Teste Pós-Aula 4_ Revisão da tentativa

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10/03/2021 Teste Pós-Aula 4: Revisão da tentativa
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Iniciado em quarta, 10 Mar 2021, 21:57
Estado Finalizada
Concluída em quarta, 10 Mar 2021, 22:23
Tempo
empregado
26 minutos 25 segundos
Avaliar 0,80 de um máximo de 0,80(100%)
Questão 1
Correto
Atingiu 0,05 de 0,05
A equação diferencial do momentum, junto com a da continuidade formam um sistema com a mesma quantidade de equações e incógnitas.
 
 
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso 
A equação diferencial do momentum é dada por
e a da continuidade por
  
As incógnitas são a pressão, as 6 tensões viscosas (lembrando que τ =τ ) e as três componentes da velocidade (u, v e w). Portanto, trata-se
de 10 incógnitas para apenas 4 equações. 
A resposta correta é 'Falso'.
ρ − + + + = ρ( + u + v +w )gx
∂p
∂x
∂τxx
∂x
∂τyx
∂y
∂τzx
∂z
∂u
∂t
∂u
∂x
∂u
∂y
∂u
∂z
ρ − + + + = ρ( + u + v +w )gy
∂p
∂y
∂τxy
∂x
∂τyy
∂y
∂τzy
∂z
∂u
∂t
∂v
∂x
∂v
∂y
∂v
∂z
ρ − + + + = ρ( + u + v +w )gz
∂p
∂z
∂τxz
∂x
∂τyz
∂y
∂τzz
∂z
∂u
∂t
∂w
∂x
∂w
∂y
∂w
∂z
+ + + = 0.
∂ρ
∂t
∂(ρu)
∂x
∂(ρv)
∂y
∂(ρw)
∂z
xy yx

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Questão 2
Correto
Atingiu 0,10 de 0,10
É possível ocorrer um escoamento incompressível cujo campo de escoamento é dado por
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso 
= (2xy− y) + (2xy− + )  .V ⃗  x2 î y2 x2 ĵ
Para ser considerado possível, um escoamento deve, ao menos, satisfazer ao princípio da continuidade
que para um escoamento incompressível se resume a
Num sistema de coordenadas cartesianas e problema bidimensional: 
Para o problema em questão:
, ou seja,
Portanto, o princípio da continuidade não é atendido e, consequentemente, o escoamento é impossível.
 
A resposta correta é 'Falso'.
+ ⋅ (ρ ) = 0 ,
∂ρ
∂t
∇⃗  V ⃗ 
⋅ = 0 .∇⃗  V ⃗ 
+ = 0 .
∂u
∂x
∂v
∂y
u = 2xy− yx2
v = 2xy− +y2 x2
+ = 2y− 2xy+ 2x− 2y ≠ 0 .
∂u
∂x
∂v
∂y

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Questão 3
Correto
Atingiu 0,30 de 0,30
O amortecedor de um automóvel pode ser representado como um cilindro com gás seu interior. O cilindro é fechado em uma de suas
extremidades e possui um pistão móvel na outra, conforme figura abaixo.
Num determinado instante, o comprimento do volume interno é L = 15 cm, a massa específica do gás é ρ = 13 kg/m , assumida como
sempre uniforme, e o cilindro se move com velocidade constante V = 13 m/s, provocando expansão do gás.
Considerando que o gás se move apenas da direção axial e que sua velocidade varia linearmente desde a extremidade fechada, u(x=0)=0, até
o pistão, u(x=L)=V; calcule a taxa de variação da massa específica no referido instante em kg/m /s.
Resposta: -1127 
0 0
3
3
De acordo com a simplificação do problema, há apenas velocidade na direção axial que varia linearmente. Então, a velocidade é
A equação diferencial da continuidade em coordenadas cartesianas é  
que, para o problema em questão, se reduz a 
Como a massa específica é uniforme (constante ao longo do cilindro): 
Substituindo u pela função determinada, anteriormente: 
No instante em questão, ρ=ρ e L=L , então a taxa de variação da massa específica será 
 -13 x 13 / 0.15 = -1127 kg/m /s
 
A resposta correta é: -1127.
u(x) = V
x
L
v = 0
w = 0
+ + + = 0 ,
∂ρ
∂t
∂(ρu)
∂x
∂(ρv)
∂y
∂(ρw)
∂z
= −  .
∂ρ
∂t
∂(ρu)
∂x
= −ρ  .
∂ρ
∂t
∂u
∂x
= −ρ  .
∂ρ
∂t
V
L
0 0
∂ρ/∂t = 3

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Questão 4
Correto
Atingiu 0,35 de 0,35
Sobre uma superfície plana inclinada com ângulo θ em relação à horizontal e largura b (dimensão fora do plano da tela), há uma película de
fluido incompressível (massa específica ) e newtoniano (viscosidade ) com espessura h << b, conforme figura abaixo.
 
