Prévia do material em texto

Matemática
Aula - 2
Prof° Naim Athiê
Razão e Proporção
Razão = É toda fração ( divisão)
b
a
Lê-se : “ a está para b “
Ex.: Numa sala de aula há 18 meninas e 12 meninos. Responda :
a) Qual é a razão de meninas para meninos ?
12
18
2
3
=
b) Qual é a razão de meninas na sala?
Sala = meninos + meninas
30
18
5
3
=
Proporção = É quando há no mínimo 2 razões
d
c
b
a
=
Lê-se : “ a está para b assim como
c está para d “
Para resolver, basta multiplicar cruzando os valores.
a . d = b . c 
Exemplo
Doze está para três assim como o número x está 
para sete, portanto x vale...
73
12 x
= x . 3 = 7 . 12
x . 3 = 84
x = 84
3
x = 28
(Cesgranrio) Certo produto de limpeza é vendido em 
duas caixas diferentes, uma com 2 Kg, por R$ 24,00 e 
outra com 0,5 kg, por x reais. Nesse caso, se o preço for 
proporcional à massa contida em cada caixa, o valor de x 
é
Parte superior do formulário
a)R$ 6,00.
b) R$ 6,50.
c) R$ 7,00.
d) R$ 8,00.
e) R$ 8,60.
Exercícios
x
5,0
24
2
=
x . 2 = 24 . 0,5 x = 12
2
Sabe-se que 16 caixas K, todas iguais, ou 40 caixas Q, 
todas também iguais, preenchem totalmente certo 
compartimento, inicialmente vazio. Também é possível 
preencher totalmente esse mesmo compartimento 
completamente vazio utilizando 4 caixas K mais certa 
quantidade de caixas Q. Nessas condições, é correto 
afirmar que o número de caixas Q utilizadas será igual a
(A) 10. (B) 28. (C) 18.
(D) 22. (E) 30.
Podemos desenhar...
CAIXAS Q CAIXAS K(40) (16)
(10) (10)
(10) (10)
(4) (4)
(4) (4)
Para completar o espaço em azul, podemos utilizar 30 caixas Q
Ou podemos escrever a proporção...
16 k estão para 40 Q assim como 4 k estão para x
x
4
40
16
=
caixasQx 10=
Ou seja, 10 caixas Q equivalem a 4 caixas k,
Como cabem 40 caixas Q, faltará mais 30 caixas Q para 
encher o local.
y
5,22
4
3
= 30=y
z
5,37
4
3
= 50=z
Regra de 3 simples
Diretamente Proporcional ➔ Usamos 3 passos:
• Desenhar duas colunas com os dados do 
exercícios.
• Marcar se é diretamente ou inversamente 
proporcional.
• Escrever a proporção e calcular. 
Ex.: duas calças custam R$ 50,00, quanto custará 
3 calças?
1°passo = montar duas colunas 
com os valores da questãocalças R$
2 50
3 x
2°passo = Marcar se é diretamente
ou inversamente proporcional
Diretamente proporcional
3° passo = Escrever a proporção
e calcular
2 = 50 
3 x
x . 2 = 50 . 3
x . 2 = 150
x = 150
2
x = 75 reais
Ex.: Demoro 30 min para chegar no cursinho a uma 
velocidade de 40 km/h. Se eu for a uma velocidade 
de 60 km/h irei demorar quanto tempo?
1°passo = montar duas colunas 
com os valores da questãovelocidade tempo
40 30
60 x
Inversamente proporcional
40 = x 
60 30
x . 60 = 40 . 30
x . 60 = 1200
x = 1200
60
x = 20 min
Exercícios 
dias funcionários
21 3
x 2
Inversamente proporcional
3 = x 
2 21
x . 2 = 3 . 21
x . 2 = 63
x = 63
2
x = 31,5 dias
distância horas
380 5
x 7
Diretamente proporcional
380 = 5 
x 7
x . 5 = 380.7
x . 5 = 2660
x = 2660
5
x = 532 km
professores dias
5 12
30 x
Inversamente proporcional
x = 5 
12 30
x . 30 = 5.12
x . 30 = 60
x = 60
30
x = 2 dias
8) A comida que restou para 3 náufragos seria suficiente para 
alimentá-los por 12 dias. Um deles resolveu saltar e tentar 
chegar em terra nadando. Com um náufrago a menos, qual será 
a duração dos alimentos?
