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1x \u2212= mas não é derivável neste ponto. f é contínua neste ponto pois ( ) ( )1f00111xlimxflim 1x1x \u2212===+\u2212=+= \u2212\u2192\u2212\u2192 . Sabemos que ( ) \uf8f4\uf8f3 \uf8f4\uf8f2 \uf8f1 \u2212= \u2212<\u2212\u2212 \u2212>+ =+= 1x,0 1x,1x 1x,1x 1xxf . Vamos calcular ( )1'f \u2212 : ( ) =\u2212+ 1'f ( ) ( ) ( ) 11lim1x 1xlim 1x 01xlim 1x 1fxflim 1x1x1x1x ==+ +=+ \u2212+=+ \u2212\u2212 ++++ \u2212\u2192\u2212\u2192\u2212\u2192\u2212\u2192 . ( ) =\u2212\u2212 1'f ( ) ( ) ( ) ( ) 11lim1x 1xlim 1x 01xlim 1x 1fxflim 1x1x1x1x \u2212=\u2212=+ +\u2212=+ \u2212\u2212\u2212=+ \u2212\u2212 \u2212\u2212\u2212\u2212 \u2212\u2192\u2212\u2192\u2212\u2192\u2212\u2192 . Como as derivadas laterais são distintas concluímos que não existe ( )1'f \u2212 . Veja o gráfico da função ( ) 1xxf += . Obs.: Quando as derivadas laterais existem e são diferentes num ponto, dizemos que este é um ponto anguloso do gráfico da função. Neste caso, não existe reta tangente num ponto anguloso. No exemplo acima a função ( ) 1xxf += tem um ponto anguloso em 1x \u2212= . Atividades (grupo 17). Verifique se a função abaixo tem derivada no ponto ox . Este ponto é anguloso? Esboce o gráfico da função e constate. a) ( ) \uf8f4\uf8f3 \uf8f4\uf8f2\uf8f1 \u2264 >\u2212= 0x,e 0x,x1 xf x 2 no ponto 0xo = . b) ( ) \uf8f4\uf8f3 \uf8f4\uf8f2\uf8f1 \u2264 >++= 0x,e 0x,1xx xg x 2 no ponto 0xo = . Não existe reta tangente ao gráfico desta função no ponto 1x0 \u2212= . Álvaro Fernandes 31 Regras de derivação Vamos apresentar algumas regras que irão facilitar o cálculo das derivadas das funções sem recorrer a definição. 1. Derivada de uma função constante. Se ( ) cxf = , c é uma constante real, então ( ) 0xf ' = . ( ) ( ) ( ) 00lim x cclim x xfxxflimxf 0x0x0x ' ==\u2206 \u2212=\u2206 \u2212\u2206+= \u2192\u2206\u2192\u2206\u2192\u2206 . 2. Derivada da função potência. Se n é um inteiro positivo e ( ) nxxf = , então ( ) 1n' nxxf \u2212= . Prova: ( ) ( ) ( ) ( ) x xxxlim x xfxxflimxf nn 0x0x ' \u2206 \u2212\u2206+=\u2206 \u2212\u2206+= \u2192\u2206\u2192\u2206 Usando o Binômio de Newton para expandir ( )nxx \u2206+ , obtemos ( ) =xf ' ( ) ( ) ( ) ( ) =\u2206 \u2212\uf8fa\uf8fb \uf8f9\uf8ef\uf8f0 \uf8ee \u2206+\u2206++\u2206\u2212+\u2206+ \u2212\u2212\u2212 \u2192\u2206 x xxxnx...xx !2 1nnxnxx lim nn1n22n1nn 0x ( ) ( ) ( ) ( ) =\u2206 \uf8fa\uf8fb \uf8f9\uf8ef\uf8f0 \uf8ee \u2206+\u2206++\u2206\u2212+\u2206 = \u2212\u2212\u2212\u2212 \u2192\u2206 x xxnx...xx !2 1nnnxx lim 1n2n2n1n 0x ( ) ( ) ( ) ( ) 1n1n2n2n1n 0x nxxxnx...xx !2 1nnnxlim \u2212\u2212\u2212\u2212\u2212 \u2192\u2206 =\uf8fa\uf8fb \uf8f9\uf8ef\uf8f0 \uf8ee \u2206+\u2206++\u2206\u2212+= . Exemplo 22. Calcule as derivadas das funções abaixo: a) ( ) xxf = b) ( ) 2xxf = c) ( ) 5xxf = a) ( ) ( ) 1x1x'fxxf 111 ==\u21d2= \u2212 . Logo ( ) 1x'f = . b) ( ) ( ) x2x2x'fxxf 122 ==\u21d2= \u2212 . Logo ( ) x2x'f = . c) ( ) ( ) 4155 x5x5x'fxxf ==\u21d2= \u2212 . Logo ( ) 4x5x'f = . Obs.: Se n for um número inteiro negativo ou racional o resultado contínua válido. Atividades (grupo 18). 