Exercícios TEMA 4 Magnetostática MÓDULO 3

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MÃO NA MASSA
1. Consideremos o problema do solenoide ideal. Um componente eletrônico com 
espiras justapostas, grande comprimento , alta densidade de espiras por comprimento e
área de seção reta . Vamos considerar que esse solenoide conduza uma corrente
elétrica uniforme constante e esteja isolado de outras fontes de campos magnéticos.
Calcule o �uxo de campo magnético ao longo do interior deste solenoide.
N
l
A
I
Φ
m
=  0A)
Φ
m
=  μ
0
 
N
l
 IB)
Φ
m
=  μ
0
 
N
2
l
 IC)
Φ
m
=  μ
0
 
N
l
 I AD)
Comentário
A alternativa "E" está correta.
Veja, a seguir, a resolução da questão:
Φ
m
=  μ
0
 
N
2
l
 I AE)
2. Consideremos novamente o problema do solenoide ideal. Um componente eletrônico
com espiras justapostas, grande comprimento , alta densidade de espiras por
comprimento e área de seção reta . Vamos considerar que esse solenoide conduza
uma corrente elétrica uniforme constante e esteja isolado de outros campos
magnéticos. Calcule sua autoindutância .
N l
A
I
L
Comentário
A alternativa "A" está correta.
Neste problema, devemos continuar a partir da questão anterior, quando expressamos o
�uxo de campo magnético a partir do campo magnético de um solenoide ideal nas mesmas
con�gurações. Então, como ,n .  z = 1ˆ ˆ
L  =  μ
0
 
N
2
l
 AA)
L  =  μ
0
 
N
2
l
 I AB)
L  =  μ
0
 
N
l
 IC)
L  =  μ
0
 
N
2
A
 lD)
L  =  μ
0
 NE)
Entretanto, o �uxo de campo magnético do solenoide, isolado, pode ser de�nido em termos
das constantes de indutância e de correntes elétricas como:
Como o solenoide está isolado de outras fontes magnéticas, o segundo termo não se
aplicará:
Portanto,
Note que a autoindutância depende da geometria e con�guração do indutor (solenoide), sua
B =  μ
0
 ( 
N
l
 I ) z
→
ˆ
Φ
m
= ∫ B. n dA
→
ˆ
Φ
m
=  μ
0
 ( 
N
l
 I )A
total
=  μ
0
 ( 
N
l
 I )NA 
Φ
m
=  μ
0
 
N
2
l
 I A
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Φ
m
1
=  L I
1
+ M  I
2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Φ
m
1
=  L I
Φ
m
1
=  L I =  μ
0
 
N
2
l
 I A
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
L  =  μ
0
 
N
2
l
 A
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
área de seção reta , comprimento e o número de espiras .A l N
3. Seja um solenoide de de comprimento, de área e 150 espiras. Calcule
sua autoindutância .
10 cm 3 cm
2
L
Comentário
A alternativa "E" está correta.
Para solucionar o problema, precisamos calcular o campo magnético e o �uxo de campo no
interior de um solenoide. Como já �zemos isso, podemos aproveitar esses resultados. Porém,
é necessário tomar cuidado, pois esses cálculos não devem ser tratados como “fórmulas” a
serem memorizadas. É preciso exercitá-los, para que possamos responder a qualquer
problema. Vejamos:
B =  μ
0
 ( 
N
l
 I ) z
→
ˆ
Φ
m
=  μ
0
 
