3 PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO E ONDAS ESTACIONÁRIAS

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Wolfgang Bauer
Gary D. Westfall
Helio Dias
Wolfgang Bauer
Gary D. Westfall
Helio Dias
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ondas e calor
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Física
para Universitários
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Área do Professor: No site do Grupo A (www.grupoa.com.br), estão 
disponíveis materiais exclusivos para professores: manual de soluções 
(em inglês) e apresentações em PowerPoint® (em português). 
Física para Universitários utiliza discussões de pesquisas contemporâneas 
e de vários tópicos de energia para apresentar a física como uma ciência 
dinâmica e instigante, com um enorme impacto em todas as outras áreas 
da ciência. Além de mostrar o empolgante mundo da física, Bauer, Westfall 
& Dias utilizam um método inédito de resolução de problemas com sete 
passos para propiciar aos estudantes uma das grandes habilidades que 
eles devem desenvolver em um curso de física: a capacidade de resolver 
problemas e pensar logicamente sobre uma situação.
O terceiro livro de Bauer, Westfall & Dias descreve e explica cuidadosamente inúmeros tópicos, 
entre eles: uma visão geral das características físicas de sólidos, líquidos e gases, a natureza do 
movimento oscilatório, propriedades e o comportamento de ondas, ondas sonoras, conceitos 
de temperatura, calor e entropia. Discute-se também a natureza do calor e os mecanismos de 
transferência de energia térmica, a física dos gases, máquinas térmicas e a teoria de relatividade 
especial. Os autores apresentam o conteúdo conectando-o intimamente com os maiores avanços 
da física atual. O texto é acompanhado de inúmeras imagens, exercícios e exemplos que envolvem o 
estudante universitário com as maravilhas da ciência, da tecnologia e da inovação.
A Bookman Editora é parte do Grupo A, uma empresa 
que engloba diversos selos editoriais e várias 
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científico e profissional, disponibilizando-o como, 
onde e quando você precisar. O Grupo A publica com 
exclusividade obras com o selo McGraw-Hill em 
língua portuguesa.
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FÍSICA 
BAUER, WESTFALL & DIAS
Física para Universitários: Mecânica
Física para Universitários: Relatividade, 
Oscilações, Ondas e Calor
Física para Universitários: Eletricidade 
e Magnetismo
Física para Universitários: Ótica e 
Física Moderna
 
COMINS & KAUFMANN III
Descobrindo o Universo, 8.ed.
 
FEYNMAN, LEIGHTON & SANDS
Lições de Física de Feynman: A Edição 
definitiva
 
HEWITT, P.G.
Física Conceitual, 11.ed.
HEWITT, P.G.
Fundamentos de Física Conceitual
 
KNIGHT, R.D.
Física: Uma Abordagem Estratégica, 
2.ed.
Vol. 1 – Mecânica Newtoniana, 
Gravitação, Oscilações e Ondas
Vol. 2 – Termodinâmica e Óptica
Vol. 3 – Eletricidade e Magnetismo
Vol. 4 – Relatividade e Física Quântica
 
PRESS, TEUKOLSKY & COLS.
Métodos Numéricos Aplicados: 
Rotinas em C++, 3.ed.
 
*SAKURAI & NAPOLITANO
Mecânica Quântica Moderna
 *Livros em produção no momento de impressão desta obra, mas que muito em breve estarão à disposição dos leitores em língua portuguesa.
RELATIVIDADE,
OSCILAÇÕES, 
ONDAS 
E CALOR
FÍSICA
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38964_Fisica_Universitarios_Relatividade.indd 1 09/08/12 11:39
B344f Bauer, Wolfgang
 Física para universitários [recurso eletrônico] :
 relatividade, oscilações, ondas e calor / Wolfgang Bauer,
 Gary D. Westfall, Helio Dias ; tradução: Manuel Almeida
 Andrade Neto, Trieste dos Santos Freire Ricci, Iuri Duquia
 Abreu ; revisão técnica: Helio Dias. – Dados eletrônicos. –
 Porto Alegre : AMGH, 2013.
 Editado também como livro impresso em 2013.
