑) 𝑦 (𝑥 + 1) (𝑥 − 1) 
𝑒) 𝑦 (𝑥 + 1)2 
 
QUESTÃO 17. O valor da expressão 𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦2, onde 𝑥𝑦 = 12 e 𝑥 + 𝑦 = 8, é: 
𝑎) 40 
𝑏) 96 
𝑐) 44 
𝑑) 88 
𝑒) 22 
 
 
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QUESTÃO 18. A expressão mais simples de 
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
𝑎2 − 𝑏2
 
é: 
𝑎) − 1 
𝑏) 2𝑎𝑏 
𝑐) 
(𝑎 + 𝑏)
(𝑎 − 𝑏)
 
𝑑) − 2𝑎𝑏 
 
QUESTÃO 19. Classifique em verdadeiro (𝑉) ou falso (𝐹) 
𝑎) ( ) (𝑥 + 𝑎) 2 = 𝑥2 + 𝑎2 
𝑏) ( ) (𝑥 + 𝑎) 2 = 𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2 
𝑐) ( ) 𝑝2 + 𝑞2 = (𝑝 + 𝑞)2 
𝑑) ( ) (𝑥2 − 𝑦2)2 = 𝑥4 − 𝑦4 
𝑒) ( ) (𝑥2 − 𝑦2)2 = 𝑥2 − 2𝑥2𝑦2 + 𝑦2 
 
QUESTÃO 20. Seja 𝐴 = 
1
√3+√2
 e 𝐵 =
1
√3−√2
, então, 𝐴 + 𝐵 é igual a: 
𝑎) − 2√𝟐. 
𝑏) 3√𝟐. 
𝑐) − 2√𝟑. 
𝑑) 3√𝟑. 
𝑒) 2√𝟑. 
 
GABARITO – FATORAÇÃO E PRODUTOS NOTÁVEIS 
01 E 02 D 03 A 
04 D 05 E 06 C 
07 D 08 C 09 B 
10 D 11 C 12 D 
13 A 14 D 15 B 
16 D 17 B 18 C 
19 FVFFF 20 E 
 
CAPÍTULO 04 - EQUAÇÃO DO 𝟏ºGRAU 
As equações do primeiro grau são aquelas que podem ser representadas sob a forma 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0,em que 𝑎 
e 𝑏 são constantes reais, com a diferente de 0, e 𝑥 é a variável. A resoluçãodesse tipo de equação é 
fundamentada nas propriedades da igualdade descritas a seguir. 
✓ Adicionando um mesmo número a ambos os membros de uma equação, ou subtraindo um 
mesmo número de ambos os membros, a igualdade se mantém. 
✓ Dividindo ou multiplicando ambos os membros de uma equação por um mesmo número não-
nulo, a igualdade se mantém. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO – EQUAÇÃO DO 1ºGRAU 
QUESTÃO 01. A equação 
[𝑥 − 5]
[𝑥−10]
 = 
[𝑥 − 3]
[𝑥−8]
: 
𝑎) 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑢𝑚𝑎 ú𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧. 
𝑏) 𝑛ã𝑜 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑟𝑎𝑖𝑧. 
𝑐) 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑣á𝑟𝑖𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠. 
𝑑) 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑣á𝑟𝑖𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑎𝑠. 
 
 
 
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QUESTÃO 02. Resolvendo a equação 
1
2
 - 𝑥 = 6 (
1
3
 − 𝑥) no conjunto 𝑅, obtemos a raiz: 
𝑎)
3
10
 
𝑏) 
1
10
 
𝑐) 10 
𝑑) 3 
 
QUESTÃO 03. Sendo 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝐼𝑅│ 
1 
𝑥+1
+ 
1
𝑥−1
 = 0}, 
𝑎) 𝑆 𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑖 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠. 
𝑏) 𝑆 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑖 𝑢𝑚 ú𝑛𝑖𝑐𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜. 
𝑐) 𝑆 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑖 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠. 
𝑑) 𝑆 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑖 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠. 
 
QUESTÃO 04. O valor de 𝑥 que torna verdadeira a igualdade 2𝑥 − 
𝑥+2
7
 = 
2
3
 − 𝑥 é: 
𝑎) 
2
15
 
𝑏) 
1
7
 
𝑐) 
1
5
 
𝑑) 
1
3
 
 
QUESTÃO 5. O valor de 𝑥 que é solução da equação 
𝑥
3
 - 
1
4
 = 2(𝑥 − 1) pertence ao intervalo: 
𝑎) ]0, 1] 
𝑏) ]1, 2] 
𝑐) ]2, 3] 
𝑑) ]3, 4] 
 
QUESTÃO 06. No esquema a seguir, o número 14 é o resultado que se pretende obter para a expressão final 
encontrada ao efetuar-se, passo a passo, a sequência de operações indicadas, a partir de um dado número 
𝑥. 
 
O número x que satisfaz as condições do problema é 
𝑎) 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠í𝑣𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑟 6. 
𝑏) 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 4. 
𝑐) 𝑢𝑚 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜. 
𝑑) 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑛ã𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜. 
𝑒) 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜. 
 
 
 
 
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QUESTÃO 07. O valor de 𝑥 que é solução, nos números reais, da equação 
1
2
 +
1
3
+
1
4
 = 
𝑥
48
 é igual a: 
𝑎) 36 
𝑏) 44 
𝑐) 52 
𝑑) 60 
𝑒) 68 
 
QUESTÃO 08. O valor de 𝑥 na equação 
𝑥+6
2
 − 
𝑥 + 8
6
 = 
𝑥 + 10
4
 − 
1 − 𝑥
3
 é 
𝑎) − 
26
5
 
𝑏) − 2 
𝑐) 2 
𝑑) 
26
5
 
QUESTÃO 09. Num aniversário, um bolo foi distribuído entre 5 crianças. João ganhou 
1
12
 do bolo, Luiz ganhou 
a metade do que João, Maria ganhou 
1
6
 do bolo, Joana ganhou o dobro de Maria e Jorge ganhou o restante 
do bolo. Então, pode-se afirmar que a fração do bolo dada a Jorge foi: 
𝑎) 
3
8
 
𝑏) 
3
5
 
𝑐) 
2
3
 
𝑑) 
5
8
 
𝑒) 
2
9
. 
 
QUESTÃO 10. Um indivíduo gastou 
3
8
 de seu salário em compras do mercado, 
1
6
 de seu salário na educação 
de seus filhos e 
1
9
 do seu salário com despesas de saúde. Depois destes gastos, ainda lhe restaram 𝑅$ 500,00 
do seu salário. O salário deste indivíduo é de: 
𝑎) 𝑅$ 766,00. 
𝑏) 𝑅$ 840,00. 
𝑐) 𝑅$ 1000,00. 
𝑑) 𝑅$ 1250,00. 
𝑒) 𝑅$ 1440,00. 
 
QUESTÃO 11. A solução da equação 
0,1𝑥−0,6
1−0,4𝑥
=
3
2
 tem como resultado, 
𝑎) 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜. 
𝑏) 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙. 
𝑐) 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜. 
𝑑) 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 5. 
𝑒) 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙. 
 
 
 
 
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QUESTÃO 12. Num mundo cada vez mais matematizado, é importante diagnosticar, equacionar e resolver 
problemas. Dada a equação 2(𝑥 + 5) – 3(5 – 𝑥) = 10, é CORRETO afirmar que o valor de 𝒙 nessa 
equação é: 
𝑎) 𝑈𝑚 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑜𝑣𝑒. 
𝑏) 𝑈𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜. 
𝑐) 𝑈𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟. 
𝑑) 𝑈𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜. 
𝑒) 𝑈𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙. 
 
GABARITO – EQUAÇÃO DO 1ºGRAU 
01 B 02 A 03 B 
04 D 05 B 06 C 
07 C 08 B 09 A 
10 E 11 E 12 E 
 
CAPÍTULO 05 - EQUAÇÃO DO 𝟐ºGRAU 
Denomina-se equação do 𝟐° grau, qualquer sentença matemática que possa ser reduzida à forma 
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, onde 𝒙 é a incógnita e 𝒂, 𝒃 e 𝒄 são números reais, com 𝒂 ≠ 𝟎. 𝒂, 𝒃 e 𝒄 são 
coeficientes da equação. Observe que o maior índice da incógnita na equação é igual a dois e é isto que a 
define como sendo uma equação do segundo grau. 
 
5.1 - Equação do 𝟐° grau completa e equação do 𝟐° grau incompleta 
Da definição acima temos obrigatoriamente que a ≠ 0, no entanto podemos ter b = 0 e/ou c = 0. 
 
Caso b ≠ 0 e c ≠ 0, temos uma equação do 2° grau completa. A sentença matemática -2x2 + 3x - 5 = 0 é um 
exemplo de equação do 2° grau completa, pois temos b = 3 e c = -5, que são diferentes de zero. 
-x2 + 7 = 0 é um exemplo de equação do 2° grau incompleta, pois b = 0. 
 
Neste outro exemplo, 3x2 - 4x = 0 a equação é incompleta, pois c = 0. 
 
Veja este último exemplo de equação do 2° grau incompleta, 8x2 = 0, onde tanto b, quanto c são iguais a 
zero. 
 
5.2 - Resolução de equações do 2° grau 
A resolução de uma equação do segundo grau consiste em obtermos os possíveis valores reais para a 
incógnita, que torne a sentença matemática uma equação verdadeira. Tais valores são a raiz da equação. 
 
