Nocoes de Calculo Diferencial Cap 1

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Capítulo 1
Noções de Cálculo Diferencial
1.1 Introdução
Este trabalho é uma pequena introdução ao Cálculo Diferencial e Integral (também conhe-
cido resumidamente por Cálculo), poderosa e indispensável ferramenta matemática para
o estudo da Física, da Engenharia e de outras ciências. Serão apresentadas aqui apenas
algumas noções básicas, úteis para a compreensão dos conceitos físicos que serão vistos
em breve, ficando o seu estudo completo a cargo das disciplinas de Cálculo (I, II e III)
que serão vistas oportunamente. Adotamos aqui uma abordagem mais livre, funcional e
heurística em detrimento ao formalismo e rigor matemáticos.
O Cálculo trabalha com taxas de variação ou velocidades. Ele nasceu, há quase 300
anos, em conseqüência do estudo da gravitação e mostrou-se, posteriormente, indispensável
na formulação das leis físicas e na predição de seus efeitos. Seu sucesso foi tão esmagador
que passou a ser um paradigma científico, adotado como linguagem de variados ramos da
ciência e da engenharia, provendo meios pelos quais as leis físicas podem ser matematica-
mente formuladas e até mesmo descobertas ou compreendidas.
O poder do Cálculo Diferencial e Integral se baseia no poder do infinitamente pequeno.
Por meio dele, problemas complexos podem ser �quebrados� em partes menores, cuja re-
solução e posterior reintegração resultarão na solução buscada para o problema original.
Dito de maneira simples, o Cálculo Diferencial �quebra� um problema complexo em partes
infinitamente pequenas, cuja resolução é quase sempre direta, e em seguida reconstrói o
todo através do Cálculo Integral. Se o Cálculo Diferencial é um �martelo� que quebra um
problema em partes infinitamente pequenas, o Cálculo Integral é a �cola� que une todas
essas infinitas partes, reconstrói o todo e dá a solução do problema original.
Essas partes elementares � matéria prima do Cálculo � são chamadas de infinitésimos,
daí o termo Cálculo Infinitesimal, que também o designa. Abordaremos neste capítulo
apenas o Cálculo Diferencial, ficando o próximo capítulo responsável pelo Cálculo Integral.
Serão vistas algumas aplicações bem interessantes, algumas relacionadas à Física, presentes
na seção 1.6 deste trabalho.
1.2 Um pouco de história
As idéias básicas do Cálculo remontam à Grécia antiga. No quarto século antes de Cristo,
Eudóxio inventou o método da exaustão a fim de obter provas para certos teoremas geomé-
tricos evitando argumentos complexos acerca do infinito. Mais ou menos um século depois,
Arquimedes usou o mesmo método para obter a área de um círculo. O seu método consistia
Noções de Cálculo Diferencial e Integral 2
em inscrever e circunscrever polígonos idênticos, com n lados, ao círculo. Evidentemente,
a sua área deveria ser maior que a do polígono inscrito e menor que a do circunscrito.
Quando o número de lados aumenta muito, isto é, quando n → ∞, todas as áreas devem
convergir para o mesmo valor, fornecendo a área do círculo. Porém, assim como Eudóxio,
Arquimedes também se esquivava o máximo que podia do elusivo infinito.
Tal método persistiu por quase 2000 anos até que Kepler, ao estudar as leis que regem
o movimento dos planetas, percebeu que as áreas das elipses (as suas trajetórias) podiam
ser calculadas como a soma de um grande número de triângulos muito estreitos, com um
dos vértices colocado no Sol (foco da elipse). Trabalhos simultâneos de Fermat, dentre
outros, sobre as seqüências infinitas culminariam na criação do Cálculo por Isaac Newton,
em meados do século XVII.
Na tentativa de compreender as causas dos movimentos dos planetas e a sua �submissão�
ao Sol, Newton percebeu que a matemática disponível na época não era suficiente para
atacar problemas dessa natureza, que interrelacionavam distâncias, direções e velocidades
em um fluxo temporal contínuo. Viu-se, portanto, obrigado a inventar um novo tipo de
cálculo que operasse tais variações, daí surgindo o conceito de derivada � por ele chamada
de fluxion �, baseando-se na noção dos infinitesimais. Por meio deste método original,
foi possível determinar comprimentos de curvas e suas tangentes além de resolver outros
problemas que a geometria clássica sozinha não lograria êxito. Newton também inventou
métodos para a avaliação da integral indefinida, embora não tenha explicitamente definido
a integral naquela época.
Coube a Leibniz o conhecimento e a formulação da integral definida como uma soma
de infinitésimos, tal como conhecemos hoje, dentre outras contribuições importantes.
1.3 A Derivada
Para tornar o nosso estudo mais simples, vamos imaginar uma �máquina� matemática que
tem o poder de transformar uma função real qualquer f(x), colocada à sua entrada, em
outra, representada por f ′(x), que surgirá na sua saída (figura 1).
Figura 1.1: A �máquina�, ou operador, derivada
Essa �máquina� pode ser vista como uma �caixa-preta� que obedece a um conjunto
específico de regras e executa operações cuja finalidade é transformar uma função dada em
outra, dela derivada. Por essa razão, essa nossa �máquina� matemática será chamada de
operador derivada, ou simplesmente derivada. A regra que define o seu funcionamento é
dada pela seguinte expressão:
f ′(x) = lim
∆x→0
f(x+∆x)− f(x)
∆x
(1.1)
Para entender melhor como funciona a regra acima, acompanhe os exemplos seguintes.
Ex.: Calcular a derivada da função f(x) = x0 = 1.
Prof. Paulo Ramos 2008 Noções de Cálculo Diferencial e Integral 3
Sol.: A função dada é uma função constante, isto é, seu valor será sempre igual a 1,
qualquer que seja o valor de x. Como f(x) = f(x+∆x) = 1, vem f(x+∆x)− f(x) = 0.
Logo, f ′(x) = 0.
