Exercícios TEMA 4 Magnetostática MÓDULO 1

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MÃO NA MASSA
1. Uma partícula cósmica, carregada com , e velocidade
, adentra a magnetosfera terrestre em uma região onde o campo
pode ser representado por , em um sistema de representação de
coordenadas xyz, com vetores unitários . Calcule a força magnética que agirá
sobre a partícula carregada no exato instante que adentrar a região indicada no campo
magnético.
q = −5 μC
v = (800 k) km/s
→
ˆ
B = (50 j) μT
→
ˆ
(i,  j,  k)
ˆ ˆ ˆ
Comentário
A alternativa "B" está correta.
Vamos aplicar diretamente a de�nição de força magnética:
F = 0,00002 N  i 
→
ˆA)
F = 0,0002 N  i
→
ˆB)
F = 0,002 N  j
→
ˆC)
F = 0,02 N  j
→
ˆD)
F = 0,2 N  k
→
ˆE)
F = q (v × B)
→
→
→
F = (−5 μC)(800 k  Km /s) × (50 ȷ μT)
→
ˆ
ˆ
F = (−5. 10
−6
C)(800. 10
3
m/s k) × (50. 10
−6
 T  ȷ)
→
ˆ
ˆ
F = −0,0002 N(k × ȷ)
→
ˆ
ˆ
F = 0,0002 N  ı
→
ˆ
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Um �o retilíneo muito longo está alinhado verticalmente ao longo da direção , de um
sistema coordenado . O �o conduz uma corrente elétrica no sentido
positivo de e um campo magnético externo, , foi acionado onde o �o se
encontra. Calcule a força magnética por unidade de comprimento que atuará sobre o �o.
Z
xyz I = 20 A
Z B = (2 T) i
→
ˆ
10 i  N/m
ˆA)
10 j  N/m
ˆB)
40 k  N/m
ˆC)
40 i  N/m
ˆD)
Comentário
A alternativa "E" está correta.
Vamos aplicar diretamente a de�nição de força magnética para correntes elétricas e calcular
a força por comprimento, ou seja :
F
z
−→
F = I l  ×  B
F = (20A)(z k) × (2T  ı)
F = 40 z (k × ı)N
(k × ı) = j
F
z
= 40 j N/m 
→ → →
→
ˆ
ˆ
→
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
−→
ˆ
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Considere o Trabalho Mecânico de uma força magnética que atue sobre uma partícula
de carga , com velocidade , na presença de um campo magnético . Calcule esse
trabalho ao longo de um deslocamento .
Q v(t)
→
B
→
l
→
40 j  N/m
ˆE)
W = 0 A)
Comentário
A alternativa "A" está correta.
W = Q B)
W = Q v  
∣
→
∣
C)
W = Q v B  
∣
→
∣∣
→
∣
D)
W = Q  v B l
∣
→
∣∣
→
∣∣
→
∣
E)
Veja, a seguir, a resolução da questão:
4. Considere uma partícula de massa m, carregada com carga q e velocidade ,
inicialmente em um movimento retilíneo uniforme. Quando a partícula adentra uma
região de campo magnético , de magnitude constante e perpendicular a , sobre ela
passa a agir uma força magnética. Sendo, então, acelerada, a partícula passa a descrever
uma trajetória circular. Calcule o raio dessa trajetória circular, chamada de raio de
Cíclotron.
v
→
B
→
v
→
Comentário
A alternativa "C" está correta.
R =
m  B
q v
→
→
A)
R =
q  v
m B
→
→
B)
R =
m  v
q B
→
→
C)
R =
m q
v B
→
→
D)
R =
B v
q m
→
→
E)
Veja, a seguir, a resolução da questão:
5. (Adaptada de GRIFFITHS, 1999). Um circuito retangular de corrente elétrica,
suportando uma massa , a sustenta verticalmente com um de seus lados em uma
região de campo magnético uniforme , que aponta para dentro da região hachurada da
�gura. Calcule o valor da corrente elétrica , no circuito de largura , de forma que a
força magnética equilibre exatamente a força gravitacional sobre a massa .
m
B
→
I a
m
I =
a g
B m
→
→
A)
I =
ma g
B
→
→
B)
Comentário
A alternativa "D" está correta.