5.3 - Fórmula Geral de Resolução 
Para a resolução de uma equação do segundo grau completa ou incompleta, podemos recorrer à fórmula 
geral de resolução: 
 
 
 
Esta fórmula também é conhecida como fórmula de Bhaskara. 
 
O valor b2 -4ac é conhecido como discriminante da equação e é representado pela letra grega Δ. Temos 
então que Δ = b2 -4ac, o que nos permitir escrever a fórmula geral de resolução como: 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO – EQUAÇÃO DO 2ºGRAU 
QUESTÃO 01. Se 𝑥1 e 𝑥2 são as raízes de 𝑥
2 + 57𝑥 − 228 = 0, então (1/𝑥1) + (1/𝑥2) vale: 
𝑎) −
1
4
 
𝑏) 
1
 4
 
𝑐) −
1
2
 
𝑑) 
1
2
. 
𝑒)
1
6
 𝑜𝑢 −
1
6
. 
 
QUESTÃO 02. A maior raiz da equação − 2𝑥2 + 3𝑥 + 5 = 0 vale: 
𝑎) − 1 
𝑏) 1 
𝑐) 2 
𝑑) 2,5 
𝑒) 
3 + √19
4
 
 
QUESTÃO 03. O quadrado de um número natural é igual ao seu dobro somado com 24. O dobro desse 
número menos 8 é igual a" 
𝑎) 2 
𝑏) 3 
𝑐) 4 
𝑑) 5 
𝑒) 6 
 
QUESTÃO 04. Uma das raízes da equação 0,1𝑥2 − 0,7𝑥 + 1 = 0 é: 
𝑎) 0,2 
𝑏) 0,5 
𝑐) 7 
𝑑) 2 
𝑒) 1 
 
QUESTÃO 05. Sejam 𝑥1 e 𝑥2 as raízes da equação 10𝑥
2 + 33𝑥 − 7 = 0. O número inteiro mais próximo 
do número 5𝑥1𝑥2 + 2(𝑥1 + 𝑥2) é: 
𝑎) − 33 
𝑏) − 10 
𝑐) − 7 
𝑑) 10 
𝑒) 33 
 
QUESTÃO 06. A equação 𝑥2 + 10𝑥 + 25 = 0 tem as seguintes soluções no conjunto dos números reais: 
𝑎) 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 5 
𝑏) 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 10 
𝑐) − 5 
𝑑) − 5 𝑒 10 
𝑒) 5 𝑒 10 
 
 
 
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QUESTÃO 07. As medidas da hipotenusa e de um dos catetos de um triângulo retângulo são dadas pelas 
raízes da equação 𝑥2 − 9𝑥 + 20 = 0. A área desse triângulo é: 
𝑎) 10 
𝑏) 6 
𝑐) 12 
𝑑) 15 
𝑒) 20 
 
QUESTÃO 08. Seja 𝑎 a raiz positiva e 𝑏 a raiz negativa da equação 2𝑥2 − 7𝑥 − 15 = 0. Então o valor de 
𝑎 + 2. 𝑏 é igual a: 
𝑎) − 
17
2
. 
𝑏) 1. 
𝑐) − 1. 
𝑑) 2. 
𝑒) 0. 
 
QUESTÃO 09. A soma dos possíveis valores de 𝑥 que verificam a igualdade 
(𝑥 − 1)
4
 = 
5
𝑋−2
 é: 
𝑎) 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟. 
𝑏) 𝑢𝑚 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 8. 
𝑐) 𝑢𝑚 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 8. 
𝑑) 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜. 
 
QUESTÃO 10. Considere um número cujo quadrado menos seus dois terços resulta7. Há dois números que 
obedecem a essas condições. 
Um deles é 
𝑎) 𝑝𝑎𝑟. 
𝑏) 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙. 
𝑐) 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 3. 
𝑑) 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑒 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜. 
 
QUESTÃO 11. Quanto à equação 𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0 é correto afirmar que: 
𝑎) 𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 é 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 – 4. 
𝑏) 𝑡𝑒𝑚 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠. 
𝑐) 𝑡𝑒𝑚 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠. 
𝑑) 𝑛ã𝑜 𝑡𝑒𝑚 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠. 
𝑒) 𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 é 𝑛𝑢𝑙𝑜. 
 
QUESTÃO 12. A adição de um número real positivo 𝑥 com o seu quadrado dá um resultado igual 42. Então 
esse número é: 
𝑎) Í𝑚𝑝𝑎𝑟 
𝑏) é 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 15 
𝑐) é 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 3 
𝑑) é 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 5 
 
GABARITO – EQUAÇÃO DO 2ºGRAU 
01 B 02 D 03 C 
04 D 05 B 06 C 
07 B 08 D 09 D 
10 C 11 C 12 C 
 
 
 
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CAPÍTULO 06 - SISTEMAS DE 1º E SISTEMAS DE 2º GRAUS 
 
6.1 - SISTEMAS DE EQUAÇÕES DE 1ºGRAU 
Um sistema de equação do primeiro grau com duas incógnitas 𝑥 e 𝑦, pode ser definido como um conjunto 
formado por duas equações do primeiro grau. Lembrando que equação do primeiro grau é aquela que em 
todas as incógnitas estão elevadas à potência 1. 
 
6.2 - SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
É todo sistema de equação em que aparece uma equação do segundo grau ou no qual sua resolução nos 
leva a uma equação do 2º grau. 
 
Para resolver um sistema de usarmos o método da substituição, adição, comparação e ASTÚCIA. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO – SISTEMAS LINEARES 
QUESTÃO 01. O sistema 
{
3x + y = 2 
11x + 4y = 3
 
tem a solução: 
𝑎) 𝑥 = 5, 𝑦 = 3. 
𝑏) 𝑥 = −5, 𝑦 = 13. 
𝑐) 𝑥 = 5, 𝑦 = −13. 
𝑑) 𝑥 = −5, 𝑦 = −13. 
𝑒) 𝑥 = 2, 𝑦 = −13. 
 
QUESTÃO 02. Carlos e sua irmã Andréia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá encontraram 
uma velha balança com defeito que só indicava corretamente pesos superiores a 60 𝑘𝑔. Assim eles se 
pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas: 
- Carlos e o cão pesam juntos 87 𝑘𝑔; 
- Carlos e Andréia pesam 123 𝑘𝑔 e 
- Andréia e Bidu pesam 66 𝑘𝑔. 
Podemos afirmar que: 
𝑎) 𝐶𝑎𝑑𝑎 𝑢𝑚 𝑑𝑒𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑒𝑠𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 60 𝑘𝑔. 
𝑏) 𝐷𝑜𝑖𝑠 𝑑𝑒𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑒𝑠𝑎𝑚 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑒 60 𝑘𝑔. 
𝑐) 𝐴𝑛𝑑𝑟é𝑖𝑎 é 𝑎 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑝𝑒𝑠𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑡𝑟ê𝑠. 
𝑑) 𝑂 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝐴𝑛𝑑𝑟é𝑖𝑎 é 𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑟𝑙𝑜𝑠 𝑒 𝐵𝑖𝑑𝑢. 
𝑒) 𝐶𝑎𝑟𝑙𝑜𝑠 é 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑝𝑒𝑠𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝐴𝑛𝑑𝑟é𝑖𝑎 𝑒 𝐵𝑖𝑑𝑢 𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠. 
 
QUESTÃO 03. Sabendo-se que 𝑎 + 𝑏 = 1200; 𝑏 + 𝑐 = 1.100; 𝑎 + 𝑐 = 1500, então 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 vale: 
𝑎) 3800 
𝑏) 3300 
𝑐) 2700 
𝑑) 2300 
𝑒) 1900 
 
QUESTÃO 04. Dois garfos iguais, cinco colheres iguais e oito facas iguais pesam juntos 991 𝑔. Um desses 
garfos, duas dessas colheres e três dessas facas pesam juntos 391 𝑔. Portanto, um desses garfos, uma dessas 
colheres e uma dessas facas pesam juntos: 
𝑎) 117 𝑔. 
𝑏) 155 𝑔. 
𝑐) 182 𝑔. 
𝑑) 202 𝑔. 
 
 
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QUESTÃO 05. Sabe-se que na compra de uma caixa de lenços, dois bonés e três camisetas gasta-se um total 
de 𝑅$ 127,00. Se três caixas de lenços, quatro bonés e cinco camisetas, dos mesmos tipos que os primeiros, 
custam juntos 𝑅$ 241,00, a quantia a ser desembolsada na compra de apenas três unidades desses artigos, 
sendo um de cada tipo, será 
𝑎) 𝑅$ 72,00 
𝑏) 𝑅$ 65,00 
𝑐) 𝑅$ 60,00 
𝑑) 𝑅$ 57,00 
 
QUESTÃO 06. Em uma mesa de uma lanchonete, o consumo de 3 sanduíches, 7 xícaras de café e 1 pedaço 
de torta totalizou 𝑅$ 31,50. Em outra mesa, o consumo de 4 sanduíches, 10 xícaras de café e 1 pedaço de 
torta totalizou 𝑅$ 42,00. Então, o consumo de 1 sanduíche, 1 xícara de café e 1 pedaço de torta totaliza o 
valor de 
𝑎) 𝑅$ 17,50. 
𝑏) 𝑅$ 16,50. 
𝑐) 𝑅$ 12,50. 
𝑑) 𝑅$ 10,50. 
 
