Sucesiones y Series

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SUCESIONES
Y
SERIES INFINITAS
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
LIMA - PERU
IMPRESO EN EL PERU 
01 - 02 - 2008
3ra. Edición
DERECHOS RESERVADOS
|
I Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún método gráfico, ¡ 
¡ electrónico ó mecánico, incluyendo los sistemas de fotocopias, registros magnéticos ó j 
1 de alimentación de datos, sin expreso conocimientos del AUTOR Y EDITOR.
11 .... ... ..... . _ ... ..._ ,......... i
§
i RUC N ° 10070440607
1 Escritura Pública
i1?
N° 4484 %
|
1 Hecho el Deposito Legal en la 
j Biblioteca Nacional del Perú N° 2 0 0 7 - 12603.
|
j Ley de Derecho del Autor N° 13714
1
1 Edición 3ra - Reimpresión 1ro
iii
En la presente obra intitulada “Sucesiones y Series de Números Reales ” en su 
3era. Edición, se expone en forma concreta y precisa los fundamentos teóricos de las 
Sucesiones y Series. Se resuelven gran número de ejemplos y ejercicios como 
aplicaciones de los diversos teoremas y técnicas.
La selección de los ejemplos, ejercicios y problemas de cada capítulo, es 
consecuencia de la experiencia adquirida en la docencia universitaria y sugerencias 
brindadas por ios colegas dei área de matemáticas de las diversas universidades del 
país.
En el primer capítulo se estudia las Sucesiones, se establecen sus principales 
propiedades y se demuestran algunos criterios de convergencia no muy usuales.
En el segundo capítulo se desarrolla el concepto de Series. En la solución de 
algunos ejercicios se han utilizado las llamadas funciones especiales y se han calculado 
explícitamente algunas sumas de series principalmente utilizando las reglas 
TELESCÓPICAS .
Las series de potencia se desarrollan en el tercer capítulo, se calculan 
explícitamente el radio de convergencia y se estudia la diferenciación e integración de 
las mismas, así como las series de Taylor.
La lectura del presente trabajo, requiere de un adecuado conocimiento de las 
propiedades de los Números Reales, del Cálculo Diferencial e Integral y de las 
Funciones Especiales.
La presente obra es recomendable para todo estudiante de Ciencias 
Matemáticas, Física, ingeniería, Economía y para toda persona interesada en 
fundamentar sólidamente sus conocimientos matemáticos del análisis real.
Deseo expresar mi más profundo agradecimiento al Doctor Pedro Contreras 
Ch. por las observaciones y sugerencias brindadas.
Agradezco por anticipado la acogida que ustedes brindan a esta pequeña obra;
Eduardo Espinoza Ramos.
Este libro lo dedico a mis hijos: 
RONALD, JORGE y DIANA 
que Dios ilumine sus caminos para que 
puedan ser guías de su prójimo
INDICE
c a p ü BMHI
1. SUCESIONES.
1.1 Definición I
i .2 Definición 3
1.3 Definición 5
1.4 Propiedades de Límites de Sucesiones 7
1.5 Teorema • 10
. '• ‘ , . \ ¿ i ./■ : V • . ? ‘ ■ ’ L i"
1.5.1. Teorema de la Media Aritmética 10
1.5.2. Teorema de la Media Geométrica 12
tr •
1.5.3. Teorema 15
1.5.4. Teorema del Encaje para Sucesiones 16
1.5.5. Teorema (Criterio de la Razón por la convergencia de Sucesiones) i 7
1.6. Sucesiones Divergentes. 20
1.7. • Sucesiones Monótonas y Acotadas. 21
1.8. Teorema 24
1.9. Teorema 25
1.10. Sucesiones de Caucby ‘ 26
l . 11. Teorema.- (Fórmula de STIRLINO) 27
1.12. Teorema.-(Criterio de Stolz-Cesaro) 28
1.13. Ejercicios Desarrollados 29
1.14. Ejercicios Propuestos 76
C A P Í T U L O I I
2. SERIES INFINITAS.
2.1 Definición 98
2.2 Definición 100
N> 
K>
2.3 Propiedades 103
2.4 Teorema 106
2.5 Series Especiales 107
2.6 Series Infinita?; de Términos Positivos 112
2.7. Teorema 112
.7.1. Teorema (Criterio de Comparación Directa) 112
.7.2. Teorema (Criterio de Comparación por Límite) 115
2.7.3. Teorema (Criterio de la Razón o Criterio de D ’ALEMBERT) 117
2.7.4. Teorema (Criterio de la Integral) 119
2.7.5. Teorema (Criterio de la Raíz o Criterio de Cauchy) 122
2.8. Series Infinitas de Términos positivos y negativos 125
2.8.1. Teorema (Criterio de Leibniz) 125
2.8.2. Teorema 127
2.8.3. Teorema (Criterio de la Razón para Series Alternantes) 130
2.8.4. Teorema (Criterio de RAABE) 133
2.8.5. Teorema 136
2.9. Ejercicios Des arrollados 137
'2.10. Ejercicios Propuestos 173
C A P Í T U L O I I I
3. SERIES DE POTENCIA.
3.1. Definición 215
3.2. Propiedades 216
3.3. Definición 216
3.4. Diferenciación de Series de Potencias 218
3.5. Integración d^Series de Potencia 218
3.6. Serie de Taylor 219
3.7. Ejercicios Desarrollados 221
3.8. Ejercicios Propuestos 242
Sucesiones 1
CAPÍTULO I
1. S U C E S I O N E S
1.1 DEFINICIÓN.-
Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números 
enteros positivos, cuyo rango es un conjunto arbitrario.
Trataremos solamente de sucesiones de números reales, es decir:
Consideremos una función S : 77 -a R, tal que, V/? g Z t , S(n) e R, es un 
elemento de la sucesión.
En vez de escribir S(n) escribiremos Sn y llamaremos n-ésimo término de la 
sucesión.
Notación.- A una sucesión infinita Sj , S 2 ,... representaremos por
ÍS„} . Gráficamente se tiene:1 ’ n > I
Z+ /
1 
2 
3
? Eduardo Espinazo Ramos
Ejemplos:
(T) La sucesión 1, 4, 9, 16....... n2, ... se escribe así {n2 j //>!
(T ) Los cinco primeros términos de la sucesión ¡-—— \ n̂ son:
ni
i i 1 1 L W
” ’ 2 ’ 6 ’ 24 ' 120
(T ) Hallar el término n-ésimo de la sucesión 1, 3, 6, 10, 15, 21, ...,
En efecto.
S, = 1 = 1 + 0
S2 = 3 = 2 + 1 
S3 = 6 = 3 + 3 
S4 = 10 = 4 + 6 
S5= 15 = 5 + 10 
S, = 21 = 6 + 15
c " ~ 1Sn = /H J1
2
De acuerdo a la regla de correspondencia de los primeros términos
obtenemos que:
■ " ' ' L + [h)E
n -1 
n h .n
i
Sucesiones 3
©
Luego la sucesión podemos escribir así: (
n(n4 i)
> >n> 1
2
® Si la sucesión {Sn j 
hallar S7.
En efecto: Si = 1 
S, = 1
n> 1 está definido por: S| = 1, S2 = 1, Sn+! = Sn + Sn.,,
53 = S2 + S, = 1+1 = 2
54 = S3 + S2 = 2 + 1 = 3 por definición de la sucesión
S5 = S4 + S3 = 3 + 2 = 5
S6 = S5 + S4 = 5 + 3 = 8
S7 = S6 + S5 = 8 + 5 = 1 3
¡1.2 DEFINICION.-
Una sucesión {S n} /?>!, se dice que tiene límite L, si para todo c > 0, existe un 
número N > 0, tal que: |5;/ - L < £ , para todo n > N y denotaremos por
lim Sr = L
11—>X
En forma simbólica , se tiene:
lim S„ = L o V s > 0, 3 N > |S„ - L \ < s
//->«
Ejemplos.- Usando la definición de límite probar que:
Límite de {
n +1
n t n>\
, es 1, cuando n -> x
Eduardo Espinoza Ramos
Solución
n +1
l im = 1 » > 0, 3 N >0 / V// > => | S„
n—>qo fj
En efecto: Sw--Z,| =
n +1
t \
n
—, pero necesitamos que ISn - L 
n
i= — < 8 , 
/?
de donde: n > —, luego basta tomar /V > —, es decir:
8 8
| |
l im -1 <=> V f > 0, 3 N > — / n > N , entonces
n 8
n +1 -1
n
< 8
©
Solución
lim (1 + ( - l ) /? —) = 1 <=> V¿*>0, 3 N = ? ! n > N => |S„ - L
n->cc /7
En efecto: & l l¡ i + ( - i ) " —_ i — ( - i r -
1
n n n
Pero debe cumplirse que 5 - Ln < 8 , para ello hacemos — < £ , de donde:/?
/7 > N > — . Luego \ / s > 0, 3 N > -- / \Sn - L\< 8 . 
8 8
lim 2 ^ = 1
n-
Solución
Sucesiones 5
lim 2 = 1 <=> V¿r > O, 3 = ?/» > A'
//—>X
“ L < s
En efecto: S - Ln
1
1
1
2 ^ - |
1 _ - > £
<
1
1 - 2 ^1
7 \fñ
®
Luego: |SW - ¿| < 11 -2 ^ " | = 2 ^ -1 < ¿r => 2 ^ < £ + 1, entonces,
log 2 < log(¿* +1) => 4n >
lo g 2 ?
tomar n > A' > ( — )“
log(¿r + l)
log 2
log(f + 1)
, de donde:
/ log 2 a
n > ( ------------ ), hasta
log(¿* + 1)
1.3 DEFINICION.-
Se dice que una sucesión es convergente cuando tiene límite, en caso
contrario la sucesión es divergente.
Ejemplos.- Determinar si es convergente ó divergente las sucesiones
siguientes:
; n + l »
1 O i 1 t/,- ,2/7 + 1
Solución
Para determinar la convergencia ó divergencia de una sucesión bastará calcular 
el límite de la sucesión, es decir:
6 Eduardo Espinozct Ramos
©
r» i t /7 + 1Por io tanto {--------} >, es convergente.
2/? +1
* 1 > //>1 
3/7" —n
Solución
Para determinar la convergencia ó divergencia de una sucesión bastará calcular 
el límite de la sucesión, es decir:
2 + 1
lim S„ = lim = l im ------= -
ti—>x //—>x 3/7 — /7 /7->x ̂ 1 3 “O 3
n
i í ^ ̂ ~ *4- ^Por lo tanto: {— , es convergente./ / 4 — 1
3/?“ - n
© 9 /7" ~ 77
Solución .
En forma similar a los ejemplos anteriores, calcularemos el límite de 1
ó • i - v /?2 4 - 1 i* / 1 { 1 a 1sucesión, es decir: lim ó • = l im — = lim (—■+ — - ) = — + U = — .
;i->* //->* 2/72 ;i-»x 2 2/7 2 2
/7~ + 1
Por lo tanto: ¡ ~}„>i , es convergente.
2/7”
{3 y ± l }
'2 /í3 + l ’"£l
Solución
rv
Sucesiones 7
En forma similar a los ejemplos anteriores, calcularemos el límite de la
1
sucesión, es decir: lim Sn - lim
3 +
- lim n3 ' 3 + 0 2
//—>x /,->x 2nJ + 1 "->x ̂ 1 2 + 0 3
- i - +
77
n l , 3« + 1Por lo tanto: {— r >,, es convergente.
2/; + 1 '
1.4 PROPIEDADES DE LIMITES DE SUCESIONES.-
Consideremos dos sucesiones convergentes \S„ 1
4
constante, entonces:
i) lim k = k
n—>x
i i) lim k Sn = A' lim
n—>r
iii) lim (ó’ ± 5 ' ) = lim ± lim S ' iv) lim = lim Sr . lim S' ' II II ' II II II II IIn—»x ~ ..... ~ IIil—>~s. II—>r //—>> ii—̂ y.
o lim
V) lim " - /,_>x , si lim + 0
II —►x
La demostración de estas propiedades es análoga, a la de los límites de 
funciones reales, por lo tanto se deja para el lector.
Observación.- Para hallar el límite de una sucesión {S/;}w>¡, se calcula el
límite del término n-ésimo de la sucesión Sn cuando n —» x,
es decir:
Ejemplos.- Calcular los límites siguientes
8 Eduardo Espinoza Ramos
i . *
© lim (1 + n + n2)n
n—»x
Solución
lim (1 + n + n2)n = lim [(/? + n1 )(1 h-----—-)]" *
ii—> x //—>x ^ yi ~
i “ 1lim (// + /?“ )". lim (1 + --------)
//—>x //—»x ^ + /7“
lim e¿"("+" + lim[(l + — L _ )" +'r' ]''("+,': )
/ /—>X /í—>X j j
ln<"+" : > lim ' — i ± ? ü lilim
lim e " .e .
I I—>X / /—>X
e " . eM = ( 1) (1) = 1
lim (1 + // + n~)n = 1
/ /*4X
© . . V 3 / / 3 + 2 « - 1 - \ / 3 « 3 - 2ii - 1|im ?
" >X V / 7 + /7~ + 3 / 7 — V / 7 ” + / 7 " - 3 / 7
Solución
Racionalizando el numerador y denominador.
V3/?3 +2 /7 -1 - >/3/7̂ - 2 /7 - 1 .. 4/?( V+73 + /72 + 3/7 + Vft + /7“ — 3/7 )
lim ■ : = = = = = = = = = = - h m = = = = = — = = = = = =
V/7' + //“ + 3/7 - \ /7'1 + n2 — 3/7 /,_>x 6/7(v 3/7̂ +2/7-1 + v3/7'7 - 2/7 - 1)
Sucesiones 9
-i,;i±¿±Í±) 
' ^ 3 í z r x + . r ^ T2 3 \ 2 3n n V n n
_ 2 1 + 1. _ _ 2 _ _ 2>/3
3 V3+V3 3n/3 9
( T ) l i m ( V 2 / í +-1 - \¡n + \)(\j2n~ + 1 - V « 2 + l ) s e n 2 (—)
/?—>x //
Solución
r . . . ' •
Primero racionalizamos a la expresión:
i ^
lim (\¡2n + \-yJn~+\ ){\¡2n2 + 1 - \ l n 2 + 1 )sen2 (—)
« - > 0 0 n
3 l 2 ,H sen (■—)
= lim — ------- ------ jJ?= = ---- j=r-.....
,,_*x (V2/7 + 1 + + 1 ) (V 2 n~ + 1 + sin2 + 1)
2
~ 3 sen(--) 3 . 
n\ - ) 2 {
n ( ~ )
= lim n
( v/2w + l + s f ñ + \ )(y¡2«2 + 1 + + 1)
,2 ' 3
sen(-> 2 n n)2
lim( ü-)2
II —>X
(
n
(—) (yfln + 1 + yjn +1 ) ( V 2 / r + 1 + V /72 + l )
2^ 2V2
(V2 + 1)(V2 +1) (V2 + 1)"'
10 Eduardo Espinoza Ramos
. x na + \r, . ;7(3 + l <g-(-----)
l im [3 -2 (------- )] 2 »°
l i ­ na
Solución
x fna+\.
na -f-1 )
l im [3 -2 (— — )] 2 = lim [(l+ — ) 2 ]
n >oo na na
na ¿ na
1 x //<v+l 4-21im—tg—(-----)
" ■*■' na " 2 na e* ,donde:
r 1 7 T ,n a + 1 ■ t t . i x 2
lim — tg — (--------) = lim x tg —(1 + x) = —
«->* na 2 na v~>o 2 ;r
1.5 TEOREMA.-
1.5.1 TEOREMA DE LA MEDIA ARITMETICA.-
Consideremos una sucesión {an ¡ ,?>] convergente, si lim an = a , entonces:
II —> X
6fi + ¿2? + ... + ¿Z..hm — ---- =
«->00 /?
Demostración
Como lim an = a
n —>oc
=> an = a + Sn , donde: lim Sn = 0 , por lo tanto, a la suma
expresamos asi:
<7, + ¿z2 + ... + cin a + ó'| + a + S2 +... + a 4- Sp + a -f óp+{ + ... + a +
/? n
na $\ + $2 +••• + Sp S +l + J 2 + ••• + ^— + L_ + _i t--------------n
n n n
Como la suma 8i + S2 + ...+ 8P = k (constante) por ser una suma finita, como:
S:
i - P
< e , entonces: (i
Sucesiones 11
<>p+1 + dp+2 + -+ $ n < + ^ p + 2 n < M £ , por lo tanto su límite
de,
¿/i +a2 + ... + 0w
n
, es: lim
//—>x
Cl i + Ü-) + ... + ün a
n
Ejemplos: Calcular los siguientes límites:
© lim --I .. 
,H X V16/?2 +3
Solución
mu -—=====— .
^ yj\6n2 + 3
Í3 Í5— + > /--- h
¡4 ]V 5 'v 6
(/i + 2 
n + 3
lim
"->x Vl6«2 +3 "
Í3 Í4 Í5 . í— + ,
14 y<5 /̂ 6 V
// + 2 
n + 3
(—)(1) = —, de donde se tiene: lim —= JL= = = —
4 4 ',_>x \J\6n2 + 3 4
a d em á s: lim
//-->x V n + 3
= 1 y por el teorema de la media aritmética se tiene:
5 n + 2 \ _—f-... ■+■. /—— i — 1 •
6 V/2 + 3
1 4 5 /7 + 3
l i m —y . (9 H 1----- h...H—----- )
/7—>X \/l -8 /í3 5 6 ” + 4
Solución
r 1 4 5 " + 3l i m —I (9 H H h ... H )
>i-»oc 3/j _8„3 5 6 rt + 4
12 Eduardo Espinoza Ramos
1.5.2.
9 n 4 5 n + 3 .1 ... 1 1lim —■■■■■■ — lim —■======== (— !--- 1- ... h— --) — — O 4- (— )(1) — —
"~>x %/l — 8//3 — C Í ? 5 6 " + 4 " 2 2
donde: l im .. - - = = 0, lim —r~~^== - - — y como lim —— = I
" ^ x V 1 - 8 / j3 ',->cc v i - 8 n 3 2 «-** n + 4
1 4 5 /? + **por el teorema de la media aritmética se tiene: lim + ----- - ) = 1
»->x // 5 6 77 + 4
TEOREMA DE LA MEDIA GEOMETRICA.-
Consideremos una sucesión {«„}„>] convergente, si lim an - a , entonces:
/ /—►X
Demostración
Como lima,, = a => ln( lim a„) - ln (a ) , de donde: lim(ln(aw)) = ln(n),
w-»x n—>x //—>x
 ]
sea */„ = (¡/a,,a2—an ^ *n?/// = ^ y j a l .a1...an = — (ln<r/, + ln a 2 +... + ln¿z/?)
~ n
Tomando límite cuando n —> oc y aplicando el teorema de la media aritmética 
lim ln(í//;) = lim — (ln ¿/, + ln a2 + ... + ln an)
//—»x >oo /7
, ln¿/, +ln¿7-, + ... + lna„ • / . ,
ln(lim un)= l im 5-------- 1 = ln(hm ^ a ^ a 2...an ) = \na
//->x /Í-»X // >x
Levantando el logaritmo en ambos miembros: lim !¡Ja].a1-..an = a
//—>x
Ejemplo.- Calcular los siguientes límites:
Sucesiones 13
lim "i
'3 5 7 2« + l
«->ot V 5 8 11 3/7 + 2
Solución
Se observa que: a, = — , a-, = —, ún = — , . . 1 , de donde:
1 5 2 8 3 1 1 " 3/7 + 2
lim ¿7,; = lim ------ -- = —, luego el teorema de la media geométrica se tiene:
A/-»QO //—>X 3/7 + 2 3
23 5 7 2/7 + 1
lim ” — .— ...------— - -
/,->x V 5 8 11 3/7 + 2 3
© lim J Ü 2 , I " Í . . . Í Wn->ceyln(5) l nlü ln(5/í)
Solución
Se observa que: a¡ =
ln3 
In 5
lnó 
ln 10
?
ln(3/7)
ln(5//)
, de donde:
lim a
n—»x
tiene:
n lim -- - - -- = 1 , luego por el teorema de la media geométrica se /;—>x ín(5/?)
, l n 3 l n ó l n ( 3/7)
l i m "I . --------- . . . ---------------= 1
»->oo V l n 5 l n 1 0 l n ( 5 / ? )
r
OBSERVACION.- Existen limites que se calculan mediante la integral
definida (veamos el caso particular)
Para la integral definida sobre el intervalo [0,1], de donde
b - a 1 - 0 1
= -------- = -------- = — , c
n n n
i i i
t = a + /Ar = 0 + — = — => c ¡= —
n n n
■
l im y- lim
* é i) , >OQ
1 * i 1 
n n
14 Eduardo Espinazo Ramos
Ejemplos.- Calcular los siguientes límites:
/J-»X fj
Solución
Al límite dado lo expresaremos en una integral definida
+ + ... + sÍel i * l / “ “l im --------------------------- = lim — (en +e" + ... + e n )
/;—>oc ti //—>x fj
lim — S> ' é,,? = j áv - ex / = e - 1
//->x 77 JL / o
/ = !
/// . nT 2 . . n¡ n.. yje + yje + .,. + \le
l im --------------------------- = e -1
//—>x /7
//
® l i m//—>x 4-? or + n/•=I
Solución
7 4-77“ /?->* / ...4 / 2 , 1 77 ^
lim
^ * ^ ( 1 ) 2 + 1 " ^ nÁ-? \ + (I)2
77 /?
r1 ¿v 
j ) i+ * 2
¿vrc/g x I = «rc/g 1 - arctg 0 = -----0 =
/ o 4
(T ) lim
16 +26+... + t?6
777—>X ^
Solución
Sucesiones 15
lim----------- = lim _((_)«> + (-)*+... + (-)")
«->x n n-+K n n n n
= , i m l V ( V = f , V v = ^ /
«->* a? n J } 7 /
’ ■' = 1 - 0 = 1
o 7 7
lim
l6 + 26 + ... + M6 I
n->* ;j7 7
1.5.3. TEOREM A.- Demostrar que: lim rn = 0 , si 0 < r < 1 y si r > 1,
/ I - 4 X
lim r" = + og
/?—>x,
Demostración
De acuerdo a la definición 1.2 se tiene: V £ > 0, buscaremos un numero 
N > 0, de tal manera que: r" - 0 < ¿r, V n > N
In
Luego: r ” - 0 = rn < <=> n ln r < ln 8 o n > = N , puesto que
Inr
ln s
0 < r < 1, por lo tanto: dado e > 0, 3 N = —— , tal que:
ln r
V n > N - , es decir: lim r" = 0
lnr
Ejemplos.-
r n - 0 < ¿ ,
2 2
1J lim (—)" = 0 puesto que r = — < 1
//-»x 3 3
© 4 4
lim (—)"= +oc puesto que r = — > 1
/?—>x 3 3
16 Eduardo Espinazo Ramos
1.5.4. TEOREMA DEL ENCAJE PARA SI CESIONES.-
Si V / ? g Z + , 3 N > 0 , tal que: a„ < cn < hn , V n > N y si
lim an = lim bn = L , entonces lim cn - L
ii—>00 n—►x 11—̂x
Demostración
Por hipótesis tenemos: lim an = L <=> V c>0, 3 TV, > 0 / n > N ] => - ¿| < £ ,
. //—>x
es decir: L - e < < L + ¿;a . . . (o
lim bn = L <=> V e > 0, 3 N 2 > 0 / n > N2 => |fy, - L\ < £ , es decir
II—̂X
L~s <b„ < L +£
Sea /V = max [N ], A2}, entonces tenemos:
L - s < an < c#7 <bn <L + s , de (1), (2) e hipótesis
Luego tenemos L - e < cn < L + e => cn - ¿| < ¿'
Por lo tanto, dado s > 0, 3 N = max {A ,, W2}, tal que:
n > N => |c„ - L < e , de donde: lim = £ , por definición 1.2.
Ejemplo.- Probar que lim c o s = 0
/?—>x //
Solución
\f n e Z + , -1 < cos n < 1, como n e Z + => — > 0 , entonces
1
/?
Sucesiones 17
1 C0S'7 ^ 1 i- 1 r 1 a— < ------- < — , y como lim — = lim — = 0
n n n n ¡¡
r w i o i- eos(n) _Luego por el teorema 1.8, se tiene: l im --------- = 0
n— //
Ejemplo.- Demostrar que: lim yfa +b" = b , 0 < a < b
//—»x.
Solución
Como 0 < a < b => 0 < => < a" + bn < 2b" => b < \[an +bn < y¡2b
como lim b = lim \¡2b = b , entonces por el teorema 1.8 se tiene:
>x //—»x
lim yfci'1 +bn - /}
II—>OC
1.5.5. TEOREMA.- (CRITERIO DE LA RAZON PARA LA 
CONVERGENCIA DE SUCESIONES).-
Sea [Sn] _ una sucesión de números reales./!> 1
Si lim
n—>x
n - \
n
< 1, entonces lim Sn - 0 y por lo tanto. La sucesión {Sn } ,
//—>x
es convergente.
Demostración
Por hipótesis se tiene: lim
Sii-
ii
< 1 , sea r un número real, tal que:
lim
rt—> OC
/I—1
S.n
< r < 1 z z > 3 N > 0 / ' lim
n
n-
Sn
< r , siempre que n > N
18 Eduardo Espinoza Ramos
Sea p g Z + / p > N
5p
< r => p < r S, , de donde:
Sp+2 < r V+1 < r' 5/> , en general se tiene:
< r S. , de donde: - r S, 5 /’
como 0 < r < 1 => lim/*' = 0 (teorema 1.7)
k —y x
Luego l i m - r
k —>x
5
p
k - 0 y por el (teorema 1.8) se tiene:
lim S k = 0 , por lo tanto:
A->x
lim = 0
Ejemplos.- Demostrar que:
5"
lim — - 0
//-»x //!
Solución
Sea S/í
5"
;j!
■tf+l
=> S„= (« + !)'
, entonces por el criterio de la razón:
lim
II—»x
/?+! lim
//—>x
■//+!
(« + !)!
■//
/?
lim
//—>x
az!5/?+i
(/? h- 1) ! 5"
= lim 0 < 1
n + 1
5"
Luego por el teorema (1.9) se tiene: lim — = 0
/?-->x n !
Sucesiones 19
© nlim — = O/?—»x y 1
Solución
Sea Sn = — => 5 , - - - - - - , entoncesn yi /, + 1 -y/+l
lim
/;—>x
// +1
5n
= lim
/7->x
(w +1).3"
n.3n+l
. . /? + 1 1 
= lim = - < 1
' 3 n 3n-
n
Luego por el teorema (1.9) se tiene: lim — = 0
// —>QC 3 "
® n ̂lim — - 0n—>x fjn
Solución
Aplicando el criterio de la razón para sucesiones convergentes.
Sea S
n\
n snn
_ (n )!
"+1 " ( H + i r 1
, entonces:
lim
//—»x
*n+\
n
lim
//—>x
(/> + !)? 
( « + l )"+l
n\
nn
lim A," (W + 1)! = l im ( - ÍL )-
/? + 1
lim[(1 +-—í- )_<"+l)j - ("+l> = e í-«+i = e- ‘ = i - < |
«-^x n + 1
/7 J
Por lo tanto por el teorema 1.9 se tiene: lim —1 = 0
n >x n n
20 Eduardo Espinoza Ramos
Se ha dicho que una sucesión es divergente cuando no tiene límite, esto puede 
ser, divergente a + oo ; a - oo u oscilante.
a) DEFINICIÓN.- Sea [Sn} , una sucesión, diremos que: Sn —> +oc ,
cuando n —> oo, si para todo M > 0, existe N > 0, tal 
que: Sn > M , V n > N
O I 1Ejemplo.- Probar que lim 3“/? = +oo
n —>oo
Solución
V M > 0 , 3 N - ? (que depende de M), tal que:
32" 1 > M => (2n — 1)ln 3 > InM , es decir n > f 1) = Ar
2 ln 3
b) DEFINICIÓN.- Sea {S„}/7>1 , una sucesión, diremos que: Sn -> -o c ,
cuando n —> oo, si para todo M > 0, existe N > 0, tal 
que: Sn < - M , V n > N
Ejemplo.- Probar que lim 1 — 2/7 = -oo
//—»oc
Solucem
V M > 0, 3 N = ? / l - 2 n < -M => n> = N
Luego V M > 0, 3 N = — — / 1 - 2n < -M, V n > N
*
Sucesiones 21
c) DEFINICIÓN.- Si la sucesión {^w}w>l diverge, pero no a - oo, ni
a + oo, y además toma valores positivos y negativos en
forma alternada, diremos que la sucesión {Sn } , es oscilante.
Ejemplo.- La sucesión j ( - l ) ” j es oscilante, pues la sucesión es
-1, 1 ,-1,..., si n es par lim (-1 )"= 1 y cuando n es impar
w—
l im (-l)" = - 1 , Luego ¿f lim ( - l ) " , por lo tanto, no es convergente; pero
>7—>oo n >x
tampoco diverge a +oo, ni a -oo, por lo tanto, es oscilante por definición c).
a) DEFINICIÓN.- Sea {Sn , una sucesión, entonces:
i) Si Sn < Sn+l, V n > N => la sucesión es creciente.
¡i) Si Sn+]< S n , V n > N => la sucesión ^ es decreciente.
A una sucesión que sea creciente o decreciente le llamaremos monótona. 
OBSERVACIÓN.-
Si Sn < Sn+l diremos que la sucesión es estrictamente creciente.
Si Sn+l < su diremos que la sucesión es estrictamente decreciente. 
Ejemplos.-
Determinar si la sucesión {—- — } >, es creciente, decreciente o no monótona.
2/7 +1
Solución
22 Eduardo Espinazo Ramos
1 2 3 4 n n + 1
Escribiremos los elementos de la sucesión
3 ’ 5 ’ 7 ’ 9 2// + 1 ’ 2/? + 3
Se observa que los cuatro primeros elementos de la sucesión van creciendo 
cuando n crece.
, 7 7 / 2 + 1 . f .
En general tenemos: < ... (1)
2/7 + 1 2/7 + 3
La desigualdad ( 1) se verifica si encontramos otra desigualdad equivalente en 
al cual podemos afirmar que es valida.
Así por ejemplo en la desigualdad (1) podemos escribir:
2/7_ + 3/7 ^ 2/7“ + 3/7 + 1 ... (2)
La desigualdad (2) es valida porque el miembro de la derecha es igual al de la
izquierda mas uno, por lo tanto la desigualdad (1) es valida.
Es decir: Sn < Sn+l, luego la sucesión es creciente.
Determinar si la sucesión {—}/;>i es creciente, decreciente o no monótona.
ti
Solución
Escribiremos los elementos de la sucesión {— }n>], 1, — , — , — — , ------ ---
n 2 3 4 /7 /2 + 1
Se observa que los cuatro primeros elementos de la sucesión van decreciendo 
cuando n crece.
1 1
En general tenemos: < — •••(!)
/7 + 1 n
Sucesiones 23
La desigualdad (1) escribiremos en otra desigualdad equivalente para ver su 
validez.
n < n + 1 ... (2)
La desigualdad (2) es validad porque el miembro de la derecha es igualdad al 
miembro de la izquierda mas uno, por lo tanto la desigualdad (1) es valida.
Luego Sn+] < Sn , entonces la sucesión es decreciente.
y
b) DEFINICION.- Ai numero A le llamaremos cota inferior de la
sucesión {£„} . si A < Sn , V n e Z + , y al numero
B le llamaremos cota superior, si Sn < B , V n e Z + .
Ejemplos.-
I ) En la sucesión {—- — }/;>¡, una cota inferior es cero, cuyos elementos2 n +1
1 2 3 n . . 1
son: otra cota interior es - , en general una cota
3 5 7 2/2 + 1 3
. 1
inferior es menor o igual que — .
2jp En la sucesión el 1 es una cota superior, en general cualquier
n
número mayor o igual que 1 es cota superior.
c) DEFINICIÓN.- Si A es cota inferior de {S„}n>{ y A > C para toda
cota inferior C de {S,,} ; entonces A ser llama la
máxima cota inferior de {Sn} .
24 Eduardo Espinoza Ramos
Si B es cota superior de {*£„} >, y si B < D para toda cota superior D de 
{Sn }„>| ’ entonces: B se llama la mínima cota superior de {Sn }w>j .
f
d) DEFINICIÓN.- La sucesión {S,,} diremos que esta acotada, si y
solo si, tiene cota superior e inferior, es decir: 
|Sk | < k , V // e Z + .
Ejemplo.- La sucesión {— \n¿x es acotada.
n
Sea [Sn} una sucesión, entonces:
i) Si [Sn es creciente y acotada superionuente, entonces es
convergente.
ii) Si {5W} es decreciente y acotada interiormente, entonces {Sn }m>1 , es
convergente.
Demostración
i) { /̂i}w>1» es ac°tada superiormente, por hipótesis a = mínima cota
superior de [Sn} , dado un número 8 > 0,' se tiene que a - s, no es
cota superior de {£„}>. , pues a - 8 < a y a es la mínima cota
superior de la sucesión como a - 8 no es cota superior, 3 un número 
entero positivo N > 0, tal que: a - s < Sn , V n > N ... (1)
Tenemos Sn < a , V n e Z + ... (2), a es la mínima cota superior.
Si Sn < Sn+i , V n > N ...(3), ({£„}>! es creciente por hipótesis).
Sucesiones 25
Luego S„ < Sn pero n > N .... (4),
De (1), (2), (3) y (4) , se tiene que: a - 8 < Sn < Sn < a < a + 8 
siempre quen > N => {Sn } es convergente y su límite es la mínima
cota superior,
ii) La demostración es similar que (i).
r
OBSERVACION.- El teorema establece que toda sucesión monótona y
acotada es convergente.
1.9 TEOREMA.-
Toda sucesión convergente es acotada.
Demostración
Para demostrar que: Sn < k , V n
Sea {SAJ} , una sucesión convergente y sea L su límite, es decir:
lim Sn = L V s> 0
tenemos: Sn - L < s , V n > N
Sn = S„ - L+ L => Sn < S „ - L + |L\ < £- + |¿ |de donde: S„ < ¿r + |¿ |, V n>N
Sea A- = max |j5 ,|, |5 , | , |53|,...,|S(I|, e + \L\ j , luego se tiene: SH < k , V n.
26 Eduardo Espinazo Ramos
1.10. SUCESIÓN DE CAUCHY.-
a) DEFINICION.- Sea ana sucesión, se dice que es una sucesión
de cauchy, si para todo £•>(), 3 N > 0 / m > N , n > N
entonces S - 5• ni n < £ .
Ejemplos.-
© La sucesión {—}„>] es de Cauchy.n
En efecto: V € > 0, 3 N = ? / V m > N, n > N < £
Sn | -
1 1
m n
— 0 < c , V n.
ií) Si m > n => Sm - Sn
1
ni n
= < — pero debe cumplir qué:
n m n
ISm — Sn <£ => ~ < £ de donde: n> — = N , (m > n > N). Luego
n £
bastará tomar -- — .
i 1 1 1 1 1 S - SSi n > m => K-s„ — — < — como
m n m n m
< £ ,
entonces: — < £ => m > — = N . Luego bastará tomar N = — (n >m>N). 
m £ £
© La sucesión {—— }„>| , es de cauchy.n
En efecto: V c > 0, 3 N = ? / n, m > N < £
Sucesiones 27
K-s,, n i 4-1 n 4-1
m n
_i__ i 
w n
, se reduce al ejemplo anterior, luego bastará
tornar N -
1.11. TEOREMA.- (FORMULA DE STIRLING).-
Demostrar que para n grande: n\ = yjlirn n"e ” aproximadamente.
Demostración
Por definición de la función GAMA, se tiene:
f (n + 1) = x ne Xdx - •//In.v-.v ie ax
La función n Ln x - x, tiene un máximo relativo para x = n (queda como 
ejercicio probar).
Haciendo la sustitución x = n + y en la ecuación (I):
r v , i \ -a I «ln(/;+v)-v j -n „l ( « 4-1) = e i e ■ a y ~ e \ e
//ln/?+//ln(l + -)-Y
" dv
-n
... (2)
2 3
X X
También se conoce que: ln(l 4* x) ~ x k — -2 3
... (3)
y i
Haciendo x = — , además y - Vn v , se tiene:
28 Eduardo Espinoza Ramos
Para n grande, una buena aproximación es:
ÍhX_________________________e e íh = y ¡ 2 x n r í 'e~ " —,(5 )
X
Además f(/? + l) = w! ... (6)
Por lo tanto de (6) en (5) se tiene: ni = sflñn n"eti -n
yjnl
Ejemplo.» Calcular l im -----
/;~>x /7
Solución
\¡ni n e xi,2¡2nn 1 —
l im = l im ----------------- = - lim ~\¡2nn
/;->x i\ >x fj £ n —>x
J
1 lim In - y j lnn 1 —~ — 1 Hni— j 1
= - e " ~ 2,1 = - e " = - e = -
e e e e e
1.12. TEOREMA.- (CRITERIO DE STOLZ-CESARO).-
Sea {£/„}„>i y {bn \n¿| , dos sucesiones tal que:
i) Si lim an = lim = 0 y la sucesión {/>„}/>>!* es monótona ó.
//—>x //—>x
ii) Si lim bn = +oc , y la sucesión , es monótona, entonces:
//—»x
lim ^ = lim a"+i a" = /l 
"~>x t>„ "-*x b„+i-b„
_ , , ln(/?!)
Ejemplo.» Calcular l im --------
«->»ln(w")
Sucesiones 29
Solución
Sea
a„ = ln(«!) 
b„ = ln(n")
a„+l = ln (« + l)!
l*h+i =ln(/7 + l)"+l
,im f!» = lim = lim J K » + D! - ln « !
bn " ^ K + \ - K w—>x ln(/7 + \ )n^ ] - ln n n
- l im /?
(/7 4- l)ln(/7 + 1) ~/7 ln .77
lim
//—>x
ln(/7 +1)
77. ln(— —) 4- ln(/7 4-1) 
7?
