Limite e Continuidade (Parte 2)

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Teorema do Confronto
 
Se não pudermos obter o limite diretamente, talvez possamos obtê-lo indiretamente com o teorema do confronto. O teorema se refere a uma função f cujos valores estão limitados entre os valores de outras duas funções, g e h. Se g e h tiverem o mesmo limite quando , então f também terá esse limite.
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Teorema – Teorema do Confronto
 
Suponha que para qualquer x em um intervalo de aberto contendo c, exceto possivelmente em x = c . Suponha também que
Então
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Exemplo 6 – Aplicação do Teorema do Confronto
(a) Uma vez que 
para qualquer 
, temos que:
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(b) Uma vez que 
para qualquer 
, temos que
ou
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Limites Laterais 
	Para ter um limite L quando x se aproxima de a, uma função f deve ser definida em ambos os lados de a e seus valores f(x) devem se aproximar de L quando x se aproxima de a de cada lado. Por isso, limites comuns são bilaterais.
 
	Se f não tem um limite bilateral em a, ainda pode ter um limite lateral, ou seja, um limite cuja aproximação ocorre apenas de um lado. Se a aproximação for feita pelo lado direito, o limite será um limite à direita. Se for pelo lado esquerdo, será um limite à esquerda.
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Definições: Limites Laterais à Direita e à Esquerda.
 
	Seja f(x) definida em um intervalo (a, b), onde a > b. Se f(x) fica arbitrariamente próximo de L conforme x se aproxima de a nesse intervalo, dizemos que f tem limite lateral à direita L em a e escrevemos
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Seja f(x) definida em um intervalo (c, a), onde c < a. Se f(x) fica arbitrariamente próximo de M conforme x se aproxima de a nesse intervalo, dizemos que f tem limite lateral à esquerda M em a e escrevemos
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Exemplo: 
Para a função na figura, temos: 
 
	 	
 e 
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Teorema 5 – Relação entre os Limites Lateral e Bilateral
 
