Aritmétrica

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DION PASIEVITCH
DION PASIEVITCH
ARITMÉTICA
ISBN 978-65-5821-028-3
9 7 8 6 5 5 8 2 1 0 2 8 3
Código Logístico
I000043
Aritmética 
Dion Pasievitch
IESDE BRASIL
2021
© 2021 – IESDE BRASIL S/A. 
É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito do autor e 
do detentor dos direitos autorais.
Projeto de capa: IESDE BRASIL S/A. Imagem da capa: devotchkah/ Envato Elements
Todos os direitos reservados.
IESDE BRASIL S/A. 
Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482. CEP: 80730-200 
Batel – Curitiba – PR 
0800 708 88 88 – www.iesde.com.br
CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO 
SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ
P29a
Pasievitch, Dion
Aritmética / Dion Pasievitch. - 1. ed. - Curitiba [PR] : IESDE, 2021. 
144 p. : il.
Inclui bibliografia
ISBN 978-65-5821-028-3
1. Aritmética. 2. Aritmética - Estudo e ensino. I. Título.
21-71028 CDD: 513
CDU: 511.1
Dion Pasievitch Doutor e Mestre em Matemática pela Universidade 
Federal do Paraná (UFPR). Especialista em Tecnologia 
Java pela Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
(UTFPR). Licenciado em Matemática pela Faculdade 
Estadual de Filosofia, Ciências e Letras de União da 
Vitória. Professor colaborador da Universidade Estadual 
do Paraná desde 2017, onde leciona disciplinas das áreas 
de álgebra, geometria, análise e estatística. 
SUMÁRIO
Agora é possível acessar os vídeos do livro por 
meio de QR codes (códigos de barras) presentes 
no início de cada seção de capítulo.
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a câmera fotográ�ca de seu smartphone ou tablet 
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Em alguns dispositivos é necessário ter instalado 
um leitor de QR code, que pode ser adquirido 
gratuitamente em lojas de aplicativos.
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SUMÁRIO
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1 Teoria elementar dos conjuntos 9
1.1 Conjuntos 9
1.2 Relações binárias 15
1.3 Funções 24
1.4 Relações de ordem 30
1.5 Relações de equivalência 32
2 O conjunto dos números naturais 40
2.1 Axiomas de Peano 40
2.2 Adição e subtração de números naturais 46
2.3 Multiplicação de números naturais 52
2.4 A relação de ordem no conjunto dos números naturais 59
2.5 Princípio da boa ordenação 64
3 O conjunto dos números inteiros 67
3.1 O conjunto ℤ 67
3.2 Adição e subtração de números inteiros 73
3.3 Multiplicação e divisão de números inteiros 78
3.4 Relação de ordem em ℤ 82
3.5 Valor absoluto 86
4 Aritmética no conjunto dos números naturais e inteiros 90
4.1 Divisibilidade 90
4.2 Divisão euclidiana 95
4.3 Máximo divisor comum 98
4.4 Mínimo múltiplo comum 106
4.5 Números primos e o teorema fundamental da aritmética 111
5 Congruências 120
5.1 O pequeno teorema de Fermat 120
5.2 Congruências módulo m 123
5.3 Inteiros módulo m 127
5.4 O teorema chinês dos restos 137
6 Gabarito 141
APRESENTAÇÃO
Vídeo
A aritmética aborda conceitos que estão presentes na formação 
acadêmica de todas as pessoas, desde o ensino básico. Entre estes 
conceitos, os principais são aqueles que envolvem operações algébricas 
com números naturais ou inteiros. Igualmente importante é a possibilidade 
de comparar esses dois conjuntos numéricos. Todos esses assuntos estão 
presentes no dia a dia e, para compreendê-los efetivamente, é necessário 
estudar aritmética sob uma perspectiva mais formal. 
Esta obra está organizada em cinco capítulos. O primeiro deles trata 
de algumas noções preliminares as quais supomos conhecidas, mas que 
são desenvolvidas para fixar notações e discorrer com rigor sobre a teoria. 
Além disso, são relembrados os conceitos de conjuntos e funções, com 
ênfase especial na teoria das relações. Em particular, relações de ordem e 
de equivalência são discutidas cuidadosamente, pois constituem aspectos 
fundamentais para o bom entendimento da teoria. 
O segundo capítulo introduz o conjunto dos números naturais de 
maneira axiomática, por meio dos axiomas de Peano. Partindo dessa 
abordagem, definimos as operações algébricas usuais do conjunto dos 
números naturais – a adição e a multiplicação – e demonstramos suas 
propriedades rigorosamente. Em seguida, discutimos a ordem natural do 
conjunto dos números naturais e apresentamos os princípios da tricotomia 
e da boa ordenação, ambos resultados bastante relevantes do ponto de 
vista teórico. 
O terceiro capítulo aborda o conjunto dos números inteiros e suas 
operações algébricas – adição, multiplicação e subtração –, além de sua 
ordem natural, herdada do conjunto numérico apresentado no capítulo 
anterior. Adotamos uma abordagem construtiva, em que o conjunto dos 
números inteiros é construído com base no conjunto dos números naturais 
por meio de uma relação de equivalência específica. Isso permite que a 
adição, a multiplicação e a ordenação sejam definidas nos termos presentes 
no conjunto dos números naturais. Adicionalmente, é introduzida a 
subtração de inteiros. Por fim, discutimos a versão do princípio da tricotomia 
para o conjunto dos inteiros e a noção de valor absoluto. 
O quarto capítulo aborda a aritmética no conjunto dos números naturais 
e inteiros. Em ambos os conjuntos, vamos definir a relação de divisibilidade, 
demonstrar suas propriedades e deduzir vários resultados importantes. 
Dentre eles, destacam-se o teorema fundamental da aritmética e o teorema 
que mostra a existência de infinitos números primos. Esse último resultado 
é consequência do teorema da decomposição em fatores primos, o qual é 
demonstrado cuidadosamente. 
O quinto e último capítulo apresenta tópicos adicionais que ampliam o 
escopo e o entendimento da teoria. Destacam-se o pequeno teorema de 
Fermat e o teorema chinês dos restos, e a sua conexão com congruências 
lineares. Também são abordados os inteiros módulo m. Esse assunto, em 
particular, é bastante relevante para outras disciplinas de álgebra, dado que 
fornece um modelo de grupo abeliano finito.
Os exercícios foram escolhidos de modo a auxiliar no entendimento dos 
tópicos tratados ao longo desta obra. Em geral, apenas a leitura da teoria será 
suficiente para respondê-los. Enfatizamos que a resolução de exercícios é 
fundamental para aprender novos conceitos em matemática. Sendo assim, 
deve-se formar o hábito de praticar a teoria discutida com os exercícios, 
pois, além de possibilitar que os tópicos sejam revisados, essa prática 
contribui para o desenvolvimento do raciocínio lógico-matemático-formal. 
Esperamos que esta obra contribua com o aprimoramento do 
pensamento matemático e que seja suficientemente interessante para 
motivar a busca por novos conhecimentos, não somente do campo da 
aritmética, mas de outras áreas. Além disso, os tópicos discutidos aqui 
configuram em introdução e motivação para o estudo de diversos outros 
conteúdos nas teorias de grupo, anéis e corpos, e na teoria de números. 
.
Teoria elementar dos conjuntos 9
1
Teoria elementar 
dos conjuntos
A teoria de conjuntos e seus desdobramentos constituem os funda-
mentos da matemática. É por meio da noção de conjuntos que é possível 
definir relações, funções e formalizar diversos conceitos. Neste estudo, é 
primordial que você adquira uma boa familiaridade com a teoria de con-
juntos, mesmo que no nível mais elementar. Pensando nisso, este capí-
tulo apresentará a teoria ingênua dos conjuntos, com ênfase na teoria 
das relações, abrangendo os conceitos de função, relações de ordem e 
de equivalência – assuntos fundamentais para o bom entendimento da 
aritmética.
Entretanto, cabe destacar que o assunto da teoria de conjuntos não 
será encerrado neste capítulo. Tal tarefa seriaimpossível. O objetivo cen-
tral é relembrar alguns conceitos elementares estudados em outras disci-
plinas e fixar a notação.
1.1 Conjuntos
Vídeo Nesta seção, discutiremos noções básicas da teoria ingênua dos conjuntos. O 
qualificador ingênua é utilizado para distinguir essa teoria da teoria axiomática dos 
conjuntos. No nível ingênuo, aceitamos a noção de conjunto de maneira intuitiva; 
já no nível axiomático, desenvolvemos a teoria rigorosamente desde o princípio por 
meio dos axiomas, por exemplo, dos axiomas de Zermello-Frankel. Entretanto, essa 
abordagem axiomática foge ao escopo desta obra e, portanto, a exposição feita 
abrange exclusivamente a teoria ingênua dos conjuntos.
No ensino básico, somos ensinados que um conjunto é uma coleção ou um 
agrupamento de objetos. Este é o entendimento adotado na teoria ingênua dos 
conjuntos e é suficiente para os propósitos deste curso. Contudo, para dar início 
à discussão, é necessário introduzir algumas terminologias e notações.
Os conjuntos, ao longo deste texto, serão denotados, comumente, por le-
tras latinas maiúsculas. Entretanto, em algumas situações serão utilizadas le-
tras maiúsculas estilizadas. Por exemplo, os conjuntos dos números naturais, 
inteiros, racionais, reais e complexos serão denotados, respectivamente, como 
ℕ, ℤ, ℚ, ℝ e ℂ.
10 Aritmética
Conjuntos são, usualmente, formados por elementos que dependem da nature-
za do conjunto. Por exemplo, o conjunto A, das vogais do alfabeto latino, tem como 
elementos: a, e, i, o, u. Nessa situação, escrevemos
A = {a, e, i, o, u}
e dizemos que o conjunto A foi descrito listando-se seus elementos.
Caso um conjunto tenha quantidade finita, com muitos elementos, é possível 
simplificar a escrita. Para ilustrar, considere B o conjunto dos números naturais 
menores que 10. Nesse caso,
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Como é bastante trabalhoso listar todos os elementos de B, é possível utilizar a 
notação alternativa
B = {1, 2, 3, …, 9}
em que os elementos 4, 5, 6, 7 e 8 foram substituídos por reticências. Nesse tipo de 
simplificação, devemos exibir uma quantidade adequada de elementos para que 
fique claro o padrão seguido.
A simplificação da notação também pode ser aplicada no caso de conjuntos com 
infinitos elementos. Por exemplo,
C = {1, 2, 3, …}
denota o conjunto dos números inteiros positivos. Nesse caso, uma quantidade 
infinita de elementos foi omitida.
Entretanto, para evitar qualquer tipo de ambiguidade, é conveniente descrever 
um conjunto com base na propriedade comum que seus elementos possuem. A 
título de ilustração, considere o conjunto X formado pela coleção dos inteiros pares 
positivos. É possível denotar esse conjunto por
X = {2, 4, 6, 8, …}
ou, de maneira mais precisa, como
X = {x : x é um inteiro par positivo}
Perceba que os elementos x de X são identificados por meio da propriedade de 
ser um inteiro par positivo. Portanto, qualquer objeto que cumpra essa proprie-
dade será um elemento do conjunto X. Naturalmente, os únicos elementos que 
satisfazem tal propriedade são os números 2, 4, 6, 8 etc. Dessa forma, é possível 
escrever
X = {x | x é um inteiro par positivo} = {2, 4, 6, 8, …}
que são maneiras diferentes de representar o mesmo objeto matemático: o con-
junto dos inteiros positivos pares.
Geralmente, é possível formar conjuntos da forma
X = {x | P(x)}
É importante usar a notação 
de conjuntos corretamente! É 
necessário, além de abrir e fechar 
as chaves, separar os elementos 
do conjunto com vírgula.
Importante
A notação “:” indica a expressão 
“tal que”. Também podemos 
utilizar o símbolo “|”, o qual será 
adotado nessa obra.
Glossário
Teoria elementar dos conjuntos 11
que lemos “x tal que P(x)”, sendo P(x) alguma propriedade sobre x. Qualquer objeto 
x que torne a propriedade P(x) válida fará parte do conjunto X, ou seja, será um 
elemento de X. 
A discussão acima será formalizada na definição a seguir.
Definição
Seja X = {x | P(x)} um conjunto e x um objeto, são válidas as afirmações:
I. Se x satisfaz a propriedade P(x), isto é, se P(x) é uma proposição verdadeira, escrevemos x ∈ X 
e dizemos que x pertence a X.
II. Se x não satisfaz a propriedade P(x), isto é, se P(x) é uma proposição falsa, escrevemos x ∉ X 
e dizemos que x não pertence a X.
Mais precisamente, é necessário especificar um universo do qual os objetos x serão 
retirados.
Para enfatizar o universo do qual retiramos os elementos que formam o conjun-
to X, podemos escrever
X = {x ∈ U | P(x)}
sendo U o universo. O universo nada mais é que um conjunto do qual retiramos os 
elementos para formar conjuntos determinados. Por exemplo, no caso do conjunto
X = {x ∈ ℝ | P(x)}
está explícito que os elementos de X pertencem ao universo ℝ. Em particular, não 
teria sentido indagar se a vogal “a” pertence ao conjunto X, dado que a vogal “a” 
não é um elemento do universo ℝ. Quando ficar claro o universo considerado, ele 
poderá ser omitido da notação.
Vamos ilustrar a relação de pertinência com alguns exemplos.
Σxemρlo 1
Seja X = {x | x é vogal do alfabeto latino}. Nessa situação, temos, por exemplo, 
que a ∈ X, mas b ∉ X, pois “a” é vogal do alfabeto latino, enquanto “b” não é. Nesse 
caso, o universo natural a ser considerado é o conjunto de vogais do alfabeto lati-
no. A escolha do universo pode variar de acordo com o contexto, mas, geralmente, 
haverá uma escolha mais natural.
É imprescindível compreender que dado um conjunto X = {x ∈ U | P(x)} e um 
objeto x ∈ U, é possível que x seja um elemento de X ou que não seja, conforme 
satisfaça ou não a propriedade P(x). Na maioria das vezes, é necessário testar a 
validade da propriedade P(x) para o objeto x dado, pois em grande parte das si-
tuações práticas e de maior interesse pode não ser claro que o objeto x cumpre a 
propriedade P(x) dada. Isso será ilustrado no exemplo a seguir.
12 Aritmética
Σxemρlo 2
Considere o conjunto X = {x ∈ ℝ | x2 – 2x – 3 = 0}.
Dado o objeto x = 1, não é imediato dizer se x ∈ X ou x ∉ X. É necessário testar se 
x = 1 satisfaz a propriedade x2 – 2x – 3 = 0. Isso é feito substituindo x = 1 na expres-
são x2 – 2x – 3 e verificando se o resultado é igual a 0 (zero). Vejamos,
x2 – 2x – 3 ⇒ 12 – 2 ⋅ 1 – 3 = 1 – 2 – 3 = –4 ≠ 0
Sendo assim, 1 ∉ X, já que 1 não satisfaz a propriedade que define X. Agora, note 
que, por exemplo, se x = 3, temos que
x2 – 2x – 3 ⇒ 32 – 2 ⋅ 3 – 3 = 9 – 6 – 3 = 0
e, portanto, 3 ∈ X, pois satisfaz a propriedade que define o conjunto X.
É importante habituar-se com a ideia do exemplo anterior para que não 
ocorra confusão no momento de decidir se dado objeto é elemento de um con-
junto ou não.
Em muitas situações, é necessário verificar que um dado conjunto é igual a ou-
tro. Para isso, devemos definir a igualdade entre conjuntos, que será baseada na 
relação de inclusão, definida a seguir.
Definição
Sejam X e Y conjuntos. Dizemos que X está contido em Y e escrevemos X ⊂ Y, se todo elemento 
de X é um elemento de Y. Caso X não esteja contido em Y, escrevemos X ⊄ Y.
Dizer que X não está contido em Y significa que existe pelo menos um elemento 
de X que não é elemento de Y. O seguinte exemplo ilustra a relação de inclusão.
Σxemρlo 3
Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2}. Nessa situação, B ⊂ A, pois 
todo elemento de B é elemento de A, mas A ⊄ B, pois, por exemplo, 3 é um elemen-
to de A que não é elemento de B.
Muitas vezes, é necessário um raciocínio mais elaborado para verificar que um 
dado conjunto está contido em outro, conforme exemplificamos a seguir.
Teoria elementar dos conjuntos 13
Σxemρlo 4
Considere os conjuntos A = {1, 0, –1} e B = {x ∈ ℝ | x2 – 1 = 0}. Nesta situação, 
A ⊄ B, pois 0 ∉ B, já que 02 – 1 = –1 ≠ 0. Porém, temos que B ⊂ A, pois se x ∈ B, então 
x satisfaz a equação x2 – 1 = 0, ou seja, (x + 1)(x – 1) = 0 e, portanto, x = 1 ou x = –1. 
Sendo assim, x ∈ A.
Após compreender a noção de inclusão de conjuntos, podemos definir quando 
dois conjuntos são iguais.
Definição
Sejam X e Y dois conjuntos com omesmo universo. Dizemos que X é igual a Y caso X ⊂ Y e 
Y ⊂ X. Neste caso, escrevemos X = Y.
Em outras palavras, a definição anterior enuncia que dois conjuntos são iguais 
se, e somente se, eles possuem os mesmos elementos.
Por definição, para demonstrar que um conjunto X é igual a um conjunto Y, 
devemos verificar duas inclusões: X ⊂ Y e Y ⊂ X. Para verificar que X ⊂ Y, considera-
mos um elemento qualquer x ∈ X e mostramos que x ∈ Y. Para mostrar a segunda 
inclusão, Y ⊂ X, consideramos um elemento qualquer x ∈ Y e verificamos que x ∈ X. 
Isto será ilustrado no exemplo a seguir.
Σxemρlo 5
Considere os conjuntos X = {x ∈ ℝ | x2 + x – 2 = 0} e Y = {–2, 1}. Temos que
X = Y
Para demonstrar isso, verificamos inicialmente que Y ⊂ X. De fato, se x ∈ Y, então 
x = –2 ou x = 1. Se x = –2, então
x2 + x – 2 ⇒ (–2)2 + (–2) –2 = 4 – 2 – 2 = 0
e se x = 1, então
x2 + x – 2 ⇒ 12 + 1 – 2 = 1 + 1 – 2 = 0
Portanto, em qualquer caso x ∈ X. Perceba que partimos de um elemento arbi-
trário x ∈ Y e deduzimos que x ∈ X. Essa é a forma geral para mostrar a inclusão de 
um conjunto em outro. Resta verificar a inclusão contrária X ⊂ Y. Para tanto, tome 
um elemento x ∈ X. Nesse caso, pela definição do conjunto X, temos que x é um 
número real que satisfaz a equação
x2 + x – 2 = 0
(Continua)
14 Aritmética
Essa é uma equação do segundo grau que pode ser resolvida facilmente por 
meio da fórmula de Bhaskara. Uma aplicação desse dispositivo permite deduzir 
que x = –2 ou x = 1. Portanto, x ∈ Y, mostrando assim que X ⊂ Y. Uma vez que são 
válidas ambas as inclusões X ⊂ Y e Y ⊂ X, resulta que X = Y.
A seguir, serão apresentadas formas de combinar dois conjuntos de modo a 
obter um terceiro conjunto.
Definição
Sejam X e Y conjuntos definidos em um mesmo universo U. Definimos:
I. A interseção de X e Y como o conjunto
X∩Y = {x ∈ U | x ∈ X e x ∈ Y}
 Lemos o conjunto X∩Y como “x inter y”.
II. A reunião de X e Y como o conjunto
X∪Y = {x ∈ U | x ∈ X ou x ∈ Y}
III. Caso X ⊂ Y, o complementar de X em relação a Y como o conjunto
Y∖X = {x ∈ U | x ∈ Y e x ∉ X}
IV. O complementar de X como o conjunto
Xc = {x ∈ U | x ∉ X}
Em outras palavras, a interseção de dois conjuntos consiste em elementos do 
universo que são comuns a ambos os conjuntos. Já a reunião de dois conjuntos 
consiste em todos aqueles elementos do universo que pertencem a um ou a outro 
conjunto ou a ambos.
O complementar de X em relação a Y consiste em todos os elementos do uni-
verso que pertencem apenas a Y e não a X. Note que, em geral, X\Y é diferente de 
Xc, pois esse segundo conjunto consiste em todos os elementos do universo que 
não pertencem a X.
A seguir, serão apresentados alguns exemplos envolvendo a definição exposta 
anteriormente.
Σxemρlo 6
Considere os conjuntos X = {1, 2, 3} e Y = {1, 2, 4}, no universo U = {1, 2, 3, 4, 5}. 
Nesse caso, temos que
 • X∩Y = {x ∈ U | x ∈ X e x ∈ Y} = {1, 2};
 • X∪Y = {x ∈ U | x ∈ X ou x ∈ Y} = {1, 2, 3, 4};
 • Y∖X = {x ∈ U | x ∈ Y e x ∉ X} = {4};
 • Xc = {x ∈ U | x ∉ X} = {4, 5}.
Teoria elementar dos conjuntos 15
O próximo exemplo envolve um raciocínio mais elaborado.
Σxemρlo 7
Considere os conjuntos X = {x ∈ ℕ | x divide 10} e Y = {x ∈ ℕ | x é par}. Nesse 
caso, temos que
 • X∩Y = {x ∈ ℕ | x divide 10 e x é par} = {2, 10};
 • X∪Y = {x ∈ ℕ | x divide 10 ou x é par} = {0, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …};
 • X∖Y = {x ∈ ℕ | x divide 10 e x não é par} = {1, 5};
 • Yc = {x ∈ ℕ | x não é par} = {1, 3, 5, 7, …}.
É importante se familiarizar com o tipo de raciocínio presente nos exemplos 
anteriores, pois é algo que se repete constantemente ao se estudar qualquer disci-
plina que envolva conjuntos.
O livro Iniciação à lógica 
matemática é um clássico 
utilizado nos cursos de li-
cenciatura em Matemática. 
Nele, podemos encontrar 
uma exposição detalhada 
das construções lógicas 
envolvendo proposições. 
É um bom complemento 
para a o estudo da teoria 
de conjuntos.
FILHO, E. A. São Paulo: Nobel, 2002.
Livro
1.2 Relações binárias
Vídeo Em matemática, ao se estudar determinados tipos de objetos, procuramos com-
preender as relações entre eles. Por exemplo, ao se estudar conjuntos, buscamos 
entender as relações entre conjuntos. Ao se estudar espaços vetoriais, na álgebra 
linear, tentamos compreender as relações existentes entre espaços vetoriais. Esse 
tipo de raciocínio permeia toda a matemática. E o que seriam essas relações? Elas 
podem assumir formas bastante distintas: funções, relações de ordem ou de equi-
valência, entre outras possibilidades.
Nesta seção, serão discutidos os tópicos necessários para que seja possível 
compreender plenamente os conceitos de funções, relações de ordem e relações 
de equivalência. Esses conceitos estarão presentes durante toda sua formação em 
Matemática. O ponto de partida é a definição de produto cartesiano de conjuntos.
Definição
Sejam X e Y conjuntos. O produto cartesiano de X por Y é o conjunto
X × Y ≔ {(x, y) | x ∈ X e y ∈ Y}
Os elementos (x, y) deste conjunto são denominados pares ordenados.
Note que, a princípio, um par ordenado (x, y) é apenas um sím-
bolo. Não o definimos explicitamente. Embora seja possível fazê-lo, 
não é conveniente para nossos propósitos. Mas como vai ser pos-
sível desenvolver a teoria sem efetivamente definir o que é um par 
ordenado?
O símbolo “≔” significa “igual 
por definição”.
Glossário
16 Aritmética
Na prática, será suficiente o entendimento de que os elementos de X × Y são 
pares (x, y) cuja primeira entrada consiste em um elemento de X e a segunda, em 
um elemento de Y. Adicionalmente, é necessário também saber quando dois pares 
ordenados são iguais. Isto é definido a seguir.
Definição
Dizemos que dois pares ordenados (x, y) e (z, w) de X × Y são iguais e escrevemos (x, y) = (z, w) 
se, e somente se, x = z e y = w, ou seja,
(x, y) = (z, w) ⇔ x = z e y = w
Você pode indagar, e com razão: mas X × Y não é simplesmente o conjunto 
{x, y | x ∈ X, y ∈ Y} de todos os elementos possíveis que se pode tomar de X e Y? 
Acontece que não. Para compreender isso, note que em X × Y os elementos (x, y) e 
(y, x) são diferentes, enquanto ambos dão origem aos mesmos elementos do con-
junto {x, y | x ∈ X, y ∈ Y}.
Para consolidar o entendimento, vamos apresentar alguns exemplos.
Σxemρlo 8
Sejam X = {a, b} e Y = {1}. Nesse caso, X × Y = {(a, 1), (b, 1)}.
Note que, por exemplo, (a, 1) ∈ X × Y, mas (1, a) ∉ X × Y. De fato, (1, a) não poderia 
pertencer ao conjunto X × Y, visto que 1 ∉ X. Contudo, note que
(1, a) ∈ Y × X = {(1, a), (1, b)}
Isso também ilustra o fato geral que X × Y ≠ Y × X.
Suponha X e Y dois conjuntos finitos. O raciocínio para obter todos os elementos 
de X × Y é simples: fixamos um elemento de X na primeira entrada do par ordenado 
e percorremos todo o conjunto Y, formando todos os pares ordenados possíveis 
com a primeira entrada que foi fixada.
Em seguida, já esgotados os elementos de Y, fixamos o próximo elemento de X 
na primeira entrada do par ordenado e repetimos o procedimento, variando todos 
os elementos possíveis de Y na segunda entrada.
Prosseguimos com essa ideia até esgotar todos os elementos de X. Obviamente, 
esse raciocínio é aplicável apenas quando X e Y têm um número finito de elemen-
tos. Contudo, também tem sentido formar produtos cartesianos com conjuntos 
infinitos, conforme será ilustrado a seguir.
Teoria elementar dos conjuntos 17
Σxemρlo 9
Sejam X = ℝ e Y = {1, 2}. Note que ℝ é um conjunto infinito. Nessa situação, o 
produto cartesiano ℝ × Y é dado por
ℝ × Y = {(x, 1), (y, 2) | x, y ∈ ℝ}
Note que, nesse caso, ℝ × Y também é um conjunto infinito.
Naturalmente, é possível formar o produto cartesiano de dois conjuntos infini-
tos, conforme verificamos a seguir.
Σxemρlo 10
Sejam X = ℝ e Y = ℤ. Nesse caso, tanto ℝ quanto ℤ são infinitos e o produto car-
tesiano ℝ × ℤ é dado por
ℝ × ℤ = {(x, y) | x ∈ ℝ e y ∈ ℤ}
Em particular, ℝ × ℤ também possui infinitos elementos.
Mas afinal, qual é a utilidade prática para o produto cartesiano de dois conjun-
tos? A grandeutilidade está no fato de que o produto cartesiano permite capturar 
relações existentes entre dois conjuntos. Para elaborar a respeito, é necessário de-
finir o que se entende por relação entre conjuntos.
Definição
Sejam X e Y conjuntos. Uma relação de X em Y é um subconjunto
ℛ ⊂ X × Y
Nesse caso, se (x, y) ∈ ℛ, dizemos que x se relaciona com y por meio de ℛ, e escrevemos xℛy 
(lê-se x “erre” y). Caso X = Y, dizemos que ℛ é uma relação em X.
Por definição, uma relação de X em Y é meramente um subconjunto do produ-
to cartesiano X × Y, ou seja, uma escolha de certos pares ordenados pertencentes 
a X × Y.
Cabe salientarmos que a notação xℛy significa efetivamente a pertinência (x, y) 
∈ ℛ. Em particular, é possível escrever ℛ como o conjunto
ℛ = {(x, y) ∈ X × Y | xℛy}
18 Aritmética
A razão de introduzir a notação xℛy se dá pela praticidade, principalmente 
quando estudamos as relações de ordem e de equivalência.
Note que, de acordo com nossa definição, qualquer subconjunto do produto 
cartesiano X × Y é uma relação de X em Y. Sendo assim, a noção de relação ainda 
não tem qualquer utilidade prática. Para ser útil, é necessário restringir o estudo 
a relações que tenham propriedades particulares. Isso será feito ao longo desta 
seção. Mas, antes de prosseguir, vamos observar alguns exemplos.
Σxemρlo 11
Sejam X = {a, b} e Y = {1}. Nessa situação,
X × Y = {(a,1), (b,1)}
Em particular, as relações possíveis de X em Y são:
 • ℛ1 = ϕ;
 • ℛ2 = {(a,1)};
 • ℛ3= {(b,1)};
 • ℛ4 = X × Y.
Não existem quaisquer outras relações de X em Y, dado que ϕ, ℛ2, ℛ3 e X × Y são 
os únicos subconjuntos de X × Y.
Conforme ilustrado no exemplo anterior, o conjunto vazio ϕ e o próprio produto 
cartesiano X × Y sempre são relações de X em Y.
Caso um dos conjuntos X ou Y seja infinito não é possível listar todas as rela-
ções possíveis de X em Y, dado que, nessa situação, existem infinitos subconjuntos 
de X × Y. No entanto, é possível trabalhar com relações nessa situação, conforme 
exemplificado a seguir.
Σxemρlo 12
Sejam X = ℝ e Y = ℝ. Considere
ℛ ≔ {(x, y) ∈ ℝ × ℝ | x + y = 1}
Por definição, ℛ é subconjunto de ℝ × ℝ e, portanto, é uma relação em ℝ. Por 
exemplo, temos que 0ℛ1, pois (0, 1) ∈ ℝ × ℝ e 0 + 1 = 1.
Porém, 0 (zero) não se relaciona com 2 por meio de ℛ, mesmo que (0, 2) ∈ ℝ × ℝ. 
De fato, temos que 0 + 2 = 2 ≠ 1 e, portanto, (0, 2) ∉ ℛ. É conveniente escrever a 
relação ℛ como
ℛ = {(x, 1 – x) | x ∈ ℝ}
pois nesta escrita, é possível determinar diretamente todos os membros da relação 
ℛ, bastando percorrer todos os x ∈ ℝ.
(Continua)
Teoria elementar dos conjuntos 19
Em particular, é possível interpretar geometricamente a relação ℛ. Para isso, 
desenhe dois eixos ortogonais em um plano. O eixo horizontal representará o con-
junto das primeiras entradas dos pares pertencentes a ℛ, enquanto o eixo vertical 
representará o conjunto das segundas entradas dos pares pertencentes a ℛ. A re-
lação ℛ corresponde à reta passando pelos pontos (0, 1) e (1, 0), respectivamente, 
conforme ilustramos na Figura 1.
Figura 1
Reta que representa a relação ℛ
ℝ
ℝ
ℛ
1
10
Fonte: Elaborada pelo autor.
As relações que aparecem na prática são mais que um mero subconjunto de um 
produto cartesiano. Em geral, elas costumam ter determinadas propriedades, que 
podem ser variadas; algumas delas serão apresentadas a seguir, principalmente 
aquelas que serão úteis em nossos estudos.
Definição
Seja X um conjunto e ℛ uma relação em X. Dizemos que ℛ é uma relação:
I. Reflexiva, se xℛx, para todo x ∈ X.
II. Simétrica, se dados x, y ∈ X, tais que xℛy, então yℛx.
III. Antissimétrica, se dados x, y ∈ X, tais que xℛy e yℛx, então x = y.
IV. Transitiva, se dados x, y, z ∈ X, tais que xℛy e yℛz, então xℛz.
Note que as propriedades I, II e III não teriam sentido no caso de uma relação 
ℛ ⊂ X × Y com X ≠ Y. Essa é a razão pela qual restringimo-nos às relações em X.
A seguir, serão apresentados alguns exemplos de relações que tenham as pro-
priedades da definição anterior.
Σxemρlo 13
Considere o conjunto X = {1, 2, 3} e a relação
ℛ = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)}
Essa relação é reflexiva, pois 1ℛ1, 2ℛ2 e 3ℛ3, ou seja, xℛx, para todo x ∈ X.
20 Aritmética
A seguir, temos um exemplo de relação simétrica e de uma relação que não é 
simétrica.
Σxemρlo 14
Considere X = {1, 2, 3, …} o conjunto dos inteiros positivos e defina
xℛy ⇔ x + y = 12
Note que é possível escrever ℛ como:
ℛ = {(x, y) ∈ X × X | x + y = 12}
mas isso não é estritamente necessário para a discussão. Temos que essa relação 
é simétrica, pois se x, y ∈ X são tais que xℛy, então
x + y = 12
e, portanto,
y + x = 12
ou seja, yℛx.
Contudo, a relação
x𝒮y ⇔ x divide y
não é simétrica. De fato, temos que, por exemplo, 3𝒮6, já que 3 divide 6, mas 6 não 
se relaciona com 3 por meio de 𝒮, dado que 6 não divide 3.
O próximo exemplo fornece a ilustração de uma relação antissimétrica.
Σxemρlo 15
Considere o conjunto dos inteiros positivos X = {1, 2, 3, …} e
xℛy ⇔ x divide y
Essa relação é antissimétrica, pois, se xℛy e yℛx, temos que x divide y e y divide x. 
 Isso só pode acontecer caso x = y. No exemplo anterior, mostramos que ℛ não é 
simétrica.
Finalmente, o próximo exemplo fornece uma relação que é transitiva.
Σxemρlo 16
Seja X o conjunto de triângulos no plano. Definimos ℛ ⊂ X × X da seguinte forma:
T1ℛT2 ⇔ T1 é semelhante a T2
(Continua)
Teoria elementar dos conjuntos 21
Essa é uma relação transitiva. De fato, se T1, T2 e T3 são triângulos tais que T1ℛT2 
e T2ℛT3, então T1 é semelhante a T2 e T2 é semelhante a T3. Logo, utilizando a geo-
metria plana, segue que T1 é semelhante a T3, ou seja, T1ℛT3, mostrando assim a 
transitividade.
De fato, ℛ também é reflexiva e simétrica, pois todo triângulo é semelhante a 
si próprio e, se um triângulo é semelhante a outro, então este é semelhante ao 
primeiro.
Toda relação tem um domínio, um contradomínio e uma imagem. Isso é im-
portante, sobretudo, para que possamos discutir funções injetivas, sobrejetivas e 
bijetivas. A definição do domínio, do contradomínio e da imagem de uma relação é 
apresentada a seguir.
Definição
Sejam X e Y conjuntos e ℛ ⊂ X × Y uma relação de X em Y. Então:
I. O domínio de ℛ é o conjunto
D(ℛ) ≔ {x ∈ X | ∃ y ∈ Y; xℛy}.
II. O conjunto de partida de ℛ é o conjunto X.
III. O conjunto de chegada ou contradomínio de ℛ é o conjunto Y.
IV. A imagem de ℛ é o conjunto
I(ℛ) ≔ {y ∈ Y | ∃ x ∈ X; xℛy}.
Em outras palavras, o domínio de uma relação é o conjunto de todas as primei-
ras entradas dos pares ordenados que pertencem a ℛ, enquanto a imagem é o 
conjunto de todas as segundas entradas de tais pares.
O conjunto de partida é simplesmente o conjunto X do produto cartesiano X × Y, 
já o contradomínio é o conjunto Y de X × Y. Geralmente, a imagem de uma relação 
pode ser diferente de seu conjunto de chegada, bem como o domínio pode ser 
diferente do conjunto de partida. Isso será esclarecido nos próximos exemplos.
Σxemρlo 17
Considere os conjuntos
X = {1, 2, 3, 4, 5} e Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Definimos a relação ℛ ⊂ X × Y por
xℛy ⇔ y = 2x
Nessa situação,
ℛ = {(x, y) ∈ X × Y | y = 2x} = {(x, 2x) | x ∈ X}
 = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}
(Continua)
22 Aritmética
Em particular, temos que
D(ℛ) = {1, 2, 3, 4, 5} = X
 I(ℛ) = {2, 4, 6, 8, 10}
Nesse caso, a imagem de ℛ é diferente do contradomínio Y de ℛ.
No exemplo anterior, o domínio da relação ℛ ⊂ X × Y coincidia com todo o con-
junto X. Isso nem sempre é válido para uma relação, conforme exemplificamos a 
seguir.
Σxemρlo 18
Considere os conjuntos X = {–2, –1, 0, 1, 2} e Y = {–1, 0, 1}. Definimos a relação 
ℛ ⊂ X × Y por
xℛy ⇔ x2 + y2 = 1
Nesse caso,
ℛ = {(x, y) ∈ X × Y | x2 + y2 = 1} = {(–1, 0), (0, 1), (0, –1), (1, 0)}
Consequentemente,
D(ℛ) = {–1, 0, 1} ≠ X
enquanto
I(ℛ) = {–1, 0, 1} = Y
Nessa situação, o conjunto de partida é X, mas o domínio é diferente de X.
Toda relação possui uma relação inversa, conforme definimos a seguir.
Definição
Sejam Xe Y conjuntos e ℛ ⊂ X × Y uma relação. A inversa de ℛ é a relação
ℛ–1 ⊂ Y × X
definida por
yℛ–1x ⇔ xℛy
com x ∈ X e y ∈ Y.