Considerando que o escoamento resultante será laminar, obtenha uma expressão para o perfil de distribuição de velocidade na película após
atingido o equilíbrio. Despreze a tensão cisalhante ("atrito") entre a superfície e o ar.
 
Escolha uma opção:
a.
b.
c. 
d.
e.
ρ μ
u(y) = hy
ρgsenθ
μ
u(y) = −
ρg
2μ
y2
u(y) = − + hy
ρgsenθ
2μ
y2
ρgsenθ
μ
u(y) = −
ρgsenθ
2μ
y2
u(y) = − + hy
ρgsenθ
2μ
y2
ρgsenθ
2μ
Sua resposta está correta.
Como se deseja obter a velocidade em cada ponto do domínio (perfil de velocidade), trata-se de um problema típico das equações
diferenciais.
 
O escoamento está em equilíbrio (totalmente desenvolvido) e o fluido é incompressível. Neste caso, a equação da continuidade mostra que
o divergente do campo de velocidade é nulo, ou seja:
Como a largura da placa é muito maior que a espessura do fluido (b >> h), podemos considerar que não há variação ao longo da
dimensão z, fora do plano da tela ( ).
Por se tratar de escoamento laminar e pela geometria do problema (placa plana), deduz-se que não há componente de velocidade na
direção y ( ).
Então, a equação anterior se reduz a
 
 
Por se tratar de fluido newtoniano e incompressível, podemos utilizar a seguinte forma da equação de Navier-Stokes:
∇ ⋅ = 0V ⃗ 
→ + + = 0
∂u
∂x
∂v
∂y
∂w
∂z
∂w/∂z = 0
v = 0 → ∂v/∂y = 0
= 0
∂u
∂x

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 As seguintes considerações podem ser levantadas:
O agente causador do escoamento é a gravidade e o regime laminar associado à geometria do problema nos faz concluir que só haverá
velocidade na direção x (v=w=0), restando apenas a equação de Navier-Stokes em relação ao eixo x.
A gravidade na direção x será a componente .
A pressão ao redor do fluido não varia (atmosférica), portanto não há gradiente de pressão ( ).
Pela eq. da continuidade, vimos que . Então  .
Como b >> h, a dimensão z pode ser desconsiderada, ou seja, . 
O enunciado pede a situação em que o equilíbrio foi alcançado. Portando, o escoamento estará totalmente desenvolvido e será
permanente ( ).
 
Portanto, da equação anterior, resta apenas
Percebendo-se que a velocidade u é função apenas de y, as derivadas parciais podem ser substituídas por ordinárias:
 Integrando:
Integrando-se novamente:
.
 
Condições de contorno:
Pelo enunciado, a tensão cisalhante na superfície (y = h) deve ser desprezada. Pela equação de newton da viscosidade, sabe-se que a
tensão cisalhante (viscosa), em um problema unidimensional, é calculada por . Então, . Ou seja:
 A outra condição de contorno é obtida pelo fato de que a velocidade junto à superfície é nula:
 
Finalmente, a expressão final para distribuição de velocidades será:
ρ − +μ( + + ) = ρ(u + v +w + )gx
∂p
∂x
u∂2
∂x2
u∂2
∂y2
u∂2
∂z2
∂u
∂x
∂u
∂y
∂u
∂z
∂u
∂t
ρ − +μ( + + ) = ρ(u + v +w + )gy
∂p
∂y
v∂2
∂x2
v∂2
∂y2
v∂2
∂z2
∂v
∂x
∂v
∂y
∂v
∂z
∂v
∂t
ρ − +μ( + + ) = ρ(u + v +w + )gz
∂p
∂z
w∂2
∂x2
w∂2
∂y2
w∂2
∂z2
∂w
∂x
∂w
∂y
∂w
∂z
∂w
∂t
gsenθ
∂p/∂x = 0
∂u/∂x = 0 u/∂ = 0∂2 x2
∂u/∂z = u/∂ = 0∂2 z2
∂u/∂t = 0
ρgsenθ+μ = 0
u∂2
∂y2
→ = − = −K
u∂2
∂y2
ρgsenθ
μ
→ = − = −K
ud2
dy2
ρgsenθ
μ
= −Ky+
du
dy
C1
u(y) = −K /2 + y+y2 C1 C2
τ = μdu/dy τ = 0 → du/dy = 0
(y = h) = −Kh+ = 0 → = Kh
du
dy
C1 C1
u(y = 0) = = 0 → = 0C2 C2

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O perfil resultante será:
A resposta correta é: 
.
u(y) = − + hy
ρgsenθ
2μ
y2
ρgsenθ
μ
u(y) = − + hy
ρgsenθ
2μ
y2
ρgsenθ
μ
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
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