Ex.: Calcular a derivada da função f(x) = x.
Sol.: Temos agora a função identidade. Se f(x) = x ⇒ f(x + ∆x) = x + ∆x. Logo,
f(x+∆x)− f(x) = x+ (∆x)− x = ∆x. Assim,
f ′(x) = lim
∆x→0
f(x+∆x)− f(x)
∆x
= lim
∆x→0
∆x
∆x
= 1, que é o mesmo que 1 · x0
Ex.: Calcular a derivada da função f(x) = x2.
Sol.: f(x) = x2 ⇒ f(x+∆x) = (x+∆x)2 = x2 + 2x∆x+ (∆x)2 ⇒ f(x+∆x)− f(x) =
2x∆x+ (∆x)2. Assim,
f ′(x) = lim
∆x→0
f(x+∆x)− f(x)
∆x
= lim
∆x→0
2x∆x+ (∆x)2
∆x
= lim
∆x→0
(2x+∆x) = 2x = 2x1
Ex.: Qual a derivada de f(x) = x3?
Sol.: f(x+∆x) = (x+∆x)3 = x3 + 3x2∆x+ 3x(∆x)2 + (∆x)3. Conseqüentemente,
f ′(x) = lim
∆x→0
3x2∆x+ 3x(∆x)2 + (∆x)3
∆x
= lim
∆x→0
(3x2 + 3x∆x+ (∆x)2) = 3x2
Os resultados obtidos acima estão resumidos na tabela 1.1.
função derivada
x0 0
x1 1 · x0
x2 2 · x1
x3 3 · x2
Tabela 1.1: Derivadas de xn para n = 0, 1, 2, 3
Uma observação cuidadosa da tabela acima leva-nos a deduzir uma regra interessante:
se f(x) = xn, com n ∈ <, então f ′(x) = nxn−1.
Ex.: Quais as derivadas de (a) f(x) =
√
x e (b) g(x) = 1/x5?
Sol.: (a)
√
x = x
1
2
. Aplicando a fórmula acima, obtemos: f ′(x) = 12x
1
2
−1 = 12x
− 1
2 =
1/2
√
x. (b) Da mesma forma, g(x) = 1/x5 = x−5 ⇒ g′(x) = −5x−6 = −5/x6.
Utilizando a definição da derivada (eq. 1.1), a tabela 1.2 pode ser construída para uso
imediato (as deduções serão vistas ao longo do curso de Cálculo I). Nela podem ser vistas
duas importantes funções: lnx e ex. O lnx é o logaritmo natural (ou neperiano) de x,
Noções de Cálculo Diferencial e Integral 4
equivalente ao loge x, sendo e = 2, 71828182845904 . . . um número irracional conhecido
como número de Euler. Ele está relacionado ao crescimento dos tumores e das populações,
à desintegração radioativa, às leis que regem o acaso, à forma assumida por fios e cabos
nos postes e às ondas e oscilações em geral, só para citar alguns poucos exemplos.
f(x) f ′(x)
k (const.) 0
xn nxn−1
sinx cosx
cosx − sinx
tanx sec2 x
ex ex
lnx 1/x
Tabela 1.2: Derivadas de algumas funções
1.3.1 Algumas propriedades
Sejam duas funções �bem comportadas�
1
, f(x) e g(x) (representadas mais simplesmente
por fe g). Não é difícil mostrar, partindo-se da definição (1.1), as seguintes propriedades:
I. Soma e subtração de funções:
(f ± g)′ = f ′ ± g′ (1.2)
Ex.: Se f(x) = x2 + x5 − x⇒ f ′(x) = 2x+ 5x4 − 1.
II. Produto de funções:
(f · g)′ = f ′g + fg′ (1.3)
Ex.: Se f(x) = x sinx⇒ f ′(x) = sinx+ x cosx.
III. Produto de uma função por um escalar: Este é um caso particular da propriedade
acima tomando-se, por exemplo, g(x) = k ⇒ g′(x) = 0, sendo k um escalar (número)
qualquer.
(k · f)′ = k · f ′ (1.4)
Ex.: Sendo f(x) = 2x11 e g(x) = 4 tanx, então f ′(x) = 22x10 e g′(x) = 4 sec2 x.
IV. Divisão de funções: Se g(x) 6= 0,(
f
g
)′
=
f ′g − fg′
g2
(1.5)
1
contínuas e deriváveis
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Ex.: Se f(x) = tanx = sinxcosx ⇒ f ′(x) = cosx·cosx−sinx·(− sinx)cos2 x = 1cos2 x = sec2 x.
V. Função composta: Vamos imaginar que a aceleração de um corpo, a, dependa da
sua velocidade, v, que depende, por sua vez, da posição em que ele se encontra, x, função
do tempo t. Matematicamente, a = f(v(x(t))). Como uma grandeza depende da outra,
qualquer variação em uma delas (por exemplo, t) terminará afetando as demais (como a).
Funções que têm essa característica são chamadas de funções compostas, isto é, funções que
dependem de outras funções. Como exemplo, se a(v) = v2, v(x) = sinx e x(t) = 3t + 1,
então a(t) = sin2(3t+1). Surge agora a pergunta: qual a derivada de uma função composta
como essa?
Antes de responder, vamos representar a derivada segundo a notação de Leibniz (que
também foi um dos pais do Cálculo, lembra-se?). Segundo essa notação, a derivada da
função f(x) (ou simplesmente f) em relação à x será escrita como:
f ′(x) =
df
dx
(1.6)
A igualdade acima mostra a equivalência entre as notações de Newton (f ′(x)) e a de
Leibniz (df/dx) para a derivada. Usando esta última e considerando o exemplo anterior,
podemos escrever:
da
dt
=
da
dv
· dv
dx
· dx
dt
(1.7)
pois a depende inicialmente de v (daí o termo da/dv), este de x (dv/dx), que por sua vez
depende de t (dx/dt). Observe também que, em última instância, a depende de t, o que
pode ser visto cortando-se os termos semelhantes nos numeradores e denominadores. A
eq.1.7, que será de suma importância no nosso estudo, é conhecida como a regra da cadeia.
