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SUMÁRIO 
Sumário 1 
1 Conjuntos, Funções e Limites 5 1.1 Uma Breve Revisão sobre Conjuntos e Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Definição de Função, e a Função do Primeiro Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Definição Intuitiva Sobre Limite de Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 
2 Propriedades para o Cálculo de Limites 23 2.1 Algumas Propriedades Sobre Limites de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Elementos Básicos Sobre a Função do Segundo Grau . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3 Fórmulas algébricas e racionalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4 Fórmulas Decorrentes das Propriedades dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5 O Quociente Newton para Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.6 Sobre a Existência de Soluções em Problemas da Matemática . . . . . . . . . . . 38 
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INTRODUÇÃO 
Caro leitor, 
Em breve, você irá ampliar seus conhecimentos sobre uma das mais antigas e fascinan tes disciplinas da matemática. Poderíamos descrever muitas informações históricas sobre o Cálculo. Entretanto, nosso propósito inicial é outro, ou seja, estamos de fato interessados em que você desenvolva um pouco desta imensa teoria, assim com o fazem milhares de estudan tes. Como parte da matemática, o Cálculo não poderia deixar de ter uma linguagem própria e universal. Este fato fará com que você tenha a oportunidade de entender o seu significado e algumas de suas imensas aplicações. 
Podemos já informá-lo que o Cálculo pode ser dividido em Cálculo Diferencial e Cálculo Integral; e que, em ambos os casos podem ainda ser de uma ou várias variáveis. Assim, para facilitar o aprendizado, na maioria das universidades existe uma separação em disciplinas de Cálculo I,II,III e IV. Também é frequente nas instituições de ensino, que se comece estudando Cálculo Diferencial; assim como iremos fazer. Entretanto, o Cálculo Integral, começou a surgir há pelo menos 2.500 anos na Grécia antiga, com a expressão clássica de método da exaustão. O propósito naquela época, era determinar áreas de certas regiões. Já o Cálculo Diferencial surgiu aproximadamente na mesma época, com o propósito básico de determinar a equação de reta tangente à curvas dadas; e foram-se desenvolvendo de formas quase que independentes. 
Brevemente iremos desenvolver estas ideias. Notamos que é comum, estudantes fazerem a seguinte pergunta: quem inventou o Cálculo? Na realidade é um pouco difícil de respondê-la; entretanto, veremos que existem fórmulas as quais relacionam o Cálculo Diferencial e o Inte gral. Uma delas, é conhecida com sendo Teorema Fundamental do Cálculo. Destacamos que dois grandes matemáticos, levam a fama por terem desenvolvido, de forma completamente in dependente, esta relação, a saber: Sr. Isaac Newton (1642+85=1727) e o Sr. Gottfried Leibniz (1646+70=1716). 
Uma outra pergunta de ordem pedagógica questionado por muitos estudantes é: por que devo estudar Cálculo? Neste caso, como autor deste trabalho, não devo imediatamente respon der a esta indagação. Entretanto, caso o leitor tenha também feito esta pergunta, solicito seu empenho em realizar esta descoberta com os estudos que virão a seguir. 
Muitas vezes, pode parecer complicado ou difícil o aprendizado do Cálculo, pois este requer muita dedicação; mas aos poucos, com muita coragem e disciplina, você irá descobrir o uni verso fascinante, percebendo as relações desta disciplina com várias aplicações do cotidiano. O que podemos afirmar, é que o Cálculo é dinâmico e possui muitas aplicações, principalmente nas áreas das ciências exatas; tais como Física, Química, Engenharia, Economia etc. 
A seguinte questão é muito comum aos que se aventuram em aprender o Cálculo. Quais são os pré-requisitos para entender essa disciplina ? Ou melhor; o que deve um leitor já sa ber sobre a matemática para se ter um bom desempenho sobre esta disciplina que irá estudar? Neste caso, podemos assegurar que irá facilitar bastante o entendimento no estudo do Cálculo, o leitor que esteja familiar sobre o estudo de algumas funções básicas, tais como: polinomiais, principalmente as do primeiro e segundo graus, logarítmicas, exponenciais e as trigonométri 
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cas. Mas neste curso, sempre que for necessário, iremos exibir algumas propriedades básicas sobre estas funções. "Comentar o que será desenvolvido na parte I." 
Desejamos bons estudos 
Professor autor: 
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CONJUNTOS, FUNÇÕES E LIMITES 
Iniciaremos a edição deste material didático, relembrando alguns dos conceitos fundamentais sobre a linguagem básica dos conjuntos. Destacamos o conjunto dos intervalos de números re ais e em seguida, as funções neles definidas. Faremos neste material um estudo sobre funções elementares; sendo as do primeiro grau, incialmente apresentadas. No último tópico deste capítulo serão apresentados os conceitos básicos e exemplos sobre limites de funções. 
1.1 Uma Breve Revisão sobre Conjuntos e Funções 
Para situarmos nosso ambiente de trabalho, ou o universo de nosso estudo dentro da mate mática, convém destacar dois importantes objetos. Esses objetos que desejamos incialmente apresentar, são os conjuntos e as funções neles definidas. 
Um estudo abrangente sobre os conjuntos, pode ser realizado dentro de uma área especí fica da matemática. Não iremos partir para a tarefa de analisar o universo da teoria dos conjun tos. Simplesmente vamos aceitar que eles existem, e que em geral os conjuntos são represen tados por letras maiúsculas do tipo A,B,C;X,Y ,I,J, etc. Já seus elementos, são representados por letras minúsculas. O símbolo ; será utilizado para denotar o conjunto vazio. 
A notação para a relação entre um conjunto e seus elementos dá-se através de símbolos do tipo: ∈, ∉, ∃, @,∃!, ∀, que respectivamente significam: pertence, não pertence, existe, não existe, existe um único, para todo. Assim, se um elemento x pertence a um conjunto A, usa mos a notação x ∈ A. 
Existem alguns símbolos que relacionam os conjuntos, tais como; ∪, ∩, ⊂, ⊃, {, onde lemos ou interpretamos respectivamente como: união, intersecção, está contido, contém, e comple mentar. 
Lembremos a seguir, as definições da união e interseção entre conjuntos. Dados dois conjuntos A e B, tem-se que: 
i) A união entre eles é o conjunto A∪B, o qual é formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Simbolicamente tem-se: 
A ∪B = {x;x ∈ A ou x ∈ B} 
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6 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS, FUNÇÕES E LIMITES 
ii) A interseção entre eles é o conjunto A ∩ B, o qual é formado pelos elementos que pertencem a A e a B. Tem-se simbolicamente: 
A ∩B = {x; x ∈ A e x ∈ B} 
Um leitor que não esteja habituado com a linguagem específica da lógica, poderá não per ceber a diferença sutil que existe nessas últimas definições. De fato, a única diferença existente, são os conectivos “ou” e o “e”. 
Destacamos que no uso do conectivo ”e”, um elemento deverá pertencer simultaneamente a ambos os conjuntos; enquanto que no caso "ou", um elemento poderá pertencer a um só dos conjuntos ou a ambos. 
Vejamos um simples exemplo ilustrativo sobre a união e interseção de conjuntos. Considerando os conjuntos 
A =©−1, 3, 7, 23ªe B =©−3, 3, 23,57ª, 
tem-se que: 
½ 
A ∪B = 
−1,−3, 3, 7,57,23¾, 
e, 
½ 
A ∩B = 
3,23¾. 
Os conjuntos podem ser bem abstratos, mas em nosso caso, iremos quase sempre nos de parar com os conjuntos numéricos. Os conjuntos numéricos que estamos nos referindo são: 
a) Naturais, o qual é descrito por 
N = {0, 1, 2, 3... }; 
b) Inteiros, o qual é descrito por 
Z = {...−2,−1, 0, 1, 2, 3...}; 
c) Racionais, o qual é descrito por 
Q = 
½p 
q;p,q ∈ Z, e q 6= 0 
¾ 
; 
d) Reais, que é a união dos racionais com os irracionais; indicaremos por R. 
O uso do símbolo do asterístico sobre um desses conjuntos, indica a omissão do número zero. Assim, por exemplo; Z∗, significa o conjunto dos inteiros sem o zero. O conjunto dos números irracionais é formado pelos números que não podem ser escritos em forma de fração. Ou seja, se x é um número irracional, então não existema ∈ Z e b ∈ Z∗, tais que x =ab. Alguns exemplos de elementos pertencentes ao conjunto dos irracionais são; p2, p3, p317, π. 
Antes de passarmos para a definição de funções, destacaremos alguns subconjuntos dos números reais denominados de intervalos. Esses intervalos são apresentados na seguinte forma: 
(−∞,a), (−∞,a], (b,∞), [b,∞), (a,b), [a,b], (a,b], [a,b) 
Observação: o símbolo matemático ∞ representa o infinito. O conjunto do números reais pode ser entendido como o intervalo (−∞,∞).
1.1. UMA BREVE REVISÃO SOBRE CONJUNTOS E FUNÇÕES 7 
O intervalo do tipo (−∞,a), representa o conjunto dos números x pertencente ao conjunto dos números reais tais que x é menor do que a. 
Simbolicamente, podemos escrever os elementos desse conjunto da seguinte forma: (−∞,a) = {x ∈ R | x < a} 
Também podemos descrever geometricamente os elementos desse conjunto na reta ou numa linha, do seguinte modo: 
Figura 1.1 
Já o intervalo (−∞,a], representa o conjunto dos números x pertencente ao conjunto dos números reais tais que x é menor ou igual a a. 
Deixamos para o leitor relembrar como representa os elementos dos demais intervalos des critos anteriormente. 
A seguir, daremos dois exemplos para que o leitor tenha uma melhor compreensão do que foi dito até aqui. 
Exemplo 1. Represente cada conjunto dado a seguir, na forma de intervalos e na reta real. A = {x ∈ R;−3 < x < −1} 
½ 
B = 
x ∈ R;54≤ x < 3¾ 
C = {x ∈ R; 1 ≤ x ≤ 2} 
Solução: 
Tem-se que os conjuntos sob a forma de intervalos são dados por: A = {x ∈ R;−3 < x < −1} = (−3,−1). 
½ 
B = 
x ∈ R;54≤ x < 3¾=·54, 3¶. 
C = {x ∈ R; 1 ≤ x ≤ 2} = [1, 2]. 
E na reta real, são respectivamente dados a seguir na cor preta Figura 1.2: Conjuntos A, B e C representados na reta real.
8 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS, FUNÇÕES E LIMITES 
Existem algumas propriedades que relacionam a união e intersecção entre conjuntos. Por exemplo, dados os conjuntos A,B e C, tem-se que: 
a) A ⊂ A ∪B 
b) A ∩B ⊂ A 
c) ; ⊂ A 
d) A ∪(B ∪C) = (A ∪B)∪C. (Associativa) 
e) A ∪B = B ∪ A e A ∩B = B ∩ A.(Comutativa) 
f ) A ∪B = A ∩B. 
g) A ∩B = A ∪B 
onde usamos a notação A, para o complementar de A em relação a R. Por exemplo, se A = (−3, 2], então A = (−∞,−3]∪(2,+∞). 
As propriedades (e) e (f ) são conhecidas como Leis de Morgan, e são válidas para uma união qualquer de conjuntos, ou seja, se A1, A2, A3,..., An são conjuntos, então 
i) A1 ∪ A2 ∪...∪ An = A1 ∩ A2 ∩...∩ An 
ii) A1 ∩ A2 ∩...∩ An = A1 ∪ A2 ∪...∪ An 
São válidas também as seguintes propriedades distributivas: 
I) A ∪(B ∩C) = (A ∪B)∩(A ∪C) 
II) A ∩(B ∪C) = (A ∩B)∪(A ∩C) 
Exemplo 2. Verificar para os conjuntos A,B e C, dados anteriormente que a) A ∪(B ∩C) = (A ∪B)∩(A ∪C). 
b) A ∪B ∪C = A ∩B ∩C 
Solução: 
a) Temos que 
Figura 1.3
1.1. UMA BREVE REVISÃO SOBRE CONJUNTOS E FUNÇÕES 9 
Por outro lado, tem-se 
Figura 1.4 
e assim, o leitor pode verificar a igualdade deste item. 
b) De forma análoga, tem-se que 
Figura 1.5 
Por outro lado, tem-se 
Figura 1.6 
e da mesma forma que no item a), o leitor também poderá concluir a veracidade desta igualdade.
10 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS, FUNÇÕES E LIMITES 
Exercícios 1.1 
1. Considere os conjuntos A =©2,−4,p3, 0ª, B = {−3, 0, 2}, e C =©−p3, 1, 4,πª, e determine: 
a) A ∪B b) B ∪C c) A ∩C 
d) A ∪(B ∩C) e) A ∩(B ∪C) 
2. Verifique através dos conjuntos dados no exercício anterior que: 
A ∩(B ∪C) = (A ∩B)∪(A ∪C) 
3. Considere os conjuntos X = {x ∈ R; −1 < x < 3}, Y = {x ∈ R; x ≤ −2, ou x ≥ 0}, Z = {x ∈ R; −2 < x < 2 }. 
a) Descreva, através de intervalos na reta os conjuntos X,Y e Z. 
b) Verifique a validade das fórmulas para o exercício 2, ou seja: 
i) X ∪(Y ∩ Z) = (X ∪Y )∩(X ∪ Z) 
ii) X ∩(Y ∪ Z) = (X ∩Y )∪(X ∩ Z) 
4. Suponha que Ssimbolize um conjunto universo e que A esteja contido em S. Neste caso, definimos o complementar de A como sendo A = {x;x ∈Se x ∉ A}. Considere os conjuntos A = {x ∈ R; −2 < x < 3}, e B = {x ∈ R; 0 < x}, e verifique que: 
a) A ∪B = A ∩B b) A ∩B = A ∪B 
c) Considerando os conjuntos X, Y e Z do exercício 3, verifique que: X ∪Y ∪ Z = X ∩Y ∩ Z
1.2. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO, E A FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU 11 
1.2 Definição de Função, e a Função do Primeiro Grau 
Uma vez relembrada algumas operações básicas sobre os conjuntos, destacamos que uma função f , de um conjunto A 6= ;, em um conjunto B 6= ;, pode ser entendida com uma lei, (regra, relação ou correspondência), em que cada elemento de A, está associado a um único elemento de B. 
Daqui em diante, quando estivermos nos referindo a uma função, tomaremos por conven ção a seguinte notação: 
f : I −→ J 
x −→ f (x) 
onde I e J são subconjuntos dos números reais, com x ∈ I e f (x) sua imagem, no conjunto J. O Conjunto I será considerado como sendo o domínio onde a função está definida. Quando este conjunto não for especificado, fica subentendido que o mesmo será o mais abrangente possível; na maioria dos casos o próprio conjunto dos reais. 
Em geral, as funções que estudaremos em nosso contexto, serão dos seguintes tipos: fun ções polinomiais, (com destaque para as do primeiro e segundo grau), racionais, (isto é funções que são formadas pelo quociente entre dois polinômios; destacando principalmente as fracio nárias e recíprocas), modular, trigonométrica e logarítmica. 
Estudaremos também, juntamente com o auxílio do cálculo diferencial, as funções monó tonas (isto é; crescentes e decrescentes), contínuas, descontínuas, inversas, injetoras, sobreje toras, pares, ímpares, periódicas, formadas por uma ou mais sentenças, etc. 
A definição de função pode ser interpretada como sendo uma máquina, onde colocamos algum produto x, no espaço ou no domínio I, e recebemos como produto acabado f (x), saindo no espaço ou contradomínio J. 
Figura 1.7: Máquina mencionada 
O gráfico de uma função f , é definido como sendo o conjunto de todos os pontos (x, f (x)) no plano , onde x pertence ao domínio dessa função. 
O Plano Cartesiano é formado pelos pares ordenados de pontos (a,b), onde a primeira coordenada a pertence a uma reta horizontal, e a segunda b, pertence a uma reta vertical. Essas retas, chamadas de eixos coordenados, se cortam ortogonalmente em um ponto o, que é a origem do sistema. 
Não daremos aqui exemplos específicos de funções. O entendimento delas, será apresen tado de forma contínua ao longo da exposição deste material didático. O próximo parágrafo descreve a importante função do primeiro grau, com destaque para algumas de suas proprie dades básicas. 
Denotaremos uma função do primeiro grau por f (x) = ax +b, com a 6= 0. Para b 6= 0, a função é conhecida como sendo afim; ou seja afim de ser linear. Uma vez que para b = 0, elas são lineares; isto é , satisfazem às propriedades: f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2), e f (αx) = αf (x), para todo x1,x2 e α, pertencentes aos números reais.
12 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS, FUNÇÕES E LIMITES 
O valor de a é comumente conhecido como sendo o coeficiente angular, e b a parte linear. Pelo exercício (5) proposto ao final deste capítulo, tem-se que a mede a tangente do ângulo em que a reta forma com o eixo dos x. 
Quando a função f (x) = ax + b possui a > 0, então ela é crescente; e quando a < 0, esta é decrescente. Para a = 0, tem-se f (x) = b; neste caso a reta é paralela ao eixo dos x, e a função é dita ser constante. 
Um estudo mais detalhado sobre funções monótonas, isto é; crescentes ou decrescentes será feito no capítulo 12. 
O gráfico da função do primeiro grau é uma reta. Assim, dar dois pontos no plano é equiva lente a ter uma função do primeiro grau. 
A raiz da função f (x) = ax + b é dada por x = −ba. Isto é, fµ−ba¶= aµ−ba¶+ b = 0. Note também que f (0) = a · 0 + b = b. Assim, dada uma função do primeiro grau, é importante destacar pontos: 
µ 
A = 
−ba, 0¶e B = (0,b); 
Esses pontos quando marcados no sistema de coordenadas, são chamados de interceptos da função. Ou seja, os valores onde a reta corta os eixos coordenados. 
Exemplo 3. Seja g (x) = 2x + 3. Para x = 0, tem-se que g (0) = 3; e para g (x) = 0, tem-se que x = −32. O gráfico é dado seguir, com os interceptos destacados: 
y 
5 
4 
A 
3 2 1 0 
B 
x 
−5 −4 −3 −2 −1 01 2 3 4 5 −1 
−2 
−3 
Figura 1.8: Gráfico da função g (x) = 2x +3.
1.2. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO, E A FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU 13 
Exemplo 4. Seja f (x) = −3x + 2. Para x = 0, tem-se f (0) = 2 e para f (x) = 0 tem-se x =23. O gráfico se apresenta da seguinte forma. 
y 
5 
4 
3 
2 1 0 
B 
A 
x 
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 −1 
−2 
−3 
Figura 1.9: Gráfico da função f (x) = −3x +2. 
De uma forma geral, é dado a seguir, três gráficos da função f (x) = ax + b, destacando os casos em que a > 0, a < 0, e a = 0. Veja a figura a seguir: 
b 
b 
−ba 
a > 0 
b 
−ba 
a < 0 
Figura 1.10 
a = 0 
Percebe-se pelo último gráfico em (a), que a função é crescente, isto é; para todo x1 < x2, tem-se que f (x1) < f (x2). 
Já no gráfico em (b), tem-se que a função é decrescente, ou seja; para todo x1 < x2, f (x1) > f (x2).
14 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS, FUNÇÕES E LIMITES 
No item (c), o gráfico representa a função constante f (x) = b. 
A seguir, tem-se alguns exercícios sobre funções do primeiro grau. 
Exercícios 1.2 
1. Esboce os gráficos das funções dadas a seguir, destacando os interseptos dos eixos x e y. b) g (x) = −p2xc) h (x) = −x2+3 
a) f (x) = 3x −7 
d) u (x) = 3+2x 
2. Substitua as coordenadas dos pontos dados a seguir em f (x) = ax + b, para encontrar cada função que passa por: 
a) (2,−2), e (1, 3), b) (0, 1), e (3,p2), 
c) (−5, 0), e (1, 4) 
3. Considerando as funções f , g , h, e u, definidas no exercício (1), determine e represente no plano o conjunto dos números reais x tais que: 
a) f (x) > 0, 
b) h (x) < 0, 
c) f (x).g (x) < 0, 
d) f (x).g (x) 
h(x)≥ 0 
c) (g (x))3.(u (x))2 < 0, 
4. Calcule, caso existam, os pontos de interseção dos gráficos das funções f , g e h, repre sentando no plano. 
5. Considere os pontos (x1, f (x1)), e (x2, f (x2)), sobre a reta dada por f (x) = ax+b. Verifique que a tangente do ângulo θ, entre esta reta e o eixo dos x, é dada por tan(θ) = a
1.3. DEFINIÇÃO INTUITIVA SOBRE LIMITE DE FUNÇÃO 15 
1.3 Definição Intuitiva Sobre Limite de Função 
Considere inicialmente uma função f :I →J, e seja a um número pertencente ou não ao seu domínio . Para compreender o significado do limite dessa função, suponha que seja possível fazer números x ∈ I, se aproximarem de a tanto quanto se queira. 
Assim, a compreensão intuitiva do limite de f , dá-se através da seguinte pergunta: Quando os números x ficam “bem próximo” de a, o que acontece com os valores de f (x)? Esses valores, tendem para um valor específico? 
Vamos entender a pergunta anterior, de forma exemplificada. 
Por exemplo; considere a seguinte função f (x) = 2x +3. 
Suponha que a = 2, e que estamos interessados em saber o comportamento dessa função, para valores de x “bem próximo de 2”. 
Para responder a essa pergunta de forma intuitiva, vamos construir duas tabelas. Nessas tabelas, faremos valores de x ficarem cada vez mais próximos do número 2; em seguida, calcu laremos os valores que a função f (x) vai assumindo. 
Nota-se que é possível se aproximar de 2 tanto por valores menores ou maiores do que este. Por isso, é que iremos construir duas tabelas. 
Na primeira coluna da Tabela A, dada a seguir, observa-se os valores de x, se aproximarem do número 2, mas sempre por valores menores. Na segunda coluna da tabela, calcula-se esses respectivos valores em f (x) = 2x +3. 
	x 
	f (x) = 2x +3
	1 
	f (1) = 2 · 1+3 = 5
	1, 5 
	f (1, 5) = 2 ·(1, 5)+3 = 6
	1, 9 
	f (1, 9) = 2 ·(1, 9)+3 = 6, 8
	1, 998 
	f (1, 998) = 2 ·(1, 998)+3 = 6, 996
	1, 9999 
	f (1, 9999) = 2 ·(1, 9999)+3 = 6, 9998
Tabela A 
Na primeira coluna da Tabela B dada a seguir, observa-se que a variável x se aproximar do número 2, mas sempre por valores maiores. Na segunda coluna, estamos calcula-se esses respectivos valores em f (x) = 2x +3. 
	x 
	f (x) = 2x +3
	3 
	f (3) = 2 · 3+3 = 9
	2, 5 
	f (2, 5) = 2 ·(2, 5)+3 = 8
	2, 01 
	f (2, 01) = 2 ·(2, 01)+3 = 7, 2
	2, 003 
	f (2, 003) = 2 ·(2, 003)+3 = 7, 006
	2, 00002 
	f (2, 00002) = 2 ·(2, 00002)+3 = 7, 00004
Tabela B 
Constata-se, através das tabelas A e B dadas anteriormente, que quanto mais os valores de x ficam próximo de 2, a função f (x) = 2x + 3 fica próxima de 7. Ou seja, é possível fazer essa função ficar próxima de 7 tanto quanto se queira. Desde que para isto acontecer, deva-se tomar os valores de x “bem próximo de 2”. 
Neste caso, diz-se que o limite da função f (x) = 2x +3, quando x se aproxima de 2 vale 7.
16 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS, FUNÇÕES E LIMITES 
Usa-se nesse caso, a seguinte notação matemática: 
limx→2f (x) = limx→2(2x +3) = 7 
Verifiquemos, através do gráfico dado a seguir, o comportamento de f para valores de x que estão próximos de 2. 
y 
8 
) 
7 
( 
6 
5 
4 
3 
2 
1 
0 
( ) 
x 
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 
−1 
−2 
−3 
Figura 1.11: Gráfico da função 2x +3 
Observa-se pela imagem desse último gráfico, que para valores de x “bem próximo de 2”, a função f (x) = 2x +3 está “bem próxima de 7”. 
Com base neste primeiro exemplo, daremos a seguinte definição intuitiva sobre limites de uma função: 
Seja f : I → J uma função, e a ∈ I. Diz-se que o limite de f é igual a L, se for possível fazer f (x) se aproximar de L tanto quanto se queira; desde que para isto, os valores de x fiquem suficientemente próximos de a. 
A notação matemática usada para a definição de limite é: 
limx→af (x) = L 
Obviamente a definição dada anteriormente serve para todos os limites; isto é, independe da função f e do ponto a. 
Observa-se que nesse primeiro exemplo, f (x) = 2x +3, a = 2 e L = 7.
1.3. DEFINIÇÃO INTUITIVA SOBRE LIMITE DE FUNÇÃO 17 
A seguir, tem-se a seguinte observação sobre a definição intuitiva de limites: “Fazer f (x) se aproximar de L tanto quanto se queira”, significa que a diferença f (x)−L ou L − f (x) tende para zero. 
Sugerimos ao leitor considerar o primeiro exemplo dado sobre limites e calcular a diferença entre f (x) e L quando x estiver bem próximo de 2, digamos x = 2, 00001. Vejamos outro cálculo para essa diferença, ainda tomando o primeiro exemplo. Imagine que se queira fazer a diferença f (x) − L ficar menor do que 0.000006. Neste caso, quanto deve-se tomar para os valores de x? 
Para calcular os valores de x satisfazendo a essa diferença, tem-se que 
f (x)−L < 0.000006, então 2x +3−7 = 2x −4 < 0.000006. 
Resolvendo essa última desigualdade, tem-se que: 
x < 2, 000003. 
Assim, para se ter a diferença entre f (x) = 2x + 3 e L = 7, menor do que 0,000006, deve-se tomar valores para x pertencente ao intervalo (2, 2.000003). 
A observação dada a seguir, é uma das mais importantes sobre limites. 
Observação 1. Para calcular o limite de uma função f no ponto a, só importa de fato o compor tamento que essa função assume para valores bem próximos de a. Na realidade, não é necessário que a pertença ao domínio de f . 
De fato, os exemplos mais importantes sobre limites de funções ocorrem justamente quando a não pertence ao domínio de f . 
Nos três exemplos dados a seguir, o ponto a não pertence ao domínio da função; mesmo assim, é possível questionar a existência dos limites. 
Exemplo 5. Se f (x) =x2 −9 
x −3, quanto vale limx→3f (x)? Nota-se que neste caso, a = 3. 
px −1 
Exemplo 6. Se f (x) = 
x −1, quanto vale limx→1f (x)? Nota-se que neste caso, a = 1. 
Exemplo 7. De uma maneira geral, seja f : I → J, uma função qualquer. Considere a partir dela, a função q(h), definida da seguinte maneira: 
q(h) :=f (x +h)− f (x) 
h. 
Neste caso, quanto vale lim 
h→0q (h)? Note que para este limite, o valor de a é igual a 0. 
Vejamos algumas observações para os três limites de funções definidos anteriormente. a) No exemplo 1, sendo f (x) =x2 −9 
x −3, então f (3) =32 −9 
para a = 3; ou seja, f (3) não existe. px −1 
3−3=00. Portanto f não está definida p1−1 
1−1=00. Portanto f não está defi nida para a = 1; ou seja,f (1) não existe. 
b) No exemplo 2, sendo f (x) = 
x −1, então f (1) = 
c) No exemplo 3, sendo q (h) =f (x +h)− f (x) 
h, então q (0) =f (x +0)− f (x) 
0=f (x)− f (x) 
0 
0= 
0. Portanto, para toda função f dada, tem-se que a função q (h) não está definida para h = 0; isto é, q(0) não existe.
18 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS,FUNÇÕES E LIMITES 
Embora essas três últimas funções não estejam definidas nos pontos específicos, veremos a seguir que o limite dos exemplos (1) e (2) existem. Entretanto, a existência do limite no exemplo (3), irá depender da função f , e do valor específico da variável x. 
O exemplo (3) é um dos limites mais importantes na matemática; iremos estudá-lo bas tante no capítulo 8. De qualquer maneira, já no final do próximo capítulo apresentaremos alguns exemplos envolvendo a função q(h). 
Destacamos também, que será através do exemplo do limite do item (3), que iremos calcu lar todas as derivadas das funções apresentadas em nosso curso. 
Vamos agora trabalhar no exemplo (1). 
De acordo com os cálculos apresentados, a função f (x) =x2 −9 
x −3não está definida para o 
valor x = 3. Entretanto, vamos descobrir o valor do limite desta função quando x se aproxima de 3. 
Para atingirmos este objetivo, vamos novamente construir duas tabelas; uma com valores de x menores do que 3, e outra tomando valores de x maiores do que 3. 
Através da primeira coluna da Tabela A seguinte, observa-se que os valores atribuídos para x estão aproximando do ponto 3, mas sempre por valores menores do que este. 
Na segunda coluna dessa mesma tabela, são calculados os respectivos valores para a função f (x) =x2 −9 
x −3. O leitor deve entender que os valores para x, foram dados aleatoriamente. 
	x 
	f (x) =x2 −9 
x −3
	2 
	f (2) =22 −9 
2−3= 5
	2, 5 
	f (2, 5) =(2, 5)2 −9 
2, 5−3= 5, 5
	2, 9 
	f (2, 9) =(2, 9)2 −9 
2, 9−3= 5, 9
	2, 98 
	f (2, 98) =(2, 98)2 −9 
2, 98−3= 5, 98
	2, 9999 
	f (2, 9999) =(2, 9999)2 −9 
2, 9999−3= 5, 9999
Tabela A 
A tabela B, dada seguir conterá valores para x maiores do que 3. 
Na primeira coluna da Tabela B dada a seguir, observa-se que os valores de x estão se apro ximando de 3, mas sempre por valores maiores do que este. Na segunda coluna dessa tabela, calcula-se os respectivos valores para a função f (x) =x2 −9 
x −3.
1.3. DEFINIÇÃO INTUITIVA SOBRE LIMITE DE FUNÇÃO 19 
	x 
	f (x) =x2 −9 
x −3
	4 
	f (4) =42 −9 
4−3= 7
	3, 5 
	f (3, 5) =(3, 5)2 −9 
3, 5−3= 6, 5
	3, 02 
	f (3, 02) =(3, 02)2 −9 
3, 02−3= 6, 02
	3, 0011 
	f (3, 0011) =(3, 0011)2 −9 
3, 0011−3= 6, 0011
	3, 00002 
	f (3, 00002) =(3, 00002)2 −9 
3, 00002−3= 6, 00002
Tabela B 
Tomando-se como base os valores obtidos nas duas últimas tabelas, somos tentados a acre ditar que quando x fica cada vez mais próximo de 3, então a função f (x) =x2 −9 
x −3fica próximo 
de 6. Neste caso, dizemos que o limite dessa função quando x tende, ou se aproxima de 3, vale 6. 
A notação matemática para a conclusão intuitiva desse limite, é dado por: limx→3f (x) = limx→3x2 −9 
x −3= 6. 
Note que quanto mais a variável x fica próxima de 3, a diferença f (x)−6 ou 6− f (x), tende para zero. 
Por exemplo; para x = 2, 998, quanto é que fica a diferença entre 6 e f (x)? Para responder a esta pergunta, deve-se calcular o valor de f (2, 998), e depois fazer a dife rença 6− f (2, 998). 
Para o problema de encontrar limites de funções, percebe-se que a simplificação feita a seguir, poderá ser usada em muitos casos. 
Uma vez que para o cálculo do limite de f (x) =x2 −9 
x −3, quando x tende para 3, não se tem 
a exigência que x = 3, então é possível fazer a simplificação: 
x2 −9 
x −3=(x −3)(x +3) 
x −3= x +3. 
Assim, as contas das duas últimas tabelas podem simplificar bastante quando se usa a função f (x) = x +3, ao invés de f (x) =x2 −9 
x −3. 
Veremos como fica o gráfico da função f (x) =x2 −9 
x −3, para x 6= 3? 
A simplificação anterior implicou que para x 6= 3, a função f (x) =x2 −9 
x −3, de fato vale x +3. 
Deste modo, o gráfico dessa função é uma reta, com um “ponto omitido”. Relembrando o último exemplo de limites, tem-se que o gráfico a seguir representa a fun ção f (x) = x +3, com a condição x 6= 3. Este gráfico é uma reta com um furo; ou seja, um ponto removido, justamente porque o valor x = 3 foi omitido da função original f (x) =x2 −9 
x −3.
20 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS, FUNÇÕES E LIMITES y 
6 
	
5 
4 
3 
2 
1 
0 
x 
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 
−1 
−2 
−3 
Figura 1.12: Gráfico da função f (x) =x2 −9 
x −3. 
A seguir, fica proposto alguns exercícios sobre a ideia intuitiva de limites. Para descobrir seus valores, sugerimos incialmente o uso de tabelas .
1.3. DEFINIÇÃO INTUITIVA SOBRE LIMITE DE FUNÇÃO 21 
Exercícios 1.3 
1. Descubra os limites das funções abaixo, construindo para isto tabelas de valores. 
a) limx→53x −7 b) limx→2x2 −4 
c) limx→1 
px −1 x −1 
x −2 
d) limx→54 
2. Se f (x) = b onde b é uma constante, quanto vale limx→af (x)? Compare o resultado com o item (d) do exercício anterior. 
3. Se f (x) = x, quanto vale limx→af (x)? 
Os exercícios a seguir também podem ser usados como verificação de aprendizagem. 4. Descubra através da construção de tabelas quanto vale cada um dos seguintes limites: x; b) limx→0ex −1 
a) limx→0sen(x) 
x. 
O leitor interessado poderá fazer uma pesquisa afim de verificar como se demonstra o limite do item (a). 
Destacamos que o número e que aparece na função f (x) =ex −1 
x, no item (b), é a base 
da função exponencial natural. Sugerimos também ao leitor fazer uma pesquisa sobre esta função, e entender as propriedades que ela tem. 
Esses dois últimos limites são usualmente conhecidos com sendo notáveis. É através deles que iremos calcular as derivadas das funções trigonométricas, exponenciais e loga rítmicas. 
Caro leitor; espero que você tenha aprendido a ideia intuitiva sobre limites de funções. Ob serve que procuramos calcular alguns deles, através de cálculos numéricos. Ou seja, com o uso de tabelas e e atribuindo valores aleatórios para as variáveis. Você já deve ter percebido, que para funções complicadas este processo, pode torna-se inviável de ser realizado. 
No próximo capítulo, veremos algumas propriedades sobre limites que tornarão possível a obtenção dos cálculos de forma mais direta.
 O2 
 L
 U
 Í T
 P
A
C 
PROPRIEDADES PARA O CÁLCULO DE LIMITES 
No capítulo anterior foi apresentado a ideia fundamental sobre limites de funções. Os cál culos feitos para obtenção daqueles limites requereram a utilização de tabelas com várias apro ximações de valores. Neste capítulo, daremos algumas propriedades para a obtenção de limites de forma mais direta e simplificada. É feito também, uma revisão sobre funções do segundo grau, e em seguida algumas fórmulas para produtos notáveis e racionalização. Apresentamos ainda o Quociente de Newton para funções, o qual é de fundamental importância para a obten ção do estudo de derivadas. Finalizamos com algums comentários históricos sobre a existência de soluções em problemas da matemática. 
2.1 Algumas Propriedades Sobre Limites de Funções 
Iremos iniciar este tópico destacando a propriedade de unicidade, que pode assim ser enunciada: 
A Unicidade do Limite de Funções 
Considere uma função f . Se um cálculo realizado para limx→af (x), foi obtido um valor igual a L, e outro cálculo realizado para este mesmo limite, foi obtido um valor igual a M, então, se os dois cálculos estiverem corretos, L deverá ser igual a M. 
Pondo esse último parágrado numa simbologia matemática, tem-se que 
Se limx→af (x) = L e limx→af (x) = M, então L = M. 
Muito embora a prova da unicidade seja de fácil compreensão, nós a omitiremos, e seguiremos com as demais propriedades de limites sem exibir as provas. 
Para nosso objetivo de estudo e entendimento do Cálculo Diferencial, é suficiente entender como aplicar as propriedades que serão apresentadas. Caso o leitor tenha interesse nas de monstrações, poderá consultar as referências bibliográficas apresentadas no final desse texto. 
23
24 CAPÍTULO 2. PROPRIEDADES PARA O CÁLCULO DE LIMITES 
Propriedades da Soma, Produto e Quociente para Limites de Funções Considere duas funções f e g , e suponha que os seguintes limites limx→af (x) e limx→ag (x) exis tam. Então existem os limites para: a) A soma f (x)+ g (x) 
b) O produto f (x)· g (x) 
c) O quocientef (x) 
g (x) 
Valendo ainda as seguintes regras: 
i) limx→a¡f (x)+ g (x)¢= limx→af (x)+ limx→ag(x); 
ii) limx→af (x)· g (x) = limx→af (x)· limx→ag (x); 
iii) limx→af (x) g (x)= 
limx→af (x) 
limx→ag (x), desde que limx→ag (x) 6= 0. 
Como a própria denominação dessa última propriedade sugere, ela é indispensável e facili tadora para calcular o limite da soma, do produto e do quociente de funções. O leitor deve aten tar que quando supomos que o limite de limx→af (x) existe, excluimos a possibilidade do mesmo ser infinito. Os casos em que limx→af (x) = ∞ e limx→∞f (x), serão estudados adiante. 
Antes de apresentarmos algum exemplo destacando essas últimas propriedades, relembra mos o seguinte exercício proposto no Capítulo 1: 
i) limx→ab = b, onde b é uma constante; 
ii) limx→ax = a. 
Em geral, os estudantes destacam a simples propriedade (i), falando assim: “o limite de uma constante é igual a própria constante”. Note que a constante à qual estamos nos referindo é a função constante f (x) = b. 
Veja dois exemplos para esta simples propriedade: 
limx→5p317 =p317. Note que neste caso o valor da constante b =p317. 
limx→−52π = 2π. Note que neste caso o valor da constante b, é 2π. Ou seja; ao fazermos a variável x se aproximar de −5 a função sempre vale 2π. 
Tem-se a seguir, dois exemplos sobre a simples, mas importante propriedade(ii). limx→5x = 5. Note que aqui, a função f é igual à função identidade, ou seja, f (x) = x. x→p2x =p2. Como no caso anterior, a função f é a identidade. 
lim 
Caso ainda persista alguma dúvida sobre esses dois últimos limites, o leitor deverá fazer um pequena tabela de valores. Note que nesse último caso, deve-se fazer os valores de x se aproximarem do valor p2. 
Vamos exemplificar outro importante caso sobre limites. Para isso, considere o limite dado por limx→5x = 5. 
Podemos fazer a seguinte pergunta: Usando esse limite,vale limx→53x? 
Para responder a esta pergunta, o leitor pode fazer uma tabela de valores, com a variável x tendendo para 5.
2.1. ALGUMAS PROPRIEDADES SOBRE LIMITES DE FUNÇÕES 25 
Entretanto, é suficiente fazer a seguinte conta: 
limx→53x = 3 · limx→5x = 3 · 5 = 15. 
Vejamos um outro exemplo; considere o primeiro limite, o qual foi apresentado no Capítulo 1; ou seja, considere 
limx→2(2x +3) = 7. 
Utilizando o cálculo desse limite, podemos questionar quanto vale: 
limx→24 ·(2x +3). 
Novamente aqui, o leitor poderia atribuir valores afim de que x se aproximasse do valor 2, e concluir que esse limite vale 28. Entretanto, essa resposta pode ser obtida fazendo a seguinte operação: 
limx→24 ·(2x +3) = 4 · limx→2(2x +3) = 4 · 7 = 28. 
Do mesmo modo, podemos concluir que 
limx→2(−6)·(2x +3), 
vale −42; uma vez que podemos fazer a seguinte operação: 
limx→2(−6)·(2x +3) = (−6)· limx→2(2x +3) = (−6)· 7 = −42. 
Resumiremos agora esses dois últimos cálculos, através da seguinte observação: Observação 1: 
Se limx→af (x) = L, então, tem-se que; limx→ak · f (x) = k ·L, onde k, é uma constante. 
A seguir, iremos exemplificar o cálculo de alguns limites usando a propriedade (II) e a úl tima observação. 
Exemplos de cálculos de limites usando as propriedades da soma, do produto e do quoci ente de funções. 
Vamos calcular os limites propostos a seguir: 
1. limx→−1(2x +3) 
2. limx→−2¡x2 −2x +3¢ 
3. limx→0¡3x2 +1)·(3x −2¢ 
4. limx→17x3 +2x −1 
3x −2. 
Solução: 
O leitor deve justificar cada uma das passagens feitas nos cálculos. Ou seja, verificar o uso dos itens (i), (ii) e (iii) da propriedade (II).
26 CAPÍTULO 2. PROPRIEDADES PARA O CÁLCULO DE LIMITES 
1. limx→−1(2x +3) = limx→−12x + limx→−13 = 2 · limx→−1x + limx→−13 = 2 ·(−1)+3 = 1. 
2. limx→−2¡x2 −2x +3¢= limx→−2x2 + limx→−2(−2x)+ limx→−23 = 
limx→−2x · limx→−2x −2 · limx→−2x + limx→−23 = (−2)·(−2)−2 ·(−2)+3 = 11. 
3. Para calcular o limite em (3), deve-se primeiramente observar que: 
limx→0¡3x2 +1¢= limx→03 · x2 + limx→01 = 3 · 02 +1 = 1, 
limx→0(3x −2) = 3 · limx→0x − limx→02 = 3.0−2 = −2. 
Usando esses dois limites, e a propriedade do produto, tem-se que: 
limx→0¡3x2 +1¢·(3x −2) = limx→0¡3x2 +1¢· limx→0(3x −2) = 1 ·(−2) = −2. 
4. Para calcular o limite (4), utiliza a propriedade do quociente entre duas funções. Desse modo, calculando os limites: 
limx→1¡7x3 +2x −1¢= 7 · limx→1x3 +2 · limx→1x − limx→11 = 7 · 13 +2.1−1 = 8. 
limx→1(3x −2) = 3 · limx→1x − limx→12 = 3.1−2 = 1 
Tem-se portanto que: 
limx→17x3 +2x −1 3x −2= 
limx→1¡7x3 +2x −1¢ 
limx→1(3x −2)=81= 8. 
 
Nota-se que em todos esses últimos cálculos, foram usadas as propriedades da soma, do produto e do quociente de funções. 
Tem-se a seguir, alguns exercícios afim de que o leitor possa utilizar essas propriedades.
2.1. ALGUMAS PROPRIEDADES SOBRE LIMITES DE FUNÇÕES 27 
Exercícios 2.1 
1. Use as propriedades da soma, do produto e do quociente, para calcular os seguintes limi tes: 
a) limx→−3x2 −p7 b) limx→2³x2 −p7´·(−3x +5) c) lims→1s2 −p7 s3 +5s −3 
d) lims→33s−1 + s2 −p3 s2 +5s −9s−2 
e) limx→1¡x2 −2π¢2f ) lim t→1 
t3 −1 e 
Antes de prosseguirmos com o estudo de limites, é importante fazer a seguinte observação. 
Observação 2: 
Conforme destacamos no Capítulo 1, existem alguns limites no qual se deseja calcular em um certo valor, mas a função não está definida nele. Ou seja, pretende-se calcular limx→af (x), mas f (a) não existe; isto é, não está definida. 
Muito embora a observação 2 já tenha sido discutida; mas por ser importante, iremos agora exemplificá-la novamente . 
Vejamos os exemplos a seguir sobre esta última observação; ou seja, calcule os seguintes limi tes; 
a) limx→2x2 −4 
x −2. 
b) limx→−1x3 +1 
x +1 
Nota-se que no limite do item (a), a função f (x) =x2 −4 
f (2) =22 −4 
x −2=00, o que é uma indeterminação. Analogamente, sendo agora f (x) =x3 +1 
x −2, não está definida para x = 2; isto é: 
indeterminado. 
x +1, então f (−1) =(−1)3 +1 
−1+1=00, a qual também é 
O leitor deve lembrar, que quando se está calculando o limite de uma função f em um valor a, só é necessário saber o comportamento dessa função numa vizinhança próxima a este valor. “Numa vizinhança de a” significa pontos x que estão bem próximos de a, mas não necessaria mente igual a a. Matematicamente, uma vizinhança de a, significa os pontos x que pertencem ao intervalo (a −δ, a +δ), onde δ é um número positivo tão pequeno quanto se queira. 
Voltando ao problema, para calcular o limite de f (x) =x2 −4 
x −2, quando x tende para 2, mas 
não exatamente igual. Neste caso, pode-se fazer a seguinte simplificação: x2 −4 
x −2=(x −2)(x +2) 
x −2= x +2 
Desse modo, tem-se que: 
limx→2x2 −4 
x −2= limx→2(x +2) = 2+2 = 4
28 CAPÍTULO 2. PROPRIEDADES PARA O CÁLCULO DE LIMITES 
Analogamente, para o item (b), como se está calculando o limite de f (x) =x3 +1 
x +1quando x 
tende para −1; mas não exatamente igual, então pode-se fazer a seguinte simplificação: x3 +1 
x +1=(x +1)·(x2 − x +1) 
x +1= x2 − x +1 
Assim, tem-se que: 
limx→−1x3 +1 
x +1= limx→−1(x2 − x +1) = 3. 
No Capítulo 1, foi esboçado o gráfico da função f (x) =x2 −9 
Vamos agora esboçar o gráfico da função f (x) =x3 +1 
x −3, para x 6= 3. 
x +1, para x 6= −1. Pelas últimas simplifica 
ções feitas tem-se, que para x 6= −1, essa função vale x2 − x +1, que é uma função do segundo grau. 
Iremos a seguir, relembrar um pouco sobre as propriedades das funções do segundo grau. O leitor conhecedor do assunto poderá omitir a leitura. De qualquer maneira, o exercício (8) a seguir, trata do cálculo de limites, e é decorrente da fatoração dessas funções. 
2.2 Elementos Básicos Sobre a Função do Segundo Grau 
Definição 1. Uma função do segundo grau, pode ser escrita na forma f (x) = ax2+bx+c, com a, b, c ∈ R, e a 6= 0. 
Para se ter uma boa visualização do gráfico dessas funções; ou seja, da parábola, é impor tante destacar, caso existam, os seguintes pontos. 
a) Raízes: O qual é o conjunto {x ∈ R; f (x) = 0}. Conforme se sabe, as raízes x1, e x2, caso existam, são dadas através da fórmula x1 =−b −p∆ 
2a, e x2 =−b +p∆ 
delta ∆, é dado por b2 −4ac. 
2a, onde o valor de 
Assim, quando o valor de ∆ é maior ou igual a zero, tem-se os pontos A := (x1, 0), e B := (x2, 0). Ou seja, os pontos onde a parábola corta o eixo dos x. Caso ∆ seja zero, tem-seA = B, e isto é equivalente à x1 = x2 =−b 
2a. 
b) Fazendo x = 0, em f (x) = ax2 +bx +c, obtêm-se que f (0) = a · 02 +b · 0+c = c. Portanto, C := (0,c), corresponde ao ponto em que a parábola corta o eixo do y. 
c) Finalmente, um importante ponto de grande destaque na parábola, é chamado de vér 
tice. Este, é dado por V :=¡xv,xv¢:=µ−b 
¶ 
2a,−∆ 
. 
4a 
O ponto de vértice é extremamente importante no gráfico da função do segundo grau. Ele corresponde ao ponto de mínimo, caso em que a > 0; ou ponto de máximo, caso em que a < 0. Além disso, a parábola é simétrica em relação à reta vertical x =−b 
2a. 
As afirmações contidas no item (c) podem ser comprovadas através do estudo de derivadas de funções; isto será feito adiante. 
Dada uma função do segundo grau, é importante encontrar os quatro pontos A,B,C e V , con forme definidos anteriormente.
2.2. ELEMENTOS BÁSICOS SOBRE A FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU 29 
Por exemplo, vamos considerar a função f (x) = x2 − x + 1 e determinar os quatros pontos fundamentais A,B,C e V . Em seguida, vamos destacá-los na parábola, . Primeiramente, observe que f (0) = 02 −0+1 = 1. Assim temos o ponto C = (0, 1). Sendo delta ∆ dado por b2 −4ac, tem-se que nesse caso, 
∆ = (−1)2 −4.1 · 1 = 1−4 = −3. 
Como delta é um valor negativo, tem-se que p∆ =p−3, não é um valor real. Portanto não existem raízes reais para a função f (x) = x2 − x +1. Isto significa que a função não corta o eixo dos x. 
Para o cálculo do vértice, tem-se que: 
V =¡xv,xv¢:=µ−b 
2a,−∆ 
4a 
¶ 
= 
µ−(−1) 
2.1,−(−3) 4.1 
¶ 
= 
µ1 
2,34¶ 
A seguir, tem-se um esboço do gráfico da função x2 − x +1, com os pontos C e V posto em destaque. 
y 
C = (0, 1) V =µ12,34¶ 
x 
Figura 2.1: Gráfico da função f (x) = x2 − x +1 com os pontos C e V destacados. 
Note que o gráfico da parábola é simétrico em relação à reta x =12, e que o ponto do vértice µ1 
2,34¶, corresponde ao ponto de mínimo para a função x2 − x +1. 
Para completar o estudo sobre a função do segundo grau, é importante destacar os pontos onde a mesma assume valores positivos e negativos. Ou seja, é fundamental representar os intervalos da reta, onde: 
ax2 +bx +c > 0, e ax2 +bx +c < 0.
30 CAPÍTULO 2. PROPRIEDADES PARA O CÁLCULO DE LIMITES 
O estudo do sinal da função do segundo grau depende unicamente do cálculo das raízes, e da observação sobre o sinal do coeficiente a. Deixamos este estudo a ser concluído, através de exercícios propostos.
2.2. ELEMENTOS BÁSICOS SOBRE A FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU 31 
Exercícios 2.2 
1. Esboce os gráficos das funções do segundo grau, destacando as raízes, vértices, e o ponto onde a parábola corta o eixo dos y. 
a) x2 + x −2; b) x2 −2x +3; 
c) (x +3)·(−x +2); d) xπ− x2; 
2. Faça um estudo do sinal das funções do exercício (1). Isto é, determine o conjunto dos pontos onde as funções são positivas e negativas. Determine também, onde; 
a) ¡x2 + x −2¢ ¡x2 −2x +3¢< 0; b) x2 −2x +3 
(x +3)(−x +2)≥ 0; 
c)xπ− x2 
(x +3)(−x +2)< 0. 
3. Determine os pontos onde a reta x +3, corta a parábola x2 +x −2, e visualize geometrica mente. 
4. Determine os pontos onde as parábolas x2 + x −2, e 4− x2, se cortam, e visualize geome tricamente. 
5. Mostre que se x1 e x2, conforme definido nesta secção, são as raízes de ax2 + bx + c = 0, então x1 + x2 = −b2a, e x1.x2 =ca 
6. Mostre que se x1 e x2, conforme definido nesta secção, são as raízes de ax2 + bx + c = 0, então é possível escrever a fatoração ax2 +bx +c = a (x − x1)·(x − x2). 
7. Use o quesito anterior, para fatorar: 
a) x2 + x −2; b) x2 −2x +3; 
c) 2x2 +5x −3; d) x4 −13x2 +36; 
e) 3x2 + x −4 
8. Use o exercício anterior para calcular os seguintes limites: 
a) limx→−2x2 + x −2 
x +2; b) lim x→1/2 
c) limx→3(x −3)·(−x +2) 
2x2 +5x −3 4x2 −1; 
x2 −9; d) limx→−3x3 +3x2 +9x +27 
x2 −9; 
e) limx→−2x2 + x −2 
x4 −13x2 +36; f ) limx→−12x2 +5x +3 
x3 +1; 
x2 −4; h) limx→a(x − a).(−x +b) 
g) limx→−2x2 + x −2 
x2 − a;
32 CAPÍTULO 2. PROPRIEDADES PARA O CÁLCULO DE LIMITES 
2.3 Fórmulas algébricas e racionalização 
Para dar continuidade ao estudo das propriedades de limites, é importante recordar algu mas fórmulas algébricas. Tais fórmulas, serão usadas com bastante frequência neste texto. Algumas destas fórmulas são as seguintes: 
a) a2 −b2 = (a −b)·(a +b); 
b) a3 −b3 = (a −b)·¡a2 + a ·b +b2¢; 
c) a4 −b4 = (a −b)·¡a3 + a2·b + a ·b2 +b3¢. 
É importante o leitor verificar a veracidade dessas fórmulas. Para isto, basta fazer a multi plicação dos termos de cada lado direito das igualdades. Após fazer alguns cancelamentos o leitor obterá os respectivos termos do lado esquerdo. 
Com um pouco de atenção, percebe-se que estas últimas fórmulas, possuem uma lei geral de formação. Assim, analisando com atenção as fatorações, o leitor poderá fatorar o termo a5 −b5. Raciocinando indutivamente, poderá achar a fatoração para an −bn, onde n ∈ N. 
Para n ∈ N, ímpar, tem-se também fórmulas análogas como as dadas anteriormente; ou seja: 
a) a3 +b3 = (a +b)·¡a2 − a ·b +b2¢; 
b) a5 +b5 = (a +b)·¡a4 − a3·b + a2·b2 − a ·b3 +b4¢. 
Com um pouco de atenção o leitor descobrirá que existe também uma lei geral de formação para as duas últimas fatorações. Assim, fica como exercício deduzir a fatoração para an + bn, com n ∈ N, ímpar. 
Fica agora como exercício, usar as fórmulas dadas anteriormente, para determinar os se guintes limites.
2.3. FÓRMULAS ALGÉBRICAS E RACIONALIZAÇÃO 33 
Exercícios 2.3 
1. Calcule os seguintes limites. 
x −2; b) limx→−2x +2 
a) limx→2x3 −8 c) limx→4x2 −16 
x4 −16; 
x −4; d) lims→−1s5 +1 
x −p2 
x6 −8; f ) lim 
s +1; 
x +p3 
e) lim x→p2 
x→−p3 
x5 +9p3; 
x −4;h) limx→−ax + a 
g) limx→4x3 −64 
x4 − a4; 
i) lim 
x→pa 
Sugestão: 
x −pa 
x6 −pa6; j) lim x→pa 
x2 − a x −pa; 
x3 −8 = x3 −23, e s5 +1 = s5 +15; em seguida, use as fórmulas para fatoração. Relembraremos agora combinações de expressões envolvendo potências com expoentes fraci onários. Ou seja, combinações de equações do tipo xpq =pqxp. Iremos racionalizar o denomi nador ou o numerador de certas frações. Racionalizar, significa ”eliminar” alguma combinação de termos do tipo pqxp. Considere por exemplo as seguintes frações; 
a)3p7; 
b) 13 
p3x; 
c) 
p2 
px −1. 
Para eliminar as raízes dos denominadores nesses exemplos, deve-se multiplicar cada uma das fracões, pelo que comumente é conhecido como sendo o fator racionalizante. Para esses itens, os fatores racionalizantes serão dados respectivamente por: (a) p7; (b) p3x2; (c) px+1. Vejamos porque esses termos funcionam como fatores racionalizantes para as as frações. 
a)3p7=3p7·p7 
p7=3p7 
7; 
p3x2=13p3x2 
b) 13 
p3x=13 
p3x2 
p2 
p3x· 
p2 
x; 
p2(px +1) 
c) 
px −1= 
px −1· 
px +1 
px +1= 
x −1. 
Pelas contas feitas anteriormente, se pode eliminar as raízes dos denominadores de cada fração. Destacamos que em muitos casos, também é necessário eliminar raízes que apareçam no numerador. Note que dada a raiz pqxp, com p e q naturais, e p < q, então pqxq−p, é o fator racionalizante. Compare este fato, com o último exemplo (b). De uma maneira geral, através do uso das fórmulas algébricas estudadas anteriormente, é possível encontrar o fator racionalizante para uma combinação do tipo, apqxp+bprxs. A seguir, deixamos como exercício algumas frações afim de que o leitor racionalize, o numerador ou o denominador.
34 CAPÍTULO 2. PROPRIEDADES PARA O CÁLCULO DE LIMITES 
Exercícios 2.4 
1. Racionalize os denominadores ou numeradores das expressões dadas a seguir, simplifi cando o resultado: 
a)2 
pa +pbb) 7 
p2+3 
c)a −b 
pa −pbd) e)a 
px + a −pxf ) p3x +h −p3x 
pa −3 
a −9 
p3x −2−2 
x −2 
p3 π−1 
g) 
Sugestão: 
hh) 
π−1 
Para racionalizar o numerador do item (g), use a fórmula: a3 −b3 = (a −b)·(a2 + a ·b +b2), com a sendo igual a p3x +h, e b sendo igual a p3x. 
É possível que o leitor esteja se questionando o fato de estarem estudando racionalização. Para entender o porque disto, é importante considerar o seguinte exercício proposto no capí 
tulo 1: 
Calcule o limite da função f (x) = 
px −1 
x −1, quando x tende, ou se aproxima de 1. 
Esse exercício foi solicitado para para que o leitor o resolvesse, construindo uma tabela com osvalores de x se aproximando de 1. 
Nota-se imediatamente, que esta função não está definida para x = 1, isto é; f (1) = 0 
0, o que obviamente é indeterminado. 
p1−1 
1−1= 
Portanto, para calcularmos este limite de forma algébrica, iremos eliminar a raiz que aparece px −1 
no numerador da fração 
x −1. 
Conforme vimos, o fator racionalizante para este numerador, é px +1. Assim, tem-se que:px −1 
x −1=(px −1) (x −1) 
(px +1) 
(px +1)=x −1 (x −1)(px +1) 
Como está se calculando o limite da função f (x) = fazer: 
px −1 
x −1= limx→1x −1 
px −1 
x −1, quando x tende para 1, pode-se (px +1)=1 
limx→1 
(x −1)(px +1)= limx→11 
p1+1=12 
Para a resolução dos exercícios propostos a seguir, é necessário racionalizar ou fatorar algumas expressões.
2.4. FÓRMULAS DECORRENTES DAS PROPRIEDADES DOS LIMITES 35 
Exercícios 2.5 
1. Use racionalização para calcular os seguintes limites: 
a) lima→0a 
px + a −pab) lim a→b 
a −b 
pa −pb 
c) lim h→0 
hd) limx→axpx − apa 
p3x +h −p3x 
x − a 
e) limx→2 g) limx→1 
p3x −2−2 
x −2f ) limx→4 p3x +1−2 
x −1h) lim h→0 
px −2 
x −4 
px +h −px ³px +h ·px´ h 
2.4 Fórmulas Decorrentes das Propriedades dos Limites 
Destacaremos agora, outras fórmulas que permitem facilitar os cálculos de limites. Tais fór mulas, podem ser obtidas diretamente das que foram anteriormente estudadas para a soma, produto e quociente de funções. É preciso portanto, conhecer várias dessas fórmulas, e exercitá las afim de que se tenha um bom entendimento sobre limites. 
a) limx→ac · f (x) = c · limx→af (x), onde c é uma constante. Note que esta fórmula decorre imedia tamente do produto de duas funções. b) limx→a[f (x)]n = [limx→af (x)]n, onde n ∈ N. Também esta fórmula segue repetidamente do produto, onde tomando-se f (x) = g (x). 
c) limx→axn = an. Fazendo f (x) = x, nota-se que esta fórmula é um caso especial do item (b). d) limx→apnx =pna. Se n for par então devemos supor que a ≥ 0. 
Finalmente, uma das propriedades que decorre das anteriores é que: se f (x) =p(x) 
q(x), for 
uma função racional, isto é; um quociente entre dois polinômios p(x), e q(x), então limx→af (x) = p(a) 
q(a)= f (a); desde que o denominador deste quociente não se anule em x = a. Tem-se a seguir, alguns exemplos envolvendo essas últimas propriedades; Considerando a função racional f (x) =3x4 −2x3 +5x −7 
2x3 + x −3, tem-se que: 
2x3 + x −3=3(0)4 −2(0)3 +5(0)−7 
a) limx→03x4 −2x3 +5x −7 b) limx→23x4 −2x3 +5x −7 
2(0)3 +0−3=73. 
2x3 + x −3=3(2)4 −2(2)3 +5(2)−7 
16+2−3=73. 
c) limx→13x4 −2x3 +5x −7 
2(2)3 +2−3=48−16+10−7 
2x3 + x −3=3(1)4 −2(1)3 +5(1)−7 
2+1−3=−10, o qual é uma indeter minação. 
2(1)3 +2−3=3−2+5−7 
Nota-se que nesse último exemplo, não se pode usar diretamente a substituição de x por 1; uma vez que neste caso, fica-se com a indeterminação −10.
36 CAPÍTULO 2. PROPRIEDADES PARA O CÁLCULO DE LIMITES 
Iremos no próximo capítulo trabalhar com limites onde ocorrem casos como o apresentado no item (c). 
Tem-se a seguir, alguns exercícios sobre limites, afim de que o leitor possa aplicar as últimas propriedades apresentadas. 
Exercícios 2.6 
1. Calcule os limites das funções dadas a seguir. 
a) limx→−13x4 −2x3 +5x −7 
2x3 + x −3b) limx→04x2 −2x3 +5x −5 
−x2 + x −3 
−2x + x3d) limx→−π3x2 +1 
c) lim x→p3 
x2 +1 
x + x3 −px 
e) limx→12x3 + x −3 
3x4 −2x3 +5x −7f ) limx→−11+ x − x2 2+ x2 + x3 
g) limx→1x2 +1 
x +1h) lim x→p2 
x3 −9 
x6 + x3 + x +1 
Para finalizar este capítulo, estudaremos limites decorrentes do Quociente de Newton para funções. Não daremos de imediato, o significado geométrico do mesmo; mas destacamos que este estudo será fundamental para o entendimento do Cálculo Diferencial. 
2.5 O Quociente Newton para Funções 
Conforme foi brevemente comentado no Capítulo 1, tomando-se uma função f (x), então, através dela, pode-se considerar uma nova função q(h), definida por: 
q(h) =f (x +h)− f (x) 
h. 
A função q, é o conhecida como sendo o Quociente de Newton obtida através da função f . Observa-se mais uma vez que a função q(h) não está definida para h = 0; pois, 
0=f (0)− f (0) 
q(0) =f (x +0)− f (x) 
o qual é um valor indeterminado. 
0=00, 
De qualquer maneira, mesmo a função q(h), não estando definida para h = 0, pode-se fazer o limite dela quando h tende para zero. O que é uma grande surpresa, é que na maioria das vezes esse limite existe. Isto, pelo menos para as funções básicas que estão sendo estudadas neste material didático. 
Antes de darmos exemplos envolvendo esse item, salientamos que o quociente f (x +h)− f (x) 
h, 
possui uma interpretação geométrica. Estudaremos essas geometrias nos capítulos adiantes. Agora, iremos considerar algumas funções f , e através dela determinar as funções q. Por exemplo, considere f (x) = x2. Neste caso, têm-se por definição que a função q(h), é dada por: 
h=(x +h)2 − x2 
q(h) =f (x +h)− f (x) 
h=h(2x +h) h
2.5. O QUOCIENTE NEWTON PARA FUNÇÕES 37 Desse modo, para calcular o limite da função q(h) quando h tende para zero, tem-se que: 
h→0q(h) = lim 
h(2x +h) 
(2x +h) 
lim 
h→0 
h= lim h→0 
1= 2x +0 = 2x 
Observa-se que na penúltima passagem , o valor 2x é constante; uma vez que está sendo calcu lado o limite onde a nova variável é h. 
Tem-se a seguir um outro exemplo para o Quociente de Newton: 
Considere a função f (x) =px, calcule o quociente q(h) e depois faça o limite quando h tende para zero. 
Solução: 
Sendo f (x) =px, então f (x +h) =px +h. Desse modo, tem-se que: 
q(h) =f (x +h)− f (x) h= 
px +h −px h. 
Conforme foi visto, ao tentar substituir h por zero tem-se uma indeterminação. Assim, para “escapar” ou evitar essa indeterminação, multiplica-se essa última fração pelo fator racionalizante do numerador, ou seja, vamos multiplicar esta última fração por px +h +px. Claro; para não alterar a fração, multiplicaremos tanto o numerador quando o denominador pelo fator racionalizante. Fazendo isto, tem-se que: 
q(h) = 
px +h −px h= 
³px +h −px´ ³px +h +px´ 
³px +h +px´ =h 
³px +h +px´ 
h 
h 
Fazendo h tender para zero na última expressão para q(h), tem-se que: 
h 
³px +h +px´ =1 
lim h→0 
h 
1 
³px +h +px´ = lim 
h→0 
¡px +0+px¢ =1 
2px 
 
Para finalizarmos este capítulo, deixaremos a seguir uma lista de exercícios de aprendiza gem. Esperamos que o leitor possa resolver o máximo das questões.
38 CAPÍTULO 2. PROPRIEDADES PARA O CÁLCULO DE LIMITES 
Exercícios 2.7 
1. Para cada uma das funções dada a seguir, encontre o valor de q(h), conforme definida anteriormente, e simplifique seu resultado. 
a) f (x) = 2x +3, b) f (x) =2 
x+1, c) f (x) = x2 +3x, 
d) f (x) = x3, e) f (x) =p2x +1, f ) f (x) =p3x. 
Sugestão: 
Para resolver o exercício do item (d), use a fórmula: 
(a +b)3 = a3 +3a2b +3ab2 +b3. 
2. Para cada função q(h) encontrada e simplificada no exercício 1, calcule o limite quando h tende para zero. 
O texto apresentado na próxima seção, possui uma conotação histórica. A abordagem vai um pouco além das necessidades específicas para o entendimento do Cálculo Diferencial e Integral. 
2.6 Sobre a Existência de Soluções em Problemas da Matemática 
Com o propósito de fornecer elementos básicos sobre uma pesquisa na área de matemá tica, destaca-se que: Em geral, quando se tem um “problema” específico para ser resolvido na matemática, então alguns fatos decorrentes desse problema podem ocorrer. Por exemplo: 
a) O problema pode não ter solução. 
b) O problema tem uma única solução. 
c) O problema pode ter mais de uma solução, ou até infinitas. 
d) O problema tem solução, mas não se sabe matematicamente como encontrá-la. 
O caso (b), é conhecido como sendo “unicidade da solução do problema”. Esse fato por exemplo, foi abordado no início deste capítulo quando foi enunciado a unicidade do limite de funções. 
Algumas soluções encontradas em (d) são as vezes conhecidas como sendo numéricas, po dendo ser em geral dadas por aproximação através do uso de computadores. Exibiremos a seguir exemplos para estes quatros casos, e sugerimos ao leitor, descobrir ou pesquisar seus próprios exemplos. 
Vejamos inicialmente um primeiro exemplo para o item (d). 
Imagine a muitos e muitos anos, ainda na Gréciaantiga, um geômetra desenhando um triân gulo retângulo, com cada cateto medindo 1 metro. Usando o Teorema de Pitágoras, tem-se que a medida da hipotenusa, digamos a, é dado por: 
a2 = 12 +12 = 2. 
Percebe-se que essa equação pode ser fácil de entendimento hoje em dia. E, nesse caso, tem-se que que o comprimento da hipotenusa é dado por a =p2. 
Mas o que significava essa “raiz quadrada” para os matemáticos antigos? O símbolo da raiz, nem se quer existia na época. Como poderiam de fato medir o número a? Um detalhe que talvez o leitor não saiba, mas que já era conhecido desde a Grécia antiga, é o seguinte:
2.6. SOBRE A EXISTÊNCIA DE SOLUÇÕES EM PROBLEMAS DA MATEMÁTICA 39 Não existe número pertencente ao conjunto dos racionais, cujo quadrado seja igual a dois; 
µp 
ou seja, não existem números p ∈ Z e q ∈ Z−{0}, tais que q 
¶2 
= 2. 
Uma prova para esse último fato, a qual foi utilizada desde a época dos pitagóricos, é obtida através do "método da redução ao absurdo". 
Neste caso, assumindo sem perda de generalidade que a fração pqé irredutível, e que a 
mesma possa ser escrita na forma 
µp q 
¶2 
= 2, então chega-se uma contradição . 
O ponto em que estamos levando para o entendimento do leitor, é que na Grécia antiga, os conjuntos numéricos eram: naturais, os inteiros, e os fracionários. 
Portanto, como já se sabia que não existiam números racionais cujo quadrado fosse igual a 2, como “eles”, os geômetras, poderiam calcular de forma numérica a hipotenusa do triângulo retângulo? 
Essa útima observação, representa o item(d)da lista descrita anteriomente. Ou seja, a solu ção do problema deve existir, pois ela corresponde ao tamanho real da hipotenusa do triângulo, mas como medir este tamanho exatamente? Se disséssemos que ela vale 1, 4142135 estaríamos cometendo algum erro? 
Vejamos agora outros exemplos, existem vários deles; mas só estamos querendo que o leitor entenda um pouco da ideia intrínseca da matemática. 
Ainda neste capítulo, foi descrito a maneira de calcular as raízes de uma equação do se gundo grau. Ou seja; dada a equação 
ax2 +bx +c = 0, com a 6= 0 e a, b, c ∈ R, 
Então suas raízes podem ser calculadas através da seguinte fórmula: 
x =−b ±pb2 −4ac 
2a, 
Lembramos que dependendo do valor de ∆ := b2 − 4ac, estas raízes podem ser reais ou complexas. Raízes complexas, ou números complexos, são definidos na forma; z = α + iβ; onde α,β ∈ R, e i :=p−1, é a parte imaginária. 
A pergunta que se faz é a seguinte: Dada uma equação do terceiro grau, será que existe uma fórmula análoga a do segundo grau, para calcular as raízes? 
Ou melhor; como encontrar de forma algébrica, ou através de radicais, as raízes da seguinte equação: 
ax3 +bx2 +cx +d = 0 com a 6= 0 e a, b, c, d ∈ R? 
Talvez o leitor nunca tenha pensado nessa última questão, muito embora a maioria dos estudantes destinem um bom tempo, utilizando a fórmula dada anteriormente, para calcular as raízes de uma equação do segundo grau. 
O indiano Bhaskara Akaria, no qual no Brasil é atribuído as soluções das raízes do segundo grau, viveu entre 1114 a 1185. De qualquer maneira, ainda antes da época de Cristo, já era pos sível encontrar as raízes de uma equação do segundo grau, sem a utilização do uso específico da sua fórmula. 
Entretanto, uma fórmula análoga a dada por Bhaskara, para calcular de forma explícita as raízes de uma equação do terceiro e do quarto grau só apareceu por volta de 1530. De uma maneira geral, dada uma equação polinomial de grau maior ou igual do que cinco, pode-se perguntar se existe também uma fórmula algébrica que nos dê todas as raízes. Não é imediata a resposta para essa última pergunta; ela é muito importante e abrangente para ser respondida em poucas linhas. Entretanto, destacamos que um dos teorema mais im portantes (conhecido como Fundamental) da Álgebra, afirma que:
40 CAPÍTULO 2. PROPRIEDADES PARA O CÁLCULO DE LIMITES 
Toda equação polinomial de grau n, com coeficientes complexos, possui exatamente n raízes. Observe que esse Teorema afirma, por exemplo, que uma equação polinomial do quinto grau, possui exatamente cinco raízes; mas não explicita uma forma algébrica de encontrá-las, ou seja, estamos neste caso, ainda dando exemplo explícito para o item (d). De fato, em geral 
as raízes de uma equação do quinto grau só podem se calculadas numericamente. Uma das partes mais importantes e bonitas da História da Matemática, está relacionada com as últimas questões em que elencamos; particularmente aos fatos relacionados com o Teorema Fundamental da Álgebra. O leitor interessado no assunto, deve fazer uma pesquisa sobre a vida de um matemático, que morreu muito jovem, mas que nos deixou uma das mais importantes teorias na matemática; seu nome: Évariste Galois. 
Finalmente, para exemplificar fatos relacionados com os itens (a), (b) e (c), verifica-se que é possível dar exemplos de sistemas lineares do tipo AX = B, onde A, e B são matrizes dadas e X é a incógnita que se quer encontrar. O leitor com interesse nesses exemplos, deve estudar 
sistemas lineares. Um simples sistema como esse, onde a matriz A = 
µa b c d
¶ 
, 
X = 
µx y 
¶ 
e B = 
µe f 
¶ 
, é escrito na forma: 
½ax +by = e 
cx +d y = f 
Sabe-se que dependendo do valor do determinante da matriz A, esse simples sistema, pode ser impossível de ser resolvido, possuir uma única solução, ou apresentar infinitas soluções. Esses fatos podem ser comprovados sem muitas dificuldades; mas não iremos necessitar do uso desses resultados. 
Esperamos que o leitor tenha compreendido a ideia intuitiva sobre limites, e mais um vez, atentar para o seguinte fato: 
Dado uma função f , e um número a, então questionamos o comportamento desta função quando os valores de x que estão no domínio desta função se aproximam de a. Quando escrevemos o termo; aproximar do ponto a, podemos a princípio, pensar em fazer isto por valores maiores ou menores do que a. No próximo capítulo iremos explorar melhor esta ideia de aproximar por valores “menores” ou “maiores”. 
Outro fato que deve-se ficar atento, é o seguinte: os valores dos limites das funções que fo ram encontrados nestes dois capítulos, eram números reais limitados. Ou seja, quando foram realizados os cálculos limx→af (x) para as todas as funções, sempre encontra-se um valor L “bem definido”. Veremos no próximo capítulo que este valor L, em alguns caso pode tender para o infinito. 
Além disso, iremos também permitir que o valor de x possa tender para o infinito. De uma forma geral, dada uma função f (x), iremos permitir e entender o significado da seguinte pergunta: qual é o comportamento desta função quando x cresce, ou decresce “infi nitamente”? 
Finalizamos este capítulo com esses fatos históricos descritos e com os problemas propos tos. Passemos para o próximo, afim de estudá-los.
 O3 
 L
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 P
A
C 
TRANSLAÇÃO DE EIXOS E FUNÇÕES DEFINIDAS POR VÁRIAS SENTENÇAS 
Neste capítulo é apresentado a translação e a reflexão de eixos coordenados, os quais faci litam a construção de gráficos de funções. Apresentamos também algumas funções definidas por várias sentenças. Algumas dessas funções, são em geral abordadas no ensino fundamen tal e médio. Assim, caso o leitor seja conhecedor do assunto, poderá omitir a leitura, e passar para o capítulo seguinte. Entretanto, ressaltamos que um bom entendimento sobre gráficos de funções é fundamental para a compreensão das funções contínuas. Um estudo sobre funções contínuas será feito no próximo capítulo. 
3.1 Analisando a Representação de Algumas Funções 
Iniciamos este parágrafo fazendo a seguinte pergunta: 
Será que o leitor percebeu que quando se está estudando funções, geralmente usa-se a letra f para representá-la? 
Esse fato em geral é verdade; não somente nos livros editados em português, como nos demais, editados em várias outras línguas. Entretanto, nada impede de usar outras letras para representar as funções. É natural em certas ciências, tais como física, química, economia etc., as funções serem representadas por letras, que as relacionem com seus significados específicos. Além disso,a variável da função, que em geral é representando pela letra x, também muda. 
Vejamos a seguir, exemplos sobre a representação de algumas funções específicas: Em física, tem-se por exemplo as duas funções dadas a seguir, as quais descrevem respecti vamente a velocidade e a equação do movimento dos corpos: 
V (t) = V0 + at, 
S(t) = S0 +V0t +at 2 
2. 
Observe que a primeira dessas funções é a afim, e a outra é uma função do segundo grau. Em ambas, a variável utilizada é t, a qual representa o tempo. As constantes V0, S0 e a, denotam respectivamente a velocidade, o espaço inicial do movimento, e a aceleração. Claro; existem 
41
42CAPÍTULO 3. TRANSLAÇÃO DE EIXOS E FUNÇÕES DEFINIDAS POR VÁRIAS SENTENÇAS 
um grande número de funções e equações na física; acreditamos que o leitor deva conhecer outras. 
Na economia, a função custo, é em geral representada pela seguinte função polinomial do terceiro grau: 
C(x) = a +bx +cx2 +d x3. 
A constante a nessa função, representa os custos gerais indiretos (aluguel, aquecimento, manu tenção).Os demais coeficientes do polinômio, representam o custo das matérias-primas, mão de-obra e assim por diante. Ainda na economia, tem-se a função custo médio, a qual pode ser representada por: 
c(x) =C(x) 
x. 
Neste caso, a função c(x) representa o custo por unidade, quando x unidades são produzidas. Conforme destacamos na introdução deste curso, o Cálculo Diferencial tem aplicações em várias áreas das ciências, com maior intensidade nas exatas. De qualquer maneira, nosso obje tivo principal é proporcionar um entendimento geral, afim de que o Cálculo possa ser utilizado em vários contextos. 
Fica como sugestão o leitor pesquisar outros exemplos de funções, que estejam relaciona das com problemas da química, biologia e demais áreas das ciências. 
Destacaremos na seção seguinte duas importantes famílias de funções. 
3.2 Duas Importantes Famílias de Funções 
O termo "família" aqui usado, significa que as funções podem ser representadas com a introdução de parâmetros. Esta definição, nada mais é do que uma representação geral para uma classe específica de funções. 
Por exemplo, f (x) = ax +b, com a 6= 0 representa todas as funções do primeiro grau; neste caso, pode-se entender como uma família a dois parâmetros de funções. Atribuindo um va lor específico para as constantes a e b, tem-se uma particular função do primeiro grau. Por exemplo, f (x) = −2x +3 representa um membro específico para esta família de funções. 
Vamos especificamente nesta e no próxima seção, estudar graficamente como se compor tam as seguintes famílias de funções: 
(i) f (x) = apnx +b +c 
(ii) f (x) = a(x +b)n +c 
Assim, para cada constante a,b,c de números reais e n ∈ N, dadas arbitrariamente, tem-se uma função específica, conforme definida em (i) ou (ii). 
Iremos ainda considerar a seguinte família de funções: 
g (x) = d|f (x)| +e, 
onde novamente d,e são variáveis reais arbitrárias e |f (x)| representa o módulo de uma das duas funções f conforme definida anteriormente por (i) ou (ii). O módulo será definido adiante na seção 3.4. 
Finalmente, uma outra importante classe de família de funções, é dada por: h(x) =a 
(x +b)n+c 
onde a,b,c e n, são dados como anteriormente. Exemplos para estes casos, são propostos nos exercícios, ao final deste capítulo.
3.3. A TRANSLAÇÃO, REFLEXÃO E DILATAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS 43 
Esboço de gráficos de funções, podem ser facilitados, utilizando o que comumente é cha mado de “translações de eixos”. 
3.3 A Translação, Reflexão e Dilatação dos Eixos Coordenados 
Lembremos que dada uma função f , então o conjunto de todos os pontos no plano carte siano ©(x, y); y = f (x)ª, representa o seu gráfico. A seguir, definiremos e exemplificaremos os termos utilizados nesta seção. 
Uma Translação de eixo significa deslocar um gráfico de uma função no eixo dos x, para a direita ou para a esquerda. Ou, descolocar esse gráfico no eixo dos y, para baixo ou para cima. Esse deslocamento lateral (respectivamente vertical), corresponde a somar ao eixo dos x uma constante k (respctivamente, somar ao eixo dos y uma constante k˜). 
Por outro lado, conhecendo-se o gráfico de uma função f , pode-se facilmente construir o da função −f . Para fazer isto, ou seja, esboçar o gráfico da função −f , basta simplesmente fazer uma reflexão do gráfico da função f em torno do eixo dos x. De uma forma análoga, a troca de x por −x, corresponde a uma reflexão do gráfico da função f em torno do eixo dos y. 
A figura seguinte, representa em um mesmo sistema de coordenadas, o gráfico de uma função f , juntamente com o gráfico de −f . 
Figura 3.1: Gráfico de f e −f 
O gráfico da função −f , foi obtido através de uma reflexão do gráfico da função f em torno do eixo dos x. 
Finalmente, substituindo-se o valor de x (respectivamente y), por kx, (respectivamente k y˜ ), com k > 1 e k˜ > 1, tem-se uma dilatação no gráfico de f nestes respectivos eixos. Ademais, quando k e k˜, pertencem ao intervalo (0, 1), diz-se ter uma compressão ou contração. 
Iremos a seguir, esboçar os gráficos de algumas funções dadas por f (x) = apx +b + c, o qual corresponde a um membro da família f (x) = apnx +b + c, quando n = 2. Exemplos para valores diferentes deste n, é proposto na lista de exercícios, ao final deste capítulo.
44CAPÍTULO 3. TRANSLAÇÃO DE EIXOS E FUNÇÕES DEFINIDAS POR VÁRIAS SENTENÇAS 
Nota-se que o caso mais simples da família das funções dada por f (x) = apx +b + c, é quando a = 1,b = 0 e c = 0. Neste caso, tem-se que f (x) =px, onde seu domínio, é dado pelo conjunto: D = {x ∈ R; x ≥ 0}. 
Para entender como é o comportamento do gráfico desta função, pode-se fazer uma tabeli nha, como apresentada a seguir. 
Na seguinte tabela, atribuímos alguns valores arbitrários, porém positivos e incluindo o zero, para a variável x e calculamos os respectivos valores de f (x) =px. 
p
	x 
	f (x) =x 
p
	0 
	f (0) =0 = 0 
p
	1 
	f (1) =1 = 1 
p
	2 
	f (2) =2 ' 1, 41 p
	3 
	f (3) =3 ' 1, 73 p
	4 
	f (4) =4 = 2 
p
	5 
	f (5) =5 ' 2, 23
Representando as coordenadas dos pontos dessa última tabela no sistema de coordenadas cartesianas, e depois ligando-os, pode-se admitir que o gráfico da função f (x) =px possui a seguinte forma geométrica: 
Figura 3.2: Gráfico de f (x) =px 
Uma vez já se conhece a forma geométrica do gráfico da função f (x) =px, então usando translação de eixos, é fácil construir qualquer gráfico da família dada por: f (x) = apx +b +c 
Por exemplo, suponha que se deseje construir o gráfico da função f , definida por: f (x) =px −2+1
3.3. A TRANSLAÇÃO, REFLEXÃO E DILATAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS 45 
Para esboçar o gráfico dessa função, pode-se primeiro construir o gráfico de f (x) =px −2. Neste caso, observa-se que o domínio da função é dado pelo conjunto D = {x ∈ R; x ≥ 2}. Assim o gráfico de f (x) =px −2, se comporta exatamente como o gráfico de f (x) =px. A única diferença, e que “este começa a partir de x = 2”. Utilizando o gráfico de px −2, pode se facilmente construir o gráfico de px −2 + 1. Para isto, basta subir, isto é transladar, uma unidade no eixo dos y o gráfico de px −2. 
(a) Gráfico de f (x) =px −2 
(b) Gráfico de f (x) =px −2+1 
Vamos agora construir o gráfico para a função f (x) = −px −2+3. 
Para exibir o gráfico dessa função, pode-se primeiramente fazer uma reflexão de px −2 em torno do eixo dos x, e em seguida subir três unidades no eixo do y. 
Tem-se a seguir a construção feita para esses dois passos. 
É importante para o leitor determinar o ponto onde a função −px −2+3, corta o eixo dos x.
46CAPÍTULO 3. TRANSLAÇÃO DE EIXOS E FUNÇÕES DEFINIDAS POR VÁRIAS SENTENÇAS 
(a) Gráfico de f (x) = −px −2 
(b) Gráfico de f (x) = −px −2+3 
Exercícios 3.3.1 
1. Esboce os gráficos das funções dadas a seguir, usando a translação de eixos. Nos esbo ços, deve-se unicamente utilizar a forma geométrica do gráfico de px. Em cada caso, determine também as raízes; ou seja, os pontos onde as funções cortam o eixo dos x. 
a) px −3+2 b) −px −3+2 
c) px +3−2 d) 3px +2 
e) p3− x +1 f ) 2p−2x +3−1 
A seguir, faremos alguns exemplospara a construção de gráficos da família f (x) = a(x +b)n +c
3.3. A TRANSLAÇÃO, REFLEXÃO E DILATAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS 47 
O leitor deve ter percebido que para n = 1, e para n = 2, tem-se respectivamente as funções do primeiro e segundo grau, as quais foram estudas nos capítulos 1 e 2. 
Para a construção de algum elemento específico dessa família de funções, é necessário co nhecer o comportamento dos gráficos das funções dadas: por x, x2, x3, x4, x5, etc. Acreditamos que os gráficos das funções dadas por x e x2, já são bastantes conhecidos pelo leitor. Para ter um entendimento do comportamento dos gráficos das demais funções, sugerimos ao leitor construir uma tabelinha de valores, conforme fizemos para a função px. Observe que o domínio das funções das por x, x2, x3, x4, x5, é todo o conjunto dos números reais. 
A seguir, exibimos respectivamente os gráficos das funções x, x2, x3, x4, x5. 
(a) Gráfico de f (x) = x (b) Gráfico de f (x) = x2 
(c) Gráfico de f (x) = x3 
Figura 3.5 
O leitor deve ter percebido como se comportam geometricamente a sequência para os grá ficos das funções definidas por y = xn, onde n pertence ao conjunto dos naturais. Caso inclua n = 0, neste conjunto, tem-se a função constante, f (x) = 1. De qualquer maneira, deve-se uni camente destacar quando o inteiro n for par ou ímpar. Sugerimos ao leitor tentar observar de forma mais detalhada o comportamento destes gráficos para valores de x pertencentes ao intervalo [−1, 1], e para valores fora deste intervalo. 
O conhecimento prévio desses últimos gráficos, permite facilmente construir qualquer mem bro da família dada por f (x) = a(x +b)n +c. 
Vejamos um exemplo para a construção de um desses gráficos, usando a translação de ei xos. 
Usar a translação de eixos para construir o gráfico da função dada por: y = f (x) = −(x − 2)3 +1.
48CAPÍTULO 3. TRANSLAÇÃO DE EIXOS E FUNÇÕES DEFINIDAS POR VÁRIAS SENTENÇAS 
(a) Gráfico de f (x) = x4 
(b) Gráfico de f (x) = x5 
Para esboçar esse gráfico, basta considerar o gráfico de y = x3, e em seguida fazer os esbo ços parciais, dados através dos seguintes passos: 
a) Deslocar duas unidades para a direita no eixo dos x, afim de obter o gráfico de (x −2)3; b) Fazer uma reflexão através do eixo dos x para obter o gráfico de −(x −2)3; c) Subir uma unidade no eixo dos y para obter o gráfico de −(x −2)3 +1. 
A seguir, exibiremos a sequência dos gráficos dados nos itens (a), (b) e (c). Note que a função −(x −2)3 +1, possui uma raiz dada por x = 3.
3.3. A TRANSLAÇÃO, REFLEXÃO E DILATAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS 49 
(a) Gráfico de f (x) = (x −2)3(b) Gráfico de f (x) = −(x −2)3 
(c) Gráfico de f (x) = −(x −2)3 +1 
Figura 3.7 
Exercícios 3.3.2 
1. Use a translação de eixos para esboçar os gráficos das funções dadas a seguir. Quando possível, destaque as raízes. 
a) −(x +2)3 +1 b) (x −2)3 −2 
c) −(x −2)2 +1 d) −(x −2)4 +1 
e) (x −2)3 +3 f ) −4(x −2)3 +1 
g) 2(−x +p3)5 −1 h) 34(2x −3)3 +1 
2. Esboce alguns membros dos gráficos da família de funções f (x) =pnx, com n ∈ N; desta que o domínio. 
3. Use a translação de eixos para esboçar os gráficos das seguintes funções: a) p3x +1−2 b) p3 −x +2−3 
c) p4x +1+2 d) p5 −x +3+2
50CAPÍTULO 3. TRANSLAÇÃO DE EIXOS E FUNÇÕES DEFINIDAS POR VÁRIAS SENTENÇAS 
3.4 Funções Definidas por Várias Sentenças 
Dando continuidade a este capítulo, faremos agora uma breve apresentação sobre funções definidas por várias sentenças. 
Acreditamos que o leitor tenha conhecimento sobre funções definidas por uma única lei de formação. Ou seja, como na definição do início do Capítulo 1, uma função pode ser matema ticamente assim descrita: f : I → J, onde I e J são conjuntos, ou um intervalo do conjunto do números reais. 
Neste caso específico, dizemos que a função possui uma única lei de formação f (x), onde x pertence ao intervalo I. 
Temos por exemplo, as seguintes funções definidas por uma única lei de formação: 
a) f (x) = sen(x) 
b) f (x) =p2x +3 
c) f (x) = 3x5 +3x2 −2x 
d) f (x) = loge(x +3) 
Entretanto, existem funções onde o domínio pode ser formado pela união de vários inter valos, tendo neste caso, várias leis (regras ou expressões) para sua definição. Cada uma dessas leis de formação da função, está definida em um intervalo específico. 
O mais simples e clássico exemplo de uma função definida por mais de uma sentença, é a função modular. Esta é definida do seguinte modo: 
|x| = 
½x, se x ≥ 0; −x, se x < 0 
Para esboçar o gráfico da função modular, separamos as duas semirretas que passam pela origem. A saber: 
d(x) = x, para x ≥ 0, e e(x) = −x, para x < 0. 
Os gráficos para as funções d e e são geometricamente descritos do seguinte modo: (a) Gráfico de d(x) = x, com x ≥ 0 (b) Gráfico de d(x) = −x, com x < 0
3.4. FUNÇÕES DEFINIDAS POR VÁRIAS SENTENÇAS 51 
Juntando-se esses dois últimos gráficos em um só sistema de coordenadas, tem-se a se guinte representação para a função modular: 
Figura 3.9: Gráfico de f (x) = |x| 
Observação: 
É importante entender que a função modular pode também ser dada por |x| = px2. Este fato é muito útil quando se está tentando “extrair” variáveis de dentro do radical. Veremos em breve, alguns exemplos para este fato quando estivermos calculando limites no infinito. A função modular |x|, também pode ser interpretada como sendo a distância de x a origem 0. Por exemplo | −5| =5; uma vez que 5, é a distância de -5 até 0. 
A função modular possui as propriedades enumeradas a seguir, as quais são válidas para todos os valores reais, de x, y e k uma constante positiva. 
P1. |x| ≥ 0; e |x| = 0 se e somente se, x = 0 
P2. |x|n = xn ⇐⇒ n é um número natural par 
P3. |x| = k ⇐⇒ x = ±k 
P4. |x| = |y| ⇐⇒ x = ±y 
P5. |x · y| = |x|·|y| 
P6.|x||y|= |xy|; y 6= 0 
P7. |x| ≤ k ⇐⇒ −k ≤ x ≤ k 
P8. |x| ≥ k ⇐⇒ x ≥ k ou x ≤ −k 
As propriedades da função modular, conforme descritas anteriormente, permitem resolver muitas das equações e inequações modulares. Não iremos aqui trabalhar com exemplos es pecíficos sobre essas equações. Nosso estudo será mais direcionado para as funções. Assim,
52CAPÍTULO 3. TRANSLAÇÃO DE EIXOS E FUNÇÕES DEFINIDAS POR VÁRIAS SENTENÇAS 
continuaremos a exemplificar as que são definidas por várias sentenças. A função modular é um exemplo clássico de uma função que é definida por duas sentenças. Vamos agora entender o seguinte exemplo: 
Considere a seguinte função: 
f (x) = 
  
x2, se x ≤ 0, 2x, se 0 < x < 1, 2, se x ≥ 1; 
Considerando esta última definição para f , iremos encontrar os seguintes valores: a) f (1/2) 
b) f (0) 
c) f (3) 
d) f (−2) 
Para encontrar esses valores, deve-se observar a definição da função, e verificar que: a) Sendo 0 <12< 1, então; fµ12¶= 2 ·12= 1 
b) Para x = 0, f (0) = 02 = 0; 
c) Sendo 3 > 1, então f (3) = 2; 
d) Sendo −2 < 0, então f (−2) = (−2)2 = 4. 
Exercícios 3.4.1 
1. Esperamos que o leitor tenha entendido como esses últimos cálculos foram feitos. Con siderando ainda a última definição para função f , deixamos os seguintes valores a serem obtidos: 
a) f 
µ3 π 
¶ 
b) f (−p5) 
c) f (p2) d) fµ32¶ 
Nota-se que o domínio da última função é formado pela união de três intervalos. Iremos a seguir representar cada parte dessa função nos respectivos intervalos da reta. Par fazer isto, observe que se x ∈ R, e x ≤ 0, então esse intervalo é representado na seguinte forma: 
Figura 3.10 
Note que neste intervalo, a definição da função é f (x) = x2, a qual representa geometrica mente o lado de uma parábola. Veja a seguir o seu gráfico.
3.4. FUNÇÕES DEFINIDAS POR VÁRIAS SENTENÇAS 53 
Figura 3.11: Gráfico de f (x) = x2, para x < 0. 
Analogamente, o intervalo x ∈ R, e 0 < x < 1, é representado geometricamente do seguinte modo: 
Figura 3.12 
Para esse último intervalo dado, a definição da função é f (x) = 2x, a qual representa o gráfico de uma semi reta. Veja a seguir o gráfico. 
Figura 3.13: Gráfico de f (x) = 2x, para 0 < x < 1
54CAPÍTULO 3. TRANSLAÇÃO DE EIXOS E FUNÇÕES DEFINIDAS POR VÁRIAS SENTENÇAS 
Finalmente, o intervalo x ∈ R, com x ≥ 1, é representado geometricamente do seguinte modo: 
Figura 3.14 
Para esse o últimointervalo, a definição da função é f (x) = 2, que é uma função constante, sendo representada geometricamente por uma reta paralela ao eixo dos x. 
Figura 3.15: Gráfico de f (x) = 2, para x ≥ 1 
Para completar o estudo dessa última função, daremos o esboço geral de seu gráfico. Para fazer isto, basta juntar os três últimos gráficos em um só sistema de coordenadas. Assim, tem se a a seguir representação da função.
3.4. FUNÇÕES DEFINIDAS POR VÁRIAS SENTENÇAS 55 
Figura 3.16: Gráfico geral de f (x) 
Afim de que o leitor adquira mais confiança no esboço de funções definidas por várias sen tenças, iremos trabalhar um novo exemplo. Para isso, considere a seguinte função: 
g (x) = 
  
−x2 +3, se x < 0; 3, se 0 ≤ x ≤ 2; px −2+1, se x > 2 
Percebe-se facilmente, que a função g é descrita por três leis de formação. Além disso, o do mínio é composto pela união de três subintervalos. Os intervalos que estão sendo referidos são: 
I1 = {x ∈ R; x < 0}, I2 = {x ∈ R; 0 ≤ x ≤ 2}, e I3 = {x ∈ R; x > 2}. 
É importante o leitor representar geometricamente os intervalos I1, I2, e I3, conforme foi feito no último exemplo. Verifica-se que a união desses três intervalos forma o conjunto dos núme ros reais; ou seja, R = I1 ∪ I2 ∪ I3. 
Considerando a definição para essa função g , vamos inicialmente verificar quanto vale cada um dos seguintes valores: 
g (1), g 
µ5 2 
¶ 
, g (π), g 
³−π 3 
´ 
, g (2) 
Para calcular os valores da função g nos pontos em que x = 1, x =52, x = π e x = 2, deve-se simplesmente verificar em qual dos intervalos estes valores pertencem, e usar a definição da função g . 
Assim, se x = 1, então x ∈ I2, neste caso, de acordo com a definição de g , tem-se que g (1) = 3. 
Analogamente, é fácil perceber que:
56CAPÍTULO 3. TRANSLAÇÃO DE EIXOS E FUNÇÕES DEFINIDAS POR VÁRIAS SENTENÇAS 
Se x =52, então x ∈ I3; assim, de acordo com a definição de g , tem-se que g (5/2) =p5/2−2+1 =p1/2+1 ' 0, 7+1 = 1, 7. 
Se x = π, então x ∈ I3; neste caso, de acordo com a definição de g , tem-se que g (π) =pπ−2+1 'p3, 14−2+1 =p1, 14+1 ' 1, 07+1 = 2, 07. 
Se x = −π/3, então x ∈ I1; neste caso, tem-se que 
g (−π/3) = −(−π/3)2 +3 ' −(−3, 14/3)2 +3 ' −(1, 05)2 +3 ' −1, 1+3 = 1, 9. 
Finalmente, se x = 2, então x ∈ I2, assim, de acordo com a definição de g , tem-se que g (2) = 3. O leitor deve ter notado que em alguns casos, foi usado o símbolo '. Este, significa que está sendo usando um valor aproximado para os números. Por exemplo p5 ' 2, 24. Para completarmos o estudo da função g , iremos esboçar o seu gráfico. Do mesmo modo que foi feito para a função f dada no último exemplo, iremos construir o gráfico de g , separando o em três partes, de acordo com a definição dada em cada intervalo. 
Desse modo, uma primeira parte do gráfico da função g , será dada pela função −x2 + 3, onde x pertence ao intervalo I1. Como esse gráfico é a parte de uma parábola, tem-se a seguinte representação: 
Figura 3.17: Gráfico de g (x) = −x2 +3, x ∈ I1 
A segunda parte do gráfico de g , a qual é dada por g (x) = 3, se x ∈ I2, tem a seguinte forma geométrica:
3.4. FUNÇÕES DEFINIDAS POR VÁRIAS SENTENÇAS 57 
Figura 3.18: Gráfico de g (x) = 3, x ∈ I2 
Finalmente, traçamos o gráfico da função g (x) =px −2 + 1, onde x pertence ao intervalo I3, o qual tem a seguinte forma geométrica: 
Figura 3.19: Gráfico de g (x) =px −2+1, x ∈ I3 
Observação: O leitor deve observar que o último gráfico esboçado, já havia sido anterior mente estudado no início deste capítulo.
58CAPÍTULO 3. TRANSLAÇÃO DE EIXOS E FUNÇÕES DEFINIDAS POR VÁRIAS SENTENÇAS 
Para se ter uma completa descrição do gráfico da função g , unimos os três últimos gráfi cos em um mesmo sistema de coordenadas. Assim, concluímos que ele apresenta o seguinte aspecto: 
Figura 3.20: Gráfico geral de g (x) 
Afim de que o leitor tenha a certeza que está aprendendo a esboçar gráficos de funções definidas por várias sentenças, deixaremos como exercício proposto, exemplos de três funções.
3.4. FUNÇÕES DEFINIDAS POR VÁRIAS SENTENÇAS 59 
Exercícios 3.4.2 
1. Considere a seguinte função u, definida por três sentenças, e determine o que se pede. 
u(x) = 
  
−x2 +2, se x < −1, |x|, se −1 ≤ x ≤ 1, −x2 +2, se x > 1 
Como se percebe facilmente esta função está definida para três intervalos diferentes. Primeiramente representar cada um destes intervalos. Ou seja, represente geometrica mente: 
a) I1 = {x ∈ R; x < −1}, b) I2 = {x ∈ R; −1 ≤ x ≤ 1}, 
c) I3 = {x ∈ R; x > 1}. 
Verifique também que a união destes três intervalos forma o conjunto dos números reais, ou seja, R = I1 ∪ I2 ∪ I3. 
Construa separadamente o gráfico da função u(x), em cada um destes intervalos. Ou seja: 
i) Esboce o gráfico da parábola −x2 +2, para x pertencente ao intervalo I1 ii) Esboce o gráfico da função módulo |x|, para x pertencente ao intervalo I2 iii) Esboce o gráfico da parábola −x2 +2, para x pertencente ao intervalo I3. Finalmente, faça a união dos três últimos gráficos em um mesmo sistema de coordena das cartesianas, verificando que o mesmo apresenta uma boa simetria. Esperamos que o leitor possa intuitivamente definir algo sobre simetria. Caso tenha dúvida ou curiosi dade, deve fazer uma pesquisa. Simetria é um termo bastante utilizado na matemática e no cotidiano. 
2. Suponhamos agora que mudássemos ligeiramente a definição da última função. Por exemplo, vamos considerar uma função v, definida por: 
v(x) = 
  
−x2 +2, se x < −1, 2, se x = −1, 
|x|, se −1 < x < 1, 2, se x = 1, 
−x2 +2, se x > 1 
Nota-se que a função v(x) possui, cinco sentenças na composição de sua definição. Na realidade, ela é uma pequena modificação na função do exercício anterior. Tende enten der o que foi modificado em relação à função u. Fica como importante exercício fazer um esboço do gráfico, um vez que em breve voltaremos analisá-la. 
3. Para completar a lista de exercício, segue novamente uma função afim de que se possa ex trair todas as informações possíveis sobre ela. Ou seja, entender o domínio de definição, e fazer o gráfico destacando as as raízes. 
k(t) = 
4. Esboçe o gráfico da seguinte função: 
½t2 +2t, se t < 1, −t +3, se t ≥ 1 
f (x) = 
  
−x +2, se x > 1, x3, se |x| ≤ 1, −x −2, se x < 1
60CAPÍTULO 3. TRANSLAÇÃO DE EIXOS E FUNÇÕES DEFINIDAS POR VÁRIAS SENTENÇAS 5. Determine uma lei de formação para as funções dadas pelos sequintes seguintes gráficos: 
(a) (b) 
(c) 
Figura 3.21 
Para darmos continuidade a este trabalho, vamos refletir um pouco. É possível inicial mente que o leitor deva estar se questionando: "nunca vi tanta função na minha vida"; é necessário de fato estudar tanto assim funções para entender o Cálculo? Para responder a este tipo de questionamento, pode-se assegurar que grande parte do estudo da mate mática, tem como fundamento básico, analisar o comportamento de certas funções. 
Na realidade, um dos importantes problemas na matemática, é “transformar” funções complicadas naquelas que sejam mais simples. Neste caso, as mais simples que se co nhece são as lineares, depois as quadráticas e assim por diante; ou seja, as funções poli nomiais. 
O Cálculo Diferencial possibilita utilizar esse processo de transformação. Ou seja, uma das principais utilidades do cálculo é poder olhar, “localmente” uma função complicada, como se fosse uma simples. O termo localmente será estudado adiante; mas acredita mos que o leitor tenha uma ideia do que ele significa. Localmente, pode ser entendido, como pontos em um gráfico, que estão restritos a uma vizinhança especificada. 
Deste modo, esperamos que você tenha entendido como se comportam algumas funções definidas por várias sentenças. Fizemos este estudo, porque iremos a seguir relacioná-lo com limites laterais e com a continuidade de funções.
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LIMITES LATERAIS E FUNÇÕES CONTÍNUAS 
No capítulo 1, foi desenvolvido limites de funções definidas em um único intervalo da reta. No capítulo anterior, foi apresentado exemplos de gráficos de funções definidas por várias sen tenças. Focaremos neste capítulo, no estudo de limites de funções as quais serão definidas por maisde uma sentença. Particularmente, estudaremos os limites em pontos de definições onde as funções "mudam de comportamento". De forma mais específica, suponha que uma função, seja definida por duas diferentes sentenças; uma sentença para um intervalo {x ∈ R;x < a}, e outra definida para o intervalo {x ∈ R;x > a}. Nesse caso, pode-se questionar qual é o limite dessa função, quando os valores de x tendem para a. Nota-se que está sendo questionado so bre a existência dos limites quando os valores de x tendem a a, pela esquerda e pela direita. O estudo desses limites, conduzem a existência dos importantes ”limites laterais”. Com a existên cia desses limites e das suas iqualdades, tem-se um estudo sobre a continuidade de funções. 
4.1 Um Exemplo para os Limites Laterais 
Para explorar a ideia sobre os limites laterais, voltemos a definição intuitiva do que seja “o limite de uma função f no ponto a”. Lembremos que essa última frase, significa que está sendo questionado sobre o comportamento da função para valores que estejam definidos nas vizinhanças do ponto a. 
O último termo posto em destaque, significa que iremos fazer, quando possível, a variável da função, se aproximar do ponto a, por valores menores, e maiores do que a. Para começarmos a exemplificar os limites laterais, pegaremos uma carona na definição da última função, dada no capítulo anterior, e responderemos algumas perguntas. Ou seja, considere a função: 
k(x) = 
½x2 +2x, se x < 1, −x +3, se x ≥ 1 
Note que essa função é obviamente definida por duas sentenças. Isto é; se x pertence ao intervalo I1 = {x ∈ R;x < 1}, então usa-se a definição x2 + 2x; e se x pertence ao intervalo I2 = {x ∈ R;x ≥ 1}, então usa-se a definição x +3. 
Tem-se ainda, que no intervalo I1 o gráfico representa parte de uma parábola. E no inter valo I2, esse gráfico representa parte de uma reta. 
61
62 CAPÍTULO 4. LIMITES LATERAIS E FUNÇÕES CONTÍNUAS 
O esboço desses dois gráficos, são dados a seguir. 
(a) k(x) = x2 −2x, para x < 1 (b) k(x) = −x +3, para x ≥ 1 
Figura 4.1 
Unindo-se esses dois últimos gráficos em um mesmo sistema de coordenadas, tem-se o seguinte gráfico da função k: 
Figura 4.2: Gráfico da função k 
Iremos agora considerar um valor fixo a, e em seguida fazer o limite da função k quando os valores de x se aproximam desse valor. Ou seja, pretende-se encontrar limx→ak(x) Por exemplo; suponha que a = 2; quanto vale limx→2k(x) ?
4.1. UM EXEMPLO PARA OS LIMITES LATERAIS 63 
Inicialmente observa-se, que sendo a > 1, então a pertence ao intervalo I2. Nesse caso, usa-se a definição −x +3. Ou seja, calcula-se o referido limite do seguinte modo: 
limx→2k(x) = limx→2(−x +3) 
Note que para calcular o seguinte limite, limx→2(−x +3), poderíamos construir uma tabelinha com os valores de x se aproximando de 2, por valores menores e maiores do que 2. Mas, pelo estudo realizado no capítulo 2, pode-se concluir que; 
limx→2(−x +3) = −2+3 = 1. 
Do mesmo modo, se a =p5, então 
x→p5(−x +3)−p5+3 ' −2, 23+3 = 0, 77; pois p5 ∈ I2. 
x→p5k(x) = lim 
lim 
Vejamos outro simples exemplo para o limite dessa mesma função k. 
Determine o seguinte limite: lim 
x→−1/2k(x). 
Novamente aqui, observa-se que −12< 1; ou seja, −12∈ I1. Neste caso, para calcular este limite, usa-se a definição x2 +2x. Assim, 
x→−1/2x2 +2x = (−1/2)2 +2(−1/2) = (1/4)−1 = −3/4 
x→−1/2k(x) = lim 
lim 
O exemplo a seguir, ainda é sobre a função k, mas ele tem um detalhe importante em relação aos outros limites anteriormente calculados. 
Para verificarmos isto, vamos considerar a = 1, e tentar calcular novamente limx→1k(x). Poderíamos aqui questionar; porque esse limite é diferente, ou tem uma certa particula ridade em relação aos demais? Observa-se inicialmente que em x = 1, a função k tem uma quebra. Ou seja; é neste ponto em ela passa da função quadrática x2 +2x para a afim −x +3. Observa-se também que para pequenos valores antes do ponto x = 1, estaremos no con junto I1; e se adiantarmos pequenos valores, por menor que possamos fazer, depois de x = 1 , cairemos no conjunto I2. Quando isto acontece, dizemos que este ponto é chamado de ponto de fronteira. Ou seja, x = 1 é um ponto de fronteira para os conjuntos I1 e I2. Adiante, iremos esclarecer um pouco sobre esta nova definição. De qualquer maneira, o termo "fronteira", coincide com a definição que é comumente usada no dia a dia. Voltemos então para ao problema do cálculo do limx→1k(x). 
Como já é de costume, pretende-se neste caso, saber o comportamento da função k, quando os valores de x se aproximam do valor 1. Essa aproximação, pode ser feita por valores menores, e maiores do que 1. 
Desse modo, como já se fez um estudo algébrico e geométrico da função k, podemos asse gurar que: 
Para valores de x, menores do que 1, 
a) limx→1k(x) = limx→1(x2 +2x) = 12 +2.1 = 3; 
e, para valores de x maiores do que 1, 
b) limx→1k(x) = limx→1(−x +3) = −1+3 = 2
64 CAPÍTULO 4. LIMITES LATERAIS E FUNÇÕES CONTÍNUAS 
Observação: Os limites calculados nos itens (a) e (b) anteriormente, são chamados limites laterais. 
Para o caso (a), em que os valores da variável x se aproximaram de 1, por valores menores, usa-se a seguinte notação: 
limx→1−k(x). 
Nota-se nessa notação, que apareceu o sinal de menos, na parte superior do numeral 1. Para o caso (b), em os valores da variável x se aproximaram de 1, por valores maiores, usa-se a seguinte notação: 
x→1+k(x). 
lim 
Nota-se, que para esta nova definição só apareceu um sinal de mais na parte superior do nu meral 1. 
Pode-se, fazer o seguinte resumo em relação a este dois últimos limites. a) limx→1−k(x) = 3; e, 
b) lim 
x→1+k(x) = 2 
4.2 A Definição dos Limites Laterais e Exemplos 
Vimos de uma forma geral, que dada uma função f e um valor fixo a, então foi bastante trabalhado o significado da expressão: 
limx→af (x) 
Mas, uma vez que for possível, fazer a variável da função se "aproximar"de a por valores menores e por maiores, tem-se as seguintes expressões: 
x→a+f (x) 
limx→a−f (x) e lim 
Definição 2. Os dois últimos limites, são respectivamente conhecidos como sendo: limite lateral a esquerda, e limite lateral a direita, da função f , no ponto a. 
Examinemos com detalhes, outros exemplos de limites laterais. Para facilitar esse entendi mento, consideremos uma função da qual já foi trabalhada anteriormente. Por exemplo, considere a seguinte função. 
g (x) = 
  
−x2 +3, se x < 0; 3, se 0 ≤ x ≤ 2; px −2+1, se x > 2 
Antes de tentarmos calcular algum limite sobre esta função g , vamos relembrar que destaca mos os seguintes conjuntos: 
I1 = {x ∈ R; x < 0}, I2 = {x ∈ R; 0 ≤ x ≤ 2} e I3 = {x ∈ R; x > 2} 
Caso o leitor não lembre direito do estudo feito sobre essa função, deve representar nova mente esses três conjuntos na reta. De qualquer maneira, a primeira observação que faremos é a seguinte: 
O ponto em que x = 0, é onde a função g muda (ou passa) da função quadrática −x2 + 3, para a função constante 3.
4.2. A DEFINIÇÃO DOS LIMITES LATERAIS E EXEMPLOS 65 
O ponto em que x = 2, é onde a função g também muda (ou passa) da função constante 3, para a função “raiz” px −2+1. 
Desse modo, pode-se destacar de uma maneira especial, quatro limites laterais. Isto por que, é possível calcular o limite da função g , quando x, tende para 0 ou 2. Observa-se que se pode aproximar do valor 0, por valores menores ou maiores, o qual nos motiva a destacar os seguintes limites laterais: 
limx→0−g (x) e lim 
x→0+g (x) 
Analogamente, pode-se pensar em calcular o limite da função g , quando x tende para 2. Neste caso, pode-se aproximar de 2, por valores menores e maiores; isto também nos induz a calcular os seguintes limites laterais: 
limx→2−g (x) e lim 
x→2+g (x) 
Iremos agora calcular esses quatros limites laterais destacados anteriormente. O único fato que se deve ficar atento, é que a expressão, limx→0−g (x) significa que iremos nos aproximar do valor 0, mas por valores menores do que ele. Neste caso, pela definição da função g , tem-se que a lei de formação é dada por −x2 +3. Portanto, 
limx→0−g (x) = limx→0−x2 +3 = −02 +3 = 3. 
Analogamente, lim 
x→0+g(x) significa que iremos nos aproximar de 0, mas por valores maiores do que ele. Neste caso, pela definição da função g , se estamos com valores da variável maiores do que zero, mas ainda menor do que dois, então esta função é definida como sendo 3. Portanto, 
limx→0−g (x) = limx→0−3 = 3. 
Fica para o leitor observar que de acordo com a definição da função g e as definições sobre os limites laterais, 
limx→2−g (x) = limx→23 = 3 e, 
x→2+g (x) = limx→2 lim 
³px −2+1´=p2−2+1 =p0+1 = 1. 
Esses, são os dois únicos limites que se deve por em destaque para a função g . Qualquer outro limite, que se calcule para valores diferentes de 0 e 2, não se terá muitas dificuldades. Por exemplo: Qual é o limite dessa função g , quando x tende para 3? Como é fácil de perceber, o valor 3 pertence ao intervalo I3 ; assim, para pequenos valores de x próximo ao 
número 3, a função g é definida como sendo px −2+1. Deste modo, tem-se que: limx→3g (x) =p3−2+1 =p1+1 = 2. 
Observa-se que mesmo que alguém quisesse calcular este último limite através dos limites la x→3+g (x), teria que usar a mesma expressão ¡px −2+1¢. 
terias limx→3−g (x) e lim 
Deixamos a seguir, algumas funções afim de que o leitor possa calcular os limites laterais nos pontos especificados.
66 CAPÍTULO 4. LIMITES LATERAIS E FUNÇÕES CONTÍNUAS 
Exercícios 4.2 
1. Considere a função f conforme a definição dada a seguir, e responda ao que se pede. 
f (x) = 
½x +2, se x ≤ 2, −2x +4, se x > 2 
a) Esboce o gráfico desta função. É importante primeiro, esboçar as duas partes sepa radas; isto é: a semi-reta x+2, para x ≤ 2, e depois a outra semi reta −2x+4, definida para x > 2; 
b) Calcule os dois limites laterais: limx→2−f (x) e lim 
x→2+f (x). 
2. Considere a seguinte função v, procure responder ao que se pede. 
v(s) = 
a) Esboce o gráfico da função v(s). b) Calcule os seguintes limites: i) lims→−1−v(s) 
ii) lim 
s→−1+v(s) 
iii) lims→0v(s) 
½ps +1, se s > −1, −s −2, se s ≤ −1 
3. Considere a seguir, as funções f , g e h, dadas por:  
((x +1)2, se x < −1 
|x| 
f (x) = 
−x, se x ≥ −1g (x) =  
x, se x 6= 0, 1, se x = 0 
, 
e determine; 
h(x) = 
  
2x −3, se x ≤ 1, −x +2, se x > 1 
x→−1+f (x) 
a) lim x→−1−f (x), e lim 
x→0+g (x) 
b) limx→0−g (x), e lim 
x→1+h(x) 
c) limx→1−h(x), e lim 
4. Considere a função S, dada;  
S(x) = 
 
x + a, se x ≤ −2 −x3, se −2 < x < 2 x +b, se x ≤ 2 
Determine os valores das constantes a e b, tais que 
a) lim x→−2−S(x) = lim 
x→−2+S(x) 
b limx→2−S(x) = lim 
x→2+S(x) 
5. Substitua os valores de a e b encontrados no exercício anterior, na definição da função S, e faça um esboço so seu gráfico. 
6. Considere a função D, dada por: 
D(x) = 
e calcule os seguintes limites laterais:
½x2 − x, se x ≤ 2, 3x −4, se x > 2, 
4.2. A DEFINIÇÃO DOS LIMITES LATERAIS E EXEMPLOS 67 
a) limx→2−D(x)−D(2) 
x −2b) lim x→2+ 
D(x)−D(2) x −2 
c) lim h→0− 
D(2+h)−D(2) 
hd) lim h→0+ 
D(2+h)−D(2) h
68 CAPÍTULO 4. LIMITES LATERAIS E FUNÇÕES CONTÍNUAS 
4.3 Introdução ao Estudo das Funções Contínuas 
O leitor já deve ter percebido que muitos termos, ou expressões utilizadas na matemática têm relações com os que comumente usamos no dia a dia. Esta maneira de pensar é de fato verdadeira, e pode ser exemplificada através do poema triângulo amoroso de Millôr Fernan des,(ver apêndice A). Digitar este apêndice( FAZER UM APENDICE, E POR A LETRA DO POEMA. Às folhas tantas do livro matemático um Quociente apaixonou-se um dia doidamente por uma Incógnita. Olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a do ápice à base uma figura ímpar; olhos rombóides, boca trapezóide, corpo retangular, seios esferóides........ 
A definição de continuidade de uma função que daremos a seguir, não é exceção. Ou seja, sabemos que algo que não é contínuo, é aquele que tem quebra, saltos, interrupções, paradas, certas desordens, etc. 
Na matemática, quando dizemos que uma função f : I → J é contínua, significa geome tricamente que a mesma não tem saltos, quebras rupturas etc. Nesse caso, pode-se traçar o gráfico dessa função sem retirar o lápis do papel. 
Quando a função tem alguma quebra ou salto, esta função seria então descontínua. Veja geometricamente alguns exemplos a seguir, os quais representam gráficos de funções descon tínuas. 
(a) Exemplo(a): Gráfico com des continuidade em x = 1 
(b) Exemplo(b): Gráfico com des continuidade em x = −2 
(c) Exemplo(c): Gráfico com des continuidade nos valores x = −2 e x = 2 
Figura 4.3: Exemplos de gráficos com descontinuidades 
Observando o gráfico de uma função dada de acordo com a figura do item (a), vemos que na vizinhaça do valor 1, a função tem uma queda descontínua. Ou seja, a imagem da função
4.3. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES CONTÍNUAS 69 
decai de 3, para 2. 
Já no gráfico de uma função dada de acordo com a figura item (b), vemos que para valores bem próximos do valor 2, existe uma grande descontinuidade. Ou seja, essa função tende para o infinito a esquerda do valor 2 e depois tende para o infinito negativo a direita desse valor. 
Finalmente, o gráfico que representa uma função dada através do item (c), apresenta duas descontinuidades, as quais ocorrem em -2 e 2. Nota-se que nas vizinhanças desses valores, existe um espaço descontínuo na imagem da função. 
O leitor deve ter percebido que uma função f definida em um domínio I ⊂ R , pode ter uma quantidade finita ou infinita de pontos de descontinuidade. Os exemplos dados anterio mente, apresentam quantidades finitas de descontinuidade. Fica para o leitor a tarefa de exibir exemplos de gráficos de funções que tenham uma quantidade infinita de descontinuidade. 
Após essa breve introdução geométrica sobre a continuidade de funções, daremos a seguir, a definição algébrica em um ponto específico. 
Definição 3. Uma função f : I → J, é contínua em a ∈ I, se 
limx→af (x) = f (a) 
Vamos entender melhor a definição de continuidade de função. 
Primeiramente, lembremos que desde o início de nosso estudo sobre limite, onde destaca mos que quando escrevemos "o limite de uma função f quando a variável x tende para um ponto a"não requer, ou seja não é necessário que a pertença ao domínio de f . Ou seja, a prin cípio não exigimos na definição de limite que f (a) existisse, ou nem se quer que f estivesse definida em a. 
Agora, quando afirmamos que f é uma função contínua no valor a, é necessário que f (a) exista, ou seja, o ponto (a, f (a)) deve pertencer ao gráfico da função. 
Por outro lado, sabemos também que para existir a igualdade limx→af (x) = f (a), é necessário que: 
limx→a−f (x) = lim 
x→a+f (x) = f (a) 
Assim, se considerarmos que uma função f (x) representa o gráfico esboçado anteriormente no item (a), poderá aceitar que: 
x→1+f (x) = 2. 
limx→1−f (x) = 3 , enquanto que lim 
Ou seja, 
x→1+f (x) 
limx→1−f (x) 6= lim 
Donde se conclui analiticamente que essa função não é contínua em x = 1. Resumindo o tópico sobre a definição de continuidade, teremos que: Se uma função f é contínua em um valor a, então é necessário acontecer que: 
i) f (a) exista 
ii) limx→a−f (x) = lim 
x→a+f (x) 
iii) limx→af (x) = f (a) 
Se algum desses três últimos itens não acontecer, então f será descontínua em a.
70 CAPÍTULO 4. LIMITES LATERAIS E FUNÇÕES CONTÍNUAS 
A definição de continuidade é um conceito pontual. Assim, quando afirmamos que uma função f : I −→ J é contínua, significa que ela é contínua em todos os valores pertencente ao seu domínio I. 
Finalizamos este tópico, destacando que: Uma função f que é contínua em um intervalo [a,b] possui uma importante propriedade, a qual é conhecida como sendo o teorema do valor intermediário. Veremos na última seção exemplos sobre esse fato.
4.3. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES CONTÍNUAS 71 
Exercícios 4.4 
1- Deixaremos a seguir quatro gráficos de funções afim de que o leitor possa analisar e discutir geometricamente quais deles representam funções contínuas ou descontínuas. Para os gráficos que sejam decontínuos, analisar os pontos de descontinuidade. 
(a) (b) 
(a) (b)
72 CAPÍTULO 4. LIMITES LATERAIS E FUNÇÕES CONTÍNUAS 
4.4 Outros Exemplos de Funções Contínuas e DescontínuasAnalisaremos a seguir alguns exemplos sobre funções contínuas e descontínuas, usando a definição algébrica e em seguida a interpretação geométrica. 
Para iniciarmos essa tarefa, podemos assim perguntar: a função f (x) = 3x + 2, é contínua em x = 1? Para respondermos a esta pergunta, devemos verificar se limx→1f (x) = f (1) Ora; sabemos pelos estudos realizados anteriormente que: 
limx→13x +2 = 3.1+2 = 5 = f (1) 
Deste modo, conclui-se que f (x) = 3x +2, é contínua em x = 1. 
De uma maneira bastante análoga a última conta, conlui-se que essa função também é contínua em x = −5, pois: 
limx→−5f (x) = limx→−5(3x +2) = 3.(−5)+2 = −13 = f (−5) 
O leitor deve ter facilmente percebido que para qualquer valor x = a, essa função é contí nua; uma vez que: 
limx→af (x) = limx→a(3x +2) = 3.(a)+2 = 3a +2 = f (a) 
Generalizando este último exemplo, podemos concluir que toda função do primeiro grau f (x) = Ax + B é contínua. Ou seja, ao traçarmos o gráfico de uma reta, esta é obviamente contínua. 
Vamos agora considerar uma função do segundo grau. Por exemplo, considere f (t) = 2t2 − 3t +7. Podemos perguntar: esta função é contínua em t = −2? 
Para respondermos a esta pergunta, devemos verificar se limt→−2f (t) = f (−2). Novamente aqui, já podemos afirmar com certeza que: 
t→−2(2t2 −3t +7) =2.(−2)2 −3(−2)+7 = 21 = f (−2) 
t→−2f (t) = lim 
lim 
Ou seja, essa última função do segundo grau é contínua em t = −2. 
De uma maneira mais geral, se considerarmos uma função do segundo grau f (x) = Ax2 + B x +C, então ela é contínua em todo valor de a uma vez que: 
limx→af (x) = A.a2 +B.a +C = f (a) 
Vimos que uma função do primeiro e segundo grau são contínuas. De forma análoga, deixamos para o leitor verificar que qualquer função polinomial é contínua no conjunto dos números reais. 
Consideremos a seguir uma função definida por duas sentenças. Ou seja, considere g (x) definida por: 
½(x −1)2, se x ≤ 1, 
g (x) = 
px −1, se x > 1 
Ao tentarmos analisar os pontos onde função g é contínua ou descontínua, devemos sim plesmente analisar onde a mesma muda de comportamento e verificar se no local onde houve esta mudança, se existem quebra, ou saltos etc. 
Mudança de comportamento nesse caso particular, significa o valor do domínio onde a função passa da função quadrática (x − 1)2 para a função px −1. Assim, para verificarmos a continuidade, devemos analisar os limites laterais em x = 1. Neste caso, tem-se que:
4.4. OUTROS EXEMPLOS DE FUNÇÕES CONTÍNUAS E DESCONTÍNUAS 73 
limx→1−g (x) = limx→1(x −1)2 = (1−1)2 = 0 = g (1) 
Por outro lado, 
x→1+g (x) = limx→1px −1 =p1−1 = 0 
lim 
Portanto, 
limx→1−g (x) = lim 
x→1+g (x) = g (1) 
Donde segue que a função g é contínua em x = 1, e portanto é contínua em todo o conjunto dos números reais. Note que essa função já apareceu numa lista de exercicios gerais. O gráfico dessa função, possui a seguinte forma: 
Figura 4.6: Gráfico da função g 
Observe que no valor em que x = 1, a função g tem uma emenda, na qual ela cola perfeita mente. Mais ainda, podemos traçar o seu gráfico, sem levantar o lápis do papel, o que implica geometricamente em sua continuidade. 
O próximo exemplo, também já tem aparecido em nosso texto. Nossa questão é saber se a função dada é contínua. Caso não seja contínua, determinar os pontos onde ela apresenta as descontinuidades. 
Considere a função v definida por: 
v (x) = 
½ px +1, se x > −1, −x −2, se x ≤ −1 
Novamente aqui, se a função v tiver alguma descontinuidade, esta deverá acontecer onde o gráfico muda de comportamento. Essa mudança de comportamento, ocorre no valor em que x = −1.
74 CAPÍTULO 4. LIMITES LATERAIS E FUNÇÕES CONTÍNUAS 
Vamos portanto, calcular os limites laterais da função v, no ponto em que x = −1. De fato, esse cálculo já foi anteriormente feito, mas para relembrar teremos que: 
lim x→−1−v (x) = limx→−1(−x −2) = 1−2 = −1 = v(−1) 
Por outro lado, 
x→−1+v (x) = limx→−1px +1 =p−1+1 = 0 
lim 
Portanto, limx→1−v(x) 6= lim 
x→1+v(x), donde segue-se que a função v não é contínua em x = −1. 
Para os demais valores pertencentes ao seu domínio; isto é, no conjunto R\{−1}, a função é contínua. Reveja a seguir, que o seu gráfico possui um salto, ou uma quebra quando x = −1. 
Figura 4.7: Gráfico da função v 
Antes de apresentarmos as propriedades das funções contínuas, convêm recordar na seção seguinte, fatos importantes sobre funções. 
4.5 A Composição de Funções e suas Inversas 
Sabemos que dadas duas funções, podemos formar a partir delas, as funções soma, pro duto e quociente. Por exemplo, se f (x) = 2x + 1 e g (x) = x2 − 3x + 4, então, tem-se as novas funções, 
i) 3f (x)−5g (x) = −5x2 +21x −17 
ii) f (x)· g (x) = 2x3 −5x2 +5x +4 
iii)3f (x) 
2g (x)=6x +3 
2x2 −6x +8
4.5. A COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES E SUAS INVERSAS 75 
Quando dadas duas funções f e g , tais que f esteja definida para todos os valores de g , ou seja, quando a imagem da função g pertence ao campo de definição da função f , então pode-se definir uma nova função chamada de composta f ◦ g , a qual é definida em x, por: 
(f ◦ g )(x) = f (g (x)). 
De forma gráfica, tem-se a seguir a composição 
Figura 4.8: Ilustração referente a composição das funções f e g . 
Por exemplo, se g (x) = 2x +3 e f (x) = x6, então 
(f ◦ g )(x) = f (2x +3) = (2x +3)6. 
Nota-se que a composição de funções não é comutativa, ou seja, f ◦ g 6= g ◦ f . Para as funções f e g como no exemplo anterior, 
g ◦ f (x) = g (x6) = 2x6 +3 6= f ◦ g (x). 
Entretanto, o leitor pode verificar sem muita dificuldade que a composição é associativa, ou seja, para quaisquer funções f , g e h, vale: 
f ◦ (g ◦h) = (f ◦ g ) ◦h. 
Na composição f ◦ g , diz-se que g é a função interna e f a função externa. Assim, o leitor deve atentar que a composição só é possível quando a função externa está definida para todos os valores da função interna. 
Por exemplo, a função f (x) =px só está definida(seu domínio) para os valores de x positi vos ou nulo. 
Enquanto que os valores (ou conjunto imagem) da função g (x) = −x4são todos negativos ou nulo. Assim, (f ◦ g )(x) =p−x4 só faz sentido para x = 0. 
Uma vez relembrada a composição de funções, daremos a seguir a definição de função inversa. Dizemos que f−1é a função inversa de f , se para todo x, tiver 
¡f ◦ f−1¢(x) =¡f−1◦ f¢(x) = x. 
Por exemplo, se f (x) = 3x +2 então f−1(x) =x −2 
3é a inversa de f , uma vez que ¶ 
¡f ◦ f−1¢(x) = fµx −2 
3 
Analogamente, ¡f−1◦ f¢(x) = x. 
= 3 
µx −2 3 
¶ 
+2 = x. 
Observa-se que a função I(x) := x é chamada de identidade, assim f−1é a inversa de f se a composição entre as mesmas tiver como função resultante a função identidade, ou seja,
76 CAPÍTULO 4. LIMITES LATERAIS E FUNÇÕES CONTÍNUAS 
f ◦ f−1 = f−1◦ f = I. 
Mais ainda, se o ponto (a,b) pertence ao conjunto imagem de f , então o ponto (b,a) está na imagem de f−1. Pois, f "leva"a em b e f−1"leva"b em a. 
Conclui-se dessa última observação, que os gráficos de f e f−1são simétricos em relação a reta I(x) = x. Veja o gráfico a seguir. 
Figura 4.9: Gráfico de uma função f e sua inversa f−1. 
A seguir, faremos mais algumas definições sobre funções. 
Definição 4. Uma função f : I −→ J é dita injetora se para todo x1,x2 ∈ I, com x1 6= x2, implicar f (x1) 6= f (x2). Ou equivalentemente, se f (x1) = f (x2), então x1 = x2, para todo x1,x2 ∈ I. 
É comum dizer que f é injetora se "elementos distintos possuem imagens distintas". É importante o leitor notar que se f for uma função par, isto é, f (x) = f (−x), para todo x, então f não pode ser injetora. 
Nota-se também que as funções do 2◦grau não são injetoras. Veja os gráficos a seguir. 
A fig(a) representa o gráfico de uma função par, no qual percebe-se quatros valores distin tos, a saber, x1,x2,x3 e x4, todos com a mesma imagem. 
A fig(b) representa o gráfico de uma função do 2◦grau. Nota-se que qualquer reta paralela ao eixo dos x acima do vértice, corta o gráfico em dois pontos distintos, mas com a mesma imagem. 
Definição 5. Uma função f : I −→ J é dita sobrejetora (sobrejetiva; ou simplesmente sobre), se para todo y ∈ J, existir ao menos um valor de x ∈ I, tal que f (x) = y.
4.5.A COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES E SUAS INVERSAS 77 (a) Fig(a): (b) Fig(b) 
Figura 4.10 
É comum dizer que f é sobre, se não "sobra"elementos do conjunto J(ou seja, f (I) = J). Observe que a função do 1◦grau f (x) = ax+b, é sobre, uma vez que dado y ∈ R, existe x =y −b 
tal que f (x) = y. 
· 
Já a função do 2◦grau f (x) = ax2+bx+c, será sobre se for restrita ao intervalos I = 
a 
−b2a,∞¶ 
· 
e J = 
−14a,∞¶. Fica para o leitor a comprovação deste fato. O leitor deve verificar também que 
f (x) = xn, com n ∈ Z∗+ e x > 0 é sobrejetiva, uma vez que ∀y ∈ R existe x =pn y tal que f (x) = y. Finalmente, f : I −→ J é dita bijetora, se a mesma for injetora e sobrejetora. Seja f : [a,b] −→ [c,d] uma função. Se quisermos definir uma função g : [c,d] −→ [a,b], 
então é preciso garantir que para cada y ∈ [c,d], existe um único x ∈ [a,b] tal que g (y) = x. Assim, assumindo que f é sobre, então para cada y ∈ [c,d], existe x ∈ [a,b] tal que f (x) = y. Mas, pode acontecer que para cada y, possa existir mais de um x, tal que f (x) = y. Assim, não poderíamos definir a g . Neste caso, assumindo também que a f é injetiva, então para cada y ∈ [a,b], existe de fato um e somente um x ∈ [a,b] com f (x) = y. 
Assim, definimos a função g de tal maneira que cada elemento y ∈ [c,d] é levado em algum valor x ∈ [a,b]. O leitor deve notar que a função g assim definida, nada mais é do que a f−1. Ou seja, se f : [a,b] −→ [c,d] for bijetora, então existe a função inversa f−1: [c,d] −→ [a,b]. 
Deixamos para o leitor, a tarefa de verificar que se a inversa de uma função existe, então a mesma é bijetora, ou seja, 
f : [a,b] −→ [c,d] é bijetora ⇐⇒ existe f−1: [c,d] −→ [a,b]. 
A seguir, tem-se alguns exercícios.
78 CAPÍTULO 4. LIMITES LATERAIS E FUNÇÕES CONTÍNUAS 
Exercícios 4.5 
1. Considere as funções f (x) = 2x − 3, g (x) =x 
composições: 
3x +5e h(x) = x2 + 3, e forme as seguintes 
a) f ◦ g ; b) g ◦ f ; 
c) f ◦h d) g ◦h; 
e) g ◦ g ; f ) f ◦ f 
g) f ◦ g ◦h 
2. Para cada uma das funções f , restrinja quando necessário, seu domínio de forma a existir f−1. Calcule f−1 para as restrições obtidas. 
a) f (x) = 2x +3; b) f (x) =x 
2x +3; 
c) f (x) = (x −1)2 −2 d) f (x) = x2 +2; 
e) f (x) = x +1x; f ) f (x) =x +1 
x −3 
3. Seja f uma função estritamente crescente isto é, se x1 < x2 então f (x1) < f (x2), para todo x1 < x2 ∈ R. Verifique que f −1 existe.
4.6. PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES CONTÍNUAS 79 
4.6 Propriedades das Funções Contínuas 
O leitor deve lembrar que para facilitar os cálculos sobre limites, nós estudamos algumas de suas propriedades. De forma análoga, verificaremos que certas funções são contínuas, ou descontínuas através dos seguintes resultados: 
Se f : I −→ J e g : I −→ J são funções contínuas em a ∈ I, então serão também contínuas nesse mesmo valor, as seguintes funções: 
i) f + g 
ii) f · g 
iii)fg, desde que o denominador g (a) não se anule. 
iv) f ◦ g , desde que f seja contínua em g (a). 
Ou seja; a soma, o produto, o quociente e a composição de funçoes contínuas, são funções contínuas. 
Vimos na seção anterior que as funções polinomiais são sempre contínuas. Assim, a função q(x) =x3 +2x −7 
x2 −9, é contínua no conjunto dos números reais, exceto para os valores em que x = −3 e x = 3. Uma vez que para esses dois valores, o denominador da função q se anula. De forma mais específica, a propriedade da função composta, pode ser enunciada assim; Se a função g é contínua no ponto a, e f é contínua em g (a), então pode-se considerar o seguinte limite: 
limx→af (g (x)) =f (limx→ag (x)) = f (g (a)) 
Por exemplo, sendo f (x) =px , e g (x) = x3 + 2x − 7 funções contínuas, então a função 
composta 
f ◦ g (x) = f (g (x)) = f (x3 +2x −7) =px3 +2x −7 
também é uma função contínua. 
No caso particular, tem-se para estas duas funçôes que: 
r 
limx→2f (g (x)) = 
limx→2(x3 +2x −7) =p5 
A seguir tem-se alguns exercícios sobre continuidade de funções.
80 CAPÍTULO 4. LIMITES LATERAIS E FUNÇÕES CONTÍNUAS 
Exercícios 4.6 
1- Considere uma função T , a qual é uma pequena modificação da função v dada anterior mente. Encontre o valor da constante a, de modo que essa função seja contínua. 
T (s) = 
½ ps +1, se s > −1, −s − a, se s ≤ −1 
2- Encontre o valor da constante b dada na função a seguir, de modo que a mesma seja contínua no conjunto dos números reais, em seguinda esboce seu gráfico. 
f (x) = 
3- Encontre os valores de a e b tais que  
½2x +1, se x < 0, −3x +b, se x ≥ 0 
−2x +1, se x ≤ −1, 
f (x) = 
ax2 +bx, se |x| < 1,  
x +3, se x ≥ 1 
seja contínua. Esboce o gráfico de f com os valores encontrados. 4- Mostre que a função 
½x2 −2x, se x < 1, 
2x −3, se x ≥ 1 
é contínua em x = 1. 
5- Mostre que a função 
f (x) = 
x2 −2x, se x < 1, 
3, se x = 1, 
2x −3, se x > 1 
é descontínua em x = 1.
f (x) = 
 