A força magnética que atua sobre a linha de corrente superior e sustenta o sistema deverá
ser igual, em módulo, à força peso que atua sobre a massa, de forma a equilibrar as forças do
sistema físico, como sabemos da Mecânica de Newton. Assim,
F
mag
= I l  ×  B       e        F
grav
=  m g 
−→
→ →
−→
→
F
mag
= I a  B       e         F
grav
=  m  g
∣
−→
∣ ∣
→
∣ ∣
−→
∣ ∣
→
∣
I a  B = m  g
∣
→
∣ ∣
→
∣
I  =
m  g
B a
→
→
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Considere que você tenha sido contratado para projetar um equipamento de detecção
da velocidade de partículas carregadas, com carga elétrica conhecida e velocidadeq
I =
m B
g a
→
→
C)
I =
m g
B a
→
→
D)
I =
ma
B g
→
→
E)
inicial . Um �ltro de velocidades de partículas. O seu detector deverá ser
alinhado com a direção inicial das partículas que adentrarão uma região de campos
elétrico e magnético, perpendiculares entre si, de tal forma que, para seguir a
especi�cação do projeto contratado, e . Considere que você
consiga alterar os valores de e desses campos. Calcule o módulo da velocidade
inicial das partículas como função das magnitudes dos campos elétrico e magnético.
v
0
= v
0
 i
−→
ˆ
E = E
0
 j
→
ˆ
B = B
0
 k
→
ˆ
E
0
B
0
Comentário
A alternativa "D" está correta.
Vamos representar no sistema de coordenadas o campo elétrico, o campo magnético e
a velocidade, como atuam vetorialmente sobre a partícula . Ambos os campos resultarão
em forças sobre a partícula carregada e, assim, acelerações. As forças elétrica e magnética
terão a mesma direção, mas sentidos opostos. A força resultante será a força de Lorentz:
xyz
q
v
0
=
B
0
E
0
A)
v
0
=
E
0
2B
0
B)
v
0
=
2E
0
B
0
C)
v
0
=
E
0
B
0
D)
v
0
= E
0
B
0
E)
TEORIA NA PRÁTICA
Considere uma espira de corrente elétrica na presença de um campo magnético. Como a força magnética atua
sobre uma espira que conduz uma corrente elétrica? No que resulta esse fenômeno?
Objeto com interação.
Para analisar o problema, vamos simpli�car a geometria de uma espira que conduz uma corrente elétrica e
depois vamos generalizar o tratamento. Vamos considerar uma espira retangular, de lados a e b, conduzindo
uma corrente elétrica I. Vejamos na �gura a seguir:
Repare que se a força de Lorentz for nula, a aceleração resultante será zero e a partícula
seguirá com a mesma velocidade inicial em movimento retilíneo uniforme. Essa condição, de
aceleração nula, responde ao problema. Assim, para obter a velocidade inicial das partículas,
basta ajustar as intensidades dos campos de maneira a preservar a velocidade inicial das
partículas. Portanto:
F = { q E +  q (v
0
  ×  B)  }
→ →
−→
→
F = { q E
0
 j + q (v
0
 i  ×  B
0
 k)  }   ⟹  F = { q E
0
 j + q v
0
B
0
 (i  ×  k)  }
→
ˆ ˆ ˆ
→
ˆ ˆ ˆ
F = { q E
0
 j +  q v
0
B
0
 (−j)  }  ⟹   F = q {  E
0
−  v
0
B
0
 } j
→
ˆ ˆ
→
ˆ
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
F = q {  E
0
−  v
0
B
0
 } j = 0       ⟺       {  E
0
−  v
0
B
0
 } = 0      ⟺     v
0
=
→
ˆ
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma corrente elétrica percorre a espira no sentido anti-horário e o campo Magnético atua como representado
na �gura. Perceba que a força Magnética atuará em cada segmento da espira onde há corrente
elétrica, produzindo forças perpendiculares ao campo. A soma resultante de todas essas forças é zero. No
entanto, a atuação do campo Magnético faz a espira alinhar-se com a orientação do campo. Como as forças
nos segmentos laterais, de largura a, formam um binário de forças, inclinado de um ângulo em relação à
orientação do campo, o efeito é o de um torque girando a espira de forma a alinhar-se ao campo magnético.