Ex.: Qual a derivada de f(x) = sin2(3t+ 1)?
Sol.: As substituições u = 3t + 1 e v = sinu fornecerão f = v2. Assim, du/dt = 3,
dv/du = cosu e df/dv = 2v. Pela regra da cadeia,
df
dx
=
df
dv
dv
du
du
dx
= 2v · cosu · 3 = 6 cos(3t+ 1) sin(3t+ 1)
Ex.: Calcular a derivada de f(x) = esin(lnx).
Sol.: Temos: u = lnx ⇒ du/dx = 1/x; v = sinu ⇒ dv/du = cosu e f = ev ⇒ df/dv =
ev. Portanto,
df
dx
=
df
dv
dv
du
du
dx
= ev · cosu · 1
x
=
esin(lnx) cos(lnx)
x
1.3.2 O Significado Geométrico da Derivada
Até o momento trabalhamos operacionalmente com a derivada, isto é, partimos de uma
operação pré-definida (eq. 1.1) e obtivemos algumas propriedades e resultados. Todavia,
de onde surgiu aquela expressão? O que ela significa? Quais as suas conseqüências? O que
mais pode ser dela extraído? Veremos, a seguir, as respostas para tais perguntas.
Noções de Cálculo Diferencial e Integral 6
A
B s
t
Dx
a
Df
f x+ x( D )
x+ xDx
xO
y
f x( )
Figura 1.2: Retas tangente e secante à curva y = f(x)
Dada uma curva qualquer, f(x), tomamos dois pontos, A e B, e traçamos a reta secante
s (figura 1.2. Como já é sabido, o coeficiente angular (também chamado de inclinação)
desta reta é dado pela expressão:
as =
∆f
∆x
=
f(x+∆x)− f(x)
∆x
Façamos agora o ponto B se aproximar cada vez mais do ponto A, deslocando-o sobre
a curva dada. Evidentemente, quanto mais próximo B estiver de A, menor será o valor
de ∆x. Dito de outro modo, ∆x → 0 quando B → A. Quando os pontos estiverem
infinitamente próximos, as retas secante e tangente (t) estarão tão próximas que terminarão
confundindo-se. Nesta situação, a inclinação da reta tangente será:
at = lim
B→A
as = lim
∆x→0
f(x+∆x)− f(x)
∆x
que é precisamente a definição matemática da derivada!
Concluímos então que a derivada de uma função em um dado ponto representa, geo-
metricamente, a inclinação da reta tangente à função naquele ponto. Do gráfico mostrado,
é possível observar ainda que f ′(x) = tanα.
Ex.: Qual a equação da reta tangente à curva y = x2 − 1 no ponto x = 1?
Sol.: Como y = x2−1⇒ y′ = 2x. O valor da derivada no ponto x = 1 é y′(1) = 2 ·1 = 2.
Como a equação de uma reta tem a forma y = ax + b, sendo a e b seus coeficientes
angular (inclinação) e linear, respectivamente, e como o ponto (1, 0) também pertence à
reta tangente, fazemos: 0 = 2 · 1 + b⇒ b = −2. Logo, a equação procurada é y = 2x− 2.
Ex.: Que ângulo a tangente à curva y = lnx fará com o eixo das abscissas no ponto x = 4?
Sol.: Vimos que f ′(x) = tanα. Como f ′(x) = 1/x, teremos, para x = 4: tanα = 1/4, ou
seja, α ≈ 14◦.
1.4 Diferencial de uma função
De acordo com a seção anterior, a derivada de uma função f(x) pode ser reescrita como:
f ′(x) = lim
∆x→0
∆f
∆x
=
lim∆f→0∆f
lim∆x→0∆x
Prof. Paulo Ramos 2008 Noções de Cálculo Diferencial e Integral 7
onde ∆f = f(x+∆x)− f(x). Tal expressão representa o valor limite assumido pela razão
∆f/∆x para ∆x cada vez menor. Evidentemente, quando ∆x→ 0 também ∆f → 0, daí
a utilização dos limites no numerador e denominador da fração acima.
Se chamarmos lim∆f→0∆f de df e lim∆x→0∆x de dx, a fórmula acima assume uma
forma mais simples:
f ′(x) =
df
dx
que é, justamente, a representação de Leibniz para a derivada (eq. 1.6). Considere, por-
tanto, a partir de agora que df representa uma variação infinitesimal da grandeza f , isto
é, df é o mesmo que ∆f → 0.
O valor de df pode ser obtido a partir da eq. 1.6:
df = f ′(x)dx (1.8)
O termo infinitesimal df , definido pela equação 1.8, é chamado de diferencial da função
f(x). Como se vê, ele pode ser obtido multiplicando-se a derivada f ′(x) pelo incremento
infinitesimal da variável independente, dx. É através deste cálculo que uma função, ou
grandeza, pode ser quebrada em partes infinitesimais, como havíamos afirmado na intro-
dução deste trabalho. Daí o poder do Cálculo Diferencial em quebrar o todo em pequeninas
partes.
De forma aproximada podemos escrever:
∆f ≈ f ′(x)∆x
Obviamente, quanto menores os valores de ∆f e ∆x, mais a expressão acima se apro-
ximará da igualdade 1.8.
Ex.: (a) Qual a diferencial da função f(x) =
√
x? (b) Para uma variação ∆x = 0, 2 em
torno de x = 4, qual a variação correspondente ∆f? (c) Qual o valor de
√
4, 2?
Sol.: (a) Temos que f(x) =
√
x = x
1
2 ⇒ f ′(x) = 12x−
1
2
. Como df = f ′(x)dx, vem:
df = 12x
1
2dx = dx/2
√
x. (b) Sendo ∆f ≈ f ′(x)∆x, teremos: ∆f ≈ ∆x/2√x. Para
x = 4 ⇒ ∆f ≈ 0, 2/2√4 = 0, 05. Isto significa que um aumento em ∆x de 0,2 unidades
em torno de x = 4 produzirá um aumento na função de 0,05 unidades em torno de y = 2.
