Lista1_determinantes

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
CE080 - Fundamentos Básicos para Estat́ıstica
Terceira lista de Exerćıcios - Determinantes
Professora Fernanda
1. Calcule os determinantes:
a)
∣∣∣∣∣ −3 −22 1/2
∣∣∣∣∣ b)
∣∣∣∣∣ 13 711 5
∣∣∣∣∣
Resp: a) 5/2 b) -12
2. Sendo A = (aij) uma matriz quadrada de ordem 2 e aij = j − i2. Qual é o determinante da matriz A?
Resp: 3
3. Determine x tal que:
a)
∣∣∣∣∣ 2x 3x+ 21 x
∣∣∣∣∣ = 0 b)
∣∣∣∣∣ 2x x− 24x+ 5 3x− 1
∣∣∣∣∣ = 11
Resp: a) x=2 ou x=-1/2 b) x=-1 ou x=1/2
4. Determine o número de raizes reais distintas da equacao:
∣∣∣∣∣ x2 −1−1 x2
∣∣∣∣∣ = 0
Resp: duas
5. Sendo x e y, respectivamente, os determinantes das matrizes nao singulares
∣∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣∣ e
∣∣∣∣∣ −2a 2c−3b 3d
∣∣∣∣∣, calcule xy .
Resp: -1/6
6. Calcule os determinantes pela regra de Sarrus:
a)
∣∣∣∣∣∣∣
1 1 0
0 1 0
0 1 1
∣∣∣∣∣∣∣ b)
∣∣∣∣∣∣∣
1 3 2
−1 0 −2
2 5 1
∣∣∣∣∣∣∣ c)
∣∣∣∣∣∣∣
−3 1 7
2 1 −3
5 4 2
∣∣∣∣∣∣∣
d)
∣∣∣∣∣∣∣
9 7 11
−2 1 13
5 3 6
∣∣∣∣∣∣∣ e)
∣∣∣∣∣∣∣
0 a c
−c 0 b
a b 0
∣∣∣∣∣∣∣ f)
∣∣∣∣∣∣∣
2 −1 0
m n 2
3 5 4
∣∣∣∣∣∣∣
Resp: a) 1 b) -9 c) -40 d) 121 e) b(a2 − c2) f) 4m+ 8n− 26
7. Se somarmos 4 a todos os elementos da matriz A =
∣∣∣∣∣∣∣
1 2 3
1 1 m
1 1 1
∣∣∣∣∣∣∣ cujo determinante é D, qual é o determinante da
nova matriz?
Resp: 5D
8. Determine x tal que: a)
∣∣∣∣∣∣∣
1 x x
2 2x 1
3 x+ 1 1
∣∣∣∣∣∣∣ = 0 b)
∣∣∣∣∣∣∣
1 x 1
1 −1 x
1 −x 1
∣∣∣∣∣∣∣ = 0 c)
∣∣∣∣∣∣∣
1 x 2
−2 x −4
1 −3 −x
∣∣∣∣∣∣∣ = 0
Resp: a) x=1/2 b) x=0 ou x=1 c) x=0 ou x=-2
9. Determine x tal que:
∣∣∣∣∣∣∣
x− 1 2 x
0 1 −1
3x x+ 1 2x
∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣ 3x 2x4 −x
∣∣∣∣∣
Resp: x = ±
√
3
3
10. Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos da diagonal principal. Sabendo que o traço vale 9 e
o determinante 15, calcule os elementos x e y da matriz:
 1 2 30 x z
0 0 y

Resp: x=3; y=5 (ou vice-versa)
11. Seja M =
∣∣∣∣∣∣∣
2 4 3
5 2 1
−3 7 −1
∣∣∣∣∣∣∣. Calcule D21, D22, D23
Resp: D21 = −25, D22 = 7, D23 = 26
12. Encontre o cofator de 3 na matriz M =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
2 4 1 0
6 −2 5 7
−1 7 2 4
0 3 −1 −10
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ Resp: -19
13. Seja M =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −1 0 0
0 2 −2 1
3 3 4 1
4 5 7 6
∣∣∣∣∣∣∣∣∣. Calcule D13, D24, D32, D43.
Resp: D13 = −25, D24 = 6, D32 = −19, D43 = −4
14. Seja M =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 2 0
1 −3 4 0
5 2 −1 2
−2 2 0 3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣. Calcule D11, D22, D33, D44.
Resp: D11 = 1, D22 = −41, D33 = −9, D44 = 29
15. Determine o cofator do elemento a23 da matriz A =
∣∣∣∣∣∣∣
2 1 3
1 2 1
0 1 2
∣∣∣∣∣∣∣.
Resp: A23 = −2
16. Calcule os determinantes das matrizes abaixo, usando a definição:
a)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 −1 3
2 3 4 2
0 2 5 1
4 1 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ b)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
2 4 2 4
0 1 1 0
1 0 2 3
3 0 1 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Resp: a) -54 b) -44
17. Calcule os determinantes das matrizes abaixo, utilizando o teorema de Laplace:
a)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
3 4 2 1
5 0 −1 −2
0 0 4 0
−1 0 3 3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ b)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0 a b 1
0 1 0 0
a a 0 b
1 b a 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ c)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 3 2 0
3 1 0 2
2 3 0 1
0 2 1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
d)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 3 4 5
0 a −1 3 1
0 0 b 2 3
0 0 0 c 2
0 0 0 0 d
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
e)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x 0 0 0 0 0
a y 0 0 0 0
l p z 0 0 0
m n p x 0 0
b c d e y 0
a b c d e z
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Resp: a) -208 b) a2 + b2 c) 48 d) abcd e)x2y2z2
18. Desenvola o determinante abaixo, pelos elementos da 2a coluna D =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0 a 1 0
1 b −1 1
2 c 0 −1
0 d 1 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Resp: D = −3a+ 3d
19. Calcule o valor do determinante
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 3 −4 2
0 1 0 0 0
0 4 0 2 1
0 −5 5 1 4
0 1 0 −1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Resp: -25
20. Determine o valor de x para que
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a 0 b 0 x
c 0 d x e
f 0 x 0 0
g x h i j
x 0 0 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
< −32
Resp: x < −2