= lim
/»—>x
ln(l 4 - / 7) ” lne 1
I i ln 14- ln e 1
ln(l + - - ) + ln(l 4-n ) n
77
lim ^ = 1
//—VX; ln(n")
1.13. EJERCICIOS DESARROLLADOS.-
® Estudiar la convergencia ó divergencia de la sucesión
(2w + 5)2"+5«"~3
(4h + 1)',+2(« + 3)2"
Solución
ó1., =
(2/? + 5)2" " V ~ 3
/-v \2ii+5/i . ^ \2/?+5 /;-3( ln) (1 + — ) n
l n
(4« + l)',+2(K + 3)2" (4/j)«+2(1 + ± )»+2n2»(1+2 )2»
4/7 77
30 Eduardo Espinoza Ramos
2 2"+5/i2"+V _V 2"(1 + — )2"+5 2 2n+5n 2+” (l + — ) 2" +s
2 n 2 n
4 "+2nl,+2 (1 + -^-)"+2 (1 + - ) 2" 22n+4 > r 2 (1 + (1 + - ) 2"
4 n n 4/i n
2(1 +-—-)2,l+5 
 2 n
(l + - - )"+3(1 + - ) 24/? /?
2n 5 ( 2 u + 5 )
2[(1 + — )T ] ^ ' ~ 2-5 _s
lim S„ = l im =2— —— = —-— = 2e 4
, 4„( — ) 3 - < - > - ,
[1+— ] 4,1 [1 + - ] 3 " e4e6
4/7 n
( T ) Calcular lim V2n6 +1 s e n ( -^ - ) .s e n (^ ^ - ) .s e n (^ ^ - )
//—>x fj -f* 1 /7 4- 1 /7 4- 1
Solución
s e n ( -^ - ) = sen(;r — — ) = sen(—— )
n 4-1 n 4-1 /? 4-1
/ 3/777* \ / - 37T \ / 3/T \
sen( ) = sen^3/r j = sen^ j
n 4-1 n 4-1 // 4-1
sen( = sen (5 ;r- - --) = sen(-1-- - ) , de donde:
n 4-1 n 4-1 / ? 4-1
lim y¡2nb +1 se n ( -^ - ) .s e n ( -^ ^ - ) .s e n (1- ^ )
//— A7 4- 1 /7 + 1 /? 4- l
lim V2/76 4- 1 s e n ( — ) . s e n ( - ^ - ) . s e n ( - ^ - ) 
/i—>x • /? 4-1 « + r /2 + r
Sucesiones 31
= lim -7— - " - ( / ? + 1)3 sen(— ) . s e n ( - ^ - ) . s e n ( - ^ - ) 
(n + \Y n + \ n + Y 77 + r
y¡2n6 + 1
\jn +1l ) 3
>/ 2 t 76 + 1
í 77 + 1I)3
l im i . . l im ( /? + l ) 3 s e n ( —:— ) . s e n ( - ^ - ) . s e n ( - ^ - ) ... ( i )
„ - > x ( „ + i V , - > x V K n + V 77 + T /? + 1
yjln6 + 1 rz 
lim —--------- — = v2 ...(2)
'?-*x (/? + l )3
1 1
Sea z = ------ n +1 = — ; • cuando n - » ce, z —» 0
77 +1 z
lim (az + 1)3 sen( ).sen( ) .s e n (-^ -- ) = lim z 3 sen ;rz.sen 3/rz.sen 5/r.
11 >x /? + 1 77 + 1 77 + 1 r - > x
.. sen/rZ _ sen3;rZ . sen 5/rZ , . *
= lim 7T .3/T-----------.>/T----------- = \37T ...(3)
/tZ 3 nZ, 5 ti
Ahora reemplazamos (2), (3), en ( 1)
lim J~2n" + 1 sen(---~ -).s e n ( ~ —) .sen(— ) = 15\/2/r3
77 + 1 /? -f 1 77 + 1•• % .
1 1 13«( 7 ) Calcular lim z?6f—=====
W V ; r + 3
J
+ 3 \/«" + 3
Solución
lim ^ [ _ L = _ _ L =rp = lim nH
"~>x f n 2 + 3 ^ ; j" + 3 "“** ’<Jn2 + 3 %//;" + 3
6 '«2 + 3 n3„
lim — 7 — -̂ (1 — W—— ) 
«-**(71+3) . V/z" + 3
32 Eduardo Espinoza Rumos
r
V + 3 „ ///' +3
- i¡m( 4 - V [ ( i - J £ i i ) - - f e ] -
/,->x n~ +3 V n +3
- 3 lim/; { h ~ r ,
_ ( 1) e v«"+3 - ^ ̂ donde: lim «y,
n->x
« “ + 3 n ~ + 3/?/,.--------- = hm n -----------
V a? " + 3 «->* V a? " + 3
= lim «I - - +3) = lim ?i -
//—>x \ n”(l+3n ") \ 1 + 3/7 "
/72 + 3
.. I , / / r + 3 \ L n { n ~ + 3 ) - L n (1+3// " )
1 mi — ¿ / / y ------- — y l im ----------------------------------
(? v l + 3 / / " / — g " ' ' n — ( P — 1
Aplicando la regla de L ’Hospital
® 3 ( ^ 7 l ->/«)
Evaluar lim - t- - ......... —
//->x 2ÍV/7 + 1 - s / n \
Solución
Racionalizando numerador y denominador
3 í yfñ~+T —-\/77 J ̂ 11 V /T + T —V
lim — — — — = — lim
/?
//— 2(>/w+T->/í?) 2 «-►* i(^ ( / | + 1)2 + /̂/7>//i + l + y[¡¡2)
3 VA?+ 1 - >//7
= — lim
2 x ^ / / ? 2 -i- 2 n + 1 + %//72 + /? +yfñ~
- lim ^
1 1 1+ — + —9 }/?“ /? /7
2 / /->x / 2 1 / 1
'l + - + - y + 3/1 + - + 1
Sucesiones 3 3
3 ( O + 0 + 0 ( 3 ( O ̂ ^
2 ̂ U Í T o + H i +Ó + 1 ~ 2 1 + ] + 1 '
3 (</rt+”l - I f ñ ) 
lim ——— z~ — = O
/7_>x 2Í v n + 1 — \ n j
!
( ? ) Calcular el límite: lim n(a" - 1 ) , a > O
n—»x
Solución
Hacemos Z = \ j a - 1 => sfa - Z +1 => —án a = ln(l + z) de donde:
n-
I ln (1 + z) Ina
- — z=> n = — , cuando n ~> oo z —» 0, entonces:
n Ina ln(l + z)
t- ( ~ 1 \ i - ln<2 , 1 , ilim nya” - 3) - lim — :------ z - ln a. lim ------------~ = ln a.---- = ln a .
--->oln(í + z) -->o i íne
ln(l-fz)-
Lim n (a n - 1) = ln a
n —>x
( ? ) Estudiar la convergencia ó divergencia dél a sucesión {7̂ ?}„>, donde:
T (3/? + l)2 (/? -f 7),,+2 
(3/7 + (/7~ + 5) ^ ) (/7 + 3)/?
Solución
Para determinar la convergencia ó divergencia de la sucesión calcularemos el 
límite de Tn, es decir:
34 Eduardo Espinoza Ramos
( 3« + 1)2 (rt + 7) 2 
lim Tn = l i m ---------------------j---------------- = lim
77—»X //—>x J. //—»x
,//(377 + («2 + 5)2)(/;+ 3)'
,im ( Í l 2 ) . Bm VSTTAT7
» - » * 77 + 3 «-+*
(« + 7 ) + /3« +1 V« + 7
(« + 3)" ( 3/7 + V0? + 5)
77+-3 - / 3 H— ̂ ̂/1 H----
l i m ( ( l + -------- ) 4 ) ' ,+3. l i m —-----
7 7 — > X / / - j - 3 7 7 — > x / 5
3 + 4 /1 + —
rr
lim— r ^|3 + 0^¡\+Ó 4 n/3¿7" >' 77+-.' _____________________ — / + ------
3+VTTo 4
V3
Como lim 7̂ , = , por lo tanto la sucesión } /;>1 , es convergente.
77~>X 4
2 ^ 7 7 - 1
( ? ) Calcular el límite lim — ) "
77—» X f ] ~ + 4/7
Solución
2 - /72 —1 , . 77"' +~4/7 ( 3 - 4 / 7) /g- —1 3 - 4 / 7 77" - 1
l i m ( = l i m [ ( l + ~ ” ) 3“4" ] ,,;+4" '' = e" " " w "
7/->0o + 4/7 /,- > x 72“ + 4 / 7
1 3 4 3
-1+ 1------;-~
l im » i r
- 4 / 7 + 3 / 7 " + - 4 / / - 3 «->/■ , I - 1 + - 0 1
lm i r ~ T + l + _ £ ’77'+-4/?' —. ^ //
2 /r_l 1M n +3 \ ------- 1
— — — ) = -»->x /r +4/? £
1 + 0 e
Sucesiones 35
( éT) Calcular lim (eos — + .y sen —) n
Solución
a ci
Sea z = — de donde: n = — , Cuando n —» oc <z> z -> 0
n z
/ ci C l \ a
lim (eos—4- xsen —)" - lim (eos z + xsen z ) r - lim I" 1 + (eos z - 1 + xsen z )
«~»x n fj r —*x 2 —»x
a
_i
1
lim[(l + (eos z — 1 + xsenz))cosz-l+xsenz ]
c/|cosr-l+.vsen.
= e
cosr-l+.vsen 2 «.lim-------------------
2 ->< I 7 = e
a. lim
: ->()
( -eos 2 sen 2
 + .Y--------
_ e „(-0+M
lim (eos—+ sen —)" = e
/i->x n n
( 9) Calcular lim (l.+ /? + «2) /;
n —>x
Solución
Aplicando la propiedad e nü = a
0 1 \ * + n + n~) ” = e"
, - In( 1+//+/?') .. 1 + 2/í
lim ln(l+«+/■/”)" *,m----------------- *,m
//—>x
0e i >r n — e *' i+w+w — £>w =1
lim (l -f n + n 2>) n = 1
//—>x
© 1 - eos" —Calcular lim>x /?
sen
1
/?
36
t
Eduardo Espinoza Ramos
Solución
i ii ̂ / , 1 \ / i 1 3 1 i! —) 1 \
S - eos — (1 - eos - 1 + cos " + cos — + ••• + eos )
lim - J L = lim----------n------------n--------- n_------------_ j j __
/ / -»x 1 //—>x 1 1
se n — 2 sen — .eos
n 2 n 2 n
 ̂ 2 1 1 2 ̂ n-1 1 \2 sen — ( I 4-cos —-t-cos - + ...4-cos —)
l i m - i » ZZ_ ZL —
//—>cc 1 12 sen — .eos
ln ln
0 1 O 1 /»—1 í \+ cos — + eos*' — 4-... 4- cos —)
1 n n n= lim sen 
n —>x 2/7 1eos
2/7
/I 1 1 IX l - c o s /7-
= 0 (1 + I + I + - + 1 ) = 0 . l i m-------- —zl = o
>x 1
sen — 
n
: i l ) Calcular lim —= L = r + —4- — -f .. .+ —
^ v r + 9 ^ 4 + " 4 7 3 / 7 + 1
Solución
En el presente ejercicio aplicaremos el teorema de la media aritmética.
1 / 5/7" 2 4 2/7 \
lim - 7= = = ( ------- + — + — + + -------- )
1 7 v4 + /7 4 7 3/7 + r« - > ° ° V l + 9 « 2
5/r 1 / 2 4 2»lim ■ + lim + —+ ... + ----
n —̂ 00 \ 1 + 9/?2 (4 4-/?) n ~ > 00 \ 1 + 9 / r 4
Sucesiones 37
.2 4 2/7 \
c ! ( — + — + . . . 4 )
ü m —= = = = = --------- + l i m —= = = = = r — — --------- 3 h + J _
19 + 4 (-- + 1 ) n ~>CCJ 9 +
n~ n V /r
5 1 2 5 2 17 . _ r 2/7 2+ — — , donde: lim
V9 + 0( 0+l ) \¡9 + 0 3 3 9 9 ' ' «-»*3/1 + 1 3
,, „ ,• i , ln(4n) „ 3 8 13 5 « - 2 xHallar lim « //(— ----- — ...------------------- )
»-*» V ln(10/?) 2 5 8 3 « - l
Solución
En el presente ejercicio aplicaremos el teorema de la media geométrica.
r I , ln(4w) #f 3 8 13 5/7-2 r „r ln(4/i) ,. ¡ J Y 1 T ~ 5 Ü ~ 2
lim n\n{ ) — ... ) = lim >Jn — — lim " — ...--------
ln( 10/?) 2 5 8 3/7-1 n-*x> ln(l ()//) 2 5 8 3/7-1
= (l).(l).— = —, donde: = lim yfñ = 1 y lim - - - -- - 1
3 3 /7-̂ ac ln( 10/?)
3 8 13 5/7-2 5/7-2 5
l i m " — . . . --------- l i m ---------- = —
// >ao V 2 5 8 3/7 — 1 »-»<* 3/7 — 1 3
- -v í 2 A / l n 2 l n 3 ln ( //) .
13j Calcular lim sen(2;r eos— ) ( ---- -4-— - + . . .+ ------------) -
n~>yi n ln3 ln 4 ln(/?4-l)
Solución
ln(/7) l n ( / 7 ) 77 4-1
Sea a = --------— => lim a - -l im -------------= l im -------= 1
l n ( /7 4-1) /;->0C /?—>X l n ( /7 4-1) ii-4x n
en el cálculo de este límite aplicamos el teorema de la media aritmética.
38 Eduardo Espinoza Ramos
( 2 w ln2 ln3 ln(/?) .
l i m n s e n ( 2 tc e o s — ) . ( --------+ --------+ . . . + ------------— )
n ln 3 l n 4 l n ( « + l )
2 I In2 ln 3 ln(n) ,
l i m n s e n ! ¿ n e o s — ) — ( -------+ —— + . . . + ----------------- )
n-Kx> n n ln 3 ! n 4 ln ( /? + l )
, 1 / ln 2 ln 3 ln(/?) >.
lim n sen( 2 / r eos—) lim - i - —~ + t — +...+ ”--------—) .«(1)
//->x n n—>oon ln 3 ln4 ln(i? + l)
Ahora calculamos cada uno de los límites.
1 l n 2 ln 3 í n ( / / ) .
= lim — ( ----- + ——+ ...+ ------------) = i (por el teorema de la media aritmética)
n —̂ x / / l n 3 l n 4 ln( /7 + l )
2 2
Sea z = — =>« = — , cuando n —> x => z -» 0 
n z
( 2 x 2 / x - 2 n c o s ( 2 ; r e o s z ) sen z
lim A ? s e n ( 2 / r c o s — ) = lim — s e n ( 2 ; r c o s z j - 2 lim ------------------------------------------
n -->o z -->o 1
= -4ti eos (2ti). 0 — 0
Luego estos límites reemplazamos en (1) se tiene.
, 2 x / l n 2 l n 3 l n ( n ) ,
.'. lim s e n ( 2 ; r e o s — ) ( ------+ ------+ ...+ ------ -— ) = (0)( 1) = 0
n ■—>x n l n 3 l n 4 ln( /7 + l )
14) Calcular A= lim N ̂(A72 -h ) 2
s—' //—;►x Z ^
A=1
Solución
Sucesiones 39
En el presente ejercicio aplicaremos el criterio de la suma de Riemann es decir:
I f ( x )d x = lim N ^
Jb "-*00 '
/ ■ ( - ) - 
n n
/=!
A = lim S ' ( n 2 + Á'2)"2 = lim V — = lim V * 1_1
n-+cc n->cc 2 , 2 n ~ > * / k i A7
/=! /=! Vn +A /=! J 1 + ( - - ) -
/?
I .— = ln(x + yjl + x 2) / =l n ( l +V2)
V íT 7 7 ob
(TÍ) Hallar l im -( íg (-^ -) + íg ( - ^ ) + ... + /g ( -^ ) )
//-»» n 4/7 4/7 4/7
Solución
Aplicando la suma de Riemann
40 Eduardo Espinoza Ramos
16J Calcular lim —[ln(¿/ + —) + \n(a + —) + ...+ ln(a + —)], a > 0
// ->cc n n n n
Solución
Aplicando la suma de Riemann.
1 1 2 n
l im — [ln(¿/ 4- — ) 4- ln (a + — ) + . . . + l n (a + — )]
//-»oc n n n n
n j
= lim ^ 1 \n(a + ~ ) .— = i 1 n(ci + x)dx - - ( l )
W->« Ammmá n n J)
/=//
Ahora integrando por partes se tiene:
Sea
u = ln(# + jc) 
dv = dx
. dx 
du = -----
i ln(¿7 + x)dx - x l n ( r / + .y) - I — - — dx - x \n(a 4- x) - 1 ( 1 —
J J .Y + Í/ J A +
)dx 
4- a
- x ln (a + x) - x + a ln (x 4- a) = (x + a) ln (x + a) - x ... (2)
Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:
1 1 2 n
l i m — [ l n ( f l + — ) 4 - l n ( r / + + l n ( a 4 - — )] = ¡ l n (a + x)dx
n n n n í
[(x + tf)ln(A' + f l ) - .y] j = ((a + 1) ln (a + 1) - 1) - (a ln a - 0)
(a + 1) ln (a’+ 1) - a ln a - 1
Sucesiones 41
500 500 ‘ 500
(17) Calcular lim[- — + _ - i - 7Kr + ...+ Í L _ ]
"-»« (« + 1)501 (rt + 2 ) 501 (n + n ) 501
Solución
Aplicando la suma de Riemann
^ 5 0 0 ^ 5 0 0 500
” W57+<+r+'+í+F1
, 5 0 1 501 501 n.. r n n n _ 1
— lim [-------- — H---------- r—+ ...H ¡TñTJ’—
"->x (/? + 1) (;/ + 2) (/? + /?) , n
l i m [ ( — )500 + ( — )501 + ... + (— )501]
n->QC n 4- 1 77 + 2 77 + 77 77
lim [----- f ----- —-----+... h---------------] - —
(1 + 1)501 (1 + 2 )501 (1 + / f )50i /I
77 77 77
#!->« _ ,, * v
,=i (1 + - ) 
77
+ 1 ) 50,
1 / ' _ _ J 1_ 1 I
/ o ~ 5 00 9 500 ~~ 5 0 0 9 500500(.v+l)500 ' o 500 2500 500 25
Calcular lim an , donde an es dado por:
/?—>X
, ,1 + 2 0 » , , , 2 + 2 0 » 
l„<— - > ln( - -
ait = — + -------- - ------ + ...+
1 + 20/7 2 + 20/7 77 + 20/7
42 Eduardo Espinoza Ramos
Solución
Aplicando la suma de Riemann se tiene:
i + 20» 2 + 20»
ln(--------- ' ln(—------ } ln(2 n
lim a„ = lim[- + — -f i-------- + ... + -B ± iL ]
//->x fi >x 14- 20// 2 + 20a/ n + 20//
rv. f i i.
ln( 20 + —) ln(20 + —) ln(20 + - )
= l im [ f - + -----------f - + ... + ------------ * - ] -
20 + - 20 + - 20 + - n
n n n
,¡m y ln(20v . r ^ _ 2 0 _ tx ) ¿v
m . i J)//—+ X mmmamm ~ A/=1 20 + 20x
/?
/ ' = —[ ln 2 21 - l n 2 20] 
2 / o 2
l im r//; = — [ ln 2 21 - l n 2 20]
//—>x 2
I 2 //
3 ó ~ n ~
j (sen—)en (sen—)en (sen—)e”
© Calcular lim —[-—— h — + ...+ ------------- ]
//—>x /7 1 2 , // x/ ? > x n » ~ ..sc-7/ — s /̂z — sen{—)
n n n
Solución
1 . 2 n^ ^ ^ _
( s e n - )e '1 (sen—)en (sen—)e" .
o _ _ r n , /7 , A ? ! 1Sea a„ = [-------- — + -------- — +...+ — - ] -
sen— sen— sen(-)
n n n
Sucesiones
\
43
" sen3(—)enian - / —— , ahora tomando límite.
/=i sen
i n
n
" y sen3(—)en 
lim ¿7., = lim j -----
n-+0C ' r*
i=1
II l
sen
1
n
j sen 3 a v
sen x
J 3sen x - 4sen x 
) .ve/7 x
dx
n
í3 exdx 4sen~ x.ex dx = 3ex dx - 4 cos 2 a ) dx
ex dx + 2 ex cos 2 a dx = [V + (<?A eos 2 a + 2ex sen 2 a ) ] j
1
(5e - 1 -r íe cos 2 a -i- 4 es en 2 a )
Verificar que:
l i m [ - + —
/?~»x ] -f- 2/7 + 2/7“ 4 + 4/7 + 2/7“
/7 n 1
+. . . + — ------------------— ] = a r c t g ( - )
n~ +2n(n) + 2n~ 3
Solución
Sea a., =
n
+
n
1 + 2/? + 2n2 4 + 4/7 + 2/72
/7
7 “7
/?“ -f 2/7(/?) -f 2/7“
Dividiendo entre/?“ al numerador y denominador
44 Eduardo Espinoza Ramos
r 1 1Cl — [—■— t------ :----i------------1--------:— I- . . . +
2 1
2 _]I
i r n~ o2 2 + 2 ( - ) + ~ j 2 + 2 « ( - ) + -
n n n n u n
= t
i + 1 1 J+ ... H-------------------------- ]
n ^ i „ j u ~ n
(—)2 +2( —) + 2 ( - ) 2 + 2 ( - ) + 2 2 ( - ) + 2 
n n n n n n
n
a a I < 7 7
1
).— , ahora tomamos límites:
— ( - ) 2 + 2( - - ) + 2 77 
/7 /?
//
lim an = lim
//—> JO I tT
1 1
/' " ' / J t ^ ( - ) 2 + 2 ( - ) + 2 77 
/7 7/
7
í/v
fi ^ J I
I — = arctg(x + 1) / = arctgl - arctg 1 = arctg(-)
J U v + ir + i / o 3
NOTA.-
tg z = 2
y = a r c / g l [ / g v = 1
r — / e v 2 - 1 1 1 1t g ( z - y ) = — = -—- = — = t g ( z~ y) = — => z - y = arctg(-)
\ + tg y Jg z 1 + 2 3 3 3
= tf/T'/g 2 - ¿7/r/g 1 = c/rcYg 2-
© Probar que: lim (2 + ------+ ... + — ) = ln 2A/->x /7 A/ + 1 2^7
Sucesiones
Solución
V i 1 1 1 x_ r n 1 1 i 1l i m ( — i-----------t - ... 4 ) — l i m [14— —■— h -----------] —
n n 4-1 2 n j 1 ^ , n n
n n
n
l i m - 4 - l i m [ — — 4-— “ ■ 4 - . . . 4 - — -— ] — = 0 4- j i m \ ' ( — -
-* L mJ/;~»x n H->« 11 4--- i _j. 1 +
n n
t i n
n
//—>X <- , /
/=) 1 + -n
d.x
o
—:— = jn^x + [) / - !n 2 - ln 1 - ln 2 - 0 = ln 2 
*4-1 / o
i- 1 1 1 1 . , .11 m ( — f"---------- f f - . . . 4 ) — 1 n ~
/;~>x n n 4-1 // 4- 2 2 n
22 r* i i r / n fl nC a l c u l a r l i m ( — ------- 4- — ------- --4- ... + — -------- 7 )
/>—»x 4- J // 4- 2■*>- 4- /7
Solución
l i m [” 4 7 ------ 7 4-. . . 4- —7 - ) - l i m [ - f -
/;->x/7- + i /?“ 4- 2 “ n~ + n~ "-+*> 1 + (1 )2 i +
n n
4-. . . 4-
1 4- (
u
- l i m
//—>x
‘j'i
¿/.Y /
 T = a /r /g -v /
1 4- A' ' 0
= a r e / ? 1 - arctg0 = 0 = —
4 4
46 Eduardo Espinoza Ramos
4 yjT
arctg(-) arctg(-) —
¿ 3) Calcular l im(----------— ------------ + -— -)
//->x 1-4-// 2 + /7 // + n
Solución
. L , 2 7Tarctg(-) arctg(-) —
l i m ( ---------- ^ + -- - - - - - - - - -2 - + . . . + 4 '
/;—>x 1 + // 2 + /7 /? + //
1 2 n
arctg — ¿//r/g — arctg — .
lim [----- ^ + -------- * + ... + ------ 2 - ] -
n—>rc 1 + a/ 2 4" n i _j_ ^ ^
n
_ " a r c t g ( - ) ,
, U m y _ i « - . i = f í í H í i * . . . d )
//—>*' ÁmmJ . ./" /? J, 1+A*, = 1 l + ( ~ )
n
Integrando por partes se tiene:
u = arctg x , _ r/.v
r/.Y —̂ 1 + a"
V ~ 1 + jc v = ln(l + *)
Í arctg x / ' f1 ln(l + A')---------- c/.Y = <7/'C7g a*. ln(l + a) / - I —
1+A- / 0 J[, l+.Y"
(/A*
2 , n 2 - f l ü ü f í * . . . ( 2 )
4 J» l + .v2
TC
Ahora haremos x = tg 0 => dx - sec" O dO , para x - 0; 0 - 0, x - 1; 0
í lní l ± A2dx = f ln(1.+. . ^ sec2 OdO1 + A'2 Jb \ + tg~0
Sucesiones 47
n
f4 l n ( l + tgü)sec~ O s e c " O d O
it 
•—
4
ln(l + tg6)d0
n
71
Como i + t g d =
n n sen (— ~ 0 ) + sen O eos (i + sen6 i
e o s 6 eos 0
2sen — cos(— ~ 0) \/~2 cos(~- - 0 )
eos <9 eos #
í Tt ti R ■ nln(l + jt)1 + x dx - j ^ 4 l n ( l + tg v 2 cos( 0)0)d0 = | 4 l n ----— - 4 - d Oeos 0
n
b
4 ln y¡2 d0 + ¡ ln(cos(“ - 6))d0
K ».
4
ln eos 6 d 0
iln(l + x) , '7i— .— — dx = — ln1 + x Á 8
712+f 71ln(cos ( ~ ~ 0 ) ) d 0 4 fn(cos O)d0 ... (3)
Sea U - — - 0 => du = -dO, 0 = 0; u ~ — \ Ó = — ; u = 0 
4 4 4
7Tr 71ln(eos( 0))dO =4 71
4
Wl
ínfeos u)(-du) = ln(cos«)í/i/
b
Í4)
Ahora reemplazamos (4) en (3) se tiene:
í I n ( l - K v ) , zr 1 n 2 --- dx = -------- +8
;r 
»—
4
ln(cost/)¿/u
/T►—
4
ln(cos<9)¿/$ =
;r ln 2
T ~
.(5 )
48 Eduardo Espinazo Ramos
Ahora reemplazamos (5) en (2) se tiene: 
arctg x n /Tin 2 tc
 —— dx = —ln2 ~ — ln 2 ... (6)
1 + x 4 8 8
Por último reemplazando (6) en ( 1) se tiene:
1 2 /r
arete— are te— — . ^
r / n n 4 . Tin 2lim(-------A 4-------------— + ... + —— ) = ---
x 1 -f n 2 + n n + n 8
Estudiar la convergencia de la sucesión {bn \n>j , donde: bn = yju"' .ih2 ,
P
con itp - l h— , calcular su límite si es convergente.
n
Solución
Sea A = lim bn => ln k = ln( lim bn ) = lim \n{bn )
//—»x n —»x n —>x
ln ^ = lim ln yju"' .u^ ...u"" = lim — ln(¿/|/| .w“2 )
n —>x /í—̂ x
lim —[«, ln í/j + w2 + ••• + **„ lnz//? ]//—>x
1 1 1 ^ ^
lim —[(l H— ) ln(l h— ) -f (l h— ) ln(l -i— ) + ... + (i h— ) ín(l + —)] 
/;-> x n n n n n n n
n 4
lim N ' (l + — )ln(l + —).— = j (l +x)ln(l + x)<:/v 
«-►o Z—J n n n J)
/=!
ln k - (1 + x) ln(l 4- x)dx = jn( i + x) - j = 2 ln 2
3
Sucesiones 49
- 2 ̂ 2-1 _2
ln A' = 2 ln 2 — => k - e 4 = 4e 4
4
3
l i m . « 22 = 4 ¿? 4
11 —>X
25) Calcular lim — kj(cw + b)(an + 2/7)...(a/? + /7¿)
 ̂ /?->* /7
Solución
Sea 6/; =~kj(an + b)(cm + 2b)...{an + /7¿>) 
n
h 2 2
bn ="l(a"+-)(a+ — b)...(a + - b )
11 n n
1 / O
ln(¿„) = — [ln(a + —) + ln(a + —.¿) + ... + ln( a + — b)]
n n n n
n 11
ln(bn) = j ln(a +—b )—, tomando límite lim ln(/),.) = lim / ln(a + — b).—
ÁmmJ n n n-+rc n->'i n n
/=1 /=!
ln( lim bn) ~ i ln(cz + bx)dx - [xln(cz + bx) + — ln(<rz + bx)- x]/
«->*. Jb b / o
, , # , ✓ , x . a 1 * , . # , <2 + /> fln(¿z + 6 ) + ln(zz + b) ~ i — ln a - ln(¿z + />) + — ln( ) - 1
b b b a
1 , w/ í ,tt~^b., I íci 4- /?) (zz + Z?) .
—[ln(<7 + /?) +ln( ) " ] - ! = — ln(- — —)~ l
h a b a°
50 Eduardo Espinoza Ramos
V
(a + ,b)«+/>
a l)a .e
lim bn = 11
11- v x
{a + b r n (a + b)
a
h
\ l a hV tí .e a
a h .e
26
a a a a
Calcular lim cos—.eos— .eos— ...cos —
//—»x 2 ?2 93 * 9"
Solución
Sea sen 2a = 2 sen a.cos a => cos a =
sen 2 a 
2 sen a
a a a a sen a
cos —. cos — . cos — ... cos —
2 2 2 2"
asen — 
2
a a
sen —r sen -
9~ 9
c/ ~ ~ asen— 2 s e n - - 2 sen—-
2 2 2
2 sen
tí
sen tí
2" sen a2»
a a a a .. sentí
lim cos —.eos — .eos— ...cos— = h m ---------
//—>T 2 22J //—>x 2" sen
a
»//
t í 1Sea Z = — n> — = — , cuando n —>oc <=> z —> 0
2" tí 2"
sene/ ..
l im --------------= sen a. lim
sen a .. 
lim
sentí sene/
(1) = . . . (2)
/ / —> X ~ / /2" sen
t í
2"
>o tí sen z tí r—>o sen z a a
Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:
Sucesiones 5 1
.. a a a a sena 
lim eos—.eos— .eos— ...eos— = —— 
w->x 2 ?3 7" a
27} Calcular lim n ( l - t g 2— ) 
" J #»-**■/= 1 V 7'
Solución
0 7 o e o s 'a - s e n 'X 1- t g ' xSea eos 2x = eos' x - sen ' a* = — = - — —
sen' a* + eos' a* 1 + tg ' x
l - tg 'A ' o 7 1 , 1 , 7 eos2xeos 2A' = ----- — = (1 - tg x) eos a* , de donde: 1 - tg ' x = —
sec' x eos ' x
lim ; r ( l ~ t g - ~ ) = !itn ( l - t g 2 ~ - ) ( l - t g 2 - t g 2 ~ )
n —>x /=1 7 //-» x . ¿ 7 “ x
a i a \e o s - ----- cosí----- )
.. i cosa ? 2" \ ,• cosalim ( --------- .--------— ...— — ----- ) - lii—L i m
/ ? ~ » x ' o a 7 a 7 a ' / /~>x / a \ / a \ 7 a
eos' — eos' — eos' — cosí — jeost —r )... eos' —2 7 7/; 7 7~ 7 n
eos . a . lim — -— . l im ----------— --------------- = cos .a ( l)(—- —) = ~—
sen a tg an ~ > r . Cl n — o Cl Cl Cleos— eos - e o s — . . . e o s —
2” 2 2 T
" /, 7 a \ a
lun /r(l - tg" — ) -----
„~>x/=i 2‘ tg a
2 8 ) Calcular lim ( —p J = r + --= : ----- + ...+ . - )
w" * x V / i 2 + 1 v « 2 + 2 ' y jn2 + n
Solución
Este límite se obtiene acotando, es decir:
5 2 Eduardo Espinoza Ramos
r i i i< <
\[ñ2 + // \[n2 + 1 \j n2 + 1
1 1 1< <
\//i2 +/? Vt?2 + 2 V/72 +1
, 1_ < 1_ < 1 _ _
1 y[ñ2~+~ñ yfñ2 +3 \l n2 + 1
1 1 1< <
V w + 77 Vaí2 + ai yfn~ + 1
V
sumando
1 1 1 1 1
H + . . . -f ,------- -------- — . H , ■ ■■ " f . . .
Vt?2 + /i V/2“ + 27 \¡n~+~n y¡n~ +1 v / T - f 2
1 1 1
-f < —===== + ...+
\ ¡ n 2 + n \[ñ 2 -f 1 y[ñ 2 ~ + T
77 1 1 1 / 7
H = = = = = - + . . . H ... r .-.r <
V a / 2 + /i V a / 2 + 1 V/ 7“ + 2 V / 7 2 + n V a / 2 + 1
Ahora tomando límite se tiene:
n / 1 1 1 \ . 77—==== < lim ( + f = )< lim —f = =
sin 2 + 77 V 7 7 2 + 1 v 77” + 2 v 7/2 + 77 V « 2 + 1
1 < lim . ■■■■:— H---1 + ... H ............. < 1
"~*x V / r + 1 V«2 +2 Vh2 +«
Sucesiones 53
. . 1 1 1lim —===r===r H ^ r . ~f
1J~n2 +1 yj n2 + 2 yfn2 + n
Estudiar la convergencia ó divergencia de la sucesión donde:
S „ = 2 ( i ) + 3 ( i ) ¡ + 4 ( i )> + ... + ln + l ) ( I ) -
Solución
Sea 5 „ = 2 ( | ) + 3 ( i ) 2 + 4 ( i ) 3 +... + («+ l)(-i)" . . . ( I )
4 4 4 4
1
Multiplicando por — a la expresión (1) se tiene:
4
—S - 2(—)2 + 3(~) + 4(—)4 + . . . + (n -f l)(—);,+1 . . . (2)
4 4 4 4 4
Restando la expresión (2) de la expresión ( 1) se tiene:
5 + ( ~ ) 2 + ( - ) 3 + ( - ) 4 + ... + ( - ) " - (n + l ) ( I )
" 4 " 2 4 4 4 4 4
n+\
5 4 Eduardo Espinoza Ramos
l ¡ m S , = l i m ( í + l [ í ( l - ( V ) ] - í i l Í l ) )
„->* 3 12 3 4 3 4"+l
2 1 , 4 4 2 I 7
= — + — [—(1- 0)1 — (0) = — h 0 = —
3 12 3 3 3 0 9
lim S„ - —
" 9
3®) Estudiar la convergencia ó divergencia de la sucesión \ S n } W>1, donde:
S = * *3 ~ 1 = (23 ~lX3-, -l) . . .( /t3 - l )
*=2A3 +1 (23 +1)(33 + 1)...(/í3 + 1)
Solución
" A3 - 1 (23 - 1)(33 - 1)(43 - i )...(/r3 - 1)
" ‘=2 A-3 + 1 (23 + 1)(33 + 1)(43 + l)...(n3 +1)
_ (2 — 1)(22 +2 + 1 ) (3 - l) (32 + 3 + 1)(4-1)(42 +4 + 1M )(<r + /; + !)
" (2+ l)(22 - 2 + l)(3+!)(32 - 3 + 1)(4 + 1)(42 —4 + 1)...(« + 1)(/¡2 - » +1)
Como n3 - 1= (n - 1 )(n2 + n + 1), (n + 1 )3 + 1= (n + I + 1) ((n + 1 )2 - (n + 1) + 1)
= (n + 2)(n2 + n + I )
_ " A3 — 1 1 .2 .3 . . . ( « — 2 ) ( /7 2 — « + 1 )(« — l) (w 2 + / J + 1)
" <=2A3 +1 9.4.5.6.7...h(//2 — 3h + 3)(« + l )(«2 - / í + 1)
1 .2 .3 .4.5.. .( /7 — 2 )(// — 1)(//_ + // + 1) \ .2.3 .(n 2)(n - \ )(n" +n + 1)
9.4.5.6.7.../?(/7 -i-1 )(/72 -3 /7 + 3) 9./z(/? + l)(/z2 - 3 /7 + 3)
,. . “ T A3 - 1 ,. 1.23 .(n - 2)(n - 1)(«2 + « + 1) 6 2
lim I I = l i m ---------------------------------------- = — = —
n —> xnk= 2 A3 + 1 w -> x 9 ./7(/7 + l)(/72 — 3/7 + 3)
Sucesiones
.*. lim
II —> X
n
~ T k - \ 2
k = 2 * +1
„ . . /H + l (« + 0 2 ' ( w + 0 " \Calcular lim ( ------ 4------------- + ... + - ------— )
n x a t a ? 3 n 11 *
Solución
/ r /2 + 1 (^2 + l ) 2 (tí + l)^ 1 -t 1 -v
lim ( I f - ------- + ... + - ------- —- +
// -> x a?“ /?3 n " r! ^
= lim ( [ i + ü ± 1 + C l l Z + ... + Í ” 1 - 1 )
/? n " // n n
lim[(l + (l + —) + (l + — ) 2 -f ... + (l + — Y ) - - - —]
w-*» n n n n n
l i m ( ( l + — ) - l ) ( l + ( l + —) + ( l + —) 2 4-... + ( l - f ~ ) w)
/ ? - > x n n n n
lim [(1 + - ) w - 1] - - = e - 1 - 0 = e - 1
« — > x / ? A i
• ]im ( iL ± l+ C í 0 1 + + (" + 1.) * )V 1 \ x... r f
n-+co a?“ aí a2
■•yc i
~>"n\
32) Demostrar que: l im - 0
« - 4 X f j n
Solución
Aplicando el criterio de la razón para sucesiones convergentes
56 Eduardo Espinoza Ramos
lim
//->X
J //+ I = lim
//—>x
(« +1)»+i
2 ".n \
= lim 2 -= lim«-»* 2"(n + \)"r'j¡! (« + !)"