(c) Se f(x) =
√
x, então ∆f = f(x+∆x)−f(x) = √x+∆x−√x. Para ∆f = 0, 05, x = 4
e ∆x = 0, 2, encontramos: 0, 05 =
√
4, 2−√4⇒ √4, 2 = 2 + 0, 05 = 2, 05. Uma consulta
à calculadora fornecerá o resultado 2,05. Isto não é coincidência! Quanto menor o valor de
∆x, mais a aproximação dada convergirá para a igualdade 1.8. Um procedimento análogo
pode ser desenvolvido para se obter valores de logaritmos, de funções trigonométricas e de
outras funções transcendentais.
1.5 Máximos e mínimos de funções
Se a derivada representa geometricamente a inclinação da reta tangente a uma curva em
um dado ponto, uma conseqüência imediata surgirá: nos pontos de máximos e mínimos
locais a derivada se anula. De fato, de acordo com a figura 1.3, no ponto x0 a reta tangente
à curva torna-se paralela ao eixo das abscissas, fornecendo α = 0 ⇒ f ′(x0) = tanα = 0.
Essa característicapode ser utilizada no rastreamento de máximos e mínimos locais de
funções.
Noções de Cálculo Diferencial e Integral 8
x
0
x
0
x
máximo
mínimo
x
O O
y y
Figura 1.3: Máximo e mínimo em um ponto x0
Entretanto, como poderemos diferençar um máximo de um mínimo já que ambos pos-
suem derivada igual a zero
2
no ponto em questão? Um estudo mais detalhado (que será
feito na disciplina Cálculo I) mostra que a informação adicional é suprida pela derivada
segunda
3
da função, representada por f ′′(x).
Objetivamente, se x0 é a abscissa de um ponto pertencente à curva f(x):
• existirá um máximo local em x = x0 se f ′(x0) = 0 e f ′′(x0) < 0;
• existirá um mínimo local em x = x0 se f ′(x0) = 0 e f ′′(x0) > 0;
• existirá um ponto de inflexão4 em x = x0 se f ′(x0) = 0 e f ′′(x0) = 0.
Ex.: A função y = ax2 + bx+ c apresenta algum ponto extremo?
Sol.: y′ = 2ax + b = 0 ⇒ x = −b/2a. A derivada segunda é y′′ = 2a. A ocorrência
de máximo ou mínimo dependerá do sinal de a: se a < 0, existirá um máximo em x =
−b/2a, enquanto que a > 0 indicará um mínimo. O valor da função nesse ponto será
y = a(−b/2a)2 + b(−b/2a) + c = −(b2 − 4ac)/4a = −∆/4a.
Ex.: Idem para as funções: (a) y = x3 − 12x+ 1 e (b) y = √x.
Sol.: (a) y′ = 3x2 − 12 e y′′ = 6x. Da primeira condição, 3x2 − 12 = 0 ⇒ x = ±2. Para
x1 = 2, y′(x1) = 12 > 0, correspondendo a um mínimo; para x2 = −2, y′′(x2) = −12 < 0,
indicando um máximo nesse ponto. (b) y =
√
x⇒ y′ = 1/2√x. É impossível encontrar
um valor de x finito que torne y′ = 0. Como a primeira condição não pode ser satisfeita,
deduz-se que a função não apresenta mínimos ou máximos. Ambos os casos são mostrados
na figura 1.4.
1.6 Algumas aplicações
1.6.1 Determinação de comprimento de curvas
Vamos supor que desejássemos calcular o comprimento de uma curva qualquer, represen-
tada matematicamente por uma função f(x). Analiticamente, a depender da complexidade
da curva, a solução poderia ser muito complexa e demorada (na verdade, não sabemos nem
2
Um ponto que anula a derivada primeira é chamado de ponto crítico.
3
Obtida derivando-se a função duas vezes seguidas.
4
Ponto onde a derivada f ′(x) muda de sinal, não se relacionando a máximos ou mínimos.
Prof. Paulo Ramos 2008 Noções de Cálculo Diferencial e Integral 9x
2
-2
y
x
y
Figura 1.4: Gráficos das funções y = x3 − 12x+ 1 (esquerda) e y = √x (direita).
por onde começar. . . ). O caminho mais razoável seria dividirmos a curva em pedaços, men-
surarmos a extensão de cada um deles e somarmos os valores encontrados. Evidentemente,
quanto maior o número de divisões mais retilínea se tornará cada parte da curva. A figura
1.5 ilustra a visão ampliada de um segmento de comprimento infinitesimal ds.
dx
ds
df
y = f (x)
Figura 1.5: Uma seção infinitesimal de uma curva se transforma em um segmento de reta.
Chamando df de dy, teremos, pelo teorema de Pitágoras: ds2 = dx2 + dy2, ou seja,
ds =
√
dx2 + dy2. Isto se transforma em ds = dx
√
1 + (dy/dx)2, caso dx2 seja colocado
em evidência no interior da raiz. Assim sendo, o comprimento elementar da curva será:
ds = dx
√
1 +
(
dy
dx
)2
É claro que a soma de todos os segmentos, ds1+ds2+ds3+· · · , fornecerá o comprimento
s da curva original. A complexidade inicial do problema foi substituída pela simplicidade de
cada uma das partes (reta). Só não sabemos ainda como somar tal quantidade infinitamente
grande de termos tão pequenos. Como veremos depois, essa é a missão do Cálculo Integral.
1.6.2 Cálculo de áreas
O mesmo raciocínio pode ser empregado para áreas e volumes: dividimos a figura dada
em um número infinitamente grande de partes menores e depois somamos todas elas para
obter o todo. Como exemplo, considere o cálculo da área delimitada pela curva y = f(x)
e as retas x = a, x = b e y = 0, mostrada na figura 1.6.
