Limite e Derivadas
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Limite e Derivadas


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1x \u2212= mas não é derivável neste ponto. 
 
f é contínua neste ponto pois ( ) ( )1f00111xlimxflim
1x1x
\u2212===+\u2212=+=
\u2212\u2192\u2212\u2192
 . 
 
Sabemos que ( )
\uf8f4\uf8f3
\uf8f4\uf8f2
\uf8f1
\u2212=
\u2212<\u2212\u2212
\u2212>+
=+=
1x,0
1x,1x
1x,1x
1xxf
 
 
 
. Vamos calcular ( )1'f \u2212 : 
 
( ) =\u2212+ 1'f ( ) ( ) ( ) 11lim1x
1xlim
1x
01xlim
1x
1fxflim
1x1x1x1x
==+
+=+
\u2212+=+
\u2212\u2212
++++ \u2212\u2192\u2212\u2192\u2212\u2192\u2212\u2192
 . 
 
( ) =\u2212\u2212 1'f ( ) ( ) ( ) ( ) 11lim1x
1xlim
1x
01xlim
1x
1fxflim
1x1x1x1x
\u2212=\u2212=+
+\u2212=+
\u2212\u2212\u2212=+
\u2212\u2212
\u2212\u2212\u2212\u2212 \u2212\u2192\u2212\u2192\u2212\u2192\u2212\u2192
 . 
 
Como as derivadas laterais são distintas concluímos que não existe ( )1'f \u2212 . 
 
Veja o gráfico da função ( ) 1xxf += . 
 
 
 
Obs.: Quando as derivadas laterais existem e são diferentes num ponto, dizemos que este é um 
ponto anguloso do gráfico da função. Neste caso, não existe reta tangente num ponto anguloso. 
 
No exemplo acima a função ( ) 1xxf += tem um ponto anguloso em 1x \u2212= . 
 
Atividades (grupo 17). Verifique se a função abaixo tem derivada no ponto ox . Este ponto é 
anguloso? Esboce o gráfico da função e constate. 
 
a) ( ) \uf8f4\uf8f3
\uf8f4\uf8f2\uf8f1 \u2264
>\u2212=
0x,e
0x,x1
xf
x
2
 
 
 no ponto 0xo = . b) ( ) \uf8f4\uf8f3
\uf8f4\uf8f2\uf8f1 \u2264
>++=
0x,e
0x,1xx
xg
x
2
 
 
 no ponto 0xo = . 
Não existe reta tangente 
ao gráfico desta função no 
ponto 1x0 \u2212= . 
Álvaro Fernandes 31
Regras de derivação 
 
Vamos apresentar algumas regras que irão facilitar o cálculo das derivadas das funções sem recorrer 
a definição. 
 
1. Derivada de uma função constante. 
 
Se ( ) cxf = , c é uma constante real, então ( ) 0xf ' = . 
 
( ) ( ) ( ) 00lim
x
cclim
x
xfxxflimxf
0x0x0x
' ==\u2206
\u2212=\u2206
\u2212\u2206+=
\u2192\u2206\u2192\u2206\u2192\u2206
 . 
 
2. Derivada da função potência. 
 
Se n é um inteiro positivo e ( ) nxxf = , então ( ) 1n' nxxf \u2212= . 
 
Prova: ( ) ( ) ( ) ( )
x
xxxlim
x
xfxxflimxf
nn
0x0x
'
\u2206
\u2212\u2206+=\u2206
\u2212\u2206+=
\u2192\u2206\u2192\u2206
 
 
Usando o Binômio de Newton para expandir ( )nxx \u2206+ , obtemos 
 
( ) =xf '
( ) ( ) ( ) ( )
=\u2206
\u2212\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee \u2206+\u2206++\u2206\u2212+\u2206+ \u2212\u2212\u2212
\u2192\u2206 x
xxxnx...xx
!2
1nnxnxx
lim
nn1n22n1nn
0x
 
 ( ) ( ) ( ) ( )
=\u2206
\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee \u2206+\u2206++\u2206\u2212+\u2206
=
\u2212\u2212\u2212\u2212
\u2192\u2206 x
xxnx...xx
!2
1nnnxx
lim
1n2n2n1n
0x
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 1n1n2n2n1n
0x
nxxxnx...xx
!2
1nnnxlim \u2212\u2212\u2212\u2212\u2212
\u2192\u2206
=\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee \u2206+\u2206++\u2206\u2212+= . 
 