N
2
l
 I A
L  =  μ
0
 
N
2
l
 A
L  ≅0,848 HA)
L  ≅0,0848 HB)
L  ≅0,00848 HC)
L  ≅0,000848 HD)
L  ≅0,0000848 HE)
Então, como ,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
μ
0
= 4π × 10
−7
 H/m
L  =
(4π×10
−7
 H/m) (150)
2
 (3.10
−4
m
2
)
(10.10
−2
m)
L  ≅0,0000848 H
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Seja um �o condutor disposto verticalmente por onde percorre uma corrente elétrica
 uniforme, no sentido de baixo para cima. Calcule a indutância mútua, , da espira
condutora retangular, lateral ao �o como na �gura, considerando que tanto a superfície
da espira retangular como o �o condutor pertençam ao mesmo plano coordenado. As
dimensões da espira retangular são descritas na �gura.
I M
M =  2 k
m
 c (b − a)A)
M = 2 k
m
 c  ln(
b
a
)
B)
M = 2 k
m
I c  ln(
b
a
)
C)
M =
2k
m
I
r
D)
M = 2 k
m
 c(
b
a
)
E)
Comentário
A alternativa "B" está correta.
Veja, a seguir, a resolução da questão:
5. Dois solenoides, um longo e outro curto, com comprimentos e respectivos
raios , são alinhados no mesmo eixo axial , de maneira que o solenoide curto e
l
2
> l
1
r
2
> r
1
z
de menor raio, , esteja inserido dentro do solenoide longo e de maior raio, . O
solenoide interno, curto e de menor raio, possui espiras, enquanto o solenoide
externo, longo e de maior raio, possui espiras. Considere que os dois solenoides
tenham grande densidade linear de espiras. A �gura a seguir é apenas ilustrativa. Se o
solenoide longo e externo conduz uma corrente elétrica uniforme , calcule a
indutância mútua do solenoide curto, interno, de raio .
r
1
r
2
N
1
N
2
I
2
r
1
Comentário
A alternativa "D" está correta.
Manteremos a mesma estratégia de resolução: calcular o campo magnético, o �uxo de
M =  μ
0
 
(N
2
)
2
l
2
 π (r
2
)
2A)
M =  2 μ
0
 I ln(
r
2
r
1
)B)
M =  μ
0
 
N
2 
N
1
l
2
 I π (r
1
)
2
C)
M =  μ
0
 
N
2 
N
1
l
2
 π (r
1
)
2
D)
M =  μ
0
 
(N
1
)
2
l
1
 π (r
1
)
2E)
campo e depois a indutância. O campo magnético interno de um solenoide ideal já foi
calculado. Vamos utilizar esse resultado. Se houver dúvidas, basta retornar ao exercício 6 da
seção Mão na massa do módulo 2. O cálculo de �uxo de campo deve seguir a de�nição de
�uxo de campo aberto, somando todas as contribuições de área de cada espira. Assim,
como nesse problema, teremos , então .
Eis o campo magnético gerado pelo solenoide longo, externo e de raio , com corrente :
O �uxo de campo magnético no solenoide curto, interno e de raio , com espiras,
considerando que o campo é uniforme, será:
Mas . Então, como ,
Obs.: É muito comum expressar essa resposta em termos do número de enrolamentos por
comprimento linear, . Nesse caso, a resposta seria
N
n = z
ˆ ˆ
n .  z = 1
ˆ ˆ
r
2
I
B
2
=  μ
0
 ( 
N
2
l
2
 I
2
 ) z
−→
ˆ
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
r
1
N
1
B
2
−→
Φ
m
1
= ∫ B
2
. n dA
1
−→
ˆ
Φ
m
1
=  μ
0
 ( 
N
2
l
2
 I
2
 )N
1
A
1
 
Φ
m
1
=  μ
0
 
N
2 
N
1
l
2
 I
2
 A
1
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A
1
= π (r
1
)
2
Φ
m
1
=  M  I
2
M =  μ
0
 
N
2 
N
1
l
2
 π (r
1
)
2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
n = N/l
M =  μ
0
 n
2 
n
1
l
1
 π (r
1
)
2
.
6. Vamos abordar novamente o problema anterior, mas com outro olhar. Então, sejam
dois solenoides, um longo e outro curto, com comprimentos e respectivos raios
, alinhados no mesmo eixo axial , de maneira que o solenoide curto e de menor
raio, , esteja inserido dentro do solenoide longo e de maior raio, . O solenoide
interno, curto e de menor raio, possui espiras, enquanto o solenoide externo, longo e
de maior raio, possui espiras. Considere que os dois solenoides tenham grande
densidade linear de espiras. A �gura a seguir é apenas ilustrativa. Se o solenoide longo e
externo conduz uma corrente elétrica uniforme , e o solenoide curto e interno conduz
uma corrente elétrica , calcule o �uxo de campo magnético total do solenoide curto e
interno, de raio .
l
2
> l
1
r
2
> r
1
z
r
1
r
2
N
1
N
2
I
2
I
1
r
1
Φ
m
1
=  [μ
0
 
