ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA - TEORIA DE CONTROLE E SERVOMECANISMO

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DESENHO TÉCNICO APLICADO - D1.20232.A 
 
Aline Moraes dos Santos 
01505167 
Engenharia Elétrica 
 
 
 
 
CASE: 
 
No domínio do tempo, um sistema é avaliado de acordo com a progressão do seu 
estado no tempo. No domínio da frequência, um modelo é analisado conforme sua 
resposta para diferentes frequências. 
Diante do contexto exposto, elabore uma dissertação de até 30 linhas e 
desenvolva os seguintes tópicos: 
 
1. Definição e exemplificação de sistemas modelados no domínio da 
frequência e no domínio do tempo. 
 
2. Importância das transformadas de Laplace e de Fourier no 
contexto da Teoria de Controle. 
 
3. Comparação entre modelos no domínio do tempo e no domínio da 
frequência, apresentando e desvantagens de cada um. 
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1. DEFINIÇÃO E EXEMPLIFICAÇÃO DE SISTEMAS MODELADOS NO 
DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA E NO DOMÍNIO DO TEMPO: 
 
DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA: 
 
No domínio da frequência, separa-se conceitualmente as senóides que formam 
o sinal. 
 
O domínio da frequência designa a análise de funções matemáticas com 
respeito à frequência, em contraste com a análise no domínio do tempo. A 
representação no domínio da frequência pode também conter informação 
sobre deslocamentos de fase. 
Um analisador de espectro é uma ferramenta usada para visualizar sinais no 
domínio da frequência. Falando não tecnicamente, um gráfico no domínio do 
tempo mostra como um sinal varia ao longo do tempo; em contraste, um gráfico 
no domínio da frequência, comumente chamado de espectro de frequências, 
 
mostra quanto do sinal reside em cada faixa de frequência. a transformada de 
Laplace: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Grafico: domínio do tempo x Domínio da frequência 
 
 
 
A transformada de Laplace: 
 
 
 
A Transformadas de Fourier: 
 
 
 
Na verdade as Transformadas de Laplace e as Transformadas de Fourier são 
representações que estão muito relacionadas uma com a outra. Em muitos 
casos, se substituirmos ‘s’ por ‘jω’, isto é, fazendo-se ‘s’ ser um número 
complexo com parte real nula e parte imaginária ‘ω’, 
 
s = 0 + jω = jω 
 
Obtemos a Transformadas de Fourier a partir da Transformada de Laplace 
 
X(s) = X(0+jω) = X(jω), Y(s) = Y(0+jω) = Y(jω), etc 
 
 
DOMÍNIO DO TEMPO: 
 
A representação do domínio do tempo dá a amplitude do sinal no instante de 
tempo escolhido. 
Domínio do tempo é um termo usado em análise de sinais para descrever a 
análise de funções matemáticas com relação ao tempo. No domínio do tempo, o 
valor da função é conhecido em cada instante, no caso de tempo contínuo, ou 
em vários instantes separados, no caso de tempo discreto. 
 
O osciloscópio é uma ferramenta comumente usada para visualizar sinais do 
mundo real no domínio do tempo, enquanto um analisador de espectro é uma 
ferramenta usada para visualizar sinais no domínio da frequência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma onda triangular no domínio do tempo (topo) e o gráfico de espectro correspondente (embaixo). 
A frequência fundamental é de 220 Hz. Cada linha vertical indica a amplitude de uma das 
freqüências componentes da onda 
 
 
 
2. IMPORTÂNCIA DAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE E DE FOURIER NO 
CONTEXTO DA TEORIA DE CONTROLE: 
 
TRANSFORMADA FOURIER 
 
Em matemática, a transformada de Fourier é uma transformada integral que 
expressa uma função em termos de funções de base sinusoidal. Existem diversas 
variações diretamente relacionadas desta transformada, dependendo do tipo de 
função a transformar. A transformada de Fourier, epônimo a Jean-Baptiste Joseph 
Fourier, decompõe uma função temporal (um sinal) em frequências, tal como um 
acorde de um instrumento musical pode ser expresso como a amplitude (ou volume) 
das suas notas constituintes. A transformada de Fourier de uma função temporal é 
uma função de valor complexo da frequência, cujo valor absoluto representa a soma 
das frequências presente na função original e cujo argumento complexo é a fase de 
deslocamento da base sinusoidal naquela frequência. A transformada de Fourier é 
chamada de representação do domínio da frequência do sinal original. O termo 
transformada de Fourier refere-se à ambas representações do domínio frequência 
e a operação matemática que associa a representação domínio frequência a uma 
função temporal. A transformada de Fourier não é limitada a funções temporais, 
contudo para fins de convenção, o domínio original é comumente referido como 
domínio do tempo. Para muitas funções de interesse prático, pode-se definir uma 
operação de reversão: a transformada inversa de Fourier, também chamada de 
síntese de Fourier, de um domínio de frequência combina as contribuições de todas 
as frequências diferentes para a reconstituição de uma função temporal original. 
Operações lineares aplicadas em um dos domínios (tempo ou frequência) resultam 
em operações correspondentes no outro domínio, o que, em certas ocasiões, podem 
ser mais fáceis de efetuar. A operação de diferenciação no domínio do tempo 
corresponde à multiplicação na frequência, o que torna mais fácil a análise de 
 