= 2 lim (— )" = 2 lim[(l + — L )- | ''-rl,]”»+i = 2e~{ = - < 1
h-»x n + 1 «->x n +1 e
-*n l2 //!
Luego por el criterio de la razón se tiene: lim ------- = 0»-»* n"
(ir - 1 )(ir - 2 ) ( r r - 3 - » ) _ _ _
(;J2 + 1 )(/i2 + 3 )(«2 + 5 ) . . . ( i r + ( 2 n + 1))
33) Calcular lim
Solución
Sucesiones 57
l i m — t ( 1+ 2 + 3 4 . . .+ / i ) - l i m " —v ̂ 3
e ' " e ' ” 2"‘ e 2 —— - e l
l ¡ m ( l + 3 + S f . . . + ( 2 H + l l ) / i ( m -M) _P <— lim—1—í— ee- - 'r
( n 2 - l ) ( /¡2 - 2 ) ( r r -3 )...(/;2 -/?) ~.. lim , — ---------- ---------------------------- = e 2
a-*x +l)(/¡- + 3)(/j- + 5)...(«" + (2« + l))
Analizar la convergencia ó divergencia de la sucesión { P n }(l>], donde:
H i í T O O
Solución
i//l\/H\/H\ Sn\
Sea A = lim Pn = lim ) ( ) , tomando logaritmos en ambos lados
«-»x /j->x V 1 2 3 n
ln(”) + ln(”) + ln(") + ... + ln(") 
1 1 - 3 nse tiene: ln A = lim------------r———— -—
Por el criterio de STOLZ.
58 Eduardo Espinoza Ramos
O O (") . O
ln( r )*( f ) ( ”^“¡ - ) 'n( ^ —
("7) C ) O M( k )
ln A = lim ----------------------------- ——^--------= lim -------------- ------ ... ( 1 )
»-»« 2/1 — 1 2/1 — 1
9
Calculando el coeficiente — se tiene:
0A (/i-A )!A ! ( ai — 1 — A) !/í !
(ai - 1>! (ai — Ar) l(/í — l ) ! ai-A:
* (ai - 1 - A)!A!
Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:
(")
ln /r ( — —- )
4=1 (";) '-v,(",)) . < )
ln .4 = lim ------------------- .= lim — -— -— = lim ' ’
»->fn 2/1 — 1 «-** 2/i — 1 ° 2» — 1
( 2 )
*n( -------- <---- ) ln( — ) „ rz—
; lim n ' e : : £ E L = lim = lim lng ~ lnV ^
h->oc 2/i — 1 «-»« 2/i — 1 »-*«. 2/i — 1
ai—— ln 2 /r — ln // j j | i
: l im - ------------ ----- = ------0 = — = > \ n A = — ,de donde: A = e~’- = \ [ e
2 /1-1 2 2 2
Sucesiones 59
- Hm áQQ( ,)■••()=¿«->xy Ai 1 2 3 /?
3?) Si b| = !, ¿>N = —(2ó„_, +3) para 11 > 2, demostrar que la sucesión {ó(|}„2 i , 
converge.
Solución
Probaremos que la sucesión es creciente y acotada superiormente:
a) Demostraremos por inducción que bn < ó ., V n.
i) pm *n = 2 = > b-, = — (2/>. + 3) = —(2 + 3) = — => b| < b->
" 4 4 ' 4
ii) Supongamos que se cumple n -Ti (hipótesis inductiva) bh <
iii) Demostraremos que se cumple para n = h + 1, es decir, que se
cumple: bh+t < 6 / j +2 , entonces:
Como bll+i< b h+2 => - b „ < ^ b h + 1
1 a 3 1 , 3=í> - b n + - < - b h. , + -
2 4 2 4
=> I ( 2 6 „ + 3 )< i(2 ó „ +1+3)
entonces bh+{ < bh+2, cumple, por lo tanto : {bn }„¿l es creciente.
b) Demostraremos que }„>i es acotada superiormente ó sea b n < 2 .
i) Si n = 2 ó, = 2 (2 + 3) = — < 2 , cumple.
' 4 4
60 Eduardo Espinoza Ramos
ii) Supongamos que se cumple b h < 2 (hipótesis inductiva)
Demostraremos que: b h+i < 2 es decir:
b h < 2 => 2 b h < 4 2 b h + 3 < 7
=> - a b l l + i x - < 2 => v . < 2
4 4
es acotada,
c) Calculando el límite se tiene:
Sea b = lim b n => lim bn = lim — (2¿>„_, +3)
n—>x /;->x • 4
/> = — (2 lim b { +3) => b = —(26 + 3 ), de donde: b = —
4 «->* 4 2
lim b = —
/?->% 2
NOTA.- Si es una sucesión convergente entonces; 3 a , tal que:
lim a n = lim a„_, = lim a „_2 = a
n —> r n—>x >x
Q ó) Si 6, = 2 , =-(2¿>n_ |+ 3 ), analizar la sucesión {^„}„>| y si converge
calcular lim
//—>X
Solución
/?, = 2 , = — (2¿>„_| + 3 ). Demostraremos que se trata de una sucesión de
6
(CAUCHY). primeramente observamos que:
Sucesiones 61
b - , - b , = — ( 2 b , + 3 )- 2 = — 2 = - —, entonces: l é ,—¿,| = —
‘ 6 6 6 1 ' 11 3 2
1*5 _*2| - ( 2 b 2 +3) — (26, +3) 6 6
|6„-A n_ , |= - ( 2 V , + 3 ) - - ( 2 V 2 + 3 )
O o
= 1 (6 - 6 ) - 1 1 5 - 1 5 = > 1 6 - 6 | = - L !
l »-l w-2 ' 3 * 7/7~l ' 2 V 1 ‘ 7 /,_ l w *23 3 3"~' 2 3" 2
Además ló,,-6 ,1 < |6,l r l - b „ \ ; V j > n + 1 ..(1)
Como lim — = 0 , entonces V e > 0, 3 M> 0, tal que:
„ - * * 3« 2 3".2
< £ , V n > M,
5 , , 5
es d e c ir < £ => 3 > — , entonces:
3". 2 l e
. ln (---)
11 ln 3 > ln(— ) => n > -----------= m
2 c ln 3
( 2)
entonces: V n, j > M, tenemos de (1) y (2) , |óJ(- b ^ < < c .
Por lo tanto, la sucesión {ó,, }„>,, es una sucesión de Cauchy y por 
consiguiente es convergente. •
También que b n+l - b n < 0 es decir, b n+l < b n entonces: esyn+\
sucesión decreciente.
una
62 Eduardo Espinoza Ramos
Para calcular lim b „ , hacemos lim b n = r , entonces:
1 , 1 , 1 1 1 2r I
r = lim b „ ., = lim — (2 b „ + 3) = - lim b, , + — => r = — /■ + —=> — = — 
«->» ,,+l „->« 6 3»->* 2 3 2 3 2
Entonces r = — limé,, = —
4 »->* " 4
^ 7 ) Determinar si la sucesión {—j}„>| es creciente, decreciente o no monótona.
Solución
Sea S „ = — => S i = n + V n e Z + , n > 1, sumando n se tiene:
n 'sil ,! + [ +1
2n > n + 1 de donde al multiplicar por — se tiene: — > ^ - 7-, lo que es lo2" 2/J 2
mismo escribir en la forma:
, de donde: se tiene < S „ V n > l,por lo tanto la sucesión
2»+i 2"
’ es decreciente.
(38) Probar la sucesión V2 , x /ÍT f , \ ¡ 2 s [ U 2 ,... , converge a 2 .
Solución
A la sucesión dada expresaremos así:
a] = s/ 2 , a 2 = 7 ^ " , a 3 = ^2 a 2 «„ = V2 a » - 1 » n > 1 •
Ahora demostraremos que la sucesión es decreciente y acotada
superiormente por 2 .
Sucesiones 63
La demostración lo haremos por inducción matemática.
i) para n =1, a¡ = y¡2 < 2 y a\ = \ ¡ 2 < s j 2 s ¡ 2 = a 2
ii) Suponiendo que para n = h, ai, < 2 y ai, < ai,, i
iii) Probaremos para n = h + 1
a i,+\ = sJ2 a i, ¿ V? = 2 , pues 2a h < 4 (hipótesis inductiva)
=> a h+1 < 2 y a hM = < s¡2u, ,'+] = a h+2 pues 2a h < 2 a M (hipótesis
inductiva), entonces: a h+{ < a /l+,.Luego la sucesión {«„}H>| converge a 2.
Estudiar la convergencia o divergencia de la sucesión definida por ar, = s f l ,
1
*„+i = (2 + .v„)2 ,n e Z +
Solución
Sea ,V| = y ¡ 2
.v, = > ¡ 2 + \ Í 2 = - J T + x [
x-, — \j 2 + \¡2 + \¡ 2 — y¡2 + as
x „ = yJ2 + x n - \ ■ Para n > 1 ■
Ahora veremos si es una sucesión no decreciente y acotada
superiormente.
64 Eduardo Espinoza Ramos
Se observa que: x, = s ¡2 < 2
x2 = - J l + \ ¡ 2 < 2 , donde: x, = y f l < s j l + s / l = x2
x3 = y j l + Xi < 2 .donde: x2 = s ¡ 2 + \ Í 2 < y ¡ 2 + \[2~+ s Í 2 = x.
es decir, que: x( < x2 < x, < ..., luego {xn }w2.j, es no decreciente.
Ahora demostraremos que es acotada superiormente por 2, probaremos esto
por inducción matemática.
Sea n e Z + tal que: x„ < 2 y x„ < x„+1
i) 1 e Z +
ii) Suponemos que h e Z + es decir: x h < 2 y x h < x/l+, . entonces:
x i,+1 = s j 2 + x h ¿ ^ 2 + 2 = 2 y xA+l = y j x [ +~ = y j 2 + x ,, < y l 2 + x h+, = x/)+2
Por hipótesis inductiva, es decir: h e Z + => h + 1 e Z + esto demuestra 
que: {x„ }„>), es no decreciente y acotada superiormente, entonces es 
{•v«}«2i» es convergente.
Sea lim x„ - a y desde que x„+, = y¡2 + x n
/;->x
lim xn+| = a => a = s / l + a => « 2 - a — 2 = 0
(a - 2 )(a + 1 ) = 0 => a = 2 y a = - I 
Luego se toma a = 2 por ser sucesión de términos positivos
.'. lim x„ = 2
Sucesiones 65
40) Sea {»„ }„>, una sucesión en R. definida por: «, = 1,
m2 = 2 , , para n > 2. Estudiar la convergencia ó 
divergencia de la sucesión y en caso de convergencia halle iim u n .
n ->x
Solución
Por definición de la sucesión se tiene
► u , = 1
« 2 = 2 además u„ = - ( « , ,_2 +w„-i)
a, =i(«2 +H]) = I (2 + 1) = !
"4 = ” (»3 + “2) = \ ( | + 2) =
1 / ̂ 1 / 7 3 . 13»5 = - ( « 4 + « 3) = - ( _ + - ) = —
1 / X 1 / 7 13x 27''6=-(»5+»4) = -(̂ T + ̂ T)=̂ T
\ , . \ , 2 1 13. 53
I 1 ,1 I 1 I I 1 I I 1 I I 1|«2 —"l| = l . h - « 2 |= 2 > l“4 - » 3 |= p - , |«5 — «4| = —y , |»6 - « 5| = — ,
Iu-, - u A = - V |¿/ , 1 —11 I = — = — como lim — = 0 , entonces, podemos1 ' "i 2 2" 2" "->*■ 2"
encontrar n tal que: -— ■ < e , entonces V n. j > M.
66 Eduardo Espinoza Ramos
Tenemos |«„ - a y| < —— < e , luego {u n }„>|,es una sucesión de cauchy, esto 
es que V e > 0 , 3 M > 0 / n , j >M.
i i 1 2 2
=> \a„ - a ¡ < —— < £ => 2 " > — donde: n ln 2 > ln — => n > -------- = M > 0
1 71 2 ¿r ln 2
por consiguiente {m„}„>| es convergente
TEOREM A.- Si {»„}„>, es una sucesión convergente, entonces cualquier 
subsucesión de la sucesión }„>i converge al mismo punto.
Hallaremos una subsucesión de {»„}„>]•
I 1 I
M i — 1 , ¡ o — l - l — , Uc — 1 H 1 — , U - > , i — 1 H 1 — + — 7- + . . . H - r1 ’ J 9 2 9 ** 2 9 9 >y2n-\
4
lim u2„+l = lim (l + ̂ ( l - ( ^ - ) " ) ) = l + -r = |<(->« 3 4 3 3
5
Luego por la conservación anterior se tiene que: lim u n = —
II-> T . 3
© La sucesión { u „ }„>, está definida como sigue: u, = 1,
m2 = -y/üq",..., u „+1 = y j 5 u n , analizar si {m„}„>| , es monótona y acotada, 
calcular el límite si existe.
Sucesiones 67
©
Solución
Primero veremos si {«„}„>| es una sucesión monótona, como 
»i = I, i h = y j s ü ” , «3 = ^ 5 u 2 u n+1 = ^5«„ , entonces :
//, = 1, i/2 = \/5, «3 = VóVs, «4 = \ S y f 5 J 5 es decir: /<, < < «3 < »4 <„.
Luego la sucesión {«„}„>] es una sucesión monótona creciente.
Ahora veremos si {«„}„>] es una sucesión acotada, de la definición 
tenemos: u n >1, V n e Z * además como : - J s < 5 => 5 y Í 5 < 25
=?■ S ^sT s < 25 V 'T /w f < 5 .....<5
entonces: i/n < 5 , es decir: 1 < u n < 5 , V n e Z +.
Luego } „> i es una sucesión acotada, por consiguiente la sucesión {m„ 
es convergente, entonces: lim u H = 5 , pues la sucesión es creciente.
n—»x
También podemos calcular lim u „ , haciendo r = lim u n , y como
/?— //—>x
“»+! = -v/ów,, , entonces lim n„+1 = lim => r = Vór => r 2 = 5r , de donde: 
r = 0 v r = 5, entonces lim u n = 5 , no puede ser cero (“0”) pues la 
sucesión es creciente y U„ > 1, V n e Z +.
1* +3" +5* + ... + (2 « -l)~Calcular lim
«->*> l2 + 22 + 3 2 + . . . + H 2
68 Eduardo Espinoza Ramos
Solución
lim — = lim 1 = L
/i-*oc h /»—>cc h — h .n n °/i- 1
ir/,, = 1" + 32 + 5 2 + ... + ( 2 / i - l )2 = l2 + 3 2 + 52 + ... + ( 2 n - 3 )2
[ó„ = 12 + 22 + 3 2 + ... + //2 {¿„_i = l2 + 2 2 + 3 2 + ... + ( / / - l )2
an a n_, — {2.n — 1)~, b n ~~bn_ ¡ —//
,. a(l I2 + 3 2 + 5 2 + ... + ( 2 / i - l )2 K (2/í - 1)2 „
lim — = lim r-5— r — = lim ----------- —̂ - 4
«-»* h «->* 1- + 2 - + 3 - '|->x n~
I2 + 3 2 + 5 2 +... + (2 /í-1 )2 ,
l i m — —̂ = 4
n -> r . ]- + 2 ‘ + 3' + ... + /T
43) Calcular lim H Í ± Z ^ l í 2 í L Z r l ( C0S¿)--
»-»» / r + 7 /) + l n
Solución
1 + 4 . + 7 4 - + n « — 7 1 x
lim
1 + 4 -f 7 +... + (3/i— 2) / t \„ 
( e o s - ;
n - + 7„ + ]
1 + 4 + 7 + ... + (3 /i-2 ) .. / í> , ...
= lim lim (cos—j ... (1)
//->* W- + 7W + | a -*x n
1 + 4 + 7 + ... + (3aí — 2) . . . .
Calculando lim (por el criterio de S iO LZ)
«-»* + 7/j + 1
a(i = 1 + 4 + 7 + ... + (3m_ 2 ) ía„_t = 1 + 4 + 7 + ... + (3 « -5 )
Sucesiones 69
1+4 + 7 + ... + (3/7-2) a ,• 3/7--2 3
lim = lim — = lim — — = lim = — ... (2)
"-»* ; r + 7 « + l ' //„ »-»-'* b n - b n_, «->*2/7 + 6 2
Sea 2 = — => ií = — , cuando n —> x , z —> 0 
« r
i 1 /(cosr-1)
lim (eos—)" = lim (co sr)- = l im [ ( l+ (c o s r - l ) ) cos-_1]
/(—>x f¡ r—>0 - A
l¡m,<“*£z!)
= -- = <? = 1 ... (3)
Ahora reemplazamos (2) y (3) en (1)
1 +4 + 7 + ... + (3» - 2) / t /• 3 \ / \ 3
l ,m 3 I : ( e o s - ) = ( - ) ( ! ) = -
"->*• n ~ + 7/7 + 1 // 2 2
( í ^ Analizar la convergencia ó divergencia de la sucesión {i/,,},,» donde
/30" +40" + ... + 600"
"~V ñ
Solución
V n e Z \ 30" < 40", 40" < 50"...., 590" < 600"
600" < :-—— ■ < 58.v600", donde: 58 es el número de sumandos
n
600 < -l30* + 4°* t ™+ 60ÍL a 600,58-
. V n
Luego según el teorema del encaje (1.8) se tiene :
lim 600 = lim 600.v58" - 600 de donde : lim + . . . + 600 _ ^ q q
«~>x \ n
por lo tanto la sucesión es convergente.
70 Eduardo Espinóla Ramos
45) Calcular lim ^ ± Ü ü í
3n + 5/1-2
Solución
J an =sj l + l2 +V1 + 22 +...+ Vw
=>i
= \/l + l2 +sl\ + 22 +... + y¡]
[¿„ = 3/i2 + 5 /I -2 k - , I
I KJ 1 7
Ahora aplicamos el criterio de STOLZ.
b n «->» - b „ - \ " ~ yr- 6/1 + 2 6
'/ l + l2 + \ J \ + 2 2 + . . . + sJ\ + n 2 1lim ------
3 /r + 5 n - 2 6
4ó) Calcular lim — ln[(l + eos— ) ( l + eos— )...(l + cos— )] 
«->x n n n n
Solución
Aplicando Riemann se tiene:
lim — ln[(l + cos—)(l + cos— )...(l + co s— )] =
«->» n n n n
= lim — [ln(l + eos —) + ln(l + cos — ) + ...+ ln(l + co s— )]
«->x n n n n
« r
= lim — % ' ln(l + cos— ) = I ln( 1 + eosa)í/.y •••(!)
«->x n n J,
/=1
Ahora calculamos la integral ln(l + cos.v)r/.v, mediante la introducción de 
un parámetro.
Sucesiones 71
Sea F ( a ) = f ln(l + a eos x ) d x , derivando con respecto a a .
F \ a ) = I C° S V— d x (integración de función racional de seno y coseno) 
1 + a eos x
0 -v 2 d z 1 - z~
Sea tg — = z => d x = c o s .v = ---
2 \ + z 2 1 + z
para x = 0, z = 0 ; z —> «
1 -z
PfW V/A* I
F \ a ) = Ír eosx d x 1 + a eos x J, 1 + -2 2 d z1 + «(,--1 +z~
=2f _______ =-2fi) fl + z2 + a ( l - z 2)](l + z 2) J,
(z 2 - l)d z
[ l + z 2 +<2' ( l - z 2)](l + z 2) i , [l + « + (1 -a r )z 2 ]( l + z2)
2 r (z 2 - l)r/z 2 r ____(z 2 -lV /z
1 - a J, ( l_ l« + .:)(1 + .2) a - 1 J, ( z 2 + a 2) ( z 2 + l)
i - a
donde: a =
1 + a
11 -a 
calculando la integral f (c2 - 1)<7: 
J ( z 2 + a 2 ) ( z 2
72 Eduardo Espinoza Ramos
= A ( z 3 +z) + C ( .3 + a 2 z ) + B ( : 2 + \ ) + D ( : 2 + a 2 )
= ( A + C ) z 2 + ( B + D ) z 2 + ( A + a 2 C ) z + B + a 2 D
A + C = O 
B + D = \
A + a 2C = O 
B + a 2D = - 1
zl = 0 
B " 2+¡a2-i
C = O
D = —
(3)
reemplazando (3) en (2) se tiene:
f (z2 - \ )d z a 2 4-1 f d z 2 j* d z
J(z2 + «2)(z2 + 1) ~ a2 -1 Jr2 +a2 a2-l Jz2 +1
t r + 1 1 z 2= ——arctg —arctg za -1 aa a2-1 (4)
Ahora reemplazamos (4) en (1)
2 r«2+l z 2 rF'(a) =-----[—— - arctg —̂ arctg z] /
a a ' - 1 ' cl - a a ' -1 a
2 a +1 1 n
\ - a a 2 -1 a 2 a 2 -1 2 J
;r ^ a ' + l - 2 a ^ _ n ̂(a -1 )" ̂
l-a (a2-l)« l-a (a~-\)a
1 + a
FXa) = — = Vi-a jl-a (« + !)« l-a l+ar + |l+a
l-a v 1 -a
Sucesiones 73
K (Vl + ff - s f \ - a )Vl-ar
l - o 1 + a + V¡ + o Vi - o
n ( Vl + o - -J \ - a ^
\ / l - o Vl + a ^ - v / l + o + V l - o j
71
71---- .
Vi - o 2 
ti a re . s e n a + k , pa ra
F(0) = 7i (0) - n (0) = k = 0 => k = 0 , de donde: F(a) = n a - n are.sen a .
F( a ) = JT ln( 1 + a cos x ) d x = Tía - n aresen a
F(l)= f ln(l + c o s x ) d x = t i - t t Í — ) = x - —
J, 2 2
Í 7) Calcular l i m * + ^ . + ̂ ■t ,".+ /?- , sjn usar Riemann.
a >00 n '
Solución
Aplicando el criterio de STOLZ, se tiene: lim — = lim — — = L , donde:
" ^ b „ - b n A
ti , 2(1 - Vi - o 2 ) s , i - Vi - o 2 \^ —T=r~ ) =
Vi - O 2 Vi + o s f l - a 2
Ahora integrado F ( a ) = I( /T - ^ — ) d a + A = ;t u
J V i - o 2
c a l c u l a r k h a c e m o s a = 0.
í</„ = 16 + 2 6 + 36 +... + k6 í«„_,*= l6 + 2 6 + 3 6 + ... + (m-1 )6
U, =»? =(«-D7
74 Eduardo Espinoza Ramos
lim ^ = lim ü " = lim — ----
- 6(,_! «-»*7« -2 1 /í +35/t -35 /;'’ + 21«i -7/7 + 1
* lim 1
21 35 35 21 7 1 7 _ o + 0 - 0 + 0 - 0 + 0 7
7 - + — + T
n i r n n n n
lim
l6 + 26 + 3 h + ... + /ih
' p + 2 P + 3 P + . . . + n p 1
48j Demostrar que; lim ———------- = ------ Si P > -1.
n->» n P + 1
Solución
\ p + 2 p +2>p + . . . + n p t í 1 \ p /2\/> í n \ i ’ ~\ ^
lim j - f - = lim L (-) + ( - ) +•■• + ( - ) J -«-** n «->* n n n n
« l i m Y ( ^ ) ' \ - = [ x p d x ' o -
n-* > n n J, P + 1 / ü P + 1 P +
lim
lf + 2P + 3 P +... + n p 1
p+l P + 1H-*X „
49) Sea a g R, arbitrario, »„(a ) = 1 ° + 2 “ +...+n° . Calcular lim — -----
n->x t¡ i/j; (í/)
Solución
, . , n _ n ü • i 1 \ .0+1 — íí +• I Í7 +1 í/ + ]í//;(a ) = l + 2 +...+/* , entonces:^m;i (# + 1) = 1 +2 +3 +...+//
n u n ( a ) = n \ + n ¿ + . . . + n
Sucesiones 75
//„(« + 1) T'+l + 2U+I +3"+l + ... + h"+i
lim ------ = lim --------------------------------;----- , para a = O«->*• mtn(a) n\“ +n2a +... + n
1 + 2 + 3 + .. . + n /?(« + !) 1
= lim -------------------- = lim ------- -— = —.
n - n . n + n + ... + 11 2 n ~ 2
Ahora calculamos para a > 0 (aplicando el criterio de STOLZ)
"~* k n u „ ( a ) «->* / i ! í „ ( a ) - ( « - l ) í / „ _ , ( a )
(l"+l + 2"+i +... + /7‘,+l) - ( ! " " + 2"+l +... + ( /7 -l)“+l)
= lim
( n \ “ + n 2 “ +... + 77./)1' ) - ( (« -1 )1 " +(77-1)2“ + ... + ( /j-1 )( /i-1)" )
1
= lim ------------------------------------ (nuevamente STOI.Z)
«->-/ i° + 2U + .. .+ (/7 - 1)1' + 11.11“
7í"rl - ( / / - l ) ‘,+ i
: l i m ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(1" + 2U +. . . + (77-1)" + / 7 . f l " ) - ( l " + 2" +... + ( 7 7 - 2 ) " + ( / 7 - l ) ( / ! - l ) " )
1 + «, a >0.
Simplificando: .-. lim ü d £ ± !> = <£±Ü , a > 0
»i-»® 7777„(fl) 2
® 1 + ¿> eos — 1 + b eos ■—Calcular lim ~ [ ln ( M + ... + ln(-------------^ - ) ]
il-* x - 77 , /T , 77/T1 + £7 COS — 1 + C7 COS-----
11 II
Solución
76 Eduardo Espinoza Rumos
1 + b cos ~ 1 + 6 eos —
|,m £ [ , „ ( ----------- ! L ) - .. . + ,„(. JL .)]
a— ¡i x n x
I + a cos - - I + a cos —
// n
= lim — [(ln(l + b c o s —)+... + ln(l + b c o s — ))-(ln(l + c i c o s —)+...+ ln (l+ a eos— ))] 
n n n ti n
= lim — [ N 1 ln(l + b eos——) - N ' ln(l + ¿/cos— )]
n-+ x n ¿ — 4 n n
li a
Z
Í X X I X X
l n( l+6cos— - lim > ln(l + a c o s— ).— 
n n «-»* ii n
<=i /=i
= í ln(l + b c o s x ) d x — JT ln(l +acos.v)c/.v
/1 + Vi — b~ \ . /1 + Vi — u ~ \ , / ! + Vi — b~ \
: n ln( ) - a ln( ) = a ln( r = f )2 2 1 + Vl-w
JZ H7T1 + b eos — 1 + h e o s — , , f. 73
lim —[ln( J . ) + ... + !„(■----------- JL_)] = /Tln( ------j = )
H-+X X n x I . J i , , -1 + a cos — ! + a eos — i + v i «
n n
1.14. EJERCICIOS PROPUESTOS.-
I. Escribe los primeros cinco términos de la sucesión:
( - i r 1,. ^ , a o ¡
• . , 5 ! » 2 I
n + \ " w n ^ ( 2 n - l l
7\ ( (-l)".v2"~' , ^ (Cosw.v, ^ ( n ,' r i so iv"21 >£/ ' 2 i,» ,/»>i1.3.:>...(2//-1 ) ^ t i + n 3 + 1
Sucesiones 77
II.
i sen— 1„21
Escribir la expresión para el n-ésimo término de la sucesión.
© 1 ,4 ,7 .10 ,...
n i r
© -1 ,2 ,7 ,1 4 ,2 3 ,...
W W 3 4 5
III.
© 2 ,-1 , — , - — , — ,... 
w 2 4 8
© 2,1 + —,1 + - ,1 + —,... 
W 2 3 4
1.3 1.3.5 1.3.5.7 
Usando la definición de límite (1.2) demostrar que:
©
4 -2 ai 2 
lim--------= —
«-»* 3/7 + 2 3 © lim " = ' 2« + l 2
©
1 + 2.10" 2hm------------= —
"->*■5 + 3.10" 3 ©
,. 2/7 + 1 
Inri------- = 2
»-»« n + 3
© lim k = kn~»x © ,im(2+(- , r ) = 2w->cc n
© 4n +1 4lim -------= —"->'* 5/7-4 5 © lim — = 0 i r
i
lim 3" = 1
íí—>x
© r %n alim--------= 4
»-** 2/i + 3
© sen/7 lim-------= 0H->X a ©
3/7 2 — w — 1
lim —----------= 3
«-»* /;“ +« + !
© 5-/J 1lim--------= —«->*2 + 3/7 3 © lim (o + -y ) = a//—►ce
78 Eduardo Espinoza Ramos
IV.
lim
->00
17
Calcu
©
©
©
®
©
©
®
1 + 2 + 3 + ... + « 1
//3 ~ 3
5/i“ + 8/i + 1 ,
u n -----— = -5
5 + 3n - l i ­
a r los siguientes límites.
. Vv -5/7 + 4un
->°° 2/7“ + 77
( i - s f ñ x J ñ + 2 )
8 /;-4
l2 + 2 2 + 32 +... + T72un------ -------
l * + 2 2 + 3 2 + . . . + n 2 
(l + //)(2 + / 7 ) 2
im ( \ f ñ +1 — %/« + !)
« + í7\2„+3tm(—-)
- > * 77 + 1
( a " + b " im V—r—)—>X ¿
im ( s j n 2 + a n + b - v n 2 + a ' n + b ' )
->00
I
( 9) l imÍ2 + 3/74 )^
17—>00 ' '
16) lim ■%/7z + l — \ ¡ n ~ \ = 0
Rpta: 
Rpta: -
Rpta: 
Rpta: -
Rpta: e
Rpta: e2(o-l)
Rpta: \ f a b
Rpta:
a - a '
|3+21n(»+l) Rpta: e 4
Sucesiones 79
® lim s j n 2 + a n 2 - s j n 2 - a n 2/Í-»X Rpta:
2 a
3
I3 + 2 3 + 33 + ... + n3 
lim -------------------------- Rpta:
1
«-»X, 2« + 1 1 - 1 8
©
1 + 3 +5 + ... + (2 / ; - l ) 2/7 + 1 
Inn —------- -----------------------------
«-«o n +1 2
Rpta:
3
2
©
, . 1 1 1 1lim - + — + - + ....-t-----
»-»«2 4 8 2"
Rpta: I
© lim («Vi* - n )/!—»oo ' ' R pta:
ln(or)
© lim ,n^ + e " ^ R pta: 1
© lim n 2 (eos—- l )¡I R pta:
1
2
©
(3 n 2 + l)(l - e o s —) 3
lim " Rpta:
(#|2 _ 2)ln( , + _!_) 2
© íim ( ln(,,fl))]„«"' 
» - » * ln(/i¿>)
Rpta: * § )
© lim -4^(6 + 18 + 30 + .... + 6(2/z — 1))n - > x n -
Rpta: 6
80 Eduardo Espinazo Ramos
i- sin +1 —sfñ i2/— _ 32 l) lim —= = ——=• \ íh Rpta: —
3«4.sen: ( —)ln ( l+ — )
2 2 ) l im -------------------- 2 - Rpta: 3>/2
(m + 2)cos( ™ ) 
v4 n + r
23) lim ŵ ~ .1. Rpta: 1
«-** ln(/j)
(25) lim i*/tg(—— - ) Rpta: 1
« - > » \ 2 / 7 4 - 1
_ i - i - r~
(2ó) lim n(arctg/zn)[(l+ —) 2 - ( l + —) 4 ] Rpta: -------
g ) l im - i r í " ) RPta: y
28) lim (W + 1)e ‘— - Rpta: 0»-»« ne "
Sucesiones 81
g ) iitn[3(-1l +-3' +52+; + (2l,- |)2)P" Rpta: 1
»->X 4,,-1
i- (n + ’l)ln(n) + ln(« + l) " „32) lim - - ■■■ ■ ...... Rpta: 1
" «-»* ' ln(/i)
33) lim eo s--.eo s—...eos— Rpta:
^ 4 8 2"
35) Detemiinar el límite de la sucesión.
($7) Calcular lim [a + * +C ]», a. b. c > 0
/i—va. ^
1.2 2.3 w.(n+1)
40) Calcular lim —-— + —-— + —!— + ... + -
34) l i n ^ - ^ — + - - -— + ... + ̂ — ) R pta: —
^ » - » * 2: - l 3 - 1 / r - 1 4
y¡2 + J 2 , ....... • Rpta: 2
” + 3
(36) Calcular el límite lim (— ) " Rpta: e
«-»* + 4„
í i 1
-a» +¿1" + c" •
, 0 , , , , , (4,í + 7)4"+V - 5 n . 6438) Calcular lim a„ , si a„ = — Rpta. —
« -» " • (I6/1+ !) (« +3)
(3?) Calcular l im(— 4-----+ Rpta. 1
/»—VX - - - - -
«-+«.1.2.3 2.3.4 3.4.5 //(// + !)(« + 2)
82 Eduardo Espinoza Ramos
V.
0 Calcu|ar |jm sen e )sen(i- )lnt/, 3 , , - - 2 n - 4 )
scn( — — )sen(— )ln(/í4 - 4 « 3) 
+ 2 e " 2 + e ' "
42) Calcular lim [>/« + 1-V/J + 1]■Jn (43J Calcular lim
II—
(1 + /?)'4//
2> ’>"
<=1
■ a " + c " ■44) Calcular lim [——— ], a, c > O ~ 2 lim \ln2 + 1 - s jn + 1
® lim s j l n * + 51/ ' + 1 - s j l n * - 3/íh + 5n//—> /
1 y j/ i 2 + p n + c/ - \ J 11~ + n i + s
Calcu
©
©
©
©
©
ar los siguientes límites aplicando los criterios que les corresponde. 
2 3 4 rt + \
1111 •(t + 7n 3 4 5 n + 2 )
im — ( 2 2 + 2 * + 2 8 + ... + 2 2'~) 
-»* 5 n
I i 7 2"-l
Rpta: 1
Rpta:
1 } 7 ■2" -I
7 ln(7”) ( 52 +54 +5S +,.. + 5 r )
s / l - 2 7 n 3 ln<9” )
/ . 2 \ / l n 2 ln 3 ln(«)
im sen^2^cos—^ H------- + ... + -
n ln 3 ln4 ln(n + l)
)
mi í'i
->*V3« +2« + l 6 12 6n
Rpta:
Rpta: 0
Rpta:
35
Sucesiones 83
® , / i n J Ino l n i « \ „lim " 5 n ( -----.------- ... ) Rpta: 1»-»-V In7 ln 14 ln7»
© lim — + +... + 2sl22n- ' ) Rpta: -
n-»x 9 ri 9
limii
® r (V 25)n + (V 4 0 ) ''+ (V 6 4 )" lim [—------ ^ — ! _ Y Rpta; 4o
2 5 10 ; r + 1
ío) lim — (3 4 + 3 7 + V ~ 2 + . . . + l " : + i ) Rpta:
- ^ /)->* l n
(T í) lim Rpta: -
w n->* V 8 23 5i r + 1 • 5
VI. Calcular los límites siguientes:
/"T\ \ + 2s¡2+3yf}+ ... + nJ7i 2
( 1 ) lint - - - ■ - r- ~r=------------- Rpta: —
W /; \ f ñ 5
( 2) lim (— — r + — - —- + ... + — — 7 ) Rpta: —
n-»x (/; + !)" (« + 2)‘ (/í + /j)~ 2
84 Eduardo Espinoza Ramos
C s ) lim(~!~ + — - —- + ... + —í-r-) Rpta: O»-»* n~ (n + 1)" (2n)~
© lim Rpta; 1 (2 7 2 -1 1
«-»* n 3
( 7 ) l im( L = + ,—1=zt= + ...+ ■ - ■■■ ) Rpta: \r \(\ + sÍ2)w "^\f77\ fu-+2- V777
D lim ( 2 + V v + - + X* ° RPta:n-»« /j- -t-1 ~.v_ n ' + 2 ' x n ' + n ' x ~
arctg .v
® l n 2 71 i i t t „ 1lim "/sen— .sen — ...sen— Rpta: —»->%V 2 n 2/7 2« 2
lim -íj- V P c p "
n-*y. yi~ iw i d
P=\
10) lim ~~T / P e " Rpta: 1
. ¡_ . |
® I¡m — ( e " + 2 e +... + //.e_l) Rpta: —( l — )m-*oc M- 2 e
r. ¿ \ , l r ^ 2 n 2 n i 2n « — 1 •>«-! i12) lim —[sen —.eos"— i-sen — eos" -i-... + sen ;r.cos n J
«-** n n n n n n n
2
R pta: - —
3 n
| _
lim — y j ( n + 1 )(/7 + 2)(/; + 3)...(/; + /;) Rpta: —
//—>x ¡i e
Sucesiones 85
. . . .. 1 + 2“ + 3r/ + ... + «“
15) lim — Rpta:n“+l ' a +1
1 2 n
16) lim sen (-^ -)(e " + e " + . . . + e " ) Rpta: tt( 1 — <?_ l)H-»X. /( + 1
(¡7) Si f(x) es continua en [a.b]. Demostrar que:
lim ^ f ( a + k — )= f f ( x ) c l x
n->x n +—+ II 1 ,
k= I
18) Demostrar que: lim —(sen —+ sen — + ... + sen——-/)=-* C° SÍ
19j lim - [ - J a 2 —V + ~ J a 2 ~ +... + - Ja 2 ~ ] ̂ n a V ir a v n~ a \ ir
r. b H r a b IRpta. — S a ~ - 1 + — arcsen —
2 a 2 a
® 3 3 3Calcular lim[———r + —r ~— r + --- + ~r~— r l V+l4 /; + 2 n4+n4
sÍ2Kpta.
(2 l) Calcular el limite siguiente:
Rpta. -1 1 1 (3 + 2 7 2 ) - ^ ^ 
8 16
lim e m " s e n ( e l00" ) s e n (— )[(1 + - ) 2 +(1 + —)2 +... + (1 + —)"]
5// - 6 1 2 n
© Calcular lim — [ y ¡ 2 + y ¡ 2 * + . . . + 2̂ 2 2"“' ] 
»->x 5/7
86 Eduardo Espinoza Ramos
VII.