Em termos de conjuntos, é possível escrever a relação inversa de ℛ como
ℛ–1 = {(y, x) ∈ Y × X | (x, y) ∈ ℛ}
Em outras palavras, ℛ–1 é obtida por meio de ℛ invertendo-se a ordem dos pares 
ordenados pertencentes a ℛ. Vamos ilustrar isso com um exemplo.
Teoria elementar dos conjuntos 23
Σxemρlo 19
Sejam X = {1, 2, 3} e Y = {a, b}. Considere a relação
ℛ = {(1, a), (1, b), (2, a), (3, b)} ⊂ X × Y
Neste caso,
ℛ–1 = {(a, 1), (b, 1), (a, 2), (b, 3)} ⊂ Y × X
Note que, pela definição,
 • D(ℛ–1) = I(ℛ);
 • I(ℛ–1) = D(ℛ);
 • (ℛ–1)–1 = ℛ.
ou seja, o domínio da relação inversa coincide com a imagem da relação dada; a 
imagem da relação inversa coincide com o domínio da relação dada; e, finalmente, 
a inversa da relação inversa coincide com a relação original dada.
No âmbito das relações, há uma operação entre elas que merece destaque. É a 
operação de composição de relações, definida a seguir.
Definição
Sejam X, Y e Z conjuntos e ℛ ⊂ X × Y e 𝒮 ⊂ Y × Z relações. Definimos a composta de ℛ e 𝒮, 
denotada por 𝒮 ∘ ℛ (lê-se “s bola r”) como a relação de X em Z definida por
x𝒮 ∘ ℛz ⇔ ∃ y ∈ Y, tal que xℛy e yℛz
com x ∈ X e z ∈ Z.
Em termos de conjuntos, é possível escrever a relação S ∘ ℛ como
𝒮 ∘ ℛ = {(x, z) ∈ X × Z | ∃ y ∈ Y; (x, y) ∈ ℛ e (y, z) ∈ 𝒮}
Note que, por definição, 𝒮 ∘ ℛ é uma relação de X em Z. Além disso, para que te-
nha sentido, é necessário que o conjunto de chegada de ℛ coincida com o conjunto 
de partida de 𝒮.
A seguir, exemplificamos a definição de relação composta.
Σxemρlo 20
Sejam X = {1, 2, 3, 4}, Y = {m, n, p, q} e Z = {5, 6, 7, 8}. Considere as relações
ℛ = {(1, m), (1, n), (2, m), (3, q), (4, q)} ⊂ X × Y
𝒮 = {(n, 5), (n, 6), (p, 8), (q, 7)} ⊂ Y × Z
Como o conjunto de chegada de ℛ coincide com o conjunto de partida de 𝒮, é 
possível formar a composição 𝒮 ∘ ℛ, que é dada por
(Continua)
24 Aritmética
𝒮 ∘ ℛ = {(1, 5), (1, 6), (3, 7), (4, 7)}
Note que para obter 𝒮 ∘ ℛ basta observar atentamente aqueles pares em ℛ cuja 
segunda entrada aparece como primeira entrada dos pares em 𝒮.
Para finalizar esta seção, vamos introduzir uma relação especial, denominada 
relação identidade. Ela é importante na discussão de funções.
Definição
Seja X um conjunto. A identidade de X é a relação em X definida por
xℛy ⇔ x = y
sendo x, y ∈ X.
Em termos de conjuntos, id
X 
= {(x, x) | x ∈ X}
Para compreender melhor a definição de relação identidade, acompanhe o 
exemplo a seguir. 
Σxemρlo 21
Se X = {a, b}, então idX = {(a, a), (b, b)}.
Note que se ℛ ⊂ X × Y é uma relação qualquer, então
ℛ ∘ idX = ℛ e idY ∘ ℛ = ℛ
Em outras palavras, compor uma relação com a identidade não tem qualquer 
efeito.
1.3 Funções
Vídeo Anteriormente, apresentamos alguns tipos de relações que existem em um 
mesmo conjunto: reflexiva, simétrica, antissimétrica e transitiva. E quanto ao caso 
de relações entre conjuntos distintos? Nessa situação, as relações mais relevantes 
são as funções. Em particular, toda função é uma relação, conforme será definido 
a seguir.
O livro Relações binárias, 
escrito Edgard de Alencar 
Filho, é excelente para 
aprofundar o conhecimen-
to a respeito dessas rela-
ções. A obra é recheada 
de exemplos e exercícios, 
sendo um complemento 
perfeito para os tópicos 
estudados nessa seção.
FILHO, E. A. São Paulo: Nobel, 1984.
Livro
Teoria elementar dos conjuntos 25
Definição
Sejam X e Y conjuntos. Uma função de X em Y é uma relação f ⊂ X × Y tal que:
I. Para todo x ∈ X, existe y ∈ Y tal que xfy.
II. Se x ∈ X, y, y’ ∈ Y são tais que xfy e xfy’, então y = y’.
Nesse caso, escrevemos y = f(x) para significar xfy e a relação f ⊂ X × Y é denotada por f: X → Y.
A definição anterior pode ser resumida ao afirmarmos que uma função f de X 
em Y é uma relação que associa a cada elemento de X um único elemento de Y. In-
tuitivamente, devemos pensar em uma função de X em Y como um dispositivo que 
pega um elemento x ∈ X e o transforma em um elemento y ∈ Y, sendo y unicamente 
determinado.
A seguir serão apresentados alguns exemplos de funções.
Σxemρlo 22
Defina a relação f ⊂ ℝ × ℝ como
xfy ⇔ y = x2
Essa relação representa uma função de ℝ em ℝ. De fato,
I. Dado x ∈ ℝ, temos que x2 = x2, logo xfx2;
II. Se x, y, y’ ∈ ℝ são tais que xfy e xfy’, então y = x2 e y’ = x2, implicando em y = y’.
Portanto, as condições I e II da definição anterior estão satisfeitas e, assim, f 
trata-se de uma função. Perceba que, em termos de conjuntos, temos
f = {(x, y) | y = f(x)} = {(x, y) | y = x2} = {(x, x2) | x ∈ ℝ}
Note que, por definição, um elemento x ∈ ℝ está relacionado ao elemento x2 ∈ ℝ 
por meio de f e a nenhum outro. Nesse sentido, observamos que f transforma o 
elemento x ∈ ℝ no elemento x2 ∈ ℝ.
Na seção anterior discutimos a relação identidade. Essa relação é sempre uma 
função, conforme explicamos a seguir.
Σxemρlo 23
Seja X um conjunto e idX a relação identidade. Temos que idX é uma função. De 
fato,
idX = {(x, x) | x ∈ X}
e, portanto, D(idX) = X. Além disso, se x, y, y’ ∈ X são tais que (x, y), (x, y’) ∈ idX, então, 
pela definição de idX, segue que y = x = y’.
(Continua)
26 Aritmética
Portanto, idX: X → X é uma função. Note que,
xidXy ⇔ (x, y) ∈ idX ⇔ y = x ⇔ x = idX(x)
Portanto, idX(x) = x, qualquer que seja x ∈ X.
É importante ilustrar que nem toda relação constituirá uma função. Isso é feito 
no exemplo a seguir.
Σxemρlo 24
Considere a relação f ⊂ ℝ × ℝ definida por
xfy ⇔ x2 + y2 = 1
Nesse caso,
f = {(x, y) ∈ ℝ × ℝ | x2 + y2 = 1}
É possível ilustrar f no plano cartesiano como um círculo unitário centrado em 
(0, 0), como na Figura 2.
Figura 2
Círculo unitário centrado na origem
–1 1
Fonte: Elaborada pelo autor.
Embora f seja uma relação em ℝ, f não é uma função. De fato, considerando, por 
exemplo, x = –2, não existe y ∈ ℝ tal que xfy. Em particular, a definição de função 
não fica satisfeita.
Dentre as funções que aparecem com frequência na matemática, destacamos 
as funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras. Tais classes de funções serão defini-
das a seguir.
Teoria elementar dos conjuntos 27
Definição
Sejam X e Y conjuntos. Dizemos que uma função f: X → Y é:
I. Injetora, se para todo x, y ∈ X tais que x ≠ y, temos f(x) ≠ f(y).
II. Sobrejetora, se para todo y ∈ Y, existe x ∈ X tal que y = f(x).
III. Bijetora, se f é injetora e sobrejetora.
Dizer que uma função é injetora significa que ela transforma elementos diferen-
tes no domínio em elementos diferentes no contradomínio.
Já a sobrejetividade de uma função significa que todo elemento de seu contra-
domínio é um elemento de sua imagem. Como a imagem é sempre um subcon-
junto do contradomínio, a sobrejetividade significa, precisamente, que a imagem é 
igual ao contradomínio.
Em geral, para mostrar que uma função f: X → Y é injetora, costumamos utilizar 
a forma contrapositiva da proposição enunciada em I. Em outras palavras, uma 
função f: X → Y é injetora se, sempre que x, y ∈ X são tais que f(x) = f(y), temos que 
x = y. Isso é esclarecido com o exemplo a seguir.
Σxemρlo 25
Considere a função f: ℝ → ℝ definida por f(x) = 2x – 1. Essa função é injetora, pois 
se x, y ∈ ℝ são tais que f(x) = f(y), então
2x – 1 = 2y – 1
Portanto, adicionando 1 a ambos os membros e, em seguida, fazendo a divisão 
por 2, resulta que x = y.
No caso de funções numéricas, a sobrejetividade também pode ser verificada 
resolvendo uma equação, conforme ilustrado a seguir.
Σxemρlo 26
A função f: ℝ → ℝ definida por f(x) = 2x – 1 é sobrejetiva. De fato, dado y ∈ ℝ 
desejamos verificar a existência de x ∈ ℝ tal que y = f(x), ou seja, tal que
y = 2x – 1
Resolvendo essa equação para o y dado, temos que
x y� �1
2
(Continua)
28 Aritmética
Agora, é importante garantir que x pertence ao domínio da função. Neste exem-
plo, é o caso, pois
x y� �1
2
 ∈ ℝ
O fato de ter sido possível resolver a equação y = f(x) para um elemento x no 
domínio de f assegura a sobrejetividadede f.
Note que a função utilizada nos últimos dois exemplos é bijetiva, pois demons-
tramos que ela é tanto injetora, quanto sobrejetora.
Particularmente, as funções bijetoras são de extrema importância para a 
matemática e, certamente, estarão presentes ao longo de todo nosso estudo. 
Tais funções possuem a característica de admitirem uma inversa, conforme 
demonstramos a seguir.
Teorema
Sejam X e Y conjuntos e f: X → Y uma função. A relação inversa f–1 ⊂ Y × X é uma 
função se, e somente se, f é bijetora.
Demonstração
Suponha que f–1 seja uma função. Para verificar a injetividade de f, considere 
x, y ∈ X tais que f(x) = f(y). Nesse caso, (x, f(y)) ∈ f e, portanto, (f(y), x) ∈ f–1.
Porém, (y, f(x)) ∈ f e, portanto, (f(x), y) ∈ f–1. Como f(x) = f(y), temos que z = f(x) = f(y) 
é tal que (z, x), (z, y) ∈ f–1. Sendo f–1 função, decorre que x = y. Em particular, f 
é injetora.
Resta verificar que f é sobrejetora. Para tanto, considere y ∈ Y. Sendo f–1 uma 
função e y ∈ D(f–1), existe x ∈ X tal que (y, x) ∈ f–1. Mas isso significa que (x, y) ∈ f, ou 
seja, y = f(x). Portanto, f é sobrejetora.
Por outro lado, suponha que f seja bijetora. Para mostrar que f–1 é função é ne-
cessário verificar:
 • D(f–1) = Y;
 • Se (y, z1), (y, z2) ∈ f–1, então z1 = z2.
A igualdade D(f–1) = Y é imediata, pois como f é sobrejetora, temos que I(f) = Y e, 
portanto,
D(f–1) = I(f) = Y
Suponha então que (y, z1), (y, z2) ∈ Y × X são tais que (y, z1), (y, z2) ∈ f–1. Isso sig-
nifica que (z1, y), (z2, y) ∈ f, ou seja, y = f(z1) = f(z2). Sendo f injetora, deduzimos que 
z1 = z2. Portanto, f
–1 é função.
∎
∎: significa que a demonstracao
foi encerrada. Isso auxilia a
leitura, pois separa o argumento
e a demonstracao do restante
do texto. 
Glossário
Teoria elementar dos conjuntos 29
Em resumo, sempre que f: X → Y é uma função bijetora, existe a função inversa 
f–1: Y → X. Cabe destacar que a relação inversa f–1 sempre existe, porém, só é uma 
função quando f é bijetora.
O seguinte resultado é bastante útil na prática.
Teorema
Uma função f: X → Y é uma função bijetora se, e somente se, existe uma função 
g: Y → X, tal que f ∘ g = idY e g ∘ f = idX. Neste caso, g = f–1.
Demonstração
Suponha que f é bijetora. Neste caso, existe a função g ≔ f–1: Y → X. Além disso,
g ∘ f = f–1 ∘ f = idY e f ∘ g = f ∘ f–1 = idX
Por outro lado, suponha que exista g: Y → X, tal que
f ∘ g = idY e g ∘ f = idX
É necessário verificar que f é bijetora. Vamos mostrar que g = f–1. Para isso, con-
sidere (y, x) ∈ g, ou seja, x = g(y). Nesse caso, temos que
f(x) = f(g(y)) = (f ∘ g)(y) = idY(y) = y
e, portanto, (x, y) ∈ f, ou seja, (y, x) ∈ f–1. Isso mostra a inclusão g ⊂ f–1.
Resta verificar a inclusão contrária f–1 ⊂ g. Para tanto, seja (y, x) ∈ f–1. Isso significa 
que x = f–1(y), ou seja, y = f(x). Consequentemente,
g(y) = g(f(x)) = (g ∘ f)(x) = idX(x) = x
Logo, (y, x) ∈ g. Isso mostra a igualdade g = f–1.
∎
O seguinte exemplo mostra como é possível aplicar o resultado anterior.
Σxemρlo 27
Considere a função f: ℝ → ℝ definida por f(x) = 2x + 1. Essa função é bijetora. Para 
demonstrar isso, note que g: ℝ → ℝ definida por
g y y( ) � �1
2
é tal que
( )( ) ( ( ))f g y f g y f y y y y � � ��
�
�
�
�
� � �
��
�
�
�
�
� � � � � �
1
2
2 1
2
1 1 1
e
A Coleção Fundamentos 
da Matemática Elementar, 
em seus vários volumes, 
além de abordar diversos 
tópicos que são que são 
contemplados no curso de 
graduação em Matemáti-
ca, apresenta discussões 
detalhadas com muitos 
exemplos e exercícios. 
Para complementar o 
estudo desse conteúdo, 
vale conferir o primeiro 
volume referente a teoria 
de conjuntos e funções.
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. São Paulo: 
Atual, 2004. (Coleção Fundamentos 
de Matemática Elementar).
Livro
(Continua)
30 Aritmética
( ) ( ) ( ( ))g f x g f x g x x x x � � �� � � � � � �2 1 2 1 1
2
2
2
Portanto, f ∘ g = idℝ e g ∘ f = idℝ. Em particular, f é bijetora e
f y g y y� � � �1 1
2
( ) ( )
Além das funções, existem outros tipos de relações que são muito relevantes 
para a aritmética. Dentre estas, destacam-se as relações de ordem, objeto de estu-
do da próxima seção.
1.4 Relações de ordem
Vídeo Relações de ordem constituem uma abstração da relação “maior que ou 
igual” entre números. São três as propriedades que configuram uma relação 
de ordem: reflexividade, antissimetria e transitividade, conforme apresentado 
a seguir.
Definição
Seja X um conjunto. Uma relação de ordem em X é uma relação ≼ em X tal que:
• ≼ é reflexiva: para todo x ∈ X, vale x ≼ x;
• ≼ é antisimetrica: se x, y ∈ X são tais que x ≼ y e y ≼ x, então x = y;
• ≼ é transitiva: se x, y, z ∈ X são tais que x ≼ y e y ≼ z, então x ≼ z.
Se x ≼ y, dizemos que x precede y. Caso x ≼ y e x ≠ y, escrevemos x ≺ y e dizemos 
que x precede estritamente y.
No lugar de x ≼ y, podemos escrever y ≽ x e dizemos, neste caso, que y sucede 
x. Analogamente, a notação y ≻ x significa que y sucede x estritamente, ou seja, 
y ≽ x e y ≠ x.
A seguir serão apresentados alguns exemplos de relações de ordem.
Σxemρlo 28
Seja X = ℕ o conjunto dos números naturais. Defina ≼ da seguinte forma
x ≼ y ⇔ x é menor que ou igual a y
Isso define uma relação de ordem em ℕ. De fato,
I. Todo número natural x é igual a si próprio e, portanto, x ≼ x.
II. Se x e y são dois números naturais, tais que x é menor que ou igual a y e y é 
menor que ou igual a x, então, necessariamente, x = y.
(Continua)
Teoria elementar dos conjuntos 31
III. Se um número natural x é menor que ou igual um número natural y e y é 
menor que ou igual um número natural z, então x é menor que ou igual a z.
Essa argumentação não é precisa o suficiente. Para formalizá-la, é necessário dis-
cutir a construção dos números naturais com bastante cuidado e, com base nisso, 
definir o que significa ser “menor que ou igual a” no conjunto dos números naturais. 
Esse tipo de formalização faz parte do estudo da aritmética dos números naturais.
A seguir, será apresentado um exemplo que ilustra que relações de ordem po-
dem ser definidas até mesmo para conjuntos não numéricos, isto é, para conjuntos 
cujos elementos não são números.
Σxemρlo 29
Seja X um conjunto e P(X) = {A | A é subconjunto de X}. Definimos em P(X) a relação
A ≼ B ⇔ A ⊂ B
Essa é uma relação de ordem em X. De fato,
I. Para todo A ∈ P(X), isto é, para todo subconjunto de X vale A ⊂ A e, portanto, 
A ≼ A.
II. Se A, B ∈ P(X) são tais que A ≼ B e B ≼ A, então A ⊂ B e B ⊂ A, de modo que 
A = B.
III. Finalmente, se A, B, C ∈ P(X) são tais que A ≼ B e B ≼ C, então A ⊂ B e B ⊂ C, 
o que implica A ⊂ C, isto é, A ≼ C.
O exemplo anterior ilustra o caráter abstrato que uma relação de ordem pode ter. 
Entretanto, na aritmética, as relações de ordem que aparecem com mais frequên-
cia são aquelas definidas em conjuntos numéricos e, portanto, mais manipuláveis.
O próximo exemplo ilustra que, além da relação menor que ou igual a, a relação 
de divisibilidade é de ordem no conjunto dos números naturais.
Σxemρlo 30
A relação ℛ definida por: 
xℛy ⇔ x divide y
no conjunto dos números naturais, é uma relação de ordem. 
De fato:
I. Todo número natural x divide a si próprio, ou seja, ℛ é reflexiva.
II. Se x e y são números naturais tais que x divide y e y divide x, então, neces-
sariamente, x = y. Portanto, ℛ é antissimétrica. 
O livro Álgebra destaca-se 
pela abordagem simples, 
clara e direta. Os principais 
pontos fortes são os 
muitos exemplos, os 
exercícios resolvidos e os 
exercícios propostos. Vale 
conferir tanto esse título 
quanto os demais disponí-
veis na mesma coleção.
SPIEGEL, M. R.; MOYER, R. E. 4. 
ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 
(Coleção Schaum)
Livro
(Continua)
32 Aritmética
III. Se x, y e z são números naturais tais que x divide y e y divide z, então, x divi-
de z. Isso mostra que ℛ é transitiva.
Novamente, para melhor formalizarmos os argumentos anteriores, é necessá-
rio que estudemos de maneira rigorosa a divisibilidade no conjunto dos números 
naturais. 
Um dos tipos mais importantesde relações é a de equivalência, que será estu-
dada na próxima seção
1.5 Relações de equivalência
Vídeo Na matemática existem situações em que dois objetos têm propriedades idên-
ticas, tornando-se indistinguíveis na teoria. Por exemplo, na Geometria Analítica te-
mos o conceito de vetor. Quaisquer dois segmentos de reta que possuam o mesmo 
comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido representam o mesmo vetor e, 
portanto, são indistinguíveis do ponto de vista da Geometria Analítica.
Isso acontece em diversas outras instâncias na matemática. A formalização des-
sa ideia passa pelo conceito de relação de equivalência, objeto de estudo desta 
seção.
Uma relação de equivalência é uma relação em um conjunto que permite iden-
tificar elementos que tenham determinada propriedade. De maneira precisa, a de-
finição é dada a seguir.
Definição
Seja X um conjunto. Uma relação ℛ ⊂ X × X em um conjunto X é dita uma relação de equi-
valência em X se
I. ℛ é reflexiva, ou seja, se x ∈ X, então xℛx.
II. ℛ é simétrica, ou seja, se x, y ∈ X são tais que xℛy, então yℛx.
III. ℛ é transitiva, ou seja, se x, y, z ∈ X são tais que xℛy e yℛz, então xℛz.
Se xℛy dizemos que “x é equivalente a y módulo ℛ”.
Por definição, dizer que ℛ é uma relação em X significa que ℛ ⊂ X × X, ou seja, 
ℛ é um conjunto de pares ordenados de X. Além disso, a notação xℛy significa que 
(x, y) ∈ ℛ. Em particular, qualquer subconjunto ℛ ⊂ X × X é um candidato a ser uma 
relação de equivalência em X.
Para verificar se ℛ ⊂ X × X é, de fato, uma relação de equivalência, é necessário 
testar a validade das propriedades I, II e III da definição anterior.
Mas qual é a relevância de uma relação de equivalência? Isso ficará claro ao 
longo do texto, principalmente quando introduzirmos o conjunto dos números in-
teiros. Por enquanto, vamos contemplar alguns exemplos.
Teoria elementar dos conjuntos 33
Σxemρlo 31
Seja L o conjunto das retas no plano. Definimos a relação ℛ em L da seguinte 
forma:
ℓ1ℛℓ2 ⇔ ℓ1 é paralela à ℓ2
Isso define uma relação de equivalência em L.
De fato, toda reta no plano é paralela a si própria, ou seja, ℛ é reflexiva. Além 
disso, se a reta ℓ1 é paralela à reta ℓ2, então a reta ℓ2 é paralela à reta ℓ1, isto é, ℛ é 
uma relação simétrica.
Finalmente, se uma reta ℓ1 é paralela à uma reta ℓ2 e ℓ2, por sua vez, é paralela 
a outra reta ℓ3, então, necessariamente, ℓ1 é paralela a ℓ3, mostrando assim, que ℛ 
é uma relação transitiva.
Sendo reflexiva, simétrica e transitiva, ℛ é uma relação de equivalência em L.
O exemplo anterior possui caráter geométrico. Em contraste, o próximo exem-
plo tem caráter puramente algébrico.
Σxemρlo 32
Considere o conjunto ℤ dos números inteiros. Definimos
xℛy ⇔ existe k ∈ ℤ tal que y – x = 2k
Esta é uma relação de equivalência em ℤ.
De fato, se x ∈ ℤ, então
x – x = 0 = 2 ⋅ 0
e, portanto, xℛx. Isso significa que ℛ é reflexiva. 
Suponha então que x, y ∈ ℤ são tais que xℛy. Nesse caso, existe k ∈ ℤ tal que
y – x = 2k
Consequentemente,
x – y = –2 ⋅ k = 2 ⋅ (–k)
Como –k ∈ ℤ, temos, em particular, que yℛx. Isso revela a simetria de ℛ.
Finalmente, ℛ é transitiva. Para demonstrar isso, suponha que x, y, z ∈ ℤ são tais 
que xℛy e yℛz. Por definição, existem k, l ∈ ℤ tais que
y – x = 2k e z – y = 2l
Consequentemente,
z – x = (z – y) + (y – x) = 2l + 2k = 2 ⋅ (l + k)
Como l + k ∈ ℤ, deduzimos que xℛz, mostrando assim a transitividade.
34 Aritmética
Existem inúmeros exemplos de relações de equivalência espalhados por toda 
a matemática. Por isso, ao longo do texto, alguns exemplos surgirão naturalmente 
para esclarecer a teoria abordada. Agora, vamos discutir outros aspectos teóricos a 
respeito das relações de equivalências. São eles: as noções de classe de equivalên-
cia e o conjunto quociente.
Dada uma relação de equivalência ℛ em um conjunto X e um elemento qualquer 
x ∈ X, é natural indagar quais são os elementos de X que se relacionam com x mó-
dulo ℛ. Esse raciocínio conduz diretamente à definição de classe de equivalência, 
apresentada a seguir.
Definição
Seja ℛ uma relação de equivalência em um conjunto X e x ∈ X. O conjunto
[x] ≔ {y ∈ X | yℛx}
é denominado de classe de equivalência de x módulo ℛ. Nesse caso, dizemos também que x é 
um representante dessa classe de equivalência.
Neste momento, é necessário fazermos um alerta. Por definição, a classe de 
equivalência [x] representada por x ∈ X é um subconjunto de X, ou seja, não é um 
elemento de X. Isto será importante posteriormente.
Essa definição parece ser bastante abstrata em um primeiro momento e, para 
esclarecer, vamos discutir isso nos exemplos a seguir.
Σxemρlo 33
No Exemplo 31 demonstramos que a relação
xℛy ⇔ existe k ∈ ℤ tal que y – x = 2k
definida em ℤ, é uma relação de equivalência.
Vamos determinar algumas classes de equivalência. Por exemplo,
 • A classe de equivalência do 0 (zero):
[0] = {y ∈ ℤ | yℛ0} = {y ∈ ℤ | ∃ k ∈ ℤ tal que y – 0 = 2k} = {2k | k ∈ ℤ}
ou seja, [0] é o conjunto dos inteiros pares.
 • A classe de equivalência do 1 (um):
[1] = {y ∈ ℤ | yℛ1} = {y ∈ ℤ | ∃ k ∈ ℤ tal que y – 1 = 2k} = {2k + 1 | k ∈ ℤ}
Portanto, [1] coincide com o conjunto de todos os inteiros ímpares.
 • A classe de equivalência do 2 (dois):
[2] = {y ∈ ℤ | yℛ2} = {y ∈ ℤ | ∃ k ∈ ℤ tal que y – 2 = 2k}
= {2 ⋅ (k + 1) | k ∈ ℤ}
e este é o conjunto dos inteiros pares, ou seja, [2] = [0].
Teoria elementar dos conjuntos 35
Vamos explorar um exemplo adicional, a fim de fixar o entendimento.
Σxemρlo 34
Considere o conjunto ℝ2 = {(x, y) | x, y ∈ ℝ}, sendo ℝ o conjunto dos números 
reais. Definimos a relação
(x, y)ℛ(z, w) ⇔ y = w
Temos que ℛ é uma relação de equivalência em ℝ2. Com efeito, a relação ℛ é 
reflexiva, pois se (x, y) ∈ ℝ2, temos (x, y)ℛ(x, y), uma vez que y = y.
A relação ℛ também é simétrica. De fato, se (x, y), (z, w) ∈ ℝ2 são tais que 
(x, y)ℛ(z, w), então y = w, de forma que w = y e, portanto, (z, w)ℛ(x, y).
Finalmente, ℛ é transitiva. Para mostrar isso, considere (x, y), (z, w), (u, v) ∈ ℝ2 tais 
que (x, y)ℛ(u, v) e (u, v)ℛ(z, w). Nesse caso, y = v e v = w e, por consequência, y = w, 
mostrando que (x, y)ℛ(z, w).
Agora, a título de ilustração, note que
[(0, 0)] = {(z, w) ∈ ℝ2 | (z, w)ℛ(0, 0)} = {(z, w) ∈ ℝ2 | w = 0} = {(z, 0) | z ∈ ℝ}
Geometricamente, [(0, 0)] corresponde a todo o eixo das abscissas. Em geral, 
qualquer classe de equivalência da forma [(x, 0)] será igual a [(0, 0)].
Generalizando, qualquer classe de equivalência da forma [(x, y)] será igual ao 
conjunto {(z, y) | z ∈ ℝ}, ou seja, geometricamente, [(x, y)] é uma reta paralela ao 
eixo das abscissas cortando o eixo das ordenadas na altura y.
Toda relação de equivalência ℛ em um conjunto X dá origem ao conjunto das 
classes de equivalência representadas pelos elementos de X, definido a seguir.
Definição
Sejam X um conjunto e ℛ uma relação de equivalência em X. O conjunto
X/ℛ ≔ {[x] | x ∈ X}
é denominado de quociente de X módulo ℛ.
Portanto, por definição, os elementos de X/ℛ são determinados subconjuntos 
de X. Em particular, X/ℛ não é um subconjunto de X, mas sim um subconjunto do 
conjunto das partes de X.
É necessário esclarecer a definição de conjunto quociente por meio de al-
guns exemplos.
Verifique que [x] = [0] ou [x] = 
[1], qualquer que seja o número 
inteiro x.
Desafio
36 Aritmética
Σxemρlo 35
Considere a relação de equivalência ℛ em ℤ definida no Exemplo 31, isto é,
xℛy ⇔ ∃ k ∈ ℤ tal que y – x = 2k
Conforme a discussão apresentada no Exemplo 32, temos que
ℤ/ℛ = {[0], [1]}
Lembre-se que [0], nesse exemplo, coincide com o conjunto dos inteiros pares, 
enquanto [1] coincide com o conjunto dos inteiros ímpares.
Acompanhe mais um exemplo.
Σxemρlo 36
Considere a relação de equivalência ℛ em ℝ2 definida no Exemplo 33, isto é,
(x, y)ℛ(z, w) ⇔ y = w
Neste caso, conforme a discussão apresentada naquele exemplo, temos
ℝ2/ℛ = {{(x, y) | x ∈ ℝ} | y ∈ ℝ}
Para evitar confusões, é necessário tratar um pouco a respeito desse conjunto.
Primeiro, os elementos de ℝ2/ℛ são subconjuntos de ℝ2da forma
{(x, y) | x ∈ ℝ}
Segundo, existe um conjunto desse para cada y ∈ ℝ. Em particular, note que 
ℝ2/ℛ consiste em infinitas classes de equivalência.
O próximo resultado teórico resume as principais propriedades das classes de 
equivalência.
Teorema
Seja X um conjunto e ℛ uma relação de equivalência em X. São válidas as 
afirmações
I. Se x ∈ X, então x ∈ [x].
II. Se x, y ∈ X, então [x] = [y] se, e somente se, xℛy.
III. Se x, y ∈ X, então [x] = [y] ou [x]∩[y] = ϕ.
IV. X = ⋃x∈X[x].
Teoria elementar dos conjuntos 37
Demonstração
I. Se x ∈ X, então xℛx, pois ℛ é reflexiva. Portanto, x ∈ [x], já que [x] consiste em 
todos os elementos de X que se relacionam com x por meio de ℛ.
II. Se x, y ∈ X são tais que [x] = [y], então x ∈ [x]. Em particular, x ∈ [y] em virtude 
da igualdade [x] = [y]. Consequentemente, xℛy, pois [y] consiste em todos os 
elementos de X que se relacionam com y por meio de ℛ.
 Reciprocamente, suponha que xℛy. O objetivo é demonstrar que vale a igual-
dade de conjuntos [x] = [y]. Para tanto, considere z ∈ [x]. Pela definição de [x], 
temos zℛx. Como, por hipótese, xℛy, segue da transitividade de ℛ que zℛy. 
Em particular, z ∈ [y]. Isso mostra a inclusão [x] ⊂ [y]. A inclusão contrária é 
demonstrada de maneira análoga.
III. Suponha que [x] ≠ [y] e [x]∩[y] ≠ ϕ. Como [x]∩[y] ≠ ϕ, existe z ∈ [x]∩[y]. Conse-
quentemente, z ∈ [x] e z ∈ [y]. Disso, segue que zℛx e zℛy. Pela simetria de ℛ, 
temos, especialmente, yℛz. Agora, yℛz e zℛx implicam yℛx, já que ℛ é transiti-
va. Mas, pelo item II, segue que [x] = [y], contradizendo [x] ≠ [y]. Portanto, não 
pode valer simultaneamente [x] ≠ [y] e [x]∩[y] ≠ ϕ. Consequentemente, [x] = 
[y] ou [x]∩[y] = ϕ.
IV. Basta mostrar a inclusão X ⊂ ⋃x∈X[x], pois a outra é imediata, dado que cada 
classe de equivalência [x] é um subconjunto de X. Para verificar a referida 
inclusão, seja x ∈ X um elemento qualquer. Pelo item I, temos que x ∈ [x]. Mas 
[x] ⊂ ⋃x∈X[x] e, portanto, x ∈ ⋃x∈X[x].
∎
O item III do teorema afirma que duas classes de equivalência ou são iguais 
ou são disjuntas. Já o item IV estabelece que o conjunto quociente de X módulo ℛ 
forma uma partição do conjunto X, no sentido de que X é uma reunião disjunta dos 
elementos de X/ℛ.
O livro Álgebra moderna, 
dos autores Hygino H. Do-
mingues e Gelson Iezzi, é 
uma referência clássica no 
que diz respeito ao ensino 
de álgebra abstrata. Entre 
os tópicos abordados, en-
contra-se uma exposição 
detalhada de funções e 
relações. Em particular, 
relações de ordem e equi-
valência são exploradas 
com cuidado.
DOMINGUES, H. H.; IEZZI, G. 5. ed. 
São Paulo: Atual, 2003.
Livro
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A teoria de conjuntos estabelece os conceitos básicos da matemática. Em particu-
lar, deve ser estudada com bastante cuidado e extensivamente. Seu estudo deve ter 
início tão logo quanto possível para que se possa estabelecer as conexões existentes 
entre as diversas teorias. Essas conexões estão presentes e são abundantes, acredite! 
Não é diferente com a aritmética. Desde o início da construção dos números fica evi-
dente que os subsídios se encontram na teoria dos conjuntos. Sendo assim, convém 
dedicar um bom tempo de sua formação para dominar o assunto. Isso possibilitará 
uma rápida evolução em aspectos como lógica, aritmética, álgebra abstrata etc.
ATIVIDADES
1. Qual é a importância do estudo da teoria de conjuntos?
2. Qual é a relevância de se estudar funções?
3. Considere o conjunto X = {1, 2, 3, 4}. Encontre uma relação de equivalência ℛ em X 
tal que X/ℛ= {{1, 2, 3}, {4}}.
Vídeo
38 Aritmética
REFERÊNCIAS
ALENCAR FILHO, E. Iniciação à lógica matemática. São Paulo: Nobel, 2002.
DOMINGUES, H. H.; IEZZI, G. Álgebra moderna. São Paulo: Atual, 2003.
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. São Paulo: Atual, 2004. (Coleção Fundamentos de Matemática Elementar).
HEFEZ, A. Elementos de aritmética. Rio de Janeiro: SBM, 2006.
Teoria elementar dos conjuntos 39
40 Aritmética
2
O conjunto dos 
números naturais
A existência dos números naturais é justificada pela necessidade 
inerente que o ser humano tem de contar. Para a matemática, na quali-
dade de ciência, eles desempenham um papel fundamental, pois é com 
base neles que são construídos os números inteiros e, consequente-
mente, os números racionais, reais e complexos. Esse fato explica a 
necessidade de entender o significado, a natureza e as nuances dos 
números naturais.
Eles estão relacionados à determinada quantidade ou ausência – nú-
mero zero –, estando presentes em nosso cotidiano e nossa jornada aca-
dêmica. Por isso, neste capítulo, vamos estudar as operações e os axiomas 
que permitem formalizar esse conjunto numérico.
2.1 Axiomas de Peano 
Vídeo Como ponto de partida de nosso estudo, questionamos:
 • O que é um número natural para a matemática?
De maneira mais detalhada:
 • Como se define, rigorosamente, um número natural?
 • Existe de fato uma definição precisa de um número natural ou os números 
naturais deveriam ser tratados como conceitos primitivos, isto é, ser aceitos 
sem definição?
 • Há um conceito matemático preciso o suficiente para esclarecer a natureza 
dos números naturais?
As respostas para essas perguntas, produtos de esforços no desenvolvimento 
da matemática ao longo dos séculos, serão fornecidas, de certo modo, ao longo 
deste capítulo.
A matemática é uma das poucas ciências que pode ser desenvolvida de maneira 
axiomática. Usualmente, o primeiro contato com o processo axiomático é feito no 
contexto da geometria plana. Embora tenha sido Euclides, em sua obra Elementos, 
quem desenvolveu parte significativa da geometria euclidiana, foi David Hilbert 
quem realizou a tarefa de formalizar essa teoria de maneira bastante rigorosa por 
meio de um processo axiomático.
O conjunto dos números naturais 41
O método axiomático tem origem em pressupostos que devem ser claros e 
convincentes o suficiente para que não sejam contestados. Eles são chamados 
de axiomas. O método é desenvolvido conforme o esquema a seguir. 