Na tentativa de solucionar o problema, dividimos a região dada em n pequenos re-
tângulos paralelos e verticais, de base ∆x e altura f(x). Para o retângulo destacado,
∆A = f(x)∆x. Como a área da figura é aproximadamente igual à soma das áreas dos n
retângulos mostrados, quando n aumenta, menor se torna o erro e melhor a aproximação.
Se n→∞, então ∆x→ 0 e a área retangular ∆A passa a ser: dA = f(x)dx.
Novamente, caberá ao Cálculo Integral, assunto do próximo capítulo, somar todas as
áreas infinitesimais e fornecer a área procurada.
Noções de Cálculo Diferencial e Integral 10
f x( )
xa b xO
y
Dx
Figura 1.6: A área de uma figura como a soma de várias áreas retangulares.
1.6.3 Um pouco de Cinemática
Considere um corpo que se desloca em uma trajetória retilínea percorrendo uma distância
∆s no tempo ∆t (figura 1.7). Suponha que no instante t ele ocupe a posição s(t) e que no
instante posterior t+∆t a posição seja s(t+∆t). A sua velocidade média, v¯, será:
v¯ =
∆s
∆t
=
s(t+∆t)− s(t)
∆t
t
s t t( +D )
t t+D
s t( )
Ds
Figura 1.7: O movimento do carro não é necessariamente constante no intervalo mostrado.
Sendo uma média, v¯ não corresponde necessariamente à velocidade verdadeira da par-
tícula em todos os instantes
5
. A velocidade média apenas fornece uma indicação da velo-
cidade constante que o corpo deveria possuir para cobrir uma dada distância em um dado
tempo, não fornecendo nenhuma informação adicional sobre o movimento verdadeiro. No
caso da figura 1.7, o carro poderia parar, acelerar ou retroagir em determinados instantes,
o que não é revelado na ilustração. Se o interesse é saber qual a velocidade instantânea
do corpo em um ponto ou instante qualquer do seu movimento, outro critério deve ser
adotado.
Observe que, não importando a complexidade do movimento, o corpo percorre a dis-
tância ∆s no tempo ∆t. O que aconteceria se ∆t→ 0? Obviamente, a distância percorrida
em um intervalo de tempo tão pequeno haveria de ser também ínfima, infinitesimal, ou
seja, ∆s → 0. Em outras palavras, o segmento percorrido pelo corpo se transformaria
em algo tão extraordinariamente pequeno que poderia ser tomado como um ponto, justa-
mente o que desejamos! Em tais condições, a velocidade média se transformaria na própria
velocidade instantânea (representada por v):
v = lim
∆t→0
v¯ = lim
∆t→0
s(t+∆t)− s(t)
∆t
=
ds
dt
(1.9)
Traduzindo: a velocidade instantânea é a derivada temporal da função posição, s(t).
5
Só no caso do M.R.U.
Prof. Paulo Ramos 2008 Noções de Cálculo Diferencial e Integral 11
Raciocínio análogo fornecerá a expressão para a aceleração instantânea:
a = lim
∆t→0
v(t+∆t)− v(t)
∆t
=
dv
dt
(1.10)
Observe que a aceleração é a derivada segunda
6
da posição, isto é, a = d2s/dt2. De
modo geral, a Física tem interesse, no máximo, em derivadas segundas. A razão é simples:
de acordo com a segunda lei de Newton, F = ma. Lembrando que a força é o elemento
primordial da física clássica e das engenharias e que a aceleração é uma derivada de ordem
dois, a explicação torna-se óbvia.
Ex.: A posição de um corpo é dada pela expressão s(t) = 2t3 − 3t2 + 8 (s em metros e
t em segundo). (a) Qual a velocidade e a aceleração do corpo nos instantes 0, 2 s e 4 s?
(b) Em que instante a sua velocidade será máxima (ou mínima)? Qual será o seu valor?
(c) Quando a aceleração se anulará?
Sol.: (a) Como v = ds/dt e a = dv/dt, obtemos: v(t) = 6t2 − 6t e a(t) = 12t− 6. Assim,
v(0) = 0, v(2) = 12m/s e v(4) = 72m/s; a(0) = −6m/s2, a(2) = 18m/s2 e a(4) = 42m/s2.
(b) Os pontos críticos da função v(t) são obtidos fazendo-se v′(t) = 12t−6 = 0⇒ t = 0, 5 s.
Como v′′(t) = 12 > 0, a velocidade assumirá um valor mínimo no instante t = 0, 5 s e esse
valor será igual a −1, 5m/s. (c) a = 0⇒ t = 0, 5 s.
Ex.: Sendo v(t) = 5 + 4t, obter a(t) e s(t), sabendo-se que s(0) = 10m.
Sol.: A aceleração pode ser obtida derivando-se a velocidade: a(t) = dv/dt = 4m/s2.
Para encontramoss(t), deveremos buscar uma função cuja derivada seja ds/dt = 4t + 5.
Obviamente, tal função será do tipo s(t) = αt2 + βt + γ, sendo α, β e γ constantes que
devem ser determinadas. De fato, para tal função:
ds
dt
= 2αt+ β, que deve ser identicamente igual a 4t+ 5.
Da comparação acima, obtemos: 2α = 4⇒ α = 2 e β = 5, o que nos leva ao resultado:
s(t) = 2t2+5t+γ. O problema também nos fornece a condição inicial : s(0) = 10⇒ γ = 10.
Conseqüentemente, s(t) = 2t2 + 5t + 10. Como verificação, observe que ds/dt = 4t + 5,
que é a própria expressão de v(t) dada.
Quando o Cálculo Integral for estudado, veremos que problemas dessa natureza serão
resolvidos de uma forma muito mais natural, fácil e rápida.
1.6.4 Equações diferenciais
Uma equação diferencial é uma equação que envolve derivadas de funções. Um exemplo
foi dado no último problema, quando tínhamos ds/dt = 4t + 5 e obtivemos a solução
s(t) = 2t2 + 5t+ 10.