QUESTÃO 07. João, Maria e Antônia tinham, juntos, 𝑅$ 100.000,00. Cada um deles investiu sua parte por 
um ano, com juros de 10% ao ano. Depois de creditados seus juros no final desse ano, Antônia passou a ter 
𝑅$ 11.000,00 mais o dobro do novo capital de João. No ano seguinte, os três reinvestiram seus capitais, 
ainda com juros de 10% ao ano. Depois de creditados os juros de cada um no final desse segundo ano, o 
novo capital de Antônia era igual à soma dos novos capitais de Maria e João. 
Qual era o capital inicial de João? 
𝑎) 𝑅$ 20.000,00 
𝑏) 𝑅$ 22.000,00 
𝑐) 𝑅$ 24.000,00 
𝑑) 𝑅$ 26.000,00 
 
QUESTÃO 08. Marilei vende, em reais, sacolas descartáveis dos tipos 𝐼, 𝐼𝐼 e 𝐼𝐼𝐼, a preços de 𝑥, 𝑦 e 𝑧, 
respectivamente. Os resultados de suas vendas, ao longo de três dias consecutivos, estão representados na 
tabela a seguir. 
 
Com base nessa tabela, o valor de 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 é igual a: 
𝑎) 𝑅$ 30,00 
𝑏) 𝑅$ 25,00 
𝑐) 𝑅$ 20,00 
𝑑) 𝑅$ 15,00 
𝑒) 𝑅$ 10,00 
 
 
 
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QUESTÃO 09. Certa transportadora possui depósitos nas cidades de Guarapuava, Maringá e Cascavel. Três 
motoristas dessa empresa, que transportam encomendas apenas entre esses três depósitos, estavam 
conversando e fizeram as seguintes afirmações: 
10. motorista: Ontem eu saí de Cascavel, entreguei parte da carga em Maringá e o restante em Guarapuava. 
Ao todo, percorri 568 𝑘𝑚. 
20. motorista: Eu saí de Maringá, entreguei uma encomenda em Cascavel e depois fui para Guarapuava. Ao 
todo, percorri 522 km. 
30. motorista: Semana passada eu saí de Maringá, descarreguei parte da carga em Guarapuava e o restante 
em Cascavel, percorrendo, ao todo, 550 km. 
Sabendo que os três motoristas cumpriram rigorosamente o percurso imposto pela transportadora, quantos 
quilômetros percorreria um motorista que saísse de Guarapuava, passasse por Maringá, depois por Cascavel 
e retornasse a Guarapuava? 
𝑎) 824 𝑘𝑚 
𝑏) 820 𝑘𝑚 
𝑐) 832 𝑘𝑚 
𝑑) 798 𝑘𝑚 
𝑒) 812 𝑘𝑚 
 
QUESTÃO 10. Marina será madrinha de casamento de sua irmã e pretende presenteá-la com artigos de 
cozinha. Na primeira loja por ela visitada, o preço de um conjunto que tem 3 panelas, 2 frigideiras e 1 leiteira 
é de 𝑅$ 169,00; na segunda loja visitada, o preço de um conjunto composto por 4 panelas, 1 frigideira e 1 
leiteira é de 𝑅$ 179,00; na terceira loja visitada o preço de um conjunto com 3 panelas, 1 frigideira e 1 
leiteira é de 𝑅$ 144,00. Se o preço de cada panela, da frigideira e da leiteira é o mesmo em todas as lojas 
por ela visitada, então pode-se afirmar que o preço de um conjunto composto por 4 panelas, 2 frigideiras e 
1 leiteira é igual a: 
𝑎) 𝑅$ 204,00. 
𝑏) 𝑅$ 193,00. 
𝑐) 𝑅$ 174,00. 
𝑑) 𝑅$ 109,00. 
𝑒) 𝑅$ 74,00. 
 
QUESTÃO 11. Em uma lanchonete, o custo de 3 sanduíches, 7 refrigerantes e uma torta de maçã é 𝑅$ 22,50. 
Com 4 sanduíches, 10 refrigerantes e uma torta de maçã, o custo vai para 𝑅$ 30,50. O custo de um 
sanduíche, um refrigerante e uma torta de maçã, em reais, é 
𝑎) 7,00. 
𝑏) 6,50. 
𝑐) 6,00. 
𝑑) 5,50. 
𝑒) 5,00. 
 
QUESTÃO 12. Uma lapiseira, três cadernos e uma caneta custam, juntos, 33 reais. Duas lapiseiras, sete 
cadernos e duas canetas custam, juntos, 76 reais. O custo de uma lapiseira, um caderno e uma caneta, 
juntos, em reais, é: 
𝑎) 11. 
𝑏) 12. 
𝑐) 13. 
𝑑) 17. 
 
 
 
 
 
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QUESTÃO 13. Uma loja de ferramentas apresentou os seguintes pacotes promocionais para chaves de fenda 
e de boca: 
𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒 1 
𝑝𝑟𝑒ç𝑜: 𝑅$ 31,00 
 
𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒 2 
𝑝𝑟𝑒ç𝑜: 𝑅$ 44,00 
 
Nessa promoção, o preço de uma chave de boca somado ao de uma chave de fenda, em reais, é igual a𝑎) 17 
𝑏) 21 
𝑐) 22 
𝑑) 34 
 
QUESTÃO 14. Três amigos Samuel, Vitória e Júlia, foram a uma lanchonete. 
• Samuel tomou 1 guaraná, comeu 2 esfirras e pagou 5 reais. 
• Vitória tomou 2 guaranás, comeu 1 esfirra e pagou 4 reais. 
• Júlia tomou 2 guaranás, comeu 2 esfirras e pagou 𝑘 reais. 
Considerando-se que cada um dos três pagou o valor exato do que consumiu, é correto afirmar que 
𝑎) 𝑜 𝑔𝑢𝑎𝑟𝑎𝑛á 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑢 𝑜 𝑑𝑜𝑏𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑖𝑟𝑟𝑎. 
𝑏) 𝑜𝑠 𝑡𝑟ê𝑠 𝑎𝑚𝑖𝑔𝑜𝑠, 𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠, 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑟𝑎𝑚 16 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠. 
𝑐) 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑖𝑟𝑟𝑎 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜𝑢 2 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠. 
𝑑) 𝐽ú𝑙𝑖𝑎 𝑝𝑎𝑔𝑜𝑢 8 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑢. 
 
QUESTÃO 15. Uma família fez uma pesquisa de mercado, nas lojas de eletrodomésticos, à procura de três 
produtos que desejava adquirir: uma 𝑇𝑉, um freezer e uma churrasqueira. Em três das lojas pesquisadas, os 
preços de cada um dos produtos eram coincidentes entre si, mas nenhuma das lojas tinha os três produtos 
simultaneamente para a venda. A loja 𝐴 vendia a churrasqueira e o freezer por 𝑅$ 1.288,00. A loja 𝐵 vendia 
a 𝑇𝑉 e o freezer por 𝑅$ 3.698,00 e a loja 𝐶 vendia a churrasqueira e a 𝑇𝑉 por 𝑅$ 2.588,00.A família acabou 
comprando a 𝑇𝑉, o freezer e a churrasqueira nestas três lojas. O valor total pago, em reais, pelos três 
produtos foi de 
𝑎) 3.767,00. 
𝑏) 3.777,00. 
𝑐) 3.787,00. 
𝑑) 3.797,00. 
𝑒) 3.807,00. 
 
QUESTÃO 16. Em um determinado mês, o salário de uma funcionaria excedeu em 𝑅$600,00as horas extras. 
Se ela recebeu um total de 𝑅$880,00, então, o valor de seu salário foi de 
𝑎) 𝑅$460,00 
𝑏) 𝑅$540,00 
𝑐) 𝑅$660,00 
𝑑) 𝑅$740,00 
 
 
 
 
Curso de Matemática Básica Professor Leonardo Andrade 21 
 
 
QUESTÃO 17. Rasgou-se uma das fichas onde foram registrados o consumo e a despesa correspondente de 
três mesas de uma lanchonete, como indicado abaixo. 
 
Nessa lanchonete, os sucos têm um preço único, e os sanduíches também. O valor da despesa da mesa 3 é 
𝑎) 𝑅$5,50. 
𝑏) 𝑅$6,00 
𝑐) 𝑅$6,40. 
𝑑) 𝑅$7,00 
 
QUESTÃO 18. A figura abaixo é formada por um dispositivo de forma triangular em que, nos vértices e nos 
pontos médios dos lados, estão representados alguns valores, nem todos conhecidos. Sabe-se que a soma 
dos valores correspondentes a cada lado do triângulo é sempre 24. 
 