Vyacheslavikus/Shutterstock
Peacefully7/Shutterstock
Peacefully7/Shutterstock
Escolha Apresentação Resultados
A escolha dos axiomas deve ser 
mínima, no sentido de que deve conter 
estritamente o necessário para o 
desenvolvimento da teoria.
Depois, cada axioma deve ser apre-
sentado como uma verdade além de 
qualquer dúvida razoável. Se esse 
não for o caso, a escolha 
dos axiomas não foi 
bem feita.
Vencida a etapa da escolha dos 
axiomas, iniciamos a laboriosa e mais 
fascinante tarefa: a descoberta e 
a demonstração dos resultados 
decorrentes dos 
axiomas.
Os resultados obtidos são denominados de proposições ou teoremas e são de-
monstrados por meio de métodos de inferência lógica. Uma vez verificados, com 
todo rigor que a lógica matemática possibilita, esses teoremas e proposições po-
dem ser usados em outras demonstrações e, dessa forma, a teoria axiomatizada 
é construída e evolui sobre suas próprias bases. Não será diferente no estudo dos 
números naturais.
Como essa discussão sobre o método axiomático se relaciona com a temáti-
ca proposta nesta seção? A relação é bastante estreita e justificada pelo fato de 
que, para introduzir o conjunto dos números naturais, é necessário abordar os 
axiomas de Peano. Estes axiomas fornecem um modelo axiomático para o conjun-
to dos números naturais. 
Como em qualquer teoria axiomática, com base nos axiomas de Peano, obte-
mos resultados que naturalmente devem estar de acordo com o entendimento 
intuitivo de que se tem dos números naturais. Por exemplo, intuitivamente todo 
mundo concorda com o fato de que quaisquer dois números naturais distintos 
possuem sucessores distintos ou que existem infinitos números naturais. Para de-
monstrar estes resultados, devemos recorrer aos axiomas de Peano.
Qualquer propriedade a respeito dos números naturais que se tenha contato 
no ensino básico pode ser demonstrada por meio dos axiomas de Peano, direta 
ou indiretamente. Além disso, diversas outras propriedades podem ser derivadas,conforme estudaremos neste capítulo. 
Para motivar a introdução aos axiomas de Peano, consideremos o conjunto ℕ 
dos números naturais, estudado durante o ensino básico. Sem qualquer dúvida, é 
fácil aceitarmos as seguintes observações:
I. ℕ é um conjunto.
II. o número natural 0 (zero) pertence a ℕ, isto é, 0 ∈ ℕ.
III. todo número natural n ∈ ℕ tem um, e só um, sucessor, a saber, o número 
natural n + 1.
42 Aritmética
IV. 0 (zero) não é sucessor de nenhum outro número natural, isto é, não é pos-
sível escrever 0 = n + 1 para algum n ∈ ℕ.
V. se m, n ∈ ℕ são números naturais diferentes, isto é, se m ≠ n, então, seus 
sucessores são diferentes, ou seja, m + 1 ≠ n + 1.
Para explicar como essas cinco observações dão origem aos axiomas de Peano, 
precisamos introduzir a função sucessor 
s: ℕ → ℕ
que atribui o sucessor de cada número natural de seu domínio, ou seja, 
s(n) = n + 1, para todo n ∈ ℕ
Note que a observação IV estabelece que 0 (zero) não pertence à imagem da 
função sucessor. Em particular, a função s não é sobrejetiva, pois em seu contra-
domínio existe um elemento que não é imagem de qualquer um dos elementos do 
domínio. 
Além disso, a propriedade V significa que s é injetiva, pois se m, n ∈ ℕ são tais 
que m ≠ n, então s(m) ≠ s(n), isto é, m + 1 ≠ n + 1. 
As propriedades apresentadas anteriormente dizem respeito ao par (ℕ, s) e po-
dem ser resumidas como:
(P1) Existe um elemento distinguido 0 ∈ ℕ.
(P2) 1 A função s: ℕ → ℕ é injetora e 0 não é um elemento da imagem de s.
Uma sexta propriedade evidente, porém menos imediata que aquelas expostas 
anteriormente, é a seguinte: seja A um conjunto de números naturais, isto é, A ⊂ ℕ. 
Além disso, suponha que A tenha as seguintes propriedades:
(I1) 0 ∈ A.
(I2) Se n ∈ A, então s(n) = n + 1 ∈ A.
Nessa situação, não há outra conclusão a ser feita a não ser que A = ℕ. 
A propriedade (I1) significa que o menor número natural possível – 0 (zero) – é 
um elemento de A. Já (I2) garante que todos os números que sucedem o zero, ou 
seja, todos os números naturais restantes, também são elementos de A. Em resu-
mo, A contém ℕ e, por isso, A = ℕ. 
Essa argumentação utilizada para mostrar que A = ℕ, com base em (I1) e (I2), é 
conhecida como princípio da indução finita. Vamos denotar essa propriedade por 
(P3). Assim, o par (ℕ, s) junto às propriedades (P1), (P2) e (P3) motivam o enunciado 
a seguir.
Definição
Axiomas de Peano
Existe um par (X, s
X
), sendo X um conjunto e s
X
: X → X uma função que satisfaz:
I. Existe um elemento e ∈ X que não é elemento da imagem de s
X
.
II. s
X
 é uma função injetora.
III. Princípio da indução finita: se A ⊂ X é um subconjunto tal que: 
(Continua)
As notações (P1) e (P2) 
significam “Propriedade 1” e 
“Propriedade 2”, respectivamente.
1
Nesta etapa, reflitam se a infor-
mação A = ℕ é válida com base 
nas propriedades (I1) e (I2).
Para refletir
O conjunto dos números naturais 43
• e ∈ A;
• x ∈ A ⇒ s
X
(x) ∈ A.
Então, A = X.
O par (X, s
X
) é denominado conjunto de números naturais, a função s
X
 é chamada de função 
sucessor e s
X
(x) é o sucessor de x.
Certamente a definição de conjunto de números naturais é uma abstração do 
par (ℕ, s) obtida ao substituir ℕ por um conjunto qualquer X, s por uma função 
sX e 0 (zero) por um elemento e ∈ X. As propriedades na definição correspondem à 
abstração das propriedades (P1), (P2) e (P3) observadas para o par (ℕ, s). 
De agora em diante, nas discussões teóricas, devemos nos limitar ao que afirmam os 
axiomas de Peano e não ceder à tentação de utilizar propriedades a respeito dos nú-
meros naturais que já conhecemos intuitivamente. Essa abordagem evita “trapaças” 
para chegar a conclusões sem antes ter desenvolvido a teoria com base nos axiomas 
de Peano.
Uma questão intrigante é que os axiomas de Peano postulam a existência de 
um conjunto de números naturais, deixando margem para suposições de que po-
deria existir mais de um conjunto de números naturais. E, de fato, pode existir mais 
de um conjunto de número naturais.
Do ponto de vista teórico, todos os conjuntos de números naturais modelam 
o par (ℕ, s) e não há nada, na teoria, que permita dizer que devemos escolher 
um conjunto de números naturais em detrimento de outro. Em algum sentido, 
todos os conjuntos de números naturais são indistinguíveis e conduzem às mes-
mas conclusões. 
Fundamentados na exposição do parágrafo precedente, vamos fixar definitiva-
mente um conjunto de números naturais (X, sX) e adotar as seguintes notações:
 • ℕ = X;
 • s = sX;
 • 0 = e.
Essas notações auxiliam a exposição, pois permitem associar o que está sendo 
discutido ao conhecimento empírico que se tem do conjunto dos números natu-
rais. Qual a razão disso? O par (X, sX) consiste em dois objetos que podem ser bas-
tante abstratos: X e sX. Portanto, a teoria é feita de modo que X se comporte como o 
conjunto ℕ = {0, 1, 2, 3, …} – conforme estudado no ensino básico – e sX se comporte 
como a função sucessor s(n) = n + 1.
Vale destacarmos que, apesar da notação (ℕ, s), ℕ e s são modelos abstratos 
para o conjunto dos números naturais e para a função sucessor, afinal, interpretan-
do os axiomas de Peano com essa notação, temos que ℕ é apenas um conjunto e s 
é apenas uma função s: ℕ → ℕ. Por enquanto, nada se sabe a respeito da natureza 
de ℕ ou de s, além do que se enuncia nos axiomas de Peano. Sendo assim, como os 
44 Aritmética
símbolos 1, 2, 3, ... entram nesse contexto? Eles são definidos por meio da função 
sucessor da seguinte forma:
 • 1 = s(0);
 • 2 = s(1);
 • 3 = s(2).
E assim por diante.
Nomeamos cada um dos símbolos 0, 1, 2, 3, ... como zero, um, dois, três etc. 
Desse modo, pela definição temos que: 
 • um é o sucessor de zero;
 • dois é o sucessor do um; 
 • três é o sucessor de dois; etc. 
Entretanto, pode surgir mais uma questão: por que não utilizar a notação x + 1 
no lugar de s(x)? Nesse estágio, o emprego do sinal + seria artificial, dado que esse 
símbolo deve representar a adição de número naturais, a qual ainda não foi defini-
da. Em um momento oportuno, a adição de números naturais será definida e, com 
isso, será o caso que s(x) = x + 1. 
Uma última observação sobre os axiomas de Peano diz respeito ao princípio 
da indução finita. Ele é estritamente necessário para que possamos demonstrar 
as propriedades do par (ℕ, s). Para compreendermos essa questão, suponha-
mos que exista uma propriedade P a qual desejamos demonstrar que é válida 
para todo número natural, isto é, para todo elemento de ℕ. Definimos o conjun-
to A = {x ∈ ℕ | x cumpre P}. 
Se for demonstrado que A = ℕ, então, temos que a propriedade (P) é válida para 
todo número natural, conforme desejado. Justamente nessa etapa entra o princí-
pio da indução finita. Para mostrar que A = ℕ verificamos que:
 • 0 ∈ A;
 • A é fechado para sucessores, isto é, x ∈ A ⇒ s(x) ∈ A.
Uma vez demonstrados esses dois fatos, aplicamos (P3) para deduzir que A = ℕ. 
Esse argumento estará presente em toda a nossa discussão e convém nos habi-
tuarmos a ele desde o início. Essa ideia será utilizada para demonstrar o primeiro 
resultado teórico dessa seção e ilustra o potencial dos axiomas de Peano.
Proposição
ℕ = {0}∪{s(n) | n ∈ ℕ} = {0, 1, 2, 3, …}
Demonstração
Precisamos demonstrar a seguinte propriedade:
(P): se x ∈ ℕ, então x = 0 ou existe n ∈ ℕ tal que x = s(n)
O conjunto dos números naturais 45
O conteúdo do enunciado da proposição pode ser traduzido ao afirmarmos que 
(P) é uma propriedade válida para todo número natural, ou seja, basta verificar que 
o conjunto
A = {x ∈ ℕ | P é válida} = {x ∈ ℕ | x = 0 ou existe n ∈ ℕ tal que x = s(n)}
é igual ao conjunto dos números naturais. Para tanto, empregando o princípio da 
indução finita, resta verificarmos que:
 • 0 ∈ A;
 • A é fechado para sucessores, isto é, se x ∈ A, então s(x) ∈ A.
Pela definição do conjunto A, temos que 0 ∈ A, logo, precisamos verificar apenas 
que A é fechado para sucessores. Para tanto, tomemos um elemento arbitrário 
x ∈ A.Nesse caso, temos que 
x = 0 ou x = s(n) para algum n ∈ ℕ
No primeiro caso, em que x = 0, pela definição de A, temos 
s(x) = s(0) com 0 ∈ ℕ
mas isso significa que existe o número natural n = 0 ∈ ℕ tal que s(x) = s(n), garantin-
do, assim, que s(x) ∈ A. 
No segundo caso, quando x = s(n) para algum n ∈ ℕ, temos que
s(x) = s(s(n))
Isso significa que existe o número natural m = s(n) ∈ ℕ tal que s(x) = s(m), de-
monstrando que s(x) ∈ A. 
Portanto, pelo princípio da indução finita, temos que A = ℕ, o que encerra a 
demonstração.
∎
Perceba que a igualdade ℕ = {0, 1, 2, …}, usualmente apresentada como uma 
definição, foi demonstrada por meio dos axiomas de Peano. Essa igualdade não 
era evidente? Acontece que não, pois estes postulam a existência de um conjunto 
ℕ do qual, até então, nada se sabia a respeito, além do que constava nos próprios 
axiomas de Peano. Portanto, todas as propriedades que consideramos óbvias a 
respeito dos números naturais precisam ser demonstradas. 
Para finalizar essa seção, convém resumirmos algumas propriedades a respeito 
do par (ℕ, s). 
Teorema 
São válidas as seguintes afirmações sobre o (ℕ, s):
I. ℕ ≠ ∅, isto é, ℕ tem pelo menos um elemento.
(Continua)
Uma abordagem bastante 
agradável para os axiomas 
de Peano pode ser encon-
trada na obra Fundamen-
tos de Aritmética, escrita 
por Hygino Hungueros 
Domingues. É uma 
excelente introdução à 
aritmética para aprofundar 
os tópicos discutidos em 
nossos estudos. 
DOMINGUES, H. H. São Paulo: 
Atual, 1991.
Livro
46 Aritmética
II. Se x, y ∈ ℕ e x ≠ y, então s(x) ≠ s(y), ou seja, números naturais diferentes 
possuem sucessores diferentes.
III. s(ℕ) = ℕ \ {0}, em outras palavras, o 0 (zero) não é sucessor de nenhum núme-
ro natural. Em particular, s(x) ≠ 0 para todo x ∈ ℕ.
Demonstração
I. Em virtude do axioma (P1), temos que ℕ tem um elemento distinguido, denotado 
por 0. Ou seja, 0 ∈ ℕ, garantindo que ℕ não é o conjunto vazio, isto é, ℕ ≠ ∅.
II. Pelo axioma (P2), temos que s é injetora. Então, se x ≠ y, temos que s(x) ≠ s(y), 
conforme enunciado.
III. Por definição, s(ℕ) = {s(x) | x ∈ ℕ} e, por (P1), temos que 0 ∉ s(ℕ). Isso significa 
que s(ℕ) ⊂ ℕ \ {0}. Por outro lado, se x ∈ ℕ \ {0}, então x = s(n) para algum n ∈ 
ℕ, ou seja, x ∈ s(ℕ). Provando que s(ℕ) = ℕ \ {0}.
∎
Agora que já temos, ao nosso dispor, um conjunto de números naturais, podemos 
introduzir as operações algébricas de adição e de subtração de números naturais. 
2.2 Adição de números naturais 
Vídeo A grande utilidade de ter números à nossa disposição está no fato de ser possí-
vel realizar operações algébricas com eles. Entre elas, a mais simples e básica é a 
adição. Isso não é diferente com números naturais. 
Mais precisamente, a operação de adição de números naturais permite combi-
nar dois números naturais, cada um representando uma quantidade contável da 
nossa realidade, e obter um terceiro número natural que representa a quantidade 
total que se tem. 
É conveniente pensarmos na adição de números naturais como um dispositivo 
que recebe dois números naturais, efetua determinado procedimento e devolve 
outro número natural, conforme ilustrado no seguinte esquema:
Em
Ba
Sy
/S
hu
tte
rs
to
ckaa
bb
a + ba + b++
Nesse esquema, a e b representam números naturais, assim como a + b. 
Contudo, como podemos definir a + b? Para motivar a definição, vamos observar 
algumas adições com o número natural dois:
2 + 0 = 2
2 + 1 = 3
(Continua)
O conjunto dos números naturais 47
2 + 2 = 4
2 + 3 = 5
A primeira adição, 2 + 0 = 2, deverá ser aceita como definição. 
A segunda adição, 2 + 1 = 3, pode ser obtida com base na primeira. De fato, 
note que
2 + 1 = 3 = s(2) = s(2 + 0)
A terceira adição pode ser obtida da anterior:
2 + 2 = 4 = s(3) = s(2 + 1)
Finalmente, a última adição também pode ser obtida por meio da anterior:
2 + 3 = 5 = s(4) = s(2 + 2) 
Note que, neste raciocínio, existem dois tipos de adição envolvidas: uma da for-
ma 2 + 0 e outra da forma 2 + s(k), com k ∈ ℕ \ {0}. Sendo assim, 
2 + 0 = 2 e 2 + s(k) = s(2 + k) para todo k ∈ ℕ \ {0}
Isso motiva a seguinte definição:
Definição
A adição de números naturais é a função 
+: ℕ × ℕ → ℕ
 (x, y) → x + y
definida por 
x + 0 = 0
x + s(k) = s(x + k)
para todo x ∈ ℕ e k ∈ ℕ \ {0}.
A primeira observação acerca dessa definição é o fato de que ela é coerente 
com o que conhecemos a respeito dos números naturais. Por exemplo, 
1 + 0 = 1
1 + 1 = 1 + s(0) = s(1 + 0) = s(1) = 2
1 + 2 = 1 + s(1) = s(1 + 1) = s(2) = 3
1 + 3 = 1 + s(2) = s(1 + 2) = s(3) = 4
Isso ilustra que a definição de adição de números naturais produz os resul-
tados previstos. Embora seja esperado, há uma barreira: até o momento não é 
possível calcularmos 0 + 2, por exemplo, diretamente. De fato, de acordo com a 
definição, temos: 
0 + 2 = 0 + s(1) = s(0 + 1)
Contudo, até então, não sabemos que 0 + 1 = 1. Tudo o que sabemos, por ora, é que 
1 + 0 = 1. Esse problema será facilmente resolvido a seguir.
48 Aritmética
Proposição 
Se x ∈ ℕ, então 0 + x = x.
Demonstração
Defina o conjunto de números naturais 
A = {n ∈ ℕ | 0 + n = n}
Vamos aplicar o princípio da indução finita para mostrar que A = ℕ. Por defini-
ção, A ⊂ ℕ. Além disso, pela definição de adição de números naturais, temos que
0 + 0 = 0
ou seja, 0 ∈ A. 
Finalmente, A é fechado para sucessores, pois se n ∈ A, então 0 + n = n e 
0 + s(n) = s(0 + n) = s(n)
Como s(n) ∈ ℕ satisfaz 0 + s(n) = s(n), temos s(n) ∈ A. Portanto, que A = ℕ. 
Sendo assim, se x ∈ ℕ, então x ∈ A, isto é, 0 + x = x.
∎
Com essa demonstração, é possível determinarmos 0 + 2. De fato,
0 + 2 = 0 + s(1) = s(0 + 1) = s(1) = 2
Esse resultado nos possibilita a demonstrar as propriedades comutativa e asso-
ciativa – dentre outras – que se conhece a respeito da adição de números naturais. 
Para isso, precisamos estabelecer o resultado preliminar a seguir.
Lema 
Se x, y ∈ ℕ, então vale
s(x) + y = s(x + y) = x + s(y)
Demonstração
Novamente empregamos o princípio da indução finita. Para isso, considere o 
conjunto: 
A = {n ∈ ℕ | ∀ m ∈ ℕ, s(m) + n = s(m + n) = m + s(n)}
Por definição, A ⊂ ℕ e 0 ∈ A, pois 0 ∈ ℕ e
s(m) + 0 = s(m) = s(m + 0) = m + s(0), para todo m ∈ ℕ
Todas as igualdades correspondem à definição de adição de números naturais. 
Resta verificarmos que A é fechado para sucessores. De fato, se n ∈ A, então
s(m) + n = s(m + n) = m + s(n), para todo m ∈ ℕ
Lema é uma proposição auxiliar 
para a demonstração de outro 
lema, proposição ou teorema.
Glossário
(Continua)
O conjunto dos números naturais 49
Logo, 
s(m) + s(n) = s(s(m) + n) 
= s(s(m + n)) 
= s(m + s(n)) 
= m + s(s(n)), para todo m ∈ ℕ
Isso nos mostra que s(n) ∈ A. Portanto, A = ℕ. Sendo assim, se y ∈ ℕ, então 
y ∈ A, ou seja,
s(x) + y = s(x + y) = x + s(y), para todo x ∈ ℕ
∎
Para esclarecer o conteúdo do lema anterior, consideremos, por exemplo:
s(2) + 1 = 3 + 1 = 4 = s(3) = s(2 + 1) e s(2 + 1) = 2 + s(1)
pela própria definição de adição de números naturais.
O lema anterior será bastante útil para demonstrarmos algumas proprieda-
des da adição de números naturais, sendo as mais básicas a comutatividade e 
a associatividade. 
A comutatividade da adição mostra-nos que é possível trocar a ordem dos ter-
mos ao se realizar a adição sem, entretanto, alterar o resultado, ou seja, a adição 
a + b, com a, b ∈ ℕ, produz o mesmo resultado que a adição b + a. 
A associatividade é a propriedade que nos permite trocar os parênteses ao 
se fazer a adição envolvendo mais que dois números naturais. Isso é importante, 
pois, pela definição, sabemos adicionar apenas dois números naturais de cada vez. 
Sendo assim, quando desejamos adicionar os números naturais a, b e c podemos 
seguir dois caminhos. O primeiro é efetuar a + b e depois realizar a adição com c, 
e o segundo é efetuar a adição de a com o resultado de b + c. Portanto, há duas 
alternativas
(a + b) + c e a + (b + c)
A associatividade da adição garante que essas duas maneiras de realizar a adi-
çãoproduzem o mesmo resultado, ou seja:
(a + b) + c = a + (b + c)
Embora pareçam triviais, essas propriedades são fundamentais para demons-
trar bons resultados dentro da teoria, por isso, vamos formalizá-las a seguir. 
Teorema
Se x, y, z ∈ ℕ, então são válidos os itens a seguir.
I. Comutatividade: x + y = y + x.
50 Aritmética
II. Associatividade: (x + y) + z = x + (y + z).
Demonstração
A comutatividade é uma aplicação do princípio da indução finita. Para demons-
trarmos o item I, definimos:
A = {n ∈ ℕ | ∀ m ∈ ℕ, m + n = n + m}
O objetivo novamente é mostrar que A = ℕ. Para tanto, note que A ⊂ ℕ e 0 ∈ A, 
pois 0 ∈ ℕ e
m + 0 = m = 0 + m, para todo m ∈ ℕ 
Além disso, A é fechado para sucessores, ou seja, se n ∈ A, então s(n) ∈ A. De fato, 
se n ∈ A, então n ∈ ℕ e 
m + n = n + m, para todo m ∈ ℕ 
de modo que s(n) ∈ ℕ e 
m + s(n) = s(m + n) = s(n + m) = s(n) + m, para todo m ∈ ℕ
Nesse ponto foi utilizado o lema demonstrado anteriormente para garantir 
que s(n + m) = s(n) + m. Com isso, deduzimos que s(n) ∈ A. O princípio da indução 
finita garante que A = ℕ, o que é suficiente para mostrar a igualdade x + y = y + x 
para todo x, y ∈ ℕ.
Para demonstrarmos a associatividade (propriedade II), o ponto de partida é 
definir o conjunto auxiliar
A = {k ∈ ℕ | ∀ l, m ∈ ℕ, (k + l) + m = k + (l + m)}
Por definição, A ⊂ ℕ e, além disso, 0 ∈ A, pois 0 ∈ ℕ e se l, m ∈ ℕ, então 
(0 + l) + m = l + m = 0 + (l + m)
Finalmente, resta-nos mostrar que A é fechado para sucessores. De fato, se 
k ∈ A, então
(k + l) + m = k + (l + m), para todo l, m ∈ ℕ
de maneira que
(s(k) + l) + m = s(k + l) + m = s((k + l) + m) = s(k + (l + m)) = s(k) + (l + m)
mostrando assim que s(k) ∈ A.
Pelo princípio de indução finita, A = ℕ. Em particular, se x, y, z ∈ ℕ, então 
x + (y + z) = (x + y) + z, conforme o enunciado do teorema.
∎
Além da comutatividade e da associatividade, a adição de números naturais tem 
outras propriedades interessantes. Dentre elas, podemos citar a Lei do Cancela-
mento: sempre que dois números a, b ∈ ℕ são tais que
x + a = x + b
(Continua)
O conjunto dos números naturais 51
para algum x ∈ ℕ, segue que a = b. É como se fosse possível cancelarmos o x de 
ambos os membros da igualdade. Mas como é possível fazer esse cancelamento 
sem a noção de subtração? Essa pergunta será respondida a seguir.
Teorema
Sejam x, a, b ∈ ℕ tais que 
x + a = x + b
então, a = b.
Demonstração
A ideia novamente é utilizar o princípio da indução finita. Para tanto, definimos 
A = {k ∈ ℕ | ∀ l, m ∈ ℕ; k + l = k + m ⇒ l = m}
Note que, por mais estranho que o conjunto A pareça, faz sentido sua definição. Na 
pior das hipóteses, A seria o conjunto vazio, embora esteja longe de ser o caso. De fato, 
A é um subconjunto de ℕ que contém 0, pois 0 ∈ ℕ e se l, m ∈ ℕ são tais que
0 + l = 0 + m, então l = m
Resta-nos mostrar que A é fechado para sucessores. Com efeito, se k ∈ ℕ e 
l, m ∈ ℕ são tais que
k + l = k + m
segue que l = m. Consequentemente, se l, m ∈ ℕ satisfazem 
s(k) + l = s(k) + m
então, aplicando o lema demonstrado anteriormente, obtemos:
s(k + l) = s(k + m)
Ao aplicarmos a injetividade de s, temos que k + l = k + m. Como k ∈ A, obtemos 
a igualdade l = m. Isso mostra que s(k) ∈ A. Pelo princípio da indução finita, segue 
que A = ℕ, o que nos mostra a propriedade desejada.
∎
As publicações dos colóquios de Matemática pela Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) 
são fonte riquíssima de conhecimento. A publicação A Construção dos Números Reais e suas 
Extensões, dos autores Ivan Aguilar e Marina Sequeiros Dias, de 2015, aborda o conjunto dos 
números naturais e pode ser utilizada como complemento para o conteúdo desta seção.
Acesso em: 7 mai. 2021.
https://www.sbm.org.br/coloquio-centro-oeste-4/wp-content/uploads/sites/2/2016/01/Minicurso_6._A_construcao_dos_Reais.pdf
Artigo
Após discutirmos a adição de números naturais, é conveniente abordarmos a 
multiplicação de números naturais. 
https://www.sbm.org.br/coloquio-centro-oeste-4/wp-content/uploads/sites/2/2016/01/Minicurso_6._A_construcao_dos_Reais.pdf
52 Aritmética
2.3 Multiplicação de números naturais 
Vídeo Nesta seção, estudaremos a multiplicação de números naturais. Esta é uma 
operação já conhecida – desde os primeiros anos do ensino básico – que usual-
mente é desenvolvida com base em um entendimento algorítmico e intuitivo. 
Entretanto, em nosso estudo, definiremos a multiplicação de números naturais 
de maneira bastante rigorosa.
Quando definimos a adição de números naturais, utilizamos a seguinte 
estratégia:
Zero
Inicialmente 
definimos a adição 
de um número 
natural com o 
0 (zero).
Sucessor
Em seguida, 
definimos a adição de 
um número natural 
com o sucessor 
de outro.
Maulaga/Shutterstock
Isso foi suficiente para determinarmos a adição de números naturais. A mesma 
estratégia será utilizada para introduzir a definição da multiplicação de dois núme-
ros naturais, a saber:
Zero
Definimos a 
multiplicação de um 
número natural por 
0 (zero).
Sucessor
Em seguida, definimos 
a multiplicação de um 
número natural pelo 
sucessor de outro.
Maulaga/Shutterstock
Essa estratégia determinará a multiplicação de quaisquer dois números 
naturais. 
É possível chegarmos à definição das multiplicações ao lembrar que um núme-
ro natural y só pode ter uma de duas formas: y = 0 ou y = s(k), para algum k ∈ ℕ. 
O conjunto dos números naturais 53
No primeiro caso, definimos x ⋅ 0 = 0, qualquer que seja o número natural x. 
Isto garante a coerência com o que sabemos intuitivamente sobre a multiplicação 
de números naturais.
Quanto ao segundo caso, é importante lembrarmos que s(k) = k + 1. Logo, a 
definição de multiplicação deve satisfazer
x ⋅ s(k) = x ⋅ (k + 1) = x ⋅ k + x ⋅ 1 = x ⋅ k + x
Até o momento, não demonstramos a propriedade distributiva e que x ⋅ 1 = x, 
pois a multiplicação não foi sequer definida. Entretanto, deve ficar claro que o ar-
gumento realizado tem apenas caráter motivador e está fundamentado em conhe-
cimentos empíricos sobre os números naturais. Esse tipo de argumento é bastante 
comum na matemática, frequentemente usado como ponto de partida para algum 
tipo de abstração. A abstração almejada encontra-se na definição a seguir. 
Definição
A multiplicação de números naturais é a função 
·: ℕ × ℕ → ℕ
 (x, y) → x ⋅ y
sendo x ⋅ y o número natural definido como:
x ⋅ 0 = 0
x ⋅ s(k) = x ⋅ k + x
para todo x ∈ ℕ e k ∈ ℕ \ {0}.
A definição enunciada é coerente com o que conhecemos da multiplicação de 
números naturais do ensino básico. Por exemplo, 
2 ⋅ 0 = 0
2 ⋅ 1 = 2 ⋅ s(0) = 2 ⋅ 0 + 2 = 0 + 2 = 2
2 ⋅ 2 = 2 ⋅ s(1) = 2 ⋅ 1 + 2 = 2 + 2 = 4
2 ⋅ 3 = 2 ⋅ s(2) = 2 ⋅ 2 + 2 = 4 + 2 = 6
Notemos que cada uma das multiplicações do número dois por um número 
natural não nulo é obtida com base no resultado da linha anterior. 
Uma vez definida a multiplicação de números naturais, é necessário e conve-
niente demonstrarmos as principais propriedades – já conhecidas de modo intuiti-
vo – dessa nova operação.
Proposição 
Se x ∈ ℕ, então é válido
x ⋅ 0 = 0 = 0 ⋅ x (Continua)
54 Aritmética
Demonstração
A primeira igualdade é a definição da multiplicação de x pelo número natural 
0 (zero). A segunda igualdade deve ser demonstrada. Para tanto, vamos aplicar o 
princípio da indução finita ao conjunto 
A = {n ∈ ℕ | 0 ⋅ n = 0}
Por definição, A ⊂ ℕ e 0 ∈ A, já que 
0 ⋅ 0 = 0
Além disso, A é fechado para sucessores, pois se n ∈ A, então n ∈ ℕ e 
0 ⋅ n = 0
o que implica s(n) ∈ ℕ e 
0 ⋅ s(n) = 0 ⋅ n + 0 = 0 + 0 = 0
Pelo princípio da indução finita, A = ℕ, demonstrando a propriedade enunciada.
∎
A fim de apresentarmos outras propriedades de interesse a respeito da multipli-
cação de números naturais, convém discutirmos um resultado auxiliar enunciado 
no lema a seguir.
Lema
Sejam x, y ∈ ℕ, então é válido
s(x) ⋅ y = x ⋅ y + y
Demonstração
Vamos aplicar o princípio da indução finita ao conjunto
A = {m ∈ ℕ | ∀ n ∈ ℕ; s(n) ⋅ m = n ⋅ m + m}
Primeiro, A ⊂ ℕ e 0 ∈ A, já que 
n⋅ 0 = 0 = 0 + 0 = n ⋅ 0 + 0, para todo n ∈ ℕ
Além disso, A é fechado para sucessores. Com efeito, se m ∈ A, então m ∈ ℕ e 
s(n) ⋅ m = n ⋅ m + m, para todo n ∈ ℕ
de modo que s(m) ∈ ℕ e 
s(n) ⋅ s(m) = s(n) ⋅ m + s(n) 
= (n ⋅ m + m) + s(n) 
= n ⋅ m + (m + s(n)) 
= n ⋅ m + (s(n) + m) 
= n ⋅ m + (n + s(m)) 
= (n ⋅ m + n) + s(m) 
= n ⋅ s(m) + s(m) (Continua)
O conjunto dos números naturais 55
Isso mostra que s(n) ∈ A sempre que n ∈ A. Portanto, A é fechado para sucesso-
res e, assim, A = ℕ, conforme desejado.
∎
Antes de discutirmos as implicações do lema anterior, notemos que ele apre-
senta um resultado coerente. Por exemplo, 
3 ⋅ 4 = s(2) ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 + 4 = 8 + 4 = 12
Portanto, o lema anterior fornece uma maneira alternativa, mas equivalente, de 
multiplicar números naturais. 
A primeira consequência do lema recém demonstrado é o fato de que o núme-
ro 1 (um) serve como elemento neutro para a multiplicação de números naturais, 
como demonstraremos a seguir.
Proposição 
Seja x ∈ ℕ, então é válido
x ⋅ 1 = x = 1 ⋅ x
Demonstração
 Vamos aplicar o princípio da indução finita ao conjunto 
A = {n ∈ ℕ | n ⋅ 1 = n = 1 ⋅ n}
Primeiro, A ⊂ ℕ e 0 ∈ A, pois 
0 ⋅ 1 = 0 = 1 ⋅ 0
Além disso, A é fechado para sucessores. Para verificar isso, considere n ∈ A. 
Desse modo, n ∈ ℕ e 
n ⋅ 1 = n = 1 ⋅ n
Logo, usando o lema demonstrado anteriormente, temos que
s(n) ⋅ 1 = n ⋅ 1 + 1 = n + 1 = s(n)
Por outro lado, 
1 ⋅ s(n) = 1 ⋅ n + 1 = n + 1 = s(n)
Portanto, s(n) ∈ A, garantindo assim a igualdade A = ℕ e a validade da afirmação 
enunciada. 
∎
Observemos que o lema utilizado na demonstração foi imprescindível para a 
validação do resultado. Este também será o caso na demonstração da comutativi-
dade da multiplicação. 
56 Aritmética
Essa propriedade afirma que é possível trocar a ordem dos fatores na multipli-
cação de números naturais sem alterar o resultado. Acompanhemos a demonstra-
ção dessa propriedade a seguir.
Teorema 
Sejam x, y ∈ ℕ, então é válido 
x ⋅ y = y ⋅ x
Demonstração 
Vamos, mais uma vez, aplicar o princípio da indução finita. Para isso, definimos 
A = {n ∈ ℕ | ∀ m ∈ ℕ, n ⋅ m = m ⋅ n}
Com essa definição, A ⊂ ℕ e 0 ∈ A, pois 
0 ⋅ m = 0 = m ⋅ 0, para todo m ∈ ℕ
Além disso, A é fechado para sucessores. Para verificar isso, considere n ∈ A. 
Dessa forma, n ∈ ℕ e 
n ⋅ m = m ⋅ n, para todo m ∈ ℕ. 
Consequentemente, s(n) ∈ ℕ e, aplicando o mesmo lema usado na demonstra-
ção anterior, temos que 
s(n) ⋅ m = n ⋅ m + m = m ⋅ n + m = m ⋅ s(n)
Portanto, s(n) ∈ A, permitindo concluir que A = ℕ. 
∎
A propriedade comutativa da multiplicação é utilizada constantemente quando 
se faz um produto de dois números naturais na prática. Por exemplo, quando dese-
jamos multiplicar dois por três, fazemos diretamente 2 ⋅ 3 ou 3 ⋅ 2, sem preferência 
de uma escolha sobre a outra. 
A próxima propriedade a ser demonstrada, seguindo a lógica do que discutimos 
com a adição de números naturais, deveria ser a associatividade da multiplicação, 
ou seja, a capacidade de trocar parênteses de lugar quando realizamos a operação 
envolvendo mais de dois números naturais. 
Contudo e, interessantemente, é necessário demonstrarmos primeiro a distri-
butividade da multiplicação em relação à adição. Essa propriedade é utilizada para 
justificar, por exemplo, o seguinte raciocínio: 
2 ⋅ (3 + 1) = 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 1 
O conjunto dos números naturais 57
Ela representa uma relação de compatibilidade entre as duas operações algébri-
cas definidas no conjunto dos números naturais: a adição e a multiplicação. 
Teorema
Sejam x, y, z ∈ ℕ, então vale
x ⋅ (y + z) = x ⋅ y + x ⋅ z
e 
(x + y) ⋅ z = x ⋅ z + y ⋅ z
Demonstração 
Será demonstrada apenas a primeira igualdade. A segunda pode ser deduzida 
de maneira similar. O ponto de partida para demonstrarmos a primeira igualdade 
é considerar o conjunto
A = {k ∈ ℕ | ∀ l, m ∈ ℕ, k ⋅ (l + m) = k ⋅ l + k ⋅ m}
Por definição, A ⊂ ℕ e 0 ∈ A, pois 
0 ⋅ (l + m) = 0 = 0 + 0 = 0 ⋅ l + 0 ⋅ m, quaisquer que sejam l, m ∈ ℕ 
Adicionalmente, A é fechado para sucessores. Para verificarmos isso, considere-
mos k ∈ A, ou seja, k ∈ ℕ e 
k ⋅ (l + m) = k ⋅ l + k ⋅ m, para todo l, m ∈ ℕ 
Consequentemente, s(k) ∈ ℕ e 
s(k) ⋅ (l + m) = k ⋅ (l + m) + (l + m) 
= (k ⋅ l + k ⋅ m) + (l + m) 
= (k ⋅ l + l) + (k ⋅ m + m) 
= s(k) ⋅ l + s(k) ⋅ m
A penúltima igualdade foi obtida ao utilizarmos a associatividade e a comutativi-
dade da adição de números naturais. Em resumo, foi demonstrado que k ∈ A impli-
ca s(k) ∈ A, conforme desejado. Pelo princípio da indução finita, A = ℕ, garantindo a 
validade da afirmação enunciada.
