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Aritmétrica

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DION PASIEVITCH
DION PASIEVITCH
ARITMÉTICA
ISBN 978-65-5821-028-3
9 7 8 6 5 5 8 2 1 0 2 8 3
Código Logístico
I000043
Aritmética 
Dion Pasievitch
IESDE BRASIL
2021
© 2021 – IESDE BRASIL S/A. 
É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito do autor e 
do detentor dos direitos autorais.
Projeto de capa: IESDE BRASIL S/A. Imagem da capa: devotchkah/ Envato Elements
Todos os direitos reservados.
IESDE BRASIL S/A. 
Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482. CEP: 80730-200 
Batel – Curitiba – PR 
0800 708 88 88 – www.iesde.com.br
CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO 
SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ
P29a
Pasievitch, Dion
Aritmética / Dion Pasievitch. - 1. ed. - Curitiba [PR] : IESDE, 2021. 
144 p. : il.
Inclui bibliografia
ISBN 978-65-5821-028-3
1. Aritmética. 2. Aritmética - Estudo e ensino. I. Título.
21-71028 CDD: 513
CDU: 511.1
Dion Pasievitch Doutor e Mestre em Matemática pela Universidade 
Federal do Paraná (UFPR). Especialista em Tecnologia 
Java pela Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
(UTFPR). Licenciado em Matemática pela Faculdade 
Estadual de Filosofia, Ciências e Letras de União da 
Vitória. Professor colaborador da Universidade Estadual 
do Paraná desde 2017, onde leciona disciplinas das áreas 
de álgebra, geometria, análise e estatística. 
SUMÁRIO
Agora é possível acessar os vídeos do livro por 
meio de QR codes (códigos de barras) presentes 
no início de cada seção de capítulo.
Acesse os vídeos automaticamente, direcionando 
a câmera fotográ�ca de seu smartphone ou tablet 
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Em alguns dispositivos é necessário ter instalado 
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SUMÁRIO
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1 Teoria elementar dos conjuntos 9
1.1 Conjuntos 9
1.2 Relações binárias 15
1.3 Funções 24
1.4 Relações de ordem 30
1.5 Relações de equivalência 32
2 O conjunto dos números naturais 40
2.1 Axiomas de Peano 40
2.2 Adição e subtração de números naturais 46
2.3 Multiplicação de números naturais 52
2.4 A relação de ordem no conjunto dos números naturais 59
2.5 Princípio da boa ordenação 64
3 O conjunto dos números inteiros 67
3.1 O conjunto ℤ 67
3.2 Adição e subtração de números inteiros 73
3.3 Multiplicação e divisão de números inteiros 78
3.4 Relação de ordem em ℤ 82
3.5 Valor absoluto 86
4 Aritmética no conjunto dos números naturais e inteiros 90
4.1 Divisibilidade 90
4.2 Divisão euclidiana 95
4.3 Máximo divisor comum 98
4.4 Mínimo múltiplo comum 106
4.5 Números primos e o teorema fundamental da aritmética 111
5 Congruências 120
5.1 O pequeno teorema de Fermat 120
5.2 Congruências módulo m 123
5.3 Inteiros módulo m 127
5.4 O teorema chinês dos restos 137
6 Gabarito 141
APRESENTAÇÃO
Vídeo
A aritmética aborda conceitos que estão presentes na formação 
acadêmica de todas as pessoas, desde o ensino básico. Entre estes 
conceitos, os principais são aqueles que envolvem operações algébricas 
com números naturais ou inteiros. Igualmente importante é a possibilidade 
de comparar esses dois conjuntos numéricos. Todos esses assuntos estão 
presentes no dia a dia e, para compreendê-los efetivamente, é necessário 
estudar aritmética sob uma perspectiva mais formal. 
Esta obra está organizada em cinco capítulos. O primeiro deles trata 
de algumas noções preliminares as quais supomos conhecidas, mas que 
são desenvolvidas para fixar notações e discorrer com rigor sobre a teoria. 
Além disso, são relembrados os conceitos de conjuntos e funções, com 
ênfase especial na teoria das relações. Em particular, relações de ordem e 
de equivalência são discutidas cuidadosamente, pois constituem aspectos 
fundamentais para o bom entendimento da teoria. 
O segundo capítulo introduz o conjunto dos números naturais de 
maneira axiomática, por meio dos axiomas de Peano. Partindo dessa 
abordagem, definimos as operações algébricas usuais do conjunto dos 
números naturais – a adição e a multiplicação – e demonstramos suas 
propriedades rigorosamente. Em seguida, discutimos a ordem natural do 
conjunto dos números naturais e apresentamos os princípios da tricotomia 
e da boa ordenação, ambos resultados bastante relevantes do ponto de 
vista teórico. 
O terceiro capítulo aborda o conjunto dos números inteiros e suas 
operações algébricas – adição, multiplicação e subtração –, além de sua 
ordem natural, herdada do conjunto numérico apresentado no capítulo 
anterior. Adotamos uma abordagem construtiva, em que o conjunto dos 
números inteiros é construído com base no conjunto dos números naturais 
por meio de uma relação de equivalência específica. Isso permite que a 
adição, a multiplicação e a ordenação sejam definidas nos termos presentes 
no conjunto dos números naturais. Adicionalmente, é introduzida a 
subtração de inteiros. Por fim, discutimos a versão do princípio da tricotomia 
para o conjunto dos inteiros e a noção de valor absoluto. 
O quarto capítulo aborda a aritmética no conjunto dos números naturais 
e inteiros. Em ambos os conjuntos, vamos definir a relação de divisibilidade, 
demonstrar suas propriedades e deduzir vários resultados importantes. 
Dentre eles, destacam-se o teorema fundamental da aritmética e o teorema 
que mostra a existência de infinitos números primos. Esse último resultado 
é consequência do teorema da decomposição em fatores primos, o qual é 
demonstrado cuidadosamente. 
O quinto e último capítulo apresenta tópicos adicionais que ampliam o 
escopo e o entendimento da teoria. Destacam-se o pequeno teorema de 
Fermat e o teorema chinês dos restos, e a sua conexão com congruências 
lineares. Também são abordados os inteiros módulo m. Esse assunto, em 
particular, é bastante relevante para outras disciplinas de álgebra, dado que 
fornece um modelo de grupo abeliano finito.
Os exercícios foram escolhidos de modo a auxiliar no entendimento dos 
tópicos tratados ao longo desta obra. Em geral, apenas a leitura da teoria será 
suficiente para respondê-los. Enfatizamos que a resolução de exercícios é 
fundamental para aprender novos conceitos em matemática. Sendo assim, 
deve-se formar o hábito de praticar a teoria discutida com os exercícios, 
pois, além de possibilitar que os tópicos sejam revisados, essa prática 
contribui para o desenvolvimento do raciocínio lógico-matemático-formal. 
Esperamos que esta obra contribua com o aprimoramento do 
pensamento matemático e que seja suficientemente interessante para 
motivar a busca por novos conhecimentos, não somente do campo da 
aritmética, mas de outras áreas. Além disso, os tópicos discutidos aqui 
configuram em introdução e motivação para o estudo de diversos outros 
conteúdos nas teorias de grupo, anéis e corpos, e na teoria de números. 
.
Teoria elementar dos conjuntos 9
1
Teoria elementar 
dos conjuntos
A teoria de conjuntos e seus desdobramentos constituem os funda-
mentos da matemática. É por meio da noção de conjuntos que é possível 
definir relações, funções e formalizar diversos conceitos. Neste estudo, é 
primordial que você adquira uma boa familiaridade com a teoria de con-
juntos, mesmo que no nível mais elementar. Pensando nisso, este capí-
tulo apresentará a teoria ingênua dos conjuntos, com ênfase na teoria 
das relações, abrangendo os conceitos de função, relações de ordem e 
de equivalência – assuntos fundamentais para o bom entendimento da 
aritmética.
Entretanto, cabe destacar que o assunto da teoria de conjuntos não 
será encerrado neste capítulo. Tal tarefa seriaimpossível. O objetivo cen-
tral é relembrar alguns conceitos elementares estudados em outras disci-
plinas e fixar a notação.
1.1 Conjuntos
Vídeo Nesta seção, discutiremos noções básicas da teoria ingênua dos conjuntos. O 
qualificador ingênua é utilizado para distinguir essa teoria da teoria axiomática dos 
conjuntos. No nível ingênuo, aceitamos a noção de conjunto de maneira intuitiva; 
já no nível axiomático, desenvolvemos a teoria rigorosamente desde o princípio por 
meio dos axiomas, por exemplo, dos axiomas de Zermello-Frankel. Entretanto, essa 
abordagem axiomática foge ao escopo desta obra e, portanto, a exposição feita 
abrange exclusivamente a teoria ingênua dos conjuntos.
No ensino básico, somos ensinados que um conjunto é uma coleção ou um 
agrupamento de objetos. Este é o entendimento adotado na teoria ingênua dos 
conjuntos e é suficiente para os propósitos deste curso. Contudo, para dar início 
à discussão, é necessário introduzir algumas terminologias e notações.
Os conjuntos, ao longo deste texto, serão denotados, comumente, por le-
tras latinas maiúsculas. Entretanto, em algumas situações serão utilizadas le-
tras maiúsculas estilizadas. Por exemplo, os conjuntos dos números naturais, 
inteiros, racionais, reais e complexos serão denotados, respectivamente, como 
ℕ, ℤ, ℚ, ℝ e ℂ.
10 Aritmética
Conjuntos são, usualmente, formados por elementos que dependem da nature-
za do conjunto. Por exemplo, o conjunto A, das vogais do alfabeto latino, tem como 
elementos: a, e, i, o, u. Nessa situação, escrevemos
A = {a, e, i, o, u}
e dizemos que o conjunto A foi descrito listando-se seus elementos.
Caso um conjunto tenha quantidade finita, com muitos elementos, é possível 
simplificar a escrita. Para ilustrar, considere B o conjunto dos números naturais 
menores que 10. Nesse caso,
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Como é bastante trabalhoso listar todos os elementos de B, é possível utilizar a 
notação alternativa
B = {1, 2, 3, …, 9}
em que os elementos 4, 5, 6, 7 e 8 foram substituídos por reticências. Nesse tipo de 
simplificação, devemos exibir uma quantidade adequada de elementos para que 
fique claro o padrão seguido.
A simplificação da notação também pode ser aplicada no caso de conjuntos com 
infinitos elementos. Por exemplo,
C = {1, 2, 3, …}
denota o conjunto dos números inteiros positivos. Nesse caso, uma quantidade 
infinita de elementos foi omitida.
Entretanto, para evitar qualquer tipo de ambiguidade, é conveniente descrever 
um conjunto com base na propriedade comum que seus elementos possuem. A 
título de ilustração, considere o conjunto X formado pela coleção dos inteiros pares 
positivos. É possível denotar esse conjunto por
X = {2, 4, 6, 8, …}
ou, de maneira mais precisa, como
X = {x : x é um inteiro par positivo}
Perceba que os elementos x de X são identificados por meio da propriedade de 
ser um inteiro par positivo. Portanto, qualquer objeto que cumpra essa proprie-
dade será um elemento do conjunto X. Naturalmente, os únicos elementos que 
satisfazem tal propriedade são os números 2, 4, 6, 8 etc. Dessa forma, é possível 
escrever
X = {x | x é um inteiro par positivo} = {2, 4, 6, 8, …}
que são maneiras diferentes de representar o mesmo objeto matemático: o con-
junto dos inteiros positivos pares.
Geralmente, é possível formar conjuntos da forma
X = {x | P(x)}
É importante usar a notação 
de conjuntos corretamente! É 
necessário, além de abrir e fechar 
as chaves, separar os elementos 
do conjunto com vírgula.
Importante
A notação “:” indica a expressão 
“tal que”. Também podemos 
utilizar o símbolo “|”, o qual será 
adotado nessa obra.
Glossário
Teoria elementar dos conjuntos 11
que lemos “x tal que P(x)”, sendo P(x) alguma propriedade sobre x. Qualquer objeto 
x que torne a propriedade P(x) válida fará parte do conjunto X, ou seja, será um 
elemento de X. 
