MM-02

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v.1.0 - 2012 2.1 UERJ/FEN - MECAN: Métodos Matemáticos para Eng. Mecânica – Prof. Renato Rocha 
 I – Funções de Variáveis Complexas 
 
2.2 v.1.0 - 2012 UERJ/FEN - MECAN: Métodos Matemáticos para Eng. Mecânica – Prof. Renato Rocha 
Sistemas de números 
 
(1) Números naturais → inteiros positivos (origem: tempos remotos) 
Se a e b são números naturais, a soma a + b e o produto a.b são também números naturais 
O conjunto de números é fechado sob as operações de adição e multiplicação (satisfaz a 
propriedade de fechamento). 
 
(2) Números inteiros → inteiros positivos, negativos e o zero (Renascimento sec. XV) 
Pode-se agora introduzir a operação inversa da adição; a subtração. 
O conjunto dos números inteiros é fechado sob as operações de adição, multiplicação e 
subtração. 
 
(3) Números racionais → números não inteiros (advento da agricultura) 
Pode-se assim definir a operação inversa da multiplicação; a divisão. 
O conjunto dos inteiros é um subconjunto dos números racionais. 
O conjunto dos números racionais é fechado sob as operações de adição, subtração, 
multiplicação e divisão (se for excluída a divisão por zero). 
 
(4) Números irracionais → números não-racionais, isto é, não podem ser expressos como 
2 1,41423...,
onde a e b são inteiros e b ≠0 Ex: 
(5) Números reais → é o conjunto de todos os racionais e irracionais. 
Representação gráfica dos números reais: pontos sobre uma reta. 
Dados dois números reais a e b: 
 
 
, intervalo aberto
, intervalo fechado
a b a x b
a b a x b
   

  
x: variável real 
b
a
(Idade Moderna sec XVII) 
2.3 v.1.0 - 2012 UERJ/FEN - MECAN: Métodos Matemáticos para Eng. Mecânica – Prof. Renato Rocha 
Número Complexo: Qualquer número da forma z=a + ib, onde a e b são números reais 
e i a unidade imaginária. (Gauss em 1799) 
i1??1 
2.4 v.1.0 - 2012 UERJ/FEN - MECAN: Métodos Matemáticos para Eng. Mecânica – Prof. Renato Rocha 
Nu ́meros complexos podem ser somados, subtraídos, multiplicados e divididos. 
 
 
 
 
Operações 
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Propriedades 
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2.7 v.1.0 - 2012 UERJ/FEN - MECAN: Métodos Matemáticos para Eng. Mecânica – Prof. Renato Rocha 
Conjugado 
iyxz 
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2.9 v.1.0 - 2012 UERJ/FEN - MECAN: Métodos Matemáticos para Eng. Mecânica – Prof. Renato Rocha 
Interpretação Geométrica 
 
Um número complexo z=x+iy é determinado unicamente 
por um par ordenado de números reais (x,y). 
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Propriedades Geométricas da Adição 
Pelo Teorema da Desigualdade do Triângulo: 
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2.12 v.1.0 - 2012 UERJ/FEN - MECAN: Métodos Matemáticos para Eng. Mecânica – Prof. Renato Rocha 
Potencias e Raízes 
Ɵ = Argumento de z (arg z) 
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2.14 v.1.0 - 2012 UERJ/FEN - MECAN: Métodos Matemáticos para Eng. Mecânica – Prof. Renato Rocha 
Multiplicação e 
Divisão 
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Potências 
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2.18 v.1.0 - 2012 UERJ/FEN - MECAN: Métodos Matemáticos para Eng. Mecânica – Prof. Renato Rocha 
Raízes 
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2.21 v.1.0 - 2012 UERJ/FEN - MECAN: Métodos Matemáticos para Eng. Mecânica – Prof. Renato Rocha 
2.22 v.1.0 - 2012 UERJ/FEN - MECAN: Métodos Matemáticos para Eng. Mecânica – Prof. Renato Rocha 
Funções de uma Variável Complexa 
z = x + iy 
2.23 v.1.0 - 2012 UERJ/FEN - MECAN: Métodos Matemáticos para Eng. Mecânica – Prof. Renato Rocha 
Mapeamento ou Transformação do plano z para o plano w 
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2.25 v.1.0 - 2012 UERJ/FEN - MECAN: Métodos Matemáticos para Eng. Mecânica – Prof. Renato Rocha 
Funções Complexas como Fluxo Bidimensional de um Fluido 
2.26 v.1.0 - 2012 UERJ/FEN - MECAN: Métodos Matemáticos para Eng. Mecânica – Prof. Renato Rocha 
Limite e Continuidade de uma Função Complexa 
2.27 v.1.0 - 2012 UERJ/FEN - MECAN: Métodos Matemáticos para Eng. Mecânica – Prof. Renato Rocha 
Função Complexa Polinomial 
Função Complexa Racional 
2.28 v.1.0 - 2012 UERJ/FEN - MECAN: Métodos Matemáticos para Eng. Mecânica – Prof. Renato Rocha 
Derivada de uma Função Complexa 
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2.30 v.1.0 - 2012 UERJ/FEN - MECAN: Métodos Matemáticos para Eng. Mecânica – Prof. Renato Rocha 
2.31 v.1.0 - 2012 UERJ/FEN - MECAN: Métodos Matemáticos para Eng. Mecânica – Prof. Renato Rocha 
Funções Exponenciais e Logarítmicas 
Para f(x)=ex, com x Real 
Fórmula de Euler: 
Prova: Séries de Taylor de eiy, cosy e iseny 
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Periodicidade 
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Forma Polar 
2.34 v.1.0 - 2012 UERJ/FEN - MECAN: Métodos Matemáticos para Eng. Mecânica – Prof. Renato Rocha 
Função Logarítmica 
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2.36 v.1.0 - 2012 UERJ/FEN - MECAN: Métodos Matemáticos para Eng. Mecânica – Prof. Renato Rocha 
2.37 v.1.0 - 2012 UERJ/FEN - MECAN: Métodos Matemáticos para Eng. Mecânica – Prof. Renato Rocha 
Funções Trigonométricas 
2.38 v.1.0 - 2012 UERJ/FEN - MECAN: Métodos Matemáticos para Eng. Mecânica – Prof. Renato Rocha 
Derivadas 
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Identidades 
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