Potenciação e Propriedades

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Capítulo 1
POTENCIAÇÃO
Existe outra forma de representar o produto x.x.x.x.x.x, que 
é x6 (x elevado a sexta potência).
O fator repetido x é denominado base, o número 6, que 
determina o número de vezes que a base se repete, é chamado 
expoente e o resultado fi nal x6 é denominado potência.
Exemplo:
a) 
 Expoente
34 = 8 Potência
 Base
Potenciação Leitura no Quadro Sinóptico Valor
40 Quatro elevado a zero 1
41 Quatro elevado a primeira potência 4
42 Quatro elevado a segunda potência ou quatro elevado ao quadrado 16
43 Quatro elevado a terceira potência ou quatro elevado ao cubo 64
44 Quatro elevado a quarta potência 256
45 Quatro elevado a quinta potência 1.024
.
.
.
.
.
.
.
.
.
etc. etc. etc.
1. Casos especiais de potência
Toda potência de expoente 1 é igual à própria potência.
 Exemplos:
 a) 31 = 3
 b) 
12 2
3 3
    
 
Toda potência de expoente zero é igual ao número 1.
 Exemplos:
 a) x0 = 1
 b) 
03 1
7
   
  
 c) (256)0 = 1
Toda potência de um número positivo resulta em número 
positivo.
 Exemplos:
 a) (+x)2 = +x2
 b) (+3)3 = +27
 c) (+2)3 = +8 
Toda potência de um número negativo resulta em número 
negativo se o expoente for ímpar.
 Exemplos:
 a) (–x)3 = –x3
 b) (–2)3 = –8
 c) (–3)3 = –27 
Toda potência de um número negativo resulta em número 
positivo se o expoente for par.
 Exemplos:
 a) (–x)2 = + x2
 b) (–3)4 = + 81
 c) (–2)6 = + 64
Para toda potência elevada a um expoente negativo 
devemos inverter a base e trocar o sinal do expoente.
 Exemplos:
 
2 2 2
2
2 3 3 9
3 2 42
 
        
   
 
1
1 1 12
2 2

    
 
Toda potência elevada a um expoente fracionário resulta 
em uma raiz, visto que a radiciação é a operação inversa 
da potenciação.
 Exemplo:
 
3 23
2
xx 
 
7 37
3
yy 
 
5
2
5
2
7
3
7
3











UNIDADE 2
ÁLGEBRA ELEMENTAR
68
2. Propriedades das potências
1ª Propriedade
Produto de potência de mesma base: repete-se a base e 
somam-se os expoentes.
Exemplos:
a) x4. x3 = x4 + 3 = x7
b) 32. 38 = 310
c) (a + b)1. (a + b)1 = (a + b)2
d) (x + y)1. (x + y)1. (x + y)1 = (x + y)3
2ª Propriedade
Divisão de potência de mesma base: repete-se a base e 
subtraem-se os expoentes.
Exemplos:
a) x6: x2 = x6 – 2 = x4
b) y2: y5 = y2 – 5 = y–3
c) k2: k–3 = k2 – (–3) = k2 + 3 = k5
d) 
358
3
2
3
2
:
3
2

















3ª Propriedade
Potência de uma potência: multiplicam-se os expoentes, 
repetindo a base.
Exemplos:
a) (x3)4 = x3. 4 = x12
b) 
52 10
3 3x x
 
 
 
c)  
543 60x x     
4ª Propriedade
Potência de um produto ou de um quociente: multiplica-
mos a potência por expoente dos fatores.
Exemplos:
a) (x3. y2)4 = x12. y8
b) (a–2. b+3)–4 = a8. b–12
c) 
32 6
4 12
x x
y y 
 
 
 
d) 
13 3
1
a a
b b
 

 
 
 
3. Potenciação de base 10 com expoente 
positivo
É o número 1 seguido de tantos zeros quantos forem as 
unidades do expoente.
Exemplos:
 a) 100 = 1 b) 

110 10
c) 

210 100 d) 

310 1000
4. Potenciação de base 10 com expoente 
negativo
É o número 1 posposto de tantos zeros quantos forem as unida-
des do expoente acrescido de uma vírgula após o primeiro zero.
Exemplos:
a) 10–1 = 0,1
b) 10–4 = 0,0001
c) 10–2 = 0,01
5. Caso especial de adição e subtração de 
potências de expoentes diferentes
Devemos igualar os expoentes e em seguida adicionar ou 
subtrair as potências.
Exemplos:
a) 67 + 69 = 1 67 + 62  67 = 1  67 + 36  67 = 37  67
b) 912 – 99 = 93  99 – 1  99 = 729  99 – 1  99 = 728 99
Fique Ligado!
Nos exemplos, poderíamos também colocar em evidência a 
potência de menor expoente dividindo todos os termos por 
ela e fazer as operações necessárias em seguida.
Exemplos:
a) 67 + 69 = 67. (1 + 62) = 67. (1 + 36) = 37. 67
b) 912 – 99 = 99 (93 – 1) = 99 (93 – 1) = 99 (729 – 1) = 728. 99
Exercícios Resolvidos
1. Calcule x na potência.
2x. 5x = 1.000
UNIDADE 2
69
Resolução
2x. 5x = 103
(2. 5)x = 103
x 3(10) = 10

x = 3
2x. 5x ou 23. 53
1.000 2







 23Logo: 500 2
250 2
x = 3 125 5







 5325 5
5 5
1
2. Simplifi que
a) 
1212 14 13
16 14 15
33 3 3
3 3 3
 

 
 
Fatorando em
fator comum
2
14
1 3 3
3
 

 
2
22
1 3
33 1 3
 
 
b) 
4(0,0003).(0,24) 3 . 10
(80000).0,0001


. 24 2. 10
8

4 4. 10 . 10
2
6
4
Transformando em
potência de 10
9 . 10 9 . 10
10

 

6. Notação científi ca
• Tem a fi nalidade de representar números muito grandes 
ou extremamente pequenos.
• São números que são colocados na forma do produto 
de dois fatores.
1º fator  É um número x, sendo 1  x  9
2º fator  É uma potência de 10
Exemplos:
a) 2,4. 10–3
b) 8,7. 10–4 etc.
Exercício Resolvido
1. Colocar em notação científi ca:
a) 240000000 = 2,4. 108
b) 0,324 = 3,24. 10–1
c) 693,5 = 6,935. 102
d) 30000 = 3,0. 104
e) 0,00002 = 2,0. 10–5
f) 0,03 = 3,0. 10–2
g) 42,5. 103 = 4,25. 104
h) 325. 104 = 3,25. 106
i) 0,00000007 = 7,0. 10–8
Exercício
1. Colocar na forma de notação científi ca:
a) 0,0000025 = f) 48519 =
b) 0,0031 = g) 20000000000 =
c) 249,3 = h) 0,32 =
d) 3496 = i) 0,0046 =
e) 42,51 = j) 4000 =
Gabarito
1. a) 2,5. 10–6 f) 4,8519. 104
b) 3,1. 10–3 g) 2. 1010
c) 2,493. 102 h) 3,2. 10–1
d) 3,496. 103 i) 4,6. 10–3
e) 4,251. 101 j) 4. 103
Exercícios sobre Potências
1. Calcule transformando em uma só potência.
a) ax. ay = g) bx: by =
b) a6. a3 = h) (45: 42) (45: 43) =
c) k2. k10 = i) (xp. x3): (x2. xp) =
d) k. k = j) 3y + 1: 3y + 2 =
e) 220. 230 = k) (x + y)3. (x + y)4. (x + y)1 =
f) 640: 610 = l) 
32
2
1
:
2
1











 =
2. Calcule:
a) 1500 =
b) 0100 =
c) (x + y)0 =
d) 4010: 4010 =
3. Calcule aplicando a propriedade.
a) 





3
2
1 g)    322
b) 





3
3
2 h)     322
c) 





1
b
a i) 21/2 =
d) 














32
3
2 j) x2/3 =
e) 






















432
2
3 k) 

5
2
k
f) 
322
ÁLGEBRA ELEMENTAR
70
4. Transforme em uma só potência de base 2.
a) (42x + 3)4 = e)   2x 128     
b)  
23x 116      f)   
2x 134
    
c)  
32x 18

     g) 
2x 11
16
     
   
d)  
213x 132
    
5. Transforme em uma só potência de base 3.
a) (81–x – 1) –1 = d) 
x 11
27
 
   
 
b)  
322x 127
     
e) 
12x 11
243

         
     
c) 
2x 21
81
 
   
 
6. Calcule:
a) 815 – 814 = b) 217 + 216 =
c) 820 – 819 = d) 410 – 48 =
7. Identifi car a igualdade verdadeira.
a) 
x
x yya a d) –42 = 16
b) 
1
3 134 4

 e) 
23 4
2 9
   
 
c) 
12 2
7 7
    
 
8. Simplifi que:
 2210 . 0,001 .27
0,3.0,0001.100
9. (ETFQ) Considerando a expressão (6a. 6a. 2a. 3a)2 = 46.656, 
concluímos que o valor numérico de “a” é igual a:
10. (EEAr) A expressão 
 22 7 10
2 3 5
n .n .n
n .(n )

 , para n  0, é igual a:
a) n5 b) n6 c) n–5 d) n12
11. (ETFQ) Calcule o valor de 
2 1 2 4 1 2
2 2 1 2 1 4
a.b .(a .b ) .(a.b )E
a .b.(a .b ) .(a .b)
  
     , 
sendo a = 3 e b = 2.
12. (Faetec) Simplifi que a expressão 
12 13 23
2 0
(2) .(2) : (2)
(2) (2)
.
a) 1 b) 28/3 c) 4/3 d) 0 e) 3/4
13. (EEAr/2001) Dados os números racionais m = 0,03. 10–20, 
k = 0,3. 10–21, P = 300. 10–22, é correto afi rmar que:
a) m < k < P b) m = k > P 
c) k < m < P d) m = k < P
14. (EEAr/2001) Efetuando 
4 23
5 0542 3.( 1 ) 5
 
    
 
, obtemos:
a) 10 b) 12 c) 4 d) –12
15. (UFF/2000) A expressão 
10 20 30
20 30 40
10 10 10
10 10 10
 
 
 é equivalente a:
a) 1 + 1010 d) 1010
b) 
1010
2
 e) 
1010 1
2

c) 10–10 
Sugestão
Fatorar o numerador e o denominador por fator comum.
16. (EPJV/2003) Em sua tese de doutorado, Albert Eistein 
calculou, a partir de dados experimentais, o diâmetro de 
uma molécula de açúcar: aproximadamente um nanômetro. 
Com a extensão de 10átomos de hidrogênio colocados 
lado a lado, o nanômetro corresponde a um milésimo do 
comprimento de uma bactéria típica, um milionésimo da 
ponta de um alfi nete, um bilionésimo do metro.
 Com os dados do texto, podemos afi rmar que o diâmetro 
do átomo de hidrogênio mede:
a) 10–7 m d) 10–10 m
b) 10–8 m e) 10–11 m
c) 10–9 m 
17. (EEAr/2003 – Adaptado) O valor da raiz da equação 
2x + 1 + 2x – 1 = 40 é um número:
a) inteiro positivo.
b) Irracional.
c) inteiro negativo.
d)  solução em R.
18. (CN/2003) Dada a equação (x2 + 1)2 + (x2 + 3x – 17)2 = 0, 
pode-se afi rmar que, no universo dos números reais, o seu 
conjunto solução é:
a) vazio.
b) tem apenas um elemento.
c) tem apenas dois elementos.
d) tem apenas três elementos.
e) tem apenas quatro elementos.
UNIDADE 2
71
Sugestão
Potência de base positiva ou negativa elevada ao 
quadrado sempre será positiva.
Não existem dois números que elevados ao quadrado 
e somados em seguida resultem em zero.
19. (CTUR/2003) O valor da expressão 
7 7 7 7 7 7
3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
4 4 4 4
    
  
 é:
a) 3 b) 2 c) 12 d) 3/4 e) 4
Sugestão
27 + 27 + 27 + 27 + 27 + 27 = 6. 27 = 3. 28
43 + 43 + 43 + 43 = 4. 43 = 44 = 28
20. (EEAr/2002) Se a2 = 996, b3 = 997 e c4 = 998, então (abc)12 
é igual a:
a) 9912 b) 9921/2 c) 9928 d) 9988
Sugestão
a2 = 996 = elevar a 6ª potência.
b3 = 997 = elevar a 4ª potência.
c4 = 998 = elevar a 3ª potência.
Em seguida, multiplicar as três equações. 
21. (EEAr/2003) Se 8x – 9 = 16x/2, então x é um múltiplo de:
a) 2 b) 3 c) 5 d) 7
Sugestão
Passar 8 e 16 para base 2.
22. (EAM/2003) O presidente Jacques Chirac, da França, foi 
eleito com 32 milhões de votos e Luiz Inácio Lula da Silva, 
com 52 milhões. Se x é a metade da diferença de votos 
entre os dois presidentes, então x. 10–4 é igual a:
a) 100 d) 100.000
b) 1.000 e) 1.000.000
c) 10.000 
23. (Unifi cado) O número de algarismos do produto 517. 49 é 
igual a:
a) 17 b) 18 c) 26 d) 34 e) 35
Sugestão
Devemos procurar transformar esse produto em uma 
potência de base 10
517. (22)9 = 517. 218 = 517. 217. 2 = (10)17. 2
24. (UNI-Rio) Se P = 
20,00001. (0,01) . 10000
0,0001 , então:
a) P = 0,1 d) P = (0,1)4
b) P = (0,1)2 e) P = (0,1)5
c) P = (0, 1)3 
25. (Escola Naval/2005) O valor de 2 26 x y  onde 
x e y são números inteiros que satisfazem a equação 
2x + 1 + 2x = 3y + 2 – 3y é:
a) 8 b) 3 c) 11 d) 14 e) 4
Sugestão
2x. 21 + 2x = 3y. 32 – 3y
2x(2 + 1) = 3y(32 – 1)
x
y
2 9 - 1=
2 +13
x 3
y 1
2 2=
3 3
26. (Cefet/2004) Sendo a0,123 = 5; a0,369 é igual a:
a) 50,248 b) 5/3 c) 3 5 d) 15 e) 125
27. (EEAr/2005) Decompondo-se o número natural 3.500 em 
fatores primos a, b, c, obtém-se o produto am. bn. cp. Se 
a < b < c, então é falso afi rmar que:
a) m + p + n c) n – m = p
b) mn = m + n + p d) n: m = p
Sugestão
Atenção: 2 3 1
Já está na ordem
a < b < c
3.500 = 2 . 5 . 7
28. (Cefet/2005) Um livro tem 3 cm de espessura desprezando-
-se a capa. Considerando-se que o livro tem um total de 200 
folhas, a espessura, em metros, de uma folha desse livro é:
a) 1,5. 10–2 d) 6. 10–4
b) 6. 10–2 e) 1,5. 10–3
c) 1,5. 10–4 
Sugestão
e = 0,03/200
29. (EPJV/2006) Um mol de objetos indica 602 000 000 000 
000 000 000 000, isto é, 602 sextilhões de objetos. Este 
número que vamos chamar de A é conhecido como número 
de Avogadro, em homenagem ao físico italiano Amadeu 
Avogadro (1776-1856). Com base nessas informações, 
indique qual dos números a seguir é a metade de A.
a) 6,02. 1011 d) 3,01. 1022
b) 6,02. 1012 e) 3,01. 1023
c) 3,01. 1018 
ÁLGEBRA ELEMENTAR
72
30. (Cefet/Discursiva/2005) Um adulto apresentava um quadro 
de anemia com 3,5 bilhões de glóbulos vermelhos por litro 
de sangue. Determine, em notação científi ca, a quantidade 
de glóbulos vermelhos deste adulto considerando que ele 
tem 5.400 ml de sangue.
 