23} Calcular lim [1 ̂ + 2 r + ... + « /,][tg—
(24) Calcular lim — [—
«-> /. n
s e n ( - ) ( ——) sen— ( — ) s e n ( - - ) v n . v 11 n | \ " n 1
2 x - 2 . 2 ti _ 2 o r r
|+ cr,c _ i+CUS — l+cos -
IT - n «
n
. s/í + 2 \¡2 . +... + n ' i f ñ 325} lim ------------n r --------- Rpta. -
a >x «“Vn '
@ lim — <j/(3aj + 1) (3// + 2)...4m Rpta.n —> x /7
1 .nr — ------—— — „ . 256
2 1 e
27) l i m- [ ( « + — )3 + ( « + —)3 + ... + ( «+ — )3] Rpta. a 3 + ^ ü
2
^ 8 ) Calcular el límite de la sucesión {«„!„>,. definida como:
« + 1 / 7 + 2 2/7 „ . 3- + ... + - Rpta. -
n 2 1 2 1 An +1 n + 2 n + n **
Determinar si las sucesiones dadas son convergentes ó divergentes.
© RPta: Converge.
n~
® n Rpta: Diverge.
n
{■Jn + 1 ->/«}„>) Rpta: Converge.
© {— s e n ^ - ¡„ s , Rpta: Diverge.
« + 1 2
Sucesiones 87
© , *• , Rpta: Diverge.V + IO*’" 1
© R pta: Converge.
© D ¡V Rpta: Diverge.
® { ln (n )-ln (« + l)}„2| R pta: Converge.
®
j \Jn sen(e'V) |
1 n + l ln£l
Rpta: Converge.
® { j V " v 4 „ „ Rpta: Converge.
©
n
Rpta: Converge.
© {yjn(n + 4) -«}„>, Rpta: Converge.
© ! f : £ ^n
R pta: Converge.
® {yjn + sfñ - \jn - yfñ } Rpta: Converge.
t \ l n 2 + 5n - ! - \ / « 2 + 3) Rpta: Converge.
1 U s T i
88 Eduardo Espinoza Ramos
{T 7T UV n + v n
Í8) {4r+4 +...+4}Jftl
r
n ! "í«>i
VIII.
A. Demostrar que:
(T ) l im— = 0 
w a—*o n !
B.
( T ) lim 5 - ^ = 0 , a > 1
( s ) lim a " = 0 si 0 < a < 1
( 7 ) lim = 0
^ «-»' ( 2 n ) \
© f ln(2 + i? ,1 , í «>i3 n
(2w)
© lim \/« = In—*rr
( ? ) lim
(10.000)''
= 0
( ? ) lim = 0 
«-»* ( h ! )‘
8 ) lim Ííi!2— = 0
® lim s ¡ a " + b " + c " = c . si a, b, c > 0, c > a, c > b/;—>x
a(a - ! ) ( « - 2)...(« - n ) x "
(10J lim
//—>x
= 0 si x e <-l . l>
Hallar el límite de las sucesiones siguientes cuyo n-ésimo término es: 
( 7 ) a n = -s fb* ~ y fh * V b 2" Rpta: b
Sucesiones 89
® \¡>r + >r +1 - si ir + «4 + 1 2
a„ = ■ ■■ , ■ - Rpta: —
Vn2 + n + 1 - s j n + n 2 + 1 * ^
a„ = s i + n+ \ - sin'* +4n~ + \ Rpta: -
® 1,0.1,0.01,0.001,... Rpta: 0
® — , — , —í— , Rpta: 1W 1.1 1.01 1.001 1.0001
© s ¡ 2 , V2 W 2 . ^ 2 + 72 + 7 2 ,... Rpta: 2
( ? ) 0 .2 ,0 .23,0 .233,0 .2333.... Rpta: —
W 30
® V2 , ^ [ 2 j r .... Rpta: 2
® {7 « (7 « + l -%/” )}„>! Rpta: —
® <5̂ - » - «p» 5
® í « 2 3 sen«!i _{ — ,„2I Rpta: O
11 +1
lim ^ +1
límites.
C. Si a n > O y lim + , entonces: lim ‘§ü~n = L . Calcule los siguientes
C-> 
t e
n
90 Eduardo Espinoza Ramos
O lim \[ñ Rpta:
( 7 ) lim '-¡Jn* + n4 Rpta: 1
/,_>x
( 3) lim —p-— Rpta: 0
V x sin"
IX. Determinar si cada sucesión dada es creciente, decreciente ó no monótona. 
( 7 ) {s/ñ}n2l Rpta: C reciente
2
( 2) Rpta: Creciente
n + 1
^ 3) { ( ~ ^ ) " s f ñ } „> 1 Rpta: no Monótona
© f " +2 ] }/>>! RPta : Decreciente
n
( 7 ) Rpta: Creciente
4/I
( ó ) { . }„>, Rpta: Creciente
V4 n 2 +1
( 7 ) { — ■ 2n }„>| Rpta: Decreciente
8 ) {— }„2I Rpta: Creciente
© { " ---- -}„>i RPta : Creciente
Sucesiones 91
X.
Q o) {cosmj},^, Rpta: No Monótona
{sen/ni},,^ Rpta: No monótona
® 2 "{—"}H>, Rpta: Decreciente
í i ) {— —— }„>i Rpta: Creciente^ 2"+100
r N rl.3 .5 ...(2 « -l) ,
My \ -------- —-------f n > \ Rpta: Decreciente
TÍ) { — Rpta: Decreciente
^ 1.3.5...(2«-1)
ló ) {ln(——*)}„>| Rpta: Decreciente
n
( 7 ) Calcular l i m P n , siendo Pn = — \ f a ^ . s [ a * . 2s [ a ^ . . . i\ J a 2" Rpta: a
/>—»x Cl
. <x . a , a , a „ senh a
Calcular lim cosh —.cosn— .cosh—-...cosn— Rpta:-----------
«->* 2 2 2 2'' «
C T\ /- + 1 i- 1P + 2 r + 3 P +... + « p P + l I( 3 ) Calcular lim Rpta: —
n-»*, n 2
( 4) Calcular lim (1 + .v)(l-t-cc2)(1 + .v4)...(1 + jc2" ) si |x | <1 Rpta: —-—
V- X n-»x 1 - jf
( T ) Hallar lim n ' d a í . a 2 : . o „ siendo U m n ' a n = a Rpta: a . e11— v r >1— +'/■
92 Eduardo Espinoza Ramos
("ó) Hallar lim ------------------------------------------- Rpta: e />fl
''-*T /?(// - - 2 ) . . . ( n ~ p + 1)(« - p ) " p
© Sea m e R .arbitrario, si la sucesión {S,,(/»)} > , esta definido por
S ( m ) = 1"' + 2 ' " + . . . + n " ' . Calcular lim ——
"->< n S J m )
Rpta: Si m = 0, 5 = —, si m > 0, S = -—— , si m < 0, S = - ------------
2 2 + /« 2 - m
Determinar el parámetro X para que el limite cuando n —» tc de la
n
(n — k + 1)(k + 2 )
expresión. A = [ - ^ ]"" sea finito y determina el valorÁn~(n + \)
de u para que valga e, se supone . finito. Rpta: // = -
6 8
( 9} Hallar lim a„ siendo a, = 1, a-, = 2, a 3 = 3, a 4 = 4 . Sabiendo que
^— >1 ->x
Aan = a n - \ + a „ -2 + a n-3 + a„-4^ n > 4 R Pta: 3
10J Determinar el número a de manera que: 
lim ‘sja^n"' + n 2 + 1 + - 2)n"' + a + l , sea finito (m impar m > 1) y
calcular dicho límite para los distintos valores de m.
Rpta: a = 1, — si m = 3 y si m = 5, 7
a ,•> a i asen a + 2 ' sen — + 3" sen — + ... + n sen —
© Calcular lim ---------------------------- ;---- — Rpta:
Sucesiones 93
^ 2) Probar que la sucesión , y ¡ 3 y ¡ 3 ^ ¡ 3 converge a vi
( Í I ) Hallar el límite de la sucesión, a , , a - , , en la que cada
término es media aritmética de las dos que preceden. Rpta:
ai + 2a-,1 • —!____ —
T 4 ) Hallar lim - ^ ( 2 + — + — + . . . + + V ) Rpta: — (Sug. Stolz-Cesaro)
»-*=r- n 2 3“ « 2
i ii 1 [ 12 '■)2 ~i. 2 2
Hallar lim(rt + l) 2 ( --- I- — + — + ... + — ) Rpta: 2.
»-** 2 3 4 n + 1
1 + 22 + 33 + ... + n "
16) Hallar lim Rpta: 1
(l7 ) Calcular lim J , a " , siendo positivo todos los términos de la»-+* y
sucesión a y sabiendo que lim —— = A-
//->x a n
Rpta: V* (Sug. Stolz-Cesaro) 
( h Í) Hallar lim JüííLl Rpta: 1 (Sug. Stolz-Cesaro)
19) Calcular lim Rpta: I (Sug. ST1RLING)
«->•' ln( //!)
20) Calcular lim ^ n ^ Rpta: V?r (Sug. STIRLING)»-**Vn(2w!)“
94 Eduardo Espinoza Rumos
(2 l) Hallar lim «MI + —) ' ( l + —) v(l + —) ' . . ..(l + —) '
/ » - > / V n n n n
Rpta: ( —)'(S u g . Fórmula de STIRLING)
e
® ,_ 2.2.4.4...(2n)(2/7) ;r r , ,Demostrar que: lim ----------------------------------- = — (llamado la formula
1.3 .3 .5 .5 ....(2 /i-l)(2 /¡-l) 2
de WALLIS)
(23) Aplicando la fórmula de VVallis, calcular
, 1.2.4.6...(2n) ^
a) lim ------------------------ = v^r
»-+® h. 1 ..3.5...(2/i - 1)
1.2.4.6...(2/i") r
b) lim — - = v/r
«.1..3.5...(2w* -1 )
24) Calcular lim —-— r - l n(— -— siendo {«„}„>,
s- ' «-»® ln( l + tg "(a„ )) 2 - a „ - a ' „
sucesión infinitésima y, tal que: íi„ * 0, V n Rpta: —
’is ') Calcular lim ! h — Rpta: — 7= (Sug. Stolz-Cesaro)
»-»x (2« + l)! 2-yGr
fe +10 ¿>,"+10
2 6 ) Defínase una sucesión b n , tal que:' o0 = 1, o, = — ------ , . . . , b n+í = ———
* . 2 / l y 2 ¿ > „
estudiar la sucesión, en caso de convergencia calcular lim bn
( 2̂ Demostrar la convergencia de la sucesión {«„}„>| dado por
1 1 1
a„ = ------ + + ... + --------, n e Zii + l n + 2 n + n
Sucesiones 95
28) Sea {«„}„>) una sucesión de números reales definida por 
«i =1, a 2 = 2 a n = ^ 2 — clü z L para n > 3 probar que {w;, es
convergente y que lim a n = —
n —» x 3
Analizar la convergencia de la sucesión y en caso de converger, calcular
i r - a l x o + l , h~ /.v,2 + a h 2 í.v2 + a h 1el limite de .y, = , ------- — , .v2 = J — .v„+1 = J -------- — .tal
a + 1 V a + 1 V a + 1
que: ,v0, a, b son reales fijos, a > 0 y 0 < x0 < b.
30) Si ai > 0, bi > 0, y a : * b, definimos a 2 = s já \" b \ , b 2 = — («, + ó¡) ,
= y[“ A - hn+1 = + K) • Probar 9ue:
a) u2 < b2 b) «„</>„ c) lim = lim bn
n—*r. n-+r
Si la sucesión esta definido por: », = 1,...,h(|J.| - - J l + u , ,
¿ u n es monótona y acotada? si lo es, calcular lim .
n -> x
32^ Dada la sucesión {ó(1} jl£| definida por: b| > 1 y bn+i=2--^~ para
n > 1, demostrar que converge y luego calcular sus puntos de
convergencia.
33) Sea {»„}„>! , tal que: a, = 2, a, = 8, fl2„+, + « 2„ - i ) ■
a 2li+2 - g2" ‘ 2,1-1 , demostrar que {«„}„>| converge a 4.
a2«+l
96 Eduardo Espinoza Ramos
( 3 ^ Estudiar la convergencia de las sucesiones
» / I I I Ia> {«»}„*. - a« = n+ü +- +̂
b ) f o , } , , * ! ’ h \ = ' • h 2 = ^ l > i = ^ b A = | « - h„ = h "~ ' \ h 'r Z
( 3 5 ) Calcular lim ln(—) .ln ( l+ —) y diga si es convergente ó divergente 
«->i n n
Demostrar que la sucpsión y ¡ 3 , \¡ 3 l¡ 3 , y ¡ 3 t f 3 s f 3 ,... converge y¡3 
( S i ) Estudiar la convergencia de la sucesión
((t):+,): (C):+|)=
I 2 n
r ~ \ ( i 3( 1 + Tn )
38) Sea \7 ’n / n¿1 una sucesión tal que 7j = 3 , Tn + \ = ———— ¿ Tn
Monótona y acotada?, verifique que lim Tn = \¡ 3 .
es 
n
11—»x
(39) Dada la sucesión {«n } na| está definida por u, = 1.....i/„ = ^¡5 +
para n > 2. Analizar si la sucesión es monótona y acotada, de ser 
afirmativo, calcular lim u n .
/;->x
(40) Analizar si las siguientes sucesiones son monótonas y acotadas, si lo son, 
calcular el límite de cada una.
Sucesiones 97
b) S = 1, S„ | = —' — , n está en Z' f# 7 «-rl
2 / 0 1 2 » 2 * “> i 2 1+ r i/, + 00 t u„ + a b - —)2- 2̂ = ( — U„+, - (— )2
a + 1 a + 1 a + 1
donde u 0 , a , b son reales fijos, tal que 0 < u n < b , a > 0.
d) « j = l , u2 = 2 ,..., u „ = \ ( u „ - 2 + u n - 0 ' " - 3 -
, _ 1 _ 1 1 _ 1 1 1e) 5, - — , 5 , = — 5„ = — + — + ... + — . p > l .
4 l ) Si = 1, r i = a , donde: a > 0 probar que:
31 n
a) F„ > o, /I e Z + b) 7j > F2 > Ty .. > Tn > 0.
c) r 3 >a, n e Z " d) {F;7¡n > j , converge,
e) ( l imF„)3 = a f) l im7’„ > 0 .
98 Eduardo Espinoza Ramos
CAPÍTULO II
SERIES INFINITAS.-
2.1. DEFINICIÓN.-
Sea { a n}rjSl una sucesión de números reales, entonces a la expresión: 
a, + a 2 + . . . + a n +... se denomina serie infinita de números reales.
X
A una serie infinita: a, + a 2 + . . . + a n + ... .representaremos por , es decir:
n=l
a n = 0 ] + a 2 + . . . + a „ +
«=i______
Donde a ¡ , a 2 , . . . , a „ s e denomina (o llaman) términos de la serie y a n es 
llamado el n-ésimo término de la serie.
Ejemplos.-
(7) La serie infinita: - + — + — + + —— + es representada por:
2 3 4 n + \
QC
Z n _ 1 
n + 1 2
1 2 3 n+ — + — + ... + + ...
3 4 n +1
«=i
© La serie infinita: l+-^ + -j + —+ ..., es representada por:
Series Infinitas 99
.cc.
S í I 1 1 1- 1 + - + - + —+ ...2/1-1 3 5 7«=!
. . . . . . , 1 . 3 1.3.5 1.3.5.7
13) La serie infinita: 1 + ------ 1--------- r -----------+ ..., cuyo n-esimo términos es:
w 1.4 1.4.7 1.4.7.10
a = 1.3.5.7...(2/1-1) _________ t J V 1.3.5.7...(2/1-1)V " ' 1.3.5.7...(2/1-1
es representado por: >-----------------------
1.4.7.10..,(3/i- 2 ) ' 1.4.7.10...(3/i- 2 )
•4i=r
, . . _ . í i i i i
14) La serie infinita: — + — h— + — h K .., cuyo n -esim o; termino es:
w 2 6 12 30 42
X1 1
a = — :------, se representa por: > -----------
//(/l + l) 1)P}
>7=1
OBSERVACION.- De la serie infinita" de números reales
x
a„ = + a2 ... ^ a n i- .... formaremos una sucesión
. «=l
(elC«>! definida de la siguiente forma:
si =a\
S2 = ü\+ a2
53 = a, + o2 + #3
S„ = «i + a 2 + . . . + a„ = / a ¡
/=1
100 Eduardo Espinoza Ramos
A la sucesión se denomina sucesión de sumas parciales de la serie
oc
infinita ^ ’ a n , siendo S n la n-ésima suma parcial de la serie.
n~\
2.2. DEFINICION.-
Consideremos una serie infinita y una sucesión de sumas parciales
{■̂n}í)2l •
n=l
Si el lim S„ == 5 existe, entonces diremos que la serie infinita > a n es
»-»*. i J
n—1
convergente y converge a S.
CC
Si la serie infinita ^ ' a n , es convergente, se puede escribir así:¡
«=i
00
Z a n = lim S n = S , al cual llamaremos suma de la serie infinita.w—>ocn = \
Si la serie infinita es divergente, carece de suma.
n=1
OBSERVACIÓN.- Si lim S n = s existe, entonces la sucesión de las sumasj
> 7-> X
parciales {S,, }„2I, es convergente, esto es:
X
Una serie infinita ^ ' a n es convergente <=> {*S'/Í}„>i es convergente.
n=i
Seríes Infinitas 101
X
Ejem plo.- Hallar la suma de la serie infinita > ----------- , en caso de serL~m{n +1)
n=1
convergente.
Solución
1 1El términos rt-ésimo de la serie infinita > es: a„ -= -----------
¿ - t n ( n + \ ) n(/i + 1)
Ai = 1
(descomponiendo a a n en fracciones parciales), es decir:
1 A B
a n = ---------- -- — i- , efectuando operaciones se tiene: A = 1. B = - 1
n ( n + 1) n n + 1
F 1 1 1Luego: a n =
o(n + l) n n + 1 
1
° 2 " 2 3
a , = -------
3 ? 4
1 1
n - 2 n - 1
«-i
n -1 n
1 1
a., = ------
" n n + 1
102 Eduardo Espinoza Ramos 
 _
n + 1
Por lo tanto: s„ = 1 y lim s n = lim (1 ) = 1 existe, entonces: la|
t i + 1 / ! - > * H - + X n + 1
sene
X
I
n=\
ce
- I/7=1
1
«(« + !) es convergente y su suma es igual a 1, es decir:'
n(n +1)■ = 1
OBSERVACIÓN.- Otra manera de hallar la n-ésima suma parcial de una 
serie infinita, es usando la regla telescópica, es decir:
001 o>
/-i
1 1 1Como a„ = ------------ => a ,, = -----------, entonces:W 1 \ H .1/?(/! +1) n n + \
s n — ci\ + + <23 +
n
/=!
/;i w
Z ( t - “ t ) = - T (— - t ) = - ( / ( « ) - / (O ) ) , donde i / + l Z— i / + l i/=! í=l
/ ( / ) = -í- => s„ = - 1) = l , es decir:í+I n+l n+l
5 = 1 - - lim s„ = 1 existe, entonces:
Series Infinitas 103
1
n=1
es convergente y su suma es igual a 1.
>X
I
»=l
1
n ( n + 1)
• = 1
OBSERVACION.-
I o A veces necesitamos que la serie infinita comience en el término a 0 o en 
el a 2 ó en algún otro término, si k > 0 es entero, escribiremos:En caso de que carezca de importancia, al índice que se le asigne al 
primer término, se acostumbra con frecuencia escribir z a„ para 
designar una serie infinita.
|2.3_
2o Puesto que lim (s n - c ) , c constante existe o lim s n existe, se deduce
/;—>x /j—Ko
que podemos omitir un número finito de términos tentre los primero) de 
una serie infinita, sin que se afecta la convergencia o divergencia de la 
serie, por supuesto el valor de la suma si existe, quedara afectado.
PROPIEDADES.-
cc
( l ) Si / a„ es convergente, entonces: lim a„ = 0
' ■ M—
n=1
Dem ostración
104 Eduardo Espinoza Ramos
<X
Como la serie converge, la sucesión de sumas parciales { S n }„21
«=i
converge, esto es: 3 lim s n = s , ( lim .v„_, = s ) pero
a„ = s n - s „ _ | => lim a„ = lim(s„ - s „ _ |) = s - s = 0 ; luego: lim a n = 0
/r-»x >x /i—>x
( 2 ) Si lim an * 0 , entonces la serie infinita > a n es divergente.
^ M->X ̂ ^
/;=l
Demostración
X
Suponiendo que / a n es convergente => lim a n = 0 (por la propiedad 1),
/ n~*x
//=I
x
pero esto contradice a la hipótesis. Luego ^ ^ a (l diverge.
»=i
NOTA.- Esta propiedad es muy importante, pues permite, en algunos casos 
determinar en forma inmediata la divergencia de una serie.
*■ i
Z n +1—- es divergente puesto que:n + 2
n - 1
i- i- n* + 1 i nlim a n = lim —---= 1 * 0
/?-»x //—>x -}- 2
x x
© Si y son series convergentes con sumas íj y .v2j
W=sl /f=l
respectivamente y c e R. Entonces:
Seríes Infinitas 105
r 7i x~
i) converge a c S | , es decir: Z cY," = c Z a"
/ Í = l w = l ; ; = l
x x x x
Íi) ^ ( f l „ + bn ) converge a s, + s2 es decir: ^ ( < / „ + />„) = ^ a „ +
/ /= ! / / = l «=1
x x x y
¡ii) / ( a „ - b „ ) converge a s, - s2 es decir: ^ (a„ - b n ) = ^ a„ - ^ b„
H = \ 11 = 1 // = l M=l
Demostración
Demostraremos ii. puesto que i . , iii. serán similares.
X
' S ^ ( a „ + b n ) = ( a ] + b i ) + ( a 2 + h 2 '> + - + («„ + *„) + •••
<i=l
La n-ésima suma parcial de esta serie es:
X
+ b j l ) = (a, +¿>| ) + («2 + ¿2) + ••• + («„ + /’„)
*=1
— («I +£(, +” -+ü„ ) + (¿| + ¿2+ - + /̂i )
= s n + t n , donde: s() y t n son las n-ésima sumas parciales de:
x x
^ H y ^ 1 respectivamente, luego
M=1 //-I
X
lim / («j. + ¿>A ) = lim (s„ + /„) = S| + s2 , es decir:
M-»X i 1 .ri // —̂X
106 Eduardo Espinoza Ramos
X X
lim X K + ¿>A. ) = 5, + s2 existe, entonces: + b n ) converge y
a=i «=i
X
//=!
■f x
( T ) Si y 'o , , es divergente y c e R, entonces: ^ c.a„ es divergente .
n=l «=l
Demostración
Ejercicio para el lector.
X x X
© Si es convergente y es divergente, entonces:
/ ;= ! w = l «=1
divergente.
Demostración
X
Suponiendo que + ¿>/;) es convergente.
//=i
X X
Luego + 0 “ aw] ser¡a convergente por 3iii., pero es un^
n=\ n=I
x
contradicción con la hipótesis por tanto: + b „ ) es divergente.
n = l
2.4 TEOREMA.-
Sea {5(l} n>] la sucesión de sumas parciales para una serie convergente
X
, entonces: para cualquier e > 0, 3 N > 0/|.vR - s r | < e siemplf
n=i
que R > N, T >N.
Series Infinitas 107
Demostración
X
Como ^ ' a n converge, sea s su suma, esto es:
»=i
lim s lt - s <=> \ / e > 0,3 .V > 0 / n > N => Ls„ - s < £
ií—>00
En particular podemos considerar: |.vJ( — sj < — , por tanto, si R>N y T>N.
•vj? - ST = \s r - s + s - s 7 \ < s* - s \ + |.v - s T |
IS R - S T | < \ s R - s \ + |.vr - ,v| < - + - = £•2 ">
V £ > 0 , 3 N > 0 / R , T > N = > \ s r - s t \ < c
2.5 SERIES ESPECIALES.-
a) SERJE ARM ÓNICA.- La serie annónica es de la forma:
V 1 , 1 1> — = 1 + — + --
¿ ~ ¡ n 2 3
1 1
- + - 
n
n=1
La serie annónica es di\ ergente: En efecto s n = 1+ — + — + —
. 1 1 1 1 1
s-,.. =1 + —+ — + + + ... + — , entonces:
2 3 n n + ] 2n •
108 Eduardo Espinoza Ramos
1 1 1 1 1 1 n 1
P a ra n > l ------+ --------+ ...+ — > — + — + ... + — = — = —
n + 1 n + 2 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2
(pues hay n-términos en cada lado de la desigualdad)
Luego s 2l, - s „ > — ... (a ) siempre que n > 1, pero por el teorema 2.4.,
establece que si la serie es convergente s 2„ - s n se puede hacer tan 
pequeño tomando n suficientemente grande, esto es:
Si s = —,3 N > 0 / |s 2n - í n| < ^ siempre que 2n > N, n > N, pero esto
oc
contradice a (a), por lo tanto: es divergente.
n = l
b) SERIE GEO M ÉTRICA .- Una serie geométrica es de la forma:
X
\ V ' - ‘ = a + a r + a r 2 + . . . + a r " ~ l + ... 
n=i
La serie geométrica es convergente cuando r < 1 y es divergentej 
cuando r > 1.
En efecto: La n-ésima suma parcial de ésta serie, está dado por: 
s n = a (l + r + r 2 + . . . + r " ~ ^ ) , además se tiene:
i n 2 //— l \
l - r = ( l - r ) ( l + r + r )
d(l )
Luego s n = a ( \ + r + r 2 + . . . + r " ~ ] ) = ------------ , v * l. Entonces:
Series Infinitas 109
1 d (iy n ' ,l
lim s n = lim a ( ) = lim lim , donde: lim , existe
; / -> c c //—»% 1 — y n—>cc 1 — /* / ; - > x \ — /7—>oc 1 — y
y es cero s i | r |< l , por lo tanto l im s „ = —— , si |H < 1, entonces: La
n-»-c l —r
■x.
serie geométrica / a r " ~ l , converge cuando ¡r¡ < 1, y su suma es — — ,
i 1 - r
n = l
X
es decir: ^ ' a r "~l = ~ ~ , |r| < 1
n=i
a r " I T
Si |r| > 1 lim no existe, por tanto la serie geométrica > a r " es
n—yx 1 — y Ám.J
n=\
divergente, cuando |r| > 1.
Ejemplos:
© V " 4 4 4 4 • • 1La serie > — = —+ —+ k „ es una sene geométrica con r = — < 1
¿ - i 3" 3 9 27 313" 3 9 27«=1
la serie converge y su suma es: s = = 2.
1 - -
n- 0 n=0 n=0 n=0
Z / 2 \ 2 4= 1+ J + ' ^ + — ’ es una ser‘c geométr*ca convergente,
n=o
2 , 1 5 5
pues /• = — < 1 y su suma es: s = — •— = — => s = —
5 j _ 2 3 3
5
110 Eduardo Espinoza Ramos
Z ( — ) " = 1 + — + — + ..., es una serie geométrica convergente, pues5 5 25»=o
3 , 1 5 5 * .r = — < 1 y su suma es: s = — — = — => s = - , por tanto:
5 i _ 3 2 2
5
Z 2 " + 3 " V V 2 V> V f 3 V 5 ^ 5 2 5 a ■ i = > ( —) + > I — ) = — + — = — , es decir que la sene5" 5 3 2 6
n=0 n=0 <i=0
Z 2 " + 3 " 25—— , converge a —
n=0
© V M " V - 1 4" V ' ' / '4 \ „ , 4 16La sene } — , diverge. En efecto: / — = / \ ~ ) = ! + - + — + - - es
 1 3 "<1=0 "=0 »=0
4 V - ' 4"
una serie geométrica donde: r = — > 1 , luego ' es divergente.
3 3"
n=0
3
( 4 ) La serie 0.3 + 0.03 + 0.003 + ... + + ... es una serie convergente.
v“ / 10"
3
En efecto: La serie 0.3 + 0.03 + 0.003 + ... + ------ + ..., se puede escribir como1
10"
3 3 3 3 3— + -----+ ------...-+ ------+ . . . , donde: r = — < 1 , por lo tanto la serie es
10 102 103 10" 10 '
2
10 1 iconvergente y su suma es: s = -----— = — s = —
1 -----
10
Series Infinitas
c) LA SERIE - P.- La serie - p, tiene la forma:
SI 1 1 1 1— = -^ -+ — + — + — + ...Jsiendo p una constante.n~\ \P 2P l,p " npX
Cuando p > 1, la serie-p, / —— , es convergente. ¿-‘np
n=i
X
Cuando p < 1, la serie-p, / — es divergente.
' n f)t n
n - \
© ¿ -J n.n\
■ X
Para el caso cuando p = I, se tiene la serie armónica N ' —
n=i
divergente.
Ejemplos.- Determinar la convergencia ó divergencia de las series.
(»-D!
n = l
Solución
Z ( n - 1)! ( n - 1)! V " 1 J J ' „ = > --------------= 7 —r , es una serie-p, donde: p = 2 -
n . n ! Z - í « .(« -!)!« L - J n -n=\ n=\ n=1
es convergente.
© t —.
\ f ñ { n - 1)! 
!
n=l
Solución
ZVñ(w-l)! 'shfii(n-l)'. V 1 ,-------------- = > -------------- = 7 — - , es una sene-p, donde: p =
n! ¿ w n(n - 1)! I/;=! «=1 n= I fj 2
que es divergente.
que es
1 . que
2
112 Eduardo Espinoza Ramos
2.6. SERIES ENFINITAS DE TERMINOS POSITIVOS.-
La serie infinita , donde: an > 0, para todo n =1 ,2 ,..., se llama
»=i
serie infinita de términos positivos.
En este caso, la sucesión de la sumas parciales {.S'„ }n2l. donde:
s n = a ] + a 2 + a 3+...+a„, es creciente, ósea: .s, < s 2 < s-¡ < . . . < s n < s n+i <...
2.7. TEOREMAS.-
2.7.1. TEOREM A (C R ITER IO DE COM PARACIÓN DIRECTA).-
X
Consideremos la serie infinita y ' a n de términos positivos, entonces:
n=i
00
i) Si la serieinfinita ^ ^b n , es una serie de ténninos positivos y es
n=i
so
convergente y además a n < b n , V n > N ^ ̂a n , es convergente.
/;=l
x
ii) Si la serie infinita , es una serie de ténninos positivos y es
n = i
x
divergente y además a n > b n , V n > N => , es divergente.
n=t
Demostración
X X
i) Se tiene que a n > b n , V n > N. Sea b n = ó , pues la serie X a" °S
M = 1 W=1
convergente, entonces: V n > N; tenemos:
Series Infinitas 113
s„ = V a k = / f h + 2 _ J a k ~ 7 , a k + y ' h n ' entonces:
A=l A=1 k = N+1 A=1 A=A'+1
/V /? A' A'
s„ < y ^ ! b n < S a k + b , entonces: s n < ^ ' a f + b , es decir
A=! A-Af+I *=l 77=1
X
ln sucesión de sumas parciales (A, }„>i de *a ser’e / ^a„ es acotada
W = 1
superiormente y como es una sucesión creciente, concluimos que la serie
X
1 a n es convergente.
/;=I
X'
i¡) Suponiendo que ^ ' a n converge, entonces por i., tendremos que:
n=i
X X
converge, la cual contradice a la hipótesis, por lo tanto:
n=I ;/=l
es divergente.
Ejemplos.-
X
11) Determinar la convergencia ó divergencia de la serie / -----%
1 + « '«=1
Solución
i i 2 1 1 +??
n > 1, se tiene: 1 + n ~ < n + n ~ , 1 + /7 < h (1 + «), :r,
n 1 + n~
1+ 7? 1 w , V 1 1 j- , ■luego > — , V n > 1 y como > — es divergente (sene armónica) por
1 + 77' 77 X — 7 ??
n - 1
ceZ \ + n
 — es divergente.
1+77
114 Eduardo Espinoza Rumos
( T ^ Determinar la convergencia ó divergencia de la serie — —
H=l
Solución
1 1 1
V n > 1, se tiene n 2" > 2 " =í>------ < — , como > — es una serie
n 2 " 2 " 2"/» = !
geométrica convergente ( r = — < l) .
x
Luego por la parte (i) del teorema (2.7.1), concluimos que ^ — — es
n=I ^
convergente.
® . , , V - ' 2 + sen3(n + l)Determinar la convergencia o divergencia de la sene: > j-----
»=i n
Solución
V n e Z \ se cumple -1 < sen3 ( n + 1) < 1, sumando 2. 1 < 2 + sen ( n + 1) < 3
, _ 2 + sen3(n + l) 3 3 .
luego 0 < < 7- < — , es decir:
2 " + n 2" + n 2 "
„ 2 + sen3(n + 1) 3 3 . . .
0 < 1 < — como > — es una sene geométrica convergente
2 " + « 3 2" 2"
n= I
(/■= —< l) concluimos por la parte 2.7.l(i) que la serie: ^ n 3
2 ZmmJ 2 " + nn=i
es convergente.
2 + sen3(/? + l)
Series Infinitas 115
2.7.2.
©
TEO REM A (CRITERIO DE COM PARACIÓN POR LÍM ITE).-
X X
Consideremos las series infinitas y ^ ' b n de términos positivos.
77=1 »=1
Entonces:
i) Si lim —'- = k > 0 => ambas series convergen ó divergen.
« -+ * b„
X X
i¡) Si lim — = 0 y bn converge a„ es convergente.
n->x b Z—/
77=1 77 = 1
X X
iii) Si lim — = +oo y \ bn es divergente => la serie ^ aN , es
77 —7X /) .fai.J ' -7
" 77 = 1 77=1
divergente.
Ejemplos.-
X
Determinar si la serie ^ — es convergente ó divergente.
77 = 1 W
Solución
Sea = — , tomemos b ., = — , es decir:
„« " 2''
^ es una serie geométrica convergente ( r = ^ < l)
a 2 " / 2 \
Entonces : lim — = lim = lim — = lim ( —)” = 0
n—ex //—>x 1 /i—>x ^ /; n —>x
16 Eduardo Espinoza Rumos
a V 1 1Luego lim — = 0 y / — es convergente.
ll=\
X
por lo tanto por la parte (ii) del teorema 2.7.2 concluimos que la serie > — .4—< n"
n= i
es convergente.
» 2
( 2 J Determinar si la serie 7 -— es convergente ó divergente.
W 4»3 + 1' An + 1«=i
Solución
Sea a,, = —v — , tomemos b„ = — es decir
4n3 + 1 " n
n = l
entonces:
ir: N ' — una serie divergente, 
n
lim — - lim —’ + * = lim —^— = - > 0 , luego lim — > 0 y —J
n -»x 4. 1 4 /;->» A n■ +1 „ W=1
es divergente, por lo tanto por la parte (i) del teorema 2.7.2 concluimos que la
* 2
ie 7 — -— , es divergente.
4h + 1
sene
1 A n ¡ + 1
n=I
X
® Detenninar si la serie ^ ^ s e n ( —) convetge ó diverge.
n=\
Solución
Series Infinitas 117
^ X
Como a t¡ = sen(—) , tomemos b n = — es decir: / — una serie divergente, 
;/ n n«=i
a sen( ~ ) | 
entonces: lim — = lim — = lim «sen(—) = 1 > 0 .
n— b n->x, 1 /i—»x n
xa 1
Luego lim — = 1 > 0 y > — es divergente por lo tanto por la parte (i) deln-yr, b ' HI/?=!
X
teorema 2.7.2 concluimos que la serie > sen(—) , es divergente.
í — J n
n=I
2.7.3. TEO REM A (C R ITER IO DE LA RAZON O C R ITER IO DE 
DÁLEM BERT).-
X '
Sea ^ ' a n una serie infinita con a n > 0 , V n (de términos positivos) y
n - \
a +1
convengamos que: lim —---- = /c , entonces:
rt—»X (7
X
i) Si k < 1, la serie ^ ' an es convergente.
n = l
ii) Si k > 1, la serie ^ ' a n es divergente ó cuando 1
i»—i
iii) Si k = l , no se puede detenninar nada.
.. a„ +1 
lim — = +oo
1 18 Eduardo Espinoza Ramos
Ejemplos:
X
(T ) Determinar si la serie ^ w2~" es convergente ó divergente.
Solución
n 11 + 1
Sea a = « 2 = — => a ,, = - calculando el límite se tiene:
n 2 " ' 2
i i- a n+1 i- 2/í(/i + l) n + 1 1
k = lim = lim ¡— = lim = — < !
n —>x a 2 n />->*- 2// 2
X
Luego por la parte i) del teorema 2.7.2 se concluye que la serie ^ \ ; 2 , es
«=l
convergente.
* ^ 3 + j
(T ) Determinar si la serie ^ ’ — — es convergente o divergente.
e
n=i
Solución
v/n' + 1 yJ(,a + \)} +1
Sea «„ = — => a„+l =--------^ -------, entonces:
¿ = lim = lim - . p — ^ = - <
«->* aJ( n -* o ce]¡ n + 1 <?
a«+i __ i:_ 1 /(« + 1)3 +1 _ 1
* / 3
Z \//r -
P
/>=l
es convergente.
+ 1
e ‘
Series Infinitas
©
2.7.4.
X
Determinar si la serie / es convergente o divergente.
¿ - - ‘ J n ( n + \ )
n=I y j n ( n + 1)
Solución
I 1
Sea a„ — , —*• u„+|
“*+l >/«(« + DA = lim —— lim —. : -r- = 1. Luego por la parte iii) del teorema
»-»» a„ f ( n + 1)(« + 2 )
(2.7.3) no se concluye nada. Ahora aplicaremos el criterio de comparación por
límites como a n = —= = = , tomamos b„ = — , es decir: N — es una serie 
J n ( n + 1) « ¿ - i n/;=)
divergente, entonces A' = lim — = lim = 1 > 0 . Luego por la parte i)
" - > T y ] n ( n + l )
del teorema (2.7.2) se concluye que la serie > ■ es divergente.