equações diferenciais no domínio da frequência. Além disso, a convolução no 
domínio temporal corresponde à multiplicação ordinária no domínio da frequência. 
Isso significa que qualquer sistema linear que não varia com o tempo, como um filtro 
aplicado a um sinal, pode ser expressado de maneira relativamente simples como 
uma operação nas frequências. Após realizar a operação desejada, a transformação 
do resultado alterna para o domínio do tempo. A Análise harmônica é o estudo 
sistemático da relação entre os domínios de tempo e frequência, incluindo os tipos de 
funções ou operações que são mais "simples" em um ou em outro, e possui ligações 
profundas a muitas áreas da matemática moderna. 
 
TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
Oliver Heaviside, quando estudava processos simples para obter soluções de 
Equações Diferenciais, vislumbrou um método de Cálculo Operacional que leva ao 
conceito matemático da Transformada de Laplace, que é um método simples para 
transformar um Problema com Valores Iniciais (PVI)1, em uma equação algébrica, de 
modo a obter uma solução deste PVI de uma forma indireta, sem o cálculo de 
integrais e derivadas para obter a solução geral da Equação Diferencial. Pela 
utilidade deste método em Matemática, na Computação, nas Engenharias, na Física 
e outras ciências aplicadas, o método representa algo importante neste contexto. As 
transformadas de Laplace são muito usadas em diversas situações, porém, aqui 
trataremos de suas aplicações na resolução de Equações Diferenciais Ordinárias 
Lineares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se f = f(t) é uma função real ou complexa, definida para todo t ≥ 0 e o parâmetro z é 
um número complexo da forma z = s + iv de modo que para cada para s > 0, ocorre 
a convergência da integral imprópria 
 
então a função F = F(z) definida pela integral acima, recebe o nome de transformada 
de Laplace da função f = f(t). Se o parâmetro z é um número real, isto é, a parte 
imaginária v =0, usamos z = s > 0 e a definição fica simplesmente na forma 
 
 
A transformada de Laplace depende de s, é representada por uma letra maiúscula F= 
F(s), enquanto que a função original que sofreu a transformação depende de t é 
representada por uma letra minúscula f = f(t). Para representar a transformada de 
Laplace da função f, é comum usar a notação: 
 
 
 
Exemplo: A função degrau unitário é muito importante neste contexto e é 
definida por: 
 
 
 
Para a função degrau unitário e considerando s > 0, temos que: 
 
 
 
3. COMPARAÇÃO ENTRE MODELOS NO DOMÍNIO DO TEMPO E NO 
DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA, APRESENTANDO VANTAGENS E 
DESVANTAGENS DE CADA UM. 
 
Uma das principais razões para usar uma representação do domínio da frequência 
de um problema é para simplificar a análise matemática. Para sistemas matemáticos 
governados por equações diferenciais lineares, uma classe de sistemas muito 
importante com várias aplicações reais, convertendo a descriçãodo sistema de 
domínio do tempo para domínio de frequência, converte-se as equações diferenciais 
emequações algébricas, que são bem mais fáceis de resolver. Além disso, olhar para 
o sistema pelo ponto de vista da frequência pode te dar um entendimento do 
comportamento qualitativo do sistema, e uma nomenclatura científica reveladora se 
adequou para descrevê-lo, caracterizando o comportamento sistemas físicos com 
variáveis de tempo usando os termos como largura de banda, resposta em 
frequência, ganho, mudança de fase, frequências de ressonâncias, constante do 
tempo, largura de ressonância, fator de amortecimento, fator Q, harmônicos, 
espectro, densidade espectral de potência, autovalores, polos e zeros. Um exemplo 
de campo em que a análise do domínio da frequência oportuniza um melhor 
entendimento que o domínio do tempo é a música, a teoria de operação de 
instrumentos musicais, a notação musical que costumava ser gravada e a discutir de 
 
partes da música que é implicitamente baseada na quebra de sons complexos nas 
frequências dos seus componentes separados (notas musicais). 
 
