Trabalho teoria de fourier

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IFSP – INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E 
TECNOLOGIA DE SÃO PAULO 
TÉCNICO EM ELETRÔNICA 
 
 
 
IGOR BARBOSA DA SILVA 
 
 
 
 
 
 
TEORIA DE FOURIER 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SÃO PAULO 
2021 
 
Índice 
 
INTRODUÇÃO ................................................................................................... 3 
FUNÇÕES PERIÓDICAS ............................................................................... 3 
ONDA QUADRADA .................................................................................... 5 
EM TELECOMUNICAÇÕES: RADIO AM .......................................................... 8 
CONCLUSÃO: ................................................................................................... 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
 A matemática está em todos os fenômenos, tecnologia, observação, 
experimento etc. Tudo o que precisamos fazer é entender a lógica escondida 
atrás. Neste trabalho estamos focando nas aplicações da série Fourier no 
sistema de comunicação. FT (fourier transform) é nomeado em homenagem a 
Joseph Fourier (1768-1830), um dos maiores nomes da história da matemática 
e física. Matematicamente falando, a transformação fourier é um operador 
linear que mapeia um espaço funcional para outra função do espaço e 
decompõe uma função em outra função de seus componentes de frequência. 
 
A série Fourier: 
 Fourier series = uma soma finita de sinusoides harmonicamente relacionados. 
Matematicamente, a expressão para uma série Fourier é: 
 
Onde 𝑎0, 𝑎𝑛, 𝑏𝑛 são os coeficientes de Fourier. 
 
FUNÇÕES PERIÓDICAS 
 
As séries de Fourier permitem a análise de sinais periódicos. Um sinal 
periódico é definido como aquele que apresenta repetição de seus valores a 
um intervalo definido de tempo, denominado período: 
𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑡 + 𝑛𝑇) 
onde 𝑇 é o valor deste intervalo (período [s]) e 𝑛 indica um número inteiro 
Exemplo de uma função periódica: 
A seguinte função em 𝜃 : 𝑓 (𝜃) = 𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 𝑠𝑒𝑛(2𝜃) 
 
 
 
 
 
 
Pode-se verificar que esta função é periódica, uma vez que seus valores se 
repetem a intervalos 𝜃 = 2𝜋, de modo que: 𝑓(𝜃) = 𝑓(𝜃 + 2𝑘𝜋), para 𝑘 inteiro 
 
Considerando o ângulo 𝜃 como uma função do tempo, tal que 𝜃 = 𝜔𝑡, para um 
intervalo ∆𝜃 temos: 
∆𝜃 = 𝜔∆𝑡, onde ∆𝑡 = 
∆𝜃
𝜔
 ; onde {
t = tempo [s] 
θ = ângulo [rad] 
ω = freq. angular [rad/s]
 
Assim, para a função completar um ciclo (2𝜋), o tempo associado é definido 
como período (𝑇): 
𝑇 =
∆𝜃
𝜔
=
2𝜋
𝜔
 ; onde {
 
𝑇 = 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜[𝑠]
 
 
O inverso do período, representando a quantidade de ciclos por unidade de 
tempo, é denominado frequência (𝑓) : 
𝑓 =
1
𝑇
=
𝜔
2𝜋
 ; onde {f = frequência [ciclos/s] ou [hertz] 
Séries de Fourier 
Verifica-se que a representação na notação trigonométrica da série de Fourier 
um sinal periódico 𝑓 x , é tal que: 
𝑓(𝑥) = 𝑎0 + ∑(𝑎𝑛
∞
𝑛=1
𝑐𝑜𝑠𝜔𝑛𝑥 + 𝑏𝑛𝑠𝑒𝑛𝜔𝑛𝑥) 
sendo 𝑎0, 𝑎𝑛, 𝑏𝑛 os chamados coeficientes de Fourier, obtidos pelas expressões 
abaixo: 
𝑎0=
1
𝑥
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑡
𝑥
0
 
𝑎𝑛 =
2
𝑥
∫ 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑛𝑥 𝑑𝑡
𝑥
0
 
𝑏𝑛 =
2
𝑥
∫ 𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑛𝜔𝑛𝑥 𝑑𝑡
𝑥
0
 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 1, 𝜔𝑛 = 𝜔 𝐹𝑟𝑒𝑞. 𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 
Desta maneira, um sinal periódico 𝑓 𝑡 pode ser representado como uma série 
de senos e cossenos múltiplos da frequência fundamental ω, somados a um 
valor constante (𝐶0). 
 
ONDA QUADRADA 
Onda quadrada com 𝐶0 = 0 (simetria em relação ao eixo-x). Propriedades desta 
função em relação à posição relativa do eixo-y: 
Caso A - onda quadrada como função par: 𝑓 (x) = −𝑓 (x) 
 
Caso B - onda quadrada como função ímpar: 𝑓 (x) = −𝑓 (−x) 
 
Pode-se demonstrar que, sendo uma função par, a onda quadrada do caso A 
apresentará somente os termos em cosseno ( 𝑏𝑛 = 0), pois o cosseno é uma 
função par. 
Da mesma forma, a onda quadrada do caso B apresentará somente os termos 
em seno (𝑎𝑛 = 0), uma vez que o seno é uma função ímpar. 
Análise da onda quadrada do caso B (função ímpar) 
 
Avaliação de 𝑐0 𝑒 𝑎𝑛 , conforme apresentados nas equações anteriores 
1) 𝐶0 = 0, pois a integral de 𝑓 (x) de 0 a x é nula (área calculada de 0 a T/2 
cancela a área calculada de T/2 a T); 
2) 𝑎𝑛= 0, pois os termos em cosseno são nulos (propriedade da função ímpar). 
No caso da onda quadrada com período T, existe ainda uma simetria de meia 
onda, de modo que: 𝑓 (𝑡) = −𝑓 (x + T/2) 
Pode-se demonstrar que esta simetria permite simplificar os cálculos dos 
coeficientes da série de Fourier, 𝑏𝑛, de modo que: 
3) 𝑏𝑛 = {
0, 𝑠𝑒 𝑛 𝑝𝑎𝑟 
4/𝑛𝜋, 𝑠𝑒 𝑛 í𝑚𝑝𝑎𝑟
 
Assim, aplicando-se este resultado, a expressão do sinal 𝑓 (x) , representando 
uma onda quadrada, torna-se: 
𝑓(𝑥) =
4
𝜋
(𝑠𝑒𝑛𝜔𝑥 +
1
3
𝑠𝑒𝑛3𝜔𝑥 +
1
5
𝑠𝑒𝑛5𝜔𝑥 +
1
7
𝑠𝑒𝑛7𝜔𝑥 +
1
9
𝑠𝑒𝑛9𝑥𝑡 . . . ) 
Observando os termos, conclui-se que um sinal de onda quadrada é composto 
somente pelas harmônicas ímpares (𝑛 = 1, 3, 5, 7, 9 ...) da frequência 
fundamental (𝜔). Esta é uma série trigonométrica convergente. 
A função representada agora como 𝑓 (ω) , em função da frequência, tem o 
seguinte aspecto: 
 
No processo inverso, pode-se fazer a síntese da onda quadrada, utilizando a 
ferramenta GeoGebra, a partir da expressão anterior. O fator 4/𝝅, por ser 
apenas um fator de escala, não está representado nesta síntese. 
 
1) Soma dos 2 primeiros termos: 𝑓(𝜃) = 𝑠𝑒𝑛(𝜃) +
1
3
𝑠𝑒𝑛(3𝜃) 
 
2) Soma dos 3 primeiros termos: 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝜃) +
1
3
𝑠𝑒𝑛(3𝜃) +
1
5
𝑠𝑒𝑛(5𝜃) 
 
3) Soma dos 4 primeiros termos: 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝜃) +
1
3
𝑠𝑒𝑛(3𝜃) +
1
5
𝑠𝑒𝑛(5𝜃) +
1
7
𝑠𝑒𝑛(70) 
 
4) Soma dos 10 primeiros termos: 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝜃) +
1
3
𝑠𝑒𝑛(3𝜃) +
1
5
𝑠𝑒𝑛(5𝜃)+ . . . + 
1
19
𝑠𝑒𝑛(19𝜃) 
 
Ou seja, a figura resultante vai se aproximando da onda quadrada, à 
medida que mais termos vão sendo considerados na soma. 
 
 
 EM TELECOMUNICAÇÕES: RADIO AM 
O tipo de sinal transmitido pelas estações de rádio AM (faixa de 500 a 
1600 KHz) é denominado AM-DSB, sigla que significa Amplitude 
Modulation Double-Sideband. O seu significado pode ser entendido 
como “um sinal de áudio que modula a amplitude da portadora (domínio 
do tempo), gerando duas faixas laterais em torno desta portadora, no 
domínio da frequência”. Neste exemplo temos uma estação de rádio AM, 
transmitindo na frequência de 600 KHz (f0). Como sinal modulador 
temos um flautista emitindo a nota “Lá”, em 440 Hz (f1). O ouvinte, 
quando sintonizar o seu radinho de pilha em 600 KHz, irá escutar o tom 
(nota Lá) emitida pelo flautista 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O sinal transmitido pela estação de rádio pode ser analisado no domínio 
do tempo, com o auxílio de um osciloscópio, ou no domínio da 
frequência, com auxílio de um analisador de espectros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCLUSÃO: 
A teoria de Fourier é um procedimento matemático que transforma o domínio 
de tempo de forma de função em domínio de frequência com sinais de 
comunicação. 
As séries de Fourier são utilizadas para transformar para o domínio da 
frequência um sinal representado originalmente no domínio do tempo. Essa 
mudança de domínio pode trazer grande vantagem para análise, 
principalmente quando certas características do sinal não forem observáveis no 
domínio original. 
 Sendo seus métodos comumente usados para análise de sinais e design de 
sistemas em telecomunicações modernas, como redes de celulares também 
usados em sistemas de processamento de imagens, análise de vibração, 
óptica, máquinas Qauntum e etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
Applications of Fourier series in communication system 
https://www.ijser.org/researchpaper/Applications-of-Fourier-series-in-communication-system.pdf acessado em: 05/07/2021 
 
A teoria analítica do calor de Joseph Fourier: uma análise das bases 
conceituais e epistemológicas 
https://www.scielo.br/j/rbef/a/V85P6jb6SDWqRgf53rcJx4k/?lang=pt acessado 
em: 05/07/2021 
https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/2247566/mod_resource/content/1/Mate
rial_Aulas01e02.pdf acessado em: 05/07/2021 
 
 
https://www.ijser.org/researchpaper/Applications-of-Fourier-series-in-communication-system.pdf
https://www.ijser.org/researchpaper/Applications-of-Fourier-series-in-communication-system.pdf
https://www.scielo.br/j/rbef/a/V85P6jb6SDWqRgf53rcJx4k/?lang=pt
https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/2247566/mod_resource/content/1/Material_Aulas01e02.pdf
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