Sugestão
Fazer a regra de três
3,5. 109 glóbulos vermelhos 1
 x 5,4
31. (UFF/2006) O nanômetro é a unidade de medida de com-
primento usada em Nanotecnologia (“nano”), vem do grego 
e signifi ca “anão”.
 Sabe-se que um metro equivale a 1 bilhão de nanômetros.
 Considerando o diâmetro da terra com 13.000 km, conclui-
se que a medida do diâmetro da terra, em nanômetro, é 
igual a:
a) 1,3. 1016 d) 1,3. 109
b) 1,3. 10–16 e) 1,3. 104
c) 1,3. 10–4 
Sugestão
Passar 13.000 km para metros e, em seguida, multi-
plicar por 109.
32. (Cefet/2007) O quociente de 5050 por 2525 é igual a:
a) 2525 b) 1025 c) 10025 d) 225 e) 2. 2525
Sugestão
Passar para potência de base 5 o que puder do nume-
rador e do denominador.
33. (Cefet/2007) Calcule o valor da expressão
 
2
3
101 80 0
8 2. 2
9 3E 2( 1) ( 1) ( 1)
3

    
 
     
34. (Cefet/2ª Fase/2007) A intensidade da força F de ação 
mútua entre duas cargas elétricas puntiformes Q1 e Q2 é 
diretamente proporcional ao produto do valor dessas car-
gas e inversamente proporcional ao quadrado da distância 
“d” que as separa. Esse enunciado é conhecido como Lei 
de Coulomb e pode ser escrito da seguinte forma:
1 2
0 2
Q . QF K
d
 
 Em que K0 é uma constante de proporcionalidade que 
depende do meio onde estão as cargas. Determine a 
intensidade da força F, sabendo-se:
K0 = 9. 109
Q1 = 2,5. 10–6
Q2 = 10–6
d = 0,01
35. (Magistério Município-RJ/2007) O número 10100 é deno-
minado gugol, que se representa por G. O número de 
algarismos da potência GG é:
a) 1.001 algarismos. c) 101001 + 1 algarismos.
b) 2.001 algarismos. d) 10102 + 1 algarismos.
Sugestão
Sabemos que:
100 = 1  1 algarismo
101 = 10  2 algarismos
102 = 100  3 algarismos
10k = (k + 1) algarismo
G = 10100 e pede-se GG =  
1001010010
• Pela propriedade da potência, de potência, temos:
 
100 100 100 210100 10 .100 10 .1010 = 10 = 10
• 10100 tem 101 algarismos (o número 1 seguido de 
cem zeros)
• 102 tem 3 algarismos (o número 1 seguido de dois 
zeros), portanto:
100 210 .1010 = 10(101 algarismos). (100) = 10103 algarismos
• 10103 = 104 algarismos
36. (UFRRJ/2008) Os indianos tinham uma paixão por números 
longos. Em textos de literatura védica datados de 1500 
a.C. a 500 a.C., cada uma das potências de dez até um 
trilhão recebia um nome diferente. No mundo ocidental, 
tais nomes específi cos começaram a ser de uso comum 
séculos depois, embora operações com grandes números 
sejam frequentes.
 Sabe-se que o algarismo das unidades de uma potência 
inteira positiva de 10 é sempre 0. Observando as potências 
inteiras positivas de 11, por exemplo, percebe-se que o 
algarismo das unidades é sempre 1.
Considere as potências inteiras positivas do número 3.
O algarismo das unidades do número 32007 é:
a) 9 b) 3 c) 1 d) 5 e) 7
Sugestão
Pela propriedade da potência, temos:
 
5002.077 2.000 7 4 500 73 = 3 .3 = (3 ) .3 == (81) .(2.187) .......1 .(2.187)
 O fi nal do desenvolvimento
 desta potência é igual a um
UNIDADE 2
73
37. (UFF/2009) 
 Admitindo-se que um DVD comum é capaz de armazenar 
4 gigabytes (na verdade, ele armazena um pouco mais), 
então o número de DVDs necessários para se armazenar 
3 petabytes é:
a) menor que 217 e maior que 216.
b) maior que 220.
c) menor que 219 e maior que 218.
d) menor que 218 e maior que 217.
e) menor que 220 e maior que 219.
Sugestão
Pelo enunciado:
1 DVD = 4 gigabytes
3 Petabyte = 3. 220 gigabytes
Fazer a regra de três:
1 DVD _____ 4 gigabytes
x DVD _____ 3. 220 gigabytes

20 20
2
3 . 2 1,5 . 2 . 2x = x =
4 2
38. (Enem/2010) 
Técnicos concluem mapeamento do aquífero Guarani
 O aquífero Guarani localiza-se no subterrâneo dos territó-
rios da Argentina, Brasil, Paraguai e Uruguai, com exten-
são total de 1.200.000 quilômetros quadrados, dos quais 
840.000 estão no Brasil. O aquífero armazena cerca de 30 
mil quilômetros cúbicos de água e é considerado um dos 
maiores do mundo.
 Na maioria das vezes em que são feitas referências à 
água, são usadas as unidades metro cúbico e litro e não 
as unidades já descritas. A Companhia de Saneamento 
Básico do Estado de São Paulo (SABESP) divulgou, por 
exemplo, um novoreservatório cuja capacidade de arma-
zenagem é de 20 milhões de litros.
 Comparando as capacidades do aquífero Guarani e des-
se novo reservatório da Sabesp, a capacidade do aquífe-
ro Guarani é:
a) 1,5 x 10² vezes a capacidade do reservatório novo.
b) 1,5 x 10³ vezes a capacidade do reservatório novo.
c) 1,5 x 106 vezes a capacidade do reservatório novo.
d) 1,5 x 108 vezes a capacidade do reservatório novo.
e) 1,5 x 109 vezes a capacidade do reservatório novo.
Sugestão
• 30.000 km³ = 3  104 109 = 3  1013 m3 = 3  1013 
103 = 3  1016 litros.
• No novo reservatório, temos: 20.000.000 litros = 
2  107 litros.
• Dividir o 1º pelo 2º resultado.
39. (Enem/2010) A resolução das câmeras digitais modernas 
é dada em megapixels, unidade de medida que represen-
ta um milhão de pontos. As informações sobre cada um 
desses pontos são armazenadas, em geral, em 3 bytes. 
Porém, para evitar que as imagens ocupem muito espa-
ço, elas são submetidas a algoritmos de compressão, que 
reduzem em até 95% a quantidade de bytes necessários 
para armazená-las. Considere 1 KB = 1.000 bytes,
 1 MB = 1.000 KB, 1 GB = 1.000 MB.
 Utilizando uma câmera de 2.0 megapixels cujo algoritmo 
de compressão é de 95%, João fotografou 150 imagens 
para seu trabalho escolar. Se ele deseja armazená-las de 
modo que o espaço restante no dispositivo seja o menor 
espaço possível, ele deve utilizar:
a) um CD de 700 MB.
b) um pendrive de 1 GB.
c) um HD externo de 16 GB. 
d) um memory stick de 16 MB.
e) um cartão de memória de 64 MB.
Sugestão
• 1 megapixel = 1.000.000 de pontos = 3.000.000 de 
bytes.
• 2 megapixels = 2.000.000 de pontos = 6.000.000 de 
bytes.
• Reduzindo → 5
100
 6.000.000 = 300.000 bytes.
• 300.000 bytes = 300 KB.
• Multiplicando por 150, temos:
 300 Kb  150 = 45.000 KB.
• 300.000 bytes = 0,3 MB.
 0,3 . 150 = 45 MB.
Texto para as questões 40 e 41
A população mundial está fi cando mais velha, os índices de 
natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No 
gráfi co seguinte, são apresentados dados obtidos por pesqui-
sa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a 
respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em 
todo o mundo. Os números da coluna da direita representam 
as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões 
de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, 
número entre 10% e 15% da população total nos países de-
senvolvidos.
ÁLGEBRA ELEMENTAR
74
40. (Enem/2010) Em 2050, a probabilidade de se escolher, 
aleatoriamente, uma pessoa com 60 anos ou mais de 
idade, na população dos países desenvolvidos, será um 
número mais próximo de:
a) 1
2
b) 7
20
c) 8
25
d) 1
5
e) 3
25
Sugestão
• Ver sugestão do exercício posterior.
• x = 50 => ano 2050.
• Substituindo x.
 y = 363  e 0,03  50 .
 y = 363  (e0,3)0,1  50 .
 y = 363  (e0,3)5 .
 y = 363  (e0,3)5 .
• Probabilidade = 461
y
 ou pelo gráfi co, percebemos 
 que: 30% < P < 35%.
41. (Enem/2010) Suponha que o modelo exponencial y = 
363e0,03x, em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 
1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e 
que y é a população em milhões de habitantes no ano x, 
seja usado para estimar essa população com 60 anos ou 
mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 
e 2050. Desse modo, considerando e0,3 = 1,35, estima-se 
que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, 
entre:
a) 490 e 510 milhões.
b) 550 e 620 milhões.
c) 780 e 800 milhões.
d) 810 e 860 milhões.
e) 870 e 910 milhões.
Sugestão
• Pelo anunciado, temos:
 X = 0  ano 2000
 X = 1  ano 2001
 X = 30  ano 2030
• Temos também pelo anunciado:
 y = 363  e0,03x e substituindo x = 30, teremos:
 y = 363  e0,03 � 30 
• Importante:
 e0,9 = (e0,3)3 
42. (EPCAr/2011) Simplifi cando a expressão 
 S = 
2 22 2
3
3 2
1
2 2 2 3
2
2 3 3
(x ) ( x )
x ( x )

     
   
, onde x � 0, x � 1 e x � - 1, 
 obtém-se:
a) -x-94 c) x94
b) x-94 d) -x94
Sugestão
Desenvolvendo as potências acima, temos:
( ) ( )
( )
   

 
2 16 2 81
8 3 72
x xS
x x
x ( )  


32 162
8 216
xS
x x
43. (Enem/2011) Um dos grandes problemas da poluição dos 
mananciais (rios, córregos e outros) ocorre pelo hábito 
de jogar óleo utilizado em frituras nos encanamentos que 
estão interligados com o sistema de esgoto. Se isso ocor-
rer, cada 10 litros de óleo poderão contaminar 10 milhões 
(107) de litros de água potável.
 Manual de etiqueta. Parte integrante das revistas Veja (ed. 2055), Cláudia 
(ed. 555), National Geographic (ed. 93) e Nova Escola (ed. 208) (adaptado).
 Suponha que todas as famílias de uma cidade descartem 
óleos de frituras através dos encanamentos e consumam 
1 000 litros de óleo em frituras por semana.
 Qual seria, em litros, a quantidade de água potável conta-
minada por semana nessa cidade?
a) 10-2. 
b) 103. 
c) 104.
d) 106.
e) 109.
Gabarito
1. a) ax + y
b) a9
c) k12 
d) k2
e) 250
f) 630
g) bx – y
h) 45
i) x 
j) 3–1
k) (x + y)8 
l) 2
2. a) 1
b) 0
c) 1
d) 1
UNIDADE 2
75
3. a) 8
b) 27/4
c) b/a
d) 26/36
e)
243
2
 
 
 
f) –256
g) 256
h) 64
i) 2
j) 3 2x
k)
5 3
5 2
1 kou
kk
4. a) 216x + 24 
b) 2–24x + 24
c) 2–18x – 18
d) 2–30x + 10
e) 2–12x + 12 
f) 2–12x + 12
g) 2–8x – 8
 