Assim, o valor numérico da expressão 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 é 
𝑎) −2 
𝑏) −1 
𝑐) 2 
𝑑) 5 
 
QUESTÃO 19. Com a proximidade do final do ano, uma papelaria quis antecipar as promoções de material 
didático para o ano letivo de 2012. Foram colocados em promoção caneta, caderno e lápis. As três ofertas 
eram: 
1ª) 5 𝑐𝑎𝑛𝑒𝑡𝑎𝑠, 4 𝑐𝑎𝑑𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠 𝑒 10 𝑙á𝑝𝑖𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑅$ 62,00; 
2ª) 3 𝑐𝑎𝑛𝑒𝑡𝑎𝑠, 5 𝑐𝑎𝑑𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠 𝑒 3 𝑙á𝑝𝑖𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑅$ 66,00; 
3ª) 2 𝑐𝑎𝑛𝑒𝑡𝑎𝑠, 3 𝑐𝑎𝑑𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠 𝑒 7 𝑙á𝑝𝑖𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑅$ 44,00. 
Para comparar os preços unitários dessa papelaria com outras do comércio, o Sr. Ricardo calculou os preços 
de uma caneta, um caderno e um lápis. A soma desses preços é: 
𝑎) 𝑅$ 20,00 
𝑏) 𝑅$ 18,00 
𝑐) 𝑅$ 16,00 
𝑑) 𝑅$ 14,00 
 
QUESTÃO 20. Em um Shopping Center, uma pessoa verificou o valor por unidade de 𝐶𝐷 de diferentes 
gêneros musicais (samba e forró) nas lojas A e B, conforme indicado na tabela abaixo: 
 𝑆𝑎𝑚𝑏𝑎 𝐹𝑜𝑟𝑟ó 
𝐿𝑜𝑗𝑎 𝐴 𝑅$ 18,00 𝑅$ 21,00 
𝐿𝑜𝑗𝑎 𝐵 𝑅$ 17,00 𝑅$ 20,00 
Se essa pessoa decidisse comprar 𝑥 unidades de 𝐶𝐷 do gênero samba e 𝑦 unidades de 𝐶𝐷 do gênero forró, 
na loja 𝐴, ela gastaria 𝑅$ 138,00. Mas, se ela comprasse as mesmas quantidades de 𝐶𝐷𝑠 𝑥 e 𝑦 na loja 𝐵 ela 
gastaria 𝑅$ 131,00. Então a soma 𝑥 + 𝑦 é igual a: 
𝑎) 8 
𝑏) 7 
𝑐) 6 
𝑑) 5 
𝑒) 4 
 
 
Curso de Matemática Básica Professor Leonardo Andrade 22 
 
 
GABARITO – SISTEMAS LINEARES 
01 C 02 E 03 E 
04 C 05 D 06 D 
07 A 08 E 09 B 
10 A 11 B 12 C 
13 A 14 C 15 C 
16 D 17 A 18 A 
19 D 20 B 
 
CAPÍTULO 07- GRANDEZAS E PORCENTAGEM 
7.1 -GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
Botando-se embaixo de uma torneira completamente aberta, um balde para encher, quanto mais 
tempo a torneira permanecer aberta, quanto mais água o balde irá conter, pelo menos até que esteja cheio. 
As grandezas tempo de vazão da água e volume de água no balde são grandezas diretamente 
proporcionais, pois quanto maior o tempo de vazão da água, maior o volume de água no balde. 
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando ao aumentarmos o valor de uma delas um 
certo número de vezes, o respectivo valor da outra grandeza igualmente aumenta o mesmo número de 
vezes. Quando diminuímos o valor de uma delas, proporcionalmente o respectivo valor da outra também 
diminui. 
Vamos analisar a tabela abaixo que representa os primeiros cinco segundos do balde sob a torneira 
completamente aberta: 
Tempo em segundos Volume de água no balde em litros 
1 0,14 
2 0,28 
3 0,42 
4 0,56 
5 0,70 
 
Conceitualmente a razão de dois valores quaisquer da primeira coluna é igual a razão dos respectivos 
valores da segunda coluna, assim temos: 
Cada uma das igualdades acima são exemplos de uma proporção. Estas proporções são formadas 
pela igualdade de duas razões. A primeira é a razão de dois valores da primeira grandeza e a segunda é a 
razão dos respectivos valores da segunda grandeza. 
 
 
7.2 - GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
Na situação de estudo que tivemos acima, vimos que o referido balde leva 57 segundos para ser 
completamente cheio, quando o mesmo está totalmente vazio e a torneira completamente aberta, mas o 
que aconteceria se tivéssemos diversas torneiras com vazão idêntica? 
Vejamos mais esta outra tabela: 
http://www.matematicadidatica.com.br/Razao.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/Razao.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/Proporcao.aspx
 
 
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Quantidade de torneiras completamente abertas Tempo em segundos para se encher o balde 
1 57 
2 28,5 
3 19 
4 14,25 
5 11,4 
Você deve ter percebido o óbvio. Quanto mais torneiras se têm, mais rapidamente se enche o 
balde. 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando ao aumentarmos o valor de uma delas um 
certo número de vezes, o respectivo valor da outra grandeza diminui o mesmo número de vezes. Quando 
diminuímos o valor de uma delas, proporcionalmente o respectivo valor da outra aumenta. 
Cada uma destas proporções é formada pela igualdade da razão de dois valores da primeira grandeza 
com o inverso da razão dos respectivos valores da segunda grandeza. Repare que os termos da segunda 
razão estão invertidos em relação aos termos da primeira. 
CAPÍTULO 08 - PORCENTAGEM 
 É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou 
quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos: 
✓ A gasolina teve um aumento de 15%. 
Significa que em cada 𝑅$100 houve um acréscimo de 𝑅$15,00 
 
✓ O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. 
Significa que em cada 𝑅$100 foi dado um desconto de 𝑅$10,00 
Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques. 
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques. 
8.1 - RAZÃO CENTESIMAL 
 Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos: 
7
10
,
16
100
,
125
100
,
210
100
 
 Podemos representar uma razão centesimal de outras formas: 
7
100
= 0,07 = 7% 
As expressões 7%, 16% 𝑒 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais. 
 Portanto, chegamos a seguinte definição: 
PORCENTAGEM é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. 
 
 
 
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO – GRANDEZAS E PORCENTAGEM 
QUESTÃO 01.Sabe-se que a sequência (𝑥, 𝑦, 𝑧) é inversamente proporcional à sequência 
(
1
2
, 2, 4) . 𝑆𝑒 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 176, então 𝑥 − 𝑦 é igual a 
𝑎) −
𝑧
8
 
𝑏) −
𝑧
4
 
𝑐) 2𝑧 
𝑑) 4𝑧 
𝑒) 6𝑧 
 
QUESTÃO 02. Os calendários usados pelos diferentes povos da Terra são muito variados. O calendário 
islâmico, por exemplo, é lunar, e nele cada mês tem sincronia com a fase da lua. O calendário maia segue o 
ciclo de Vênus, com cerca de 584 dias, e cada 5 ciclos de Vênus corresponde a 8 anos de 365 dias da Terra. 
 
MATSUURA, Oscar. Calendários e o fluxo do tempo. Scientific American Brasil. 
Disponível em: http://www.uol.com.br. Acesso em: 14 𝑜𝑢𝑡. 2008 (adaptado). 
 
Quantos ciclos teria, em Vênus, um período terrestre de 48 anos? 
𝑎) 30 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠. 
𝑏) 40 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠. 
𝑐) 73 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠. 
𝑑) 240 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠. 
𝑒) 384 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 
 
QUESTÃO 03. Um carro gasta 14 litros de gasolina para fazer um percurso de 154 quilômetros. Nessas 
condições, para percorrer 429 quilômetros, o carro gastará, em litros, uma quantidade de gasolina igual a 
𝑎) 33. 
𝑏) 34. 
𝑐) 36. 
𝑑) 39. 
𝑒) 42. 
 
QUESTÃO 04. Duas rodas dentadas, que estão engrenadas, têm 12 e 60 dentes, respectivamente. Enquanto 
a maior dá 8 voltas, a menor dará ______. 
𝑎) 
1
5
 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎. 
𝑏) 
8
5
 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎. 
𝑐) 5 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑠. 
𝑑) 40 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑠. 
𝑒) 96 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑠. 
 
QUESTÃO 05. Uma empresa está asfaltando uma rodovia de 50 km. Sabendo-se que ela levou 12 dias para 
asfaltar 20 km, quantos dias levará para asfaltar os 30 km restantes? 
𝑎) 14. 
𝑏) 16. 
𝑐) 18. 
𝑑) 20. 
𝑒) 24. 
 
 
 
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QUESTÃO 06. Uma mãe recorreu à bula para verificar a dosagem de um remédio que precisava dar a seu 
filho. Na bula, recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 kg de massa corporal a cada 8 horas 
.Se a mãe ministrou corretamente 30 gotas do remédio a seu filho a cada 8 horas, então a massa corporal 
dele é de 
𝑎) 12 𝑘𝑔. 
𝑏) 16 𝑘𝑔. 
𝑐) 24 𝑘𝑔. 
𝑑) 36 𝑘𝑔. 
𝑒) 75 𝑘𝑔. 
 