9) Uma doceira faz 300 docinhos em 90 minutos. Se ela dispuser 
de apenas 27 minutos, quantos docinhos conseguirá fazer?
I.P.
R.: 18 dias
D.P. R.: 90 docinhos
Regra de 3 Composta
É quando há mais de duas razões 
Usamos os seguintes passos:
• Desenhar as colunas com os dados do 
exercícios.
• Marcar se é diretamente ou inversamente 
proporcional comparando todas as colunas com 
a coluna que está o “x”
• Copiar a coluna do “x” e igualar e multiplicar 
todas as outras colunas
Exemplo:
20 patas botam 200 ovos em 10 dias Quantos 
ovos seis patas botam em 5 dias.?
1°passo = montar as colunas 
com os valores da questão
patas Quant ovos dias
20 200 10
x06 05
2°passo = Marcar se é diretamente ou inversamente 
proporcional comparando todas as colunas com a coluna que 
está o “x”
D.P. D.P.
200 = 
x
3°passo = Copiar a coluna do “x” e igualar e multiplicar todas as 
outras colunas
20 . 10 
6 5
200 = 200
x 30 X = 30 ovos
Exercícios
1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 
horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para 
encher 2 piscinas? 
torneiras piscinas horas
3 1 10
210 x
I.P. D.P.
10 = 
x
10 . 1 
3 2
10 = 10 
x 6 X = 6 horas
2) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, 
gastam 18 dias para construir um muro de 
300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 
operários, trabalhando 9 horas por dia, para 
construir um muro de 225m? 
Operários h/dia dias muro
20 8 18
916 x
I.P. I.P.
18 = 
x
16 . 9 . 300 
20 8 225
X = 15 dias
300
225
D.P.
3) Um caminhoneiro entrega uma carga em um 
mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade 
média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele 
deveria viajar para entregar essa carga em 20 
dias, a uma velocidade média de 60 km/h? 
dias h/dia velocidade
30 8 50
x20 60
I.P. I.P.
8 = 
x
20 . 60 
30 50
8 = 1200 
x 1500 X = 10 horas
Porcentagem
Podemos representar de 3 formas diferentes:
• Percentual 30%
• Fração 30 
100
• Decimal 0,3
Exercícios
Transforme nas outras formas:
a) 2%
b) 45/100
c) 0,09
2/100 0,02
45% 0,45
9% 9/100
Situações Problemas
Basta lembrar que o total sempre valerá 100% e 
fazer a regra de 3 simples que será diretamente 
proporcional.
Ex.: Quanto é 20 % de 60 reais?
60 reais é o seu total, então
Valerá 100 % 
60 reais --------------------- 100 %
x reais --------------------- 20 %
60 = 100 
x 20
x . 100 = 60 . 20
x . 100 = 1200
x = 1200
100 X = 12 reais
1) Em uma turma de 40 alunos, 45% são meninos. 
Quantas meninas tem a turma? 
Exercícios
40 alunos --------------------- 100 %
x --------------------- 45 %
40 = 100 
x 45
x . 100 = 40 . 45
x . 100 = 1800
x = 1800
100
X = 18 meninos
22 meninas
2) Uma televisão que custava R$ 900,00 teve um 
aumento de R$ 50,00. Qual foi o percentual de 
aumento?
900 reais --------------------- 100 %
50 reais --------------------- x
900 = 100 
50 x
x . 900 = 50 . 100
x . 900 = 5000
x = 5000
900
X = 5,56 %
3) (Prefeitura de Cantagalo - RJ - Oficial Administrativo) 
Depois de vários anos com salário congelado, Manoel teve 
um reajuste salarial de 25% e passou a ganhar R$600,00. 
