Análise Matemática1

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1Os Números Naturais são apresentados de forma axiomática pelos postulados de Peano. Isto significa que, ao invés de considerar a existência dos números naturais, Peano considerou a existência dos postulados e, a partir daí, construiu o conjunto dos números naturais. De uma forma coloquial, podemos apresentar os três postulados de que forma?
A
I- Se dois elementos possuem o mesmo sucessor, então eles são iguais. II- O número 1 é o único elemento que não é sucessor de nenhum outro. III- Se o elemento 1 pertence ao conjunto X e se para qualquer elemento n de X o sucessor de n também é elemento de X, então X = N.
B
I- Se dois elementos possuem dois sucessores diferentes, então eles são iguais. II- Todo elemento é sucessor de algum outro elemento. III- Se para qualquer elemento n de X o sucessor de n também é elemento de X, então X = N.
C
I- Se dois elementos possuem o mesmo sucessor, então eles são iguais. II- Todo elemento é sucessor de algum outro elemento. III- Se para qualquer elemento n de X o sucessor de n também é elemento de X, então X = N.
D
I- Se dois elementos possuem o mesmo sucessor, então eles são iguais. II- O número 1 é o único elemento que não possui sucessor. III- Se para qualquer elemento n de X o sucessor de n também é elemento de X, então X = N.
2O conjunto IN = {1, 2, 3, 4, ...} é usado para contagens. De tão natural, IN é chamado de conjunto dos números naturais, o primeiro conjunto numérico que aparece na história de qualquer civilização ou em qualquer tratado sobre os fundamentos da Matemática. Quanto à característica dos números naturais, analise as sentenças a seguir:
I- As propriedades do conjunto dos números naturais podem ser demonstradas a partir dos axiomas de Peano.
II- Todo número natural n tem sucessor e é sucessor de alguém, salvo o número 0, que não tem esta segunda propriedade.
III- O conjunto dos números naturais é bem ordenado, através do conceito de 'maior que'.
IV- Ao compararmos dois números naturais, obrigatoriamente, ou um é menor do que o outro, ou eles são iguais (propriedade da tricotomia).
A
As sentenças I e III estão corretas.
B
As sentenças I, II e IV estão corretas.
C
As sentenças I e IV estão corretas.
D
As sentenças II e III estão corretas.
3Existem alguns métodos de demonstração conhecidos. No entanto, os mais importantes da matemática são os métodos da indução, a demonstração direta e a redução ao absurdo. Sobre a sentença que pode ser provada pelo método da demonstração direta, assinale a alternativa CORRETA:
A
Se m é um número inteiro e m² é um número par, então m também é um número par.
B
Prove que 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n² para todo número natural n.
C
Para todo número real a não nulo, temos que a . 0 = 0.
D
Teorema de Tales.
4Georg Cantor, matemático russo, denominou de conjuntos enumeráveis aqueles conjuntos em que é possível contar e numerar os seus elementos. Assim, é enumerável todo conjunto equipotente ao conjunto dos naturais. Em outras palavras, podemos dizer que um conjunto X é enumerável se:
A
For infinito ou possuir uma bijeção entre o conjunto x e o conjunto dos números naturais.
B
For infinito e possuir uma bijeção entre o conjunto x e o conjunto dos números naturais.
C
For finito e possuir uma bijeção entre o conjunto x e o conjunto dos números naturais.
D
For finito ou possuir uma bijeção entre o conjunto x e o conjunto dos números naturais.
5Existe uma técnica de demonstração muito parecida com a demonstração por absurdo, chamada de contrapositiva. Ela consiste em negar a tese e concluir a negação da hipótese. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta a contrapositiva da seguinte sentença:
Se Paulo come pouco, então Paulo é magro.
A
Paulo não come pouco, e nem é magro.
B
Paulo é gordo e come muito.
C
Paulo é magro e, portanto, come pouco.
D
Se Paulo é gordo, então Paulo come muito.
6Muitas vezes, para provar que um conjunto é enumerável, precisamos construir uma função que associe cada um dos elementos do conjunto a um número natural, em seguida, provamos que esta função é injetora e assim concluímos que o conjunto é enumerável. Qual das seguintes funções dos naturais em X é a função que prova que o conjunto X={1, 2, 6, 24, 120, ...} é enumerável?
A
n!
B
(n-1)n!
C
(n+1)!
D
(n-1)n
7Muitas vezes pensamos que a Análise Matemática procura provar fatos que intuitivamente parecem ser bastante simples. É claro que a matemática que conhecemos hoje é fruto de uma grande quantidade de anos, onde estudos foram cada vez mais aperfeiçoados, sendo que, hoje ainda existem problemas matemáticos ainda não resolvidos. Logo, partindo de um fato simples, a soma de números naturais, analise as sentenças que são provadas matematicamente:
I- Seja n um número natural qualquer, então a soma m + n está bem definida para todo número natural m.
II- Sejam m, n e p três números naturais quaisquer. Então (m + n) + p = m + (n + p).
III- Sejam m, n, temos que m + n = m + (-n).
IV- Seja m natural, temos que m é sucessor de algum número.
Assinale a alternativa CORRETA:
A
As sentenças I e II estão corretas.
B
As sentenças I, II e IV estão corretas.
C
Somente a sentença I está correta.
D
As sentenças II e III estão corretas.
8Muitas vezes, para utilizarmos a demonstração por indução, é necessário primeiramente concluir o termo geral da sequência ou série que se está trabalhando. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta o termo geral da série gerada pela soma dos números naturais:
A
n(n+2)/2
B
n(n²+2)/2n
C
(n²+n)/2
D
(n²+n)/2n
9Normalmente, o ato de somar nos remete a um processo simples. Porém, na análise matemática, podem ser provadas várias propriedades da adição dos números naturais. Estas provas podem ser feitas por indução, e não são tão simples quanto o usual ato de somar números. Sobre quais são propriedades dos números naturais, analise as opções a seguir:
I- Comutatividade.
II- Associatividade.
III- Elemento inverso.
IV- Lei do corte.
Assinale a alternativa CORRETA:
A
As opções II e III estão corretas.
B
As opções I, II e IV estão corretas.
C
As opções I e II estão corretas.
D
As opções III e IV estão corretas.
10Existem alguns métodos de demonstração conhecidos. Porém, os mais importantes da matemática são os métodos da indução, a demonstração direta e a redução ao absurdo. Baseado nestes casos, assinale a alternativa CORRETA que pode ser provada pelo método da indução:
A
Teorema de Tales.
B
Se m é um número inteiro e m² é um número par, então m também é um número par.
C
Prove que 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n² para todo número natural n.
D
Para todo número real a não nulo, temos que a . 0 = 0.