¿ — f f n ( n + 1)/> = ! v
TEO REM A (C R ITER IO DE LA INTEGRAL).-
Sea f uña función definida y positivos para todo x > 1 y además decreciente y
X X
que f ( n ) = a n , V n e Z * . Entonces la serie infinita I
yi=l / /=l
/•(- x
convergente, si y solo si, la integral impropia I f ( x ) d x es convergente y si
integral impropia ] " / , , » es divergente, entonces la serie «
divergente.
/;=!
120 Eduardo Espinazo Ramos
Demostración
Sea k e Z +, por el teorema del valor medio para las integrales
f í+i
3 e / I f ( x ) d x = 1 , f(e) donde: k < e < k + l , como t es decreciente se
tiene: a k = f { k ) > f ( £ ) > f ( k + \ ) = a k + í , entonces a k > I f ( x ) d x > a k+i
f
/? // Wc + 1 'I
Luego V n e Z + 2 > 2 Z l / W A 2 ] T « a +i . de
A= I A = l A=1
donde
» _,+i »+i
y \ ^ í /(*)<& > a k - a, 
A=1 A=1
Ahora veremos para el caso en que n = 4
Y o Y o
1 2 3 4 5 x 0
A0
1 2 3 4 5 X
Luego por el criterio de comparación las expresiones
ti ^ K
a k , r f ( x ) d x , a k - a , , son convergentes o divergentes
A=1 A=1
simultáneamente.
Series Infinitas 121
Ejemplos.-
X
(T ) Demostrar que la serie - p, ^ — , es convergente si p > 1 y es divergente
!1= \
si p < 1
Demostración
Como a , = — = f ( n ) => f ( x ) = ——, entonces:n p \ / J \ r p
ÍV X
C — = lim r * . l i m --------- !------r / ‘
J X P M * J X P ( p - \ ) x p '
1 1 1 1= lim - [ ; 1 = ------- , si p > 1
/ ) -> X ( p - \ ) / f p - 1 p - 1
X
Entonces la serie - p, / — es convergente, si p > 1; y es divergente para 
¿ — < n p
n=i
p < 1 , para el caso en que p = 1, se obtiene la sene armónica > —, que es
n
n=i
divergente.
X.
( ? ) Determinar si la serie ^ ' n e " , es convergente o divergente.
n=i
Solución
Como a n - n e ~ " = f { n ) => / (x) = x e ~*, además f(x) > 0 para x > l y f 
es decreciente en [ 1 ,+oc>
122 Eduardo Espinoza liamos
©
2 . 7 . 5 .
Luego ^ .ve ' d x — lim jP.ve * d x - lim (ve ' - e x ) j
= lim [ ( b e ~ b - e ~ h ) - 2e~’ ] = 2e-1
/?—>X
Por tanto f .ve ' t/.v es convergente. Luego la serie ^ ^ « e " es convergente.
// = 1
X
Determinar si la serie/ --------- es convergente o divergente.
¿— t n ln(/í)iln(/?)
n=i
Solución
Como í/„ = — -— = / ( « ) => f ( x ) = —■— > 0 para x > 2, además 
nln(n) .vln.v
/ '(.v) = - ■+- n-'V < 0 Para x > 2 Luego f e s decreciente en [2,+x>, por 
(.v ln .v)-
r d x f d x / h .ln(A),tanto: | = lim I ------- = lim In(ln.v)/ = lim ln( ) = «
¿2 vln.v fr->+x ^ v ln ,v ¿-*+* / 2 />-»+x 2
Entonces se tiene que T — es divergente. Por lo tanto \ ' — !— , es 
¿ .vln.v i/;ln(«)
n=2
divergente.
TEOREM A (CRITERIO DE LA RAIZ O C R ITER IO DE CAL CUY).-
X
Si en la serie infinita / a„ ,.de términos positivos, se tiene que lim = k ,
/ J 11—>X
;/=l
entonces:
Seríes infinitas 123
®
CO
i) Si k < 1, la serie ^ ' a n es convergente
" n = \
ii) Si k > 1, la serie ^ ' a„ es divergente
W=1
iii) Si k = l , no se puede determinar nada. 
Ejemplos.-
X
Determinar si la serie / (— )" es convergente o divergente.
¿— i 2/7 - 1
n=\
Solución
/) + ]
Como a„ = ( )" v de acuerdo al criterio de la raíz se tiene:
2« - l '
, . . I . . i /2 + 1 /7 + 1 1
k = lim d a „ = lim «/(—■------) = lim ----------= — < 1
11 V 2/f - 1 2/7-1 2
©
Luego la serie: N '(•*———)” , es convergente de acuerdo a la parte i) del
2 / / - 1
n =\
teorema 2 . 1 1 .
i
Determinar la convergencia o divergencia de la serie j ( n " -1)"
n-1
Solución
Como a n = ( n " y de acuerdo al criterio de la raíz se tiene:
124 Eduardo Espinoza Ramos
n —>x n—>cc
J_ r \_
k = lim i¡Jan - lim ] j ( n " - 1)" = lim («" — 1) = 1 — 1 = 0 < 1
i
Luego por la parte i) del teorema 2.7.5 se concluye que la serie ' S ^ ( n n - 1) '' ,
n=\
es convergente.
® . , 2 + 2 )"Detenmnar si la serie y - es convergente o divergente.3"
n=\
Solución
n 3 { \ ¡ 2 + 2 ) " , J ,
Como a„ = — — y de acuerdo al criterio de la raíz se tiene:
3W
//—>X w—» QO
, n3(V2+2)" .. ~ 4 2 + 2 s il + 2 ,
& = lim a„ = lim í |— ———— = lim n " = ---------- >
3” 3 3
Luego por la parte ii) del teorema (2.7.5) Se concluye que la serie 
2 + 2)"
7 es divergente.
n=1
Observación.- El criterio de comparación, es un criterio de convergencia 
para series con términos positivos, sin embargo se puede 
usar para probar la convergencia de otras series.
. 00 X
Si , es una serie cualquiera de números reales, entonces ^ J a „ | , es
■ (7=1 «=!
una serie de términos positivos y por tanto el criterio de comparación puede
oc
aplicarse a la serie ^ ' |a „ | .
«=i
Series Infinitas 125
¡2.8. SERIES INFINITAS DE TÉRMINOS POSITIVOS Y 
NEGATIVOS.-
Una serie infinita de la forma siguiente:
X
Y(-ir\ = < h - a 2 + a y - a 4 +... + ( - l ) " +1<3„ +...
<7=1
donde: a > 0 , Vne Z \ se denomina serie alternada.
También las series de la forma: 1 )" .a n - —fl| + a 2 - a 3 +... + (—l)"a„
<7=1
donde: a., > 0 , son series alternadas.
2.8.1. TEOREM A (CRITERIO DE LEIBNIZ).-
La serie alternada de la forma:
<7 = 1
Es convergente si se cumple:
i) 0<f a a+l < a n , V n e Z +, ii) lim a n = 0
Ejemplos: Determinar si la serie alternada dada es convergente ó divergente.
2>.>-
17 = 2
ln(«)
126 Eduardo Espinazo Ramos
Solución
Como a„ = —!— => a , , . , = ----- , además V n e Z +, n < n + 1 =>
" ln (n) 1 ln(« + l)
ln (n) < ln (n+ 1) => í < —-— , para n > 2 es decir: a , < a , V n > 2
ln(« + l) ln(«)
, I
y además: lim an = lim = 0 .
'í xV -1 1
Luego por el criterio de Leibniz, la serie alternada: / (-1)” -------- , es
J— t ln ( n )ln(n)
i i= 2
convergente. 
© £(-■>"*£
n=I
Solución
Como a„ = — => , = — - , entonces: V n e Z * , 2 " < 2 n+] , de donde:
" 2 n o
< — , V n > 1, es decir: , además l i m a „ = 0WT| // //2»+i 2^
Luego por el criterio de Leibniz, la serie alternada:
/! = l
convergente.
® J V ir1 ”
3 « - lrt = l
Solución
Seríes Infinitas 127
2 .8 .2 .
Como a„ = ——— => a„.< = - ” + ' , V n e Z + , 2n -1 < 2n , sumando 3/22 
3//-1 3/2 + 2
3//^ + 2 /2 - 1 < 3/2" + 2/2, (n + l)(3n - 1) < n(3n + 2)
— ----- < —-— es decir: a n , , < a „ , V n e Z f , además:*
3/2 + 2 3 « - l ,,+l "
H 1
lim an = lim = — * 0 . Luego de acuerdo al criterio de Leibniz, la serie
«->« /■—>*» 3/2 —J 3
r. ^ ' (~ 1)'H 1 es divergente.alternada: . .
3/2 - 1
n=1
NOTACIÓN.- A la serie alternada ^ \ - l ) /,+l a n , abreviaremos escribiendo
//=i
GO
2 ^ / 2, , , donde: u n = ( - 1)"+1 a „ a |k„ | =
TEOREM A.-
■x; oo
Si la serie |//()| es convergente, entonces la serie alternada I /1„ es
n--1 n=[
convergente.
Demostración
Como la serie ^ ̂[/<„ j es convergente (por hipótesis).
« = 1
Luego por la propiedad de valor absoluto se tiene:-L I < u n < Iu n I, es decir:
128 Eduardo Espinoza Ramos
x
0 < u n + |«n| á 2 |w„| , de donde: la serie + |í/„ | ) , es una serie de
n~\
términos positivos.
X
Luego u n + |« J < 2|ww|, V n > N y además la serie es convergente,
n=\
x
entonces: por el criterio de comparación la serie ^ ' ( u n + |n„ | ) , es
n f-
convergente pero N ' u„ = ^ ^ ( 0 ^ + |m„|) — |m„|) , es convergente (suma de 
/?=1 «=1
series de convergentes).
X
Por lo tanto la serie ^ u n , es convergente.
«=i
a) DEFINICIÓN.-
X
Se dice que la serie alternada ^ es absolutamente convergente, si la
n=i
x
serie ^ ’ |u„ | es convergente.
n=i
b) DEFINICIÓN.-
X
Una serie alternada ^ ̂i/;i que es convergente, pero no absolutamente
n=\
x
convergente, se dice que la serie ^ t//; es condicionalmente convergente.
n=i
Series Infinitas 129
OBSERVACIÓN.- El teorema 2.8.2. establece que toda serie absolutamente 
convergente es convergente.
Sin embargo una serie convergente puede no ser absolutamente convergente.
CC GC
Sí la serie ^ converge => ^ \ /;/ es convergente.
/i=i «=i
ce x -
y converge =£> converge.
Ejemplos:
00
T ) La serie alternada (-1 ),?+1 — < es una serie convergente, sin embargo la
i n
n=i
ce - I
Z ( - l )/,+1 — = / — , no es convergente. n nserie 77 = 1 ' ' 77 = 1
© La serie alternada ^ \ - l )/7 — , es absolutamente convergente, pues la serie
n=1
x - * co
Z ( - l ) ” — = 7 — , es una serie geométrica con razón r = — < 1'. Luego2" ' 2 " 2«=i h=i
■X
la serie es convergente y por lo tanto: la serie / ( - 1)” — es convergente.
¿ - j 2 n
n=i
OBSERVACIÓN.- Para determinar la convergencia o la divergencia de. las 
series alternadas, se usa el criterio de la razón.
130 Eduardo Espinoza Ramos
2.8.3. TEOREM A (CRITERIO DE LA RAZON PARA SERIES 
ALTERNANTES).-
X
Sea ^ ' u n una serie alternante, tal que * 0 , Vn. Entonces:
«=i
i) Si lim ‘«+i = k < 1 , entonces la serie y u„ es absolutamente
n=i
convergente y por lo tanto es convergente.
ii) Si lim n+l = k > 1 ó lim *»+1
CO
= +oc, entonces: la serie , es
divergente.
iii) Si lim
u.,
no se puede determinar nada, acerca de la convergencia
de la serie
(7=1
Demostración
i) Sea r un número, tal que: lim ‘«+1 < /• < 1 , es decir k < r < 1, entonces
n+lcomo: lim
n —>co
grande, tal que;
= k , existe un número N > 0, suficientemente
*«+i </•, Vn > N, se tendrá que: |«v+i| < r |“ ,v|(
< r 'N + \ I lw(V+3l < r [“ .v+21 c etc-’ 0 1° Que es mismo:-
Series Infinitas 131
K + il < r | “ . v |
| ! , ; V + 2 |
+
V
< r 2 K l
| ^ / V + 3 1 < H w ,V+ 2 |
| < r 3 | w iV |
| u .V+/> l < > k v | , V
+p e z
zo
Luego la serie / ' |»n[ es convergente, pues r < 1 entonces: la serie
y- /.
^^K v+/> | > es convergente, y por lo tanto la serie ^ \ /„ es
p = \ n=\
absolutamente convergente.
ii) Si lim íf+l oo cuando n —> x , entonces: existe un 
> 1, siempre que n > N, es decir:número'’ N > 0, tal que:
|“yV+i | > K I > siempre que n > N.
Luego {¡/̂ }n i| , es una sucesión creciente de términos positivos =>
X
lim u n * 0 . Luego concluimos que / u„ es divergente.
n=1
Ejemplos:
x
Determinar si la serie alternada ^ (-1 )"4-1 —- , es convergente ó divergente ó.
n = l
condicionalm ente convergente.
132 Eduardo Espinoza Ramos
Solución
V/ + I
(« + !)!
k = lim « n + l = lim
/ I —>00 / 7 - > X
(—1)"+2 3"+l n !
(-1)"3"(« +1)!
= lim = 0 < 1
»-** n +1
ficomo k < 1, de acuerdoa la parte (i) del teorema 2.8.3 la serie > (-1 )” —
¿— i n \
n=\
X -1 1 3”es absolutamente convergente y por lo tanto la serie / ( - l ) n+ —
< n
convergente.
es
n = l
X
(T ) Detenninar si la serie alternada ^ ^ ( - 1 ) " , es convergente ó divergente ó
condicionalmente convergente.
n = l
Solución
Luego k = lim ‘h+i
=> M»+i =
2 ,,+l(« + l)! .. n + 1= lim = lim = +o: .
( - i r '( H + D !
*»n+2
n—>x 2 " +1 n \ h-»x 2 
Por lo tanto de acuerdo a la parte (¡i) del teorema 2.8.3 concluimos que la serie
X
Z n \( - 1)” es divergente.
n=i
Series Infinitas 133
2.8.4.
©
TEOREM A (CRITERIO DE RAABE).-
oc
Sea f a n una serie infinita de términos positivos, si k = lim n ( I — — )
i 4 n - m q
entonces:
oc,
i) k > 1, la serie ^ ' an es convergente.
/;=1
x
ii) k < 1, 1a serie ^ ̂an es divergente.
n=\
x
iii) k = 1 , nada se puede afirmar de la serie ^ ' a n
n=i
Ejemplos:.
X
Determinar si la serie 7 —— es convergente ó divergente. 
¿ - O r +1
Solución
X
ie V - r — - , se tiene: a„ = - y — de donde: an+¡ = - 7 — ,de
' n~+\ n + 1 (/; + l ) ' + l
n=\
De la serie 
acuerdo al teorema 2.8.4 se tiene:
1
k = lim »(l = lim n ( l - (w + 1)' -t .l ) , k = lim , i ( , 2/? + 1 ■ ) = 2 > 1
»->* an »-*» 1 »-»» «“ + 2 n + 2
w 2 + 1
134 Eduardo Espinoza Ramos
Luego de acuerdo a la parte (i) del teorema 2.8.4 e concluye que la serie
V ~ J ~ ,e s cc 
¿ - ¿ n 2 + \
: convergente.
«- +1
n= 1
C l ) Determinar si la serie / - - ■ — es convergente ó divergente.
^ 2«- + l«=i
Solución
En la serie dada se tiene que:
/ r - 1 , , , (n + l)2 - l n 1 + 2 n
a„ = — - de donde: a n+] =
2 « "+ l 2(n + l ) " + l 2 n + 4 n + 3
Aplicando el teorema 2.8.4 se tiene:
n + ¿ n
k = lim « ( l - ^ ü i ) = lim n ( \ - + 4 « ± 1 )
»->« «„ »-»® n~ - 1
2/t2 +1
¿ = lim n(l - ) g ,¡m ̂ » < -6 » -,3>--------= 0 < ]
.«-»*> (/? - l)(2n + 4n + 3) n~>* (« ' - l)(2n + 4/; + 3)
Luego de acuerdo a la parte (ii) del teorema 2.8.4 se concluye que la serie
x 2 j
— , es divergente.
2 n + 1W = 1
X
© Determinar si la serie 7 --------- - -------- es convergente ó divergente.Z-rf (2« + 1X2/1-1)W=1
S olución
Series Infinitas 135
En la serie dada se tiene que:
(2« + l)(2 /? -l) "+l (2n + 3)(2w + l)
Luego por el criterio del teorema 2.8.4 se tiene:
k = lim r t ( l - — ) = üm » ( l—^ * + 1-X2w~ 1)) 
«-*® a n n->® (2« + 3)(2« + l)
. .. / 8n + 4 \
k = lim n (— ------------ ) = 2 > 1
n-kc 4 n + 3 n + 3
Luego de acuerdo a la parte (ii) del teorema 2.8.4 se concluye que la serie
1 a 
i ( 2 n + \ ) ( 2 n r \ )
ce
Z a---------------------, es convergente.(2/?-f l)(2/? - l)
X
( 7 ) Detenninar si la serie es convergente ó divergente.
¿ 2/2 + 1' 2 n + 1«=i
Solución
Como a „ = —~— u„+1
2/ r + l " 2(/? + l)2 +1
luego por el criterio del teorema 2.8.4 se tiene:
k = lim «(i -fü± L ) = lim * ( l ) = 1 .
«„ »->« 2« + 2« - n - 3n—>oc
Luego de acuerdo a la parte (iii) del teorema 2.8.4, no se concluye nada y por 
lo tanto la convergencia se determina por uno de los criterios determinados.
136 Eduardo Espinoza Ramos
OBSERVACIÓN.- Como en muchos casos, las series son decrecientes, 
entonces: aquí se puede utilizar el siguiente teorema de 
Cauchy.
2.8.5. TEOREM A.-
30
Si a n+l < a n , entonces: la serie ^ ' a n es convergente, si y solo si, la serie
n=i
y " 2" a T es convergente.
«=1
Ejemplos.-
cc
0 Determinar la convergencia o divergencia de la serie —
»=i
Solución
00
, luego la serie ^ — es convergente o divergente siComo a n = — 
n
n=i
00 '■AJ 'A/
^ ' 2 " a T es convergente o divergente, pero Z ^ - Z 1 , esta
n=l
divergente.
sene es
2"/7=1 // —1
00
Í2 ) Determinar si la serie ) — —— , es convergente o divergente.
í — j n In(«)
n- 2
Solución
Series in finitas 137
oo oo 'oo
Y 2 - a r = y > . — !--------V - L -
¿ - 4 2 ¿ - J 2 " « ln 2 ¿ — ¡ n ln 2
n=2 n=2
De acuerdo al ejemplo anterior es divergente por lo tanto por el teorema 2.8.5,
¡ concluye que la serie / ----------, es divergente.
i n ln(n)i ln(«)
>1=2
2.9. EJERCICIOS DESARROLLADOS.-
x
( l ) Hallar la suma de la serie > ---------- en caso de ser convergente.
n ( n + 31i n ( n + 3)n=1
Solución
00
1
El termino n-esimo de la serie > — - — es a, . =
a — < n ( n -i(/¡+3) ' n ( n + 3)/J = l
ahora descomponemos a n en fracciones parciales es decir:
a„ = -----!-----= — + - — , de donde efectuando operaciones se tiene:
n ( n + 3) n n + 3
= (A + B)n + 3A (por igualdad).
138 Eduardo Espinoza Ramos
1 1 1a2 = - ( ------- )
3 2 5
1 A K«3 = --(------- )
3 3 3 6
a 4 = - ( --------- )
3 4 7
1 , 1 1 ,
«3 = - ( -------)
3 5 8
a n - 4 ( , + . )3 n —4 n —1
a » - 3 = T Í -------- )3 n - 3 «
1 , 1 1 , 
a „ -1 = - ( —3 n — 2 n + 1
1 1«„-i = t (-3 « -1 « + 2
3 n n + 3
_ 1 n 1 1 , 1 1 1 ,s„ - a , +a2 +... + aH - - [ 1 + - ■ + - - ( - + - + ” )
3 2 3 n + 1 n + 2 n + 3
1 r l I 3«- + 12/i + H
s » 3 6 {n + 1)(« + 2)(m + 3)
Sumando
Series Infinitas 139
11 V 1lim s n = «->. entonces: > , es convergente y su suma es igual a
'i-»® 18 ¿— í n ( n + 3)»-»* 18 ¿ — J n ( n + 3 )
11= I
11 n ■ V 1 11— , es decir: > — —— = —
18 Z - i / ,(« + 3) 18/* = 1
( ? ) La siguiente serie es convergente, calcular su suma:
Z . l n +1 1 ,cos(—------ ) s e n (—?----- )
n + n n + n
n=I
Solución
Aplicando la identidad siguiente: sen A. eos 5 = — [íen(/t + 5 ) + íen (/l -■ 6)]
. 2/1 + 1 1 ' l r 2« + 2 , 1 2/7 + 1 ,
cos(— — ) s e n ( - ) = - [ s e f i — -) + s e f i —— )]
n"'+n n '+ n 2 n~+n n~+n n +n
1 r 2/1 + 1 . - 2 / i 1 r 2 , 2 „
= - í s e n ( — ----—) + s e f i — ------ ) ] = -[sé?/i(-) - s e f i -)]
2 f i n + 1) n ( n + 1) 2 n « + 1
2/7 + 1 1 1 2/z 2
a „ = cos(— ) ^ « (— ) = - [ s e f i — ) - s e f i — - ) ]
n +n n~ + n 2 n « + 1
Como sn = +7] + a + ... + , entonces:
140 Eduardo Espinoza Rumos
^ ,2/7 + 1 1 sen 2
Luego > cos( - )sen(—----- ) = — —
n +n /? +n 2
.7 = 1
CT) La siguiente serie % "*--------- , es convergente. Calcula su suma.
W ¿ -4 (2/7- ¡)(2// + 5)
n = \
Solución
Como a — , expresaremos encuna suma de fracciones en la
(2/7-I)(2/7 + 5)
forma: a„ = ---------- ------------= ——— h— —— , de donde al efectuar
(2/7 - 1)(2/¡ + 5) 2/7-1 2/7 + 5
operaciones se tiene:
1 = (2A + 2B)n + 5A - B (por identidad)
(2.4 + 25 = 0 
' 5 .4 - 5 = 1
. = 1
6
5 = —-
Series Infinitas 14J
1
“ n- 3 = ~ l
6 2 « - 9 2 n -3 
1 .
a»-2 = r [ '
6 2/7 — 7 2/7 -
1 1
6 2 /7 -5 2/7 + 1
' r 1«»-i = T f6 2/7 — 3 2« + 3
« „ = - k 16 2/7-1 2/7 + 5
5 — —[(1 H +•—) —(■--------- 1-----------1----------)]
6 3 5 2/7-1 2« + 3 2/7 + 5
Sumando
^ _ 2 3 _ 12/7“ + 36/7 + 23
90 (2/7 + 1)(2/7 + 3)( 2/7 + 5)
00
, . 2 3 X "' 1 23
lim s„ = — entonces 
«r-wo 90 • (2/7-l)(2/7 + 5) 90
/7=1
© Hallar la suma de la serie infinita
oc
/ a r c t g j
n=1
Solución
1 + //(// + 1)
)
Al término n-ésimo de esta serie expresaremos en la forma:
a„ = a r c t g ( - ----- — — ) = a r c t g ( n W + 1 ) , donde t g a = - ; t g / 3 ■■■
l + n(/7 + l) j + ¿ 1 n
n 77 + 1
1
n + 1
142 Eduardo Espinoza Ramos
Luego se tiene: tg(a - J3) =---------------------- — >.).L+_l_. = ------- !-------
1 + t g a . l g P j 1 1 + n ( n + 1)
n ( n + 1)
t g ( a ' - B ) - ----------------- => a - B = a r c t g (— ;----------- )
1 + n ( n + 1) 1 + n ( n + 1)
De donde: a = arctg( * ) = a - j 3 = arctg{—) - arctg(—í—)
1 + /?(« + !) n n +1
Ahora calculamos la sucesión de ¡as sumas parciales.
y l 1 1(arctg(— -) - arctg (-)) = - ( arctg( -) - arctg( 1»
* i + 1 i n +1/=i
(Esto es por la regla Telescópica)
1 k l
sn = arctg (1) - arctg ( ) = — -arctg (—— )
n + 1 4 n +1
Z 7Ü Karctg( ) = lim S = ----- 0 = -
l + n(n + l). «->« 4 4
h=i
Z l Karctg{ ) = —
l + «(/; + l) 4//=!
X
( ? ) Estudiar la serie ^
(4/7 —!)(/? + 15)
n=1
Solución
Series Infinitas 143
Como a , , = --------- — x — = b„ => N — . serie divergente
(4 « - l) (« + 15) n "
77—1
a n~ 1
lim — =lim —-------— —— = — > 0 => por la parte i) del teorema (2.7.2)
l,_>x b n «->« (4« —1)(« + 15) 4
se tiene que la serie: / — — - ........... es divergente.
(4« - \ ) ( n + 15)/?=!
© Estudiar la serie y . r e '̂ c l x ; si converge hallar la suma.
Solución
í«■'/l
n = \ "
Primeramente calcularemos la integral I e d x
Sea u = s [ x => x = u ~ => dx = 2udu 
Y ~ ^ * d x = j e - " 2 u d u = 2 ju e -"*/» (integrando por partes)
y ^ d x = - 2 ( u e ~ " + e ~") = 2( + e )
j* e ' ^ d x = ( s f x + \ ) / "+' = - 2[e- '/"+i (V7+T + 1) - (J ñ + 1)]
* *, + ] _ ^
V j e ~ ^ d x = - 2^ [e- ^ (yy+ T + 1) - <r ' /" (sfTi + 1)]
77 = 1 n 77 = 1
Ahora calculamos la sucesión la sucesión de las sumas parciales
mediante la regla Telescópica.
144 Eduardo Espinoza Ramos
s„ = ~ 2 ^ ( / ( / ) - / ( / - 1)) = -2 { f(n )~ f (O », donde:
i=\
f { i ) = é7í™(y¡i+T + l) => f ( i - l ) = e~^(sí¡ + 1)
;;
= - 2^ [ e “v7+i (77+T + l)-é> n/7(V7 + D J - 2[e_'/^ (V /M -T + 1) - e-1 2 ]
2( \/n +1 + 1)
A.
i=i
De donde: s„=4e
e >/«+•
como lim ,v(I = 4e 1 => S í e , es convergente y su suma es:
/I-» O 0
/7*=1
7 + 1 .
= 4e‘
QC
Sí«=]
cc
( ? ) Analizar la serie
1+1 /7 = I í7 W
Solución
1 1 1 , 'ST' 1 .
Como a„ = t— - = —— « — = bn , entonces > — es una sene divergente 
i+i 1 n n
n " n.n" "=l
(serie armónica), lim — = lim —S = i > o , y de acuerdo a la parte i) del
w—>oo b //—><*■ _
n n
cc
teorem a 2.7.2. resulta que la serie ^ —, es divergente.
»=i „ »
Seríes Infinitas 145
co
( 8 ^ Analizar la serie
=i o 2 log(l + —) 
n
Solución
1 1 V"’’ 1
Como a„ = — -——— < — , V n > 1 y además > —— es convergente,
n2 log(l + —) n~ t t ' r
n
entonces por la parte (i) del teorema 2.7.1 se concluye que la serie
es convergente.
„=i n1 log(l + —) 
n
( í ) Determinar que la convergencia ó divergencia de la serie infinita N ' ——
Á - j \ n ( nIn(n)
n=¿
Solución
1 1 \ P 1
Se sabe que, V n > 2, se cumple Ln(n) < n de donde — < —— - y como 7 —
n ln(n) n
11=2
es divergente entonces por la parte (i¡) del teorema 2.7.1 se concluye que la
00
serie / ------- , es divergente.
ln(«)
n=2
( ío ) Determinar la convergencia ó divergencia de la serie infinita ^ ' n *
n=I n
Solución
V n > l , s e cumple Vñ + 3 < 4 V ñ , ahora multiplicamos por -~r se tiene:
n
146 Eduardo Espinoza Ramos
sfñ + 3 4\[ñ 4
t— s — — = —— y como N ' —— es convergente, entonces por la parte 
n n n
(i) del teorema 2.7 se concluye que la serie infinita —n+ 3 ^ convergente.
„3»=i
© Determinar la convergencia o . divergencia de la serie infinita
Z 2 + sen'(n + 1)
2 " + n i/7 = 1
Solución
V n e Z + , se cumple -1 < sen3 ( n + 1) < 1
í < 2 + s e i r ( n + 1) < 3
Q , 2 + \eo3(n + 1) < __3___ < _3_
2 " + n 3 ~ 2 " + «3 ~ 2"
X
Z 3 l—— es convergente (serie geométrica r = — < l ), entonces por la
1 7 = 1
... , i „ _ . , , . V ' 2 + sen' (n + 1)
parte (i) del teorema 2.7.1 se concluye que la sene J —— , es
»=i " + n
convergente.
(12; Analizar la convergencia ó divergencia de la
n=I
Solución
•70
aserie 'N ' ( —1)"(3~" + 4~'')2
Series Infinitas 147
n=\ «=1
sus series geométricas son convergentes puesto que | r | < 1 , por lo tanto; la
X
serie ^ \ - l ) ''( 3 ~ " + 4 " ” )2 es convergente, además su suma es:
n=i
1
9 , 16 _ + _ 12
1 1 ! 691
10 17 13 2210
691
^ ( - l ) ” (3 -" + 4 "")2 = ~
110
n=1
x
( í s ) Analizar la convergencia ó la divergencia de la serie
n=\
Solución
^ ( - l ) " ( e - 2".54- 2") = y (- i r e 6, - 2".54.5-2"
n=1 n=1
x x
= 625e6^ ( - l ) " ( e - 3.5“2)" =625e6^ ( - ^ T ) ,í
Se tiene una serie geométrica donde r = —í— < 1, y por lo tanto; la serie es
25e
convergente donde su suma es dado por:
148 Eduardo Espinoza Ramos
\_
V ( _ 1 ) " ( g 6 - 3 B 5 4 - 2 „ ) = 6 2 5 e b í _ 2 5 ¿ , ) =
^ I 25é>3 + 1/?—1 I “I 7"
25e3
^ ( - l ) " ( e 6“3''.54“2" ' - 625g6
W=1 25<?3 +1
(^4) Determinar la convergencia de: 0.535353...
Solución
Sea A = 0.535353..., se puede escribir:
A = 0.53 + 0.0053 + 0.000053 + ... = — + ~ r + + ...,
100 1002 100J
de donde r = —— < 1 ; por lo tanto la serie es convergente y su suma es: 
100
53( — )
c _ _ J 0 0 - 53
1 _ L 99 
100
(1 5 ) Determinar la convergencia de 0.012012012...
Solución
Sea A = 0.012012012..., se puede escribir:
A = 0.012 + 0.000012 + 0.00000012 + ... = - ^ - + —^ — 4— ^ T + ...
1000 10002 10003
de donde r = < 1 ; por lo tanto la serie es convergente y su suma es:
1000
Series Infinitas 149
S =
12( )
1000 12 _ 4 
999 ~ 333 333
1000
Se deja caer una pelota desde una altura de 20 mts. cada vez que toca el suelo
3
rebota hasta — de su altura máxima anterior. Encuentre la distancia total que
4
viaja la pelota antes de llegar a reposo.
Solución
La distancia que recorre la pelota representaremos mediante la serie infinita.
20 + 2 ( |) ( 2 0 ) + 2 ( | ) 2 (20) +... + 2 ( | ) n 20 + ...
La serie geométrica es convergente y su suma es:
3
20 + 40(—^—) = 20 + 40(3) = 140 mts
1- -
4
re
(ÍT) Determinar la convergencia o divergencia de la serie
■ 2” — 1 + s e n 2 ( n i )
11 = ]
Solución
150 Eduardo Espinoza Ramos
V n > 1, se cumple que: 0 < sen2 (n2) < 1, entonces'
2 " — 1 < 2 " — 1 + sen2(n¡ ) < 2" , por lo tanto
0 < 2” - 1 + sen2( n 2 ) < 2" , V n > 1, entonces:
0 < --------------- — - < — , c > 1
2” —1 + sen ( n ) 2"
Como 7 — es convergente, entonces por la parte (i) del teorema <2.7.1) 
¿ L d 2 "
n = l
00
concluimos que la serie / — — r - es convergente.
- \ +sen2(>?)
n = \
(ns) Determinar la convergencia ó divergencia de la serie ' — —
n~n=l
Solución
^ |sen(/;)| 
n 2 +1
|sen(«)| 1 i ^ 1
Como an < — => > b„ = V —
n~ + 1 n~ + 1 n 1 n
n=i »=i
sen(«) 1 1 .
Como —T ~T y / ~T > es convergente entonces por la parte (i) del
n~ +1 n ' n~»=i
Z |sen(n)|i— es convergente.
/ r +1
(1 9 ) Determinar la convergencia ó divergencia de la serie ^ ̂ ”
/7 = l
Series Infinitas 151
Solución
„ «! 1 I V IComo a, ,= — ■ - - ■ = « — , tomamos > —- , es decir:
(n + 2)! (« + !)(«+ 2) n2 «/7=1
co
I ? es una serie geométrica.n~
n=i
¿z n
Aplicando el teorema (2.7.2) se tiene: k = lim — = lim = 1 > 0 ,
"-x» ¿>n «->«(« + 1)(« + 2)
entonces , por la parte (i) del teorema (2.7.2) se concluye que la serie
Z n!(n + 2)! es convergente.i(n + 2)!/;=1
(2 Í ) Determinar la convergencia ó divergencia de la serie ^ ^ -y = =
,_ .. + ln=i
Solución
Como an = .- i— - e — , entonces tomo N que es una serie divergente
V2/1 + 1 n n
ñ — \
ci n
entonces por la parte (ii) del teorema 2.7.2, lim — = lim = +co , y
» -« b„
c e oc
Z — es divergente se concluye que / • .-•• es una serie divergente.n V2n + 1/7 = 1 /J=I
OC
(2T ) Determinar la convergencia ó divergencia de la serie ^
/»=!
152 Eduardo Espinoza Ramos
Solución
r- N " ) . u 1 4 ■ V 1Como a n = ------- , tomemos bn = — , es decir: > — , es una serie
2" n~ n~
i i = i
a„ n2 ln(n) A , V 1
convergente, entonces, lim — = lim — = 0 < ! y > —r es
„ _ > * 7" '/ i2z „=i
convergente entonces por la parte (i) del teorema 2.7.2 se concluye que la serie 
ln(/?)
I 1 " 
41=1
es convergente.
2 ) Determinar la convergencia ó divergencia de la serie ’S '
'n=i n
Solución
ln(rt) 1 1
Como a n = — ■, tomemos bn = —y-, es decir: > —y es convergente.
n ' + 2 - ' -
a„ n - ln(«)
Ahora aplicamos el teorema 2.7.2 es decir: lim — = lim — = U < 1 y
/i >x n - + 2
Z 1 , V ln(">—- es convergente se concluye que la sene / — ----- es
í ' *—' n + 2
4 4 = 1 n 2 » = i
convergente.
X
1 o*-"
Determinar si la serie 7 ------------ es convergente o divergente.
¿ - » ( 2/ t - l ) !/J = l
Solución
102" !02,,+2 
Como a„ = — - t => a n+[ = ■" (2n - l ) ! '' (2/j + l)!
Seríes Infinitas 153
Ahora aplicando el criterio de la razón se tiene:
10” .(2// — 1)!
k = lim —— = lim — -—— ------- : = 100 lim —-------= 0 < 1 , de donde por la
«-><* a n »-»* 10'".(2/7 + 1)! «->*2/7 + 1
Z l(— -
(2/7
102"
es
(2« - D !
h=i
convergente.
Z VV es convergente o divergente.
n "
Solución
3" /7! 3"+l(/7 + l ) ! ^
(/»+l)”
Como a n = — - f => «,l+1 = iTÍT” '’ a^ora aplicando el criterio de la razón
, t- a m-\ .• 3"+ .(« + 1)!./?" . . . n
k = lim —— = lim ------------------ = 3 lim-(-------)
»-** a„ 3".//!.(// + 1) «->*> w +1
= 31i m[ ( l +— ) ("+l)]-" '"+l) = 3 e- ' = - > 1
n-»«1 « + 1 e
Z 3" /7!—iT~ es
«=i n
divergente.
OC
,25) Determinar si la serie > ---------- :-------- es convergente o divergente.
^ ¿ - 4 1.3.5. ..(2/7-1)
n- 1
Solución
154 Eduardo Espinoza Ramos
_ /i! (« + !)! ,• . , • ,Como «„ = => a , , , . = ------------------ , aplicando el criterio de
1.3.5...(2/1-1) 1.3.5...(2/1 + 1)
la razón se tiene:
lim —— = lim — = — < ,1 , entonces por la parte (i) del teorema (2.7.3) se
a n «-*<*> 2/1 + 1 2
concluye que la serie N ' ------— es convergente.
¿ - d 1.3.5. ..(2 /i-D
n = l
X
Determinar si la serie / es convergente o divergente.
¿ - ' ( / i + l)(ln(« + l))-//= 1
Solución
Sea a n = 7 = / ( « ) => / ( * ) =
(/i + l)(ln(/i + l))‘ (,v+l)ln'(.Y + 1)
f - l i m f * --------- = l i m —í—— /
J (x+ l)ln '(.v + 1) 6 -> x J ( , y + 1 )1 i i ” ( a + 1) ln(.r + l ) '
■ r
= lim (---------------- — ) = -(0 — —) = —í—
¡n(¿> + 1) ln 2 ln 2 ln 2
d x 1 , es convergente
(A+l ) ln2(A+l) ln 2
■fj
Luego la serie / 7 es convergente.