 
Exemplo 22. Calcule as derivadas das funções abaixo: 
 
a) ( ) xxf = b) ( ) 2xxf = c) ( ) 5xxf = 
 
a) ( ) ( ) 1x1x'fxxf 111 ==\u21d2= \u2212 . Logo ( ) 1x'f = . 
b) ( ) ( ) x2x2x'fxxf 122 ==\u21d2= \u2212 . Logo ( ) x2x'f = . 
c) ( ) ( ) 4155 x5x5x'fxxf ==\u21d2= \u2212 . Logo ( ) 4x5x'f = . 
 
Obs.: Se n for um número inteiro negativo ou racional o resultado contínua válido. 
 
Atividades (grupo 18). 
 
1. Mostre, usando a regra e a definição, que a derivada da função ( ) 1xxf \u2212= é ( ) 2xx'f \u2212\u2212= . 
 
2. Mostre, usando a regra e a definição, que a derivada da função ( ) xxf = é ( )
x2
1x'f = . 
Álvaro Fernandes 32
 
3. Derivada do produto de uma constante por uma função. 
 
Se ( )xf é uma função derivável e c é uma constante real, então a função ( ) ( )xcfxg = tem 
derivada dada por ( ) ( )x'cfx'g = . 
 
 
Prova: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] =\u2206
\u2212\u2206+=\u2206
\u2212\u2206+=\u2206
\u2212\u2206+=
\u2192\u2206\u2192\u2206\u2192\u2206 x
xfxxfclim
x
xcfxxcflim
x
xgxxglimxg´
0x0x0x
 
 ( ) ( ) ( )x´cf
x
xfxxflimc
0x
=\u2206
\u2212\u2206+\u22c5=
\u2192\u2206
 . 
 
Exemplo 23. Se ( ) 3x5xf = então ( ) ( ) 22 x15x35x'f == . 
 
 
4. Derivada de uma soma de funções. 
 
Se ( )xf e ( )xg são função deriváveis, então a função ( ) ( ) ( )xgxfxh += tem derivada dada por 
( ) ( ) ( )x'gx'fx'h += . 
 
Pesquise a demonstração deste resultado num livro de cálculo. 
 
Exemplo 24. Se ( ) 5xx3x4xf 23 +\u2212+= então ( ) 1x6x12x'f 2 \u2212+= . 
 
 
5. Derivada de um produto de funções. 
 
Se ( )xf e ( )xg são função deriváveis, então a função ( ) ( ) ( )xgxfxh \u22c5= tem derivada dada por 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )x'gxfxgx'fx'h \u22c5+\u22c5= . 
 
Pesquise a demonstração deste resultado num livro de cálculo. 
 
Exemplo 25. 
 
Se ( ) ( )( )x2xxxf 3 \u2212\u2212= então ( ) ( )( ) ( )( ) 2x2x6x410xxx21x3x'f 2332 \u2212+\u2212+\u2212=\u2212\u2212+\u2212\u2212= . 
 
 
6. Derivada de um quociente de funções. 
 
Se ( )xf e ( )xg são função deriváveis, então a função ( ) ( )( )xg
xfxh = tem derivada dada por 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]2xg
x'gxfxgx'fx'h \u22c5\u2212\u22c5= . 
 
Pesquise a demonstração deste resultado num livro de cálculo. 
 
Exemplo 26. Se ( )
x2
8x5xf
2 \u2212= então ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222 2 x2 8x5...x4 28x5x2x10x'f +==\u22c5\u2212\u2212\u22c5= . 
Álvaro Fernandes 33
Atividades (grupo 19). 
 
1. Usando as regras de derivação, calcule as derivadas das funções abaixo: 
 
a) ( ) 1x3xxf 2 ++= \u2212 . b) ( ) ( ) ( )3xxxf 8 += . c) ( ) ( )( )x6xx3xf 4 \u2212+= . 
 
d) ( ) ( ) 32 x23xxf \u2212= . e) ( ) 3 x
2
3x5xf +\u2212= . f) ( ) ( )x2xxf 41 \u2212= . 
 
g) ( ) 6x
1x
xxf 2 +++=
\u2212 . h) ( ) 2x
x2xf \u2212= . i) ( ) ( )24 3 x1xxf \u2212= . 
 