∎
Conforme já mencionado, a distributividade da multiplicação em relação à adi-
ção permite demonstrar que a multiplicação de números naturais é associativa. 
Esse é o conteúdo do próximo resultado.
Teorema 
Sejam x, y, z ∈ ℕ, então é válido
58 Aritmética
x ⋅ (y ⋅ z) = (x ⋅ y) ⋅ z
Demonstração 
A ideia é definirmos o conjunto de números naturais:
A = {m ∈ ℕ | ∀ k, l ∈ ℕ, k ⋅ (l ⋅ m) = (k ⋅ l) ⋅ m}
e mostrarmos que A = ℕ. Para tanto, notemos que 0 ∈ A, pois 
k ⋅ (l ⋅ 0) = k ⋅ 0 = 0 = (k ⋅ l) ⋅ 0
quaisquer que sejam k, l ∈ ℕ. Adicionalmente, A é fechado para sucessores. 
Para apontarmos isso, sejam m ∈ A, isto é, m ∈ ℕ e 
k ⋅ (l ⋅ m) = (k ⋅ l) ⋅ m
para todo k, l ∈ ℕ. Consequentemente, s(m) ∈ ℕ e, 
k ⋅ (l ⋅ s(m)) = k ⋅ (l ⋅ m + l) = k ⋅ (l ⋅ m) + k ⋅ l = (k ⋅ l) ⋅ m + k ⋅ l = (k ⋅ l) ⋅ s(m)
Portanto, s(m) ∈ A, mostrando, assim, que A é fechado para sucessores. 
Consequentemente pelo princípio da indução finita, A = ℕ. 
∎
Assim como para a adição de números naturais foi possível demonstrarmos a 
regra do cancelamento, mesmo sem definirmos uma subtração, também é possí-
vel demonstrarmos a regra de cancelamento para a multiplicação, mesmo sem ter 
sido definida uma divisão. Para enunciarmos e apresentarmos essa regra, é neces-
sário estabelecermos o resultado auxiliar a seguir.
Lema
Sejam m, n ∈ ℕ. Se m ⋅ n = 0, então m = 0 ou n = 0.
Demonstração
Pela forma contrapositiva, temos que mostrar que se m ≠ 0 e n ≠ 0, então 
m ⋅ n ≠ 0. Para tanto, escrevemos m = s(k) e n = s(l), com k, l ∈ ℕ. Isso é possível pois 
m ≠ 0 e n ≠ 0. Consequentemente, 
m ⋅ n = s(k) ⋅ s(l) = s(k) ⋅ l + s(k) = (k ⋅ l + l) + s(k) = s((k ⋅ l + l) + k) ≠ 0
A última afirmação é consequência do fato de que a imagem de s não contém o 
número natural 0 (zero), conforme já demonstrado.
∎
Fazendo uso desse lema, é possível demonstrarmos a Lei do Cancelamento 
para a multiplicação de números naturais a seguir.
(Continua)
O conjunto dos números naturais 59
Proposição
Sejam x, y, ℕ e z ∈ ℕ \ {0}, tais que x ⋅ z = y ⋅ z. Então, x = y. 
Demonstração 
O primeiro passo é aplicarmos o princípio da indução finita ao conjunto 
A = {n ∈ ℕ | ∀ m ∈ ℕ, p ∈ ℕ \ {0}; m ⋅ p = n ⋅ p ⇒ m = n}
Por definição, A ⊂ ℕ e, adicionalmente, 0 ∈ A, pois se m ∈ ℕ e p ∈ ℕ \ {0}, são tais que
m ⋅ p = 0 ⋅ p
e, portanto, m ⋅ p = 0, o que implica, pelo lema anterior, m = 0 ou p = 0. Mas p ≠ 0 e, 
portanto, m = 0. Sendo assim, temos m = 0 = n, mostrando que 0 ∈ A. Resta-nos veri-
ficar que A é fechado para sucessores. Para tanto, consideremos n ∈ A. Isso significa 
que n ∈ A, e se 
m ⋅ p = n ⋅ p, para alguns m ∈ ℕ 
e p ∈ ℕ \ {0}, então m = n. Suponhamos, então, que 
m ⋅ p = s(n) ⋅ p
com m ∈ ℕ e p ∈ ℕ \ {0}. Como s(n) ≠ 0 e p ≠ 0, pelo lema anterior, s(n) ⋅ p ≠ 0. 
Em particular, m ≠ 0. Consequentemente, existe k ∈ ℕ tal que m = s(k). Logo, 
k ⋅ p + p = s(k) ⋅ p = m ⋅ p = s(n) ⋅ p = n ⋅ p + p
Pela Lei do Cancelamento da adição, resulta que 
k ⋅ p = n ⋅ p
Mas, como n ∈ A, k ∈ ℕ e p ∈ ℕ \ {0}, deduzimos que k = n. Portanto, m = s(n). 
O que nos mostra que n ∈ A. Pelo princípio da indução finita, A = ℕ, e a propriedade 
enunciada é válida.
∎
Com respeito ao conteúdo da proposição anterior, é necessário tecermos um aler-
ta. Diante da igualdade x ⋅ z = y ⋅ z, com x, y ∈ ℕ e z ∈ ℕ – {0}, é muito tentador efetuar-
mos a divisão por z em ambos os membros dessa igualdade. Porém, cuidado, esse 
argumentonão é aplicável, pois, até o momento, nada se falou de divisão de números 
naturais. A argumentação correta encontra fundamentos na proposição anterior.
A Construção dos Números, 
escrito por Jamil Ferreira, 
apresenta de maneira 
rigorosa e precisa a cons-
trução dos conjuntos nu-
méricos, desde o conjunto 
dos números naturais até 
o conjunto dos números 
complexos. É uma leitura 
que pode complementar 
os estudos a respeito da 
teoria explorada nesta 
seção. 
FERREIRA, J. 3. ed. Rio de Janeiro: 
SBM, 2013. 
Livro
2.4 A relação de ordem no conjunto 
dos números naturais 
Vídeo
No conjunto dos números naturais, além da adição, é possível definirmos a 
subtração. Contudo, essa operação é definida apenas parcialmente, ou seja, não é 
definida para todos os números naturais. Isso é esperado, visto que, por exemplo, 
60 Aritmética
não teria sentido efetuarmos 1 – 2 no conjunto dos números naturais, dado que o 
resultado não seria um número natural. 
Geralmente só é possível efetuarmos uma subtração da forma x – y, no conjunto 
dos números naturais, se x for maior ou igual a y. Isso pressupõe a existência de 
uma relação de ordem em ℕ e é justamente o conteúdo desta seção.
Dados números naturais x, y ∈ ℕ, como decidir se x é maior que ou igual a y? 
O que permite tomar essa decisão é a existência da adição. Para ilustrarmos esse 
fato, consideremos os números naturais dois e cinco. Sabemos que cinco é maior 
que dois. O raciocínio implícito é que uma quantidade representada pelo número 
natural cinco representa uma quantidade maior que aquela representada pelo nú-
mero natural dois. 
Além disso, para obtermos a maior quantidade, podemos partir da menor e 
acrescentar unidades. De maneira precisa, consideremos a quantidade dois; é ne-
cessário acrescentar três unidades a fim de obtermos cinco, ou seja, 2 + 3 = 5. 
Portanto, o fato do cinco representar um número natural maior que o número 
natural dois, fica evidente na igualdade 2 + 3 = 5, a qual revela que é necessário 
acrescentar uma quantidade positiva ao dois para resultar o cinco. Isso é generali-
zado na definição a seguir.
Definição
Sejam x, y ∈ ℕ, definimos:
• x é menor que ou igual a y se existe um número natural p ∈ ℕ tal que 
y = x + p
Nesse caso, escrevemos x ≤ y e podemos dizer que y é maior que ou igual a x.
• x é estritamente menor que y se x ≤ y e x ≠ y. Nesse caso, escrevemos x < y e podemos 
dizer que y é estritamente maior que x.
Outra forma de descrevermos x ≤ y é denotarmos y ≥ x. Uma forma distinta de representarmos 
x < y é escrevermos y > x, nesse caso, dizemos que y é estritamente maior que x.
Sempre que se faz alguma definição em matemática, é esperada a dedução de 
propriedades a partir dela. Essas propriedades devem corroborar com o conheci-
mento empírico. Se a definição da relação ≤ (menor que ou igual a) foi feita adequa-
damente, será possível, por exemplo, demonstrarmos que todo número natural é 
maior que ou igual a zero – fato conhecido desde o ensino básico. 
Além disso, espera-se que todo número natural não nulo seja estritamente 
maior que 0 e, também, que a ordenação seja preservada a nível de sucessores, 
ou seja, se x ≤ y, então s(x) ≤ s(y). Essas são as propriedades mais imediatas que 
decorrem da definição de relação de ordem e serão enunciadas e demonstradas 
com algumas outras a seguir.
O conjunto dos números naturais 61
Proposição
Sejam x, y ∈ ℕ, então são válidas as afirmações a seguir:
I. x ≥ 0.
II. Se x ≠ 0, então x > 0.
III. Se x ≤ y, então s(x) ≤ s(y).
IV. Se x < y, então s(x) < s(y).
V. Vale x < y se, e somente se, existe p ∈ ℕ \ {0} tal que y = x + p.
Demonstração
I. Se x ∈ ℕ, então x = x + 0. Logo, por definição, 0 ≤ x.
II. Suponhamos que x ≠ 0. Por (a), tem-se 0 ≤ x e como x ≠ 0, resulta, por defini-
ção, que 0 < x.
III. Se x ≤ y, então existe p ∈ ℕ tal que y = x + p. Portanto, s(y) = s(x + p) = s(x) + p. 
Logo, por definição, s(x) ≤ s(y).
VI. Se x < y, então x ≤ y e x ≠ y. Por (c) segue que s(x) ≤ s(y), e como a função suces-
sor é injetora, temos que s(x) ≠ s(y). Ao combinarmos essas duas informações, 
temos que s(x) < s(y).
V. Se x < y, então x ≠ y e existe p ∈ ℕ tal que y = x + p. Mas, então, p ≠ 0, pois, do 
contrário, teríamos y = x + 0 = x, contradizendo x ≠ y. Reciprocamente, su-
ponhamos que y = x + p, para algum p ∈ ℕ \ {0}. Por definição da relação “≤”, 
segue que x ≤ y. Agora, y = x + p com p ≠ 0 implica x ≠ y. Mas, x ≤ y juntamente 
com x ≠ y significam que x < y.
∎
Vencida essa etapa, é natural indagarmos qual a natureza da relação ≤ (menor 
que ou igual a), ou seja, que tipos de propriedades são inerentes a essa relação? 
Evidentemente essa relação deveria ser de ordem, dado que sua definição captura 
a ordenação dos números naturais que se conhece empiricamente. De fato, esse é 
o caso, conforme demonstramos a seguir.
Teorema 
A relação ≤ (menor que ou igual a) é uma relação de ordem em ℕ, ou seja, são 
válidas as propriedades:
I. Reflexiva: x ≤ x para todo x ∈ ℕ.
II. Antissimétrica: se x, y ∈ ℕ são tais que x ≤ y e y ≤ x, então x = y.
III. Transitiva: se x, y, z ∈ ℕ são tais que x ≤ y e y ≤ z, então x ≤ z.
(Continua)
62 Aritmética
Demonstração
I. De fato, se x ∈ ℕ, então x = x + 0, portanto, x ≤ x, pela definição.
II. Suponhamos que x ≤ y e y ≤ x. Pela definição, existem p, q ∈ ℕ tais que 
y = x + p e x = y + q
Consequentemente, 
x + 0 = x = (x + p) + q = x + (p + q)
Pela Lei do Cancelamento para a adição, segue que 
p + q = 0
Mas isso implica p = q = 0. Portanto, y = x + 0 = x. 
III. Suponhamos que x ≤ y e y ≤ z. Pela definição, existem p, q ∈ ℕ tais que 
y = x + p e z = y + q
Consequentemente, 
z = y + q = (x + p) + q = x + (p + q)
Como p + q ∈ ℕ, deduzimos que x ≤ z.
∎
A relação de ordem ≤ (menor que ou igual a) é denominada de ordem natural de 
ℕ. Essa terminologia se justifica pelo fato de que ela está de acordo com a forma 
empírica com a qual comparamos números naturais.
Com base no conteúdo desta seção, podemos elaborar um resultado funda-
mental: o princípio da tricotomia. Esse princípio tem um enunciado óbvio, afir-
mando que dados dois números naturais x, y ∈ ℕ, uma, e apenas uma coisa pode 
acontecer: x = y, x < y ou y < x. Embora ele pareça bastante simplório, costuma 
ser usado com frequência na aritmética de números naturais. Sua demonstração 
baseia-se no resultado auxiliar a seguir. 
Lema
Sejam x, y ∈ ℕ, então são válidas:
I. s(x) > x.
II. Se y > x, então y = s(x) ou y > s(x).
Demonstração
I. A igualdade s(x) = x + 1 revela que s(x) ≥ x, então resta verificarmos que s(x) ≠ x. 
Por contradição, suponhamos que s(x) = x. Nessa situação, teríamos que 
x + 1 = x + 0. Mas, a Lei do Cancelamento para a adição permitiria deduzir que 
1 = 0, ou seja, s(0) = 0. Isto é impossível, pois 0 (zero) não pertence à imagem 
de s. Portanto, temos que s(x) > x.
Na demonstração da propriedade 
antissimétrica (item II), verifique 
que p = q = 0.
Desafio
(Continua)
O conjunto dos números naturais 63
II. Suponhamos que y > x, isto é, y ≠ x, e existe p ∈ ℕ \ {0}, tal que y = x + p. 
Mas como p ≠ 0, é possível escrevermos p = s(q) com q ∈ ℕ. Consequentemente, 
y = x + p = x + s (q) = s(x) + q
Se q = 0, então y = s(x), e se q ≠ 0, tem-se y > s(x).
∎
Utilizando esse resultado, é possível demonstrarmos o princípio da tricotomia, 
como a seguir. 
Teorema
Sejam x, y ∈ ℕ. Então, uma, e apenas uma das seguintes afirmações é válida:
I. x > y
II. x = y
III. x < y
Demonstração
A primeira parte da demonstração consiste em verificar que quaisquer duas 
das afirmações não podem ocorrer simultaneamente. Todas as verificações são 
realizadas por contradição.
 • Se fosse possível ocorrer I e II simultaneamente:
Existiria p ∈ ℕ \ {0}, tal que x = y + p, e considerando que x = y, resultaria em:
x + 0 = x = y + p = x + p
Mas pela Lei do Cancelamento para a adição, seguiria que p = 0, uma contradição.
 • Se fosse possível ocorrer II e III simultaneamente:
Existiria p ∈ ℕ \ {0}, tal que y = x + p, e considerandoque x = y, resultaria em:
y + 0 = y = x + p = y + p
Novamente, pela Lei do Cancelamento para a adição, seguiria que p = 0, uma 
contradição.
 • Se fosse possível ocorrer I e III simultaneamente:
Existiriam p, q ∈ ℕ \ {0}, tais que y = x + p e x = y + q. Consequentemente, 
y + 0 = y = x + p = (y + q) + p = y + (p + q)
Então, pela Lei do Cancelamento para a adição, seguiria que p + q = 0, desse 
modo, p = q = 0. Logo, uma contradição. 
(Continua)
64 Aritmética
Em seguida, resta-nos verificar que pelo menos uma das opções entre I e III 
ocorre. A ideia é proceder por meio do princípio de indução finita. Para tanto, defi-
ne-se o conjunto 
A = {x ∈ ℕ | ∀ y ∈ ℕ, x > y, x = y ou x < y}
Por definição, A ⊂ ℕ e 0 ∈ A, pois para qualquer y ∈ ℕ temos que y > 0. Para fina-
lizar, temos que verificar que A é fechado para sucessores. Para tanto, seja x ∈ A, ou 
seja, x ∈ ℕ e dado y ∈ ℕ, temos:
x > y, x = y ou x < y
Considerando essa informação, demonstraremos que s(x) > y, s(x) = y ou s(x) < y:
 • Se y < x, então y < s(y) < s(x), portanto s(x) ∈ A. 
 • Se x = y, então, pelo lema da multiplicação do sucessor de x por y já demons-
trado, temos que s(x) = s(y) > y. Logo, s(x) ∈ A.
 • Se x < y, então, pelo lema da multiplicação do sucessor de x por y já demons-
trado, temos que y = s(x) ou y > s(x). Assim, s(x) ∈ A.
Isso nos mostra que A é fechado para sucessores. Pelo princípio da indução 
finita, deduzimos que A = ℕ, demonstrando, desse modo, a propriedade enunciada.
∎
A relação de ordem estudada nessa seção será fundamental em outros está-
gios do estudo da aritmética. Por exemplo, ela servirá como ponto de partida para 
definirmos uma relação de ordem no conjunto dos inteiros. Além disso, é possível 
demonstrarmos uma das propriedades fundamentais do conjunto dos números 
naturais: o princípio da boa ordenação, nosso objetivo de estudo a partir de agora.
2.5 Princípio da boa ordenação 
Vídeo Finalmente, apresentamos agora um resultado teórico que tem diversas aplica-
ções, chamado de princípio da boa ordenação.
Embora a demonstração desse princípio seja elaborada, seu enunciado é sim-
ples de ser compreendido. Apesar de ser um argumento que não precise de de-
monstração, a título de rigor, vamos demonstrar. Isso é importante pois lhe confere 
maturidade e segurança ao tratar do assunto. 
Para motivar a discussão, observemos que qualquer número natural x satisfaz 
x ≥ 0. Nesse sentido, e considerando que ≤ (menor que ou igual a) é uma relação de 
ordem, podemos dizer que 0 (zero) é o menor elemento do conjunto dos números 
naturais. Em outras palavras, o conjunto dos números naturais possui um menor 
elemento. Acontece que isso é válido para qualquer subconjunto não vazio de nú-
meros naturais. 
Por exemplo, se A = {2k + 1 | k ∈ ℕ}, então A é um conjunto não vazio de nú-
meros naturais que tem 1 (um) como o menor elemento, dado que A = {1, 3, 5, …}. 
De maneira geral, todo subconjunto não vazio A ⊂ ℕ possui um menor elemento. 
Esse é o conteúdo do princípio da boa ordenação.
O conjunto dos números naturais 65
A demonstração do princípio da boa ordenação é um tanto complexa e, para 
simplificar, convém estabelecermos o resultado auxiliar enunciado e demons-
trado a seguir. 
Lema
Sejam x, y ∈ ℕ, então x < y se, e somente se, s(x) ≤ y.
Demonstração 
Suponhamos que x < y. Nesse caso, existe p ∈ ℕ \ {0}, tal que y = x + p. Mas como 
p ≠ 0, é possível escrevermos p = s(q), para algum q ∈ ℕ. Consequentemente, 
y = x + p = x + s(q) = s(x) + q. Portanto, s(x) ≤ y.
Por outro lado, suponhamos que s(x) ≤ y. Diante disso, existe p ∈ ℕ tal que 
y = s(x) + p. De modo consequente, y = x + s(p). Como s(p) ≠ 0, deduzimos que x < y.
∎
Como aplicação desse resultado auxiliar, vamos demonstrar o princípio da boa 
ordenação para o conjunto dos números naturais. 
Teorema – O princípio da boa ordenação
Se A é um subconjunto não vazio de ℕ, então existe r ∈ A, tal que r ≤ a para 
todo a ∈ A.
Demonstração
Inicialmente, definimos o conjunto auxiliar 
X = {x ∈ ℕ | ∀ a ∈ A; x ≤ a}
Então X ≠ ℕ. Para vermos isso, tomemos a0 ∈ A. É possível encontrarmos a0, pois 
A ≠ ∅. Mas, então, s(a0) ∉ X, pois, do contrário, seguiria que s(a0) ≤ a0 e, pelo lema 
demonstrado anteriormente, resultaria em a0 < a0, contradizendo o princípio da 
tricotomia, já que sempre é válido a0 = a0. 
Agora, o conjunto X não é fechado para sucessores. Para verificarmos, suponha-
mos que X fosse fechado para sucessores: nesse caso, teríamos, pelo princípio da 
indução finita, que X = ℕ, pois X também contém o 0 (zero), uma vez que 0 ≤ a, para 
todo a ∈ A. Mas isso contradiz X ≠ ℕ. Portanto, existe r ∈ X, tal que s(r) ∉ X. 
Em particular, r ≤ a para todo a ∈ A. A ideia é mostrarmos que r ∈ A. Para isso, se 
r ∉ A, então r ≠ a para todo a ∈ A. Logo, pela tricotomia, r < a ou r > a, qualquer que 
seja a ∈ A. Combinando isso com o fato que r ≤ a, deduzimos que r < a. Mas, r < a 
para todo a ∈ A, junto ao lema demonstrado anteriormente, implicam s(r) ≤ a, para 
todo a ∈ A, o que significa que s(r) ∈ X, uma contradição. 
(Continua)
66 Aritmética
Portanto, a afirmação r ∉ A é falsa, ou seja, r ∈ A. Logo, r é o menor elemento de 
A, conforme queríamos demonstrar.
∎
O princípio da boa ordenação costuma ser usado para mostrar que alguma pro-
priedade P é falsa para todo número natural. A estratégia é supor que ela é válida 
para alguns números naturais. Em particular, o conjunto A = {x ∈ ℕ | x satisfaz P} é 
um subconjunto não vazio de números naturais. 
Consequentemente, pelo princípio da boa ordenação, existe um menor elemen-
to x0 ∈ A. Usando-se esse x0 será obtido uma contradição. Isso demonstrará que 
a suposição de que P era válida para alguns números naturais é falsa, ou seja, a 
propriedade P é falsa para todo número natural.
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
O conjunto dos números naturais, embora seja conhecido desde o ensino básico, 
não pode ser compreendido de maneira completa sem a discussão de seus aspectos 
teóricos. Essa discussão permite um diálogo com veracidade e precisão quando o 
assunto é o conjunto dos números naturais. Além disso, a teoria abordada neste 
capítulo ilustra como a matemática se desenvolve sobre suas próprias bases, um 
resultado derivado de outro e todos alcançados dos pressupostos iniciais. 
Esse tipo de desenvolvimento faz com que a intuição seja aprimorada, visto que 
é por meio da observação de elementos concretos que chegamos à abstração da 
teoria. Nesse caminho, muitas habilidades são desenvolvidas, inicialmente com o 
aperfeiçoamento do raciocínio abstrato e culminando com a sofisticação na argu-
mentação. Todos esses elementos, além de serem úteis, são necessários para um 
bom domínio do assunto.
ATIVIDADES
1. Qual seria a estratégia para demonstrar que todo número natural n ≠ 0 é sucessor 
de outro natural?
2. Quais são os ganhos propiciados pela abordagem axiomática do conjunto dos 
números naturais?
3. Comente a respeito da importância do princípio da indução finita no desenvolvimento 
da teoria deste capítulo.
REFERÊNCIAS
DOMINGUES, H. H. Fundamentos de aritmética. São Paulo: Atual, 1991. 
DOMINGUES, H. H.; IEZZI, G. Álgebra Moderna. São Paulo: Atual, 1982. 
FERREIRA, J. A Construção dos Números. Rio de Janeiro: SBM, 2011.
O Olimpédia é um site 
que aborda assuntos de 
olimpíadas científicas. 
Nele é possível encontrar-
mos uma aplicabilidade 
interessante do princípio 
da boa ordenação. A 
exposição é clara, rigorosa 
e interessante. Vale a pena 
conferir!
Disponível em: https://olimpedia.
fandom.com/pt-br/wiki/Princ%-
C3%ADpio_da_Boa_Ordena%-
C3%A7%C3%A3o. Acesso em: 7 
mai. 2021.
Site
Vídeo
https://olimpedia.fandom.com/pt-br/wiki/Princ%C3%ADpio_da_Boa_Ordena%C3%A7%C3%A3o
https://olimpedia.fandom.com/pt-br/wiki/Princ%C3%ADpio_da_Boa_Ordena%C3%A7%C3%A3o
https://olimpedia.fandom.com/pt-br/wiki/Princ%C3%ADpio_da_Boa_Ordena%C3%A7%C3%A3o
https://olimpedia.fandom.com/pt-br/wiki/Princ%C3%ADpio_da_Boa_Ordena%C3%A7%C3%A3o
O conjunto dos números inteiros 67
3
O conjunto dosnúmeros inteiros
Uma vez que conhecemos o conjunto dos números naturais, percebemos 
que muitos problemas não podem ser resolvidos por meio desse conjunto. 
Por exemplo, a simples equação x + 2 = 1 não pode ser resolvida em  . Então, 
é necessário introduzirmos os números que permitem resolver esse tipo de 
equação: os números inteiros.
O conjunto dos números inteiros é nosso objeto de estudo neste capítulo. 
Por meio do conjunto dos números naturais e de sua adição, definiremos o 
conjunto dos números inteiros com base em determinada relação de equiva-
lência. Com essa definição, é possível demonstrar rigorosamente as proprieda-
des da adição, subtração e multiplicação de números inteiros.
3.1 O conjunto ℤ 
Vídeo A motivação para estender o conjunto dos números naturais vem da necessida-
de de resolver equações do tipo
x + b = a
com a, b ∈ ℕ. Por exemplo, a equação
x + 1 = 0
não tem solução no conjunto dos números naturais. Entretanto, em muitas situa-
ções é desejável resolvê-la. Para sair desse impasse, é necessário introduzirmos 
“números” não pertencentes ao conjunto dos números naturais. Esses novos nú-
meros serão todas as soluções de quaisquer equações da forma x + b = a possíveis 
de formar variando a, b ∈ ℕ.
O ponto de partida é notar que equações da forma x + b = a com a, b ∈ ℕ são 
parametrizadas por pares de números naturais (a, b) em ℕ × ℕ, ou seja, uma equa-
ção do tipo x + b = a corresponde ao par (a, b), e, reciprocamente, um par (a, b) 
corresponde à equação x + b = a.
Por exemplo, temos a correspondência entre a equação x + 2 = 1 e o par (1, 2) 
de números naturais. Agora, relembrando o que aprendemos na educação básica, 
a solução para a equação x + 2 = 1 é x = –1. Em particular, seria tentador definir
–1 = (1, 2)
68 Aritmética
já que o par (1, 2) está associado a uma equação cuja solução deveria ser –1. Isso 
tem sentido, pois o objeto (1, 2) é bem definido, ou seja, satisfaz a equação. Embora 
a ideia seja boa, há um problema de ambiguidade: por que não definir
–1 = (2, 3) ou –1 = (3, 4)
dado que as equações correspondentes
x + 3 = 2 e x + 4 = 3
também teriam –1 como solução? De fato, não haveria nenhuma razão para es-
colher (1, 2) em prejuízo dos pares (2, 3) e (3, 4) para representar o –1. A solução 
para resolver esse problema de ambiguidade é a mais simples possível. Em vez de 
definir –1 como um par ordenado em particular, que corresponde a uma equação 
com solução –1, definimos –1 como o conjunto de todos os pares ordenados de nú-
meros naturais que dão origem a uma equação de solução –1. Mais precisamente, 
definimos
–1 = {(k, k + 1) | k ∈ ℕ} = {(0, 1), (1, 2), (2, 3), …}
É possível formalizar essa discussão por meio do emprego de relações de equiva-
lência. De fato, o problema da ambiguidade levantado anteriormente é resolvido ao 
identificarmos todos os pares ordenados de números naturais que dão origem a uma 
equação da forma x + b = a com a mesma solução. Contudo, note que dois pares (a, 
b) e (c, d) em ℕ x ℕ dão origem a equações com a mesma solução se, e somente se,
a + d = b + c
De fato, se (a, b) e (c, d) fornecem a solução k para as equações
x + b = a e x + d = c
então
k + b = a e k + d = c
o que implica
a + d = (k + b) + d = b + (k + d) = b + c
Por outro lado, suponha que os pares (a, b) e (c, d) são tais que
a + d = b + c
Então, nesse caso, as equações
x + b = a e x + d = c
têm a mesma solução. Com efeito,
x + b = a ⇒ (x + b) + c = a + c
⇒ x + (b + c) = a + c
⇒ x + (a + d) = a + c
⇒ a + (x + d) = a + c 
⇒ x + d = c
Portanto, a solução de x + b = a é solução de x + d = c. Analogamente, toda solu-
ção de x + d = c é solução de x + b = a. Essa discussão motiva a proposição a seguir.
O conjunto dos números inteiros 69
Proposição
A relação ℜ ⊂ ℕx ℕ definida por
(a, b) ℜ (c, d) ⇔ a + d = b + c
é uma relação de equivalência. Além disso,
[(a, b)] = {(x, y) ∈ ℕ × ℕ| (x, y) ℜ (a, b)} = {(x, y) ∈ ℕ × ℕ| x + b = y + a}
Demonstração
É necessário demonstrar que ℜ é reflexiva, simétrica e transitiva. Com efeito:
 • ℜ é reflexiva.
Se (a, b) ⊂ ℕ x ℕ, então
a + b = b + a
já que a operação adição (+) é comutativa em ℕ. Isso nos mostra que (a, b) ℜ(a, b), 
ou seja, ℜ é reflexiva.
 • ℜ é simétrica.
Se (a, b) e (c, d) são elementos de ℕ x ℕ tais que (a, b) ℜ (c, d), então temos que
a + d = b + c
o que implica, pela comutatividade de + em ℕ,
c + b = d + a
ou seja, (c, d) ℜ (a, b).
 • ℜ é transitiva.
Suponha que (a, b), (c, d) e (e, f) são elementos de ℕ x ℕ tais que
(a, b) ℜ (c, d) e (c, d) ℜ (e, f)
Por definição, isso significa que
a + d = b + c e c + f = d + e
Logo,
a + f + (c + d) = (a + d) + (c + f) = b + c + d + e = (b + e) + (c + d)
Pela lei do cancelamento da adição em , temos que
a + f = b + e
Portanto, (a, b) ℜ (e, f).
Finalmente, chegamos à principal definição desta seção.
70 Aritmética
Definição
O conjunto dos números inteiros é o quociente
� � �= x 
R
sendo ℜ ⊂ ℕ × ℕ a relação de equivalência
(a, b) ℜ (c, d) ⇔ a + d = b + c
Note que todo (a, b) ∈ ℕ x ℕ determina a classe de equivalência [(a, b)] dada por
[(a, b)] = {(x, y) ∈ ℕ x ℕ | (x, y) ℜ(a, b)} = {(x, y) ∈ ℕ x ℕ | x + b = y + a}
Por exemplo,
[(2, 1)] = {(x, y) | x + 1 = y + 2} = {(1, 0), (2, 1), (3, 2), …}
e
[(1, 2)] = {(x, y) | x + 2 = y + 1} = {(0, 1), (1, 2), (2, 3), …}
Note que [(1, 2)] coincide com o conjunto com o qual definimos o número –1 na 
discussão introdutória desta seção.
Existe uma maneira simples de representar as classes de equivalência [(a, b)]. 
Para compreender isto, note que sempre que dois números naturais a, b ∈ ℕ sa-
tisfazem a ≥ b, é possível definir a subtração a – b. De fato, a ≥ b, por definição, 
significa que
a = b + k
para algum k ∈ ℕ. Assim, temos que esse elemento k ∈ ℕ é o único número natural 
que cumpre a = b + k. De fato, se l ∈ ℕ também satisfaz a = b + l, então, pela lei do 
cancelamento da adição, teríamos que k = l. Em particular, é possível definir
a – b ≔ k
Note que estamos definindo a subtração de a com b como o único número 
inteiro k que satisfaz a = b + k. Novamente, devemos enfatizar que isso apenas 
tem sentido quando a ≥ b. Em particular, essa operação de subtração está definida 
apenas no subconjunto
{(a, b) ∈ ℕ x ℕ| a ≥ b} ⊂ ℕ x ℕ
e não em ℕ x ℕ, como é o caso da adição. Mas, afinal, qual é a razão dessa discus-
são? Ela permite demonstrar que qualquer classe de equivalência [(a, b)] ∈ ℤ, isto é, 
qualquer número inteiro, pode ser representada de uma forma bastante particular, 
como demonstrado a seguir.
Teorema
Se (a, b) ∈ ℕ x ℕ, então existe um único c ∈ ℕ, de modo que
[(a, b)] = [(c, 0)] ou [(a, b)] = [(0, c)]
O conjunto dos números inteiros 71
Demonstração
Se (a, b) ∈ ℕ xℕ, então a ≥ b ou b ≥ a.
 • Se a ≥ b, então temos que
[(a, b)] = [(a – b, 0)]
pois
a + 0 = b + (a – b)
Logo, basta tomar c := a – b ∈ℕ.
Agora, se b ≥ a, então temos que
[(a, b)] = [(0, b – a)]
pois
a + (b – a) = b + 0
Nesse caso, basta tomar c := b – a ∈ℕ.
Finalmente, resta mostrar a unicidade. Para isso, se d ∈ℕ é tal que
[(a, b)] = [(d, 0)]
então
a + 0 = b + d ⇔ a = b + d ⇒ d = a – b
Analogamente, é demonstrada a outra situação.
Para ilustrar o resultado anterior, note que:
 • [(1, 2)] = [(0, 2 – 1)] = [(0, 1)]
 • [(2, 1)] = [(2 – 1, 0)] = [(1, 0)]
 • [(3, 1)] = [(3 – 1, 0)] = [(2, 0)]
 • [(1, 3)] = [(0, 3 – 1)] = [(0, 2)]
Com isso, temos que, por exemplo:
[(1, 2)] = [(0, 1)] = {(x, y) ∈ ℕ x ℕ | (x, y) ℜ (0, 1)}
 = {(x, y) ∈ ℕ x ℕ | x + 1 = y + 0} = {(x, x + 1) | x ∈ ℕ}
Analogamente,
[(2, 1)] = [(1, 0)] = {(x, y) ∈ ℕ x ℕ | (x, y) ℜ (1, 0)}
 = {(x, y) ∈ ℕ x ℕ | x + 0 = y + 1} = {(y + 1, y) | y ∈ ℕ}
72 Aritmética
Novamente, note que o conjunto [(1, 2)] coincide com o conjunto com o qual de-
finimos o –1 no início da seção. A propósito, para esclarecer alguns detalhes, vamos 
introduzir as seguintes notações:
O número inteiro zero é definido como 0ℤ = [(0, 0)].
Se k ∈ ℕ, definimos o inteiro positivo k como kℤ = [(k, 0)].
Se k ∈ ℕ, definimoso inteiro negativo k como –kℤ = [(0, k)].
Por exemplo:
 • 1ℤ= [(1, 0)]
 • –1ℤ = [(0, 1)]
 • 2ℤ = [(2, 0)]
 • –2ℤ = [(0, 2)]
Com isso, podemos denotar
ℤ = {…, –2ℤ, –1ℤ, 0ℤ, 1ℤ, 2ℤ, …}
Geralmente, como é inconveniente carregar a notação kℤ, escrevemos apenas k 
em vez de kℤ. Entretanto, devemos ter em mente que kℤ e k são objetos diferentes.
Então, por que no ensino básico ensinam que todo número natural é um número 
inteiro? Isso ocorre pelo fato de existir uma “cópia” do conjunto dos números natu-
rais dentro do conjunto dos números inteiros. Isso significa que existe um subcon-
junto de ℤ que está em bijeção comℕ, como mostra o teorema a seguir.
Teorema
A função f: ℕ → ℤ definida por
f(x) = [(x, 0)]
é injetora. Em particular, ℕ está em bijeção com a imagem de f, isto é, com o 
conjunto
ℕℤ= {[(x, 0) | x ∈ℕ}
Demonstração
De fato, se x, y ∈ ℕ são tais que f(x) = f(y), então
[(x, 0)] = [(y, 0)]
Pela definição, vale essa igualdade se, e somente se,
x + 0 = y + 0
ou seja, x = y. Portanto, f é injetora.
O conjunto dos números inteiros 73
Portanto, quando escrevemos ℕ ⊂ ℤ, isso significa, efetivamente, ℕℤ ⊂ ℤ. Contu-
do, conjuntos em bijeção são indistinguíveis do ponto de vista da teoria de conjun-
tos, logo, não há razão para qualquer confusão a respeito da escrita ℕ ⊂ ℤ.
Além disso, será demonstrado posteriormente que f é compatível com as ope-
rações algébricas de ℕ e de ℤ– estas ainda serão introduzidas.
3.2 Adição e subtração de números inteiros 
Vídeo Agora que você sabe que números inteiros são classes de equivalência, surge 
uma pergunta natural: como somar e subtrair números inteiros? A resposta deve 
ser fundamentada no conjunto dos números naturais, dado que os inteiros foram 
construídos com base nesse conjunto.