É através de equações diferenciais que modelos matemáticos de sistemas e processos são
construídos e estudados. Quando Newton enunciou que a força de interação gravitacional
entre duas partículas tinha a forma F = Gm1m2/r2, necessitou do poder do Cálculo (por
ele criado) para dela extrair os movimentos planetários, a periodicidade dos cometas e dos
6
De acordo com a notação de Leibniz, a derivada de ordem n da função f em relação a variável x é
representada por
dnf
dxn
, com n = 1, 2, . . .
Noções de Cálculo Diferencial e Integral 12
eclipses, a queda dos corpos, o ritmo das marés e, em conseqüência, destruir a milenar
estrutura lógica que obscureceu a mente humana por milhares de anos. Tudo isso fluiu da
resolução da equação diferencial correspondente e da consideração de algumas condições
importantes. De modo geral, se soubermos a expressão analítica da força que governa um
fenômeno, saberemos tudo a seu respeito: basta que saibamos resolver a equação diferencial
correspondente.
Não é o nosso objetivo aqui mostrar como equações diferenciais podem ser resolvidas
e detalhar as suas características, assuntos do Cálculo III. Desejamos apenas chamar a
atenção para este importantíssimo tema, alicerce matemático da Física e das engenharias,
que envolve o conceito de derivadas. O assunto é tão amplo e profundo que terminou
dando origem a áreas específicas da ciência, como a teoria do caos e o estudo dos sistemas
dinâmicos complexos.
É interessante lembrar que a descoberta das ondas eletromagnéticas � da qual a luz e
toda a Óptica são meras conseqüências � foi feita teoricamente, através de um conjunto
de equações diferenciais conhecidas como equações de Maxwell, e só depois tiveram a sua
existência comprovada experimentalmente. O mesmo ocorreu com descoberta do planeta
Netuno e com a anti-matéria, só para citar alguns exemplos.
Resolver uma equação diferencial é encontrar uma função que a verifica e se ajusta
às condições impostas pelo problema. Em outros termos: é encontrar uma função que,
derivada e substituída na equação, a transforma em uma identidade. Quando resolvemos
uma equação diferencial, temos acesso ao presente, passado e futuro do sistema estudado.
Informações sobre posições, velocidades, acelerações, trajetórias, energias e detalhes do
sistema são obtidas, desde que ele permaneça inalterado. A questão é: como resolver tais
equações?
Algumas equações diferenciais são tão simples que podem ser resolvidas até �de cabeça�;
outras são tão complexas que só podem ser resolvidas numericamente, isto é, de forma apro-
ximada ou visual utilizando-se um computador, sem solução analítica. Algumas equações
são bem comportadas e confiáveis; outras são extremamente instáveis, imprevisíveis e es-
quivas, como aquelas que governam a previsão do tempo e o comportamento da bolsa. A
riqueza provida pelas equações diferenciais é sedutora e infinda!
Apresentaremos aqui apenas dois exemplos simples, já que ainda não dispomos do
poderoso auxílio do Cálculo Integral nem de um embasamento teórico mais profundo sobre
o assunto. Tampouco é nosso interesse fugir das noções que delineiam, desde o início, o
presente trabalho.
Ex.: O decaimento radioativo é governado pela equação dN(t)/dt = −λN(t), sendo N(t)
o número de átomos da substância radioativa no instante t e λ a constante de decaimento da
substância utilizada. (a) Supondo que no instante t = 0 existam N0 átomos da substância
na amostra, calcular o seu número após um tempo t. (b) A meia-vida do radioisótopo é o
tempo requerido para que metade dos seus átomos desapareçam, ou melhor, se transformem
em um novo elemento. Obter uma expressão para a meia-vida de um radioisótopo qualquer.
(c) Se a meia-vida do
238
U é 4, 5× 109 anos, quanto tempo decorrerá para que apenas 1%
dele esteja presente em uma amostra? Admitir que o sistema é fechado, isto é, não existem
perdas.
Sol.: (a) Observe atentamente a equação que governa o fenômeno:
dN
dt
= −λN
Prof. Paulo Ramos 2008 Noções de Cálculo Diferencial e Integral 13
Vemos que, a menos da constante −λ, a derivada da função é a própria função. Isso
é característico da função et, de acordo com a tabela 1.2 (observe que a nossa variável
independente agora é t e não x). Assim, a função N(t) deve ter uma relação com et.
Podemos generalizar, dizendo que
N(t) = Aekt
sendo A e k constantes a se determinar. Como dN/dt = Ak ekt, vem:
Ak ekt = −λ(Aekt)⇒ k = −λ
ou seja, N(t) = Ae−λt. Como N(t = 0) = N0 ⇒ A = N0, o que nos leva à solução do
problema:
N(t) = N0 e−λt
(b) Seja T1/2 a meia-vida do radioisótopo. Por definição, N(T1/2) = N0/2. Assim,
N0
2
= N0 e−λT1/2 ⇒ e−λT1/2 = 12
A aplicação do logaritmo neperiano aos dois membros da última equação (lembrando que
ln e = 1 e ln 1 = 0) fornecerá: −λT1/2 = − ln 2, ou seja:
T1/2 =
ln 2
λ
≈ 0, 693
λ
(c) Se T1/2 = 4, 5 × 109 anos, então λ = ln 2/(4, 5 × 109) ≈ 1, 54 × 10−10 anos−1. Como
N(t) = 1%N0 = 0, 01N0, vem:
0, 01 = e−λt ⇒ −λt = ln 0, 01 ou seja, t = − ln 0, 01
λ
≈ 2, 99× 1010 anos
que é um tempo maior do que a idade do universo!
Ex.: Resolver a seguinte equação diferencial: y′(x) = 4
√
x, com y(1) = −1/3.
