Exercícios TEMA 4 Magnetostática MÓDULO 2

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MÃO NA MASSA
1. Seja uma linha de corrente elétrica, de comprimento in�nito, conduzindo uma
corrente constante . Utilize a Lei de Biot-Savart e calcule, para um ponto localizado
perpendicularmente à linha in�nita e a uma distância , qual é a contribuição ao módulo
do campo magnético devido a um trecho da linha de corrente elétrica delimitada pelos
ângulos e , como na �gura.
I P
y
θ
1
θ
2
B =
k
m
I
y
(sen θ
1
−   sen θ
2
)
∣
→
∣
A)
B =
k
m
I
y
(sen θ
1
+ sen θ
2
)
∣
→
∣
B)
B =
k
m
I
y
(cos θ
1
+ cos θ
2
)
∣
→
∣
C)
B =
k
m
I
y
2
(sen θ
1
+ sen θ
2
)
∣
→
∣
D)
Comentário
A alternativa "B" está correta.
Veja, a seguir, a resolução da questão:
B =
k
m
I
y
2
(cos θ
1
+ cos θ
2
)
∣
→
∣
E)
2. Considere que uma espira condutora, de raio , conduza uma corrente elétrica .
Calcule a o vetor campo magnético, devido à espira, em um ponto , ao longo do seu
eixo axial, a uma distância do centro da espira.
R i
P
x
Comentário
A alternativa "A" está correta.
B(x) =
μ
0
2
iR
2
(x
2
+R
2
)
3/2
ı
→
ˆA)
B(x) =
μ
0
2
i
(x
2
+R
2
)
3/2
ı
→
ˆB)
B(x) =
μ
0
2
R
(x
2
+R
2
)
1/2
→
C)
B(x) =
μ
0
2
iR
(x
2
+R
2
)
 
j
→
ˆD)
B(x) =
μ
0
2
iR
2
(x
2
)
 
ı
→
ˆE)
Veja, a seguir, a resolução da questão:
3. Dois circuitos semicirculares são condutores de corrente elétrica e possuem raios
, com a mesma origem radial. Estão conectados de modo que sua corrente
elétrica, , circule em sentidos contrários em cada circuito, como na �gura. Calcule o
campo magnético resultante no ponto , centro radial dos circuitos. Considere como
sentido positivo da direção perpendicular ao plano da espira o sentido para fora da tela.
Responda qual é o módulo, a direção e o sentido do campo resultante.
R
2
  > R
1
I
P
; direção radial; sentido para cima da tela.
B(P) =
μ
0
4
I( R
1
− R
2
 )
∣
→
∣
A)
; direção radial; sentido para baixo da tela.
B(P) =
μ
0
4
I( 
R
2
R
1
−
R
1
R
2
 )
∣
→
∣
B)
; direção normal; sentido para dentro da tela.
B(P) =
μ
0
4
I( 
1
R
1
−
1
R
2
 )
∣
→
∣
C)
; direção normal; sentido para fora da tela.
B(P) =
μ
0
4
I( 
1
R
1
−
1
R
2
 )
∣
→
∣
D)
; direção normal; sentido para fora da tela.
B(P) =
μ
0
4
I(
1
R
1
+
1
R
2
 )
∣
→
∣
E)
Comentário
A alternativa "D" está correta.
O campo magnético será não nulo somente onde for não nulo. Vamos subdividir o
circuito em quatro regiões de elementos de corrente e calcular, via Lei de Biot-Savart, o
campo em cada região. De A -> B, B -> C, C -> D, D -> A. As regiões D -> A e B -> C, resultarão
em campos magnéticos nulos, pois , já que são paralelos. As regiões A -> B e
C -> D contribuirão ao campo magnético. O circuito de A -> B contribuirá com campo
magnético para dentro da tela, enquanto o circuito de menor raio, de C -> D, contribuirá com
campo magnético para fora da tela, sendo ambas contribuições perpendiculares ao plano da
espira. Assim, já sabemos a direção do campo magnético, que será perpendicular ao plano
da espira. Vamos, então, calcular o módulo do campo e responder, ao �nal, sobre o vetor
campo magnético:
Os dois últimos termos da equação acima são nulos, pois nesses trechos.
dl  ×  r
→
ˆ
dl  ×  r = 0
→
ˆ
B(P) =
μ
0
4π
∫
Idl×r
r
2
→
→
ˆ
B(P) =
μ
0
4π
I{  ∫
B
A
(−)
dl
r
2
+ ∫
D
C
dl
r
2
+ ∫
A
D
dl×r
r
2
+   ∫
C
B
dl×r
r
2
 } 
∣
→
∣
→
ˆ
→
ˆ
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
dl  ×  r = 0
→
ˆ
B(P) =
μ
0
I
4π
{  − ∫
B
A
dl
R
2
2
+ ∫
D
C
dl
R
2
1
 }
∣
→
∣
B(P) =
μ
0
I
4π
{  −
1
 R
2
2
 
2πR
2
2
+
1
R
2
1
 
2πR
1
2
}
 
B(P) =
μ
0
4
I{  −
1
R
2
+
1
R
1
 }
 
B(P) =
μ
0
4
I( 
1
R
1
−
1
R
2
 )
∣
→
∣∣
→
∣∣
→
∣
Percebe-se que , pois na �gura . Portanto, o campo terá o
módulo que calculamos, direção normal ao plano da espira e sentido para fora da tela.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
1
R
1
>
1
R
2
R
1
<  R
2
B(P)
→
4. Seja uma linha de corrente elétrica, de comprimento in�nito, conduzindo uma
corrente elétrica constante, , como na �gura. Utilize a Lei de Ampère e calcule, para um
ponto localizado perpendicularmente à linha in�nita, a uma distância em
coordenada cilíndricas, qual é o vetor campo magnético gerado por essa linha de
corrente, em função da distância radial cilíndrica, como representado na �gura?
Expresse seu resultado em função da constante magnética .
I
P r
k
m
B =  
2 k
m 
I
r
 
→
A)
Comentário
A alternativa "E" está correta.
Este é um típico problema com simetria cilíndrica. A Lei de Ampère necessita do requisito do
alto grau de simetria para o cálculo do campo magnético. O campo magnético terá direção
polar cilíndrica, como vimos na estrutura do campo magnético de uma linha de corrente
elétrica. Vamos traçar uma vista da seção reta transversalmente à linha de corrente, para
visualizar a direção do campo magnético orientado na direção polar cilíndrica . Pense em
um cilindro com três dimensões espaciais: radial, polar e axial, , como na imagem a
seguir:
θ
ˆ
(r,  θ,  z)
B =  
2 k
m 
I
r
2
 r
→
ˆB)
B =  
2 k
m 
I
r
2
 θ
→
ˆC)
B =  
2 k
m 
I
r
 r
→
ˆ
D)
B =  
2 k
m 
I
r
 θ
→
ˆE)
Com o uso da regra da mão direita, percebe-se que o campo atuará na direção polar
cilíndrica. Então, vamos representá-lo, aplicar a Lei de Ampère e obter o campo magnético. 
Vista em corte de seção reta transversalmente à linha de corrente elétrica:
Lei de Ampère:
∮
 
c
B ⋅ dl = 4 π k
m
I       ⟹         
→ →
⎧
⎨
⎩
B = B θ
 
dl = dl θ 
 
I
c
= I
→
∣
→
∣
ˆ
→
ˆ
            ⟹            
∮
 
c
B  dl = 4πk
m
I
 
B
C
∮
 
c
dl = 4πk
m
I
 
B
C
 2π r = 4πk
m
I
∣
→
∣∣
→
∣∣
→
∣
B
c
=
2k
m
I
r
 
 
 
B =
2k
m
I
r
θ
∣
→
∣
→
ˆ
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Sejam dois �os condutores muito longos e paralelos. Ambos conduzem correntes
elétricas de mesma intensidade , no mesmo sentido e separados �sicamente por uma
distância . Calcule a densidade linear de força magnética que atua sobre cada �o e
responda também se essa força é atrativa ou repulsiva.
I
d
Comentário
A alternativa "A" está correta.
; A força é atrativa.
F
l
=
2k
m
I
2
d
→
→
A)
; A força é repulsiva.
F
l
=
2k
m
I
2
d
→
→
B)
; A força é atrativa.
F
l
=
2k
m
I
2
d
→
→
C)
; A força é repulsiva.
F
l
=
2k
m
I
2
d
→
→
D)
; A força é repulsiva.
F
l
=
2k
m
I
2
d
→
→
E)
Para calcular a densidade linear de força que atua sobre os �os muito longos, que tendem à
dimensão in�nita relativamente à distância de afastamento dos �os, d, devemos, primeiro,
calcular o campo gerado por cada linha de corrente. Esses campos atuarão sobre a linha de
corrente elétrica vizinha, por meio de força magnética. As forças magnéticas 
serão atrativas, como na �gura a seguir. A intensidade da força magnética que atua sobre
cada �o longo, dividido pelo comprimento do �o, será a densidade linear de força que
procuramos.
Vamos calcular os campos magnéticos sobre cada �o longo e depois a densidade linear de
força magnética. O cálculo do campo foi executado no exercício anterior, mas vamos repeti-
lo, por consistência e, em seguida, responder ao problema. Cada linha de corrente elétrica
gera um campo magnético:
F = I l  ×  B
→ → →
Lei de Ampère:
Então, de acordo com o diagrama anterior de forças magnéticas sobre os dois �os, sabemos
∮
 
c
B ⋅ dl = 4 π k
m
I       ⟹         
→ →
⎧
⎨
⎩
B = B θ
 
dl = dl θ 
 
I
c
= I
→
∣
→
∣
ˆ
→
ˆ
            ⟹            
∮
 
c
B  dl = 4πk
m
I
 
B
C
∮
 
c
dl = 4πk
m
I
 
B
C
 2π r = 4πk
m
I
∣
→
∣∣
→
∣∣
→
∣
B
c=
2k
m
I
r
 
 
 
B =
2k
m
I
r
θ
∣
→
∣
→
ˆ
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
sua direção e sentido. Precisamos do módulo dessas forças, lembrando que os elementos de
corrente elétrica são perpendiculares aos campos sobre cada linha de corrente:
F = I l  ×  B           ⟹            F = I l  ×  B      ⟹            F = I  l   B
→ → →
∣
→
∣ ∣
→ →
∣ ∣
→
∣ ∣
→
∣ ∣
→
∣
F = l  
2k
m
I
2
d
          ⟹          
F
l
=
2k
m
I
2
d
  
∣
→
∣ ∣
→
∣
→
→
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Um solenoide de comprimento , raio e composto por espiras justapostas, conduz
uma corrente elétrica uniforme . Considere que tenhamos uma situação ideal, ou seja,
que o seu comprimento seja muito maior do que seu raio cilíndrico, e que a densidade
linear de espiras seja su�cientemente alta. Nessas condições, calcule o campo magnético
no interior do solenoide, ao longo de sua direção axial .
l r N
I
z
ˆ
TEORIA NA PRÁTICA
Cabos coaxiais são largamente usados em transmissões de dados e sinais de TV. Seu uso se deve à capacidade
em reduzir sensivelmente ruídos eletromagnéticos externos ao sinal transmitido. Um cabo coaxial é constituído de
uma malha condutora elétrica envolvendo um �lamento condutor elétrico interno. Vamos considerar que a
corrente elétrica tenha o mesmo valor em magnitude nos dois condutores, o que geralmente ocorre, com a
diferença que os sentidos das correntes são opostos em cada condutor. Então, consideremos um cabo coaxial, ao
longo da direção de um sistema coordenado cilíndrico, que conduz uma corrente elétrica uniforme, no sentido
positivo de , pelo condutor interno de raio , e a mesma corrente , no condutor em forma de malha condutora
com raio , no sentido negativo de . Ou seja, . Os condutores são separados mecanicamente por um
material isolante elétrico. Vamos obter o campo magnético entre os dois condutores e o campo magnético do
lado de fora do cabo coaxial.
z I
z R
1
I
R
2
z R
2
> R
1
Objeto com interação.
Para o cálculo do campo magnético, vamos usar a lei de Ampère de forma aplicada.
Vamos fazer uma simpli�cação quanto à constante de permeabilidade magnética dos materiais e considerar
que, neste problema, as permeabilidades magnéticas sejam praticamente iguais a . Assim, a lei de Ampère
será redigida como:
Vejamos a representação dos campos magnéticos na �gura a seguir. Repare que esses campos magnéticos
atuam na direção polar cilíndrica , em sentidos opostos, pois as correntes elétricas são opostas. Vamos
calcular a resultante dos campos magnéticos.
∮
 
c
B ⋅ dl = μ
0
 I
c
→ →
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
μ
∮
 
