LISTA - MATEMÁTICA - BAHIANA DE MEDICINA - REVISÃO

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LISTA DE EXERCÍCIOS – MATEMÁTICA – BAHIANA - REVISÃO 
 
1. (Ebmsp 2016) Em um passado recente, a função prioritária do pai era dar suporte material à 
família, mas, atualmente, os pais sabem que para cada função ligada ao suporte material de 
um filho, estão vinculadas funções de suporte afetivo e emocional que no passado era 
delegado às mulheres. No século passado o pai ouvia o filho chorar pela primeira vez de longe, 
hoje ele tem a oportunidade de acompanhar tudo de dentro da sala de parto. Hoje em dia, os 
pais descobrem a paternidade no ultrassom e, quando ouvem o coração de seu filho batendo 
pela primeira vez se permitem ficar emocionados, fazem planos de ensinar o filho a jogar bola, 
ficam imaginando as viagens e todas as alegrias que poderão ter juntos. 
 
A ultrassonografia é um método diagnóstico que lança mão de ecos produzidos pelo som e os 
transforma em imagens com auxílio da computação gráfica. O som pode se propagar como 
uma onda periódica, caracterizada por seu comprimento e por sua frequência, sendo a forma 
senoidal considerada a onda mais simples. 
 
Para uma onda de forma senoidal representada algebricamente pela função 𝑓(𝑥) = 3 +
2 𝑠𝑒𝑛 (5𝑥 −
𝜋
2
), determine 
 
a) sua amplitude, 
b) seu comprimento, 
c) sua frequência. 
 
2. (Ebmsp 2018) Uma pessoa foi orientada pelo médico a fazer sessões de fisioterapia e 
pilates durante um determinado período após o qual passaria por uma nova avaliação. Ela 
planejou fazer apenas uma dessas atividades por dia, sendo a fisioterapia no turno da manhã e 
o pilates no turno da tarde. 
 
Sabe-se que, no decorrer desse período, 
- houve dias em que ela não fez qualquer das atividades; 
- houve 24 manhãs em que ela não fez fisioterapia; 
- houve 14 tardes em que ela não fez pilates; 
- houve 22 dias em que ela fez ou fisioterapia ou pilates. 
 
Com base nesses dados, pode-se afirmar que o período de tratamento foi de 
a) 30 dias. 
b) 34 dias. 
c) 38 dias. 
d) 42 dias. 
e) 46 dias. 
 
3. (Ebmsp 2018) Os professores 𝑋 e 𝑌 receberam ajuda financeira para levarem três alunos de 
cada um deles a um encontro científico. Na relação de possíveis integrantes desse grupo, 
foram selecionados, dos alunos de 𝑋, 4 homens e 3 mulheres e, dos alunos de 𝑌, 3 homens e 4 
mulheres. 
 
Sabendo-se que os professores não têm alunos em comum, pode-se afirmar que o número 
máximo de formas distintas de se compor um grupo com 3 estudantes homens e 3 estudantes 
mulheres, para ir ao encontro, é 
a) 144 
b) 161 
 
 
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c) 324 
d) 468 
e) 485 
 
4. (Ebmsp 2018) 
 
Componentes P Q R S T 
Percentual utilizado 26 15 10 34 15 
 
 
Os dados na tabela referem-se à quantidade percentual dos componentes P, Q, R, S e T 
utilizados por um laboratório na preparação de determinado medicamento, comercializado em 
cápsulas de 300 𝑚𝑔. 
 
Sabe-se que T não tem efeito curativo, entrando na composição como mero adoçante e, que, 
quanto maior for a razão entre a quantidade de R e a soma das quantidades de Q e T 
utilizadas, maior é a probabilidade de ocorrerem efeitos colaterais causados pelo medicamento. 
 
Visando aumentar a eficácia do medicamento, decidiu-se modificar essa composição, 
 
- diminuindo a quantidade de T, 
- aumentando a quantidade de R, 
- reduzindo 5% da quantidade de S, 
- mantendo as quantidades dos outros componentes inalteradas. 
 
Nessas condições, pode-se afirmar que a quantidade percentual máxima de R que poderá ser 
utilizada, de modo que os efeitos colaterais não excedam o dobro dos efeitos colaterais da 
composição inicial do medicamento, é 
a) 16% 
b) 17% 
c) 18% 
d) 19% 
e) 20% 
 
5. (Ebmsp 2018) 
 
 
A capela de um hospital é decorada com vitrais semelhantes ao representado na figura 1. Para 
reproduzi-lo, uma pessoa decidiu fazer os cálculos relativos às dimensões de alguns detalhes, 
iniciando com a parte superior, representada na figura 2. Sabe-se que 𝑀𝑃 e 𝑁𝑃 são arcos de 
circunferências com centros em 𝑁 e 𝑀, respectivamente, e que o círculo tangente aos arcos 
𝑀𝑃 e 𝑁𝑃 e ao segmento 𝑀𝑁 tem raio 𝑟 = 15 𝑢. 𝑐. 
 
Com base nesses dados, pode-se afirmar que a medida do segmento 𝑀𝑁 é igual a 
 
 
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a) 45 
b) 40 
c) 30 
d) 25 
e) 15 
 
6. (Ebmsp 2018) Os pontos 𝑃 e 𝑄 de uma pista circular, com 6 𝑘𝑚 de comprimento, são 
diametralmente opostos. 
 
Partindo de 𝑃, um ciclista dá duas voltas completas, sem interrupção, de modo que a primeira 
volta foi realizada com uma velocidade constante 𝑉, enquanto na segunda volta essa 
velocidade foi reduzida em 3 
𝑘𝑚
ℎ
. 
 
Sabendo-se que o intervalo de tempo entre as duas passagens pelo ponto 𝑄 foi de 50 minutos, 
pode-se afirmar que a velocidade, em 
𝑘𝑚
ℎ
, da primeira volta foi igual a 
a) 6 
b) 7 
c) 8 
d) 9 
e) 10 
 
7. (Ebmsp 2018) A forma de onda senoidal ocorre, naturalmente, na natureza, como se pode 
observar nas ondas do mar, na propagação do som e da luz, no movimento de um pêndulo, na 
variação da pressão sanguínea do coração etc. 
 
 
 
Um determinado fenômeno periódico é modelado através da função 𝑓(𝑥) = 1 + 2  𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 +
𝜋
6
), 
parcialmente representada no gráfico. 
 
Sendo 𝑃 e 𝑄 pontos desse gráfico, é correto afirmar que o par ordenado que representa 𝑄 é 
a) (
25𝜋
24
,  1 + √2) 
b) (
13𝜋
12
,  1 + √3) 
c) (
7𝜋
6
,  3 + √2) 
d) (
5𝜋
4
,  1 + √3) 
e) (
17𝜋
12
,  1 + √2) 
 
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 3 QUESTÕES: 
 
 
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Segundo dados das Nações Unidas, em 2016, cerca de 125 milhões de pessoas devastadas 
por conflitos armados, terrorismo, guerras civis e por desastres naturais demandaram algum 
tipo de assistência humanitária. Além disso, para atender a essa demanda, foram necessários 
cerca de 25 bilhões de dólares, montante doze vezes maior do que o registrado em 2002. 
 
 
8. (Ebmsp 2018) Considerando essa informação e admitindo, hipoteticamente, que o montante 
necessário para atender à demanda da assistência humanitária a cada ano, tenha crescido, ao 
longo desse período, segundo uma progressão geométrica, determine o valor, aproximado, 
desse montante, em 2009. 
 
9. (Ebmsp 2018) Uma organização de ajuda humanitária dispõe de vinte veículos para 
transportar suprimentos e resgatar pessoas em situação de risco, abrigadas, temporariamente, 
em um acampamento. 
 
Sabe-se que os veículos são de dois modelos distintos – 𝑉 e 𝑊 – e que 
 
- cada veículo do modelo 𝑉pode, na ida, levar 45 caixas de suprimentos e, na volta, regatar 20 
pessoas. 
- cada veículo do modelo 𝑊 pode, na ida, levar 30 caixas de suprimentos e, na volta, resgatar 
32 pessoas. 
- o total de caixas de suprimentos a serem transportadas deve ser de, pelo menos, 690. 
- o total de pessoas a serem resgatadas deve ser de, pelo menos, 508. 
 
Com base nessas informações, 
 
- determine o número máximo de pessoas regatadas e o número de veículos de cada tipo 
utilizados nesse resgate. 
 
10. (Ebmsp 2018) 
 
 
Furacões formam-se no mar e avançam sobre a costa em movimentos rotatórios, em forma de 
espiral, como ilustrado na figura1. Uma espiral é uma curva plana que dá voltas em torno de 
um ponto fixo afastando-se ou aproximando-se, cada vez mais, desse ponto. 
 
Cada ponto da espiral representada na figura 2 é resultante da rotação do ponto 𝑃, no sentido 
anti-horário, em torno do ponto fixo 𝑂, podendo ser identificado pelo par (𝑟,  𝜃), em que 𝑟 é a 
medida de sua distância ao ponto fixo e 𝜃 é a medida do ângulo de rotação. 
 
 
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Sabe-se que a curva da figura 2 
- é definida pela equação 𝑟 = 𝑎 + 𝑏𝜃, sendo 𝑎 e 𝑏 constantes positivas e 𝜃 medido em 
radianos; 
- passa pelo ponto 𝑄, cuja distância ao ponto fixo é igual a 8,5 𝑢. 𝑐. 
 
Com base nessa informação e nos dados da figura, 
 
- determineos valores de 𝑎 e 𝑏 e as coordenadas cartesianas de 𝑄. 
 
11. (Ebmsp 2017) Cada uma das 12 pessoas inscritas para participar de um trabalho 
voluntário recebeu um crachá com um número de identificação distinto – de 1 a 12 – de acordo 
com a ordem de inscrição. 
 
Desejando-se organizar grupos formados por três pessoas que não estejam identificadas por 
três números consecutivos, o número máximo possível de grupos distintos que se pode formar 
é 
a) 230 
b) 225 
c) 220 
d) 215 
e) 210 
 
12. (Ebmsp 2017) Uma pesquisa realizada durante 75 anos nos Estados Unidos mostrou que 
não é uma carreira de sucesso, a fama ou os bens adquiridos durante a vida a fórmula da 
felicidade para uma jornada tranquila. Segundo o estudo, as pessoas que participam de grupos 
sociais, se relacionam bem com a família, com os amigos e com a comunidade são mais 
felizes, fisicamente mais saudáveis e vivem mais tempo do que as pessoas que têm menos 
relações sociais. 
 