 ISBN 978-85-8055-160-0
 1. Física. 2. Princípios da física. 3. Relatividade. 4. Oscila-
 ções. 5. Ondas. 6. Calor. I. Westfall, Gary D. II. Dias, Helio.
 III. Título. 
CDU 530.1
Catalogação na publicação: Ana Paula M. Magnus – CRB 10/2052
98 Física para Universitários – Relatividade, Oscilações, Ondas e Calor
3.7 Princípio da superposição e interferência
Equações de onda como a equação 3.9 possuem uma propriedade muito importante: elas são 
lineares. O que isso significa? Significa que, se você encontrar duas soluções diferentes, y1(x,t) e 
y2(x,t), para uma equação diferencial, então qualquer combinação linear dessas duas soluções, 
tal como
 y(x, t) = ay1(x, t) + by2(x, t) (3.23)
onde a e b são consta n tes arbitrárias, também será uma solução para a mesma equação dife-
rencial. Você pode comprovar esta propriedade linear na equação diferencial, pois ela contém 
a função y(x, t) elevada apenas à primeira potência [não existem termos contendo y(x, t)2 ou 
 ou qualquer outra potência da função].
Em termos físicos, a propriedade linear significa que soluções de onda podem ser adicio-
nadas, subtraídas ou combinadas segundo qualquer outra combinação linear, e o resultado 
será novamente uma solução de onda. Essa propriedade física constitui a base matemática do 
princípio da superposição:
Duas ou mais soluções de onda podem ser adicionadas, resultando outra solução de onda.
 y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) (3.24)
A equação 3.24 é um caso especial da equação 3.23, com a = b = 1. Vamos, agora, examinar 
um exemplo da superposição de dois pulsos de onda com amplitudes e velocidades dife-
rentes.
S O L U Ç ÃO A LT E R N AT I VA
Para avaliar nossa resposta, vamos considerar que a energia da onda corresponda à energia de um 
objeto cuja massa seja igual à massa de uma parte da corda de comprimento igual a um compri-
mento de onda. Esse objeto se move no sentido negativo de x com a mesma velocidade da onda. 
A potência, então, é a energia transmitida durante um período. A partir dos valores de � e de �, 
obtidos da função de onda fornecida, obtemos o comprimento de onda e o período:
Podemos escrever a energia cinética na forma
A potência, portanto, é
O resultado é semelhante ao nosso resultado para a potência transmitida ao longo da corda. As-
sim, nossa resposta perece plausível.
EXEMPLO 3.3 Superposição de pulsos de onda
Dois pulsos de onda, e , onde A2 = 1,7 A1 e v1 = 1,6 v2, en-
contram-se a determinada distância um do outro. Por causa de sua forma matemática particular, 
os pulsos são chamados de pacotes de onda gaussianos. Consideraremos que as duas ondas sejam 
do mesmo tipo, como, por exemplo, ondas em uma corda.
PROBLEMA
Qual será a amplitude da onda resultante quando for máxima a superposição dos dois pulsos, e 
em que instante isso ocorrerá?
_Livro_Bauer_Vol_2.indb 98_Livro_Bauer_Vol_2.indb 98 09/08/12 11:1209/08/12 11:12
Capítulo 3 Ondas 99
O que é essencial lembrar acerca do princípio da superposição é que as ondas podem se 
interpenetrar sem alterar suas frequência, amplitude, velocidade e direção de movimento. A 
tecnologia das comunicações modernas é absolutamente dependente deste fato. Em qualquer 
cidade, diversas estações de rádio e televisão comerciais emitem seus sinais em frequências di-
ferentes; existem também as transmissões de celulares e transmissões de TV via satélite, assim 
como ondas luminosas e ondas sonoras. Todas essas ondas devem de ser capazes de penetrar 
umas nas outras sem sofrer alteração, ou nossas comunicações diárias seriam impossíveis.
Interferência ondulatória
A interferência é uma consequência do princípio da superposição. Se as ondas se atravessam, 
seus deslocamentos simplesmente se somam, de acordo com a equação 3.24. Alguns casos inte-
ressantes surgem quando os comprimentos e as frequências das ondas são os mesmos, ou pelo 
menos quando são próximos. Aqui, examinaremos apenas o caso de duas ondas de comprimen-
tos de onda e frequências idênticas. O caso de ondas de frequências muito próximas uma da 
outra será abordado noCapítulo 4, sobre o som, quando discutirmos os batimentos.