O salário de Manoel, antes do reajuste, era de:
a) R$450,00 b) R$460,00 c) R$470,00 d) R$480,00
Antes ele ganhava = 100 %
Aumentou 25% e agora ele ganha = 125 % que equivale a R$600,00
600 reais --------------------- 125 %
x reais --------------------- 100 %
600 = 125 
x 100
x . 125 = 600 . 100
x . 125 = 60000
x = 60000
125
X = 480 reais
4) Um fogão após ter um desconto de 30% passou a 
custar R$ 560,00. Qual era o preço do fogão antes do 
desconto?
a) R$ 168,00 b) R$ 728,00. c) R$ 800,00.
d) R$ 1866,00. e) R$ 750,00.
Antes ele custava = 100 %
Descontou 30% e agora ele custa = 70 % que equivale a R$560,00
560 reais --------------------- 70 %
x reais --------------------- 100 %
560 = 70 
x 100
x . 70 = 560 . 100
x . 70 = 56000
x = 56000
70
X = 800 reais
Porcentagem de Porcentagem
Quanto é 20% de 40% ?
40% é o seu novo total (100%)
40 --------------------- 100 %
x --------------------- 20 %
X = 8 %
Em um viveiro há várias araras. 60% das araras são azuis, 40% das araras 
são vermelhas. Sabe-se que:
• 40% das araras azuis têm bico branco,• 30% das araras vermelhas têm bico branco. 
Que porcentagem das araras do viveiro tem bico branco?
a) 70% b) 12% c) 24% d) 36% e) 50%
Azuis Vermelhas
60 --------------------- 100 %
x --------------------- 40 %
X = 24 %
40 --------------------- 100 %
x --------------------- 30 %
X = 12 %
Total de araras que têm bico branco = 24% + 12% = 36%
5) (FCC - TRT - Técnico Judiciário)Um técnico judiciário arquivou 
20% do total de processos de um lote. Se 35% do número restante 
corresponde a 42 processos, então o total existente inicialmente no 
lote era
a) 110 b) 120 c) 140 d) 150 e) 180
Início = 100 % dos processos
Arquivou 20% e sobrou = 80 % dos processos
Novo total (100%)
80 --------------------- 100 %
x --------------------- 35 %
X = 28 %
28 % --------------------- 42 processos
100 % --------------------- y y = 150 processos 
Divisão em partes proporcionais
Diretamente Proporcional
Simone dividiu 30 chocolates entre seus sobrinhos de 2, 3 e 5 anos. 
Determine quantos chocolates recebeu cada um deles, sabendo 
que a divisão foi diretamente proporcional à idade de cada 
sobrinho. 
Chamamos de K a constante de proporcionalidade 
K = K = K = K = 3
(FGV) Três sócios devem dividir, proporcionalmente, o lucro de R$
30.000,00. O sócio “Antônio” investiu R$ 60.000,00, o sócio
“Beto”, R$ 40.000,00 e o sócio “Carlos”, R$ 50.000,00. Quantos
reais Beto irá receber?
K = K = K = K = 
Antônio = 60 . K = 12.000
Beto = 40 . K = 8.000
Carlos = 50 . K = 10.000
a) 12.000,00 b) 8.000,00 c) 10.000,00 d) 7.000,00 e) 9.000,00
Divisão em partes proporcionais
Inversamente Proporcional
Dividir o numero 99 em partes inversamente proporcionais aos 
números 2 , 4 e 6. 
K = K = K = 
K = K = 99 . K = 108
Basta multiplicar essa constante pelo inverso dos valores
A = 108 . B = 108 . C = 108 . 
(Questão) Uma empresa pagará aos seus três funcionários, um
prêmio de R$ 3340,00. Esse prêmio será dividido em partes
inversamente proporcionais as faltas cometidas durante o ano. Se os
funcionários A, B e C faltaram 5, 7 e 11 dias, respectivamente,
quanto cada funcionário recebeu?
K = K = K = 
K = K = 3340 . K = 7700
A = 7700 . 
B = 7700 . 
C = 7700 .