 
 
Uma pessoa para realizar um evento ao ar livre, com familiares e amigos, está planejando 
instalar um toldo cuja cobertura tem a forma do sólido, de volume igual a 
20√3
3
 𝑚3, representado 
na figura 1. 
Com base nessa informação, calcule a área total da planificação dessa cobertura, constituída 
por dois retângulos congruentes e dois triângulos, representada na figura 2. 
 
13. (Ebmsp 2017) No instante 𝑡 = 0, quando a quantidade presente de determinada substância 
radioativa começa a ser monitorada, registra-se 𝑄0 gramas da substância. Depois de 𝑡 horas, a 
partir 𝑡 = 0, a quantidade, em gramas, de substância remanescente é calculada através da 
equação 𝑄(𝑡) = 𝑄0𝑒
−0,45𝑡. 
 
Considerando-se 𝑙𝑜𝑔𝑒 2 = 0,69, pode-se afirmar que o tempo necessário para que a quantidade 
 
 
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presente dessa substância seja reduzida a metade da quantidade inicial é de 
a) 54 𝑚𝑖𝑛 
b) 1 ℎ 20 𝑚𝑖𝑛 
c) 1 ℎ 32 𝑚𝑖𝑛 
d) 1 ℎ 45 𝑚𝑖𝑛 
e) 2 ℎ 9 𝑚𝑖𝑛 
 
14. (Ebmsp 2017) Uma pesquisa realizada com 750 pessoas residentes em uma cidade 
industrial constatou que uma em cada três pessoas tinha algum tipo de problema pulmonar. 
 
Considerando-se que a pesquisa admite uma margem de erro de dois pontos percentuais, para 
mais ou para menos, pode-se afirmar que o número de pessoas com problemas pulmonares é, 
no mínimo, igual a 
a) 265 
b) 258 
c) 250 
d) 242 
e) 235 
 
15. (Ebmsp 2017) 
 
 
O círculo, na figura, representa, no sistema de coordenadas cartesianas, uma pista onde uma 
pessoa 𝑃 costuma correr, visando os benefícios à saúde que essa prática traz. 
 
Um determinado dia, 𝑃 parte do ponto representado por 𝐴 = (120,  0), de onde começa a correr 
no sentido anti-horário, mantendo uma velocidade de 4 metros por segundo. 
 
Considerando-se 𝜋 = 3, pode-se afirmar que após 32 minutos de corrida 𝑃 estará no ponto de 
coordenadas 𝑥 e 𝑦, tais que 
a) 𝑦 = −√3 𝑥 
b) 𝑦 = −√2 𝑥 
c) 𝑦 = √2 𝑥 
d) 𝑦 = √3 𝑥 
e) 𝑦 = 2√3 𝑥 
 
16. (Ebmsp 2017) 
 
 
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O gráfico ilustra o número percentual de pessoas que, atendidas em um posto de saúde, em 
determinado período, apresentou problemas cardíacos. 
 
Com base nos dados do gráfico e considerando-se 𝑀 o número de mulheres e 𝐻 o número de 
homens atendidos, nesse período, é correto afirmar: 
a) 𝐻 = 𝑀 − 10 
b) 𝐻 = 𝑀 
c) 𝐻 = 𝑀 + 5 
d) 𝐻 = 𝑀 + 10 
e) 𝐻 = 2𝑀 
 
17. (Ebmsp 2017) Para arrumar todos os seus livros que estavam encaixotados uma pessoa, 
𝑋, sozinha, precisaria trabalhar exatamente duas horas enquanto outra pessoa, 𝑌, precisaria de 
exatamente três horas para executar o mesmo trabalho. 
 
Sabendo que 𝑋 e 𝑌 optaram por trabalhar juntos e tendo 𝑌 feito duas pausas, de dez minutos 
cada, enquanto 𝑋 continuou a trabalhar sozinho, determine o tempo total gasto para conclusão 
do trabalho. 
 
18. (Ebmsp 2017) Um grupo de pesquisadores, composto por 6 médicos e seus 19 
orientandos, recebeu, ao final de um projeto, como bonificação, uma quantia, em notas de 
𝑅$ 100,00, a ser dividida entre eles de tal modo que metade fosse dividida, igualmente, entre os 
médicos e a outra metade fosse dividida, igualmente, entre os orientandos. 
 
Com base nessas informações, pode-se afirmar que a diferença entre os valores recebidos por 
um médico e um orientando foi, no mínimo, igual a 
a) 𝑅$ 1.300,00 
b) 𝑅$ 1.500,00 
c) 𝑅$ 2.000,00 
d) 𝑅$ 2.400,00 
e) 𝑅$ 3.000,00 
 
19. (Ebmsp 2017) Há nos dias atuais uma confusão entre o que é ser e ter. Nunca o ser 
humano teve tanto acesso a bens materiais, mas isso não o fez mais feliz. Pesquisas já 
mostraram que a felicidade tem um componente material, porém só até determinado ponto, até 
que as necessidades básicas sejam supridas, principalmente, as necessidades do grupo social 
em que se vive. Uma vez que isso é atendido a felicidade não cresce mais proporcionalmente. 
É fato que hoje se consome muito mais do que se precisa e quando esse consumismo vai a um 
grau máximo pode resultar em transtornos na vida financeira e familiar sendo a compulsão por 
compras um mal que acomete cerca de seis milhões de brasileiros. 
 
 
 
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Uma pessoa recebeu a fatura mensal do cartão de crédito com valor total a pagar igual a 𝑉 
reais, tendo optado por pagar a taxa mínima de 10% desse valor, mesmo sabendo que 
pagaria, no mês subsequente, uma taxa de 20% sobre o saldo devedor. 
 
Com base nesses dados e sabendo que o valor mínimo relativo à fatura do mês subsequente – 
segunda fatura – foi igual a 𝑅$   216,00, calcule o valor a ser pago no próximo mês – terceira 
fatura – para quitar o saldo devedor. 
 
20. (Ebmsp 2016) Em um grupo de 100 jovens, verificou-se que 
 
- dos que usam óculos de grau, 12 usam aparelho ortodôntico. 
- a metade dos que usam óculos de grau não usa aparelho ortodôntico. 
- 70% dos que usam aparelho ortodôntico não usam óculos de grau. 
 
Com base nessas informações, pode-se afirmar que o número de jovens que não usam óculos 
de grau e nem aparelho ortodôntico é igual a 
a) 36 
b) 48 
c) 62 
d) 70 
e) 88 
 
21. (Ebmsp 2016) 
 
 
A figura ilustra a árvore genealógica de uma pessoa composta pelos pais, quatro avós, oito 
bisavós e assim por diante. 
 
Considerando-se 15 gerações de antepassados, pode-se estimar o número de ancestrais 
dessa pessoa em 
a) 210 
b) 153 
c) 2 ⋅ 153 
d) 15 ⋅ 210 
e) 215 
 
22. (Ebmsp 2016) 
 
 
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Na figura, tem-se a reprodução de parte de um painel em que cada região sombreada é interior 
a um quadrado e exterior a um quadrante de círculo inscrito no quadrado. 
 
Sendo a medida do lado do quadrado maior igual a 4 𝑢. 𝑐., as três regiões sombreadas 
totalizam uma área que mede 𝑘(4 − 𝜋) 𝑢. 𝑎., sendo o valor de 𝑘 igual a 
a) 6 
b) 7 
c) 8 
d) 9 
e) 10 
 
23. (Ebmsp 2016) 
 
 
Na figura, a malha é formada por quadrados do mesmo tamanho cujos lados representam ruas 
de determinado bairro onde o deslocamento de veículos só é permitido no sentido leste ou 
norte e ao longo das ruas representadas pelas linhas. 
 
Nessas condições, o menor percurso para ir de 𝑃 até 𝑅, sem passar por 𝑄, pode ser feito por 
um número máximo de formas distintas igual a 
a) 115 
b) 75 
c) 54 
d) 36 
e) 15 
 
24. (Ebmsp 2016) 
 
 
 
 
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Uma piscina deve ser construída, como representada na figura 1, em um terreno retangular de 
dimensões 18,0 𝑚 por 15,0 𝑚. 
 
Sabendo que a piscina foi projetada tendo cada um dos lados paralelo aos lados do terreno, 
como indicado na figura 2, calcule o valor de 𝑘 – distância do lado do terreno à borda da 
piscina – para que a capacidade máxima da piscina seja igual a 18,0 𝑚3. 
 
25. (Ebmsp 2016) 
 
 
Uma mesa, com tampo circular de vidro com 1,40 𝑚 de diâmetro, apresentou um pequeno 
defeitona borda, sendo colocada no canto de uma sala, encostada nas duas paredes, de modo 
que o ponto defeituoso 𝑃 não apresentasse risco. 
 
Se, na figura, 𝑂 representa o centro da mesa, 𝑄 um dos pontos de tangência, 𝜃 = 60° e √3 ≅
1,7, então as distâncias de 𝑃 a cada uma das paredes medem, em centímetros, 
a) 9,5 e 32,0 
b) 9,5 e 33,5 
c) 10,5 e 33,5 
d) 10,5 e 35,0 
e) 12,0 e 35,0 
 
26. (Ebmsp 2016) A culinária está em alta nos programas televisivos. Em um desses 
programas, os participantes foram desafiados a elaborar um prato no qual fossem utilizados, 
entre outros, os ingredientes 𝐴, 𝐵 e 𝐶, cujas quantidades, em 𝑘𝑔, numericamente, não 
excedessem às raízes do polinômio 𝑃(𝑥) = 8𝑥3– 14𝑥2 + 7𝑥– 1. 
 
Sabendo-se que os participantes receberam 
1
4
 𝑘𝑔 do ingrediente 𝐴, pode-se afirmar que as 
quantidades máximas que podem ser utilizadas dos ingredientes 𝐵 e 𝐶 diferem em 
a) 200 𝑔 
b) 275 𝑔 
c) 350 𝑔 
d) 425 𝑔 
e) 500 𝑔 
 
 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 a) A partir da equação de 𝑓, temos 𝐴 = 2. 
 
b) Sendo 2𝜋 o período fundamental da função seno, tem-se que o comprimento é dado por 
2𝜋
|5|
=
2𝜋
5
. 
 
c) Sabendo que a frequência corresponde ao inverso multiplicativo do período, segue que a 
resposta é 
5
2𝜋
. 
 
Resposta da questão 2: 
 [A] 
 
Sejam 𝑛,  𝑓 e 𝑝, respectivamente o número de dias em que a pessoa não fez qualquer das 
atividades, o número de dias em que ela fez fisioterapia e o número de dias que ela fez pilates. 
Logo, temos 𝑛 + 𝑝 = 24, 𝑛 + 𝑓 = 14 e 𝑓 + 𝑝 = 22. 
Em consequência, somando essas equações, encontramos 
2𝑛 + 2𝑓 + 2𝑝 = 60 ⇔ 𝑛 + 𝑓 + 𝑝 = 30, 
 
que é o resultado procurado. 
 
Resposta da questão 3: 
 [E] 
 
Considere a tabela, que explicita as possibilidades de escolhas para 𝑋 e 𝑌. 
 
𝑋 𝑌 
homem mulher homem mulher 
0 3 3 0 
1 2 2 1 
2 1 1 2 
3 0 0 3 
 
Portanto, o resultado é dado por 
4 3 3 4 4 3 3 4 4 4
1 1 144 324 16
1 2 2 1 2 1 1 2 3 3
485.
                   
+    +    +  = + + +                   
                   
=
 
 
Resposta da questão 4: 
 [B] 
 
Gabarito Oficial: [C] 
Gabarito SuperPro®: [B] 
 
Calculando as quantidades dos componentes, em 300𝑚𝑔, encontramos 78𝑚𝑔 de 𝑃, 45𝑚𝑔 de 
𝑄, 30𝑚𝑔 de 𝑅, 102𝑚𝑔 de 𝑆 e 45𝑚𝑔 de 𝑇. Desse modo, com a modificação na composição, 
temos 
78 + 45 + 𝑅' + 0,95 ⋅ 102 + 𝑇' = 300 ⇔ 𝑇' = 80,1 − 𝑅'. 
 
Ademais, sabendo que 0 < 𝑇' < 45𝑚𝑔 e 𝑅' > 30𝑚𝑔, vem 
 
 
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0 < 80,1 − 𝑅' < 45 ⇔ 35,1 𝑚𝑔 < 𝑅' < 80,1𝑚𝑔. 
 
Por outro lado, devemos ter 
𝑅'
𝑄' + 𝑇'
≤ 2 ⋅
𝑅
𝑄 + 𝑇
⇔
𝑅'
45 + 80,1 − 𝑅'
≤ 2 ⋅
30
45 + 45
 
    ⇔
𝑅'
125,1 − 𝑅'
−
2
3
≤ 0 
    ⇔
𝑅' − 50,04
𝑅' − 125,1
≥ 0 
    ⇔ 𝑅' ≤ 50,04 ou 𝑅' > 125,1. 
 
Em consequência, segue que 35,1 𝑚𝑔 < 𝑅' ≤ 50,04𝑚𝑔 e, portanto, a quantidade percentual 
máxima de R que poderá ser utilizada, de modo que os efeitos colaterais não excedam o dobro 
dos efeitos colaterais da composição inicial do medicamento, é 
50,04
300
⋅ 100% ≅ 17%. 
 
Resposta da questão 5: 
 [B] 
 
Considere a figura, em que 𝐶 é o centro do círculo tangente aos arcos 𝑀𝑃 e 𝑁𝑃, 𝑆 é o ponto 
médio de 𝑀𝑁 e 𝑄 é o ponto de interseção do círculo de centro 𝐶 com o arco 𝑁𝑃. 
 
 
 
Logo, sabendo que 𝐶𝑆 = 𝐶𝑄 = 15 u.c. e 𝑀𝑁 = 𝑀𝑄, pelo Teorema de Pitágoras, vem 
 
𝑀𝐶
2
= 𝑀𝑆
2
+ 𝐶𝑆
2
⇒ (𝑀𝑁 − 15)2 = (
𝑀𝑁
2
)
2
+ 152 
 ⇒ 𝑀𝑁
2
− 40𝑀𝑁 = 0 
 ⇒ 𝑀𝑁 = 40 u.c. 
 
Resposta da questão 6: 
 [D] 
 
Desde que o tempo para ir de 𝑄 até 𝑃 na primeira volta é 
3
𝑉
 horas e o tempo para ir de 𝑃 até 𝑄 
na segunda volta é 
3
𝑉−3
 horas, temos 
 
3
𝑉
+
3
𝑉 − 3
=
50
60
⇔
3(𝑉 − 3) + 3𝑉
𝑉(𝑉 − 3)
=
5
6
 
 ⇒ 5𝑉2 − 51𝑉 + 54 = 0 
 ⇒ 𝑉 = 9
𝑘𝑚
ℎ
 
 
 
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Resposta da questão 7: 
 [D] 
 
Tem-se que 
f 1 2 sen 2
12 12 6
1 2 sen
3
1 3.
π π π
π
   
= +   +   
   
= + 
= +
 
 
Logo, a ordenada de 𝑄 é 𝑦𝑄 = 1 + √3 e, portanto, vem 
1 + √3 = 1 + 2 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 +
𝜋
6
) ⇔ 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 +
𝜋
6
) =
√3
2
 
 ⇔ 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 +
𝜋
6
) = 𝑠𝑒𝑛
𝜋
3
 
 ⇔ |
|
2𝑥 +
𝜋
6
=
𝜋
3
+ 2𝑘𝜋
 ou
2𝑥 +
𝜋
6
=
2𝜋
3
+ 2𝑘𝜋
 
 ⇔ ||
𝑥 =
𝜋
12
+ 𝑘𝜋
 ou
𝑥 =
𝜋
4
+ 𝑘𝜋
 . 
 
Em consequência, sendo o período de 𝑓 igual a 
2𝜋
2
= 𝜋, para 𝑘 = 1, só pode ser 𝑥𝑄 =
5𝜋
4
, uma 
vez que 𝑥 =
13𝜋
12
 corresponde à abscissa de 𝑃 deslocada de um período no sentido positivo do 
eixo das abscissas. 
A resposta é 𝑄 = (
5𝜋
4
,  1 + √3). 
 
Resposta da questão 8: 
 Seja 𝑎𝑛 o montante utilizado para atender a demanda no ano 𝑛. 
Como 𝑎9 é o termo central da PG (𝑎2,  𝑎3, … , 𝑎9, … , 𝑎15,  𝑎16) 
 
Podemos escrever que; 
𝑎9
2 =
25000000000
12
⋅ 25000000000 
𝑎9 = 25000000000 ⋅
1
√12
 
𝑎9 = 7216878365,00 
 
Resposta da questão 9: 
 Vamos considerar que 𝑥 seja o número de veículos do modelo 𝑉 e 20 − 𝑥 o número de 
veículos do modelo 𝑊. 
 
Considerando o transporte das caixas, podemos escrever a seguinte inequação: 
45𝑥 + (20 − 𝑥) ⋅ 30 ≥ 690 ⇒ 
3𝑥 + (20 − 𝑥) ⋅ 2 ≥ 46 ⇒ 
3𝑥 − 2𝑥 ≥ 46 − 40 ⇒ 
𝑥 ≥ 6 
 
 
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Considerando, agora, o transporte das pessoas, escrevemos a inequação: 
20𝑥 + (20 − 𝑥) ⋅ 32 ≥ 508 ⇒ 
5𝑥 + (20 − 𝑥) ⋅ 8 ≥ 127 ⇒ 
5𝑥 − 8𝑥 ≥ 127 − 160 ⇒ 
−3𝑥 ≥ −33 ⇒ 
𝑥 ≤ 11 
 
Portanto: 6 ≤ 𝑥 ≤ 11 
Para transportar o maior número de pessoas, devemos considerar 𝑥 = 6 e 20 − 𝑥 = 14, 
portanto 6 veículos do modelo 𝑉 e 14 veículos do modelo 𝑊. Calculando este número máximo 
de pessoas, obtemos: 
6 ⋅ 20 + 14 ⋅ 32 = 568 pessoas 
 
Resposta da questão 10: 
 Observando o gráfico temos os seguintes pontos da forma (𝑟,  𝜃), 
(1,  0) ⇒ 1 = 𝑎 + 𝑏 ⋅ 0 ⇒ 𝑎 = 1     (𝐼) 
(3, 𝜋) ⇒ 3 = 𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝜋 ⇒ 𝑏 =
3 − 𝑎
𝜋
     (II) 
 
Substituindo (I) em (II), temos: 
𝑎 = 1 e 𝑏 =
2
𝜋
, logo: 
𝑟 = 1 +
2
𝜋
⋅ 𝜃. 
 
Considerando, agora, 𝑟 = 8,5, temos: 
8,5 = 1 +
2
𝜋
⋅ 𝜃 ⇒ 𝜃 =
7,5𝜋
2
⇒ 𝜃 =
15 ⋅ 𝜋
4
⇒ 𝜃 =
7𝜋
4
+ 2 ⋅ 𝜋 
 
Portanto, as coordenadas cartesianas de 𝑄 são: 
𝑥𝑄 = 8 ⋅ 𝑐𝑜𝑠
7𝜋
4
= 8 ⋅
√2
2
= 4 ⋅ √2 
𝑦𝑄 = 8 ⋅ 𝑠𝑒𝑛
7𝜋
4
= 8 ⋅ (−
√2
2
) = −4 ⋅ √2 
 
Resposta da questão 11: 
 [E] 
 
De 1 até 12, temos 10 números consecutivos, pois o primeiro deles não pode ser o 11 e nem o 
12. 
Total de grupos formados por 3 pessoas: 
𝐶12,3 =
12!
3! ⋅ 9!
= 220 
 
Portanto, o número máximo de grupos que se pode formar de modo que os crachás nãos 
sejam identificados por três números consecutivos será: 
220 − 10 = 210. 
 
Resposta da questão 12: 
 
 
 
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O toldo formará um prisma reto triangular. No triângulo da base do prisma, podemos escrever 
que: 
𝑠𝑒𝑛 60° =
2
𝐿
⇒
√3
2
=
2
𝐿
⇒ 𝐿 =
4
√3
 𝑚 
 
Logo, a área do triângulo da base será dada por: 
𝐴Δ =
1
2
⋅ 𝐿 ⋅ 𝐿 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 120° =
1
2
⋅
4
√3
⋅
4
√3
⋅
√3
2
=
4
√3
 𝑚2 
 
O volume do prisma será dado por: 
𝐴Δ ⋅ ℎ =
20 ⋅ √3
3
⇒
4
√3
⋅ ℎ =
20 ⋅ √3
3
⇒ ℎ = 5 𝑚 
 
Portanto, a área total do toldo será a soma das áreas dos dois triângulos e dos dois retângulos. 
𝐴𝑇 = 2 ⋅ 𝐴Δ + 2 ⋅ 𝐴▭ 
𝐴𝑇 = 2 ⋅
4
√3
+ 2 ⋅
4
√3
⋅ 5 
𝐴𝑇 =
48
√3
 
𝐴𝑇 = 16 ⋅ √3 𝑚
2 
 
Resposta da questão 13: 
 [C] 
 
𝑄(𝑡) = 𝑄0 ⋅ 𝑒
−0,45⋅𝑡 
𝑄0
2
= 𝑄0 ⋅ 𝑒
−0,45⋅𝑡 
2−1 = 𝑒−0,45⋅𝑡 
𝑙𝑜𝑔𝑒 2
−1 = 𝑙𝑜𝑔𝑒 𝑒
−0,45⋅𝑡 
−1 ⋅ 𝑙𝑜𝑔𝑒 2 = −0,45 ⋅ 𝑡 
−0,69 = −0,45𝑡 
𝑡 = (1,5333. . . )ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 1 hora e 32 minutos. 
 
Resposta da questão 14: 
 [E] 
 
 
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De acordo com as informações do problema o número mínimo de pessoas com problemas 
pulmonares será dado por: 
1
3
⋅ 750 −
2
100
⋅ 750 = 250 − 15= 235 
 
Resposta da questão 15: 
 [D] 
 
 
Calculando a distância (𝑑) percorrida pela pessoa (𝑃). 
𝑑 = 4 ⋅ 32 ⋅ 60 = 7.680 𝑚 
 
Comprimento da pista (1 volta) 
2 ⋅ 𝜋 ⋅ 120 = 2 ⋅ 3 ⋅ 120 = 720 𝑚 
 
Sabendo que: 
7680 𝑚 = (720 ⋅ 10 + 480)𝑚 
 
Concluímos que foram dadas 10 voltas na pista mais 480 𝑚. Determinando quando mede, em 
graus, um arco de 480 na pista circular de raio 120 𝑚. 
720 𝑚            360° 
480 𝑚           𝑥 
 
Resolvendo a regra de três acima, concluímos que 𝑥 = 240°. Ou seja a pessoa 10 voltas 
completas na pista e ainda percorre um arco de 240°, como nos mostra a figura abaixo. 
 
 
 
Como as coordenadas do ponto (𝑥,  𝑦) possuem o mesmo sinal, podemos escrever que: 
𝑡𝑔 60° =
𝑦
𝑥
⇒ 𝑦 = √3 ⋅ 𝑥 
 
Resposta da questão 16: 
 [B] 
 
De acordo com o gráfico, podemos escrever que: 
(𝑀 + 𝐻) ⋅ 0,37 = 0,32 ⋅ 𝑀 + 0,42 ⋅ 𝐻 
0,37 ⋅ 𝑀 + 0,37 ⋅ 𝐻 = 0,32 ⋅ 𝑀 + 0,42 ⋅ 𝐻 
0,37 ⋅ 𝑀 − 0,32 ⋅ 𝑀 = 0,42 ⋅ 𝐻 − 0,37 ⋅ 𝐻 
0,05 ⋅ 𝑀 = 0,05 ⋅ 𝐻 
 
 
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𝑀 = 𝐻 
 
Resposta da questão 17: 
 Em 1 hora: 
A pessoa 𝑋 realiza 
1
2
 do trabalho 
A pessoa 𝑌 realiza 
1
3
 do trabalho 
 
Trabalhando juntas em 1 hora as pessoas 𝑋 e 𝑌 realizarão: 
1
2
+
1
3
=
5
6
 do trabalho. 
 
Considerando que a pessoa 𝑋 trabalho 20 minutos (
1
3
 de hora) sozinha, podemos elaborar a 
seguinte equação, onde 𝑥 é o tempo em que elas trabalharam juntas. 
1
2
⋅
1
3
+
5
6
⋅ 𝑥 = 1 
1
6
+
5
6
⋅ 𝑥 = 1 
1 + 5𝑥 = 6 
𝑥 = 1 
 
Portanto, o tempo gasto para a conclusão do trabalho será: 1 hora e 20 minutos. 
 
Resposta da questão 18: 
 [A] 
 
O valor total em notas de 100 será representado por 100𝑛, onde 𝑛 é o número de notas. 
 
A diferença entre o valor recebido por um médico e o valor recebido por um orientando será 
dada por: 
50𝑛
6
−
50𝑛
19
=
(950 − 300) ⋅ 𝑛
114
=
650 ⋅ 𝑛
114
 
 
Considerando: 
𝑛 = 114 ⇒
650 ⋅ 𝑛
114
= 650  (𝑛ã𝑜 é 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 100) 
𝑛 = 228 ⇒
650 ⋅ 𝑛
114
= 1300  (𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 100) 
 
Portanto, a diferença pedida é no mínimo 𝑅$ 1.300,00. 
 
Resposta da questão 19: 
 Admitindo que 𝑉 seja o valor da primeira fatura, podemos escrever que: 
(𝑉 − 0,1 𝑉) ⋅ 1,2 ⋅ 0,1 = 216 ⇒ 0,108𝑉 = 216 ⇒ 𝑉 = 𝑅$ 2.000,00 
 
Portanto, na terceira fatura o valor cobrado será: 
((2000 − 0,1 ⋅ 2000) ⋅ 1,2 − 216) ⋅ 1,2 = 𝑅$ 2.332,80 
 
Resposta da questão 20: 
 [B] 
 
Considere o diagrama, em que 𝑂 representa o conjunto dos jovens que usam óculos e 𝐴 
representa o conjunto dos jovens que usam aparelho ortodôntico. 
 