5. a) 34x + 4
b) 3–36x + 18
c) 38x – 8
d) 33x – 3
e) 3–10x + 10
6. a) 7. 814
b) 3. 216
c) 7. 819 
d) 15. 48
7. e) 4/9
8. 9. 10–1
9. a = 1
10. c) n–5
11. E = 96
12. c) 4/3
13. d) m = k < P
14. c) 4
15. c) 10–10
16. d) 10–10 m
17. a) inteiro positivo
18. a) vazio
19. a) 3
20. d) 9988
21. b) 3
22. b) 1.000
23. b) 18
24. a) P = 0,1
25. e) 4
26. e) 125
27. d) n: m = p
28. e) 1,5. 10–3
29. e) 3,01. 1023
30. 1,89. 1010 glóbulos vermelhos
31. a) 1,3. 1016
32. c) 10025
33. E = –51/8
34. F = 2,25
35. d) 10102 + 1 algarismo.
36. e) 7
37. e) menor que 220 e maior que 219.
38. e)
39. e)
40. c)
41. e)
42. a) –x-94
43. e) 109
Capítulo 1
PRODUTOS NOTÁVEIS
Existem alguns produtos que aparecem frequentemente em 
álgebra, aritmética e geometria; por essa razão, regras especiais 
foram criadas para trabalhar com eles.
Calcular produtos notáveis é transformar um produto de 
fatores em uma adição de parcelas.
1º Caso
O quadrado da soma de dois termos (a + b)2.
Regra:
O quadrado do primeiro termo mais duas vezes o produto 
do primeiro pelo segundo termo mais o quadrado do 
segundo termo.
Exemplos:
a) (a + b)2 = a2 + 2 . a . b + b2
 Dica:
 (10 + 20)2 = (10)2 + 2 . 10 . 20 + (20)2
b) (x + 6)2 = x2 + 2 . x . 6 + 62 = x2 + 12x + 36
c) (x3 + 4)2 = (x3)2 + 2 . x3 . 4 + 42 = x6 + 8x3 + 16
2º Caso
O quadrado da diferença de dois termos (a – b)2.
Regra:
O quadrado do 1º termo menos duas vezes o produto 
do primeiro pelo segundo termo mais o quadrado do 
segundo termo.
Exemplos:
a) (a – b2) = a2 – 2 . a . b + b2
 Dica:
 (10 – 20)2 = (10)2 – 2 . 10 . 20 + (20)2
b) (3x – 5)2 = (3x)2 – 2 . 3x . 5 + 52 = 9x2 – 30x + 25
3º Caso
O quadrado da soma ou a diferença de três termos 
(a + b + c)2.
Separar os três termos em dois. Em seguida, aplicar regra 
do 1º ou 2º caso duas vezes.
Exemplos:
a) (a + b + c)2 = [(a + b) + c]2
 (a + b + c)2 = [(a + b)]2 + 2 . (a + b) . c + c2]
 (a + b + c)2 = [a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2]
 Logo:
 (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)
Dica:
(a + b + c)2 = (10)2 + (20)2 + (30)2 + 2 . (10 . 20 + 10 . 30 + 20 . 30)
   
 1º 2º 3º
Exercício Resolvido
1. Calcule pela fórmula:
 (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)
 a) (x + 2y – 3)2 
Resolução
x2 + (2y)2 + (–3)2 + 2.[x . 2y + x . (–3) + 2y . (–3)]
(x + 2y – 3)2 = x2 + 4y2 + 9 + 4xy – 6x – 12y
4º Caso
O produto da soma pela diferença de dois termos ou vice-
-versa (a + b) (a – b).
Regra:
O quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo 
termo.
Exemplos:
a) (a – b) . (a + b) = a2 – b2
 Dica:
 (10 . 20) . (10 + 20) = (10)2 – (20)2
b) (6x3 + 3y) . (6x3 – 3y)
 = (6x3)2 – (3y)2 = 36x6 – 9y2
5º Caso
Produto tipo (a + b)m . (a – b)m.
Regra:
O quadrado do primeiro termo menos o quadrado do 
segundo termoelevado ao expoente comum “m”.
UNIDADE 3
ÁLGEBRA ELEMENTAR
78
Exemplos:
a) (a + b)m . (a – b)m = (a2 – b2)m
 Dica:
 (10 + 20)m . (10 – 20)m = [(10)2 – (20)2]m
        
800800 800 2 2
3 2 . 3 2 3 2      
 =
 = (3 – 2)800 = 1800 = 1
b) (a + b)3 . (a – b)3 = 
 
(a + b) . (a + b) . (a + b) . (a – b) . (a – b) . (a – b)
(a2 – b2)
(a2 – b2)
(a2 – b2)
 Logo:
 (a + b)3 . (a – b)3 = (a2 – b2)3
 (a – b2)1 . (a2 – b2)1
 (a + b)3 . (a – b)3 = (a2 – b2)3
6º Caso
Produto tipo (xn + p) . (xn + q).
Exemplos:
a) (xn + p) . (xn + q) = x2n + (p + q)xn + p . q
b) (x – 4) . (x + 1) = x2 . 1 + (–4 + 1) x (–4) . (+1)
 (x – 4) . (x + 1) = x2 – 3x – 4
c) (x3 + 8) . (x3 – 5) = x2 . 3 + (8 – 5)x3 + (+8) . (–5)
 (x3 + 8) . (x3 – 5) = x6 + 3x3 – 40
7º Caso
Produto tipo (a + b) . (a2 – a . b + b2).
Exemplos:
a) (a + b) . (a2 – a . b + b2) = a3 + b3
 Dica:
 (10 + 20) . [(10)2 – 10 . 20 + (20)2] = (10)3 + (20)3
b) (2x + 5) . (4x2 – 10x + 25) = (2x3) + 53
 (2x + 5) . (4x2 – 10x + 25) = 8x3 + 125
8º Caso
Produto tipo (a – b) . (a2 + a . b + b2).
Exemplos:
a) (a – b) . (a2 + a . b + b2) = a3 – b3.
 Dica:
 (10 – 20) . [(10)2 + 10 . 20 + (20)2] = (10)3 – (20)3
b) (3x – 2) . (9x2 + 6x + 4) = (3x)3 – 23
 (3x – 2) . (9x2 + 6x + 4) = 27x3 – 8
9º Caso
O cubo da soma de dois termos (a + b)3.
Regra:
O cubo do primeiro termo mais o triplo do quadrado do 
primeiro pelo segundo termo mais o triplo do primeiro pelo 
quadrado do segundo termo, mais o cubo do segundo 
termo.
Exemplos:
a) (a + b)3 = a3 + 3a2 . b + 3ab2 + b3
 Dica:
 (10 + 20)3 = (10)3 + 3 . (10)2 . 20 + 3 . 10 (20)2 + (20)3
b) (3x + 4)3 = (3x)3 + 3 . (3x)2 . 4 + 3 . 3x . 42 + 43
 3x + 4 = 27x3 + 108x2 + 144x + 64
10º Caso
O cubo da diferença de dois termos (a – b)3.
Regra:
O cubo do primeiro termo menos o triplo do quadrado 
do primeiro pelo segundo termo mais o triplo do primeiro 
pelo quadrado do segundo termo menos o cubo do 
segundo termo.
Exemplos:
a) (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3a . b2 – b3
 (10 – 20)3 = (10)3 – 3 . (10)2 . 20 + 3 . 10 (20)2 – (20)3
b) (2x – 1)3 = (2x)3 – 3 . (2x)2 . 1 + 3 . 2x . 12 – 13
 (2x – 1)3 = 8x3 – 12x2 + 6x – 1
Exercícios
1. Desenvolva os produtos notáveis:
a) (x + 3)2 
b) (3x + 5)2 
c) (2x3 + 1)2
d) (a2 + b2)2
2. Calcule os produtos notáveis:
a) (x – 1)2 
b) (3x – 2)2 
c) (3x3 – 1)2
d) (2ab – a)2
UNIDADE 3
79
3. Desenvolva os produtos notáveis:
a) (3x + 2y + z)2 
b) (3a – 2b – 4c)2 
4. Calcule os produtos notáveis:
a) (2ab – x) . (2ab + x) 
b) (3a + 1) . (3a – 1) 
c) (4ab – 2) . (4ab + 2) 
d) (5a2x3 – 4) . (5a2x3 + 4) 
5. Resolva os produtos notáveis:
a)    13 135 2 . 5 - 2 
b)    3 37 - 5 . 7 5 
c)    
3 32 2 2 2x - y . x y 
d)    
2 22 3 2 3k - 2b . k 2b 
6. Desenvolva os produtos notáveis:
a) (x – 6) . (x + 9) 
b) (y + 5) . (y – 4) 
c) (x + 3) . (x + 1)
d) (y – 6) . (y + 5)
7. Desenvolva os produtos notáveis:
a) (x + a) (x2 – ax + a2) 
b) (x + 5) (x2 – 5x + 25)
c) (2x + 3a) (4x2 – 6ax + 9a2) 
d) (x – 6) (x2 + 6x + 36) 
8. Calcule os produtos notáveis:
a) (x + 2)3 
b) (2x + 4)3 
c) (3x – 1)3
d) (4x5 – 2)3
9. A expressão   3 32 23 3 3a b a ab b   equivale a:
a) a3 – b3 
b) a – b 
c) a3 + b3
d) (a + b)3
10. (EPCAr) Encontre a expressão correspondente a M – N, 
considerando A = x3 + M + 8 como cubo de uma soma e 
B = x3 + N – 27 como cubo de uma diferença:
a) 18x(x + 1) 
b) 15x(x – 1) 
c) 3x(13 – x) 
d) 2x(x – 3)
e) 2x(13 – x)
 
Sugestão
Desenvolver (x + 2)3 e igualar a “A”.
Desenvolver (x – 3)3 e igualar a “B”.
11. (EsSA) A expressão (a + b)2 . (a – b)2 é equivalente a:
a) a4 – b4 
b) a4 + b4 
d) a4 – 2a2b2 + b4
c) a4 + 2a2b2 + b4 
e) a4 – 2a2b2 – b4
Sugestão
(a + b)2 . (a – b)2 = [(a + b)(a – b)]2 = [a2 – b2]2
12. (Cefet) O resultado de  2x 2  é:
a) 2x 2 x 2  
b) 2x 2 2x 2  
c)   x 2 x 2 
d) x2 – 2
e) x2 + 2
 
13. (EsSA) Sendo  89x 2 3  e  
89
y 2 3  , então o 
procedimento x . y é igual a:
a)  894 2 3 
b) 290 
c) 1 
d) 2198
e)  894 2 3
Sugestão
Idem à questão 11.
14. (EsSA) A forma simplifi cada da expressão (x – y)2 – (x + y) 
(x – y) é:
a) –2xy 
b) 2xy 
c) 2x2 – 2xy 
d) y2 – 2xy
e) 2y (y – x)
15. (Cefet) O produto (a + b)2 (a – b)2 é igual a:
a) (a2 – b2)2 
b) a4 – b4 
c) (a – b)4 
d) (a2 – 2ab + b2)2
e) (a2 + b2) (a2 – b2)
ÁLGEBRA ELEMENTAR
80
Gabarito
1. a) x2 + 6x + 9 
b) 9x2 + 30x + 25 
 c) 4x6 + 4x3 + 1
d) a4 + 2a2b2 + b4
2. a) x2 – 2x + 1 
b) 9x2 – 12x + 4 
 c) 9x6 – 6x3 + 1
d) 4a2b2 – 4a2b + a2
3. a) 9x2 + 4y2 + z2 + 12xy + 4yz + 6xz
b) 9a2 + 4b2 + 16c2 – 12ab + 16bc – 24ac
4. a) 4a2b2 – x2 
b) 9a2 – 1 
 c) 16a2b2 – 4
d) 25a4x6 – 16
5. a) 1 
b) 8 
 c) x12 – 3x8y4 + 3x4y8 – y12
d) k8 – 8k4b6 + 16b12
6. a) x2 + 3x – 54 
b) y2 + y – 20 
 c) x2 + 4x + 1
d) y2 – y – 30
7. a) x3 + a3 
b) x3 + 125 
 c) 8x3 + 27a3
d) x3 – 216
8. a) x3 + 6x2 + 12x + 8
b) 8x3 + 48x2 + 96x + 64
c) 27x3 – 27x + 9x – 1
d) 64x15 – 96x10 + 48x5 – 8
9. b) a – b
10. d) 2x (x – 3)
11. d) a4 – 2a2b2 + b4
12. 2x 2 2x 2 
13. c) 1
14. e) 2y (y – x) 
15. a) (a2 – b2)2
Capítulo 2 
FATORAÇÃO
1. Fatoração de um polinômio
É a transformação de duas ou mais parcelas em um produto 
de dois ou mais fatores.
Exemplo:
2x + 6 = 2(x + 3) 
2. Fatoração de um monômio
É a transformação de um número com ou sem variáveis em 
dois ou mais fatores.
Exemplos:
a) 6 = 2 . 3
b) 15x2 = 3 . 5 . x . x
c) 8x2y3 = 2 . 2 . 2 . x . x . y . y . y
1º Caso: Fator Comum
É formado pelo m.d.c. (máximo divisor comum) entre os coe-
fi cientes e/ou pelas variáveis comuns com menores expoentes.
Colocamos o fator comum em evidência (em destaque) e, em 
seguida, dividimos todos os termos do polinômio por ele mesmo.
Exemplos:
Fatore:
a) 6x3y5 – 9x2y8 + 12x6y7 = 3x2y5 . (2x – 3y3 + 4x4y2)
 Fator comum: 3x2y5
b) x3 + x2 + x = x(x2 + x + 1)
 Fator comum: x
c) 2x2 + 4y = 2(x2 + 2y)
 Fator comum = 2
2º Caso: Agrupamento
Agrupamos os termos de dois em dois, três em três etc. e 
aplicamos a regra do fator comum duplamente.
Exemplos:
a) 6xy2 – 3xy – 4y + 2 = 3xy (2y – 1) – 2(2y – 1) = 
 (2y – 1) (3xy – 2)
b) 2a + 2b + 2c + ax + bx + cx =
 2(a + b + c) + x(a + b + c) = (a + b + c) (2 + x)
3º Caso: Diferença de dois quadrados (a2 – b2)
Ver 3º caso de Produtos Notáveis.
UNIDADE 3
81
Exemplos:
a) a2 – b2 = (a – b) (a + b)
 
2 2a a e b b 
b) 9x2 – 16y2 = (3x – 4y) (3x + 4y)
 
2 29x 3x e 16y 4y 
c) (5x – a)2 – (5k + b)2 = [(5x – a) – (5k + b)]
 [(5x – a) + (5k + b)]
d) (x4 – 1) = (x2 – 1) (x2 + 1) = (x – 1) (x + 1) (x2 + 1)
4º Caso: Trinômio do quadrado perfeito
ax2 + bx + c(a, b e c)  0, a e c são quadrados perfeitos e 
b 2. a.c 
Exemplos:
a) x2 + 2xy + y2 = (x + y)
 
2 2x x e y y 
b) 9x2 – 24x + 16 = (3x – 4)2
 
29x 3x e 16 4 
5º Caso: Trinômio do 2º grau
Tipo ax2 + bx + c, sendo a = 1, b e c  0
Ver 6º caso de produtos notáveis, tipo (xn + p) (xn + q).
Exemplos:
a) x2 – 8x + 12 = ?
 