QUESTÃO 07. Para se construir um contrapiso, é comum, na constituição do concreto, se utilizar cimento, 
areia e brita, na seguinte proporção: 1 parte de cimento, 4 partes de areia e 2 partes de brita. Para construir 
o contrapiso de uma garagem, uma construtora encomendou um caminhão betoneira com 14𝑚3 de 
concreto. Qual é o volume de cimento, em 𝑚3, na carga de concreto trazido pela betoneira? 
𝑎) 1,75 
𝑏) 2,00 
𝑐) 2,33 
𝑑) 4,00 
𝑒) 8,00 
 
QUESTÃO 08. O consumo de combustível de um trator de arado, por tempo de trabalho, é de 18 litros por 
hora. Esse mesmo consumo, por área trabalhada, é de 15 litros por hectare. Podemos estimar que, em 10 
horas de trabalho, esse trator poderá arar cerca de: 
𝑎) 12 ℎ𝑒𝑐𝑡𝑎𝑟𝑒𝑠 
𝑏) 15 ℎ𝑒𝑐𝑡𝑎𝑟𝑒𝑠 
𝑐) 8 ℎ𝑒𝑐𝑡𝑎𝑟𝑒𝑠 
𝑑) 6 ℎ𝑒𝑐𝑡𝑎𝑟𝑒𝑠 
𝑒) 10 ℎ𝑒𝑐𝑡𝑎𝑟𝑒𝑠 
 
QUESTÃO 09. Semanalmente, o apresentador de um programa televisivo reparte uma mesma quantia em 
dinheiro igualmente entre os vencedores de um concurso. Na semana passada, cada um dos 15 vencedores 
recebeu 𝑅$ 720,00. Nesta semana, houve 24 vencedores; portanto, a quantia recebida por cada um deles, 
em reais, foi de 
𝑎) 675,00. 
𝑏) 600,00. 
𝑐) 450,00. 
𝑑) 540,00. 
𝑒) 400,00. 
 
QUESTÃO 10. Um confeiteiro deseja fazer um bolo cuja receita indica a utilização de açúcar e farinha de trigo 
em quantidades fornecidas em gramas. Ele sabe que uma determinada xícara utilizada para medir os 
ingredientes comporta 120 gramas de farinha de trigo e que três dessas xícaras de açúcar correspondem, 
em gramas, a quatro de farinha de trigo. Quantos gramas de açúcar cabem em uma dessas xícaras? 
𝑎) 30 
𝑏) 40 
𝑐) 90 
𝑑) 160 
𝑒) 360 
 
 
 
 
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QUESTÃO 11. Uma receita de bolo leva 8 ovos e 6 xícaras de açúcar. Se quisermos fazer a mesma receita 
com apenas 3 ovos, a quantidade correta de açúcar será: 
𝑎) 3 𝑥í𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑎çú𝑐𝑎𝑟. 
𝑏) 2 𝑥í𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑎çú𝑐𝑎𝑟. 
𝑐) 2 𝑥í𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 𝑒 𝑚𝑒𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑎çú𝑐𝑎𝑟. 
𝑑) 2 𝑥í𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 𝑒 𝑢𝑚 𝑡𝑒𝑟ç𝑜 𝑑𝑒 𝑥í𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑎çú𝑐𝑎𝑟. 
𝑒) 2 𝑥í𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 𝑒 𝑢𝑚 𝑞𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑥í𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑎çú𝑐𝑎𝑟. 
 
QUESTÃO 12. Em uma liquidação os preços dos artigos de uma loja são reduzidos de 20% de seu valor. 
Terminada a liquidação e pretendendo voltar aos preços originais, de que porcentagem devem ser 
acrescidos os preços da liquidação? 
𝑎) 27,5% 
𝑏) 25% 
𝑐) 22,5% 
𝑑) 21% 
𝑒) 20% 
 
QUESTÃO 13. Se 𝑎 , 𝑏 𝑒 𝑐 são diretamente proporcionais a 3, 4 e 5 e sabendo-se que 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 17, 
concluímos que 4𝑎 + 3𝑏 − 𝑐 é igual a: 
𝑎) 
85
12
 
𝑏) 17 
𝑐) 34 
𝑑) 1 
𝑒)
323
12
 
 
QUESTÃO 14. Descontos sucessivos de 20% e 30% são equivalentes a um único desconto de: 
𝑎) 25% 
𝑏) 26% 
𝑐) 44% 
𝑑) 45% 
𝑒) 50% 
 
QUESTÃO 15. Aumentando-se os lados 𝑎 e 𝑏 de um retângulo de 15% e 20% respectivamente, a área do 
retângulo é aumentada de: 
𝑎) 35% 
𝑏) 30% 
𝑐) 3,5% 
𝑑) 3,8% 
𝑒) 38% 
 
QUESTÃO 16. Sabe-se que 4 máquinas, operando em 4 horas por dia, durante 4 dias, produzem 4 toneladas 
de certo produto. Quantas toneladas do mesmo produto seriam produzidos por 6 máquinas daquele tipo, 
operando 6 horas por dia, durante 6 dias? 
𝑎) 6 
𝑏) 8 
𝑐) 10,5 
𝑑) 13,5 
𝑒) 15 
 
 
 
 
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QUESTÃO 17. Dividindo 70 em partes proporcionais a 2, 3 𝑒 5, a soma entre a menor e a maior parte é: 
𝑎) 35 
𝑏) 49 
𝑐) 56 
𝑑) 42 
𝑒) 28 
 
QUESTÃO 18. A ração para 12 animais, durante 8 dias custa 24.000,00. O custo da ração para 18 animais, 
durante 6 dias é de: 
𝑎) 48.000,00 
𝑏) 27.000,00 
𝑐) 21.333,33 
𝑑) 16.000,00 
𝑒) 12.000,00 
 
QUESTÃO 19. Em 10 minutos, 27 secretárias com a mesma habilidade digitaram o equivalente a 324 
páginas. Nas mesmas condições, se o número de secretárias fosse 50, em quantos minutos teoricamente 
elas digitariam 600 páginas? 
𝑎) 10 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠. 
𝑏) 45 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠. 
𝑐) 5 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠. 
𝑑) 5 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑒 24 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠. 
𝑒) 34 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑒 29 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠. 
 
QUESTÃO 20. Se 10 operários gastam 12 dias para abrir um canal de 20𝑚 de comprimento, 16 operários, 
para abrir um canal de 24𝑚 de comprimento, gastarão: 
a) 
1
3
 do mês 
b) 
2
5
 do mês 
c) 
1
 2 
 do mês 
d) 
3
10 
 do mês 
 
QUESTÃO 21. Sabe-se que 5 máquinas, todas de igual eficiência, são capazes de produzir 500 peças em 
5 dias, se operarem 5 horas por dia. Se 10 máquinas iguais às primeiras operassem 10 horas por dia durante 
10 dias, o número de peças produzidas seria 
𝑎) 1 000 
𝑏) 2 000 
𝑐) 4 000 
𝑑) 5 000 
𝑒) 8 000 
 
GABARITO – GRANDEZAS E PORCENTAGEM 
01 E 02 A 03 D 
04 D 05 C 06 A 
07 B 08 A 09 C 
10 D 11 E 12 B 
13 E 14 C 15 E 
16 D 17 B 18 B 
19 A 20 D 21 C 
 
 
Curso de Matemática Básica Professor Leonardo Andrade 28 
 
 
CAPÍTULO 09 - SISTEMAS DE NUMERAÇÃO 
 
9.1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL 
Um numeral é um símbolo ou grupo de símbolos que representa um número em um determinado 
instante da evolução do homem. Tem-se que, numa determinada escrita ou época, os numerais 
diferenciaram-se dos números do mesmo modo que as palavras se diferenciaram das coisas a que se 
referem. Os símbolos "11", "onze" e "XI" (onze em latim) são numerais diferentes, representativos do 
mesmo número, apenas escrito em idiomas e épocas diferentes. 
Um sistema de numeração, (ou sistema numeral) é um sistema em que um conjuntode números são 
representados por numerais de uma forma consistente. Pode ser visto como o contexto que permite ao 
numeral "11" ser interpretado como o numeral romano para dois, o numeral binário para três ou o numeral 
decimal para onze. 
 
• O sistema decimal é um sistema de numeração de posição que utiliza a base dez. 
• Símbolos da base Decimal: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
 
Baseia-se em uma numeração de posição, onde os dez algarismos indo-arábicos : 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 servem a contar unidades, dezenas, centenas, etc,da direita para a esquerda. 
Contrariamente à numeração romana, o algarismo árabe tem um valor diferente segundo sua posição no 
número: assim, em 111, o primeiro algarismo significa 100, o segundo algarismo 10 e o terceiro 1, enquanto 
que em VIII (oito em numeração romana) os três 𝐼 significam todos 1. 
 
𝟑𝟒𝟕 = 𝟑. 𝟏𝟎𝟎 + 𝟒. 𝟏𝟎 + 𝟕. 𝟏 = 𝟑. 𝟏𝟎𝟐 + 𝟒. 𝟏𝟎𝟏 + 𝟕. 𝟏𝟎𝟎 
 
No sistema decimal o símbolo 0 (𝑧𝑒𝑟𝑜) posicionado à esquerda do número escrito não altera seu 
valor representativo. Assim: 1,01, 001 𝑜𝑢 0001 representam a mesma grandeza, neste caso a unidade. O 
símbolo zero posto à direita implica multiplicar a grandeza pela base, ou seja, por 10 (𝑑𝑒𝑧). 
 
9.2 - SISTEMA BINÁRIO 
• O sistema binário ou base 2, é um sistema de numeração posicional em que todas as 
quantidades se representam com base em dois números. 
• Símbolos da base Binária: 0 1 
 
Os computadores digitais trabalham internamente com dois níveis de tensão, pelo que o seu sistema de 
numeração natural é o sistema binário (aceso, apagado). Com efeito, num sistema simples como este é 
possível simplificar o cálculo, com o auxílio da lógica booleana. Em computação, chama-se um dígito binário 
(0 𝑜𝑢 1) de bit, que vem do inglês Binary Digit. Um agrupamento de 8 bits corresponde a um byte (Binary 
Term). 
 
O sistema binário é base para a Álgebra booleana (de George Boole - matemático inglês), que permite 
fazer operações lógicas e aritméticas usando-se apenas dois dígitos ou dois estados (sim e não, falso e 
verdadeiro, tudo ou nada, 1 ou 0, ligado e desligado). Toda a eletrônica digital e computação está baseada 
nesse sistema binário e na lógica de Boole, que permite representar por circuitos eletrônicos digitais (portas 
lógicas) os números, caracteres, realizar operações lógicas e aritméticas. Os programas de computadores 
são codificados sob forma binária e armazenados nas mídias (memórias, discos, etc) sob esse formato. 
 
 
 
 
 
 
 
Curso de Matemática Básica Professor Leonardo Andrade 29 
 
 
9.2.2 - OPERAÇÕES COM BINÁRIOS 
9.2.2.1 - CONVERSÃO DE DECIMAL PARA BINÁRIO 
Divide-se sucessivamente por 2. Depois o número binário é formado pelo quociente da última divisão 
seguido dos restos de todas as divisões na seqüência em que foram realizadas. 
Exemplo: 8𝐷 = ?𝐵 
 
8
2
= 4 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 = 𝟎 
4
2
= 2 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 = 𝟎 
2
2
= 1 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 = 𝟎 8𝐷 = 1000𝐵 
 
9.2.2.2 - CONVERSÃO DE BINÁRIO PARA DECIMAL 
Deve-se escrever cada número que o compõe (bit), multiplicado pela base do sistema (𝑏𝑎𝑠𝑒 = 2), 
elevado à posição que ocupa. A soma de cada multiplicação de cada dígito binário pelo valor das potências 
resulta no número real representado. 
 
𝑬𝒙: 1011𝐵 = ?𝐷 
 𝟏 × 𝟐³ + 𝟎 × 𝟐² + 𝟏 × 𝟐𝟏 + 𝟏 × 𝟐𝟎 = 𝟖 + 𝟎 + 𝟐 + 𝟏 = 𝟏𝟏 𝟏𝟎𝟏𝟏𝑩 = 𝟏𝟏𝑫 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO – SISTEMAS DE NUMERAÇÃO 
QUESTÃO 01. Um asteroide batizado de 2013 − 𝑇𝑉135 passou a aproximadamente 6,7 × 106 quilômetros 
da Terra. A presença do objeto espacial nas proximidades da Terra foi detectada por astrônomos ucranianos, 
que alertaram para uma possível volta do asteroide em 2032. 
 
O valor posicional do algarismo 7, presente na notação científica da distância, em quilômetro, entre o 
asteroide e a Terra, corresponde a 
𝑎) 7 𝑑é𝑐𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑖𝑙ô𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜. 
𝑏) 7 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑖𝑙ô𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠. 
𝑐) 7 𝑑𝑒𝑧𝑒𝑛𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑖𝑙ℎ𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑖𝑙ô𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠. 
𝑑) 7 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑖𝑙ℎ𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑖𝑙ô𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠. 
𝑒) 7 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑖𝑙ℎã𝑜 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑖𝑙ô𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠. 
 
QUESTÃO 02. Seja 𝑁 um número natural de dois algarismos não nulos. Trocando-se a posição desses dois 
algarismos, obtém-se um novo número natural 𝑀 de modo que 𝑁 − 𝑀 = 63. A soma de todos os números 
naturais 𝑁 𝑁 que satisfazem as condições dadas é 
𝑎) 156 
𝑏) 164 
𝑐) 173 
𝑑) 187 
𝑒) 198 
 
QUESTÃO 03. Uma repartição pública possui um sistema que armazena em seu banco de dados todos os 
ofícios, memorandos e cartas enviados ao longo dos anos. Para organizar todo esse material e facilitar a 
localização no sistema, o computador utilizado pela repartição gera um código para cada documento, de 
forma que os oito primeiros dígitos indicam a data em que o documento foi emitido (𝐷𝐷𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴), os dois 
dígitos seguintes indicam o tipo de documento (ofício: 01, memorando: 02 e carta: 03) e os três últimos 
dígitos indicam a ordem do documento. Por exemplo, o código 0703201201003 indica um ofício emitido 
no dia 7 de março de 2012, cuja ordem é 003. No dia 27 de janeiro de 2001, essa repartição pública emitiu 
o memorando de ordem 012 e o enviou aos seus funcionários. O código gerado para esse memorando foi 
𝑎) 0122701200102. 
𝑏) 0201227012001. 
𝑐) 0227012001012. 
𝑑) 2701200101202. 
𝑒) 2701200102012. 
 
 
Curso de Matemática Básica Professor Leonardo Andrade 30 
 
 
QUESTÃO 04. O sistema binário ou de base 2 é um sistema de numeração posicional em que todas as 
quantidades se representam com base em dois algarismos, zero e um (0 e 1). Para converter um número da 
base decimal para a base binária, podemos utilizar o algoritmo ilustrado na figura a seguir: 
 
Nesse contexto, o número 99 convertido para o sistema de base binária será representado por 
𝑎) 1100011. 
𝑏) 1100100. 
𝑐) 1100010. 
𝑑) 1011001. 
 
QUESTÃO 05. Todo número natural pode ser escrito de forma única utilizando-se uma base fatorial, como, 
por exemplo, 
𝟏𝟕 = 𝟐 ⋅ 𝟑!  +  𝟐 ⋅ 𝟐!  +  𝟏 ⋅ 𝟏! = (𝟐, 𝟐, 𝟏)𝒇𝒂𝒕. 
Genericamente, podemos representar 
𝑵 = 𝒂𝒏 ⋅ 𝒏!  +  𝒂𝒏–𝟏 ⋅ (𝒏 − 𝟏)! +   𝒂𝒏−𝟐 ⋅ (𝒏 – 𝟐)! + . . . + 𝒂𝟏 ⋅ 𝟏! = (𝒂𝒏,  𝒂𝒏–𝟏, 𝒂𝒏–𝟐, . . . , 𝒂𝟏)𝒇𝒂𝒕, 
em que 𝒂𝒊 ∈ {𝟎, 𝟏, 𝟐, . . . , 𝒊}. 
 
Dessa forma, o número (3,1,0,1)fat equivale, na base 10, ao número: 
𝑎) 83 
𝑏) 51 
𝑐) 79 
𝑑) 65 
𝑒) 47 
 
QUESTÃO 06. Qualquer número pode ser representado na base "2" como a soma de fatores que indicam 
potências crescentes de 2, da direita para esquerda, aparecendo o símbolo "1" se 2 elevado aquela potência 
está presente na composição de número e o símbolo "o" se 2 elevado aquela potência não está presente na 
composição do número. 
✓ O número 5 é representado por (101), pois 5 = 1. 22 + 0. 21 + 1 . 20. 
Utilizando os números a seguir, representados na base "2" somando-os e apresentando o resultado na base 
"2" teremos: (10010) + (1010). 
𝑎) (11000) 
𝑏) (11100) 
𝑐) (11011) 
𝑑) (11101) 
𝑒) (11111) 
 
GABARITO – SISTEMA DE NUMERAÇÃO 
01 D 02 C 03 E 
04 A 05 C 06 B 
 
 
 
Curso de Matemática Básica Professor Leonardo Andrade 31 
 
 
CAPÍTULO 10 - MÉDIAS 
10.1 - MÉDIA ARITMÉTICA 
A média aritmética, 𝒙, é o quociente entre a soma dos valores 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑 𝑒 𝒙𝒏 e o seu número total 𝒏. 
Ex: A nota de João é dada pela média aritmética das notas de suas quatro provas: 
 Prova 1 Prova 2 Prova 3 Prova 4 
Nota 6 5 9 8 
𝒙 = 
𝟔 + 𝟓 + 𝟗 + 𝟖
𝟒
= 𝟕 
A média aritmética das 4 notas é 7. 
 
OBS: Quando calculamos a média aritmética de números que se repetem, podemos simplificar o cálculo. 
Desta maneira, para obter a média aritmética de 𝟕, 𝟕, 𝟕, 𝟗, 𝟗, 𝟗, 𝟗, 𝟗, 𝟏𝟏 e 𝟏𝟏, observamos que: 
𝒙 = 
𝟑. 𝟕 + 𝟓. 𝟗 + 𝟐.𝟏𝟏
𝟑 + 𝟓 + 𝟐
=
𝟐𝟏 + 𝟒𝟓 + 𝟐𝟐
𝟏𝟎
=
𝟖𝟖
𝟏𝟎
= 𝟖, 𝟖 
Dizemos, então, que 8,8 é a média aritmética dos números 7, 9 𝑒 11, com frequências 3, 5 𝑒 2, 
respectivamente. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO – MÉDIA ARITMÉTICA 
QUESTÃO 01. (Unesp 2020) De acordo com levantamento realizado de janeiro a outubro de 2018, o Brasil 
apareceu em primeiro lugar como o país em que cada habitante mais recebeu chamadas telefônicas spam, 
que incluem ligações indesejadas de telemarketing, trotes e golpes. A tabela mostra o número médio de 
chamadas spam recebidas mensalmente por usuário no Brasil e em outros países. 
Colocação País 
Nº médio de ligações spam mensal 
por usuário 
𝟏º Brasil 𝟑𝟕, 𝟓 
𝟐º Índia 𝟐𝟐, 𝟑 
𝟑º Chile 𝟐𝟏, 𝟗 
𝟒º África do Sul 𝟐𝟏, 𝟎 
𝟓º México 𝟐𝟎, 𝟗 
𝟔º Peru 𝟏𝟗, 𝟖 
𝟕º Costa Rica 𝟏𝟖, 𝟔 
𝟖º Estados Unidos 𝟏𝟔, 𝟗 
𝟗º Grécia 𝟏𝟑, 𝟏 
𝟏𝟎º Espanha 𝟏𝟐, 𝟓 
 
(Mariana Alvim. “Quem me liga? Como ligações telefônicas de robôs se tornaram 
um problema mundial”. www.bbc.com, 13.04.2019. Adaptado.) 
 
A diferença entre o número médio de chamadas spam recebidas mensalmente por usuário no Brasil e a 
média aritmética do número médio de chamadas spam recebidas mensalmente por usuário nos demais 
países da América Latina apresentados na tabela é igual a 
𝑎) 17,2 
𝑏) 17,4 
𝑐) 16,7 
𝑑) 16,6 
𝑒) 17,9. 
 
 
 
 
 
Curso de Matemática Básica Professor Leonardo Andrade 32 
 
 
QUESTÃO 02. (G1 - ifpe 2019) José Carlos, um estudante do curso de Almoxarife do IFPE campus Cabo de 
Santo Agostinho, foi designado para analisar o almoxarifado do campus durante 5 dias, a fim de realizar um 
trabalho de Matemática. Ele observou a quantidade de resmas de papel solicitadas e percebeu que foram 
pedidas 7,  4,  3,  8 e 4 resmas nesses cinco dias. José Carlos, ao analisar essas informações, concluiu que a 
média aritmética da quantidade de resmas pedidas por dia, nesses cinco dias, foi de 
𝑎) 5,2. 
𝑏) 4. 
𝑐) 3. 
𝑑) 6,4. 
𝑒) 4,8. 
 
QUESTÃO 03. (Ufrgs 2019) A média aritmética das idades de um grupo de 10 amigos é 22 anos. Ao ingressar 
mais um amigo nesse grupo, a média aritmética passa a ser de 23 anos. A idade do amigo ingressante no 
grupo, em anos, é 
𝑎) 29. 
𝑏) 30. 
𝑐) 31. 
𝑑) 32. 
𝑒) 33. 
 
QUESTÃO 04. (G1 - cotil 2019) Algumas empresas de transporte privado urbano que se conectam aos seus 
usuários por celular possuem uma estratégia chamada “preço dinâmico”: quanto mais pessoas de um bairro 
fizerem uso do serviço, maior será o preço da corrida. Havendo, naturalmente, a diminuição das chamadas 
pelas pessoas desse bairro, equilibra-se, consequentemente, a quantidade de carros por toda a cidade. Na 
tabela abaixo, temos a quantidade de veículos desse serviço em um certo bairro da cidade, durante um 
período de 2,5 horas. 
Tempo 
Primeira 
meia hora 
Segunda 
meia hora 
Terceira 
meia hora 
Quarta 
meia hora 
Quinta 
meia hora 
Quantidade 
de Carros 
𝟓𝟐 𝟒𝟕 𝟓𝟖 𝟓𝟎 𝒙 
O valor limite, para que não haja aumento no valor da tarifa do serviço, é de 50 carros, durante o intervalo 
de tempo analisado. Qual deve ser o valor de 𝑥 para que não haja acréscimo no valor da tarifa? 
𝑎) 100 
𝑏) 83 
𝑐) 43 
𝑑) 10 
 
QUESTÃO 05. (G1 - ifpe 2018) Na disciplina de matemática do curso de Operador de Computador do IFPE – 
Barreiros, o professor Pedro resolveu fazer 5 atividades para compor a nota final. Wagner, um aluno dessa 
disciplina, tirou 5,4; 6,2; 7,5 e 4,1 nas quatro primeiras atividades. Sabendo que, para ser aprovado por 
média, o aluno precisa obter média 6,0 nessas cinco atividades, Wagner precisa obter, para aprovação por 
média, nota mínima de 
𝑎) 5,8. 
𝑏) 6,8. 
𝑐) 6,2. 
𝑑) 5,2. 
𝑒) 6,0. 
 
 
 
 
 
Curso de Matemática Básica Professor Leonardo Andrade 33 
 
 
QUESTÃO 06. (Ueg 2018) A tabela a seguir apresenta a distribuição dos pontos de uma avaliação realizada 
com 100 alunos. 
Pontos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Alunos 2 5 8 10 15 17 15 12 8 4 4 
Analisando-se os dados dessa tabela, a média do número de pontos desses alunos é igual a 
𝑎) 5,0 
𝑏) 5,1 
𝑐) 5,2 
𝑑) 5,4 
𝑒) 5,5 
 
GABARITO – MEDIA ARITMÉTICA 
01 A 02 A 03 E 
04 C 05 B 06 B 
 
10.2 - MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA 
Vejamos, agora, o caso de um aluno que realiza vários trabalhos com pesos diferentes, isto é, com 
graus de importância diferentes: 
 Prova (Peso 3) Pesquisa (Peso 2) Trabalho em grupo (Peso 2) Debate (Peso 1) 
Nota 7 7,5 9,5 9 
Neste caso temos uma média aritmética ponderada, que será o quociente da soma dos valores distintos 
multiplicados por seus pesos pela soma dos pesos: 
𝒙 = 
𝟑. 𝟕 + 𝟐. 𝟕, 𝟓 + 𝟐. 𝟗, 𝟓 + 𝟏. 𝟗
𝟑 + 𝟐 + 𝟐 + 𝟏
=
𝟐𝟏 + 𝟏𝟓 + 𝟏𝟗 + 𝟗
𝟖
=
𝟔𝟒
𝟖
= 𝟖 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO – MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA 
QUESTÃO 01. (G1 - ifpe 2019) Artur não se recorda qual foi sua primeira nota em Matemática, mas sabe 
que sua segunda nota foi 9,0 e tem peso 3; sua terceira nota foi 6,0 e tem peso 5; e, ainda, que sua média 
final foi 7,5. Calcule quanto foi a primeira nota de Artur, sabendo que ela teve peso 2. 
𝑎) 9,0 
𝑏) 9,5 
𝑐) 8,5 
𝑑) 8,0 
𝑒) 7,5 
 
QUESTÃO 02. (G1 - cp2 2019) Atualmente, o sistema de avaliação do Colégio Pedro II considera aprovado o 
estudante que tenha, no mínimo, 75% de presença nas aulas e obtenha média anual ponderada (MA), nas 
três avaliações trimestrais (certificações), respectivamente com pesos 3,  3 e 4, igual ou superior a 7,0 (sete). 
Caso não consiga essa média anual, o estudante deve fazer uma prova final de verificação (𝑃𝐹𝑉). Nesse 
caso, a média final ponderada (𝑀𝐹) é calculada com peso 3 para a média anual e peso 2 para prova final, e 
será aprovado o estudante que obtiver média final igual ou superior a 5,0 (cinco). Desta forma, por exemplo, 
um estudante com notas 4,0;  8,0 e 5,0 respectivamente, nas três primeiras certificações de Matemática, 
fica com uma média anual 
𝑀𝐴 =
3 × 4 + 3 × 8 + 4 × 5
3 + 3 + 4
=
56
10
= 5,6. 
Esse estudante deve fazer a prova final de verificação e precisa tirar 4,1 nesta avaliação para obter a média 
final mínima para ser aprovado. Ou seja, 
𝑀𝐹 =
3 × 5,6 + 2 × 4,1
3 + 2
=
25
5
= 5,0. 
 
 
Curso de Matemática Básica Professor Leonardo Andrade 34 
 
 
Se Geisa tirou, nas três primeiras certificações, 2,0;  6,0 e 9,0, respectivamente, quanto ela precisa tirar na 
prova final de verificação, para obter a média final mínima para ser aprovada? 
𝑎) 3,1. 
𝑏) 3,5. 
𝑐) 4,1. 
𝑑) 5,0. 
 
QUESTÃO 03. (Ueg 2019) Uma companhia tem 4 filiais distribuídas nos estados de Goiás, São Paulo, Bahia 
e Rio de Janeiro. O quadro a seguir apresenta a porcentagem de produção de cada filial em relação ao total 
da companhia e o lucro da filial por peça produzida. 
Filial % da produção Lucro por peça 
GO 𝟑𝟎% 𝑹$ 𝟐𝟎, 𝟎𝟎 
SP 𝟒𝟎% 𝑹$ 𝟏𝟓, 𝟎𝟎 
BA 𝟏𝟎% 𝑹$ 𝟐𝟓, 𝟎𝟎 
RJ 𝟐𝟎% 𝑹$ 𝟐𝟎, 𝟎𝟎 
Baseando-se nessas informações, o lucro médio dessa companhia é 
𝑎) 𝑅$ 41,00 
𝑏) 𝑅$ 25,00 
𝑐) 𝑅$ 20,00 
𝑑) 𝑅$ 18,50 
 
QUESTÃO 04. (G1 - ifpe 2019) Um professor do curso integrado de Agropecuária do IFPE campus Belo 
Jardim, em sua disciplina de Agroecologia, decidiu que a média da 1ª Unidade será composta por quatro 
notas com pesos diferentes. Essas notas terão pesos, respectivamente, dois, três, quatro e seis. Marcelo, 
que está matriculado nessa disciplina, obteve 5,0 na primeira nota, 6,0 na segunda, 8,0 na terceira e 8,5 na 
quarta nota. Ao calcular sua média na 1ª Unidade, Marcelo obteve 
𝑎) 7,00. 
𝑏) 6,875. 
𝑐) 7,32. 
𝑑) 7,40. 
 
