Regra De l'Hospital

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 CAPÍTULO 19 
 
 
 
REGRA DE L’HOSPITAL 
 
Formas e limites indeterminados 
 
Já estudamos limites do tipo 
1x
1xlim
2
1x 


 ou 
1x
1x2lim
x 


. Pela substituição direta 
pode-se originar uma forma indeterminada do tipo 
0
0 ou 

 . Vejamos : 
 
0
0
1x
1xlim
2
1x




, tal resultado nada informa nada informa sobre o limite, por isso, 
para resolvê-lo, vamos fatorar e simplificar, como segue : 
2)1x(lim
1x
)1x).(1x(lim
1x
1xlim
1x1x
2
1x







. 
 
Da mesma forma ... 
 





 1x
1x2lim
x
, daí: 2
01
02lim
x
1
x
x
x
1
x
x2
lim
x
1x
x
1x2
lim
1x
1x2lim
xxx
x
x















. 
 
 
A regra de L’Hospital 
 
 
 Seja ] a, b [ um intervalo que contém c. Sejam f e g funções diferenciáveis em 
] a, b [ , exceto em c. Se o limite de 
)x(g
)x(f quando x tende para c dá a forma indeterminada 
 
0
0 ou 

 , então : 
 
 
)x(g
)x(flim
)x(g
)x(flim '
'
cxcx 
 
 Regra de L’Hospital 
 
 
 Desde que o limite à direita , exista ou seja infinito. 
 
 
 A forma indeterminada 

 apresenta-se em quatro formas: 

 , 

 , 

 ,

 . 
Podemos aplicar a regra de L’Hospital para cada uma delas. 
 
 
 
 
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Exemplos : 
 
1 ) Calcule o limite 
x
1elim
x3
0x


. 
Resolução : 
A aplicação direta dá a forma 
0
0 daí , “por L’Hospital”... 
... 3e3
1
e3lim
)'x(
)'1e(lim
x
1elim 0
x3
0x
x3
0x
x3
0x





. 
 
 
2 ) Calcule o limite 
x
x4senlim
0x
. 
Resolução : 
A aplicação direta dá a forma 
0
0 daí , “por L’Hospital”... 
... 41.40cos4
1
x4cos4lim
)'x(
)'x4(senlim
x
x4senlim
0x0x0x


. 
 
3 ) Calcule o limite 
1e
elim x2
x
x 
. 
Resolução : 
A aplicação direta dá a forma 

 daí , “por L’Hospital”... 
... 0
e2
1lim
)e(2
elim
e2
elim
)'1e(
)'e(lim
1e
elim xx2x
x
xx2
x
xx2
x
xx2
x
x



 
. 
 
4 ) Calcule o limite x
2
x e
xlim

. 
Resolução : 
A aplicação direta dá a forma 

 daí , “por L’Hospital”... 
... 0
e
2lim
)'e(
)'x2(lim
e
x2lim
)'e(
)'x(lim
e
xlim xxxx
H'L
xxx
2
xx
2
x






  . 
 
Obs. : Verifique que podemos aplicar “L’Hospital” várias vezes no mesmo problema. 
 
 
 
 
A regra de L’Hospital pode ser utilizada para comparar a taxa de crescimento de 
duas, ou mais, funções. Consideremos, por exemplo, o limite abaixo : 
 
0
1e
elim x2
x
x


 
 
 
 
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 Ambas as funções : ex bem como e2x + 1 tendem para infinito quando x . 
Todavia, como o quociente 
)x(g
)x(f tende para zero quando x , decorre que o 
denominador cresce mais rapidamente que o numerador. 
 
Outro exemplo : 
 
 As três funções dadas a seguir tendem para infinito quando x . Qual delas 
apresenta crescimento mais rápido ? 
 Funções : 








xln)x(h
e)x(g
x)x(f
x . 
Resolução: 
 
 Aplicando “L’Hospital” temos : 
 
 0
e
xlim xx  , daí concluímos que o crescimento de e
x é mais rápido que o de x. 
 
 0
x
xlnlim
x


, daí concluímos que o crescimento de x é mais rápido que o de lnx. 
 
 0
e
xlnlim xx  , daí concluímos que o crescimento de e
x é mais rápido que o de lnx. 
 
 Resumindo ...








.ocrescimentdetaxaMaiore
.menornem,maiorNemx
.ocrescimentdetaxaMenorxln
x
 
 
Graficamente : 
 
 g(x) = ex 
 y 
 
 
 f(x) = x 
 
 
 h(x) = ln x 
 
 
 
 x 
 
 
 
 
 
0