<(/i + l)(ln(n + l))-
n=\
Z Clf'Ct&( /?)— —— - es convergente. />' + !
Series Infinitas 155
Solución
arctg(n) arctg x
Sea a n = — —------= / ( n ) => /(.v ) = — entonces:
/;- + 1 x + 1
( s g t L A . t o Z S t * / ' 
Ji x + 1 J x~ + 1 *-»* 2 / i
- lim (a,'C¿g2^ ^ arc,S 2^ \ _ ¡t2 _~Sn2
2 2 " 8 32 " l í
entonces la integral impropia es convergente, por lo tanto la serie
X
1 a r c t g ( n )Z a r c t í n2. . +1n=1 es convergente.
í ) Determinar si la serie 'N ' es convergente.
Solución
Sca a n = „ , L , . , = / ( ” ) => / ( * ) =
entonces:
[ln(n)]ln(") ' (ln(x))ln(x)
: r _ * _ * = P í ^ , de donde:
J (ln.v) J „2 y ”
y = ln x => x = <?' => í/.v = e' dy
X)
Z e "— es convergente, por el criterio de la razón n
n=2
156 Eduardo Espinoza Rumos
lim —— = O < 1 , la serie convergente, luego por el criterio de la integral 
"->* a„
r ' e y . f d x r e y ,
I — 7 d y , es convergente y como: I — = I —- d y , se tiene que
y y i (ln .r)n~ ¿2 y v
- es )
r d x . , ■ v 1I :— es convergente, por lo tanto la sene > ---------—
¿ (lnx) /,)]"’<"//=!
convergente.
00
Pruébese que N ' ”— -)p , converge para p > 2 y diverge para p < 2.
z-—i 2.4.6...(2/i)»=1
Solución
Aplicaremos el criterio de la razón: •
1 .3 .5 ...(2 /i-l) „ _ 1.3.5...(2#i + 1) r
Sea a, . = (------------------- ); => a „ , = (-------------------- )'
2.4.6...(2/í) "+i 2.4.6...(2/i + 2)
¿ = lim = lim (— -- ' )/i = 1 , no hay información 
»-»* «-»« 2/1 + 2
Ahora aplicaremos el criterio de Raabe.
2n + l
Ch L t± \ - l im 2 /; + ! 1 i,— 2/1 + 2
!>
lim «(1— -— ) = l i m / i ( l - ( -------- ) p ) = üm
</., 2« + 2 «->■* 1
«->« 2n + 2 2/¡ + 2 2
Y de acuerdo al criterio de Raabe se dice que:
Series Infinitas 157
Si — > 1 = > p > 2 = > l a serie converge, si p > 2
Si — < 1 => p < 2 => la serie diverge, si p < 2
<)) Verificar que la serie ] T j W 7 7 2 - , / 7 7 7 ) , converge.
/;=!
Solución
©
Sea an =yJ7i{\fñ^ + 2 -sjn*’ + 1) = -
4 n \ ¡ n 1
V n ' + 2 - y j n + 1 w 'í
n -
X
1 •Luego /)„ = — => > — es una serie convergente, ahora aplicamos el
n ~ "='
criterio de comparación por límite.
a„ >/«(>///’ + 2 - s ¡ n h + \ ) J ñ
lim — = lim --------------------------------= lim-- — ---- —
»-*« b„ »-»» 1 »->* 1 , / 6 l0 / 6 , „" —r —r ( \ / i + 2 +v/n + 1)
. 1 1 o= lim = — > O
n->x I 2 1 2
+ ~6 + J l + ~6
n V n
X _______________ ___ __ _____ ______
Por lo tanto + 1) es convergente.
»=i
Estudiar la serie —-— + —-— + —-— + ...
21n2 3 ln 3 41n4
158 Eduardo Espinoza Ramos
Solución
1 4 1• + — + + ..
2 ln 2 31n3 41n4 - - y —n ln n
Sea f ( x ) = — — , f continua V x > 2, aplicando el criterio de la integral 
x ln .v
f r d x / +x = ln(ln.v)/ = In(ln (+x))-ln (ln2) = + x , entonces
.vlnx / 2
f - V - es divergente, por lo tanto la serie \ — es divergente,xln.v ¿ - J n \ n n«=2
<x
Analizar la convergencia o divergencia de la serie / (—) s e n [ { ).t]
4—< n nn=i
Solución
. 1 , ,« + 1 , 1 , 1 Kan = (—)sen(—— ) x = — sen (n + —) = — sen — 
n n n n n n
Para analizar la convergencia o divergencia de la serie usamos el criterio de 
comparación por límites, es decir:
X
Sea b n = — de donde } — es convergente. 
n ~ ' i i '
—— s e n ( ~ )
(l 11 K X Tlim — = lim — -------— = lim — s e n — = 1 > 0 y como la serie > b„ , es
/»->x l ) //—>x 71 /i—>x 7T ti
n r- w=I
i r
x ^
convergente entonces la serie / (—)se/i[( es convergente.
n n
Seríes Infinitas 159
X
^ 3 ) Analizar la convergencia o divergencia de la serie
9
»=1
5+ (-2 )" „
Solución
-> 5 - f ( - 2)"
Sea a„ = /? ( )” , aplicando el criterio de la raíz tenemos.
k = lim ¡ ¡ [ 7 = lim " L 2 ( ~ J .2 L ) n
n-*cc /;— y \)
/ 'y \ t t
k = lim(í¡/ñ)2(— h-----——) = —±cc (oscila), e
—>cr. 9
Z 2,5 + ( - 2 ) '\„ n (--------- ) es divergente.
, . , , , . .. entonces se tiene:
w-»oo 9 9 9
n - \
4) Analizar la convergencia o divergencia de la serie "%' _ -?-+— —, y si
n ( n + 2 )
n - 1
converge calcular su suma.
Solución
«+1 1 , 1Sea a„ = — — — * — => sea b„ = — 
/ r ( « + 2) n n
n + 1
a n n ~ ( n + 2)2 w3(w + l) x *lim — = lim --------= lim — — = 1 > 0 y como / — , es
H-»cc b n n->=0 1̂ + 2 )'
7
convergente entonces por la parte (i) del teorema (2.7.2) se concluye que
3 "= i
n
y » + i
n 2 ( n + 2 ) 2/j=i
es convergente.
160 Eduardo Espinoza Ramos
Ahora hallamos su suma
n +1 4« + 4 (n 2 +4/1 + 4 )- / i 2
/T(/7 + 2 ) 2 4/i2(/i + 2) 2 4/¡, (/7 + 2) 2
I (JL__
4 /i2 (/i + 2)‘ 4 (/i + 2 ) 2 /i2
Calculamos la sucesión de las sumas parciales, para esto aplicamos la segunda 
regla telescópica.
X
s . (— -—7 - - ) = —j t / í n + l ) + / ( « ) - / ( ! ) ~ / ( 0) ] . donde:
(i + 2 r / 4W=I
f u - 1) = ----- —7 => / ( / ) :
O’ + 2) (1 + 1)-
f \ n + \ ) = ----- !—T => / ( « ) = ----- í - y => / ( 0 = 7 => f(0) =
( n + 2 Y ( n + 1) 4
I r 1 1 1 „ 5 1 , 1 . 1— [ ~z H —-----11 = --------~( r -H----------z
4 (/i + 2)- (n + 1)2 4 16 4 (« + 2)- (n + 1)-
. . , . 5 1 . 1 1 , 5
lim s„ = h m [ + ■ = —
« - > » « - > » 1 6 4 ( / i + 2 ) ' (n + 1)
■
n- 1
/7 + 1 5= lim s„ = —
( n + 2) 16
cc
(35) Estudiar la convergencia o divergencia de la serie 'N '
/i200(V 3+(-1)")"
6 " 
n = l
Series Infinitas 161
Solución
Como n/3 + (-1 )" = 73 + 1 => 7 3 + ( - ! ) ' '< 7 3 + 1, V / / e Z +
[73 + (-1)"]" < (7 3 + 1)" n m ( S + ( - \ ) n ) " ^ n m ( 73 + 1)” 
6" ” 6 "
r , . / r 00( 7 3 + (-1 )")" n200(73 + l)" w , +Es decir: —----------------------< --------------------, V n e Z
6 " 6”
. S T " 200(73 + I)"
Ahora analizaremos la sene — (v 3 + i r . , por el criterio de la raíz, es
, .. i— .. //j~00 (73 +1)" 73+ 1 ->no 73+ 1decir: /: = lim 7a ,. = lim ¡ ' ------------------= lim ( 7 « ) = ---------
6» 6 /í — 6
, 73 + i , . , . s r » 200( 7 3 + d "Como A' = --------- < 1 , entonces la sene > , es convergente,
//=! ^
. . . . . . V , n200(7 3 + (-1 )")"luego por el criterio de comparación la sene > —
6"«=i
convergente.
1 2 ■) 3 i // o _i
Determinar si la serie: — + (—)" + (—) +... + (------- ) " +... es convergente o
2 3 8 3 « - l
divergente.
Solución
La serie dada se puede escribir en la forma:
X
Z ( -)2"-1 donde a = (—- —)2"’ 1, ahora aplicamos el criterio de la raiz.3/7 - 1 3/7-1
162 Eduardo Espinoza Ramos
k = lim 1¡/Ó7 - lim " l(—- —)" = lim —- — = - < 1, entonces la serie 
3/7 -1 3« - 1 3
X
Z (—- —)" es convergente. 3/7-13//-1»=i
7 ) Calcular la suma de ' 3/7 + 5/7 + 2la serie ^
//(/7 + l)V/72 +3/7 + 2[(/7 + 1)V 77 + 2 + n \ J n + 1 ] 
Solución
Para calcular la suma de la serie, tratamos de simplificar el n-ésimotérmino de 
la serie, esto es:
3/72 +5/7 + 2
/7 (77 + l)V/72 + 3/7 + 2[(/7 + 1 )\¡~ñ~+2 + W/7 + 1]
(3//2 + 5/7 + 2)[(/7 + l)V/7 + 2 - n - J n +1 ]
/7(/7 + 1 )\//72 + 3/7 + 2[(/7 + l)2 (/7 + 2) - 772 ( n + 1)]
(/7 + 1)(3/7 + 2) ___1__________ 1 1
(/7 + l)(3/7 + 2) ny]n + 1 (n + \)yJn + 2 n j n +1 (/7 + l)V/7 + 2
X X
y « . = y \ 7 = = —^ ^ 7?Vw + l I
' )
 . (/7 + l ) y f ñ + 2
n - 1 w=l
Ahora calcularnos la sucesión de las sumas parciales.
Series Infinitas 163
= - ( / ( « ) - /(O )) = - ( --------
( / 7 + l)V« + 2 v 2
1 1 1
sn = ~ r r = Im sn = ~~rV2 (« + l)V« + 2 «->® v2
X
y 1___________ =_l
“ f n ( n + 1)V«2 + 3« + 2 [(« + !)>/« + 2 + W n +1 ] ^2
X
]¡T ln (l + , ' . . )
(38J Estudiar la serie y en caso de convergencia calcular su suma
J_ 
n ( n + 2)/l=l
Solución
Primero analizaremos si la serie es convergente y para esto aplicaremos el 
criterio de comparación por límites.
X
1 . 1
que es una sene
1 1 V 1
Sea a , ,= ln ( l+ ) * = h => >------
n ( n + 2) /;(// + 2) " ^ n ( n + 2)W = 1
convergente.
ln(l + )
lim — = lim n ( n + 2) _ |jm + 2 )ln (l+-
I'-*'0 «-»« 1 H-»X fl(/J + 2)
w(n + 2)
= lim ln(I + -----1— )"(,,+2) = lne = l> 0
»-»« n(n + 2)
Y como -----!----- es convergente N ln (l+ ----- ------ ) es una serie
^ — é n ( n + 2) n(n + 2)
n = I w=l
convergente.
164 Eduardo Espinoza Ramos
Ahora calculamos su suma:
1 n 2 + 2 n + 1 ( n + 1)2
a„ = ln(l + ) = ln ----------------= ln(----------- )
n ( n + 2) n ( n + 2) n { n + 2)
«„ = ln(/7 + 1)2 - ln(rt) - ln(«(n + 2))
a n = 2 ln(« +1) - ln(w) - ln(n + 2)
Ahora calculamos el término n-ésimo de la sucesión de las sumas parciales, es
decir:
s„ = a x + a 2 + ... + an
a, = 2 ln 2 - ln 1 - ln 3 
a 2 = 2 ln 3 - ln 2 - ln 4 
a 2 = 2 1 n 4 - ln 3 - ln 5 
a4 = 2 1 n 5 - ln 4 - ln 6 
a 5 = 2 ln 6 - ln 5 - ln 7
a n_ 3 = 21n(n-2)-ln(«-3)-ln(/í-l) 
a n_ 2 = 21n(w-l)-ln(w-2)-ln(/i) 
a n_¡ = 2 ln « — ln(« — 1) — ln(« -t-1) 
a n = 21n(« + l)~ lnn-ln(n + 2)
s n = a, + a 2 + . .. + a„ = ln 2 it-ln(« + l) - ln (« + 2)
Series Infinitas 165
n +1
s n = ln 2 + ln( ) de donde Iim5r t= ln 2
n + 2 »-»«
X
Z ln(l + í ) = ln 2n ( n + 2 )n-1
v ^ ”6OO(2 + ( - 0 ” )(39^ Estudiar la siguiente serie > ---------
«=i ^
Solución
V n e Z +, 2 + ( - l ) " < 3 => (2 + ( - l ) " ) " < 3" 
»60n (2 + ( - ! ) ' ') " 3 " . n m
= « 6 0 0 ( - ) "
9" 9” 3
n600
Ahora analizamos la serie —— , por el criterio de la raíz
„ 6 0 0 1 1 «600
k = lim " = — lim (í¡/ñ)600 = — < 1 => la serie N ------
, h A 3" 3 »->x ' 3 ^ 3"
//=!
„6°0(2 + ( _ i)"Z ¡- 9"«=i
convergente.
2'' + «2 + n
Analizar la serie > r y si converge halle la suma.
Z ^ ( « + l)2"+1 /;=!
es convergente, 
)"— , es también
Solución
166 Eduardo Espinoza Ramos
re oo co
. . . , v 2 " + n + n 1 V 1 1 V 1A la serie dada expresaremos asi > r = — / -----------+ — / —
¿ - d n ( n + l ) 2 ',+ l 2 ¿ - d n ( n + \) 2 Z -w 2"
77=1 n = 1 n = \
Como n + 1 > n => n(n + 1) > n 2 => ---- ------ < —r , V n e Z +
«(« + 1) n 2
re r
Como la serie / — es convergente, entonces la serie / ----------- , es
L ~ j 2" Á - J n ( n + \ )
n = \ 77=1
x
convergente. La serie es convergente por ser serie geométrica con
n =i
r = — < 1 , como la suma e las series son convergentes, entonces la serie dada 
es convergente.
Ahora calculamos la suma de cada una de las series:
00 00 X
V —!— =V ( i—1_)=_V (J — i)
n ( n + 1) ¿mmÁ n n + 1 n + 1 n
// = ! 77 = 1 77 = 1
II
Sea = V (7- —- 7) = - ( / ( « ) - / ( O ) ) = —--1 )
Z—+ i + 1 1 n + 1
<=i
1
í„ = 1 + — => lim s„ = 1 de donde N ---- -̂---- = lim s n = 1
n + 1 n->« Z —/n(n + l) »-»*
‘ 77=1
Además sabemos que : = 2(—) = 1 .
¿ - i 2" , 1 2
2
Series Infinitas 167
,41j ¿Para qué valores de “s” converge y para cuales diverge la serie
Z 1.3.5.7...(2/i-l) ¿ . ._ , . . .2 4~6 8— 2----- justificando con los criterios ya conocidos.
// = 1
Solución
Para determinar los valores de s para la convergencia o divergencia, 
aplicaremos el criterio de la razón.
r 1.3.5.7...(2«-l)-ic r 1.3.5.7...(2/j + l) ns
a = I i ' P => a = I -A - I
2.4.6.8...(2/i) J ,+1 2.4.6.8...(2/1 + 2)
r l.3.5.7...(2/i + l)-u
/ * * an+1 |. 2.4.6.8—(2/i) ¡ 2/i +1 \5 .s , .
k = lim == lim — —— ——— —— • = lim ( V = r = 1 => ¿ = 1,
«-** a n >i-»x r l .3.5.7...(2/i —1)-|5 »->x 2/1 + 2
L 2.4.6.8...(2/i) J
entonces no podemos afirmar nada, en este caso aplicamos el criterio de 
RAABE, para lo cual hacemos.
a ...i 1 / 2 / í + 1 \ $ 1
 = ---------- ( ----- ) = -------- , entonces:
a„ a +1 2/1 + 2 a +1
« (2 /i + \ )s + (2/i + l)'v = (2/i + 2 ) s ^ « = ( ^ ! ± 2 ) s _ i
2/1 + 1
1
n a = /i(1H---------) s - n
V 2/i + r
n a = „ [ ,+ , ( _ _ L _ ) + £ ( £ z l l (— 1 — ) + ...+ — i — ] _ „
2/1 + 1 2! (2/i +1)“ (2/i +1)
/i 5(5 -1 ) /1 /1
n a = /1 + 5 H----------- .---------- 7 + ...H----------- ¿r - / 1
2/1 + 1 2 ! (2/1 + 1) (2/1 + 1)
168 Eduardo Espinoza Ramos
s s s
lim ( n a ) = —, la serie converge si —>1 => s > 2 y diverge — < 1 => s < 2 ,
h-*x 2 2 2
por lo tanto la serie dada converge, si s > 2 y diverge, si s < 2.
* A l ) Analizar la serie \ ' — , donde “k” es una constante.
Solución
Hacemos logn = u => 10" = n => 10" * = n ' k
Si k > 0 => — = logo1 * u = k log/r1 k . 
k
i 1 I i i
Sabemos que: \ o g n < n , V «> 2 => logo* < n k => k \ o g n k < k n k = > u < k n k
i j_ i |
log(n) < k n k u < k n k < k n k log( n ) < k n k => (logn)A < k k n
X
— —. Como / — es divergente, entonces:
;«) ,n
1 1
k k n (logn)*
00 C
Z — r - , diverge V k > 0. .. y --------- ¡- , es divergente V k > 0.k k n (log n )n=l n=2
( 4 ^ Determinar si la serie alternada ^ *(-!)" es convergente, divergente o
n=i ^
condicionalm ente convergente.
S olución
Series Infinitas 169
Como u„ =
y
k = lim
n—>x
/;+! 2 " ( n + 1) , . « + 1 1 , . . , ,= lim — = lim = — < 1 es decir k < 1 y de acuerdo
2"+'/7 2n 2
a la parte (i) del criterio de la razón para series alternadas se concluye que la
oc
serie alternada ^ ^ ( - 1 ) ” ~ , es absolutamente convergente y por lo tanto la
n=i
 — es convergente.
n=i
Determinar si la serie alternada ^ \ - l ) " —- es convergente, divergente o
»=i n
condicionalmente convergente.
/ i \ t ¡ nn ( - 1) eComo u„ = ----------
Solución
(~1),,+V +I ,
»„+i = < luego
k = lim (í+i
„»+i
= lim
n + 1
= e > 1, de acuerdo a la parte a (ii) del criterio
"-»x (n + \ ) e ”
de la razón, se concluye que la serie ^ - es divergente.
17=1
Determinar si la serie alternada
•’ + 2
es convergente, divergente o
condicionalmente convergente.
Solución
Aplicando el teorem a 2.8.2 se tiene:
170 Eduardo Espiñoza Ramos
X
V (-l)"+l/72
2 ~ é//=! n3 +2
r 2
- Z - h -i r + 2
n=I
de donde: por el criierio de la integral la serie:
X 2 ce 7
Z —--------, es divergente, por lo tanto la serie ) (-1 )"—; .
n + 2 n + 2
n=\ »=1
absolutamente convergente.
Ahora aplicaremos el criterio de Leibniz, es decir:
no es
Como a„ =
n 3 , ->n + 2 a " * ] = de donde: a»+l < a " ' V n “ 1 (« + 1) +2
y además lim a„ = lim —j -— = 0 . Luego la serie ^ —j — es
n—»x n-±cc n + 2 n +1
condicionalmente convergente.
co
Determinar si la serie alternada / ( - l ) " +l —7—t x t t es convergente,
« (ln (n ))n=I
divergente o condicionalmente convergente.
Solución
De acuerdo al teorema 2.8.2 se tiene:
I LO n(ln(n))2 = ^jT' ——— ■ > de donde por el criterio de la ¿ + n { \ n ( n ) Y
00
integral se tiene que la serie: / —-— . es convergente, por lo tanto la
X
serie alternada j ( —l)"+l —----- , es absolutamente convergente y desde
(« ln (« ) )_
luego la serie es convergente.
Seríes Infinitas 171
QU
Determinar si la serie alternada / ( — 1)" ( - + ) ” es convergente,
¿— d 3/1 + 1
»=i
divergente o condicionalmente convergente.
Solución
De cuerdo al teorema 2.8.2 se tiene:
Zk - l ) ” (— — = "N ' , de donde de acuerdo al criterio de la3« +1 ¿— d 3 1 1 + 1
/í = I /7 -I
X
raíz se tiene quela serie: / (— — )" es convergente, luego la serie
i 3« + l
Z 2/i + K( — l)" (— )" , es absolutamente convergente y por
3/1 + 1n=l
serie alternada es convergente.
© Determinar si la serie alternada N ' (-1)" * 1-4.7...(3 n —T f ^ convergente.7.9.11...(2/1+ 5)// = 1
divergente o condicionalmente convergente.
Solución
Aplicando ei criterio de la razón se tiene:
, 1.4.7...(3/i — 2) _ , 1.4.7...(3/i + l) ,
ii = ( - 1 ) =í> u , = (-1 )------------------------Ju eg o
7.9.11. ,.(2/i + 5) 7.9.11...(2/1+7)
k = lim ‘»+i .. 3/i + l 3 , , 3 , . .= lim = — > 1, como k = — > 1 , de acuerdo a la parte a
n->cc 2/1 + 7 2 2Un
(ii) del criterio de la razón se concluye que la serie alternada
Z . 1.4.7...(3/1 + 1)(-1) , es divergente.
7.9.11.,.(2 /i+ 7)n - \
7.9.11...(2/7+ 7)
172 Eduardo Espinoza Ramos
(49J Determinar la convergencia o divergencia de la serie 
1 2
y /7 2(<?" + ,?" + . . . + e " )
/ 7 = l
Solución
- - - V "1 X* j
Sea a n = n ~ 2 ( e " + e " + . .. + e n ) , y tomemos la serie > b n = V — , que es
w=l /;=1
divergente (serie armónica), ahora aplicamos el criterio de comparación por 
limite.
1 > 0
I “ n l J
lim — = lim — ( e " + e " +... + e " ) = lim — y e " = I e x d x = e - 1
n ->« b »-*rz n »-»* /; ' J,
/f = l
X
y como / — es divergente, se concluye que la serie:
Ai
/7 = 1
_1_ 2 h
(t,n + e" + ... + **" ) es divergente.
H=1
[| eos — + 2 1]
Analizar si la s erie ^ ---------- ^ -------- es convergente.
»=i
Solución
[ |co s — + 2 |] 2 + [| eos— |] 3 ' 3
Sea a „ = --------- - ---------= --------- — ^— < — = b„ => / — es convergente
" y y 2 " / i 2 "
n=I
y como a n < b n entonces por el criterio de comparación se concluye que la
- [| eos— + 2 |] 
serie y ---------^ , es convergente.
w=l ^
Series Infinitas 173
Ahora calculaiemos la suma de la serie.
3 r̂ ri 3;rX [Icos— + 2 J]^ [ | cos3;r+2|] Q c o s ~ + 2 |] ̂ [ l c o s j + 2 |] [ |cos^ 4 -2 |3
n=1 3" 3 + 32 33 ' 34
[ |co s — + 2 |] [ |c o s ^ - + 2 |] [ |c o s — + 2 |]
35 36 37
1 2 1 1 1 2 2 2
3 + ¥ + ¥ + ¥ + ¥ + ¥ + 3 T + ¥ + "
- [| eos — + 2 1]y ' - _ = ™+a +>+± + ) =ü*+y A
3" 243 3 3 38 243 ¿ -* 3 "/j=I /;=6
2_
Z A - _ 3 ! _ - A - A - J_3" ~ , 2 _ 35 32 16
x
reemplazando (2) en ( I ) , 2
[ |co s — + 2 1] 
n 148 1 2369
3" 243 16 3888
n = l
2.10. EJERCICIOS PROPUESTOS.-
I. Hallar la suma de las series infinitas en caso de ser convergente.
Eduardo Espinoza Ramos
® I
/7 = l
X© z
n=I
■x
® Z
n=2
© z
n -2
x
© Z
n=O
x
© Z
n=l
© z
n-2
® Z
«=l
© z
■Jn + l — n 
sin2 + n
2n + \
n~(n + 1)
ln (( i + I ) " („ + ! ) )
n
2 n + 1 
n2(n + l)‘
w (»+ !)(« + 2)
Rpta.
( J L _ ) Rpta. l,P > 0
V ( n + \ ) p '
!«*(— ) l
 ------- Rpta.-------
ln(n).ln(7í + 1) ln2
_ i— Rpta. —
, 2 - 1 4
1 Rpta. —
(n + 2)(2n + 2) 2
Rpta.
Rpta.
Rpta. 1
R pta. i
Seríes Infinitas 175
(12) ' S ' — -— ■ Rpta. 1
Á - j ( n - - 2 n + 2 ) ( n ~ + 1)/l=l
© V ------------- l-------------- Rpta. i
v~"' jL u ( n + l)(/i + 2 ) ( n + 3) 4
H=I
© y R p„ z
/ n ( n + 1)(/7 + 3) 2/? = !
© — --------------- Rpta. —( 2 n + 1)(2« + 3)(2« + 5) 60//=!
- O . 'ST' 2« + l 67
(16) > Rpta. —
■¿-^//(/7 + 2)(/7 + 4) 96
n=I
/ r s v 4« - 3 „ 23(17) / — Rpta. —
^ Z -w(/7 -2)(/i + 3)/7 15
n=3
© y _ z z ü _ R p„ . z z
(« -!)( /; + 2 ) n 36
n=0
176 Eduardo Espinoza Ramos
® z
n=3
_25____6 _
10 " 100 "
Rpta.
2150
99
® É p r
n=3
Rpta. -
00
® I ( - 1)
él—I
n=1 4"
Rp<a. -
© z
n = l
2" + 3" 
6"
Rpta.
@ ^ ( 2 - " + 3 " " )
W—1
Rpta. -
© ±
n=1
R p,a. _
© z
«=I
Rpta.
- - I
* [ |c o s - + l|]
® Z - "2"
® Z 1« = l (« + l)(« + 2)(w + 3) Rpta. 12
Series Infinitas 177
X
(30) / ( sí7? — ) Rpta. sen
w L a n n + 1
© y _ 5"_tj_ Rpu. s
«=1
«=i
4/T
,[!»»>— + 3 1) U ! » * I
X
(37) ^ ( - l ) " e 2 - 3"34' 2"
n=t
H = l((« + 1)(« + 2)(n + 3 )
■>16
6 5 ) y — ----------------------------- Rpta. —
V - ' Z ^ (4 „ .h l) 2 _ 4 r 12
/»=!
x
@ Y J ^ n + e " ) Rpta. Divergente
»=l
® y ( - l ) ' " 1- ^ ± 1 Rpta. 1
W L a n(n + l )
n- 1
@ y ------ — 3--- Rpta. 1
L a n ( n + 1 )(« + 2 ) 4«=!
178 Eduardo Espinoza Ramos
(39) Y — -------------- ! Rpta. ?-----
i¡—̂ (n + jr)(« + x + l)(/j+jf + 2) 2(x + l)(x + 2)/»=!
4o) Y ' ------------------ Rpta.
s— ¿ - J ( x + n - \ ) ( x + n ) { x + n + \ ) 2x(.x + l)W = 1
1
X
( í ^ Y 1 ( s i n + 2 - 2 V» +1 + \ /ñ ) Rpta. l - \ / 2
«=i
^ 1 1 1 14 2) — + — + — + ... + + ... Rpta.
L J 1.2 2.3 3. 4 «(« + 1)
1 1 1 1 1
433 — + — + + ...H------------------------f .. . Rpta. -
' 1 1.4 4.7 7.10 (3n -2 )(3n + l) 3
44) ■■ + —pL=- + ...+ + ... Rpta. Divergente
VI .3 V3.5 Vi2/? - t )(2/» + 1)
© Y ( - i ) - r 2w4+28w3+150w2+3f wt 337.] R p ta . J _
W ' (« + 3)4(n + 4) 6
/7 — 1
(4ó) Una pelota se deja caer una altura de 12 m cada vez que golpee el suelo 
salta a una altura de tres cuartos de distancia de la cual cayo. Encontrar la 
distancia total recorrido por la pelota antes de quedar en reposo.
(4^ Se deja caer una pelota una altura de “a" metros, sobre un piso horizontal, 
cada vez que la pelota choca contra el suelo, después de caer desde una 
altura h rebota hasta alcanzar la altura rh, siendo r un número positivo 
menor que 1. Hállese la distancia total recorrido por la pelota.
Seríes Infinitas 179
^48) ¿Cuál es la distancia total que recorre una pelota de tenis antes de llegar al 
reposo si se deja caer desde una altura de 100 m y si, después de cada
caída, rebota hasta — de la distancia desde el cual cayo?
49) Un triángulo equilátero tiene catetos de 4 unidades de longitud, por lo 
tanto su perímetro es 12 unidades, otro triángulo equilátero se construye 
trazando segmentos de recta que pasan por los puntos medios de los 
catetos del primer triángulo, este triángulo tidne catetos de unidades de 
longitud y su perímetro es 6 unidades, si este procedimiento se puede 
repetir un número ilimitado de veces ¿Cuál es el perímetro tota! de todos 
los triángulos que se forman?
(50) Después de que una mujer que anda en bicicleta retira los pies de los 
pedales, la rueda de freno gira 300 veces en los primeros 10 seg. luego en
4
cada periodo sucesivo de 10 seg. la rueda gira — partes de lo del primero
anterior. Determinar el número de rotaciones de la rueda antes de 
detenerse la bicicleta.
II. Determinar la convergencia o divergencia de las series infinitas siguientes:
20
te
R pta. Convergente
X
R pta. Divergente
R pta . C onvergente
180 Eduardo Espinoza Ramos
J 2
(54) > —r--— Rpta. Divergente
n= I1 n 3 + n + 2
n s e n ( n ) + \
3n
n—\
(56. ,
' e
»= 2
'(* + 2 ) 2 "n—¡
Rpta. Convergente
Z n— . Rpta. Divergente
«=! 6
(5 7 J \ + Rpta. Convergente
^ \¡ n ~r r r
(g) Rpta. Divergente
«=1
oc
(59) N ■-■■■ R pta. Divergente
v« 3 —1
(6©) ^ 1— — — — Rpta. Convergente
OC
( tíí) —- ^ = Rpta. Divergente
1 -f v w/?=!
x
R pta. D ivergente
Series Infinitas 181
(63^ , Rpta. Convergente
W J n ( n + 2){n + \)Aí = l v
< S ) y ü ! * ! l ! R p u . D¡vergenle
© v * 2 + 106sen23/j > r1 Rpta. Converge
L m J n
n = 1
\ 1 s e n ( n O )
166) 7-------- —̂ - Rpta. Convergente
n=I
(67) / ---- i-------- Rpta. Divergente
w n +100
n=I
.68) — p U - Rpta. Convergente
Z’~‘ nsjn2 - 'n=i ■1
( 6 9 ) ^ Rpta. Convergente
v—7 1 n~ ln(«
n=2
® Z — — Rpta. Divergente
"=2 (ln(«))"
X
( 7 l ) \ ^— Rpta. Diverge
w 5n +3
AI —l
182 Eduardo Espinoza Ramos
1 2 ) ^ — -■= Rpta. Diverge
n + v nn=I
X
(73) R pía- Diverge
»=1
(74) —r — Rpta. Converge
^ ' n 1 + 1M = l
ln(/i)
11=1
Rpta. Diverge
OC
u 6 ) ) R pta. Converge
W ^ -< (n + l)(n + 2)(« + 3)W=1
X
(77) ~g " ) Rpta. Diverge
r t = l / J
(78) ^ " Rpta. Converge
«=1
X
(79; > R pta. Converge
W ^ 2 ”.«ff=i
W 2 " +1«=1
(so) V — ~ — R pta. Converge
R pta. Diverge
Rpta. Diverge
R pta. Diverge
Rpta. Diverge
Rpta. Converge
Rpta. Converge
R pta. Diverge
Rpta. Converge
R pta .Converge
184 Eduardo Espinoza Ramos
% ) J - V ^ r R p(a- Divers e
: n" +10/7
n=I
n=1
/?=!
® ÉVÁm-j n (n.. (n + 1)= 1
n=1 4
R pta. Converge
92) Y * - M + ~ Rpta. Diverge
( n 4- 2 W n 4- 3
X
(9 3 ) Y -----------1 Rpta. Diverge
“ 'n ln (n ) + >/ln3(n)
X
(9 4 ) Y — 7=]— = Rpta. Converge
— y / n
n=2
Rpta. Converge
IX)
® V _ — ~n + *-------- Rpta. Converge¿ - J ( n + l)(n + 2(« + 3)
/?=1
(9 7 ) Y ------- Rpta. Converge
2"-1 ( n + 4)«=1
(98) RPta- Converge
Series Infinitas 185
X
(99) / —---------- Rpta. Converge
1 (3 +1)2/;=!
©Z;.. + e
/i—\
©z
n=l ^ " 4+1
© Z í
/t=l
© z ^
/;=!
© Z ¿
n=\
©Zv-
>?=1
© Z ^
n=I
Rpta. Converge
R pta. Converge
Rpta. Converge
Rpta. Converge
Rpta. Converge
Rpta. Diverge
R pta. Converge
z (̂«+ix«-2)/;=!
(1O7) S ' ------ R p ta . Diverge
186 Eduardo Espinoza Ramos
ex.:10"M=0
©x;
;»=l
© X í
/»=!
© X ¿
© X — ;, (2//)!« = l
© X 5#
»=I
©Xf
//=!
© X ^ ’
n=\
©x;;
n = \
Rpta. Diverge
Rpta. Converge
Rpta. Diverge
Rpta. Diverge
Rpta. Converge
R pta. Converge
Rpta. Diverge
R pta. Converge
R pta. C onverge
Series In finitas 187
© X"v '
/J=l
n = \
n - 1
/ 7 r n V_ L _ 1 + C O S ( )
(120, ,
/»=!
l12'- •w=l
(122) ^ ^ ^ Rpta. Converge
n=l 1 3!.,‘í !.3”
(D
X
I
//=1
0
00
Z
4~" n !
(2/7-1)
1W+—
n "
„=i ( « + - ) "
Rpta. Converge
( n 8 ) ^ \ ? 5e " Rpta. Converge
19) —= ■” + ̂ _ Rpta. Diverge
' \/«4 -i- 1
 ^ -— Rpta. Converge
y ( j + i X l + z ) Rpta Converi,e
< 11 \
[ 1 2 3 ) y —-- Rpta. Converge
n=1
Rpta. Converge
R pta. Diverge
188 Eduardo Espinoza Ramos
 !----- Rpta. Converge
■¿■—Oí !(/? + !)!
n =\
® ± á
w=l
© I
( n + !)(/? -f 2)
»=i
/;=!
© i :5»
(132) + Rpta. Converge
n = l n '
Rpta. Diverge
R pta. Converge
OQ
> Rpta. Converge
u „ + n "+l
00 ?
^ 3 o ) Rpta. Converge
/? = !
R pta. Converge
133) —- — Rpta. Converge
(ln 3)"n~\
n ( n + 2)/»=!
(134 ) ^ — ------ R pta. D iverge
Sucesiones y Series Infinitas 189
x . 2 n
Z - j 2"
n=\
Rpta. Converge
OC
2 "
^ / ? 3 + 1n= 1
Rpta. Diverge
©
1
OG —
'S T 'e "
/ / = i
Rpta. Converge
©
ln(n) 
Z - j n
n= 1
Rpta. Diverge
©
X
V '
“ Y (n + \)J\n(n + 1)
R pta. Diverge
®
X
y 1í—J n ln(n).ln(ln(/7))
ti=2
Rpta. Diverge
©
ln(« + 1)
( « + n ^
« = i v
Rpta. Converge
©
X 3
y 1 1 ( 1 ) *
ln(n)
n=2
Rpta. Converge
©
X
¿ - ‘ n 2 + 106
77 = 1
Rpta. Diverge
*
190 Eduardo Espinoza Ramos
0 00X
«=3
(D ceX
© X ^
/;=!
©
y ' -
n -2
0
00
^ CSC h ( t i ) 
n =1
©
X ^ >
/i=l
0
00
X '¿ /7 ln(rt)
n=2
0
•x
y 1
n(ln(«))2«=2
00© v
Rpta. Converge
Rpta. Converge
Rpta. Converge
Rpta. Converge
Rpta. Converge
R pta. Diverge
Rpta. Diverge
R pta. Converge
R pta . D iverge
Sucesiones v Seríes Infinitos 191
(« + l)(ln(« + l))‘
n=I
/;=I
-yjn
(155
i (4/7 — 3)(4/7 -i-1)
/7 = 1
Rpta. Converge
/ 0f̂ \ '
( l5 4 ) I a r c s e n ( —p -) Rpta. Diverge
Z e—Y=r- Rpta. Converge
yjn
)l= \
Z ^mvmv" II----------- Rpta. Diverge
/j.ln(w)
70
 — — Rpta. Diverge
Í4w —3V4/¡ + l)
Rpta. Converge
Rpta. Converge
( l6 0 ) Rpta. Converge
Z ^ ( in («))-
n = ?