QUESTÃO 05. (Espm 2017) Dadas, num plano, duas figuras de áreas 𝐴1 e 𝐴2 cujas distâncias de seus centros 
de gravidade a um eixo desse plano são 𝑥1 e 𝑥2, a distância 𝑥 (do centro de gravidade 𝐶𝐺 desse conjunto ao 
mesmoeixo) é a média ponderada entre 𝑥1 e 𝑥2, com pesos 𝐴1 e 𝐴2 , respectivamente. Considerando-se 
que cada quadrícula da malha mostrada abaixo tem lado medindo 1, a distância 𝑥 será igual a: 
 
𝑎) 
8
3
 
𝑏) 
9
4
 
𝑐) 
13
5
 
𝑑) 
17
6
 
 
 
Curso de Matemática Básica Professor Leonardo Andrade 35 
 
 
QUESTÃO 06. (Ueg 2017) Um artesão fabrica certo tipo de peças a um custo de 𝑅$ 10,00 cada e as vende 
no mercado de artesanato com preço variável que depende da negociação com o freguês. Num certo dia, 
ele vendeu 2 peças por 𝑅$ 25,00 cada, 4 peças por 𝑅$ 22,50 cada e mais 4 peças por 𝑅$ 20,00 cada. O 
lucro médio do artesão nesse dia foi de 
𝑎) 𝑅$ 22,50 
𝑏) 𝑅$ 22,00 
𝑐) 𝑅$ 19,20 
𝑑) 𝑅$ 12,50 
𝑒) 𝑅$ 12,00 
 
GABARITO – MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA 
01 A 02 B 03 D 
04 D 05 D 06 E 
 
10.3 - MÉDIA GEOMÉTRICA 
 
Para calcularmos a média geométrica entre números devemos realizar a multiplicação entre eles e, 
logo em seguida, extrair a raiz com índice igual ao número de fatores utilizados na multiplicação. Por 
exemplo, ao calcular a média geométrica dos números 2, 4 𝑒 6, efetuamos o seguinte cálculo: 
 
√𝟐. 𝟒. 𝟔 
𝟑
= √𝟒𝟖
𝟑
 ≅ 𝟑, 𝟔𝟑 
 
A média geométrica é muito utilizada nas situações envolvendo aumentos sucessivos. Por exemplo, vamos 
considerar um aumento de salário sucessivo de 15% no primeiro mês, 12% no segundo mês e 21% no 
terceiro mês. 
 
Vamos determinar a média geométrica dos aumentos, mas para isso as taxas percentuais devem ser 
transformadas em taxa unitárias, observe: 
 
𝟏𝟓% = 𝟏, 𝟏𝟓 
𝟏𝟐% = 𝟏, 𝟏𝟐 
𝟐𝟏% = 𝟏, 𝟐𝟏 
√𝟏, 𝟏𝟓. 𝟏, 𝟏𝟐. 𝟏, 𝟐𝟏 
𝟑
= √𝟏, 𝟓𝟓𝟖𝟒𝟖
𝟑
 ≅ 𝟏, 𝟏𝟓𝟗𝟒 
 
O valor 1,1594 corresponde a taxa média de 15,94% de todos os aumentos sucessivos. Isso indica que se 
aplicarmos três vezes consecutivas a taxa de 15,94% corresponderá ao aumento sucessivo dos percentuais 
de 15%, 12% e 21%. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO – MÉDIA GEOMÉTRICA 
QUESTÃO 01. (G1 - col. naval 2016) Sejam 𝑥 e 𝑦 números reais tais que 𝑥𝑦 = 2√3. Sendo assim, o valor 
mínimo de 𝑥8 + 𝑦8 é 
𝑎) 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 18. 
𝑏) 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜. 
𝑐) 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠í𝑣𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑟 5. 
𝑑) 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠í𝑣𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑟 13. 
𝑒) 𝑝𝑎𝑟 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 300. 
 
 
 
 
 
 
Curso de Matemática Básica Professor Leonardo Andrade 36 
 
 
QUESTÃO 02. (Insper 2016) Em um concurso público, o critério de classificação é obter nota final maior ou 
igual a 10, em uma escala de 0 a 16. A nota final é calculada como a média geométrica entre duas notas: a 
da prova de conhecimentos gerais e a da prova de conhecimentos específicos, ambas na mesma escala de 0 
a 16. As provas são aplicadas em dias diferentes, sendo a primeira de conhecimentos gerais. De acordo com 
o critério descrito, existe uma nota mínima a ser atingida nessa prova, caso contrário o candidato estará 
automaticamente desclassificado, independentemente da nota que venha a tirar na prova de 
conhecimentos específicos. O valor dessa nota mínima é 
𝑎) 0. 
𝑏) 5,75. 
𝑐) 6,00. 
𝑑) 6,25. 
𝑒) 10,00. 
 
QUESTÃO 03. (G1 - ifce 2011) Sejam 𝑎 e 𝑏 números reais positivos. O menor valor para a expressão 
𝑎
𝑏
+
𝑏
𝑎
 
é 
𝑎) 0. 
𝑏) 1. 
𝑐) 2. 
𝑑) 3. 
𝑒) 4. 
 
GABARITO – MEDIA GEOMÉTRICA 
01 A 02 D 03 C 
 
10.4 - MÉDIA HARMÔNICA 
 
A média harmônica está relacionada ao cálculo matemático das situações envolvendo as grandezas 
inversamente proporcionais. Como exemplo, temos a relação entre velocidade e tempo. Suponha que, em 
uma determinada viagem, um carro desenvolva duas velocidades distintas, durante a metade do percurso 
ele manteve a velocidade de 50 𝑘𝑚/ℎ e durante a metade restante sua velocidade foi de 60 𝑘𝑚/ℎ. Vamos 
determinar a velocidade média do veículo durante o percurso. De acordo com a média harmônica temos a 
seguinte relação: 
𝑴𝑯 =
𝒏
𝟏
𝒙𝟏
+
𝟏
𝒙𝟐
+
𝟏
𝒙𝟑
+. . . +
𝟏
𝒙𝒏
 
𝑴𝑯 =
𝟐
𝟏
𝟓𝟎
+
𝟏
𝟔𝟎
 
𝑴𝑯 =
𝟐
𝟔 + 𝟓
𝟑𝟎𝟎
 
𝑴𝑯 = 𝟐.
𝟑𝟎𝟎
𝟏𝟏
 
𝑴𝑯 =
𝟔𝟎𝟎
𝟏𝟏
 
𝑴𝑯 ≅ 𝟓𝟒 
 
A velocidade média do veículo durante todo o percurso será de aproximadamente 54 𝑘𝑚/ℎ. 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO - MÉDIA HARMÔNICA 
QUESTÃO 01. (G1 - ifpe 2018) Embora pouco conhecida, a “média harmônica” é utilizada em várias 
situações do dia a dia. Por exemplo, para calcular a velocidade média em um percurso que é feito metade 
da distância com velocidade 𝑣1 e a outra metade com velocidade 𝑣2.Podemos definir a média harmônica 
entre dois valores não nulos 𝑥 e 𝑦, como sendo o número 𝐻, tal que: 
 
𝟏
𝑯
+
𝟏
𝑯
=
𝟏
𝒙
+
𝟏
𝒚
. 
 
Utilizando a definição acima, encontre uma expressão algébrica destacando 𝐻 em função de 𝑥 e 𝑦. 
a) 𝐻 = √𝑥𝑦 
b) 𝐻 =
𝑥+𝑦
2
 
c) 𝐻 =
2𝑥𝑦
𝑥+𝑦
 
d) 𝐻 = √
𝑥2+𝑦2
2
 
e) 𝐻 =
𝑥+𝑦
4
 
 
QUESTÃO 02. (Insper 2016) Sejam a e b dois números reais e positivos tais que 𝑀𝐻(𝑎,  𝑏) = 𝐴. O valor de 
𝒂 em função de 𝒃 e a condição que se deve impor sobre o valor de 𝒃 para que isso aconteça são, 
respectivamente, 
𝑎) 
𝐴𝑏
2𝑏 − 𝐴
 𝑒 𝑏 >
𝐴
2
. 
𝑏) 
𝐴𝑏
2𝑏 − 𝐴
 𝑒 𝑏 <
𝐴
2
. 
𝑐) 
𝐴
2
 𝑒 𝑏 >
1
𝐴
. 
𝑑) 
𝐴
2
 𝑒 𝑏 <
1
𝐴
. 
𝑒) 𝑎 = 2𝐴 − 𝑏 𝑒 𝑏 > 0. 
 
QUESTÃO 03. (Uel 2000) Um automóvel subiu uma ladeira a uma velocidade média de 60 𝑘𝑚/ℎ e, em 
seguida, desceu a mesma ladeira à velocidade média de 100 𝑘𝑚/ℎ. A velocidade média desse veículo no 
percurso inteiro foi de 
𝑎) 72 𝑘𝑚/ℎ 
𝑏) 75 𝑘𝑚/ℎ 
𝑐) 78 𝑘𝑚/ℎ 
𝑑) 80 𝑘𝑚/ℎ 
𝑒) 84 𝑘𝑚/ℎ 
 
GABARITO – MEDIA HARMÔNICA 
01 C 02 A 03 B