Primeiro, vamos considerar duas ondas unidimensionais de amplitude idêntica, A, mes-
mo número de onda, �, e mesma frequência angular, �. A constante de fase �0 é nula no caso 
da onda 1, mas pode variar no caso da onda 2. A soma das formas de onda é, portanto,
 y(x, t) = A sen(�x – �t) + A sen(�x – �t + �0). (3.25)
Para �0 = 0, as duas funções seno da equação 3.25 possuem argumentos idênticos, de modo 
que sua soma resulta simplesmente y(x, t) = 2A sen (�x – �t). Nesse caso, as duas ondas se 
adicionam no maior grau possível, o que é denominado interferência construtiva.
Quando se desloca o argumento de uma função seno ou cosseno em �, obtém-se o 
negativo daquela função: sen (� + �) = – sen �. Por isso, os dois termos da equação 3.25 
se anulam exatamente quando �0 = �. Tal situação é chamada de interferência destru-
tiva. Os padrões de interferência correspondentes a estes dois valores de �0, juntamente 
com outros três casos, são mostrados na Figura 3.23 para t = 0.
Padrões de interferência interessantes também são obtidos com duas ondas esféricas 
cujas fontes estão separadas por certa distância. A Figura 3.24 mostra um padrão esque-
mático para duas ondas idênticas com � = 1 m–1 e mesmos valores de � e de A. Uma das 
ondas foi deslocada �x para a direita, e a outra foi deslocada –�x para a esquerda. A figu-
ra ilustra dez valores diferentes de �x, o que dá uma boa ideia do comportamento do pa-
drão de interferência em função da separação entre os centros das ondas. Se você deixar 
cair duas pedras simultaneamente em uma lagoa, perceberá que esses padrões de interfe-
rência são iguais ao formado pelas ondulações que resultam da queda das pedras na água.
t
x
A1
A2
v2
v2
v1
v1
t
(a)
(b)
x
Figura 3.22 Superposição de dois 
pacotes de onda gaussianos: (a) 
representação tridimensional; (b) 
plotagem no espaço de coordenadas 
para diferentes instantes de tempo.
SOLUÇÃO
Os dois pacotes de onda gaussianos são da forma funcional y(x, t) = Y(x ± vt) e são, portanto, 
soluções válidas da equação de onda unidimensional 3.9. Logo, vale o princípio da superposição 
(equação 3.23), e podemos simplesmente adicionar as duas funções de onda para obter a função 
que representa a onda resultante. Os dois pacotes de onda gaussianos atingem superposição má-
xima quando seus centros estão na mesma posição do espaço de coordenadas. O centro de um 
pacote de onda gaussiano encontra-se na posição para qual o expoente é nulo. Como se pode ver 
a partir das funções fornecidas, ambos os pacotes estarão centrados em x = 0 no instante t = 0, que 
é a resposta à questão sobre quando é máxima a superposição. Na superposição máxima, a am-
plitude é, simplesmente, A = A1 + A2 = 2,7 A1 (pois A2 = 1,7 A1, como especificado no enunciado 
do problema).
DISCUSSÃO
É instrutivo analisar o gráfico que ilustra essas ondas e sua superposição. Os dois pacotes de onda 
gaussianos iniciam no instante t = –3, em unidades de largura do pacote dividida pela velocidade 
v1, e se propagam. A Figura 3.22a é um gráfico tridimensional da função de onda y(x, t) = y1(x, t) 
+ y2(x, t) em função da coordenada x e do tempo t. Os vetores velocidade e são mostrados. 
A Figura 3.22b mostra gráficos das ondas no espaço de coordenadas em diferentes instantes de 
tempo. A curva azul representa y1(x, t), a curva vermelha representa y2(x, t), e a curva preta, sua 
soma. No instante médio, os dois pacotes de onda atingem a superposição máxima.
0
�
�0
�0
�0
�0
�0
�0
�
�
1
4
��
1
2
��
��
3
4
Figura 3.23 Interferência de ondas unidi-
mensionais em função de suas constantes 
de fase em t = 0. Em instantes posteriores, 
os padrões se moveram, sem alteração de 
forma, para a direita. A onda 1 é vermelha, 
a onda 2 é azul e em preto está representa-
da a soma das duas.
_Livro_Bauer_Vol_2.indb 99_Livro_Bauer_Vol_2.indb 99 09/08/12 11:1209/08/12 11:12
100 Física para Universitários – Relatividade, Oscilações, Ondas e Calor
3.8 Ondas estacionárias e ressonância
Um caso especial de superposição ocorre para duas ondas progressivas se elas são idênticas 
exceto pelos sinais opostos de �: y1(x, t) = A sen (�x + �t) e y2(x, t) = A sen (�x + �t). Vamos 
primeiro examinar o resultado matemático dessa superposição (após o que teremos adquirido 
sensibilidade física):
 (3.26)
No último passo para obter a equação 3.26, usamos a fórmula da adição trigonométrica, sen (
 
± �) = sen 
 cos � ± cos 
 sen �. Portanto, no caso da superposição de duas ondas progressivas 
de mesma amplitude, mesmo número de onda e mesmo módulo de velocidade, mas com sen-
tidos oposto de propagação, a dependência com a coordenada espacial e com o tempo podem 
ser separadas (ou fatoradas) em uma função apenas de x multiplicada por uma função apenas 
de t. O resultado dessa superposição é uma onda que possui nodos (onde y = 0) e antinodos 
(onde y atinge seu valor máximo) em posições particulares ao longo do eixo x. Cada antinodo 
está localizado a meio caminho entre dois nodos vizinhos.
Essa superposição é muito mais fácil de visualizar na forma gráfica. A Figura 3.25a 
mostra uma onda representada por y1(x, t) = A sen(�x + �t), e a Figura 3.25b mostra 
outra onda dada por y2(x, t) = A sen(�x – �t). A Figura 3.25c mostra a soma das duas 
ondas. Em todos os gráficos, a forma de onda é mostrada em função da coordenada x. 
Cada gráfico também mostra a onda em 11 instantes de tempo diferentes, com um in-
tervalo de tempo de �/10 entre instantes vizinhos, como se estivéssemos vendo uma 
sequência de fotografias tiradas de tempo em tempo. A fim de comparar os mesmos ins-
tantes de tempo de cada gráfico, as curvas são codificadas por cores, começando do ver-
melho e prosseguindo pelo laranja e o amarelo. Podemos ver que as ondas progressivas 
se movem para a esquerda e para a direita, respectivamente, porém a onda resultante da 
superposição das duas oscila no mesmo lugar, com os nodos e os antinodos mantendo-
-se em posições fixas do eixo x. Essa onda de interferência é conhecida como onda esta-
cionária, que resulta da fatoração da dependência temporal e da dependência espacial da 
equação 3.26. Nos nodos, as duas ondas progressivas estão sempre fora de fase.
Os nodos de uma onda estacionária possuem sempre amplitude nula. De acordo 
com a equação 3.18, a energia contida em uma onda é proporcional ao quadrado da 
amplitude. Logo, nenhuma energia é transportada por uma onda estacionária através 
de qualquer de seus nodos. A energia da onda permanece “presa” entre os nodos de 
uma onda estacionária, e lá se mantém localizada. Note também que, embora uma onda esta-
cionária não se mova, a relação entre comprimento de onda, frequência e velocidade de onda, 
v = �f, continua válida. Aqui, v representa o módulo das velocidades das ondas progressivas 
que formam a onda estacionária.
Ondas estacionárias em uma corda
A base para a criação de sons musicais por instrumentos de corda é a geração de ondas estacio-
nárias nas cordas que foram tensionadas. Na Seção 3.4, discutimos de que maneira a velocida-
de de uma onda em uma corda depende da tensão da corda e da densidade linear de massa da 
mesma (veja a equação 3.13). Nesta seção, discutiremos as bases físicas das ondas estacionárias 
unidimensionais.
y1(x,t) � y2(x,t)
y2(x,t)
x
x
x
y1(x,t)
(a)
(b)
(c)
v
�v
Figura 3.25 (a) e (b) mostram duas ondas pro-
gressivas com velocidades vetoriais opostas. (c) 
Superposição das duas ondas, resultando em 
uma onda estacionária.
