Derivadas (Questões Contextualizadas, Problemas de Otimização e Esboço de Gráficos) - Lista 03 resolvida (com gabarito)

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Lista 03 – Derivadas (Questões Contextualizadas, 
Problemas de Otimização e Esboço de Gráfico 
 
QUESTÃO 01 
O custo, em milhões de reais, para uma agência governamental apreender x% de 
uma droga ilegal é 𝐶 =
528
100 – 𝑥
 , 0 ≤ 𝑥 < 100. 
A interpretação do significado do lim
𝑥→100−
𝐶 é: 
 
(A) O custo 𝐶 torna-se cada vez 
maior. 
 
(B) O custo 𝐶 torna-se cada vez 
menor. 
 
(C) O custo 𝐶 tende para o valor 
52800 milhões. 
 
(D) O custo 𝐶 tende a zero. 
 
 
 
QUESTÃO 02 
Um certo sistema dinâmico descreve uma trajetória de acordo com a função 𝑓(𝑥) =
𝑒3𝑥
𝑥
 . Os 
engenheiros responsáveis pela modelagem do sistema estão verificando algumas retas tangentes em 
determinados pontos da função f(x). 
Um ponto de interesse seria o valor de x para que a reta tangente à curva fosse horizontal. Neste 
caso, o ponto procurado é: 
 
(A) 
1
3
 
 
(B) 1 
 
(C) −
1
3
 
 
(D) 3 
 
 
 
 
QUESTÃO 03 
Se uma pedra for lançada para cima no planeta Marte com uma velocidade inicial 𝑉0 medida 
em metros por segundo (𝑚/𝑠), sua altura (𝑒𝑚 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠) após 𝑡 segundos é dada, aproximadamente, 
por 𝑦(𝑡) = 10𝑡 − 1,8𝑡2. 
Nessas condições, assinale a alternativa verdadeira: 
 
(A) a velocidade se anula no instante 𝑡 = 0𝑠; 
 
(B) a velocidade da pedra no instante 𝑡 = 10𝑠 
é de −8𝑚/𝑠; 
 
(C) a aceleração da pedra no instante 𝑡 = 10𝑠 é 
de −1,8𝑚/𝑠2; 
 
(D) a velocidade inicial da pedra 𝑉0 (no instante 
𝑡 = 0𝑠) é de 10𝑚/𝑠 e sua aceleração é 
sempre negativa, para todo 𝑡. 
 
 
 
 
QUESTÃO 04 
A equação de movimento de uma partícula é 𝑠 = 𝑡3 − 3𝑡 em que 𝑠 está em metros e 𝑡 em 
segundos. Podemos afirmar: 
 
(A) A velocidade no instante 𝑡 = 1 é nula. 
 
(B) A aceleração no instante 𝑡 = 1 é 3 
𝑚/𝑠2. 
 
(C) A velocidade no instante 𝑡 = 2 é o 
dobro do instante 𝑡 = 1. 
 
(D) A aceleração no instante 𝑡 = 0 não é 
nula. 
 
 
 
QUESTÃO 05 
Suponha que uma empresa de automóveis estima o custo de produção de 𝑥 portas de um de 
carro utilizando a seguinte função custo: 𝐶(𝑥) = 10000 + 5𝑥 + 0,01𝑥². Sabe-se que o custo 
marginal de produção é determinado derivando-se a função custo. 
Dessa forma, qual será o custo marginal de produção por porta dessa empresa de automóveis 
neste mês, ao produzir suas expectativas que é de 500 portas para esse modelo de carro? 
 
(A) R$55,00 
 
(B) R$15.000,00 
 
(C) R$105,00 
 
(D) R$15,00
 
QUESTÃO 06 
O valor da derivada da função 𝑓(𝑥) = (7 − 𝑥) para 𝑥 = −2 é: 
 
(A) −
1
2
 
 
(B) −
1
6
 
 
(C) 
1
6
 
 
(D) 2 
 
(E) 3 
 
 
QUESTÃO 07 
Uma experiência com um novo tipo de bactéria mostrou que a população de bactérias, após 𝑡 
dias de iniciada a cultura, era dada pela função: 𝐵(𝑡) = 10 +
8𝑡
(𝑡+1)2
 em que 𝐵(𝑡) é a quantidade de 
bactérias em milhares e 𝑡 é o tempo de duração da experiência em dias. 
 
(A) Qual a população de bactérias um dia após iniciada a experiência? 
 
 
(B) O que acontecerá com a população de bactérias ao longo do tempo? (Ou seja, qual é a 
população limite?) 
 
 
QUESTÃO 08 
Uma horta retangular com área de 50𝑚2 deve ser cercada para evitar a presença de animais. 
Se um lado da horta já estiver protegido por um muro, quais devem ser as dimensões que exigirão a 
menor quantidade de cerca? 
 
 
QUESTÃO 09 
Uma empresa de embalagens precisa desenvolver 
uma embalagem para sucos com capacidade para 2 litros no 
formato de um prisma de base quadrada, como na figura: 
Determine, em centímetros e com aproximação de 
duas casas decimais, quais devem ser as dimensões mínimas 
desta caixa. 
 
 
QUESTÃO 10 
Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado pela fórmula 𝐿 = 𝑅 – 𝐶, em que 𝐿 é o lucro 
total, 𝑅 é a receita total e 𝐶 é o custo total da produção. Numa empresa que produziu 𝑥 unidades, 
verificou-se que 𝑅(𝑥) = 6000𝑥 − 𝑥2 e 𝐶(𝑥) = 𝑥2 − 2000𝑥. 
Nessas condições, determine quantas unidades deverão ser produzidas para que essa empresa 
obtenha lucro máximo. 
 
 
 
 
QUESTÃO 11 (ENADE) 
Funções polinomiais possuem diversas 
aplicações práticas na agricultura, nas ciências 
ambientais e ciências econômicas. 
A figura a seguir consiste no gráfico 
representativo da função polinomial 𝑓(𝑥) =
 𝑥3 – 6𝑥2 + 9𝑥 + 4 . 
 
A respeito desta função identifique as 
afirmações corretas. 
 
I. No ponto de abscissa igual a 1, o valor de 𝑓 ’(1) = 0 e 𝑓 ”(1) > 0. 
 
II. No ponto de abscissa igual a 3, o valor de 𝑓 ’(3) = 0 e 𝑓 ”(3) > 0. 
 
III. O ponto (2; 6) é um ponto de inflexão e o valor de 𝑓 ”(2) = 0. 
 
(A) I 
 
(B) I e II 
 
(C) II e III 
 
(D) I e III 
 
 
 
QUESTÃO 12 
Considere a função 𝑓(𝑥) = 5 – 3𝑥2 + 𝑥3. 
Faça um esboço do gráfico dessa função destacando os pontos de máximo, mínimo e inflexão.