 
 
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Se metade dos que usam óculos de grau não usa aparelho ortodôntico, então metade dos que 
usam óculos de grau usa aparelho ortodôntico. Logo, temos 
 
𝑥 + 12
2
= 12 ⇔ 𝑥 = 12. 
 
Ademais, se 70% dos que usam aparelho ortodôntico não usam óculos de grau, então 100% −
70% = 30% dos que usam aparelho ortodôntico usam óculos de grau. Assim, vem 
 
3
10
(𝑦 + 12) = 12 ⇔ 𝑦 = 28. 
 
Portanto, o número de jovens que não usam óculos de grau e nem aparelho ortodôntico, 𝑧, é tal 
que 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 12 = 100 ⇔ 𝑧 = 88 − 40 ⇔ 𝑧 = 48. 
 
Resposta da questão 21: 
 ANULADA 
 
Questão anulada no gabarito oficial. 
 
O número de antepassados, em cada geração, constitui a progressão geométrica 
(2, 22,  23,  … , 215,  … ). Assim, queremos calcular a soma dos quinze primeiros termos dessa 
sequência. 
 
A resposta é dada por 
 
2 ⋅
215−1
2−1
= 2 ⋅ (215 − 1). 
 
Resposta da questão 22: 
 [B] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
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A área da maior região sombreada é igual a 42 −
1
4
⋅ 𝜋 ⋅ 42 = 4 ⋅ (4 − 𝜋) 𝑐𝑚2. 
 
Desde que 𝐷𝑃 = 𝐴𝐷 = 4 𝑐𝑚, temos 𝐷𝑃 = 𝑃𝐸 ⋅ √2 ⇔ 4 = 𝑃𝐸 ⋅ √2 ⇔ 𝑃𝐸 = 2√2 𝑐𝑚. 
 
Logo, a área da região sombreada intermediária é (2√2)2 −
1
4
⋅ 𝜋 ⋅ (2√2)2 = 2 ⋅ (4 − 𝜋) 𝑐𝑚2. 
 
Procedendo de forma análoga, concluímos que a área da menor região sombreada é igual a 
(4 − 𝜋) 𝑐𝑚2. Em particular, as áreas sombreadas constituem uma progressão geométrica de 
primeiro termo 4 ⋅ (4 − 𝜋) e razão 
1
2
. 
 
Portanto, segue que 4 ⋅ (4 − 𝜋) + 2 ⋅ (4 − 𝜋) + (4 − 𝜋) = 𝑘 ⋅ (4 − 𝜋) ⇔ 𝑘 = 7. 
 
Resposta da questão 23: 
 ANULADA 
 
Questão anulada no gabarito oficial. 
 
Para ir de 𝑃 a 𝑅, por qualquer trajeto, há 8 segmentos horizontais e 3 verticais. Assim, o 
número de caminhos possíveis é igual a 
𝑃11
(8, 3)
=
11!
8!   ⋅ 3!
= 165. 
 
Por outro lado, para ir de 𝑃 a 𝑅, passando por 𝑄, existem 
𝑃6
(5)
⋅ 𝑃5
(3, 2)
=
6!
5!
⋅
5!
3! ⋅2!
= 60 possibilidades. 
 
Em consequência, a resposta é 165 − 60 = 105. 
 
Resposta da questão 24: 
 O volume, 𝑉, da piscina, em metros cúbicos, com 0 < 𝑘 <
15
2
, é dado por 
 
𝑉 = (18 − 2𝑘) ⋅ (15 − 2𝑘) ⋅ 0,4 +
1
2
⋅ (18 − 2𝑘) ⋅ 1,2 ⋅ (15 − 2𝑘) 
= 4𝑘2 − 66𝑘 + 270. 
 
Portanto, o valor de 𝑘 para o qual 𝑉 = 18 𝑚3 é tal que 
 
4𝑘2 − 66𝑘 + 270 = 18 ⇔ 2𝑘2 − 33𝑘 + 126 = 0 
 ⇒ 𝑘 = 6 𝑚. 
 
 
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Resposta da questão 25: 
 [D] 
 
Sabendo que 𝑂𝑃 = 70 𝑐𝑚 e adotando convenientemente o ponto 𝑂 como sendo a origem do 
plano Argand-Gauss, temos 
 
3 3
P 70 cos i sen
2 3 2 3
7 7
70 cos i sen
6 6
3 1
70 i
2 2
( 59,5; 35).
π π π π
π π
    
=  − +  −    
    
 
=  +  
 
 
=  − −  
 
 − −
 
 
Portanto, a distância de 𝑃 à parede que não contém 𝑄 é 70 − 59,5 = 10,5 𝑐𝑚 e a distância de 𝑃 
à parede que contém 𝑄 é 70 − 35 = 35 𝑐𝑚. 
 
Resposta da questão 26: 
 [E] 
 
Por inspeção, é fácil ver que 𝑥 = 1 é raiz de 𝑃. Ademais, pelo dispositivo de Briot-Ruffini, temos 
 
1 8 −14 7 −1
8 −6 1 0
 
Desse modo, vem 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 1)(8𝑥2 − 6𝑥 + 1) e, portanto, as outras raízes de 𝑃 são 𝑥 =
1
4
 e 
𝑥 =
1
2
. Em consequência, as quantidades dos ingredientes 𝐵 e 𝐶 não podem superar 1 𝑘𝑔 e 
1
2
 𝑘𝑔, ou vice-versa. 
 
A resposta, em qualquer caso, é 1.000 − 500 = 500 𝑔.