(N
1
)
2
l
1
 π (r
1
)
2
] I
1
+ [μ
0
 
N
2 
N
1
l
2
 π (r
1
)
2
] I
2
A)
Φ
m
1
=  [μ
0
 
(N
1
)
2
l
1
 π (r
1
)
2
] I
1
B)
Φ
m
1
=  [μ
0
 
N
2 
N
1
l
2
 π (r
1
)
2
] I
2
C)
Comentário
A alternativa "A" está correta.
O �uxo de campo magnético é composto por duas contribuições, uma autoindutiva e outra
de indutância mútua.
A contribuição de indutância mútua já foi calculada no problema anterior:
Então, vamos obter a autoindutância do solenoide curto e expressar o �uxo total por esse
indutor interno. 
Para o cálculo da autoindutância,reutilizaremos o resultado obtido anteriormente, quando do
cálculo da autoindutância de um solenoide ideal, e adaptaremos a este caso.
No exercício 2, obtivemos: .
Neste problema, vamos adequar os dados:
Φ
m
1
=  L
1
 I
1
+ M  I
2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
M =  μ
0
 
N
2 
N
1
l
2
 π (r
1
)
2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
L  =  μ
0
 
N
2
l
 A
TEORIA NA PRÁTICA
Um toroide de seção transversa retangular ideal contém N espiras justapostas e perpendiculares a um anel
Φ
m
1
=  [μ
0
 
(N
1
)
2
l
1
 π (r
1
)
2
] I
1
+ [μ
0
 
(N
1
)
2
l
1
 π (r
1
)
2
] I
2
D)
Φ
m
1
=  [μ
0
 
N
2 
N
1
l
2
 π (r
1
)
2
] I
1
+ [μ
0
 
N
2 
N
1
l
2
 π (r
1
)
2
] I
2
E)
Mas , então:
Portanto, o �uxo total de campo magnético sobre o solenoide curto será:
E assim,
L
1
  =  μ
0
 
(N
1
)
2
l
1
 A
1
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A
1
= π (r
1
)
2
L
1
  =  μ
0
 
(N
1
)
2
l
1
 π (r
1
)
2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Φ
m
1
=  L
1
 I
1
+ M  I
2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Φ
m
1
=  [μ
0
 
(N
1
)
2
l
1
 π (r
1
)
2
] I
1
+ [μ
0
 
N
2 
N
1
l
2
 π (r
1
)
2
] I
2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
completo. Se esse toroide for ligado a uma corrente elétrica uniforme , um campo magnético não uniforme se
estabelecerá em seu interior. Considere que as espiras tenham as dimensões de um retângulo, como na �gura a
seguir do corte em seção transversa da peça. Ou seja, haverá campo magnético não uniforme em seu interior. A
fotogra�a a seguir ilustra esse componente na realidade. Calcule a autoindutância deste toroide ideal de seção
retangular, como descrito nas duas �guras seguintes. Use para a permeabilidade magnética.
I
L
μ
0
Objeto com interação.
Então, vamos seguir a estratégia de solução já adotada: Calcular o campo magnético, o �uxo de campo
magnético e a Indutância. Como temos alto grau de simetria, vamos aplicar a lei de Ampère em uma curva de
Ampère em anel fechado com simetria polar, como �zemos antes:
Campo magnético para uma curva c interna ao toroide:
Fluxo de Campo magnético:
Como a área de incidência do �uxo de campo magnético, em cada espira do Toroide, será um retângulo de
lados , como ilustrado na ultima �gura das três anteriores, a medida de integração de área desta
região será :
Como os vetores unitários direcionais, (polar cilíndrico) e (normal), da superfície da cada espira do Toroide,
∮
 
c
B ⋅ dl = μ
0
 I
c
           ⟹            
→ →
⎧
⎨
⎩
B = B θ
 
dl = dl θ 
 
I
c
= N  I
→
∣
→
∣
ˆ
→
ˆ
            ⟹          
∮
 
c
1
B  dl = μ
0
 N  I 
 
B
c
∮
 
c
dl = μ
0
 N  I 
 
B
c
 2π r = μ
0
 N I 
∣
→
∣∣
→
∣∣
→
∣
B
c
=
μ
0
 N  I
2π r
 
 
 
