Manual12

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Matemática
12º Ano
Ano Letivo 2016-17
Escola Secundária
Alfredo da Cruz Silva
Edmilson Barros & José da Costa
CONTEÚDO
1 Sucessões 7
1.1 Noção de Sucessão 7
1.2 Modos de designar uma sucessão 9
1.3 Representação gráfica de uma sucessão 11
1.4 Subsucessão de uma sucessão 12
1.5 Monotonia de sucessão 13
1.6 Sucessões limitadas 15
Exercícios do Capítulo 1 18
2 Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas 21
2.1 Progressões Aritméticas 21
2.2 Progressões Geométricas 28
Exercícios do Capítulo 2 34
3 Limites de sucessões 37
3.1 Vizinhança de um número real 37
3.2 Limite de uma sucessão 38
3.3 Sucessões convergentes 40
3.4 Infinitamente grandes 44
3.5 Classificação de sucessões 47
3.6 Operações com sucessões convergentes 47
3.7 Operações com sucessões divergentes 48
3.8 Indeterminações 49
3.9 Sucessão do tipo an (a ∈ R, n ∈N) 52
3.10O número de Neper 56
Exercícios do Capítulo 3 60
4 esacs - 2016/17
4 Funções exponenciais 63
4.1 Potencia de base positiva e expoente racional 63
4.2 Função exponencial 64
4.3 Propriedades da função exponencial 65
4.4 Equação exponencial 66
4.5 Inequação exponencial 69
Exercícios do Capítulo 4 73
5 Funções logarítmicas 75
5.1 Logaritmo de um número 75
5.2 Consequências da definição 76
5.3 Propriedades dos logaritmos 77
5.4 Função logarítmica 80
5.5 Propriedades da função logarítmica 82
5.6 Equação logarítmica 83
5.7 Inequação logarítmica 88
5.8 Estudo das funções exponenciais e logarítmica 92
Exercícios do Capítulo 5 94
6 Limite de funções reais de variável real 97
6.1 A ideia de limite 97
6.2 Limite de uma função num ponto 99
6.3 Regras operatórias de limites de funções 101
6.4 Limites laterais 102
6.5 Limites infinitos 104
6.6 Cálculo de limites 105
6.7 Indeterminações 107
6.8 Infinitésimos simultâneos 111
6.9 Assíntotas 113
6.10Limites notáveis envolvendo exponenciais e logaritmos 117
Exercícios do Capítulo 6 119
7 Continuidade de uma função 123
7.1 Noção de função contínua num ponto 123
7.2 Continuidade lateral 125
7.3 Função contínua num intervalo 126
7.4 Operações com funções contínuas 126
Exercícios do Capítulo 7 128
matemática 12º ano 5
8 Derivadas 131
8.1 Taxa de variação média 131
8.2 Derivada de uma função num ponto 132
8.3 Derivadas laterais 134
8.4 Derivabilidade e continuidade 135
8.5 Função derivada 135
8.6 Regras de derivação 136
8.7 Aplicações da derivada de uma função 141
8.8 Aplicações da segunda derivada de uma função 145
8.9 Estudo de função 147
Exercícios do Capítulo 8 151
Bibliografia 157
Índice 159
1 SUCESSÕES
"A intuição precede geralmente a lógica, no processo de criação matemática"
Henry Poincaré
Introdução
O estudo de sucessões despertou o interesse de vários pesquisadores. Fibonacci, entretanto, foi o primeiro a
propor os primeiros problemas sobre sucessões, através da observação de fenómenos naturais. Seu problema
mais famoso é:
"Um casal de coelhos torna-se produtivo após dois meses de vida, a partir de então, produz um novo casal a cada mês.
Começando com um único casal de coelhos recém-nascidos, quantos casais serão ao final de um ano?".
Existem diversas sucessões na natureza, mas as que nos interessarão são as numéricas.
Historial...
Leonardo Fibonacci , também conhecido
como Leonardo de Pisa, foi um mate-
mático italiano, tido como o primeiro
grande matemático europeu da Idade Mé-
dia. No ano de 1202 publicou o livro Li-
ber Abaci em que apresenta uma sequen-
cia que descreve o crescimento de uma
população de coelhos. Ficou também co-
nhecido pelo seu papel na introdução dos
algarismos arábicos na Europa.
Leonardo Fibonacci, 1170-1250
O termo sucessão é muito utilizado na linguagem corrente. Por exemplo, é
frequente falar-se:
• da sucessão dos dias e das noites;
• da sucessão de presidentes da república;
• da sucessão dos diretores da Escola;
• etc.
1.1 Noção de Sucessão
Definição: Uma sucessão de números reais, (un) é uma função real
de variável natural em que o domínio é o conjunto dos números
naturais.
• Os valores da função:
u1, u2, . . . un, . . .
são os termos da sucessão.
• f (n) = un é o termo geral da sucessão.
Como se trata de uma função com caraterísticas próprias associa-lhe um
formalismo e uma notação particular.
Uma sucessão, sendo uma função, poder-se-ia designar por u(n). Em vez
disso, escreve-se
(un)n∈N , {un}
∞
n=1 ou simplesmente (un) ,
ou seja, a variável aparece como índice.
8 esacs - 2016/17
1. Das expressões seguintes indique e
justifique aquelas que são ou não,
termo geral de uma sucessão:
(a) an =
√
1− n
(b) bn =
n2 + 2n
n2 − 1
(c) cn =
1− 2n
n
(d) dn =
3 + n
n− 3
Assim dada uma sucessão
(un) : N→ R
tem-se:
n → ordem do termo;
un → valor do termo de ordem n ou termo geral;
(un) → sucessão;
{un} → contradomínio da sucessão.
Cada termo da sucessão, digamos un, tem um termo sucessor, un+1, e,
assim podemos dizer que não existe um último termo da sucessão.
Exemplo 1.1.1 São exemplos de sucessões de números reais:
(un) : N→ R
n 7→ 2n2 − n + 5
(vn) : N→ R
n 7→ n + 3
n
(wn) : N→ R
n 7→ 2n− 1
(tn) : N→ R
n 7→ 3
√
cos n
Exemplo 1.1.2 A expressão un =
2n
n− 1 não representa uma sucessão
porque não admite todos os números naturais como objeto, o 1 por
exemplo, logo o seu domínio não pode ser N.
Definição: Um número p ∈ R, diz-se termo de uma sucessão (un),
se e somente se, a equação
un = p
for possível em N.
2. É definida a sucessão (vn) pelo seu
termo geral:
vn =
2n− 1
n + 3
.
(a) Calcule os três primeiros termos
da sucessão;
(b) Calcule o quinto e o sétimo ter-
mos da sucessão;
(c) Mostre que 8v5 + 10v7 = 22;
(d) Verifique se
7
2
é termo da suces-
são (vn), e, em caso afirmativo,
indique a sua ordem.
Exemplo 1.1.3 Considere a sucessão de termo geral an =
n + 1
n
.
(a) Escreva os três primeiros termos da sucessão;
(b) Escreva o termo de ordem n + 1;
(c) Será 1, 02 termo de sucessão? Justifique a resposta.
matemática 12º ano 9
Resolução: Quebra de linha
(a) Substituindo a variável n por 1, 2 e 3 no termo geral
an =
n + 1
n
vem sucessivamente:
a1 =
1 + 1
1
= 2
a2 =
2 + 1
2
=
3
2
a3 =
3 + 1
3
=
4
3
(b) an =
n + 1
n
an+1 =
(n + 1) + 1
n + 1
=
n + 2
n + 1
(c) an =
n + 1
n
; an = 1, 02
an = 1, 02⇔
n + 1
n
= 1, 02
⇔ n + 1 = 1, 02n⇔ 1 = 0, 02n
⇔ n = 1
0, 02
⇔ n = 50
1, 02 é termo da sucessão. É termo de ordem 50.
Exemplo 1.1.4 Averigue se
26
15
é termo da sucessão (an), assim defi-
nida
an =
3n + 1
2n
,
e, em caso afirmativo indique a sua ordem.
Resolução:
an =
26
15
⇔ 3n + 1
2n
=
26
15
⇔ 45n + 15 = 52n⇔ n = 15
7
.
Como
15
7
6∈N, logo 26
15
não é termo da sucessão (an).
1.2 Modos de designar uma sucessão
Podemos designar uma sucessão de três maneiras diferentes:
1.2.1 Pelos seus termos
Para designar uma sucessão, é habitual escrever ordenadamente uma
quantidade suficiente de termos da sucessão, de modo a termos uma ideia
do comportamento da sucessão.
3. Representa pelos seus termos, a su-
cessão dos números naturais pares.
Por exemplo, a sucessão dos números naturais ímpares, é escrita do modo
seguinte:
1, 3, 5, . . . .
10 esacs - 2016/17
Logo conclui-se que se trata da sucessão dos números ímpares.
1.2.2 Pelo termo geral
4. Sabendo que todos os termos seguem
a mesma lei de formação, escreva o
termo geral de cada uma das seguin-
tes sequencias:
(a) 1, 4, 7, 10, . . .
(b)
5
3
,
9
5
,
13
7
,
17
9
, . . .
(c) 2,
4
3
,
6
5
,
8
7
, . . .
(d)
1
3
,
2
9
,
3
27
,
4
81
, . . .
A forma mais comum de designar uma sucessão, consiste em indicar uma
fórmula por meio da qual se pode obter, para cada natural n, o correspon-
dente n−ésimo termo.
Por exemplo, a formula
un =
1
n
permite-nos obter a sucessão seguinte de termos ordenados
1,
1
2
,
1
3
, . . . .
A fórmula
un = 1,
designa a sucessão constante com todos os termos iguais a 1, e que,
ordenada, se escreve
1, 1, 1, . . . , 1, . . . .
1.2.3 Pelo processo de recorrência
5. Indique os cinco primeiros termos
da sucessão (vn) definida recursiva-
mente por:
v1= 1
v2 = 2
vn+2 = vn+1 + vn, ∀n
6. Escreva os três primeiros termos da
sucessão (vn) assim definida:
v1 = 2 e vn =
√
2 + vn−1, n ≥ 2.
7. Defina por um processo de recorrên-
cia a sucessão cujos primeiros termos
são
2, 5, 8, 11, 14, . . . .
Outro modo de designar uma sucessão, consiste em indicar as instruções
de como obter os termos sucessores conhecido um ou mais dos primeiros
termos. Isto é, quando os termos de uma sucessão se podem calcular a
partir de termos anteriores.
Por exemplo, as formulas
u1 = 1 e un+1 = un + 2, ∀n ∈N
definem a sucessão cujos termos são
1, 3, 5, 7, 9, . . . .
Uma sucessão determinada por este processo, diz-se uma sucessão definida
por 1bfrecorrência.
matemática 12º ano 11
Figura 1.1: Sucessão de Fibonacci apli-
cada a reprodução de coelhos
Exemplo 1.2.1 Defina por um processo de recorrência a sucessão de
Fibonacci e resolva o problema proposto na introdução deste capítulo.
8. Considere a sucessão (bn) definida
por recorrência.{
b1 = 5
bn = 3 + bn−1, n ≥ 2
(a) Escreva alguns termos da suces-
são. O que observou?
(b) Faça uma previsão para um pro-
cesso que permita encontrar qual-
quer termo da sucessão conhecida
a sua ordem.
Resolução: Definindo
un como “número de casais de coelhos, após n− 1 meses"
e, de acordo com o enunciado do problema tem-se
u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3, u5 = 5, u6 = 8, . . . .
Pode-se reparar que, a partir do 3º, cada termo é dado pela soma dos dois
termos anteriores, ou seja,
u1 = 1
u2 = 1
un = un−1 + un−2, para n ≥ 3
Para determinar o número de casal de coelhos após 12 meses, faz-se
n− 1 = 12⇔ n = 13.
Listando os termos da sucessão de Fibonacci tem-se:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, . . . .
Portanto, após um ano tem-se 233 casais de coelhos.
1.3 Representação gráfica de uma sucessão
A representação gráfica de uma sucessão, num sistema de eixos cartesianos,
faz-se do mesmo modo como para qualquer função. No eixo das abscissas
indicamos os números naturais e no das ordenadas as correspondentes
imagens por meio da sucessão (termo da sucessão).
O gráfico de uma sucessão (un) é o conjunto dos pontos discretos.
{(n, un) : n ∈N}
9. A sucessão pn = 60×
(
1
2
)n−1
repre-
senta a sucessão dos perímetros dos
triângulos equiláteros representados
na figura.
20
2020
60; 30; 15; 7, 5; . . .
Represente graficamente a sucessão.
Exemplo 1.3.1 Faça a representação gráfica dos cinco primeiros ter-
mos da sucessão:
un =
1
n
, n ∈N
Resolução: Atendendo a que o conjunto dos termos da sucessão é{
1,
1
2
,
1
3
,
1
4
,
1
5
, . . .
}
temos:
n1 2 3 4 5
un
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
12 esacs - 2016/17
1.4 Subsucessão de uma sucessão
10. Mostre que:
∃n ∈N : un =
49
10
,
onde a sucessão (un) é tal que:
un = (−1)n · 5 + (−1)n+1 ·
1
n
.
Definição: Seja (un) uma sucessão e (nk) uma sucessão estritamente
crescente de elementos de N. A sucessão de termo geral vk = unk
diz-se uma subsucessão de (vn).
Uma subsucessão de uma sucessão (un) é simplesmente uma sucessão que
é extraída da original escolhendo certos índices, em números infinitos, por
ordem crescente.
Escolhendo n1, n2, n3, . . . , com n1 < n2 < n3 < . . ., e considerando a su-
cessão un1 , un2 , un3 , . . . , constituída pelos elementos da sucessão original,
obtemos uma subsucessão da sucessão original.
Duma sucessão (un) podem extrair-se uma infinidade de subsucessões:
(a) u2, u4, . . . , u2n, . . . (dos termos de índice par);
(b) u1, u3, . . . , u2n−1, . . . (dos termos de índice ímpar);
(c) u3, u6, . . . , u3n, . . . (dos termos de índice múltiplo de 3);
(d) etc.
n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
un
−1
0
pk
ik
Figura 1.2: Subsucessão de termos de
ordem pares e ímpares.
Por exemplo, no estudo da sucessão de termo geral
un =
(−1)n
n
de termos
−1, 1
2
, −1
3
,
1
4
,−1
5
,
1
6
. . .
são particularmente importantes duas subsucessões: a subsucessão dos
termos de ordem par, de termo geral
pk = u2k =
1
2k
, k ∈N
e termos
−1, −1
3
, −1
5
. . .
e a subsucessão dos termos de ordem ímpar, de termos geral
ik = u2k−1 = −
1
2k− 1 , k ∈N.
de termos
1
2
,
1
4
,
1
6
. . .
matemática 12º ano 13
1.5 Monotonia de sucessão
Uma sucessão diz-se monótona crescente, se qualquer dos seus termos for
menor ou igual que seu sucessor. Diz-se que uma sucessão é monótona
decrescente, se qualquer dos seus termos for maior ou igual que o seu su-
cessor. Uma sucessão diz-se, apenas monótona, se for monótona crescente
ou decrescente.
n
un
Figura 1.3: Sucessão crescente.
n
un
Figura 1.4: Sucessão decrescente.
Definição: Uma sucessão (un) diz-se monótona crescente, se
un+1 ≥ un ⇔ un+1 − un ≥ 0 ∀n ∈N.
Uma sucessão (un) diz-se monótona decrescente, se
un+1 ≤ un ⇔ un+1 − un ≤ 0 ∀n ∈N.
No caso de se ter
un+1 − un > 0 ∀n ∈N,
diz-se que (un) é estritamente crescente. Se
un+1 − un < 0 ∀n ∈N,
diz-se que (un) é estritamente decrescente.
Quando houver necessidade de fazer distinção, referir-se-á à monotonia
da definição anterior como sendo em em sentido lato.
Convem referir que, por vezes, a monotonia ou não de uma sucessão só
se descortina após um número finito de termos. Neste caso, diremos que
a sucessão é monótona a partir do termo da ordem em que verifica a
condição da definição.
Exemplo 1.5.1 Estude a monotonia da sucessão (un) definida por:
un =
2n + 4
3n
.
11. Prove que
∀n ∈N, an+1 − an > 0,
onde
an =
5n + 3
1 + n
.
12. Estude quanto à monotonia cada
uma das sucessões definidas por:
(a) wn =
4n + 1
n + 3
(b) zn =
2n + 1
3n + 2
(c) wn =
n + 1
2n + 3
(d) xn =
2n− 1
n + 3
Resolução: Começa-se por determinar a diferença un+1 − un e compará-la
com zero.
un+1 − un =
2(n + 1) + 4
3(n + 1)
− 2n + 4
3n
=
2n + 6
3n + 3
− 2n + 4
3n
=
6n2 + 18n− (6n2 + 12n + 6n + 12)
3n(3n + 3)
=
6n2 + 18n− 6n2 − 18n− 12
3n(3n + 3)
=
−12
3n(3n + 3)
.
Como −12 < 0 e 3n(3n + 3) > 0, ∀n ∈N, logo un+1 − un < 0, ∀n ∈N,
o que leva a conclusão que a sucessão é monótona decrescente.
Se uma sucessão não é crescente nem decrescente para todo os números
naturais, diz-se que a sucessão é não monótona.
14 esacs - 2016/17
Exemplo 1.5.2 Estude a monotonia da sucessão de termo geral
dn = (n− 4)2.
13. Estude a monotonia das seguintes su-
cessões:
(a) un = 2n2
(b) vn = n2 + n
Resolução:
dn+1 − dn = (n + 1− 4)2 − (n− 4)2 = 2n− 7
Logo (dn) não é monótona pois a expressão 2n − 7 tanto é positiva ou
negativa, depende do valor de n.
As vezes o estudo da monotonia de uma sucessão necessita de outros
artifícios do cálculos.
Exemplo 1.5.3 Estude a monotonia da sucessão (an) definida por
an =
√
n2 − n.
n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
an
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
Figura 1.5: Esboço gráfico da sucessão
de termo geral an =
√
n2 − n
Resolução: Para estudar a monótona da sucessão (an) recorre-se ao estudo
da diferença an+1 − an. Assim,
an+1 − an =
√
(n + 1)2 − (n + 1)−
√
n2 − n =
√
n2 + n−
√
n2 − n
=
(√
n2 + n−
√
n2 − n
) (√
n2 + n +
√
n2 − n
)
(√
n2 + n +
√
n2 − n
)
=
2n
(
√
n2 + n +
√
n2 − n)
> 0, ∀n ∈N.
Exemplo 1.5.4 Estude a monotonia das seguintes sucessões:
(a) zn =
{
2n , n < 4
n , n ≥ 4 (b) yn =
 0 , n é par1
n + 2
, n é ímpar
14. Estude a monotonia das seguintes su-
cessões:
(a) an =

1 + 2n
2n + 6
se n < 100
n + 1 se n ≥ 100
(b) bn = (−1)n ·
n + 1
n
15. Mostre que a sucessão (wn) definida
pelo seu termo geral
wn = 5 + (−1)n ·
1
n
não é monótona.
Resolução: Quebra de linha
(a) zn =
{
2n , n < 4
n , n ≥ 4
Se n < 3: zn+1 − zn = 2(n + 1)− 2n = 2 > 0
Se n > 3: zn+1 − zn = (n + 1)− n = 1 > 0
Se n = 3: zn+1 − zn = z4 − z3 = 4− 6 = −2 < 0
Logo (zn) não é monótona.
(b) yn =
 0 , n é par1
n + 2
, n é ímpar
Se n par, n + 1 ímpar: yn+1 − yn =
1
n + 1 + 2
− 0 = 1
n + 3
> 0
Se n ímpar, n + 1 par: yn+1 − yn = 0−
1
n + 2
< 0
A sucessão não é monótona.
matemática 12º ano 15
1.6 Sucessões limitadas
Definição: Seja C um subconjunto de R.
O número M é majorante do conjunto C sse M é maior ou igual que
qualquer elemento de C.
O número m é minorante do conjunto C sse m é menor ou igual que
qualquer elementode C.
Um subconjunto de R é majorado (ou limitado superiormente) se tiver um
majorante, minorado (ou limitado inferiormente) se tiver um minorante.
16. Diga, justificando, se são limitados
os seguintes conjuntos. Em caso afir-
mativo, indique um minorante e um
majorante.
(a) [0 , 1]
(b) ]−∞ , −2[
(c) R+0
(d) {2, 4, 6, 8, 10}
(e)
{
un ∈ R : un =
1
n + 1
∧ n ∈N
}
Exemplo 1.6.1 Consideremos o conjunto
B = [−1 , 4[∪{5}.
• −1 é um minorante de B e, consequentemente, todos os números
menores que −1 também o são. Portanto o ]−∞ , −1] é o conjunto
de todos os minorantes de B.
• 5 é um majorante de B e, consequentemente, todos os números
maiores que 5 também o são. Logo, [5 , +∞[ é o conjunto dos
majorantes de B.
O conjunto B é portanto limitado, pois tem minorante e majorante.
Uma sucessão é limitada quando o conjunto dos seus termos tem um
majorante e um minorante, ou seja, o conjunto dos termos da sucessão é
majorado e minorado.
n
an
M
m
0
Figura 1.6: Sucessão mojorada e mino-
rada.
De um modo geral, quando uma sucessão (an) é limitada tem-se:
∃m, M ∈ R, m ≤ an ≤ M, ∀n ∈N.
Graficamente, os termos da sucessão encontram-se numa região do plano
limitada pelas retas y = m e y = M.
Definição: Uma sucessão (un) diz-se limitada se existirem dois
números reais m e M tais que
m ≤ un ≤ M, ∀n ∈N.
n1 2 3 4 5 6 7 8
un
1
2
3
4
5
0
Figura 1.7: Gráfico da sucessão
un = 4 + (−1)n.
Exemplo 1.6.2 Pode-se ver facilmente que a sucessão de termo geral
un = 4 + (−1)n
é limitada.
Calculando alguns dos seus termos, vê-se que 3 ≤ un ≤ 5.
Graficamente, a sucessão é um conjunto de pontos situados sobre as
retas y = 3 e y = 5.
Para a sucessão definida por un = 4 + (−1)n, diz-se que 3 é um minorante
16 esacs - 2016/17
do conjunto dos seus termos e 5 é um majorante do conjunto dos seus
termos.
Qualquer número maior ou igual a 5 também é majorante do conjunto
dos termos da sucessão. Qualquer número menor ou igual a 3 também é
minorante do conjunto dos termos da sucessão.
Nota
Enquadrar um número é indicar um nú-
mero menor e um número maior do que
esse número.
Exemplo 1.6.3 Use o processo de enquadramento para mostrar que é
limitada a sucessão definida por
dn =
2n2 − 5
n2
.
Nota
Como n é um número natural,
n ≥ 1,
pelo que:
1
n
≤ 1.
Sabe-se também que
1
n
é sempre um nú-
mero positivo para n ∈N.
Tem-se então:
1
n
> 0.
Logo, utiliza-se como referencia o se-
guinte enquadramento:
0 <
1
n
≤ 1, ∀n ∈N.
Resolução: Usando enquadramento, tem-se sucessivamente:
2n2 − 5
n2
= 2− 5
n2
0 <
1
n
≤ 1, ∀n ∈N
0 <
1
n2
≤ 1
−5 ≤ − 5
n2
< 0
−3 ≤ 2− 5
n2
< 2
Logo, ∀n ∈N, −3 < dn ≤ 2, ou seja, a sucessão (dn) é limitada.
17. Mostre que são limitadas as suces-
sões:
(a) an = 1 +
1
n
;
(b) bn = 5;
(c) cn = (−1)n ·
1
n
;
(d) dn =
{ 1
n
se né par
−1 se né ímpar
(e) en =
3n + 10
n
(f) fn =
1√
n2 + 3
Exemplo 1.6.4 Mostre que é limitada a sucessão definida por:
un =
n + 2
n
.
Resolução: Usando enquadramento:
n + 2
n
= 1 +
2
n
0 <
1
n
≤ 1
0 <
2
n
≤ 2
1 < 1 +
2
n
≤ 3, ∀n ∈N.
A sucessão é limitada porque o conjunto dos seu termos é minorado e majo-
rado.
l
l
Nota
Recorde que
|an| ≤ L⇔ −L ≤ an ≤ L.
Também se pode dizer que uma sucessão é limitada quando:
∃L ∈ R+ : |an| ≤ L, ∀n ∈N.
Exemplo 1.6.5 Mostre que a sucessão (an) é limitada, sendo
an =
3n + 1
2n + 3
.
matemática 12º ano 17
18. Mostre que são limitadas cada uma
das seguintes sucessões:
(a) vn =
1− 4n
n + 2
(b) wn =
3− n
n + 1
19. Considere a sucessão
un = −
1
n
− 4
(a) Prove que é verdadeira a proposi-
ção
∃L ∈ R+, |un| < L, ∀n ∈N.
(b) O que pode concluir -se da ve-
racidade da proposição anterior
relativamente à sucessão.
Resolução: Mostra-se que
∃L ∈ R+ : |an| ≤ L, ∀n ∈N.
Ora
|an| ≤ L⇔
∣∣∣∣3n + 12n + 3
∣∣∣∣ ≤ L ⇔ 3n + 12n + 3 ≤ L⇔ 3n + 1 ≤ 2nL + 3L
⇔ 2nL + 3L ≥ 3n + 1⇔ 2nL− 3n ≥ 1− 3L
⇔ n(2L− 3) ≥ 1− 3L⇔ n ≥ 1− 3L
2L− 3
Para que a condição |an| ≤ L, seja universal em N, toma-se, por exemplo,
para L = 2; vem
n ≥ −5
que, efetivamente, é universal em N.
Portanto
∃L > 0, ∀n ∈N : |an| ≤ L⇔ (an) é limitada,
e neste caso L = 3.
Pode-se também aplicar as propriedades do módulo de um número real
para verificar se uma sucessão é limitada.
Nota
Sejam x, y ∈ R. Temos:
(a) |x · y| = |x| · |y|
(b) Se y 6= 0,
∣∣∣∣ xy
∣∣∣∣ = |x||y|
(c) |x + y| ≤ |x|+ |y|
Exemplo 1.6.6 Prove que a sucessão de termo geral
un = −5 + (−1)n ·
1
n
é limitada.
20. Mostre que são limitadas as suces-
sões de termos gerais:
(a) yn =
3− n
n + 1
(b) xn = 6− (−1)n ·
2
n
(c) zn =
3n + 1
2n + 3
Resolução:
|un| =
∣∣∣∣−5 + (−1)n · 1n
∣∣∣∣
Como |x + y| ≤ |x|+ |y|, vem que:
|un| ≤ | − 5|+
∣∣∣∣(−1)n · 1n
∣∣∣∣⇔ |un| ≤ 5 + 1n
Ora,
1
n
≤ 1, ∀nN
e, portanto,
|un| ≤ 5 + 1⇔ |un| ≤ 6, ∀n ∈N.
A sucessão é limitada, por ser verdadeira a proposição.
∃L > 0, ∀n ∈N : |un| ≤ L.
Neste caso pode ser L = 6.
18 esacs - 2016/17
Exercícios do Capítulo 1
1. (a) Diga, por tuas palavras, o que é uma sucessão;
(b) Será a expressão an =
3n + 5
2− 2n representativa de uma
sucessão? Porquê?
(c) Porque se diz que sucessão é uma função real de variável
natural?
(d) O que é uma sucessão crescente?
(e) O que é uma sucessão limitada?
2. Considere as sucessões seguintes:
un = 2− 7n
vn =
3n− 1
n + 4
wn = (−1)2−n ·
2n− 3
3n
xn =
 5n + 4, se n < 33n + 2
n− 1 , se n ≥ 3{
y1 = 3
yn = 2(yn−1 − y1), (n ≥ 2)
(a) Calcule os cinco primeiros termos de cada uma e
represente-as graficamente;
(b) Escreva os termos up+3, w2k−2 e xn+1;
(c) Calcule vn+1 − vn;
(d) Será 117 um termo de (un)? E −117? Justifique;
(e) Mostre que ∃n ∈N : vn =
92
35
.
3. Calcule os três primeiros termos das sucessões definidas
por:
(a) an =
n + 1
3n− 2
(b) bn = (−1)n · (n− 1)
(c) cn = sin(nπ)
(d) dn =
{
4 se n ≥ 3
n se n < 3
4. Escreva os quatro primeiros termos de cada uma das su-
cessões dadas por recorrência:
(a)
{
a1 = 2
an+1 = an + 3
(b) b1 = −5∧ bn+1 = 2× bn
(c)
{
u1 = 3
un = 2(un−1 − u1), (n ≥ 2)
(d)
{
v1 = 63
vn+1 =
√
vn + 1, ∀n ∈N
5. Em cada alínea, encontre o termo geral da sucessão:
(a) 8, 16 24, 32, . . .
(b) 2, −2, 2, −2, . . .
(c) −2, 2, −2, 2, . . .
(d) 4, 6, 8, 10, 12, . . .
(e)
1
2
,
2
3
,
3
4
,
4
5
, . . .
(f)
1
2
,
1
4
,
1
8
,
1
16
, . . .
(g)
1
2
, −2
3
,
3
4
, −4
5
, . . .
(h) 1, 3, 5, 7, . . .
(i) 1, 6, 11, 16, 21, . . .
(j) 1, 8, 27, 64, 125, . . .
(k) 2, −4, 2, −4, 2, −4, . . .
(l) 2,
4
3
,
6
5
,
8
7
,
10
9
, . . .
(m)
1
3
,
5
6
, 1,
13
12
,
17
15
, . . .
6. Seja t1 um triângulo equilátero. Construa-se t2 a partir de
t1, unindo os pontos médios dos lados de t1 e pintando a
negro o triângulo central. Construa-se tn a partir de tn−1,
(n > 2) repetindo, em cada um dos triângulos que ficaram
em branco, a construção indicada, de acordo com a figura.
t1 t2 t3 t4
(a) Quantos triângulos brancos há em t5?
(b) Seja (xn) a sucessão que nos dá o número de triângulos
brancos em cada triângulo. Determine a expressão do
termo geral de (xn);
(c) Considerando que o lado do triângulo t1 mede 2 cm,
determine a expressão do termo geral da sucessão (pn),
sendo pn o perímetro de cada um dos triângulos brancos
do triângulo tn.
7. Sabendo que todos os termos seguem a mesma lei de for-
mação, escreva o termo geral de cada uma das seguintes
sucessões:
(a)
1
2
,
3
4
,
5
6
,
7
8
, . . .
(b) 1, −1
3
,
1
9
, − 1
27
, . . .
(c)
1√
π
,
4
3
√
π
,
9
4
√
π
,
16
5
√
π
, . . .
(d) 0, 3, 8, 15, ,24, . . .
(e) 1,
1
22
, 3,
1
24
, 5,
1
26
, . . .
(f)
(
1− 1
2
)
,
(
1
2
− 1
3
)
,
(
1
3
− 1
4
)
,
(
1
4
− 1
5
)
, . . .
8. Represente por um processo de recorrência as seguintes
sucessões de números reais:
(a) (an): 4, 11, 18, 25, . . .
(b) (bn): 99, 88, 77, 66, . . .
(c) (cn): 5, 10, 20, 35, 55, . . .
(d) (dn): 3, 6, 12, 24, 48, . . .
(e) (en):
√
6,
√
6 +
√
6,
√
6 +
√
6 +
√
6, . . .
(f) ( fn):
√
2,
√
2
√
2,
√
2
√
2
√
2, . . .
9. Estude quanto à monotonia as sucessões a seguir definidas:
(a) un =
1− 2n
2
(b) un =
n + 1
2n
(c) un =
5− n
n + 1
(d) un =
n2 + 1
n
(e) un = (−1)n+ 2n
(f) un =
(
2
3
)n
(g) un = |n− 10|
(h) un =
5
2
− 3n− 1
2n
(i)
{
u1 = 5
un = 5 + un−1
(j) un =
n + 4
n
(k) vn = (−1)n + 2n
(l) wn = (−1)n+1(2n + 1)
(m) yn =
3
n2 + 1
10. Indique, caso existam, um majorante e um minoraste dos
seguintes conjuntos:
matemática 12º ano 19
(a) A = N
(b) B = {−2,−1} ∪R+0
(c) C =]−∞,−1]∪]7,+∞[
(d) D = Z− ∪ {5, 6}
11. Considere o conjunto de números reais
A = [1, 2] ∪ {3}.
(a) Indique dois majorantes e dois minorantes do conjunto
A;
(b) O conjunto A é limitado? Justifique a sua resposta.
12. Verifique se as sucessões definidas são ou não limitadas:
(a) un =
1− n
5n
(b) vn =
3n + 7
n + 2
(c) wn = n · [(−1)n + 1]
(d) xn = 1 +
n2 + 1
n
(e) xn =
2n− 3
n
;
(f) yn = 2(−1)n ×
2
n + 1
;
(g) un =
n2 + 3
n
;
(h) zn =
3n + 3
n + 4
;
(i) an = 2n− 1.
13. Considere as seguintes sucessões:
un =
3n− 2
n + 3
;
vn = 1 + sin
(
n
π
4
)
;
wn = n +
√
2 + n2;
zn =
(−1)n+1 · (n + 3)
2n− 5 ;
xn = n2 − 13n + 35.
(a) Calcule os três primeiros termos e o termo de ordem
(n + 1) de cada uma delas.
(b) Verifique se 2 é ou não termo de cada uma das sucessões
un, vn e wn.
(c) Indique a ordem dos termos de (xn) que são iguais −5.
(d) Mostre que −15
19
é termo da sucessão zn e indique a sua
ordem.
(e) Classifique quanto a monotonia as sucessões un e zn
14. Dada a sucessão definida por f (n) =
n + 1
n
(a) Calcule o 20.◦ termo.
(b) Será 1, 01 termo da sucessão? Justifique a sua resposta.
(c) A partir de que valor de n os termos são menores que
1, 001?
(d) Indique um majorante e um minorante de { f (n)} e
justifique a resposta.
15. Dada a sucessão definida por an =
2n + 6
n + 1
.
(a) Será 7, 3 tero da sucessão? Justifique a resposta.
(b) Mostre que a sucessão é monótona.
(c) Mostre que todos os termos da sucessão são maiores do
que 2.
(d) Mostre que a sucessão é limtada.
16. Dada a sucessão de termo geral
un =
3n + 1
2n
(a) Calcule a soma dos três primeiros termos;
(b) Averigue se
23
15
é termo da sucessão, e em caso afirma-
tivo, indique a sua ordem.
(c) Prove que:
∀n ∈N, 3
2
< un ≤ 2.
17. É dada a sucessão de termo geral: vn =
n + 6
3n
.
(a) Calcule a soma dos três primeiros termos.
(b) Estude a monotonia da sucessão.
(c) Verifique que vn =
1
3
+
2
n
e justifique que a sucessão é
limitada.
(d) Defina algebricamente uma sucessão (wn) sabendo que
wn = vn para n ≥ 10 e (wn) não é monótona.
18. Considere a sucessão (an) cujo termo geral é: an =
(−1)n+1 · 3 + 1.
(a) Represente graficamente (an) para n ≤ 5.
(b) Justifique (an) é limitada.
(c) Indique uma expressão que quando adicionada a an se
obtenha o termo geral de uma sucessão monótona.
19. Considere a sucessão un definida por recorrência
u1 = 1
u2 = 1
un+2 = un+1 + un
(a) Mostre que ela é crescente em sentido lato.
(b) Verifique que ela não é limitada.
20. Seja un =
n + 2
2n
o termo geral de uma sucessão.
(a) Verifique se existe ou não uma ordem para a qual (un)
admite um termo nulo;
(b) Estude analiticamente a monotonia da sucessão (un);
(c) A sucessão é limitada? Justifique;
(d) Averigue se
45
21
é termo da sucessão.
21. Considere a sucessões dos números reais
vn = (−1)n ·
n + 1
3n
.
(a) Estude a monotonia da sucessão;
(b) Mostre que ∀n ∈N : −2
3
≤ vn ≤
1
2
(c) Indique o valor lógico da afirmação
∃n ∈N : vn =
5
4
.
22. Considere a sucessão un =
2n + 1
n + 2
.
(a) Estude, analiticamente, a monotonia da sucessão;
(b) Verifique, apresentando os cálculos, que a sucessão é
limitada;
(c) Indique, justificando, o valor lógico da proposição:
∃n ∈N : un =
31
17
.
23. Considere a sucessão vn = (−1)n ·
1
n + 2
.
(a) Estude a monotonia de (vn);
(b) Indique o valor lógico da afirmação:
∃n ∈N : vn =
7
9
;
(c) Escreva a subsucessão dos termos de ordem par da
sucessão (vn);
20 esacs - 2016/17
(d) Prove que (vn) é uma sucessão limitada;
24. Considere a sucessão (un) assim definida:

3n
n + 1
se n é ímpar
n + 1
n
se n é par
(a) Mostre que a sucessão (un) é limitada;
(b) Estude a monotonia da sucessão;
(c) Averigúe se
51
11
é ou não termo da sucessão (un).
25. Partindo de uma quadrado de lado 1 metro, construímos
uma sequência de quadrados, unindo sucessivamente os
pontos médios dos lados.
(a) Escreva os cinco primeiros termos da sequência refe-
rente à área dos quadrados obtidos.
(b) Sugira uma expressão geral que permita determinar a
área do quadrado conhecida a ordem na sequência.
(c) Qual será a expressão geral da secessão dos lados dos
quadrados?
2 PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E PROGRESSÕES GEOMÉ-
TRICAS
"Eu tentei 99 vezes e falhei, mas na centésima tentativa eu
consegui, nunca desista de seus objetivos mesmo que esses pareçam
impossíveis, a próxima tentativa pode ser a vitoriosa."
Albert Einstein
Introdução
As progressões são sucessões que tem várias aplicações na vida prática. À uma destas está associada uma lenda
muito curiosa:
Conta-se que o jogo de xadrez foi criado para entreter um rei da Índia, de nome Iadava. O jovem Lahur Sessa, apresentou o
jogo ao rei e este ficou maravilhado, querendo recompensar o inventor do jogo de xadrez, Iadava perguntou qual presente ele
gostaria de receber: jóias, terras, um palácio...
O pedido do jovem inventor deixou o rei perplexo, Lahur disse que como recom-
pensa, queria receber uma quantidade de trigo da seguinte forma: 1 grão de trigo
pela 1ª casa; 2 grãos de trigo pela 2ª casa; 4 grãos de trigo pela 3ªcasa; 8 grãos de
trigo pela 4ª casa e assim sucessivamente.
A quantidade de grãos deveria ser dobrada a cada casa subsequente, e como
sabemos, o jogo de xadrez tem 64 casas. O rei achou o pedido muito insignificante
e pediu que fosse calculado a quantidade de grãos para atender o desejo do inventor
do jogo de xadrez do jeito que este havia proposto.
Depois que o rei soube da resposta, Lahur Sessa desistiu da proposta.
Diga porquê que o inventor desistiu da proposta.
Esse é um problema que envolve a soma dos termos de um progressão geométrica e resolvemo-lo neste capitulo.
Primeiro iniciaremos com as progressões aritméticas.
2.1 Progressões Aritméticas
2.1.1 Definição
n1 2 3 4
un
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
Figura 2.1: Gráfico da sucessão
Considera-se definida por recorrência a sucessão (un).{
u1 = 4
un+1 = un + 2, ∀n ∈N
Como un+1 − un = 2, a diferença entre cada termo e o termo anterior é
constante e igual 2. A esta sucessão chama-se progressão aritmética de
razão 2.
22 esacs - 2016/17
21. Verifique quais das sucessões abaixo
representa uma P.A; Determine as
razões dessa sucessões:
(a) 5, 7, 9, . . .
(b) 3, 11, 2, 1, . . .
(c) −2, 4,−8, . . .
(d) 12, 8, 4, . . .
(e)
2
3
,
7
6
,
5
3
, . . .
Definição: Chama-se progressão aritmética (abrevia-se P.A) à toda
sucessão em que é constante a diferença entre cada termo e o anterior.
Simbolicamente, tem-se:
(un) é uma P.A⇔ un+1 − un = r (com r constante), ∀n ∈N.
Na definição acima, o número real r, que é diferença comum entre dois
termos consecutivos da P.A, é denominado a razão da mesma.
Isto é, se u1, u2, u3, . . . , un, são n termos consecutivos de uma progressão
aritmética tem-se que
22. Determine o valor de x de modo que
os termos x + 3, 4x− 2 e x− 1, nessa
ordem formem uma P.A.
u2 − u1 = r; u3 − u2 = r; . . . , un+1 − un = r;
ou seja,
u2 − u1 = u3 − u2 = u4 − u3 = . . . = un+1 − un.
Exemplo 2.1.1 Mostre que a sucessão de termo geral definida por:
un = 2n + 7
é uma progressão aritmética de razão 2.
23. Verifique se a sucessão{
u1 = 2
un+1 = un + 3
é uma PA
Resolução: Mostra-se que
un+1 − un = 2, ∀n ∈N.
Isto é
un+1 − un = 2(n + 1) + 7− (2n + 7) = 2n + 2 + 7− 2n− 7 = 2.
Logo, a sucessão (un) é uma progressão aritmética de razão 2.
Exemplo 2.1.2 Mostre (bn) não é uma P.A, sendo que:
bn = n− n2.
24. Mostre que an =
1
2
− 3n é uma P.A
e que bn = n2 − 1 não é uma P.A.
Resolução:
bn+1 − bn = n + 1− (n + 1)2 − (n− n2)
= �n + 1− (n2 + 2n + 1)− �n + n2
= �1−��n2 − 2n− �1 +��n2
= −2n
A diferença bn+1 − bn = −2n não é constante, pois depende de n. Logo, a
sucessão (bn) não é uma progressão aritmética.matemática 12º ano 23
Exemplo 2.1.3 Calcule o valor de x, sabendo que numa progressão
aritmética cujos 3 primeiros termos são respectivamente x, 2x + 1 e
4x− 1.
25. Escreva os cinco primeiros termos de
uma progressão aritmética em que o
1º termo é −2 e a razão é:
(a) 2
(b) −3
(c)
1
2
(d) 0
26. Sabendo que numa PA (un), u5 =
14 e u8 = 23, determine a razão da
progressão.
Resolução: Sabe-se que:
u1 = x, u2 = 2x + 1 e u3 = 4x− 1
e, ainda que:
u2 − u1 = u3 − u2.
Substituindo esses valores temos que
2x + 1− x = 4x− 1− (2x + 1)⇔ x + 1 = 2x− 2⇔ x = 3.
Como x = 3, então u1 = 3, u2 = 7 e u3 = 11.
2.1.2 Monotonia de uma progressão aritmética
Sendo (un) uma progressão aritmética, sabe-se que un+1 − un = r, sendo r
uma constante. Então pode-se concluir que:
• Se r > 0, a sucessão (un) é estritamente crescente ;
• Se r < 0, a sucessão (un) é estritamente decrescente ;
• Se r = 0, a sucessão (un) é constante .
Exemplo 2.1.4 Considere a sucessão de números reais definidas por:
un = 2− 7n.
(a) Mostre que (un) é uma progressão aritmética e analise-o quanto a
monotonia.
27. Estude a monotonia das progressões
aritméticas de termo geral:
(a) un = −2n + 1
(b) vn = 3n +
1
2
Resolução: Quebra de linha
(a) A sucessão (un) é uma progressão aritmética sse un+1− un = r, ∀n ∈N.
Então
un+1 − un = 2− 7(n + 1)− (2− 7n) = 2− 7n− 7− 2 + 7n = −7.
Como un+1 − un = −7, ∀n ∈ N, a sucessão (un) é uma progressão
aritmética estritamente decrescente.
2.1.3 Termo geral de uma progressão aritmética
Seja:
u1, u2, . . . , uk, . . . , un, . . .
termos de uma progressão aritmética de razão r.
u1 = u1
u2 = u1 + r
u3 = u1 + r + r ⇔ u3 = u1 + 2r
u4 = u1 + r + r + r ⇔ u4 = u1 + 3r
...
un = u1 + r + r + r + . . . + r︸ ︷︷ ︸
(n−1) parcelas
⇔ un = u1 + (n− 1)r
24 esacs - 2016/17
Teorema 2.1.5 Numa progressão aritmética, em que o primeiro termo é
u1 e razão é r, o n-ésimo termo é
un = u1 + (n− 1) · r, ∀n ∈N
Nota
Porquê que as progressões aritméticas
são chamadas aritméticas?
Note que cada termo é a média aritmé-
tica dos dois vizinhos.
Verifique!
Podemos também determinar o termo geral de uma P.A, conhecendo a
razão e um termo de ordem k qualquer. Vejamos:
Aplicando a fórmula un = u1 + (n− 1)r pode-se obter o valor de qualquer
termo de ordem k, sendo uk = u1 + (k− 1)r.
Então, vem
un − uk =��u1 + (n− 1)r− [��u1 + (k− 1)r]
⇔ un − uk = nr− �r− kr + �r
⇔ un = uk + (n− k)r
Logo,
Propriedade 2.1.1 A relação entre dois quaisquer termos de uma progres-
são aritmética (un) é dada pela seguinte fórmula:
un = uk + (n− k) · r, ∀n ∈N
Exemplo 2.1.6 Dada a progressão aritmética −5, −7, −9, −11, . . .
Determine o termo geral e o termo de ordem 500.
28. Numa P.A. o primeiro termo e a ra-
zão são, respetivamente, iguais a 12 e
4. Calcule o sétimo e o nono termos
da sucessão.
Resolução: Como u1 = −5 e r = −2, temos:
un = u1 + (n− 1)r
un = −5 + (n− 1)(−2)⇔ un = −5− 2n + 2⇔ un = −3− 2n
u500 = −1003
Exemplo 2.1.7 Numa progressão aritmética (an) sabe-se que
a3 = 5 e a5 = 15.
Calcule a razão da progressão e escreve uma expressão do seu termo
geral.
29. Escreva uma expressão do termo ge-
ral de uma progressão aritmética (an)
de razão 2, sabendo que a soma dos
5 primeiros termos é igual a 35.
30. Escreva uma expressão do termo ge-
ral de uma progressão aritmética (an)
sabendo que
a1 + a6 = 26 e a4 + a8 = 36
Resolução: Para escrever a expressão do termo geral da progressão, utiliza-
se a fórmula
un = uk + (n− k) · r,
visto que, se conhece dois quaisquer termos da progressão.
Sabe-se que:
u5 = u3 + (5− 3) · r ⇔ 15 = 5 + 2r ⇔ r = 5.
Logo, o termo geral será:
un = u3 + (n− 3) · r ⇔ un = 5 + (n− 3) · 5⇔ un = 5n− 10.
matemática 12º ano 25
2.1.4 Soma de n termos consecutivos de uma progressão aritmética
Nota
Sendo (un) uma sucessão de números
reais tem-se:
S1 = u1
S2 = u1 + u2
S3 = u1 + u2 + u3
. . .
Sn = u1 + u2 + . . . + un.
Denotemos por Sn, a soma de n primeiros termos consecutivos de uma
sucessão (un).
Vamos escrever a soma Sn de duas formas diferentes: do primeiro ao
último termo e vice-versa.
Sn = u1 + u2 + . . . + un
Sn = un + un−1 + . . . + u1
de onde, adicionando membro a membro, teremos
2Sn = (u1 + un) + (u2 + un−1) + . . . + (un + u1).
Historial...
Soma de Gauss
Com sete anos, Carl Friedrich Gauss co-
meçou a escola primária, e seu potencial
foi notado quase imediatamente. Seu
professor, Büttner, e seu assistente, Mar-
tin Bartels, ficaram espantados quando
Gauss somou os inteiros de 1 a 100 ins-
tantaneamente através da identificação
de que a soma era 50 pares de núme-
ros equidistante, cada par somando 101.
Carl Friedrich Gauss, 1777-1855
Vejamos agora que cada soma entre parênteses conduz sempre ao mesmo
resultado:
u2 + un−1 = u1 + r + un−1 = u1 + un
u3 + un−2 = u1 + 2r + un−2 = u1 + un
. . . . . . . . .
Por conseguinte, obtemos
2Sn = n(u1 + un)
e daí,
Sn =
n(u1 + un)
2
.
Tudo isso sugere que:
Teorema 2.1.8 Em toda a progressão aritmética, tem-se:
Sn =
(u1 + un)
2
· n.
Exemplo 2.1.9 Calcule a soma dos 10 primeiros termos da sucessão
(un) definida por
un = 4n− 1.
31. Considerando a P.A:
−1, − 2
3
, − 1
3
, 0, . . . .
Calcule:
(a) a1 + . . . + a20
(b) a10 + a11 + . . . + a20.
32. Calcule
100
∑
n=1
2n
33. Mostre que
1 + 3 + 5 + . . . + (2n− 1) = n2.
Resolução: Utilizando a fórmula acima deduzida, temos que
S10 =
(u1 + u10)
2
· 10. (2.1)
Para calcular essa soma, precisamos calcular u1 e u10. Então
u1 = 4 · 1− 1 = 3 e u10 = 4 · 10− 1 = 39.
Substituindo em (2.1), temos que
S10 =
3 + 39
2
· 10 = 42
2
· 10 = 21cdot10 = 210.
26 esacs - 2016/17
Propriedade 2.1.2 A soma de termos consecutivos de uma progressão arit-
mética a partir do termo de ordem k inclusive é dada pela fórmula
Sn =
(uk + un+k−1)
2
· n.
Exemplo 2.1.10 Escreva uma expressão do termo geral de uma pro-
gressão aritmética e calcule a soma dos 50 primeiros termos, sabendo
que a soma do terceiro com o sexto termos é 12 e que o quinto termo
é 5.
34. Calcule a soma dos 13 termos conse-
cutivos de uma progressão aritmética
a partir do termo de ordem 5 inclu-
sive, sabendo que
r = 5 e a1 + a4 = 25.
Resolução: Sabemos que: {
u3 + u6 = 12
u5 = 5
Mas
u3 = u1 + 2r; u6 = u1 + 5r; u5 = u1 + 4r.
Substituindo vem:{
u1 + 2r + u1 + 5r = 12
u1 + 4r = 5
⇔
{
2u1 + 7r = 12
u1 + 4r = 5
⇔
{
u1 = 13
r = −2
Logo
un = 13 + (n− 1) · (−2) = −2n + 15
e
S50 =
(u1 + u50)
2
· 50. (2.2)
Calculando u50, temos que
u50 = −2 · 50 + 15 = −85.
Substituindo em (2.2), temos que
S50 =
13− 85
2
· 50 = −1800.
2.1.5 Problemas
Exemplo 2.1.11 Obtenha uma P.A em que a soma dos n primeiros
termos é n2 + 2n para todo n natural.
35. Um atleta corre sempre 500 metros
a amais do que no dia anterior.
Sabendo-se que ao final de 15 dias
ele correu um total de 67500 metros,
qual o número de metros percorridos
no 3º dia?
Resolução: Como Sn = n2 + 2n, ∀n ∈N, temos:
S1 = 12 + 2 · 1 = 3⇒ a1 = 3
S2 = 22 + 2 · 2 = 8⇒ a1 + a2 = 8⇔ a2 = 5
e a P.A é
3, 5, 7, 9, . . . .
matemática 12º ano 27
Exemplo 2.1.12 Calcule a soma dos primeiros 2017 números ímpares.
36. Calcule a soma dos primeiros 2017
números naturais.
Resolução: Temos que calcular
1 + 3 + 5 + 7 + . . .︸ ︷︷ ︸
2017 parcelas
A sucessão dos números ímpares (1, 3, 5, 7, . . .) é uma P.A (digamos un)
cujo primeiro termo u1 = 1, razão r = 2 e termo geral un = 2n− 1.
Com efeito, aplicando a fórmula
Sn =
u1 + un
2
× n
sendo u1 = 1, u2017 = 4033.
S2017 =
1 + 4033
2
× 2017 = 4 068 289
Exemplo 2.1.13 Uma fábrica de camisas vendeu no primeiro mês
deste ano 2500 camisas. O departamento de marketing tem como
objetivo aumentar as vendas de 150 camisas em cada mês do ano. Se
o objetivo foi conseguido, quantas camisas foram vendidas no final
do ano?
37. Usando-se um conta-gotas, um pro-
duto químico é misturado a uma
quantidade de água da seguinte
forma: a mistura é feita em interva-
los regulares, sendo que no primeiro
intervalo são colocados 4 gotas, e nos
intervalos seguintes são colocados 4
gotas mais a quantidade misturada
no intervalo anterior. Sabendo-se que
no últimointervalo o número de go-
tas é 100, qual o total de gotas do
produto misturado à água?
38. Para a exibição de um Show, as 800
pessoas de um teatro de uma arena
serão dispostas em filas circulares,
com 20 cadeiras na primeira fila, 24
cadeiras na segunda fila, 28 cadeiras
na terceira, e assim sucessivamente.
Quantas filas serão dispostas no tea-
tro?
Resolução: Sabe-se que
u1 = 2500 e que r = 150.
Como um ano tem 12 meses, então vamos calcular a soma das camisas ven-
didas durante os 12 meses do ano.
Substituindo os dados na fórmula da soma, temos que
S12 =
u1 + u12
2
· 12 (2.3)
Para determinar o valor da soma, precisamos conhecer u12. Como se sabe
que
u12 = u1 + 11r ⇔ u12 = 2500 + 11 · 150 = 4150.
Substituindo u12 em (2.3), vem que
S12 =
2500 + 4150
2
· 12 = 8650 · 6 = 399 000.
Logo, no final do ano foram vendidas 399 000 camisas.
28 esacs - 2016/17
2.2 Progressões Geométricas
2.2.1 Definição
Consideremos definida por recorrência a sucessão (un):{
u1 = 3
un+1 = 5 · un, ∀n ∈N
Termos da sucessão (un)
{un} = {3, 15, 45, 135, . . .}Como
un+1
un
= 5, o quociente entre cada termo e o termo anterior é
constante e igual 5. (veja alguns dos termos ao lado). A esta sucessão
chama-se progressão geométrica de razão 5.
39. Obtenha a razão de cada uma das
seguintes progressões geométricas:
(a) 5, 15, 45, . . .
(b) −12; −3; −0, 75; . . .
(c) 2
√
2, 4
√
6, 24
√
2, . . .
(d) −10, −2, − 2
5
, − 2
25
, . . .
Definição: Chama-se progressão geométrica (abreviamos P.G) a
toda sucessão, de termos não nulos, em que é constante o quociente
entre cada termo e o anterior.
Simbolicamente, temos:
(un) é uma P.G ⇔
un+1
un
= r (com r constante), ∀n ∈N.
Asim como para as progressões aritméticas, o número real r que aparece
na definição de uma P.G, é a razão da mesma.
Isto é, se u1, u2, u3, . . . , un, são n termos consecutivos de uma progressão
geométrica temos que
u2
u1
= r;
u3
u2
= r; . . . ,
un+1
un
= r;
ou seja,
u2
u1
=
u3
u2
=
u4
u3
= . . . =
un+1
un
.
2.2.2 Monotonia de uma progressão geométrica
Quadro resumo Monotonia PG
Crescente a1 > 0 e r > 1
a1 < 0 e 0 < r < 1
Constante r = 1
Decrescente a1 > 0 e 0 < r < 1
a1 < 0 e r > 1
Seja (an) uma progressão geométrica de razão r:
• Se r < 0, (an) não é monótona porque os termos são alternadamente
positivos e negativos.
• Se 0 < r < 1 e a1 < 0 ou r > 1 e a1 > 0, então (an) é monótona
crescente.
Exemplo 2.2.1
−8, −4, −2, −1, . . .
(
r =
1
2
e a1 = −8
)
4, 8, 16, 32, . . . (r = 2 e a1 = 4)
40. Escreva o termo geral de uma pro-
gressão geométrica (an) que seja:
(a) crescente e a1 = 2;
(b) decrescente e a3 = 12
(c) não monótona e a5 = −16
• Se r = 1, (an) é constante.
• Se 0 < r < 1 e a1 > 0 ou r > 1 e a1 < 0, (an) é monótona decrescente.
matemática 12º ano 29
Exemplo 2.2.2
8, 4, 2, 1, . . .
(
r =
1
2
e a1 = 8
)
−4, −8, −16, −32, . . . (r = 2 e a1 = −4)
Exemplo 2.2.3 Prove que a sucessão de termo geral
un = 3 · 6n−2
é uma progressão geométrica e classifique-a quanto a monotonia.
41. Prove que as sucessões cujos termos
gerais são progressões geométricas e
classifique-as quanto a monotonia
(a) an =
(
1
2
)n+2
(b) bn = 5 · (−2)n+1
(c)
{
v1 = 9
vn+1 =
vn
3
, ∀n ∈N
Resolução: Atendendo a definição
(un) é uma PG ⇔
un+1
un
= r, ∀n ∈N.
Então, temos que
un+1
un
=
3 · 6n+1−2
3 · 6n−2 =
6n−1
6n−2
= 6n−1−(n−2) = 6.
Logo, (un) é uma progressão geométrica de razão 6. Para estudar a monoto-
nia temos de calcular u1.
Atendendo a que
u1 = 3 · 61−2 = 3 ·
1
6
=
1
2
,
ou seja, r > 1. Logo concluímos que (un) que é uma progressão geométrica
monótona decrescente, visto que u1 > 0 e r > 1.
2.2.3 Termo geral de Progressão Geométrica
Consideremos uma progressão geométrica (un) em que u1 6= 0 e r 6= 0. Da
definição resulta que, para todo o n, tem-se
un+1
un
= r ⇔ un+1 = un · r,
logo,
u1 = u1
u2 = u1 · r
u3 = u2 · r ⇔ u3 = u1 · r · r = u1 · r2
u4 = u3 · r = u1 · r2 · r ⇔ u4 = u1 · r3
...
un = un−1 · r = u1 · rn−2 · r = u1 · rn−1
o que nos leva a concluir que
un = u1 · rn−1.
Disto resulta o seguinte teorema:
Teorema 2.2.4 Numa progressão geométrica, em que o primeiro termo
é u1 e razão é r, o n-ésimo termo é
un = u1 · rn−1, ∀n ∈N
30 esacs - 2016/17
Nota
Porquê que as progressões geométri-
cas são chamadas geométricas?
Note que cada termo é a média geomé-
trica dos dois vizinhos.
A média geométrica entre dois números
a e b é definida por
√
ab.
Exemplo 2.2.5 Escreva o termo geral de uma progressão geométrica
(un), sabendo que o primeiro termo é igual a 5 e a razão é igual a 7.
Resolução: O seu termo geral é:
an = 5 · 7n−1.
Podemos também determinar o termo geral de uma P.G, conhecendo a
razão e um termo de ordem k qualquer. Vejamos:
Se uk é um termo qualquer de uma progressão geométrica un vem, substi-
tuindo n por k, uk = u1 · rk−1.
Então,
un
uk
= �
�u1 · rn−1
��u1 · rk−1
⇔ un
uk
= rn��−1−k+�1 ⇔ un = uk · rn−k
Propriedade 2.2.1 A relação entre dois quaisquer termos de uma progres-
são geométrica (un) é dada pela seguinte fórmula:
un = uk · rn−k, ∀n ∈N
Uma progressão geométrica fica bem definida conhecendo-se um termo
qualquer e a razão.
Exemplo 2.2.6 Escreve o termo geral de uma progressão geométrica
(an), sabendo que o quarto e o nono termo são respectivamente 4 e
1
8
.
42. Escreva uma expressão do termo ge-
ral de uma progressão geométrica
(un) em que se conhece:
(a) u1 = 8 e u6 =
1
4
(b) u3 = 16 e r = 2
(c) r = 2 e u2 + u5 = 54
Resolução: Para escrever a expressão do termo geral da progressão, vamos
utilizar a fórmula
un = uk · rn−k, ∀n ∈N
Isto é,
un = u4 · rn−4, ∀n ∈N
Para isso precisamos conhecer a razão da progressão.
Sabe-se que
u9 = u4 · r5 ⇔
1
8
= 4 · r5 ⇔ r5 = 1
32
⇔ r = 1
2
.
Logo,
un = 4 ·
(
1
2
)n−4
= 4 ·
(
1
2
)n
· 24 = 64 ·
(
1
2
)n
.
Como
64 = 26 =
(
1
2
)−6
,
podemos escrever
un =
(
1
2
)n−6
.
matemática 12º ano 31
2.2.4 Soma de n primeiros termos de uma P.G
Consideremos os n primeiros termos de uma progressão geométrica (un)
de razão r e primeiro termo u1:
u1, u2, u3, . . . , un.
Vamos procurar uma fórmula que permita calcular a soma Sn de todos
estes termos:
Sn = u1 + u2 + u3 + . . . + un
Atendendo a que
u2 = u1 · r; u3 = u1 · r2, . . . , un = u1 · rn−1,
pode escrever-se
Sn = u1 ·
(
1 + r + r2 + . . . + rn−1
)
(2.4)
e
r · Sn = u1 ·
(
r + r2 + r3 + . . . + rn
)
(2.5)
Subtraindo membro a membro (2.4) e (2.5), vem:
Sn − r · Sn = u1(1− rn)⇔ Sn(1− r) = u1(1− rn).
Supondo que r 6= 1, resulta que
Sn = u1 ·
1− rn
1− r .
Disto resulta o seguinte teorema:
Teorema 2.2.7 A soma dos n termos iniciais de uma progressão geomé-
trica é
Sn = u1 ·
1− rn
1− r , com r 6= 1.
Portanto, podemos calcular a soma de n termos consecutivos de uma
progressão geométrica conhecendo o primeiro e a razão, lembrando que
essa fórmula só pode ser usada se r 6= 1.
Se a razão da progressão geométrica é 1, então todos os termos são iguais.
Por exemplo: 2, 2, 2, . . .
Genericamente u1, u1, u1, . . . , u1. Neste caso, a soma será dada pela
fórmula
Sn = n · u1 se r = 1.
Propriedade 2.2.2 A soma de n termos consecutivos de uma progressão
geométrica a partir do termo de ordem k inclusive é dada pela fórmula
Sn = uk ·
1− rn
1− r , com r 6= 1.
32 esacs - 2016/17
Exemplo 2.2.8 O quarto e o oitavo termos de uma progressão geomé-
trica crescente (un) são, respectivamente 4 e 64. Determine o primeiro
termo, a razão e a soma dos dez primeiros termos da sucessão.
43. Determine a soma dos 10 primeiros
termos de uma progressão geomé-
trica em que o termo geral é un = 3n.
44. Numa P.G, S5 = 1, 21 e a razão é −2
Calcule u6.
45. Seja (an) uma P.G de razão 2 em que
a1 =
1
2
.
Calcule a soma a9 + a10 + . . . + a18.
Resolução: Sabe-se que
u8 = u4 · r4 ⇔ 64 = 8r4 ⇔ r4 = 16⇔ r = 2∨����r = −2⇔ r = 2,
pois (un) é monótona crescente. E ainda que
u4 = u1 · r3 ⇔ 4 = u1 · 23 ⇔ u1 =
1
2
.
Para calcular a soma dos 10 termos da sucessão, utilizamos a fórmula
Sn = u1 ·
1− rn
1− r .
Assim,
S10 = u1 ·
1− r10
1− r =
1
2
· 1− 2
10
1− 2 =
1
2
· 1− 1024−1 =
10232
= 511, 2.
Exemplo 2.2.9 Resolva o problema proposto na introdução deste ca-
pítulo.
De facto, nem a Índia inteira, semea-
dos todos os seus campos, não produzi-
ria, num século, tal quantidade de trigo.
Não se admira portanto que Sessa tenha
retirado a proposta de recompensa feita
ao rei.
Resolução: Como um tabuleiro de xadrez tem 64 casas, trata-se de obter a
soma dos 64 termos de uma progressão geométrica, cujo primeiro termo a1 é
igual a 1 e razão igual a 2, ou seja, o termo geral é
an = 2n−1
Aplicando a fórmula da soma
Sn = a1 ·
1− rn
1− r
ao nosso caso do tabuleiro de xadrez, em que n = 64 obtemos:
S64 = 1 ·
1− 264
1− 2 = 18 446 744 073 709 551 615.
Isto mesmo, 18 quintilhões, 446 quatrilhões, 744 trilhões, 73 bilhões, 709
milhões, 551 mil, 615 (ufa!) - um número astronômico! Como se vê, o
criador do xadrez não tinha nada de bobo!
2.2.5 Problemas
Exemplo 2.2.10 As raízes da equação x2 − 5x + 6 = 0 são dois pri-
meiros termos de uma P.G crescente. Determine u2, a razão e o termo
geral.
46. Escreva uma expressão do termo ge-
ral de uma P.G de razão 2, sabendo
que a soma dos primeiros 5 termos é
igual a 62.
47. Calcule três termos consecutivos de
uma P.G sabendo que a sua soma é
igual a 14 e seu produto é igual a 64.
Resolução: Resolvemos a equação quadrática,
x2 − 5x + 6 =⇔ x = 2∨ x = 3
Como a P.G é crescente faremos u1 = 2 e u2 = 3.
Pela definição,
u2
u1
= r ⇔ r = 3
2
. A razão é
3
2
.
O termo geral vem,
un = 2 ·
(
3
2
)n−1
matemática 12º ano 33
Exemplo 2.2.11 Um cliente maçador sempre aborrecia o seu alfaiate
com pedidos insistentes de descontos. Certa vez tratava-se de um fato
de 30 contos, o alfaiate já farto disse-lhe:
"Pois então leve o fato de graça e pague-me só os 12 botões do casaco: 10 es-
cudos pelo primeiro botão, 20 escudos pelo segundo, 40 escudos pelo terceiro
e assim sucessivamente."
Encantado, o cliente, aceitou o negócio. Quem foi o espertalhão?
48. Uma alga cresce de modo que a cada
dia ela cobre uma superfície de área
igual ao dobro da coberta no dia ante-
rior, isto é, no primeiro dia ela cobre
um metro quadrado de superfície, no
segundo dia 2 metros quadrados, no
terceiro dia 4 metros quadrados, e as-
sim sucessivamente. Quantos metros
ela vai cobrir no final de 9 dias?
Resolução: Sabe-se que
n = 12, u1 = 10, u2 = 20, u3 = 40, . . . , e portanto r = 2.
Substituindo os dados na fórmula da soma, temos que
S12 = 10 ·
1− 212
1− 2 = 10 ·
1− 4096
−1 = 40950.
Portanto, o cliente vai pagar pelos 12 botões 40950 escudos. O que podemos
concluir que, o alfaiate foi o espertalhão.
Exemplo 2.2.12 Encontre x e y de modo que a sequência (15 , y, x)
seja uma P.A de termos positivos e a sequência (x − 2, 12, 5y− 2)
seja uma P.G.
49. A sucessão
8, 2, a, b, . . .
é uma P.G e a sucessão
b,
3
16
, c, . . .
é uma P.A
(a) Qual é o valor de c?
(b) O número a pertence à P.A? Em
caso afirmativo, qual a sua or-
dem?
Resolução: Se (15, y, x) é uma P.A, então
y =
15 + x
2
(2.6)
Se (x− 2, 12, 5y− 2) é P.G, então
122 = (x− 2)(5y− 2) (2.7)
Substituindo (2.6) em (2.7), encontramos
144 = (x− 2)
(
5x + 75
2
− 2
)
⇔ x = 5∨ x = 17, 2
• Quando x = 5, em (2.6) encontramos y = 10; assim a P.A é (15, 10, 5)
e a P.G é (3, 12, 48).
• Quando x = −17, 2, em (2.6) encontramos y = −1, 1 e teríamos a P.A
(15; −1, 1; −17, 2), que não possui todos os termos positivos. Assim
esse caso não ocorre.
34 esacs - 2016/17
Exercícios do Capítulo 2
1. Escreva os cinco primeiros termos de uma progressão arit-
mética em que o 1◦ termo é −2 e a razão é:
(a) 2 (b) −3 (c) 1
2
(d) 0
2. Sabendo que numa P.A (un), u5 = 14 e u8 = 23, determine
a razão da progressão.
3. Averigúe se (un) é uma progressão aritmética se:
(a) un =
5
3
− 4n
3
(b) un = n2 + 1
(c) un =
4
n
(d) un =
2
3
n− 1
4. Para que valores de x as expressões x + 1, 3x2 + 4 e
5x2 + 2x + 5 são termos consecutivos de uma P.A? Escreva
a expressão do termo geral.
5. Dada a P.A.: {2, x, 10, y, 18, 22, z, 30, . . .}, calcule x, y e
z.
6. Determine x para que a sequência
{3x− 4; x + 12; 9x− 12}
forme uma P.A.
7. Determine o termo de ordem 500 na progressão aritmética
em que os cinco primeiro termos são:
−1
2
, 0,
1
2
, 1,
3
2
.
8. Escreva o termo geral da progressão arimética em que:
(a) u1 = 3 e r = 10
(b) u2 = 10 e u4 = 20
(c) u3 = −10 e r = 5
(d) u6 + u8 = 28 e r = 3
(e) u10 = 5 e u30 = −5
9. As raízes da equação 3x2 + 2x = 1, são os dois primeiros
termos de uma progressão aritmética decrescente. Deter-
mine uma expressão do termo geral desta progressão.
10. Quantos são os múltiplos de 5 que podemos escrever com
três algarismos?
11. Determine a soma dos n primeiros termos da progressão
aritmética.
(a) 6, 18, 30, 42, . . . , n = 20
(b) −6, −2, 2, 6, . . . , n = 10
(c) 0, 5; 0, 9; 1, 3; 1, 7; . . . , n = 18
(d) a2 = 3, 5; a12 = 7, 5; n = 100
12. Calcule cada uma das seguintes somas:
(a)
10
∑
n=1
n
(b)
100
∑
n=1
3n
(c)
50
∑
n=1
n−
30
∑
n=1
n
(d)
10
∑
n=1
(2n− 1)
(e)
100
∑
n=1
n + 1
2
(f)
100
∑
n=0
8− 2n
4
13. Calcule a soma dos primeiros 2014 números ímpares.
14. Calcule a soma dos inteiros relativos entre −20 e 50, inclu-
sive.
15. Mostre que a soma dos n primeiros números naturais é
n(n + 1)
2
16. Utilizando os conhecimentos sobre progressões aritméticas,
calcule:
(a) 7 + 14 + 21 + . . . + 77
(b) 14 + 10, 5 + 7 + 3, 5 + . . . + (−17, 5)
(c) 64 591 + 64 486 + 64 381 + . . . + 63 436
17. Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na
P.A.:
{
7
5
, 1,
3
5
, . . .
}
, a partir do primeiro termo, para que a
soma seja negativa?
18. Uma sucessão a1 = −5 e an+1 = an + 3, ∀n ∈N
(a) Mostre que (an) é uma progressão aritmética e indique
a razão da progressão.
(b) Escreva an em função de n
(c) Calcule: a6 + a7 + . . . + a18
(d) Determine n sabendo que: a6 + a7 + . . . + an = 913
19. Seja a sucessão (un) definida por
{
u1 = 2
un+1 = un − 7
(a) Calcule os quatro primeiros termos
(b) A sucessão (un) é uma progressão aritmética?
(c) Estude quanto a monotonia a sucessão (un)
(d) Escreva un em função de n
(e) Se a soma dos primeiros p termos de (un) é −93, quan-
tos termos se somaram?
20. Considere (un) uma progressão aritmética de razão r,
sendo u1 o primeiro termo e Sn a soma dos n primeiros
termos da sucessão:
(a) se u1 = 3 e r = 4, calcule u7, u15 e S10
(b) se u5 = 6 e r = −2, calcule u1, u10 e S5
(c) se u4 = 16 e u9 = 34, calcule u1, e r
(d) se r = 4, u5 = 17 e Sn = 549, calcule u1, e n
(e) se u4 + u5 + u6 = 63 e u10 + u12 = 102, calcule r e u1
21. Calcule três termos consecutivos de uma progressão aritmé-
tica, sabendo que a sua soma é igual a 12 e o seu produto
igual a 48.
22. Três números estão em progressão aritmética (isto é, são
termos consecutivos de uma progressão aritmética), a sua
soma é 3 e o seu produto −3. Quais são esses números?
23. Escreva os cinco primeiros termos da progressão geomé-
trica em que:
(a) a1 = −3 e r = 2
(b) a2 = 10 e r = −2
(c) a4 = −1 e r = −1
(d) a4 = 6 e a2 = 3
matemática 12º ano 35
24. Verifique se são progressões geométricas e, em caso afirma-
tivo, indique a razão das sucessões de termos gerais.
(a) 51−n
(b)
(
1
2
)n+3 (c) (−1)2n+1
(d) 2
(
1
3
)3−n (e) −15n
(f) −n
2
(0, 4)n+1
25. Determine o valor de x , de modo que a sequencia
{3x+1, 34−x, 33x+1} seja uma progressão geométrica.
26. Determine o número x de modo que 6, x e 8, 64 sejam três
termos consecutivos de uma progressão geométrica.
27. As raízes da equação x2 − 5x + 6 = 0 são os dois primeiros
termos de uma P.G crescente. Determine u2, a razão e o
termo geral.
28. Sabendo que a sucessão (un) é uma progressão aritmé-
tica, prove que a sucessão (vn) definida por vn = kun
(k ∈ R \ {0, 1}) é um progressão arimética.
29. Escreva o termo geral de uma progressão geométrica (an)
que seja:
(a) crescente e a1 = 2
(b) decrescente e a3 = 12
(c) não monótona e a5 = −16
30. Determine o termo de ordem 60 de uma progressão geo-
métrica em que a1 = 5 e a2 = −10.
31. Determine o 10◦ termo de uma progressão geométrica em
que u7 + u6 = −488 e a razãoé 3
32. Determine o termo geral de uma progressão geométrica
em que:
(a) a2 = 6 e a3 = 18 (b) a2 = 8 e a4 = 128
33. Calcule a soma dos 10 primeiros termos da progressão
geométrica de termo geral: an =
(
1
2
)n−2
.
34. Calcule:
(a) 1 + 22 + 24 + 26 + 28 + 210
(b)
1
4
+
1
8
+
1
16
+ . . . +
1
221
(c)
1
3
+
1
6
+
1
12
+ . . . +
1
1536
35. Numa progressão geométrica de termos positivos,
u3 = 208 e u5 = 3328.
Calcule a soma dos cinco termos consecutivos a partir do
2◦, inclusive.
36. A soma de n primeiros termos de uma progressão geo-
métrica é 2186. Determine n, sabendo que a razão da
progressão é 3 e o primeiro termo é 2.
37. Calcule a soma das primeiras 10 potências de base 2 e
expoente natural.
38. Simplifique a expressão utilizando progressões geométri-
cas:
1
3 +
1
9 +
1
27 +
1
81
1
5 +
1
25 +
1
125 +
1
625
39. Numa P.G crescente, o segundo termo é igual a
√
3 e o
terceiro termo é triplo do primeiro.
(a) Escreva uma expressão do termo geral da progressão;
(b) Calcule a soma dos 10 primeiros termos da progressão,
apresentado o resultado com denominador racional.
40. A sucessão (un) é uma progressão geométrica de razão 0, 3
e u2 = 0, 9.
(a) Escreva o termo geral da progressão
(b) Determine o termo de ordem 20
(c) Calcule a soma dos 10 primeiros termos.
41. Considere a seguinte progressão geométrica:
π
2
,
π2
4
,
π3
8
,
π4
16
,
π5
32
, . . .
(a) Escreva o termo de ordem 10
(b) Calcule o valor aproximado de S10 com duas casas deci-
mais.
42. Considere a sucessão definida por recorrência{
b1 = 5
bn+1 = 2bn, ∀n ∈N
(a) Mostre que se trata de uma progressão geométrica de
razão 2 e escreva uma expressão do termo geral;
(b) Calcule b2, b4 e b6 e verifique que b2 · b6 = (b4)2;
(c) Calcule a soma dos 4 primeiros termos da sucessão.
43. Seja (un) a sucessão assim definida:

u1 =
1
5
un+1 =
n + 1
3n
· un
(a) Calcule u2 e u3
(b) Mostre que a sucessão de termo geral vn =
un
n
é uma
progressão geométrica.
(c) Escreva o termo geral da sucessão (vn) em função de n.
44. Numa progressão geométrica, tem-se u3 = 90 e u6 = 2430.
Determine:
(a) u1 e razão (b) S10
45. A soma dos seis primeiros termos de uma progressão geo-
métrica (un) de razão r =
1
2
é
63
8
.
(a) Determine u1
(b) Escreva a expressão do termo geral e calcule u20
(c) Calcule a soma dos 10 primeiros termos consecutivos a
partir do termo de ordem 20, inclusive.
46. Determine x, y e z, sabendo que x, y e z são termos
consecutivos de uma progressão aritmética, z, y − 1 e x
são termos consecutivos de uma progressão geométrica e
x + y + z = 15.
47. Determine a, b, c e d sabendo que os três primeiros termos
são termos consecutivos de uma progressão geométrica ,
os três últimos são termos consecutivos de uma progressão
aritmética, e ainda que a + d = 14 e b + c = 12.
48. A soma de três números que são termos consecutivos de
uma progressão geométrica é 70.
Se multiplicarmos o primeiro por 4, o segundo por 5 e o
terceiro por 4, os números resultantes estão em progressão
aritmética. Determine os números.
36 esacs - 2016/17
49. Um auditório tem 30 filas de lugares sentados. Na pri-
meira fila tem 15 lugares, na segunda fila 17, na terceira 19
e assim sucessivamente.
Quantos lugares sentados tem o auditório?
50. Um atleta resolveu aumentar em cada dia 3 km nos treinos.
Se no primeiro dia correu 20 km, quantos quilómetros cor-
reu no total ao fim de 20 dias?
51. Um ciclista percorre 20 km na primeira hora; 17 km na se-
gunda hora, e assim por diante, em progressão aritmética.
Quantos quilómetros percorrerá em 5 horas de treino?
52. Num cofre há 1000 moedas iguais, retirando 10 moedas na
1a vez, 30 na 2a, 50 na 3a e assim sucessivamente, depois
de quantas retiradas o cofre ficará vazio.
53. Folheando uma revista, na página 56 um homem avista
uma mulher muito atraente e pára para ver. A revista
estava rasgada em seu começo, iniciando-se na página 8.
Ele chegou na página da atraente mulher em 13 folheadas.
Quantas páginas o tarado passava em uma folheada?
54. O Victor depositou num banco, 500 contos e resolveu aí
colocar, todos os meses, 50 contos.
Assim, decorrido um mês, o Victor tinha 550 contos no
banco.
Se t é o total de dinheiro depositado e n o número de
meses, escreva t em função de n.
Ao fim de quantos meses o Victor terá 50 000 contos depo-
sitados no banco?
55. Um pai em cada aniversário do seu filho, deposita no banco
uma quantia em contos igual á idade do filho. No dia em
que essa poupança for de 153 contos, que idade terá o
filho?
56. O Sr. Adriano aceitou um emprego em que no primeiro
ano de trabalho ganha um total de 16 800 escudos e nos
quatro anos seguintes terá m aumento anual de 1700 escu-
dos.
Quanto ganhará o Sr. Adriano nos cinco anos completos
de trabalho?
57. Em um certo telhado, as telhas dispõem-se de modo que
cada fila tem 2 telhas a mais que a anterior. Um telhadista
está calculando quantas telhas precisa para as 4 faces do
telhado. Ajude-o a calcular o número de telhas sabendo
que cada face leva 4 telhas na primeira fileira e 38 na última
fileira de cima para baixo.
58. Um escritor escreveu, em certo dia, as 20 primeiras linhas
de um livro. A partir desse dia, ele escreveu, em cada dia,
tantas linhas quantas havia escrito no dia anterior mais 5
linhas. O livro tem 17 páginas, cada uma com exatamente
25 linhas. Em quantos dias o escritor terminou de escrever
o livro?
59. Um doente toma duas pílulas de certo remédio no primeiro
dia, quatro no segundo dia, seis no terceiro dia e assim
sucessivamente até terminar o conteúdo do vidro. Em
quantos dias terá tomado todo o conteúdo, que é de 72
pílulas?
60. Um professor de educação física organizou seus 210 alunos
para formar um triângulo. Colocou um aluno na primeira
linha, dois na segunda, três na terceira, e assim por diante.
Quanto é número de linhas do triângulo.
61. A Ana descobriu que a namorada do Victor, campeão de
surf, era a Nini. Num minuto ela contou a quatro colegas
da escola e cada uma destas contou a outros quatro no
minuto seguinte e assim sucessivamente.
(a) Quantos vão transmitir a notícia ao fim de quatro minu-
tos?
(b) Quanto tempo levaria para que 3000 alunos estivessem
a transmitir a noticia?
62. Se cada coelha de uma colónia gera três coelhas, qual o
número de coelhas da 7a geração que serão descendentes
de uma única coelha?
63. Um Homem foi multado 5 vezes, tendo duplicado de cada
vez que pagava nova multa. A última multa que pagou foi
de 816$00. Quanto pagou ao todo?
64. O Jorge resolveu vender os selos de uma colecção completa
do seguinte modo: O 1◦ selo vendia por 300$00 e cada selo
seguinte venderia pelo dobro do preço anterior. Sabendo
que ao fim da venda total ele contou 76.500$00, determine
quantos selos tinha a colecção do Jorge.
65. As medidas, expressas em graus, dos ângulos internos de
um quadrilátero, constituem termos consecutivos de uma
progressão geométrica de razão 2. Qual é a medida de
cada ângulo interno do quadrilátero?
66. Uma bola caiu da altura de 82 metros. Cada vez que toca
o solo, sobe de novo até
1
2
da distância anterior.
(a) De que altura caiu a bola quando tocou o solo pela
sétima vez?
(b) Que distância percorre a bola até que pare.
67. O Sr. Viriato quer comprar um carro que custa 2295 contos.
O stand propõe que o pagamento seja feito em 8 prestações
de acordo com a seguinte regra: a segunda prestação será
o dobro da primeira, a terceira o dobro da segunda e assim
sucessivamente. Calcule quanto pagará o sr. Viriato na
primeira prestação.
68. Alguns tipos de células reproduzem-se por bipartição, isto
é, cada uma delas divide-se em duas, dando cada uma das
metades origem a uma nova célula completa. Em condi-
ções ideais a bipartição dá-se de 4 em 4 horas. Sabendo
que inicialmente existiam 50 células, quantas existirão ao
fim de 24 horas?
69. Em uma experiência de laboratório, um frasco recebe no
primeiro dia do mês 3 gotas de um determinado liquido,
no segundo dia recebe 9 gotas, no terceiro dia recebe 27
gotas, e assim por diante. No dia emque recebeu 2187
gotas ficou completamente cheio. Em que dia do mês isso
aconteceu?
3 LIMITES DE SUCESSÕES
"A parte que ignoramos é muito maior que tudo quanto sabemos"
Platão
Introdução
No século V a.C o grego Zenão de Eleia propôs o clássico paradoxo de Aquiles e da tartaruga que surpreendeu os
filósofos daquele tempo:
Historial...
Muito pouco se sabe sobre este filósofo
grego. Fazia parte da corrente Sofista
e seus paradoxos contribuíram para
fomentar a investigação sobre o conceito
de infinito.
Zenão de Eleia, 490 a.C-425 a.C
«Numa corrida entre Aquiles e uma tartaruga, esta começa a andar com um
avanço de 100 metros, mas Aquiles corre 10 vezes mais depressa do que ela.
Dizia Zenão:
«Aquiles percorre 100 m e chega ao ponto de onde parte a tartaruga; entretanto,
a tartaruga percorre um décimo do que percorreu Aquiles e, portanto, está 10 m
à frente dele; Aquiles corre estes 10 metros e a tartaruga corre um metro e fica à
frente dele um metro; quando Aquiles anda este metro, tartaruga anda um decí-
metro. Portanto, Aquiles está sempre a aproximar-se da tartaruga mas nunca a
apanha.»
Esse paradoxo, e outros propostos por Zenão, só vieram a ser solucionados
muitos séculos depois com o desenvolvimento da Matemática nomeada-
mente a aplicação do cálculo de limites na soma de infinitos números.
Após terminar o seção "Soma de todos os termos de uma progressão
geométrica", resolva este problema.
3.1 Vizinhança de um número real
Dizemos que x é valor aproximado de a com erro inferior a δ se: |x− a| < δ,
sendo |x− a| o erro de x em relação a a. a− δ a + δa
x
50. Indique os erros de 3; −2; 1, 7 e 2, 01
relativamente ao número 2.
51. Considere a sucessão de termo geral
un =
3n + 1
n
(a) Defina em compreensão o con-
junto dos termos da sucessão que
são valores aproximados de 3 a
menos de 0, 01.
(b) Dos termos referidos em (a), cal-
cule o de menor ordem.
Repare-se que:
|x− a| < δ⇔ x− a < δ ∧ x− a > −δ
⇔ x < δ + a ∧ x > −δ + a
⇔ a− δ < x < a + δ
x ∈]a− δ, a + δ[
38 esacs - 2016/17
Definição: Ao intervalo ]a− δ, a + δ[ chama-se vizinhança de cen-
tro a e raio δ e representa-se por Vδ(a), isto é
Vδ(a) =]a− δ, a + δ[.
52. Represente, usando intervalos de nú-
meros reais:
(a) V0,1(5) (b) V0,02(4, 36)
53. Defina como vizinhança os conjuntos
seguintes:
(a) ]5, 7[ (b) ]2, 32; 2, 48[
(c) {x ∈ R : |x− 3| < 0, 02}
(d) {x ∈ R : 1, 47 < x < 1, 49}
54. Considere a sucessão de termo geral
un =
3n + 2
2n + 3
.
Verifique que é verdadeira a proposi-
ção
n > 11⇒ un ∈ V0,1
(
3
2
)
.
Portanto, vizinhança de a de raio δ é o conjunto de todos os valores
aproximados de a com erro inferior a δ.
Exemplo 3.1.1 Aplicando a definição temos, por exemplo:
V0,1(3) = ]3− 0, 1; 3 + 0, 1[ = ]2, 9; 3, 1[
Qualquer intervalo de números reais aberto pode ser escrito sob a forma
de vizinhança do seguinte modo:
]a, b[ = V b−a
2
(
b + a
2
)
Exemplo 3.1.2 Escreva sob a forma de vizinhança, o intervalo ]10, 6; 11, 4[.
Resolução: Quebra de linha
]10, 6; 11, 4[ = V 11,4−10,6
2
(
11, 4 + 10, 6
2
)
= V0,4 (11)
3.2 Limite de uma sucessão
Consideremos a sucessão (un) de termo geral un =
n− 1
n
.
Calculemos os seus primeiro termos e esbocemos o seu gráfico.
u1 = 0; u2 =
1
2
; u3 =
2
3
; u4 =
3
4
; u5 =
4
5
; . . . ; u100 =
99
100
; . . .
Verifica-se que os termos da sucessão se vão aproximando de 1
Analisemos o erro de cada termo em relação a 1:
n1 2 3 4 5 6 7 10 · · · 100
un
1
1
2
2
3
0
• u1 = 0 → |0− 1| = 1
• u2 =
1
2
→
∣∣∣∣12 − 1
∣∣∣∣ = 12 = 0, 5
• u3 =
2
3
→
∣∣∣∣23 − 1
∣∣∣∣ = 13 = 0, (3)
• u4 =
3
4
→
∣∣∣∣34 − 1
∣∣∣∣ = 14 = 0, 25
• u5 =
4
5
→
∣∣∣∣45 − 1
∣∣∣∣ = 15 = 0, 2
• u100 =
99
100
→
∣∣∣∣ 99100 − 1
∣∣∣∣ = 1100 = 0, 01 55. Considere a sucessão de termo geral
un =
5n + 3
n
.
(a) Quais os termos da sucessão que
são valores aproximados de 5 com
erro inferior a 0, 03?
(b) Prove, aplicando a definição que
a sucessão tende para 5.
Observa-se que os erros estão a aproximarem-se de zero, logo os termos
da sucessão se aproximam de 1. Portanto, fixando um erro qualquer δ,
podemos sempre determinar uma ordem a partir da qual todos os termos
da sucessão são valores aproximados de 1, com erro inferior a δ, isto é,
matemática 12º ano 39
∀δ > 0, ∃p ∈N : n > p⇒ |un − 1| < δ
ou
∀δ > 0, ∃p ∈N : n > p⇒ un ∈ Vδ (1) .
Neste caso, dizemos que 1 é o limite da sucessão e representa-se por:
lim un = 1 ou un → 1 (lê-se un tende para 1 ou un converge para 1).
Definição: Uma sucessão (un) tem por limite a, tende para a ou
converge para a, a ∈ R, sse para todo o δ ∈ R+ existe uma ordem p
(natural) a partir da qual todos os termos da sucessão são valores
aproximados de a a menos de δ, ou seja, todos os termos da sucessão
pertencem ao intervalo ]a− δ, a + δ[.
Simbolicamente, tem-se:
lim un = a⇔ ∀δ > 0, ∃p ∈N : n > p⇒ |un − a| < δ
ou, na linguagem de vizinhança:
lim un = a⇔ ∀δ > 0, ∃p ∈N : n > p⇒ un ∈ Vδ(a).
Exemplo 3.2.1 Aplicando a definição, mostre que a sucessão de termo
geral an =
2n
n + 3
tende para 2.
56. Aplicando a definição de limite de
uma sucessão, prove que:
(a) lim
2 + 3n
5n
=
3
5
(b) lim
4n
2n + 1
= 2
(c) lim
(
1− 3n
n + 1
)
= −2
(d) lim
2
n
= 0
Resolução: Aplicando a definição de limite neste caso vem,
lim an = 2⇔ ∀δ > 0, ∃p ∈N : n > p⇒ |an − 2| < δ.
Ora,
|an − 2| < δ⇔
∣∣∣∣ 2nn + 3 − 2
∣∣∣∣ < δ⇔ ∣∣∣∣2n− 2n− 6n + 3
∣∣∣∣ < δ⇔ ∣∣∣∣ −6n + 3
∣∣∣∣ < δ
⇔ 6
n + 3
< δ⇔ 6 < nδ + 3δ⇔ nδ + 3δ > 6
⇔ n > 6− 3δ
δ
.
Portanto, podemos escrever n >
6− 3δ
δ
⇒
∣∣∣∣ 2n2n + 3 − 2
∣∣∣∣ < δ e, con-
sequentemente, tomando p um número natural maior ou igual a
6− 3δ
δ
,
temos que é verdadeira a proposição
∀δ > 0 ∃p ∈N ∀n ∈N, n > p⇒ |an − 2| < δ.
Então, lim an = 2 ou an tende para 2.
40 esacs - 2016/17
3.3 Sucessões convergentes
Definição: Uma sucessão (un) é convergente sse tem por limite um
número real a. Dizemos que a sucessão tende para a, converge para
a ou que o seu limite é a.
Simbolicamente escreve-se:
lim un = a ou un → a, com a ∈ R.
Exemplo 3.3.1 Mostre, a partir da definição, que a sucessão
un =
4n + 1
3n + 1
converge para
4
3
.
57. A sucessão (wn) está definida por
wn =
1− n
2n + 1
.
(a) Calcule o termo a partir do qual
se verifica∣∣∣∣wn + 12
∣∣∣∣ < 0, 01
(b) Prove que wn → −
1
2
Resolução: Aplicando a definição, deve-se ter
lim un =
4
3
⇔ ∀δ > 0, ∃p ∈N : n > p⇒
∣∣∣∣un − 43
∣∣∣∣ < δ.
Seja δ um número positivo qualquer,∣∣∣∣un − 43
∣∣∣∣ < δ⇔ ∣∣∣∣4n + 13n + 1 − 43
∣∣∣∣ < δ⇔ ∣∣∣∣12n + 3− 12n− 49n + 3
∣∣∣∣ < δ
⇔
∣∣∣∣ −19n + 3
∣∣∣∣ < δ⇔ 19n + 3 < δ⇔ 1 < 9nδ + 3δ
⇔ 9δn > 1− 3δ⇔ n > 1− 3δ
9δ
.
Portanto podemos escrever, n >
1− 3δ
9δ
⇒
∣∣∣∣un − 43
∣∣∣∣ < δ e, consequente-
mente, sendo p ≥ 1− 3δ
9δ
, é verdadeira a proposição
∀δ > 0, ∃p ∈N : n > p⇒
∣∣∣∣4n + 13n + 1 − 43
∣∣∣∣ < δ.
Então lim un =
4
3
. Esta sucessão é convergente, visto ter limite real.
58. Prove que a sucessão definida por
un = 2n + 5 não tende para 5
Exemplo 3.3.2 Mostre, a partir da definição, que a sucessão de termo
geral wn =
2n + 1
n
não converge para 1.
matemática 12º ano 41
Resolução: Suponhamos que wn → 1. Então,
∀δ > 0, ∃p ∈N : n > p⇒ |wn − 1| < δ.
Ora,
|wn − 1| < δ⇔
∣∣∣∣2n + 1n − 1
∣∣∣∣ < δ⇔ ∣∣∣∣2n + 1− nn
∣∣∣∣ < δ⇔ ∣∣∣∣n + 1n
∣∣∣∣ < δ
⇔ n + 1
n
< δ⇔ n + 1 < nδ⇔ nδ > n + 1⇔ nδ− n > 1
⇔ n(δ− 1) > 1⇔ n > 1
δ− 1
Se δ− 1 > 0⇔ δ > 1 vem
n >
1
δ− 1 .
Podemos constatar que apesar de todos os termos a partir
da ordem
1
δ− 1 serem valores aproximados de 1 a menos
de δ, tal só acontece se δ > 1 e não para qualquer δ > 0,
como exige a definição.
Se δ− 1 < 0⇔ δ < 1 vem
n <
1
δ− 1 .
Neste caso, os únicos temos que são valores aproximados
de 1 a menos de δ são apenas os de ordem inferior a
1
δ− 1
e não todos a partir de uma certa ordem como exige a
definição.
Portanto, é falso que wn → 1, ou seja, wn não converge para 1.
3.3.1 Infinitésimos
Definição: Uma sucessão (un) é um infinitésimo sse o seu limite é
zero.
Simbolicamente escreve-se:
(un) é infinitésimo ⇔ lim un = 0
⇔ ∀δ > 0, ∃p ∈N : n > p⇒ un ∈ Vδ(0)
⇔ ∀δ > 0, ∃p ∈N : n > p⇒ |un| < δExemplo 3.3.3 Prove que a sucessão de termo geral an =
5
2n + 5
é
um infinitésimo.
59. Prove, usando a definição, que as se-
guintes sucessões são infinitésimos:
(a) an =
1
n
(b) bn =
n + 1
n2
(c) cn =
2
2n + 3
Resolução: Queremos mostrar que δ > 0, ∃p ∈N : n > p⇒ |an| < δ.
Ora,
|an| < δ⇔
∣∣∣∣ 52n + 5
∣∣∣∣ < δ⇔ 52n + 5 < δ⇔ 5 < 2nδ + 5δ
⇔2nδ + 5δ > 5⇔ 2nδ > 5− 5δ⇔ n > 5− 5δ
2δ
.
Assim, tomando p ≥ 5− 5δ
2δ
, temos que é verdadeira a proposição
∀δ > 0, ∃p ∈N : n > p⇒ |an| < δ.
Então, lim an = 0 ou an tende para 0. Portanto, an é um infinitésimo.
42 esacs - 2016/17
Exemplo 3.3.4 Consideram-se infinitésimos de referência as seguin-
tes sucessões de termo geral:
an =
1
n
bn =
1
n2
cn =
1√
n
dn =
1
2n
3.3.2 Teoremas sobre sucessões convergentes
Teorema 3.3.5 (Limite de uma constante)
Toda a sucessão constante é convergente e converge para essa constante.
60. Demonstre o Teorema 3.3.5.Este teorema é geralmente enunciado da seguinte forma: o limite de uma
constante é a própria constante.
61. Verifique, pela definição, que
lim 5 = 5
.
Exemplo 3.3.6 Considerando a sucessão (vn) de termo geral vn = 5,
∀n ∈N. Ora, lim vn = lim 5 = 5, ou ainda vn → 5.
Teorema 3.3.7 (Unicidade do limite)
O limite de uma sucessão, quando existe, é único. 62. Demonstre o Teorema 3.3.7
Exemplo 3.3.8 Mostre que a sucessão de termo geral
un = (−1)n−2 ·
5
3
é divergente.
Resolução: Calculemos os primeiros quatro termos de (un).
u1 = (−1)1−2 ·
5
3
= (−1)−1 · 5
3
= −1 · 5
3
= −5
3
;
u2 = (−1)2−2 ·
5
3
= (−1)0 · 5
3
= 1 · 5
3
=
5
3
;
u1 = (−1)3−2 ·
5
3
= (−1)1 · 5
3
= −1 · 5
3
= −5
3
;
u1 = (−1)4−2 ·
5
3
= (−1)2 · 5
3
= 1 · 5
3
=
5
3
.
Verificamos que
un = (−1)n−2 ·
5
3
=

−5
3
se n é ímpar
5
3
se n é par
,
ou seja, a subsucessão dos termos de ordem par, converge para
5
3
e a dos
termos de ordem ímpar converge para −5
3
; pelo que a sucessão (un) não
pode ter como limite
5
3
e −5
3
(Teorema 3.3.7). Logo (un) não tem limite e
por isso é uma sucessão divergente oscilante.
matemática 12º ano 43
Teorema 3.3.9 (Subsucessão de uma sucessão convergente)
Toda a subsucessão de uma sucessão convergente converge para o mesmo
limite.
63. Prove que a sucessão de termo geral
un =
1 + (−1)n
2
é divergente.
Exemplo 3.3.10 Considerando a sucessão de termo geral un =
1
n
,
temos que vn =
1
2n
é uma subsucessão de (un) e un → 0. Logo,
vn → 0
Teorema 3.3.11 (Critério de convergência)
Toda a sucessão monótona e limitada é convergente.
Exemplo 3.3.12 Prove, utilizando o critério de convergência, que a
sucessão de termo geral an =
2n + 1
n + 3
é convergente.
64. Utilize o Teorema 3.3.11 para justifi-
car que são convergentes as sucessões
definidas por:
(a) an =
2
n
(b) bn = 5−
1
n
65. Nem todas a sucessões limitadas são
convergentes. Dê um exemplo que
confirme esta afirmação.
66. Justifique que toda a sucessão conver-
gente é limitada.
Resolução: Faremos o estudo da sucessão quanto a monotonia e a limita-
ção.
Monotonia:
Aplicando a definição, vem:
an+1 − an =
2(n + 1) + 1
n + 1 + 3
− 2n + 1
n + 3
=
2n + 3
n + 4
− 2n + 1
n + 3
=
2n2 + 6n + 3n + 9− 2n2 − n− 8n− 4
(n + 3)(n + 4)
=
5
(n + 3)(n + 4)
> 0, ∀n ∈N.
Como an+1 − an > 0, ∀n ∈N, então (an) é monótona crescente.
Limitação:
Pretende-se mostrar que ∃L ∈ R+ : |an| ≤ L, ∀n ∈N.
Ora,
|an| ≤ L⇔
∣∣∣∣2n + 1n + 3
∣∣∣∣ ≤ L⇔ 2n + 1n + 3 ≤ L⇔ 2n + 1 ≤ nL + 3L
⇔ nL− 2n ≥ 1− 3L⇔ n(L− 2) ≥ 1− 3L
⇔ n ≥ 1− 3L
L− 2
Tomando L = 3, tem-se n ≥ −8, que é uma condição universal em N.
Logo, (an) é limitada.
Portanto, como (an) é monótona e limitada, então é convergente.
44 esacs - 2016/17
3.4 Infinitamente grandes
Consideremos a sucessão dos números pares: un = 2n e escrevemos seus
seis primeiros termos:
2, 4, 6, 8, 10, 12, . . .
Existirá um número par maior do que todos os outros?
Não. Por maior que seja o número par que se imagine, existe sempre um
maior do que ele e todos os números pares seguintes são também maiores
do que o número imaginado.
Diz-se que a sucessão dos números pares é um infinitamente grande
positivo ou que tende para mais infinito. Simbolicamente escreve-se:
lim(2n) = +∞ ou 2n→ +∞.
3.4.1 Infinitamente grande positivo
Definição: Uma sucessão (un) é um infinitamente grande positivo
sse, qualquer que seja o número real positivo L, existe uma ordem a
partir da qual todos os termos de (un) são maiores que L, isto é,
(un) é infinitamente grande positivo ⇔
∀L > 0 ∃p ∈N : n > p⇒ un > L.
Simbolicamente escreve-se: un → +∞ ou lim un = +∞.
Exemplo 3.4.1 Mostrar que a sucessão de termo geral bn = 2n + 1 é
uma infinitamente grande positivo.
67. Prove que são infinitamente grandes
positivos
un = 3n + 1 e vn = 5n + 1.
Resolução: Pretende-se provar que ∀L > 0, ∃p ∈N : n > p⇒ bn > L.
Seja L > 0 qualquer,
un > L⇔ 2n + 1 > L⇔ 2n > L− 1⇔ n >
L− 1
2
.
Assim, tomando p um número natural maior ou igual a
L− 1
2
, temos que
todos os termos da sucessão de ordem superior a p são maiores do que L, ou
seja, é verdadeira a proposição ∀δ > 0, ∃p ∈N : n > p⇒ bn > L.
Então, lim bn = +∞ ou bn → +∞. Portanto, bn é uma infinitamente
grande positivo.
Exemplo 3.4.2 Consideram-se infinitamente grandes positivos de re-
ferência as seguintes
an = n
bn = n2
cn =
√
n
dn = 2n
matemática 12º ano 45
3.4.2 Infinitamente grande negativo
Definição: Uma sucessão (un) é um infinitamente grande negativo
sse a sucessão (−un) cujos termos são simétricos dos da sucessão
(un), é um infinitamente grande positivo, isto é,
(un) é um infinitamente grande negativo ⇔
(−un) é um infinitamente grande positivo,
ou seja, un → −∞⇔ −un → +∞.
Exemplo 3.4.3 Mostre que a a sucessão de termo geral cn = 1− 5n é
um infinitamente grande positivo.
68. Prove que são infinitamente grandes
negativos as sucessões definidas por:
(a) an = 8− n
(b) bn = 1− n2
Resolução: Para mostrar que lim un = −∞ temos de mostrar que
lim(−un) = +∞, ou seja,
∀L > 0, ∃p ∈N : n > p⇒ −un > L.
Seja L > 0 qualquer.
Ora, −un > L ⇔ −1 + 5n > L ⇔ 5n > L + 1 ⇔ n >
L + 1
5
. Assim,
tomando p um número natural maior ou igual a
L + 1
5
, temos que os termos
da sucessão (−un) de ordem superior a p são maiores dos L, ou seja, é
verdadeira a proposição ∀δ > 0, ∃p ∈N : n > p⇒ −un > L.
Então, lim(−un) = +∞ e assim lim un = −∞. Portanto, (un) é um
infinitamente grande negativo.
Exemplo 3.4.4 Consideram-se infinitamente grandes negativos de
referência as seguintes sucessões de termo geral:
an = −n bn = −n2 cn = −
√
n dn = −2n
3.4.3 Infinitamente grande em módulo
Definição: Uma sucessão (un) é um infinitamente grande em mó-
dulo sse a sucessão (|un|) cujos termos são o módulo dos termos da
sucessão (un), é um infinitamente grande positivo, isto é,
(un) é um infinitamente grande em módulo ⇔ un → +∞ ⇔ (|un|)
é um infinitamente grande positivo, ou seja, |un| → +∞.
Exemplo 3.4.5 Mostre que a sucessão de termo geral
dn = (−1)n · (1− 3n)
é uma infinitamente grande em módulo.
46 esacs - 2016/17
69. A sucessão de termo geral (−1)n(n +
3) é um infinitamente grande. Justifi-
que
70. Considere a sucessão definida por
un = n + (−1)n · n + 3.
(a) Mostre que não é limitada.
(b) Prove que não é um infinitamente
grande.
Resolução: Para mostrar que (dn) é um infinitamente grande em módulo
temos de mostra que lim(|dn|) = +∞, ou seja, ∀L > 0, ∃p ∈ N : n >
p⇒ |dn| > L.
Sela L > 0 qualquer. Ora,
|dn| > L⇔ |(−1)n · (1− 3n)| > L⇔ |(−1)n| · |1− 3n| > L
− 1 + 3n > L⇔ 3n > L + 1⇔ n > L + 1
3
.
Assim, tomando p um número natural maior ou igual a
L + 1
3
, temos que
todos os termos da sucessão (|dn|) de ordem superior a p são maiores do que
L, ou seja, é verdadeira a proposição ∀δ > 0, ∃p ∈N : n > p⇒ |dn| > L.
Então, lim(|dn|) = +∞ e portanto, (dn) é um infinitamente grande em
módulo.
Exemplo 3.4.6 Consideram-se infinitamente grandes em módulo de
referência as seguintes sucessões de termo geral:
(a) an = (−1)n · n
(b) bn = (−1)n · n2
(c) cn = (−1)n ·
√
n
(d) dn = (−1)n · 2n
3.4.4 Teorema sobre infinitamente grandes e infinitésimos
Teorema 3.4.7 O inverso de umainfinitamente grande é um infinitésimo
e vice-versa, isto é,
se un → ∞, então
1
un
→ 0 com un 6= 0, ∀n ∈N e
se un → 0, então
1
un
→ ∞ com un 6= 0, ∀n ∈N.
Exemplo 3.4.8 Para provar que lim
1
5 + 3n
= 0, basta provar que
lim(5 + 3n) = +∞, ou seja,
∀L > 0, ∃p ∈N : n > p⇒ 5 + 3n > L.
Seja L > 0 qualquer.
Ora, 5 + 3n > L⇔ 3n > L− 5⇔ n > L− 5
3
. Assim, tomando p um
número natural maior ou igual a
L− 5
3
, temos que todos os termos
da sucessão (5 + 3n) de ordem superior a p são maiores do que L, ou
seja, é verdadeira a proposição ∀δ > 0, ∃p ∈N : n > p⇒ 5 + 3n > L.
Então, lim(5 + 3n) = +∞ e portanto, lim
1
5 + 3n
= 0.
matemática 12º ano 47
3.5 Classificação de sucessões
Quanto à existência e natureza do limite, as sucessões classificam-se em:
SUCESSÕES

CONVERGENTES
(o limite é um número real)
DIVERGENTES

PROPRIAMENTE DIVERGENTES
(o limite é +∞ ou −∞)
OSCILANTES
(não tem limite)
Exemplo 3.5.1 A sucessão de termo geral
un =
 2 se n é par1
n
, se n é ímpar
devido ao teorema da unicidade do limite da limite.
Por outro lado a sucessão de termo geral vn = (−1)n · n.
3.6 Operações com sucessões convergentes
Sejam (an) e (bn) duas sucessões convergentes em que: lim an = a e
lim bn = b, com a, b ∈ R.
Então, verificam-se as seguintes propriedades:
71. Se un → a e k ∈ N, prove que
lim(kun) = ka
(Sugestão: kun = un + un + . . . + un︸ ︷︷ ︸
k parcelas
)
72. Considere as sucessões definidas por:
an =
n + 3
n
e bn =
2n + 1
n
.
Calcule:
(a) lim(an + bn)
(b) lim(an × bn)
(c) lim
an
bn
(d) lim
√
an
Propriedade 3.6.1
• lim(an ± bn) = lim an ± lim bn = a± b
• lim(an × bn) = lim an × lim bn = a× b
• lim
(
an
bn
)
=
lim an
lim bn
=
a
b
(bn 6= 0, ∀n ∈N e b 6= 0)
Nota: Se a 6= 0 e b = 0, lim an
bn
= ±∞,
( a
0
= ±∞, a 6= 0
)
• lim
(
abnn
)
= (lim an)
lim bn = ab
(a e b não podem ser simultaneamente nulos)
• lim k
√
an =
k
√
lim an = k
√
a (se k é par, então an ≥ 0, ∀n ∈N∧ a ≥ 0)
Exemplo 3.6.1 Considerando as sucessões de termo geral
un = 1−
1
n
e vn =
3n + 1
2n
.
Calcule:
(a) lim un (b) lim vn
(c) lim
[(
2un − vn
un
)2]
48 esacs - 2016/17
73. Calcule os seguintes limites:
(a) lim
(
4 +
1
n
)
(b) lim
(
3− 1
n
)(
2n + 1
n
)
(c) lim
4n2 − 9
n2
(d) lim
√
4− 1
n
(e) lim
√
n2 + 1
n2
74. A sucessão de termo geral un =
1
n
é
um infinitésimo.
Prove que:
(a) lim
1
n2
= 0
(b) lim
1
np
= 0, sendo p ∈N
(c) lim
k
np
= 0, sendo p ∈N e k ∈ R
Resolução: Quebra de linha
(a) lim un = lim
(
1− 1
n
)
= lim 1− lim 1
n
= 1− 0 = 1
(b)
lim vn = lim
3n + 1
2n
= lim
(
3n
2n
+
1
2n
)
= lim
3n
2n
+ lim
1
2n
= lim
3
2
+
1
2
lim
1
n
=
3
2
+
1
2
× 0 = 3
2
+ 0 =
3
2
(c)
lim
[(
2un − vn
un
)2]
=
[
lim
(
2un − vn
un
)]lim 2
=
[
lim
(
2un
un
− vn
un
)]2
=
[
lim
(
2− vn
un
)]2
=
(
lim 2− lim vn
un
)2
=
(
2− lim vn
lim un
)2
=
(
2−
3
2
1
)2
=
(
2− 3
2
)2
=
(
1
2
)2
=
1
4
.
3.7 Operações com sucessões divergentes
Considere-se duas sucessões (an) e (bn) que têm por limite +∞, ou seja,
lim an = +∞ e lim bn = +∞.
Então, lim(an + bn) = lim an + lim bn = +∞.
Simbolicamente, escreve-se: (+∞) + (+∞) = +∞.
Tomando a ∈ R \ {0}, outros resultados podem simbolicamente ser assim
escritos:
Propriedade 3.7.1
• (−∞) + (−∞) = −∞
• (+∞) · (+∞) = +∞ (+∞) · (−∞) = −∞ (−∞) · (−∞) = +∞
• a× (+∞) =
{
+∞ se a > 0
−∞ se a < 0
a× (−∞) =
{
−∞ se a > 0
+∞ se a < 0
• a + (+∞) = +∞ a + (−∞) = −∞ a− (+∞) = −∞ a− (−∞) = +∞
•
+∞
a
=
{
+∞ se a > 0
−∞ se a < 0
−∞
a
=
{
−∞ se a > 0
+∞ se a < 0
•
a
±∞ = 0
a
0
= ∞
matemática 12º ano 49
75. Como sabe, a sucessão de termo geral
un = n é um infinitamente grande
positivo. A partir deste conhecimento
determine:
(a) lim(3n)
(b) lim(−4n)
(c) lim(−4n2)
Exemplo 3.7.1 Considerando as sucessões de termo geral
un = 2 +
3
n
e vn = −2n.
Calcule:
(a) lim un
(b) lim vn
(c) lim(un · vn)
(d) lim(3vn)
(e) lim
(
−1
2
vn
)
76. Determine
(a) lim(n3 + n4)
(b) lim(−3n3 + 1)
(c) lim(
√
n + 1 +
√
n)
77. Considere as sucessões (un) e (vn)
definidas por:
un =
2n + 3
5n
e vn = 2n− 1.
Calcule:
(a) lim un
(b) lim(un + vn)
(c) lim(un − vn)
(d) lim(un × vn)
(e) lim
un
vn
(f) lim
vn
un
Resolução: aaaaaa
(a) lim un = lim
(
2 +
3
n
)
= lim 2 + lim
3
n
= 2 + 3 lim
1
n
= 2 + 3× 0
= 2
(b) lim vn = lim(−2n) = lim(−2) lim n = −2× lim n = −2× (+∞)
= −∞
(c) lim(un · vn) = lim un · lim vn = 2× (−∞) = −∞
(d) lim(3vn) = lim 3 · lim vn = 3× (−∞) = −∞
(e) lim
(
−1
2
vn
)
= lim
(
−1
2
)
· lim vn = −
1
2
× (−∞) = +∞
3.8 Indeterminações
Do cálculo de limites com sucessões convergentes podem resultar situações
do tipo
0
0
ou 00 e quando os cálculos envolvem operações com sucessões
divergentes podem acontecer casos de ∞−∞, ∞
∞
, 0×∞, ∞0 e 1∞.
Nestes casos não é possível indicar, de uma forma direta, o limite. Por
vezes esse limite nem existe. São situações chamadas de indeterminação.
Quando, efetuando alguns cálculos, se consegue determinar o limite, diz-se
que se levantou a indeterminação.
As indeterminações a estudar são do tipo
∞
∞
,
0
0
, 0×∞ e ∞−∞.
50 esacs - 2016/17
3.8.1 Indeterminações do tipo
∞
∞
Exemplo 3.8.1 Calcule o seguinte limite: lim
3n2 + 2n + 1
−4n2 + 2 .
78. Determine os seguintes limites:
(a) lim
4n2 + 3n + 5
5n2 + 3
(b) lim
3n3 + 4n2 − 3n + 2
4n2 + 3n + 2
(c) lim
1− 2n + 3n2
1− n3
79. Calcule:
(a) lim
√
n2 + 1 + 2n
n + 3
(b) lim
√
n2 + 3√
n + 1
(c) lim
√
n2 + n + 3 + n√
4n2 + n
Resolução: Temos que
lim(3n2 + 2n + 1) = lim 3× lim(n2) + lim 2× lim n + lim 1
= 3× (+∞) + 2× (+∞) + 1
= (+∞) + (+∞) + 1 = +∞ + 1 = +∞
e
lim(−4n2 + 2) = lim(−4)× lim(n2) + lim 2
= −4× (+∞) + 2 = −∞
Logo, lim
3n2 + 2n + 1
−4n2 + 2 =
∞
∞
.
Para levantar indeterminações deste tipo existem dois processos diferentes:
1º Processo: Dividir o numerador e o denominador pela maior
potência de n.
lim
3n2 + 2n + 1
−4n2 + 2 = lim
3n2
n2 +
2n
n2 +
1
n2
−4n2
n2 +
2
n2
= lim
3 + 2n +
1
n2
−4 + 2n2
=
lim 3 + lim 2n + lim
1
n2
lim(−4) + lim 2n2
=
3 + 0 + 0
−4 + 0
= −3
4
2º Processo: Pôr em evidência no numerador e no denominador
o termo em n de maior grau.
lim
3n2 + 2n + 1
−4n2 + 2 = lim
3n2
(
1 + 23n +
1
3n2
)
−4n2
(
1− 24n2
) = lim 3n2−4n2 × 1 +
2
3n +
1
3n2
1− 24n2
= lim
(
−3
4
)
×
lim 1 + lim 23n + lim
1
3n2
lim 1− lim 24n2
= −3
4
× 1 + 0 + 0
1− 0 = −
3
4
De um modo geral, as indeterminações do tipo
∞
∞
levantam-se da seguinte
forma:
lim
P(n)
Q(n)
= lim
a0np + a1np−1 + . . . + ap
b0nq + b1nq−1 + . . . + bq
= lim
a0np
(
1 + a1a0n + . . . +
ap
a0np
)
b0nq
(
1 + a1b0n + . . . +
bq
b0nq
)
= lim
a0np
b0nq
×
1 + a1a0n + . . . +
ap
a0np
1 + a1b0n + . . . +
bq
b0nq
= lim
a0np
b0nq
× 1 = lim a0n
p
b0nq
.
matemática 12º ano 51
Ou seja, este tipo de indeterminação levanta-se, normalmente, através do
cálculo do limite do quociente entre os termos de mais alta potência do
numerador e do denominador.
3.8.2 Indeterminações do tipo 0×∞
80. Definidas duas sucessões por
an =
1
2n + 1
e bn = 3n2 + n,
calcule:
(a) lim an (b) lim bn (c) lim(an ·
bn)
81. Defina duas sucessões (un) e (vn),
uma infinitésimo e outra infinita-
mente grande, de modo que
lim(un · vn) = 2
.
Este tipo de indeterminação reduz-se a indeterminações do tipo
∞
∞
, efetu-
ando cálculos.
Exemplo 3.8.2 Calcular o seguinte limite: lim
(
1
n
· n
3 + 5
n2
)
.
Resolução:
lim
(
1
n
· n
3 + 5
n2
)
0×∞
= lim
n3 + 5
n3
∞
∞= lim
n3
n3 +
5
n3
n3
n3
=
lim 1 + lim 5n3
lim 1
=
1 + 0
1
= 1
3.8.3 Indeterminações
0
0
82. Sejam (un) e (vn) as sucessões defini-
das por:
un =
2
1− 3n e vn =
4
n + 1
(a) (un) e (vn) são infinitésimos.
Porquê?
(b) Calcule lim
un
vn
83. Calcule o limite do quociente dos se-
guintes pares de infinitésimos:
(a) un =
1
3− n2 e vn =
2
n3 + 1
(b) an =
1
3− 2n4 e bn =
2
n
(c) tn =
2
3n + 1
e sn =
3
2n + 3
Este tipo de indeterminações também se reduz a indeterminações do tipo
∞
∞
, efetuando cálculos.
Exemplo 3.8.3 Calcule lim
2
n2+n
5
n2+7.
Resolução:
lim
2
n2+n
5
n2+7
0
0= lim
2(n2 + 7)
5(n2 + n)
= lim
2n2 + 14
5n2 + 5n
∞
∞== lim
2n2
5n2
=
2
5
Exemplo 3.8.4 Calcule lim
1√
n
2
n+3
.
Resolução:
lim
1√
n
2
n+3
0
0= lim
n + 3
2
√
n
=
∞
∞== lim
n+3
n
2
√
n
n
= lim
1 + 3n
2
√
1
n
=
1
0
= +∞
52 esacs - 2016/17
3.8.4 Indeterminações do tipo ∞−∞
Este tipo de indeterminações levanta-se por dois processos diferentes:
1º Processo: Pôr em evidência o termo em n de maior grau (no caso
dos polinómios).
Exemplo 3.8.5 Calcular o seguinte limite: lim(2n3 − n).
84. Calcule, se existir, o limite de an + bn,
em cada um dos seguintes casos:
(a) an = 5n + 3 bn =
1
2
− 5n
(b) an = 2n3 − 8 bn = −n− 4n2
(c) an = 2n bn = −n
Resolução: Quebra de linha
lim(2n3 − n) ∞−∞= lim
[
2n3
(
1− n
2n3
)]
= lim
(
2n3
)
× lim
(
1− 1
2n2
)
= (+∞)× (1− 0) = +∞
2º Processo: Multiplicar e dividir pelo conjugado da soma (no caso
dos radicais).
Exemplo 3.8.6 Calcular o seguinte limite: lim
(√
n− 1−
√
n
)
.
85. Calcule:
(a) lim(
√
n + 1−
√
n)
(b) lim(
√
n2 + 3n + 2−
√
n2 + 1)
(c) lim(
√
n2 + 2n + 3−
√
n2 + 4n + 5)
Resolução: Quebra de linha
lim
(√
n− 1−
√
n
)
∞−∞
= lim
(√
n− 1−
√
n
) (√
n− 1 +
√
n
)(√
n− 1 +
√
n
)
= lim
(√
n− 1
)2 − (√n)2(√
n− 1 +
√
n
)
= lim
n− 1− n(√
n− 1 +
√
n
) = lim −1(√
n− 1 +
√
n
) = 0
3.9 Sucessão do tipo an (a ∈ R, n ∈N)
Seja (un) uma sucessão de termo geral un = an.
Então, quanto à monotonia e à convergência, tem-se:
a ∈ R Monotonia Convergência
a > 1 Monótona crescente
Propriamente divergente
un → +∞
a = 1 Constante
Convergente
un → 1
0 < a < 1 Monótona decrescente Convergente
(infinitésimo)
un → 0
a = 0 Constante
−1 < a < 0
Não monótonaa = −1
Divergente oscilante
a < −1
matemática 12º ano 53
Exemplo 3.9.1 Estude cada uma das seguintes sucessões quanto à
monotonia e à convergência:
(a) un =
(
3
2
)n
(b) vn =
(
−2
3
)n
Resolução: Quebra de linha
(a) Como
3
2
> 1, então (un) é monótona crescente e propriamente divergente
(un → +∞).
(b) Como −1 < −2
3
< 0, então é não monótona e é um infinitésimo
(vn → 0).
3.9.1 Limites de sucessões do tipo an (a ∈ R, n ∈N)
Exemplo 3.9.2 Determine cada um dos seguintes limites:
lim
2n+1 + 3n
2n
.
86. Calcule, se existir, os seguintes limi-
tes:
(a) lim
[
4n −
(
1
4
)n]
(b) lim
3n
πn
(c) lim
(
2n
5n
− 5
n
2n
)
(d) lim
[
(−1)n · (−3)n−1
]
Resolução: Quebra de linha
Para levantar a indeterminação devemos dividir ambos os ter-
mos da fração pelo termo de maior base ou maior expoente.
lim
2n+1 + 3n
2n
= lim
2n+1
3n +
3n
3n
2n
3n
= lim
2n
3n · 2 + 1( 2
3
)n
= lim
( 2
3
)n · 2 + 1( 2
3
)n = 0 · 2 + 10+ = 10+ = +∞
Outro processo:
lim
2n+1 + 3n
2n
= lim
2n+1
2n+1 +
3n
2n+1
2n
2n+1
= lim
1 + 3
n
2n ·
1
2
2n
2n ·
1
2
= lim
1 +
( 3
2
)n · 12
1 · 12
=
1 + (+∞)
1
2
= +∞
54 esacs - 2016/17
Exemplo 3.9.3 Determine cada um dos seguintes limites:
lim
(
5n+1 − 6n
)
.
87. Calcule, se existir, o limite de:
(a)
2n+1 + 3n
4n
(b)
4n + 1(
1
3
)n
(c) (−1)n−1 · (−2)n · (−3)n+1
Resolução: Quebra de linha
Para levantar a indeterminação devemos colocar em evidência o
termo de maior base ou maior expoente.
lim
(
5n+1 − 6n
)
= lim
[
5n+1
(
1− 6
n
5n+1
)]
= lim (5n · 5) · lim
(
1− 6
n
5n+1
)
= lim (5n · 5) · lim
(
1− 6
n
5n
· 1
5
)
= lim (5n · 5) · lim
[
1−
(
6
5
)n
· 1
5
]
= +∞ ·
[
1−
(
+∞ · 1
5
)]
= +∞ · (−∞) = −∞.
Outro processo:
lim
(
5n+1 − 6n
)
= lim
[
6n
(
5n+1
6n
− 1
)]
= lim (6n) ·
(
5n
6n
· 5− 1
)
= lim (6n) · lim
[(
5
6
)n
· 5− 1
]
= +∞ · (0 · 5− 1)
= +∞ · (−1) = −∞.
3.9.2 Soma de todos os termos de uma progressão geométrica
Nota
S1 = u1
S2 = u1 + u2
S3 = u1 + u2 + u3
. . .
S15 = u1 + u2 + . . . + u15
. . .
Sn = u1 + u2 + un
. . .
Quando n → +∞ obtém-se a soma de
todos os termos da sucessão (un).
Ao estudar-se as progressões geométricas, foi apresentada a fórmula para
determinar a soma de n termos consecutivos de uma progressão geométrica
(un):
Sn = u1 ·
1− rn
1− r , com r 6= 1.
Se se designar por S a soma de todos os termos de (un), ou seja, o limite
de Sn quando n→ +∞, tem-se:
S = lim Sn = lim
(
u1 ·
1− rn
1− r
)
, com r 6= 1.
Se |r| < 1, ou seja, −1 < r < 1, então rn → 0, logo vem
S = lim Sn =
(
u1
1− r
)
.
matemática 12º ano 55
Exemplo 3.9.4 Determina a soma de todos os termos de uma progres-
são geométrica (un) em que u1 = 1 e r =
1
2
.
88. Determine a soma de todos os termos
da progressão geométrica de que co-
nhece:
(a) r =
1
3
e u1 = −9
(b) r =
1
2
e u1 = −
1
4
(c) u2 = −30 e u3 = −90
Resolução: Como −1 < r < 1, então S = u1
1− r .
Logo,
S =
1
1− 12
=
1
1
2
= 2.
Portanto, a soma de todos os termos de (un) é 2.
Exemplo 3.9.5 Determina a soma de todos os termos da progressão
geométrica de termo geral vn =
3n−2
5
.
89. Considere a sucessão de termo geral
un = 3 · 2n−1.
(a) Prove que (un) é uma progressão
geométrica;
(b) Calcule a soma Sn do n primeiro
termos da sucessão;
(c) Calcule o limite de (Sn).
Resolução:
r =
vn+1
vn
=
3n+1−2
5
3n−2
5
=
5 · 3n−1
5 · 3n−2 = 3
n−1−n+2 = 3, ∀n ∈N
e
v1 =
31−2
5
=
3−1
5
=
1
3
5
=
1
15
.
Logo,
S = lim Sn = lim
(
1
15
· 1− 3
n
1− 3
)
= lim
(
1− 3n
−30
)
= lim
(
− 1
30
)
· lim (1− 3n)
= − 1
30
· [1− (+∞)] = − 1
30
· (−∞) = +∞.
Portanto, a soma de todos os termos de (vn) é +∞.
Exemplo 3.9.6 Determine uma designação fracionária da dízima infi-
nita periódica 0, (45).
90. Escreva com a fracionária
(a) 0, (2)
(b) 1, (27)
(c) 2, 5(126)
Resolução: Consideremos a sucessão 0, 45; 0, 0045; 0, 000045; . . . que é
uma progressão geométrica de razão
r =
0, 0045
0, 45
=
0, 000045
0, 0045
= . . . =
1
100
.
Ora a soma de todos os termos desta sucessão
0, 45 + 0, 0045 + 0, 000045 + . . .
é o número 0, 45454545 . . . = 0, (45). Portanto
lim Sn =
0, 45
1− 0, 01 =
0, 45
0, 99
=
45
99
=
5
11
,
ou seja,
0, (45) =
5
11
.
56 esacs - 2016/17
3.10 O número de Neper
Considere-se a sucessão (un) de termo geral un =
(
1 +
1
n
)n
.
Determine-se alguns dos seus termos e veja-se o que acontece quando
n→ ∞.
u1 =
(
1 +
1
1
)1
= 2
u2 =
(
1 +
1
2
)2
= 2, 25
u3 =
(
1 +
1
3
)3
= 2, (370)
. . .
u5 =
(
1 +
1
5
)5
= 2, 48832
. . .
u10 =
(
1 +
1
10
)10
= 2, 59374
. . .
u100 =
(
1 +
1
100
)100
= 2, 70481
. . .
u1000 =
(
1 +
1
1000
)1000
= 2, 71692
. . .
u10 000 =
(
1 +
1
10 000
)10 000
= 2, 71815
Verifica-se que a sucessão se aproxima cada vez mais de um número.
A esse número irracional dá-se o nome de número de Neper e representa-
se por e. A sua descoberta atribui-se a um lorde escocês chamado John
Napier, que em 1614 publicou um livro que lhe levou mais de 20 anos a
escrever e que revolucionou a Matemática da época.
Neper não se apercebeu da importância deste número. Só um século de-
pois, com o desenvolvimento do cálculo infinitesimal, se veio a reconhecer
o papel de relevo de tal número.
Hoje este número é importante em quase todas as áreas do conhecimento:
economia, engenharia, biologia, sociologia, etc.
Assim, escreve-se:
lim
n→∞
(
1 +
1
n
)n
= e ou
(
1 +
1
n
)n
→ e.
Uma aproximação do número e com dez casas decimais é a seguinte:
e = 2, 7182818284.
matemática 12º ano 57
3.10.1 Aplicação do número de Neper ao cálculo de limites
Sejam (un) uma sucessão de números reais, a, k ∈ R e k 6= 0.
(a) Quebra de linha
lim
(
1 +
1
un
)un
= e e lim
(
1 +
k
un
)un
= ek
91. Calcule:
(a) lim
(
1 +
3
n
)n
(b) lim
(
2n− 5
2n
)2n
Exemplo 3.10.1
(a) lim
(
1 +
1
2n
)2n
= e
(b) lim
(
1− 2
3n
)3n
= e−2 =
1
e2
(b) Quebra de linha
lim
(
1 +
1
n
)n+a
= lim
[(
1 +
1
n
)n
·
(
1 +
1
n
)a]
= lim
(
1 +
1
n
)n
· lim
(
1 +
1
n
)a
= e · 1 = e
92. Calcule:
(a) lim
(
1 +
1
3n
)3n−7
(b) lim
(
n + 1
n
)n+1
Exemplo 3.10.2
(a) lim
(
1 +
1
n
)3+n
= lim
(
1 +
1
n
)3
· lim
(
1 +
1
n
)n
= 1 · e = e
(b) lim
(
1 +
1
n
)n−5
= lim
(
1 +
1
n
)n
· lim
(
1 +
1
n
)−5
= e · 1 = e
(c) Quebra de linha
lim
(
1 +
1
n + a
)n
= lim
(
1 +
1
n + a
)n+a−a
= lim
[(
1 +
1n + a
)n+a
·
(
1 +
1
n + a
)−a]
= lim
(
1 +
1
n + a
)n+a
· lim
(
1 +
1
n + a
)−a
= e · 1 = e
Exemplo 3.10.3
(a) lim
(
1 +
1
n + 3
)n
= lim
(
1 +
1
n + 3
)n+3−3
= lim
(
1 +
1
n + 3
)n+3
· lim
(
1 +
1
n + 3
)−3
= e · 1 = e
(b) lim
(
1 +
1
n− 4
)n
= lim
(
1 +
1
n− 4
)n−4+4
= lim
(
1 +
1
n− 4
)n−4
· lim
(
1 +
1
n− 4
)4
= e · 1 = e
(d) Quebra de linha
lim
(
1 +
1
n
)kn
= lim
[(
1 +
1
n
)n]k
=
[
lim
(
1 +
1
n
)n]lim k
= ek
58 esacs - 2016/17
Exemplo 3.10.4
(a) lim
(
1 +
1
n
)−3n
= lim
[(
1 +
1
n
)n]−3
=
[
lim
(
1 +
1
n
)n]lim(−3)
= e−3 =
1
e3
(b) lim
(
1− 5
3n
)6n
= lim
[(
1− 5
3n
)2·3n]
=
[
lim
(
1− 5
3n
)3n]lim 2
=
(
e−5
)2
= e−10 =
1
e10
(e) Quebra de linha
lim
(
1 +
1
kn
)n
= lim
[(
1 +
1
kn
)kn· 1k ]
=
[
lim
(
1 +
1
kn
)kn]lim 1k
= e
1
k
Exemplo 3.10.5
(a) lim
(
1 +
1
10n
)n
= lim
[(
1 +
1
10n
)10n· 110 ]
=
[
lim
(
1 +
1
10n
)10n]lim 110
= e
1
10
(b) lim
(
1− 2
3n
)n
= lim
[(
1− 2
3n
)3n· 13 ]
=
[
lim
(
1− 2
3n
)3n]lim 13
=
(
e−2
) 1
3
= e−
2
3 =
1
e
2
3
=
1
3√e2
3.10.2 Limite da sucessão
(
(an)
bn
)
Para além das indeterminações já estudadas:
∞
∞
;
0
0
; 0×∞ e ∞−∞
são também indeterminações:
1∞; 00 e ∞0
Estas indeterminações podem surgir no cálculo do limite da sucessão(
abnn
)
.
Para já vamos resolver alguns casos de indeterminações do tipo 1∞ apli-
cando os teoremas seguintes.
Teorema 3.10.6 Se (an) e (bn) são duas sucessões tais que:
lim an = 1 e lim bn = +∞
então
lim abnn = e
lim bn(an−1).
Teorema 3.10.7
lim
[
(g(n)) f (n)
]
= lim g(n)lim f (n), g(n) > 0, ∀n ∈N
matemática 12º ano 59
Exemplo 3.10.8 Calcule lim
(
1 +
3
n
)√n
93. Calcule cada um dos seguintes limi-
tes:
(a) lim
(
n− 2
n + 3
)3n+1
(b) lim
(
1 +
1
n2
)n
(c) lim
(
n + 1
n + 3
) n
3
(d) lim
(
n2 + n + 1
n2 + 5
)2n2+3
(e) lim
(
n2 + 1
n2 + 3
)5n2−3n
Resolução: Aplicando o Teorema 3.10.6, vem:
lim
(
1 +
3
n
)√n
= elim
√
n(1+ 3n−1) = elim
(
3
√
n
n
)
= e0 = 1
Aplicando o Teorema 3.10.7, vem:
lim
(
1 +
3
n
)√n
= lim
[(
1 +
3
n
)n]√nn
= lim
[(
1 +
3
n
)n]lim √nn
=
(
e3
)0
= 1
Exemplo 3.10.9 Calcule lim
(
n2 + n− 3
n2 − 2
)n+5
94. Calcule cada um dos seguintes limi-
tes:
(a) lim
(
n− 2
n + 5
)n+4
(b) lim
(
n2 + 3
2n + 2
)n2−5
(c) lim
(
2n + 4
2n + 3
) 3
2 n−1
(d) lim
(
5
7
· 3n− 1
2n
)n
(e) lim
(
1− 3
n2
)n
(f) lim
(
1 +
5
n
) √n
3
Resolução: Aplicando o Teorema 3.10.6, vem:
lim
(
n2 + n− 3
n2 − 2
)n+5
= elim
[
(n+5)·
(
n2+n−3
n2−2
−1
)]
= elim
[
(n+5)·
(
n2+n−3−n2+2
n2−2
)]
= elim
[
(n+5)·
(
n−1
n2−2
)]
= e1 = e
Aplicando o Teorema 3.10.7, vem:
lim
(
n2 + n− 3
n2 − 2
)n+5
= lim
(
1 +
n− 1
n2 − 2
)n+5
= lim
(
1 +
1
n2−2
n−1
)n+5
= lim
(1 + 1n2−2
n−1
) n2−2
n−1

(n+5)· n−1
n2−2
= elim
(n+5)(n−1)
n2−2 = e1 = e
60 esacs - 2016/17
Exercícios do Capítulo 3
1. Indique os erros de
3
2
,
1
5
, 0.6 e
7
3
relativamente ao número
3.
2. Identifique a vizinhança de raio 0.5 do ponto 2.1.
3. Averigue se π pertence à vizinhança de raio 0.04 de 3.1.
4. Defina, na forma de intervalo, as seguintes vizinhanças e
indique o centro e o raio da vizinhança:
(a) V2,1(4)
(b) V0,5
(
1
8
)
(c) V√9
(
5
3
)
(d) V10−1
(
−9
10
)
(e) V0,02(2, 3)
5. Defina como uma vizinhança os conjuntos:
(a) ]3, 7 ; 8, 2[
(b)
{
x ∈ R : |x + 2| < 2
3
}
(c) ]4 , 6[
(d)
]
1
8
, 8
[
(e) ]
√
9 , 6[
(f)
{
x ∈ R : |x− 2| < 10−2
}
6. Verifique se cada um dos seguintes conjuntos é ou não
vizinhança dos números a indicados:
(a) {x ∈ R : −1 < x < 1} e a = 0
(b) [−2, 2] e a = 0
(c) {x ∈ R : −3 < x < 1} e a = −1
(d) {x ∈ R : |x| < 5} e a = 5
(e) {x ∈ R : 0, 009 < x < 1, 001} e a = 1
(f) {x ∈ R : −5 < x + 2 < 5} e a = −2
7. Considere a sucessão un =
2 + 3n
2n + 3
. Prove que a partir de
u11 (exclusive) todos os termos verificam
un ∈ V0,1
(
3
2
)
.
Interprete graficamente.
8. Calcule a ordem a partir da qual todos os termos da suces-
são (un) pertencem a vizinhança de 3 de raio 0, 01.
9. Considere a sucessão (un) definida por un =
3n + 1
n
.
(a) Determine uma ordem p ∈ N, a partir da qual to-
dos os termos da sucessão (un) verificam a condição
|un − 3| < 0, 001.
(b) Prove, usando a definição, que un → 3.
10. Prove, por definição, que as sucessões definidas pelos ter-
mos gerais seguintes tendem para −2:
(a) an = −2−
1
n
(b) bn =
1− 2n
n
(c) cn =
6n + 7
1− 3n
11. Prove por definição de limite que são verdadeiras as pro-
posições:
(a) lim
2
n + 5
= 0 (b) lim
2n + 5
3n− 25 =
2
3
12. Mostre que a sucessão de termo geral un = 2−
(−1)n
n
converge para 2 e não é monótona.
13. Considere a sucessão (un) de termo geral
un =
3n + 2
n + 1
(a) Prove que (un) é monótona e limitada e daí conclua
sobre a sua convergência.
(b) Confirme o resultado anterior, determinando o limite
de (un).
14. Justifique que a sucessão
un =
2− n
3− 2n
é convergente.
15. Considere a sucessão (un) de termo geral un = 1− 4n.
(a) Determine uma ordem a partir da qual todos os termos
da sucessão são inferiores a −10 000.
(b) Prove, usando a definição de limite, que lim un = −∞.
16. Dadas as seguintes sucessões:
an = 3 + 3n
bn =
(
−1
2
)−2n+3 cn = 3 + 2n4
dn = 1− n
(a) Mostre que as sucessões an e cn são infinitamente gran-
des positivos.
(b) Mostre que as sucessões bn e dn são infinitamente gran-
des negativos.
17. Classifique as seguintes sucessões.
(a) n
√
n2 + n + 1
n− 3
(b) n
√
2n + 1
18. Diga se as seguintes sucessões são convergentes ou diver-
gentes e, no caso de serem convergentes, calcule o limite:
matemática 12º ano 61
(a) f (n) = 2n2 + 1n2 + 1
(b) f (n) = n3 − 106n2
(c) f (n) =
2
n
(d) f (n) =
n + 1
n2
(e) f (n) =
n + 1
n2 + 1
(f) f (n) =
n2
3n
(g) f (n) =
n2 + 1
n
(h) f (n) =
n2 + n5 + 2n
n2 + n4
(i) f (n) =
5n3 − 2n
n4 + 3n2 − 10
(j) f (n) =
(
1
n
− 1
n + 1
)
(k) f (n) =
n− 1
n2 − 1
(l) f (n) =
(
1 +
1
n
)n
(m) f (n) = n
[(
a +
1
n
)4
− a4
]
(n) f (n) = 3
√
n
(o) f (n) =
√
n + 1−
√
n
(p) f (n) =
√
n
(√
n + a−
√
n
)
(q) f (n) = (−1)n ·
(
n + 1
n
)
(r) f (n) =
1 + (−1)n
n
(s) 2(−1)n + 100
n + 1
(t) f (n) = (−1)n ·
(
1
n
)
(u) f (n) =

5n + 1
n
n par
5n− 1
n
n ímpar
(v) f (n) =
1 + 12 +
1
4 + . . . +
1
2n
1 + 13 +
1
9 + . . . +
1
3n
(Lembre-se de que o nu-
merador e o denominador
são somas de n termos de
progressão geométrica).
19. Considere os seguintes Sucessões de termo geral:
an = 5n− 2
bn =
2n + 6
n + 1
cn =
2
2n + 3
dn =
2n− 1
2− n
Calcule o limite da sucessão:
(a) lim(an ± bn)
(b) lim(cn · dn)
(c) lim(bn ± cn)
(d) lim(an ÷ cn)
20. Dadas as sucessões: f (n) =
1
n
e g(n) =
n + 1
2n
:
(a) Para que valores convergem?
(b) Qual a função definidora de h(n) = f (n) + g(n)?
h(n) é convergente?
21. Idem ao exercício anterior para a sucessão
h1(n) = f (n) · g(n).
22. Idem ao exercício anterior para a sucessão
h2(n) = f (n)− g(n).
23. Idem ao exercício anterior para a sucessão h3(n) =
f (n)
g(n)
.
24. Calcule cada um dos limites:
(a) lim n3
(b) lim n−3
(c) lim
3
n + 1
(d) lim
2
n4
(e) lim
(√
2− 1
)
(f) lim
−2n + 7
3
(g) lim
3− n
1 + 2n
(h) lim
5n + 2
n + 3
+ 4
(i) lim
(
n2 − 1
n
)
(j) lim
(
8n− 5
27n
) 1
3
(k) lim
(
2n
n + 3
)−3
(l) lim
(√
n + 1− 2 + 1
n + 1
)
(m) lim
√
n3 + n
25. Considere a sucessão de termo geral
un = 3n2 − 5.
Indique um termo geral de uma sucessão (vn) com limite
−∞, tal que:
(a) lim (un + vn) = 0
(b) lim (un + vn) = +∞
(c) lim (un − vn) = −∞
(d) lim (un + vn) = 4
26. Considere as sucessões de termo geral
un = 2 +
3
n
vn = n3 + 2 wn = −
√
n
Indique, se possível:
(a) lim (wnvn)
(b) lim (un + vn)
(c) lim (unwn)
(d) lim (wn)2
27. Calcule cada um dos limites, identificando as indetermina-
ções:
(a) lim
(
−2n3 + n5
)
(b) lim
(
3n4 − 5n
)
(c) lim
(
4n+1 − πn
)
(d) lim
(
n−
√
n2 + 1
)
(e) lim
n3 + 3n− 4
n2 + 5n
(f) lim
−n2 + 2n + 3
5− 4n2
(g) lim
3− n2
2n3 + n− 1
(h) lim
5n + 2
5n+1 − 1
(i) lim
2n − 3n+1
2n+1 − 3n
(j) lim
√
n2 + 2n
3n
(k) lim
1− 5n√
n4 + 1
(l) lim
√
n−3
n− 9
(m) lim
(
n2 + 1
4
× 1
n2 − 2
)
(n) lim(3n − 5)× 2−n
28. Determina os seguintes limites
(a) lim
n√
n2 + 12−
√
12
(b) lim 2n3 − n
(c) lim
5−
√
n
25− n
(d) lim
(n + 3)3 − 27
n
(e) lim
1
n2 + 3
√
n2 + 2n
(f) lim
√
n + 1−
√
n− 3
29. A sucessão de termo geral un =
2n
n + 1
tem limite 2.
(a) Explique verbalmente o que se entende por
“lim un = 2".
(b) Determine a mais baixa ordem a partir da qual todos
os termos da sucessão distam do limite 2 menos do que
0.05.
(c) Repita a alínea anterior para uma distância menor que
0.5.
(d) Represente num gráfico os 4 primeiros termos da suces-
são. Ilustre nesse gráfico os resultados obtidos e, (b) e
(c).
Retirado de um teste!
30. Seja sucessão de termo geral un = (−1)n
√
1
n + 1
.
(a) Calcule o limite l desta sucessão.
62 esacs - 2016/17
(b) Verifique, utilizando a definição de limite, que, de facto,
lim un = l.
(c) Determine a ordem a partir da qual todos os termos da
sucessão se encontram na vizinhança δ = 0.1 do limite
l.
Retirado de um teste!
31. (a) Defina limite de uma sucessão real.
(b) Calcule o limite da sucessão de termo geral
un =
(
1 + 2n
2n
)2n+1
.
(c) Seja a sucessão de termo geral vn =
1
2n
.
i. Mostre, pela definição, lim vn = 0.
ii. Determine a ordem a partir da qual todos os termos
da sucessão se encontram na vizinhança δ = 0.25 do
limite 0.
Retirado de um teste!
32. Considera a sucessão un = an, a ∈ R. Estude a monotonia
e classifique-a quanto à sua convergência.
(a) a =
1
3
(b) a = −2
(c) a = 3
(d) a = −1
3
33. Determina os seguintes limites
(a) lim(1− 3n)5
(b) lim
[
3(−1)2n + 100n + 1
n + 1
]
(c) lim
2n + 7n
7n
(d) lim(5n + 2n)
2
n
34. Estude quanto a convergência as sucessões seguintes:
(a) n
√
an + bn, se 0 < a < b
(b) n
√
2n + 1
(c)
2n − πn+1
πn − 2n+1
35. (a) Suponha que depositou 1000 euros num banco à um
juro anual de i = 5%. Calcule o montante da sua conta
no fim do primeiro ano se a capitalização dos juros se
faz:
i. anualmente;
ii. mensalmente;
iii. semanalmente;
iv. diariamente;
v. todas as horas;
vi. ao minuto.
(b) Observe que a sua conta aumenta sempre que o número
de capitalizações por ano aumenta, mas aquele cresci-
mento não ultrapassa um determinado limite superior.
Que limite é esse?
(c) Formalize a alínea anterior, indicando o factor a ser
aplicado aos 1000 euros quando se atinge aquele limite
superior. (Diz-se então que o juro é capitalizado de
forma contínua.)
(d) Suponha agora que, em vez de 1000 euros, tem uma
quantia P e que o período de investimento é t anos em
vez de 1 ano. Qual a quantia que irá ter no fim dos t
anos se a capitalização for contínua?
36. Determina os seguintes limites
(a) lim
(
1 +
1
2n
)n
(b) lim
(
1− 1
n2
)n
(c) lim
(
2n + 1
2n + 3
)2n
(d) lim
(
3n + 2
3n + 5
)n2
37. Estude quanto a convergência as sucessões seguintes:
(a)
(
1 +
1
n2
)n
(b)
(
1 +
1
2n
)n
(c)
(
2n + 1
2n + 3
)2n
(d)
(
3n + 2
3n + 5
)n2
(e)
(
n10 − 1
n10
)n5
38. Calcule cada um dos seguintes limite:
(a) lim
(
n + 1
n
)n+1
(b) lim
(
n + 1
n
)n
(c) lim
(
1 +
1
3n
)3n−5
(d) lim
(
1 +
4
n
)5n
(e) lim
(
n
n + 5
)n
(f) lim
(
n2 + 3
n2
)−n2
39. Mostre que:
(a) lim
[(
2
3
)
·
(
n
n + 2
)n]
= 0
(b) lim
[(
3
2
)
·
(
n
n + 2
)n]
= +∞
40. Calcule o limite de cada uma das seguintes sucessões:
(a) an =
(
1 +
3
n
)2n
(b) bn =
(
1− 0, 5
2n
)2n
(c) cn =
(
en
−1 + en
)en
(d) dn =
(
n + 2
n + 1
)n
(e) un =
(
n + 5
n + 1
)2n
(f) vn =
(
3n + 1
n + 1
)n+1
(g) wn =
(
n12 − 1
n12
)n6
(h) tn =
(
n2 + n + 2
n2 + 1
)2n−1
(i) rn =
(
1− 2
n4
)n2
(j) sn =
(
3n2 + 1
n2 + 3
)n2
41. Calcule c de modo que:
lim
(
n + 2
n + 3
)cn+1
= e3
42. Relacione a e b de modo que:
lim
(
an + 2
an
)n+1
= lim
(
n + 1
n + 3
)abn−1
4 FUNÇÕES EXPONENCIAIS
"Aquele que tentou e não conseguiu é superior àquele que nada tentou."
Arquimedes
Introdução
Os babilônios foram os primeiros a utilizar potências.
Várias de suas tabletas trazem registros de tabelas de números exponenciais, por meio das quais eles calculavam
juros compostos.
As potências foram utilizadas na Antiga Grécia por Arquimedes e Diofanto, no século III. Arquimedes, em uma
de suas teorias, mostrou que para preencher o Universo seriam necessários 1063 grãos de areia; e Diofanto, em
sua principal obra, Arithmetica, apresentou um sistema de abreviações para potências.
Na Europa do século XIV, Nicole Oresme sugeriu, em sua obra Algorismus Proportionum, o uso de notações
especiais para potências fracionárias e as primeiras ideias sobre potência irracional.
Nicolas Chuquet, matemático francês, em sua obra Triparty, propôs expressões com expoente zero e expoentes
negativos, juntamente com potências inteiras positivas.
A notação exponencial para potências, na forma que utilizamos hoje, foi introduzida por Descartes, século XVII.
4.1 Potencia de base positiva e expoente racional
Historial...
Arquimedes foi um dos maiores mate-
máticos e provavelmente o maior da
antiguidade.
Pouco se sabe sobre a sua vida, apenas
que nasceu e viveu na cidade grega de
Siracusa e escreveu várias obras sobre
Matemática e Física.
Seu interesse em aplicações era muito
grande, razão que o levou a criar vários
dispositivos mecânicos, dentre eles a
bomba de água em parafuso, utilizada
para irrigar campos.
Arquimedes, 287-212 a.C.
Antes de iniciar o estudo da função exponencial, vamos fazer uma breve
revisão sobre potências.
Definição: Dados um número real positivo a e um número natural
n, potência de base a e expoente n é o número an que é o produto
de n factores iguais a a,
an = a · a · a · . . . · a︸ ︷︷ ︸
n factores
Exemplo 4.1.1
(a) 72 = 7 · 7 = 49
(b)
(
1
3
)4
=
(
1
3
)(
1
3
)(
1
3
)(
1
3
)
=
1 · 1 · 1 · 1
3 · 3 · 3 · 3 =
1
81
(c)
(
3√4
)3
= (
3√4)( 3
√
4)( 3
√
4) = 3
√
4 · 4 · 4 = 3
√
43 = 4
64 esacs - 2016/17
95. Calcule:
(a) (0, 01)5 × 1005;
(b)
(√
3
)5
×
(
−
√
3
)
;
(c)
(√
24
)3
÷ (
√
6)3;
(d) (0, 125)−2;
(e)
(
0, 240
)2
÷
(
−25
)0
;
(f) 64
1
2 e 32
2
5 .
96. Simplifique:
(a)
(
2ab3
5x4
)4
;
(b)
(
3x2y
a2b3
)2
÷
(
3xy2
2a2b2
)3
;
(c)
2n+4 − 2 · 2n
2 · 2n+4 .
A potencia assim definida goza de algumas propriedades:
Propriedade 4.1.1 (Propriedades da potência) Se a e b são números
reais positivos, m e n são números naturais, então:
P.1 : am · an = am+n
P.2 :
am
an
= am−n
P.3 : (a · b)n = an · bn
P.4 : (am)n = am·n
P.5 :
( a
b
)m
=
am
bm
P.6 : a−n =
1
an
=
(
1
a
)n
e
( a
b
)−n
=
(
b
a
)n
P.7 : a0 = 1
P.8 : a
m
n =
n√am
4.2 Função exponencial
Depois de estudado o conceito geral de potências, estamos em condições
de estudar a função exponencial.
Definição: Uma função exponencial de base a é uma função
f : R → R da forma f (x) = ax, em que a é uma constante real
positiva e diferente de 1.
A base a = 1 é excluída porque tornaria f (x) = 1x = 1 que é uma função
constante, não uma função exponencial.
Exemplo 4.2.1 São exemplos de funções exponenciais, em R,
a) f (x) = 2x
b) g(x) =
(
1
2
)x c) h(x) = (0.12)x d) p(x) = (√2)x
Esboçamos ponto-por-ponto os gráficos das duas primeiras funções do
exemplo anterior:
Consideremos uma tabela com alguns valores da função f (x) = 2x
Note que:
• Domínio: R;
• Contradomínio: R+;
• ax > 0, ∀x ∈ R e f (0) = 1;
• f é estritamente crescente;
• f é injetiva.
Tudo isso decorre do facto de a base ser
um número maior que 1 (2 > 1).
x 2x
−3 1
8
−2 1
4
−1 1
2
0 1
1 2
2 4
3 8
x
f (x)
−3 −2 −1 1 2 3
1
2
3
4
5
6
7
8
matemática 12º ano 65
Do mesmo modo apresentamos a tabela com alguns valores da função g(x) =
(
1
2
)x
Note que:
• Domínio: R;
• Contradomínio: R+;
• ax > 0, ∀x ∈ R e g(0) = 1;
• g é estritamente decrescente;
• g é injetiva.
Tudo isso decorre do facto de a base ser
um número entre 0 e 1
(
0 <
1
2
< 1
)
.
x
(
1
2
)x
−3 8
−2 4
−1 2
0 1
1
1
2
2
1
4
3
1
8
x
f (x)
−3 −2 −1 1 2 3
1
2
3
4
5
6
7
8
As características das funções esboçadas acima são generalizadas para
quaisquer valores de a.
4.3 Propriedades da funçãoexponencial
x
f (x)
2x3x
7x
Figura 4.1: Gráficos funções Exponenci-
ais com base a > 1.
x
f (x)0, 5x
0, 3x
0, 1x
Figura 4.2: Gráficos funções Exponenci-
ais com base 0 < a < 1.
E.1 : Sendo a > 0 e a 6= 1, tem-se que:
ax = ay ⇔ x = y.
E.2 : A função exponencial f (x) = ax é crescente em todo o seu domínio,
se e somente se, a > 1.
xx1 x2
ax1
ax2
y
f (x) = ax (a > 1) Tem-se, então:
ax2 > ax1 ⇔ x2 > x1,
∀ a ∈ R e a > 1.
E.3 : A função exponencial f (x) = ax é decrescente em todo o seu domínio,
se e somente se, 0 < a < 1.
xx1x2
ax1
ax2
y
f (x) = ax (0 < a < 1)
Tem-se, então:
ax2 > ax1 ⇔ x2 < x1,
∀ a ∈ R e 0 < a < 1.
E.4 : Toda a função exponencial, isto é, f (x) = ax, com a ∈ R+ e a 6= 1, é
bijetiva.
66 esacs - 2016/17
4.4 Equação exponencial
É toda equação cuja incógnita se apresenta no expoente de uma ou mais
potencias de bases positivas e diferentes de 1.
Exemplo 4.4.1 São equações exponenciais,
(a) 3x = 9 (b) 52x + 5x = 30 (c)
(
1
8
)x
= 2
A resolução de uma equação exponencial baseia-se na propriedade E.1,
isto é, sendo a > 0 e a 6= 1, tem-se que: ax = ay ⇔ x = y.
Apresentamos, como exemplos, a resolução de alguns tipos de equações
exponenciais.
Exemplo 4.4.2 Resolva em R a equação 125x = 625.
97. Resolva em R as equações:
(a) 64x = 256
(b) (
√
2)x =
√
8
(c)
√
3x−1 =
(
5√9x
)2
(d)
(
6√
32x+1
)5
=
3√2
Resolução: Resolvemos esta equação transformando-a numa igualdade de
duas potências de mesma base. Para isso, factorizamos os números 125 e
625:
125 5
25 5
5 5
1
⇒ 125 = 53;
625 5
125 5
25 5
5 5
1
⇒ 625 = 54;
Assim, temos:
125x = 625⇔
(
53
)x
= 54 ⇔ 53x = 54 E.1⇐⇒ 3x = 4⇔ x = 4
3
.
Logo, S =
{
4
3
}
.
Exemplo 4.4.3 Resolva em R a equação 2x = 1.
98. Determine, em R, o conjunto solução
de cada uma das equações:
(a) 13x = 1
(b) 52x−1 = 1
(c) 7x = 8x
(d) 25x+2 = 125x+5
(e) 92x−1 = 275x+1
(f)
(
3
2
)x
=
27
8
(g)
(
8
27
)3x+1
=
(
4
9
)x
Resolução: O número 1 pode ser escrito como 20.
Logo, 2x = 1⇔ 2x = 20, portanto pela propriedade E.1, temos x = 0.
Logo, S = {0}.
Exemplo 4.4.4 Resolva em R a equação 3x = 2x.
Resolução: Dividindo ambos os membros da equação por 2x, temos:
3x = 2x ⇔ 3
x
2x
=
2x
2x
⇔
(
3
2
)x
= 1⇔
(
3
2
)x
=
(
3
2
)0
E.1⇐⇒ x = 0.
Logo, S = {0}.
matemática 12º ano 67
Exemplo 4.4.5 Resolva em R a equação 9x − 10 · 3x + 9 = 0.
99. Determine o conjunto dos valores x,
x ∈ R, que satisfazem cada uma das
equações:
(a) 2x+1 + 2x−1 = 20
(b) 3x+1 − 3x+2 = −54
(c) 2 · 3x−1 + 4 · 3x−2 = 30
(d) e2x − 3ex + 2 = 0
(e) 4x − 6 · 2x + 8 = 0
(f) 9x − 4 · 3x+1 + 27 = 0
(g) 4x+1 − 2x+1 − 56 = 0
Resolução: A equação pode ser escrita sob a forma:
(32)x − 10 · 3x + 9 = 0⇔ (3x)2 − 10 · 3x + 9 = 0.
Fazendo a mudança de variável 3x = t, temos:
t2 − 10t + 9 = 0⇒ t = 10±
√
64
2
=
10± 8
2
⇔ t = 9∨ t = 1.
Voltando a variável x, temos:
3x = 9∨ 3x = 1 ⇔ 3x = 32 ∨ 3x = 30
⇔ x = 2∨ x = 0.
Logo, S = {0, 2}.
Exemplo 4.4.6 Resolva em R a equação 3x+1 + 9x−1 = 10.
100. Resolva em R as equações:
(a) 2x+3 + 2x−1 = 17
(b) 3x − 10
(√
3
)x
+ 9 = 0(
Sugestão: 3 = (
√
3)2.
)
(c)
(√
2
)x+4
+
(
4√2
)x
− 5 = 0(
Sugestão:
√
2 =
(
4√2
)2
.
)
(d) 8x − 3 · 4x + 2x+1 = 0
Resolução:
3x+1 + 9x−1 = 10⇔ 3x+1 + (32)x−1 = 10⇔ 3x+1 + 32x−2 = 10
⇔ 3x · 3 + 32x · 3−2 = 10⇔ 3 · 3x + (3
x)2
9
= 10.
Fazendo a mudança de variável 3x = t, temos:
3t +
t2
9
= 10⇔ 27t + t
2
�9
=
90
�9
⇔ 27t + t2 − 90 = 0.
t =
−27±
√
1089
2
=
−27± 33
2
⇔ t = 3∨ t = −30.
Voltando à variável x temos:
3x = 3∨ 3x = −30 ⇔ 33 = 31 ∨���
��3x = −30
⇔ x = 1
Logo, S = {1}.
68 esacs - 2016/17
Exemplo 4.4.7 Resolva o sistema de equações exponenciais seguinte:{
22x+y = 4
2x−y = 2−
1
2
101. Resolva, em ordem a x e y, os seguin-
tes sistemas:
(a)
{
2 · 5x + 3 · 3y+1 = 331
10 · 5x−1 − 3y = 241
(b)
{
3x+y = 243
3x−y = 27
(c)
{
3x − 3y = 8
3x−y = 9
(d)
{
2x + 3y−2 = 7
2x−1 + 2 · 3y = 56
Resolução:{
22x+y = 4
2x−y = 2−
1
2
⇔
{
22x+y = 22
2x−y = 2−
1
2
⇔
 2x + y = 2x− y = −1
2
⇔
{
y = 2− 2x
−−−−
⇔
 −−−−−−−−x− (2− 2x) = −1
2
⇔
 −−−−x− 2 + 2x = −1
2
⇔
{
−−−−
2x− 4 + 4x = −1
⇔
{
−−
6x = 3
⇔
 −−x = 1
2
⇔
 y = 2− 2
(
1
2
)
−−−−
⇔
 y = 1x = 1
2
S =
{(
1
2
, 1
)}
.
Exemplo 4.4.8 Resolva o sistema de equações exponenciais: 8
x
2 · 16y−1 = 1
5
x
4−4y =
1
5
102. Resolva os seguintes sistemas de
equações:
(a)
{
4x = 16y
2x+1 = 4y
(b)
{
22(x
2−y) = 100 · 52(y−x2)
x + y = 5
(c)
{
2x − 2y = 24
x + y = 8
(d)
 3
x − 2y2 = 77
3
x
2 − 2
y2
2 = 7
Resolução: 8
x
2 · 16y−1 = 1
5
x
4−4y =
1
5
⇔

(
23
) x
2 ·
(
24
)y−1
= 20
5
x
4−4y = 5−1
⇔
{
2
3x
2 · 24y−4 = 20
5
x
4−4y = 5−1
⇔
{
2
3x
2 +4y−4 = 20
5
x
4−4y = 5−1
⇔

3x
2
+ 4y− 4 = 0
x
4
− 4y = −1
⇔
{
3x + 8y− 8 = 0
x− 16y = −4
⇔
{
−−−−−
x = −4 + 16y
⇔
{
3(−4 + 16y) + 8y− 8 = 0
−−−−−−−−−−
⇔
{
−12 + 48y + 8y− 8 = 0
−−−−−−−−−−
⇔
{
56y = 20
−−−−
⇔
 y =
20
56
=
5
14
−−−−−−
⇔
 −−−−−−−x = −4 + 16( 5
14
) ⇔

y =
5
14
x =
12
7
S =
{(
12
7
,
5
14
)}
.
matemática 12º ano 69
4.5 Inequação exponencial
Inequação exponencial é toda inequação cuja incógnita se apresenta no
expoente de uma ou mais potências de bases positivas e diferentes de 1.
Exemplo 4.5.1 São inequações exponenciais, entre outras, as expres-
sões:
(a) 5x > 25 (b) 3x + 3x+1 ≤ 12 (c) 3x ≥ 2x
A resolução de uma inequação exponencial baseia-se em uma das proprie-
dades, E.2 ou E.3, das funções exponenciais.
E.2: ax2 > ax1 ⇔ x2 > x1, ∀a ∈ R e a > 1.
Ou seja, o sentido da desigualdade entre duas potências de mesma base
a, a > 1, mantém-se para os expoentes.
E.3: ax2 > ax1 ⇔ x2 < x1, ∀a ∈ R e 0 < a < 1.
Ou seja, o sentido da desigualdade entre duas potências de mesma base
a, 0 < a < 1, é invertido para os expoentes.
Vejamos alguns exemplos resolvidos:
Exemplo 4.5.2 Resolva em R a inequação 253x−1 > 125x+2.
103. Resolva em R as inequações:
(a) 163x−1 > 82x+5
(b)
(
1
9
)3x−1
≤
(
1
3
)2x
(c) (0, 3)4x−5 > (0, 3)2x+1
(d) (
√
2)3x−1 ≤ 4
√
8
(e) (
√
0, 6)3x−2 ≥ 0, 6
(f)
(
1
3
)2x−1
> 3x+2
(g) 3x+1 + 2 · 3x−1 ≥ 11
(h) 4x − 3 · 2x + 2 < 0
(i) 25
x
2 + 5x−1 > 150
(j) 9x − 4 · 3x+1 + 27 > 0
Resolução:
253x−1 > 125x+2 ⇔ (52)3x−1 > (53)x+2 ⇔ 56x−2 > 53x+6.
Como a base das potências é 5 e, portanto, maior que 1, temos, pela pro-
priedade E.2, que o sentido da desigualdade mantém-se para os expoentes.
Assim temos:
56x−2 > 53x+6 ⇔ 6x− 2 > 3x+ 6⇔ 6x− 3x > 6+ 2⇔ 3x > 8⇔ x > 8
3
.
Logo, S =
{
x ∈ R : x > 8
3
}
=
]
8
3
,+∞
[
.
70 esacs - 2016/17
Exemplo 4.5.3 Resolva em R a inequação
(
1
8
)2x−5
≤
(
1
4
)x+1
.
Resolução:
(
1
8
)2x−5
≤
(
1
4
)x+1
⇔
[(
1
2
)3]2x−5
≤
[(
1
2
)2]x+1
⇔
(
1
2
)6x−15
≤
(
1
2
)2x+2
Como a base
(
1
2
)
das potências é um número entre 0 e 1, temos, pela
propriedade E.3, que o sentido da desigualdade é invertido para os expoentes.
Assim temos:(
1
2
)6x−15
≤
(
1
2
)2x+2
⇔ 6x− 15 ≥ 2x + 2
⇔ 6x− 2x ≥ 2 + 15
⇔ 4x ≥ 17⇔ x ≥ 17
4
.
Logo, S =
{
x ∈ R : x ≥ 17
4
}
=
[
17
4
,+∞
[
Exemplo 4.5.4 Resolva em R a inequação
9x−1 < 81x+1 ≤ 273x+5.
104. Resolva em R as inequações:
(a) 2x−1 < 22x+1 ≤ 43x+1
(b)
(
1
2
)x−2
< 4x+1 < 162x+3
(c) 9x+1 ≤ 272x−5 ≤ 2434x+1
105. Resolva em R as inequações:
(a) (
√
0, 39)x
2−5x+6 < 1
(b) (
√
1, 8)x
2−6x+5 ≥ 1
Resolução:
9x−1 < 81x+1 ≤ 273x+5 ⇔ (32)x−1 < (34)x+1 ≤ (33)3x+5
⇔ 32x−2 < 34x+4 ≤ 39x+15 E.2⇐⇒ 2x− 2 < 4x + 4 ≤ 9x + 15
⇔
{
4x + 4 > 2x− 2
4x + 4 ≤ 9x + 15
⇔
 x > −3 (I)x ≥ −11
5
(II)
−11
5
−3
Vê-se portanto que (I) ∩ (II) =
{
x ∈ R : x ≥ −11
5
}
.
Logo,
S =
{
x ∈ R : x ≥ −11
5
}
=
[
−11
5
,+∞
[
.
matemática 12º ano 71
Exemplo 4.5.5 Resolver em R a inequação
2
(
1
4
)x
− 3
(
1
2
)x
+ 1 ≥ 0.
106. Resolva em R as inequações:
(a) 3x
2−2x < 2x
2−2x
(b) 3x−1 · 2x−1 ≥ 12x−1
(c) 8x > 0
(d) 9x < −1
(e)
32x−1 − 3x
9x
< 0
(Sugestão: lembre-se de que 9x é
positivo para todo x, x ∈ R.)
107. Resolva em R a inequação
3− 9x+1
4− 2x−1 < 0
Resolução:
2
(
1
4
)x
− 3
(
1
2
)x
+ 1 ≥ 0⇔ 2
[(
1
2
)2]x− 3
(
1
2
)x
+ 1 ≥ 0
⇔ 2
[(
1
2
)x]2
− 3
(
1
2
)x
+ 1 ≥ 0.
Fazendo a mudança de variável
(
1
2
)x
= t, temos: 2t2 − 3t + 1 ≥ 0.
O gráfico da função f (t) = 2t2 − 3t + 1 é uma parábola:
1
2
1
+ +
x
y Temos que
f (t) ≥ 0⇔ t ≤ 1
2
∨ t ≥ 1.
Voltando à variável x, temos:(
1
2
)x
≤ 1
2
E.3⇐⇒ x ≥ 1 (I)
ou (
1
2
)x
≥ 1⇔
(
1
2
)x
≥
(
1
2
)0
E.3⇐⇒ x ≤ 0. (II)
0 1
Portanto, (I) ∪ (II) = {x ∈ R : x ≤ 0∨ x ≥ 1}.
Logo,
S = {x ∈ R : x ≤ 0∨ x ≥ 1} =]−∞, 0] ∪ [1,+∞[.
72 esacs - 2016/17
Exemplo 4.5.6 Resolva a inequação:
x−1√
7x+1 ÷ x+1
√
7x−1 <
√
343.
Resolução:
x−1√
7x+1 ÷ x+1
√
7x−1 <
√
343⇔ 7
x+1
x−1 ÷ 7
x−1
x+1 <
(
73
) 1
2
⇔ 7
x+1
x−1−
x−1
x+1 < 7
3
2 ⇔ x + 1
x− 1 −
x− 1
x + 1
<
3
2
⇔ x + 1
x− 1 −
x− 1
x + 1
− 3
2
< 0
⇔ 2(x + 1)
2 − 2(x− 1)2 − 3(x2 − 1)
2(x + 1)(x− 1) < 0
⇔ 2(x
2 + 2x + 1)− 2(x2 − 2x + 1)− 3x2 + 3
2(x + 1)(x− 1) < 0
⇔ 2(x
2 + 2x + 1− x2 + 2x− 1)− 3x2 + 3
2(x + 1)(x− 1) < 0
⇔ −3x
2 + 8x + 3
2(x + 1)(x− 1) < 0
Para resolução da ultima desigualdade, fazemos recurso do quadro de sinal.
Os zeros do numerador são −1
3
e 3; Os zeros de denominador são −1 e 1.
x −1 −1
3
1 3
−3x2 + 8x + 3 − − − 0 + + + 0 −
2(x + 1)(x− 1) + 0 − − − 0 + + +
−3x2 + 8x + 3
2(x + 1)(x− 1) − N.D + 0 − N.D + 0 −
S = ]−∞,−1[ ∪
]
−1
3
, 1
[
∪ ]3,+∞[ .
matemática 12º ano 73
Exercícios do Capítulo 4
1. Exprima, na forma mais simplificada:
(a) 32−
1
5
(b) 16
3
4
(c) (−2)−
1
2 × (−3)−
1
2 ÷ 6
4
5
(d)
3−
1
2 × 5√
3× 3
√
5
(e)
(
3−
1
2 + 5−
1
2
)2
2. Efetue as operações e apresente o resultado o mais simplifi-
cados possível:
(a) 32 × 34÷3−7
(b) 2
1
3 × 3
1
3 ÷ 3−
1
3
(c) (−3)−5 × 53 × 4
1
2 × 10−
1
2 × 35
(d) 3−
3
2 × 5−
2
3 ÷ 15
1
2
(e) 8−
2
3 × 8−
1
3 ÷ 4−2
(f)
[
(−3)−
1
2 × (−2)−
1
2 × 6
2
3
]6
3. Calcule o valor de:
(a) 2−
1
2
(b) 4
1
2
(c)
(
− 1
27
)− 13
(d) (−8)−
1
3
(e)
(
−2
3
)−2
4. Escreva como potência de base 2 os seguintes números:
(a) 8
(b) 16−1
(c) 16−3
(d) 3
√
16
(e)
1
32
(f)
(
1
2
)−2
5. Efetue as operações e simplifique o resultado:
(a) x
1
4 × x−
1
2 ÷ x
3
4
(b)
3−
3
2 × 31 ÷ 3− 53
3
√√
3−1
(c)
x
1
3
(
x
1
2 × x−2
)−1
(
x−1
) 1
2
(d)
x 3
√
y
x
√
y
×
(
x−1y−2
)− 13
(e)
(
x−2y−3
x−1y4
)−2
(f)
x
3
2 ÷ x 23(
x
1
2
)3
÷ 3
√
x
6. Calcule, com aproximação às milésimas:
(a)
3−
1
2 · (−2)−4(
1
2
)− 12 · 5− 12 (b)
3
√
18 · 183
9−
1
2
7. Sabendo que 5x = 2, qual o valor de:
(a) 52x?
(b) 5−x?
(c) 5
x
2 ?
(d) 25−x?
(e) 5x+1?
8. Sabendo que 3x+1 = 6, calcula o valor de:
(a) 3x (b) 32x (c) 3
x
2 (d) 3−x+1
9. Escreva as expressões seguintes na forma de produto.
(a) 5x+1 − 5x
(b)
(
1
2
)x
+ 21−x
(c) 8x+1 + 23x−2
(d) 4x + 2x+1
10. Partindo do gráfico da função y = 3x, descreva como pode
obter o gráfico das funções seguintes:
(a) y1 = 3x−2
(b) y2 = −3x−2
(c) y3 = 4− 3x−2
(d) y4 = 3|x|
(e) y5 = −|3x|
11. Classifique as funções exponenciais em crescente ou decres-
cente:
(a) f (x) =
(√
20
)x
(b) f (x) =
(
9
5
)x
(c) f (x) = 6−x
(d) f (x) = 0, 2x
(e) f (x) = 4
x
2
(f) f (x) =
(
1
5
)2x
12. Para quais valores reais de k a função f (x) =
(
5
k
)x
é de-
crescente?
13. Determine x tais que:
(a) 2x = 512
(b) 0, 2x = 25
(c) 2x+1 − 2x−1 = 192
(d) 9x − 4 · 3x = −3
14. Resolva, em R, cada uma das seguintes equações:
(a) 4x =
1
16
(b)
(
1
10
)x
= 1000
(c) 125 = 52−x
(d)
6x
2x
= 243
(e) 8x = 2x × 32
(f)
4x+3
2x+2
= 64
15. Resolva em ordem a x as seguintes equações:
(a) 3x+1 = 9
(b) 21−x
2
=
1
8
(c) 2x+3 + 4x+1 − 320 = 0
(d) (32)x+1 = 9
(e) 5x
2−5x+5 = 1
(f) 4x − 5× 2x+1 + 25 = 0
16. Resolva cada uma das seguintes equações:
(a) 5−x+1 = 5−3x+6
(b) 9 · 3x = 729
(c) 0, 5−x+1 = 2−x+3
(d)
1
16
= 21−x
2
(e) 4x − 6 · 2x + 5 = 0
(f) 3x + 3−x+1 − 4 = 0
(g) 4x+1 − 320 = 2x+3
(h) 1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 2x = 4095
(i) 3x + 3x−1 + 3x−2 + 3x−3 + 3x−4 + 3x−5 = 364
74 esacs - 2016/17
17. Resolva, em R, as seguintes equações:
(a) 2−x+2 = 22x+1
(b) 2x+1 = 128
(c) 32x+1 =
(
1
3
)x−2
(d) 3x
2−1 =
(
1
9
)−1
(e) 2x × 5x = 100
(f) 52x−2 = 25x
2−x
(g) 25x − 3× 5x + 2 = 0
(h) 8x+1 = (4x)3
(i) 2x + 2−x+1 = −3
(j) 9x − 5× 3x + 5 = −1
(k) 3× 52x+1 − 16× 5x + 4 = 0
(l) 5x + 2× 51−x = 7
(m) 3x−2 + 3x + 3x+2 = 91
(n) 2x−2 + 2x−1 + 2x = 56
(o) 5x+4 + 5x+1 + 5x+2 = 131
18. Resolva as equações:
(a) 3x
2−5 = 81
(b) 5x
2−5x+6 = 1
(c) 2x+3 = 3
√
4
(d) 3x+1 + 3x − 3x−1 = 11
9
(e) 9x · 3x − 6 · 9x + 11 · 3x − 6 = 0
19. Resolva a equação y2 − 9y + 8 = 0 e usa as soluções para
resolver a inequação 4x − 9× 2x + 8 = 0.
20. Resolva cada uma dos seguintes sistemas:
(a)
{
5x = 251+y
x + y = 11
(b)
{
5x+y − 56 = 0
5x−y − 52 = 0
(c)
{
2x + 2y = 24
2x · 2y = 108
(d)
 2
3x · 4y = 32
4
2x+y
= 1
(e)
{
42x · 2y = 1
2x−y = 16
(f)
{
25y · 5x = 53
0, 04x = 5y
21. Determine os zeros, caso existam, de:
(a) f (x) = 3x − 3
(b) g(x) =
2x+3 + 4
3
(c) h(x) = 3x − 9x
(d) r(x) = 1− πx
22. Resolva as inequações:
(a) 3x+5 >
1
27
(b) 5|x| >
√
5
(c) 2−2x+1 < 43x
(d) 0, 12x ≥ 100
(e) e2x − 19 + 30e−x ≤ 0
(f) 2e4x + e2x − 10 ≤ 0
(g)
0, 5x + 3
0, 5x − 5 >
0, 5x − 1
0, 5x − 2
23. Resolva, em R, as condições:
(a)
1√
5
≤ 251−x
(b) 0, 25x ≤ 8x+1
(c) 4x
2
> 2
(d) 81x ≥ 27x2−5
(e) 2
1
x ≤ 4
(f)
2x − 1
3− x ≥ 0
24. Resolva as inequações:
(a) 27x ≥ 3
(b) 0, 82x−3 < 0, 85
(c) 3× 4x ≤ 72− 6× 4x
(d) 4x+1 · 2x−1 < 128
(e) 25 ≥ 5
5x
(f) 3x(x+1) > 3x
2+1
(g) 3 · 2x+2 − 22x > 32
25. Resolva a inequação 9y2 − 10y + 1 ≤ 0 e aplique para resol-
ver a inequação 32x+2 − 10× 3x + 1 ≤ 0.
26. Considere a função f : x → 2x. Determine o conjunto dos
valores de x:
(a) f (x) > 1
(b) f (x) < 8
(c) f (x) ≥ 1
8
(d) f (2x + 5) = 1024
(e) f (x) · (x2 − 1) > 1
(f) f (2x) > f (x)
(g) f (x) = −3
27. Determine o domínio das funções reais de variável real:
(a) f : x → 1
ex − e
(b) f : x →
√
2x − 4
(c) f : x → e
x
x−3
28. Determine, em R, o domínio e os zeros (caso existam) das
funções definidas por:
(a) f (x) =
x− 2
(ex − 1)(4x + 1)
(b) g(x) =
π
1
x
x + 1
(c) h(x) =
√
(2x − 1)(4− 2x)
(d) p(x) =
x
3x − 1
29. Determine o domínio de cada função.
(a) f (x) =
√
3x−2 − 1
(b) g(x) = 5
√
22x−1 − 8
(c) h(x) =
(
4
√
4x − 2x+4
)2
30. Seja f (x) = 2x.
I. Escreva a expressão de:
• ( f ◦ g) (x)
• (g ◦ f ) (x)
(a) g(x) = −x
(b) g(x) = x + 1
II. Explica em cada caso, como se obtém o gráfico de f ◦ g
e de g ◦ f a partir do gráfico de f .
31. Defina duas funções, f1 e f2, tais que:
(a) ( f1 ◦ f2) (x) = 32x
(b) ( f1 ◦ f2) (x) = 2× 3−x
32. A radioatividade de uma substância decresce de acordo com
a fórmula:
A(t) = A0e−0,3t
onde A0 é a quantidade de substância inicial, em gramas, e
t o número de anos decorridos desde a observação inicial.
Se inicialmente havia 10 gramas de substâncias, quantos
gramas havia 12 anos depois?
5 FUNÇÕES LOGARÍTMICAS
"No estudo de juros compostos, encontraremos um diamante de grande
quilate e este provavelmente brilhará até o final dos tempos."
John Napier
Introdução
Em Cabo Verde, a população cresce à uma taxa de 1.4% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população
irá dobrar se a taxa de crescimento continuar a mesma?
Se hoje a população for de P0 indivíduos, após 1 ano a população será P1 = P0 · 1, 014, após 2 anos será
P2 = (P0 · 1, 014) · 1, 014 = P0 · (1, 014)2, após 3 a população será P3 = P0 · (1, 014)3 ... após x anos a população
será Px = P0 · (1, 014)x. Daí, ��P0 · (1, 014)
x = 2��P0 ⇔ (1, 014)
x = 2. Não é possível resolver essa equação usando os
conhecimentos adquiridos até aqui.
Com o objectivo de transformar uma equação exponencial como essa numa igualdade entre potências de mesma
base, e não só, vamos desenvolver a noção de logaritmo.
5.1 Logaritmo de um número
Historial...
Os logaritmos foram inventados pelo
matemático escocês John Napier.
No séc. XVI e inicio do séc XVII, com
o avanço da Astronomia e das outras
áreas, os cientistas sentiam necessidade
de realizarem cálculos tediosos. Tendo
em conta o pouco avanço ainda das cal-
culadoras, inventaram-se os logaritmos
com o objectivode se substituírem as
operações de multiplicação e divisão por
outras mais simples (adição e divisão),
quando se trabalha com números muito
grandes ou muito pequenos.
Até ao melhoramento das calculadoras
e o aparecimento do computador, os
logaritmos foram uma das maiores
invenções de sempre.
John Napier, 1550-1617
Para compreender o que é um logaritmo, considere uma potencia de base
positiva e diferente de 1. Por exemplo:
23 = 8.
Ao expoente dessa potência damos o nome de logaritmo. Dizemos que 3 é
o logaritmo de 8 na base 2.
Em símbolos:
23 = 8⇔ log2 8 = 3.
Exemplo 5.1.1
(a) 52 = 25⇔ log5 25 = 2
(b) 3−2 =
1
9
⇔ log3
1
9
= −2
(c)
(
1
2
)4
=
1
16
⇔ log 1
2
1
16
= 4
Definição: Sejam x e a números reais positivos e a 6= 1. Chama-se
logaritmo de x da base a o expoente y tal que ay = x.
Simbolicamente:
loga x = y⇔ a
y = x.
Portanto, o logaritmo de um número positivo x numa base a positiva e
diferente de 1 é o número y a que deve elevar-se a para dar x.
76 esacs - 2016/17
Notação:
Na expressão loga x = y:
• x é chamado de "logaritmando",
• a é chamada de "base do logaritmo",
• y é chamada de "logaritmo de x na base a".
108. Calcule, aplicando a definição, os lo-
garitmos:
(a) log7 49
(b) log6 216
(c) log128 1024
(d) log 3
2
4
9
(e) log2
5√16
(f) log 10 000
(g) ln e
(h) log5 1
(i) log4 4
Exemplo 5.1.2
(a) log2 16 é o expoente y tal que 2
y = 16.
Temos que: 2y = 16⇔ 2y = 24 E.1⇐⇒ y = 4.
Assim, log2 16 = 4.
(b) log5
1
25
= y⇔ 5y = 1
25
⇔ 5y = 5−2 ⇔ y = −2.
Assim, log5
1
25
= −2.
(c) log7 1 = y⇔ 7
y = 1⇔ 7y = 70 ⇔ y = 0.
Assim, log7 1 = 0.
(d) log5
3
√
5 = y⇔ 5y = 3
√
5⇔ 5y = 5
1
3 ⇔ y = 1
3
.
Assim, log5
3
√
5 =
1
3
.
Nota:
• Quando a base é 10, omite-se o 10 e escreve-se log x; É chamado logaritmo
decimal. Em muitas calculadoras, este logaritmo é denotado por LOG .
• Quando a base é e (número de Neper), omite-se o e e escreve-se ln x (lo-
garitmo neperiano ou logaritmo natural de x). Nas calculadoras é denotado
por LN .
Exemplo 5.1.3
(a) log
1
1 000
= y⇔ 10y = 1
1 000
⇔ 10y = 10−3 ⇔ y = −3.
Assim, log
1
1 000
= −3.
(b) ln
1
e
= y⇔ ey = 1
e
⇔ ey = e−1 ⇔ y = −1.
Assim, ln
1
e
= −1.
5.2 Consequências da definição
Decorre imediatamente da definição que para números reais positivos x e a, com a 6= 1, valem as seguintes
propriedades:
L.1 : loga a = 1. De facto, fazendo loga a = y, tem-se a
y = a⇔ y = 1. Assim loga a = 1.
L.2 : loga 1 = 0. De facto, loga 1 = y⇔ a
y = 1⇔ ay = a0 ⇔ y = 0. Assim, loga 1 = 0.
L.3 : loga a
x = x. Com efeito, fazendo loga a
x = y significa que, ay = ax ⇔ y = x. Logo, loga a
x = x.
L.4 : aloga x = x. De facto, fazendo loga x = y, tem-se: a
y = x. Substituindo, nessa última igualdade y por loga x,
tem-se: aloga x = x.
matemática 12º ano 77
Exemplo 5.2.1 Calcule a valor de:
(a) 8log2 5 (b) 31+log3 4 (c) e2 ln 5
109. Determine x em cada igualdade:
(a) log5 x = 2
(b) log36 x =
1
2
(c) log2 x = −3
(d) log4 x = 0
110. Sabendo que loga x = 9, calcule
loga x
6.
111. Sabendo que loga x
2 = 8 e que x > 0,
calcule loga x
3.
112. Calcule o valor da expressão
E = 6log6 5.
113. Calcule o valor da expressão
E = 52 log5 3.
114. Calcule o valor da expressão
E = 52+log5 3.
115. Calcule o valor de 92−log3
√
2.
Resolução: Quebra linha
(a) 8log2 5 =
(
23
)log2 5 = (2log2 5)3 = 53 = 125.
(b) 31+log3 4 = 31 · 3log3 4 = 3 · 4 = 12.
(c) e2 ln 5 =
(
eln 5
)2
= 52 = 25.
Exemplo 5.2.2 Calcular o valor da expressão
E = 3log
5
3 + log6 6− log8 1.
Resolução: Quebra linha
Pela L.4, temos 3log3 5 = 5.
Pela L.1, temos log6 6 = 1.
Pela L.2, temos log8 1 = 0.
Assim, E = 3log
5
3 + log6 6− log8 1 = 5 + 1− 0 = 6.
Exemplo 5.2.3 Resolver em R as equações:
(a) 2x = 3 (b) ex = 7
Resolução: Quebra linha
(a) Pela L.4, temos 3 = 2log2 3. Substituindo na equação temos:
2x = 3⇔ 2x = 2log2 3 ⇔ x = log2 3.
Portanto, S = {log2 3}.
(b) Como 7 = eln 7, vem
ex = 7⇔ ex = eln 7 ⇔ x = ln 7.
Assim, S = {ln 7}.
5.3 Propriedades dos logaritmos
Estudamos na secção anterior, quatro propriedades que derivaram-se direc-
tamente da definição de logaritmo de um número. Continuando veremos
mais quatro propriedades, que tornam vantajoso o emprego de logaritmos
nos cálculos.
Sendo x, y e a números reais positivos, com a 6= 1, temos:
L.5 Logaritmo do produto.
O logaritmo do produto é igual à soma dos logaritmos dos factores.
loga(xy) = loga x + loga y
78 esacs - 2016/17
116. Expanda cada uma das expressões
como uma diferença, soma e/ou múl-
tiplo de logaritmos e determine o va-
lor de cada uma.
(a) 4 log3
9
27
(b)
1
2
log3(3 · 243)
(c) log4
5√162
Demonstração: Pela propriedade L.4, tem-se
x = aloga x e y = aloga y.
Calculando xy, vem
xy = aloga x · aloga y P.1== aloga x+loga y.
Pela definição de logaritmo vem:
loga(xy) = loga x + loga y.
Exemplo 5.3.1 log3(27× 9) = log3 27 + log3 9 = 3 + 2 = 5.
L.6 Logaritmo do quociente.
O logaritmo do quociente é igual à diferença entre os logaritmos
dos termos.
loga
(
x
y
)
= loga x− loga y
117. Qual é a expressão cujo desenvolvi-
mento é:
(a) 1 + log2 a− log2 b− 2 log2 c
(b) log2 a + log2 b− log2 c
(c)
1
3
log a− 1
2
log c− 3
2
log b
(d) 2 +
1
3
loga a +
1
6
log2 b− log2 c
Demonstração: Pela propriedade L.4, tem-se
x = aloga x e y = aloga y.
x
y
=
aloga x
aloga y
P.2
== aloga x−loga y.
Pela definição de logaritmo de um número vem:
loga
(
x
y
)
= loga x− loga y.
Exemplo 5.3.2 log2
(
4
16
)
= log2 4− log2 16 = 2− 4 = −2.
118. Rescreva as expressões como um
único logaritmo, e simplifique o resul-
tado, se possível. Assuma que todos
os valores na expressão no logarit-
mando representam números positi-
vos.
(a) log2 560− log2 7− log2 5
(b) log3 54 + log3 10− log3 20
(c) 2 log x− 1
2
log z + log z
(d)
1
2
[
log5
(
x2 − y2
)
− log5(x + y)
]
(e) ln
(
x2 − 9
)
− ln(x− 3)− 2 ln x
L.7 Logaritmo de uma potência.
O logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente pelo
logaritmo da base.
loga (x
p) = p loga x
Demonstração: Tem-se que x = aloga x e que, pela xp =
(
aloga x
)p
.
Pela P.4, tem-se que xp = ap loga x
Pela definição de logaritmo vem:
loga (x
p) = p loga x.
Exemplo 5.3.3 log2(8
5) = 5 log2 8 = 5× 3 = 15.
matemática 12º ano 79
L.8 Mudança de base
loga x =
logb x
logb a
∀b, b ∈ R+, b 6= 1
119. Desenvolva aplicando as proprieda-
des dos logaritmos (a, b e c são reais
positivos):
(a) log5
(
5a
bc
)
(b) log2
(
a2
√
b
3
√
c
)
(c) log3
(
ab3
c 3
√
a2
)
(d) log
√
ab3
c2
(e) log
2a
a2 − b2
(f) log2
√
4a
√
ab
b 3
√
a2b
Demonstração: De um modo geral, tem-se:
loga x = y ⇔ a
y = x
⇔ logb (a
y) = logb x
⇔ y logb a = logb x
⇔ loga x× logb a = logb x porque y = loga x
Logo,
loga x =
logb x
logb a
.
Exemplo 5.3.4 log64 32 =
log2 32
log2 64
=
5
6
.
Exemplo 5.3.5 Sabendo que log6 5 = 0, 898 e log6 2 = 0, 386, calcule:
(a) log6 10
(b) log6 2, 5
(c) log2 5
(d) log6 20
(e) log6
5
12
(f) log6
√
5
Resolução: Quebra linha
(a) log6 10 = log6(5 · 2)
L.5
== log6 5 + log6 2 = 0, 898 + 0, 386 = 1, 284.
(b) log6 2, 5 = log6
(
5
2
)
L.6
== log6 5− log6 2 = 0, 898− 0, 386 = 0, 512.
(c) log2 5
L.8
==
log6 5
log6 2
=
0, 898
0, 386
= 2, 326.
(d) log6 20 = log6
(
22 · 5
)
L.5
== log6
(
22
)
+ log6 5
L.7
== 2 log6 2 + log6 5 = 2 · 0, 386 + 0, 8981, 67.
(e) log6
5
12
L.6
== log6 5− log6 12 = log6 5− log6(2 · 6)
L.5
== log6 5−
(
log6 2 + log6 6
)
= 0, 898− (0, 386 + 1) = 0, 898− 1, 386 = −0, 488.
(f) log6
√
5 = log6 5
1
2
L.7
==
1
2
log6 5 =
1
2
· 0, 898 = 0, 449.
Exemplo 5.3.6 Expanda cada expressão logarítmica:
(a) log4
(
5x3y
)
; (b) ln
√
3x− 5
7
.
120. Resolva o problema proposto na in-
trodução deste capítulo.
Resolução: Quebra linha
(a) log4
(
5x3y
)
= log4 5 + log4 x
3 + log4 y = log4 5 + 3 log4 x + log4 y.
(b) ln
√
3x− 5
7
= ln
√
3x− 5− ln 7 = ln(3x− 5)
1
2 − ln 7
=
1
2
ln(3x− 5)− ln 7.
80 esacs - 2016/17
Exemplo 5.3.7 Condense cada expressão logarítmica:
(a)
1
2
log x + 3 log(x + 1);
(b) 2 ln(x + 2)− ln x;
(c)
1
3
[log2 x + log2(x + 1)].
121. Mostre que:
loga x
log a
b
x= 1 + loga
1
b
.Resolução: Quebra linha
(a)
1
2
log x + 3 log(x + 1) = log x
1
2 + log
[
(x + 1)3
]
= log
[√
x(x + 1)3
]
.
(b)
2 ln(x + 2)− ln x = ln
[
(x + 1)2
]
− ln x
= ln
[
(x + 1)2
x
]
.
(c)
1
3
[log2 x + log2(x + 1)] =
1
3
{log2 [x(x + 1)]}
= log2 [x(x + 1)]
1
3
= log2
3
√
x(x + 1).
5.4 Função logarítmica
Definição: Chama-se função logarítmica toda função f : R+ → R
tal que f (x) = loga x, com a ∈ R e a 6= 1.
Portanto, chamamos função logarítmica de base a (a > 0 e a 6= 1) a função
que associa a cada x positivo o número loga x.
Em símbolos:
f : R+ → R
x 7→ loga x
Exemplo 5.4.1 São funções logarítmicas em R:
(a) f (x) = log2 x;
(b) g(x) = log 1
2
x;
(c) h(x) = log x;
(d) i(x) = ln x;
(e) j(x) = log0,2 x;
(f) k(x) = log√7 x.
matemática 12º ano 81
5.4.1 Gráfico de uma função logarítmica
Consideremos a função f (x) = log2 x. Podemos obter o gráfico de f
através de uma tabela:
Note que:
• D f = R+;
• D′f = R
• f (1) = 0 pois loga 1 = 0, ∀ a > 1;
• f é estritamente crescente;
• f é injetiva.
Tudo isso decorre do facto de a base ser
um número maior que 1 (2 > 1).
x log2 x
1
8
−3
1
4
−2
1
2
−1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
y
1 2 4 8
−3
−2
−1
1
2
3
Consideremos agora a função g(x) = log 1
2
x. Para obter um esboço do
gráfico de g, vamos construir uma tabela:
Note que:
• Dg = R+;
• D′g = R
• g(1) = 0; loga 1 = 0, ∀ 0 < a < 1;
• g é estritamente decrescente;
• g é injetiva.
Tudo isso decorre do facto de a base ser
um número entre 0 e 1
(
0 <
1
2
< 1
)
.
x log 1
2
x
1
8
3
1
4
2
1
2
1
1 0
2 −1
4 −2
8 −3
x
y
1 2 4 8
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
1 2 3 4 5 6 7 8 9
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
log2 x
ln x
log5 x
log 3
2
x
x
y
1 2 3 4 5 6 7 8 9
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
log 1
2
x
− ln x
log 1
5
x
log 2
3
x
82 esacs - 2016/17
5.5 Propriedades da função logarítmica
G.1 : loga x = loga y⇔ x = y, ∀ x, y, a ∈ R
+, a 6= 1.
G.2 : A função logarítmica f (x) = loga x é crescente em todo o seu domí-
nio, se e somente se, a > 1.
xx1 x2
log2x1
logax2
y
f (x) = loga x (a > 1)
Tem-se, então:
loga x2 > loga x1 ⇔ x2 > x1,
∀ x1, x2 ∈ R+ e a > 1.
G.3 : A função logarítmica f (x) = loga x é decrescente em todo o seu
domínio, se e somente se, 0 < a < 1.
x
x1 x2
log2x1
logax2
y
f (x) = loga x (0 < a < 1)
Tem-se, então:
loga x2 > loga x1 ⇔ x2 < x1,
∀ x1, x2 ∈ R+ e 0 < a < 1.
G.4 : Toda a função logarítmica f (x) = loga x, com a ∈ R
+ e a 6= 1, é
bijetiva.
G.5 : A função logarítmica f (x) = loga x é inversa da função exponencial
f (x) = ax, a ∈ R+ e a 6= 1.
Observe, por exemplo, os gráficos das funções f (x) = 2x e g(x) =
log2 x:
x
y
g(x) = log2 x
f (x) = 2x
y = x
Como f e g são inversas en-
tre si, seus gráficos são si-
métricos em relação à recta
suporte da bissetriz dos qua-
drantes ímpares.
Exemplo 5.5.1 Determine o domínio da função f (x) = log5(3x− 6).
122. Esboce o gráfico de cada uma das
funções:
(a) f (x) = log3 x
(b) g(x) = log 1
3
x
Resolução: Existe loga x se, e somente se, x, a ∈ R
+ e a 6= 1. Como a
base 5 do logaritmo já obedece a condição de existência, basta impormos a
condição sobre o logaritmando, isto é,
3x− 6 > 0⇔ x > 2.
Logo, D f = {x ∈ R : x > 2} =]2,+∞[.
matemática 12º ano 83
Exemplo 5.5.2 Determine o domínio da função f (x) = logx(8x− 2).
123. Classifique como crescente ou decres-
cente cada uma das funções:
(a) f (x) = log5 x
(b) g(x) = log0,3 x
(c) h(x) = log 6√5 x
(d) i(x) = ln x
124. Determine a inversa da função
f (x) = log5 x.
125. Determine o domínio de cada uma
das funções:
(a) f (x) = log8(5x− 15)
(b) g(x) = log5(x
2 − 3x)
(c) h(x) = logx(6x− 1)
(d) i(x) = log2x−4(6x + 1)
Resolução: Para garantir a existência do logx(8x− 2), devemos ter:

8x− 2 > 0
x > 0
x 6= 1
⇔

x >
1
4
(I)
x > 0 (II)
x 6= 1 (III)
1
4
0 1
(I) ∩ (II) ∩ (III) =
{
x ∈ R : x > 1
4
e x 6= 1
}
.
Logo, D f =
{
x ∈ R : x > 1
4
e x 6= 1
}
=
]
1
4
,+∞
[
\ {1}.
Exemplo 5.5.3 Determinar o domínio da função
f (x) = logx−1(−x
2 + 3x + 4).
126. Determine o domínio de cada uma
das funções:
(a) f (x) = log5
(
3x− 1
x− 2
)
(b) g(x) = log
(
x2 − 5x + 4
2x− 4
)
(c) h(x) = log4
(
x2 − 1
2x− 1
)
(d) i(x) = log2
(
x3 − 4x2 + 3x
2x− 4
)
127. Qual é o domínio da função
f (x) = log2x+4
(
x2 − 1
x− 3
)
?
128. Obtenha o domínio da função
f (x) = logx−2 (|x− 1| − 3)
Resolução: Devemos ter
−x2 + 3x + 4 > 0
x− 1 > 0
x− 1 6= 1
⇔

−1 < x < 4 (I)
x > 1 (II)
x 6= 2 (III)
−1 1 2 4
Logo, D f = {x ∈ R : 1 < x < 4 e x 6= 2} =]1, 4[\{2}.
A determinação do domínio de uma função logarítmica, chamada condição
de existência da mesma, será fundamental na decisão se um determinado
número real pode ou não ser solução de uma dada equação logarítmica
(tema da proxima secção).
5.6 Equação logarítmica
Chama-se equação logarítmica aquela que apresenta incógnita no logarit-
mando ou na base de um logaritmo.
Exemplo 5.6.1 São exemplos de equações logarítmicas,
(a) log5 x = 3
(b) log(x2 − x) + log x = log 9
(c) logx(3x) = 2
(d) ln(x− 5) = 1 + ln x
A resolução de uma equação logarítmica baseia-se na propriedade G.1 das
funções logarítmicas, ou seja:
loga x = loga y⇔ x = y, ∀x, y, a ∈ R
+ e a 6= 1.
Apresentamos, como exemplos resolvidos, alguns tipos de equações loga-
rítmicas.
84 esacs - 2016/17
Exemplo 5.6.2 Resolva a equação log2(4x + 24) = 5.
129. Resolva em R as equações:
(a) log3(6x− 9) = 4
(b) log2(2x + 10) + log2(x + 1) = 6
(c) log5(3x + 7)− log5(x− 1) = 1
(d) log2 x + log2(x− 2)− log2(x− 3) = 3
(e) log 1
2
(x2 + 2x)− log 1
2
x = −2
(f) log3(x− 2)− log9(x− 4) = 1
(g) log6(x
2 − 1) + log 1
6
(x− 2) = log36 64
(h) logx 32 = −5
(i)
(
log 1
4
x
)2
− log 1
4
x5 + 4 = 0
(j) 1
log 1
2
x
− 1
4− log 1
2
x
=
1 + log 1
2
x
log 1
2
x
(k) ln2 x = ln x2
(l) log4
(
24x + 3
)
= x + 1
(m) log5 (25
x + 6) = x + 1
Resolução: Quebra de linha
Condição de existência (C.E.)
Em primeiro lugar, devemos impor a condição de existência do logaritmo:
4x + 24 > 0⇔ x > −6 ∴ C.E. x>-6
Preparação da equação
Transformamos os dois membros da equação em logaritmos de mesma base.
O número 5 pode ser escrito como logaritmos de base 2, do seguinte modo:
5 = 5 log2 2 = log2 2
5.
Assim, temos: log2(4x+ 24) = 5⇔ log2(4x+ 24) = log2 2
5 ⇔ log2(4x+
24) = log2 32.
Resolução da equação
Pela propriedade G.1, temos:
log2(4x + 24) = log2 32⇔ 4x + 24 = 32⇔ x = 2.
Note que x = 2 satisfaz a C.E. x > −6 .
Portanto S = {2}.
Exemplo 5.6.3 Resolva a equação log3(x + 1) + log3(x− 7) = 2.
130. Determine, em R, o conjunto solução
de cada uma das equações:
(a) log4(x + 10) + log4(x− 5) = 2
(b) log0,5(x
2 − 1)− log0,5(x− 2) = −3
(c) log2(x + 3)− log4 x = 2
(d) logx 16 = −4
(e) [log2(x + 1)]
2 − log2(x + 1)
6 + 8 = 0
(f)
2 + log16 x
2
1 + log16 x
= log16 x
2
Resolução: Quebra de linha
Condição de existência
{
x + 1 > 0
x− 7 > 0
⇔
{
x > −1
x > 7. −1 7
C.E. x>7 .
Preparação da equação:
log3(x + 1) + log3(x− 7) = log3 3
2.
Pela propriedade L.5 dos logaritmos, podemos escrever:
log3 [(x + 1)(x− 7)] = log3 3
2.
Resolução da equação
Pela propriedade de G.1, temos:
log3(x
2 − 6x− 7) = log3 9⇔ x
2 − 6x− 7 = 9
⇔ x2 − 6x− 16 = 0⇔ x = 8∨ x = −2.
Note que apenas x = 8 satisfaz a C.E. x > 7 .
Portanto S = {8}.
matemática 12º ano 85
Exemplo 5.6.4 Resolva a equação log(18x + 10)− log(x + 5) = 1.
131. Resolva em R, cada uma das equa-
ções:
(a) 3log3 x = log 1
3
9
(b) 32 logx 3 = xlogx 3x
(c) (log x)log x = log x, para x > 1
(d) xlog3 x = 27x2
(e) log |2x− 1| = log(x + 1)
Resolução: Quebra de linha
Condição de existência{
18x + 10 > 0
x + 5 > 0
⇔
 x > −
5
9
x > −5. −5 −5
9
C.E. x > −5
9
.
Preparação da equação:
log(18x + 10)− log(x + 5) = log 10.
Pela propriedade L.6 dos logaritmos, podemos escrever:
log
(
18x + 10
x + 5
)
= log 10
Resolução da equação
Pela propriedade G.1, temos
18x + 10
x + 5
= 10⇔ 18x + 10 = 10x + 50
⇔ 18x− 10x = 50− 10⇔ 8x = 40⇔ x = 5.
Note que x = 5 satisfaz a C.E. x > −5
9
.
Portanto S = {5}.
Exemplo 5.6.5 Resolva a equaçãologx 9 = 2.
132. Resolva as seguintes equações:
(a)
(
log3 x
)2 − 6 · log3 x + 9 = 0
(b) log25 x− log5 x− 6 = 0
Resolução: Quebra de linha
Condição de existência
C.E. x > 0 e x 6= 1.
Preparação da equação:
logx 9 = 2⇔ logx 9 = logx x
2
Resolução da equação:
logx 9 = logx x
2 ⇔ 9 = x2 ⇔ x = 3∨ x = −3.
Note que apenas x = 3 satisfaz a C.E. x > 0 e x 6= 1.
Portanto S = {3}.
86 esacs - 2016/17
Exemplo 5.6.6 Resolva a equação log2(x + 4)− log4 x = 2.
133. Resolva as seguintes equações:
(a) log(x + 1)− log(7− x) = − log 2
(b) log
(
x2
)
− log x = 2
(c) log3(x + 5) + log3(x− 1) = 3
(d) log 1
2
(3x + 2)− log 1
2
x = −1
(e) ln(x + 3) = ln 2 + ln
(
x2
)
Resolução: Quebra de linha
Condição de existência
{
x + 4 > 0
x > 0
⇔
{
x > −4
x > 0. −4 0
C.E. x > 0.
Preparação da equação
Inicialmente, devemos passar para uma mesma base todos os logaritmos da
equação.
• Pela propriedade L.8 (mudança de base), podemos escrever:
log4 x =
log2 x
log2 4
.
• Pela propriedade L.3, podemos escrever: 2 = log2 2
2.
Assim, temos que: log2(x + 4)−
log2 x
log2 4
= log2 2
2.
Resolução da equação
log2(x + 4)−
log2 x
2
= log2 4 ⇔
2 log2(x + 4)− log2 x
2
=
2 log2 4
2
⇔ log2(x + 4)
2 − log2 x = log2 4
2
⇔ log2
[
(x + 4)2
x
]
= log2 16
⇔ (x + 4)
2
x
= 16
⇔ x2 + 8x + 16 = 16x
⇔ x2 − 8x + 16 = 0
∆ = b2 − 4ac⇔ ∆ = (−8)2 − 4 · 1 · 16 = 0
⇔ x = −b±
√
∆
2a
⇔ x = −(−8)±
√
0
2 · 1 ⇔ x = 4.
Note que x = 4 satisfaz a C.E. x > 0.
Portanto
S = {4}.
matemática 12º ano 87
Exemplo 5.6.7 Resolva a equação
(
log3 x
)2 − 5 log3 x + 4 = 0.
134. Resolva as seguintes equações:
(a) log2 x + log4 x = 3
(b) log2 x + log4 + log8 x = 7
(c) log2(2x− 1) = log4(3x
2− 4x + 2)
Resolução: Quebra de linha
Condição de existência
C.E. x > 0.
Resolução da equação
Fazendo uma mudança de variável log3 x = t, vem:
t2 − 5t + 4 = 0⇔ t = 1∨ t = 4.
Voltando a variável original, temos:
log3 x = 1⇔ x = 3 ou log3 x = 4⇔ x = 81.
Como os dois valores de x satisfazem a C.E. x > 0 , temos S = {3, 81}.
Notação: (loga x)
2 = log2a x.
Exemplo 5.6.8 Resolva a equação log3 x
8 +
6
1 + log3 x
= 18.
135. Resolva as seguintes equações loga-
rítmicas:
(a) ln(x + 1) = ln x + 1
(b) 2 · log x + log 2 = log(4− 2x)
(c) log
√
x + log100 x = 2
(d) log3 [log2(x + 6)] = 1
(e) log2
{
log2
[
2 + log5(x− 1)
]}
= 0
Resolução: Quebra de linha
Condição de existência

x8 > 0
x > 0
1 + log3 x 6= 0
⇔

x 6= 0
x > 0
x 6= 1
3
.
0 1
3
C.E. x > 0 e x 6= 1
3
.
Preparação da equação
A propriedade L.3 dos logaritmos nos permite escrever a equação sob a forma:
8 log3 x +
6
1 + log3 x
= 18
Resolução da equação
Fazendo a mudança de uma de variável log3 x = t, temos:
8t +
6
1 + t
= 18⇔ 8t(1 + t) + 6
���1 + t
=
18(1 + t)
���1 + t
⇔ 8t + 8t2 + 6 = 18 + 18t⇔ 8t2 − 10t− 12 = 0⇔ t = 2∨ t = −3
4
.
Voltando à variável original, temos:
log3 x = 2⇔ x = 9 ou log3 x = −
3
4
⇔ x = 3−
3
4 ⇔ x = 4
√
1
27
.
Os dois valores de x satisfazem a C.E. x > 0 e x 6= 1
3
.
Portanto S =
{
9, 4
√
1
27
}
.
88 esacs - 2016/17
Exemplo 5.6.9 Resolva os sistemas de equações:
(a)
{
x + y = 7
log2 x + log2 y = log2 12
(b)
{
log3 x + log3 y = 3
log3 x− log3 y = 1
136. Resolva, para x e y reais, os seguintes
sistemas de equações:
(a)
{
log x + log y = 2
x− y = 5
(b)
{
log2 x + log2 y = 3
log2 x− log2 y = 1
(c)
{
3 log3 x + log3 y = 3
log3(xy) = 0.
137. Resolva o sistema: 2x =
1
24+y
log2(2x + y) = 1
Resolução: Quebra de linha
(a)
{
x + y = 7
log2 x + log2 y = log2 12
log2 x + log2 y = log2 12⇔ log2(xy) = log2 12⇔ xy = 12
O sistema proposto fica então reduzido às equações
{
x + y = 7
xy = 12
cujas soluções são x = 3 e y = 4 ou x = 4 e y = 3
S = {(3, 4), (4, 3)}.
(b)
{
log3 x + log3 y = 3
log3 x− log3 y = 1
Fazendo log3 x = a e log3 y = b o sistema será equivalente à
{
a + b = 3
a− b = 1
⇔
{
a + b = 3
a = 1 + b
⇔
{
1 + b + b = 3
−−−
⇔
{
2b = 2
−−−
⇔
{
b = 1
a = 2
mas a = log3 x e b = log3 y, então
log3 x = 2 ⇔ log3 x = log3 3
2 ⇔ x = 9
log3 y = 1 ⇔ log3 y = log3 3⇔ y = 3
S = {(9, 3)}.
5.7 Inequação logarítmica
Chama-se inequação logarítmica aquela que apresenta a incógnita no
logaritmando ou na base de um logaritmo.
Exemplo 5.7.1 São exemplos de inequações logarítmicas:Quebra de
linha
(a) log2(3x− 1) > 3
(b) log 1
2
(x− 1) + log 1
2
(x + 5) ≤ −4
(c) ln(2x + 1)− ln(x + 8) ≥ −1
(d) logx 9 > 2
matemática 12º ano 89
A resolução de uma inequação logarítmica baseia-se na propriedade G.2
ou G.3 das funções logarítmicas.
G.2: loga x2 > loga x1 ⇔ x2 > x1, ∀ x1, x2 ∈ R
+ e a > 1.
Ou seja, o sentido da desigualdade entre dois logaritmos de mesma
base a, a > 1, mantém-se para os logaritmandos.
G.3: loga x2 > loga x1 ⇔ x2 < x1, ∀x1, x2 ∈ R
+ e 0 < a < 1.
Ou seja, o sentido da desigualdade entre dois logaritmos de mesma
base a, 0 < a < 1, é invertido para os logaritmandos.
Vejamos alguns exemplos resolvidos:
Exemplo 5.7.2 Resolva em R a inequação log2(3x− 1) > 3.
138. Resolva em R as inequações:
(a) log5(2x− 8) > 2
(b) log 1
3
(x− 2) ≤ −1
(c) ln(3x− 6) > ln(6− x)
(d) log0,5(5x− 1) ≥ log0,5(5− 2x)
(e) log2(x− 3) + log2(x− 1) < 3
(f) log 1
4
(x + 1)− log 1
4
(5x + 1) ≥ 1
Resolução: Quebra de linha
Condição de existência
(C.E) 3x− 1 > 0⇔ x > 1
3
∴ x >
1
3
.
Preparação da inequação
Escrevemos o número 3 como um logaritmo de base 2, ou seja: 3 = log2 2
3.
Temos, então: log2(3x− 1) > log2 2
3.
Resolução da inequação
Pela propriedade G.2, temos que o sentido da desigualdade entre os logarit-
mos se mantém (>) para os logaritmandos, pois a base 2 é maior que 1. Ou
seja:
log2(3x− 1) > log2 8⇔ 3x− 1 > 8 ∴ 3x > 9 ∴ x > 3.
O conjunto solução S da inequação é a intersecção do conjunto S′ dos reais x
tais que x > 3, com o conjunto S′′ dos reais x que satisfazem a C.E. x >
1
3
.
Ou seja:
1
3
3
Portanto S = {x ∈ R : x > 3} =]3,+∞[.
90 esacs - 2016/17
Exemplo 5.7.3 Resolva em R a inequação
log 1
2
(x− 1) + log 1
2
(x + 5) ≤ −4.
139. Determine o conjunto dos números
reais x que satisfazem ada uma das
inequações:
(a) 2 log3
√
x + 2 + log3(5x− 8) ≤ 5
(b) log2(x
2 + 2x) > 3
(c) log0,7(x
2 − 1) ≥ 2 log0,7(x− 2)
(d) 2 ln(x + 1)− ln(xx2−1) < 1
(e) log(x + 3) + log(x− 3) ≤ 2 log x
140. Obtenha o conjunto de todos os va-
lores reais de x, que satisfazem cada
uma das desigualdades:
(a) log2(x + 3)− log4 x ≤ 2
(b) log6(x
2 − 1) + log 1
6
(x− 2) > log36 64
Resolução: Quebra de linha
Condição de existência (C.E.)
{
x− 1 > 0
x + 5 > 0
⇔
{
x > 1
x > −5
−5 1
∴ x > 1.
Preparação da inequação
Escrevemos o número −4 da inequação como uma logaritmo de base 1
2
, ou
seja: −4 = log 1
2
(
1
2
)−4
.
Pela propriedade L.5 dos logaritmos, podemos escrever:
log 1
2
[(x− 1)(x + 5)] ≤ log 1
2
(
1
2
)−4
.
Resolução da inequação
Pela propriedade G.3 da função logarítmica, temos que o sentido (≤) da
desigualdade entre os logaritmos é invertido (≥) para os logaritmando, pois
a base
(
1
2
)
está entre 0 e 1. Ou seja:
log 1
2
(x− 1)(x + 5) ≤ log 1
2
16
⇔ (x− 1)(x + 5) ≥ 16
⇔ x2 + 5x− x− 5 ≥ 16
⇔ x2 + 4x− 21 ≥ 0.
−7 3
+ +
x
y
Portanto x ≤ −7 ou x ≥ 3.
O conjunto solução S da inequação é a intersecção dos conjunto S′ dos reais
x tais que x ≤ −7 ou x ≥ 3, com o conjunto S′′ dos reais que satisfazem a
C.E. x > 1. Isto é:
−7 1 3
Assim,
S = {x ∈ R : x ≥ 3} = [3,+∞[.
matemática 12º ano 91
Exemplo 5.7.4 Resolva a inequação log3(2x + 1)− log3(x + 8) ≤ −1.
141. Resolva em R, a inequação:
3 ≤ log2(3x + 10) < log2(x + 30).
142. Resolva as inequações:
(a) log 1
3
(x− 1) < log 1
3
(2x− 1)
(b) log x + log(x + 3) < 1
(c) log 1
2
(x2 − 3) > 0
(d) 2 · log x + log 2 > log(4− 2x)
(e) ln(x + 98) > 2 + ln(x− 1)
Resolução: Quebra de linha
Condição de existência (C.E.)
{
2x + 1 > 0
x + 8 > 0
⇔
 x > −
1
2
x > −8 −8 −1
2
∴ x > −1
2
.
Escrevemos o número −1 como um logaritmo de base 3. Isto é:
−1 = log3 3
−1.
Temos, então: log3(2x + 1)− log3(x + 8) ≤ log3 3
−1.
Pela propriedade L.6 dos logaritmos, podemos escrever:
log3
(
2x + 1
x + 8
)
≤ log3 3
−1.
Resolução da inequaçãoComo a base dos logaritmos é maior que 1, o sentido (≤) da desigualdade se
mantém para os logaritmandos. Isto é:
log3
(
2x + 1
x + 8
)
≤ log3
1
3
⇔ 2x + 1
x + 8
≤ 1
3
⇔ 2x + 1
x + 8
− 1
3
≤ 0
⇔ 3(2x + 1)− (x + 8)
3(x + 8)
≤ 0⇔ 6x + 3− x− 8
3x + 24
≤ 0⇔ 5x− 5
3x + 24
≤ 0.
Construindo o quadro do estudo do sinal da expressão
5x− 5
3x + 24
, temos:
x −8 1
5x− 5 − − − 0 +
3x + 24 − 0 + + +
5x− 5
3x + 24
+ N.D − 0 +
Portanto −8 < x ≤ 1.
O conjunto solução S da inequação e a intersecção do conjunto S′ dos reais
x tais que −8 < x ≤ 1, com o conjunto S′′ dos reais x tais que obedecem a
C.E. x > −1
2
, ou seja:
−1
2
1−8
Assim, S =
{
x ∈ R : −1
2
< x ≤ 1
}
=
]
−1
2
, 1
]
.
92 esacs - 2016/17
5.8 Estudo das funções exponenciais e logarítmica
Através de exemplos e com base nas secções anteriores, faremos o estudo das funções exponenciais e logarítmica.
Exemplo 5.8.1 Considerando a função f real de variável real, tal que f (x) = 2x−1 − 1, determine:
(a) O domínio e o contradomínio de f ;
(b) Os zeros, se existirem;
(c) Na forma explícita, a função inversa de f .
143. Seja y = 1 +
(
1
3
)x2+1
. Indique:
(a) O contradomínio;
(b) Uma restrição de y que seja uma
aplicação injectiva;
(c) Os valores de x que tornam y ≥
4.
144. Dada a função real de variável real
definida por
f (x) = 2− 5x2+1 determine:
(a) O domínio;
(b) Uma restrição que seja uma apli-
cação injectiva;
(c) Os zeros, caso existam;
(d) O contradomínio.
145. Considere a função
x 7→ f (x) = 3 + 2x2−2x+5.
(a) Mostre que f (x) ≥ 19, ∀x ∈ R
(b) Escreva uma expressão designa-
tória da função inversa de
g(x) = 3 + 2x
2−2x+5 ∧ x ≥ 1
146. Determine o valor do parâmetro m de
forma que o contradomínio da fun-
ção f , tal que f (x) = 2− 3x2+mx+3
seja ]−∞,−1]
147. Caracterize a função inversa de cada
uma das seguintes funções reais de
variável real definidas analiticamente
por:
(a) f (x) = 2− ex−5
(b) g(x) = 4 +
(
2
3
)2x−5
Resolução: Quebra de linha
(a) Não existe restrição ao expoente de uma potência de base positiva, sendo
assim
D f = {x ∈ R : x− 1 ∈ R} = R.
Para determinar o contradomínio de uma função exponencial, temos em
conta que ax > 0, ∀a > 0, a 6= 1 e x ∈ R, e por um processo de
enquadramento fazemos a construção simultânea da função e do seu con-
tradomínio:
2x−1 > 0 ⇔ 2x−1 − 1 > −1⇔ f (x) > −1
Portanto, D′f =]− 1,+∞[.
(b) Igualando a expressão designatória da função a zero obtemos:
f (x) = 0⇔ 2x−1 − 1 = 0⇔ 2x−1 = 1⇔ x− 1 = 0⇔ x = 1.
Assim, Zero = {1}.
(c) Como o domínio de f é R, o contradomínio da sua função inversa tam-
bém é R.
Determina-se a sua expressão designatória seguindo o seguinte procedi-
mento:
1º passo: Substituir f (x) por y.
y = 2x−1 − 1.
2º passo: Resolver a equação em ordem a x.
y = 2x−1 − 1 ⇔ y + 1 = 2x−1
⇔ x− 1 = log2(y + 1)
⇔ x = 1 + log2(y + 1).
3º passo: Fazer mudança de variáveis
y = 1 + log2(x + 1).
Portanto, f−1(x) = 1 + log2(x + 1).
D f−1 = {x ∈ R : x + 1 > 0} = {x ∈ R : x > −1} =]− 1,+∞[.
A caracterização da função inversa será:
f−1 :]− 1,+∞[→ R
x 7→ 1 + log2(x + 1).
matemática 12º ano 93
Exemplo 5.8.2 Considerando a função f real de variável real, tal que
f (x) = 2 + log2(x + 3),
determine:
(a) O domínio de f ;
(b) O contradomínio;
(c) Os zeros;
(d) Uma expressão designatória da função inversa de f .
148. Considere a função real de variável
real definida por
f (x) = 3 + log2(x
2 − 1).
(a) Calcule f (2) e f (3)
(b) Determine o domínio e o contra-
domínio
(c) Indique os zeros de f
(d) Calcule os valores de x que tor-
nam f (x) > log2 8
(e) A aplicação é injectiva? Indique
uma restrição de f que seja injec-
tiva e designe-a por g
(f) Escreva a expressão designatória
de g−1
149. Dadas as f.r.v.r, definidas por
f (x) = 2− log 1
3
(x2 + 3x + 7)
e
g(x) = 1 + ln(x2 + 8x + 16)
determine:
(a) D f , Dg, D′f e D
′
g
(b) Os zeros de f
(c) Uma restrição de g que seja injec-
tiva
(d) As coordenadas dos pontos da
intersecção do gráfico de f com o
eixo dos yy
Resolução: Quebra de linha
(a) De acordo com a definição de logaritmo de um número, só existe loga-
ritmo de número positivo, logo, D f = {x ∈ R : x + 3 > 0} = {x ∈ R :
x > −3} =]− 3,+∞[.
(b) Como log2(x + 3) ∈ R, então 2 + log2(x + 3) ∈ R. Logo D
′
f = R.
(c) Para determinar os zeros de uma função qualquer, iguala-se a expressão
designatória a zero. Nesse caso, obtemos sucessivamente:
2 + log2(x + 3) = 0 ⇔ log2(x + 3) = −2
⇔ log2(x + 3) = log2 2
−2
⇔ x + 3 = 2−2
⇔ x = −11
4
Portanto, Zeros =
{
−11
4
}
.
(d) Para determinar a expressão designatória da inversa de f (x), primeiro
escreve-se y = f (x), ou seja,
y = 2 + log2(x + 3).
Resolve-se a equação em ordem a x obtendo-se sucessivamente:
y = 2 + log2(x + 3) ⇔ y− 2 = log2(x + 3)
⇔ log2 2
y−2 = log2(x + 3)
⇔ 2y−2 = x + 3
⇔ x = −3 + 2y−2
Finalmente fazemos a mudança das variáveis entre si e escrevemos:
y = −3 + 2x−2.
Como sabemos, as funções inversas "trocam"entre si, o domínio e o con-
tradomínio. Assim, a caracterização da função inversa da função f é dada
por:
f−1 : R→]− 3,+∞[
x 7→ −3 + 2x−2.
94 esacs - 2016/17
Exercícios do Capítulo 5
1. Resolva cada uma das equações seguintes:
(a) log 1
3
x = 2
(b) logx 15 = 1
(c) log x = 1
(d) logx 49 = −1
(e) logx 9 = 2
(f) logx 0, 81 = 4
(g) log8 2
1
4 = x
(h) logx
1
3
= −2
(i) logx 8 = −
3
4
(j) logx 6 =
1
2
(k)
1
8
= log4 x
(l) logx 64 = 3
(m) log30
√
27 = x
(n) ln ex = −1
3
2. Utilize a sua calculadora para determinar:
(a) log10 100
(b) log10 10
(c) log10 1
(d) log100 100
4
(e) log10 6
(f) ln 6 (loge 6)
(g) log e
(h) log e2
(i) log e−10
3. Calcule:
(a) log2 1 (b) log3 1 (c) log0.5 1
4. Calcule:
(a) logb b + log6 36− log√2 32
(b) ln e + log 1− log5 125
(c) log 1
a
a + logb
1
b
5. Determine x e y em cada uma das seguintes situações:
(a) log2 64 = −x (b) 3
log3 27 = x (c) eln 4 = y
6. Sem efetuar as operações dentro do parenteses, calcule:
(a) log2 (32 · 64) (b) log2 (32÷ 64)
7. Calcule:
(a) log2 32
8
(b) log3
4
√
27
818
8. Calcule, sem recurso à calculadora:
(a) log2 128
(b) log3
3
√
37
(c) log25
1
5
(d) log3 27
(e) log2
1
16
(f) log5
3
√
25
(g) log3 9
√
3
(h) log2
3
√
82
(i) eloge 3
(j) ln e−3
9. Calcule:
(a) log4 16 + log3 1 + log8
1
8
(b) log 1
2
4 + log3 243 + log
6
216
(c) log 1
2
8 + log 1
3
1
9
+ log4
√
2
10. Simplifique a expressão:
(a) 2log2 5
(b) 23 log2 4
(c) 5log5 8−log5 2
(d) 8log2 5
(e) a
1−loga 3
2 (a > 1)
11. Escreva sob a forma de potência de base 2:
(a) 64 (b) 7 (c)
1
3
√
32
12. Escreva o número 8 sob a forma de potência de base:
(a) 2 (b) 8 (c) 4 (d) 5
13. Escreva num só logaritmo
(a) 3 log 5 + 2 log 3
(b) 1 + log2 3
(c)
1
3
(log 5− 2 log 3)
(d) 1− ln 2
14. Mostre que:
(a) loga b =
1
logb a
(b) log
√
a
5
√
b3
=
1
2
log a− 3
10
log b
15. Simplifique a expressão
log(x + 1)− log(x− 1)− log
(
1 +
1
x
)
+ log
(
1− 1
x
)
16. Mostre que:
log(1 + x + x2) = log(1− x3)− log(1− x) ∀x ∈]−∞, 1]
17. Sabendo que log2 t = x, escreva em função de x:
(a) log2(16t)
(b) log2
16
t
(c) log2
√
t
(d) log2(2
5t) + log2
√
t3
18. Aplique logaritmos a cada uma das seguintes expressões:
(a) A =
ab
c (b) A =
a
1
2 b
3
√
b · c 53
19. Se ln A =
1
3
ln a + 2 ln b− 1
2
(ln c + 3 ln d), escreva A como
função de a, b, c e d.
20. Complete a tabela:
x 0, 25 0.5 1 2 3
log x
e represente graficamente a função y = log x.
matemática 12º ano 95
21. Represente graficamente:
(a) y = log x
(b) y = log1,2 x
(c) y = log√2 x
(d) y = log 1
e
x
(e) y = log 1
2
x
(f) y = log0,1 x
22. Considere a função: f (x) = 2 + log
(
1 + x
1− x
)
(a) Determine o domínio da função
(b) Determine m de modo que f (1−m) = 2
23. Resolva cada uma das seguintes equações:
(a) log√2 (x + 1) = 8
(b) logx
√
5 = −1
2
(c) 3− log e3x = 0
(d) [log(x + 1)]
(
3x x2 − 3x
)
= 0
24. Determine a base em que o logaritmo de 125 excede em
duas unidades o logaritmo de 5 nessa mesma base.
25. Resolva cada uma das seguintes equações:
(a) log (9 + log (9 + log x)) = 1
(b) log9(3
x + 8) = x + 1
(c) logx100− logx 25 = 2
26. Resolva cada um dos seguintes sistemas:
(a)
{
3 log x = 2 + log y
log y− log x = 0
(b)
{
log3 x + log3 y = 3
log y− log3 y = 1
(c)
{
xy = 16
log2 x = 2 + log2 y
(d)
{
log
√
x− log√y = log 3
9y3 − x2 = 90y
27. Resolve as inequações:
(a) log2 x < 0
(b) x log2(x− 1) < x
(c) 4x · log x < 0
(d) x log3 x > x
(e) x log |x| ≤ 0
28. Resolva cada uma das seguintes inequações:
(a) log 1
5
(x− 1) < log 1
5
2
(b) log 1
5
(
x2 − 1
)
< −3
(c) loge2 (3x− 1) > 5
(d) log(x− 2) > log(x− 1)− log 5
(e) log 1
3
(x + 3) > −3
(f) log 1
e
(
1
3x
− x
)
> 0
29. Determine x, sabendo que:
1 ≤ log2 x ≤ 2.
30. Resolva, em R, cada uma das seguintes condições:
(a) 2 ln(x + 3) = ln(1− 3x)
(b) 2 ln x− ln(x + 3) < ln(x + 5)
(c) ln(2e− x) + 2 ln(x + e) ≥ 3 + 2 ln 2
(d) ln2 x− 19 < − 30
ln x
31. Determine o conjunto solução das condições:
(a) log3 x
2 − log3(5x) = 2
(b) log2(x + 1) + log2 16 = log2 x
(c) log2(x + 1) + log4(x + 2) =
1
2
(d) log2(x− 3)− log2(x + 1) < 0
(e) log2 x− log4(x− 1) ≥ 1
(f) ln(3x2 − x) ≤ ln x + ln 2
(g) ex · ln x + ex ≥ 0
(h) (1− ex)(1− ln x) ≥ 0
(i) ex ln x− ln x ≤ 0
32. Determine o domínio de cada uma das seguintes funções:
(a) y = ln(ln x)
(b) y = ln |x2 − 2x + 1|+ ln |x− 5|
(c) y =
1
1− ln |x| +
3
2− ln |x|
(d) y =
x− ln |1 + x|
x4
(e) y = ln |ex − 5 + 6e−x|
(f) y = ln
e2x − 2ex − 3
5− e−x
33. Considere a expressão:
A(x) = e3+2 log x − (x− 3)e3
(a) Determine o domínio da expressão
(b) Resolva a condição: A(x) = 0
34. Determine o domínio e os zeros as funções reais de variável
real definidas por:
(a) log2(x + 1)
(b) log4(x
2 − 5x + 6)
(c)
√
log3 x
(d) ln(1− x2)
(e)
1
log x
(f)
1
1− log x
35. Para cada uma das seguintes funções, indique o domínio o
contradomínio e caraterize a função inversa, se existir:
(a) a(x) = 3 + log2(x + 2)
(b) b(x) =
3
2
log
(
x2 − 1
)
(c) c(x) = 1 +
1
2
ln(3x− 1)
(d) d(x) = log3(4− x
2)
36. Caraterize a função inversa, se existir, de cada uma das
seguintes funções e represente graficamente f e f−1.
(a) f (x) = 1 + ln x
(b) f (x) = 1 + ln(x− 3)
(c) f (x) = | log0,3(x + 1)|
(d) f (x) = 2 log3(4x)
(e) f (x) = 5− ln(2x + 1)
37. Caraterize a função inversa de cada uma das funções seguin-
tes:
(a) f (x) = 1 + 2x
(b) f (x) = log2(2− x)
(c) f (x) = 4− 3e−x+2
96 esacs - 2016/17
(d) f (x) = 4− ln(1− 2x)
38. Seja a função: f (x) = log
∣∣∣∣1 + x1− x
∣∣∣∣
(a) Estude a paridade da função
(b) Determine x de modo que f (x) > 0
39. Escreva um modelo matemático do custo de uma produto
cujo valor inicial é 3000 escudos e desvaloriza 30% ao ano.
40. Considere um produto que atualmente tem valor de 3000
escudos. Admita que o produto vai aumentar de valor nos
próximos 6 anos em 20% ao ano.
Determine o valor do produto no final dos 12 anos referidos.
41. A função:
c(x) = 8500
(
8
7
)x
, x ≥ 0,
é usada como modelo para calcular o valor de um andar
num prédio de uma cidade.
(a) Determine o valor inicial do andar
(b) Qual é a percentagem de valorização do andar ao ano?
(c) Qual é o custo do andar 10 anos depois da compra?
42. Uma função real de variável real, g, é definida por
g(x) = log2
3x + 1
x− 2
(a) Determine o domínio de g
(b) Calcule g
(
17
5
)
(c) Determine o conjunto solução da condição g(x) ≤ 1
(d) Diga justificando, se a função g pode ser definida por:
h(x) = log2(3x + 1)− log2(x− 2)
43. Sejam f e g as funções reais de variável real definidas por
f (x) = 3− log2 x g(x) = 4x− 1
(a) Caraterize a função f ◦ g e determine os seus zeros
(b) Determine os valores de x para os quais a função f ◦ g é
positiva
44. Estudantes participando dum experimento psicológico, as-
sistiram a várias lições de uma disciplina onde eram sujeitos
à exames todos os meses de um ano. Após os exames, os
estudantes eram re-avaliados para se saber quanta matéria
eles lembravam. As pontuações médias para cada estudante
são dadas pelo modelo de memória humano:
f (t) = 75− 6 ln(t + 1), 0 ≤ t ≤ 12,
onde t é o tempo em meses.
(a) Qual era a pontuação média no exame inicial (t = 0)?
(b) Qual era a pontuação média ao fim de t = 2 e t = 6
meses?
(c) Ao fim de quantos meses, aproximadamente, a pontua-
ção média atinge a marca 60?
45. A relação entre o número de decibéis β e a intensidade do
som i em watts por metro quadrado é
β(i) = 10 log
(
i
10−12
)
.
(a) Determine o número de decibéis de um som com intensi-
dade de 1 watt por m2;
(b) Determine o número de decibéis de um som com intensi-
dade de 10−12 watt por m2;
(c) A intensidade do som em (a) é 100 vezes maior que a da
(b). O número de decibéis é 100 vezes maior? Explique.
46. O Paulo aplicou 800 contos num investimento que rende 3%
ao mês, a juros compostos. Quanto tempo após a aplicação
o saldo será 1200 contos?
47. Em quanto tempo, 800g de uma certa substancia radioactiva,
que se desintegra à um taxa de 2% ao ano, se reduzirá a
200g? Use
q = q0 · e−rt,
em que q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo
em anos.
6 LIMITE DE FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
"Sócrates disse à seus alunos que nos bons
sistemas de educação há um limite para além do
qual ninguém deve ir. Na geometria, basta saber como
medir a terra quando se quer vendê-la ou comprá-la ou
dividir uma herança ou dividi-la entre trabalhadores."
Xenofonte
Introdução
O Cálculo tem sido chamado o estudo das mudanças contínuas, e o limite é o conceito básico que permite-nos
descrever tais mudanças. A compreensão do limite é necessária para entender continuidade e derivadas de
funções reais de variáveis reais.
6.1 A ideia de limite
Usamos a palavra limite no nosso cotidiano para indicar, genericamente,
um ponto que pode ser eventualmente atingido mas que jamais pode ser
ultrapassado.
Exemplo 6.1.1
(a) Injetando ininterruptamente ar em um balão de borracha, haverá
um momento em que ele estoura, isto porque existe o limite de
elasticidade da borracha.
(b) Um engenheiro ao construir um elevador estabelece o limite de
carga que este suporta.
(c) No lançamento de um foguete, os cientistas devem conhecer o
limite mínimo de combustível necessário para que a aeronave entre
em órbita.
É importante ter em mente que o limite pode ser um ponto que nunca
é atingido mas do qual pode-se aproximar tanto quanto se desejar.
98 esacs - 2016/17
Consideremos o seguinte exemplo.
x
y
−1 1 → 2 ← 3
−3
−2
−1
1
↑
3
↓
0
f (x) = 2x− 1
Figura 6.1: Gráfico de f (x) = 2x− 1.
Exemplo 6.1.2 Considere-se a função f (x) = 2x− 1.
O que acontece a f (x) quando x se aproxima de 2?
De forma análoga, analisemos a tabela com os valores de x se aproxi-
mando de 2 pela esquerda e pela direita.
x 1,9 1,99 1,999 1,9999
f(x) 2,8 2,98 2,998 2,9998
x 2,1 2,01 2,001 2,0001
f(x) 3,2 3,02 3,002 3,0002
A tabela e o gráfico sugerem que à medida que x se aproxima de 2,
f (x) se aproxima de 3.
Diz-se, neste caso, que o limite de f (x) quando x tende para 2 é 3, e
escreve-se:
lim
x→2
f (x) = 3.
Para obter o valor do limite de f (x) quando x tende para 2 é suficiente,
como se observou, substituir x por 2 em f (x).
f (x) = 2x− 1 e lim
x→2
f (x) = 2× 2− 1 = 3.
Este procedimento aplica-se também à outros tipos de funções.
Exemplo 6.1.3 Calcular os limites seguintes por concretização da va-
riável independente.
(a) lim
x→5
x
(b) lim
x→3
(−2)
(c) lim
x→2
(x2 − 1)
(d) lim
x→−1
(−x2 − 1)
150. Calcule:
(a) lim
x→−3
(
x3 − 4x2 + 1
)
(b) lim
x→5
1− x
1 + x
(c) lim
x→3
√
5x + 3
(d) lim
x→ 3π2
(1− 2 sin x)
(e) lim
x→0
1− ln(x + 1)
ex + 1
Resolução: Quebra de linha
(a) lim
x→5
x = 5
(b) lim
x→3
(−2) = −2
(c) lim
x→2
(x2 − 1) = 22 − 1 = 4− 1 = 3
(d) lim
x→−1
(−x2 − 1) = −(−1)2 − 1 = −1− 1 = −2
matemática 12º ano 99
Analisemos um outro exemplo.
x
y
−1 1 → 2 ← 3
−1
↑
2
3
↓
0
Figura 6.2: Gráfico de função definida
por ramos.
Exemplo 6.1.4 Considere-se, agora, a função f (x) =
{
x se x ≤ 2
x + 1 se x > 2
As tabelas e o gráfico para respectiva função são as seguintes:
x 1,9 1,99 1,999 1,9999
f(x) 1,9 1,99 1,999 1,9999
x 2,1 2,01 2,001 2,0001
f(x) 3,1 3,01 3,001 3,0001
O que acontecea f (x) quando x se aproxima de 2?
Analisando a tabela e o gráfico conclui-se que à medida que x se
aproxima de 2, f (x) não se aproxima de uma constante única.
Neste caso, diz-se que não existe limite de f (x) quando x tende para
2, e escreve-se
Não existe lim
x→2
f (x) ou @ lim
x→2
f (x).
6.2 Limite de uma função num ponto
Seja C um subconjunto de R e a um número real.
Definição: O número a diz-se ponto de acumulação de um con-
junto C sse em qualquer vizinhança de a existe pelo menos um
elemento de C diferente de a.
Note-se que a pode ou não pertencer a C.
Definição: O número a diz-se ponto isolado de um conjunto C se
pertence a C e se existe pelo menos uma vizinhança de a que não
contenha nenhum elemento de C para além do próprio a.
151. Considere a função f , definida grafi-
camente:
x
y
−2 −1 1 2
−2
−1
1
2
(a) Determine o domínio D de f ;
(b) Escreva na forma de intervalo o
conjunto V0,1(2);
(c) Determine V0,1(2) ∩ D f e classifi-
que o ponto 2;
(d) Determine todos os pontos de acu-
mulação (o derivado) do conjunto
D f .
Exemplo 6.2.1 Consideremos o subconjunto B de R,
B =]1, 2[∪{3}
1 2 3
Embora 3 seja elemento de B, não é ponto de acumulação deste con-
junto, pois existe pelo menos a V0,1(3) à qual não pertence nenhum
elemento de B diferente de 3.
Diz-se, por isso, que 3 é um ponto isolado de B.
Por outro lado, como mostra a Figura ?? os pontos de acumulação
de B são os pontos do conjunto B′ = [1, 2]. Chama-se derivado de
B ao conjunto de todos os pontos de acumulação do conjunto B e
representa-se por B′.
100 esacs - 2016/17
As funções que vamos estudar têm por domínio um subconjunto de R sem
pontos isolados.
Assim o conceito de limite de função num ponto diz apenas respeito a
pontos de acumulação do domínio.
A seguir definimos limite de uma função segundo Heine, considerando f
uma função real de variável real e a um ponto de acumulação do domínio
de f .
x
y
a ← xn
b
↓
f (xn)
Figura 6.3: Definição de limite segundo
Heine
Definição: (Limite de uma função num ponto (segundo Heine)) ......
Diz-se que f(x) tende para b quando x tende para a e escreve-se
lim
x→a
f (x) = b
se e só se a toda a sucessão de valores de x do domínio de f
convergente para a (mas diferentes de a), corresponde uma sucessão
de imagens por f convergente para b, ou seja,
lim
x→a
f (x) = b⇔ [lim xn = a (xn 6= a, ∀n ∈N)]⇒ lim f (xn) = b.
Historial...
Heinrich Eduard Heine (1821-1881),
matemático alemão, autor da definição
de limite que adoptamos.
152. A partir da definição de Heine, prove
que:
(a) lim
x→−2
2x
x + 3
= −4;
(b) lim
x→2
x2 = 4;
(c) lim
x→ 12
√
x +
1
2
= 1.
153. Usando a definição de Heine, e sendo
f (x) = x2 − 3x indique o valor de:
(a) lim
x→0
f (x); (b) lim
x→−1
f (x).
Exemplo 6.2.2 Consideremos, definida em R, a função
x 7→ y = 3x
x2 + 1
e vamos mostrar a partir da definição que
lim
x→2
y =
6
5
.
Seja (xn) uma qualquer sucessão de valores de x convergente para 2
por valores diferentes de 2
x1, x2, . . . , xn → 2,
a que corresponde a sucessão yn de valores da função
3x1
x21 + 1
,
3x2
x22 + 1
, . . . ,
3xn
x2n + 1
, . . . .
Ora,
lim(yn) = lim
3xn
x2n + 1
=
3 lim xn
(lim xn)2 + 1
=
3× 2
22 + 1
=
6
5
.
pois, xn → 2.
Então é verdadeira a proposição
∀(xn) : xn → 2∧ (xn ∈ Dy \ {2}, ∀n ∈N)⇒ yn →
6
5
e, portanto,
lim
x→2
y =
6
5
.
matemática 12º ano 101
6.3 Regras operatórias de limites de funções
Para determinar o limite de algumas funções pode recorrer-se as regras
operatórias com limites.
Demonstram-se os seguintes teoremas onde se supõe que a é um ponto de
acumulação do domínio das funções envolvidas.
Teorema 6.3.1 (Limite da função constante) Se f é a função constante,
f (x) = k, então, para qualquer valor de a ∈ R,
lim
x→a
f (x) = lim
x→a
k = k.
"O limite de uma constante é a própria constante".
Teorema 6.3.2 (Limite da função identidade) Se f é a função identi-
dade, f (x) = x, então, para qualquer valor de a ∈ R,
lim
x→a
f (x) = lim
x→a
x = a.
154. Sejam lim
x→3
f (x) = 4 e lim
x→3
g(x) = 2.
Calcule o limite de y quando x → 3,
indicando as propriedades que apli-
cou:
(a) y = 3 f (x) + 4g(x)
(b) y = f (x) · g(x)
(c) y =
f (x)
g(x)
(d) y =
√
f (x) · 2g(x)
(e) y = [ f (x)]g(x)
(f) y = log2[ f (x)]
(g) y =
cos (π · g(x))
3
Propriedade 6.3.1 Se L1 e L2 são dois números reais, e limx→a f (x) = L1 e
lim
x→a
g(x) = L2, então
• Limite da soma
lim
x→a
[( f ± g)(x)] = lim
x→a
f (x)± lim
x→a
g(x) = L1 ± L2
• Limite do produto
lim
x→a
[( f × g)(x)] = lim
x→a
f (x)× lim
x→a
g(x) = L1 × L2
lim
x→a
[k× f (x)] = k× lim
x→a
f (x) = k× L1
• Limite do quociente
lim
x→a
[(
f
g
)
(x)
]
=
lim
x→a
f (x)
lim
x→a
g(x)
=
L1
L2
, L2 6= 0
• Limite da potência
lim
x→a
[ f (x)]n =
[
lim
x→a
f (x)
]n
= Ln1
• Limite da raiz
lim
x→a
n
√
f (x) = n
√
lim
x→a
f (x) = n
√
L1, com L1 ≥ 0 se n é par.
155. Calcule cada um dos seguintes limi-
tes:
(a) lim
x→7
(9);
(b) lim
x→2
(−3);
(c) lim
x→2
(−π);
(d) lim
x→0
(−2x);
(e) lim
x→5
(x2 − 2x);
(f) lim
x→1
(x2 − 3x + 4)2;
(g) lim
x→ 12
(x2 − 2x)5;
(h) lim
x→5
(x− 3)(x + 9)
2x
;
(i) lim
x→3
√
x + 3
x
.
Exemplo 6.3.3 Calcular os seguintes limites:
(a) lim
x→1
3
√
x− 2;
(b) lim
x→1
(
1− x
2 − 3
x + 1
)3
.
Resolução: Aplicando as Propriedades 6.3.1 temos:
(a) lim
x→1
3
√
x− 2 = 3
√
lim
x→1
(x− 2) = 3
√
−1 = −1;
(b) lim
x→1
(
1− x
2 − 3
x + 1
)3
=
(
lim
x→1
1− lim
x→1
x2 − 3
x + 1
)3
=
(
1− −2
2
)3
= [1− 1(−1)]3 = 8.
102 esacs - 2016/17
6.4 Limites laterais
x
y
−3 −2 −1 1 2
−2
−1
1
2
3
Figura 6.4: Gráfico de f (x) =
x2 + 2x
x
.
Será que para calcular o limite de uma função quando x → a basta substi-
tuir x por a na expressão analítica da função?
Considere-se a função real de variável real
f : x 7→ y = x
2 + 2x
x
.
Qual será o lim
x→0
f (x)?
Representemos graficamente a função:
Observando o gráfico conclui-se que:
lim
x→0
f (x) = 2.
Este limite não poderia ser calculado efetuando a substituição de x por 0
(zero) na expressão analítica que define a função, uma vez que 0 (zero) não
pertence ao domínio da função
(
0
0
não é um número real
)
.
Este exemplo sugere que o limite de f (x), quando x se aproxima de a, não depende do valor de f (a). O limite, se
existir, é apenas dependente dos valores de f quando x 6= a e x se aproxima de a.
Apercebemo-nos também de que para calcular o limite de uma função num ponto é importante aprender mais
sobre limites, pois nem sempre a simples concretização de variável independente resolve o problema.
x
y
−3 −2 −1 1 2 3 4
−3
−2
−1
1
2
3
4
Figura 6.5: Gráfico de f .
Consideremos a função:
f (x) =
{
x se x ≤ 2
x + 1 se x > 2
O que acontece a y quando x se aproxima de 2?
Através da observação do gráfico verifica-se que:
• Não existe lim
x→2
f (x).
• Quando x se aproxima de 2 pela direita, f (x) se aproxima de 3,
lim
x→2+
f (x) = 3.
• Quando x se aproxima de 2 pela esquerda, f (x) se aproxima de 2,
lim
x→2−
f (x) = 2.
Propriedade 6.4.1 Se existirem os limites laterais de uma função num
ponto, o limite da função nesse ponto existe, se e só se os limites laterais
são iguais.
lim
x→a
f (x) = b⇔ lim
x→a+
f (x) = lim
x→a−
f (x) = b.
Como corolário desta propriedade podemos dizer que
Se lim
x→a−
f (x) 6= lim
x→a+
f (x), então lim
x→a
f (x) não existe.
matemática 12º ano 103
Para determinar o limite de uma função que envolve valor absoluto, ou
funções definidas por ramos, deve-se considerar ambos os limites à direita
e à esquerda.
x
y
−1 1 2 3 4 5 6 7
−1
1
2
Figura 6.6: Gráfico da função definida
por ramos.
Exemplo 6.4.1 Considerando a função f (x) =
{ √
x, se x < 4
1, se x ≥ 4
Calcular, se existe:
(a) lim
x→5
f (x) (b) lim
x→1
f (x) (c) lim
x→4
f (x)
156. Averigúe se existe, ou não, o limite da
função no ponto indicado. Em caso
afirmativo, indique esse valor.
(a) f (x) =
{
x + 3 se x ≥ −1
1, se x > −1
(ponto −1);
(b) g(x) = |x|, (ponto 0);
(c) h(x) =

2x ⇐ x < 1
3 ⇐ x = 1
3− x ⇐ x > 1
(ponto 1).
Resolução: Quebrade linha
(a) lim
x→5
f (x) = lim
x→5
1 = 1; (b) lim
x→1
f (x) = lim
x→1
√
x =
√
1 = 1;
(c) Uma vez que a função f está definida por expressões algébricas diferentes
à direita e à esquerda de 4, tem de se calcular os limites laterais.
lim
x→4+
f (x) = lim
x→4+
1 = 1; lim
x→4−
f (x) = lim
x→4−
√
x =
√
4 = 2. Como
lim
x→4+
f (x) 6= lim
x→4−
f (x), então não existe lim
x→4
f (x).
157. Considere o gráfico da figura.
-4 -2 2 4
-2
2
4
6
8
x
f (x)
Calcule:
(a) lim
x→4
f (x);
(b) lim
x→−3
f (x);
(c) lim
x→0−
f (x);
(d) lim
x→0+
f (x);
(e) lim
x→0
f (x);
(f) f (−2);
(g) lim
x→2−
f (x);
(h) lim
x→−2−
f (x);
(i) lim
x→0
f (x + 1);
(j) f (0);
(k) lim
x→1−
f (x− 4);
(l) lim
x→0+
f (x− 2).
Exemplo 6.4.2
Use o gráfico da figura para deter-
minar os limites laterais de f em
x = 0, 1, 2 e 3.
x
y
1 2 3 4
−1
1
2
Resolução: Observando a figura podemos concluir que:
• lim
x→0−
f (x) = 1 e lim
x→0+
f (x) = 2, logo @ lim
x→0
f (x);
• lim
x→1−
f (x) = 1 e lim
x→1+
f (x) = 1, logo lim
x→1
f (x) = 1;
• lim
x→2−
f (x) = −1 e lim
x→2+
f (x) = −1, também lim
x→2
f (x) = −1;
• lim
x→3−
f (x) = −1 e lim
x→3+
f (x) = 1, como são diferentes, então @ lim
x→3
f (x).
Exemplo 6.4.3 Calcular o limite de f (x) =
√
x− 2 quando x → 2.
Resolução: O domínio desta função é o conjunto [2,+∞[ pelo que não
existe qualquer ponto do domínio de f à esquerda de 2. Sendo assim não
existe lim
x→2−
(
√
x− 2) e, consequentemente, @ lim
x→2
(
√
x− 2).
Quando x→ 2+, a função tende para 0.
104 esacs - 2016/17
6.5 Limites infinitos
Quando estudamos limites de funções consideramos a variável independente a tender para um número real e o
valor dos limites obtidos era também um número real.
Agora vamos estudar os casos em que x → +∞ e x → −∞ e ainda as situações em que obtemos limites infinitos,
quer x tenda ou não para infinito.
6.5.1 Limites quando x → +∞ ou x → −∞
Estudar o limite de uma função quando x → +∞ (ou x → −∞) só faz sentido se o domínio da função não for
limitado superiormente (ou não for limitado inferiormente).
Quando x → +∞ ou x → −∞ a função pode ter limite +∞ , −∞, um número real a ou não existir limite finito
nem infinito.
• x→ +∞
f (x) = x2
x
y
→
↑
lim
x→+∞
f (x) = +∞
g(x) = −x2
x
y
→
↓
lim
x→+∞
g(x) = −∞
h(x) =
1
x
+ 1
x
y
→
1
↓
lim
x→+∞
h(x) = 1
Por vezes a observação do gráfico é insuficiente para ver o que acontece
ao limite da função. Vejamos o exemplo.
x
y
0
Figura 6.7: Gráfico de i(x) =
√
x.
Exemplo 6.5.1
Considere a função i(x) =
√
x, em que
lim
x→+∞
i(x) = lim
x→+∞
√
x = +∞.
Para além do gráfico, é necessário ter em conta a expressão algébrica
da propria função.
• x→ −∞
f (x) = x + 1
x
y
← 1
1
2
lim
x→−∞
f (x) = −∞
g(x) = −2x
x
y
← −1
2
↑
lim
x→−∞
g(x) = +∞
h(x) =
1
x2
x
y
←
↓
lim
x→−∞
h(x) = 0
matemática 12º ano 105
x
y
−2 −1 1 2 3 4
−2
−1
1
2
Figura 6.8: Gráfico da função j.
Exemplo 6.5.2 Considerar a função j representada graficamente ao
lado.
Observando o gráfico, veremos que:
lim
x→+∞
j(x) = −∞; e lim
x→−∞
j(x) = +∞.
6.5.2 Limite infinito quando x tende para um número real
Quando x → a, com a ∈ R, também podemos obter um limite infinito.
f (x) =
1
x4
x
y
→ ←
lim
x→0+
f (x) = +∞
lim
x→0−
f (x) = +∞
Logo, lim
x→0
f (x) = +∞
g(x) = − 1
x4
x
y
→ ←
lim
x→0+
g(x) = −∞
lim
x→0−
g(x) = −∞
Logo, lim
x→0
g(x) = −∞
h(x) =
1
x− 1
x
y
1→ ←
lim
x→1+
h(x) = +∞
lim
x→1−
h(x) = −∞
Logo, não existe lim
x→1
h(x)
6.6 Cálculo de limites
Exemplo 6.6.1 (Limite da soma)
Calcular lim
x→−∞
(20− x).
Nota
∞ não é um número real, mas nos cálcu-
los aplicam-se as mesma regras operató-
rias.
Resolução:
lim
x→−∞
(20− x) = lim
x→−∞
(20)− lim
x→−∞
(x)
= 20− (−∞)
= 20 + ∞
= +∞.
158. Calcule:
(a) lim
x→+∞
(−50 + x);
(b) lim
x→−∞
(−50 + x);
(c) lim
x→+∞
(1− 2x);
(d) lim
x→−∞
(2000 + x);
(e) lim
x→+∞
(x3 + 3x2);
(f) lim
x→−∞
(−x + x2);
(g) lim
x→+∞
(−x2 − x3).
De um modo geral, as notações usadas nas sucessões também se usam nas
funções.
+∞ + ∞ = +∞;
+∞± a = +∞;
−∞−∞ = −∞;
−∞± a = −∞ a constante.
Quando se trabalha com limites infinitos são mantidas as regras dos sinais
do cálculo de limites finitos.
Se ao efetuarmos os cálculos chegarmos à situação de ∞−∞, diz-se que
obtivemos uma indeterminação.
106 esacs - 2016/17
Exemplo 6.6.2 Calcule lim
x→−∞
[−3(x + 5)].
159. Determine:
(a) lim
x→+∞
(3x2);
(b) lim
x→−∞
(3x2);
(c) lim
x→+∞
[x(3− x)];
(d) lim
x→−∞
[x(3− x)].
Resolução: Intuitivamente aceita-se que quando x → −∞, uma das fun-
ções é constantemente −3 e a outra toma valores negativos infinitamente
pequenos, logo o produto irá tomar valores positivos infinitamente grandes.
Aplicando os teoremas, vinha
lim
x→−∞
[−3(x + 5)] = lim
x→−∞
(−3)× lim
x→−∞
(x + 5)
= −3× (−∞) = +∞.
As situações são muitas, mas a sua resolução é sempre simples. A seguir
faz-se uma síntese de todos os casos possíveis.
+∞× (+∞) = +∞;
+∞× (−∞) = −∞;
−∞× (−∞) = +∞;
+∞× a = +∞ se a > 0;
+∞× a = −∞ se a < 0;
−∞× a = −∞ se a > 0;
−∞× a = +∞ se a < 0.
No calculo do limite do produto de funções pode surgir a indeterminação:
0×∞.
Nota
Se lim
x→a
f (x) = b, b ∈ R \ {0} e
lim
x→a
g(x) = 0, então lim
x→a
f (x)
g(x)
pode ser
+∞, −∞ ou não existir.
Exemplo 6.6.3 Calcule lim
x→2
1
2x− 4 .
160. Determine:
(a) lim
x→+∞
5
x + 3
;
(b) lim
x→−∞
2
x + 3
;
(c) lim
x→+∞
8
x2 + 1
;
(d) lim
x→−∞
−1
x + 3
.
Resolução: lim
x→2
(2x− 4) = 0.
Quando x → 2 o quociente em valor absoluto, irá tomar valores infinita-
mente grandes.
Para saber se existe o limite temos que calcular os limites laterais.
lim
x→2+
(
1
2x− 4
)
=
1
0+
= +∞
(pois 2x− 4 > 0 quando x > 2).
lim
x→2−
(
1
2x− 4
)
=
1
0−
= −∞
(pois 2x− 4 < 0 quando x < 2).
Logo, não existe lim
x→2
(
1
2x− 4
)
, pois
lim
x→2+
(
1
2x− 4
)
6= lim
x→2−
(
1
2x− 4
)
.
x
y
0 2
matemática 12º ano 107
x
y
−1 1
Figura 6.9: Gráfico de x2 − 1.
Exemplo 6.6.4 Calcule:
(a) lim
x→−1
1
x2 − 1 (b) limx→2
1
(x− 2)2
161. Calcule:
(a) lim
x→1
2
x− 1
(b) lim
x→2
1
x2 − 4
(c) lim
x→3
1
(x− 3)2
(d) lim
x→−1
√
x2 + x + 1
x + 1
Verifique as respostas grafica-
mente.
Resolução: Quebra de linha
(a) Como lim
x→−1
(x2 − 1) = 0, vamos calcular os limites laterais, estudando
o sinal dos denominador.
lim
x→−1−
(
1
x2 − 1
)
=
1
0+
= +∞
lim
x→−1+
(
1
x2 − 1
)
=
1
0−
= −∞
Como os limites laterais são diferentes, não existe lim
x→2
(
1
x2 − 1
)
.
(b) Calculemos lim
x→2
1
(x− 2)2
Como (x− 2)2 > 0, ∀x ∈ R \ {2}, vem
lim
x→2−
1
(x− 2)2 =
1
0+
= +∞
lim
x→2+
1
(x− 2)2 =
1
0+
= +∞
Logo, lim
x→2−
1
(x− 2)2 = +∞.
No cálculo do limite do quociente de funções podem surgir as indetermi-
nações:
0
0
e
∞
∞
.
6.7 Indeterminações
Costuma-se dizer que as expressões:
∞
∞
, ∞−∞, 0×∞, 1∞, 0
0
, 00, ∞0
são indeterminadas. O que significa isto?
Vejamos por exemplo,
∞
∞
.
Sejam f e g funções tais que lim
x→+∞
f (x) = lim
x→+∞
g(x) = +∞. Nada se pode
afirmar, a priori, sobre o limite do quociente
f
g
. Dependendo das funções f
e g ele pode assumir qualquer valor real ou não existir. Exprimimos isso,
dizendo que
∞
∞
é um símbolo de indeterminação.
Para comprovar o que dissemos acima, vejamos dois exemplos:
(i) Sejam f (x) = x3 e g(x) = x2. Temos, lim
x→+∞
f (x) = lim
x→+∞
g(x) = +∞
e lim
x→+∞
f (x)
g(x)
= lim
x→+∞
x3
x2
= lim
x→+∞
x = +∞.
(ii) Sejam f (x) = x2 e g(x) = 2x2. Temos, lim
x→+∞
f (x) = lim
x→+∞
g(x) = +∞
e, neste caso, lim
x→+∞
f (x)
g(x)
= lim
x→+∞
x2
2x2
= lim
x→+∞
1
2
=
1
2
.
108 esacs - 2016/17
6.7.1 Indeterminação
∞
∞
Comecemos por estudar o limite quando x → +∞ ou x → −∞ de uma
função racional.
Temos:
lim
x→+∞
P(x)
Q(x)
= lim
x→+∞
a0xn + a1xn−1 + . . . + an
b0xm + b1xm−1 + . . . + bm
= lim
x→+∞
a0xn
(
1 + a1a0x + . . . +
an
a0xn
)
b0xm
(
1 + a1b0x + . . . +
bm
b0xm
)
= lim
x→+∞
a0xn
b0xm
×
1 + a1a0x + . . . +
an
a0xn
1 + a1b0x + . . . +
bm
b0xm
= lim
x→+∞
a0xn
b0xm
× 1 = lim
x→+∞
a0xnb0xm
.
Do mesmo modo se demonstra que:
lim
x→−∞
P(x)
Q(x)
= lim
x→−∞
a0xn
b0xm
.
O valor do limite vai depender de o grau do polinómio do numerador ser
igual, superior ou inferior ao grau do polinómio do denominador.
Seja, n, m ∈N, a0, b0 ∈ R, temos:
lim
x→±∞
a0xn
b0xm
=

a0
b0
se n = m
0 se n < m
±∞ se n > m.
162. Calcule os seguintes limites:
(a) lim
x→+∞
2− x
x− 3 ;
(b) lim
x→−∞
x2 − 3
1− 3x2 ;
(c) lim
x→+∞
(
2x
x− 1 +
x2
1− x2
)
;
(d) lim
x→+∞
1
x
;
(e) lim
x→+∞
2
3− x ;
(f) lim
x→+∞
(
2x
x2 − 3 +
x
x2 − 1
)
;
(g) lim
x→+∞
x3 − 1
x2
;
(h) lim
x→−∞
1− x2
x
;
(i) lim
x→+∞
(
1− 3x2 + x3
1− x2
)
.
Exemplo 6.7.1 Calcule os seguintes limites:
(a) lim
x→+∞
10x2 − 3x
5x2 + x + 1
(b) lim
x→−∞
8x3 − x2
3x3 + 2x2 + 1
(c) lim
x→+∞
2x2 + 3x + 1
x3 − 2x + 1
(d) lim
x→−∞
8x2 − 3x
x3 + 2x + 1
(e) lim
x→+∞
3x2 + 2x + 1
x− 3
(f) lim
x→−∞
3x2 − 2x + 1
x− 3
Resolução: Quebra de linha
(a) lim
x→+∞
10x2 − 3x
5x2 + x + 1
= lim
x→+∞
10x2
5x2
= lim
x→+∞
10
5
= 2.
(b) lim
x→−∞
8x3 − x2
3x3 + 2x2 + 1
= lim
x→−∞
8x3
3x3
=
8
3
.
(c) lim
x→+∞
2x2 + 3x + 1
x3 − 2x + 1 = limx→+∞
2x2
x3
= lim
x→+∞
2
x
= 0.
(d) lim
x→−∞
8x2 − 3x
x3 + 2x + 1
= lim
x→−∞
8x2
x3
= lim
x→−∞
8
x
= 0.
(e) lim
x→+∞
3x2 + 2x + 1
x− 3 = limx→+∞
3x2
x
= lim
x→+∞
(3x) = +∞.
(f) lim
x→−∞
3x2 − 2x + 1
x− 3 = limx→−∞
3x2
x
= lim
x→−∞
(3x) = −∞.
matemática 12º ano 109
6.7.2 Indeterminação ∞−∞
A estratégia para levantar a indeterminação depende do caso em estudo.
163. Calcule:
(a) lim
x→+∞
(x3 − 3x2 + 2);
(b) lim
x→+∞
(x3 − 3x2 + 2);
(c) lim
x→−∞
(
2x5 − x + 1
2
)
;
(d) lim
x→−∞
(−3x5 + x4 + 2).
Exemplo 6.7.2 Seja a função definida por f (x) = x2 − 3x + 1.
Calcular: lim
x→+∞
(x2 − 3x + 1).
Resolução: Aplicando os teoremas estudados somos conduzidos à indeter-
minação ∞−∞.
Pondo em evidência a mais alta potência de x, vem
lim
x→+∞
(x2 − 3x + 1) = lim
x→+∞
[
x2
(
1− 3
x
+
1
x2
)]
= (+∞)2 × (1− 0 + 0) = +∞.
De um modo geral, temos:
f (x) = a0xn + a1xn−1 + . . . + an
lim
x→+∞
f (x) = lim
x→+∞
(
a0xn + a1xn−1 + . . . + an
)
= lim
x→+∞
[
a0xn
(
1 +
a1
a0x
+
a2
a0x2
+ . . . +
an
a0xn
)]
= lim
x→+∞
(a0nn)× limx→+∞
(
1 +
a1
a0x
+
a2
a0x2
+ . . . +
an
a0xn
)
︸ ︷︷ ︸
=1
= lim
x→+∞
(a0xn).
Se x → −∞ vem:
lim
x→−∞
f (x) = lim
x→−∞
(a0xn).
Pode, então, afirmar-se que:
Uma função polinomial admite, quando x → +∞ ou x → −∞, o
mesmo limite que o seu monómio de mais elevado grau.
Vejamos, como exemplos, situações em que se chega a uma indeterminação
∞−∞ envolvendo expressões irracionais.
164. Calcule:
(a) lim
x→+∞
√
x + 3−
√
x
2
;
(b) lim
x→+∞
(√
x2 + 1− x
)
;
(c) lim
x→+∞
(√
9x2 + 2− 3x
)
;
(d) lim
x→+∞
(√
2x−
√
2x + 3
)
.
Exemplo 6.7.3 Calcule:
(a) lim
x→+∞
(√
x−
√
x− 1
)
;
(b) lim
x→+∞
(√
x2 + 2− x
)
.
110 esacs - 2016/17
Resolução: Quebra de linha
(a) Aplicando os teoremas sobre limites somos conduzidos a uma indetermi-
nação tipo ∞−∞.
Para levantar esta indeterminação usa-se a estratégia de multiplicar e
dividir a expressão pelo "binómio conjugado".
lim
x→+∞
(
√
x−
√
x− 1) = lim
x→+∞
(
√
x−
√
x− 1)(
√
x +
√
x− 1)
√
x +
√
x− 1
= lim
x→+∞
x− (x− 1)
√
x +
√
x− 1
= lim
x→+∞
1
√
x +
√
x− 1
=
1
+∞
= 0.
(b) Usando a mesma estratégia, vem:
lim
x→+∞
(
√
x2 + 2− x) = lim
x→+∞
(
√
x2 + 2− x)(
√
x2 + 2 + x)√
x2 + 2 + x
= lim
x→+∞
x2 + 2− x2√
x2 + 2 + x
= lim
x→+∞
2√
x2 + 2 + x
=
2
+∞
= 0.
6.7.3 Indeterminação 0×∞
Se lim
x→a
f (x) = ∞ e lim
x→a
g(x) = 0
temos
lim
x→a
[ f (x)× g(x)] = lim f (x)1
g(x)
.
Passamos a ter uma indeterminação do tipo
∞
∞
, já estudada.
165. Calcule:
(a) lim
x→+∞
(
x× 1
x2
)
;
(b) lim
x→−∞
[
1
x
(
x2 + 1
)]
;
(c) lim
x→+∞
(
x5 × x
2 + 1
x3 − 1
)
.
Exemplo 6.7.4 Calcule lim
x→+∞
(
1
x
× x2
)
.
Resolução: Temos uma indeterminação do tipo (0×∞).
lim
x→+∞
(
1
x
× x2
)
= lim
x→+∞
x2
x
= lim
x→+∞
x = +∞.
Nota: Deve-se reparar que, na maior dos casos, basta efectuar cálculos
para transformar a indeterminação ×∞ em ∞
∞
.
6.7.4 Indeterminação
0
0
No caso de funções racionais, se depois de efetuarmos os cálculos possíveis
obtemos uma indeterminação do tipo
0
0
é porque o valor para o qual x
está a tender é raiz do numerador e do denominador.
Normalmente, consegue-se levantar a indeterminação simplificando a
fracção.
matemática 12º ano 111
166. Calcule:
(a) lim
x→2
x− 2
x2 − 4 ;
(b) lim
t→1
t3 − 1
t− 1 ;
(c) lim
x→−3
x2 − 9
x + 3
;
(d) lim
s→−1
s + 1
s2 − 1 ;
(e) lim
x→−1
x2 + 4x + 3
x2 − x− 2 ;
(f) lim
v→0
2v− 5v2
v
;
(g) lim
x→1
x3 − 6x2 + 11x− 6
2x2 − 8x + 6 .
Exemplo 6.7.5 Calcule lim
x→1
x3 − 2x2 + 3x− 2
x2 − 4x + 3 .
Resolução: Aplicando os teoremas
somos conduzidos à indeterminação(
0
0
)
.
Se isto acontece é porque os polinó-
mios do numerador e do denominador
são divisíveis por x− 1.
Cálculo auxiliar
1 −2 3 −2
1 1 −1 2
1 −1 2 0
1 −4 3
1 1 −3
1 −3 0
Factorizando os polinómios no numerador e no denominador, obtemos,
lim
x→1
���
�(x− 1)(x2 − x + 2)
���
�(x− 1)(x− 3) = limx→1
x2 − x + 2
x− 3 =
2
−2 = −1.
167. Calcule:
(a) lim
x→0+
√
x
x2
;
(b) lim
x→1
x− 1
1−
√
x
;
(c) lim
x→−4
√
x + 5− 1
x + 4
;
(d) lim
x→4
( √
2x + 1− 3√
x− 2−
√
2
)
.
168. Calcule:
(a) lim
h→0
√
x + h−
√
x
h
;
(b) lim
x→2
√
x2 + 7−
√
8x− 5
x− 2 ;
(c) lim
h→0
√
1 + h− 1
h
;
(d) lim
t→1
√
3t−
√
3
t− 1 .
Exemplo 6.7.6 Calcule:
(a) lim
x→4
√
x− 2
x− 4 ; (b) limx→0+
√
x− x
x2 − x .
Resolução: Quebra de linha
(a) Aplicando os teorema sobre limites temos uma indeterminação
(
0
0
)
.
Nesse caso multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado
da expressão irracional.
lim
x→4
√
x− 2
x− 4 = limx→4
(
√
x− 2)(
√
x + 2)
(x− 4)(
√
x + 2)
= lim
x→4
x− 4
(x− 4)(
√
x + 2)
= lim
x→4
1√
x + 2
=
1
4
.
(b) Aplicando os teorema sobre limites temos uma indeterminação
(
0
0
)
.
lim
x→0+
√
x− x
x2 − x = limx→0+
(
√
x− x)(
√
x + x)
(x2 − x)(
√
x + x)
= lim
x→0+
x− x2
(x2 − x)(
√
x + x)
= lim
x→0+
−1√
x + x
= −∞.
6.8 Infinitésimos simultâneos
Consideremos a função f , real de variável real, definida por
f (x) = 3x(1− x2) e calculemos lim
x→0
f (x).
lim
x→0
f (x) = lim
x→0
(3x)× lim
x→0
(1− x2) = 0× 1 = 0.
Porque este limite é 0, diz-se que f é infinitésimo simultâneo com x (ou
simplesmente f é infinitésimo com x) se lim
x→0
f (x) = 0.
112 esacs - 2016/17
Definição: Uma f.r.v.r definida por f (x) diz-se um infinitésimo
simultâneo com x (ou simplesmente infinitésimo com x) se e só se
lim
x→0
f (x) = 0.
f (x) é um infinitésimo simultâneo com x ⇔ lim
x→0
f (x) = 0.
x
y
−2 −1 1 2
−2
−1
1
2
0
Figura 6.10: Gráfico de 1− x2.
É fácil de verificar que a função definida por h(x) = 1− x2 não é infinité-
simo com x.
Com efeito, lim
x→0
h(x) = lim
x→0
(1− x2) = 1.
Mas podemos afirmar que é um infinitésimo simultâneo com x− 1, visto
que, quando x− 1→ 0 (ou seja, x → 1), tem-se lim
x→1
h(x) = lim
x→1
(1− x2) =
0.
Definição: Uma f.r.v.r definida por f (x) diz-se um infinitésimo
simultâneo com x− a, se e só se lim
x→a
f (x) = 0.
f (x) é um infinitésimo simultâneo com x− a⇔ lim
x→a
f (x) = 0.
169. Prove que são infinitésimos:
(a) f (x) = x2 − 9, quando x → 3;
(b) g(x) =
1
x + 2
, quando x → ±∞.
Da definição acima, conclui-se que, se lim
x→a
f (x) = b, a, b ∈ R, podemos
afirmar que f (x)− b e x− a são infinitésimos simultâneos.
Exemplo 6.8.1 Sendo y = x2− x, como lim
x→3
y = 6, então, y− 6 e x− 3
são infinitésimos simultâneos.
6.8.1 Comparação das ordens de dois infinitésimos simultâneos
Sejam f e g duas f.r.v.r, tais que lim
x→a
f (x) = lim
x→a
g(x) = 0, sendo a um
ponto de acumulação de D f ∩ Dg.
Nesta condições, f e g são simultâneos com (x− a) e, existindo lim
x→a
f (x)
g(x)
,
três situações podem ocorrer: Nota
Uma função f diz-se um infinitésimo de
ordem superior à g se f tender para 0
mais rapidamente do que g.• Quando limx→a
f (x)
g(x)
= k, k ∈ R, diz-se que f e g são infinitésimos
de mesma ordem;
• Quando lim
x→af (x)
g(x)
= 0, diz-se que f é um infinitésimo de ordem
superior à g;
• Quando lim
x→a
f (x)
g(x)
= ±∞, diz-se que f é um infinitésimo de ordem
inferior à g.
Em particular, quando lim
x→a
f (x)
g(x)
= 1 diz-se que f e g são infinitésimos
equivalentes e escreve-se f ∼ g, lendo-se " f equivalente à g".
matemática 12º ano 113
Exemplo 6.8.2 Sendo f (x) = x + 3x3 e g(x) = x2 − 2x, f e g são
infinitésimos com x.
Com efeito,
lim
x→
f (x) = lim
x→0
(x + 3x3) = 0 e lim
x→0
g(x) = lim
x→0
(x2 − 2x) = 0.
Mas como lim
x→0
f (x)
g(x)
= lim
x→0
x(1 + 3x2)
x(x− 2)
(
0
0
)
= lim
x→0
1 + 3x2
x− 2 = −
1
2
,
pode afirmar-se que f e g são infinitésimos de mesma ordem.
170. Sendo f e g duas funções r.v.r tais
que f (x) =
√
x + 3x e g(x) = x2 + x,
(a) prove que f e g são infinitésimos
simultâneos com x;
(b) compare as ordens dos dois infi-
nitésimos com x.
171. Indique em que ponto as seguin-
tes funções são infinitésimos simultâ-
neos e compare a s suas ordens:
f (x) =
√
x + 1− 1,
g(x) = x2.
172. Prove que quando x → 0:
(a) 1− 1√
1 + x
∼ 1
2
x;
(b) 1− 1
1 + x
∼ x;
(c)
√
1 + x3 − 1 ∼ x
3
2
.
Exemplo 6.8.3 Se for f (x) = 3x e g(x) =
√
x, vem
lim
x→0+
f (x)
g(x)
= lim
x→0+
3x√
x
(
0
0
)
= lim
x→0+
3
√
x = 0,
ou seja, f tende mais rapidamente para zero do que g e diz-se que é
um infinitésimo com x de ordem superior à g.
6.9 Assíntotas
Em várias funções estudadas até agora, tanto no 11◦ como no 12◦ ano,
encontramos retas que orientam o traçado do gráfico e que se chamam
assíntotas do gráfico.
Até agora só foram assinaladas assíntotas verticais e horizontais. Mas um
gráfico ter também assíntotas obliquas em relação ao referencial. Vamos
estudar regras gerais para a determinação de assíntotas, quer paralelas
quer não paralelas aos eixos coordenadas.
x
y
1
1
x = 1
y =
x + 1
x− 1
y = 1
0
Figura 6.11: Gráfico com assíntotas.
6.9.1 Assímptotas verticais
O gráfico á margem representa a função f (x) =
x + 1
x− 1 .
Vemos que lim
x→1+
x + 1
x− 1 = +∞ e limx→1−
x + 1
x− 1 = −∞.
O gráfico tem uma assímptota vertical de equação x = 1.
173. Indique equações das assímptotas
verticais dos gráficos de:
(a) f (x) =
3x− 2
x + 3
;
(b) g(x) = 4 +
2
x− 2 ;
(c) h(x) =
x2
(x− 1)(x− 3) ;
(d) i(x) =
5
x2 − 5 ;
(e) j(x) =
2x2
x2 + 1
;
(f) k(x) =
4x(
x− 32
)2 .
Definição: A recta x = a é assíntota vertical do gráfico da função f
sse
lim
x→a−
f (x) = +∞ (ou −∞) ou lim
x→a+
f (x) = +∞ (ou −∞).
Exemplo 6.9.1 A recta x = 2 não é assímptota do gráfico de
f (x) =
8(x2 − 4)
x− 2 porque, no ponto x = 2 é 8(x
2 − 4) = 0 e x− 2 = 0
e, para x 6= 2, vem
f (x) =
8(x2 − 4)
x− 2 =
8����(x− 2)(x + 2)
���x− 2 = 8(x + 2).
O gráfico de f é uma recta da qual se exclui o ponto em que x = 2.
114 esacs - 2016/17
6.9.2 Assíntotas horizontais
Observa o gráfico da função f com f (x) =
4x2
x2 + 1
em R.
Vê-se facilmente que as imagens são sempre positivas, se
x 6= 0, e menores que 4.
O denominador nunca se anula portanto não pode ter
assíntotas verticais.
A função é par, logo o gráfico é simétrico em relação ao
eixo das ordenadas.
x
y
−7−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7
2
3
4
5
6
7
Recta y = 4
y =
4x2
x2 + 1
0
174. Determine as assíntotas horizontais
dos gráficos das funções no exercício
anterior.
175. Estude o limite no ponto −3 e deter-
mine se há assíntotas paralelas aos
eixos:
(a) Função f : x 7→ x
2 − 3x
x2 − 9 ;
(b) Função g : x 7→ |x + 3|
x2 + 3
.
176. Determine as assíntotas paralelas aos
eixos dos gráficos de:
(a) x 7→ x− 1
x2 + 1
;
(b) x 7→ x− 3
x + 1
;
(c) x 7→ 1− 3
x2 − 1 .
Nota ainda que
lim
x→+∞
f (x) = lim
x→+∞
4x2
x2 + 1
= 4;
lim
x→−∞
f (x) = lim
x→−∞
4x2
x2 + 1
= 4.
Isto significa que, para valores muito grandes ou muito pequenos de x, as
imagens aproximam-se do valor 4 pelo que o gráfico acaba por se confundir
com o da recta y = 4.
Esta recta, que orienta o traçado do gráfico, é uma assíntotas horizontal
do gráfico desta função.
Definição: A recta y = b, b ∈ R, é assíntota horizontal do gráfico
da função f , sse
lim
x→+∞
f (x) = b ou lim
x→−∞
f (x) = b.
Uma função pode ter um gráfico com assíntotas horizontais e verticais:
À título de exemplo, observemos o gráfico ao lado.
Cálculos:
lim
x→±∞
g(x) = lim
x→±∞
x
9− x2 = 0, logo y = 0 (eixo das
abcissas) é assímptota horizontal.
lim
x→3+
g(x) =
3
0−
= −∞ ou lim
x→3−
g(x) =
3
0+
= +∞;
lim
x→−3+
g(x) =
−3
0+
= −∞ ou lim
x→−3−
g(x) =
−3
0−
= +∞.
Logo x = 3 e x = −3 são assíntotas verticais.
x
y
−7−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
A.H: y = 4
A.V: x = −3 e x = 3
g(x) =
x
9− x2
0
matemática 12º ano 115
6.9.3 Assíntotas oblíquas
Quando x tende para +∞ ou quando x tende para −∞, pode acontecer que o gráfico duma função f se confunda
com uma recta oblíqua aos eixos coordenadas que será chamada assímptota oblíqua do gráfico.
Como toda a recta oblíqua, num referencial (Ȯx, Ȯy), pode ser representada pela equação y = mx + b, conclui-se
que
Nota
• Se f (x)− (mx + b) > 0, o gráfico
de f está acima da assíntota;
• Se f (x)− (mx + b) < 0, o gráfico
de f está abaixo da assíntota.
A recta de equação y = mx + b é assíntota do gráfico de f (x) sse
lim
x→−∞
[ f (x)− (mx + b)] = 0 ou lim
x→+∞
[ f (x)− (mx + b)] = 0.
Isto que dizer que à medida que x → ±∞, a distancia entre um ponto do
gráfico de f (x) e da recta á cada vez menor. A determinação da assímp-
177. Determine as assíntotas dos gráficos
de:
(a) f (x) =
x2 + 1
2x + 2
;
(b) g(x) = 1− 1
x
;
(c) h(x) = 2x + 3 +
6
x
;
(d) i(x) =
x
x2 − 4 − 5x + 4;
(e) j(x) =
x2 − 1
2x + 3
.
tota oblíqua exige o cálculo de m e b para obter a sua equação y = mx + b.
Com efeito, partindo da definição temos:
lim
x→+∞
[ f (x)− (mx + b)] = 0 donde lim
x→+∞
f (x)− (mx + b)
x
= 0,
ou
lim
x→+∞
f (x)
x
− lim
x→+∞
mx + b
x
= 0 logo lim
x→+∞
f (x)
x
−m = 0,
ou seja,
m = lim
x→+∞
f (x)
x
.
Conhecido o valor de m vejamos como obter o de b?
Por definição lim
x→+∞
[ f (x)−mx− b] = 0
ou seja
b = lim
x→+∞
[ f (x)−mx].
E, analogamente, quando x → −∞:
m = lim
x→−∞
f (x)
x
e b = lim
x→−∞
[ f (x)−mx].
x
y
−5−4−3−2−1 1 2 43 5 6
−3
−2
−1
1
2
4
5
6
7
y = x + 2x = 2
y =
x2 − 9
x− 2
0
Figura 6.12: Gráfico de f (x) =
x2 − 9
x− 2 .
Exemplo 6.9.2 A função de variável real f , tal que f (x) =
x2 − 9
x− 2 tem
a assímptota vertical x = 2.
Averiguemos se tem também assíntotas oblíquas.
m = lim
x→+∞
f (x)
x
= lim
x→+∞
x2 − 9
x2 − 2x = 1;
b = lim
x→+∞
[ f (x)−mx] = lim
x→+∞
(
x2 − 9
x− 2 − x
)
= lim
x→+∞
2x− 9
x− 2 = 2.
Então y = x + 2 é assíntota quando x → +∞.
Analogamente, quando x → −∞ se obtém y = x + 2 (ver Figura 6.12).
116 esacs - 2016/17
x
y
−4−3−2−1 1 2 3 4 5
−2
1
2
0
Figura 6.13: Gráfico de g(x).
Exemplo 6.9.3 Seja agora g(x) =

x2
x + 2
se x ≥ 0
x2
2− x se x < 0
Vamos ver que o gráfico desta função tem duas assíntotas oblíquas:
I. Quando x → +∞:
m = lim
x→+∞
g(x)
x
= lim
x→+∞
x2
x+2
x
= lim
x→+∞
x2
x2 + 2x
= 1;
b = lim
x→+∞
[g(x)−mx] = lim
x→+∞
(
x2
x + 2
− x
)
= lim
x→+∞
−2x
x + 2
= −2.
Equação da assímptota y = x− 2 (ver Figura 6.14).
II. Quando x → −∞:
m = lim
x→−∞
g(x)
x
= lim
x→−∞
x2
2−x
x
= lim
x→−∞
x2
2x− x2 = −1;
b = lim
x→−∞
[g(x)−mx] = lim
x→+∞
(
x2
2− x + x
)
= lim
x→−∞
−2x
2− x = −2.
Equação da assíntota y = −x− 2.
178. Esboce as assíntotas dos gráficos das
funções:
(a) f (x) =
x2 + 3x
x + 1
;
(b) f (t) = t +
1
t
;
(c) f (x) =
√
x2 − 1
x− 1 ;
(d) f (t) =
t3
(t− 1)2 .
O estudo das assíntotas horizontais e oblíquas pode ser feito em conjunto.
A equação da recta, y = mx + b, representa qualquer recta não verti-
cal.
y = mx+ b
{
se m 6= 0, a recta é oblíqua;
se m = 0, a recta é horizontal de equação y = b.
Por conseguinte, o processo de acabamos de estudar para a determinação
de assíntotas oblíquas permite detectar simultaneamente a existência de
assíntotas horizontais, se
lim
x→±∞
f (x)
x
= 0 e lim
x→±∞
f (x) é finito.
Quando x → +∞, só pode haver uma assíntota: se houver horizontal, nãohá oblíqua e vice-versa (o mesmo par −∞).
x
y
−2 2
−8
2
y =
2x2 − 8
x2 + 1
0
Figura 6.14: Gráfico de f (x) =
2x2 − 8
x2 + 1
.
Exemplo 6.9.4 Pesquisar as assíntotas do gráfico de
x 7→ f (x) = 2x
2 − 8
x2 + 1
.
Resolução: É evidente que não há assíntotas verticais
(x2 + 1 6= 0 ∀x ∈ R).
lim
x→+∞
f (x)
x
= lim
x→+∞
2x2 − 8
x3 + x
= 0 e lim
x→+∞
f (x) = 2.
Há, portanto, uma assíntota horizontal, quando x → +∞, de equação y =
2. Quando x → −∞, obtém-se a mesma assímptota (ver gráfico à margem).
As assíntotas não fazem parte do gráfico de uma função. Mas a sua
determinação é essencial para o traçado desse gráfico.
matemática 12º ano 117
6.10 Limites notáveis envolvendo exponenciais e logaritmos
x
ex
x5
1 e
10 0, 22
20 151, 6
40 2, 3× 109
50 1, 7× 1013
100 2, 7× 1033
→ +∞ → +∞
Como sabemos, o crescimento da função exponencial é muito rápido e
tem-se que:
lim
x→+∞
ax
xp
= +∞, a > 1, p ∈ R.
No caso particular da função exponencial e logarítmica de base e, existem
os seguintes limites notáveis muito importantes:
lim
x→+∞
ex
xp
= +∞; lim
x→0
ex − 1
x
= 1, com p ∈ R
lim
x→+∞
ln x
x
= 0; lim
x→0
ln (x + 1)
x
= 1 e lim
x→1
ln x
x− 1 = 0
Exemplo 6.10.1 Calcule os limites:
(a) lim
x→+∞
(
3x + x
x5
)
;
(b) lim
x→+∞
(
πx
3x+2
)
;
(c) lim
x→−∞
(
ex
6x
)
;
(d) lim
x→+∞
(
x2
ex
)
.
179. Calcule:
(a) lim
x→+∞
2x + 1
x6
;
(b) lim
x→−∞
2x
x3
;
(c) lim
x→+∞
3x − 3x+1
x2
;
(d) lim
x→+∞
[(
1
2
)x
+
π
3x+1
]
;
(e) lim
x→−∞
(
e5x
x8
)
.
Resolução: Quebra de linha
(a) lim
x→+∞
(
3x + x
x5
)
= lim
x→+∞
(
3x
x5
)
+ lim
x→+∞
( x
x5
)
= +∞ + 0 = +∞;
(b) lim
x→+∞
(
πx
3x+2
)
= lim
x→+∞
(
πx
3x × 32
)
= lim
x→+∞
(π
3
)x
× lim
x→+∞
1
9
= +∞× 1
9
= +∞;
(c) lim
x→−∞
(
ex
6x
)
=
(
0
0
)
lim
x→−∞
(
6
e
)−x
= +∞;
(d) lim
x→+∞
(
x2
ex
)
= 0.
118 esacs - 2016/17
Exemplo 6.10.2 Calcule lim
x→0
f (x), sendo
(a) f (x) =
ex − e5x
2x
; (b) f (x) =
ex+1 − e
x3
.
180. Calcule cada um dos seguintes limi-
tes:
(a) lim
x→0+
ex
1− ex ;
(b) lim
x→0
e−x − 1
x
;
(c) lim
x→0
ex − 1
e2x − 1 ;
(d) lim
x→0
2ex − 2
6x
;
(e) lim
x→1
ex−1 − 1
2x− 2 .
Resolução: Quebra de linha
(a)
lim
x→
ex − e5x
2x
= lim
x→0
ex(1− e4x)
2x
= lim
x→0
−2ex(e4x − 1)
4x
= lim
x→0
(−2ex) lim
x→0
e4x − 1
4x
= (−2)× 1× 1 = −2;
(b)
lim
x→0
ex+1 − e
x3
= lim
x→0
e(ex − 1)
x3
= lim
x→0
e
x2
× lim
x→0
ex − 1
x
= +∞× 1 = +∞.
Exemplo 6.10.3 Calcule o seguinte limite: lim
x→+∞
ln
(
1 + 1x
)
1
x
.
181. Calcule cada um dos seguintes limi-
tes:
(a) lim
x→+∞
ln(2x)
x
;
(b) lim
x→−∞
ln(−3x)
x
;
(c) lim
x→0+
ln x
x
;
(d) lim
x→0−
ln(−2x)
x
;
(e) lim
x→0
ln(x + 1)3
2x
;
(f) lim
x→3
x2 − 5x + 6
ln(x− 2) ;
Resolução: Como x → +∞, 1
x
→ 0. Logo, considere-se a seguinte mu-
dança de variável:
1
x
= y; e assim o limite dados pode ser escrito na forma
lim
y→0
ln(1 + y)
y
.
Deste modo, estamos perante um dos limites notáveis dados e portanto
lim
x→+∞
ln
(
1 + 1x
)
1
x
= 1.
matemática 12º ano 119
Exercícios do Capítulo 6
1. Seja C =]−∞ , 2]∪]3 , 5] ∪ 6 , 7.
Indique o conjunto dos pontos isolados e o conjunto dos
pontos de acumulação de C.
2. Indique os pontos de acumulação dos seguintes conjuntos:
(a) [2 , 3]
(b) ]2 , 5]
(c) {3 , 5 , 9 , 10}
(d) [2, 6] ∩N
(e)
{
x ∈ R : x = 2 + n
n + 3
∧ n ∈N
}
(f)
{
x ∈ R : x = (−1)n n
2n
∧ n ∈N
}
3. Use a definição de Heine para calcular:
(a) lim
x→3
(2x− 3)
(b) lim
x→1
x
x + 1
(c) lim
x→0
[(x + 1) · (x− 3)]
(d) lim
x→+∞
1
x + 1
4. Mostre, aplicando a definição de Heine, que:
(a) lim
x→1
x + 3
x + 1
= 2
(b) lim
x→1
3
(x− 1)2 = +∞
(c) lim
x→+∞
x + 1
2x− 1 =
1
2
(d) lim
x→2
f (x) = 7 sendo
f (x) =
{
3x + 1 se x ≤ 2
5x− 3 se x > 2
5. Mostre que não existe limite em cada um dos casos seguin-
tes:
(a) lim
x→1
f (x), sendo f (x) =
{
x2 + 1 se x ≤ 1
x− 3 se x > 1
(b) lim
x→−2
x + 1
x− 3
6. Calcule, se existirem:
(a) lim
x→2
(
x2 − 3
)2
(b) lim
x→1
x + 1
x− 1
(c) lim
x→3
ex−1
(d) lim
x→2
log3(x + 7)
(e) lim
x→1
f (x) se f (x) =
{
2x se x ≥ 1
ln(6x + 4)2 se x < 1
7. Aplicando a Propriedade 6.3.1, mostre que:
(a) lim
x→1
(
x2 − 3x + 1
)
= −1
(b) lim
x→−2
x + 2
x + 4
= 0
(c) lim
x→0
3
√
x2 + 27 = 3
(d) lim
x→2
(
2 + x
x− 1
)2
= 16
8. Calcule cada um dos seguintes limites:
(a) lim
x→1
√
1− x2
(b) lim
x→2
3
√
x2 + 3x
(c) lim
x→−∞
(
x5 + 3x2
)
(d) lim
x→2
x2 − 4
x2 − 5x + 6
(e) lim
x→4
√
x− 2
x− 4
(f) lim
x→0
x3 + 3x2
−x2 + 2x
(g) lim
x→+∞
(
1
x + 3
· 2x
2 + 1
x
)
(h) lim
x→+∞
(
x3 − 3x2 + 5x− 10
)
(i) lim
x→3
[
x + 1
x− 3 · (x
2 − 6x + 9)
]
(j) lim
x→+∞
(√
x + 3−
√
x + 1
)
(k) lim
x→−∞
(√
x2 + 1 + x
)
9. Averigue a existência de limite para as funções:
(a) f (x) =
1
x− 3 quando x → 3
(b) g(x) =
√
1− x quando x → 1
(c) h(x) =
{
2x se x ≥ 0
x + 1 se x < 0
quando x → 0
(d) i(x) =
{
|x| se x 6= 0
1 se x = 0
quando x → 0
10. Averígue a existência de limite para a função:
f (x) =

ex − 1
x
se x < 0
2x
(x + 1)2
se x ≥ 0
quando:
(a) x → 1
(b) x → −1
(c) x → 0
(d) x → +∞
(e) x → −∞
11. Determine o valor da constante k de modo que a função
definida por:
f (x) =
 e
x−1 − 1
x− 1 se x > 1
2x + k se x < 1
(k ∈ R)
tenha limite quando x tende para 1.
12. Averígue a existência de limites nos pontos de mudança de
expressão analítica
f (x) =

e3x − 1
x
se x > 0
x2 + 3 se 0 ≤ x < 2
x + 1
x
se x > 2
120 esacs - 2016/17
13. Seja f uma função real de variável real e seja:
lim
x→a
f (x) = b
Considere uma nova função h, definida por:
h(x) = f (x)− 2 se x < a
h(a) = f (a)
h(x) = f (x) + 2 sex > a
Indique:
lim
x→a+
h(x); lim
x→a−
h(x)
14. Calcule os limites nos pontos que se indicam e diga, justifi-
cando, se existe limite nesses pontos.
(a) f (x) =
{
2x se x < 0
x se x ≥ 0 ; x = 0
(b) g(x) =