A discussão acima será formalizada na definição a seguir.
Definição
Seja X = {x | P(x)} um conjunto e x um objeto, são válidas as afirmações:
I. Se x satisfaz a propriedade P(x), isto é, se P(x) é uma proposição verdadeira, escrevemos x ∈ X 
e dizemos que x pertence a X.
II. Se x não satisfaz a propriedade P(x), isto é, se P(x) é uma proposição falsa, escrevemos x ∉ X 
e dizemos que x não pertence a X.
Mais precisamente, é necessário especificar um universo do qual os objetos x serão 
retirados.
Para enfatizar o universo do qual retiramos os elementos que formam o conjun-
to X, podemos escrever
X = {x ∈ U | P(x)}
sendo U o universo. O universo nada mais é que um conjunto do qual retiramos os 
elementos para formar conjuntos determinados. Por exemplo, no caso do conjunto
X = {x ∈ ℝ | P(x)}
está explícito que os elementos de X pertencem ao universo ℝ. Em particular, não 
teria sentido indagar se a vogal “a” pertence ao conjunto X, dado que a vogal “a” 
não é um elemento do universo ℝ. Quando ficar claro o universo considerado, ele 
poderá ser omitido da notação.
Vamos ilustrar a relação de pertinência com alguns exemplos.
Σxemρlo 1
Seja X = {x | x é vogal do alfabeto latino}. Nessa situação, temos, por exemplo, 
que a ∈ X, mas b ∉ X, pois “a” é vogal do alfabeto latino, enquanto “b” não é. Nesse 
caso, o universo natural a ser considerado é o conjunto de vogais do alfabeto lati-
no. A escolha do universo pode variar de acordo com o contexto, mas, geralmente, 
haverá uma escolha mais natural.
É imprescindível compreender que dado um conjunto X = {x ∈ U | P(x)} e um 
objeto x ∈ U, é possível que x seja um elemento de X ou que não seja, conforme 
satisfaça ou não a propriedade P(x). Na maioria das vezes, é necessário testar a 
validade da propriedade P(x) para o objeto x dado, pois em grande parte das si-
tuações práticas e de maior interesse pode não ser claro que o objeto x cumpre a 
propriedade P(x) dada. Isso será ilustrado no exemplo a seguir.
12 Aritmética
Σxemρlo 2
Considere o conjunto X = {x ∈ ℝ | x2 – 2x – 3 = 0}.
Dado o objeto x = 1, não é imediato dizer se x ∈ X ou x ∉ X. É necessário testar se 
x = 1 satisfaz a propriedade x2 – 2x – 3 = 0. Isso é feito substituindo x = 1 na expres-
são x2 – 2x – 3 e verificando se o resultado é igual a 0 (zero). Vejamos,
x2 – 2x – 3 ⇒ 12 – 2 ⋅ 1 – 3 = 1 – 2 – 3 = –4 ≠ 0
Sendo assim, 1 ∉ X, já que 1 não satisfaz a propriedade que define X. Agora, note 
que, por exemplo, se x = 3, temos que
x2 – 2x – 3 ⇒ 32 – 2 ⋅ 3 – 3 = 9 – 6 – 3 = 0
e, portanto, 3 ∈ X, pois satisfaz a propriedade que define o conjunto X.
É importante habituar-se com a ideia do exemplo anterior para que não 
ocorra confusão no momento de decidir se dado objeto é elemento de um con-
junto ou não.
Em muitas situações, é necessário verificar que um dado conjunto é igual a ou-
tro. Para isso, devemos definir a igualdade entre conjuntos, que será baseada na 
relação de inclusão, definida a seguir.
Definição
Sejam X e Y conjuntos. Dizemos que X está contido em Y e escrevemos X ⊂ Y, se todo elemento 
de X é um elemento de Y. Caso X não esteja contido em Y, escrevemos X ⊄ Y.
Dizer que X não está contido em Y significa que existe pelo menos um elemento 
de X que não é elemento de Y. O seguinte exemplo ilustra a relação de inclusão.
Σxemρlo 3
Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2}. Nessa situação, B ⊂ A, pois 
todo elemento de B é elemento de A, mas A ⊄ B, pois, por exemplo, 3 é um elemen-
to de A que não é elemento de B.
Muitas vezes, é necessário um raciocínio mais elaborado para verificar que um 
dado conjunto está contido em outro, conforme exemplificamos a seguir.
Teoria elementar dos conjuntos 13
Σxemρlo 4
Considere os conjuntos A = {1, 0, –1} e B = {x ∈ ℝ | x2 – 1 = 0}. Nesta situação, 
A ⊄ B, pois 0 ∉ B, já que 02 – 1 = –1 ≠ 0. Porém, temos que B ⊂ A, pois se x ∈ B, então 
x satisfaz a equação x2 – 1 = 0, ou seja, (x + 1)(x – 1) = 0 e, portanto, x = 1 ou x = –1. 
Sendo assim, x ∈ A.
Após compreender a noção de inclusão de conjuntos, podemos definir quando 
dois conjuntos são iguais.
Definição
Sejam X e Y dois conjuntos com omesmo universo. Dizemos que X é igual a Y caso X ⊂ Y e 
Y ⊂ X. Neste caso, escrevemos X = Y.
Em outras palavras, a definição anterior enuncia que dois conjuntos são iguais 
se, e somente se, eles possuem os mesmos elementos.
Por definição, para demonstrar que um conjunto X é igual a um conjunto Y, 
devemos verificar duas inclusões: X ⊂ Y e Y ⊂ X. Para verificar que X ⊂ Y, considera-
mos um elemento qualquer x ∈ X e mostramos que x ∈ Y. Para mostrar a segunda 
inclusão, Y ⊂ X, consideramos um elemento qualquer x ∈ Y e verificamos que x ∈ X. 
Isto será ilustrado no exemplo a seguir.
Σxemρlo 5
Considere os conjuntos X = {x ∈ ℝ | x2 + x – 2 = 0} e Y = {–2, 1}. Temos que
X = Y
Para demonstrar isso, verificamos inicialmente que Y ⊂ X. De fato, se x ∈ Y, então 
x = –2 ou x = 1. Se x = –2, então
x2 + x – 2 ⇒ (–2)2 + (–2) –2 = 4 – 2 – 2 = 0
e se x = 1, então
x2 + x – 2 ⇒ 12 + 1 – 2 = 1 + 1 – 2 = 0
Portanto, em qualquer caso x ∈ X. Perceba que partimos de um elemento arbi-
trário x ∈ Y e deduzimos que x ∈ X. Essa é a forma geral para mostrar a inclusão de 
um conjunto em outro. Resta verificar a inclusão contrária X ⊂ Y. Para tanto, tome 
um elemento x ∈ X. Nesse caso, pela definição do conjunto X, temos que x é um 
número real que satisfaz a equação
x2 + x – 2 = 0
(Continua)
14 Aritmética
Essa é uma equação do segundo grau que pode ser resolvida facilmente por 
meio da fórmula de Bhaskara. Uma aplicação desse dispositivo permite deduzir 
que x = –2 ou x = 1. Portanto, x ∈ Y, mostrando assim que X ⊂ Y. Uma vez que são 
válidas ambas as inclusões X ⊂ Y e Y ⊂ X, resulta que X = Y.
A seguir, serão apresentadas formas de combinar dois conjuntos de modo a 
obter um terceiro conjunto.
Definição
Sejam X e Y conjuntos definidos em um mesmo universo U. Definimos:
I. A interseção de X e Y como o conjunto
X∩Y = {x ∈ U | x ∈ X e x ∈ Y}
 Lemos o conjunto X∩Y como “x inter y”.
II. A reunião de X e Y como o conjunto
X∪Y = {x ∈ U | x ∈ X ou x ∈ Y}
III. Caso X ⊂ Y, o complementar de X em relação a Y como o conjunto
Y∖X = {x ∈ U | x ∈ Y e x ∉ X}
IV. O complementar de X como o conjunto
Xc = {x ∈ U | x ∉ X}
Em outras palavras, a interseção de dois conjuntos consiste em elementos do 
universo que são comuns a ambos os conjuntos. Já a reunião de dois conjuntos 
consiste em todos aqueles elementos do universo que pertencem a um ou a outro 
conjunto ou a ambos.
O complementar de X em relação a Y consiste em todos os elementos do uni-
verso que pertencem apenas a Y e não a X. Note que, em geral, X\Y é diferente de 
Xc, pois esse segundo conjunto consiste em todos os elementos do universo que 
não pertencem a X.
A seguir, serão apresentados alguns exemplos envolvendo a definição exposta 
anteriormente.
Σxemρlo 6
Considere os conjuntos X = {1, 2, 3} e Y = {1, 2, 4}, no universo U = {1, 2, 3, 4, 5}. 
Nesse caso, temos que
 • X∩Y = {x ∈ U | x ∈ X e x ∈ Y} = {1, 2};
 • X∪Y = {x ∈ U | x ∈ X ou x ∈ Y} = {1, 2, 3, 4};
 • Y∖X = {x ∈ U | x ∈ Y e x ∉ X} = {4};
 • Xc = {x ∈ U | x ∉ X} = {4, 5}.
Teoria elementar dos conjuntos 15
O próximo exemplo envolve um raciocínio mais elaborado.
Σxemρlo 7
Considere os conjuntos X = {x ∈ ℕ | x divide 10} e Y = {x ∈ ℕ | x é par}. Nesse 
caso, temos que
 • X∩Y = {x ∈ ℕ | x divide 10 e x é par} = {2, 10};
 • X∪Y = {x ∈ ℕ | x divide 10 ou x é par} = {0, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …};
 • X∖Y = {x ∈ ℕ | x divide 10 e x não é par} = {1, 5};
 • Yc = {x ∈ ℕ | x não é par} = {1, 3, 5, 7, …}.
É importante se familiarizar com o tipo de raciocínio presente nos exemplos 
anteriores, pois é algo que se repete constantemente ao se estudar qualquer disci-
plina que envolva conjuntos.
O livro Iniciação à lógica 
matemática é um clássico 
utilizado nos cursos de li-
cenciatura em Matemática. 
Nele, podemos encontrar 
uma exposição detalhada 
das construções lógicas 
envolvendo proposições. 
É um bom complemento 
para a o estudo da teoria 
de conjuntos.
FILHO, E. A. São Paulo: Nobel, 2002.
Livro
1.2 Relações binárias
Vídeo Em matemática, ao se estudar determinados tipos de objetos, procuramos com-
preender as relações entre eles. Por exemplo, ao se estudar conjuntos, buscamos 
entender as relações entre conjuntos. Ao se estudar espaços vetoriais, na álgebra 
linear, tentamos compreender as relações existentes entre espaços vetoriais. Esse 
tipo de raciocínio permeia toda a matemática. E o que seriam essas relações? Elas 
podem assumir formas bastante distintas: funções, relações de ordem ou de equi-
valência, entre outras possibilidades.
Nesta seção, serão discutidos os tópicos necessários para que seja possível 
compreender plenamente os conceitos de funções, relações de ordem e relações 
de equivalência. Esses conceitos estarão presentes durante toda sua formação em 
Matemática. O ponto de partida é a definição de produto cartesiano de conjuntos.
Definição
Sejam X e Y conjuntos. O produto cartesiano de X por Y é o conjunto
X × Y ≔ {(x, y) | x ∈ X e y ∈ Y}
Os elementos (x, y) deste conjunto são denominados pares ordenados.
Note que, a princípio, um par ordenado (x, y) é apenas um sím-
bolo. Não o definimos explicitamente. Embora seja possível fazê-lo, 
não é conveniente para nossos propósitos. Mas como vai ser pos-
sível desenvolver a teoria sem efetivamente definir o que é um par 
ordenado?
O símbolo “≔” significa “igual 
por definição”.
Glossário
16 Aritmética
Na prática, será suficiente o entendimento de que os elementos de X × Y são 
pares (x, y) cuja primeira entrada consiste em um elemento de X e a segunda, em 
um elemento de Y. Adicionalmente, é necessário também saber quando dois pares 
ordenados são iguais. Isto é definido a seguir.