© R p,a . Converge
//=! n
192 Eduardo Espinoza Ramos
© I<¿7>'¿ . r l ~ 1
/;=1
(D
n
« = i
© t ( >■
n ~ + 2
/ í= l
(D 00 
/!=1
© 4n2 "
n = 1
x 4 'I f
n = l
(D y - ( / 7 + i y 7 ̂ e " : 
; í =1
©
ooY
Z - / 2 /7 + 1
/ ;= l
© x
£7
R pta. Diverge
Rpta. Converge
R pta. Converge
R pta. Converge
Rpta. Converge
Rpta. Converge
R pta. Converge
Rpta. Converge
R pta . Converge
Sucesiones y Series Infinitas 193
* i
( l7 l ) y \ w " +1)" Rpta . Diverge
/ 7 = l
Z (V s - i) " r Rpta. Diverge
n + 1
U72,
//=!
© S 3"' 
= 1
/7=1 + 1
© 2 ^
«=1
© S ^M=1
3n=1
Rpta. Diverge
174) N ' ■■■. Rpta. Diverge
R pta. Diverge
R pta. Converge
@ X M(f ) " Rpta . Converge
(l78) y ^ ( 5ewQr)" Rpta. Converge
n=l
179) ^ ( - 7J ----------7=— ) Rpta. Diverge
z - i v ^ _ i V 7 + i
194 Eduardo Espinoza Ramos
© n 1.3.5.7.. .(2w -l)4.6.8. ..(2m + 2) //=!
n=!
(182) y - l ) Rpta. Diverge
¿ ln(n + l)ln(H + l)
n=\
© I 2 ln (w ) 
/;=!
© í 3
n = l
In(tt)
w = l 1
® Zr„=4 >/«2 +4
© z /j2 + « + 2
W=l
ln(« +1)
R pta. Converge
© Z ^ - Í ^ T » Rpta. Diverge
R pta. Diverge
R pta. Converge
(185) y —— ]— r 7— Rpta. Converge
 Z-J (ln(/i)) (/,)
n=2
R pta. Diverge
Rpta. Diverge
R pta. D iverge
Sucesiones y Series Infinitas 195
«=i
( S ) y 1-3-5- ^ - 1)
4.8.12...(4//)
/7 = 1
© X -;zln(n)(ln(ln(n)))" 
i n n n
n = \
n=1
n n
2* + k r
10
(195) 2 + ( 6 ) 2 + ( 9 ) 3 + + ( ^ _ ) , l +
V y 3 5 7 2« + l
3/7 + 1
3 n
© S í
//=!
© S
Rpta. Converge 
Rpta. Diverge 
Rpta. Converge 
Rpta. Converge 
Rpta. Converge
R pta. Converge 
R pta. Diverge
Z73 «3
Rpta. Convergente (sug. — < —- ) 
n \ n
1
n -2
ln(n).ln(w +1)
“ ln'(« )n= 2
R pta . Divergente (sug. probar que ^— diverge)
196 Eduardo Espinoza Ramos
(D ccIw=2
00
I
1 V 1 l------------ Rpta. Divergente (sug. comparación > —
I + 21n(/i) ^ 3 "
s i n
.. -sen-(100'')
n=2
Rpta. Convergente (sug. — < - ~ r )
n -se n " 100 n " - l n
n=2
/'""N y r < s i n 4 + 1 V/74 + l 1
(200) / —------- Rpta. Divergente (s u g .—;------- > ---------- )
v— ¿ - ^ n 3 ln(w) ln(/j) nln(w)
Demostrar que la serie / „ es convergente si y solo si P >
j r j n ( \ n ( n ) )
(202) Demostrar que la serie V — . ........... es convergente si y
¿ —j n ln(«).(ln(ln(n)))
solo si P> 1
III. Ejercicios sobre convergencia y divergencia.
(203) Analizar la convergencia de la serie ^ ln(^— -̂)a
n=2
Rpta. Converge para a > 1
(204) Analizar la serie ^ (n l n ( ^ - ^ ) - 1) si es convergente ó divergente.
n=i
R p ta . Divergente
Sucesiones y Series Infinitas 197
© Demostrar que la serie de términos positivos N — -- „ ,/;" ( i n(„))A
converge si a > 1, diverge si a< 1, y que si a = 1 solo .converge 
cuando p > 1.
(20ó) Analizar la serie ^ — tg" (a + —)
a n
n=i
Rpta. tg a > 1 Convergente 
tg a < 1 Divergente
(2 0 ^ Estudiar según los valores de a y P la serie:
n - 1
Rpta. p > a Convergente 
P < a Divergente
x /.
(208y En la hipótesis en donde la serie y son convergente se
17=1 « = i
pregunta:
X
a) ¿Es convergente i * Rpta. Si
«=1
■ X )
b) ¿Esconvergente ^ ? Rpta. Si
«=¡1
c) ¿Es convergente ? R pta- ^
n=]
198 Eduardo Espinoza Rum os
d) Si la sucesión , es monótona, demuestre que la serie
I
w=i
n a n bn es convergente.
@ Para que valores de r converge la serie 'S '* — — \ ■;n(ln (/í))
Rpta. r > 1
x j 3 5 ( 2 1^
(210 ) Prueba que la serie 7 ( — r—) F , converge para P > 2 y
¿ - u 2.4.6...(2 n )
n- ! v '
diverge para P < 2 (criterio de Roobe)
2.4.6.8..(2«)© Y " 2 . ‘Analizar la serie 5.7..(2n —1)
n=\
Rpta. Divergente (criterio de Raabe)
© Analizar la serie N ' - ■: —7—7— — ^ ln ( « ) " . ( l n ( l n ( n. . . »)
Rpta. Si S<1, la serie es Divergente.
I>
Si S > 1, la serie es Convergente 
(2T3) Determinar para que valores del parámetro “a” converge y para cuales
QC
diverge la serie ^ ' ( \ j n 4 + n a - n : )
«=1
Rpta. Converge para a < 1 y diverge para a <1
Series Infinitas 199
(2^1^ Demuestre que / n S { J n + 1 - 2 y f ñ + J n - 1) converge para S < —
diverge S > — .
1
00 n+—
(215^ Pruebe que —-—j— diverge
„=i (« + - ) "
n
1 / 7TU \
f ~ \ * « c o s -(— )
\216/ Determinar la convergencia ó divergencia de la serie > -------------—
n = 1
Rpta. Converge 
(2 1 ^ Determinar la convergencia ó divergencia de la serie
Z a/2/7-1 ln(4« + l)----------------------- Rpta. Converge
«(n + 1)« = 1
oc
^1 8 ^ Sea ^ ^a n , (an > 0) divergente. Si Sn = ai + a2 + .... + an demostrar que: 
n= 1
X
i) U" Diverge ii) ' S ' — Diverge
t r l+ a ” '
iii) 7 Converge
n=1 '
(21^) Sea (an > 0) una serie convergente, demostrar que la serie
n= 1
x
Converge.
/;=!
200 . Eduardo Espinazo Ramos
(220^ Sea {«„}„>! decreciente, (an > 0) Si ^ a H.a converge, demostrar
n=1
ce
que la serie yT 'a,, converge.
n=1
3" -
Determinar la conv ergencia ódivergencia de la serie ^7^ — -
3" +4/i-
!+7n
»=i
Rpta. Converge
' e " .11!
Demostrar que > —— es divergente.
«=i n
IV. Detenninar si la serie dada es absolutamente convergente, condicionalmente 
convergente ó divergente.
(223y — Rpta. Absolutamente Convergente.
n=1 ‘
(2 2 ^ ^ M - l )'1*1 -L Rpta. Absolutamente Convergente
¿ J ~ ^ r R P,a - Absolutamente Convergente
n - 1
^2 é) Rpta. Absolutamente Convergente
w=i
R pta. Absolutamente Convergente
R pta. Absolutamente Convergente
Rpta. Absolutamente Convergente
Rpta. Absolutamente Convergente
Rpta. Absolutamente Convergente
R pta. Divergente
Rpta. Condicionalmente Convergente
R pta. Condicionalmente Convergente
R p ta . Absolutam ente Convergente
202 Eduardo Espinoza Ramos
@ Y (-1)"( 1 + )" Rpta. Absolutamente Convergente¿— I 3/7 + 1n=1
,—- * ̂ 2
(2 3 ^ ^ (—1)" - Rpta. Divergente
1 + /7-»=l
ln(e +<?“") « = 1
„=i ln(l h— ) 
n
n
Rpta. Condicionalmente Convergente.
(Sug. e " + e ~ ' " < 2 e " )
@ y - . (7° Rpta . Absolutamente Convergente
n \ n - ( n + \ )
n - \
i
(sug: --------------- <
;/ln"(/! + l) ;;ln“(//)
® S : ■ ^ ̂ Rpta^. Divergente (sug: lim i/„ * 0 )
Z - / (/? + l)!n=l
Rpta. Absolutamente Convergente
(D
X
N^sen(ln(/7))
n=l
Rpta. Divergente
(D x /«i+l -rz m v*
//=1
R pta. Absolutamente Convergente
V "' e
(sug: criterio de la razón a la sene / —
/ n
)
n=1
n
■ríes Infinitas 203
X
(D >' ln(/?sen—) n
n - \
Rpta. Absolutamente Convergente
(sug: //sen—<1 => ln(/!sen—) < 0 ) 
77 n
(D CON '(—1)"(1 — nsen —) 
< n«=i Rpta. Absolutamente Convergente
(D co
£ ( - l ) ”( l - c o s I )»=1 Rpta. Absolutamente Convergente
(D Xy ( 1) arctg( ) 
2/7 h- 1
n - \
Rpta. Condicionalmente Convergente
(D y 1
^ 71 1n=l n(l+ —+ ...H-)
2 n
Rpta. Divergente
(249) 2>»! «V»
«=!
Rpta. Absolutamente Convergente
(D sen( 11//)
Rpta. Absolutamente Convergente
n=\
I | s e n (-) j
(sug.: sen — < — de d o n d e — < — )
n n n n~
[25\) f (sen(—))2 R pta. Absolutam ente C onvergente
204 Eduardo Espinoza Ramos
©
n=\
Rpta. Absolutamente Convergente
(253)
/f = I
Rpta. Absolutamente Convergente
' oo
© I
s e n ( / T « ) + s e n ( 2 / T ) ¡ )
n=\
Rpta. Absolutamente Convergente
© É ;
n=I
( - D "
+ 1
Rpta. Absolutamente Convergente
© 2 > i)„ sen(;7) + cos(3n)
«=i n ~ + n
R pta. Absolutamente Convergente
©
; i = l
Rpta. Divergente
Z ( - i ;
l n ( «
»+i
. «=i l n ( n + l )
R pta. Condicionalmente Convergente
R pta. Divergente
oc
260J ^ ( - D
n=i
(2« + l)!
R pta. A bsolutam ente Convergente
R pta. Divergente
R pta. Absolutamente Convergente
Rpta. Absolutamente Convergente
Rpta. Divergente
R pta. Condicionalmente Convergente
Rpta. Divergente
Rpta. Absolutamente Convergente
R pta. Absolutamente Convergente
Rpta. C ondicionalm ente Convergente
206 Eduardo Espinoza Ramos
©
y ( - l ) " +l n 
Z / 1000/7 + 10„<?=i
Rpta. Divergente
©
V 1 h ) " '1
Z (2/7-1)!>í=l
Rpta. Absolutamente Convergente
©
' v ( - i r 1
Z J n ( n + \ )
n=\ v
Rpta. Divergente
©
y ( - i r 1
t r (« !)3
ít^ia. Absolutamente Convergente
©
>i=l
Rpta. Absolutamente Convergente
©
77-W=1
Rpta. Divergente
© ao ,
y (-5 )n- 
n . n l
n=1
Rpta. Absolutamente Convergente
© 00 , 
y ( - i ) —’«!
¿ — i 1.3.5...(2/7-1) >1 = 1
Rpta. Absolutamente Convergente
©
y ( - D - 1 n + '
t r
Rpta. Condicionalmente Converge!
Seríes In finitas 207
(D y . 2.4.6...(2/t) 1.4.7...(3/;-2)/J = l
(D V i - ')" "1 , 1 »> —-------sen(-pO
^ ( 2 / / - l ) J 7 l
n=1
© Y i - v r ”n +1
y
,,=| («■ + 1)3
(D
E ' - t ©
n=l
© y (-D "«+ \ ) e "
n=l
©
’S T ' 2 } "
(D y (-ir*
¿ - a 2 n
n=1
(D y (-ir
Z j ln(w)
Rpta. Absolutamente Convergente
R pta. Absolutamente Convergente
Rpta. Condicionalmente Convergente
Rpta. Divergente
R pta. Absolutamente Convergente
R pta. Absolutamente Convergente
Rpta. Absolutamente Convergente
Rpta. Absolutamente Convergente
R pta. D ivergente
208 Eduardo Espinoza Ramos
® I
%/ñ cos(im)
( m + 1)(« + 2)
“ cosn( - )
(289,
n=i
»=i
y | X/I-Í-1
7 -----:-------- Rpta. Condicionalmente Convergente
106« + 1
© I n
n = 1
4 + sen(/?)
3n
n=I
Rpta. Absolutamente Convergente
 — Rpta. Absolutamente ConvSTgente
«!
( - l ) ”+l— • n Rpta. Absolutamente Convergente
a/« +1 - \ [ ñ ^ 1
3" 
2 n 2
(sug.: — — <
R pta. Absolutamente Convergente
© Y ( - l) " " 1 t g ( - C ) Rpta. Absolutamente Convergenten y / n
n = \
(sug.: tg(—1_) < —L ) 
n \ ¡ n n ^ J n
® __, ^ " + i
7 ( -1 )" Rpta. Absolutamente Convergente
(3«‘+ 1)!
11 = 1
n=I
- l ) — ----------- Rpta. Divergente
7.9.1 l...(2n + 5)
Series Infinitas 209
»=i
@ .
//=!
«=1
(301
sen(— + «(—))
Rpta. Absolutamente Convergente
1)"----------- Rpta. Condicionalmente Convergente
n + 1
> ( - D " -------- 5----- 1 R p ^ . Condicionalmente Convergente
«=i
00 n
(2 9 ^ ^ \ ~Q /; ~y Rpta. Divergente
/! = 1 ^
•*- 9
(300) / (“ l)”+i —r — Rpta. Condicionalmente Convergente
— y ¿ - d n + 2
Z ( - l ) n 7 — Rpta. Absolutamente Convergente
Z - — Rpta. Convergentert + 1n + \ «=1
(303) Calcular la suma de la serie: —-— 1— -— 1— -— f... Rpta. —
v ' 1.2.3 2.3.4 3.4.5 4
304) Estudiar la serie ^ — , si converge calcular su suma.
< ( n + a ) ( n + a + \ )1 ( n + a ) ( n + a + 1)/í = l
Rpta. ------
1 + a
210 Eduardo Espinoza Ramos
2 n 3 + 33,/2 + 183/2 + 341,Z . 2/i +33// +1( - 1 ) r - 3
(/2 + 5)3(/; ' £ 3̂
(305) Hallar la suma de la serie
(k + 5)j (/2 + 6)
H=I
Rpta.
63
(306) Hallar la suma de la serie ^ ;— Rpta. 1
^ 2 « 3(« + l)"
n-1
,307] Determinar la convergencia o divergencia de la serie.
x x
2>77T> X
+ 1 V 'M n - d ) -
a) y ln(—— : ) b) y - — converge
w=l ” ’ n=\ ^
(3 0 8 ) Estudiar la convergencia o divergencia de las siguientes series.
a) + b) t [ + (- ! )"
¿— t 4 n - 1 n n +4/2 + 1 n
n- 1 n- \
2r5 + (—2)" „
r
n=I
(3 IO) Estudiar según los valores de a y b la serie siguiente
r \ 1 5 +- (—2)
,309} Analizar la convergencia o divergencia de la serie ^----- 1"
y (- i r ^ [ l n ( ^ i ) J
t n - \
«=1
n + 1M¿
o í
311) Las siguientes series son convergentes, calcular sus sumas.
„ V ’’ 3« + 2 . , V . / 2" + 1 ^a) V b) y arctg(------ ----------- )
1 + n (n + 1)
«=1 «=I
Series Infinitas 211
OC
(312^ Calcular la suma de la serie
3/7 + 2
2" -1
n—\
(313 ) Estudiar las siguientes series, 
a) Z 6/?̂ -9/7 + 4 y (/?!) .2"«3 ¿ - i (2/7)!«=1 n=\
|314j Analizar la convergencia o divergencia de la serie.
. V 1 13 l-3-5 K, V 2 1 3 I 4a) > = — + -----4--------- h... b) > = log — + log — + log —
¿ - n 2 2.4 2.4.6 b \ b 2 3
+ ...
315J Analizar la siguiente serie.
*> Z I 'iS */;=!
x x
b | S ( Z ( i + „ ) ( L „ + , ) ) Upta. Diverge
© Sumar la serie 7 — ........¿-w (2 + 3//)(5 + 3/r) (8+ 3«)//-I
x
Sea ^ ^ ( - l ) " [ y - a r c t g . ( l n ( / ; ) ) ] analizar.
,318j Demostrar que la suma de la serie de término n-ésimo
1 I I 1 1 1 . • 3 , ,• 4------------- 1--------1 , tiene como serie — ln 2
8/; - 7 8/7 -5 8/7 - 3 8/7 - 1 4/7 - 2 4// 2
Z r 1 1 1 1 1 1 T 3[------- + --------+ ---------4---------------------------J = — ln 2
B //-7 8/7 - 5 8/7 - 3 8/7- I 4 /7 - 2 4/i 2
212 Eduardo Espinoza Ramos
319) Sumar las series:
a) z (— 1) (2« + 3n +3/1 + 1)3 / „ , t \ 3n=! n (n + l)
X "1 4n2 +8nb)
(2n + 1)(2« + 3)(2n + 5)(2n + 7)
n - i
y a ra g . ( f 3 i í ± " l i 3 i t i ) d ) y 2 + 5 «” - 1)
i - t 1 + n (n + II1 + n (n+'l) <n(n + l)(n + 2)
n- 1 /i=l
n=1 /7—1
X X
g) y — l-— 7 h) z ^
-¿—'«(« + 1)5" n\
/ i = l n = \
» Z S » I*
n = l n = l
3 2 0 j Estudiar la convergencia de la serie.
X X
a) Z * 4 b) Z 3" sen̂ p i ' ^ ’ a>0
(2" -5 ")2.7-2''
n=l /»=1
c y - ̂ y.cos" (”+i,+4
¿ ~ j ( n + l ) ln (« + l)'(« + l)ln(« + l) ' ' 3” +n}
w = l n = \
Series Infinitas 213
^21^ Determinar la convergencia ó divergencia de la serie.
X
— 4— ;— i--------------r~ R Pta- Convergente/2 3 4 n + 1 \
»=, " V, + T + V + - + 4 )3 4 5 n + 2
(3 2 ^ Determinar laconvergencia ó divergencia.
, V 1 1-6.11.16... (5« - 4)a) 7 — -— ——- — — Rpta. Divergente
2.6.10.14...(4/7-2)
11--= 1
X"'11.3.5.7...(4/7-1)
b) 7 — ———- — — Rpta. Divergente
2.4.6.8...(4")«=i
Í , , ,V , ■ J , x 1 ( / 7 + 1)(jP + 2)(/7 + 3)...(/? + / 7 )13231 analizar la conv ergencia de la sene xZ!(c] + \ ) ( q + 2 ) ( q + 3 ) . . . ( q + n )
n=I
Rpta. i) q > p + 1 converge (por Raabe)
¡i) q < p + 1 diverge
iii) q = p + \ diverge
1
¡i i
2̂ ̂ J" " (Jrl 2 + v10 + vs + x 6 + v4 4 x-2 4 g y 2 (¡x Rpta. Diverge
325) Hallar la suma de las series.
214 Eduardo Espinoza Ramos
^ c o s " +1(~ )4
Estudiar la serie y en caso convergencia, hallar la
( n + 3)
«=!
suma.
327) Estudiar la convergencia de las series.
a) Y [ - L - + (- l) ' 'I ] b) y t- ^ ± i _ + (_i)'--L]
a—w 4 n - l n ¿ - u n +4/7 + 1 n~
n=1 n=I
n=I
Series de Potencias 215
CAPÍTULO III
3. SERIES DE POTENCIAS
3.1 DEFINICIÓN.-
Una serie de la forma: c0 + c ,(a r-a )+ ‘e2( a :- a )2 + .. . .+ c„ (x -a )n + ...... es
donde: a y los c¡, i =1,2 n son constantes, es llamada serie de potencia en
x - a.
Cuando a = 0, se tiene la serie N c„x" que se denomina serie de potencia en x
O BSERVACIÓ N.-
I o Cuando x toma un valor particular, obtenemos una serie numérica de los 
que ya se ha estudiado.
2o Si una serie converge para ciertos valores de x, podernos definir una 
función de x haciendo:
donde el dominio de estas funciones son todos los valores de x para los 
cuales la serie converge.
decir:
216 Eduardo Espinoza Ramos
3o Para determinar los valores de x, para los cuales la serie de potencia 
converge, se usan los criterios anteriores, especialmente el criterio de la 
razón.
¡3.2. PRQPIEDADES.-
Consideremos la serie de potencia siguiente:
oo íltilsiiji
Y c n( x - a ) n
n-0__________
1° Si esta serie diverge para x - a = c, entonces diverge para todos los 
valores de x, para los cuales i x - a | > | c i .
2 o Si ésta serie converge para x - a = b, entonces es absolutamente
convergente para todos los valores de x para los cuales I x - a | < ! b | .
3o Se cumple exactamente una de las condiciones siguientes:
i) La serie converge solamente cuando x -a = 0
H) La serie es absolutamente convergente para todos los valores de x.
iii) Existe un número P > 0, tal que la serie es absolutamente
convergente para todos los valores de x, para los cuales I x - a | < P 
y diverge para todos lo valores de x, para los cuales ¡ x - a | > P.
3.3. DEFINICIÓN.-
i) El conjunto de todos los valores de x, para los cuales una serie de 
potencia converge, se llama intervalo de convergencia.
¡i) El número P > 0 de la propiedad 3° iii) se llama radio de convergencia de 
la serie de potencia.
Series de Potencias 217
OBSERVACIÓN.- Si P es radio de convergencia de la serie de potencia
X
V e - , ( x - a ) " , entonces el intervalo de convergencia
n=0
es uno de los intervalos siguientes <a - p, a + p>, [a - p. a + p> , <a - p, a + p] 
y [ a -p , a + p]
Ejem plo.- Hallar el intervalo de convergencia de la serie de potencia
oc’V”'1 x1
> — y el radio de convergencia. 
n
h=]
Solución
X X
Sea u = — => m | = -------, luego por el criterio de la razón se tiene:
n n +1
lim ‘//+1 = lim
«—>00
n + l
X
n
■ lim
.«+1
(n + l).v" = .y lim —— - = U < 1 «->» n + 1
como | x | < 1 -1 < x < 1.
Ahora analizaremos para | x | = 1, es decir para x = ± 1.
Si x = -1 se tiene
(-1)"
n=i
es convergente.
Si x = 1 se tiene V i d¡
¿—u n
«=l
divérge (serie armónica).
Luego el intervalo de convergencia es [-1,1 >y el radio de convergencia es p =1
218 Eduardo Espinoza Ramos
3.4. DIFERENCIACION DE SERIES DE POTENCIAS.-
x
Sea ^cn (x - a)'1 una serie de potencia con radio de convergencia p > 0 y si
/;=()
00
f ( x ) - ^ ' cn( x - a ) n , entonces existe
11 = 0
f = ^ \n c" (x ~ a)" ■' v * £ < a ~ p , a + p >
»i=i
Además, p es también el radio de convergencia de ésta serie, es decir, si p ^ 0 
es el radio de convergencia de una serie de potencia, la cual define una función 
f, entonces f es diferenciable en <a - p, a + p> y la derivada de f se puede 
obtener derivando la serie de potencia término a término.
3.5. INTEGRACION DE SERIES DE POTENCIAS.-
Sea y ' cn( x - a ) n una serie de potencia con radio de convergencia p > 0 y
/;=o
■x
/(-v) = ^ ' c „ ( -v -a ) '', entonces f es integrable en todo subintervalo
«=o
cerrado de <a - p, a + p> y [ ^ c„(t - a)" dt = ^ ' —!L7 (-V_rt)"+I donde:
«=o d=o n
x e <a - p, a+ p>, además p es también el radio de convergencia de la serie 
resultante.
Es decir: Si p * 0 es el radio de convergencia de una serie de potencia, la cual 
define una función f, entonces f es integrable en todo subintervalo cerrado 
de <a - p, a + p> y la integral de f se obtiene integrando la serie de potencia 
término a término.
Series de Potencias 219
3.6. SERIE DE TAYLOR.-
y.
Sea ^ ' cn( x - a ) " una serie de potencia con radio de convergencia p.
,i=0
entonces definimos la función f de la siguiente forma:
f (x ) = c0 + C\(x - a) + c2(x - a)2 + .... + cn( x - a )" +...
Para todo x e <a - p, a + p>.
Ahora buscaremos la relación que existe entre los coeficientes 
c0, q , c2,—;C„...... con la función f y sus derivadas al evaluar en el punto a.
/ ( x ) = e0 +ci( x - a ) + c2(x~*a)2 +cJ( x - a f + f ( a ) = c0
f \ x ) = Cj + 2 c2 (x - a ) + 3c3 ( x - a ) +.
/ ”(x) = 2c2 + 2.3c3 (x - a) + 3.4c4 (x - a)2 + .
/ '( « ) = c, 
/"(«)
2!
/ '" (* ) = 1.2.3c3 + 2.3.4c4( x - a ) + 3.4.5c5( x - a ) +.
3!
f (n){x) = 1.2.3..../?c„ + 2.3....(« + l)c„+1 ( x - a ) + .......... => 4— p ^ = c,
n!
Reemplazando c0 , c , , c2 , . . . , cn en la ecuación (1)
\ , ru S, ̂ , / V ) , -.2 , / '" (« ), o , , /"'(aX -K -a)"f ( x ) = f { a ) + f ( a ) ( x - a ) + - — — ( x - a ) +— — ( x - d ) + ..+ ---------
2! 3!
220 Eduardo Espinoza Ramos
por lo tanto: m , y £ H , - . rn!
n=0
Luego a la serie de potencia de la función f, representado por:
oo / v
V ? f ( a )
f ( x ) = / ( x - a ) " se denomina serie de Taylor alrededor del punto a
¿—a n\
n=0
f M (a)
OBSERVACIÓN.- Si en la serie de Taylor f ( x ) = 'N ----- U-o)"
»=o
hacemos a = 0, se tiene la siguiente serie.
A esta serie se llama serie de M aclaurin.
Ejem plo.- Desarrollar en serie de Maclaurin la función f (x) = <? '
Solución
f ( x ) = ex 
f \ x ) = c r 
/V) = *T
/(O) = 1 
/'(O) = 1 
/''(O ) :
- ( I )
f {n\ x ) = ex 0) = 1
C om o el desarrollo de la serie de M aclau r in es:
Series de Potencias 221
 +C2í2Ü +,2! n\
2 3 4
X X X
Al reemplazar (1) en (2) se tiene: f ( x ) = l+ x + — + — h +r v v j v
«-0
3.7. EJERCICIOS DESARROLLADOS.-
© Determinar el intervalo de convergencia de la serie d 
X •(-!)".(x + 1)''
S !n=\
Sea u„
■yn 3 3 ./7
y el radio de convergencia. 
Solución
(-ir+l(jc+i)',+i
r . n * " " 3',+1.(« + 1)3
Ahora aplicamos el criterio de la razón:
lim
/í—»X
» „ + 1 = lim
> x
3"./?3 ( — 1)"+1 (.v + l ) ”+l
Un 3', + l ( / 7 + l ) 3( —l ) n ( . Y + l)"
^ lim ( — —) 3 = ^
Como
JC + 1
<1 |jc + 1| < 3 = > -3 < x + l<3
Ahora analizaremos cuando
-4 < x < 2
■Y+l 
3
= 1, es decir para x = -4, x = 2
... (2)
potencia
Iat + iI 1—Ui
222 Eduardo Espinoza Ramos
©
— ---- ;---- = > — es convergente.3V
//=1 /?=I
X
S ix = 2 se tiene / (-1)'1 — es eonvergente. i «3n=i
Por lo tanto el intervalo de convergencia es [-4, 2] y el radio de convergencia 
es p = 3.
Determinar el intervalo de convergencia de la serie de potencia
^ ( - l ) ' ,+1(«!)2(* -2 )" ,
> --------------------------- y el radio de convergencia.tr 2".(2/i) !
Solución
( - l ) ' ,+2 (n!)2 ( - 2 )" _ (—l)"+2((n + l)!)2( x - 2 ) " +1
Como u„ = ------------------------- => u„+, = ------------- ----------------------2".(2n)\ 2 .(2« + 2)
Aplicando el criterio de la razón se tiene: »
2".(2/7)!(-l)"+2((n + 1)!)2(.v- 2)"+i
lim »n+i = lim
H —>X 2 (2« + 2)!(—l) - («!) (*-2)"
x - 2
lim (n + ir be- 2 ■<1
«->=o 4 n 2 + 6n + 2 8
Como |x - 2 |< 8=> - 8 < x - 2 < 8 => — 6 < jr < 10
U-2|
Ahora analizaremos para -—-—- = 1, es decir para x = -6, x = 10
Si x = -6 =>
00
I
n=1
( - l) " +l(n!)2(-8 )” 
2" (2 n)\
es divergente (criterio de comparación).
Series de Potencias 223
©
(—1)/,+̂ (n!)~ 8”
— :--------es divergente (criterio de comparación).2"(2n)!
Luego el intervalo de convergencia es <-6, 10> y el radio de 
convergencia es p = 8.
x n
Determinar el intervalo de convergencia de la serie de potencia / (-1 )” —n\
y el radio de convergencia.
n= o
Solución
x" | v«+>
Sea « „ = ( - ! ) " — => un+l = ( - l ) ',+!- :— — , aplicando el criterio de la razón
n'. (n + l)!
se tiene:
lim un+1 = lim
//->*>
1 i /f + 1/ i \ / / + l i i(-1) n'.x
(-!)"(« + 1)!a-" = Ixl lim = | x | .(0) = 0 < 1 V x e R.«->* n + 1
©
Z
\
(-1)" :— es convergente, V x € R y el
77 !
«=o
radio de convergencia p = ao.
Determinar el intervalo de convergencia de la serie de potencia
I "1 ' VE
n ! x
(-1)" " y el radio de convergencia.
«=o ^
Solución
(-1 )"n\x" (-1)',+i(77 + 1)!x"+iSeE1 «» = y =* “«+! = ¡̂ T-----
por el criterio de la razón se tiene:
224 Eduardo Espinoza Ramos
©
lim Un+1 = lim
//— “n «->oo
( - l ) ',+l(/? + 1)!.y"+i3"
(-1 )” h !.y".3"+i
I I r /7 + 1x lim = +oo
1 '«-»* 3
Luego para x * 0, —— -> x , cuando x -» oo , por lo tanto la serie de
1 1 n
potencia converge cuando x = 0 y el radio de convergencia es p = 0. 
Determinar el intervalo de convergencia de la serie de potencia 
,«!( a--3 )"
I
h=0 .3 .5...(2w -l)
y el radio de convergencia.
Solución
Sea u.. =- n\(x-3)" í(ii+1
(n +!)!(*-3)/í+1
1.3.5...(2n-l) " ' 1.3.5...(2/; + l)
por el criterio de la razón se tiene:
lim
<1 >r
ll-t-l = lim
/I—KO
(/7 + l)!(x -3 )”+l (1.3.5....(2/7-1)
/7 !(.v — 3)" (1.3.5. ..(2/7 + 1))
= lim I a*—3| (———-) = |x - 3 | ( —) < 1 «->* 1 2// + 1 1 1 2
= > |x - 3 |< 2 => - 2 < x - 3 < 2 ==> l < x < 5
Ahora analizaremos cuando |.y — 3| = 2 es decir para x = - 1, x = 5
/7l(-4)"Si x = -1 se tiene I
n=0
1.3.5. . . ( 2 /7 - 1 )
Si x = 5 se tiene N 1-------—----------- es divergente (probar).
¿ - d \ . 3.5. . .(2 //-1 )/;=0
es divergente (probar).
Series de Potencia 225
Luego la serie de potencia converge en <1, 5> y el radio de 
convergencia es p = 2.
( b ) Estudiar la serie sen^ |_ )A
■<-—11 ny/n
Solución
, c o m o se n aí" x| < 1
lsen(/¡".Y)| | |
V n e Z a V x g R = > --------= — 1 < — — , y como la serie > —— , es
ny/n n ' n ' 'n=\
y—~\ |sen(«"x)|
convergente => >---------=—- es convergente, luego es absolutamente
n-Jnn=\
convergente.
© Representar en serie de Maclaurin a la función f ( x ) = e x
Solución
X X
Se conoce que í?(x) = e'' = l + .v + — + .... + — + ....2! n\
f ( x ) = g ( - x 2) = e r = l - * 2 + ^ - + .... + ( - l ) ' ' i — + ....2! ni
2
ni
n=0
f ( x ) = e~''- =V (-1)"
Z
jSCiH/i
‘----- j
ny/n
^-i Jsen(n".r)|
7Tn=i
226 Eduardo Espinoza Ramos
( s ) Desarrollar en serie de Maclaurin la función f(x) = sen x.
Solución
f ( x ) = sen x /« ) ) = 0
f \ x ) = cosx /'(O ) = 1
f " { x ) = - s e n x /"(O ) = 0
f " \ x ) = - c o s x => /" '(0 ) = - l
f " ( x ) = senx / ”’(0) = 0
/ ' (x) = cosx / W(0) = 1
/ ' '(x) = - senx r ’(0 )= 0
(1)
Como la serie de M aclaurin es:
I ni
n= 0 2! 3!
Ahora reemplazando (1) en (2) se tiene:
..2/1+1X3 X5 X1 X
f (x) = sen x = x ------ + --------- + ...... + (—1)"-----------
3! 5! 7! (2« + l)!
+ ...
(2)
f ( x ) = sen a- = ^ ( - 1 ) "
n=0
,2 » + l
(2n + l)!/I=u
( 9 ) Desarrollar en serie de Maclaurin la función f(x) = sen h x.
Solución
Se conoce que: senh ,v =
e —e
y adem ás se tiene:
Series de Potencia 227
2 3 n, X X X
í? — 1 + X 3-------- 1---------b . ... H------- h .
2! 3! n\
x2 x3 r"
<? ' = l - x + —-- + + ( -1 )"— + .
2! 3! . n\
3 5 2/1+1
?' - e“ ' = 2x + 2(— ) + 2(— ) + .... + 2(— ) -
3! 5! (2« + 1)!
2 3! 5! (2/7 + 1)!
.v —x , 2/1+1e - e V 1 x
/ ( x ) = scnh x = ------------= >2 (2// + 1)!
/ i= 0
00
Probarque: N '( - l ) " x 2" = — , so b re< -l,l>
1 + r-1 + X
n=0
Solución
Mediante la serie geométrica convergente se tiene:
7 —1 1 I I1+x + x + + x" + . . . .= -------, para |x | < 1, valiéndose de esta serie
1 — x
tenemos:
00
]>Yl)" X2" = 1 - X2 + X4 - X6 + X8 + ...
;?=0
7 7 7 7 7 7 4
= ! + (—* ) + ( - x ) + ( - x ) + ( -x ) +...
2 ipara \x < 1
228 Eduardo Espinoza Ramos
00
Luego (-1)"x 2n = ———, para |x | < 1
1 + xl + x¿»=i
puesto que: x 2 < 1 => |x| 2 < 1 => |x| <
® *3 *5 * - I I ,Mostrar que: a rc tgx = x ----------------- — + •••> si |x [ <1
Solución
De acuerdo al ejercicio 10. se tiene:
j = 1 - x 2 + x 4 — x 6 + xS — x 10 +... , para |x | < 1
l + x
Ahora integramos esta serie término a término.
f ' ( 1_ í2 + í4 _ í6 +¿8 _ í .0 + _..)A
x 3 x5 x 7 . . . ,
a rc tgx = x + -----------+ ..., si x < 1
3 5 7
(12) Obtener una representación en serie de potencia de — -—7 .W d i ­
solución
De acuerdo a la serie geométrica convergente, se tiene:
—— = 1 +.v + x 2 + ... + x"_l + ..., si | x | < 1 , derivando miembro a miembro se
1 - x
tiene:
Seríes de Potencia 229
 = 1 + 2a + 3a2 +... + (« — 1)a" 2 +nx" *+...
d - .v ) 2
00
Z
n A'"-1 = — , para | x | < 1(1-A)2
13) Verifica que:
Solución
00
XT’ sen(/7.x) . , sen(^A') 1
La serie > — , es convergente V x, p u e s — < — y como
4 n~ n ̂ n~n=I
Z 1 _ x H sen(7?.v) w .— , es convergente, ai i riñamos que / r— , es convergente, Vx, a la
n n~n=1 n=1
S sen(>Lv)— —— expresaremos en la rorma:serie
n=i
i
sen(nx) sen 2a sen 3a sen(nx) ---- — A H----------- 1-----------h .,. H -
nn=1
Integrando miembro a miembro de O a n se tiene:
f V sen( nx ) , r , sen 2 a sen h a ,
J) / ̂ T - {ix= Vsenx + --------- + ... + ----------+ ...)</*
/?=!
230 Eduardo Espinoza Ramos
17 , 1 1 1 1— ”1 (-1 H------- 1---------- ...)
LV 2.4 3.9 4.16 5.25
/. 1 1 1 1 \ i-11 +--+--- h----+ + ...)
v 2 .4 3 .9 4 .1 6 5 .2 5
2[l+— + —— + ...] = 2[l+-̂ - + 4r- + ... +-- —T- + ...]