1
2
se x < −1
2 se − 1 ≤ x ≤ 1
− 1
x
se x > 1
; x = 1; x = −1
(c) h(x) =

1
x2 + 1
se x > −1
− 1
2x
se x ≤ −1
; x = −1
(d) i(x) = (3x + 2) · x|x|
15. Determine a de modo que a função h tenha limite quando
x → −1.
h(x) =
{
x + 2a se x < −1
x2 − ax + 1 se x ≥ −1
16. Para cada uma das funções a seguir indicadas, calcule os
limites laterais nos pontos referidos:
(a) f (x) =

x2 + 1 se x < 3
2 se x = 3
x− 1
x + 2
se x > 3
em x = 3
(b) f (x) =
{
3x + 1 se x 6= 2
x se x = 2
em x = 2
(c) f (x) =
x + 4
x2 − 1 , em x = 1
(d) f (x) = |x + 3|, em x = −3
17. Mostre que em cada um dos casos a seguir indicados, não é
possível levantar a indeterminação (indeterminação real):
(a) lim
x→2
(x− 3)(x− 2)
x2 − 4x + 4
(b) lim
x→1
(
x + 4
x2 − 2x + 1 ·
x− 1
x + 2
)
18. Determine os limites
(a) lim
x→+∞
1
3x2
(b) lim
x→−∞
1
3x2
(c) lim
x→+∞
1
x3
(d) lim
x→−∞
1
x3
19. Determine, se existirem:
(a) lim
x→−∞
(
−x− x3
)
(b) lim
x→+∞
(
−x− x2
)
(c) lim
x→−∞
(
−x + x3
)
(d) lim
x→+∞
(
−x + x2
)
(e) lim
x→+∞
(√
x + x4
)
(f) lim
x→+∞
(
−x2 −
√
x
)
(g) lim
x→+∞
(√
x− x2
)
(h) lim
x→−∞
(
x2 +
√
−x
)
(i) lim
x→+∞
[
(x2 − x)(2x3 + 5x)
]
(j) lim
x→+∞
3
x3 − 5x + 1
(k) lim
x→+∞
√
x3 − 3x + 1
20. Determine m de modo que:
lim
x→+∞
(2−mx)(x + 1)
x2 − 4 = 5
21. Determine, se existirem:
(a) lim
x→−1
3x
(x + 1)2
(b) lim
x→−1
x3 + 1
x + 1
(c) lim
x→3
x2 − 8x + 15
x2 − 9
(d) lim
x→2
|x− 2|
x− 2
(e) lim
x→0+
√
x + 1
x
(f) lim
x→1
√
x + 3− 2
x− 1
(g) lim
x→−1−
(
3
x + 1
− 4
x2 − 1
)
22. Sendo f (x) = x2 + 1, calcule:
lim
x→2
f (x)− f (2)
x− 2 .
23. Sendo f (x) = − 1
x
, mostre que:
lim
x→0
f (
√
3 + h)− f (
√
3)
h
=
1
3
24. Calcule lim
x→+∞
f (x) e lim
x→−∞
f (x), sendo:
(a) f (x) =
−2x + 1
x2 + 3x
(b) f (x) =
−2x2 + 5
x2 + x
(c) f (x) =
x3 + 5x + 2
x− 1
(d) f (x) =
(
x + 1
−x− 3
)3
(e) f (x) =
{
x2 se x > 1000
2 se x ≤ 1000
(f) f (x) =
√
x + 1−
√
x (se x → +∞)
(g) f (x) =
√
x2 + 1−
√
x (se x → +∞)
(h) f (x) =
2x−
√
x
x + 1
(se x → +∞)
(i) f (x) =
√
x4 + 2
x + 1
matemática 12º ano 121
25. Calcule cada um dos seguintes limites:
(a) lim
x→3
(−2x)
(b) lim
x→8
(−10)(c) lim
x→1
(x2 − 2x + 1)
(d) lim
x→2
[
(x− 1)(x + 5)2
]
(e) lim
x→1
3
√
x2 + 2x + 5
(f) lim
x→0
(
x2 − 3
x− 1
)3
(g) lim
x→1
√(
x2 + 1
3x
)
26. Simplifique cada uma das frações algébricas e, em seguida,
calcule o limite.
(a) lim
x→4
x− 4
x2 − 16
(b) lim
x→1
x2 − 2x + 1
x2 − 1
(c) lim
x→2
a2 − 4
a− 2
(d) lim
b→0
b3 − b2
3b2 − b
(e) lim
t→−1
t4 − 1
t + 1
(f) lim
x→−2
x4 − 16
x3 + 8
27. Calcule se existirem:
(a) lim
x→−2
x + 2
x2 − 4
(b) lim
x→−1
2x + 2
x3 + 1
(c) lim
x→0
x3 − 3x
x2 + x
(d) lim
x→1
x− 1
(x− 1)2
(e) lim
x→1
1−
√
x
x− 1
(f) lim
x→2
(
1
x− 2 −
1
x2 − 4
)
(g) lim
x→+∞
(√
x2 − 3x− 2x
)
(h) lim
x→+∞
(√
x2 + 1 + x
)
(i) lim
x→0
1−
√
1− x2
x
(j) lim
x→3
√
x + 1− 2
x− 3
(k) lim
x→1
ln x
x− 1
(l) lim
x→+∞
ln x
x− 1
(m) lim
x→+∞
(
ex − x3
)
(n) lim
x→0
e2x − 1
2x
(o) lim
x→0
f (x) se
f (x) =

e2x − 1
e3x − 1 se x > 0
x + 2
2x + 3
se x < 0
(p) lim
x→+∞
(3x − 2x)
28. Calcule, se existirem:
(a) lim
x→+∞
x2 − 3x3
2x3 + 5x− 1
(b) lim
x→+∞
1 +
√
x
x− 1
(c) lim
x→+∞
(
x3 + x2 − 3x
)
(d) lim
x→−∞
(
3x2 + 1
x
− 3x
)
(e) lim
x→−∞
(√
x2 + 5 + x
)
(f) lim
x→−∞
(
1
x + 2
·
√
x2 + 1
)
(g) lim
x→3
x2 − 3x
x2+x−12
(h) lim
x→4
√
5− x− 1
x− 4
29. Dadas as funções f , g e h, definidas por:
f (x) = x2 +
√
x, g(x) = 3x
√
x, h(x) = x2 + 2x
(a) Mostre que são infinitésimos simultâneos com x
(b) Compare as ordens destes infinitésimos
30. Mostre que as funções f e g definidas por: f (x) = x2 + 3x−
10 e g(x) = x3 + 2x− 12 são infinitésimos simultâneos com
(x− 2) e compare as suas ordens.
31. Mostre que são infinitésimos com (x− 2) as seguintes variá-
veis:
(a)
x2 − 4
x + 1
(b) 2
√
2x− 4
(c) x2 − 3x + 2
(d)
√
x2 − 7x + 10
(e) x3 + x2 − 5x− 2
32. Averígue a existência de assíntotas para as funções seguintes
e identifique-as:
(a) f (x) =
1
x2 − 2x
(b) g(x) =
x2 + 1
x− 1
(c) h(x) =
x2 − 3
x2 + 2
(d) i(x) =
x4 + 3x
x2 + 2
(e) j(x) =
x3 − 1
x2 − 1
(f) k(x) =
x4
(x− 1)(x + 1)(x− 2)
(g) l(x) =
√
x2 − 4
(h) m(x) = 1− ln x
(i) n(x) =
{
ex se x ≤ 0
ln x se x > 0
(j) o(x) =
√
1− x2
122 esacs - 2016/17
33. Calcule cada um dos seguintes limites:
(a) lim
x→+∞
5x
x5
(b) lim
x→−∞
3x
x3
(c) lim
x→+∞
ex
5x
(d) lim
x→0
x2
3x
(e) lim
x→+∞
5x
x5
(f) lim
x→−1
ex+1 − 1
x + 1
(g) lim
x→0
e3x − 1
1− ex
(h) lim
x→0
(ex)3 − 1
6x
(i) lim
x→2
ex − e2
x− 2
(j) lim
x→0
x2 + 2x
1− e3x
34. Calcule cada um dos seguintes limites:
(a) lim
x→0
ln(x2 + 2x + 1)
x
(b) lim
x→0
ln(1− x2)
3x
(c) lim
x→0
ln
(
1+2x
1+x
)
x
(d) lim
x→0+
1 + ln x
ex − 1
(e) lim
x→1
1− x2
ln(2− x)
(f) lim
x→+∞
log x
x3
(g) lim
x→+∞
(ln x− x)
35. Calcule os seguintes limites:
(a) lim
x→3
3x2 − 3x
2ex − 2
(b) lim
x→5
ln(x− 4)6
2x− 10
(c) lim
x→+∞
ln x− ex−7
ex
(d) lim
x→0
4ex − 4
8x
36. Calcule cada um dos seguintes limites:
(a) lim
x→0
e2x − 1
x
(b) lim
x→0
ex+1 − e
x
(c) lim
x→0
e3 − ex+3
2x
(d) lim
x→0
2x
e5x − 1
(e) lim
x→0
e2x − ex
−5x
(f) lim
x→3
ex−3 − 1
2x− 6
(g) lim
x→0
x3
ex+3 − e3
(h) lim
x→0
ax
ebx − 1
(a 6= 0 e b 6= 0)
(i) lim
x→+∞
e2x−1
1− e3x
(j) lim
x→0
eax − 1
ebx − 1
(a 6= 0 e b 6= 0)
(k) lim
x→0
ln(x + 1)
3x
(l) lim
x→0
ln(2x + 1)
3x
(m) lim
x→0
ln(x + 1)
x2
(n) lim
x→0
ln(x + 1)
ex − 1
(o) lim
x→3
x− 3
ln(x− 2)
(p) lim
x→−2
ln(−1− x)
x + 2
7 CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO
"De que me irei ocupar no céu, durante toda a Eternidade,
se não me derem uma infinidade de problemas de Matemática para resolver?"
Augustin Louis Cauchy
Introdução
A palavra "contínuo" significa, em linguagem corrente, que "não é interrompido" ou "que não é dividido em
partes separadas".
Quando se levanta o auscultador do telefone, ouve-se o sinal de ligação à "rede" que é um som contínuo; pelo
contrário, o sinal de chamada é um som descontínuo.
7.1 Noção de função contínua num ponto
Se um troço de um gráfico pode ser desenhado sem levantar o lápis do papel, a função é contínua nesse troço.
Se o traçado do gráfico, num troço, obriga a levantar o lápis do papel então a função não é contínua nesse troço.
Os pontos onde a função não é contínua diz-se pontos de descontinuidades.
Observe os gráficos seguintes dos quais só um representa uma função contínua no ponto 2.
A.
x
y
−1 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
f (x) = x + 1
x ∈ Z
0
B.
x
y
−1 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
f (x) =
{
x + 1, x 6= 2
0, x = 2
0
C.
x
y
−1 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
f (x) =
{ x
2
, x 6 2
3, x > 2
0
D.
x
y
−1 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5 f (x) =
x
(x− 2)2
0
E.
x
y
−1 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
f (x) =
{
x + 1, x 6 2
− 1
2
x + 4, x > 2
0
F.
x
y
−1 1 2 3 4 5
−2
−1
1
2
3
4
f (x) =
{ 1
x− 2 , x 6= 2
0, x = 2
0
124 esacs - 2016/17
A. O gráfico é formado por pontos isolados, f não pode ser contínua;
B. Há um salto no ponto x = 2. Embora esteja definida no ponto 2, a marcação da imagem obriga a levantar o
lápis do papel. O ponto 2 é um ponto de descontinuidade.
C. Também neste caso, 2 é ponto de descontinuidade.
D. A função nem está definida no ponto x = 2; não se classifica a continuidade neste ponto;
E. É contínua no ponto 2.
F. É descontínua no ponto x = 2.
A partir do conceito de limite, define-se a função contínua num ponto:
182. Indique os pontos de descontinui-
dade de:
(a) f (t) = 2t− 8
(b) g(t) =
3
t− 12
(c) h(x) =
2x
(x− 3)(x + 4)
(d) i(x) =
{
x− 3 se x > 2
5− 2x se x 6 2
Definição: Uma função r.v.r. definida por f (x), diz-se contínua no
ponto a sse lim
x→a
f (x) = f (a).
f é contínua em a⇔ lim
x→a
f (x) = f (a).
Esta definição tão simples, resume três condições:
Teste de continuidade
• f (a) existe, isto é, a ∈ D f ;
• lim
x→a−
f (x) = lim
x→a+
f (x), isto é, existe lim
x→a
f (x);
• lim
x→a
f (x) = f (a).
Exemplo 7.1.1 Estude a continuidade de f no ponto x = 0 sendo:
f (x) =
{
x se x ≥ 0
x2 se x < 0
183. Estude a continuidade de cada uma
das seguintes funções nos pontos in-
dicados:
(a) f (x) = |x|, para x = 0;
(b) g(x) =
{
x2 + 1 se x ≤ 1
2x se x > 1
para x = 1;
(c) h(x) =

x2 + 5 se x < 2
3 se x = 2
1 + x2 se x > 2
para x = 2;
(d) i(x) =

1
x + 2
se x 6= −2
0 se x = −2
para x = −2;
Resolução: f (x) =
{
x se x ≥ 0
x2 se x < 0
• 0 ∈ D f e f (0) = 0
• lim
x→0
f (x) =?
lim
x→0+
f (x) = lim
x→0+
(x) = 0
lim
x→0−
f (x) = lim
x→0−
(x2) = 0 x
y
−1 1 2
1
2
0
Como os limites laterais existem e são iguais, existe lim
x→0
f (x)
e lim
x→0
f (x) = 0.
• lim
x→0
f (x) ?= f (0)
f (0) = 0; lim
x→0
f (x) = 0
Então, lim
x→0
f (x) = f (0).
Logo, a função f é contínua para x = 0.
matemática 12º ano 125
Exemplo 7.1.2 Estude a continuidade de f e g no ponto x = 0 sendo:
g(x) =
{
−x se x > 0
x2 + 1 se x < 0
184. Para que valores de k a função é con-
tínua em R:
(a) f (x) =
{
x2 + 3x se x 6 2
−x + k se x > 2
(b) g(x) =
 x
2 − 3x + 2
x2 − 4 se x 6= 2
3k + 2 se x = 2
(c) h(x) =
{
k2x2 se x 6 2
(1− k)x se x > 2
Resolução: g(x) =
{
−x se x ≥ 0
x2 + 1 se x < 0
• 0 ∈ Dg
• lim
x→0
g(x) =?
lim
x→0+
g(x) = lim
x→0+
(−x) = 0
lim
x→0−
g(x) = lim
x→0−
(x2 + 1) = 1
Não existe lim
x→0
g(x). x
y
−1 1
−1
1
2
0
Logo, a função g não é contínua no ponto x = 0.
x
f (x)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10100
Exemplo 7.1.3 A função real f tal que f (x) =
√
x− 2 tem por domí-
nio [2,+∞[ e é contínua para x0 = 2, porque
lim
x→2+
f (x) = 0 = f (2).
O seu gráfico é uma linha contínua com inicio no ponto (2, 0).
• Para que f seja contínua no extremo inferior a, do seu domínio é
suficiente que seja
lim
x→a+
f (x) = f (a).
• Para que f seja contínua no extremo superior b, do seu domínio é
suficiente que seja
lim
x→b−
f (x) = f (b).
7.2 Continuidade lateral
185. Seja f uma função real de variável
real definida por:
f (x) =

2x− 4√
x + 2− 2
se x > 2
kx + 3 se x = 2
9− log3(x + 1) se x < 2
Determine i valor de k de modo que
f seja contínua no ponto de abcissa
x0 = 2
Quando uma função é descontínua num ponto a convém estudar o seu
comportamento à esquerda e à direita do ponto e comparar os limites
laterais, caso existam, com o valorda função no ponto de abcissa x = a.
Seja f uma função de domínio D f e a um ponto de D f . Diz-se que:
• f é contínua à esquerda no ponto a quando lim
x→a−
f (x) = f (a);
• f é contínua à direita no ponto a quando lim
x→a+
f (x) = f (a);
126 esacs - 2016/17
Se uma função é contínua num ponto a, é contínua à esquerda e à direita
de a.
186. Estude a continuidade lateral, no
ponto t = 1 da função real de va-
riavel real g sendo
g(t) =
{
(t + 1)2 se t < 1
6− (t− 2)2 se t ≥ 1
187. Estude a continuidade de h tal que
h(x) =
√
4− x2 nos extremos do seu
domínio.
Exemplo 7.2.1 Seja a função f , real de variável real definida por:
f (x) =
{
x2 − 1 se x > −1
−3x se x ≤ −1
Estude a continuidade da função f no ponto x = −1. No caso de f
ser descontínua no ponto x = −1 verifique se é contínua à esquerda e
à direita, desse ponto.
Resolução: Quebra de linha
• −1 ∈ D f
• lim
x→−1
=?
lim
x→−1+
f (x) = lim
x→−1+
(x2 − 1) = (−1)2 − 1 = 0
lim
x→−1−
f (x) = lim
x→−1−
(−3x) = 3
x
y
−1 1−1
1
2
3
0
Como lim
x→−1−
f (x) 6= lim
x→−1+
f (x), não existe lim
x→−1
f (x) e, portanto, a função f não é contínua no ponto x = −1.
Atendendo a que
lim
x→−1
f (x) = f (−1) = 3,
a função f é contínua à esquerda de −1.
7.3 Função contínua num intervalo
Uma função real de variável real é contínua num intervalo [a, b]
do seu domínio, se for contínua em todo o ponto de ]a, b[ e ainda à
direita de a e a esquerda de b.
x
y
−2 −1 1 2
1
2
3
4
5
0
Exemplo 7.3.1 A função
g(x) =

x4 − 1
x2 − 1 , |x| 6= 1
1, |x| = 1
está definida em R e é contínua nos intervalos ]−∞,−1[∪]− 1, 1[∪]1,+∞[.
188. Determine os pontos de descontinui-
dade de
(a) f (t) = |t|
(b) h(t) =
t− |t|
2
(c) i(x) =
{
1 se x = 0
2
x
se x 6= 0
(d) k(x) = x
2 − 5
x +
√
5
se x 6= −
√
5
−4 se x = −
√
5
Exemplo 7.3.2 A função linear f (x) = 2x cujo gráfico é uma recta
que passa na origem é contínua em todo o seu domínio, ou seja, em
R.
7.4 Operações com funções contínuas
As propriedades operatórias dos limites de funções reais de variável real
refletem-se, como é evidente, na continuidade da soma, do produto, da
potência, do quociente e da raiz de funções contínuas. Assim:
matemática 12º ano 127
Se f e g são funções contínuas no ponto a, então, nesse ponto,
f + g, f − g e f × g são funções contínuas;
f n é uma função contínua (n ∈N);
f
g
é função contínua se g(a) 6= 0;
n
√
f é função contínua se a é ponto de acumulação do domínio de
n
√
f (n ∈N).
189. Sendo f (x) =
x− 1
x
e g(x) = 1 +
1
x
,
estude o limite e a continuidade das
funções seguintes nos pontos indica-
dos:
(a) f + g; x = 4
(b) f · g; x = 2
(c) f − g; x = 0
(d)
f
g
; x = 0.
Exemplo 7.4.1 Toda a função polinomial contínua é uma função con-
tínua em R.
Com efeito as funções x2, x3, x4, etc são potências de funções duma
função contínua ( f (x) = x), logo são contínuas em R. Analoga-
mente, −3x2 ou 5x3 são funções contínuas, visto que são produtos de
constantes por funções contínuas e toda a função constante é contínua.
Finalmente, um polinómio como
−5x3 + 3x2 − x + 8
define uma função contínua, soma de funções contínuas em qualquer
ponto a.
Portanto, toda a função polinomial é uma função contínua em qual-
quer ponto a ∈ R.
Exemplo 7.4.2 Toda a função racional é contínua no seu domínio.
Uma vez que se exprime por somas, produto ou quocientes de polinó-
mios que são funções contínuas:
(a)
1
x
+
x− 2
x2 + 1
define uma função, contínua no seu domínio R \ {0}.
(b)
x2 − 9
x− 3 define uma função contínua (idêntica a x + 3) no domínio
R \ {3}
128 esacs - 2016/17
Exercícios do Capítulo 7
1. Considere a função f , r.v.r, tal que
f (x) =
 x
2 − 3x + 2
x− 1 , se x 6= 1
−1 se x = 1
(a) Indique o seu domínio
(b) Calcule lim
x→1
f (x) e f (1)
(c) A função é contínua no ponto 1? Justifique a resposta.
2. Aplicando a definição
“ f é uma função contínua para x = a, sse
lim
x→a
( f (x)− f (a)) = 0"
mostre que f (x) =
√
x2 + 5x + 3 é contínua para x = 1.
3. Mostre que a função definida f (x) = x2 + 3x é contínua
para qualquer valor de x.
4. Indique os pontos de descontinuidades das funções defini-
das como se segue:
(a) f (x) =
x2 + 3x + 1
x2 − 1
(b) f (x) =
1
x
(c) f (x) =
|x|+ 2x
3
(d) f (x) =
|x + 3|
x + 3
(e) f (x) =
{
x + 1 se x ≤ 0
x + 4 se x > 0
(f) f (x) =
 −1 se x = 11
3
x se x < 1
(g) f (x) =
 x
2 − 1
x− 1 se x 6= 1
2 se x = 1
(h) f (x) =

x4 − 4
x2 − 2 se x 6= −
√
2∧ x 6=
√
2
4 se x = −
√
2∨ x =
√
2
(i) f (x) =

3 se x ∈N
1 se x ∈ Z∧ x /∈N
x se x ∈ R \Z
5. Determine k de modo que a função f seja contínua no ponto
indicado sendo f definida por:
(a) f (x) =

ex − 1
x
se x < 0
3x + 2
2x + 3k
se x ≥ 0
no ponto 0
(b) f (t) =
{
55(1− ekt) se t < 5
6 + 27e−1,7(t−5) se t ≥ 5
no ponto 5
(c) f (z) =
{
20 + 8× 2−0,05z se 0 < z < k
6 + 24× 2−0,05(x−k) se z ≥ k
no ponto
k
6. Considere a função f definida por:
f (x) =
{ √
|x− 2| se x 6= 2
1 se x = 2
(a) Completa o gráfico e a graduação dos eixos
0
(b) Calcule os limites laterais de f no ponto 2 e justifique a
descontinuidade nesse ponto.
(c) Esta descontinuidade diz-se «evitável» porque basta mu-
dar a imagem de um ponto para ficarmos com uma
função contínua. De que ponto? Que imagem?
7. Mostre que a função f definida por:
f (x) =
 |x|x se x 6= 00 se x = 0
é descontínua em 0 e que essa descontinuidade não é «evi-
tável» (leia 6c)
8. Considere as funções f , g, h e i representadas graficamente:
x
y
0
−2
2
f
x
y
0 2
3
h
x
y
0
2
−1
2
g
x
y
0 2
3
i
De entre estas, indica pares de funções cuja soma:
(a) não seja uma função contínua no ponto 2
(b) seja uma função contínua no ponto 2
9. Seja g(x) =
{
3
1
1−x se x > 1
kx + k2 se x ≤ 1
Prova que g é contínua em ] − ∞ , 1] qualquer que seja
k ∈ R e determine os valores de k para os quais g é contínua
em [1 , +∞[.
matemática 12º ano 129
10. Seja f uma função contínua em R \ {1} e admite que a reta
de equação x = 1 é assíntota do gráfico de f Explica porque
não é possível definir um prolongamento de f a R que seja
uma função contínua no ponto 1.
11. Analise a continuidade das seguintes funções em pontos
indicados. Esboce o gráfico de cada uma das funções:
(a) f (x) =
{
−x + 1 ⇐ −1 < x ≤ 0
x2 ⇐ x > 0
em x1 = −1, x2 = 0 e x3 = 1
(b) f (x) =

−1 ⇐ x < −1
x2 ⇐ −1 < x < 1
x ⇐ x > 1
em x1 = −1, x2 = 0, x3 = 1 e x4 = 2
(c) f (x) =

x + 1 ⇐ x < −1
x2 + 1 ⇐ −1 < x < 2
x + 3 ⇐ x ≥ 2
em x1 = −1, x2 = 0 e x3 = 2
(d) f (x) =
 −x
2 ⇐ x ≤ 0
1
x
⇐ x > 0
em x1 = 0 e x2 = 2
(e) f (x) =
x2 − 1
x− 1 em x1 = 1
(f) f (x) =
x2 − 3x + 2
x2 − 4
em x1 = 2, x2 = −2 e x3 = 1
12. Seja f uma função r.v.r definida por:
f (x) =

kx + x2
x− 2 , ⇐ x ≥ 3
x2 − 5x + 6
x− 3 ⇐ x < 3
Determine o valor de k de modo que f seja contínua no
ponto de abcissa x0 = 3.
13. Seja f a função de domínio R, definida por
f (x) =

x
3−
√
9− x
se x < 0
6 se x = 0
ln(1 + x) + 5x
x
se x > 0
Utilizando métodos exclusivamente analíticos, estude a fun-
ção f quanto a continuidade.
14. Determine o valor a atribuir ao parâmetro real k para que a
função definida por
f (x) =

x2 − 1
(x− 3)(x + 1) , se x 6= 1
k + 3 se x = 1
seja contínua no ponto x = −1.
15. Analise cada uma das seguintes funções quanto as desconti-
nuidades que apresentam. Esboce o respetivo gráfico.
(a) f (x) =
{
x se x ≥ 2
2 se x < 2
(b) f (x) =
{
3 + x se x 6= 1
1− x se x > 1
(c) f (x) =

1
x− 2 , se x 6= 2
3 se x = 2
(d) f (x) =

−4 se x < −2
8
x− 2 se − 2 < x < 6
2x− 10 se x > 6
16. Analise em cada uma das seguintes funções quanto a conti-
nuidade e classifique-as:
(a) f (x) =
sin x
x
(b) f (x) = sin
(π
x
)
(c) f (x) = x
(d) f (x) =
1
x
(e) f (x) =
x− 3
x2 − 2x− 3
(f) f (x) =
x− 4
(x + 3)(x2 − 16)
(g) f (x) =
x2 + 5x + 6
x3 + 2x2 − 3x
(h) f (x) =
|x− 3|
x− 3
(i) f (x) =
x3 − 27
x− 3
(j) f (x) =

1
x
se x 6= 0
5 se x = 0
17. Averígue se a função f (x) =
√
x + 3 é contínua no intervalo
[−3 , +∞[
18. Mostre, aplicando a definição,que a função definida por
f (x) =
x + 1
x− 3 é contínua no seu domínio.
19. Para um certo valor de k, e um certo valor de b, considere a
função f de domínio R, definido por:
f (x) =

x
4−
√
16− x
se x < 0
k se x = 0
ex − 1
x
+ b se x > 0
Determine k e b de modo que f (x) seja contínua.
20. Verifique se cada uma das funções, definidas como se segue,
é contínua no intervalo [−3 , 5]
(a) f (x) =
1
x + 2
(b) f (x) =
x + 2
x + 4
(c) f (x) =

x + 3 se x < −2
x2 + 1 se x ∈ [−2 , 0]
1 se x > 0
(d) f (x) =
√
9− x2
(e) f (x) =
√
4− x2
1 + x
(f) f (x) =
x− |x|
x
21. Determine o valor do parâmetro k de modo que a função
real de variável real,
f (x) =

x + 1 se x < 3
2 se x ≥ 3∧ x < 4
5 se x ≥ 4
130 esacs - 2016/17
(a) Represente graficamente
(b) A partir do gráfico, indique os pontos de descontinuida-
des
(c) Calcule lim
x→3−
f (x), lim
x→4+
f (x) e lim
x→−5
f (x)
22. Determine o valor do parâmetro k de forma que a função
real de variável real definida por
f (x) =
 x
2 − 7x + 10
x− 2 se x 6= 2
3k + 1 se x = 2
seja contínua no seu domínio.
23. É possível definir f (1) para que f (x) =
x(x− 1)
x2 − 1 seja contí-
nua em x = 1?
24. Defina, se possível, f (2) para que f (x) =
x− 2
x2 − 4 seja contí-
nua em x = 2.
25. Defina, se possível f (0) para que sin
(π
x
)
seja contínua na
origem.
26. Considere as seguintes funções, reais de variável real, defini-
das por
f (x) =
{
x + 3, se x ≤ 2
x2 − 1 se x > 2
g(x) =
{
x + 7 se x ≤ 2
x2 + 3x + 1 se x > 2
(a) Estude a continuidade de f e g no ponto x = 2.
(b) Defina ( f + g)
(c) Estude a continuidade da função ( f + g) no ponto x = 2
27. Sabendo que f (x) =
3x + 5
x
, calcule:
(a) f (1)
(b)
f (x)− f (1)
x− 1
(c) lim
x→1
f (x)− f (1)
x− 1
28. Dada a função definida por g(x) = x2 + 3x, calcule:
(a) g(2 + h)
(b) g(2)
(c) lim
h→0
g(2 + h)− g(2)
h
29. Considere a função real de variável real definida por
f (x) =

|x + 1| se x > 1
|x + 2| se x ∈ [−2 , 1]
−3 se x < −2
(a) Indique o domínio
(b) Faça a sua representação gráfica
(c) Conclua, utilizando ao gráfico, se f é ou não uma fun-
ção contínua no seu domínio, e indique os pontos de
descontinuidades
(d) Confirme, por via analítica, que f é descontínua para
x = −2 mas que neste ponto apresenta uma continui-
dade lateral
30. Prove que ex + x2 − 3 é uma função contínua em cada ponto
de R
8 DERIVADAS
"Se eu vi mais longe, foi por estar sobre ombros de gigantes."
Isaac Newton
Introdução
Controvérsia sobre a invenção do Cálculo
A controvérsia do cálculo surgiu em grande parte devido às publicações
desses homens. Enquanto Newton fez suas descobertas em 1664-1666,
essas não foram publicadas até 1693. Leibniz, por outro lado, fez suas
descobertas após Newton, No período de 1672-1676, mas os publicou em
1684 e 1686, antes de Newton. As diferenças entre as datas de descoberta e
de publicação levaram a comunidade matemática a questionar se Leibniz
realmente descobriu o método de forma independente de Newton, ou se
ele tivesse apenas roubado ideias de Newton as juntou com sua própria
notação.
O orgulho nacional desempenhou um grande papel na exacerbação de uma
disputa entre os envolvidos que perceberam que o crédito pela descoberta
de um novo ramo da matemática estava em jogo, e cada lado queria o
crédito para o seu país. Em 1711, a controvérsia foi levada a tribunal. Uma
comissão foi nomeada pela Sociedade de analisar as acusações. Sendo que
Newton era o presidente Sociedade Real, não é de surpreender que Leibniz
tenha sido culpado de plágio.
Eventualmente, a comunidade matemática veio a perceber que Newton
e Leibniz tinham feito suas descobertas independentemente, mas não até
anos após a morte de Leibniz. Durante esse período, a Europa continuou a
usar a notação e os métodos mais fáceis de Leibniz enquanto a Inglaterra
permaneceu leal aos métodos mais complicados e à notação de Newton.
Por essa razão, a Inglaterra ficou muito atrás do resto do continente em
matemática por todo o século dezoito.
Historial...
Sir Isaac Newton nasceu em Wo-
olsthorpe, Inglaterra. Graduou-se na
Universidade de Cambridge em 1665.
Newton fez descobertas em matemática,
Ótica e física.
Newton, 1642-1727.
Gottfried Wilhelm von Leibniz nasceu
em Leipzig, Alemanha. Estudou Direito
na Universidade de Leipzig. Foi em
grande parte, autodidata. Leibniz fez
descobertas em matemática e física.
Leibniz, 1646-1716.
8.1 Taxa de variação média
A variação de uma função f num intervalo [a , b], do seu domínio, é dada
por: f (b)− f (a).
132 esacs - 2016/17
x
y
a b
f (a)
f (b)
r
0
f
Definição: A taxa de variação média de uma função f no intervalo
[a , b] é dada por
T.V.M[a , b] =
f (b)− f (a)
b− a .
A Taxa Média de Variação de uma função f no intervalo [a, b] representa ge-
ometricamente o declive de reta definida pelos pontos (a, f (a)) e (b, f (b)),
chamada reta secante à curva. (veja figura ao lado)
Em física, a taxa média de variação está associada à velocidade média,
num certo intervalo de tempo.
Exemplo 8.1.1 Calcule a Taxa de Variação Média da função f (x) =
3x− 1, no intervalo [2 , 4].
190. Calcule a T.V.M da função f (x), re-
lativa ao intervalo E nos seguintes
casos:
(a) f (x) = 3x2 − 1 em E = [2 , 3].
(b) f (x) = x2 + 3x− 1 em E = [1 , 3].
(c) f (x) = x3 em E = [−1 , 1]
Resolução: Sejam f (x) = 3x− 1, f (2) = 3 · 2− 1 = 5 e
f (4) = 3 · 4− 1 = 11.
Então
T.V.M[2 , 4] =
f (4)− f (2)
4− 2 =
11− 5
4− 2 =
6
2
= 3
8.2 Derivada de uma função num ponto
Definição: Chama-se derivada de uma função f num ponto x0, e
representa-se por f ′(x0) ou
(
d f
dx
)
x=x0
ao limite, quando existir:
f ′(x0) = limx→x0
f (x)− f (x0)
x− x0
ou f ′(x0) = lim
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
.
x
y
x0 x0 + h
f (x0)
f (x0 + h)
f (x0 + h)− f (x0)
h
191. Considere a função g, de domínio
R+, definida por g(x) = 3− ln x.
(a) Determine, usando a definição, a
derivada de g no ponto x = 1.
(b) Determine uma equação da recta
tangente ao gráfico de g no ponto
de abcissa 1.
• Geometricamente, f ′(x0) é o declive da recta tangente ao gráfico de f
no ponto de coordenadas (x0, f (x0)).
A equação da recta tangente à curva no ponto A é dada por:
y = f (x0) + f ′(x0) · (x− x0).
• Sendo e = f (t) a equação do movimento de ponto em função do tempo
t:
– a taxa de variação média do espaço relativamente ao tempo em [a , b]
representa a velocidade média no intervalo [a , b];
– a taxa de variação do espaço relativamente ao tempo em a, ou seja,
a derivada da função f no ponto a, f ′(a) representa a velocidade
instantânea ou velocidade em a;
• Uma função f diz-se derivável em x0 ∈ D f se existe f ′(x0).
matemática 12º ano 133
Exemplo 8.2.1 Seja a função f : R → R tal que f (x) = 3x2 − 1.
Determine:
(a) a derivada de f no ponto de abcissa 2;
(b) a equação da reta t tangente ao gráfico de f no ponto P(2, 11).
192. Use outra uma definição para resol-
ver Exemplo 8.2.1193a
193. Consideremos a função f , de domí-
nio R, definida por f (x) = 1 + 2ex−1.
(a) Determine, usando a definição, a
derivada de f no ponto x = 1.
(b) Determine uma equação da recta
tangente ao gráfico de f no ponto
de abcissa 1.
x
y
2
11
t
Figura 8.1: Reta tangente ao gráfico da
função f (x) = 3x2 − 1.
Resolução: f (x) = 3x2 − 1
(a) Aplicando a definição, temos
f ′(2) = lim
h→0
f (2 + h)− f (2)
h
= lim
h→0
(3(2 + h)2 − 1)− (3(2)2 − 1)
h
= lim
h→0
3(4 + 4h + h2)− 1− 11
h
= lim
h→0
3h2 + 12h + 11− 11
h
= lim
h→0
(3h + 12) = 12
(b) f (2) = 11; f ′(2) = 12.
Aplicando a fórmula acima, teremos
y = f (2) + f ′(2)(x− 2)⇔ y = 11 + 12(x− 2)
⇔ y = 11 + 12x− 24⇔ y = 12x− 13.
Logo, a equação y = 12x− 13 é a equação da reta tangente ao gráfico de
f no ponto de abcissa (2, 11).
Exemplo 8.2.2 A distância, em metros, percorrida por um móvel ao
longo de uma linha recta, t segundos depois de partir, é dada pela
função:
f (t) = 2t2, 0 ≤ t ≤ 10.
(a) Calcule a velocidade média do móvel no intervalo [1 , 5].
(b) Calcule a velocidade instantânea do móvel quando t = 1.
194. A distância e, emmetros, percorrida
por uma partícula ao fim de t segun-
dos é dada por
e = 3t2 + t.
(a) Determine a velocidade média da
partícula no intervalo [1 , 5].
(b) Determine a velocidade da partí-
cula no instante t = 2.
Resolução: Quebra de linha
(a) f (t) = 2t2
vm[1 , 5] = t.v.m[1 , 5] =
f (5)− f (1)
5− 1 =
2× 25− 2× 1
4
=
50− 2
4
=
48
4
= 12
A velocidade média do móvel no intervalo [1 , 5] é de 12 m/s.
(b)
v(1) = f ′(1) = lim
h→0
f (1 + h)− f (1)
h
= lim
h→0
2(1 + h)2 − 2× 12
h
= lim
h→0
2(1 + 2h + h2)− 2
h
= lim
h→0
h(4 + 2h)
h
= lim
h→0
(4 + 2h) = 4
A velocidade do móvel no instante t = 1 é 4 m/s.
134 esacs - 2016/17
8.3 Derivadas laterais
x
y
x0
semitangente
à direita
m = f ′(x+0 )
semitangente
à esquerda
m = f ′(x−0 )
0
Definição: Seja f uma função real de variável real e x0 um ponto
do domínio de f . Diz-se que:
• f é derivável à esquerda de x0 se existe:
lim
x→x−0
f (x)− f (x0)
x− x0
ou lim
h→0−
f (x0 + h)− f (x0)
h
a que se chama derivada lateral à esquerda de x0 e se representa
por f ′(x−0 );
• f é derivável à direita de x0 se existe:
lim
x→x+0
f (x)− f (x0)
x− x0
ou lim
h→0+
f (x0 + h)− f (x0)
h
a que se chama derivada lateral à direita de x0 e se representa
por f ′(x+0 );
• existindo e sendo iguais as derivadas laterais de f no ponto x0 , a
função f é derivável nesse ponto e o valor desta derivada é igual
ao valor comum das derivadas laterais.
f ′(x0) = f ′(x−0 ) = f
′(x+0 )
Geometricamente, a derivada à esquerda de x0 representa o declive da
semitangente à esquerda e à direita de x0 representa o declive da semi-
tangente à direita de x0.
Exemplo 8.3.1 Considerando a função f definida em R por:
f (x) =
{
−x + 1 se x > 0
−x2 + 1, se x 6 0
Calcule f ′(0+), f ′(0−) e diga se existe f ′(0).
195. Considere a função real de variável
real, de domínio R, definida por:
f (x) =
{
x2 − 1 se x < 1
2 ln x se x > 1
Verifique se existe f ′(1).
x
y
−2 −1 1
−1
0
Resolução: Observando o gráfico de f verifica-se que não existe f ′(0) por
que os declive das semitangentes no ponto (0 , 1) são diferentes.
Analiticamente, vem:
f ′(0+) = lim
h→0+
f (0 + h)− f (0)
h
= lim
h→0+
−(0 + h) + 1− 1
h
= lim
h→0+
−h
h
= −1
f ′(0−) = lim
h→0−
f (0 + h)− f (0)
h
= lim
h→0−
−(0 + h)2 + 1− 1
h
= lim
h→0−
(−h) = 0
Como f ′(0+) 6= f ′(0−), não existe f ′(0).
matemática 12º ano 135
8.4 Derivabilidade e continuidade
Teorema 8.4.1 Toda a função com derivada finita num ponto, é contínua
nesse ponto.
196. Prove o Teorema 8.4.1.Deste teorema também se pode concluir que se uma função é descontínua
num ponto, então, necessariamente, não é derivável nesse ponto.
Exemplo 8.4.2 Considerando a função f , de domínio R, definida por:
f (x) =
{
x2 se x < 0√
x se x > 0
Verifique que f é contínua, mas não derivável, no ponto x = 0.
197. Seja f uma função de domínio R de-
finida por:
f (x) =
{
ex se x 6 0
x + 1 se x > 0
(a) Prove que f é derivável no ponto
x = 0.
(b) Justifique que f é contínua no
ponto x = 0.
198. Dê um exemplo de uma função contí-
nua de abcissa a e não derivável nesse
ponto.
Resolução: Quebra de linha
• Continuidade
lim
x→0−
f (x) = lim
x→0−
x2 = 0
lim
x→0+
f (x) = lim
x→0+
√
x = 0
⇒ limx→0 f (x) = 0
f (0) =
√
0 = 0
Como lim
x→0
f (x) = f (0), f é contínua em x = 0.
• Derivabilidade
f ′(0−) = lim
h→0−
f (0 + h)− f (0)
h
= lim
h→0−
h2 −
√
0
h
= lim
h→0−
h2
h
= lim
h→0−
h = 0
f ′(0+) = lim
h→0+
f (0 + h)− f (0)
h
= lim
h→0+
√
h−
√
0
h
= lim
h→0+
√
h
h
= lim
h→0+
√
h
h2
= lim
h→0+
√
1
h
= +∞
Não existe f ′(0) porque, f ′(0+) não é um número real.
8.5 Função derivada
Seja f uma função e D o conjunto dos pontos do seu domínio onde f é
derivável.
199. Derive f (x) =
x
x− 1
200. (a) Encontre a a derivada de
y =
√
x para x > 0
(b) Encontre a reta tangente à curva
y =
√
x para x = 4
Definição: Chama-se função derivada de f à função f ′ que faz
corresponder a cada elemento x ∈ D o número real f ′(x):
f ′ : D → R
x 7→ f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
136 esacs - 2016/17
Exemplo 8.5.1 Consideremos a função f de domínio R definida por
f (x) = x2.
(a) Caracterize f ′, usando a definição de derivada.
(b) Calcule f ′(1) e interprete geometricamente o resultado.
201. Considere a função f , real de variável
real, definida por
f (x) = 3x2.
(a) Verifique, usando a definição de
derivada, que f ′(x) = 6x.
(b) Determine uma equação da recta
tangente ao gráfico de f no ponto
de abcissa −1.
x
y
−1−2 1 2 3
1
2
3
4
5
6
f
f ′
0
x
y
−2 −1 1 2 3 4
−1
1
2
3
4
1
2
m = 2
0
Resolução: Quebra de linha
(a) f (x) = x2
f ′(x0) = lim
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
← definição de derivada para x = x0.
Substituindo x0 por x, vem:
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
= lim
h→0
(x + h)2 − x2
h
= lim
h→0
x2 + 2hx + h2 − x2
h
= lim
h→0
h(2x + h)
h
= lim
h→0
(2x + h) = 2x
f ′ : R→ R
x 7→ 2x
(b) f ′(x) = 2x
f ′(1) = 2× 1 = 2
Geometricamente, dizer que f ′(1) = 2 significa que a recta tangente ao
gráfico de f no ponto de abcissa 1 tem declive 2.
Veja o gráfico ao lado.
8.6 Regras de derivação
202. Use a definição de derivada para de-
monstrar as três primeiras proprieda-
des.
203. Calcule a derivada de f (x) sendo:
(a) f (x) = −7
(b) f (x) = x1
(c) f (x) = x3
(d) f (x) = 3x− 5
(e) f (x) = 4
√
x3
Propriedade 8.6.1 Sejam f e g duas funções reais de variável real; a, b, c, ∈
R e p ∈ Q. Então:
• se f (x) = c então f ′(x) = 0
• se f (x) = x então f ′(x) = 1
• se f (x) = ax + b então f ′(x) = a
• se f (x) = xn então f ′(x) = (xn)′ = nxn−1
8.6.1 Derivada da soma
Propriedade 8.6.2 (Derivada da soma)
Se duas funções f e g são deriváveis em ]a , b[ , a função f + g é derivável
em ]a , b[, e:
(f± g)′(x) = [f(x)± g(x)]′ = f′(x)± g′(x)
matemática 12º ano 137
204. Escreva uma expressão da função de-
rivada de:
(a) f (x) = −4x3 + 12x− 1
(b) f (x) = x5 − x3
(c) f (x) = −3x3 + x
2
2
+ 3x− 7
(d) f (x) = x8 − 3x7 −
√
2
(e) g(x) =
5x4
2
+
x3
3
Exemplo 8.6.1 Calcule y′, sendo:
(a) y = x + 3 (b) y = x2 − 2x + 1
Resolução: Quebra de linha
(a) y′ = (x + 3)′ = 1
(b) y′ = (x2 − 2x + 1)′ = 2x− 2
Exemplo 8.6.2 Calcule y′ sendo: y = x
1
2 +
3
x2
+
1
2
√
x
.
205. Escreva uma expressão da função de-
rivada de:
(a) f (t) = 2t3 +
√
t5
(b) f (t) =
2
t2
− 1
t
1
2
(c) f (s) =
3
s2
+
3
2
√
s
+ 7
Resolução: Quebra de linha
y = x
1
2 + 3x−2 +
1
2
x−
1
2
y′ =
1
2
x
1
2−1 + 3× (−2)x−2−1 + 1
2
×
(
−1
2
)
x−
1
2−1
=
1
2
x−
1
2 − 6x−3 − 1
4
x−
3
2 =
1
2
√
x
− 6
x3
− 1
4
√
x3
8.6.2 Derivada do produto
Propriedade 8.6.3 (Derivada do produto)
Se f e g tem derivada em todos os pontos do intervalo ]a , b[, f · g e derivável
em ]a , b[ , e:
(f× g)′(x) = f′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)
Exemplo 8.6.3 Calcule y′, sendo:
(a) y = (x4 + 1)
√
x (b) y = x(x− 2)(x3 + 3)
206. Determine uma expressão da deri-
vada de cada uma das seguintes fun-
ções:
(a) f (x) = (x3 + x)
(√
x + 1
)
(b) f (x) =
(
x +
1
x
)
(1− x)
Resolução: Quebra de linha
(a) Aplicando a regra da derivado do produto, vem
y′ = (x4 + 1)′
√
x + (x4 + 1)
(√
x
)′
= 4x3
√
x + (x4 + 1)
(
x
1
2
)′
= 4x3
√
x + (x4 + 1)× 1
2
x−
1
2
= 4x3
√
x + (x4 + 1)× 1
2
√
x
(b) A regra da derivada do produto pode ser generalizada para três ou mais
factores.
Para o produto de três factores tem-se:
(f · g · h)′ = f′ · g · h + f · g′ · h + f · g · h′
Logo,
y′ = x′(x− 2)(x3 + 3) + x(x− 2)′(x3 + 3) + x(x− 2)(x3 + 3)
= (x− 2)(x3 + 3) + x(x3 + 3) + x(x− 2)3x2
138 esacs - 2016/17
8.6.3 Derivada do quociente
Propriedade 8.6.4 (Derivada do quociente)
Se f e g tem derivadas em todos os pontos do intervalo ]a , b[ , e se g não se
anula neste intervalo,
f
g
é derivável em ]a , b[ , sendo:
(
f
g
)′
(x) =
f′(x) · g(x)− f(x) · g′(x)
[g(x)]2
Exemplo 8.6.4 Calcule y′, sendo:
(a) y =
1
x + 1 (b) y =
x2 − 1
x
207. Determine uma expressão da deri-
vada de cada uma das seguintes fun-
ções:
(a) f (x) =
x2 + 3
3x
(b) g(x) =
√
x
x + 1
Resolução: Quebra de linha
(a) y′ =
(1)′(x + 1)− 1 · (x + 1)′
(x + 1)2
⇔ y′ = 0− 1(x + 1)2
⇔ y′ = − 1
(x + 1)2
(b) y′ =
(x2 − 1)′x− (x2 − 1)x′
x2
⇔ y′ = 2x · x− (x
2 − 1)
x2
⇔ y′ = x
2 + 1
x2
8.6.4 Derivada da função composta
Propriedade 8.6.5 (Derivada da função composta)
Seja ( f ◦ g)(x) a função composta das funções f e g e x0 ∈ D f ◦g.
Se g é derivável em x0 e se f é derivável em g(x0), então f ◦ g é derivável
em x0, e
(f ◦ g)′(x) = f′[g(x0)] · g′(x0)
Exemplo 8.6.5 Sendo f e g duas funções reais de variável real tais
que:
f ′(x) = 3x2, ∀x ∈ R e g(x) =
√
x, ∀x ∈ R+0
Calcule ( f ◦ g)′(4)
208. A respeito das funções f e g, de do-
mínio R, sabe-se que f ′(x) e g(x) =
3x− 1.
Determine ( f ◦ g)′(0).
Resolução: Quebra de linha
f ′(x) = 3x2
g(x) =
√
x
g′(x) =
(
x
1
2
)′
=
1
2
x−
1
2 =
1
2
√
x
( f ◦ g)′(x) = ( f (g(x)))′ = f ′ (g(x)) · g′(x)
( f ◦ g)′(4) = f ′(g(4)) · g′(4)
= f ′(
√
4) · 1
2
√
4
= f ′(2) · 1
2 · 2
= 3 · 22 · 1
4
= 3
matemática 12º ano 139
Propriedade 8.6.6 Aplicando a regra da derivada da função composta verifica-
se que, sendo u uma função de x
(un)′ = nun−1u′ (n ∈ R)
Exemplo 8.6.6 Determinar f ′(x) sendo f (x) =
(
2x− 1
3x
)3
.
209. Determine uma expressão da deri-
vada de cada uma das funções:
(a) f (x) =
(
1
x
)5
(b) g(x) =
(√
x + 1
)4
Resolução: Quebra de linha
f ′(x) =
[(
2x− 1
3x
)3]′
= 3
(
2x− 1
3x
)2 (2x− 1
3x
)′
= 3
(
2x− 1
3x
)2
· 2(3x)− (2x− 1) · 3
(3x)2
= 3
(2x− 1)2
(3x)2
· 3
(3x)2
=
(2x− 1)2
9x4
8.6.5 Derivada da função exponencial
Por aplicação das propriedades operatórias das exponenciais e da regra
da derivada da função composta é possível deduzir as restantes regras de
derivação com exponenciais.
Propriedade 8.6.7 (Derivada da função exponencial)
Seja u função real de variável real em x, a ∈ R+ \ {1}. Então:
• (ex)′ = ex
• (eu)′ = u′eu
• (ax)′ = ax · ln a
• (au)′ = u′ · au · ln a
Exemplo 8.6.7 Calcule y′, sendo:
(a) y = e3x−1
(b) y = 2−
x
2
210. Determine uma expressão da deri-
vada de cada uma das seguintes fun-
ções:
(a) f (x) = e
√
x
(b) g(x) = 2x
2+x
Resolução: Quebra de linha
(a) y = e3x−1; y′ = (3x− 1)′e3x−1 ⇔ y′ = 3e3x−1
(b) y = 2−
x
2 y′ =
(
− x
2
)′
× 2−
x
2 × ln 2⇔ y′ = − ln 2
2
2−
x
2
140 esacs - 2016/17
8.6.6 Derivada da função logarítmica
Pelas regras operatórias dos logaritmos e pela regra da derivada da com-
posta pode-se concluir:
Propriedade 8.6.8 (Derivada da função logarítmica)
Seja u uma função real de variável real em x, a ∈ R+ \ {1}. Então:
• (ln x)′ =
1
x
• (ln u)′ =
u′
u
• (loga x)
′ =
1
x · ln a
• (loga u)
′ =
u′
u · ln a
Exemplo 8.6.8 Calcule y′, sendo:
(a) y = ln(x2 + 1) (b) log2(x + 3)
211. Determine uma expressão da deri-
vada de cada uma das funções:
(a) f (x) = ln(
√
x + x)
(b) g(x) = log
(
1
x
)
Resolução: Quebra de linha
(a) y = ln(x2 + 1);
y′ =
(x2 + 1)′
x2 + 1
⇔ y′ = 2x
x2 + 1
(b) y = log2(x + 3);
y′ =
(x + 3)′
(x + 3) ln 2
⇔ y′ = 1
(x + 3) ln 2
Regras de derivação - Síntese
Propriedade 8.6.9
• (u± v)′ = u′ ± v′
• (u× v)′ = u′v + uv′
•
(u
v
)′
=
u′v− uv′
v2
• (un)′ = nun−1u′ (n ∈ R)
• (f ◦ u)′(x) = [f (u(x))]′ = u′(x)× f′ (u(x))
• (eu)′ = u′eu
• (au)′ = u′au ln a (a ∈ R+ \ {1})
• (ln u)′ =
u′
u
• (loga u)
′ =
u′
u ln a
(a ∈ R+ \ {1})
matemática 12º ano 141
8.7 Aplicações da derivada de uma função
8.7.1 Intervalos de monotonia e sinal da derivada de uma função
Seja f uma função real de variável real e m o declive da recta tangente ao gráfico de f no ponto x = x0.
Observemos cada um dos três casos seguintes:
x
y
a x0 b
m > 0
f ′(x0) > 0
0 x
y
a x0 b
m < 0
f ′(x0) < 0
0 x
y
a x0 b
m = 0
f ′(x0) = 0
0
A observação do declive da tangente sugere-nos o seguinte:
Teorema 8.7.1 Seja f , contínua em ]a , b[ e derivável em ]a , b[:
• se f′(x) > 0 para todo x ∈]a , b[, então f é estritamente crescente
em ]a , b[
• se f′(x) < 0 para todo x ∈]a , b[, então f é estritamente decrescente
em ]a , b[
• se f′(x) = 0 para todo x ∈]a , b[, então f é constante em ]a , b[
Exemplo 8.7.2 Determine os intervalos de monotonia da função real
de variável real definida por:
f (x) = x3 − x2 − 8x + 6
212. Determine os intervalos de monoto-
nia da função definida em R por:
f (x) = −4x3 − 3x2 + 6x + 1
Resolução: Para determinar os intervalos de monotonia vamos aplicar a o
Teorema 8.7.1.
f (x) = x3 − x2 − 8x + 6; D f = R f ′(x) = 3x2 − 2x− 8
f ′(x) = 0⇔ 3x2 − 2x− 8 = 0⇔ x = −4
3
∨ x = 2
x −∞ −4
3
2 +∞
f ′(x) + 0 − 0 +
f (x) ↗ ↘ ↗
x
−4
3
2
+ − +
f é estritamente crescente em
]
−∞ , −4
3
]
e em [2 , +∞[;
f é estritamente decrescente em
[
−4
3
, 2
]
.
142 esacs - 2016/17
Note-se que uma função pode ter derivada nula num ponto e ser estrita-
mente crescente ou estritamente decrescente num intervalo que contenha
esse ponto.
Por exemplo, a função f (x) = x3 tem derivada nula em x = 0 e, no entanto,
é estritamente crescente em qualquer intervalo que contenha o zero.
8.7.2 Extremos relativos de uma função
Seja c um ponto do domínio de uma função f tal que f ′(c) = 0 ou f ′(c) não existe e suponha-se que f e derivável
num intervalo aberto E contendo c , com a possível excepção de poder não ser derivável em c:
1º caso f é contínua em c
• Se f ′ muda de positiva para negativa em c, então f (c) é um máximo relativo.
x
y
c
f (c)
0 x
y
c
f (c)
0
x c
f ′(x) + −
f (x) ↗ f (c) ↘
Máx.
• Se f ′ muda de negativa para positiva em c, então f (c) é um mínimo relativo.
x
y
c
f (c)
0 x
y
c
f (c)
0
x c
f ′(x) − +
f (x) ↘ f (c) ↗
Mín.
• Se f ′(x) > 0 ou f ′(x) < 0 para todo o x do intervalo E, excepto para x = c, então f (c) não é um
extremo relativo de f .
x
y
c0
f ′(c) = 0
x
y
c0
f ′(c) = 0
x
y
c0
f ′(c) não existe
matemática 12º ano 143
2º caso f é descontínua em c
Neste caso, a existência de extremo relativo depende da mudança de sinal das derivadas laterais no ponto c.
x
y
c
f (c)
0
f ′(c−) > 0
f ′(c+) = −∞
f (c) é um máximo relativo
x
y
c
f (c)
0
f ′(c−) = −∞
f ′(c+) > 0
f (c) é um mínimo relativo
x
y
c
f (c)
0
f ′(c−) = −∞
f ′(c+) < 0
f (c) não é um extremo relativo
213. Estude as seguintes funções quanto
à monotonia e quanto existência de
extremos relativos.
(a) f (x) = ex(x2 − x− 1)
(b) g(x) = 1 + ln(4− x2)
(c) h(x) =
 2− x
2 se x < 1
x + 1
x
se x ≥ 1
(d) i(x) = x2ex
Exemplo 8.7.3 Estude a seguinte função quanto à monotonia e quanto
à existência de extremos relativos.
f (x) = ln(1− x2)
Resolução: Quebra de linha
f (x) = ln(1− x2); D f = {x ∈ R : 1− x2 > 0} =]− 1 , 1[
f ′(x) =
(1− x2)′
1− x2 =
−2x
1− x2
f ′(x) = 0⇔ −2x
1− x2 ∧ x ∈ D f
⇔ −2x = 0∧ x ∈]− 1 , 1[
⇔ x = 0
x −1 0 1
f′(x) ND + 0 − ND
f(x) ND ↗ 0 ↘ ND
Máx.
Logo:
• f é estritamente crescente em ] − 1 , 0] e estritamente decrescente em
[0 , 1[
• f (0) = 0 é um máximo relativo (e absoluto) de f .
144 esacs - 2016/17
Exemplo 8.7.4 Estude a seguintes função quanto à monotonia e quanto
a existência de extremos relativos.
f (x) =
{
x3 − 3 se x < 2
(x− 3)2 se x ≥ 2
Resolução: Quebra de linha
f (x) =
{
x3 − 3 se x < 2
(x− 3)2 se x ≥ 2
D f = R
lim
x→2−
f (x) = lim
x→2−
(x3 − 3) = 8− 5 = 3
lim
x→2+
f (x) = lim
x→2+
(x− 3)2 = (2− 3)2 = 1
Não existe lim
x→2
f (x). Logo, f é descontínua em x = 2 e, consequentemente, não derivável neste ponto.
f ′(x) =
{
3x2 se x < 2
2(x− 3) se x > 2
f ′(x) = 0⇔ (3x2 = 0∧ x < 2) ∨ (2(x− 3) = 0∧ x > 2)⇔ x = 0∨ x = 3
Como f é descontínua em x = 2 é necessário estudar o sinal das derivadas laterais neste ponto para avaliar a existência
de extremo.
f ′(2−) = lim
h→0−
f (2 + h)− f (2)
h
= lim
h→0−
(2 + h)3 − 3− 1
h
=
4
0−
= −∞
f ′(2+) = lim
h→0+
f (2 + f )− f (2)
h
= lim
h→0+
(2 + h− 3)2 − 1
h
= lim
h→0+
h2 − 2h + 1− 1
h
= lim
h→0+
h(h− 2)
h
= −2
As derivadas laterais no ponto 2 não mudam de sinal. Logo, f (2) não é um extremo.
x −∞ 0 2 3 +∞
3x2 + 0 +
2(x− 3) − 0 +
f′(x) + 0 + − 0 +
f(x) ↗ −3 ↗ 1 ↘ 0 ↗
Mín.
x
y
2 3
1
5
f
0
f é estritamente crescente em ]−∞ , 2[ e em [3 , +∞[;
f é estritamente decrescente em [2 , 3];
f (3) = 0 é um mínimo relativo.
matemática 12º ano 1458.8 Aplicações da segunda derivada de uma função
Chama-se segunda derivada de uma função f (ou derivada de ordem dois)
à função derivada de f ′. Nota-se por f ′′.
Por exemplo
• Se f (x) = x3 + x vem f ′(x) = 3x2 + 1 e f ′′(x) = 6x
• Se f (x) = e2x + x2 vem f ′(x) = 2e2x + 2x e f ′′(x) = 4e2x + 2
Veremos de seguida algumas aplicações da segunda derivada.
8.8.1 Concavidades e pontos de inflexão do gráfico de uma função
Definição: O ponto (c , f (c)) do gráfico f é um um ponto de infle-
xão se são verificadas as seguintes condições:
• f é contínua em c:
• existe um intervalo aberto ]a , b[, contendo c de tal modo que o
gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo em ]a , c[ e a
concavidade voltada para cima em ]c , b[ ou vice-versa.
x
y
PI
concavidade
voltada para
cima
concavidade
voltada para
baixo
0 x
y
c
PI
0 x
y
c
PI
0
Se a segunda derivada de f , f ′′, existe, num intervalo aberto
E =]a , b[, então o gráfico de f :
• tem a concavidade voltada para cima em E, se f ′′(x) > 0, ∀x ∈ E;
• tem a concavidade voltada para baixo em E, se f ′′(x) < 0, ∀x ∈ E;
146 esacs - 2016/17
Exemplo 8.8.1 Estude a seguinte função quanto ao sentido da conca-
vidade do gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão.
f (x) = (x2 − 3x + 4)ex
Resolução: Quebra de linha
f (x) = (x2 − 3x + 4)ex; D f = R
f ′(x) = (x2 − 3x + 4)′ex + (x2 − 3x + 4)(ex)′
= (2x + 3)ex + (x2 − 3x + 4)ex
= (2x− 3 + x2 − 3x + 4)ex = (x2 − x + 1)ex
f ′′(x) = (x2 − x + 1)′ex + (x2 − x + 1)(ex)′
= (2x− 1)ex + (x2 − x + 1)ex
= (2x− 1 + x2 − x + 1)ex = (x2 + x)ex
x−4. −3 −2. −1 1 2.
y
−1.
1
2.
3
4
5
0
f ′′(x) = 0⇔ (x2 + x)ex = 0
⇔ x(x + 1)ex = 0⇔ x = 0∨ x + 1 = 0∨ ex = 0
⇔ x = 0∨ x = −1
x −∞ −1 0 +∞
f′′(x) + 0 − 0 +
f(x) ^ 8
e
_ 4 ^
• A concavidade do gráfico de f é:
– voltada para cima em ]−∞ , 1] e em [0 , +∞[
– voltada para baixo em [−1 , 0]
• Pontos de inflexão:
(
−1 , 8
e
)
e (0 , 4)
Exemplo 8.8.2 Estude a seguinte função quanto ao sentido da conca-
vidade do gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão.
f (x) =
x2
2
− ln x
214. Estude o sentido da concavidade e a
existência de pontos de inflexão das
funções definidas por:
(a) y = 4x3 + 21x2 + 36x− 20
(b) y = −x4 + 4x3 − 4x + 1
(c) y = 2x1/5 + 3
Resolução: Quebra de linha
f (x) =
x2
2
− ln x; D f = R+
f ′(x) = x− 1
x
e f ′′(x) = 1 +
1
x2
f ′′(x) > 0, ∀x ∈ R+ ⇒ a concavidade do gráfico de f é voltada para cima
em todo o domínio.
O gráfico de f não tem pontos de inflexão.
matemática 12º ano 147
Em suma combinando os sinais de f ′ e f ′′ tem-se:
Sinal de f′ e f′′ Propriedades do gráfico de f Forma do gráfico
f ′(x) > 0 f é crescente
f ′′(x) > 0 concavidade voltada para cima
f ′(x) > 0 f é crescente
f ′′(x) < 0 concavidade voltada para baixo
f ′(x) < 0 f é decrescente
f ′′(x) > 0 concavidade voltada para cima
f ′(x) < 0 f é decrescente
f ′′(x) < 0 concavidade voltada para baixo
8.8.2 Teste da segunda derivada
Supondo que f é derivável num intervalo aberto E =]a , b[ contendo
c e f ′(c) = 0:
• se f ′′(c) < 0, então f tem um máximo relativo em c;
• se f ′′(c) > 0, então f tem um mínimo relativo em c.
Exemplo 8.8.3 Determine os extremos relativos da função f , definida
em R por f (x) = x3 − 3x, usando o teste da segunda derivada.
215. Determine os extremos relativos da
função de domínio R+, definida por
f (x) = x− 2
x
− 3 ln x
usando o teste da segunda derivada.
Resolução: Tem-se:
f (x) = x3 − 3x; f ′(x) = 3x2 − 3
f ′(x) = 0⇔ x = −1∨ x = 1
f ′′(x) = 6x
f ′′(−1) = −6 < 0
f (−1) = 2
f ′′(1) = 6 > 0
f (1) = −2;
Logo, 2 é um máximo relativo de f e −2 é um mínimo relativo de f .
8.9 Estudo de função
O gráfico de uma função é muito útil para visualizar as propriedades dessa função.
A observação do gráfico permite-nos compreender, integrar e sintetizar as informações obtidas no estudo parcelar
de aspectos ligados as funções como monotonia, continuidade, assímptotas, etc.
Para representar graficamente uma função, normalmente seguem-se os seguintes passos:
148 esacs - 2016/17
Estudo de um função
1) Determinar o domínio.
2) Estudar a continuidade.
3) Determina as coordenadas dos pontos de intersecção do gráfico com os eixos coordenados (zeros e
ordenada na origem).
4) Determinar os extremos e estudar a monotonia.
5) Estudar o sentido da concavidade.
6) Determinar as equações das assímptotas.
7) Esboçar o gráfico e indicar o contradomínio.
Exemplo 8.9.1 Considere a função real de variável real definida por
f (x) =
2− x
2x− 3 .
1. Com o objetivo de representar graficamente a função, estude
sucessivamente:
1.1. domínio
1.2. pontos de interseção com oso eixos
1.3. equações das assíntotas
1.4. extremos relativos e variação
1.5. sentido da concavidade
2. Esboce o gráfico da função e determine o seu contradomínio
216. Faça o estudo das funções definidas
em R, por:
(a) f (x) = 2x2 − 3x− 2
(b) g(x) = 4− x2
(c) y(x) = |4− x2|
(d) y(x) = x3 − 6x2
(e) h(x) = (x + 1)3
(f) j(x) =
2− x
2x + 1
(g) m(x) =
4
x2 − 4
(h) n(x) =
x
x2 − 1
Resolução: Quebra de linha
1.1. D f = {x ∈ R : 2x− 3 6= 0} = R \
{
3
2
}
1.2. Interseção com o eixo xx (zeros) y =
2− x
2x− 3
y = 0
⇔
{
x = 2
y = 0
, A(2, 0)
Interseção com o eixo yy y =
2− x
2x− 3
x = 0
⇔
 y = −
2
3
x = 0
, B
(
0,−2
3
)
1.3. Assíntotas horizontais:
Temos de calcular lim
x→+∞
f (x) = lim
x→+∞
2− x
2x− 3 = −
1
2
Há uma assíntota horizontal cuja equação é
y = −1
2
Assíntotas verticais:
Como lim
x→ 32
f (x) = ∞, existe uma assíntota vertical cuja equação é
x =
3
2
.
matemática 12º ano 149
217. Faça o estudas das funções definas
por
(a) p(x) =
x2 + x + 1
(x + 1)2
(b) q(x) =
(x + 1)2
x2
218. Estude as funções seguintes quanto à:
(a) domínio; (b) pontos de interseção
com eixos; (c) intervalos de monoto-
nia e extremos da função; (d) concavi-
dade e pontos de inflexão da função;
(e) assíntotas. Esboce os gráficos
(a) f (x) = |x2 − x|
(b) f (x) =
√
(2x + 1)3
(c) f (x) =
x2 + x− 1
x− 1
(d) f (x) =
ln x
x
(e) f (x) =
−2x√
x2 + 1
(f) f (x) =
ex
x
(g) f (x) = ln x− x
Resolução: (... Continuação)
1.4. Extremos relativos e variação
Calculemos a derivada da função
f ′(x) =
−1(2x− 3)− 2(2− x)
(2x− 3)2
f ′(x) =
−1
(2x− 3)2
Como o denominador, para valores de x ∈ D f , é sempre positivo, f ′(x) é
sempre negativa e portanto f (x) é decrescente em todo os seu domínio.
1.5. Sentido da concavidade.
Calculemos a 2ª derivada
f ′′(x) =
0× (2x− 3) + 2× 2(2x− 3)
(2x− 3)4
f ′′(x) =
4
(2x− 3)3
Como o numerador é constante f ′′(x) 6= 0, ∀x ∈ D f e
f ′′(x) > 0⇔ (2x− 3)3 > 0⇔ 2x0⇔ x > 3
2
f ′′(x) < 0⇔ (2x− 3)3 < 0⇔ x < 3
2
Portanto, não há pontos de inflexão e
x >
3
2
⇒ concavidade voltada para cima
x <
3
2
⇒ concavidade voltada para baixo
2. Representação gráfica
x
−1 1 2 3 4
f (x)
−3
−2
−1
1
2
0 y =
3
2
x =
3
2
219. Faça o estudo gráfico de cada uma
das seguintes funções.
(a) f (x) =
ln x
x
(b) f (x) =
x2
ex
Exemplo 8.9.2 Faça o estudo da função f , definida em R \ {0} por
f (x) =
ex
x
.
150 esacs - 2016/17
Resolução: f (x) =
ex
x
• D f = R \ {0}
• f é contínua (quociente de funções contínuas)
• Monotonia e extremos
f ′(x) =
ex · x− ex · 1
x2
=
ex(x− 1)
x2
f ′(x) = 0⇔ x = 1
x −∞ 0 1 +∞
f′(x) − ND − 0 +
f(x) ↘ ND ↘ e ↗
Mín.
• Concavidade do gráfico e pontos de inflexão
f ′′(x) =
[ex(x− 1)]′ x2 − ex(x− 1)(x2)′
(x2)2
=
xex(x2 − 2x + 2)
x4
=
ex(x2 − 2x + 2)
x3
f ′′(x) = 0⇔ x2 − 2x + 2 = 0 (equação impossível)
Como x2 − 2x + 2 > 0, ∀x ∈ D f , o sinal de f ′′ depende do sinal de x3.
x 0
f′′(x) − ND +
f(x) _ ND ^
O gráfico não tem pontos de inflexão.
• Assímptotas
Verticais ( f é contínua em R \ {0})
lim
x→0−
f (x) = lim
x→0−
ex
x
=
1
0−
= −∞
lim
x→0+
f (x) = lim
x→0+
ex
x
=
1
0+
= +∞
A recta de equação x = 0 é um assímptota vertical do gráfico de f .
Não verticais
Quando x→ −∞
lim
x→−∞
f (x) = lim
x→−∞
ex
x
=
0
−∞ = 0
Quando x→ +∞
m = lim
x→+∞
f (x)
x
= lim
x→+∞
ex
x2
= +∞
Portanto, a recta de equação y = 0 é a única assimptota não verticaldo gráfico de f .
• Gráfico
x
y
−2 −1 1 2 3
−1
1
2
e3
0
D′f =]−∞ , 0[∪[e , +∞[.
matemática 12º ano 151
Exercícios do Capítulo 8
1. Um objeto é largado do topo de ua torre de 100 m de altura.
A distância a que o objeto está do solo após t segundos
é 100− 4, 9t2 m. Qual é a velocidade do objeto após dois
segundos de queda?
2. t segundos após decolar, a altura de um foguete é 3t2 pés.
Qual é a velocidade de ascensão do foguete dez segundos
após a decolagem.
3. Qual é taxa de variação do volume de uma esfera(
V =
4
3
πr3
)
em relação ao raio quando este é r = 2?
4. Nas alíneas seguintes é dada a equação da posição de um
corpo que se desloca em um eixo coordenado, com s em
metros e t em segundos. Determine a velocidade média do
corpo para o intervalo dado.
(a) s = t2 − 3t + 2, 0 ≤ t ≤ 2
(b) s = 6t− t2, 0 ≤ t ≤ 6
(c) s = −t3 + 3t2 − 3t, 0 ≤ t ≤ 3
(d) s =
(
t4/4
)
− t3 + t2, 0 ≤ t ≤ 3
(e) s =
25
t2
− 5
t
, 1 ≤ t ≤ 5
(f) s =
25
t + 5
, 0 ≤ t ≤ 4
5. Sendo g : R→ R tal que g(x) = x5, obtenha:
(a) g′(2)
(b) a equação da reta tangente ao gráfico de g no ponto de
abcissa 2
6. Sendo u : R+ → R tal que u(x) = ln x, obtenha:
(a) u′(3)
(b) a equação da reta tangente ao gráfico de u no ponto de
abcissa 3
7. Seja a função f : R → R tal que f (x) = 3x + 5. Calcule
f ′(a) para qualquer a, a ∈ R.
8. Mostre que a função f : R \ {3} → R tal que f (x) = x
2 − 9
x− 3
é derivável em seu domínio.
9. Seja a função f : R→ R tal que f (x) = |x|. Determine:
(a) f ′(3) (b) f ′(−3) (c) f ′(0)
10. Seja a função f : R→ R tal que f (x) = 4x− 2. Determine:
(a) f ′(1)
(b) A equação da reta t tangente ao gráfico de f no ponto de
abcissa 1.
11. Seja a função f : R→ R tal que f (x) =
√
x. Determine:
(a) f ′(a) para todo o a ∈ R+0
(b) A equação da reta t tangente ao gráfico de f no ponto de
abcissa 4.
12. Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de y =
x
x + 1
no ponto de abcissa x = 2
13. Prove que função f : R \ {2} → R tal que f (x) =
x2 − 5x + 6
x− 2 é derivável em todo o seu domínio.
14. Dada a função f (x) = |2x− 1|, determine:
(a) f ′(0) (b) f ′(3) (c) f ′
(
1
2
)
15. Seja a função f : R → R tal que f (x) = x3. Obtenha a
função derivada de f .
16. A função f ′(x) = 5x− 6 é derivada de uma função f .
(a) Qual é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico
de f no ponto de abcissa 2?
(b) Qual é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico
de f no ponto de abcissa 1?
17. Use a fórmula
f ′(x) = lim
z→x
f (z)− f (x)
z− x
para determinar a derivada das funções nos exercícios
(a) f (x) =
1
x + 2
(b) f (x) =
1
(x− 1)2
(c) g(x) =
x
x− 1
(d) g(x) = 1 +
√
x
18. Determine a derivada de cada uma das seguintes funções:
(a) f (x) = 2
(b) g(x) = x5
(c) h(x) = 2x
(
1− x3
)
(d) i(x) =
1− x
x2 + 2
(e) j(x) = ex
(f) k(x) = ln x
(g) l(x) = 5x
19. Encontre a derivada de cada uma das seguintes funções:
(a) a(x) = x5 + x4 + 2
(b) b(x) = x5 ln x
(c) c(x) = 9x4
(d) d(x) = 5x−2
(e) e(x) = log5 x
(f) f (x) = 6 log2 x
(g) g(x) =
2x3 + 4
x4
(h) h(x) = x−9
(i) i(x) = 12x5 − 3x4 + 2x + 4
(j) j(x) = x · 4x
20. Determine a derivada de cada uma das seguintes funções:
(a) a(x) = x3 + x
(b) b(x) = 10x5
(c) c(x) = 6x−5
(d) d(x) = log7 x
(e) e(x) =
x4 + x
x3
(f) f (x) = 6x4 − 3x2 + 7x− 4
(g) g(x) =
ex
x
21. Dadas as funções f (x) = 4x5 e g(x) = x3 + 2x, encontre a
derivada da função composta ( f ◦ g) (x)
152 esacs - 2016/17
22. Obtenha a derivada de cada uma das seguintes funções:
(a) y = (x9 + 4)3
(b) y = (2x3 − 3x + 2)5
(c) y = ln(2x4 + 3x)
(d) y = 22x+1
(e) y = 3x
2+2x
(f) y = 8x
3+x
(g) y = (3x)x
(h) y =
[
ln(2x4 − x)
]5
(i) y = x−
1
2 , com x > 0
(j) y =
6
√
x5, com x > 0
23. Dada a função f :
(a) f (x) = 2x4 − 3x2 + 4, calcule f ′(1)
(b) f (x) = exx, calcule f ′(0)
(c) f (x) =
x2
x + 1
, calcule f ′(3)
(d) f (x) =
x2 + 3
x3
, calcule f ′(1)
(e) f (x) = 3
√
x2 + 4, calcule f ′(2)
24. Determine f ′(x); f ′′(x); f (3) e f (4) nos seguintes casos:
(a) f (x) = 2x6 + x3
(b) f (x) =
1
x
(c) f (x) = ex
(d) f (x) = ln x
25. Encontre a primeira e a segunda derivadas:
(a) y = −x2 + 3
(b) y = x2 + x + 8
(c) s = 5t3 − 3t5
(d) y =
4x3
3
− x + 2ex
(e) y =
x3
3
+
x2
2
+
x
4
(f) w = 3z−2 − 1
z
(g) s = −2t−1 + 4
t2
(h) y = 6x2 − 10x− 5x−2
(i) y = 4− 2x− x−3
(j) r =
1
3s2
− 5
2s
(k) r =
12
θ
− 4
θ3
+
1
θ4
26. Nas seguintes alíneas, determine y′
• aplicando a regra do produto e
• multiplicando os fatores para produzir uma soma de
termos mais simples para derivar
(a) y = (3− x2)(x3 − x + 1)
(b) y = (x− 1)(x2 + x + 1)
(c) y = (x2 + 1)
(
x + 5 +
1
x
)
(d) y =
(
x +
1
x
)(
x− 1
x
+ 1
)
27. Determine as derivadas das funções:
(a) y =
2x + 5
3x− 2
(b) z =
2x + 1
x2 − 1
(c) g(x) =
x2 − 4
x + 0, 5
(d) f (t) =
t2 − 1
t2 + t− 2
(e) v = (1− t)(1 + t2)−1
(f) w = (2x− 7)−1(x + 5)
(g) y = 2e−x
(h) y =
x2 + 3ex
2ex − x
(i) v =
1 + x− 4
√
x
x
(j) r = 2
(
1√
θ
+
√
θ
)
(k) y = x3ex
(l) w = re−r
28. Encontre a derivada de todas as ordens das funções:
(a) y =
x4
2
− 3
2
x2 − x (b) y = x
5
120
29. Determine a primeira e a segunda derivadas das funções:
(a) y =
x3 + 7
x
(b) s =
t2 + 5t− 1
t2
(c) r =
(θ − 1)(θ2 + θ + 1)
θ3
(d) u =
(x2 + x)(x2 − x + 1)
x4
(e) w = 3z2ez
(f) w = ez(z− 1)(z2 + 1)
(g) p =
(
q2 + 3
12q
)(
q4 − 1
q3
)
(h) p =
q2 + 3
(q− 1)3 + (q + 1)3
30. Dados y = f (u) e u = g(x), determine y′ = f ′(g(x))g′(x):
(a) y = 6u− 9, u = (1/2)x4
(b) y = 2u3, u = 8x− 1
(c) y = u5, u = 2x + 1
(d) y = u9, u = 4− 3x
(e) y = u−7, u = 1− x
7
(f) y = u4, u =
x2
8
+ x− 1
x
(g) y = u5, u =
x
5
+
1
5x
(h) y = u−10, u =
x
2
− 1
(i) y =
√
u, u = 3− x
(j) y =
√
u, u = 2x− 3
31. Encontre as derivadas das funções:
(a) y =
1
21
(3x− 2)7 +
(
4− 1
2x2
)−1
(b) y = (5− 2x)−3 + 1
8
(
2
x
+ 1
)4
(c) y = (4x + 3)4(x + 1)−3
(d) y = (2x− 5)−1(x2 − 5x)6
(e) y = xe−x + e3x
(f) y = (1 + 2x)e−2x
(g) y = (x2 − 2x + 2)e5x/2
(h) y = (9x2 − 6x + 2)ex3
32. Determine y′′
(a) y =
(
1 +
1
x
)3
(b) y = (1−
√
x)−1
(c) y = ex
2
+ 5x
33. Encontre o valor de ( f ◦ g)′ para os valores dados de x:
(a) f (u) = u5 + 1, u = g(x) =
√
x, x = 1
(b) f (u) = 1− 1
u
, u = g(x) =
1
1− x , x = −1
(c) f (u) =
2u
u2 + 1
, u = g(x) = 10x2 + x + 1, x = 0
(d) f (u) =
(
u− 1
u + 1
)2
, u = g(x) =
1
x2
− 1, x = −1
matemática 12º ano 153
34. Derive:
(a) y = x
9
4
(b) y = x−
3
5
(c) y = 3
√
2x
(d) y = 4
√
5x
(e) y = 7
√
x + 6
(f) y = −2
√
x− 1
(g) y = (2x + 5)−
1
2
(h) y = (1− 6x)
2
3
(i) y = x(x2 + 1)
1
2
(j) y = x(x2 + 1)−
1
2
35. Determine a primeira derivada das seguintes funções:
(a) s =
7
√
t2
(b) r =
4
√
θ−3
(c) f (x) =
√
1−
√
x
(d) g(x) = 2(2x−1/2 + 1)−1/3
36. Determine a drivada de y em cada caso:
(a) y = ln 3x
(b) y = ln kx, k constante
(c) y = ln(t2)
(d) y = ln(t3/2)
(e) y = ln
3
x
(f) y = ln
10
x
(g) y = ln(θ + 1)
(h) y = ln(2θ + 2)
(i) y = ln x3
(j) y = (ln x)3
(k) y = t (ln t)2
(l) y = t
√
ln t
(m) y =
x4
4
ln x− x
4
16
(n) y =
x3
3
ln x− x
3
9
(o) y =
ln t
t
(p) y =
1 + ln t
t
(q) y =
ln x
1 + ln x
(r) y =
x ln x
1 + ln x
(s) y = ln(ln x)
(t) y = ln(ln(ln x))
(u) y = ln
(
1
x
√
x + 1
)
(v) y =
1
2
ln
1 + x
1− x
(w) y =
1 + ln t
1− ln t
(x) y =
√
ln
√
t
(y) y = ln
(
(x2 + 1)5√
1− x
)
(z) y = ln
√
(x + 1)5
(x + 2)20
37. Determine a derivada de y:
(a) ln(3θe−θ)
(b) ln(3te−t)
(c) ln
(
eθ
1 + eθ
) (d) ln
( √
θ
1 +
√
θ
)
38. Determine a derivada de y:
(a) y = 2x
(b) y = 3−x
(c) y = 5
√
x
(d) y = 2(x
2)
(e) y = πx
(f) y = 2t−e
(g) y = log2 5θ
(h) y = log3(1 + θ ln 3)
(i) log4 x + log4 x
2
(j) log25 e
x − log5
√
x
(k) y = log2 r · log4 r
(l) y = log3 r · log9 r
(m) y = log3
((
x + 1
x− 1
)ln 3)
(n) y = log5
√(
7x
3x + 2
)ln 5
(o) y = log5 e
x
(p) y = log2
(
x2e2
2
√
x + 1
)
(q) y = 3log2 t
(r) y = 3 log8(log2 t)
(s) y = log2(8t
ln 2)
39. Determine os intervalos em que cada uma das funções é
crescente ou decrescente:
(a) f (x) = x3 − 8x2 + 20x + 2
(b) g(x) =
x4
4
− 5x
3
3
+ 4x2 − 4x + 9
(c)h(x) =
x3
3
− 3x2 + 8x + 1
(d) t(x) =
x2
1 + x
40. Responda às seguintes perguntas sobre as funções cujas
derivadas são dadas:
• Quais são os pontos críticos de f ′?
• Em que intervalos de f é crescente ou decrescente?
• Em quais pontos, se houver, f assume valores máximos e
mínimos relativos?
(a) f ′(x) = x(x + 1)
(b) f ′(x) = (x− 1)(x + 2)
(c) f ′(x) = (x− 1)2(x + 2)
(d) f ′(x) = (x− 1)(x + 2)2
(e) f ′(x) = (x− 1)e−x
(f) f ′(x) = (x− 7)(x + 1)(x + 5)
(g) f ′(x) = x−1/3(x + 2)
(h) f ′(x) = x−1/2(x− 3)
41. • Encontre os intervalos onde a função é crescente e decres-
cente.
• Em seguida, identifique os valores extremos relativos da
função, se houver, informando onde ela os assume.
• Alguns desses valores extremos são absolutas? Quais?
• Fundamente suas conclusões com uma calculadora, soft-
ware ou aplicativo gráfico.
(a) g(t) = −t2 − 3t + 3
(b) g(t) = −3t2 + 9t + 5
(c) h(x) = −x3 + 2x2
(d) f (θ) = 3θ2 − 4θ3
(e) f (θ) = 6θ − θ3
(f) f (r) = 3r3 + 16r
(g) h(r) = (r + 7)3
(h) f (x) = x4 − 8x2 + 16
(i) g(x) = x4 − 4x3 + 4x2
(j) h(t) =
3
2
t4 − t6
(k) k(t) = 15t3 − t5
(l) g(x) = x
√
8− x2
(m) g(x) = x2
√
5− x
(n) f (x) =
x2 − 3
x− 2 , x 6= 2
(o) f (x) =
x3
3x2 + 1
(p) f (x) = x1/3(x + 8)
(q) g(x) = x2/3(x + 5)
(r) h(x) = x1/3(x2 − 4)
(s) k(x) = x2/3(x2 − 4)
(t) f (x) = e2x + e−e
(u) f (x) = e
√
x
(v) f (x) = x ln x
(w) f (x) = x2 ln x
42. Identifique os pontos de inflexão e os mínimos e os máximos
relativos das funções representadas graficamente. Identifi-
que os intervalos em que as funções tem concavidade voltada
para cima e para baixo:
154 esacs - 2016/17
(a) y =
x3
3
− x
2
2
+
1
3
x
y
0
(b) y =
x4
4
− 2x2 + 4
x
y
0
43. Represente graficamente as funções, seguindo os passos do
procedimento para construção de gráfico. Inclua as coorde-
nadas de quaisquer extremos relativos e pontos de inflexão.
(a) y = x2 − 4x + 3
(b) y = 6− 2x− x2
(c) y = x3 − 3x + 3
(d) y = x(6− 2x)2
(e) y = −2x3 + 6x2 − 3
(f) y = (x− 2)3 + 1
(g) y = x4 − 2x2
(h) y = x5 − 5x4
(i) y = x
( x
2
− 5
)4
(j) y = x2/5
(k) y = 2x− 3x2/3
(l) y = x2/3
(
5
2
− x
)
(m) y = x
√
8− x2
(n) y = (2− x2)3/2
(o) y =
x2 − 3
x− 2 , x 6= 2
(p) y =
x3
3x2 + 1
(q) y = |x2 − 1|
(r) y =
√
|x|
(s) y = xe1/x
(t) y =
ex
x
(u) y = ln(3− x2)
(v) y = x(ln x)2
(w) y = ex − 2e−x − 3x
matemática 12º ano 155
BIBLIOGRAFIA
[1] Paulo Abrantes and Raul Fernando Carvalho. M11 - MATEMÁTICA, 11º ANO. 1988.
[2] Carl B. Boyer. História da Matemática. Editora Edgard Blucher Ltd., 1996.
[3] Paulo Bucchi. Curso Prático de Matemática Vol I,II,III. Editora Moderna, 1998.
[4] M. Engrácia Domingos. EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA - 11º ANO DE ECOLARIDADE. 1986.
[5] A. César Freitas, Elvira Coimbra, and Francelino Gomes. MATEMÁTICA 12º ano de escolaridade (via ensino),
volume II. LIVRARIA POPULAR FRANCISCO FRANCO Ltd., 1987.
[6] Anton Howard. Calculus - A new horizon. JOHN WILEY & SONS INC., 1999.
[7] John J O’Connor and Edmund F Robertson. Mactutor history of mathematics archive, Agosto 2016
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/index.html.
[8] Ana Maria Brito Jorge, Conceição Barroso Alves, Graziela Fonseca, and Judite Barbeado. INFINITO 12 -
Volume 2. 1999.
[9] M. A. F. Neves and M. L. C. Brito. MATEMÁTICA 12º ANO - Livro de Testo - 2º vol. 1996.
[10] M. A. F. Neves and M. L. M. Faria. Exercícios de Matemática 2ª Parte - Matemática 12º ano.
[11] M. A. F. Neves, L. Guerreiro, and M. A. Matemática A 12.º - Funções III. Porto Editora, 2011.
[12] Manoel Paiva. Matemática Volume Único. Editora Moderna, 1999.
[13] Joamir Souza. Coleção Novo Olhar - Matemática. 2010.
[14] Marinela Cabral St. Aubyn, Cristina Brito, and Ana Cristina Martins. Mat 12 - Tema 2 e 3. 1999.
ÍNDICE
Índice, 7
Aplicações
da derivada, 141
da segunda derivada, 145
Arquimedes, 63
Assíntotas, 113
horizontais, 114
oblíquas, 115
verticais, 113
Base, 63
Centro, 38
Concavidade, 145
voltada para baixo, 145
voltada para cima, 145
Constante, 10
Continuidade, 123
lateral, 125
Contradomínio, 8
Declive, 132
Derivabilidade e continuidade, 135
Derivada, 132
da função composta, 138
da função exponencial, 139
da função logarítmica, 140
da soma, 136
do produto, 137
do quociente, 138
lateral, 134
à direita, 134
à esquerda, 134
Derivado, 99
Equação
exponencial, 66
logarítmica, 83
Erro, 37
Estritamente
crescente, 13
decrescente, 13
Estudo de função, 147
Expoente, 63
Extremos
relativos, 142
Fibonacci, 7
Função
constante, 141
contínua
à direita, 125
à esquerda, 125
num intervalo, 126
num ponto, 124
crescente, 141
decrescente, 141
derivável, 132, 134
derivada, 135
exponencial, 63, 64
logarítmica, 80
bijetiva, 82
crescente, 82
decrescente, 82
inversa, 82
Função exponencial
bijetiva, 65
crescente, 65
decrescente, 65
Gauss, 25
Gráfico, 11
da função logarítmica, 81
Heine, 100
Indeterminações, 49, 107
Inequação
exponencial, 69
logarítmica, 88
Infinitésimos, 41
simultâneos, 111, 112
Infinitamente
grande, 44
em módulo, 45
negativo, 45
positivo, 44
John Napier, 56, 75
Leibniz, 131
Limitada, 15
Limite, 39
da potência de funções, 101
da raiz de funções, 101
da soma de funções, 101
de uma constante, 42
de uma função, 99
do produto de funções, 101
do quociente de funções, 101
Limites
infinitos, 104
laterais, 102
Logaritmo, 75
mudança de base, 79
de uma potência, 78
do produto, 77
do quociente, 78
Máximo
relativo, 142, 143
Mínimo
relativo, 142, 143
Majorante, 15
Minorante, 15
Monotonia
de sucessão, 13
Número de Neper, 56
Não monótona, 13
Newton, 131
Operações com funções contínuas, 127
Ordem, 8
Ponto
de acumulação, 99
de inflexão, 145
isolado, 99
Potência, 63
Problemas
sobre Progressão aritmética, 26
sobre Progressão geométrica, 32
Progressão
aritmética, 22
constante, 23
crescente, 23
decrescente, 23
geométrica, 28
constante, 28
crescente, 28
decrescente, 28
não monótona, 28
160 esacs - 2016/17
Progressões
geométricas, 28
Progrssões, 21
Propriedades
da função exponencial, 65
da função logarítmica, 82
dos logaritmos, 77
Raio, 38
Razão, 22
Recorrência, 10
Recta
tangente, 132
Regras
de derivação, 136, 140
Reta
secante, 132
Semitangente
à direita, 134
à esquerda, 134
Sentido lato, 13
Soma
de uma Progressão aritmética, 25
de uma Progressão geométrica, 31
Subsucessão, 12
Sucessão, 7
convergente, 40
monótona, 13
crescente, 13
decrescente, 13
Sucessor, 8
Taxa
de variação média, 132
Termo, 8
Termo geral, 7, 8
de uma Progressão aritmética, 23
de uma Progressão geométrica, 29
Termos, 7
Teste
da segunda derivada, 147
Teste de continuidade, 124
Variável, 7
Velocidade
média, 132
velocidade
instantânea, 132
Vizinhança, 38
	Sucessões
	Noção de Sucessão
	Modos de designar uma sucessão
	Representação gráfica de uma sucessão
	Subsucessão de uma sucessão
	Monotonia de sucessão
	Sucessões limitadas
	Exercícios do Capítulo 1
	Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas
	Progressões Aritméticas
	Progressões Geométricas
	Exercícios do Capítulo 2
	Limites de sucessões
	Vizinhança de um número real
	Limite de uma sucessão
	Sucessões convergentes
	Infinitamente grandes
	Classificação de sucessões
	Operações com sucessões convergentes
	Operações com sucessões divergentes
	Indeterminações
	Sucessão do tipo an (aR,nN)
	O número de Neper
	Exercícios do Capítulo 3
	Funções exponenciais
	Potencia de base positiva e expoente racional
	Função exponencial
	Propriedades da função exponencial
	Equação exponencial
	Inequação exponencial
	Exercícios do Capítulo 4
	Funções logarítmicas
	Logaritmo de um número
	Consequências da definição
	Propriedades dos logaritmos
	Função logarítmica
	Propriedades da função logarítmica
	Equação logarítmica
	Inequação logarítmica
	Estudo das funções exponenciais e logarítmica
	Exercícios do Capítulo 5
	Limite de funções reais de variável real
	A ideia de limite
	Limite de uma função num ponto
	Regras operatórias de limites de funções
	Limites laterais
	Limites infinitos
	Cálculo de limites
	Indeterminações
	Infinitésimos simultâneos
	Assíntotas
	Limites notáveis envolvendoexponenciais e logaritmos
	Exercícios do Capítulo 6
	Continuidade de uma função
	Noção de função contínua num ponto
	Continuidade lateral
	Função contínua num intervalo
	Operações com funções contínuas
	Exercícios do Capítulo 7
	Derivadas
	Taxa de variação média
	Derivada de uma função num ponto
	Derivadas laterais
	Derivabilidade e continuidade
	Função derivada
	Regras de derivação
	Aplicações da derivada de uma função
	Aplicações da segunda derivada de uma função
	Estudo de função
	Exercícios do Capítulo 8
	Bibliografia
	Índice