Sol.: Como
√
x = x1/2, vamos buscar uma solução geral do tipo y(x) = Axn+B (observe
que introduzimos a constante B na solução proposta pois a sua derivada é nula e não irá
alterar a equação dada). Temos que y′(x) = Anxn−1 deve ser idêntica a 4x1/2. Assim,
n− 1 = 12 ⇒ n = 32 e An = 4⇒ A = 4n = 83 . Conseqüentemente, y(x) = 83x3/2 +B.
Para determinarmos B, vamos utilizar a condição dada no ponto x = 1: y(1) = 83 +B.
Como y(1) = −13 , vem: B = −3. Logo, a solução do problema será: y(x) = 83x3/2 − 3.
Como exercício, derive esta solução e mostre que ela satisfaz tanto a equação quanto a
condição dadas.
Para terminar esta seção, vamos frisar aqui que existe um método muito mais simples
e direto para a resolução de problemas semelhantes. Novamente, esse método envolve o
Cálculo Integral. Já dá para observar por que razão a integral é tão importante!
1.6.5 Desenvolvimento de uma função em série de potências
É possível desenvolver uma função f(x) em torno do ponto x = 0 como uma soma infinita
de potências de x do tipo:
f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + a3x3 + a4x4 · · · (1.11)
Noções de Cálculo Diferencial e Integral 14
Se cada coeficiente an da soma acima depender da derivada de ordem n (n = 0, 1, 2, 3, 4 . . .)
de f(x), então teremos a representação em série de Mclaurin da função. Para tanto, é ne-
cessário que f(x) seja infinitamente derivável na vizinhança de x = 0.
Veremos agora como os coeficientes podem ser obtidos e se relacionam com as derivadas
de f(x). Derivando a eq. 1.11 sucessivamente, obtemos:
f ′(x) = a1 + 2a2x+ 3a3x2 + 4a4x3 + · · ·
f ′′(x) = 2a2 + 6a3x+ 12a4x2 + · · ·
f ′′′(x) = 6a3 + 24a4x+ · · ·
.
.
.
Vamos calcular agora o valor de cada derivada acima no ponto x = 0:
f ′(0)= a1
f ′′(0) = 2a2 ⇒ a2 = f ′′(0)/2
f ′′′(0) = 6a3 ⇒ a3 = f ′′′(0)/6
.
.
.
Lembrando que 2! = 1 · 2 = 2, 3! = 1 · 2 · 3 = 6 etc. , podemos escrever:
a1 = f ′(0)
a2 = f ′′(0)/2!
a3 = f ′′′(0)/3!
.
.
.
an = f (n)(0)/n!
Substituindo esses valores na equação 1.11 obteremos:
f(x) = f(0) + f ′(0)x+
f ′′(0)
2!
x2 +
f ′′′(0)
3!
x3 + · · ·+ f
(n)(0)
n!
xn + · · · (1.12)
A soma infinita 1.12 é conhecida como o desenvolvimento da função f(x) em série de
Mclaurin. Observe que este desenvolvimento ocorre sempre na vizinhança do ponto x = 0.
Caso desejássemos desenvolver a função em torno de um ponto x = a, sendo a um
número real qualquer, a fórmula 1.12 seria reescrita como (fica como exercício provar isso!):
f(x) = f(a)+f ′(a)(x−a)+f
′′(a)
2!
(x−a)2+f
′′′(a)
3!
(x−a)3+· · ·+f
(n)(a)
n!
(x−a)n+· · · (1.13)
que é o desenvolvimento em série de Taylor da função f(x).
Ex.: Desenvolver em série de Mclaurin as funções: (a) f(x) = sinx; (b) f(x) = cosx
(c) f(x) = ex.
Sol.: (a) Temos que: f(x) = sinx, f ′(x) = cosx, f ′′(x) = − sinx, f ′′′(x) = − cosx, e a
partir desse ponto o processo começa a se repetir. Assim, f(0) = 0, f ′(0) = 1, f ′′(0) = 0,
f ′′′(0) = −1 etc., e a eq. 1.12 se transformará em:
sinx = x− 1
3!
x3 +
1
5!
x5 − 1
7!
x7 + · · ·
Prof. Paulo Ramos 2008 Noções de Cálculo Diferencial e Integral 15
(b) Da mesma forma, f(x) = cosx, f ′(x) = − sinx, f ′′(x) = − cosx, f ′′′(x) = sinx, . . .
Portanto, f(0) = 1, f ′(0) = 0, f ′′(0) = −1, f ′′′(0) = 0, . . . , resultando:
cosx = 1− 1
2!
x2 +
1
4!
x4 − 1
6!
x6 + · · ·
(c) Como já sabemos, f(x) = f ′(x) = f ′′(x) = · · · = ex, o que implica f(0) = f ′(0) =
f ′′(0) = · · · = 1. Logo,
ex = 1 + x+
1
2!
x2 +
1
3!
x3 +
1
4!
x4 + · · ·
Ex.: Provar que eix = cosx+ i sinx, sendo i =
√−1.
Sol.: A substituição de x por ix no desenvolvimento de ex feito acima fornecerá:
eix = 1 + ix+
1
2!
(ix)2 +
1
3!
(ix)3 +
1
4!
(ix)4 + · · ·
lembrando que i2 = −1; i3 = i2 · i = −i; i4 = 1 etc, vem:
eix = 1 + ix− 1
2!
x2 − i 1
3!
x3 +
1
4!
x4 + · · ·
que pode ser reescrita, agrupando-se os termos contendo o fator i:
eix =
(
1− 1
2!
x2 +
1
4!
x4 + · · ·
)
+ i
(
x− 1
3!
x3 +
1
5!
x5 − · · ·
)
= cosx+ i sinx
de acordo com os desenvolvimentos do seno e do cosseno feitos no problema anterior.
7
Ex.: Calcule o valor do seno de 10◦.
Sol.: Na Matemática e na Física é fundamental trabalhar com ângulos em radianos.