Fique Ligado!
Ver todas as possibilidades do produto de dois núme-
ros que seja 12.
1ª possibilidade 12 e 1  12 . 1 = 12
2ª possibilidade 3 e 4  3 . 4 = 12
3ª possibilidade 2 e 6  2 . 6 = 12
 Selecionar a possibilidade em que a soma ou a diferença 
entre os dois números seja igual à soma 8, no caso a 3ª, 
pois 6 + 2 = 8.
 Logo: x2 – 8x + 12 = (x – 2) (x – 6)
b) x4 – 2x2 – 15 = (x2 + 3) (x2 – 5)
 1ª possibilidade: 15 e 1 (não serve)
 2ª possibilidade: 3 e 5 (serve)
6º Caso: Trinômio do 2º grau 
Tipo: (ax2 + bx + c) a, b e c  0 e a  1
Exemplos:
a) 6x2 + 8x – 8 = ?
 Transformar o termo central em dois termos sem alterar 
o polinômio e tentar uma fatoração por agrupamento.
 Logo:
 
2 26x 8x 8 6x 12x 4x 8     

 6x2 + 8x – 8 = 6x (x + 2) – 4(x + 2) = (x + 2) (6x – 4)
b) 12x2 – 10x + 2 = 12x2 – 4x – 6x + 2
 12x2 – 10x + 2 = 4x (3x – 1) – 2 (3x – 1)
 12x2 – 10x + 2 = (3x – 1) (4x – 2)
7º Caso: A soma de dois cubos (a3 + b3)
Ver 7º caso de produtos notáveis.
Exemplos:
a) a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
 Dica:
 (10)3 + (20)3 = (10 + 20) [(10)2 – 10 . 20 + (10)2]
b)8x3 + 125 = (2x + 5) (4x2 – 10x + 25)
 
3 3 38x 2x e 125 5 
8º Caso: A diferença de dois cubos (a3 – b3) 
Ver 8º caso de Produtos Notáveis.
Exemplos:
a) a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
 Dica:
 (10)3 – (20)3 = (10 – 20) [(10)2 + 10 . 20 + (20)2]
b) 64k6 – 8x3 = (4k2 – 2x) (16k4 + 8k2x + 4x2)
 
3 36 2 364k 4k e 8x 2x 
Casos Especiais de Fatoração
Ver 9º caso de Produtos Notáveis.
I. a) a3 + 3a23ab2 + b3 = (a + b)3
 
3 33 3a a e b b 
ÁLGEBRA ELEMENTAR
82
 b) 8a3 – 12a2 + 6a – 1 = (2a – 1)3
 
3 38a 2a e 1 1 
II. n  1 e n = ímpar
 yn + 1 = (y + 1) (yn–1 – yn–2 + yn–3 – yn–4, ..., + yn–n)
 Exemplo:
 y7 + 1 = (y + 1) (y6 – y5 + y4 – y3 + y2 – y + 1)
III. n  1 e n = ímpar
 yn – 1 = (y – 1) (yn–1 + yn–2 + yn–3 + yn–4, ..., + yn–n)
 Exemplo:
 y5 – 1 = (y – 1) (y4 + y3 + y2 + y + 1)
Exercícios
1. Fatore os polinômios:
a) 6x3y2 + 9x2y + 12x4y6 
b) x6 – x5 + x4 – x3 – x2 
c) (x + 1)b + (x + 1)c + (x + 1)d 
d) (x + 3)3y + (x + 3)1k 
2. Decomponha em fatores:
a) x3 + x2 – x – 1 b) ax2 + ay + kx2 + ky
3. Fatore os binômios:
a) 9 – a2 c) 4a4b4 – 9a6b6 
b) x8 – 1 d) 25x4 – 1
4. Fatore:
a) 6x2 + 13x + 6 b) 3x2 + 10x + 8
5. Fatore:
a) x2 + 6x + 9 c) 4 – 12x + 9x2 
b) 16x4 + 24x2 + 9 d) 1 – 10x2 + 25x4
6. Transforme em produto:
a) x2 + 9x – 10 c) x2 – 12x + 27 
b) x2 – 4x – 12 d) x2 – 10x – 11
7. Fatore:
a) x3 + 9x2 + 27x + 9 b) 27x3 – 81x2 + 81x – 27
8. Transforme em produto:
a) a3 + 64 b) 27 + 8a6 c) 125 – a3
9. Transforme em um produto de dois fatores:
a) y9 + 1 b) y9 – 1
10. Sendo a = x2 – 2x + 1, pode-se afi rmar que a2 – 2a + 1 é 
igual a:
a) x2(8x – 2) d) x2(x – 2)2
b) 64x2(2x – 1)2 e) 8x2(2x – 1)
c) x3(x – 1)2 
11. A expressão (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) (a3 + b3) equivale a:
a) (a + b)6 c) (a + b)4 . (a2 – ab + b2)
b) a6 + b6 d) (a – b)5
12. Sendo (x3 – a3) = 4 e x2 + ax + a2 = 2.
Calcule x – a:
a) 3 b) 2 c) 1 d) 4
Sugestão
Fatorar (x3 – a3).
13. Sendo x + y = 3 e x2 – xy + y2 = 5. 
 Calcule x3 + y3:
a) 10 b) 3 c) 5 d) 15
Sugestão
Fatorar (x3 + y3).
14. (UFPR) Se 2x + 2–x = 3, o valor de 8x + 8–x é:
a) 12 b) 18 c) 21 d) 24 e) 27
Sugestão
Pelo problema, temos:
2x + 2–x = 2x + 
 
 
 x
1
2 = 3 
    
    
    
3
x x 3 x 2x x
x x x 2x
Fatorando
1 1 1 18 + 8 - x = (2 ) + = 2 + 2 - 2 . +
2 2 2 2
 
Elevando  ao quadrado, temos:
   
 
2
2x 2x x
x
12 + = 3 Þ 2 + 2 × 2
2 x
1×
2 2x
1+ = 9
2
2x 2x
2x 2x
1 12 + = 9 - 2 Þ 2 + = 7 
2 2
 
Substituir  e  em 
15. Sendo 3 2 23 33 3 1x y 4 e x xy y
2
     , calcule 
x + y:
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8
Sugestão
Fatorando (x + y), temos:
   3 2 23 33 3(x + y) = x + y . x - x . y + y
16. (EPCAr) Se 1 3a
a 5
  , então 3 3
1a
a
 vale:
a) 27
125
 b) 198
125
 c) 128
125
 d) 252
125
 e) 9
5
UNIDADE 3
83
Sugestão
a + 1 3=
a 5
 
 
Elevando  ao quadrado, temos:
        2 22 22 22 2
1 1 9 1 91 1 9 1 9
a 2 a a 2a 2 a a 2
a 25 25a 25 25a aa a
2
2
1 41a + = -
25a

Fatorando   
 
3
3
1a +
a
 temos:
  
  
  
2
2
1 1 1a + a - a . +
a a a 
Substituir  e  em .
17. (EEAr) Se 1a 30
a
  , então 2 2
1a
a
 é igual a:
a) 896
b) 898
c) 900
d) 902
Sugestão
Elevar ao quadrado:     
1a - = 30
a
18. (CN) Se 
21x 3
x
   
 
, então 3 3
1x
x
 é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Sugestão
Idem à sugestão do exercício 16.
19. (EsPCEx) Sendo 1x m
x
  , então 2 2
1x
x
 é igual a:
a) m2
b) 2m
c) m – 2
d) m2 – 2
e) n.r.a.
Sugestão
Idem à sugestão do exercício 17.
20. A expressão (x3 – y3) (x2 – 2xy + y2) equivale:
a) (x – y)5 
b) (x – y)3 . (x + y)2 
c) (x – y)3 (x2 + xy + y2)
d) (x – y)4
Sugestão
Fatorar (x3 – y3).
Fatorar (x2 – 2xy + y2).
21. (CN) Decomponha em fatores do 1º grau y = x3 + x2 – x – 1:
a) y = (x – 1)3
b) y = (x + 1)3
c) y = (x + 1) (x + 1) (x – 1)
d) y = x3
e) y = (x2 – 1) (x + 1)
22. (CN) Decomponha em fatores do 1º grau x3yz + y3xz – z3xy 
+ 2x2y2z:
a) xyz (x + y + z) (x + y – z)
b) (x + y – z) (x + y – z) xyz
c) (x + y – z)2 xyz
d) xyz (x + y) (x – y)
e) xyz (x – y) (x – y – z)
23. (CN) Decompor em fatores de 1º grau 4a2b2 – (a2 + b2 – c2)2
a) (a + b + c)2 (a – b – c)2
b) (a + b + c) (a + b – c)2
c) (a + b + c) (a + b – c) (a – b + c) (–a + b + c)
d) (a + b – c)2 (a + b + c)2
Sugestão
Fatorando o exposto por diferença de dois quadrados, 
temos:
[4a2b2 – (a2 + b2 – c2)2] = [2ab – (a2 + b2 – c2)] [2ab + 
(a2 + b2 – c2)]
24. (Química Têxtil) Se 1 1a
x y
  e b = x–1 + y–1, o valor de 
a2 – b2 é:
a) –4/x2y2 d) (x2 – y2)/x2y2
b) –4/xy e) 0
c) 2(x2 + y2)/x2y2 
25. (EsSA) Se a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = 125 e a3 – 3a2b + 3ab2 
– b3 = 1, tem-se que 2a – 3b vale:
a) 0
b) 6
c) –1
d) 5
e) 8
26. (EAM/2000) Fatorando a expressão: x2 – 4xy + 4y2, obtemos:
a) (x – 2y)2 d) (x + 2y)2
b) (2x – y)2 e) (x + y) (x – 4y)
c) (x – y)2 
ÁLGEBRA ELEMENTAR
84
27. (EEAr/2000) Fatorando a expressão x2 + 4x + 3 – y2 + 2y, 
obtemos:
a) (x + y + 1) (x + y – 1) c) (x + y + 3) (x – y + 1)
b) (x + y + 1) (x – y + 3) d) (2x – y) (x – 3y)
Sugestão
A expressão x2 + 4x + 3 – y2 + 2y pode também ser 
escrita como
-
Fatorar por Fatorar por Colocar 1
fator comum fator comum em evidência
x2 + 4x + 3 - y2 + 2y = x2 xy + 3x + xy - y2 + 3y + x - y + 3  
Em seguida, fatorar novamente por fator comum.
28. (CMRJ) Na fatoração do polinômio x3 – x2y – xy2 + y3, um 
dos fatores é:
a) x6y6 d) x2 –xy + y2
b) x2 + y2 e) (x – y)2
c) x3 + y3 
29. (EPCAr/2005) Se x for inteiro positivo, então x3 − x = x(x2 − 
1) = (x −1) . x . (x +1) será o produto de três números inteiros 
consecutivos. Daí se conclui que x3 − x será sempre:
a) número primo. c) divisível por 4.
b) múltiplo de 5. d) múltiplo de 6.
Sugestão
(x – 1) . x . (x + 1) = x3 – x
Fazer as considerações









1 . 2 . 3 = 6
2 . 3 . 4 = 24
3 . 4 . 5 = 60
 Múltiplos de 6
4 . 5 . 6 = 120
5 . 6 . 7 = 210
    
30. (CN/2005) Sabendo-se que a equação x2(x2 + 13) – 6x 
(x2 + 2) + 4 = 0 pode ser escrita como um produto de 
binômio do primeiro grau, a soma de duas de suas raízes 
reais e distintas é igual a:
a) –3 b) –2 c) –1 d) 2 e) 3
Sugestão
A equação pode ser escrita:
x4 + 13x2 – 6x3 – 12x + 4 = 0
ou
Fatorando por agrupamento:
x2(x2 – 3x + 2) – 3x(x2 – 3x + 2) + 2(x2 – 3x + 2) = 0
(x2 – 3x + 2) . [x2 – 3x + 2] = 0
(x – 2) (x – 1) (x – 2) (x – 1) = 0
31. (CEFETQ/2007) Escreva verdadeiro (V) ou falso (F) para 
cada sentença abaixo:
a) 3 . 106 + 5 . 102 = 8 . 108
b) 217 + 2–17 = 20 = 1
c) 7 + 8 . 5 = 75
d) 100002 – 99992 = 19999
Sugestão
Fatorando a2 – b2 = (a – b) (a + b), ou seja, 100002 – 99992 
= (10000 – 9999) . (10000 + 9999)
32. (CN/2008) Sabe-se que a3 – 3a + 1 = 93 e k = a4 – 6a +1. 
Logo, k também pode ser expresso por:
a) 3a2 + 86a + 1
b) 3a2 + 84a + 1
c) 6a2 + 86a + 1
d) 6a2 + 84a + 1
e) 9a2 + 86a + 1
Sugestão
Na 1ª equação, temos a3 = 93 + 3a – 1 
Na 2ª equação, fatorando, temos:
K = a(a3 – 6) + 1 
Substituir  em 
33. (CN/2008) Se x + y = 2 e (x2 + y2) / (x3 + y3) = 4, então xy 
é igual a:
a) 12/11 b) 13/11 c) 14/11 d) 15/11 e) 16/11
Sugestão
x + y = 2 
Elevando ao quadrado x + y = 2, temos:
x2 + y2 = 4 – 2xy 
Fatorando 
2 2
3 3
x + y = 4
x + y
, temos:
  