As forças magnéticas que agem verticalmente nesta espira também são perpendiculares à direção do campo,
formam outro binário de forças, mas estão, as duas, na mesma direção e, assim, cancelam-se mutuamente.
O torque do binário de forças magnéticas que age na espira será:
F = I l  ×  B 
→ → →
θ
Onde é chamado de vetor braço-de-ação do torque, ou braço de alavanca com módulo , sobre um ponto P, e a força
magnética é . O módulo desta força magnética é:
O torque será orientado na direção do eixo de rotação da espira, que, neste caso, faz uma linha imaginária
onde estão representadas as forças verticais e seu módulo será:
O ângulo é de inclinação do campo Magnético com o vetor normal ao plano da espira, , como
representado na �gura.Repare que o produto ab é a área A do plano da espira. Portanto, o torque do campo
magnético sobre uma espira pode ser de�nido como:
Repare que reobtivemos aqui o momento magnético de uma espira de corrente elétrica, que podemos
generalizar para N espiras como:
τ = r  ×  F
→ →
→
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
r
→
b sen(θ)
F = I l  ×  B
→ → →
F = I a  B
∣
→
∣ ∣
→
∣
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
τ = I a  B  b sen(θ) 
∣
→
∣ ∣
→
∣
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
θ B
→
n
ˆ
τ = I A n   ×  B
→
ˆ
→
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde, aqui, A é a área da espira. 
Assim, podemos de�nir o torque (vetor) do campo magnético sobre N espiras de qualquer geometria como:
m
N
= N  I A n
→
ˆ
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
τ
B
=  m
N
  ×  B
→ →
→
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TORQUE DO CAMPO MAGNÉTICO
 VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. Um �o de cobre, condutor de corrente elétrica, está alinhado com a direção e conduz
uma corrente no sentido de positivo. Considere que, sobre um trecho de
x
I = 50 A x
 desse �o retilíneo, atue um campo magnético cuja intensidade é de ,
orientado da esquerda para a direita no plano , fazendo um ângulo de 45º com o sentido
positivo do eixo . Calcule a força magnética que age sobre esse trecho do �o.
0, 50 m 1, 2 T
xy
x
Comentário
Parabéns! A alternativa "D" está correta.
Vamos aplicar a de�nição de força magnética em elementos de corrente elétrica:
F = 21,21 N 
→
A)
F = 30 N
→
B)
F = 30 N k
→
ˆC)
F = 21,21 N k
→
ˆD)
F = 42,42 N k
→
ˆE)
F = Iℓ  ×  B
l = 0 ,50  m ı
B = 1 ,2  T(cos 45
∘
ı + sen 45
∘
ȷ)
→
→
→
→
ˆ
→
ˆ ˆ
F = 50 A ⋅ 0 ,50  m ⋅ 1 ,2  T ⋅ sen  45
∘
(ı  ×  ȷ)
F = 21 ,21  N k
→
ˆ ˆ
→
ˆ
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Considere o enrolamento helicoidal de um �o condutor, chamado de solenoide,
composto por 50 espiras, ao longo de um comprimento e com diâmetro
. O solenoide está apoiado longitudinalmente no primeiro quadrante do plano
 e foi posicionado com ângulo , entre seu eixo e a direção de um campo
 L =  10 cm
d = 2 cm
xy θ = 60
o
magnético uniforme . Se o enrolamento conduz uma corrente elétrica
, com sentido das coordenadas positivas, calcule o vetor torque sobre o
solenoide.
B = 1, 5 i  T
→
ˆ
I = 2 A
Comentário
Parabéns! A alternativa "A" está correta.
Vamos aplicar a de�nição de Torque sobre um conjunto de espiras, a partir do Momento
Magnético. O eixo do solenoide, que pertence ao plano xy, faz um ângulo de com a direção
. O diâmetro do solenoide, em metros, é: . A área de seção reta do solenoide é:
60
o
x d = 0, 02 m
τ = −0,04081  k  N. m
→
ˆA)
τ = 0,04081  i  N . m
→
ˆB)
τ = −0,04712  j  N . m
→
ˆC)
τ = 0,03141  k  N. m
→
ˆD)
τ = −0,04081  N . m
→
E)
.A =  π(
d
2
)
2
B = 1,5 ı T
τ = m
N
  ×  B
m = N  I A n
→
ˆ
→ →
→
→
ˆ
(
0,02
)
2
ˆ