Além disso, uma vez presente a adição de números naturais, deve ser possível 
“estendê-la” ao conjunto dos números inteiros, de modo que quando adicionamos 
dois inteiros não negativos, produzimos o mesmo resultado que obtemos ao adi-
cionar os dois números naturais correspondentes.
Para elaborar a respeito, lembre-se de que se x, y ∈ ℕ, então os inteiros não 
negativos correspondentes são
xℤ = [(x, 0)] e yℤ = [(y, 0)]
respectivamente. Gostaríamos que
xℤ + yℤ = (x + y) ℤ
Mas isso vale se, e somente se,
[(x, 0)] + [(y, 0)] = [(x + y, 0)]
Logo, isso define a adição de inteiros para todos aqueles inteiros da forma 
[(x, 0)]. Porém, relembre que um inteiro também pode ter o formato [(0, x)]; por 
isso, também é necessário definirmos
[(x, 0)] + [(0, y)] e [(0, x)] + [(0, y)]
com x, y ∈ℕ. Seguindo o raciocínio que foi discutido anteriormente, parece natural 
colocarmos
[(x, 0)] + [(0, y)] = [(x, y)] e [(0, x)] + [(0, y)] = [(0, x + y)]
Dessa forma, chegamos à definição a seguir.
Definição
A adição de dois números inteiros [(a, b)] e [(c, d)] é o número inteiro
[(a, b)] + [(c, d)] = [(a + c, b + d)]
É necessário verificar se a adição está, de fato, bem definida. Como assim?
Lembre-se de que uma classe de equivalência pode ter mais de um represen-
tante. Suponha então que (a, b) e (a’, b’) representam a mesma classe de equiva-
74 Aritmética
lência e que (c, d) e (c’, d’) também são representantes dessa classe. Isso pode ser 
resumido por meio das igualdades
[(a, b)] = [(a’, b’)] e [(c, d)] = [(c’, d’)]
Mas será que [(a, b)] + [(c, d)] = [(a’, b’)] + [(c’, d’)]?
Se esse não fosse o caso, teríamos que
[(a, b)] + [(c, d)] ≠ [(a’, b’)] + [(c’, d’)]
ainda que
[(a, b)] = [(a’, b’)] e [(c, d)] = [(c’, d’)]
isto é, +: ℤ × ℤ → ℤ não seria uma função, já que um mesmo elemento do domínio 
teria duas imagens distintas. Felizmente, isso não ocorre, conforme será demons-
trado a seguir.
Teorema
Se [(a, b)] = [(a’, b’)] e [(c, d)] = [(c’, d’)], então
[(a, b)] + [(c, d)] = [(a’, b’)] + [(c’, d’)]
Demonstração
De fato, por hipótese,
a + b’ = b + a’ e c + d’ = d + c’
e, consequentemente,
(a + c) + (b’ + d’) = (a + b’) + (c + d’) = b + a’ + d + c’ = (b + d) + (a’ +c’)
Essa igualdade significa, precisamente, que
[(a + c, b + d)] = [(a’ + c’, b’ + d’)]
Vejamos na prática que a definição de adição de vetores está coerente com o 
que se conhece da adição de inteiros. Lembre-se de que se k ∈ ℕ, então
k = [(k, 0)] e –k = [(0, k)]
Assim, temos que, por exemplo,
 • 1 + 2 = [(1, 0)] + [(2, 0)] = [(1 + 2, 0 + 0)] = [(3, 0)] = 3
 • 1 + (–2) = [(1, 0)] + [(0, 2)] = [(1 + 0, 0 + 2)] = [(1, 2)] = [(0, 1)] 1 = –1
A princípio, é cansativo trabalhar com as classes de equivalência. Porém, consi-
dere que isso acontece apenas no início da teoria. Assim que demonstrarmos a va-
lidade das propriedades algébricas da adição, não vamos mais lidar com as classes 
de equivalência, pois são as propriedades que serão utilizadas efetivamente nos 
cálculos e nas demonstrações posteriores.
A igualdade [(1, 2)] = [(0, 1)] 
ocorre pelo fato de que 1 + 1 
= 2 + 0.
1
O conjunto dos números inteiros 75
Para fechar a discussão teórica da definição de adição de inteiros, vamos de-
monstrar a compatibilidade da adição dos números naturais com a adição dos nú-
meros inteiros não negativos.
Proposição
A função f: ℕ → ℤ definida por f(x) := [(x, 0)] satisfaz
f(x + y) = f(x) + f(y)
para todo x, y ∈ℕ.
Demonstração
De fato,
f(x + y) = [(x + y, 0)] = [(x, 0)] + [(y, 0)] = f(x) = f(y)
para todo x, y ∈ℕ.
Escrevendo xℤ = f(x), a proposição anterior informa apenas que
(x + y)ℤ = xℤ + yℤ 
como queríamos.
No ensino básico você aprendeu que a adição de inteiros tem diversas proprie-
dades: associatividade, comutatividade etc. Para demonstrar essas propriedades e 
outras, vamos formalizar alguns conceitos.
Definição
I. O inteiro zero é o número inteiro 0 = [(0, 0)].
II. O oposto de um número inteiro x = [(a, b)] é o número inteiro –x = [(b, a)].
Com essa definição, podemos prosseguir e demonstrar um dos principais resul-
tados desta seção.
Teorema
Sobre a adição de números inteiros, são válidas as propriedades: 
I. Associatividade: x + (y + z) = (x + y) + z.
II. Comutatividade: x + y = y + x.
76 Aritmética
III. 0 (zero) é o único inteiro tal que x + 0 = x = 0 + x.
IV. –x é o único inteiro tal que x + (–x) = 0 = –x + x.
V. –(–x) = x.
VI. –0 = 0.
Demonstração
Denotamos x = [(a, b)], y = [(c, d)] e z = [(e, f)] para demonstrar as afirmativas.
I. Pela associatividade da adição em ℕ, temos que
x + (y + z) = [(a, b)] + ([(c, d)] + [(e, f)])
= [(a, b)] + [(c + e, d + f)]
= [(a + (c + e), b + (d + f))]
= [((a + c) + e, (b + d) + f)]
= [(a + c, b + d)] + [(e, f)] 
= ([(a, b)] + [(c, d)]) + [(e, f)]
= (x + y) + z
II. Aplicando a comutatividade da adição em ℕ:
x + y = [(a, b)] + [(c, d)]
 = [(a + c, b + d)]
 = [(c + a, d + b)]
 = [(c, d)] + [(a, b)]
= y + x
III. De fato,
0 + x = [(0, 0)] + [(a, b)] = [(0 + a, 0 + b)] = [(a, b)] = x
Analogamente, x + 0 = x. Resta verificar a unicidade.
Se 0’ ∈ ℤ é tal que
0’ + x = x = x + 0’
então
0’ = 0’ + 0 = 0
evidenciando, assim, a unicidade.
IV. Como x = [(a, b)], temos –x = [(b, a)] e, portanto,
x + (–x) = [(a, b)] + [(b, a)] = [(a + b, b + a)] = [(0, 0)] = 0
A igualdade [(a + b, b + a)] = [(0, 0)] ocorre pelo fato de que
a + b = b + a
já que a adição de números naturais é comutativa.
Analogamente, é possível demonstrar que –x + x = 0. Resta mostrar a unicidade: 
suponha que x’ ∈ ℤ é tal que
x + x’ = 0 = x’ + x
O conjunto dos números inteiros 77
Nesse caso,
–x = –x + 0 = –x + (x + x’) = (–x + x) + x’ = 0 + x’ = x’
V. Com efeito,
–(–x) = –[(b, a)] = [(a, b)] = x
VI. De fato, –0 = –[(0, 0)] = [(0, 0)] = 0.
Até o momento temos a definição precisa do conjunto dos números inteiros e 
da adição nesse conjunto. Resta discutirmos a razão para definirmos o conjunto 
dos inteiros: a subtração.
Definição
Se x, y ∈ ℤ, definimos a subtração x – y como o inteiro
x – y = x + (–y)
Portanto, por definição, para efetuar a subtração x – y, devemos fazer a adição 
de x com o oposto de y. Em termos de classes de equivalência, se
x = [(a, b)] e y = [(c, d)]
então
x – y = x + (–y)= [(a, b)] + (–[(c, d)])
 = [(a, b)] + [(d, c)]
 = [(a + d, b + c)]
Por exemplo,
3 – 2 = [(3, 0)] + (–[(2, 0)])
 = [(3, 0)] + [(0, 2)]
= [(3, 2)]
= [(1, 0)]
= 1
já que 3 + 0 = 2 + 1 em ℕ.
Novamente, a teoria está coerente com o que conhecemos. Para finalizar esta 
seção, vamos demonstrar as propriedades da subtração de inteiros.
Teorema
A subtração de números inteiros satisfaz as propriedades a seguir.
78 Aritmética
I. x – 0 = x.
II. 0 – x = –x.
III. x – x = 0.
IV. A equação x + b = a em ℤ possui como única solução x = b – a.
V. –(x + y) = – x – y.
Demonstração
I. De fato, x – 0 = x + (–0) = x + 0 = x.
II. Com efeito, 0 – x = 0 + (–x) = –x.
III. Realmente, x – x = x + (–x) = 0.
IV. Somando –b a ambos os membros da igualdade x + b = a e utilizando o que 
já se demonstrou para a adição de inteiros:
(x + b) + (–b) = a + (–b) ⇔ x + (b + (–b)) = a – b
 ⇔ x + 0 = a – b
 ⇔ x = a – b
Isso mostra também a unicidade, já que com a equação x + b = a sempre chega-
mos ao mesmo inteiro a – b.
V. Escrevendo x = [(a, b)] e y = [(c, d)], temos:
 –x – y = –x + (–y)
 = [(b, a)] + [(d, c)]
 = [(b + d, a + c)]
 = –[(a + c, b + d)]
 = –([(a, b)] + [(c, d)])
 = –(x + y)
Note que, no teorema anterior, as propriedades de I a V foram demonstradas 
sem o uso de classes de equivalência. Isso ilustra que à medida que a teoria é de-
senvolvida deixamos de usar as classes de equivalência e utilizamos efetivamente 
as propriedades que já foram demonstradas anteriormente.
3.3 Multiplicação de números inteiros 
Vídeo Depois da adição e da subtração, a principal operação algébrica que podemos 
realizar com números inteiros é a multiplicação. Esse será o nosso objeto de 
estudo.
O conjunto dos números inteiros 79
Motivados pela maneira como definimos a adição de números inteiros, seria 
tentador buscar definir a multiplicação por meio da igualdade
[(a, b)] ⋅ [(c, d)] = [(a ⋅ c, b ⋅ d)]
Embora essa igualdade defina um número inteiro, essa “multiplicação” não teria 
as propriedades bem conhecidas dessa operação com números inteiros. A título 
de ilustração, não valeria 1 ⋅ x = x para todo número inteiro x como mostrado em
1 ⋅ (-1) = [(1, 0)] ⋅ [(0, 1)] = [(1 ⋅ 0, 0 ⋅ 0)] = [(0, 0)] = 0
Sendo assim, será necessário definir de outra maneira a operação de multiplica-
ção no conjunto ℤ. Isso é feito a seguir.
Definição
Sejam [(a, b)] e [(c, d)] número inteiros. A multiplicação de [(a, b)] por [(c, d)], denotada [(a, 
b)] ⋅ [(c, d)], é definida por
[(a, b)] ⋅ [(c, d)] = [(a ⋅ c + b ⋅ d, a ⋅ d + b ⋅ c)]
Note que a multiplicação (⋅) é definida em termos dos representantes das clas-
ses de equivalência. Como é de praxe nessas situações, é necessário verificar que a 
definição não depende da escolha do representante. No entanto, a verificação será 
omitida, já que envolve extensos e trabalhosos cálculos. O importante é compreen-
der a necessidade de fazer esse tipo de verificação.
Agora que definimos a multiplicação de números inteiros, é necessário demonstrar 
que a definição é coerente com o que aprendemos no ensino elementar. Por exemplo:
 • 2 ⋅ 3 = [(2, 0)] ⋅ [(3, 0)] = [(2 ⋅ 3 + 0 ⋅ 0, 2 ⋅ 0 + 0 ⋅ 3)] = [(6, 0)] = 6
 • 2 ⋅ (–1) = [(2, 0)] ⋅ [(0, 1)] = [(2 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1, 2 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0)] = [(0, 2)] = –2
Perceba que as multiplicações produzem os resultados esperados. Vejamos um 
caso de um produto de dois números inteiros negativos:
 • (–2) ⋅ (–3) = [(0, 2)] ⋅ [(0, 3)] = [(0 ⋅ 0 + 2 ⋅ 3, 0 ⋅ 3 + 2 ⋅ 0)] = [(6, 0)] = 6
Agora que você compreendeu que a definição de multiplicação não é muito 
complicada, vamos demonstrar as principais regras operacionais envolvendo 
essa operação.
Teorema
Sejam x, y, z ∈ℤ. Então, são válidas as afirmações:
VI. 1 ⋅ x = x = x ⋅ 1
VII. 0 ⋅ x = 0 = x ⋅ 0
VIII. (–1) ⋅ x = –x = x ⋅ (–1)
IX. (–x) ⋅ y = –(x ⋅ y) = x ⋅ (–y)
X. x ⋅ y = y ⋅ x
80 Aritmética
XI. x ⋅ (y + z) = x ⋅ y + x ⋅ z e (x + y) ⋅ z = x ⋅ z + y ⋅ z
XII. x ⋅ (y – z) = x ⋅ y – x ⋅ z e (x – y) ⋅ z = x ⋅ z – y ⋅ z
Demonstração
Denotamos x = [(a, b)], y = [(c, d)] e z = [(e, f)]. Então:
I. 1 ⋅ x = [(1, 0)] ⋅ [(a, b)] = [(1 ⋅ a + 0 ⋅ b, 1 ⋅ b + 0 ⋅ a)] = [(a, b)] = x
II. 0 ⋅ x = [(0, 0)] ⋅ [(a, b)] = [(0 ⋅ a + 0 ⋅ b, 0 ⋅ b + 0 ⋅ a)] = [(0, 0)] = 0
Analogamente, é possível verificar que x ⋅ 0 = 0.
III. –1 ⋅ x = [(0, 1)] ⋅ [(a, b)] = [(0 ⋅ a + 1 ⋅ b, 0 ⋅ b + 1 ⋅ a)] = [(b, a)]= –x
Analogamente, é possível verificar que x ⋅ (–1) = –x.
IV. Se x = [(a, b)], então –x = [(b, a)] e, portanto,
(–x) ⋅ y = [(b, a)] ⋅ [(c, d)] = [(b ⋅ c + a ⋅ d, b ⋅ d + a ⋅ c)]
Por outro lado,
x ⋅ y = [(a, b)] ⋅ [(c, d)] = [(a ⋅ c + b ⋅ d, a ⋅ d + b ⋅ c)]
Então, temos que
–(x ⋅ y) = [(a ⋅ d + b ⋅ c, a ⋅ c + b ⋅ d)] = (–x) ⋅ y
Analogamente, é possível verificar que x ⋅ (–y) = –(x ⋅ y).
V. Com efeito,
x ⋅ y = [(a, b)] ⋅ [(c, d)] = [(a ⋅ c + b ⋅ d, a ⋅ d + b ⋅ c)]
enquanto
y ⋅ x = [(c, d)] ⋅ [(a, b)] = [(c ⋅ a + d ⋅ b, c ⋅ b + d ⋅ a)]
Encontramos o resultado quando observamos que pelas propriedades de mul-
tiplicação e adição em ℕ temos
a ⋅ c + b ⋅ d = c ⋅ a + d ⋅ b
e
a ⋅ d + b ⋅ c = c ⋅ b + d ⋅ a
VI. De fato,
x ⋅ (y + z) = [(a, b)] ⋅ ([(c, d) + (e, f)])
 = [(a, b)] ⋅ [(c + e, d + f)]
 = [(a ⋅ (c + e) + b ⋅ (d + f), a ⋅ (d + f) + b ⋅ (c + e)]
Por outro lado, note que
x ⋅ y + x ⋅ z = [(a, b)] ⋅ [(c, d)] + [(a, b)] ⋅ [(e, f)]
 = [(a ⋅ c + b ⋅ d, a ⋅ d + b ⋅ c)] + [(a ⋅ e + b ⋅ f, a ⋅ f + b ⋅ e)]
 = [(a ⋅ c + b ⋅ d) + (a ⋅ e + b ⋅ f), (a ⋅ d + b ⋅ c) + (a ⋅ f + b ⋅ e)]
A igualdade desejada ocorre ao observarmos que
(a ⋅ c + b ⋅ d) + (a ⋅ e + b ⋅ f) = a ⋅ (c + e) + b ⋅ (d + f)
e
(a ⋅ d + b ⋅ c) + (a ⋅ f + b ⋅ e) = a ⋅ (d + f) + b ⋅ (c + e)
 = (d + f) ⋅ a + b ⋅ (c + e)
Demonstre os trechos indicados 
como análogos nas demonstrações 
dos itens II, III, IV e VII. Ou seja, 
mostre que:
• x ⋅ 0 = 0
• x ⋅ (–1) = –x
• x ⋅ (–y) = –(x ⋅ y)
• (x – y) ⋅ z = x ⋅ z – y ⋅ z
Desafio
O conjunto dos números inteiros 81
VII. De fato, combinando as propriedades IV e VI, temos
x ⋅ (y – z) = x ⋅ (y + (–z))
 = x ⋅ y + x ⋅ (–z)
 = x ⋅ y + [–(x ⋅ z)]
 = x ⋅ y – x ⋅ z
Analogamente, é possível verificar que (x – y) ⋅ z = x ⋅ z – y ⋅ z.
Assim como ocorre com a adição de números inteiros, a regra do cancelamento 
também vale para a multiplicação. Isso é demonstrado a seguir.
Teorema
Sejam x, y, z ∈ ℤ, de modo que z ≠ 0. Se x ⋅ z = y ⋅ z, então x = y.
Demonstração
Inicialmente, suponha que x = [(a, b)], y = [(c, d)] e z = [(e, 0)]. Em particular, e ≠ 0 
pois, do contrário, z = 0. Agora, note que
x ⋅ z = y ⋅ z ⇔ [(a, b)] ⋅ [(e, 0)] = [(c, d)] ⋅ [(e, 0)]
 ⇔ [(a ⋅ e + b ⋅ 0, a ⋅ 0 + b ⋅ e)] = [(c ⋅ e + d ⋅ 0, c ⋅ 0 + d ⋅ e)]
⇔ [(a ⋅ e, b ⋅ e)] = [(c ⋅ e, d ⋅ e)]
⇔ a ⋅ e + d ⋅ e = b ⋅ e + c ⋅ e
⇔ (a + d) ⋅ e = (b + c) ⋅ e
Utilizando o cancelamento para a multiplicação de números naturais, temos que
a + d = b + c
ou seja, x = y. Analogamente, é possível demonstrar o caso em que z = [(0, e)].
Vale destacar que é convidativo justificarmos a implicação x ⋅ z = y ⋅ z ⇒ x = y 
expressando que realizamos a divisão de ambos os membros da igualdade por 
z. Entretanto, isso não é correto, dado que sequer foi definida uma operação de 
divisão no conjunto ℤ.
Uma consequência do teorema anterior é o fato de que ℤ, junto com a multipli-
cação, é um domínio de integridade, como é demonstrado no corolário a seguir.
Corolário
Sejam x, y ∈ ℤ. Se x ⋅ y = 0, então x = 0 ou y = 0.
Demonstração
Comprove a forma análoga da 
demonstração do teorema do 
cancelamento da multiplicação, ou 
seja, demonstre o caso em que z 
= [(0, e)].
Desafio
Colorário: é uma proposição 
que decorre logicamente de 
outra já demonstrada.
Glossário
82 Aritmética
Suponha que x ⋅ y = 0 e y ≠ 0. Nesse caso,
x ⋅ y = 0 = 0 ⋅ y
Aplicando o teorema demonstrado anteriormente, temos que
x = 0
Analogamente, é possíveldemonstrar o caso em que x ⋅ y = 0 e x ≠ 0.
Neste momento, podemos operar com números inteiros, na maioria das vezes, 
sem utilizar classes de equivalência, pois o que utilizamos na prática são as regras 
operacionais – comutatividade, associatividade etc. Contudo, agora temos pleno 
entendimento das razões de funcionamento daquelas regras.
3.4 Relação de ordem em ℤ 
Vídeo Lembre-se de que em ℕ existe a relação de ordem menor que ou igual a, de-
notada por ≤ e definida como
a ≤ b ⇔ ∃ p ∈ ℕ| b = a + p
Será que é possível estender essa relação de ordem ao conjunto dos números 
inteiros? Sim! Esse é o conteúdo do nosso estudo agora.
Definição
Sejam [(a, b)] e [(c, d)] dois números inteiros.
• Dizemos que [(a, b)] é menor que ou igual a [(c, d)] e escrevemos [(a, b)] ≤ℤ [(c, d)], caso
a + d ≤ b + c
• Caso [(a, b)] ≤ℤ [(c, d)] e [(a, b)] ≠ [(c, d)], escrevemos [(a, b)] <ℤ [(c, d)] e dizemos 
que [(a, b)] é – estritamente – menor que [(c, d)].
• Em vez de [(a, b)] ≤ℤ [(c, d)] e [(a, b)] <ℤ [(c, d)], podemos escrever
[(c, d)] ≥ℤ [(a, b)] e [(a, b)] >ℤ [(c, d)]
No primeiro caso, dizemos que [(c, d)] é maior que ou igual [(a, b)]; no segundo caso, dize-
mos que [(a, b)] é – estritamente – maior que [(c, d)].
Note que a relação ≤ℤ foi definida em termos da relação ≤ existente no conjunto 
dos números naturais.
Agora, vamos exemplificar a definição da relação ≤

.
Σxemρlo 1
Considere os números inteiros –1 = [(0, 1)] e 4 = [(4, 0)]. Nesse caso, temos que
–1 <ℤ 4
pois
0 + 0 = 0 < 5 = 1 + 4 (I)
Comprove a forma análoga da 
demonstração do corolário do 
domínio de integridade, ou seja, 
demonstre o caso em que x ⋅ y = 
0 e x ≠ 0.
Desafio
O conjunto dos números inteiros 83
e, além disso, [(0, 1)] ≠ [(4, 0)], já que 0 + 0 ≠ 1 + 4.
É convidativo afirmarmos a evidência de que –1 <ℤ 4, porém devemos ter cuida-
do, já que isso é consequência do raciocínio (I), e não de considerações informais.
Contudo, a teoria é feita para que coincida com nosso entendimento empírico 
da ordenação de números inteiros.
Agora que ≤ℤ foi definida, cabe o seguinte questionamento: será que ≤ℤ é uma 
relação de ordem em ℤ, assim como ≤ é uma relação de ordem em ℕ? A resposta é 
afirmativa, conforme demonstramos a seguir.
Teorema
A relação ≤ℤ é uma relação de ordem em ℤ.
Demonstração
É necessário demonstrar que ≤ℤ é reflexiva, antissimétrica e transitiva.
• Reflexiva.
Seja x = [(a, b)] ∈ ℤ . Nesse caso,
a + b = b + a
pois essa soma é realizada em ℕ e a operação de adição (+) é comutativa neste 
conjunto. Mas, por definição, a igualdade a + b = b + a revela que [(a, b)] ≤ℤ [(a, b)], 
ou seja, x ≤ℤ x.
• Antissimétrica.
Sejam x = [(a, b)] e y = [(c, d)] em ℤ tais que x ≤ℤ y e y ≤ℤ x. Nesse caso,
a + d ≤ b + c e b + c ≤ a + d
Pela antissimetria da relação ≤ em ℕ, temos
a + d = b + c
Essa igualdade revela que x = [(a, b)] = [(c, d)] = y.
• Transitiva.
Sejam x = [(a, b)], y = [(c, d)] e z = [(e, f)] em ℤ tais que x ≤ℤ y e y ≤ℤ z. Isso significa 
que
a + d ≤ b + c e c + f ≤ d + e
No entanto,
a + f + c + d ≤ b + e + c + d
Cancelando c + d nessa desigualdade, temos que a + f ≤ b + e, mostrando, as-
sim, que x = [(a, b)] ≤ℤ [(e, f)] = z.
84 Aritmética
Lembre-se de que uma das principais propriedades da relação ≤ em ℕ é a 
tricotomia: se x, y ∈ ℕ, então x < y, x = y ou x > y, valendo uma, e apenas uma, des-
sas proposições. O mesmo vale para o conjunto dos números inteiros, conforme 
demonstramos a seguir.
Teorema 
Sejam x, y ∈ ℤ. Então, vale uma, e somente uma, das afirmações:
I. x < y
II. x = y
III. x > y
Demonstração
Denotamos x = [(a, b)] e y = [(c, d)], com a, b, c e d ∈ ℕ. Pela tricotomia válida em 
ℕ, vale uma, e somente uma, das proposições:
I. a + d < b + c
II. a + d = b + c
III. a + d > b + c
Na situação I, por definição, temos que
x = [(a, b)] <ℤ [(c, d)] = y
Na segunda situação, novamente por definição, vale
x = [(a, b)] = [(c, d)] = y
Finalmente, se vale III, então, por definição,
x = [(a, b)] >ℤ [(c, d)] = y
Perceba que, embora a demonstração da tricotomia para o conjunto dos natu-
rais tenha sido bastante elaborada, para o conjunto dos inteiros a tarefa foi signifi-
cativamente simplificada. Isso ilustra muito bem o fato de que o princípio de uma 
teoria matemática tende a ser mais complicado, tendo em vista a existência de 
poucas ferramentas teóricas para solucionar os problemas.
A seguir, demonstraremos as relações de compatibilidade entre ≤ℤ e as opera-
ções de adição e multiplicação de números inteiros.
Proposição
A relação ≤ℤ tem seguintes propriedades:
O conjunto dos números inteiros 85
I. Se x ≤ℤ y ⇒ x + z ≤ℤ y + z, para todo x, y, z ∈ ℤ.
II. Se x ≤ℤ y e z ≥ 0, então x ⋅ z ≤ℤ y ⋅ z.
III. Se x ≤ℤ y e z < 0, então x ⋅ z ≥ℤ y ⋅ z.
Demonstração
Denotamos x = [(a, b)], y = [(c, d)] e z = [(e, f)], com a, b, c, d, e, f ∈ ℕ.
I. Se x ≤ℤ y, então
a + d ≤ b + c
Consequentemente,
(a + d) + (e + f) ≤ (b + c) + (e + f)
o que pode ser escrito como
(a + e) + (d + f) ≤ (b + f) + (c + e)
Mas isso significa que
[(a + e, b + f)] ≤ℤ [(c + e, d + f)]
ou seja,
x + y = [(a, b)] + [(e, f)] ≤ℤ [(c, d)] + [(e, f)] = y + z
Para que você pratique as demonstrações, com base na verificação da proprie-
dade I, deixaremos como atividade a prova de II e III.
Esta seção será concluída com a apresentação de um critério bastante útil e 
simples para verificar se um número inteiro é maior que ou igual a outro.
Proposição
Sejam x, y ∈ ℤ. Temos:
I. x ≤ℤ y se, e somente se, 0 ≤ℤ x – y.
II. x <ℤ y se, e somente se, 0 <ℤ x – y.
Demonstração
Denotamos x = [(a, b)] e y = [(c, d)].
I. Suponha que x ≤ℤ y. Nesse caso,
a + d ≤ b + c
Mas
x – y = x + (–y) = [(a, b)] + [(d, c)] = [(a + d, b + c)]
Como a + d ≤ b + c, temos que 0 ≤ℤ x – y, pois
86 Aritmética
a + d + 0 ≤ b + c + 0
Por outro lado, suponha que 0 ≤ℤ x – y. Isso significa que
a + d + 0 ≤ b + c + 0
Ou seja, a + d ≤ b + c e, portanto, x ≤ℤ y.
II. A demonstração é análoga ao item I.
De agora em diante, para simplificar a escrita, o símbolo ≤ denotará tanto a 
relação de ordem dos inteiros quanto a dos naturais, por isso, utilizaremos apenas 
os símbolos sem expressar o índice referente ao conjunto. Consideração análoga 
vale para os símbolos ≥, < e >.
3.5 Valor absoluto 
Vídeo Nesta seção, será definido o valor absoluto de um número inteiro. Muito possi-
velmente, esse conteúdo é familiar para você. Entretanto, a exposição será feita de 
maneira bastante rigorosa, para que se desenvolva o domínio do assunto em todos 
os seus aspectos.
O ponto de partida é a definição clássica de valor absoluto de um número intei-
ro, apresentada a seguir.
Definição
Seja x ∈ ℤ. O valor absoluto de x é o número inteiro |x|, definido por
|x| = x se x ≥ 0 
–x se x < 0
Por exemplo:
• |2| = 2, pois 2 > 0.
• |0| = 0, pois 0 = 0.
• |–2| = – (–2) = 2, pois –2 < 0.
Note que, pela própria definição, o valor absoluto de um número inteiro é sem-
pre um inteiro não negativo.
Como não poderia deixar de ser, o objetivo desta seção é fazer uma discussão 
teórica a respeito das principais propriedades do valor absoluto de números intei-
ros. Isso é extremamente importante para a aritmética, dado que o valor absoluto 
aparece frequentemente na discussão da teoria.
As principais propriedades do valor absoluto são enunciadas e demonstradas 
a seguir.
Demonstre o item II da proposição, 
ou seja, mostre que x <

 y se, e 
somente se, 0 <

 x – y.
Desafio
O conjunto dos números inteiros 87
Teorema
Se x, y, z ∈ ℤ, então são válidas as afirmações:
I. |x| = |–x|.
II. –|x| ≤ x ≤ |x|.
III. |x ⋅ y| = |x| ⋅ |y|.
IV. |x| ≤ y se, e somente se, –y ≤ x ≤ y.
V. |x + y| ≤ |x| + |y|.
VI. |x – y| = |y – x|.
VII. |x| – |y| ≤ |x – y|.
Demonstração
Caso x = 0 ou y = 0, as propriedades valem imediatamente. Sendo assim, vamos 
supor, inicialmente, que x ≠ 0 e y ≠ 0.
I. Se x > 0, então |x| = x, enquanto |–x| = –(–x) = x, já que –x < 0. Portanto,
|x| = |–x|
II. Se x > 0, então –|x|= x = |x|. Se x > 0, então
–x < 0 < x
Mas –|x| = –x e |x| = x. Consequentemente, –x < x significa que
–|x| < x = |x|
Agora, se x < 0, então –x > 0, logo
x < 0 < –x
Como –|x| = –(–x) = x e |x| = –x, temos que x < –x equivale a
–|x| = x < –x = |x|
III. Este é o item mais trabalhoso, pois é necessário testar muitas possibilida-
des; apesar disso, o raciocínio é simples.
 • Se x > 0 e y > 0, então x ⋅ y > 0 e, portanto,
|x ⋅ y| = x ⋅ y = |x| ⋅ |y|
 • Se x > 0 e y < 0, então x ⋅ y < 0 e, portanto,
|x ⋅ y| = –(x ⋅ y) = x ⋅ (–y) = |x| ⋅ |y|
 • Se x < 0 e y > 0, então x ⋅ y < 0 e, portanto,
|x ⋅ y| = –(x ⋅ y) = (–x) ⋅ y = |x| ⋅ |y|
 • Finalmente, se x < 0 e y < 0, então x ⋅ y > 0 e, portanto,
|x ⋅ y| = x ⋅ y = (–x) ⋅ (–y) = |x| ⋅ |y|
IV. Suponha que |x| ≤ y. Se x > 0, então |x| = x e, portanto,
x ≤ y
88 Aritmética
Em particular, y ≥ 0 e, por consequência, –y < 0. Sendo assim,
–y < 0 < x ≤ y
Agora, se x < 0, então |x| = –x e, portanto,
–x ≤ y
Isso implica x ≤ –y e y ≥ –x > 0. Consequentemente,
–y ≤ x < 0 < –x ≤ y
Portanto, –y ≤ x ≤ y em qualquer caso.
Por outro lado, suponha que –y ≤ x ≤ y. Se x > 0, então x ≤ y equivale a |x| ≤ y. 
Se, porém, x < 0, então –y ≤ x implica –x ≤ y, o que equivale a |x| ≤ y. Em resumo, 
|x| ≤ y sempre que –y ≤ x ≤ y.
V. Utilizando o que demonstramos em II, temos que
–|x| ≤ x ≤ |x|
–|y| ≤ y ≤ |y|
Fazendo uso da compatibilidade da relação ≤ com a adição, temos que
–|x| + (–|y|) ≤ x + y ≤ |x| + |y|
Mas note que –|x| + (–|y|) = –(|x| + |y|) e, portanto,
–(|x| + |y|) ≤ x + y ≤ |x| + |y|
Pelo que demonstramos em III, essa desigualdade equivale a
|x + y| ≤ |x| + |y|
VI. De fato, ao notarmos que y – x = –1 · (x – y), temos que
|y – x| = |(–1) · (x – y)| = |–1| · |x – y| = |x – y|
VII. Essa propriedade é uma consequência direta das duas anteriores. A fim de 
demonstrá-la, note que x = y + (x – y) implica
|x| = |y + (x – y)| ≤ |y| + |x – y|
Consequentemente,
|x| – |y| ≤ |x – y|
Trocando a ordem de x e y, temos y = x + (y – x), de modo que
|y| = |x + (y – x)| ≤ |x|+ |y – x|
Portanto,
–|x – y| = –|y – x| ≤ |x| – |y|
Logo,
–|x – y| ≤ |x| – |y| ≤ |x – y|
Pelo que demonstramos em IV, temos que
|x| – |y| ≤ |x – y|
A propriedade |x + y| ≤ |x| + |y|, válida para todo x, y ∈ ℤ, é uma das mais im-
portantes e recebe o nome de desigualdade triangular.
O conjunto dos números inteiros 89
CONSIDERAÇÕES FINAIS
O surgimento do conjunto dos inteiros veio da necessidade natural de se resolver 
equações da forma x + b = a. Filosoficamente, os números inteiros consistem em todas 
as possíveis soluções desse tipo de equação, em que se permite que a, b ∈ ℕ assumam 
todos os valores possíveis. A teoria é desenvolvida de maneira que os resultados sem-
pre estejam de acordo com o entendimento intuitivo que se tem dos números inteiros.
De fato, a teoria é bastante coerente e modela a realidade. Esse tipo de desen-
volvimento permite expandir o entendimento pleno das nuances da teoria. Isso, em 
particular, conduz a uma maior maturidade e a uma visão mais ampla a respeito do 
assunto, o que traz maior segurança para tratar de tópicos mais avançados da aritmé-
tica, conforme o estudo avance.
ATIVIDADES
1. Demonstre que se x ≤ℤ y e z ≥ 0, então x ⋅ z ≤ℤ y ⋅ z.
2. Demonstre que se x ≤ℤ y e z < 0, então x ⋅ z ≥ℤ y ⋅ z.
3. Mostre que (–x) · (–y) = x · y.
REFERÊNCIAS
ALENCAR FILHO, E. Iniciação à lógica matemática. São Paulo: Nobel, 2002.
DOMINGUES, H. H.; IEZZI, G. Álgebra moderna. São Paulo: Atual, 2003.
HEFEZ, A. Elementos de aritmética. Rio de Janeiro: SBM, 2006.
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de matemática elementar: conjuntos e funções. São Paulo: Atual, 
2004. v. 1.
Vídeo
90 Aritmética
4
Aritmética no conjunto dos 
números naturais e inteiros
Boa parte da aritmética discute a relação de divisibilidade tanto no conjunto 
dos números naturais quanto no conjunto dos números inteiros. Abordá-la de 
maneira rigorosa é o objetivo principal deste capítulo.
Entre os assuntos que serão aqui desenvolvidos, destacamos o algoritmo 
de divisão de Euclides e o teorema fundamental da aritmética. Compreendê-los 
efetivamente propiciará uma visão abrangente de técnicas bastante utilizadas 
dentro e fora da aritmética. Daremos um destaque especial aos números pri-
mos, em particular à existência de infinitos deles, com base na demonstração 
do teorema fundamental da aritmética.
Um ponto interessante que surgirá repetidas vezes ao longo de nossos es-
tudos é a possibilidade de utilizarmos na prática os argumentos teóricos de-
senvolvidos, pois muitas das demonstrações apresentadas serão construtivas. 
Em outras palavras, trata-se de algoritmos que podem ser implementados na 
prática, inclusive computacionalmente, como as noções de máximo divisor co-
mum e mínimo múltiplo comum.
Por fim, cabe ressaltar que a compreensão da relação de divisibilidade é 
imprescindível para o ensino apropriado da Aritmética na educação básica – 
embora nesse ambiente o formalismo exigido seja diferente –, em que o enten-
dimento das estruturas lógico-formais da teoria possibilita o desenvolvimento 
de uma visão mais ampla e completa a respeito do assunto, fornecendo ferra-
mental teórico para que façamos discussões mais ricas e claras em sala de aula.