Figura 3.24 Padrões esquemáti-
cos de interferência de duas ondas 
idênticas periódicas bidimensionais 
deslocadas em �x para cada lado da 
origem, onde a unidade de �x é o 
metro. Os círculos brancos e pretos 
indicam os mínimos e os máximos; e 
os círculos cinzentos indicam os pon-
tos onde a soma das ondas é nula.
�x � 0 �x � 12 � �x �
3
2 ��x �� �x � 2�
�x � 7��x � 6��x � 5��x � 4��x � 3�
_Livro_Bauer_Vol_2.indb 100_Livro_Bauer_Vol_2.indb 100 09/08/12 11:1209/08/1211:12
Capítulo 3 Ondas 101
Comecemos com uma demonstração. A Figura 
3.26 mostra uma corda presa a uma argola firme-
mente fixada, pelo lado esquerdo, e a um pistão pela 
direita. O pistão oscila para cima e para baixo, de 
forma senoidal, com uma frequência f que pode ser 
variada. O movimento oscilatório vertical do pistão 
tem uma amplitude muito pequena que podemos 
considerar como se a corda estivesse fixa nas duas 
extremidades. A frequência de oscilação do pistão, 
então, é variada, até que, em uma determinada fre-
quência f0, a corda desenvolve um movimento de 
grande amplitude com um antinodo central (Figura 
3.26a). Claramente, a excitação da corda produziu uma onda estacionária. Trata-se de 
uma excitação ressonante da corda, no sentido de que a amplitude torna-se grande so-
mente em uma frequência de ressonância bem determinada. Se a frequência de mo-
vimento do pistão é aumentada em 10%, como mostrado na Figura 3.26b, a oscilação 
ressonante da corda extingue-se. Reduzindo a frequência do pistão em 10% em relação 
à frequência de ressonância tem o mesmo efeito. Dobrando-se a frequência em relação 
a f0, resulta em outra excitação ressonante, com um antinodo no centro da corda e dois 
nodos, um em e outro em do comprimento da corda (Figura 3.26c). Triplicando-se 
a frequência em relação a f0 resulta em nova onda estacionária com dois nodos e três 
antinodos (Figura 3.26d). A continuação desta série é clara: uma frequência nf0 resul-
tará em uma onda estacionária com n antinodos e n–1 nodos (mais dois nodos nas 
extremidades da corda), igualmente espaçados ao longo da corda.
A Figura 3.27 mostra que a condição para uma onda estacionária é que um núme-
ro inteiro, n, de meios comprimentos de onda se ajuste perfeitamente no comprimento 
L da corda. Usando um subíndice n para estes comprimentos de onda especiais, po-
demos escrever
Isolando o comprimento de onda, obtemos
 
(3.27)
O subíndice n dos comprimentos de onda (ou das frequências) indica de que harmônico se 
trata. Ou seja, n =1 identifica o primeiro harmônico (também chamado de frequência funda-
mental), n = 2 identifica o segundo harmônico, n = 3 o terceiro e assim por diante.
Como já foi mencionado, v = �f continua válida para uma onda estacionária. Usando essa 
relação, podemos encontrar as frequências de ressonância de uma corda a partir da equação 3.27:
Finalmente, usando a equação 3.13 para a velocidade de onda em uma corda com densida-
de linear de massa � e sob tensão T, , temos
 
(3.28)
A equação 3.28 revela fatos muito interessantes acerca da construção de instrumentos 
musicais de corda. Primeiro, quanto mais longa for a corda, menores serão as frequências de 
ressonância. Esta é a razão fundamental para que um violoncelo, que produz notas mais bai-
xas, seja maior do que um violino. Segundo, as frequências de ressonância são proporcionais 
à raiz quadrada da tensão da corda. Se a frequência de um instrumento é baixa demais, ele soa 
“sem contraste”, e você deve aumentar a tensão. Terceiro, quanto maior for a densidade linear 
de massa da corda, �, mais baixa a frequência. As cordas “mais gordas” produzem as notas 
mais baixas. Quarto, o segundo harmônico tem uma frequência que é o dobro da frequência 
fundamental, o terceiro uma frequência três vezes maior que a fundamental e assim por diante. 
Quando discutirmos o som no Capítulo 4, veremos que este fato constitui a base para a defini-
Antinodo
(a)
(b)
(c)
(d)
Antinodo AntinodoNodo
NodoAntinodo AntinodoNodoAntinodo
f0
1,1 f0
2 f0
3 f0
Figura 3.26 Geração de ondas estacionárias em uma corda.
L
L
L
L
L
0
0
0
0
0
L12
L13 L
2
3
L34
L45L
3
5L
2
5L
1
5
L12L
1
4
Figura 3.27 As cinco excitações mais baixas 
de onda estacionária em uma corda.
Uma corda de determinado com-
primento é fixada em ambas as 
extremidades e esticada sob certa 
tensão. Qual das afirmativas abai-
xo acerca de uma onda estacioná-
ria nesta corda é verdadeira?
a) Quanto maior for a frequência 
de uma onda estacionária em uma 
corda, mais próximos estarão os 
nodos uns dos outros.
b) Para qualquer frequência de 
onda estacionária, os nodos esta-
rão sempre igualmente espaçados.
c) Para uma onda estacionária 
em uma corda sob determinada 
tensão, somente uma frequência 
é possível.
d) Quanto menor for a frequência 
de uma onda estacionária em uma 
corda, mais próximos estarão os 
nodos uns dos outros.
3.3 Exercícios
de sala de aula
_Livro_Bauer_Vol_2.indb 101_Livro_Bauer_Vol_2.indb 101 09/08/12 11:1209/08/12 11:12
102 Física para Universitários – Relatividade, Oscilações, Ondas e Calor
ção de oitava. Por ora, você pode comprovar que consegue produzir o segundo harmônico em 
uma mesma corda usada para produzir o primeiro harmônico, pressionando-a com a ponta de 
um dedo exatamente no meio da corda, assim, forçando o nodo a estar localizado ali.
EXEMPLO 3.4 Afinando um piano
O trabalho de um afinador de piano é garantir que todas as teclas do instrumento produzam o 
som correto. Em um piano, a corda correspondente à tecla da nota Lá central está sob tensão de 
2.900 N, tem uma massa de 0,006000 kg e um comprimento igual a 0,6300 m.
PROBLEMA
Por qual fator o afinador deve alterar a tensão dessa corda a fim de obter dela a frequência correta 
de 440,0 Hz?
SOLUÇÃO
Primeiro, vamos calcular a frequência fundamental (ou primeiro harmônico), usando n = 1 na 
equação 3.28 e a tensão fornecida, o comprimento e a massa:
Esta frequência difere em 2 Hz da frequência correta, ou 0,5% mais baixa que o valor correto, de 
modo que a tensão deve ser aumentada. A tensão adequada pode ser encontrada isolando-se T na 
equação 3.28 e depois substituindo a frequência fundamental de 440,0 Hz, a correta do Lá central:
Substituindo os valores numéricos, obtemos
A tensão deve ser aumentada em 27 N, o que corresponde a 0,93% de 2.900 N. O afinador de 
piano precisa aumentar a tensão da corda em 0,93% para que ela emita a frequência correta do 
Lá central.
DISCUSSÃO
Poderíamos também ter obtido a variação correspondente de tensão raciocinado da seguinte ma-
neira: a frequência é proporcional à raiz quadrada da tensão, e para x pequenos. 
Uma vez que é necessário produzir uma variação de 0,5% na frequência, a tensão tem de ser alte-
rada no dobro dessa quantidade, ou 1%.
A propósito, um afinador de piano consegue perceber facilmente uma frequência que está 
errada em 2 Hz escutando os batimentos produzidos, o que discutiremos no Capítulo 4.