2 2
2 2
x + y = 4
x + y x - xy + y
 
Substituir  e em .
34. (EPCAr/2011) Sabendo que y = (2010)2 2000 – 2000  
(1990)2, o valor de 
7
y
10
 é igual a:
a) 8. c) 20.
b) 16. d) 32.
Sugestão
Fatorando a expressão acima, y = 2000  (20102 – 
19902).
Fatorar a expressão acima por diferença de dois 
quadrados.
UNIDADE 3
85
Gabarito
1. a) 3x2y (2xy + 3 + 4x2y5)
b) x2 (x4 – x3 + x2 – x – 1)
c) (x + 1) (b + c + d)
d) (x + 3) [(x + 3)2y + k]
2. a) (x – 1) (x + 1) (x + 1)
b) (a + k) (x2 + y)
3. a) (3 – a) (3 + a)
b) (x – 1) (x + 1) (x2 + 1) (x4 + 1)
c) (2a2b2 – 3a3b3) (2a2b2 + 3a3b3)
d) (5x2 – 1) (5x2 + 1)
4. a) (3x + 2) (2x + 3)
b) (x + 2) (3x + 4)
5. a) (x + 3)2
b) (4x2 + 3)2
c) (2 – 3x)2
d) (1 – 5x2)2
6.a) (x + 10) (x – 1)
b) (x + 2) (x – 6)
c) (x – 3) (x – 9)
d) (x – 11) (x + 1)
7. a) (x + 3)3
b) (3x – 3)3
8. a) (a + 4) (a2 – 4a + 16)
b) (3 + 2a2) (9 – 6a2 + 4a4)
c) (5 – a) (25 + 5a + a2)
9. a) (y + 1) (y8 – y7 + y6 – y5 + y4 – y3 + y2 – y + 1)
b) (y – 1) (y8 + y7 + y6 + y5 + y4 + y3 + y2 + y + 1)
10. d) x2 (x – 2)2
11. c) (a + b)4 . (a2 – ab + b2)
12. b) 2
13. d) 5
14. b) 18
15. a) 2
16. b) –198/125
17. d) 902
18. a) 0
19. d) m2 – 2
20. c) (x – y)3 (x2 + xy + y2)
21. c) y = (x + 1) (x + 1) (x – 1)
22. a) xyz (x + y + z) (x + y – z)
23. c) (a + b + c) (a + b – c) (a – b + c) (–a + b + c)
24. b) –4/xy
25. a) zero
26. a) (x – 2y)2
27. b) (x + y + 1) (x – y + 3)
28. e) (x – y)2
29. d) múltiplo de 6.
30. e) 3
31. F, F, V, V
32. a) 3a2 + 86a + 1
33. c) 14/11
34. b) 16
Capítulo 1
EQUAÇÃO DO 1º GRAU
1. Sentenças matemáticas abertas e fechadas 
a) Sentença
É um conjunto de palavras que exprime um sentido completo.
Exemplo:
“O Botafogo foi campeão brasileiro no ano de 1998”.
b) Sentença matemática aberta
Apresenta partes não conhecidas denominadas incógnitas 
ou variáveis.
Exemplos:
1) x – 7 = 10
2) 2x + 4 = 20
c) Sentença matemática fechada
Apresenta apenas números.
Exemplos:
1) 14 + 5 = 19
2) 13 – 3 = 10
d) Conjunto universo
Quando resolvemos um problema de matemática, geral-
mente nomeamos (escolhemos) um conjunto que pode ser 
conhecido (N, Z, Q, R, I) ou não para darmos a resposta fi nal.
Exemplo:
Considerando o conjunto universo U = {0, 1, 2, 3, 4}, resolva 
a equação abaixo sem cálculo.
x + 4 = 8
Percebemos que x pode ser 4, pois pertence ao conjunto 
universo U.
e) Conjunto verdade
É o conjunto dos valores do conjunto universo que atende 
ao problema em questão.
Exemplos:
Considerando U = {0, 1, 2, 3, 4}, resolva:
1) x + 4 = 8  x = 4  V = {4}, pois 4  U
2) x + 10 = 30 x = 20  V = , pois 20  U
f) Equação do 1º grau
É toda sentença matemática aberta composta por uma 
igualdade cujo grau da variável principal é igual a um.
Exemplo:
1º membro 2º membro
3x 8 20 11   
x = parte liberal
3 = coefi ciente da variável x
g) Raiz de uma equação do 1º grau
São os valores da variável procurada que torna a equação 
verdadeira, considerando o conjunto universo quando indicado.
Exemplo:
Sendo U = Z, verifi car se:
a) –2 é raiz da equação 2x + 4 = 0.
 Resolução
 Basta substituir a variável x por –2:
 2 . (–2) + 4 = 0  –4 + 4 = 0 (sim, –2 é raiz)
b) +3 é raiz da equação 3x – 6 = 9.
 Resolução
 Basta substituir a variável x por 3.
 3 . 3 – 6 = 9  9 – 6 = 9 3  9 (não, 3 não é raiz)
Resposta: –2 é raiz da primeira e 3 não é raiz da segunda 
equação.
h) Termos semelhantes
São aqueles que possuem mesma incógnita com o mesmo 
expoente ou não possuem incógnita.
Exemplos:
1) 6x e 3x (são semelhantes)
2) 2xy e 3x (não são semelhantes)
3) 3y2 e –4y2 (são semelhantes)
4) 6x2 e 6x (não são semelhantes)
5) –10 e 12 (são semelhantes)
i) Redução de termos semelhantes
Basta adicionarmos os coefi cientes dos termos semelhantes.
UNIDADE 4
ÁLGEBRA ELEMENTAR
88
Exemplos:
1) 6x – 10x – 13x = –17x
2) –2k + 3x – 6k + x = –8k + 4x
3) –3x2 – 6x + 3 – 4x2 + 2x – 1 = –7x2 – 4x + 2
j) Resolução prática de uma equação do 1º grau
• Calcular o m.m.c. entre os denominadores, quando houver.
• Dividir o m.m.c. por cada denominador.
• Multiplicar o resultado pelos seus respectivos numeradores.
• Isolar as variáveis no primeiro ou no segundo membro da 
equação.
• Trocar o sinal de um termo qualquer quando o passamos 
de um membro para outro da equação. 
• Reduzir os termos semelhantes nos dois membros.
• Multiplicar o coefi ciente da variável procurada pelo deno-
minador do outro membro da equação.
• Simplifi car quando possível, chegando ao resultado fi nal.
• Considerar o conjunto universo para a solução fi nal.
Exemplos:
Sendo U = Z, calcule:
1) 4x 3 x 8
3 2
 

Resolução
m.m.c. (3, 2) = 6
4x 3 x 8
3 2
32
 

2 (4x + 3) = 3 (x + 8)
8x + 6 = 3x + 24
8x – 3x = 24 – 6
5x = 18
x = 18/5  Z
V = { } ou V = 
2) 8x – 5 = 2x – 41
Resolução
8x – 2x = –41 + 5
6x = –36
x = –36/6
x = –6  Z
V = {–6}
Fique Ligado!
Uma equação não se altera quando multiplicamos os 
dois membros dela pelo mesmo valor.
Exemplos:
 Sendo U = Q, calcule:
 1) 4x – 2x = 6  V = {3}
Multiplicamos a equação por 2:
4x – 2x = 6 x(2)
8x – 4x = 12
4x = 12
x = 12/4
x = 3
V = {3} (mesmo resultado)
2) –3x + 2x = –5  V = {5}
Multiplicando a equação por (–1):
–3x + 2x = –5 x(–1)
3x – 2x = 5
x = 5
V = {5} (mesmo resultado)
k) Equações equivalentes
São aquelas que possuem o mesmo conjunto verdade.
Exemplos:
Considerando as equações 2x + a = 3 e 3x + 5 = 9 equiva-
lentes, determine o valor de “a”.
Resolução
2x + a = 3
2x = 3 – a
x = 
3 a
2

1
3 aV
2
   
 
3x + 5 = 9 – x
3x + x = 9 – 5
4x = 4
4x 1
4
 
V2 = {1}
V1 = V2 –a = 2 – 3
3 a 1
2 1
1 2

 –a = –1 . (–1)
3 – a = 2 a = 1
Exercícios Resolvidos
1. Considerando U = Q, calcular o valor de x em:
a)  2 x 4x 3 3x 1 x 1
2 6 2 9
 
   
Resolução
m.m.c. (2, 6, 2, 9) = 18
 2 x 4x 3 3x 1 x 1
2 6 2 9 1
9 9 183 2
 
   
9(x – 3) – 3(3x + 1) + 9x = 4 (x – 4) + 18
UNIDADE 4
89
 9x – 27 – 9x – 3 + 9x = 4x – 16 + 18
 9x – 4x = –16 + 18 + 27 + 3
 5x = 32
 x = 32/5  Q.
 
Logo:
 
32V
5
   
 
2. Determine o valor de K para que –2 seja raiz de
a) 2xk 1 k x 1
6 3 12

  
Resolução
m.m.c. (6, 3, 12) = 12
2xk 1 k x 1
6 3 12 1
1 122 4

  
2 (2xk + 1) – 4k = x + 12
4xk + 2 – 4k = x + 12
Substituindo x = –2 (raiz), temos:
4 . (–2) . k + 2 – 4k = –2 + 12
–8k + 2 – 4k = 10
–12k = 10 – 2
–12k = 8 x(–1)
12k = –8
4
4
8k
12




2k
3


Exercícios
1. Considerando U = Q, resolva as equações.
a) 6x – 8 = 4x – 18 
b) 9x – 10 – 3x = x + 10 
c) 
8x x 2
7 14
 
d) x x x 1 4
2 6 9
   
e) 6x 1 4(3x 2) x 3x 1
4 2 2
 
   
f) 
3x 10 7,5x 3
2 15

 
2. Sendo U = Z, resolva a equação 
 2 x 1x 1 x
6 9

  
a) 22V
17
   
 
 
b) 14V
17
   
 
 
c) V = 
d) V = –6
e) V = –2
3. As equações x 3x 32
2 5
  e kx – x = 40 são equivalentes. 
 Calcule o valor de k.
4. As equações –2ax + x = 2 e 2x – 6 = x + 1 são equivalentes. 
Calcule “a”.
5. (EsSA) As equações 2x 1 x 1 5
3 2 6
 
  e 
x
2
 + mx = x + 5 
 são equivalentes se m for igual a:
a) 10 b) 0 c) –1 d) 1 e) –5
6. (EsSA) Se a equação 2ax – 3 = x + 3 é equivalente a 
equação 2
1 3 5
x 1 x 2 x 3x 2
 
   
, calcule o valor de a. 
a) a = –2 b) a = 2 c) 1 = –1 d) a = 1 e) a = –4/5
7. Sabendo-se que –1 é raiz de –2kx + x
2
 = 3, calcule k.
8. Verifi car se –3 é raiz de 
2x x 2
6 3
   .
9. (EPSJV/2000) A raiz da equação 
x 2 x 1
5 2
 
 é:
a) 1 b) 0 c) –1 d) –2 e) –3
10. (EPCAr/2002) O valor de x que é solução da equação
 3x – 2(x – 5) – 5 3x 0
2

 é tal que:
a) –6 < x < 0 c) 3 < x < 10
b) –12 < x < –8 d) 12 < x < 18
11. (ETFQ) Calcular o valor numérico do parâmetro “a” de 
modo que a raiz da equação (x – 1) + a(x – 1) = a – 1 seja 
15
10
  
 
.
 
12. (EsSA) Uma das raízes da equação 3x2 – px – q = 0, na 
qual x é a variável, é o elemento –1. O valor de p – q é:
a) –1 b) 0 c) –3 d) 3 e) 1
13. (Cefet) Dada a sentença y = x/3 – 2, se você trocar o x pelo 
y, a nova expressão y será:
a) y = x + 2 d) y = –2x + 3
b) y = 2x – 6 e) y = 3x + 6
c) y= 6x + 3 
ÁLGEBRA ELEMENTAR
90
14. (Cefet) A sentença 
y x 1 1
2 3

  pode, também, ser escrita 
na forma:
a) 3y + 2x – 4 = 0 d) 3y + 2x + 4 = 0
b) 3y – 2x + 4 = 0 e) 3y – 2x – 8 = 0
c) 3y – 2x – 4 = 0 
15. (ETFQ) Considere as equações x/y = 0; x + y = 2 e
 yz = 1. Calcule z.
16. (EPCAr/2005) Com base na igualdade 
 5x 3 4 2x 19x 8 1
2 5 3 6 2
 
    , é possível afi rmar que:
a) tem apenas uma solução e esta é um número par.
b) tem apenas uma solução e esta é um número ímpar.
c) tem uma fi nidade de solução.
d) não tem nenhuma solução.
Gabarito
1. a) V = {–5} d) V = {45/4}
b) V = {4} e) V = {11/32}
c) V = {28/15} f) V = {4}
2. c) V = 
3. k = 1
4. a = {5/14}
5. d) 1
6. c) a= –1
7. k = 7/4
8. Sim, –3 é raiz.
9. e) –3
10. a) –6 < x < 0
11. a = 3
12 c) –3
13. e) y = 3x + 6
14. c) 3y – 2x – 4 = 0
15. z = 0
16. d) não tem nenhuma solução.
Capítulo 2
INEQUAÇÃO 
DO 1º GRAU
É toda desigualdade do tipo ax < b, ax > b, ax  b ou ax  
b, e a, b  R e a  0. Uma balança em desequilíbrio pode ser 
considerada uma inequação do 1º grau.
4 + 8 > x + 3x ou x + 3x < 4 + 8
4x < 12 =
x = 12/4
x < 3kg
1. Resolução de uma inequação do 1º grau
O procedimento da resolução de uma inequação do 1º grau 
é o mesmo da equação do 1º grau, com a pequena diferença 
do sinal da desigualdade (>,  , < e ).
Exercício Resolvido
1. Resolver as inequações a seguir em IN*.
a) 3x 1 3
6
 
Resolução
3x 1 3
6 1 1
6 61
 
3x + 6 < 18 = 3x < 18 – 6
3x < 12 = x < 12/3
x < 4
V = {x  IN* / x < 4} ou V = {1, 2, 3}
b) 3x – 4x < 5 + x
Resolução
3x – 4x – x < 5
–2x < 5 x(–1)
2x > –5
x > –5/2
Logo:
V = {1, 2, 3, 4, ...} ou V = IN*
 x 3x 
4kg 
8kg 
UNIDADE 4
91
Importante
Quando multiplicamos uma inequação qualquer por um 
número negativo, trocamos o sinal também da desigualdade.
Exemplo:
+8 + 4 > 10 x(–1)
–8 – 4 < –10
–12 < –10
Caso não trocássemos o sinal de desigualdade, 
a inequação fi caria errada.
c) Qual é o menor valor inteiro que satisfaz a inequação?
 
2x 1 3
3
   
Resolução
 m.m.c.
 
2x 1 3
3 1 1
3 31
   
 –2x – 3 < – 9 = –2x < – 9 + 3
 –2x < – 6 x(–1)
 2x > 6 = x > 6/2
 x > 3
Resolução na reta numérica:
Resposta: {4}
Exercícios
1. (EsSA) Sendo U = IN, o conjunto verdade da inequação 
8 – 3x > 2 é:
a) V =   d) V = {…, –1, 0, 1, 2}
b) V = {0, 1, 2} e) V = {1, 2}
c) V = {0, 1} 
2. (EAM/2002) Resolva a inequação, sendo U = Q, 
x 1 x 5
3 2
 
 e encontre o conjunto verdade.
a) x > 13 d) x < –12
b) x < –13 e) x > 0
c) x > 12 
3. (ETFQ) Resolva a inequação: 4 x 3 2x 1
3 4 6
 
   .
4. (EEAr) O conjunto solução da inequação 
x 7 x 1
5 10

  , 
sendo U = Q, contém o conjunto:
a) {–3, 0, 3, 8} c) {–3, 0, 3, 9}
b) {–3, 0, 3, 7} d) {9, 10, 11, 12}
5. (EAM) O menor múltiplo de 4 que satisfaz a inequação 
x + 5 < 2x – 1 é:
a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12
6. (EsSA) O menor valor inteiro de x que torna positiva a 
expressão 4x + 7.(0,25)–1/2 é:
a) 0 b) 4 c) –4 d) 3 e) –3
7. (ETFQ) Determine o maior valor inteiro de x que satisfaz 
a inequação 2x – 4 > 5 (x – 1) + 3.
8. (ETFQ) Determine o maior valor inteiro de x que satisfaz 
a inequação x 1 2x 5 x 3
3 2
 
    .
9. (Cefet/2ª Fase) Resolva a inequação 1 x 2(x 1)
8 4

  .
10. (Cefet) O menor número inteiro x que satisfaz a inequação 
abaixo é:
 
9 x 7 3x4
5 4
 
 
a) 0 b) 1 c) 2 d) –1 e) –9
11. (EsSA) O maior número inteiro que satisfaz a inequação 
x/4 – x / 3 > 1/12, sendo U = IR, é:
a) 1 b) –2 c) 0 d) –1 e) 2
12. (ETFQ) Determine o maior número inteiro que satisfaz a 
inequação abaixo:
 
x 3 x 2 x 2
6 4 8
  
 
13. (Faetec) Indique a alternativa cujo número é o menor inteiro 
que satisfaz a inequação    3x 7 x 53x
8 2 3
 
 
a) 2 b) –3 c) –1 d) 0 e) 3
14. (EPCAr/2000) O conjunto solução da inequação –3x + a > 7 
é {x  R / x < 2}. Então tem-se, necessariamente, que “a” 
é um número real:
a) primo. 
b) menor que 2.
c) par menor que 10.
d) ímpar menor que 10.
Sugestão
Resolver a primeira inequação e igualar o resultado a 2.
15. (Cefet/2ª Fase/2000) Um dado elevador pode transportar, 
com segurança, no máximo uma tonelada.
 Supondo-se que esse elevador esteja transportando três 
pessoas com 67 kg cada, seis pessoas com 74 kg cada e 
três pessoas com 82 kg cada, qual o número máximo de 
pessoas com 56 kg cada que ainda poderiam ser trans-
portadas sem risco ou sobrecarga?
ÁLGEBRA ELEMENTAR
92
Sugestão
x = número de pessoas de 56 kg
Resolver a inequação 3 . 67 + 6 . 74 + 3 . 82 + 56x < 1.000
16. (EAM/2004) A solução da inequação 
x 5 2x
2 3

 é:
a) {x  R / x  –15}
b) {x  R / x  –15}
c) {x  R / x  15}
d) {x  R / x  15}
e) {x  R / x  15}
17. (Ctur/2003) O maior valor de x  Z* que satisfaz a inequa-
ção 1 4 3x(x 2) (x 1) 2x 4
3 5 2
      é:
a) 2 b) 1 c) –1 d) –2 e) –3
Gabarito
1. c) V = {0, 1}
2. b) x < –13
3. S = x  IR / x < 9/10}
4. b) {–3, 0, 3, 7}
5. e) 12
6. e) –3
7. x = –1
8. x = 2
9. S = {x  IR / x > 5}
10. b) 1
11. b) –2
12. x = 5
13. c) –1
14. a) primo
15. Uma pessoa.
16. b) {x  R / x  –15}
17. e) –3
Capítulo 3
INEQUAÇÕES 
SIMULTÂNEAS 
DO 1º GRAU
Quando há mais de uma inequação, resolvemos separada-
mente cada uma e, em seguida, verifi camos a interseção das 
soluções delas.
Exercício Resolvido
1. A soma dos números inteiros do conjunto solução das 
inequações abaixo em IR é:
3x 1 x 2 1
2 3
 
  

 
Resolução
3x 1 x 2
2 3
 e
x 2 1
3
   



  



 
Resolução da inequação 
3x 1 x 2
2 3 1
3 62
 
 
–9x + 3 < 2x – 12  –9x – 2x < – 12 – 3
–11x < – 15 x(–1)
11 > 15
x > 15/11
Resolução da inequação 
x 2 1
3 1 1
3 31
 
x – 6  3 
x  3 + 6 
x  9
Resolução na reta numérica:
60 1 4 102 3 5 987
210 543 876 9
210 543 876 9
15/11
1
2
21
SOLUÇÃO
15/11
SOLUÇÃO PARCIAL
Solução (soma das soluções inteiras)
Soma = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 44
UNIDADE 4
93
Exercícios
1. Resolva em IR as inequações:
a) –4  x + 1 < 6
b) 
1 3x x x1 1
3 2 3

   
c) 
x x2 3x 1 6
4 2
    
2. (FGV-SP) O número de soluções inteiras da inequação
 –3 < x + 2  4 é:
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 0
3. (EPCAr) Os valores reais de x, para que se tenha simulta-
neamente 
x 4
2

 > 3 e 1 + x  9 – x, pertencem ao conjunto
a) {x  IR / 2 < x  4} 
b) {x  IR / –4  x < 2} 
c) {x  IR / x  –4 ou x > 2}
d) {x  IR / x < 2 ou x  4}
e) {x  IR / x < –2 ou x  4}
4. (ETFQ) Sendo U = Z–, determinar a soma dos elementos do 
conjunto solução da inequação x 3x 26 2x 201
2 6 3
 
   .
5. (Cefet) O conjunto verdade do sistema abaixo é:
 
3 2x x
1 x x
 
   
a) {x  | lR / x > 1} 
b) {x  | lR / x < –1/2 } 
c) {x  | lR / x < –1/2 ou x > 1} 
d) {x  | lR / –1/2 < x < 1}
e) 
6. (Cefet/2ª Fase) Resolver o sistema:
 
x 1 1
x 1 1
 
   
7. Resolver o sistema de inequação de 1º grau:
 
x 2 0
x 1 0
 
  
8. Resolver: 1 x 0
x 3 0
 
  
9. (EEAr) A solução do sistema 
2(x 1) 3(x 2) 3
x 1 x 4
2
    

 
 
, é:
a) x < –7 
b) x > –5 
c) –7< x < –5
d) –7  x  –5
10. (ETFQ) O conjunto universo da variável x é Z. Determine 
o conjunto solução do sistema de inequações:
x 3x 1
3
3x 12x 3
5
   
   

11. (EsPCEx) Determinar o valor de x pertencente a IR, que 
satisfaz ao sistema: 
 
3x 6 0
7x 14 0
 
  
12. (EEAr/2004) A quantidade de números inteiros positivos 
que verifi cam as inequações 3x – 8 < x/2 e x + 20 > 10x, 
ao mesmo tempo, é:
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4
13. (EEAr/2006) Dada a inequação 2 – x < 3x + 2 < 4x + 1, o 
menor valor inteiro que a satisfaz é um número múltiplo de:
a) 3 
b) 2 
c) 7 
d) 5
14. (EEAr/2004) A quantidade de números inteiros positivos 
que verifi cam as inequações 3x – 8 < x/2 e x + 20 > 10x, 
ao mesmo tempo, é:
a) 1
b) 2 
c) 3 
d) 4
15. (EPCAr/2005) Para que o número x satisfaça simultanea-
mente as desigualdades 3x + 2 < 7 – 2x, 48x  3x + 10 e 
11 – 2 (x – 3) > 1 – 3 (x – 5) é sufi ciente que:
a) –1 < x  2/9
b) 2/9  x < 1
c) –1 < x < 1
d) –1 < x < 2/9
ÁLGEBRA ELEMENTAR
94
Gabarito
1. a) S = {x  IR / –5  x < 5}
b) S = 
c) S = {x  IR / 4/11 < x < 2}
2. b) 7
3. a) {x  IR / 2 < x  4}
4. S = {–6}
5. d) {x  | R / –1/2 < x < 1}
6. S = {x  IR / x  0}
7. S = {x  IR / –2  x  1}
8. S = {x  IR / 1 < x  3}
9. b) x > –5
10. S = {x  Z / –3 < x < 2}
11. S = {–2}
12. b) 2
13. b) 2
14. b) 2
15. a) –1 < x  2/9
CAPÍTULO 1
SISTEMA DE 
EQUAÇÃO DO 1º GRAU 
COM DUAS VARIÁVEIS
É o conjunto de duas equações do 1° grau formadas por 
duas variáveis.
Exemplo:
a) 3x 4y 17
x y 5
 
  
 b) x y 6
x y 2
 
  
Fique Ligado!
• Toda equação do 1º grau com duas variáveis é uma 
reta no gráfi co.
• Dois pontos defi nem uma reta.
1. Resoluçãode um sistema
É o par ordenado (x, y) que satisfaz simultaneamente cada 
equação, ou seja, é o ponto de interseção dos gráfi cos das 
duas equações.
Existem três formas de resolvê-los:
1º Método: Adição
Devemos somar algebricamente as duas equações com a 
fi nalidade de eliminar uma variável. Desse modo, podemos en-
contrar o valor de uma das incógnitas e, uma vez substituída em 
qualquer das duas equações, podemos achar o valor da outra.
Exercício Resolvido
1. Resolva:
x y 6
x y

 2





2x = 8
x = 8/2
x = 4
Substituindo x = 4 em 
4 + y = 6
y = 6 – 4
y = 2
S = {(4,2)}
Prova Real
x y 6 4 2 6
x y 2 4 2 2
     
      
No gráfi co
Considerando x = 0 e y = 0, temos:
Equação: x + y = 6
x Cálculo y Par ordenado
0 0 + y = 6 6 (0, 6)
6 X + 0 = 6 0 (6, 0)
Equação: x – y = 2
x Cálculo y Par ordenado
0 0 – y = 2 –2 (0, –2)
2 x – 0 = 2 0 (2, 0)
Grafi camente, temos:
Fique Ligado!
Existem casos em que não há a necessidade de multi-
plicar a(s) equação(ões) por determinado número para 
eliminar uma variável; porém, há casos em que existe 
essa necessidade, multiplicar por números diferentes, 
pois multiplicando os dois membros de uma equação 
qualquer pelo mesmo número, ela não se altera. 
Exercício Resolvido
1. Resolva:
 
3x 4y 17
x y 5 .( 3)
 
   
 Resolução
 
3x

4y 17
3x
 
 3y 15


  


 y = 2
UNIDADE 5
ÁLGEBRA ELEMENTAR
96
 Substituindo y = 2 em , temos:
 3x + 4y = 17
 3x + 4.2 = 17
 3x = 17 – 8
 3x = 9
 x = 9/3
 x = 3
 S = {(3, 2)}
 
No gráfi co
Considerando x = 0 e y = 0, temos:
Equação: 3x + 4y = 17
x Cálculo y Par ordenado
0 3.0 + 4y = 17 17/4 (0, 17/4)
17/3 3.x + 4.0 = 17 0 (17/3, 0)
Equação: x + y = 5
x Cálculo y Par ordenado
0 0 + y = 5 5 (0, 5)
5 X + 0 = 5 0 (5, 0)
Grafi camente, temos:
2º Método: Substituição
Basta encontrar o valor de uma das variáveis em uma das 
equações e substituí-la na outra. Em seguida, encontramos o 
valor da próxima variável e, ao ser novamente substituída em 
qualquer das equações, podemos encontrar o valor da última 
variável.
Exercício Resolvidos
1. Resolva o sistema:
x y 3 x y 3
2x 3y 4
      
  


Resolução
Substituindo  em , temos:
2x – 3y = 4
2.(– y – 3) – 3y = 4
–2y – 6 – 3y = 4
–5y = 4 + 6
–5y = +10.(–1)
5y = –10
y = –10/5 
y = –2
Substituindo y = –2 em , temos:
x = –y – 3
x = –(–2) – 3
x = 2 – 3
x = –1
S = {(–1, –2)} 
No gráfi co
Considerando x = 0 e y = 0, temos:
Equação: x = –y – 3
x Cálculo y Par ordenado
0 0 = –y – 3 –3 (0, –3)
–3 x = –0 – 3 0 (–3, 0)
Equação: 2x – 3y = 4
x Cálculo y Par ordenado
0 2.0 – 3y = 4 –4/3 (0, –4/3)
2 2x – 3.0 = 4 0 (2, 0)
3º Método: Comparação
Tiramos o valor da “mesma” variável nas duas equações. 
Em seguida, ao igualá-las, encontramos o valor de uma das 
incógnitas e, substituindo-a em qualquer das equações, pode-
mos achar o valor da outra.
UNIDADE 5
97
Exercício Resolvidos
1. Resolva o sistema:


5 5x y x y
6 6
1 1x y x y
6 6
     

     

Resolução
Igualando  e , temos:
5 y 1 y
6 1 6 1
6 61 1
  
5 – 6y = 1 + 6y
–6y – 6y = 1 – 5
–12y = –4.(–1) 12y = 4
44y
414


 
1y
3

Substituindo 
1y
3
 em , temos:
1 1x 6 3
1 2
 
 
1 2x
6


33X
36


 
1x
2

1 1S ,
2 3
     
  
No gráfi co
Considerando x = 0 e y = 0, temos:
Equação: x = 5 y
6

x Cálculo y Par ordenado
0 0 = 
5 y
6
 5/6 (0, 5/6)
5/6 5x 06  0 (5/6, 0)
Equação: x = 1 y
6

x Cálculo y Par ordenado
0
10 y
6
  1/6 (0, –1/6)
1/6
1x 0
6
  0 (1/6, 0)
Exercícios
1. Resolva os sistemas:
a) 





1yx
3yx
d) 





x2y
4yx
b) 





5yx
3yx
e) 








6
1
yx
6
5
yx
c) 





4yx
11y3x2
f) 





2y3x
1y2x
2. (ETFQ) Sabendo que 4x – y = 5 e que 2x – 3y = 1/2, calcule 
x + y.
3. (Cefet) A solução do sistema abaixo será o par ordenado 
(3; –2), se tivermos:
2x ay 0
bx y 8
 
  
a) a = 3 e b = 2 d) a = –3 e b = –2
b) a = 2 e b = 3 e) a = 1 e b = 0
c) a = b = –5 
4. (EEAr) Seja o sistema 





5yx3
4y2x . O valor de x – y é:
a) 3 b) 1 c) 0 d) –1
5. (CTUR/2000) No sistema 
x y 2
5 10
7yx 9
5
  

   

, o conjunto 
 
 verdade é dado por v = {(x, y)}. O valor de x – y é:
a) 3 b) 4 c) –4 d) 5 e) –5
ÁLGEBRA ELEMENTAR
98
6. (CMRJ) Na solução do sistema 
x 1y 1
2
x y x y 1
4 3
  
    

, a soma 
dos valores de x + y é:
a) 
12
5

 b) 
27
5 c) 8 d) 12 e) 0
7. (CN) Dois sistemas de equação são equivalentes quando 
toda solução de um é solução de outro e vice-versa.
 Qual é a soma dos valores de a e b, tais que os sistemas 
abaixo sejam equivalentes?
x y 0 ax by 1
 e 
x y 2 bx ay 1
    
     
a) 1 b) 2 c) –1 d) –2 e) zero
8. (CM/2000) Em um laboratório de matemática, há triângu-
los e quadrados no total de 30 polígonos e 108 vértices.
Assim, temos que o número de triângulos e quadrados é, 
respectivamente:
a) 10 e 20 
b) 12 e 18 
c) 14 e 16 
d) 16 e 14
e) 18 e 12
9. (EsPCEx/2001) José e Maria, acompanhados de seu 
fi lho Pedro, queriam se pesar. Para tanto, utilizaram uma 
balança defeituosa que só indicava corretamente pesos 
superiores a 60Kg. Dessa forma, eles se pesaram, dois a 
dois, e obtiveram os seguintes resultados:
José e Pedro: 87 kg
José e Maria: 123 kg
Maria e Pedro: 66 kg
Diante desses resultados, pode-se concluir que:
a) cada um deles pesa menos que 60 Kg.
b) dois deles pesam mais que 60 Kg.
c) José é mais pesado que Maria e Pedro juntos.
d) Maria é a mais pesada dos três.
e) o peso de Maria é a média aritmética dos pesos de José 
e Pedro.
10. (Cefet/2ª Fase) Na fi gura 1, encontram-se três balanças, 
das quais as balanças A e B estão em equilíbrio, sendo:
 “Peso” em forma de pirâmide
 “Peso” em forma de cubo
 “Peso” em forma de esfera. 
 Quantos “Pesos” em forma de esfera devem ser coloca-
dos no prato da direita da balança C, para que fi que em 
equilíbrio?
A
B
C
11. (Magistério) A balança que se segue está em equilíbrio. 
Sabendo-se que = é correto afi rmar que esta 
balança está marcando:
+ 9
a) 12 unidades de massa.
b) 15 unidades de massa.
c) 18 unidades de massa.
d) 21 unidades de massa.
e) 20 unidades de massa.
12. (Magistério) Três maçãs e uma pera equilibram-se em uma 
balança, com treze ameixas. Cinco ameixas e uma maçã, 
juntas, equilibram-se com uma pera.
 Considerando que todas as frutas de mesma natureza 
têm mesma massa, o número de ameixas necessário para 
equilibrar-se a pera é:
a) 2 b) 8 c) 6 d) 7 e) 4
13. (UERJ/2001) Um técnico de laboratório, suspeitando de 
uma desigualdade no tamanho dos braços x e y de sua 
balança, adota o procedimento abaixo para estabelecer 
com precisão o valor de um peso P:
1. Coloca P no prato esquerdo da balança e o equilibra 
com um peso conhecido Q.
x y
P Q
2. Coloca P no prato direito da balança e o equilibra com 
um peso conhecido R.
x y
R P
UNIDADE 5
99
 Dessa forma, o técnico conclui que o valor preciso de P, 
em função de R e Q, é determinado pela seguinte relação:
a) 
R
Q b) 
R
Q c) 
RQ d) RQ
14. (UERJ) Nas fi guras abaixo, as embalagens de mesmo 
formato têm pesos iguais. Essas embalagens se equilibram 
conforme indicam as balanças representadas pelas fi guras 
1 e 2.
 
Fig. 1 
 
Fig. 2 
 
Assim, as embalagens do tipo têm o mesmo peso de:
a) c) 
b) d) 
Sugestão
Considerar = x, = y, = z e resolver o sistema.
15. (ETFQ) Calcular k de modo que a solução (x, y) do sistema 





3yx2
k1y2x
, satisfaça a relação x – y = 0.
Sugestão
Substituir x por y ou y por x no sistema e resolvê-lo.
16. (ETFQ) Resolva o sistema: 
x 3 y 1 0
2 4
1 1 0
x y
   

  

17. (CN) Determine o valor de k no sistema a seguir, de modo 
que as incógnitas sejam simétricas:
kx 2 x y
x ky 1 y
  
   
18. (CN) No sistema   
3 2 2 3
2 2 2 2
x 3x y 3xy y 8
x y x 2xy y 12
    

   
 a soma 
 dos valores x e y é:
a) 1 b)3/4 c) 2/3 d) 4/3 e) 3/2
19. (UFRJ/2ª Fase) Na pirâmide a seguir, para as camadas 
acima da base, o número colocado em cada tijolo é a soma 
dos números dos dois tijolos nos quais ele se apoia e que 
estão imediatamente abaixo dele.
104
44 60
2 6 10
 Determine o número do tijolo situado na base da pirâmide 
apontado pela seta.
Sugestão
Considerar os dois retângulos da parte inferior x e y e, a 
partir disso, preencher os demais formando o sistema.
20. (CM/2000) A fi gura abaixo mostra quinze retângulos, sendo 
seis numerados e nove não numerados. Cada retângulo 
dado está apoiado em dois outros, excluindo-se os cinco 
que formam a base da fi gura. Sabendo-se que o número 
natural em cada retângulo fora da base é igual ao produto 
dos dois números naturais observados nos dois retângulos 
em que ele se apoia (exemplo: 7.776 = 108.72), a soma 
dos números que estão faltando na fi gura é:
7776
108 72
2 1 3
a) 28 b) 38 c) 48 d) 58 e) 68
21. (Cefet/2ª Fase/2000) Sabendo-se que x + y = 1 e xy = –1/2, 
qual é o resultado da adição 
y
x
x
y
 ?
Sugestão
Elevar a 1ª equação ao quadrado, substituir a 2ª na 
1ª equação e quanto à 3ª, tirar o m.m.c. e substituir o 
encontrado na operação inicial.
22. (UFRJ/2000) Na fi gura a seguir, cada um dos sete quadros 
contém a medida de um ângulo expressa em graus. Em 
quaisquer três quadros consecutivos, temos os três ângulos 
internos de um triângulo.
100°
x
65°
Determine o valor do ângulo x.
ÁLGEBRA ELEMENTAR
100
Sugestão
Considerar o retângulo inferior igual a y e preencher 
os outros de baixo para cima e resolver o sistema em 
seguida, procurando as equações que não se anulem. 
23. (ETFQ) O par ordenado (x, y), solução do sistema 
kx 6y k 1
2x 3y 10
  
  
, satisfaz a relação x – y = 0. Calcular o 
 valor numérico de k.
Sugestão
Substituir no sistema x por y ou y por x e resolver o 
sistema encontrando k.
24. (EAM/2000) Resolvendo-se o sistema 
2 2x y 61
xy 30
  


, 
temos (x + y)2 é igual a:
a) 113 b) 115 c) 117 d) 119 e) 121
Sugestão
Desenvolver (x + y)2 e, em seguida, substituir as duas 
equações nela.
25. (Faetec) No sistema 
2 2
x y 7
x y 25
 

 
, podemos afi rmar que:
a) xy = –12
b) xy = 6
c) xy = 12
d) xy = –6
e) xy = 10
Sugestão
Elevar a 1ª equação ao quadrado e, em seguida, 
substituir a 2ª na 1ª equação ou resolver por sistema 
de 2º grau.
26. (ETFQ) Se (x, y) é solução do sistema 
x y 5
xy 4
1 1 3
y x 4
 

  

, cal-
cular o valor de x2 + y2.
27. (ETFQ) Resolvendo o sistema 
4 3 8
x y
5 6 12
x y
  

  

, encontramos 
para solução:
a) 
13 39;
28 8
 
 
 
d) 
28 39;
13 8
  
 
b) 
28 8;
13 39
  
 
e) 
10 8;
13 5
 
 
 
c) 28 39;
13 8
 
 
 
28. (ETFQ) Determine a soma dos valores de x e y no sistema: 
3 5 7
x y
2 3 49
x y
  

  

29. (ETFQ) As raízes da equação do 2° grau ax2 + bx + c = 0 são 
as soluções do sistema 
3 5 7
x y 2
4 2 7
x y 2
  

  

 . Calcule a + b + c.
30. (EPCAr/2004) Os valores de x e y no sistema 
 
x 2k k 0
3x 4y 11 0
  
   
 serão ambos negativos quando k for 
 tal que
a) 11/5 < k < 11/2 c) 0,666... < k < 8,666...
b) 11/3 < k < 11/2 d) 3, 6 < k < 5,2
Sugestão
Resolvendo o sistema, encontramos y = 
 3k 11
2 e x = 2k – 11.
Em seguida, resolvemos y < 0 e x < 0.
31. (CN/2007) Observe o sistema de equações lineares abaixo:
1
x 2 y 3 12S :
2x 7y 4
  

 
 Sendo (x1, y1) solução de S1, o resultado de (6 + 2 )x1’ 
+ (21 + 3 )y1 é igual a:
a) 18 b) 21 c) 24 d) 28 e) 32
Sugestão
Substituir x por x1 e y por y1 resulta na equação abaixo.
 
:
  

 
1 11 1
1
1 11 1
x 2 y 3 12x 2 y 3 12
S
2x 7y 42x 7y 4


Multiplicar a equação 2 por 3.
 Somando  e  e fatorando o resultado, encontramos 
o pedido pelo problema.
32. (EEAr/2008) Se 
ax 2y 1 2x y 1
 e 
3x by 3 x y 4
     
      
 são siste-
 mas equivalentes, então o valor de a + b é:
a) 11 b) 9 c) –5 d) –7
Sugestão
Os sistemas equivalentes possuem mesma solução 
para as variáveis principais x e y.
UNIDADE 5
101
33. (EEAr/2010) As retas y = kx + 2 e y = –x + m interceptam-se 
no ponto (1, 4). Assim, o valor de k + m é:
a) 8 b) 7 c) 6 d) 5
Sugestão
Substituir (x, y)  (1, 4), ou seja, x = 1 e y = 4 em y = 
kx + 2 e y = –x + m. Resolver o sistema somando as 
duas equações.
Gabarito
1. a) S = {(2, 1)} 
b) S = {(4, –1)} 
c) S = {(–1, –3)} 
 d) S = {(–4, –8)}
e) S = {(1/2, 1/3)}
f) S = {(–1, –1)}
2. x + y = 9/4
3. a) a = 3 b = 2
4. a) 3
5. e) –5
6. d) 12
7. a) 1
8. b) 12 e 18
9. c) José é mais pesado que Maria e Pedro juntos.
10. S = 6 pesos em forma de esfera.
11. d) 21 unidades de massa.
12. d) 7
13. c) RQ
14. b) 
15. k = –2
16. S = {(5; 5)}
17. d) –2
18. e) 3/2
19. R = 5 tijolos.
20. d) 58
21. y/x + x/y = –4
22. x = 15
23. k = 11
24. e) 121
25. c) xy = 12
26. S = 17
27. a) 13 39;
28 8
 
 
 
28. S = 3/14
29. a + b + c = 1
30. b) 11/3 < k < 11/2
31. c) 24
32. b) 9
33. b) 7
CAPÍTULO 2
DISCUSSÃO DE UM 
SISTEMA DO 1º GRAU 
COM DUAS VARIÁVEIS
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a b y c
 
  
• a1 e a2 = coefi cientes de x.
• b1 e b2 = coefi cientes de y.
• c1 e c2 = termos independentes.
1. O sistema é possível e determinado
O sistema apresenta uma única solução e as retas com-
postas pelas equações do sistema são concorrentes, ou seja, 
encontram-se em um único ponto.
Exercícios Resolvidos
1. Resolva o sistema abaixo:





4yx
2yx
Resolução
x y 2
x y

 4


 


2x = –2 x = –2/2 = x = –1
Substituindo x = –1 em 
–1 + y = 2 y = 2 + 1
y = 3 S = {(–1, 3)} 
No gráfi co
Considerando x = 0 e y = 0, temos: 
Equação: x + y = 2
x Cálculo y Par ordenado
0 0 + y = 2 2 (0, 2)
2 X + 0 = 2 0 (2, 0)
Equação: x – y = –4
x Cálculo y Par ordenado
0 0 – y = –4 4 (0, 4)
–4 x – 0 = –4 0 (–4, 0)
ÁLGEBRA ELEMENTAR
102
Sempre será verifi cada a relação: 
2
1
2
1
b
b
a
a
 , que independe 
de c1 e c2. Considerando o sistema:
1 1 1
2 2 2
a 1,b 1,c 2x y 2
 
x y 4 a 1,b 1,c 4
    
         
Logo:
1 1
2 2
a b 1 1
a b 1 1
  
 (verdadeira)
2. Encontrar o valor de k no sistema seguinte para que seja 
possível e determinado.
1 1 1
2 2 2
a 2,b 1,c 102x y 10
 
kx 2y 6 a k,b 2,c 6
    
       
Resolução
1 1
a b 2 1 
a b k 2
 

 k  –4
2. O sistema é impossível
O sistema não apresenta solução, e as retas compostas 
pelas equações do sistema são paralelas (nunca se encontram).
As retas possuem mesmo coefi ciente angular.
Exercícios Resolvidos
1. Resolva o sistema abaixo:
2x 6y 10
4x 12y 12
 
  
Resolução
É impossível resolver esse sistema por não haver encontro 
das suas retas.
No gráfi co
Atribuindo valores para x = 0 e y = 0.
Equação: 2x + 6y = 10
x Cálculo y Par ordenado
0 2.0 + 6y = 10 5/3 (0, 5/3)
–4 2.x + 6.0 = 10 0 (5, 0)
Equação: 4x + 12y = 12
x Cálculo y Par ordenado
0 4.0 + 12y = 12 1 (0, 1)
3 4.x + 12.0 = 12 0 (3, 0)
Sempre será verifi cada a relação: 1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
 
Considerando o sistema:
1 1 1
2 2 2
a 2,b 6,c 102x 6y 10
 
4x 12y 12 a 4,b 12,c 12
    
      
1 1 1
2 2 2
a b c 2 6 10
a b c 4 12 12
     (verdadeira)
2. Encontrar os valores dos parâmetros (variáveis não prin-
cipais) k e z para que o sistema abaixo seja impossível.
3x 5y 16
kx 6y z
 
  
Resolução
1 1 1
2 2 2
a b c 3 5 16
a b c k 6 z
    


Pegando as duas primeiras frações, temos:
3 5 185k 18 k
k 6 5
    
Pegando as duas últimas frações, temos:
5 16 965z 96 z
6 z 5
    
UNIDADE 5
103
3. O sistema é possível e indeterminado
O sistema apresenta infi nitas soluções, e as retas compostas 
pelas equações do sistema são coincidentes.
Exercícios Resolvidos
1. Resolva o sistema:





4y2x2
2yx
Resolução
O sistema apresenta infi nitas soluções.
Equação: x + y = 2
x Cálculo y Par ordenado
1 1 + y = 2 1 (1, 1)
–1 –1 + y = 2 3 (–1, 3)
2 2 + y = 2 0 (2,0)
–2 –2 + y = 2 4 (–2, 4)
Etc. ... Etc. ...
Equação: 2x + 2y = 4
x Cálculo y Par ordenado
1 2.1 + 2y = 4 1 (1, 1)
–1 2.(–1)+ 2y = 4 1 (–1, 3)
2 2.2 + 2y = 4 0 (2, 0)
–2 –2.(–2)+ 2y = 4 4 (–2, 4)
Etc. ... Etc. ...
Infinitas soluções
S = {(1, 1), (-1, 3), (2, 0), (-2, 4) ...}
No gráfi co
 
0 
3 
y 
X 
2 2x + 2y =4 
 
– 1 2 – 2 
4 
1 
1 
Sempre será verifi cada a relação: 1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
 
Considerando o sistema:
1 1 1
2 2 2
a 1,b 1,c 2x y 2
 
2x 2y 4 a 2,b 2,c 4
    
      
1 1 1 1
2 2 2 2
Verdadeira
a b c c 1 1 2
a b c c 2 2 4
     

2. Encontrar os valores dos parâmetros k e z para que o 
sistema abaixo tenha infi nitas soluções.
kx 2y 6
6x 8y z
 
  
Resolução

1 1 1
2 2 2
a b c k 2 6
a b c 6 8 z
    

k 2 12 38k 12 k k
6 8 8 2
      
2 6 482z 48 z z 24
8 z 2
      
Exercícios
1. (EsPCEx) Determine o valor de “a” real, para que as 
equações do sistema abaixo sejam incompatíveis.
2ax 10y 29
4x 5y 23
 
  
2. (Cefet) Dado o sistema 
3x y 4
12x 2y 15 2mx
 
   
, o valor de 
 m que torna esse sistema impossível é:
a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 13
3. (EsPCEx) O sistema de equações 
x my 5
mx y 5
 
  
 é impos-
sível para:
a) m = 1 d) m = 5
b) m = –1 e) m = 0
c) m = 1 
4. (CN) Determine k para que seja impossível o sistema 
kx y 2
4x kx 4
 
  
.
a) –2 b) k =  1 c)  2 d) ½ e) –1/2
5. (CN) O sistema 2x 2y b
3x ay 4
 
  
 é indeterminado. O produto 
a . b é:
a) 12 b) 24 c) 8 d) 6 e) 18
ÁLGEBRA ELEMENTAR
104
6. (CN) Para que valores de k e P, o sistema 
kx 6y 5k 3p
(k 4)x 2y 4k 3
  
    
 é indeterminado?
a) k = 20 e p = 3 d) k = 3 e p = 20
b) k = 10 e p = 6 e) k = 3 e p = 10
c) k = 10 e p = 3 
7. (CN) Determine m para que sejam incompatíveis as equa-
ções 
mx y x 2 0
2mx 3y x 4 0
   
    
.
a) 1 b) 2 c) 3 d) –2 e) –1
8. (CN) Determine a de modo que seja determinado o sistema 
ax y 1
ax ay 2
 
  
.
a) a = 1 d) a = +1
b) a = –1 e) a = 2
c) a  1 
9. (Cefet) Considerando que duas retas paralelas e distintas 
são a representação do gráfi co do sistema 
y ax b
y cx d
 
  
, 
em que (a, b, c, d)  IR*, podemos afi rmar que:
a) a = c e b  d
b) a = mc e b = –d, em que {m}  lR – {1}
c) a = c e b = d
d) a = mc e b = d, em que {m, n}  lR – {1}
e) a  c e b = d
 y 
X 
b 
d 
y=ax+b 
y=cx+d 
Sugestão
Usar a fórmula 
2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a

10. (PUC) Considere o sistema 






a
2
y
x
1yx2
, em que a é 
uma constante. 
a) Para que valores de a o sistema tem solução?
b) Represente grafi camente o conjunto solução do siste-
ma, nos casos em que esse conjunto solução não for 
vazio.
11. (EPCAr) O valor de m para que o sistema 
mx y 0
x y 0
 
  
 
seja indeterminado é:
a) –1 b) 0 c) 1 d) 2
12. (AEPST) O maior valor de m para que o sistema 
(m 1)x 2y m 3
3x (4 m)y 2m 4
   
    
 seja impossível é:
a) 5 b) 4 c) 2 d) –2 e) –3
13. (CN) Analise as seguintes afi rmativas sobre um sistema S 
de duas equações do 1° grau com duas incógnitas x e y.
I. S sempre terá ao menos uma solução, se os seus 
termos independentes são iguais a zero.
II. Se a razão entre os coefi cientes de x for igual a dos de 
y, S terá infi nitas soluções.
III. Se a razão entre os coefi cientes de x for diferente da 
dos de y, S terá apenas uma solução
Assinale a alternativa correta.
a) Apenas a afi rmativa I é verdadeira.
b) Apenas a afi rmativa II é verdadeira.
c) Apenas a afi rmativa III é verdadeira.
d) Apenas as afi rmativas I e III são verdadeiras.
e) As afi rmativas I, II e III são verdadeiras.
14. (EEAr/2004) Sendo abcd  0, para que o sistema 
ax by c
px qy d
 
  
 seja indeterminado, é necessário que p e 
 q sejam respectivamente iguais a:
a) da/c e bd/c c) ab/c e d/c
b) bd/c e da/c d) d/c e ab/c
Sugestão
Usar a fórmula a/p = b/q = c/d.
15. (EEAr/2005) Considere as afi rmações:
I. As retas (r) x – 3y + 1 = 0 e (s) –2x + 6y + 1 = 0 são 
paralelas distintas.
II. As retas (t) –2x + y + 5 = 0 e (u) –6x + 3y + 15 = 0 são 
coincidentes.
III. As retas (v) –5x – 4y – 3 = 0 e (w) –10x + 8y + 6 = 0.
Das afi rmações anteriores, é(são) verdadeira(s):
a) apenas duas. c) nenhuma.
b) apenas uma. d) todas.
16. (CN/2006) Observe o sistema linear “S”. É correto afi rmar, 
em relação aos parâmetros reais a, b e c, que:
2x 3y 7
S 3x 2y 9
ax by c
 
  
  
a) quaisquer que sejam, S será possível e determinado.
b) existem valores desses parâmetros que tornam S 
possível e determinado.
UNIDADE 5
105
c) quaisquer que sejam, S, será possível e indeterminado.
d) existem valores desses parâmetros que tornam S 
indeterminado.
e) quaisquer que sejam, S será impossível.
17. (EEAr/2008) Se (r) x + 6y – 2 = 0 e (s) 8x + (t – 1) y – 2 = 0 
são duas retas paralelas, então t é múltiplo de:
a) 3 b) 5 c) 7 d) 9
18. (CN/2009) Sabendo-se que 2x + 3y = 12 e que mx + 4y = 16 
são equações sempre compatíveis, com x e y reais, quan-
tos são os valores de m que satisfazem essas condições?
a) Um. d) Quatro.
b) Dois. e) Infi nitos.
c) Três. 
Sugestão
Pelo enunciado:
 
  
2x 3y 12
mx 4y 16
/       
 
2 3 8 8m m R m
m 4 3 3
19. (ITA/2009) O sistema
 1 1 1
2 2y 2
a x b y c
a x b c
 
  
 a1, a2, b1, b2, c1, c2  R
 
Com (c1, c2) ≠ (0, 0), a1c1 + a2c2 = b1c1 + b2c2 = 0, é:
a) determinado.
b) determinado somente quando c1 ≠ 0 e c2 ≠ 0.
c) determinado somente quando c1 ≠ 0 e c2 = 0 ou c1 = 
0 e c2 ≠ 0.
d) impossível.
e) indeterminado.
Sugestão
Considerar:
 
  
1 1 1
2 2y 2
a x b y c
a x b c


Multiplicar  por c1, encontrando a equação .
Multiplicar  por c2, encontrando a equação .
Somar  e  fatorando por fator comum, encontrando:
(a1c1 + a2c2)x + (b1c1 + b2c2)y = 
2
2
2
1 cc  .
Sabe-se pelo enunciado que a1c1 + a2c2 = b1c1 + 
b2c2 = 0 .
Substituir  em , encontrando:
2 2
1 20x 0y c c 0    
Impossível
Gabarito
1. a) a = 4
2. a) 3
3. b) m = –1
4. a) –2
5. c) 8
6. d) k = 3 P = 20
7. b) 2
8. c) a  1
9. a) a = c e b d
10. a) a = –1/2
 b) 
y
X
-1
1/2
11. a) –1
12. a) 5
13. d) Apenas as afi rmativas I e III são verdadeiras.
14. a) d/a e bd/c
15. d) todas.
16. b) existem valores desses parâmetros que tornam S pos-
sível e determinado.
17. c) 7
18. e) Infi nitos.
19. d) impossível.
Capítulo 1
PROBLEMAS DE 
1º GRAU
São problemas que são resolvidos por uma equação do 1° 
grau ou por um sistema de 1° grau.
Há, em seguida, algumas representações para o bom 
aprendizado sobre o assunto.
• Um número qualquer = x
• O dobro de um número = 2x
• O triplo de um número = 3x
• O quádruplo de um número = 4x
• O quíntuplo de um número = 5x
• A metade de um número = x/2
• A terça parte de um número = x/3
• A quarta parte de um número = x/4
• A quinta parte de um número = x/5
• Três números inteiros consecutivos = x, x + 1 e x + 2
• O sucessor de um número inteiro = x + 1
• O antecessor de um número inteiro = x – 1
• Um número par = 2x
• Um número ímpar = 2x + 1
• Três números pares consecutivos = (2x), (2x + 2) e (2x + 4)
• Três números ímpares consecutivos = (2x + 1), (2x + 3) e 
(2x + 5)
• O quadrado de um número = x2
• Três quintos de um número = 3x/5
• Etc.
Exercícios Resolvidos
1. Um número adicionado a sua metade, a sua terça parte e 
a dois quintos do mesmo excede 7 unidades o seu dobro. 
Calcule esse número.
Resolução
Considerando o número = x
x + 
x x 2x
2 3 5
  = 2x + 7
m.m.c. (2, 3, 5) = 30
x x x 2x 2x 7
1 2 3 5 1 1
30 15 30 3010 6
    
30x + 15x + 10x + 12x = 60x + 210
67x=60x+210
67x – 60x = 210 
7x = 210
x = 210/7 
x = 30
Resposta: o número é 30.
2. A soma das idades de Pedro e Maria é hoje 62 anos. Há 
10 anos, a idade de Pedro era igual ao triplo da idade de 
Maria subtraído de 6 anos. Calcule suas idades.
Resolução
Idade de Pedro = P (hoje)
Idade de Maria = M (hoje)
Idade de