4.1 Divisibilidade 
Vídeo
Nesta seção, daremos início à discussão de um dos conceitos centrais da aritmé-
tica: a divisão. O ponto de partida será a divisão de números naturais na definição 
a seguir e, posteriormente, a divisão dos números inteiros.
Aritmética no conjunto dos números naturais e inteiros 91
Definição
Sejam a, b ∈ ℕ. Dizemos que a divide b se existe c ∈ ℕ tal que
b = a ⋅ c
Nesse caso, escrevemos
a|b
e lemos a divide b.
Se a|b, dizemos também que:
• a é um divisor de b;
• b é divisível por a;
• b é múltiplo de a.
Se a não divide b, escrevemos a∤b.
Notamos que a definição anterior coincide com a que conhecemos desde o en-
sino básico. Contudo, vamos ilustrá-la.
Σxemρlo 1
O número natural 2 divide o número natural 6, pois existe o número natural 3 
tal que
6 = 2 · 3
Sendo assim, é possível escrevermos 2|6. Contudo, 2∤3, pois não existe um nú-
mero natural c tal que 3 = 2 · c.
O número natural 1 tem uma característica específica, pois é divisor de todo 
número natural, conforme ilustrado a seguir.
Σxemρlo 2
Se a ∈ ℕ, 1|a. De fato, sempre podemos escrever
a = 1 ⋅ a
Isso nos mostra que 1|a para todo a ∈ ℕ.
O próximo exemplo demonstra um ponto importante: ser divisor é uma pro-
priedade referente à multiplicação.
92 Aritmética
Σxemρlo 3
Se b ∈ ℕ é tal que b ≠ 0, então, 0∤b, pois para todo número natural c ∈ ℕ 
temos que
0 = 0 ⋅ c
Portanto, b ≠ 0 ⋅ c qualquer que seja c ∈ ℕ.
Contudo, se b = 0, então, 0|b, isto é, 0|0. De fato, é possível escrevermos–
0 = 0 ⋅ 1
Isso nos mostra que 0 é um divisor de 0.
Ainda sobre o exemplo anterior, não devemos confundir a relação a|b com a fra-
ção a
b
. Enquanto 0|0 tem um sentido bem definido, 0
0
 é uma forma indeterminada.
De fato, | (divide) é uma relação de ordem no conjunto dos números naturais 
por ser reflexiva, antissimétrica e transitiva, conforme demonstrado a seguir.
Proposição
A relação | em ℕ tem as seguintes propriedades
I. | reflexiva: a|a para todo a ∈ ℕ.
II. | antissimétrica: se a, b ∈ ℕ são tais que a|b e b|a, logo, a = b.
III. | transitiva: Se a, b, c ∈ ℕ são tais que a|b e b|c, então, a|c.
Demonstração
I. Se a ∈ ℕ, então, a = a ⋅ 1 e, portanto, a|a.
II. Suponhamos que a, b ∈ ℕ são tais que a|b e b|a. Então, existem c, d ∈ ℕ 
tais que
b = a ⋅ c e a = b ⋅ d
Se a = 0, b = 0, pois b = a ⋅ c. Admitamos a ≠ 0. Nesse caso, aplicamos a lei do 
cancelamento para a multiplicação em ℕ na igualdade
a ⋅ 1 = a = b ⋅ d = (a ⋅ c) ⋅ d = a ⋅ (c ⋅ d)
Segue que c ⋅ d = 1. Logo, necessariamente, c = d = 1. Ou seja
a = b ⋅ d = b ⋅ 1 = b
III. Suponhamos que a, b, c ∈ ℕ são tais que a|b e b|c. Nesse caso, existem c, 
d ∈ ℕ, de modo que:
b = a ⋅ c e c = b ⋅ d
(Continua)
Aritmética no conjunto dos números naturais e inteiros 93Consequentemente, pela associatividade da multiplicação em ℕ temos que
c = b ⋅ d = (a ⋅ c) ⋅ d = a ⋅ (c ⋅ d)
Considerando e = c ⋅ d ∈ ℕ, temos c = a ⋅ e com e ∈ ℕ, ou seja, a|c.
∎
Além de ser uma relação transitiva, antissimétrica e transitiva, | tem outras pro-
priedades que costumamos utilizar com frequência. Elas estão enunciadas e de-
monstradas a seguir.
Teorema
Sejam a, b, c ∈ ℕ, são válidas as seguintes afirmações:
I. Se a|b e a|c, então, a|(bx + cy) quaisquer que sejam x, y ∈ ℕ.
II. Se a|b, então, a|bx para todo x ∈ ℕ.
III. Se a|b e a|c, então, a|(b + c).
IV. Se c|a e c|b e a ≤ b, então, c|(b – a).
V. Suponha b ≤ a e d|b, então, d|a se, e somente se, d|(a – b).
VI. Se a|b e b ≠ 0, então, a ≤ b.
Demonstração
I. Aceitemos que b = a ⋅ k e c = a ⋅ ℓ. Se x, y ∈ ℕ:
b ⋅ x + c ⋅ y = (a ⋅ k) ⋅ x + (a ⋅ ℓ) ⋅ y = a ⋅ (k ⋅ x + ℓ ⋅ y)
Como k ⋅ x + ℓ ⋅ y ∈ ℕ, resultam em a|(b ⋅ x + c ⋅ y).
II. Essa propriedade é uma decorrência imediata de I. Basta aplicarmos a pro-
priedade I com y = 0.
III. Também é uma consequência imediata da afirmação I. Basta aplicarmos a 
propriedade I com x = y = 1.
IV. Se a ≤ b, b = a + u para algum u ∈ ℕ. Como c|a e c|b, é possível escrevermos
a = c ⋅ k e b = c ⋅ ℓ
Notamos que a ≤ b implica, particularmente, k ≤ ℓ. Como b – a = u, segue que
u = b – a = c ⋅ ℓ – c ⋅ k = c ⋅ (ℓ – k)
Isso significa que c|u = (b – a).
V. Consideremos que d|b e d|a com b ≤ a. Por IV, segue que d|(a – b). No en-
tanto, suponhamos que d|b com b ≤ a e d|(a – b). Aplicando III, temos que
d|b e d|(a – b) ⇒ d|(b + (a – b)) = b|a
Demonstre as propriedades que 
são decorrência da propriedade 
I, ou seja, mostre que:
• Se a|b, então, a|bx para todo x 
∈ ℕ, aplicando a propriedade 
I com y = 0.
• Se a|b e a|c, então, a|(b + c), 
aplicando a propriedade I com 
x = y = 1.
Desafio
(Continua)
94 Aritmética
VI. Por hipótese, b = a ⋅ k para algum k ∈ ℕ. Em particular, k > 0; do contrário, 
seguiria que b = 0, contradizendo b ≠ 0. Então, k ≥ 1 e, portanto, k = 1 + ℓ 
para algum ℓ ∈ ℕ. Logo,
b = a ⋅ k = a ⋅ (1 + ℓ) = a ⋅ 1 + a ⋅ ℓ = a + a ⋅ ℓ
Isso nos mostra que a ≤ b.
∎
A definição de divisibilidade nos números inteiros é semelhante à que discuti-
mos para números naturais, conforme apresentado a seguir.
Definição
Dizemos que um número inteiro a divide um inteiro b e escrevemos a|b quando b = a · c para 
algum c ∈ ℤ. Nesse caso, afirmamos que a é um divisor de b ou que b é divisível por a, ou 
ainda que b é múltiplo de a. Se a não divide b, escrevemos a∤b.
Essa definição é a mesma presente no ensino básico. Entretanto, vamos 
exemplificá-la para melhor compreendê-la.
Σxemρlo 4
O número inteiro –2 divide o inteiro 6, pois 6 = (–2) ⋅ (–3). Porém, o inteiro 2 não 
divide o inteiro –5, pois não existe um número inteiro c tal que
–5 = 2 ⋅ c
A seguir apresentamos as principais propriedades da relação | em ℤ.
Teorema
A relação | em ℤ tem as seguintes propriedades:
I. | é reflexiva: a|a para todo a ∈ ℤ.
II. Se a, b ∈ ℤ são tais que a|b e b|a, então, a = ±b.
III. | é transitiva: se a, b, c ∈ ℤ são tais que a|b e b|c, então, a|c.
IV. Se a, b, c ∈ ℤ são tais que a|b e a|c, então, a|(b + c).
V. Se a, b ∈ ℤ, então, a|b ⇔ |a| |b|.
Demonstração
As propriedades I, III e IV são análogas àquelas válidas para a relação | em ℕ e, 
portanto, não serão demonstradas. Resta demonstrar II e V.
O livro Números: uma 
introdução à matemática, 
de Francisco César Polcino 
Milies e Sonia Pitta Coelho, 
possibilita um excelente 
aprofundamento do tema 
da divisibilidade. A leitura é 
bastante rica e agradável, 
valendo a pena conferir.
POLCINO MILIES, F. C.; COELHO, S. P. 3. 
ed. São Paulo: Edusp, 2013.
Livro
(Continua)
Aritmética no conjunto dos números naturais e inteiros 95
II. Por hipótese, a = b ⋅ k e b = a ⋅ ℓ para determinados k, ℓ ∈ ℤ. Se a = 0, então, 
b = 0 e não há o que provar. Admitamos a ≠ 0. Nesse caso,
a = b ⋅ k = (a ⋅ ℓ) ⋅ k = a ⋅ (ℓ ⋅ k)
Isso implica ℓ ⋅ k = 1. Consequentemente, ℓ = k = 1 ou ℓ = k = –1. Portanto, 
a = b ou a = –b.
V. Por hipótese, b = a ⋅ k com k ∈ ℕ. Como consequência,
|b| = |a ⋅ k| = |a| ⋅ |k|
Em particular, |a|│|b|. Por outro lado, suponhamos que |b| = |a| ⋅ k para 
algum k ∈ ℕ. Como |a| ≥ 0 e |b| ≥ 0, k ≥ 0. Dessa forma, k = |k| e, portanto,
|b| = |a| ⋅ k = |a| ⋅ |k| = |a ⋅ k|
Mas b = ±b e |a ⋅ k| = ±(a ⋅ k) = a ⋅ (±k). Consequentemente, b = a ⋅ (±k), isto 
é, a|b.
∎
Até o momento discutimos a relação de divisibilidade no conjunto dos naturais e 
dos inteiros. O próximo passo é verificarmos de modo mais aprofundado o caso em 
que dois números naturais ou inteiros não se relacionam pela relação |. Esse é um 
aspecto bastante importante da teoria que veremos em detalhes a seguir.
Para verificar que as afirmativas I, 
III e IV são análogas àquelas dos 
números naturais, demonstre essas 
propriedades, ou seja, mostre que:
• | é reflexiva: a|a para todo a 
∈ ℤ.
• | é transitiva: se a, b, c ∈ ℤ são 
tais que a|b e b|c, então, a|c.
• Se a, b, c ∈ ℤ são tais que a|b e 
a|c, então, a|(b + c).
Desafio
4.2 Divisão euclidiana 
Vídeo Em muitos casos, um número natural ou inteiro não é divisível por outro. Isso 
pode ser verificado em situações cotidianas. Suponha que você e dois amigos 
encomendaram uma pizza e ela está dividida em sete fatias. A princípio, cada 
um poderia ficar com duas fatias e restaria uma para ser dividida entre os três. 
Matematicamente, descrevemos essa situação por meio da seguinte igualdade:
7 = 2 · 3 + 1
No ensino básico, aprendemos que 7 é o dividendo, 3 é o divisor, 2 é o quociente 
e 1 é o resto. É exatamente esse o processo de divisão euclidiana que estudaremos 
de maneira aprofundada.
A seguir enunciamos e demonstramos o notável algoritmo da divisão euclidiana.
Teorema da divisão euclidiana
Sejam a, b ∈ ℕ e b ≠ 0. Existe um único par de números naturais q e r tal que
a = b · q + r e r < b
(Continua)
96 Aritmética
Demonstração
Definimos o seguinte conjunto:
X ≔ {n ∈ ℕ | b ⋅ n > a}
Note que X ≠ ϕ, pois a + 1 ∈ X, já que
b ≥ 1 ⇒ a ⋅ b ≥ a
	 	 ⇒ a ⋅ b + b ≥ a + b
	 	 	 ⇒ b ⋅ (a + 1) ≥ a + b > a
Se a ∈ ℕ, a é múltiplo de b ou está entre dois múltiplos consecutivos de b, isto é:
b ⋅ q ≤ a < b ⋅ (q + 1)
Em particular, q + 1 é o menor elemento do conjunto X. Mas b ⋅ q ≤ a implica a 
existência de r ∈ ℕ tal que
a = b ⋅ q + r
Resta verificarmos que r < b. Se r = a – b ⋅ q ≥ b, então
(a – b ⋅ q) + b ⋅ q ≥ b + b ⋅ q
Consequentemente, a ≥ b ⋅ (q + 1), o que não é possível. Dessa forma
a = b ⋅ q + r
com r < b. Por fim, devemos checar a unicidade, isto é, suponhamos que
a = b ⋅ q + r = b ⋅ q1 + r1
com r < b e r1 < b. Admitamos que seja possível r ≠ r1, ou seja,
0 < r – r1 < b
Mas a igualdade b ⋅ q + r = b ⋅ q1 + r1 implica
b ⋅ q + (r – r1) = b ⋅ q1
Portanto, b|(r – r1). Como consequência, b ≤ r – r1, um absurdo. Logo, r = r1 e, 
dessa forma, q = q1.
∎
O teorema anterior conduz naturalmente à definição a seguir.
Definição
Sejam a, b, q, r ∈ ℕ tais que
a = b ⋅ q + r
com r < b. Os elementos a, b, q e r são denominados, respectivamente, de divisor, dividendo, 
quociente e resto da divisão de a por b.
Vemos que a demonstração do teorema da divisão euclidiana fornece de maneira 
explícita e prática como obter o quociente e o resto, conforme ilustrado a seguir.
Aritmética no conjunto dos números naturais e inteiros 97
Σxemρlo 5
Consideremos os números naturais a = 25 e b = 7. Percebemos que 25 está en-
tre os múltiplos 21 e 28 de 7, ou seja,
7 ⋅ 3 < 25 < 7 ⋅ (3 + 1)
Logo, q = 3 e r = 25 – 7 ⋅ 3 = 25 – 21 = 4.
Portanto,
25 = 7 ⋅ 3 + 4
Essa discussão da divisão euclidiana pode ser estendida para o conjunto dos 
números inteiros, conforme discutiremos na sequência de nossos estudos.
O algoritmo da divisão euclidiana válido em ℕ ainda vale em ℤ, conforme de-
monstrado a seguir.
Teorema do algoritmo de Euclides
Para quaisquer a, b ∈ ℤ, b > 0, existe um único par de inteiros q e r, de maneira 
que a = b ⋅ q + r, em que 0 ≤ r < b.
Demonstração
Definimos o conjunto:
X ≔ {n ∈ ℕ | n ≠0, n ⋅ b > a}
Percebemos que X ≠ ϕ. De fato, considerando n = |a| + 1 e usando b ≥ 1, temos que
n ⋅ b ≥ n = |a| + 1 > a
Portanto, n ∈ X. Sendo X um subconjunto não vazio de ℕ, existe um menor intei-
ro p ∈ X. Em particular, p ≠ 0 e p = q + 1. Consequentemente,
q ⋅ b ≤ a < (q + 1) ⋅ b
Somando –(qb) em cada parcela das desigualdades, temos
0 ≤ a – q ⋅ b < b
Definimos r ≔ a – q ⋅ b. Com isso,
a = q ⋅ b + r e 0 ≤ r < b
Analogamente à demonstração feita no caso do conjunto ℕ, é possível demons-
trarmos que q e r são unicamente determinados.
∎
Demonstre que q, r ∈ ℤ são 
únicos no algoritmo de divisão 
de Euclides, como feito de modo 
semelhante no conjunto dos 
números naturais.
Desafio
98 Aritmética
Novamente, a demonstração do teorema anterior permite obtermos os inteiros 
q e r explicitamente, conforme ilustramos a seguir.
Σxemρlo 6
Consideremos os inteiros a = −25 e b = 7. Note que o primeiro múltiplo de 7 que 
supera −25 é −21, portanto,
−21 = (q + 1) ⋅ 7
o que implica q = −4. Consequentemente,
r = a – q ⋅ b = −25 – (−4) ⋅ 7 = −25 + 28 = 3
Portanto, −25 = 7 ⋅ (−4) + 3, sendo −4 o quociente e 3 o resto.
Além do algoritmo da divisão euclidiana, existem alguns tópicos relacionados à 
divisão de números naturais e inteiros muito presentes no currículo do ensino bá-
sico. Entre eles, destacamos o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum, 
que serão os próximos temas abordados.
4.3 Máximo divisor comum 
Vídeo O máximo divisor comum de dois números naturais é o maior número natural 
que divide ambos os números com resto zero. Uma maneira de o determinarmos 
é listando todos os divisores de cada um e encontrando, se houver, o maior que 
divide ambos. Por exemplo, os divisores de 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12, enquanto os 
divisores de 28 são 1, 2, 4, 7, 14 e 28.
Analisando essas duas listas, percebemos que o número 4 é o maior divisor 
comum entre 12 e 28. Portanto, o máximo divisor comum entre eles é 4. Embora 
seja bastante simples esse procedimento, não é aconselhável, pois se os núme-
ros forem muito grandes, é trabalhoso listar todos os seus divisores. Felizmente, 
conforme vamos estudar na sequência, decorre da divisão euclidiana um método 
relativamente simples para a determinação do máximo divisor comum.
O ponto de partida da discussão desta seção é a própria formalização da ideia 
de máximo divisor comum.
Definição
Sejam a, b ∈ ℕ. O máximo divisor comum de a e b é um número d ∈ ℕ tal que 
I. d|a e d|b.
II. Se c é um número natural tal que c|a e c|b, então, c|d.
A seguir vemos um exemplo no intuito de ilustrar essa definição.
O livro Introdução à teoria 
dos números, do autor 
José Plínio de Oliveira 
Santos, é impecável 
quanto à exposição e ao 
rigor desse tema. É uma 
fonte interessante para 
aprofundamentos, cuja 
leitura pode ser feita em 
paralelo com os tópicos 
aqui discutidos.
SANTOS, J. P. O. 3. ed. [s.l.]: Impa, 
2018.
Livro
Aritmética no conjunto dos números naturais e inteiros 99
Σxemρlo 7
Sejam a = 6 e b = 8. Os divisores de a são 1, 2, 3 e 6, enquanto os divisores de b 
são 1, 2, 4 e 8. Portanto, os divisores comuns de a e b são 1 e 2. Note que:
I. 2|6 e 2|8.
II. Se c|6 e c|8, então, c = 1 ou c = 2 e, portanto, c|2.
Desse modo, 2 é máximo divisor comum de 6 e 8.
Nesse estágio surgem dois questionamentos naturais:
1. Será que sempre existe o máximo divisor comum de dois números naturais?
2. Se existe o máximo divisor comum de a e b, ele é unicamente determinado por a e b?
Essas questões têm resposta afirmativa. A primeira delas é solucionada na pro-
posição demonstrada a seguir.
Proposição
Sejam a, b ∈ ℕ e d e d’ máximos divisores comuns de a e b, então, d = d’.
Demonstração
Suponhamos que d e d’ sejam máximos divisores comuns de a e b. Neste caso, 
d’|d, pois d’|a e d’|b. Além disso, d|d’, pois d|a e d|b, e d’ é, por hipótese, máximo 
divisor comum de a e b. Mas d’|d e d|d’ implicam d = d’.
∎
O máximo divisor comum de a e b em ℕ será denotado por:
mdc (a, b)
É necessário mostrar que mdc (a, b) efetivamente existe. Para tanto, será de-
monstrado um resultado preliminar que, por sua importância, deve ser categori-
zado como teorema.
Teorema
Sejam a, b ∈ ℕ. São válidas as afirmações:
I. Se a|b, então, mdc (a, b) = a.
(Continua)
100 Aritmética
II. Se a = b ⋅ q + r, então d = mdc (a, b) se, e somente se, d = mdc (b, r).
Demonstração
I. De fato, sempre a|a e, por hipótese, a|b. Em particular, a cumpre a primeira 
condição para ser máximo divisor. Agora, resta verificar que c é um divisor 
de a e b, ou seja, c|a. De fato, se c|a e c|b, então, em particular, c|a. Espe-
cialmente, a cumpre a segunda condição para ser o máximo divisor comum 
de a e b. Sendo assim, mdc (a, b) = a.
II. Se d = mdc (a, b), logo, d|a e d|b. Em particular, d|b ⋅ q. Consequentemente, 
d|(a – b ⋅ q) = r. Portanto, d|b e d|r.
Agora suponhamos que c|b e c|r. Assim, c|(b ⋅ q + r) = a. Portanto, c|a e c|b, o 
que implica c|d, isto é, d = mdc (b, r). A recíproca é análoga.
∎
É possível demonstrar a existência do máximo divisor comum, como a seguir.
Teorema
Se a, b ∈ ℕ, existe mdc (a, b).
Demonstração
Se a = 0 e b é um número qualquer, b é o máximo divisor comum de 0 e b, pois:
I. b|0 e b|b.
II. Se c|0 e c|b, então, c|b.
Aceitemos que a ≠ 0 e b ≠ 0. Aplicando o algoritmo da divisão euclidiana, temos
a = b ⋅ q1 + r1 (r1 < b)
É possível aplicarmos novamente o mesmo algoritmo usando b e r1. Isso produz
b = r1 ⋅ q2 + r2 (r2 < r1)
Podemos prosseguir com r1 e r2 para obtermos
r1 = r2 ⋅ q3 + r3 (r3 < r2)
Com isso, chegamos à seguinte sequência: b > r1 > r2 > r3 > .... Porém, existe n ∈ ℕ 
tal que rn+1 = 0, pois do contrário o subconjunto não vazio {b, r1, r2, …} ⊂ ℕ não teria 
um menor elemento. Assim, para algum n temos
rn–2 = rn–1 ⋅ qn + rn
rn–1 = rn ⋅ qn+1
Usando o teorema demonstrado anteriormente, temos
rn = mdc (rn–1, rn) = mdc (rn–2, rn–1) = ... = mdc (b, r1) = mdc (a, b)
Ou seja, rn = mdc (a, b).
∎
Demonstre que se d = mdc (b, r) 
com a = b ⋅ q + r, então, d = 
mdc (a, b).
Desafio
Aritmética no conjunto dos números naturais e inteiros 101
Percebemos que a demonstração do teorema anterior é construtiva, ou seja, 
fornece uma maneira de obter o máximo divisor comum de modo explícito. Isso é 
ilustrado no exemplo a seguir.
Σxemρlo 8
Consideremos os números naturais 51 e 14. Nesse caso, para encontrarmos o 
máximo divisor comum, fazemos:
51 = 14 ⋅ 3 + 9
14 = 9 ⋅ 1 + 5
9 = 5 ⋅ 1 + 4
5 = 4 ⋅ 1 + 1
4 = 4 ⋅ 1 + 0
Portanto, mdc (51, 14) = 1, pois o último valor de r (resto) antes de obtermos o 
resto 0 é o número 1 em destaque.
Vamos ilustrar uma situação em que o máximo divisor comum é diferente de 1.
Σxemρlo 9
Tomemos os números naturais 55 e 22. Para encontrarmos o máximo divisor 
comum, fazemos:
55 = 22 ⋅ 2 + 11
22 = 11 ⋅ 2 + 0
Logo, mdc (55, 22) = 11.
A seguir vamos demonstrar algumas propriedades adicionais e importantes do 
máximo divisor comum de números naturais.
Teorema
Se d = mdc (a, b), mdc (c ⋅ a, c ⋅ b) = c ⋅ d para todo c ∈ ℕ.
(Continua)
102 Aritmética
Demonstração
Aplicando o algoritmo da divisão, obtemos a sequência
 a = b ⋅ q1 + r1
 b = r1 ⋅ q2 + r2
 r1 = r2 ⋅ q3 + r3
⋮ 
 rn–2 = rn–1 ⋅ qn + rn
rn–1 = rn ⋅ qn+1
Agora multiplicamos por c cada uma dessas igualdades para termos
c ⋅ a = (c ⋅ b) ⋅ q1 + c ⋅ r1
c ⋅ b = (c ⋅ r1) ⋅ q2 + c ⋅ r2
c ⋅ r1 = (c ⋅ r2) ⋅ q3 + c ⋅ r3
⋮
c ⋅ rn-2 = (c ⋅ rn-1) ⋅ qn + c ⋅ rn
c ⋅ rn-1 = (c ⋅ rn) ⋅ qn+1
Mas,
c ⋅ d = c ⋅ rn = mdc (c ⋅ rn-1, c ⋅ rn) = ⋯ = mdc (c ⋅ b, c ⋅ r1) = mdc (c ⋅ a, c ⋅ b)
∎
O teorema anterior tem consequências importantes, as quais são demonstra-
das no corolário a seguir.
Corolário
I. Se a, b ∈ ℕ \ {0} e d = mdc (a, b), então,mdc a ,b
d
=1
d
�
�
�
�
�
� .
II. Se a|b ⋅ c e mdc (a, b) = 1, então, a|c.
III. Se a e b são divisores de c ≠ 0 e mdc (a, b) = 1, então, a ⋅ b|c.
Demonstração
I. Note que
d = mdc (a, b) = mdc d · a
d
, d · b
d
 = d · mdc a
d
, b
d
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
Como d ≠ 0, segue que
mdc a
d, b
d
 = 1�
�
�
�
�
�
II. Sabemos que mdc (a, b) = 1, logo,
(Continua)
Aritmética no conjunto dos números naturais e inteiros 103
mdc (a ⋅ c, b ⋅ c) = c
Mas, por hipótese, a|b ⋅ c. Como também vale a|a ⋅ c, temos
a|mdc (a ⋅ c, b ⋅ c) = c
III. Como mdc (a, b) = 1, temos que mdc (a ⋅ c, b ⋅ c) = c. Mas, a ⋅ b|a ⋅ c, pois b|c 
e a ⋅ b|b ⋅ c, dado que a|c. Portanto,
a ⋅ b|mdc (a ⋅ c, b ⋅ c) = c
∎
A discussão do máximo divisor comum também pode ser feita para o conjunto 
dos inteiros, conforme explicado a seguir.
Definição
Sejam a e b dois números inteiros. O máximo divisor comum de a e b, denotando mdc (a, b), é 
definido por
mdc (a, b) ≔ mdc (|a|, |b|)
Vemos que o máximo divisor comum de dois números inteiros é definido em 
termos do máximo divisor comum dos inteiros positivos |a| e |b|. Em particular, 
mdc (a, b) com a, b ∈ ℕ existe e é único, pois isso ocorre no máximo divisor comum 
em ℕ. Também:
mdc (a, b) = mdc (|a|, |b|) = mdc (|b|, |a|) = mdc (b, a)
para todo a, b ∈ ℤ.
Vamos ilustrar a definição do máximo divisor comum no conjunto dos inteiros 
no exemplo a seguir.
Σxemρlo 10
Temos que:
• mdc (–8, 2) = mdc (|–8|, |2|) = mdc (8, 2) = 2.
• mdc (0, –5) = mdc (|0|, |–5|) = mdc (0, 5) = 5.
Em muitas situações é necessário recorrer à caracterização do máximo divisor 
comum em ℤ que vamos demonstrar na sequência.
Para conhecer mais a 
respeito do máximo divisor 
comum entre o número 0 
e outro número inteiro, su-
gerimos a leitura do artigo 
O algoritmo euclidiano, da 
plataforma Khan Academy. 
Disponível em: https://pt.khanaca-
demy.org/computing/computer-scien-
ce/cryptography/modarithmetic/a/
the-euclidean-algorithm. Acesso em: 
6 maio 2021.
Leitura
https://pt.khanacademy.org/computing/computer-science/cryptography/modarithmetic/a/the-euclidean-alg
https://pt.khanacademy.org/computing/computer-science/cryptography/modarithmetic/a/the-euclidean-alg
https://pt.khanacademy.org/computing/computer-science/cryptography/modarithmetic/a/the-euclidean-alg
https://pt.khanacademy.org/computing/computer-science/cryptography/modarithmetic/a/the-euclidean-alg
104 Aritmética
Proposição
Um inteiro d é o máximo divisor comum de a e b em ℤ se, e somente se:
I. d ≥ 0;
II. d|a e d|b;
III. c|a e c|b ⇒ c|d.
Demonstração
(⇒) 1 Inicialmente, supomos que d é o máximo divisor comum de a e b em ℤ para 
validar os itens I, II e III. Por definição, temos que
d = mdc (a, b) = mdc (|a|, |b|)
Portanto, d ≥ 0.
Agora, por hipótese, d│|a| e d│|b|. Em particular, d|a e d|b, pois |a| e |b| 
diferem de a e b, respectivamente, apenas por um sinal.
Supomos, então, que c|a e c|b. Logo, |c|│|a| e |c|│|b| e, portanto, |c|│mdc (|a|, 
|b|) = d.
(⇐) 2 Agora consideramos que vale I, II e III para comprovar que d é o máximo 
divisor comum de a e b em ℤ.
Como d|a e d|b, resulta em d│|a| e d│|b|. Admitamos que c│|a| e c│|b|. 
Logo, c|a e c|b. Consequentemente, em III, c|d. Isso mostra que
d = mdc (|a|, |b|) = mdc (a, b)
∎
O máximo divisor comum no conjunto dos inteiros tem outras propriedades inte-
ressantes, conforme demonstramos a seguir.
Proposição
Sejam a, b ∈ ℤ, são válidas as seguintes afirmações:
I. Se a|b, então, mdc (a, b) = |a|.
II. Se a = b ⋅ q + r, então, mdc (a, b) = mdc (b, r).
Demonstração
I. Vamos utilizar a proposição anterior. Para tanto, vemos que |a| ≥ 0 e que 
a é múltiplo de |a|, uma vez que a = |a| ⋅ (±1). Em particular, |a||a. Além 
disso, como a|b, decorre |a||b. Finalmente, se c|a e c|b, logo, c||a|. Isso 
mostra que mdc (a, b) = |a|.
Nas demonstrações com a propo-
sição “se, e somente se”, o símbolo 
(⇒) ou ⇒ indica que a prova 
será feita considerando a hipótese 
(se) para validar a tese (então).
1
Nas demonstrações com a propo-
sição “se, e somente se”, o símbolo 
(⇐) ou ⇐ indica que a prova será 
feita considerando a tese (então) 
para validar a hipótese (se).
2
(Continua)
Aritmética no conjunto dos números naturais e inteiros 105
II. A demonstração é completamente análoga ao resultado já obtido para o 
máximo divisor comum em ℕ.
∎
O próximo resultado apresentado costuma surgir frequentemente em 
discussões teóricas.
Teorema
Se d = mdc (a, b), existem x0, y0 ∈ ℤ tais que
d = a ⋅ x0 + b ⋅ y0
Demonstração
Inicialmente, se a = b = 0, logo, d = 0 e quaisquer x0, y0 ∈ ℤ cumprem a igualdade 
desejada. Suponhamos que a ≠ 0 ou b ≠ 0 e definamos o conjunto
X ≔ {a ⋅ x + b ⋅ y | x, y ∈ ℤ}
como
a ⋅ a + b ⋅ b = a2 + b2 ∈ X e a2 + b2 > 0
Assim, X contém elementos estritamente positivos. Ao considerarmos d o me-
nor desses inteiros, demonstramos que d = mdc (a, b). Com efeito, como d ∈ X, 
existem x0, y0 ∈ ℤ tais que
d = a ⋅ x0 + b ⋅ y0
Mas pelo algoritmo da divisão
a = d ⋅ q + r
sendo 0 ≤ r < d. Consequentemente,
a = (a ⋅ x0 + b ⋅ y0) ⋅ q + r
o que implica
r = a – (a ⋅ x0 + b ⋅ y0) ⋅ q = a ⋅ (1 – x0 ⋅ q) + b ⋅ (q ⋅ (–y0))
Em particular, r ∈ X. Como r > 0 e d é menor inteiro positivo em X, deduzimos 
r = 0, mas
a = d ⋅ q
mostrando, assim, que d|a. Com um argumento análogo é possível demonstrar 
que d|b. Finalmente, como d = a ⋅ x0 + b ⋅ y0, todo divisor c de a e b é divisor de d. 
Isso mostra que d = mdc (a, b).
∎
Finalizamos esta seção com uma consequência direta do teorema anterior.
De modo semelhante ao que 
fizemos no conjunto dos números 
naturais, demonstre que se 
a = b ⋅ q + r, então, 
mdc (a, b) = mdc (b, r) com a, 
b ∈	ℤ.
Desafio
Considere o seguinte teorema: se 
d = mdc (a, b), existem x
0
, y
0
 ∈ ℤ 
tais que d = a ⋅ x
0 
+ b ⋅ y
0
. Agora 
demonstre que q|b utilizando o 
argumento análogo usado para 
demonstrar que d|a.
Desafio
106 Aritmética
Corolário
Se a|b ⋅ c e mdc (a, b) = 1, então, a|c.
Demonstração
Pelo teorema anterior, existem x0, y0 ∈ ℤ tais que
a ⋅ x0 + b ⋅ y0 = 1
Consequentemente,
(a ⋅ c) ⋅ x0 + (b ⋅ c) ⋅ y0 = c
Como a|(a ⋅ c) ⋅ x0 e a|(b ⋅ c), segue que a|(a ⋅ c) ⋅ x0 + (b ⋅ c) ⋅ y0 = c.
∎
Agora que desenvolvemos um entendimento aprofundado a respeito do má-
ximo divisor comum, é possível prosseguirmos com o estudo do mínimo múltiplo 
comum, assunto importante e que está no currículo da educação básica.
4.4 Mínimo múltiplo comum 
Vídeo Nesta seção, vamos definir o mínimo múltiplo comum de dois números intei-
ros e apresentar suas principais propriedades. Esse tema, junto do máximo divi-
sor comum, é bastante relevante no contexto do ensino básico, por isso merece 
especial atenção.
Definição
Sejam a, b ∈ ℕ. Um mínimo múltiplo comum de a, b ∈ ℕ é um número m ∈ ℕ tal que
I. a|m e b|m.
II. Se a|m’ e b|m’ ⇒ m|m’.
Na definição anterior, a condição I significa que m é múltiplo de a e b simultanea-
mente. Já II enuncia que todo múltiplo simultâneo de a e b também é múltiplo de m.
Naturalmente, surgem as mesmas perguntas levantadas para o máximo divi-
sor comum: será que o mínimo múltiplo comum sempre existe? Se existe, será 
que é único? Novamente, as respostas para essas perguntas são afirmativas, con-
forme demonstramos a seguir. Inicialmente, temos a unicidade.
Teorema
Sejam a, b ∈ ℕ, a e b admitem, no máximo, um mínimo múltiplo comum.
Fundamentos de aritmética, 
escrito por Hygino H. 
Domingues, é um excelente 
livro para quem busca 
inúmeros exemplos e exer-
cícios da teoria do máximo 
divisor comum e outros 
conteúdos da aritmética. 
Sua leitura é indicada para 
reforçar a compressão da 
teoria aqui desenvolvida.
DOMINGUES, H. H. São Paulo: Atual, 
1991.
Livro
(Continua)
Aritmética no conjunto dos números naturais e inteiros 107
Demonstração
Suponha que m1 e m2 são mínimos múltiplos comuns de a e b. Nesse caso,
m1|m2
pois m2 é múltiplo de a e b. Além disso
m2|m1
pois m1 é múltiplo de a e b e m2 é mínimo múltiplo comum de a e b. Sendo assim,
m1 = m2
∎
O mínimo múltiplo comum de a e b será denotado:
mmc (a, b)
O teorema anterior mostra que não há qualquer ambiguidade ao introduzir 
essa notação, dado que o mínimo múltiplo comum é único.
A seguir demonstramos que mmc (a, b) existe para quaisquer que sejam a, b ∈ 
ℕ. Para tanto, verificamos um resultado auxiliar.
ProposiçãoSejam a, b ∈ ℕ não nulos e d = mdc (a, b), então,
m a b
d
�
�
é o mínimo múltiplo comum de a e b.
Demonstração
Inicialmente, observamos que d| ⋅ (a ⋅ b), uma vez que d|a e d|b. Em particular, 
m ∈ ℕ. Agora notamos que
a b
d
a b
d
m� � � �
Em particular, a|m. De maneira análoga, deduzimos que b|m. Em seguida, su-
pomos que m’ é múltiplo de a e b. Em virtude disso, é possível escrevermos
m’ = a ⋅ k e m’ = b ⋅ ℓ
Consequentemente,
a ⋅ k = b ⋅ ℓ
o que implica
a
d
k b
d
� � �
Essa igualdade revela que 
a
d
k b
d
� � � divide a
d
k b
d
� � � . Mas,
(Continua)
108 Aritmética
mdc a
d
b
d
,�
�
�
�
�
� � 1
Portanto, 
a
d
| . Logo, é possível escrevermos
 � �
a
d
t
para algum t ∈ ℕ. Como m’ = b ⋅ ℓ, resulta em
m b a
d
t a b
d
t m t' � � � � � � � �
Isso mostra que m|m’ e, portanto, mdc (a, b) = m = (a ⋅ b)|d.
