Unidade 1 - Frente 1 - Conjuntos

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MATEMÁTICA
Professor Matsuura
Frente 1
Conjuntos
 Conjunto é um conceito primitivo.
 Cator chamou conjunto todo agrupamento de objetos bem definidos e diferentes de nossa
compreensão e percepção, chamados de elementos do conjunto.
Notação:
É representado por uma letra maiúscula e as chaves.
Um exemplo de conjunto é o conjunto das vogais: V = {a; e; i; o; u}.
Conjunto dos algarismos pares: A = {0; 2; 4; 6; 8}.
Conjunto de estados da região sul do Brasil E = {Paraná; Santa Catarina; Rio Grande do Sul}.
Conjunto dos dígitos de um relógio digital quando marca onze horas da manhã D = {0,1}.
Conjuntos
Representações:
Existem três maneiras que podemos representar um conjunto.
Enumeração ou listagem
Os elementos são todos enumerados entre chaves e separados por ponto e vírgula. 
B = {verde; amarelo; azul; branco} 
Compreensão
Os elementos do conjunto são expressos através de uma propriedade característica dos
seus elementos.
B = {x/x é cor da bandeira do Brasil}
Diagrama de Venn-Euler
É basicamente uma listagem que os elementos ficam dentro de uma linha fechada. 
B
Azul
Branco
Verde
Amarelo
Conjuntos
Relação de Pertinência
Um elemento pode ou não pertencer a um conjunto.
Para indicar que é um elemento pertencente ao conjunto, usa-se o símbolo  (pertence) e
caso contrário, utiliza-se  (não pertence).
Ex: B = {1; 2; {2}; {3}; 4}
1  B; 2  B; {2}  B; 3  B; {3}  B; 4  B.
ATENÇÃO: O conceito de elemento é relativo. Um conjunto pode ser elemento de outro
conjunto. A relação de pertinência é apenas para relacionar elemento com conjunto.
Conjuntos Especiais
 Vazio: É o conjunto que não possui elementos.
Representa-se o conjunto vazio por Ø ou { }.
 Universo (U): Conjunto que possui todos os elementos.
Para todo x, x pertence a U.
 Unitário: possui um único elemento.
Conjuntos
Subconjunto de um conjunto: Relação de Inclusão
Se todo elemento do conjunto A for também elemento do conjunto B, então A é
subconjunto de B.
Indicamos esta relação por A  B, lê-se: A está contido em B.
Outra maneira que essa relação pode ser apresentada é por B  A, lê-se B contém A.
Afirmamos que A  B, se e somente se, todos os elementos pertencentes à A também
pertencerem a B.
Negação: A  B, se existir algum elemento de A que não pertence a B.
Os símbolos , ,  são utilizados para relacionar conjunto com conjunto.
Exemplos:
0; 1  0; 1; 2
3; 4  3; 5; 6
{7;8;9;10}  {8;10}
Conjuntos
Conjunto das partes de um conjunto
O conjunto das partes de um conjunto A é o conjunto formado por todos os subconjuntos
de A, incluindo o conjunto vazio. Para representar o conjunto das partes de um conjunto
iremos utilizar a seguinte notação P(A).
Ex.: Seja A = 1; 2; 3
P(A) = ; 1; 2; 3; 1;2; 1;3; 2;3; 1;2;3.
Para determinar a quantidade de elementos do conjunto das partes de um conjunto
podemos recorrer a seguinte propriedade:
PROPRIEDADE:
Observe a regularidade abaixo:
{ } => P(Conjunto vazio) = {} (1 elemento)
C = {a} => P(A) = {; {a}} (2 elementos)
B = {1; 2} => P(B) = {{ }; {1}; {2}; {1;2}} (4 elementos)
A = 1; 2; 3 => P(A) = ; 1; 2; 3; 1;2; 1;3; 2;3; 1;2;3 (8 elementos)
...
“Se A tem k elementos, então P(A) tem 2k elementos”.
Conjuntos
Operações entre conjuntos
União: Sendo A e B dois conjuntos, chamamos de conjunto união (A  B) o conjunto
formado pelos elementos de A OU de B. Simbolicamente:
A  B = x/x  A OU x  B
Ex.: 1;2;3  3;5;7 = 1;2;3;5;7
Usando o diagrama
A B
1
2
3
5
7
A  B
Observação: Esse “ou” da união possui caráter inclusivo, o que significa que o elemento
não precisa ser só de um conjunto ou só de outro, mas que precisa pertencer a pelo menos
um dos conjuntos.
Conjuntos
Interseção: Sendo A e B conjuntos, o conjunto interseção (A  B) é o conjunto formado
pelos elementos que são comuns a A e a B, ou seja, é formado pelos elementos de A E de B.
Simbolicamente:
A  B = x/x  A E x  B
Ex.: 3;5;9  1; 2;3 = 3
A B
9 2
5 1
3
A  B
Obs: Se A  B =  então A e B são conjuntos disjuntos.
Conjuntos
Diferença: A diferença entre dois conjuntos A e B, (A – B) é o conjunto formado pelos
elementos que estão em A e não estão em B. Simbolicamente:
A – B = x/x  A e x  B
Exemplo: 1;2;3 - 3;5;7 = 1;2
A B
72
51
3
A - B
Note: A – B ≠ B – A
B – A = {5; 7}
Obs.: Se A  B =  então A e B são conjuntos disjuntos.
Conjuntos
Complementar: Caso especial de diferença em que um conjunto é subconjunto do
outro.
𝐶𝐴
𝐵
= 𝐴 _ 𝐵
Lê-se: Complementar de B em relação a A.
𝐶𝐴
𝐵
Obs.: Notação alternativa Ac indica A complementar.
Número de elementos da União
Para representar a quantidade de elementos de um conjunto A, utiliza-se n(A).
Uma observação importante a se fazer é que ao observar o diagrama de Venn Notamos
que:
n(A  B) = n(A)+n(B)-n(A  B).