3.9 5.25 J L 3 5 ( 2 « - l ) 3
y - 1 -
//=!
J* i n~ (2/7 — 1)n~\ ;;=!
(m ) Encontrar una representación en serie de potencia de: jf e~‘ d t
Solución
Y" x
Se conoce que: ex = \+ x + :— + ahora reemplazamos x por —t '2! n\
se tiene: e~r = l - r + — + ....(-1 ) ''— + ...2! n\
Luego integramos miembro a miembro de 0 a x.
f e~'dt= f V r + - + - + ... + (- l)" — + •••>//
i , i , 2! 3! n\ ’
( /3 t5 i1 (-l)"/2"+l X /= (í +------+ ... + -— ---- + ...)/
3 215 317 n\(2n + 1) 7
Series de Potencia 231
jc3 .v5 x 1 (-l)" .v2"+i
— X --------- 1 h ... H---------------------- h ...
3 215 3! 7 n!(2n + l)
J, n!(2w + l)
n=O
I
© Calcular aproximadamente con tres cifras decimales el valor de: Ĵ ~ e~' dt
Solución
De acuerdo al ejercicio 14 se tiene:
. 3 . . 5 . . 7
I
í
. v .v .V
e dt = x + ------------- + ... , para x = — se tiene:
3 2! 5 3! 7 2
i . , =1 1 1 1€ dt —.---------- f------------------h ...
2 24 320 5370
= 0.5 -0.04117 + 0.0031-0.0002 + ... = 0.4614
Encontrar una serie de potencias en x que sea convergente a la función 
ln(l +*)
l + A'2
Solución
De acuerdo a la serie geométrica convergente se tiene:
1 —x 
tiene:
= l+ x + . r + . . .+ y ' '+ ... , si | x | <1, ahora reemplazamos x por -x se
1-jc + .v2 - x 3 + ... + ( - ! ) " x" +.,. si | x |
1 + x
Integrando miembro a miembro se tiene:
232 Eduardo Espinoza Ramos
2 .3 .4 n+1
ln(l + x) = x — ■—" + ------ — + 1)"------2 3 4 n+l
Nuevamente en la serie geométrica reemplazamos x por —x obteniéndose la 
serie:
■ = 1- x 2 + x 4 - x 6 +... + (-1 y ' x 2"+... si i x ! < 1.1 + x
Multiplicando las dos series se tiene:
ln(l + x) x 2 2 3 x4 13 5 . i i
 — = * — — + — X + — + — X" + . . . SI | X ! <
1+X 2 3 4 15
ÍT ) Analizar la serie —-, si es convergente. Hallar su suma. 
Solución
Para determinar la convergencia aplicamos el criterio de la razón. 
1 i
SOS r> , 1 —
" 8"+l«! ' "+l 8 " '2(n +1)!
Cl 1
lim = lim ——— = 0 < 1 => la serie es convergente.
»->« an »-m°8(« + 1)
■30 OC '30
y _ fc a iy _ L .i( i+y_L) ...(dn=0 n = 0 n=1
00 00 (Iv1 1 00Com„ y j _ = y v _ =e¡ y j L ^ ) ...(2,
jkmmá 8" n ! n ! n !
n = 0 n - 0 n=e
Series de Potencia 233
00
Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene: el /8 = — (1 + > — )8 £-¿n\ 8"'
M = I
e ' ,! 1 Y - I _ d e d c d e : V ‘ =íÍ-I = I(j - t)Ẑ ,7!8n+I ^«!8,,+1 8 8 88 8 +
n=\ n=\
Z
(n + 4)!
— 1 , si converge calcular la suma
3 !n 14”n=i
Solución
00
Para determinar la convergencia ó divergencia de la serie ^ '
11 = I
aplicaremos el criterio de la razón.
Sea a . J n + 4)l - - - <" + 5>!
31/314" ” 3!(« + l)!4"+l
a | (n + 5)131/314" /¡ + 5 1
lim = lim = lim = — < 1 , entonces
an »->*(/7 + 4)!3!(/7 + l)!4 « -/* (« + 1)4 4
Z (/z + 4)l ---------, es convergente, ahora calcularemos la suma:
31//14"H = I
(33+4)1 _ (/3 + l)(/3+2)(/7 + 3)(/3 + 4)Z (/3 + 4)1 _ V -1 
3!«!4" ^ 314"n=\ n=1
oe
/34 + 10/33 + 35/7 ’ + 50/3 + 24
4"
(33 + 4)1 
31/314"
la serie
234 Eduardo Espinoza Ramos
£„<(!)■ +50¿»(i)' +24^(i)-
n-\ n~\ «=1 /?=1 /?=1
oc
Ahora utilizamos la serie de potencia: / x" = — , para | x | < 1.
¿—u 1 - x1 — x «=o
l + x + x 2 + x 3 + ... + x" + . . .= , derivando:
1 — x
i f ]
l + 2x + 3x +... + nx" +.... = — , multiplico por x(1-A)2
x + 2x + 3x3 + ...4-n x n ■
(1 — x)
y n x r = - * —
Como x + 2x~ +3x +...+nx" +... = -.derivando :(l-x)2
\ + 22x + 32x 2 +... + n 2 x" 1 +... = X+ , , multiplico por x(l-x)3
7 *7 i 7 „ X~ + X
X + 2 X + 3 *"X +... + /1 X +... = —
( l - x ) 3
2 „ _ x(x + l) 
3
n x = -
Series de Potencia 235
Como x + 22x2 + 3"x3 + ... + «2 x" + , derivando:(1 -v)3
i ->3 ^ 3 7 3 / 7 - 1 .Y*" + 4.Y + 11 + 2 .y+ 3 x +... + n x + . . . - — — , multiplico por x
a - x y
3 A
x + 23x2 + 33x3 + ... + H3 x” - + *(1-A-)4
éf o-*)4
Nuevamente derivando la expresión:
x + 23x2 + 33x3 + ... + n3 x" +... =
( 1 - - T ) 4
. _4 -4 2 4 n-1 X + l lx 2 + l lx + l1 + 2 x + 3 x +... + « x +... = , multiplico por x
(1 -x )5
- 4 2 , 4 ! 4 a X4 + 1 lx 3 + 1 lx2 + X
X + 2 X +3 X +... + H X + . . . = ------ — :------------
(1 - V)
A ■}
I»4 i, X4 + 1 lx3 + 1 lx2 + X(1 - x )
Ahora reemplazamos x = — en las series obtenidas
X X
1 4
x ¿ - C 4 , 1 3
11=0 n=0------------ j ---
4
236 Eduardo Espinoza Ramos
/;=l n=\
n=\ n=I
1140
L u 4 81 Z - r 4
H=¡ /J = l
Reemplazando (2), (3), (4) en ( 1 ) se tiene:
Z (n + 4 ) !_ 1 r 1140 1320 700 2003!«!4" ~ 6 243 + _ s T + 27 + ~9~ + J»=l
(4)
x,
I
(n + 4)! _ 9372 
1 3!«!4" ~ "729"»=i
00
(Í9 ) Demostrar que 7 -----------= 1 + -— ln ( l - j t ) , | x | < l aplicar esta fórmula
jL~in(n + \) x
n=\
OO
para sumar la serie ^
n(« + l)1 0 zM=l
Solución
X X OO 00y _ ^ _ = y ( i-_ L y =ViL_y^_«(« +1) J n n + 1 / « ¿-w n + 1
n = l v ' n = l n = l l l = l
Como — = l + .v + x 2 +... + ,x" 1+... si |x | < 1
1 — X
(1)
Series de Potencia 237
2 3 nwi i x x x-ln(l-At) = x + — + — + ... + -----
2 3 n
x"+1 v”
-.v -ln (i- .v ) = 2 — : = * > r
— n + 1 -¿—i « +1
X
E x I
 = - 1 — ln(l - . y)
n + 1 A '
X
— - = - ln ( l - a ) - (-1 - —ln(l -.y )) 
¿ - f n ( n + \) -v
= l + ( — l)ln (l-A -) =1 + — ln(l-A )
(2)
S — — In (l-jr) ...(3 )nn=1
Ahora reemplazando (2), (3) en (1) se tiene:
y _ ^ _ = y ^ _ , l +̂ i00,n(l--L)=l+991n̂ ^«(/? + l)(l02") ¿̂ nin +1) * 1007 100
100
(20) Desarrollar F(x) = — en serie de potencias alrededor de x = 2.
Solución
r(">/1 F K ’( 2)
F(x) = — = / (x - 2)" , de donde:
. y n !
n=0
238 Eduardo Espinoza Ramos
F ( x ) = — = F ( 2 ) + F \ 2 ) ( x - 2 ) + — ^(.x -2 )2 + ———(.v -2 )3 +... 
x 2 ! 3!
F (x) = - = r ( . í ) = - 3 - , F '(x ) = 4 - F"(X) = - 
x x x x
F (2) = — = F '(2 ) = — F"(2) = - , F m(2) = ——, 
2 4 8 16
F(.v) ( * - 2 ) + —-v 2 2 3
2! ( .v -2 )2 3! (jc- 2 ) 3
2! 24 3!
/''(A)= r Z H,'F r (jr-2)’
n=Q
(21) Hallar la suma de la serie x ^Z e2”n=\
Solución
Y ^ L , y [„=(_L). _8„(-V)" 116(J.). ]
e~ e~ e en=\ n=\
= ! " '( > -8Z 4 )' +l6Z (7 y' - (,)e * e e
n=1 //=1 n=\
Ahora aplicamos la serie geométrica convergente.
1 ? -i i i■ = l + x + j r + . . . + jt si I x | <1
l - x
X X
= ~ ~ => ^ 2 x" = , donde: para .r = —
/?=1 // = 1
Series de Potencia 239
'L i \ y ~ ne e - 1/;=1
Corno = 1 + x + x 1 + ... + .v" 1 + xn + ... si | x I <
1 - A'
= \ + 2x + ... + nxn 1 + ...
O-*)2
^ M.v" 1 = - — —or- => N ' ii x" = - — ’ . donde: para -v = -V
éf 0-9- 0-9
S " (e2)" (/_,)2 - (3)
/»=!
Como — - —~ = x + 2x2 +... + n x " +... si |x | <1 (1 -*)"
-v + l , e.2 2 n-l= 1 + 2 x + ... + n x +...
(1 - x f
n2x" 1 = => ' S ' ' n2x" = - -+--Y- , donde: para * = —r
( l - x f ¿ f (1 - x f
n=\
Ahora reemplazando (2), (3), (4) en (1).
240 Eduardo Espinoza Ramos
(22) Comprobar la representación en serie de potencia: 2 /' T V, ^
n=1 ' '
| X | < 1
Solución
Aplicando la serie geométrica convergente, es decir:
—í— = 1+ .v + .v2 +... + .v"-1+ * " + . . . , si | X | <1
Ahora derivamos miembro a miembro.
= 1 + 2x + ... + n x n si ¡ x | <(I-,)
Multiplicando ambos miembros por x, es decir:
= x + 2 x 2 + ...+ nx" + ..., de donde:(l-.v)2
00
S
n x " ~ 7— > Para I x I 42 ' • (l-x)2tf = l
-r- 2
(2 3 ) Comprobar la representación en serie de potencia de: ^ / |2~v" = 7------y
n=\ ' X'
para I x | < 1
Solución
Del ejercicio (22) se tiene: —— = x + 2x2 x" + ..., si I x | < 1
Series de Potencia 241
Multiplicando ambos miembros por x.
O-*)3= x + 2 x +... + /T x" + ..., de donde:
V 2 « *2 + V I I i/ n x = — , para 1 x | < 1
h o -*)3
24J Comprobar la representación en serie de
OC ^
Z i „ x +4x~ + .r , i in x = — , si | x | < 1
(l-x)4
11=1
Solución
Aplicando la serie geométrica convergente.
—— = 1 + x + x2 + + +„r" +... si | x | <
l- .v
Mediante el ejercicio (23) se tiene:
X + X j 2 3 2 « - I■ = x + 2 x +3 x ... + n x +..., si h(1-A)'
Derivando ambos miembros.
X** + 4.X' +1 i -i 2 1 //-I = 1 + 2 .t + 3 r +... + 11 x '+ .. .(l-x)4
Luego 1 =-Í—— A y ■ , de donde: = ■
n=\ ̂ ̂ //=!
potencia de x:
r3 + 4.v2 + x 
( l- .v )4
242 Eduardo Espinoza Ramos
( 2 ^ Comprobar la representación en serie de potencia de x:
4 „ x4 + 11.y3 + 11x2 +.yy V .Y" = — ^ ----- , si | X | <
d --v ) « = 1
Solución
3 a 2Z t x + 4 a + x ,. .n' x = ------- —--— , desarrollando
(1-v)4Aí = l
3 A 2
_ t, 7 _ 3 3 3 „ A' 4- 4 A f A* , .
A + 2 ' A “ + 3 r + . . . + n x + .... = — , derivando
(1 -x )4
4 4 7 4 w_ j x * 4 -1 1 a 2 4 - 1 1 a + l
1 + 2 a + 3 a +... + W a +... = -------
(1 -x )5
Multiplicando ambos miembros por x tiene:
4 2 3 4 » X4 + 1 IX3 + 1 lx + X
x + 2 x +3 x +... + n x +... = ---------(l-x)5
a j V ̂ 4 x 4 + 1 L y 3 + 1 1 .y 2 + x i ide donde: 7 n x = ----------------- , para |x | < 1
< 11 — yV( l - x ) 3n-\
3.8 E J E R C IC IO S PR O P U ESTO S.-
I. Hallar el intervalo de convergencia de las siguientes series y dar el radio de
convergencia.
QC ~
Cp) V — ------- Rpta. 2 < x < 4(« +1) ln(/7 4-1)
n=\
Series de Potencia 243
© y t M ' z J L Rpta. 2 < x < 4Z (̂2/¡ + l)vWl
II = \
OO
( ¿ ) ^ ( l + —)" (jc — 1)" Rpta. 1 - - < X < i ' + -
n e cn=\
oo
( © ^¡M -1)".y2" Rpta'. | x | < 1
n=0
/T \ S P 2 " x " 1 1© R p tt . - - S x < -
/i=!
í 7 \ V ( - O r( 6 ) y Rpta. V x e R
» n \
n—0
X
(2 ) R Pta * Ixi < i
«=i
X
( © ^ Rpt a. -2 < x < 2
a—w 2/7 + 1 2
n=0
® \ * (n + 2)
y ( - 2 ) — i------ ̂ Rpta. — < * < -
« + 1 2 2»=o
® Rpta- Ixl <: 3
n=0
244
©
©
©
©
©
©
©
@
Eduardo Espinoza Ramos
20 |
Z (_l)»+'_ ^ Rpta. V x e R(2/7-11!(2/7-1)!/;=!
oc
Z ( - l ) " +1 Rpta. x e [0,2]nn=\
ao
^ ' n \ x n ̂ Rpta. x = O
>;=i
70Z 1 1s e n h ( 2 n ) x n Rpta. x e < — — >e~ e~n-0
A 2 n ) \n-O
oc
£ —¿-¿n2"/;=!
n n
00
n
S— — Rpta. V x e R(2/;)!
Rpta. x e [-2,2>
Z 2"/r"/ „ r 1 h-------------------- Rpta. . v e , — In(n + [)(n + 2) n nn-\
Z— Rpta. x > 1 absolutamente convergenten*«=i
-x < 1 es condicionalmente convergente.
2 ^ x " R pta. -1 < x < 1
n=0
Series de Potencia
X
® 2 4 Rpta- es divergente V x e R
n=\ A
© 2 (y,+4 y Rpta-_Ua<4 - i <jr<i
/i=i
n=o
" 2"-' A-2"-'
?3J X — r r Rpta. - 1 < x < 1
(4// -3 ) -rt=I
Z ( - l)" ’.v"-— Rpta. -1 < x < 1
/?=!
w S ^ r R>— 1n=0
ti
( 2 ^ Rpta. - 00 < x < *
11=1
00
(27) N ' ( — - — Rpt a. -4 < x < 4— 2n +1
n = l
CC
® 2 3"^ 
«=ü
Rpta. — < . r < - 
3 3
246 Eduardo Espinoza Ramos
®
n- 1
1
00
n=1
n = l
Rpta. -e < x < e
— — % Rpta. -3 < x < 3
n3n.\n(n)
( 3 y > a" Rpta. -1 < x < 1
/;=!
00
^ 2 ) ^ ' kLy"! Rpta. - 1 < x < 1
X-1 (x-2)"> —------ — Rpta. 0 < x < 4
¿—‘ ( 2 n - \ ) 2 n
f j n l(X ¿ 3 ) " Rpta. - e - 3 < x < e - 3
M=1
oc
( 0 J ' n"(x + 3)” Rpta. x = -3
«=1
(36) y ( - l ) " - 1 (X y . Rpta. 2 < x < 8
n= 1
@ y (_i r .(^zinxd): R p t a .
^ (3 « -2 )2" 4 4
Seríes de Potencia 247
® Z H)
n=0
n i * ~3)"
(2 n + 1)V n +1 Rpta. 2 < x < 4
,00
® s
n=l
(y - 3 ) 
«5" Rpta. -2 < x < 8
OU
I
/? = 1 (n + l)ln (n + 1)
Rpta. -2 < x < 0
© Z<-o„_i (x-2)-
«=i 2"
Rpta. 1 < x < 3
(*-1) 
i n.9"
2 n
Rpta. -2 < x < 4
«=o
'(3 w -2 )(x -3 ) '' 
1 (n +1)2 2'!+l Rpta. 1 < x < 5
Z(-V + 2)" n Rpta. -3 < x < -1
n=0 H + l
Rpta. 1 < x < 3
OC
I
/ 7 = 1
(-1 )
«+1 (x-2)"
(w + l)ln(« + l)
R pta. 1 < x < 3
248 Eduardo Espinoza Ramos
#1=1Z(2w-1) (x+I)" „ — — ■— Rpta. -2 < x < O2
Í 8 ) Rpta. x > 1, x <
n=1
© y _ H £ l _ Rpta. je > 5 - , X < 4
w=l
y
Rpta. X > 3 ,X < 1
»=i
^ R p t a . x > 1 , x < -1 
^ Z _ ^ ( „ + n 5 r 2 "'(n + lr*n—O
® I 4 f 4 - 7
W = 1
X
( S ) n 2x " Rpta. - l < x <
n = l
§ ) Rpta. - 2 < x < 22"n=\
® Z (-i r ' 7¿T ̂ Rpta-(2m-1)!n=\
(N 
| m
Series de Potencia 249
Z
( ] \ i ¡ - \ (•* O p» 4. n ^(-1) ---------- Rpta. 0 < x < 2
n
n=\
n=1
5 8 ) S> ' - ■ ^ X Rpta. -ao < x < so^ 4— 2 («!)
n=0 v '
Rpta. I x - 2 I < 2
n=\
V " V2;,+1 i i® 2 j (_1),,2̂ t Rpta- 1x11
/»=0
0 Y ( - 2 n n + l)(X- i y Rpta. | x - l | <
/»=0
00 ' x"
© I ; 3nn=\
2
Z (3a* + 6 )"------------- Rpta. -oo < x < co
n=O
© y (- l ) ’ — - i - l? ” Rpta. U t o
s L~¡ 2 (n — UHn — W.Cln — U
R pta . -1 < x <
250 Eduardo Espinoza Ramos
© Z ^
(-irc-y-ir
2" (3 n - l)
Rpta.
© z
n=\ n(l + jr2)"
Rpta.
n=I
Rpta.
© z ?
n = l
■n + 1
Rpta.
•XI
z(69) > 1'3‘5---(2” l ) x"2.4.6....(2 n)/;=!
Rpta.
® I / * ”
«=1
Rpta.
® z sn=I
Rpta.
@ ^ ( l n ( n ) ) V
«=2
Rpta.
QD
® y '—
H=2
ln(n)
R pta.
V \ # 0
x > 0
x < 0
-1 < x < 1
x = 0
-00 < X < oo
-1 < X < 1
-1 < X < 1
Series de Potencia 2 5 1
(74) V o+»)"*"
n=1
Rpta. x = O
n=O
Rpta. |.v| < —
n=0
Rpta. |.v| < —
w £(»9
Rpta. Ixl <
1
M . , , 
(3w)!/í=l
Rpta. |x| < 27
^ (2n)!n Rpta. | .y | < — e~
Y<(3n)lxn 
¡n'S1n=1
Rpta. x = O
© i = s(2™) xn Rpta. -oo < x < oo
«
n=\
R p t a . -o c < x < oo
252 Eduardo Espinoza Ramos
, sen(«(—))
X —^ L~xa" Rpta-2" «=i
r
n=\
R p l a .
3"/í=l
0 ¿4*" R|,,a'
n=\
© Í \ - ^ - ( x - 2 ) n Rpta.
w n3 + 4 nn=1
0 Z t ? «»<••
w=l
n=I
n = l
/;=1
X < x < 00
X | < 2
Ix | < 3
x I < e
1 < x < 3
2 < x < 2
1 < x < 2
> 0
Series de Potencia 253
® ¿ 7n=\
Rpta. x > 2, x < -2
® z —
n=i
Rpta. V x * O
00
I
n=0
(3-v)"
'■WZ+I
2 2
Rpta. — < x < —
3 3
© I (-l)V'^ n ( \ n ( n ) Y Rpta. -1 < x < 1
® ¿ 7 (T77r/»=!
Rpta. x >
© s
n=I
w(-v-l)
3"
n- 1
Rpta. -2 < x < 4
x
I
n=0
Rpta. [ -V 5 -1 , V 2 - l ]
®
/» = l
Rpta. -1 < x < 3
v *
n-0 1 + 1
2 2
Rpta. — < r < —
3 3
254 Eduardo Espinoza Ramos
lO l) ^ ( - 1 ) " ( m + 1)x” Rpta. - 1 < x <
/»=0
oc.
( l0 2 ) ^ \ 2 ( .v - I )2 Rpta. 0 < x < 2
n=\
(103) y > -- -„(y 4) Rpta. - 7 < x < - l
3".nn=1
f a s y n r ' M W Rpta. - 6 < x < 102" (2 nV.2" (2 //)! 
/ 7— l
Z V ■/ / - 4 4 Rpta. — < x < —
1.3.5., .(2 n - l) 3 3
n=\
© I ( - l ) ' V(/2 + l)ln(/í + l)
n=\
00
© Z
Rpta. -1 < x < 1
(,07) y <-r'Nn).2y , _3^3
3" .« 2 2n=\
.3.5...(2« — l ) , „ 1 5
> ---------------------( x - 1 ) Rpta. — <. í < —
^ 2 . 5 . 8 . . .(3/1 — 1) 2 2
n=1
j n + \ 5 ( / í + l ) 1 t
--------------- Rpta. ~ —f = < x < r ¡ =
2/7 + 1 y j l \ Í 2n=0
Series de Potencia 255
co i i2 n i i3«Z .V + JC1 1 2M Rpta. ¡ x | <
/!=I
y í w - D ^ R HJ]
2.4.6...(2w)
/?=i
Z sen f(2/7 - \ ) x ]-------------- — - Rpta. <-oo, +oc>
(2/7 -1 )
sen(2«-l)jcsug:
(2 /7 -1 Y
v;
^ 2 " s e n ¿ ) Rpta. -00 < x < 00
< — — ̂n~
M=0
.V , x2"
sug: 2 sen(— ) <
3" 3”
1 + V V ”1 v2,,+l I I
Verificar que: ln(------ ) = 2 > ------- , para |x | <
X n=0 ~n
(U 5 ) Demostrar que: ^ - X ■ - x + ( l -x ) ln ( l —x)i (n - l)/i
(l 16) Comprobar la representación en serie de potencia de x: 
1 (n + l)(« + 2)(« + 3) „ 1
r 3! (1 -x )4
n=0
si X I < 1
(117) Comprobar la representación en serie de potencia de x: 
(n + l)(n + 2)x" 1
2! ('~x)n= 0
S I X <
256 Eduardo Espinoza Ramos
Comprobar la representación en serie de potencia de x :
Z (ln(í7)) .. v vlnn. x , a> 0 (sug.: a — e )«!
n=0
Comprobar la representación en serie de potencia de x:
cc
y — =/ J JH +1* 2 2 - x11 = 0
si x < 2
(j2o) Comprobar la representación en serie de potencia de x:
” 22"-'
sen2 x = / (~ l) ,l+1 - x 2n (sug.: cos2x = l - 2 s e n 2 x )¿—i (2n)l// = 1
( l2 l ) Comprobar la representación en serie de potencia de x:
i l1+x X''*2"+l • i iln. ------- = > si | x 1 <
V 1 - x 2 n + 1
n=0
(l22^ Comprobar el desarrollo en serie de potencia de x:
. = I ^ ( l - ( - 2 ) - > " = si [ x | < -
I + x - 2 x 3 K ’ ’ 1 1 2
n=t 1
3* 1 * x(sug.: ------------ - -= ------------------ )
l + x - 2 x l - x l + 2x
123J Integrando ténnino a término de 0 a x una representación en serie de potencia
x 2"+l 1
de t arctg(t). Demostrar: / ( —l)" = — [ (x 2 + l)a r c tg x -x ]
¿ - t ( 2 « - l ) (2 » + l) 2
Series de Potencia 257
( l 2 ^ Escribir el desarrollo en serie de potencia de x:
a) f ( x ) = x e 2x R pta. / ( x ) = x + S ~ '(-1)" * - —¿rf («-!)!n~2
X
t>) / ( * ) = COS2.V Rpta. / ( x ) = l + ^ ^ ( - l ) "
2ln x 2"
(2n)!/7=1
X
c) /(-'■) = eos2 x Rpta. f ( x ) = 1 + -̂ ( - D
„ (2x)
d)
2¿_- (2 „)!
32" x
n=1
2/i ..2/1+1
/ ( x ) = sen3x + xcos3x Rpta. / ( x ) = 2 ^ \ - l ) ' '( w + 2)
(2« + l)!
/i= 0
X V ™ ' ,.2/1+1
e) f ( x ) = — j Rpta. / ( x ) = >
9 + x ¿ - t 9" 1
//=0
f) f ( x ) = ln(x + Vx2 +1)
D . , 1 x3 1.3 5 (-1)"1.3.5...(2«-1) x2"+l , . ,
Rpta. / ( x ) = x — .— + x3 +... + -— ------- — — ------------- + ... X <1
2 3 2.4.5 2.4.6..,(2n) (2/7 + 1) 1 1
(125) Hallar la serie de potencia de x de / ( x ) =
( l - x ) ( l + 2x)
X
Rpta. / ( x ) = ] T ( l + ( - l ) " 2 " +!)x ''
1 — eos X
(126) Hallar la serie de potencia de x de la función: / ( x ) = —
x
R p ta . / ( * ) ■ = £
( - l ) " +1x 2nH
W=1 ( 2 /7 ) !
258 Eduardo Espinoza Ramos
^ 2 ^ Hallar la serie de potencia de x de la función: f ( x ) = .en3 x
X
Rpta. / ( . t ) = ^ y ^
( Í2 8 ) Muestre que:
' • - I ' , ;
( - l )"-| (32n - l ) v2/„ , 
(2/7 + 1)
n- 0
2.V3 2.4 5 2.4.6 7 V -1 22" (n !)2 x~"+
arcsen ,v = ah + — x + - ~ 1
3 3.5 3.5.7 ' (2« + 1)!>1=0
eos X
(129) Hallar la serie de potencia de x de la función: / (x) = -------
1 + v
Rpta. / ’(.v) = 1 - , r + - — + — x 4 - — x 5.+ .....
• 2 2 24 24
130) Hallar la serie de potencia de x de las funciones
a) / ( x ) = ln^ ~ X) b) / ( * ) = ---------- r
2+.v (1-A-X1+A-2)
© OC ̂ ^
Demostrar que 7 = —
£ j n '.(n + 2) 2
n=\
© V ^ n 3 +2/7 + 1Analizar la convergencia ó divergencia de la serie: > ^------------ en caso de
11=o
ser convergente calcular su suma. Rpta. 8 e
(133) Calcular la suma de la serie 7 , sabiendo que:¿-¡n(n + \Y,'«(/<+irn=1
Series ele Potencia 259
(134 J Analizar la convergencia ó divergencia de las series siguientes y en caso de ser
convergente calcular su suma.
, V > / i 2(n + i ) 2 „ . „a) > -------------------------------------------- Rpta. 27e
í —é n\
/i=0
S i? + 2/; +1
-------------- Rpta. 20e
(«-!)!
n~\
c)
d)
e)
Z
n2 - 5 n + 2
—— — ----- Rpta. -3e
(w -n i(«-!)! tlrl
x
^ ^ n e ~ " Rpta.
»=i
n=i
e
( e - l r
Z— — Rpta. e 4 - 12 " //!/;=!
135) Hallar la suma de la serie ^ ' -------------- * . Rpta. 14—t 2" n(n+ H
r \ v n x " 4
136) Analizar y calcular la suma de la serie / Rpta. ln( —- )
4 - x
77 = 1
4 - ^ 2" ( sfx + 1)//=!
Calcular la suma de la serie > — , , _ — - R pta.
i
260 Eduardo Espinoza Ramos
® X ̂ ■)La siguiente serie es convergente, calcular su suma / ------- ( ------ ) ”
<(2n)\ 16
n=o
Rpta. —s¡2
139) Sii y ± = e . 
,1=0
Hallar la suma de la serie
1
Z
n 4 --
(n
n=\
n 4 3 / 7 + 5
(77 + 2)!
Rpta. 13 — e
Hacer un análisis y calcular la suma de la serie \ + 1)/t = l
Analizar y calcular la suma de la serie 7 n{n + 1 ).\*
/?=1
rie
Rpta.
.0 - 1
Hallar la suma de la serie ^
»=o
( / 7 + 2)(« + l)
(1 - A )
(n + 2)(/í + l)jr"
■, para | x | < 1.
y concluir . que
Z (n + 2)( 
n!
n=0
143) Demostrar que para todo entero positivo P, se tiene:
( 1 -x )A-P~l -
„=0
í n + P ' n + px" , | x | < 1, donde el símbolo es
{ P , < P )
, . . . . (n + p)(n+ » + l)...(« + l) , . ■ , c iabreviación de — deducir la tormula:
1.2.3 ...p
Series de Potencia 261
Ü44) Hallar la suma de la serie de la función N ' -C-°—■ — para O < x < —
(2coxY 3
Rpta. - s e n " .y
( l 4 ^ Estudiar la serie si converge hallar su suma ^ ' (n - Q3( —
n = l
© Estudiar la serie si es convergente, hallar su suma S ' -¿~i(n + l)(n + 3)6nn=0
Rpta.: — [2 10 ln — + — 1
2 6 72
(Í4 7 ) Estudiar la convergencia ó divergencia de la serie N ' —-— -— y en caso de- Z-H,,+1)8"«=i
8 9
convergencia, calcular la suma. Rpta. — 8ln —
9 8
^48^ Calcular la suma de la serie, analizando en que intervalo converge00 n r-
Z — — , y aplicar para calcular la suma de la serie / —----------«(« + 1) ¿ - j n ( n + 1)4 "n=1 n=\
@ y- 2La siguiente serie 7 --------- es convergente, calcular su suma.
Z - , (,i + 3)!
n=\
4 e - 27 
Rpta. ----------
z" \ ( - 1 ) ” ,,
15(y Estudiar la convergencia ó divergencia de la serie > — , en caso de
n-1 ̂ ^
ser convergente calcular su suma.
262 Eduardo Espinoza Ramos
00
Analizar la serie ^ ' n(n + l).x"~l y calcular la suma ele la serie. Aplicar a
//=i
Si a e R, b > I, Demostrar que: ^
ab
b" (6 -1 )-
aplicar el resultado para
sumar
7 « X " ' 1 \ Í2 + 7 c i i
/?=!
«-2
V (-/ r2( — + — )jc" para a,b > 0 ̂ /? n
arbitrarios.
—1-, .̂2n r 2«-2
Demostrar que: 7 ( ------ 1 1— -—7 ) :
¿ - J y \ + X 2" 1 4- X 1
n=\
-1, |-V| < 1
X — ± \2
0. IjcI > I
>*—■’V 00 1 -
(1 5 5 ) Hallar el intervalo de convergencia de la serie: 1 0 ^
n=1
^ 5 ó ) Pruebe que ^ '
n-\
w3[V2 + ( - 1 ) ” ]" 3(26 + 19^2)
3" “ 3 4 -2 W 2
157) Pruebe que
-/ tg " f—) J_
V ^ - = — !-r [54e'/5 -6 3 -1 9 > /3 ]
¿ - j ( n + 3)'. 162V3
n= 0
Series de Potencia 263
(Ts8^ Pruebe que \ J dx converge y S dx< —^ J , l + r ' 12/?=!
Sumar la serie ^ ^( - l)"^ 1
/?=!
(lóo) Analizar la serie
4
X
n=l ‘ n
(161) Sumar la serie x ^Z(-l)- ■ ■■2n-l
n = l
 X
^ 6 2 ) Usando serie de potencias, demostrar que ^ ^ ( - 1 ) 1 (2/7 + 1)
« ( / 7 + 1 )/1 = 1
163) Calcular la suma de la serie
arctg(y) + arctg( — 7 ) + arctg( --) + ... + arctg( 7) + .
1 1 + 1.2.x 1 + 1.2.3.x- 1+ / ; ( / ; - l)x2
Rpta.: -
(l64^ Analizar la serie si es convergente calcular su suma:
Z sen x sen 2x sen 3x „ 2 sen .ra . . - - —— + ----— + -■ Rpta. ------------
2 2 2 5 - 4 eos .v
/!= I
264 Eduardo Espinoza Ramos
(165) Dadas las series infinitas: y a„ = 1 + — cos.v + — cos2.x + — cos3.v + ..
n=I
titas: Ui
n=i
X
I 1 1 i 1h „ = — sen .y + — sen 2.v + — sen 3.v + ...2 2 2
»=l
Se pide a) Demostrar la convergencia
b) Calcular la suma de cada serie
X
(166] Dada la serie infinita. ^ ’an = 1 + A cosa + A2 co s2 a + ... + A" cos/icr + .
n=0
^ = A sena + A2 sen 2 a + ... + A" sen/iar + ...
n=0
Siendo 0 < k < 1, Calcular la suma de cada serie
1 - A eos a A sen a
Rpta.: — —
l + A "-2 A c o sa l + A '-2A coscr
(167J Hallar la suma de la serie + v" ‘' )
n=i
4 | (« + ! ) ! .
3"+,« ! + 3!.«!.4"
Desarrollando en serie de potencia la función /(-*) = eA , calcular 'S ^ —
//=4
Rpta. 0.2128
X
1 6 ^ Si la serie es convergente calcular su suma ^ ^ ( / ? + l)(^)" R pta.
W = !
•o 
|
Series de Potencia 265
170) Estudiar cada una de las series siguientes:
a)
i(n + l)5" ' ^ e5"n-\ n=\
«ge
c)
oo
» Z11-3)2
[ ( r ' * r ’> ) ! d) Z i^ ü f
/J=l M=1
en caso de ser convergente. Hallar la suma
x 3
( l 7 ^ Estudiar la serie , si converge calcular la suma
4"n=i
424
Rpta. Converge, su suma es — —
APENDICES
SUMATORI \S .
n
i = a , + a 2
(=i
n
]T/(0 = /0) + /(2)+...+/(«)
<=i
FÓRMULAS IMPORTANTES.
© ^ /=7<"+i) © y»2=̂ ("+u(2»+i)
i=i /=i
® ® í » + l«
1=1 / =
PROPIEDADES DE LA SUMATORIA
a
® i A: = «A, k constante.
II 11 II
© y [/(o ± g(‘)]=y/(o ±y g(')
/=i /=i i=i
n
© £ [ / ( / ) - / ( / . - ! ) ] = f ( n ) - /(O ) (Ira. Regla telescópica)
/=!
n
© ^ ^ [ / ( / ) - / ( « . - l ) ] = / ( n ) - / ( A — 1) (Ira. Regla telescópica generalizada)
n
© y > ( / + l ) - / ( / . - 1 ) ] = / ( aí + 1) + (2da. regla telescópica)
1=1
n
© Xt/(f+i)_f{L~ =/("+°+f(n)~f(k)~/{k~°
¡= k
(2da. regla telescópica generalizada)
PROPIEDADES DE LA EXPONENCIAL.
Q e»/ @ 4 = eV"v © (e'yv =?xv
PROPIEDADES DEL LOGARITMO NATURAL: Ln A.
0 l nAB = l nA + l nB 0 ln ^ = ln A - ln B
0 ln A' = r ln A 0 \ n ^ ¡ A = - \ n A
PROPIEDADES DEL FACTORIAL.
0 n! = 1.2.3...n 0 ( n + 1)! = n ! ( n + 1)
EL NÚMERO e.
e = l im ( l+ - )* = lim (l + >0> = 2.7182818284590452...
l - > x X > ' - > 0
NÚMERO COMBINATORIO.
n n\
~ k \ ( n - k ) \
BIBLIOGRAFÍA
0 Cálculus Vól. 2 por: TOM. M. APOSTOL.
Introducción a las Series por: ROBERT - SEELEY.
Análisis Matemático Vól. 2 por: HASSER LA SALLE SULL1VAN.
^ ) Problemas de Cálculo Infinitesimal y Teoría de Funciones por: MOYA -
MORENO.
0 Cálculus por: EINAR HILLE.
( ó ) Matemática Superior para Ingeniería por: C.R. WYLLE.
0 Sucesiones y Series Vól. 1 y Vól. 2 por: YU TAKEUCH1.
^ ) Problemas de Cálculo Infinitesimal por: A. GIL CRIADO.
0 Cálculo Por: FRALEICHI.
(jo) Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático Por: G.N. BERMAN.
(ÍT) Análisis Matemático Por: PROTTER - MORREY.
( l ^ Ejercicios y Problemas de Matemática Superior Vól. 2 Por: DANKO Y A
POPOV.
(1$) Análisis de una Variable Real por: MARTINEZ SANZ.
( l4 j Principios de Análisis Matemático Por: E. LINÉS.
	T
	Sucesiones y series infinitas - Eduardo Espinoza Ramos3