∎
A proposição anterior mostra que mmc (a, b) existe sempre que a ≠ 0 e b ≠ 0. Se 
a = 0 ou b = 0, mdc (a, b) = 0. De fato, se a = 0 e b é qualquer, por exemplo, então:
I. 0|0 e b|0, pois 0 = b ⋅ 0;
II. 0|m’ e b|m’ ⇒ 0|m’.
Sendo assim, mmc (0, b) = 0. Analogamente, mmc (a, 0) = 0, significando que 
existe mmc (a, b) para quaisquer que sejam a, b ∈ ℕ.
A proposição anterior mostra como obter o mínimo múltiplo comum explici-
tamente por meio do máximo divisor comum, procedimento que ilustramos no 
exemplo a seguir.
Σxemρlo 11
Para determinarmos o mmc (40, 16), observe que
mdc (40, 16) = 8
Consequentemente,
mmc (40, 16) = 40 16
8
80� �
Lembre-se de que para o máximo divisor comum é válida a propriedade
mdc (c ⋅ a, c ⋅ b) = c ⋅ mdc (a, b)
Ela é análoga para o mínimo múltiplo comum, conforme demonstramos a seguir.
Proposição
Se m = mmc (a, b), então
mmc (c ⋅ a, c ⋅ b) = c ⋅ m = c ⋅ mmc (a, b)
(Continua)
Aritmética no conjunto dos números naturais e inteiros 109
para todo c ∈ ℕ.
Demonstração
Se a = 0 ou b = 0, m = 0 e c ⋅ a = 0 ou c ⋅ b = 0. Mas,
mmc (c ⋅ a, c ⋅ b) = 0 = c ⋅ m
Se c = 0, então, mmc (0, 0) = 0. Suponhamos que a ≠ 0, b ≠ 0 e c ≠ 0. Nessa situa-
ção, temos que
mmc ( 
 (c 
c a c b c a c b
mdc a c b
c a b
c mdc a b
c� � � � � �
� �
�
� �
�
� �, )
, ) ( , )
2 aa b
mdc
c mmc� � �
 (a, b)
 (a, b)
∎
Assim como feito para o máximo divisor comum, é possível estendermos o mí-
nimo múltiplo comum para o conjunto dos números inteiros. Comecemos com a 
definição do mínimo múltiplo comum nesse conjunto.
Definição
Sejam a, b ∈ ℤ. O mínimo múltiplo comum de a e b é
mmc (a, b) ≔ mmc (|a|, |b|)
Percebemos que na definição anterior o mínimo múltiplo comum dos inteiros 
a e b é definido em termos do mínimo múltiplo comum dos inteiros não negativos 
|a| e |b|. Em particular, mmc (a, b) existe e é único para quaisquer que sejam a, b 
∈ ℤ. Além disso,
mmc (a, b) = mmc (|a|, |b|) = mmc (|b|, |a|) = mmc (b, a)
A seguir descrevemos uma caracterização para o mínimo múltiplo comum de 
dois inteiros que costuma ser útil em demonstrações teóricas.
Teorema
Um inteiro m é o mínimo múltiplo comum de a e b em ℤ se, e somente se:
I. m ≥ 0;
II. a|m e b|m;
III. a|m’ e b|m’ ⇒ m|m’.
Demonstração
(⇒) Supomos que m = mmc (a, b) = mmc (|a|, |b|). Em particular, m ≥ 0. Como 
m é múltiplo de |a| e |b|, m também é múltiplo de a e b, pois a e b diferem de |a| 
e |b|, respectivamente, apenas por um sinal.
(Continua)
110 Aritmética
Finalmente, admitimos que m’ é múltiplo de a e b. Desse modo, m’ também é 
múltiplo de |a| e |b|, já que |a| e |b| diferem de a e b, respectivamente, apenas 
por um sinal. Consequentemente, m’ é múltiplo de m, pois m = mmc (|a|, |b|) em ℕ.
(⇐) Supomos que m é um inteiro não negativo e múltiplo de a e b, tal que todo 
múltiplo de a e b também é múltiplo de m. Mas, então, m é múltiplo de |a| e |b|. 
Se m’ é múltiplo de |a| e |b|, m’ é múltiplo de a e b e, portanto, é múltiplo de m. 
Logo, m = mmc (|a|, |b|) em ℕ e, como consequência, m = mmc (a, b) em ℤ.
∎
A seguir expomos como é possível calcular mmc (a, b) em termos do máximo 
divisor comum de a e b quando a ≠ 0 e b ≠ 0.
Proposição
Sejam a, b ∈ ℤ:
mdc (a, b) ⋅ mmc (a, b) = |a| ⋅ |b| = |a ⋅ b|
Em particular, se a ≠ 0 e b ≠ 0:
mmc (a, b) = 
 (a, b)
| |a b
mdc
⋅
Demonstração
Com efeito, usando
mmc (|a|,|b|) =
 (|a|,|b|)
| | | |a b
mdc
⋅
temos que
mmc (|a|,|b|) (|a|,|b|) = mdc (|a|,|b|) |a| |b|
 (
� �
�mmc
mdc ||a|,|b|)
 = |a b|� � �| | | |a b
Com
mdc (|a|, |b|) = mdc (a, b) e mmc (|a|, |b|) = mmc (a, b)
temos que
mdc (a, b) ⋅ mmc (a, b) = |a ⋅ b|
Em particular, se a ≠ 0 e b ≠ 0, por divisão, obtemos
mmc (
 (a,b)
a b a b
mdc
, ) | |� �
∎
A proposição anterior fornece uma maneira explícita de calcular o mínimo múl-
tiplo comum entre dois inteiros, conforme ilustramos a seguir.
Aritmética no conjunto dos números naturais e inteiros 111
Σxemρlo 12
Para calcularmos o mínimo múltiplo comum entre os inteiros –52 e 16, fazemos:
mdc (–52, 16) = mdc (|–52|, |16|) = mdc (52, 16) = 4
Consequentemente,
mmc
mdc
 ( 52, 16) =
 ( 52,16)
�
� �
�
�
�
�
| | | |52 16 52 16
4
208
Boa parte da aritmética ocupa-se da compreensão da estrutura e do funcio-
namento dos sistemas numéricos dos conjuntos dos números naturais e inteiros. 
Uma parte importante da teoria é aquela que diz respeito aos números primos, 
temática que será nosso objeto de estudo na próxima seção.
A obra Elementos de 
aritmética, muito bem es-
crita por Abramo Hefez, é 
uma leitura essencial para 
complementar e aprofun-
dar os tópicos desenvolvi-
dos em nossos estudos.
HEFEZ, A. Rio de Janeiro: SBM, 
2005. (Coleção Profmat).
Livro
4.5 Números primos e o teorema 
fundamental da aritmética 
Vídeo Nesta seção, vamos discutir os números primos no conjunto dos números na-
turais. A definição é a mesma que encontramos no ensino básico e será incluída a 
seguir, a título de formalização.
Definição
Um número p ∈	ℕ é denominado primo se
I. p ≠ 0 e p ≠ 1;
II. os únicos divisores de p forem 1 e p.
Um número a ∈	ℕ tal que a ≠ 0 e a ≠ 1, que não é primo, é dito composto. 
Notamos que se a ∈	ℕ é um número composto, logo, é sempre possível escrever
a = b · c
com b ≠ 1 e c ≠ 1.
Vemos que os números 0 e 1 não são primos nem compostos.
Ilustramos a definição de número primo no exemplo a seguir.
112 Aritmética
Σxemρlo 13
• O número 2 é primo.
De fato, se a|2, então, 0 < a ≤ 2 e, portanto, a = 1 ou a = 2.
• O número 2 é o único primo par.
De fato, se a > 2 é par, é possível escrevermos a = 2k, com k > 1. Em particu-
lar, 1, 2 e k são divisores de a, todos distintos.
Os números primos têm propriedades interessantes. Uma delas, e de grande 
importância teórica, é apresentada a seguir.
Proposição
Se p é um número primo e p|a ⋅ b, então, p|a ou p|b.
Demonstração
Se a = 0 ou b = 0, o resultado é imediato. Supomos que a ≠ 0 e b ≠ 0 e que p não 
divide a. Nesse caso,
mdc (a, p) = 1
De fato, se c|a e c|p, c = 1 ou c = p, devido ao fato de p ser primo. Entretanto, 
como p não divide a, decorre c = 1. Aplicando o corolário com as consequências 
importantes do teorema da multiplicação do mdc por algum número natural, 
deduzimos que
p|b
encerrando, assim, a demonstração.
∎
A proposição anterior pode ser estendida da seguinte maneira: se p é um núme-
ro primo e p|(a1 · ... · an) com n ≥ 1, assim, p|aj para algum j ∈ {1, …, n}. A demons-
tração pode ser feita usando o princípio da indução.
A seguir demonstramos um dos fatos mais importantes da aritmética: todo nú-
mero natural pode ser escrito como um produto de números primos. Além disso, 
essa decomposição em fatores primos é única. Para demonstrar o resultado, é ne-
cessário mostrarmos o resultado auxiliar.
Aritmética no conjunto dos números naturais e inteiros 113
Lema
Seja a ∈ ℕ tal que a ≠ 0 e a ≠ 1. Então, o menor inteiro do conjunto
X = {x ∈ ℕ | x > 1, x|a}
é um número primo.
Demonstração
Percebemos que a ∈ X, pois a > 1 e a|a. Pelo princípio da boa ordenação dos 
naturais, X tem um menor elemento p. Em particular, p ≠ 0 e p ≠ 1. Se p não fosse 
primo, existiriam b, c ∈ ℕ tais que b ≠ 1 e c ≠ 1, de modoque
p = b ⋅ c
Mas, nesse caso, teríamos b < p. Porém, b sendo divisor de p, também divide 
a. Logo, b ≠ 1 seria um divisor de a menor que p, e isso é um absurdo. Portanto, 
p é primo.
∎
Em posse do resultado anterior, é possível demonstrarmos o conhecido teore-
ma fundamental da aritmética, o qual afirma que qualquer número natural maior 
que 1 pode ser fatorado como um produto finito de números primos e, além disso, 
o número de fatores é unicamente determinado e a fatoração é única, a menos na 
reordenação dos fatores.
Teorema fundamental da aritmética
Para todo número natural a > 1 existem números primos p1, …, pn, n ≥ 1 tais que
a = p1 ⋅ p2 ⋅ ... ⋅ pn
Além disso, se a = q1 ⋅ q2 ⋅ ... ⋅ qm, m ≥ 1 com q1, …, qm primos, então
m = n e {p1, …, pn} = {q1, …, qn}
Demonstração
Vamos usar o princípio da indução:
• Se a = 2, a é primo e a afirmação é verdadeira.
• Suponhamos que a > 2 e que o teorema seja válido para todo b tal que
2 ≤ b < a
Pelo lema anterior, existe um divisor primo p1 para a, ou seja,
(I) a = p1 ⋅ a1
para algum a1 ∈ ℕ	\ {0}.
(Continua)
114 Aritmética
Se a1 = 1 ou a1 é primo, a demonstração está finalizada. Do contrário, como 2 
≤ a1 < a, pela hipótese de indução, existem n – 1 primos p2, …, pn com n – 1 ≥ 1, de 
maneira que
a1 = p2 ⋅ p3 ⋅ ... ⋅ pn
Mas, então, substituindo em (I), obtemos
a = p1 ⋅ p2 ⋅ ... ⋅ pn
Resta verificarmos que se
a = p1 ⋅ p2 ⋅ ... ⋅ pn = q1 ⋅ q2 ⋅ ... ⋅ qm
com p1, …, pn, q1, …, qm primos, logo, m = n e {p1, …, pn} = {q1, …, qm}. A igualdade
p1 ⋅ p2 ⋅ ... ⋅ pn = q1 ⋅ q2 ⋅ ... ⋅ qm
implica p1 |(q1 ⋅ q2 ⋅ ... ⋅ qm) e, portanto, p1|qi para algum i. Analisando a numeração, 
é possível deduzirmos que i = 1, ou seja, p1|q1. Mas como 1 e q1 são os únicos divi-
sores de q1 e p1 ≠ 1, segue que p1 = q1. Cancelando p1 e q1 na igualdade, obtemos
p2 ⋅ p3 ⋅ ... ⋅ pn = q2 ⋅ q3 ⋅ ... ⋅ qn
Prosseguindo esse raciocínio, chegamos à unicidade da afirmação do enuncia-
do. Vemos que não pode ocorrer algo como 1 = qm ⋅ ... ⋅ qn, pois implicaria qn|1, o 
que é impossível, afinal, q1 é primo.
∎
Há um processo prático para determinar a fatoração de números primos forne-
cida no teorema anterior. Isso é ilustrado no próximo exemplo.
Σxemρlo 14
Para encontrar a decomposição de fatores primos, na decomposição de a = 60, 
por exemplo, fazemos:
60 2
30 2
15 3
5 5
1
Assim,
60 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 22 ⋅ 3 ⋅ 5
Na decomposição em fatores primos a = p1 ⋅ p2 ... pn, nem sempre todos os 
fatores são diferentes entre si. Em particular, é possível agrupar aqueles repe-
tidos e escrever:
a p p pr r k
rk� � � � �1
1
2
2
Aritmética no conjunto dos números naturais e inteiros 115
em que ri conta o número de vezes que o fator pi se repete. Observamos que 1 ≤ k 
≤ n e pi ≠ pj sempre que i ≠ j e ri ≥ 1 para i = 1, …, k. Quando p1 < p2 < ⋯ < pk, obtemos 
a decomposição canônica de a. Por exemplo:
60 = 22 ⋅ 3 ⋅ 5
é a decomposição canônica de 60.
Em algumas situações, ao considerarmos a decomposição em fatores primos 
de dois números naturais a e b, é conveniente escrevermos a e b como potências 
dos mesmos números primos. Isso é possível porque podemos utilizar expoentes 
nulos, como:
60 = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 70 e 350 = 2 ⋅ 30 ⋅ 52 ⋅ 7
O teorema fundamental da aritmética tem algumas consequências importan-
tes, as quais enunciamos e demonstramos a seguir.
Corolário
I. Se a p p pr r k
rk� � � �1
1
2
2 ... , então, b|a se, e somente se, b p p ps s k
sk� � � �1
1
2
2 ... com 0 ≤ 
si ≤ ri para todo i ∈ {1, …, k}.
II. Se a, b ∈ ℕ \ {0} são tais que
a p p p p p pr r k
rk s s
k
sk� � � � � � � �1
1
2
2
1
1
2
2... ... e b
então,
mdc p p pt t k
sk (a, b) = 1
1
2
2⋅ ⋅ ⋅...
sendo ti = min
 {ri, si} para todo i ∈ {1, …, k}.
III. Se a, b ∈ ℕ \ {0} são tais que
a p p p p p pr r k
rk s s
k
sk = e b = 1
1
2
2
1
1
2
2⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅... ...
então,
mdc a b p p pt t k
tk = ( , ) ...1
1
2
2⋅ ⋅ ⋅
sendo ti = max
 {ri, si} para todo i ∈ {1, …, k}.
Demonstração
I. Se b|a, pelo teorema fundamental da aritmética, a não possui fatores pri-
mos de b que não sejam fatores primos de a. Contudo, nem todos os fato-
res primos de a precisam estar na decomposição de fatores primos de b. 
Por outro lado, considerando
c p p pt t k
tk= 1
1
2
2⋅ ⋅ ⋅...
com ti = ri – si para todo i ∈ {1, …, n}, temos c ∈ ℕ e c ⋅ b = a. Portanto, b|a.
O termo min é a abreviação de 
mínimo, ou seja, t
i
 é o elemento 
mínimo do conjunto {r
i
, s
i
}.
Glossário
O termo max é a abreviação de 
máximo, ou seja, t
i
 é o elemento 
máximo do conjunto {r
i
, s
i
}.
Glossário
(Continua)
116 Aritmética
II. Com efeito, d|a e d|b. Agora, se c ∈ ℕ é um divisor de a e b, então
c p p pu u k
uk= 1
1
2
2⋅ ⋅ ⋅...
com 0 ≤ ui ≤ ri e 0 ≤ ui ≤ si para todo i ∈ {1, …, k}. Mas para cada índice i temos
0 ≤ ui ≤ min{ri, si} = ti
uma vez que min {ri, si} = ri ou min {ri, si} = si.
III. Pelo que discutimos, m é múltiplo de a e b. Além disso, se
m' = p p pu u k
uk
1
1
2
2⋅ ⋅ ⋅...
é múltiplo de a e b, logo, ui ≥ ri ≥ 0 e ui ≥ si ≥ 0 para todo i ∈ {1, …, k}. Desse modo,
ui ≥ max {ri, si} = ti
para todo i ∈ {1, … k}. Portanto, m|m’.
∎
O corolário anterior fornece uma maneira simples de encontrar o máximo di-
visor comum e o mínimo múltiplo comum de dois inteiros positivos. Esse procedi-
mento está exemplificado a seguir.
Σxemρlo 15
Para determinar o máximo divisor comum entre 36 e 52, fazemos:
36 = 22 ⋅ 32 ⋅ 130 e 52 = 22 ⋅ 30 ⋅ 131
Consequentemente,
mdc (36, 52) = 22 ⋅ 30 ⋅ 130 = 4
Analogamente,
mmc (36, 52) = 22 ⋅ 32 ⋅ 131 = 468
Finalmente, utilizando o teorema fundamental da aritmética é possível demons-
trar que o conjunto dos números primos é infinito. Esse teorema é conhecido como 
teorema de Euclides, e será demonstrado a seguir.
Teorema de Euclides
O conjunto dos números primos é infinito.
Demonstração
Suponhamos, por absurdo, que o conjunto P dos números primos é finito. Nesse 
caso, seria possível escrevermos:
P = {p1, p2, …, pr}
O teorema de Euclides 
enuncia que o conjunto 
dos números primos é 
infinito, porém podemos 
questionar: qual é o maior 
número primo? Até o 
momento, o maior já des-
coberto tem quase 25 mi-
lhões de dígitos! Para saber 
mais a respeito, sugerimos 
duas matérias:
• Maior número primo do mundo 
é descoberto por engenheiro 
voluntário nos EUA. Disponível em: 
https://g1.globo.com/educacao/
noticia/maior-numero-primo-do-
-mundo-e-descoberto-por-enge-
nheiro-voluntario-nos-eua.ghtml. 
Acesso em: 6 maio 2021.
• Descoberto número primo com 
quase 25 milhões de dígitos. Dispo-
nível em: https://impa.br/noticias/
descoberto-numero-primo-com-
-quase-25-milhoes-de-digi-
tos/#:~:text=H%C3%A1%20
menos%20de%20quatro%20me-
ses,de%20aproximadamente%20
R%24%2011%20mil. Acesso em: 
6 maio 2021.
Curiosidade
(Continua)
Aritmética no conjunto dos números naturais e inteiros 117
para algum r ∈ ℕ. Definimos:
n ≔ p1 ⋅ p2 ⋅ ... ⋅ pr + 1
Como n admite um divisor primo p e p1, …, pr são primos, segue que p = pi para 
algum i ∈ {1, …, r}. Sendo assim
p|n e p|(p1 ⋅ p2 ⋅ ... ⋅ pi ⋅ ... ⋅ pr)
Entretanto, isso implica p|1, pois
1 = n – p1 ⋅ p2 ⋅ ... ⋅ pr
O que é um absurdo. Portanto, o conjunto P dos números primos é infinito.
∎
A discussão a respeito dos números primos e do teorema fundamental da 
aritmética também pode ser feita para o conjunto dos números inteiros. Esse é 
o objetivo do nosso estudo a partir de agora. O ponto de partida é a definição de 
número primo no conjunto dos inteiros.
Definição
Um número p ∈ ℤ é um inteiro primo (ou simplesmente primo) se |p| é primo em ℕ.
Vejamos a exemplificação da definição anterior.
Σxemρlo 16 
Os números –2, –3, –5, –7 são inteiros primos, pois os números naturais 2, 3, 5 
e 7 são primos em ℕ.
Assim como é possível saber se um número natural é primo observando seus 
divisores, também é viável fazer o mesmo para os inteiros primos, conforme 
explicado a seguir.
Teorema
Seja p ∈ ℤ. Então, p é um inteiro primo se, e somente se:
I. p ≠ 0 e p ≠ 1;
II. os únicos divisores de p sejam ±1 e ±p.
(Continua)118 Aritmética
Demonstração
(⇒) Se p é primo em ℤ, então, |p| é primo em ℕ. Em particular, |p| ≠ 0 e |p| 
≠ 1. Portanto, p ≠ 0 e p ≠ ±1. Agora, suponhamos que a|p. Logo, |a|│|p|, e como 
|a| = 1 ou |a| = p, temos a = ±1 ou a = ±p.
(⇐) Admitamos p ≠ 0 e p ≠ ±1. Então, |p| ≠ 0 e |p| ≠ 1. Se c ∈ ℕ e c│|p|:
|p| = c ⋅ q
com q ∈ ℕ. Em particular,
|p| = |c ⋅ q|
Então,
p = ±c ⋅ q = c ⋅ (±q)
e, portanto, c|p em ℤ. Por hipótese, c = ±1 ou c = ±p. Como c ∈ ℕ, só podemos ter 
c = 1 ou c = |p|. Desse modo, |p| é primo em ℕ, ou seja, p é primo em ℤ.
∎
O teorema fundamental da aritmética continua válido para o conjunto dos nú-
meros inteiros e pode ser enunciado como a seguir.
Teorema fundamental da aritmética em ℤ
Seja a ∈ ℤ tal que a ≠ 0 e a ≠ ±1. Então, existem números primos p1, p2, …, pn ∈ ℤ 
com n ≥ 1, todos maiores que 1, tais que
a = p1 ⋅ p2 ⋅ ... ⋅ pn ou a = –p1 ⋅ p2 ⋅ ... ⋅ pn
conforme a > 0 ou a < 0. Além disso, essa decomposição é única, a menos na ordem 
dos fatores.
Demonstração
Basta considerarmos que a = ±|a| e aplicarmos o teorema fundamental da 
aritmética válido para ℕ. É possível, ainda, demonstrarmos a unicidade com o 
mesmo argumento utilizado na demonstração da unicidade no teorema funda-
mental da aritmética válido para ℕ.
∎
A seguir apresentamos um exemplo que ilustra o emprego do teorema anterior.
Σxemρlo 17
O número inteiro –120 decompõe-se em fatores primos da seguinte forma:
–102 = –2 ⋅ 3 ⋅ 17
Demonstre a unicidade da de-
composição a = p
1
 ⋅ p
2
 ⋅ ... ⋅ p
n
 
ou a = –p
1
 ⋅ p
2
 ⋅ ... ⋅ p
n
, enun-
ciada no teorema fundamental 
da aritmética no conjunto dos 
números inteiros.
Desafio
O livro Introdução à 
teoria dos números, escrito 
por Ana Maria Amarillo 
Bertone, traz uma exposi-
ção da teoria dos números 
muito próxima da maneira 
com a qual desenvolve-
mos nossos estudos até o 
momento. Fica o convite 
para conferir, sobretudo, 
a exposição a respeito dos 
números primos.
BERTONE, A. M. A. Uberlândia UFU, 
2014.
Livro
Aritmética no conjunto dos números naturais e inteiros 119
O teorema fundamental da aritmética é um dos principais resultados da 
aritmética, merecendo, portanto, atenção especial. Certifique-se de que todo o con-
teúdo que estudamos está claro e consulte as referências indicadas ao longo do 
capítulo para ampliar seus conhecimentos.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Grande parte da aritmética é dedicada ao estudo de tópicos relacionados à divisão 
de números naturais e/ou inteiros. Nesse contexto, destacam-se as noções de máxi-
mo divisor comum, mínimo múltiplo comum e números primos.
O estudo desses conceitos permite melhor compreender a estrutura dos nú-
meros naturais e inteiros e a álgebra elementar como um todo. De modo adicio-
nal, diversas aplicações, tanto teóricas quanto práticas, decorrem do estudo aqui 
apresentado. Ainda existem muitos problemas e mistérios a serem explorados, por 
exemplo qual é o maior número primo.
Basta uma pesquisa rápida na internet para descobrimos muitas conjecturas en-
volvendo a teoria dos números. Diante disso, destacamos que este capítulo pode e 
deve servir como ponto de partida para o estudo de tópicos adicionais.
ATIVIDADES
1. É verdade que se a e b são números naturais não nulos, mdc (a, b) = mdc (a, b – a)? 
Justifique sua resposta.
2. Encontre o mdc (600, 252) usando a decomposição em fatores primos.
3. Se mdc (a, b) = 1, o que podemos afirmar sobre mmc (a, b)?
REFERÊNCIAS
ALENCAR FILHO, E. de. Iniciação à lógica matemática. São Paulo: Nobel, 2002.
DOMINGUES, H. H.; IEZZI, G. Álgebra moderna. São Paulo: Atual, 2003.
HEFEZ, A. Elementos de aritmética. Rio de Janeiro: SBM, 2006.
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Conjuntos/funções. São Paulo: Atual, 2004. (Coleção Fundamentos de Matemática 
Elementar, v. 1).
Vídeo
120 Aritmética
5
Congruências
Neste capítulo, serão apresentados alguns tópicos que pertencem à inter-
seção da aritmética com a teoria dos números. De forma mais precisa, vamos 
conhecer o pequeno teorema de Fermat, o teorema chinês dos restos, as con-
gruências lineares e os inteiros módulo m. Esses dois últimos tópicos estão pre-
sentes em cursos de álgebra abstrata. Portanto, agora é um ótimo momento 
para consolidar suas bases para as teorias que estão por vir.
Os assuntos foram escolhidos com o intuito de complementar sua formação 
e de apresentar conceitos que podem, e certamente, surgirão em outras dis-
ciplinas. Além de serem interessantes por si próprios, os resultados discutidos 
neste capítulo ilustrarão como podemos aplicar a teoria em problemas de di-
versas naturezas. Nesta etapa, você está pronto a investigar tópicos adicionais; 
sendo assim, sinta-se convidado a buscar conhecer outras exposições, refe-
rências e abordagens. Manter vivo o desejo pelo conhecimento é fundamental.
5.1 O pequeno teorema de Fermat
Vídeo Pierre de Fermat (1601-1665) é considerado o mais notável matemático francês 
do século XVII. Tornou-se famoso por ter enunciado um resultado chamado o últi-
mo teorema de Fermat. O conteúdo desse resultado é simples: se n ≥ 3, não existem 
inteiros positivos a, b, c que sejam solução para a equação xn + yn = zn.
A demonstração, notavelmente não trivial, obtida apenas trezentos e cinquen-
ta anos após o enunciado levantado por Fermat, deve-se ao matemático Andrew 
Wiles.
Outro resultado famoso devido a Fermat é o chamado pequeno teorema de 
Fermat, nosso objeto de estudo. O enunciado é simples: se p é um número primo e 
a é um inteiro não divisível por p, então, ap –1 – 1 é múltiplo de p. A título de ilustra-
ção, aplicando esse resultado com p = 11 e a = 3 deduzimos que
311 – 1 – 1 = 310 – 1 = 59.048
é múltiplo de 11. De fato, temos que
59.048 = 11 ⋅ 5.368
Com o que discutimos até o momento, é possível demonstrar o pequeno teore-
ma de Fermat sem grandes dificuldades.
M
sc
hl
in
dw
ei
n/
 W
ik
im
ed
ia
 C
om
m
on
s
Pierre de Fermat
Congruências 121
Teorema – Pequeno teorema de Fermat
Se p é um número primo e a é um inteiro não divisível por p, então ap – 1 é múl-
tiplo de p.
Demonstração
Aplicando o algoritmo da divisão com os dividendos a, 2a, 3a, …, (p – 1)a e p 
sendo o divisor, obtemos
a = p ⋅ q1 + r1 (0 < r1 < p)
2a = p ⋅ q2 + r2 (0 < r2 <p)
⋮
(p – 1)a = p ⋅ qp – 1 + rp – 1 (0 < rp – 1 < p)
Note que, se i ≠ j, então ri ≠ rj.
De fato, suponha que existam i, j ∈ {1, …, p – 1} tais que i ≠ j e r = ri = rj. Nesse 
caso, subtraindo as igualdades
i ⋅ a = p ⋅ qi + r e j ⋅ a = p ⋅ qj + r
temos que
(i – j) ⋅ a = i ⋅ a – j ⋅ a = p ⋅ qi + r – p ⋅ qj – r = p ⋅ (qi – qj)
Isso mostra que p é um divisor de i – j, pois p é primo e não divide a. Mas isso é 
possível apenas se i = j, pois |i – j| < p.
Logo, r1, …, rp – 1 ∈ {1, …, p – 1} e ri ≠ rj para todo i ≠ j. Mas, multiplicando as p – 1 
igualdades dadas pelo algoritmo da divisão, temos
a ⋅ (2 ⋅ a) ⋅ ... ⋅ (p – 1) ⋅ a = p ⋅ k + r1 ⋅ r2 ⋅ ... ⋅ rp – 1
sendo k a soma dos fatores de p do segundo membro. Mas é possível reescrever 
essa igualdade como
1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ (p – 1) ⋅ ap – 1 = p ⋅ k + 1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ (p – 1)
Isso implica que
1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ (p – 1) ⋅ (ap – 1 – 1) = p ⋅ k
Portanto, p é um divisor de 1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ (p – 1) ⋅ (ap – 1 – 1). Como p é primo e não 
divide nenhum dos fatores em 1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ (p – 1), pois p é menor que cada um desses 
fatores, segue que p divide ap – 1 – 1.
Isso significa que p é múltiplo de ap – 1 – 1.
∎
A seguir, mostramos como é possível aplicar o pequeno teorema de Fermat na 
prática. Entretanto, esta notação será explicada em detalhes adiante, no momento 
em que será explicada sua definição e propriedades.
A dissertação de mestra-
do intitulada Sobre várias 
demonstrações do pequeno 
teorema de Fermat e as 
inter-relações entre as áreas 
da matemática apresenta 
diversas demonstrações 
para o pequeno teorema 
de Fermat. É uma leitura 
essencial para conhecer di-
versas formas de verificação 
do teorema.
OLIVEIRA, F. E. F. 2019. Dissertação 
(Mestrado em Matemática) – Centro 
de Ciências, Universidade Federal do 
Ceará, Fortaleza.Disponível em: http://
www.repositorio.ufc.br/bitstream/
riufc/44231/1/2019_dis_fefoliveira.
pdf. Acesso em: 28 abr. 2021.
Leitura
http://www.repositorio.ufc.br/bitstream/riufc/44231/1/2019_dis_fefoliveira.pdf
http://www.repositorio.ufc.br/bitstream/riufc/44231/1/2019_dis_fefoliveira.pdf
http://www.repositorio.ufc.br/bitstream/riufc/44231/1/2019_dis_fefoliveira.pdf
http://www.repositorio.ufc.br/bitstream/riufc/44231/1/2019_dis_fefoliveira.pdf
122 Aritmética
Σxemρlo 1
Aplicando o pequeno teorema de Fermat, é possível determinar o resto da di-
visão de 2100.000 por 17. De fato, como 17 é primo e não divide 2, pelo pequeno 
teorema de Fermat,
216 ≡ 1 (mod 17)
Mas, note que
100.000 = 6.250 · 16
de forma que
2100.000 = (216)6.250 ≡ 16.250 (mod 17) ≡ 1 (mod 17)
Portanto, o resto da divisão de 2100.000 por 17 é 1.
Acompanhe mais um exemplo.
Σxemρlo 2
Utilizando o pequeno teorema de Fermat é possível verificar que 250 + 350 é divi-
sível por 13. De fato,
250 = 24 · 12 + 2 = (214)4 · 2
de modo que
250 ≡ 22 (mod 13)
Analogamente,
350 = 34 · 12 + 2 = (312)4 · 32
e, portanto,
350 ≡ 32 (mod 13)
Logo,
250 + 350 ≡ 22 + 32 (mod 13)
Concluímos que
250 + 350 ≡ 0 (mod 13)
ou seja, 250 + 350 é divisível por 13.
Pierre de Fermat trouxe muitas grandes contribuições para a teoria dos núme-
ros. Cabe destacar que foi ele quem introduziu sistemas de eixos perpendiculares, 
ideia geralmente atribuída a René Descartes. De fato, as coordenadas cartesia-
nas deveriam ser chamadas de coordenadas fermatianas. Além disso, atribui-se a 
Congruências 123
Fermat a descoberta das equações da circunferência, da reta, bem como as mais 
simples equações das seções cônicas: elipse, parábola, hipérbole.
5.2 Congruências módulo m 
Vídeo Agora, vamos apresentar uma importante relação de equivalência no conjunto 
dos números inteiros: a relação de congruência módulo m. Resumidamente, essa 
relação identifica inteiros cuja divisão por m resulta no mesmo resto.
Essa relação dará origem ao conjunto dos inteiros módulo m, importante mode-
lo conceitual de um grupo aditivo abeliano que pode ser encontrado na teoria de 
grupos estudada em outras disciplinas de álgebra.
O ponto de partida da discussão é a definição de congruência módulo m, forne-
cida a seguir.
Definição
Sejam a, b ∈ ℤ e m ∈ ℤ \ {0}. Dizemos que a é congruente a b módulo m e escrevemos
a ≡ b (mod m) se m|(a – b)
A notação a ≡ b (mod m) significa, portanto, que existe um inteiro q tal que
a – b = m ⋅ q
ou, de modo equivalente,
a = b + m ⋅ q
A título de ilustração, temos
7 ≡ 3 (mod 2)
pois
2|(7 – 3) = 4
Também,
7 ≡ 3 (mod 4)
pois
4|(7 – 3) = 4
A relação congruência (≡) é de equivalência em ℤ, conforme demonstramos 
a seguir.
Teorema
Se m ∈ ℤ \ {0}, a relação de congruência (≡) módulo m é uma relação de equiva-
lência em ℤ.
(Continua)
124 Aritmética
Demonstração
É necessário verificar que ≡ é reflexiva, simétrica e transitiva. Para isso, temos 
que:
 • ≡ é reflexiva.
De fato, se a ∈ ℤ, então
m|0 = (a – a)
Portanto, a ≡ a (mod m).
 • ≡ é simétrica.
Suponha que a, b ∈ ℤ são tais que a ≡ b (mod m). Isso significa que
m|(a – b)
Mas então,
m| –(a – b) = (b – a)
Portanto, b ≡ a (mod m).
 • ≡ é transitiva.
Sejam a, b, c ∈ ℤ tais que a ≡ b (mod m) e b ≡ c (mod m). Nesse caso,
m|(a – b) e m|(b – c)
Consequentemente,
m|(a – b) + (b – c) = a – c
ou seja, m|(a – c) e, portanto, a ≡ c (mod m).
∎
Note que m|(a – b) se, e somente se, |m|│(a – b), logo basta desenvolver a teo-
ria para o caso em que m > 0. Em virtude disso, de agora em diante, será suposto 
que m > 0 sempre que se tratar da congruência módulo m.
A seguir, demonstramos uma caracterização interessante da congruência mó-
dulo m.
Teorema
Dois inteiros a e b são congruentes módulo m se, e somente se, têm o mesmo 
inteiro como resto da divisão por m.
Demonstração
Aplicando o algoritmo da divisão por m, segue que
a = m ⋅ q1 + r1 e b = m ⋅ q2 + r2
com 0 ≤ r1 < m e 0 ≤ r2 < m.
(Continua)
Congruências 125
Consequentemente,
a – b = m ⋅ (q1 – q2) + (r1 – r2)
Dessa forma,
m|(a – b) ⇔ m|(r1 – r2)
Mas, como 0 ≤ |r1 – r2| < m, temos que m|(r1 – r2) se, e somente se, r1 – r2 = 0, ou 
seja, r1 = r2.
Portanto, a ≡ b (mod m) se, e somente se, r1 = r2.
∎
A seguir, vamos demonstrar que a congruência módulo m é compatível com a 
adição, a multiplicação e a potenciação dos inteiros.
Teorema
Sejam m > 0 um inteiro e a, b, c, d ∈ ℤ.
I. Se a ≡ b (mod m), então a + c ≡ b + c (mod m).
II. Se a ≡ b (mod m) e c ≡ d (mod m), então a ⋅ c ≡ b ⋅ d (mod m).
III. Se a ≡ b (mod m), então an ≡ bn (mod m), para todo inteiro positivo n.
Demonstração
I. Suponha que m|(a – b). Observe que
a – b = (a + c) – (b + c)
Logo, m|(a + c) – (b + c), então a + c ≡ b + c (mod m).
II. Suponha que m|(a – b) e m|(c – d). Então é possível escrever
a = b + q1 ⋅ m e c = q + q2⋅ m
para certos q1, q2 ∈ ℤ. Mas então,
a ⋅ c = (b + q1 ⋅ m) ⋅ (d + q2 ⋅ m)
= b ⋅ d + b ⋅ q2 ⋅ m + q1 ⋅ m ⋅ d + q1 ⋅ q2 ⋅ m
= b ⋅ d + (b ⋅ q2 + q1 ⋅ d + q1 ⋅ q2) ⋅ m
Portanto, m|(a ⋅ c – b ⋅ d), ou seja, a ⋅ c ≡ b ⋅ d (mod m).