Façamos então a conversão: 10◦ = pi/18 rad ≈ 0, 1745 rad, valor que podemos considerar
próximo de zero, permitindo-nos utilizar a série de Mclaurin do sinx:
sin 10◦ = sin
pi
18
≈ 0, 1745− (0, 1745)3/3! ≈ 0, 1745
Note que o termo cúbico é muito menor que o primeiro termo, daí o desprezarmos. Um
rápido exame na calculadora fornecerá sin 10◦ = 0, 1736, mostrando que o simples cálculo
que executamos tem precisão centesimal.
Segue-se, desse raciocínio e das fórmulas anteriores, que para ângulos em radiano muito
pequenos, isto é, para x¿ 1, valem as aproximações:
sinx ≈ x
cosx ≈ 1
tanx ≈ x
O gráfico a seguir mostra a função y = sinx e a curva gerada pelo polinômio de sétimo
grau da série de Mclaurin correspondente. Observe como a concordância entre as curvas é
excelente em torno da origem � característica da série de Mclaurin. Quanto mais longe
da origem, maior será o erro.
7
A identidade eix = cosx+ i sinx é a famosa relação de Euler, de importância fundamental no estudo
das ondas e das vibrações, nos circuitos elétricos e magnéticos, na mecânica quântica, na estatística e em
inúmeras outras áreas da ciência e da tecnologia.
Noções de Cálculo Diferencial e Integral 16
Figura 1.8: Comparação entre as curvas y = sinx e f(x) = x− 13!x3 + 15!x5 − 17!x7
1.7 Exercícios gerais
Probl.1 Obter, a partir da definição (eq. 1.1), a derivada da função f(x) = x− x2.
Probl.2 Calcular, usando as propriedades, as derivadas de: (a) y = 7x6−5x2+√x+12;
(b) y = 3
√
x5; (c) y = x3 lnx; (d) y = 2x4
√
x; (e) y = 4x8 sinx; (f) y = xex lnx;
(g) y = ex/x; (h) y = cotgx = cosx/ sinx; (i) y = cossecx; (j) y = xex/ cosx.
Probl.3 Obter, usando a regra da da cadeia (eq. 1.7), as derivadas de: (a) y = 4e2 sinx;
(b) y = 4e2 sinx
2−2x+11
; (c) y = 5
√
2x3 − 1; (d) y =
√
1 +
√
x; (e) y = (x + sinx)8;
(f) y = (x+ sinx2)8.
Probl.4 Sendo x = t2 − 1 e y = t3 + 3, calcular: (a) dy/dt, (b) dx/dt, (c) dy/dx,
(d) dx/dy.
Probl.5 (a) Calcular os pontos de intersecção das curvas y1 = x3 e y2 = x3 + x2 − x.
(b) Quais as equações das retas tangentes às curvas acima nos pontos calculados em (a)?
(c) Quais os ângulos formados por essas retas e o eixo das abscissas?
Probl.6 Calcular as diferenciais das funções seguintes: (a) y = sec t; (b) y = wew;
(c) y = 5
√
2β3 − 1.
Probl.7 Determinar, caso existam, os pontos críticos das funções seguintes, discriminando
se correspondem a pontos de máximo, mínimo ou inflexão: (a) f(x) = x3−6x2+9x+10;
(b) y = x lnx−x; (c) y = x√4− x2 no intervalo [−1, 2]; (d) y = x−2 sinx, no intervalo
[−pi2 , pi2 ].
Probl.8 (a) Determinar dois números cuja soma seja 100 e o produto seja o maior possível.
(b) Determinar dois números cujo produto seja 100 e a soma seja a maior possível.
Probl.9 Determinar as dimensões do retângulo de maior área possível que pode ser inscrito
na elipse de equação
x2
9 +
y2
4 = 1. Qual é a área desse retângulo?
Prof. Paulo Ramos 2008 Noções de Cálculo Diferencial e Integral 17
Probl.10 Determinar o raio e a altura do cilindro de maior volume possível que pode ser
inscrito em uma esfera de raio R.
Probl.11 Uma escada, apoiada no chão, deve passar sobre uma cerca de 36 dm de altura
até uma parede situada 6 dm depois dessa cerca. Qual é o comprimento da menor escada
que pode ser usada?
Probl.12 A posição (em metros) de um carro, em função do tempo (em segundos), é
dada pela expressão s(t) = t3 − 9t. Calcular: (a) o(s) instante(s) em que o carro passa
pela origem; (b) a velocidade e a aceleração do carro em um instante t qualquer; (c) a
velocidade do carro em t = 2 s e t = 4 s; (d) a velocidade média do carro entre 2 s e 4 s.
Probl.13 Os isótopos radioativos do einstenium têm uma meia-vida de 276 dias. Se 1 g
deste material está presente em um objeto agora, a massa m (em gramas) presente após
t dias é dada por: m(t) =
(
1
2
)t/276
. Qual a velocidade de decaimento do isótopo em:
(a) t = 0? (b) t = 500 dias?
Probl.14 O modelo de Ebbinghaus para a memória humana é p(t) = (100 − α)e−βt + α,
onde p e a percentagem da informação retida após t semanas e as constantes α e β (que
variam de pessoa para pessoa) valem, respectivamente, 20 e 0,5. Com que velocidade a
memória descarta as informações após: (a) uma semana? (b) cinco semanas?
Probl.15 Sabendo-se que a velocidade de uma partícula em um instante t qualquer é dada
por v(t) = 3t3 e que a sua posição no instante t = 1 s é igual a 10m, determinar: (a) a sua
aceleração em um instante qualquer; (b) a sua posição em um instante qualquer; (c) a
sua velocidade média entre 0 e 3 s.
Probl.16 Desenvolver a função f(x) =
√
x em série de Taylor em torno do ponto x = 1.
Probl.17 Desenvolver f(x) = ln (1 + x) em série de Mclaurin.
Probl.18 Idem para a função f(x) = tanx. Mostre, em seguida, que para pequenos valores
de x em radianos (x¿ 1) vale a aproximação: tanx ≈ x.