1. Mostre, usando a regra e a definição, que a derivada da função ( ) 1xxf \u2212= é ( ) 2xx'f \u2212\u2212= . 2. Mostre, usando a regra e a definição, que a derivada da função ( ) xxf = é ( ) x2 1x'f = . Álvaro Fernandes 32 3. Derivada do produto de uma constante por uma função. Se ( )xf é uma função derivável e c é uma constante real, então a função ( ) ( )xcfxg = tem derivada dada por ( ) ( )x'cfx'g = . Prova: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] =\u2206 \u2212\u2206+=\u2206 \u2212\u2206+=\u2206 \u2212\u2206+= \u2192\u2206\u2192\u2206\u2192\u2206 x xfxxfclim x xcfxxcflim x xgxxglimxg´ 0x0x0x ( ) ( ) ( )x´cf x xfxxflimc 0x =\u2206 \u2212\u2206+\u22c5= \u2192\u2206 . Exemplo 23. Se ( ) 3x5xf = então ( ) ( ) 22 x15x35x'f == . 4. Derivada de uma soma de funções. Se ( )xf e ( )xg são função deriváveis, então a função ( ) ( ) ( )xgxfxh += tem derivada dada por ( ) ( ) ( )x'gx'fx'h += . Pesquise a demonstração deste resultado num livro de cálculo. Exemplo 24. Se ( ) 5xx3x4xf 23 +\u2212+= então ( ) 1x6x12x'f 2 \u2212+= . 5. Derivada de um produto de funções. Se ( )xf e ( )xg são função deriváveis, então a função ( ) ( ) ( )xgxfxh \u22c5= tem derivada dada por ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x'gxfxgx'fx'h \u22c5+\u22c5= . Pesquise a demonstração deste resultado num livro de cálculo. Exemplo 25. Se ( ) ( )( )x2xxxf 3 \u2212\u2212= então ( ) ( )( ) ( )( ) 2x2x6x410xxx21x3x'f 2332 \u2212+\u2212+\u2212=\u2212\u2212+\u2212\u2212= . 6. Derivada de um quociente de funções. Se ( )xf e ( )xg são função deriváveis, então a função ( ) ( )( )xg xfxh = tem derivada dada por ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]2xg x'gxfxgx'fx'h \u22c5\u2212\u22c5= . Pesquise a demonstração deste resultado num livro de cálculo. Exemplo 26. Se ( ) x2 8x5xf 2 \u2212= então ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222 2 x2 8x5...x4 28x5x2x10x'f +==\u22c5\u2212\u2212\u22c5= . Álvaro Fernandes 33 Atividades (grupo 19). 1. Usando as regras de derivação, calcule as derivadas das funções abaixo: a) ( ) 1x3xxf 2 ++= \u2212 . b) ( ) ( ) ( )3xxxf 8 += . c) ( ) ( )( )x6xx3xf 4 \u2212+= . d) ( ) ( ) 32 x23xxf \u2212= . e) ( ) 3 x 2 3x5xf +\u2212= . f) ( ) ( )x2xxf 41 \u2212= . g) ( ) 6x 1x xxf 2 +++= \u2212 . h) ( ) 2x x2xf \u2212= . i) ( ) ( )24 3 x1xxf \u2212= . 