Definição
Dizemos que dois pares ordenados (x, y) e (z, w) de X × Y são iguais e escrevemos (x, y) = (z, w) 
se, e somente se, x = z e y = w, ou seja,
(x, y) = (z, w) ⇔ x = z e y = w
Você pode indagar, e com razão: mas X × Y não é simplesmente o conjunto 
{x, y | x ∈ X, y ∈ Y} de todos os elementos possíveis que se pode tomar de X e Y? 
Acontece que não. Para compreender isso, note que em X × Y os elementos (x, y) e 
(y, x) são diferentes, enquanto ambos dão origem aos mesmos elementos do con-
junto {x, y | x ∈ X, y ∈ Y}.
Para consolidar o entendimento, vamos apresentar alguns exemplos.
Σxemρlo 8
Sejam X = {a, b} e Y = {1}. Nesse caso, X × Y = {(a, 1), (b, 1)}.
Note que, por exemplo, (a, 1) ∈ X × Y, mas (1, a) ∉ X × Y. De fato, (1, a) não poderia 
pertencer ao conjunto X × Y, visto que 1 ∉ X. Contudo, note que
(1, a) ∈ Y × X = {(1, a), (1, b)}
Isso também ilustra o fato geral que X × Y ≠ Y × X.
Suponha X e Y dois conjuntos finitos. O raciocínio para obter todos os elementos 
de X × Y é simples: fixamos um elemento de X na primeira entrada do par ordenado 
e percorremos todo o conjunto Y, formando todos os pares ordenados possíveis 
com a primeira entrada que foi fixada.
Em seguida, já esgotados os elementos de Y, fixamos o próximo elemento de X 
na primeira entrada do par ordenado e repetimos o procedimento, variando todos 
os elementos possíveis de Y na segunda entrada.
Prosseguimos com essa ideia até esgotar todos os elementos de X. Obviamente, 
esse raciocínio é aplicável apenas quando X e Y têm um número finito de elemen-
tos. Contudo, também tem sentido formar produtos cartesianos com conjuntos 
infinitos, conforme será ilustrado a seguir.
Teoria elementar dos conjuntos 17
Σxemρlo 9
Sejam X = ℝ e Y = {1, 2}. Note que ℝ é um conjunto infinito. Nessa situação, o 
produto cartesiano ℝ × Y é dado por
ℝ × Y = {(x, 1), (y, 2) | x, y ∈ ℝ}
Note que, nesse caso, ℝ × Y também é um conjunto infinito.
Naturalmente, é possível formar o produto cartesiano de dois conjuntos infini-
tos, conforme verificamos a seguir.
Σxemρlo 10
Sejam X = ℝ e Y = ℤ. Nesse caso, tanto ℝ quanto ℤ são infinitos e o produto car-
tesiano ℝ × ℤ é dado por
ℝ × ℤ = {(x, y) | x ∈ ℝ e y ∈ ℤ}
Em particular, ℝ × ℤ também possui infinitos elementos.
Mas afinal, qual é a utilidade prática para o produto cartesiano de dois conjun-
tos? A grandeutilidade está no fato de que o produto cartesiano permite capturar 
relações existentes entre dois conjuntos. Para elaborar a respeito, é necessário de-
finir o que se entende por relação entre conjuntos.
Definição
Sejam X e Y conjuntos. Uma relação de X em Y é um subconjunto
ℛ ⊂ X × Y
Nesse caso, se (x, y) ∈ ℛ, dizemos que x se relaciona com y por meio de ℛ, e escrevemos xℛy 
(lê-se x “erre” y). Caso X = Y, dizemos que ℛ é uma relação em X.
Por definição, uma relação de X em Y é meramente um subconjunto do produ-
to cartesiano X × Y, ou seja, uma escolha de certos pares ordenados pertencentes 
a X × Y.
Cabe salientarmos que a notação xℛy significa efetivamente a pertinência (x, y) 
∈ ℛ. Em particular, é possível escrever ℛ como o conjunto
ℛ = {(x, y) ∈ X × Y | xℛy}
18 Aritmética
A razão de introduzir a notação xℛy se dá pela praticidade, principalmente 
quando estudamos as relações de ordem e de equivalência.
Note que, de acordo com nossa definição, qualquer subconjunto do produto 
cartesiano X × Y é uma relação de X em Y. Sendo assim, a noção de relação ainda 
não tem qualquer utilidade prática. Para ser útil, é necessário restringir o estudo 
a relações que tenham propriedades particulares. Isso será feito ao longo desta 
seção. Mas, antes de prosseguir, vamos observar alguns exemplos.
Σxemρlo 11
Sejam X = {a, b} e Y = {1}. Nessa situação,
X × Y = {(a,1), (b,1)}
Em particular, as relações possíveis de X em Y são:
 • ℛ1 = ϕ;
 • ℛ2 = {(a,1)};
 • ℛ3= {(b,1)};
 • ℛ4 = X × Y.
Não existem quaisquer outras relações de X em Y, dado que ϕ, ℛ2, ℛ3 e X × Y são 
os únicos subconjuntos de X × Y.
Conforme ilustrado no exemplo anterior, o conjunto vazio ϕ e o próprio produto 
cartesiano X × Y sempre são relações de X em Y.
Caso um dos conjuntos X ou Y seja infinito não é possível listar todas as rela-
ções possíveis de X em Y, dado que, nessa situação, existem infinitos subconjuntos 
de X × Y. No entanto, é possível trabalhar com relações nessa situação, conforme 
exemplificado a seguir.
Σxemρlo 12
Sejam X = ℝ e Y = ℝ. Considere
ℛ ≔ {(x, y) ∈ ℝ × ℝ | x + y = 1}
Por definição, ℛ é subconjunto de ℝ × ℝ e, portanto, é uma relação em ℝ. Por 
exemplo, temos que 0ℛ1, pois (0, 1) ∈ ℝ × ℝ e 0 + 1 = 1.
Porém, 0 (zero) não se relaciona com 2 por meio de ℛ, mesmo que (0, 2) ∈ ℝ × ℝ. 
De fato, temos que 0 + 2 = 2 ≠ 1 e, portanto, (0, 2) ∉ ℛ. É conveniente escrever a 
relação ℛ como
ℛ = {(x, 1 – x) | x ∈ ℝ}
pois nesta escrita, é possível determinar diretamente todos os membros da relação 
ℛ, bastando percorrer todos os x ∈ ℝ.
(Continua)
Teoria elementar dos conjuntos 19
Em particular, é possível interpretar geometricamente a relação ℛ. Para isso, 
desenhe dois eixos ortogonais em um plano. O eixo horizontal representará o con-
junto das primeiras entradas dos pares pertencentes a ℛ, enquanto o eixo vertical 
representará o conjunto das segundas entradas dos pares pertencentes a ℛ. A re-
lação ℛ corresponde à reta passando pelos pontos (0, 1) e (1, 0), respectivamente, 
conforme ilustramos na Figura 1.
Figura 1
Reta que representa a relação ℛ
ℝ
ℝ
ℛ
1
10
Fonte: Elaborada pelo autor.
As relações que aparecem na prática são mais que um mero subconjunto de um 
produto cartesiano. Em geral, elas costumam ter determinadas propriedades, que 
podem ser variadas; algumas delas serão apresentadas a seguir, principalmente 
aquelas que serão úteis em nossos estudos.
Definição
Seja X um conjunto e ℛ uma relação em X. Dizemos que ℛ é uma relação:
I. Reflexiva, se xℛx, para todo x ∈ X.
II. Simétrica, se dados x, y ∈ X, tais que xℛy, então yℛx.
III. Antissimétrica, se dados x, y ∈ X, tais que xℛy e yℛx, então x = y.
IV. Transitiva, se dados x, y, z ∈ X, tais que xℛy e yℛz, então xℛz.
Note que as propriedades I, II e III não teriam sentido no caso de uma relação 
ℛ ⊂ X × Y com X ≠ Y. Essa é a razão pela qual restringimo-nos às relações em X.
A seguir, serão apresentados alguns exemplos de relações que tenham as pro-
priedades da definição anterior.
Σxemρlo 13
Considere o conjunto X = {1, 2, 3} e a relação
ℛ = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)}
Essa relação é reflexiva, pois 1ℛ1, 2ℛ2 e 3ℛ3, ou seja, xℛx, para todo x ∈ X.
20 Aritmética
A seguir, temos um exemplo de relação simétrica e de uma relação que não é 
simétrica.
Σxemρlo 14
Considere X = {1, 2, 3, …} o conjunto dos inteiros positivos e defina
xℛy ⇔ x + y = 12
Note que é possível escrever ℛ como:
ℛ = {(x, y) ∈ X × X | x + y = 12}
mas isso não é estritamente necessário para a discussão. Temos que essa relação 
é simétrica, pois se x, y ∈ X são tais que xℛy, então
x + y = 12
e, portanto,
y + x = 12
ou seja, yℛx.
Contudo, a relação
x𝒮y ⇔ x divide y
não é simétrica. De fato, temos que, por exemplo, 3𝒮6, já que 3 divide 6, mas 6 não 
se relaciona com 3 por meio de 𝒮, dado que 6 não divide 3.
O próximo exemplo fornece a ilustração de uma relação antissimétrica.
Σxemρlo 15
Considere o conjunto dos inteiros positivos X = {1, 2, 3, …} e
xℛy ⇔ x divide y
Essa relação é antissimétrica, pois, se xℛy e yℛx, temos que x divide y e y divide x. 
 Isso só pode acontecer caso x = y. No exemplo anterior, mostramos que ℛ não é 
simétrica.
Finalmente, o próximo exemplo fornece uma relação que é transitiva.
Σxemρlo 16
Seja X o conjunto de triângulos no plano. Definimos ℛ ⊂ X × X da seguinte forma:
T1ℛT2 ⇔ T1 é semelhante a T2
(Continua)
Teoria elementar dos conjuntos 21
Essa é uma relação transitiva. De fato, se T1, T2 e T3 são triângulos tais que T1ℛT2 
e T2ℛT3, então T1 é semelhante a T2 e T2 é semelhante a T3. Logo, utilizando a geo-
metria plana, segue que T1 é semelhante a T3, ou seja, T1ℛT3, mostrando assim a 
transitividade.
De fato, ℛ também é reflexiva e simétrica, pois todo triângulo é semelhante a 
si próprio e, se um triângulo é semelhante a outro, então este é semelhante ao 
primeiro.
Toda relação tem um domínio, um contradomínio e uma imagem. Isso é im-
portante, sobretudo, para que possamos discutir funções injetivas, sobrejetivas e 
bijetivas. A definição do domínio, do contradomínio e da imagem de uma relação é 
apresentada a seguir.
Definição
Sejam X e Y conjuntos e ℛ ⊂ X × Y uma relação de X em Y. Então:
I. O domínio de ℛ é o conjunto
D(ℛ) ≔ {x ∈ X | ∃ y ∈ Y; xℛy}.
II. O conjunto de partida de ℛ é o conjunto X.
III. O conjunto de chegada ou contradomínio de ℛ é o conjunto Y.
IV. A imagem de ℛ é o conjunto
I(ℛ) ≔ {y ∈ Y | ∃ x ∈ X; xℛy}.
Em outras palavras, o domínio de uma relação é o conjunto de todas as primei-
ras entradas dos pares ordenados que pertencem a ℛ, enquanto a imagem é o 
conjunto de todas as segundas entradas de tais pares.
O conjunto de partida é simplesmente o conjunto X do produto cartesiano X × Y, 
já o contradomínio é o conjunto Y de X × Y. Geralmente, a imagem de uma relação 
pode ser diferente de seu conjunto de chegada, bem como o domínio pode ser 
diferente do conjunto de partida. Isso será esclarecido nos próximos exemplos.
Σxemρlo 17
Considere os conjuntos
X = {1, 2, 3, 4, 5} e Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Definimos a relação ℛ ⊂ X × Y por
xℛy ⇔ y = 2x
Nessa situação,
ℛ = {(x, y) ∈ X × Y | y = 2x} = {(x, 2x) | x ∈ X}
 = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}
(Continua)
22 Aritmética
Em particular, temos que
D(ℛ) = {1, 2, 3, 4, 5} = X
 I(ℛ) = {2, 4, 6, 8, 10}
Nesse caso, a imagem de ℛ é diferente do contradomínio Y de ℛ.