Uma corda de guitarra tem 0,750 
m de comprimento e uma massa 
de 5,00 g. A corda é sintonizada 
em Mi (660 Hz) quando vibrar em 
sua frequência fundamental. Qual 
é o valor necessário de tensão da 
corda?
a) 2,90 ⋅ 103 N d) 8,11 ⋅ 103 N
b) 4,84 ⋅ 103 N e) 1,23 ⋅ 104 N
c) 6,53 ⋅ 103 N
3.4 Exercícios
de sala de aula
Pesquisadores da Cornell NanoScale Scien-
ce and Technology Facility, onde foi fabri-
cada a guitarra da Figura 3.11b, também 
produziram uma corda de guitarra ainda 
menor, a partir de um único nanotubo de 
carbono com diâmetro de apenas 1 a 4 
nm. Ela é suspensa sobre um sulco de lar-
gura W = 1,5 �m. Em um artigo de 2004 
publicado na revista Nature, os pesquisa-
dores de Cornell relataram uma frequência 
de ressonância do nanotubo de carbono 
de 55 MHz. Quanto vale a velocidade de 
uma onda neste nanotubo de carbono?
3.4 Pausa para teste
Emissor Coletor
Base
W
L
�z
_Livro_Bauer_Vol_2.indb 102_Livro_Bauer_Vol_2.indb 102 09/08/12 11:1209/08/12 11:12
Capítulo 3 Ondas 103
Ondas estacionárias também podem ser geradas em duas e três dimensões. Apesar de 
esses casos serem abordados por nós sem nenhum detalhe matemático, é interessante ver os 
padrões ondulatórios que emergem. Para visualizar padrões de onda estacionária em chapas 
bidimensionais, estas são excitadas por baixo por um oscilador cuja frequência pode ser varia-
da, e grãos de sal comum são espalhados uniformemente sobre ela. Os grãos de sal são chaco-
alhados e terminam aprisionados nos nodos da onda, onde não sofrem impactossignificativos 
por parte do oscilador abaixo da chapa. A Figura 3.28 mostra o resultado disso para o caso 
de uma placa quadrada excitada em três frequências diferentes. Você pode verificar as linhas 
nodais das ondas estacionárias, com formas diferentes para diferentes frequências de excitação. 
Não discutiremos aqui essas linhas nodais com detalhes qualitativos, porém é importante per-
ceber que, quanto mais alta a frequência usada, mais próximas as linhas nodais estarão umas 
das outras. Isso está em completa analogia com o caso de ondas estacionárias unidimensionais 
em uma corda.
A placa circular mostrada na figura é excitada em três frequências diferentes. A partir do exame 
das fotos abaixo, ordene as frequências excitadoras usadas em ordem crescente de valor.
(a) (b) (c)
3.5 Exercícios de sala de aula
3.9 Pesquisa sobre ondas
Este capítulo apresenta apenas um breve resumo dos fenômenos ondulatórios. Todos os espe-
cialistas em física e engenharia terão um curso completo sobre ondas em que o assunto será 
abordado com mais detalhes. Vários outros capítulos deste livro abordarão ondas. O Capítulo 
4 é devotado às ondas longitudinais de pressão denominadas ondas sonoras. Esse caráter on-
dulatório da matéria conduz diretamente ao desenvolvimento da mecânica quântica, a base da 
maior parte da física moderna, incluindo a nanociência e a nanotecnologia.
Os cientistas e os engenheiros continuam a descobrir aspectos novos da física ondulatória, 
que vão de conceitos fundamentais a aplicações. Do lado das aplicações, os engenheiros estão 
investigando maneiras de guiar micro-ondas através de geometrias diferentes com ajuda de 
métodos de elementos finitos (que são métodos computacionais que subdividem um objeto 
grande em um grande número de objetos pequenos) e de programas de computador muito 
rápidos. Se as geometrias não possuem simetria espacial – isto é, se elas não são exatamente 
redondas ou retangulares – alguns resultados surpreendentes podem ocorrer. Por exemplo, os 
(a) (b) (c)
Figura 3.28 Padrões de nodos de onda estacionária sobre uma placa quadrada excitada em frequências de (a) 348 Hz, (b) 409 Hz e (c) 508 Hz.
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esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.