III. Decorre de II usando indução sobre n. Para verificar isso, defina o conjunto
X = {n ∈ ℕ | an ≡ bn (mod m) ∀ a, b ∈ ℤ}
Nessa situação, é direito que n = 0 ou n = 1 são elementos de X, portanto, deve-
mos começar o procedimento indutivo com n = 2. Para esse valor de n, a afirmação 
é válida, pois
a ≡ b (mod m) e a · a ≡ b · b (mod m) ⇒ a2 ≡ b2 (mod m)
(Continua)
126 Aritmética
Considere n ∈ X, ou seja, n ∈ ℕ e
an ≡ bn (mod m)
Mas,
an ≡ bn (mod m) e a ≡ b (mod m) ⇒ an + 1 ≡ bn + 1 (mod m)
e, portanto, n + 1 ∈ X. Pelo princípio da indução, temos que X = ℕ.
∎
A congruência módulo m tem a propriedade do cancelamento para a adição, 
conforme demonstramos a seguir.
Proposição
Sejam m > 0 um inteiro e a, b ∈ ℤ. Se a + c ≡ b + c (mod m), então
a ≡ b (mod m)
Demonstração
De fato, se a + c = b + c (mod m), então
m|[(a + c) – (b + c)] = (a – b)
Portanto, a ≡ b (mod m).
∎
Será que vale uma propriedade análoga para a multiplicação? Em outros ter-
mos, se a ⋅ c ≡ b ⋅ c (mod m), será que a ≡ b (mod m)? Não, pois, um contraexem-
plo seria
3 ⋅ 3 ≡ 3 ⋅ 5 (mod 6)
Não é verdade que 3 ≡ 5 (mod 6). Contudo, o cancelamento para a multiplica-
ção é válido quando adicionamos uma hipótese conforme explicamos a seguir.
Proposição
Sejam m > 0 um inteiro e a, b, c ∈ ℤ. Se mdc (c, m) = 1, então a ⋅ c = b ⋅ c (mod m) 
implica a ≡ b (mod m).
Demonstração
Com efeito, se a ⋅ c ≡ b ⋅ c (mod m), então
m|(a – b) ⋅ c
Logo, m|(a – b) ou m|c. Como mdc (c, m) = 1, segue que m|(a – b), ou seja, a ≡ 
b (mod m).
∎
Congruências 127
A seguir, apresentamos um exemplo de natureza prática de um problema que 
pode ser resolvido facilmente usando congruências lineares.
Σxemρlo 3
Qual é o resto da divisão de 560 por 26?
Aplicando o algoritmo da divisão temos que
560 = 26 ⋅ q + r
sendo 0 ≤ r ≤ 25. Em particular,
560 ≡ r (mod 26)
Como 52 = 25, segue que
52 ≡ –1 (mod 26)
Mas então, elevando ao quadrado ambos os lados da congruência anterior, 
temos
54 ≡ (–1)2 (mod 26)
ou seja,
54 ≡ 1 (mod 26)
Agora, notando que 560 = (54)15, podemos fazer
560 ≡ 115 (mod 26)
e, portanto, o resto da divisão de 560 por 26 é 1.
Na próxima seção, discutiremos como a relação de congruência no conjunto 
dos números inteiros dá origem ao conjunto dos inteiros módulo m.
A obra Introdução à teoria 
dos números, escrito por 
Ana Maria Amarillo Bertone, 
é uma excelente opção 
para complementar os 
tópicos estudados sobre 
congruências. A autora faz 
uma exposição clara, rigo-
rosa e rica em exemplos.
BERTONE, A. M. A. Uberlândia: 
UFU, 2014. Disponível em: 
https://repositorio.ufu.br/
bitstream/123456789/25317/1/
Introdu%C3%A7%C3%A3o%20
a%20Teoria%20dos%20
N%C3%BAmeros.pdf. Acesso em: 17 
maio 2021.
Livro
5.3 Inteiros módulo m 
Vídeo Vamos estudar, de maneira aprofundada, o quociente módulo a relação de con-
gruência módulo m definida na seção anterior. Esse conjunto quociente, denotado 
por ℤm, é denominadode conjunto dos inteiros módulo m. Esse conjunto ℤm está do-
tado de uma operação de adição e de uma de multiplicação. Nosso objetivo central 
é explorar as propriedades de ℤm e de suas operações algébricas. Na seção anterior 
demonstramos que se m > 0 é um inteiro, então
a ≡ b (mod m)
é uma relação de equivalência em ℤ. Em particular, cada inteiro a ∈ ℤ possui uma 
classe de equivalência associada módulo a relação ≡. 
128 Aritmética
Explicitamente,
[a] = {b ∈ ℤ | b ≡ a (mod m)}
= {b ∈ ℤ | m|(b – a)}
= {b ∈ ℤ | b – a = q ⋅ m, q ∈ ℤ}
= {b ∈ ℤ | b = a + q ⋅ m, q ∈ ℤ}
= {a + q ⋅ m | q ∈ ℤ}
Essa discussão nos conduz à definição a seguir.
Definição
Seja m > 0 um inteiro e a ∈ ℤ , a classe de congruência de a módulo m é o conjunto
[a] = {a + q ⋅ m | m ∈ ℤ }
Em particular, se a, b ∈ ℤ, então
a ≡ b (mod m) ⇔ [a] = [b]
A seguir, ilustramos algumas classes de congruência.
Σxemρlo 4
Se m > 0 é um inteiro, então são exemplos de classes de equivalência:
[0] = {0, ± m, ± 2 ⋅ m, ± 3 ⋅ m, …}
[1] = {1, 1 ± m, 1 ±2 ⋅ m, 1 ± 3 ⋅ m, …}
[2] = {2, 2 ± m, 2 ± 2 ⋅ m, 2 ± 3 ⋅ m, …}
⋮
[m – 1] = {m –1,m –1 ± m, m – 1 ± 2 ⋅ m, …}
Agora,
[m] = {m, m ± m, m ± 2 ⋅ m, …} = [0]
[m + 1] = {m + 1,m + 1 ± m, m + 1 ± 2 ⋅ m, …} = [1]
e assim por diante.
Em particular, existe apenas um número finito de classes de equivalência as-
sociadas à congruência módulo m. Se, por exemplo, m = 6, então as classes de 
congruência associadas são
[0] = {0, 6, –6, 12, –12, …}
[1] = {1, 7, –5, 13, –11, …}
[2] = {2, 8, –4, 14, –10, …}
[3] = {3, 9, –3, 15, –9, …}
[4] = {4, 10, –2, 16, –8, …}
[5] = {5, 11, –1, 17, –7, …}
(Continua)
Congruências 129
Geralmente, para qualquer m fixado haverá apenas um número finito de clas-
ses de inteiros módulo m. Isso é uma consequência do teorema da divisão euclidia-
na conforme explicaremos posteriormente.
Toda relação de equivalência dá origem a um conjunto quociente e, portanto, o 
mesmo acontece com a congruência módulo m.
Definição
Seja m > 0 um inteiro, o conjunto dos inteiros módulo m, denotado ℤm, é o conjunto 
quociente de ℤ módulo a relação ≡.
A seguir, será demonstrado que ℤm sempre possui um número finito de 
elementos.
Teorema
Seja m > 0 um inteiro. Então
ℤm = {[0], [1], …, [m – 1]}
Demonstração
Considere [a] ∈ ℤm. Vamos aplicar o algoritmo da divisão euclidiana com a ∈ ℤ 
sendo o dividendo e m o divisor. Dessa forma,
a = q ⋅ m + r
com 0 ≤ |r| < m. Em particular, m|(a – r), ou seja,
a ≡ r (mod m)
Essa igualdade revela que
[a] = [r]
Resta deduzir que [r] = [x] com x ∈ {0, ..., m}. Mas
|r| < m ⇔ r ∈ {–(m – 1), –(m – 2), …, –1, 0, 1, …, m – 2, m – 1}
Como
[–(m – 1)] = [1]
[–(m – 2)] = [2]
⋮
[-2] = [m – 2]
[-1] = [m – 1]
Decorre a igualdade,
[a] = [r] ∈ {[0], [1], …, [m – 1]}
(Continua)
130 Aritmética
Isso mostra a inclusão ℤm ⊂ {[0], [1], …, [m – 1]}. A inclusão contrária é direta, pois 
[0], [1], …, [m – 1]} são elementos de ℤm. Isso encerra a demonstração.
∎
O conjunto ℤm pode ser dotado de uma adição e de uma multiplicação. A manei-
ra natural de se fazer isso é definindo
[a] + [b] ≔ [a + b]
[a] ⋅ [b] ≔ [a ⋅ b]
em que as operações de adição e multiplicação no lado direito das igualdades ocor-
rem em ℤ.
Naturalmente, é necessário verificar que essas definições não dependem da es-
colha dos representantes, ou seja, vamos demonstrar que + e ⋅ são únicos.
Proposição
Sejam a, b, a’, b’ ∈ ℤ. Se [a] = [a’] e [b] = [b’], então
[a] + [b] = [a’] + [b’]
[a] ⋅ [b] = [a’] ⋅ [b’]
Demonstração
Se [a] = [a’] e [b] = [b’], então
a ≡ a’ (mod m) e b ≡ b’ (mod m)
Mas,
a ≡ a’ (mod m) e b ≡ b’ (mod m) ⇒ a + b ≡ a’ + b’ (mod m)
Agora,
a’ ≡ a’ (mod m) e b ≡ b’ (mod m) ⇒ a’ + b ≡ a’ + b’ (mod m)
Finalmente, pela transitividade da relação de congruência,
a + b ≡ a’ + b (mod m) e a’ + b ≡ a’ + b’ (mod m) ⇒ a + b ≡ a’ + b’ (mod m)
Isso mostra que
[a] + [b] = [a + b] = [a’ + b’] = [a’] + [b’]
De maneira análoga, é possível demonstrar que
[a] ⋅ [b] = [a’] ⋅ [b’]
∎
É bastante comum apresentar as operações de adição e multiplicação módulo 
m por meio de tábuas. Por exemplo, a tábua de adição em ℤ3 pode ser consultada 
na Tabela 1 a seguir.
Demonstre que 
se [a] = [a’] e [b] = [b’], 
então [a] ⋅ [b] = [a’] ⋅ [b’].
Desafio
Congruências 131
Tabela 1
Tábua de adição em ℤ3
+ [0] [1] [2]
[0] [0] [1] [2]
[1] [1] [2] [0]
[2] [2] [0] [1]
Fonte: Elaborada pelo autor.
Note que existe uma simetria em relação à diagonal dessa tabela. Isso ocorre 
pelo fato de a adição ser comutativa. Analogamente, podemos construir a tábula da 
multiplicação em ℤ3 conforme a tabela a seguir.
Tabela 2
Tábua de multiplicação em ℤ3
· [0] [1] [2]
[0] [0] [0] [0]
[1] [0] [1] [2]
[2] [0] [2] [1]
Fonte: Elaborada pelo autor.
Novamente, observe a presença da simetria em relação à diagonal dessa tabela. 
Isso ocorre porque a multiplicação é comutativa.
Uma pergunta natural é: o quão similar a adição em ℤm é da adição de inteiros? 
Vamos demonstramos a seguir que é muito similar.
Teorema
A adição (+) em ℤm tem as seguintes propriedades:
I. Associatividade: [a] + ([b] + [c]) = ([a] + [b]) + [c].
II. Comutatividade: [a] + [b] = [b] + [a].
III. Existência do elemento neutro: [0] é único elemento de ℤm tal que
[a] + [0] = [a]
para todo [a] ∈ ℤm.
IV. Existência do oposto: [–a] é o único elemento de ℤm tal que
[a] + [–a] = [0]
Demonstração
I. De fato, se a, b, c ∈ ℤ, então usando a associatividade da adição em ℤ resulta 
que
[a] + ([b] + [c]) = [a] + [b + c]
= [a + (b + c)]
= [(a + b) + c]
= [a + b] + [c]
= ([a] + [b]) + [c]
Construa as tábuas da 
adição e da multiplicação 
em ℤ5.
Desafio
(Continua)
132 Aritmética
II. Se a, b ∈ ℤ, então usando a comutatividade da adição em ℤ resulta que
[a] + [b] = [a + b] = [b + a] = [b] + [a]
III. Inicialmente, se a ∈ ℤ, então
[a] + [0] = [a + 0] = [a]
Se [x] ∈ ℤm satisfaz
[a] + [x] = [a]
então
[a + x] = [a]
e, portanto,
0 + a ≡ x + a (mod m)
Pela lei do cancelamento,
0 ≡ x (mod m)
Portanto, [x] = [0]. Isso mostra a unicidade.
IV. Se a ∈ ℤ, então
[a] + [–a] = [a + (–a)] = [0]
Agora, suponha que [x] ∈ ℤm satisfaz
[a] + [x] = [0]
Nesse caso,
[a + x] = [0]
e, portanto, a + x ≡ 0 (mod m).
Mas, isso equivale a
x + a ≡ x + (–x) (mod m)
Pela lei do cancelamento, decorre que
a ≡ –x (mod m)
Logo,
–a ≡ x (mod m)
Consequentemente, [x] = [–a]. Isso mostra a unicidade.
∎
Assim como ocorre com a adição em ℤm, a multiplicação tem propriedades aná-
logas às da multiplicação em ℤ, conforme enunciado a seguir.
Teorema
A multiplicação (⋅) em ℤm tem as propriedades a seguir.
(Continua)
Congruências 133
I. Associatividade: [a] ⋅ ([b] ⋅ [c]) = ([a] ⋅ [b]) ⋅ [c].
II. Comutatividade: [a] ⋅ [b] = [b] ⋅ [a].
III. Existência do neutro: [1] é o único elemento de ℤm tal que
[a] ⋅ [1] = [a]
para todo [a] ∈ ℤm.
IV. Distributividade: [a] ⋅ ([b] + [c]) = [a] ⋅ [b] + [a] ⋅ [c].
Demonstração
As demonstrações decorrem imediatamente da definição da multiplicação e das 
respectivas propriedades válidas para a multiplicação em ℤ. Por exemplo:
I. Associatividade:
[a] ⋅ ([b] ⋅ [c]) = [a] ⋅ [b ⋅ c] = [a ⋅ (b ⋅ c)] = [(a ⋅ b) ⋅ c] = [a ⋅ b] ⋅ [c] = ([a] ⋅ [b]) ⋅ [c]
Note que foi utilizado a associatividade da multiplicação em ℤ para escrever a 
igualdade
[a ⋅ (b ⋅ c)] = [(a ⋅ b) ⋅ c]
Comutatividade:
Utilizando a comutatividade da multiplicação em ℤ para escrever
[a ⋅ b] = [b ⋅ a]
Temos que
[a] ⋅ [b] = [a ⋅ b] = [b ⋅ a]
Com o auxílio dessas demonstrações, é possível verificar a existência do neutro 
e a propriedade distributiva da multiplicação (⋅) em ℤm.
∎
A seguir, vamos demonstrar propriedades específicas da multiplicação em ℤm. 
No conjunto dos inteiros, se x, y ∈ ℤ são tais que x ⋅ y = 0, então x = 0 ou y = 0. Em ℤm 
não vale uma propriedade análoga. Para introduzir essa discussão, vamos definir o 
que são divisores do zero em ℤm.
Definição
Um elemento [a] ∈ ℤm não nulo, isto é, [a] ≠ [0], é um divisor do zero se existe [b] ∈ ℤm 
tal que [a] ⋅ [b] = [0].
A seguir, apresentamos uma caracterizaçãopara os divisores do zero em ℤm.
Demonstre as propriedades 
da multiplicação (⋅) em ℤm 
a seguir:
• Existência do neutro: [1] é 
o único elemento de ℤm, 
tal que
[a] ⋅ [1] = [a]
para todo [a] ∈ ℤm.
• Distributividade: [a] ⋅ ([b] + 
[c]) = [a] ⋅ [b] + [a] ⋅ [c].
Desafio
134 Aritmética
Proposição
Um elemento não nulo [a] ∈ ℤm é um divisor do zero se, e somente se,
mdc (a, m) ≠ 1
Demonstração
Suponha que [a] seja um divisor do zero e considere [b] ∈ ℤm não nulo, tal que
[a] ⋅ [b] = [0]
Mas
[a ⋅ b] = [a] ⋅ [b] = [0]
significa que
a ⋅ b ≡ 0 (mod m)
ou seja, m|(a ⋅ b).
Supondo por absurdo que mdc (a, m) = 1, segue que m|b e, portanto, [b] = [0], 
uma contradição.
Por outro lado, suponha que mdc (a, m) = k > 1. Queremos encontrar [b] ≠ [0] em 
ℤm, tal que [a] ⋅ [b] = [0]. Como k divide a e divide m, podemos escrever
a = q1 ⋅ k e m = q2 ⋅ k
sendo 0 < q2 < m, pois k > 1. Em particular, [q1] ≠ [0].
Agora, note que
a ⋅ q2 = q1 ⋅ k ⋅ q2 = q1 ⋅ m
Consequentemente,
[a ⋅ q2] = [q1 ⋅ m] = [0]
Basta considerar b = q2.
∎
O resultado anterior tem uma consequência importante.
Corolário
I. Se p > 1 é um inteiro primo, então ℤp não contém divisores de zero.
II. Se ℤm não contém divisores de zero, então m é um inteiro primo.
(Continua)
Congruências 135
Demonstração
I. Decorre diretamente do teorema anterior.
II. Suponha, por absurdo, que m não seja primo. Então é possível escrever
m = k ⋅ l com 1 < k < m e 1 < l < m
Mas então
[0] = [m] = [k] ⋅ [l]
Porém, [r] ≠ [0] e [s] ≠ [0], uma contradição.
∎
No conjunto dos números inteiros, é válida a propriedade do cancelamento 
para a multiplicação. Entretanto, isso nem sempre é válido para ℤm, conforme de-
monstramos a seguir.
Teorema
Vale a lei do cancelamento para a multiplicação em ℤm se, e somente se, m é 
primo.
Demonstração
Suponha que m seja primo e sejam [a], [b], [c] ∈ ℤm com [a] ≠ [0] tais que
[a] ⋅ [b] = [a] ⋅ [c]
Mas então
[a] ⋅ ([b] – [c]) = [0]
Como [a] ≠ [0] e ℤm não têm divisores de zero, segue que [b] – [c] = [0] e, portanto, 
[b] = [c].
Por outro, basta demonstrar que ℤm não contém divisores do zero. Para tanto, 
sejam [a], [b] ∈ ℤm tais que [a] ⋅ [b] = [0]. Se [a] ≠ [0], então aplicando a lei do cance-
lamento à igualdade
[a] ⋅ [b] = [a] ⋅ [0]
segue que [b] = [0].
∎
Antes de prosseguir a discussão a respeito da multiplicação em ℤm, vamos escla-
recer o que são elementos invertíveis em ℤm na definição a seguir.
Demonstre que se p > 1 
é um inteiro primo, então 
ℤp não contém divisores 
de zero.
Desafio
136 Aritmética
Definição
Dizemos que um elemento [a] ∈ ℤm é invertível se existe [b] ∈ ℤm tal que [a] ⋅ [b] = [1]. 
Nesse caso, dizemos que [b] é um inverso de [a].
Por exemplo, [1] e [–1] são invertíveis em ℤm, pois
[1] ⋅ [1] = [1 ⋅ 1] = [1] e [–1] ⋅ [–1] = [(–1) ⋅ (–1)] = [1]
Contudo, existem outros elementos de ℤm que são invertíveis. Por exemplo, em 
ℤ5 temos
[2] ⋅ [3] = [6] = [1] e [4] ⋅ [4] = [16] = [1]
Entretanto, note que [0] não é invertível em ℤm, qualquer que seja m. De fato, 
para qualquer [a] ∈ ℤm temos [0] ⋅ [a] = [0] ≠ [1].
A seguir, apresentamos uma caracterização dos elementos invertíveis em ℤm.
Teorema
Seja [a] um elemento não nulo em ℤm. Então, [a] é invertível se, e somente se, 
mdc (a, m) = 1.
Demonstração
Suponha que [a] seja invertível e que mdc (a, m) ≠1. Em particular, [a] é divisor 
do zero. Logo, existe [b] ≠ [0] tal que [a] ⋅ [b] = [0]. Nesse caso, [a] não pode ser in-
vertível. De fato, se existisse [c] ∈ ℤm tal que [a] ⋅ [c] = [1], então teríamos que
[b] = [b] ⋅ [1] = [b] ⋅ ([a ⋅ c]) = ([a] ⋅ [b]) ⋅ [c] = [0] ⋅ [c] = [0]
uma contradição.
Por outro lado, se mdc (a, m) = 1, então existem k e l tais que
a ⋅ k + m ⋅ l = 1
Consequentemente,
[1] = [a ⋅ k + m ⋅ l]
= [a ⋅ k] + [m ⋅ l]
= [a] ⋅ [k] + [m] ⋅ [l]
= [a] ⋅ [k] + [0] ⋅ [l]
= [a] ⋅ [k]
Portanto, [k] é o inverso de [a].
∎
Congruências 137
Note que a demonstração do teorema anterior fornece uma maneira explícita 
de obter o inverso de um elemento em ℤm. Por exemplo, para achar o inverso de [4] 
em ℤ37, encontramos a, b ∈ ℤ tais que
a ⋅ 4 + b ⋅ 37 = 1
Nesse caso, a = –9 e b = 1.
Logo, em ℤ37 temos que
[–9] ⋅ [4] = [1]
ou seja, o inverso de [4] é
[–9] = [37 – 9] = [28].
Uma consequência importante e direta do último teorema é apresentada a seguir.
Corolário
Se p > 0 é um inteiro primo, então todo elemento não nulo de ℤp é invertível.
Demonstração
Considere [a] ∈ ℤ p um elemento não nulo. Como ℤp = {[0], [1], ..., [p – 1]} e [a] ≠ 0, 
podemos supor que 1 ≤ a ≤ p – 1. Porém os únicos divisores de p são 1 e p. Isso, jun-
tamente com a desigualdade 1 ≤ a ≤ p – 1, mostra que os únicos divisores comuns 
de a e p é 1 e, portanto, mdc (a, p) = 1. Pelo teorema anterior, [a] é invertível em ℤ p.
∎
Teoria elementar dos nú-
meros, escrito por Edgard 
de Alencar Filho, é um 
excelente livro para quem 
deseja conhecer mais sobre 
inteiros módulo m.
ALENCAR FILHO, E. T. São Paulo: 
Nobel, 1992.
Livro
5.4 O teorema chinês dos restos 
Vídeo Finalmente, vamos apresentar um resultado clássico da teoria de números: o 
teorema chinês dos restos. Esse teorema diz respeito à existência de solução de 
um sistema de congruências lineares. A demonstração é feita construtivamente e, 
portanto, possibilita sua aplicação de maneira concreta.
Teorema chinês dos restos
Sejam n1, n2, …, nk inteiros positivos tais que mdc (ni, nj) = 1, para todo i ≠ j. Então, 
o sistema de congruências lineares
x a
x a
x ak k
�
�
�� �
�
�
�
��
�
�
1 1
2 2
 (mod n )
 (mod n )
 
 (mod n )��
(Continua)
138 Aritmética
admite uma solução simultânea, que é única módulo o inteiro n = n1 ⋅ n2 ⋅ ... ⋅ nk, ou 
seja, se x e x’ são soluções para o sistema, então
x ≡ x’ mod (n1 · n2 · ... · nk)
Demonstração
Seja n = n1 ⋅ n2 ⋅ ... ⋅ nk. Para cada r = 1, 2, …, k definimos
N n
n
n n n n nr
r
r r k� � � � � � � �� �1 2 1 1... ...
Como mdc (ni, nj) = 1, segue que
Nr ⋅ x ≡ 1 (mod nr)
admite uma única solução, digamos xr, já que mdc (Nr, nr) = 1.
A solução para o sistema será
x = a1 N1 x1+ a2 N2 x2 + ⋅⋅⋅ + ak Nk xk
Para verificar isso, primeiro note que
Ni ≡ 0 (mod nr)
para i ≠ j, pois nr|Nr.
Além disso,
x = a1 N1 x1+ a2 N2 x2 + ⋅⋅⋅ +ak Nk xk ≡ ar Nr xr (mod nr)
Como xr cumpre Nr ⋅ xr ≡ 1(mod nr), segue que
x = ar ⋅ 1 = ar (mod nr)
Resta mostrar que a solução é única e módulo n = n1 ⋅ n2 ⋯ nk. Para tanto, seja x’ 
outra solução, ou seja,
x ≡ ar (mod nr) ≡ x’
para r ∈ {1, …, k}. Consequentemente, nr divide x – x’, para todo r. Como mdc 
(ni, nj) = 1, temos, necessariamente, que
n = n1 ⋅ n2 ⋅ … ⋅ nk |x -x’
Portanto, x ≡ x’ (mod n) , o que encerra a demonstração.
∎
A seguir, ilustramos na prática como empregar o teorema chinês dos restos.
Σxemρlo 5
Considere o seguinte sistema de congruências lineares
x
x
x
�
�
�
�
�
�
��
2 3
3
2
 
 5
 7
(mod )
(mod )
(mod )
(Continua)
Congruências 139
A solução x para esse sistema de congruências lineares é um inteiro cuja divisão 
por 3, 5 e 7 tem como resto 2, 3 e 2 respectivamente. A solução será obtida seguin-
do o procedimento descrito no teorema chinês dos restos. Para tanto, sejam
 • a1 = 2;
 • a2 = 3;
 • a3 = 2.
E
 • n1 = 3;
 • n2 = 5;
 • n3 = 7.
De acordo com a demonstração,
n = n1 ⋅ n2 ⋅ n3 = 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 105
enquanto
 • N1 = 5 ⋅ 7 = 35;
 • N2 = 3 ⋅ 7 = 21;
 • N3 = 3 ⋅ 5 = 15.
Com isso, as congruências
N1 ⋅ x1 ≡ 1 (mod 3)
N2 ⋅ x2 ≡ 1 (mod 5)
N3 ⋅ x3 ≡ 1 (mod 7)
são
35 ⋅ x1 ≡ 1 (mod 3)
21 ⋅ x2 ≡ 1 (mod 5)
15 ⋅ x3 ≡ 1 (mod 7)
Essas congruências, por sua vez, equivalem a
2 ⋅ x1 ≡ 2 (mod 3)
x2 ≡ 1 (mod 5)
x3 ≡ 1 (mod 7)
Portanto, a solução do sistema é dada por
x = 2 ⋅ 35 ⋅ 2 + 3 ⋅ 21 ⋅ 1 + 2 ⋅ 15 ⋅ 1 = 233 (mod 105)
A título de curiosidade, o teorema chinês dos restos recebe esse nome pelo fato 
de sua descoberta ser atribuída ao matemático chinês Tzu Suan Ching, aparecendo 
na obra Manual de aritmética do Mestre Sun, livro datado entre 287 d.C. e 473 d.C.
A obra Números: uma 
introdução à matemática, 
escritapor César Polcino 
Milies e Sônia Pitta Coelho, 
traz diversos exemplos 
e aplicações do teorema 
chinês dos restos.
MILIES, F. C. P.; COELHO, S. P. 3. ed. São 
Paulo: USP, 2001.
Livro
140 Aritmética
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A aritmética é uma ferramenta teórica que possibilita a compreensão, principal-
mente, de questões relacionadas aos números naturais e inteiros. Nesse contexto, 
uma variedade de problemas e aplicações podem ser encontrados. Isso ficou eviden-
ciado em nosso estudo. Além de aplicações, existem diversos problemas em aberto 
envolvendo os números inteiros, sobretudo, em relação aos números primos. Pode-
mos destacar, por exemplo, a conjectura de Goldbach e a hipótese de Riemann.
Além disso, há vários outros aspectos da teoria dos números que podem ser in-
vestigados, cujos tópicos abordados neste capítulo podem servir de base. Encare esse 
texto como o ponto de partida para construir outros conhecimentos e aprofundar seu 
entendimento das questões teóricas e práticas relacionadas aos números.
ATIVIDADES
1. Encontre um contraexemplo para mostrar que a recíproca “se an – 1 ≡ 1 (mod n) 
para todo inteiro a, tal que mdc (a, n) = 1, então n é primo” do pequeno teorema de 
Fermat não é válida.
2. Quais são os elementos de ℤ6 que apresentam inverso multiplicativo?
3. Existe solução para a equação [2] · [x] = [1] em ℤ4? Justifique.
REFERÊNCIAS
ALENCAR FILHO, E. Teoria elementar dos números. São Paulo: Nobel, 1992.
HEFEZ. A. Elementos de aritmética. Rio de Janeiro: SBM, 2006.
MILIES, F. C. P. Números: uma introdução à matemática. 3. ed. São Paulo: USP, 2001.
Vídeo
Gabarito 141
GABARITO 
1 Teoria elementar dos conjuntos
1. Qual é a importância do estudo da teoria de conjuntos?
A teoria de conjuntos possibilita o entendimento dos fundamentos da matemática. 
Ela permite desenvolver o formalismo necessário para demonstrar rigorosamente 
os resultados, além de possibilitar a definição de conceitos que antes eram aceitos 
sem esta. Conjuntos permeiam toda a matemática, estando presentes, por exemplo, 
na axiomatização da geometria plana e na construção dos números.
2. Qual é a relevância de se estudar funções?
Funções permitem entender transformações de objetos ou quantidades de um 
conjunto em objetos ou quantidades de outros conjuntos. Além disso, funções 
modelam diversas situações práticas da realidade, como o crescimento de capital 
na poupança, o crescimento populacional, o número de pessoas infectadas por 
uma doença em cada unidade de tempo etc. Além disso, funções possibilitam a 
quantificação de objetos, no sentido de que é possível atribuir números a objetos 
abstratos. Esse tipo de raciocínio encontra-se bastante presente na geometria, por 
exemplo.
3. Considere o conjunto X = {1, 2, 3, 4}. Encontre uma relação de equivalência 
ℛ em X tal que X/ℛ= {{1, 2, 3}, {4}}.
Para construir ℛ, cada elemento dos conjuntos {1, 2, 3} e {4} deve estar relacionado 
com todos os demais do mesmo conjunto. Portanto, basta tomar
ℛ = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 4)}.
2 O conjunto dos números naturais
1. Qual seria a estratégia para demonstrar que todo número natural n ≠ 0 é 
sucessor de outro natural? 
A estratégia é definir o conjunto: 
X = {x ∈ ℕ | x = 0 ou ⱻ y ∈ ℕ, tal que x = s (y)}
Em seguida, demonstrar que 0 ∈ ℕ e que se x ∈ X, então, s(x) ∈ X. Finalmente, aplicar 
o princípio da indução finita.
2. Quais são os ganhos propiciados pela abordagem axiomática do conjunto 
dos números naturais? 
Os axiomas de Peano fornecem um modelo sólido sobre o qual toda a teoria a 
respeito dos números naturais pode ser desenvolvida. Por meio deles, é possível 
demonstrar todas as propriedades que supomos serem válidas com relação 
aos números naturais. Além disso, os axiomas permitem que sejam deduzidos 
resultados sofisticados, os quais podem ser utilizados em todas as áreas da 
matemática, quando necessários. 
142 Aritmética
3. Comente a respeito da importância do princípio da indução finita no 
desenvolvimento da teoria deste capítulo.
O princípio da indução finita permite demonstrar os resultados fundamentais a 
respeito da adição, da multiplicação e da ordenação de números naturais. Todas 
as resoluções que decorrem desses resultados estão indiretamente embasadas 
nesse princípio.
3 O conjunto dos números inteiros
1. Demonstre que se x ≤

 y e z ≥ 0, então x ⋅ z ≤

 y ⋅ z.
Sejam x = [(a, b)], y = [(c, d)] e z = [(e, f)]. Como x ≤ y, vale
a + d ≤ b + c
Agora, como [(0, 0)] = 0 ≤ z = [(e, f)], vale
f = 0 + f ≤ e + 0 = e
Em particular, existe p ∈  tal que
e = f + p
Multiplicando a desigualdade a + d ≤ b + c por p, temos que
a ⋅ p + d ⋅ p ≤ b ⋅ p + c ⋅ p
Adicionando os termos af, bf, cf e df a ambos os membros, obtemos:
af + ap + bf + cf + df + dp ≤ cf + cp + df + af + bf + bp
Isso equivale a
a ⋅ (f + p) + bf + cf + d ⋅ (f + p) ≤ c ⋅ (f + p) + df + af + b ⋅ (f + p)
ou seja,
a ⋅ e + b ⋅ f + c ⋅ f + d ⋅ e ≤ c ⋅ e + d ⋅ f + a ⋅ f + b ⋅ e
Mas isso significa precisamente que
x ⋅ z ≤ y ⋅ z
pois
x ⋅ z = [(a ⋅ e + b ⋅ f, a ⋅ f + b ⋅ e)]
e
y ⋅ z = [(c ⋅ e + d ⋅ f, c ⋅ f + d ⋅ e)]
2. Demonstre que se x ≤

 y e z < 0, então x ⋅ z ≥

 y ⋅ z.
Sejam x = [(a, b)], y = [(c, d)] e z = [(e, f)]. Como x ≤ y, vale
a + d ≤ b + c
Agora, como z = [(e, f)] < [(0, 0)] = 0, vale
e = e + 0 < 0 + f = f
Em particular, existe p ∈  \ {0} tal que
f = e + p
Multiplicando a desigualdade a + d ≤ b + c por p, temos que
Gabarito 143
a ⋅ p + d ⋅ p ≤ b ⋅ p + c ⋅ p
Adicionando os termos ae, be, ce e de a ambos os membros, obtemos:
ce + de + dp + ae + ap + be ≤ ae + be + bp + ce + cp + de
Isso equivale a
ce + d ⋅ (e + p) + a ⋅ (e + p) + be ≤ ae + b ⋅ (e + p) + c ⋅ (e + p) + de
ou seja,
c ⋅ e + d ⋅ f + a ⋅ f + b ⋅ e ≤ a ⋅ e + b ⋅ f + c ⋅ f + d ⋅ e
Mas isso significa precisamente que
y ⋅ z ≤ x ⋅ z
pois
x ⋅ z = [(a ⋅ e + b ⋅ f, a ⋅ f + b ⋅ e)]
e
y ⋅ z = [(c ⋅ e + d ⋅ f, c ⋅ f + d ⋅ e)]
3. Mostre que (–x) · (–y) = x · y.
Escrevendo x = [(a, b)] e y = [(c, d)], temos que
(-x) ⋅ (-y) = [(b, a)] ⋅ [(d, c)]
 = [(b ⋅ d + a ⋅ c, b ⋅ c + a ⋅ d)]
 = [(a ⋅ c + b ⋅ d, a ⋅ d + b ⋅ c)]
= x ⋅ y
4 Aritmética no conjunto dos números naturais e inteiros
1. É verdade que se a e b são números naturais não nulos, mdc (a, b) = mdc (a, 
b – a)? Justifique sua resposta.
Sim. Para verificarmos isso, temos que um divisor de a e b também é um divisor 
de b – a. Agora, como b = a + (b – a), segue que um divisor de a e b – a também é 
um divisor de b. Sendo assim, os pares (a, b) e (a, b – a) têm os mesmos divisores e, 
portanto, o mesmo mdc.
2. Encontre o mdc (600, 252) usando a decomposição em fatores primos.
A decomposição em fatores primos é:
600 = 2³ · 31 · 5²
252 = 2² · 32 · 7
Logo, considerando os fatores comuns, segue que:
mdc (600, 252) = 2² · 31 = 12
3. Se mdc (a, b) = 1, o que podemos afirmar sobre mmc (a, b)?
Podemos afirmar que mmc (a, b) = a · b, pois é válida a relação:
mmc (a, b) = a b
mdc (a, b)
·
Se mdc (a, b) = 1, temos que:
144 Aritmética
mmc (a, b) = a b
1
 = a · b·
5 Congruências
1. Encontre um contraexemplo para mostrar que a recíproca “se an – 1 ≡ 1 (mod 
n) para todo inteiro a, tal que mdc (a, n) = 1, então n é primo” do pequeno 
teorema de Fermat não é válida.
Por exemplo, o inteiro 561é tal que
a560 ≡ 1 (mod 561)
para todo a inteiro, tal que mdc (a, 561) = 1. Contudo, 561 não é primo.
2. Quais são os elementos de ℤ6 que apresentam inverso multiplicativo?
Os únicos elementos de ℤ6 que apresentam inverso multiplicativo são [1] e [5], pois 
a = 1 e a = 5 são os únicos inteiros entre 0 e 5 que satisfazem mdc (a, 6) = 1.
3. Existe solução para a equação [2] · [x] = [1] em ℤ4? Justifique.
Não existe, pois mdc (2, 4) = 2 não divide 1.
DION PASIEVITCH
DION PASIEVITCH
ARITMÉTICA
ISBN 978-65-5821-028-3
9 7 8 6 5 5 8 2 1 0 2 8 3
Código Logístico
I000043
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