No exemplo anterior, o domínio da relação ℛ ⊂ X × Y coincidia com todo o con-
junto X. Isso nem sempre é válido para uma relação, conforme exemplificamos a 
seguir.
Σxemρlo 18
Considere os conjuntos X = {–2, –1, 0, 1, 2} e Y = {–1, 0, 1}. Definimos a relação 
ℛ ⊂ X × Y por
xℛy ⇔ x2 + y2 = 1
Nesse caso,
ℛ = {(x, y) ∈ X × Y | x2 + y2 = 1} = {(–1, 0), (0, 1), (0, –1), (1, 0)}
Consequentemente,
D(ℛ) = {–1, 0, 1} ≠ X
enquanto
I(ℛ) = {–1, 0, 1} = Y
Nessa situação, o conjunto de partida é X, mas o domínio é diferente de X.
Toda relação possui uma relação inversa, conforme definimos a seguir.
Definição
Sejam Xe Y conjuntos e ℛ ⊂ X × Y uma relação. A inversa de ℛ é a relação
ℛ–1 ⊂ Y × X
definida por
yℛ–1x ⇔ xℛy
com x ∈ X e y ∈ Y.
Em termos de conjuntos, é possível escrever a relação inversa de ℛ como
ℛ–1 = {(y, x) ∈ Y × X | (x, y) ∈ ℛ}
Em outras palavras, ℛ–1 é obtida por meio de ℛ invertendo-se a ordem dos pares 
ordenados pertencentes a ℛ. Vamos ilustrar isso com um exemplo.
Teoria elementar dos conjuntos 23
Σxemρlo 19
Sejam X = {1, 2, 3} e Y = {a, b}. Considere a relação
ℛ = {(1, a), (1, b), (2, a), (3, b)} ⊂ X × Y
Neste caso,
ℛ–1 = {(a, 1), (b, 1), (a, 2), (b, 3)} ⊂ Y × X
Note que, pela definição,
 • D(ℛ–1) = I(ℛ);
 • I(ℛ–1) = D(ℛ);
 • (ℛ–1)–1 = ℛ.
ou seja, o domínio da relação inversa coincide com a imagem da relação dada; a 
imagem da relação inversa coincide com o domínio da relação dada; e, finalmente, 
a inversa da relação inversa coincide com a relação original dada.
No âmbito das relações, há uma operação entre elas que merece destaque. É a 
operação de composição de relações, definida a seguir.
Definição
Sejam X, Y e Z conjuntos e ℛ ⊂ X × Y e 𝒮 ⊂ Y × Z relações. Definimos a composta de ℛ e 𝒮, 
denotada por 𝒮 ∘ ℛ (lê-se “s bola r”) como a relação de X em Z definida por
x𝒮 ∘ ℛz ⇔ ∃ y ∈ Y, tal que xℛy e yℛz
com x ∈ X e z ∈ Z.
Em termos de conjuntos, é possível escrever a relação S ∘ ℛ como
𝒮 ∘ ℛ = {(x, z) ∈ X × Z | ∃ y ∈ Y; (x, y) ∈ ℛ e (y, z) ∈ 𝒮}
Note que, por definição, 𝒮 ∘ ℛ é uma relação de X em Z. Além disso, para que te-
nha sentido, é necessário que o conjunto de chegada de ℛ coincida com o conjunto 
de partida de 𝒮.
A seguir, exemplificamos a definição de relação composta.
Σxemρlo 20
Sejam X = {1, 2, 3, 4}, Y = {m, n, p, q} e Z = {5, 6, 7, 8}. Considere as relações
ℛ = {(1, m), (1, n), (2, m), (3, q), (4, q)} ⊂ X × Y
𝒮 = {(n, 5), (n, 6), (p, 8), (q, 7)} ⊂ Y × Z
Como o conjunto de chegada de ℛ coincide com o conjunto de partida de 𝒮, é 
possível formar a composição 𝒮 ∘ ℛ, que é dada por
(Continua)
24 Aritmética
𝒮 ∘ ℛ = {(1, 5), (1, 6), (3, 7), (4, 7)}
Note que para obter 𝒮 ∘ ℛ basta observar atentamente aqueles pares em ℛ cuja 
segunda entrada aparece como primeira entrada dos pares em 𝒮.
Para finalizar esta seção, vamos introduzir uma relação especial, denominada 
relação identidade. Ela é importante na discussão de funções.
Definição
Seja X um conjunto. A identidade de X é a relação em X definida por
xℛy ⇔ x = y
sendo x, y ∈ X.
Em termos de conjuntos, id
X 
= {(x, x) | x ∈ X}
Para compreender melhor a definição de relação identidade, acompanhe o 
exemplo a seguir. 
Σxemρlo 21
Se X = {a, b}, então idX = {(a, a), (b, b)}.
Note que se ℛ ⊂ X × Y é uma relação qualquer, então
ℛ ∘ idX = ℛ e idY ∘ ℛ = ℛ
Em outras palavras, compor uma relação com a identidade não tem qualquer 
efeito.
1.3 Funções
Vídeo Anteriormente, apresentamos alguns tipos de relações que existem em um 
mesmo conjunto: reflexiva, simétrica, antissimétrica e transitiva. E quanto ao caso 
de relações entre conjuntos distintos? Nessa situação, as relações mais relevantes 
são as funções. Em particular, toda função é uma relação, conforme será definido 
a seguir.
O livro Relações binárias, 
escrito Edgard de Alencar 
Filho, é excelente para 
aprofundar o conhecimen-
to a respeito dessas rela-
ções. A obra é recheada 
de exemplos e exercícios, 
sendo um complemento 
perfeito para os tópicos 
estudados nessa seção.
FILHO, E. A. São Paulo: Nobel, 1984.
Livro
Teoria elementar dos conjuntos 25
Definição
Sejam X e Y conjuntos. Uma função de X em Y é uma relação f ⊂ X × Y tal que:
I. Para todo x ∈ X, existe y ∈ Y tal que xfy.
II. Se x ∈ X, y, y’ ∈ Y são tais que xfy e xfy’, então y = y’.
Nesse caso, escrevemos y = f(x) para significar xfy e a relação f ⊂ X × Y é denotada por f: X → Y.
A definição anterior pode ser resumida ao afirmarmos que uma função f de X 
em Y é uma relação que associa a cada elemento de X um único elemento de Y. In-
tuitivamente, devemos pensar em uma função de X em Y como um dispositivo que 
pega um elemento x ∈ X e o transforma em um elemento y ∈ Y, sendo y unicamente 
determinado.
A seguir serão apresentados alguns exemplos de funções.
Σxemρlo 22
Defina a relação f ⊂ ℝ × ℝ como
xfy ⇔ y = x2
Essa relação representa uma função de ℝ em ℝ. De fato,
I. Dado x ∈ ℝ, temos que x2 = x2, logo xfx2;
II. Se x, y, y’ ∈ ℝ são tais que xfy e xfy’, então y = x2 e y’ = x2, implicando em y = y’.
Portanto, as condições I e II da definição anterior estão satisfeitas e, assim, f 
trata-se de uma função. Perceba que, em termos de conjuntos, temos
f = {(x, y) | y = f(x)} = {(x, y) | y = x2} = {(x, x2) | x ∈ ℝ}
Note que, por definição, um elemento x ∈ ℝ está relacionado ao elemento x2 ∈ ℝ 
por meio de f e a nenhum outro. Nesse sentido, observamos que f transforma o 
elemento x ∈ ℝ no elemento x2 ∈ ℝ.
Na seção anterior discutimos a relação identidade. Essa relação é sempre uma 
função, conforme explicamos a seguir.
Σxemρlo 23
Seja X um conjunto e idX a relação identidade. Temos que idX é uma função. De 
fato,
idX = {(x, x) | x ∈ X}
e, portanto, D(idX) = X. Além disso, se x, y, y’ ∈ X são tais que (x, y), (x, y’) ∈ idX, então, 
pela definição de idX, segue que y = x = y’.
(Continua)
26 Aritmética
Portanto, idX: X → X é uma função. Note que,
xidXy ⇔ (x, y) ∈ idX ⇔ y = x ⇔ x = idX(x)
Portanto, idX(x) = x, qualquer que seja x ∈ X.
É importante ilustrar que nem toda relação constituirá uma função. Isso é feito 
no exemplo a seguir.
Σxemρlo 24
Considere a relação f ⊂ ℝ × ℝ definida por
xfy ⇔ x2 + y2 = 1
Nesse caso,
f = {(x, y) ∈ ℝ × ℝ | x2 + y2 = 1}
É possível ilustrar f no plano cartesiano como um círculo unitário centrado em 
(0, 0), como na Figura 2.
Figura 2
Círculo unitário centrado na origem
–1 1
Fonte: Elaborada pelo autor.
Embora f seja uma relação em ℝ, f não é uma função. De fato, considerando, por 
exemplo, x = –2, não existe y ∈ ℝ tal que xfy. Em particular, a definição de função 
não fica satisfeita.
Dentre as funções que aparecem com frequência na matemática, destacamos 
as funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras. Tais classes de funções serão defini-
das a seguir.
Teoria elementar dos conjuntos 27
Definição
Sejam X e Y conjuntos. Dizemos que uma função f: X → Y é:
I. Injetora, se para todo x, y ∈ X tais que x ≠ y, temos f(x) ≠ f(y).
II. Sobrejetora, se para todo y ∈ Y, existe x ∈ X tal que y = f(x).
III. Bijetora, se f é injetora e sobrejetora.
Dizer que uma função é injetora significa que ela transforma elementos diferen-
tes no domínio em elementos diferentes no contradomínio.
Já a sobrejetividade de uma função significa que todo elemento de seu contra-
domínio é um elemento de sua imagem. Como a imagem é sempre um subcon-
junto do contradomínio, a sobrejetividade significa, precisamente, que a imagem é 
igual ao contradomínio.
Em geral, para mostrar que uma função f: X → Y é injetora, costumamos utilizar 
a forma contrapositiva da proposição enunciada em I. Em outras palavras, uma 
função f: X → Y é injetora se, sempre que x, y ∈ X são tais que f(x) = f(y), temos que 
x = y. Isso é esclarecido com o exemplo a seguir.
Σxemρlo 25
Considere a função f: ℝ → ℝ definida por f(x) = 2x – 1. Essa função é injetora, pois 
se x, y ∈ ℝ são tais que f(x) = f(y), então
2x – 1 = 2y – 1
Portanto, adicionando 1 a ambos os membros e, em seguida, fazendo a divisão 
por 2, resulta que x = y.
No caso de funções numéricas, a sobrejetividade também pode ser verificada 
resolvendo uma equação, conforme ilustrado a seguir.
Σxemρlo 26
A função f: ℝ → ℝ definida por f(x) = 2x – 1 é sobrejetiva. De fato, dado y ∈ ℝ 
desejamos verificar a existência de x ∈ ℝ tal que y = f(x), ou seja, tal que
y = 2x – 1
Resolvendo essa equação para o y dado, temos que
x y� �1
2
(Continua)
28 Aritmética
Agora, é importante garantir que x pertence ao domínio da função. Neste exem-
plo, é o caso, pois
x y� �1
2
 ∈ ℝ
O fato de ter sido possível resolver a equação y = f(x) para um elemento x no 
domínio de f assegura a sobrejetividadede f.
Note que a função utilizada nos últimos dois exemplos é bijetiva, pois demons-
tramos que ela é tanto injetora, quanto sobrejetora.
Particularmente, as funções bijetoras são de extrema importância para a 
matemática e, certamente, estarão presentes ao longo de todo nosso estudo. 
Tais funções possuem a característica de admitirem uma inversa, conforme 
demonstramos a seguir.
Teorema
Sejam X e Y conjuntos e f: X → Y uma função. A relação inversa f–1 ⊂ Y × X é uma 
função se, e somente se, f é bijetora.