2. Determine os valores das constantes a e b na parábola ( ) baxxf 2 += de modo que a reta de 
equação 4x8y += seja tangente a parábola no ponto 2x = . 
 
Derivada da função composta (Regra da cadeia) 
 
 Até o momento sabemos derivar a função ( ) 3xxg = e também a função ( ) 1x2xf += . 
Considere agora a função composta ( ) ( )( ) ( )31x2xfgxgof +== . Como poderemos obter a derivada 
da função composta ( )xgof sem desenvolver o Binômio? A regra que veremos agora estabelece uma 
forma de obter a derivada da função composta em termos das funções elementares f e g. 
 
 
Regra da cadeia 
 
Se ( )ugy = , ( )xfu = e as derivadas 
du
dy e 
dx
du existem, então a função composta 
( ) ( )( )xfgxgofy == tem derivada dada por 
 
dx
du
du
dy
dx
dy \u22c5= ou ( ) ( ) ( )xu´uy´xy´ \u22c5= ou ( ) ( )( ) ( )x´fxfg´x´gof \u22c5= . 
 
As três formas acima são equivalentes, mudam apenas as notações. 
 
Exemplo 27. Calcule a derivada das funções abaixo: 
 
a) ( )31x2y += b) 3x5y += c) 5
x31
xy \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2212= 
 
Para calcular a derivada dessas funções, precisamos identificar as funções elementares ( )ugy = e 
( )xfu = (cujas derivadas conhecemos) que formam a função composta e aplicar a regra. 
 
a) ( )31x2y += 
 
\uf8f3\uf8f2
\uf8f1
+=
=
1x2u
uy 3
 
 
Então ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222 1x2621x232u3xy´xu´uy´xy´ +=\u22c5+=\u22c5=\u21d2\u22c5= . 
 
Logo ( ) ( )21x26xy´ += . 
Álvaro Fernandes 34
b) 3x5y += 
 
\uf8f3\uf8f2
\uf8f1
+=
=
3x5u
uy 
 
Então ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3x52
55
u2
1xy´xu´uy´xy´ +=\u22c5=\u21d2\u22c5= . Logo ( ) 3x52
5xy´ += . 
 
c) 
5
x31
xy \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2212= 
 
\uf8f4\uf8f3
\uf8f4\uf8f2
\uf8f1
\u2212=
=
x31
xu
uy 5
 
 
Então ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) =\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
\u2212
\u2212\u2212\u2212\u22c5=\u21d2\u22c5= 24 x31
3xx311u5xy´xu´uy´xy´ 
 
( )( ) ( )( )
( ) ( )6
4
2
4
x31
x5
x31
3xx311
x31
x5 \u2212=\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
\u2212
\u2212\u2212\u2212\u22c5\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2212= . 
 
Logo ( ) ( )6
4
x31
x5xy´ \u2212= . 
 
Proposição: Se ( )xf é uma função derivável e n é um número inteiro não nulo, então 
 
( )[ ] ( )[ ] ( )x´f.xfnxf
dx
d 1nn \u2212= 
 
Prova: Fazendo nuy = , onde ( )xfu = e aplicando a regra da cadeia, temos 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )x´fxfnxy´x´fnuxy´xu´uy´xy´ 1n1n \u22c5=\u21d2\u22c5=\u21d2\u22c5= \u2212\u2212 . 
 
A proposição continua válida se n for um número racional não nulo. 
 
Exemplo 28. Calcule a derivada da função 3 3xx14y \u2212+\u22c5= . 
 
Podemos escrever ( ) 313xx14y \u2212+= e calcular a derivada usando a proposição acima: 
 
( ) ( ) ( )2323 x31xx1
3
14xy´ \u2212\u22c5\u2212+\u22c5= \u2212 . 
 
Obs: Com a regra da proposição acima poderíamos calcular todos os exercícios do exemplo 27. 
Mas a regra da cadeia é mais completa, ela possibilitará a resolução de outros problemas mais 
complicados... 
Álvaro Fernandes 35
Atividades (grupo 20). Calcule a derivada das funções abaixo: 
 
a) ( )63x2y \u2212= . b) ( ) 34 2xy \u2212\u2212= . c) 3x2y \u2212= . 
 
d) ( )( )x51
x31y
2
+
\u2212= . e) (