FASE E MAGNITUDE 
 
Um sinal, seja ele uma onda sonora ou eletromagnética, um perfil de vibração 
qualquer, ou mesmo uma sequência de sinais eletrônicos, é sempre descrito no 
domínio da frequência como uma função complexa. Isto é, possui uma parte real e 
uma parte imaginária. Isso pode ser interpretado da seguinte forma: A amplitude do 
sinal, em dada frequência do domínio, é dada pela magnitude do número complexo 
correspondente, enquanto a fase do sinal é dada pelo ângulo desse número com o 
eixo real. Aplicando-se as transformadas mais usuais, como Laplace, Z- ou Fourier, o 
sinal no tempo se desdobra em dois espectros de frequência. Um correspondente às 
magnitudes e outro às fases para cada frequência. 
Uma onda sonora, por exemplo, pode ser transformada em um sinal na frequência 
utilizando a transformada de Fourier. Neste caso, cada frequência que compõe a 
onda sonora é representada por uma função senoidal com amplitude e fase. Para 
grande parte das aplicações dos espectros de frequência, a fase não é importante. 
Mas, por outro lado, se o sinal no tempo precisa ser reconstruído a partir do domínio 
da frequência, o conhecimento do diagrama de fases do espectro é essencial. 
 
ANALISADOR DE ESPECTRO E AS DIFERENÇAS DE DOMÍNIO E FREQUÊNCIA 
 
O analisador de espectro é um aparelho que, recebendo um sinal no tempo, 
disponibiliza ao usuário informações sobre o sinal no domínio da frequência. É o 
correspondente no domínio da frequência ao osciloscópio no domínio do tempo. 
Usualmente é de vasta utilização na física e na engenharia. Analisadores de espectro 
eletromagnético são utilizados, por exemplo, para avaliação das frequências da luz 
emitidas por corpos celestes para posterior determinação de sua composição 
química e velocidade relativa (Ver Efeito Doppler). Na engenharia elétrica, eletrônica 
e de computação, por outro lado, estes equipamentos são muito úteis no projeto e 
avaliação de equipamentos de transferência de dados, como antenas receptoras e 
transmissoras. 
 
Segue abaixo a visualização gráfica de como é feita a passagem do domínio do 
tempo para a frequência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRANSFORMAÇÃO E DIFERENÇAS DO DOMINIO DE TEMPO PARA 
FREQUÊNCIA 
 
Uma função pode ser convertida do domínio do tempo para o da frequência através 
de um operador matemático chamado genericamente de transformada integral. Um 
exemplo é a transformada de Fourier, que decompõe uma função na soma de um 
(potencialmente infinito) número de componentes senoidais, produzindo um espectro 
de frequências. A transformada inversa correspondente converte esse espectro de 
volta para o domínio do tempo, ou seja, para a função original. Existem ainda 
transformadas que permitem a conversão para um domínio misto do tempo e da 
frequência ao mesmo tempo, como é o caso da transformada de wavelet. Ao aplicar-
se a transformada de Fourier, passa-se do domínio do tempo para o domínio da 
frequência real; neste domínio, a informação a respeito de deslocamentos de fase do 
sinal em função da frequência desaparece. Em contraste, ao aplicar-se a 
transformada de Laplace, passa-se ao domínio da frequência complexa, no qual a 
informação a respeito de deslocamentos de fase do sinal é preservada. Devido a 
isso, no domínio da frequência real é possível prever o comportamento de um 
sistema apenas em regime estacionário; no domínio da frequência complexa, é 
possível prever o comportamento também em regime transitório. 
 
Outra diferença entre as diversas transformadas é que algumas trabalham a partir do 
domínio do tempo contínuo; outras, a partir do tempo discreto. As primeiras são 
adequadas para a análise de sinais analógicos, e as últimas, para a análise de sinais 
digitais. São exemplos do primeiro tipo a transformada de Fourier e a transformada 
de Laplace citadas acima; exemplos do segundo tipo são a transformada Z e a 
transformada discreta de Fourier. 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
https://www.ufrgs.br/reamat/TransformadasIntegrais/livro-tl/tdl-
dexfb01nix00e7x00e3o_de_transformada_de_laplace.html 
 
 
https://matematicasimplificada.com/transformada-de-laplace/ 
 
 
http://ftp.demec.ufpr.br/disciplinas/EMEC7026/emec7026_11.pdf