Demonstração
Suponha que f–1 seja uma função. Para verificar a injetividade de f, considere 
x, y ∈ X tais que f(x) = f(y). Nesse caso, (x, f(y)) ∈ f e, portanto, (f(y), x) ∈ f–1.
Porém, (y, f(x)) ∈ f e, portanto, (f(x), y) ∈ f–1. Como f(x) = f(y), temos que z = f(x) = f(y) 
é tal que (z, x), (z, y) ∈ f–1. Sendo f–1 função, decorre que x = y. Em particular, f 
é injetora.
Resta verificar que f é sobrejetora. Para tanto, considere y ∈ Y. Sendo f–1 uma 
função e y ∈ D(f–1), existe x ∈ X tal que (y, x) ∈ f–1. Mas isso significa que (x, y) ∈ f, ou 
seja, y = f(x). Portanto, f é sobrejetora.
Por outro lado, suponha que f seja bijetora. Para mostrar que f–1 é função é ne-
cessário verificar:
 • D(f–1) = Y;
 • Se (y, z1), (y, z2) ∈ f–1, então z1 = z2.
A igualdade D(f–1) = Y é imediata, pois como f é sobrejetora, temos que I(f) = Y e, 
portanto,
D(f–1) = I(f) = Y
Suponha então que (y, z1), (y, z2) ∈ Y × X são tais que (y, z1), (y, z2) ∈ f–1. Isso sig-
nifica que (z1, y), (z2, y) ∈ f, ou seja, y = f(z1) = f(z2). Sendo f injetora, deduzimos que 
z1 = z2. Portanto, f
–1 é função.
∎
∎: significa que a demonstracao
foi encerrada. Isso auxilia a
leitura, pois separa o argumento
e a demonstracao do restante
do texto. 
Glossário
Teoria elementar dos conjuntos 29
Em resumo, sempre que f: X → Y é uma função bijetora, existe a função inversa 
f–1: Y → X. Cabe destacar que a relação inversa f–1 sempre existe, porém, só é uma 
função quando f é bijetora.
O seguinte resultado é bastante útil na prática.
Teorema
Uma função f: X → Y é uma função bijetora se, e somente se, existe uma função 
g: Y → X, tal que f ∘ g = idY e g ∘ f = idX. Neste caso, g = f–1.
Demonstração
Suponha que f é bijetora. Neste caso, existe a função g ≔ f–1: Y → X. Além disso,
g ∘ f = f–1 ∘ f = idY e f ∘ g = f ∘ f–1 = idX
Por outro lado, suponha que exista g: Y → X, tal que
f ∘ g = idY e g ∘ f = idX
É necessário verificar que f é bijetora. Vamos mostrar que g = f–1. Para isso, con-
sidere (y, x) ∈ g, ou seja, x = g(y). Nesse caso, temos que
f(x) = f(g(y)) = (f ∘ g)(y) = idY(y) = y
e, portanto, (x, y) ∈ f, ou seja, (y, x) ∈ f–1. Isso mostra a inclusão g ⊂ f–1.
Resta verificar a inclusão contrária f–1 ⊂ g. Para tanto, seja (y, x) ∈ f–1. Isso significa 
que x = f–1(y), ou seja, y = f(x). Consequentemente,
g(y) = g(f(x)) = (g ∘ f)(x) = idX(x) = x
Logo, (y, x) ∈ g. Isso mostra a igualdade g = f–1.
∎
O seguinte exemplo mostra como é possível aplicar o resultado anterior.
Σxemρlo 27
Considere a função f: ℝ → ℝ definida por f(x) = 2x + 1. Essa função é bijetora. Para 
demonstrar isso, note que g: ℝ → ℝ definida por
g y y( ) � �1
2
é tal que
( )( ) ( ( ))f g y f g y f y y y y � � ��
�
�
�
�
� � �
��
�
�
�
�
� � � � � �
1
2
2 1
2
1 1 1
e
A Coleção Fundamentos 
da Matemática Elementar, 
em seus vários volumes, 
além de abordar diversos 
tópicos que são que são 
contemplados no curso de 
graduação em Matemáti-
ca, apresenta discussões 
detalhadas com muitos 
exemplos e exercícios. 
Para complementar o 
estudo desse conteúdo, 
vale conferir o primeiro 
volume referente a teoria 
de conjuntos e funções.
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. São Paulo: 
Atual, 2004. (Coleção Fundamentos 
de Matemática Elementar).
Livro
(Continua)
30 Aritmética
( ) ( ) ( ( ))g f x g f x g x x x x � � �� � � � � � �2 1 2 1 1
2
2
2
Portanto, f ∘ g = idℝ e g ∘ f = idℝ. Em particular, f é bijetora e
f y g y y� � � �1 1
2
( ) ( )
Além das funções, existem outros tipos de relações que são muito relevantes 
para a aritmética. Dentre estas, destacam-se as relações de ordem, objeto de estu-
do da próxima seção.
1.4 Relações de ordem
Vídeo Relações de ordem constituem uma abstração da relação “maior que ou 
igual” entre números. São três as propriedades que configuram uma relação 
de ordem: reflexividade, antissimetria e transitividade, conforme apresentado 
a seguir.
Definição
Seja X um conjunto. Uma relação de ordem em X é uma relação ≼ em X tal que:
• ≼ é reflexiva: para todo x ∈ X, vale x ≼ x;
• ≼ é antisimetrica: se x, y ∈ X são tais que x ≼ y e y ≼ x, então x = y;
• ≼ é transitiva: se x, y, z ∈ X são tais que x ≼ y e y ≼ z, então x ≼ z.
Se x ≼ y, dizemos que x precede y. Caso x ≼ y e x ≠ y, escrevemos x ≺ y e dizemos 
que x precede estritamente y.
No lugar de x ≼ y, podemos escrever y ≽ x e dizemos, neste caso, que y sucede 
x. Analogamente, a notação y ≻ x significa que y sucede x estritamente, ou seja, 
y ≽ x e y ≠ x.
A seguir serão apresentados alguns exemplos de relações de ordem.
Σxemρlo 28
Seja X = ℕ o conjunto dos números naturais. Defina ≼ da seguinte forma
x ≼ y ⇔ x é menor que ou igual a y
Isso define uma relação de ordem em ℕ. De fato,
I. Todo número natural x é igual a si próprio e, portanto, x ≼ x.
II. Se x e y são dois números naturais, tais que x é menor que ou igual a y e y é 
menor que ou igual a x, então, necessariamente, x = y.
(Continua)
Teoria elementar dos conjuntos 31
III. Se um número natural x é menor que ou igual um número natural y e y é 
menor que ou igual um número natural z, então x é menor que ou igual a z.
Essa argumentação não é precisa o suficiente. Para formalizá-la, é necessário dis-
cutir a construção dos números naturais com bastante cuidado e, com base nisso, 
definir o que significa ser “menor que ou igual a” no conjunto dos números naturais. 
Esse tipo de formalização faz parte do estudo da aritmética dos números naturais.
A seguir, será apresentado um exemplo que ilustra que relações de ordem po-
dem ser definidas até mesmo para conjuntos não numéricos, isto é, para conjuntos 
cujos elementos não são números.
Σxemρlo 29
Seja X um conjunto e P(X) = {A | A é subconjunto de X}. Definimos em P(X) a relação
A ≼ B ⇔ A ⊂ B
Essa é uma relação de ordem em X. De fato,
I. Para todo A ∈ P(X), isto é, para todo subconjunto de X vale A ⊂ A e, portanto, 
A ≼ A.
II. Se A, B ∈ P(X) são tais que A ≼ B e B ≼ A, então A ⊂ B e B ⊂ A, de modo que 
A = B.
III. Finalmente, se A, B, C ∈ P(X) são tais que A ≼ B e B ≼ C, então A ⊂ B e B ⊂ C, 
o que implica A ⊂ C, isto é, A ≼ C.
O exemplo anterior ilustra o caráter abstrato que uma relação de ordem pode ter. 
Entretanto, na aritmética, as relações de ordem que aparecem com mais frequên-
cia são aquelas definidas em conjuntos numéricos e, portanto, mais manipuláveis.
O próximo exemplo ilustra que, além da relação menor que ou igual a, a relação 
de divisibilidade é de ordem no conjunto dos números naturais.
Σxemρlo 30
A relação ℛ definida por: 
xℛy ⇔ x divide y
no conjunto dos números naturais, é uma relação de ordem. 
De fato:
I. Todo número natural x divide a si próprio, ou seja, ℛ é reflexiva.
II. Se x e y são números naturais tais que x divide y e y divide x, então, neces-
sariamente, x = y. Portanto, ℛ é antissimétrica. 
O livro Álgebra destaca-se 
pela abordagem simples, 
clara e direta. Os principais 
pontos fortes são os 
muitos exemplos, os 
exercícios resolvidos e os 
exercícios propostos. Vale 
conferir tanto esse título 
quanto os demais disponí-
veis na mesma coleção.
SPIEGEL, M. R.; MOYER, R. E. 4. 
ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 
(Coleção Schaum)
Livro
(Continua)
32 Aritmética
III. Se x, y e z são números naturais tais que x divide y e y divide z, então, x divi-
de z. Isso mostra que ℛ é transitiva.
Novamente, para melhor formalizarmos os argumentos anteriores, é necessá-
rio que estudemos de maneira rigorosa a divisibilidade no conjunto dos números 
naturais. 
Um dos tipos mais importantesde relações é a de equivalência, que será estu-
dada na próxima seção
1.5 Relações de equivalência
Vídeo Na matemática existem situações em que dois objetos têm propriedades idên-
ticas, tornando-se indistinguíveis na teoria. Por exemplo, na Geometria Analítica te-
mos o conceito de vetor. Quaisquer dois segmentos de reta que possuam o mesmo 
comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido representam o mesmo vetor e, 
portanto, são indistinguíveis do ponto de vista da Geometria Analítica.
Isso acontece em diversas outras instâncias na matemática. A formalização des-
sa ideia passa pelo conceito de relação de equivalência, objeto de estudo desta 
seção.
Uma relação de equivalência é uma relação em um conjunto que permite iden-
tificar elementos que tenham determinada propriedade. De maneira precisa, a de-
finição é dada a seguir.
Definição
Seja X um conjunto. Uma relação ℛ ⊂ X × X em um conjunto X é dita uma relação de equi-
valência em X se
I. ℛ é reflexiva, ou seja, se x ∈ X, então xℛx.
II. ℛ é simétrica, ou seja, se x, y ∈ X são tais que xℛy, então yℛx.
III. ℛ é transitiva, ou seja, se x, y, z ∈ X são tais que xℛy e yℛz, então xℛz.
Se xℛy dizemos que “x é equivalente a y módulo ℛ”.
Por definição, dizer que ℛ é uma relação em X significa que ℛ ⊂ X × X, ou seja, 
ℛ é um conjunto de pares ordenados de X. Além disso, a notação xℛy significa que 
(x, y) ∈ ℛ. Em particular, qualquer subconjunto ℛ ⊂ X × X é um candidato a ser uma 
relação de equivalência em X.
Para verificar se ℛ ⊂ X × X é, de fato, uma relação de equivalência, é necessário 
testar a validade das propriedades I, II e III da definição anterior.
Mas qual é a relevância de uma relação de equivalência? Isso ficará claro ao 
longo do texto, principalmente quando introduzirmos o conjunto dos números in-
teiros. Por enquanto, vamos contemplar alguns exemplos.
Teoria elementar dos conjuntos 33
Σxemρlo 31
Seja L o conjunto das retas no plano. Definimos a relação ℛ em L da seguinte 
forma:
ℓ1ℛℓ2 ⇔ ℓ1 é paralela à ℓ2
Isso define uma relação de equivalência em L.
De fato, toda reta no plano é paralela a si própria, ou seja, ℛ é reflexiva. Além 
disso, se a reta ℓ1 é paralela à reta ℓ2, então a reta ℓ2 é paralela à reta ℓ1, isto é, ℛ é 
uma relação simétrica.
Finalmente, se uma reta ℓ1 é paralela à uma reta ℓ2 e ℓ2, por sua vez, é paralela 
a outra reta ℓ3, então, necessariamente, ℓ1 é paralela a ℓ3, mostrando assim, que ℛ 
é uma relação transitiva.
Sendo reflexiva, simétrica e transitiva, ℛ é uma relação de equivalência em L.
O exemplo anterior possui caráter geométrico. Em contraste, o próximo exem-
plo tem caráter puramente algébrico.
Σxemρlo 32
Considere o conjunto ℤ dos números inteiros. Definimos
xℛy ⇔ existe k ∈ ℤ tal que y – x = 2k
Esta é uma relação de equivalência em ℤ.
De fato, se x ∈ ℤ, então
x – x = 0 = 2 ⋅ 0
e, portanto, xℛx. Isso significa que ℛ é reflexiva. 
Suponha então que x, y ∈ ℤ são tais que xℛy. Nesse caso, existe k ∈ ℤ tal que
y – x = 2k
Consequentemente,
x – y = –2 ⋅ k = 2 ⋅ (–k)
Como –k ∈ ℤ, temos, em particular, que yℛx. Isso revela a simetria de ℛ.
Finalmente, ℛ é transitiva. Para demonstrar isso, suponha que x, y, z ∈ ℤ são tais 
que xℛy e yℛz. Por definição, existem k, l ∈ ℤ tais que
y – x = 2k e z – y = 2l
Consequentemente,
z – x = (z – y) + (y – x) = 2l + 2k = 2 ⋅ (l + k)
Como l + k ∈ ℤ, deduzimos que xℛz, mostrando assim a transitividade.
34 Aritmética
Existem inúmeros exemplos de relações de equivalência espalhados por toda 
a matemática. Por isso, ao longo do texto, alguns exemplos surgirão naturalmente 
para esclarecer a teoria abordada. Agora, vamos discutir outros aspectos teóricos a 
respeito das relações de equivalências. São eles: as noções de classe de equivalên-
cia e o conjunto quociente.
Dada uma relação de equivalência ℛ em um conjunto X e um elemento qualquer 
x ∈ X, é natural indagar quais são os elementos de X que se relacionam com x mó-
dulo ℛ. Esse raciocínio conduz diretamente à definição de classe de equivalência, 
apresentada a seguir.
Definição
Seja ℛ uma relação de equivalência em um conjunto X e x ∈ X. O conjunto
[x] ≔ {y ∈ X | yℛx}
é denominado de classe de equivalência de x módulo ℛ. Nesse caso, dizemos também que x é 
um representante dessa classe de equivalência.
Neste momento, é necessário fazermos um alerta. Por definição, a classe de 
equivalência [x] representada por x ∈ X é um subconjunto de X, ou seja, não é um 
elemento de X. Isto será importante posteriormente.
Essa definição parece ser bastante abstrata em um primeiro momento e, para 
esclarecer, vamos discutir isso nos exemplos a seguir.
Σxemρlo 33
No Exemplo 31 demonstramos que a relação
xℛy ⇔ existe k ∈ ℤ tal que y – x = 2k
definida em ℤ, é uma relação de equivalência.
Vamos determinar algumas classes de equivalência. Por exemplo,
 • A classe de equivalência do 0 (zero):
[0] = {y ∈ ℤ | yℛ0} = {y ∈ ℤ | ∃ k ∈ ℤ tal que y – 0 = 2k} = {2k | k ∈ ℤ}
ou seja, [0] é o conjunto dos inteiros pares.
 • A classe de equivalência do 1 (um):
[1] = {y ∈ ℤ | yℛ1} = {y ∈ ℤ | ∃ k ∈ ℤ tal que y – 1 = 2k} = {2k + 1 | k ∈ ℤ}
Portanto, [1] coincide com o conjunto de todos os inteiros ímpares.
 • A classe de equivalência do 2 (dois):
[2] = {y ∈ ℤ | yℛ2} = {y ∈ ℤ | ∃ k ∈ ℤ tal que y – 2 = 2k}
= {2 ⋅ (k + 1) | k ∈ ℤ}
e este é o conjunto dos inteiros pares, ou seja, [2] = [0].
Teoria elementar dos conjuntos 35
Vamos explorar um exemplo adicional, a fim de fixar o entendimento.
Σxemρlo 34
Considere o conjunto ℝ2 = {(x, y) | x, y ∈ ℝ}, sendo ℝ o conjunto dos números 
reais. Definimos a relação
(x, y)ℛ(z, w) ⇔ y = w
Temos que ℛ é uma relação de equivalência em ℝ2. Com efeito, a relação ℛ é 
reflexiva, pois se (x, y) ∈ ℝ2, temos (x, y)ℛ(x, y), uma vez que y = y.
A relação ℛ também é simétrica. De fato, se (x, y), (z, w) ∈ ℝ2 são tais que 
(x, y)ℛ(z, w), então y = w, de forma que w = y e, portanto, (z, w)ℛ(x, y).
Finalmente, ℛ é transitiva. Para mostrar isso, considere (x, y), (z, w), (u, v) ∈ ℝ2 tais 
que (x, y)ℛ(u, v) e (u, v)ℛ(z, w). Nesse caso, y = v e v = w e, por consequência, y = w, 
mostrando que (x, y)ℛ(z, w).
Agora, a título de ilustração, note que
[(0, 0)] = {(z, w) ∈ ℝ2 | (z, w)ℛ(0, 0)} = {(z, w) ∈ ℝ2 | w = 0} = {(z, 0) | z ∈ ℝ}
Geometricamente, [(0, 0)] corresponde a todo o eixo das abscissas. Em geral, 
qualquer classe de equivalência da forma [(x, 0)] será igual a [(0, 0)].
Generalizando, qualquer classe de equivalência da forma [(x, y)] será igual ao 
conjunto {(z, y) | z ∈ ℝ}, ou seja, geometricamente, [(x, y)] é uma reta paralela ao 
eixo das abscissas cortando o eixo das ordenadas na altura y.
Toda relação de equivalência ℛ em um conjunto X dá origem ao conjunto das 
classes de equivalência representadas pelos elementos de X, definido a seguir.
Definição
Sejam X um conjunto e ℛ uma relação de equivalência em X. O conjunto
X/ℛ ≔ {[x] | x ∈ X}
é denominado de quociente de X módulo ℛ.
Portanto, por definição, os elementos de X/ℛ são determinados subconjuntos 
de X. Em particular, X/ℛ não é um subconjunto de X, mas sim um subconjunto do 
conjunto das partes de X.
É necessário esclarecer a definição de conjunto quociente por meio de al-
guns exemplos.
Verifique que [x] = [0] ou [x] = 
[1], qualquer que seja o número 
inteiro x.
Desafio
36 Aritmética
Σxemρlo 35
Considere a relação de equivalência ℛ em ℤ definida no Exemplo 31, isto é,
xℛy ⇔ ∃ k ∈ ℤ tal que y – x = 2k
Conforme a discussão apresentada no Exemplo 32, temos que
ℤ/ℛ = {[0], [1]}
Lembre-se que [0], nesse exemplo, coincide com o conjunto dos inteiros pares, 
enquanto [1] coincide com o conjunto dos inteiros ímpares.
Acompanhe mais um exemplo.
Σxemρlo 36
Considere a relação de equivalência ℛ em ℝ2 definida no Exemplo 33, isto é,
(x, y)ℛ(z, w) ⇔ y = w
Neste caso, conforme a discussão apresentada naquele exemplo, temos
ℝ2/ℛ = {{(x, y) | x ∈ ℝ} | y ∈ ℝ}
Para evitar confusões, é necessário tratar um pouco a respeito desse conjunto.
Primeiro, os elementos de ℝ2/ℛ são subconjuntos de ℝ2da forma
{(x, y) | x ∈ ℝ}
Segundo, existe um conjunto desse para cada y ∈ ℝ. Em particular, note que 
ℝ2/ℛ consiste em infinitas classes de equivalência.
O próximo resultado teórico resume as principais propriedades das classes de 
equivalência.
Teorema
Seja X um conjunto e ℛ uma relação de equivalência em X. São válidas as 
afirmações
I. Se x ∈ X, então x ∈ [x].
II. Se x, y ∈ X, então [x] = [y] se, e somente se, xℛy.
III. Se x, y ∈ X, então [x] = [y] ou [x]∩[y] = ϕ.
IV. X = ⋃x∈X[x].
Teoria elementar dos conjuntos 37
Demonstração
I. Se x ∈ X, então xℛx, pois ℛ é reflexiva. Portanto, x ∈ [x], já que [x] consiste em 
todos os elementos de X que se relacionam com x por meio de ℛ.
II. Se x, y ∈ X são tais que [x] = [y], então x ∈ [x]. Em particular, x ∈ [y] em virtude 
da igualdade [x] = [y]. Consequentemente, xℛy, pois [y] consiste em todos os 
elementos de X que se relacionam com y por meio de ℛ.
 Reciprocamente, suponha que xℛy. O objetivo é demonstrar que vale a igual-
dade de conjuntos [x] = [y]. Para tanto, considere z ∈ [x]. Pela definição de [x], 
temos zℛx. Como, por hipótese, xℛy, segue da transitividade de ℛ que zℛy. 
Em particular, z ∈ [y]. Isso mostra a inclusão [x] ⊂ [y]. A inclusão contrária é 
demonstrada de maneira análoga.
III. Suponha que [x] ≠ [y] e [x]∩[y] ≠ ϕ. Como [x]∩[y] ≠ ϕ, existe z ∈ [x]∩[y]. Conse-
quentemente, z ∈ [x] e z ∈ [y]. Disso, segue que zℛx e zℛy. Pela simetria de ℛ, 
temos, especialmente, yℛz. Agora, yℛz e zℛx implicam yℛx, já que ℛ é transiti-
va. Mas, pelo item II, segue que [x] = [y], contradizendo [x] ≠ [y]. Portanto, não 
pode valer simultaneamente [x] ≠ [y] e [x]∩[y] ≠ ϕ. Consequentemente, [x] = 
[y] ou [x]∩[y] = ϕ.
IV. Basta mostrar a inclusão X ⊂ ⋃x∈X[x], pois a outra é imediata, dado que cada 
classe de equivalência [x] é um subconjunto de X. Para verificar a referida 
inclusão, seja x ∈ X um elemento qualquer. Pelo item I, temos que x ∈ [x]. Mas 
[x] ⊂ ⋃x∈X[x] e, portanto, x ∈ ⋃x∈X[x].
∎
O item III do teorema afirma que duas classes de equivalência ou são iguais 
ou são disjuntas. Já o item IV estabelece que o conjunto quociente de X módulo ℛ 
forma uma partição do conjunto X, no sentido de que X é uma reunião disjunta dos 
elementos de X/ℛ.
O livro Álgebra moderna, 
dos autores Hygino H. Do-
mingues e Gelson Iezzi, é 
uma referência clássica no 
que diz respeito ao ensino 
de álgebra abstrata. Entre 
os tópicos abordados, en-
contra-se uma exposição 
detalhada de funções e 
relações. Em particular, 
relações de ordem e equi-
valência são exploradas 
com cuidado.
DOMINGUES, H. H.; IEZZI, G. 5. ed. 
São Paulo: Atual, 2003.
Livro
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A teoria de conjuntos estabelece os conceitos básicos da matemática. Em particu-
lar, deve ser estudada com bastante cuidado e extensivamente. Seu estudo deve ter 
início tão logo quanto possível para que se possa estabelecer as conexões existentes 
entre as diversas teorias. Essas conexões estão presentes e são abundantes, acredite! 
Não é diferente com a aritmética. Desde o início da construção dos números fica evi-
dente que os subsídios se encontram na teoria dos conjuntos. Sendo assim, convém 
dedicar um bom tempo de sua formação para dominar o assunto. Isso possibilitará 
uma rápida evolução em aspectos como lógica, aritmética, álgebra abstrata etc.
ATIVIDADES
1. Qual é a importância do estudo da teoria de conjuntos?
2. Qual é a relevância de se estudar funções?
3. Considere o conjunto X = {1, 2, 3, 4}. Encontre uma relação de equivalência ℛ em X 
tal que X/ℛ= {{1, 2, 3}, {4}}.
Vídeo
38 Aritmética
REFERÊNCIAS
ALENCAR FILHO, E. Iniciação à lógica matemática. São Paulo: Nobel, 2002.
DOMINGUES, H. H.; IEZZI, G. Álgebra moderna. São Paulo: Atual, 2003.
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. São Paulo: Atual, 2004. (Coleção Fundamentos de Matemática Elementar).
HEFEZ, A. Elementos de aritmética. Rio de Janeiro: SBM, 2006.
Teoria elementar dos conjuntos 39
40 Aritmética
2
O conjunto dos 
números naturais
A existência dos números naturais é justificada pela necessidade 
inerente que o ser humano tem de contar. Para a matemática, na quali-
dade de ciência, eles desempenham um papel fundamental, pois é com 
base neles que são construídos os números inteiros e, consequente-
mente, os números racionais, reais e complexos. Esse fato explica a 
necessidade de entender o significado, a natureza e as nuances dos 
números naturais.
Eles estão relacionados à determinada quantidade ou ausência – nú-
mero zero –, estando presentes em nosso cotidiano e nossa jornada aca-
dêmica. Por isso, neste capítulo, vamos estudar as operações e os axiomas 
que permitem formalizar esse conjunto numérico.
2.1 Axiomas de Peano 
Vídeo Como ponto de partida de nosso estudo, questionamos:
 • O que é um número natural para a matemática?
De maneira mais detalhada:
 • Como se define, rigorosamente, um número natural?
 • Existe de fato uma definição precisa de um número natural ou os números 
naturais deveriam ser tratados como conceitos primitivos, isto é, ser aceitos 
sem definição?
 • Há um conceito matemático preciso o suficiente para esclarecer a natureza 
dos números naturais?
As respostas para essas perguntas, produtos de esforços no desenvolvimento 
da matemática ao longo dos séculos, serão fornecidas, de certo modo, ao longo 
deste capítulo.
A matemática é uma das poucas ciências que pode ser desenvolvida de maneira 
axiomática. Usualmente, o primeiro contato com o processo axiomático é feito no 
contexto da geometria plana. Embora tenha sido Euclides, em sua obra Elementos, 
quem desenvolveu parte significativa da geometria euclidiana, foi David Hilbert 
quem realizou a tarefa de formalizar essa teoria de maneira bastante rigorosa por 
meio de um processo axiomático.
O conjunto dos números naturais 41
O método axiomático tem origem em pressupostos que devem ser claros e 
convincentes o suficiente para que não sejam contestados. Eles são chamados 
de axiomas. O método é desenvolvido conforme o esquema a seguir. 
Vyacheslavikus/Shutterstock
Peacefully7/Shutterstock
Peacefully7/Shutterstock
Escolha Apresentação Resultados
A escolha dos axiomas deve ser 
mínima, no sentido de que deve conter 
estritamente o necessário para o 
desenvolvimento da teoria.
Depois, cada axioma deve ser apre-
sentado como uma verdade além de 
qualquer dúvida razoável. Se esse 
não for o caso, a escolha 
dos axiomas não foi 
bem feita.
Vencida a etapa da escolha dos 
axiomas, iniciamos a laboriosa e mais 
fascinante tarefa: a descoberta e 
a demonstração dos resultados 
decorrentes dos 
axiomas.
Os resultados obtidos são denominados de proposições ou teoremas e são de-
monstrados por meio de métodos de inferência lógica. Uma vez verificados, com 
todo rigor que a lógica matemática possibilita, esses teoremas e proposições po-
dem ser usados em outras demonstrações e, dessa forma, a teoria axiomatizada 
é construída e evolui sobre suas próprias bases. Não será diferente no estudo dos 
números naturais.
Como essa discussão sobre o método axiomático se relaciona com a temáti-
ca proposta nesta seção? A relação é bastante estreita e justificada pelo fato de 
que, para introduzir o conjunto dos números naturais, é necessário abordar os 
axiomas de Peano. Estes axiomas fornecem um modelo axiomático para o conjun-
to dos números naturais. 
Como em qualquer teoria axiomática, com base nos axiomas de Peano, obte-
mos resultados que naturalmente devem estar de acordo com o entendimento 
intuitivo de que se tem dos números naturais. Por exemplo, intuitivamente todo 
mundo concorda com o fato de que quaisquer dois números naturais distintos 
possuem sucessores distintos ou que existem infinitos números naturais. Para de-
monstrar estes resultados, devemos recorrer aos axiomas de Peano.
Qualquer propriedade a respeito dos números naturais que se tenha contato 
no ensino básico pode ser demonstrada por meio dos axiomas de Peano, direta 
ou indiretamente. Além disso, diversas outras propriedades podem ser derivadas,conforme estudaremos neste capítulo. 
Para motivar a introdução aos axiomas de Peano, consideremos o conjunto ℕ 
dos números naturais, estudado durante o ensino básico. Sem qualquer dúvida, é 
fácil aceitarmos as seguintes observações:
I. ℕ é um conjunto.
II. o número natural 0 (zero) pertence a ℕ, isto é, 0 ∈ ℕ.
III. todo número natural n ∈ ℕ tem um, e só um, sucessor, a saber, o número 
natural n + 1.
42 Aritmética
IV. 0 (zero) não é sucessor de nenhum outro número natural, isto é, não é pos-
sível escrever 0 = n + 1 para algum n ∈ ℕ.
V. se m, n ∈ ℕ são números naturais diferentes, isto é, se m ≠ n, então, seus 
sucessores são diferentes, ou seja, m + 1 ≠ n + 1.
Para explicar como essas cinco observações dão origem aos axiomas de Peano, 
precisamos introduzir a função sucessor 
s: ℕ → ℕ
que atribui o sucessor de cada número natural de seu domínio, ou seja, 
s(n) = n + 1, para todo n ∈ ℕ
Note que a observação IV estabelece que 0 (zero) não pertence à imagem da 
função sucessor. Em particular, a função s não é sobrejetiva, pois em seu contra-
domínio existe um elemento que não é imagem de qualquer um dos elementos do 
domínio. 
Além disso, a propriedade V significa que s é injetiva, pois se m, n ∈ ℕ são tais 
que m ≠ n, então s(m) ≠ s(n), isto é, m + 1 ≠ n + 1. 
As propriedades apresentadas anteriormente dizem respeito ao par (ℕ, s) e po-
dem ser resumidas como:
(P1) Existe um elemento distinguido 0 ∈ ℕ.
(P2) 1 A função s: ℕ → ℕ é injetora e 0 não é um elemento da imagem de s.
Uma sexta propriedade evidente, porém menos imediata que aquelas expostas 
anteriormente, é a seguinte: seja A um conjunto de números naturais, isto é, A ⊂ ℕ. 
Além disso, suponha que A tenha as seguintes propriedades:
(I1) 0 ∈ A.
(I2) Se n ∈ A, então s(n) = n + 1 ∈ A.
Nessa situação, não há outra conclusão a ser feita a não ser que A = ℕ. 
A propriedade (I1) significa que o menor número natural possível – 0 (zero) – é 
um elemento de A. Já (I2) garante que todos os números que sucedem o zero, ou 
seja, todos os números naturais restantes, também são elementos de A. Em resu-
mo, A contém ℕ e, por isso, A = ℕ. 
Essa argumentação utilizada para mostrar que A = ℕ, com base em (I1) e (I2), é 
conhecida como princípio da indução finita. Vamos denotar essa propriedade por 
(P3). Assim, o par (ℕ, s) junto às propriedades (P1), (P2) e (P3) motivam o enunciado 
a seguir.
Definição
Axiomas de Peano
Existe um par (X, s
X
), sendo X um conjunto e s
X
: X → X uma função que satisfaz:
I. Existe um elemento e ∈ X que não é elemento da imagem de s
X
.
II. s
X
 é uma função injetora.
III. Princípio da indução finita: se A ⊂ X é um subconjunto tal que: 
(Continua)
As notações (P1) e (P2) 
significam “Propriedade 1” e 
“Propriedade 2”, respectivamente.
1
Nesta etapa, reflitam se a infor-
mação A = ℕ é válida com base 
nas propriedades (I1) e (I2).
Para refletir
O conjunto dos números naturais 43
• e ∈ A;
• x ∈ A ⇒ s
X
(x) ∈ A.
Então, A = X.
O par (X, s
X
) é denominado conjunto de números naturais, a função s
X
 é chamada de função 
sucessor e s
X
(x) é o sucessor de x.
Certamente a definição de conjunto de números naturais é uma abstração do 
par (ℕ, s) obtida ao substituir ℕ por um conjunto qualquer X, s por uma função 
sX e 0 (zero) por um elemento e ∈ X. As propriedades na definição correspondem à 
abstração das propriedades (P1), (P2) e (P3) observadas para o par (ℕ, s). 
De agora em diante, nas discussões teóricas, devemos nos limitar ao que afirmam os 
axiomas de Peano e não ceder à tentação de utilizar propriedades a respeito dos nú-
meros naturais que já conhecemos intuitivamente. Essa abordagem evita “trapaças” 
para chegar a conclusões sem antes ter desenvolvido a teoria com base nos axiomas 
de Peano.
Uma questão intrigante é que os axiomas de Peano postulam a existência de 
um conjunto de números naturais, deixando margem para suposições de que po-
deria existir mais de um conjunto de números naturais. E, de fato, pode existir mais 
de um conjunto de número naturais.
Do ponto de vista teórico, todos os conjuntos de números naturais modelam 
o par (ℕ, s) e não há nada, na teoria, que permita dizer que devemos escolher 
um conjunto de números naturais em detrimento de outro. Em algum sentido, 
todos os conjuntos de números naturais são indistinguíveis e conduzem às mes-
mas conclusões. 
Fundamentados na exposição do parágrafo precedente, vamos fixar definitiva-
mente um conjunto de números naturais (X, sX) e adotar as seguintes notações:
 • ℕ = X;
 • s = sX;
 • 0 = e.
Essas notações auxiliam a exposição, pois permitem associar o que está sendo 
discutido ao conhecimento empírico que se tem do conjunto dos números natu-
rais. Qual a razão disso? O par (X, sX) consiste em dois objetos que podem ser bas-
tante abstratos: X e sX. Portanto, a teoria é feita de modo que X se comporte como o 
conjunto ℕ = {0, 1, 2, 3, …} – conforme estudado no ensino básico – e sX se comporte 
como a função sucessor s(n) = n + 1.
Vale destacarmos que, apesar da notação (ℕ, s), ℕ e s são modelos abstratos 
para o conjunto dos números naturais e para a função sucessor, afinal, interpretan-
do os axiomas de Peano com essa notação, temos que ℕ é apenas um conjunto e s 
é apenas uma função s: ℕ → ℕ. Por enquanto, nada se sabe a respeito da natureza 
de ℕ ou de s, além do que se enuncia nos axiomas de Peano. Sendo assim, como os 
44 Aritmética
símbolos 1, 2, 3, ... entram nesse contexto? Eles são definidos por meio da função 
sucessor da seguinte forma:
 • 1 = s(0);
 • 2 = s(1);
 • 3 = s(2).
E assim por diante.
Nomeamos cada um dos símbolos 0, 1, 2, 3, ... como zero, um, dois, três etc. 
Desse modo, pela definição temos que: 
 • um é o sucessor de zero;
 • dois é o sucessor do um; 
 • três é o sucessor de dois; etc. 
Entretanto, pode surgir mais uma questão: por que não utilizar a notação x + 1 
no lugar de s(x)? Nesse estágio, o emprego do sinal + seria artificial, dado que esse 
símbolo deve representar a adição de número naturais, a qual ainda não foi defini-
da. Em um momento oportuno, a adição de números naturais será definida e, com 
isso, será o caso que s(x) = x + 1. 
Uma última observação sobre os axiomas de Peano diz respeito ao princípio 
da indução finita. Ele é estritamente necessário para que possamos demonstrar 
as propriedades do par (ℕ, s). Para compreendermos essa questão, suponha-
mos que exista uma propriedade P a qual desejamos demonstrar que é válida 
para todo número natural, isto é, para todo elemento de ℕ. Definimos o conjun-
to A = {x ∈ ℕ | x cumpre P}. 
Se for demonstrado que A = ℕ, então, temos que a propriedade (P) é válida para 
todo número natural, conforme desejado. Justamente nessa etapa entra o princí-
pio da indução finita. Para mostrar que A = ℕ verificamos que:
 • 0 ∈ A;
 • A é fechado para sucessores, isto é, x ∈ A ⇒ s(x) ∈ A.
Uma vez demonstrados esses dois fatos, aplicamos (P3) para deduzir que A = ℕ. 
Esse argumento estará presente em toda a nossa discussão e convém nos habi-
tuarmos a ele desde o início. Essa ideia será utilizada para demonstrar o primeiro 
resultado teórico dessa seção e ilustra o potencial dos axiomas de Peano.
Proposição
ℕ = {0}∪{s(n) | n ∈ ℕ} = {0, 1, 2, 3, …}
Demonstração
Precisamos demonstrar a seguinte propriedade:
(P): se x ∈ ℕ, então x = 0 ou existe n ∈ ℕ tal que x = s(n)
O conjunto dos números naturais 45
O conteúdo do enunciado da proposição pode ser traduzido ao afirmarmos que 
(P) é uma propriedade válida para todo número natural, ou seja, basta verificar que 
o conjunto
A = {x ∈ ℕ | P é válida} = {x ∈ ℕ | x = 0 ou existe n ∈ ℕ tal que x = s(n)}
é igual ao conjunto dos números naturais. Para tanto, empregando o princípio da 
indução finita, resta verificarmos que:
 • 0 ∈ A;
 • A é fechado para sucessores, isto é, se x ∈ A, então s(x) ∈ A.
Pela definição do conjunto A, temos que 0 ∈ A, logo, precisamos verificar apenas 
que A é fechado para sucessores. Para tanto, tomemos um elemento arbitrário 
x ∈ A.Nesse caso, temos que 
x = 0 ou x = s(n) para algum n ∈ ℕ
No primeiro caso, em que x = 0, pela definição de A, temos 
s(x) = s(0) com 0 ∈ ℕ
mas isso significa que existe o número natural n = 0 ∈ ℕ tal que s(x) = s(n), garantin-
do, assim, que s(x) ∈ A. 
No segundo caso, quando x = s(n) para algum n ∈ ℕ, temos que
s(x) = s(s(n))
Isso significa que existe o número natural m = s(n) ∈ ℕ tal que s(x) = s(m), de-
monstrando que s(x) ∈ A. 
Portanto, pelo princípio da indução finita, temos que A = ℕ, o que encerra a 
demonstração.
∎
Perceba que a igualdade ℕ = {0, 1, 2, …}, usualmente apresentada como uma 
definição, foi demonstrada por meio dos axiomas de Peano. Essa igualdade não 
era evidente? Acontece que não, pois estes postulam a existência de um conjunto 
ℕ do qual, até então, nada se sabia a respeito, além do que constava nos próprios 
axiomas de Peano. Portanto, todas as propriedades que consideramos óbvias a 
respeito dos números naturais precisam ser demonstradas. 
Para finalizar essa seção, convém resumirmos algumas propriedades a respeito 
do par (ℕ, s). 
Teorema 
São válidas as seguintes afirmações sobre o (ℕ, s):
I. ℕ ≠ ∅, isto é, ℕ tem pelo menos um elemento.
(Continua)
Uma abordagem bastante 
agradável para os axiomas 
de Peano pode ser encon-
trada na obra Fundamen-
tos de Aritmética, escrita 
por Hygino Hungueros 
Domingues. É uma 
excelente introdução à 
aritmética para aprofundar 
os tópicos discutidos em 
nossos estudos. 
DOMINGUES, H. H. São Paulo: 
Atual, 1991.
Livro
46 Aritmética
II. Se x, y ∈ ℕ e x ≠ y, então s(x) ≠ s(y), ou seja, números naturais diferentes 
possuem sucessores diferentes.
III. s(ℕ) = ℕ \ {0}, em outras palavras, o 0 (zero) não é sucessor de nenhum núme-
ro natural. Em particular, s(x) ≠ 0 para todo x ∈ ℕ.
Demonstração
I. Em virtude do axioma (P1), temos que ℕ tem um elemento distinguido, denotado 
por 0. Ou seja, 0 ∈ ℕ, garantindo que ℕ não é o conjunto vazio, isto é, ℕ ≠ ∅.
II. Pelo axioma (P2), temos que s é injetora. Então, se x ≠ y, temos que s(x) ≠ s(y), 
conforme enunciado.
III. Por definição, s(ℕ) = {s(x) | x ∈ ℕ} e, por (P1), temos que 0 ∉ s(ℕ). Isso significa 
que s(ℕ) ⊂ ℕ \ {0}. Por outro lado, se x ∈ ℕ \ {0}, então x = s(n) para algum n ∈ 
ℕ, ou seja, x ∈ s(ℕ). Provando que s(ℕ) = ℕ \ {0}.
∎
Agora que já temos, ao nosso dispor, um conjunto de números naturais, podemos 
introduzir as operações algébricas de adição e de subtração de números naturais. 
2.2 Adição de números naturais 
Vídeo A grande utilidade de ter números à nossa disposição está no fato de ser possí-
vel realizar operações algébricas com eles. Entre elas, a mais simples e básica é a 
adição. Isso não é diferente com números naturais. 
Mais precisamente, a operação de adição de números naturais permite combi-
nar dois números naturais, cada um representando uma quantidade contável da 
nossa realidade, e obter um terceiro número natural que representa a quantidade 
total que se tem. 
É conveniente pensarmos na adição de números naturais como um dispositivo 
que recebe dois números naturais, efetua determinado procedimento e devolve 
outro número natural, conforme ilustrado no seguinte esquema:
Em
Ba
Sy
/S
hu
tte
rs
to
ckaa
bb
a + ba + b++
Nesse esquema, a e b representam números naturais, assim como a + b. 
Contudo, como podemos definir a + b? Para motivar a definição, vamos observar 
algumas adições com o número natural dois:
2 + 0 = 2
2 + 1 = 3
(Continua)
O conjunto dos números naturais 47
2 + 2 = 4
2 + 3 = 5
A primeira adição, 2 + 0 = 2, deverá ser aceita como definição. 
A segunda adição, 2 + 1 = 3, pode ser obtida com base na primeira. De fato, 
note que
2 + 1 = 3 = s(2) = s(2 + 0)
A terceira adição pode ser obtida da anterior:
2 + 2 = 4 = s(3) = s(2 + 1)
Finalmente, a última adição também pode ser obtida por meio da anterior:
2 + 3 = 5 = s(4) = s(2 + 2) 
Note que, neste raciocínio, existem dois tipos de adição envolvidas: uma da for-
ma 2 + 0 e outra da forma 2 + s(k), com k ∈ ℕ \ {0}. Sendo assim, 
2 + 0 = 2 e 2 + s(k) = s(2 + k) para todo k ∈ ℕ \ {0}
Isso motiva a seguinte definição:
Definição
A adição de números naturais é a função 
+: ℕ × ℕ → ℕ
 (x, y) → x + y
definida por 
x + 0 = 0
x + s(k) = s(x + k)
para todo x ∈ ℕ e k ∈ ℕ \ {0}.
A primeira observação acerca dessa definição é o fato de que ela é coerente 
com o que conhecemos a respeito dos números naturais. Por exemplo, 
1 + 0 = 1
1 + 1 = 1 + s(0) = s(1 + 0) = s(1) = 2
1 + 2 = 1 + s(1) = s(1 + 1) = s(2) = 3
1 + 3 = 1 + s(2) = s(1 + 2) = s(3) = 4
Isso ilustra que a definição de adição de números naturais produz os resul-
tados previstos. Embora seja esperado, há uma barreira: até o momento não é 
possível calcularmos 0 + 2, por exemplo, diretamente. De fato, de acordo com a 
definição, temos: 
0 + 2 = 0 + s(1) = s(0 + 1)
Contudo, até então, não sabemos que 0 + 1 = 1. Tudo o que sabemos, por ora, é que 
1 + 0 = 1. Esse problema será facilmente resolvido a seguir.
48 Aritmética
Proposição 
Se x ∈ ℕ, então 0 + x = x.
Demonstração
Defina o conjunto de números naturais 
A = {n ∈ ℕ | 0 + n = n}
Vamos aplicar o princípio da indução finita para mostrar que A = ℕ. Por defini-
ção, A ⊂ ℕ. Além disso, pela definição de adição de números naturais, temos que
0 + 0 = 0
ou seja, 0 ∈ A. 
Finalmente, A é fechado para sucessores, pois se n ∈ A, então 0 + n = n e 
0 + s(n) = s(0 + n) = s(n)
Como s(n) ∈ ℕ satisfaz 0 + s(n) = s(n), temos s(n) ∈ A. Portanto, que A = ℕ. 
Sendo assim, se x ∈ ℕ, então x ∈ A, isto é, 0 + x = x.
∎
Com essa demonstração, é possível determinarmos 0 + 2. De fato,
0 + 2 = 0 + s(1) = s(0 + 1) = s(1) = 2
Esse resultado nos possibilita a demonstrar as propriedades comutativa e asso-
ciativa – dentre outras – que se conhece a respeito da adição de números naturais. 
Para isso, precisamos estabelecer o resultado preliminar a seguir.
Lema 
Se x, y ∈ ℕ, então vale
s(x) + y = s(x + y) = x + s(y)
Demonstração
Novamente empregamos o princípio da indução finita. Para isso, considere o 
conjunto: 
A = {n ∈ ℕ | ∀ m ∈ ℕ, s(m) + n = s(m + n) = m + s(n)}
Por definição, A ⊂ ℕ e 0 ∈ A, pois 0 ∈ ℕ e
s(m) + 0 = s(m) = s(m + 0) = m + s(0), para todo m ∈ ℕ
Todas as igualdades correspondem à definição de adição de números naturais. 
Resta verificarmos que A é fechado para sucessores. De fato, se n ∈ A, então
s(m) + n = s(m + n) = m + s(n), para todo m ∈ ℕ
Lema é uma proposição auxiliar 
para a demonstração de outro 
lema, proposição ou teorema.
Glossário
(Continua)
O conjunto dos números naturais 49
Logo, 
s(m) + s(n) = s(s(m) + n) 
= s(s(m + n)) 
= s(m + s(n)) 
= m + s(s(n)), para todo m ∈ ℕ
Isso nos mostra que s(n) ∈ A. Portanto, A = ℕ. Sendo assim, se y ∈ ℕ, então 
y ∈ A, ou seja,
s(x) + y = s(x + y) = x + s(y), para todo x ∈ ℕ
∎
Para esclarecer o conteúdo do lema anterior, consideremos, por exemplo:
s(2) + 1 = 3 + 1 = 4 = s(3) = s(2 + 1) e s(2 + 1) = 2 + s(1)
pela própria definição de adição de números naturais.
O lema anterior será bastante útil para demonstrarmos algumas proprieda-
des da adição de números naturais, sendo as mais básicas a comutatividade e 
a associatividade. 
A comutatividade da adição mostra-nos que é possível trocar a ordem dos ter-
mos ao se realizar a adição sem, entretanto, alterar o resultado, ou seja, a adição 
a + b, com a, b ∈ ℕ, produz o mesmo resultado que a adição b + a. 
A associatividade é a propriedade que nos permite trocar os parênteses ao 
se fazer a adição envolvendo mais que dois números naturais. Isso é importante, 
pois, pela definição, sabemos adicionar apenas dois números naturais de cada vez. 
Sendo assim, quando desejamos adicionar os números naturais a, b e c podemos 
seguir dois caminhos. O primeiro é efetuar a + b e depois realizar a adição com c, 
e o segundo é efetuar a adição de a com o resultado de b + c. Portanto, há duas 
alternativas
(a + b) + c e a + (b + c)
A associatividade da adição garante que essas duas maneiras de realizar a adi-
ção

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