c
B ⋅ dl = μ I
c
→ →
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
θ
ˆ
B =  μ
0
N  I  z
→
ˆ
A)
B =  μ
0
Nl I  z
→
ˆ
B)
B =  μ
0
N
l
 I  z
→
ˆC)
B =  μ
0
N
l
2
 I  z
→
ˆD)
Comentário
A alternativa "C" está correta.
Vejamos a �gura a seguir. Vamos escolher essa curva de Ampère retangular, com alto grau
de simetria para a aplicação da lei de Ampère, de forma que o campo no interior do solenoide
tenha módulo constante. Vamos ainda considerar, como já discutido antes, que o campo do
lado de fora do solenoide seja pouquíssimo intenso e, em situação ideal, vamos aproximá-lo
a zero nessa região. A corrente elétrica total interna à curva de Ampère será igual à corrente
em uma espira multiplicada pelo número de espiras internas à curva de Ampère. O número
de espiras internas à curva de Ampère é igual ao produto da densidade linear de espiras pela
largura da curva . Então, na região 3, o campo será considerado nulo, pela
baixa intensidade. Nas regiões 2 e 4, o produto escalar no integrando da lei de Ampère, 
, será zero, pois esses vetores são perpendiculares. E a única região onde o campo será não
nulo é a região 1, na curva de Ampère da �gura a seguir. Portanto,
b : I
c
=
N
l
 b I
B ⋅ dl
→ →
A aplicação da regra da Mão-Direita nos mostra o sentido de atuação dos campos magnéticos. Na �gura, as
correntes elétricas foram representadas como diferentes para podermos calcular cada contribuição ao campo
magnético de fontes de correntes elétricas diferentes. Veremos que o campo representado como na �gura,
que seria uma resultante dos campos, a depender das fontes e suas orientações, mas será, neste problema,
igual a zero. O campo magnético nulo no exterior não gera interferências magnéticas na vizinhança. Além
disso, temos o efeito de blindagem eletrostática que também é veri�cado nesse tipo de cabo. No problema em
questão, somente haverá campo não-nulo, na região entre os condutores, descrito pela curva de Ampère .
Externamente o campo será nulo.
Curva : (região )
B
2
−→
C
1
C
1
R
1
< r
1
< R
2
∮
 
c
1
B ⋅ dl = 4π k
m
 I
c
1
        ⟹          
→ →
⎧
⎨
⎩
B = B θ
 
dl = dl θ 
 
I
c
1
= I
1
→
∣
→
∣
ˆ
→
ˆ
B =  
2k
m
I
l
  z
→
ˆE)
Este é o campo magnético interno ao solenoide ideal.
∮
 
c
B ⋅ dl = μ
0
 I
c
       ⟹        B b =  μ
0
 ( 
N
l
 b I )     ⟹       B =  μ
0
 ( 
N
l
 I 
→ →
∣
→
∣ ∣
→
∣
B =  μ
0
 ( 
N
l
 I ) z
→
ˆ
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou seja, há campo magnético descrito pela curva de Ampère com raio 
Curva : (região )
Como as correntes elétricas do problema são iguais, , o campo magnético resultante descrito
pela curva de Ampère , com raio , será nulo. Ou seja, nessa situação ideal, o campo magnético
externo ao cabo será zero, .
            ⟹            
∮
 
c
1
B  dl = 4πk
m
I
1
 
B
c
1
∮
 
c
1
dl = 4πk
m
I
1
 
B
c
1
 2π r
1
= 4πk
m
I
1
∣
→
∣∣
→
∣∣
→
∣
B
c
1
=
2k
m
I
1
r
1
 
 
 
B
1
=
2k
m
I
1
r
1
θ
∣
→
∣
−→
ˆ
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C
1
R
1
< r
1
< R
2
.
C
2
r
2
≥ R
2
∮
 
c
2
B ⋅ dl = 4π k
m
 I
c
2
     ⟹          
→ →
⎧
⎨
⎩
B = B θ
 
dl = dl θ 
 
I
c
2
= (I
1
− I
2
)
→
∣
→
∣
ˆ
→
ˆ
            ⟹            
∮
 
c
2
B  dl = 4πk
m
(I
1
− I
2
 ) 
 
B
c
2
∮
 
c
2
dl = 4πk
m
(I
1
− I
2
 ) 
 