	Uma função f(x) terá um limite quando x se aproximar de c se e somente se tiver um limite lateral à direita e um à esquerda e os dois limites laterais forem iguais:
e 
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Exemplo 8 – Limites da Função no Gráfico da Figura 
Em x = 0:
e
não existem. A função não é 
definida à esquerda de x = 0.
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Em x = 1:
ainda que f(1) = 1, 
não existe. Os limites à direita e à esquerda não são
iguais.
Em x = 2:
ainda que f(2) = 2
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Em x = 3:
f(3) = 2
Em x = 4:
ainda que f(4) 1
e
não existem. A função não é 
definida à direita de x = 4.
Em qualquer outro ponto a em [0,4], f(x) tem limite f(a).
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Exemplo 9 – Uma Função que Oscila Demais
Mostre que 
não tem nenhum limite lateral quando x se 
aproxima de zero de ambos os lados (Figura abaixo).
Solução: Conforme x se aproxima de zero, seu recíproco, 1/x, cresce
repetem-se ciclicamente de
de –1 a 1. A função não tem limite à direita nem à esquerda em x = 0.
sem limitação e os valores de
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Limites Envolvendo 
Teorema 6
( em radianos)
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Prova
 O objetivo é mostrar que os limites à direita e à esquerda são iguais a 1. Então saberemos que o limite bilateral também é 1.
 Para mostrar que o limite à direita é 1, começamos com valores positivos de menores que (Figura abaixo). Observe que:
Área 
área do setor
área
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Podemos expressar essas áreas em termos de da seguinte maneira:
Área
Área do setor
Área
Logo,
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 A última desigualdade não se altera se dividimos os três termos pelo
número positivo (1/2) :
Tomando os recíprocos a desigualdade é revertida:
Uma vez que 
do Teorema do Confronto resulta
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Tenhamos em mente que 
e
são ambos funções ímpares.
Então, 
é uma função par, com um gráfico
simétrico em relação ao eixo y. Essa simetria implica que o limite
à esquerda em 0 existe e tem valor igual ao limite à direita:
Então
pelo Teorema 4.
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Exemplo 10: Usando 
Mostre que 
Agora a equação (1) se aplica a
 = 2x.
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Limites Envolvendo o Infinito
Definições
Limites com 
Dizemos que f(x) possui o limite L quando x tende ao infinito e
escrevemos:
2. Dizemos que f(x) possui o limite L com x tendendo a menos infinito e escrevemos:
se, à medida que x se distancia da origem no sentido positivo, f(x) 
fica cada vez mais próximo de L.
se, à medida que x se distancia da origem no sentido negativo, f(x)
fica cada vez mais próximo de L.
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Exemplo 1 – Limites de 1/x e k quando 
Demonstre que
(a)
(b)
Solução: 
Podemos observar que y = 1/x se aproxima cada vez mais de zero à 
medida que o valor de x se afasta da origem, tanto para o lado positivo
quanto para o negativo.
(b) Não importa quanto o valor de x se afaste da origem, a função 
Constante y = k sempre tem exatamente o valor k.
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Teorema 7 – Regras para Limites quando
Se L, M e k são números reais e 
e
então
1. Regra da Soma:
2. Regra da Subtração:
3. Regra do Produto:
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4. Regra da Multiplicação por Constante:
5. Regra do Quociente:
6. Regra da Potenciação:
Se r e s são inteiros, , então
Desde que 
seja um número real.
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Exemplo 2 – Usando o Teorema 7
(a)
Regra da Soma
Limites Conhecidos
(b)
Regra do Produto
Limites Conhecidos
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Exemplo 3 – Numerador e Denominador de Mesmo Grau
Divida o numerador e o denominador por x2.
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Exemplo 5 – Grau do Numerador Maior que o Grau do Denominador
Divida o numerador e o denominador por x.
O numerador agora tende a ao passo que o denominador tende a
7, então a razão .
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Limites Fundamentais
 Daremos a seguir três proposições que caracterizam os chamados
limites fundamentais. Estaremos tratando de casos particulares de 
indeterminações do tipo 
e .
Proposição 1: (Como já vimos)
Proposição 2:
Onde e é o número irracional neperiano cujo valor aproximado 
é 2,718281828459... .
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Exemplo
Provar que 
Em primeiro lugar provaremos que 
De fato, fazendo x = 1/t temos quando . Logo,
Da mesma forma, prova-se que 
Portanto, 
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Proposição 3:
(Prova no livro – Flemming e Gonçalves , Cálculo A, pág 125.)
Exemplos
Temos,
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Exemplo 2
 Neste exemplo, utilizamos artifícios de cálculo para aplicarmos a 
Proposição 3.
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Fazemos t = x – 1 e consideramos que, quando , , temos
,
.
Portanto,
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Continuidade
Definição – Continuidade em um Ponto
Ponto interior: Uma função y = f(x) é contínua em um ponto
interior c de seu domínio quando:
Extremidades: Uma função y = f(x) é contínua na extremidade
esquerda a ou é contínua na extremidade direita b de seu 
domínio quando:
ou
respectivamente
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Exemplo 2 – Uma Função Contínua em seu Domínio
A função 
é contínua em todos os pontos de seu domínio,
, inclusive em x = -2, quando f é contínua à direita, e x = 2
quando f é contínua à esquerda.
Exemplo 3 – Uma Função com Descontinuidade de Salto
A função ‘salto unitário’ U(x) é contínua à direita em x = 0, 
mas não é nem contínua à esquerda nem contínua aí. Ela apresenta
descontinuidade de salto em x = 0.
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Teste de Continuidade
Uma função f(x) será contínua em x = c se e somente se ela obedecer
às três condições seguintes:
1. f(c) existe (c está no domínio de f)
2. existe (f tem um limite quando )
3. (o limite é igual ao valor da função)
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Teorema – Propriedades de Funções Contínuas
Se as funções f e g são contínuas em x = c, então as seguintes
combinações são contínuas em x = c.
1. Somas: f + g
2. Diferenças: f - g
3. Produtos: f . g
4. Constantes Múltiplas: k . f, para qualquer número k
5. Quocientes: f / g, uma vez que g(c) 0
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Teorema – Composta de Funções Contínuas
Se f é contínua em c e g é contínua em f(c), então a composta
é contínua em c.