2. Determine os valores das constantes a e b na parábola ( ) baxxf 2 += de modo que a reta de equação 4x8y += seja tangente a parábola no ponto 2x = . Derivada da função composta (Regra da cadeia) Até o momento sabemos derivar a função ( ) 3xxg = e também a função ( ) 1x2xf += . Considere agora a função composta ( ) ( )( ) ( )31x2xfgxgof +== . Como poderemos obter a derivada da função composta ( )xgof sem desenvolver o Binômio? A regra que veremos agora estabelece uma forma de obter a derivada da função composta em termos das funções elementares f e g. Regra da cadeia Se ( )ugy = , ( )xfu = e as derivadas du dy e dx du existem, então a função composta ( ) ( )( )xfgxgofy == tem derivada dada por dx du du dy dx dy \u22c5= ou ( ) ( ) ( )xu´uy´xy´ \u22c5= ou ( ) ( )( ) ( )x´fxfg´x´gof \u22c5= . As três formas acima são equivalentes, mudam apenas as notações. Exemplo 27. Calcule a derivada das funções abaixo: a) ( )31x2y += b) 3x5y += c) 5 x31 xy \uf8f7\uf8f8 \uf8f6\uf8ec\uf8ed \uf8eb \u2212= Para calcular a derivada dessas funções, precisamos identificar as funções elementares ( )ugy = e ( )xfu = (cujas derivadas conhecemos) que formam a função composta e aplicar a regra. a) ( )31x2y += \uf8f3\uf8f2 \uf8f1 += = 1x2u uy 3 Então ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222 1x2621x232u3xy´xu´uy´xy´ +=\u22c5+=\u22c5=\u21d2\u22c5= . Logo ( ) ( )21x26xy´ += . Álvaro Fernandes 34 b) 3x5y += \uf8f3\uf8f2 \uf8f1 += = 3x5u uy Então ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3x52 55 u2 1xy´xu´uy´xy´ +=\u22c5=\u21d2\u22c5= . Logo ( ) 3x52 5xy´ += . c) 5 x31 xy \uf8f7\uf8f8 \uf8f6\uf8ec\uf8ed \uf8eb \u2212= \uf8f4\uf8f3 \uf8f4\uf8f2 \uf8f1 \u2212= = x31 xu uy 5 Então ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) =\uf8fa\uf8fb \uf8f9\uf8ef\uf8f0 \uf8ee \u2212 \u2212\u2212\u2212\u22c5=\u21d2\u22c5= 24 x31 3xx311u5xy´xu´uy´xy´ ( )( ) ( )( ) ( ) ( )6 4 2 4 x31 x5 x31 3xx311 x31 x5 \u2212=\uf8fa\uf8fb \uf8f9\uf8ef\uf8f0 \uf8ee \u2212 \u2212\u2212\u2212\u22c5\uf8f7\uf8f8 \uf8f6\uf8ec\uf8ed \uf8eb \u2212= . Logo ( ) ( )6 4 x31 x5xy´ \u2212= . Proposição: Se ( )xf é uma função derivável e n é um número inteiro não nulo, então ( )[ ] ( )[ ] ( )x´f.xfnxf dx d 1nn \u2212= Prova: Fazendo nuy = , onde ( )xfu = e aplicando a regra da cadeia, temos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )x´fxfnxy´x´fnuxy´xu´uy´xy´ 1n1n \u22c5=\u21d2\u22c5=\u21d2\u22c5= \u2212\u2212 . A proposição continua válida se n for um número racional não nulo. Exemplo 28. Calcule a derivada da função 3 3xx14y \u2212+\u22c5= . Podemos escrever ( ) 313xx14y \u2212+= e calcular a derivada usando a proposição acima: ( ) ( ) ( )2323 x31xx1 3 14xy´ \u2212\u22c5\u2212+\u22c5= \u2212 . Obs: Com a regra da proposição acima poderíamos calcular todos os exercícios do exemplo 27. Mas a regra da cadeia é mais completa, ela possibilitará a resolução de outros problemas mais complicados... Álvaro Fernandes 35 Atividades (grupo 20). Calcule a derivada das funções abaixo: a) ( )63x2y \u2212= . b) ( ) 34 2xy \u2212\u2212= . c) 3x2y \u2212= . d) ( )( )x51 x31y 2 + \u2212= . e) (