B
c
2
 2π r
2
= 4πk
m
(I
1
− I
2
 )
∣
→
∣∣
→
∣∣
→
∣
B
c
2
=
2k
m
(I
1
−I
2
)
r
2
 
 
 
B
2
=
2k
m
(I
1
−I
2
)
r
2
θ
∣
→
∣
−→
ˆ
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(I
1
− I
2
) = 0 B
2
−→
C
2
r
2
≥ R
2
B
2
= 0
−→
CAMPO MAGNÉTICO DE CABOS COAXIAIS
 VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. Considere um condutor retilíneo que conduz uma corrente elétrica e
apresenta um trecho com formato semicircular de raio , como na �gura.
Calcule o campo magnético no ponto , centro do semicírculo, e responda: Qual é o
módulo, a direção e o sentido do campo magnético no ponto ?
I = 15 A
r = 20 cm
P
P
B = 23,56  × 10
−6
 T  
∣
→
∣
A)
Comentário
Parabéns! A alternativa "B" está correta.
Vamos usar a lei de Biot-Savart. Os elementos de corrente serão tangentes ao trajeto da
corrente elétrica. O vetor unitário é de�nido a partir da fonte do campo, , até o ponto de
medida P. O uso da regra da mão direita, no produto vetorial, nos diz que o campo no ponto P
estará na direção normal ao plano da �gura e no sentido para dentro da tela. Agora, vamos
calcular o módulo do campo:
O raio do semicírculo se mantém inalterado na integração e a integral no mesmo semicírculo
resulta em . Então:
I dl
→
r
ˆ
I dl
→
dB(P) = k
m
I dl × r
r
2
          ⟹          B(P) = ∫ dB(P)
→
→
ˆ
→ →
dB(P) =  k
m
I dl × r
r
2
        ⟹       dB(P) =  k
m
I dl 
r
2
     ⟹      B (P) =
∣
→
∣ ∣
→
ˆ
∣ ∣
→
∣ ∣
→
∣
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
r
∫ dl =
2π r
2
; direção radial; sentidopara dentro da tela.
; direção normal; sentido para dentro da tela.
B = 23, 56  × 10
−6
 T
∣
→
∣
B)
; direção normal; sentido para fora da tela.
B = 47, 12  × 10
−6
 T
∣
→
∣
C)
; direção normal; sentido para dentro da tela.
B = 47, 12  × 10
−6
 T
∣
→
∣
D)
; direção normal; sentido para fora da tela.
B = 23, 56  × 10
−8
 T
∣
→
∣
E)
B(P) =
 k
m
I 
r
2
2π r
2
=  
 π k
m
I 
r
∣
→
∣
B(P) =
π . (10
−7
N
A
2
 ). (15A)
(0,20m)
     ⟹    B(P) = 23,56  ×  10
−6
 T
∣
→
∣ ∣
→
∣
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Um solenoide em anel completo, como o da �gura, é chamado de toroide de seção
transversa circular. Considere que um determinado toroide, como este da �gura,
contenha espiras ao longo de um anel completo. Se o toroide for ligado a uma corrente
elétrica uniforme , um campo magnético não uniforme se estabelecerá em seu interior.
Considere que as espiras tenham dimensões de menor raio igual a e maior raio igual a ,
ou seja, haverá campo magnético não uniforme na região . Calcule o vetor
campo magnético para a distância radial no interior do toroide. Use para a
permeabilidade magnética.
N
I
b c
b ≤ r ≤ c
r μ
0
B =
μ
0
 N  I
2π r
 r
→
ˆA)
B =
μ
0
 N  I
2π 
 θ
→
ˆB)
B =
μ
0
  I
2π r
 θ
→
ˆC)
B =
μ
0
 N  I
2π r
 θ
→
ˆD)
Comentário
Parabéns! A alternativa "D" está correta.
Como temos alto grau de simetria, vamos aplicar a Lei de Ampère em uma curva de Ampère, c,
em anel com simetria polar. O campo magnético terá módulo constante ao longo de c.
∮
 
c
B ⋅ dl = μ
0
 I
c
           ⟹            
→ →
⎧
⎨
⎩
B = B θ
 
dl = dl θ 
 
I
c
= N  I
→
∣
→
∣
ˆ
→
ˆ
B =
μ
0
 N  I
2π r
 
→
E)