B =
μ
0
 N  I
2π r
 θ
∣
→
∣
→
ˆ
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(b − a)  ×  h
dA = h dr
Φ
m
= ∫ B. n dA          ⟹      Φ
m
= ∫
a
B. n  (h dr)
→
ˆ
b
→
ˆ
Φ
m
= ∫
a
μ
0
 N  I
2π r
 θ. n  h dr
b
ˆ
ˆ
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
θ
ˆ
n
ˆ
estão na mesma direção e orientação, temos . Assim,
Portanto,
Esse é o �uxo sobre uma espira do Toroide de seção retangular. O �uxo sobre N espiras do mesmo Toroide de
seção retangular será obtido multiplicando-se esse �uxo por N:
Portanto, a autoindutância L do torioide será:
E, mais uma vez, a indutância resulta ser função da geometria do indutor.  
Obs.: A autoindutância de um Toroide de seção transversa circular tem cálculos mais complexos, mas em
certos limites de suas dimensões e para efeitos práticos, se aproxima do presente cálculo do Toroide de seção
retangular.
θ .  n = 1
ˆ
ˆ
Φ
m
= ∫
a
μ
0
 N  I
2π r
 h dr           ⟹       Φ
m
=
μ
0
 N  I
2π
∫
a
1
 r
 h dr
b b
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Φ
m
=
μ
0
 N  I
2π
h ∫
a
1
 r
 dr        ⟹          Φ
m
=
μ
0
 N  I h 
2π
ln(
b
a
)
b
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Φ
m
N
=
μ
0
 N
2
 I h 
2π
ln(
b
a
)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Φ
m
N
=  L I          ⟹          L =   
μ
0
 N
2
 h 
2π
ln (
b
a
)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CÁLCULO DE AUTOINDUTÂNCIA DE UM TOROIDE
 VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. Calcule a autoindutância por unidade de comprimento de um longo solenoide de raio ,
com espiras por comprimento.
R
n
L
l
=   μ
0
 n
2
 (π R
2
)A)
L
l
=   μ
0
 n (π R
2
)B)
L
l
=   μ
0
 n
2
 (2π R)C)
Comentário
Parabéns! A alternativa "A" está correta.
Vamos considerar que o solenoide esteja alinhado com a direção e está conduzindo uma
corrente elétrica . Vamos, ainda, calcular o campo para uma curva de Ampère retangular,
como �zemos antes, com lado . Como , temos:
Para o cálculo de �uxo de campo devemos aplicar a de�nição de �uxo de campo aberto,
somando todas as contribuições de área de cada espira. Assim, como , então
:
Como , onde é o comprimento do Solenoide, então, .
z
I
b I
c
=  n b I
∮
 
c
B ⋅ dl = μ
0
 I
c
       ⟹        B b =  μ
0
 ( n b I )     ⟹       B =  μ
0
 ( n I ) 
→ →
∣
→
∣ ∣
→
∣
B =  μ
0
 n I  z
→
ˆ
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
N n = z
ˆ ˆ
n .  z = 1
ˆ ˆ
B =  μ
0
 n I  z
→
ˆ
Φ
m
= ∫ B. n dA
→
ˆ
Φ
m
=  μ
0
 n I A
total
=  μ
0
 n I  N  (π R
2
)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
n = N/l l N = n l
L
l
=   μ
0
 n
2
 /(π R
2
)D)
L
l
= 0E)
Mas e como a solicitação foi da autoindutância por unidade de comprimento,
então:
Φ
m
=  μ
0
 n I  (nl)(π R
2
) =  μ
0
 n
2
 I  l (π R
2
)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Φ
m
= L I
L
l
=   μ
0
 n
2
 (π R
2
)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Um campo magnético uniforme de módulo igual a , na direção de positivo,
atravessa uma superfície plana e quadrada de arestas iguais a . A superfície está
inclinada, formando um ângulo de entre a sua normal e a direção do campo. Calcule o
�uxo de campo magnético que atravessa essa superfície.
0, 5 T x
10 cm
30
0
Comentário
Parabéns! A alternativa "E" está correta.
Φ
m
≅43,3 WbA)
Φ
m
≅4,33 WbB)
Φ
m
≅0,433 WbC)
Φ
m
≅0,0433 WbD)
Φ
m
≅0,00433 WbE)
Como o campo é uniforme, , o �uxo se simpli�ca..B = 0, 5 T  i
→
ˆ
Φ
m
= ∫ B. n dA  = (B. n)A = B  A  cos θ
→
ˆ
→
ˆ
∣
→
∣
Φ
m
= 0,5 T  .  (0,1 m)
2
.    cos 30
o
Φ
m
≅0,00433 Wb
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal