Cap 15 - Mecânica Vetorial

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MECÂNICA VETORIAL PARA 
ENGENHEIROS: 
DINÂMICA
Nona Edição
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.
Lecture Notes:
J. Walt Oler
Texas Tech University
CAPÍTULO
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15
Cinemática de Corpos 
Rígidos
Mecânica Geral, Estática, Cinemática, e 
Dinâmica, CEFET RJ
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Mecânica Vetorial para Engenheiros: Dinâmica
N
ona 
Edição
Conteúdo
15 - 2
Introdução
Translação
Rotação em torno de um Eixo Fixo: 
Velocidade 
Rotação em torno de um Eixo Fixo: 
Aceleração
Rotação em torno de um Eixo Fixo: Placas 
Representativas
Equações Definindoras da Rotação de um 
Corpo Rígido em torno de um Eixo Fixo
Exemplo 5.1
Movimento Plano Geral
Velocidade Absoluta e Relativa no Movimento 
Plano
Exemplo 15.2
Exemplo 15.3
Centro Instantâneo de Rotação no Movimento 
Plano
Exemplo 15.4
Exemplo 15.5
Aceleração Absoluta e Relativa no Movimento 
Plano
Análise de Movimento Plano em Termos de um 
Parâmetro
Exemplo 15.6
Exemplo 15.7
Exemplo 15.8
Taxa de Mudança em Relação a um Sistema de 
Coordenadas Rotativo
Aceleração de Coriolis
Exemplo 15.9
Exemplo 15.10
Movimento sobre um Ponto Fixo
Movimento Geral
Exemplo 15.11
Movimento Tridimensional: Aceleração de 
Coriolis
Sistema de Coordenadas de Referência em 
Movimento Geral
Exemplo 15.15
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Computação Mecânica
2 - 3
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Introdução
15 - 4
• Cinemática de corpos rígidos: relações entre 
tempo e as posições, velocidades, e 
acelerações das partículas formando um corpo 
rígido.
• Classificação dos movimentos de corpo rígido:
- movimento geral
- movimento sobre um ponto fixo
- movimento plano geral 
- rotação sobre um eixo fixo
• translação curvilínea 
• translação retilínea
- translação:
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Translação
15 - 5
• Considere um corpo rígido em translação: 
- a direção de qualquer linha reta dentro do 
corpo é constante,
- todas as partículas que formam o corpo se 
movem em linhas paralelas.
• Para quaisquer duas partículas no corpo,
ABAB rrr
!!! +=
• Diferenciação em relação ao tempo,
AB
AABAB
vv
rrrr
!!
"!"!"!"!
=
=+=
Todas as partículas têm a mesma velocidade.
AB
AABAB
aa
rrrr
!!
""!""!""!""!
=
=+=
• Diferenciação em relação ao tempo 
novamente,
Todas as partículas têm a mesma aceleração.
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Rotação sobre um Eixo Fixo: Velocidade
15 - 6
• Considere a rotação de um corpo rígido 
sobre um eixo fixo AA’
• O vetor de velocidade da partícula P é 
tangente ao caminho com módulo . 
dtrdv !! =
dtdsv =
( ) ( )
( ) fqqf
qfq
sensenlim
sen
0
!r
t
r
dt
dsv
rBPs
t
=
D
D
==
D=D=D
®D
angularelocidadekk
r
dt
rdv
 v===
´==
!
"
!!
!!
!
!
qww
w
• O mesmo resultado é obtido a partir de,
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Rotação sobre um Eixo Fixo: Aceleração
15 - 7
• Diferenciação para determinar a aceleração,
( )
vr
dt
d
dt
rdr
dt
d
r
dt
d
dt
vda
!!!
!
!
!!
!
!"
!
!
´+´=
´+´=
´==
ww
ww
w
•
kkk
dt
d
!
""
!
"
!
!
!
qwa
aw
===
== angular aceleração 
radial aceleração de componente 
al tangenciaceleração de componente 
=´´
=´
´´+´=
r
r
rra
!!!
!!
!!!!!!
ww
a
wwa
• A aceleração de P é uma combinação de dois 
vetores,
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Rotação sobre um Eixo Fixo: Placas Representativas
15 - 8
• Considere o movimento de uma placa 
representativa em um plano perpendicular ao 
eixo de rotação.
• A velocidade de qualquer ponto P da placa,
w
ww
rv
rkrv
=
´=´= !
!!!!
• A aceleração de qualquer ponto P da placa,
rrk
rra
!!!
!!!!!!
2wa
wwa
-´=
´´+´=
• Resolvendo a aceleração em componentes 
tangencial e normal,
22 ww
aa
rara
rarka
nn
tt
=-=
=´=
!!
!!!
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Equações Definindo a Rotação de um Corpo Rígido em torno de um Eixo Fixo
15 - 9
• Movimento de um corpo rígido girando em torno de 
um eixo fixo é frequentemente especificado pelo 
tipo de aceleração angular.
q
wwqwa
w
qqw
d
d
dt
d
dt
d
ddt
dt
d
===
==
2
2
or• Recordação
• Rotação uniforme, a = 0:
twqq += 0
• Rotação uniformemente acelerada, a = constante:
( )0202
2
2
1
00
0
2 qqaww
awqq
aww
-+=
++=
+=
tt
t
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Exemplo 5.1
15 - 10
O cabo C tem uma aceleração constante 
de 22,5 cm/s² e uma velocidade inicial de 
30 cm/s, ambos direcionados para a 
direita.
Determine (a) o número de voltas da 
polia em 2s, (b) a velocidade e a mudança 
de posição da carga B depois de 2s, e (c) 
a aceleração do ponto D na borda da polia 
interna em t = 0.
SOLUÇÃO:
• Devido à ação do cabo, a velocidade 
tangencial e aceleração de D são 
iguais à velocidade e aceleração de C. 
Calcule a velocidade angular inicial e 
aceleração.
• Aplique as relações de rotação 
uniformemente acelerada para 
determinar a velocidade e a posição 
angular da polia depois de 2s.
• Avalie a componente normal e a 
tangencial da aceleração de D.
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Exemplo 5.1
15 - 11
SOLUÇÃO:
• A velocidade e aceleração tangencial de D são iguais à 
velocidade e aceleração de C. 
( ) ( )
( )
( )
srad4
5,7
30
scm30
0
0
00
00
===
=
®==
r
v
rv
vv
D
D
CD
w
w
!! ( )
( )
( ) 2
2
srad3
5,7
5,22
scm5,22
===
=
®==
r
a
ra
aa
tD
tD
CtD
a
a
!!
• Aplique as relações para rotação uniformemente acelerada 
para determinar a velocidade e a posição angular da polia após 
2s. ( )( ) srad10s 2srad3srad4 20 =+=+= taww
( )( ) ( )( )
rad 14
s 2srad3s 2srad4 222
12
2
1
0
=
+=+= tt awq
( ) rotações de número 
rad 2
rot 1rad 14 =÷
ø
ö
ç
è
æ=
p
N rev 2,23N =
( )( )
( )( )rad 1412,5cm
srad1012,5cm
==D
==
q
w
ry
rv
B
B
cm 175
scm125
=D
­=
B
B
y
v!
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Exemplo 5.1
15 - 12
• Avaliar os componentes iniciais tangenciais e normais de 
aceleração de D.
( ) ®== scm5,22CtD aa
!!
( ) ( )( ) 2220 scm120srad47,5cm === wDnD ra
( ) ( ) ¯=®= 22 scm120scm5,22 nDtD aa
!!
Módulo e direção da aceleração total,
( ) ( )
22
22
1205,22 +=
+= nDtDD aaa 2scm122=Da
( )
( )
5,22
120
tan
=
=
tD
nD
a
a
f
°= 4.79f
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Movimento Plano Geral
15 - 13
• Movimento plano geral não é nem uma 
translação, nem uma rotação.
• Movimento plano geral pode ser considerado 
como a soma de uma translação e rotação.
• O deslocamento de partículas A e B para A2 e 
B2 pode ser dividido em duas partes: 
- translação para A2 e
- rotação de sobre A2 para B2
1B¢
1B¢
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Velocidade Absoluta e Relativa no Movimento Plano
15 - 14
• Qualquer movimento plano pode ser substituído por uma 
translação de um ponto de referência arbitrária A e uma 
rotação simultânea sobre A.
ABAB vvv!!! +=
ww rvrkv ABABAB =´=
!!!
ABAB rkvv
!!!! ´+= w
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Velocidade Absoluta e Relativa no Movimento Plano
15 - 15
• Assumindo que a velocidade vA do ponto A é conhecida, deseja-se
determinar a velocidade vB do ponto B e a velocidade angular w em termos
de vA, l, e θ.
• A direção de vB e vB/A são conhecidas. Complete o diagrama de velocidade.
q
q
tan
tan
AB
A
B
vv
v
v
=
=
q
w
q
w
cos
cos
l
v
l
v
v
v
A
A
AB
A
=
==
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Velocidade Absoluta e Relativa no Movimento Plano
15 - 16
• Selecionando o ponto B como ponto de referência e resolvendo para a 
velocidade vA do ponto A e a velocidade angular w , tem-se um triângulo de 
velocidade equivalente.
• vA/B tem o mesmo módulo que vB/A, mas sentido oposto a ele. O sentido da 
velocidade relativa é dependente da escolha do ponto de referência.
• A velocidade angular w da barra em sua rotação em torno de B é a mesma que 
a sua rotação em torno de A. A velocidade angular não é dependente da 
escolha do ponto de referência.
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Exemplo 15.2
15 - 17
A engrenagem dupla rola na 
cremalheira estacionária mais baixa: a 
velocidade do seu centro é de 1,2 m/s. 
Determine (a) a velocidade angular da 
engrenagem, e (b) as velocidades da 
da cremalheira superior R e do ponto 
D da engrenagem.
SOLUÇÃO:
• O deslocamento do centro da
engrenagem em uma rotação é igual à
circunferência exterior. Relacione os
deslocamentos de translação e angular.
Diferencie para relacionar as velocidades
de translação e angular.
• A velocidade de qualquer ponto P na 
engrenagem pode ser escrita como
Avalie as velocidades dos pontos B e D.
APAAPAP rkvvvv
!!!!!! ´+=+= w
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Exemplo 15.2
15 - 18
x
y
SOLUÇÃO:
• O deslocamento do centro da engrenagem em uma 
revolução é igual à circunferência exterior.
Para xA > 0 (movimentos para a direita), w < 0 (giros no 
sentido horário).
q
p
q
p 122
rx
r
x
A
A -=-=
Diferencie para relacionar as velocidades de 
translação e angular.
m0.150
sm2.1
1
1
-=-=
-=
r
v
rv
A
A
w
w
( )kk
!!! srad8-==ww
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Exemplo 15.2
15 - 19
• Para qualquer ponto P na engrenagem, APAAPAP rkvvvv
!!!!!! ´+=+= w
A velocidade da parte superior da cremalheira 
é igual à velocidade do ponto B:
( ) ( ) ( )
( ) ( )ii
jki
rkvvv ABABR
!!
!!!
!!!!!
sm8.0sm2.1
m 10.0srad8sm2.1
+=
´-+=
´+== w
( )ivR
!! sm2=
Velocidade do ponto D:
( ) ( ) ( )iki
rkvv ADAD
!!!
!!!!
m 150.0srad8sm2.1 -´-+=
´+= w
( ) ( )
sm697.1
sm2.1sm2.1
=
+=
D
D
v
jiv
!!!
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Exemplo 15.3
15 - 20
A manivela AB tem uma velocidade 
angular constante no sentido horário 
de 2000 rpm.
Para a posição indicada da manivela, 
determine (a) a velocidade angular da 
biela BD, e (b) a velocidade do pistão 
P.
SOLUÇÃO:
• Determine a velocidade absoluta do 
ponto D com
BDBD vvv
!!! +=
• A velocidade é obtida a partir das 
informações dadas de rotação da 
manivela.
Bv
!
• As direções da velocidade absoluta
e da velocidade relativa são 
determinadas a partir da geometria 
problema.
Dv
!
BDv
!
• As incógnitas na expressão do vetor são 
as módulos de velocidade
as quais podem ser determinadas a partir 
do triângulo vetorial correspondente.
BDD vv e 
• A velocidade angular da biela é 
calculada a partir de .BDv
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Exemplo 15.3
15 - 21
SOLUÇÃO:
• Determine a velocidade absoluta do ponto D com
BDBD vvv
!!! +=
• A velocidade é obtida dos dados de rotação da 
manivela.
Bv
!
( ) ( )( )srad 4.209cm 7,5
srad 4.209
rev
rad2
s60
min
min
rev2000
==
=÷
ø
ö
ç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ=
ABB
AB
ABv w
pw
A direção da velocidade é como é mostrada.
• A direção da velocidade absoluta é horizontal. A 
direção da velocidade relativa é perpendicular a BD. 
Calcule o ângulo entre a horizontal e a biela com lei dos 
senos.
Dv
!
BDv
!
°==
° 95.13
7,5cm.
sin
20cm.
40sin bb
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Exemplo 15.3
15 - 22
• Determine os módulos das velocidades
do triângulo vetorial.
BDD vv e 
BDBD vvv
!!! +=
°
=
°
=
° sen76.05
scm5,1570
50sen95.53sen
BDD vv
scm7,1239
scm5,1308
=
=
BD
D
v
v
srad 0.62
cm 20
scm7,1239
=
==
=
l
v
lv
BD
BD
BDBD
w
w
sm09,13== DP vv
( )kBD
!! srad 0.62=w
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Centro Instantâneo de Rotação no Movimento Plano
15 - 23
• O movimento plano de todas as partículas em uma placa 
sempre pode ser substituído pela translação de um ponto 
arbitrário A e uma rotação sobre A com uma velocidade 
angular que é independente da escolha de A.
• As mesmas velocidades translacionais e rotacionais em A
são obtidas permitindo que a placa gire com a mesma 
velocidade angular sobre o ponto C em uma 
perpendicular à velocidade de A.
• A velocidade de todas as outras partículas na placa é a 
mesma como foi originalmente definido desde que a 
velocidade angular e a velocidade de translação em A
sejam equivalentes.
• Na medida em que as velocidades são afetadas, a placa 
parece girar em torno do centro instantâneo de rotação 
C.
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Centro Instantâneo de Rotação no Movimento Plano
15 - 24
• Se a velocidade em dois pontos A e B é conhecida, o
centro instantâneo de rotação fica na intersecção das
perpendiculares aos vetores de velocidade através de A
e B.
• Se os vetores de velocidade em A e B são
perpendiculares à linha AB, o centro instantâneo de
rotação se encontra na interseção da reta AB com a
linha que une as extremidades dos vetores velocidade
em A e B.
• Se os vetores de velocidade são paralelos, e iguais, o
centro instantâneo de rotação é no infinito e a
velocidade angular é zero.
• Se os módulos das velocidades são iguais, o centro
instantâneo de rotação é no infinito e a velocidade
angular é zero e o movimento será de translação.
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• O traço do local do centro de rotação no corpo é o centrodo 
do corpo e no espaço é o centrodo do espaço.
Centro Instantâneo de Rotação no Movimento Plano
15 - 25
• O centro instantâneo de rotação fica na intersecção das 
perpendiculares aos vetores de velocidade através de A e B.
q
w
cosl
v
AC
v AA == ( ) ( )
q
q
qw
tan
cos
sin
A
A
B
v
l
vlBCv
=
==
• As velocidades de todas as partículas na haste 
correspondem à uma rotação em torno de C.
• A partícula no centro de rotação tem velocidade zero.
• A partícula coincidindo com o centro de rotação muda com 
o tempo e a aceleração da partícula no centro instantâneo de 
rotação não é zero.
• A aceleração das partículas na placa não pode ser 
determinada como se a placa estivesse simplesmente 
girando sobre C.
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Exemplo 15.4
15 - 26
A engrenagem dupla rola na 
cremalheira mais baixa estacionária: 
a velocidade do seu centro é de 1,2 
m/s.
Determine (a) avelocidade angular 
da engrenagem, e (b) as velocidades 
da parte superior da cremalheira R e 
ponto D da engrenagem.
SOLUÇÃO:
• O ponto C está em contato com o suporte 
estacionário mais baixo e, 
instantaneamente, tem velocidade zero. 
Deve ser a localização do centro instantâneo 
de rotação.• Determine a velocidade angular em torno
de C baseado na velocidade dada em A.
• Avalie a velocidade em B e D com base em 
suas rotações em torno de C.
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Exemplo 15.4
15 - 27
SOLUÇÃO:
• O ponto C está em contato com o suporte estacionário 
mais baixo e, instantaneamente, tem velocidade zero. 
Deve ser a localização do centro instantâneo de rotação.
• Determine a velocidade angular sobre C baseado na 
velocidade dada em A.
srad8
m 0.15
sm2.1
====
A
A
AA r
vrv ww
• Avalie a velocidade em B e D com base em suas rotações 
em torno de C.
( )( )srad8m 25.0=== wBBR rvv
( )ivR
!! sm2=
( )
( )( )srad8m 2121.0
m 2121.02m 15.0
==
==
wDD
D
rv
r
( )( )sm2.12.1
sm697.1
jiv
v
D
D
!!! +=
=
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Exemplo 15.5
15 - 28
A manivela AB tem uma velocidade 
angular constante no sentido horário 
de 2000 rpm.
Para a posição da manivela indicada, 
determine (a) a velocidade angular da 
biela BD, e (b) a velocidade do pistão 
P.
SOLUÇÃO:
• Determine a velocidade em B a partir 
das informações dadas de rotação da 
manivela.
• A direção dos vetores de velocidade em 
B e D são conhecidas. O centro 
instantâneo de rotação é na interseção 
das perpendiculares às velocidades 
através de B e D.
• Determine a velocidade angular em 
torno do centro de rotação baseado na 
velocidade de B.
• Calcule a velocidade em D com base em 
sua rotação em torno do centro 
instantâneo de rotação.
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Exemplo 15.5
15 - 29
SOLUÇÃO:
• Do Exemplo 15.3,
°=
=
95.13
scm5,1570
b
Bv
• O centro instantâneo de rotação é na interseção das 
perpendiculares às velocidades através de B e D.
°=-°=
°=+°=
05.7690
95.5340
bg
bg
D
B
°
=
°
=
° sin50
cm.20
95.53sin05.76sin
CDBC
cm 21,1cm 25,35 == CDBC
• Determine a velocidade angular em torno do centro de 
rotação baseado na velocidade de B.
( )
cm 25,35
scm5,1570
==
=
BC
v
BCv
B
BD
BDB
w
w
• Calcule a velocidade em D com base em sua rotação em 
torno do centro instantâneo de rotação.
( ) ( )( )srad0.62cm 21,1== BDD CDv w
scm09,13== DP vv
srad0.62=BDw
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Aceleração Absoluta e Relativa no Movimento Plano
15 - 30
• Aceleração absoluta de uma partícula da placa,
ABAB aaa
!!! +=
• Aceleração relativa associada à rotação em torno de A inclui 
componentes tangenciais e normais,
ABa
!
( )
( ) ABnAB
ABtAB
ra
rka
!!
!!!
2w
a
-=
´= ( )
( ) 2w
a
ra
ra
nAB
tAB
=
=
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Aceleração Absoluta e Relativa no Movimento Plano
15 - 31
• Dados
determine 
, e AA va
!!
. e a!!Ba
( ) ( )
tABnABA
ABAB
aaa
aaa
!!!
!!!
++=
+=
• O resultado do vetor depende do sentido de e dos 
módulos relativos de ( )
nABA
aa and 
Aa
!
• É necessário saber a velocidade angular w.
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Aceleração Absoluta e Relativa no Movimento Plano
15 - 32
+
® Componentes x: qaqw cossin0
2 llaA -+=
­+ Componentes y: qaqw sincos2 llaB --=-
• Resolva para aB e α.
• Escreva em termos das duas equações componente,ABAB aaa
!!! +=
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Edição
Análise de Movimento Plano em Termos de um Parâmetro
15 - 33
• Em alguns casos, é vantajoso para determinar a 
velocidade absoluta e a aceleração de um mecanismo 
diretamente.
qsenlxA = qcoslyB =
qw
qq
cos
cos
l
l
xv AA
=
=
=
!
!
qw
qq
sen
sen
l
l
yv BB
-=
-=
=
!
!
qaqw
qqqq
cossen 
cossen 
2
2
ll
ll
xa AA
+-=
+-=
=
!!!
!!
αsenθθcos
senθθθcos
2
2
ll
ll
ya BB
--=
--=
=
w
q !!!
!!
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Edição
Exemplo 15.6
15 - 34
O centro da engrenagem dupla tem 
uma velocidade e uma aceleração para 
a direita de 1,2 m/s e 3 m/s² , 
respectivamente. A cremalheira 
inferior é estacionário.
Determine (a) a aceleração angular da 
engrenagem, e (b) a aceleração dos 
pontos B, C e D.
SOLUÇÃO:
• A expressão da posição da marcha em 
função de θ é diferenciada duas vezes 
para definir a relação entre as 
acelerações translacional e angular.
• A aceleração de cada ponto da 
engrenagem é obtida pela adição da 
aceleração do centro da engrenagem e 
das acelerações relativas com relação ao 
centro. Este último inclui componentes 
de aceleração normal e tangencial.
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Exemplo 15.6
15 - 35
SOLUÇÃO:
• A expressão da posição do centro A em função de θ é 
diferenciada duas vezes para definir a relação entre as 
acelerações translacional e angular.
wq
q
11
1
rrv
rx
A
A
-=-=
-=
!
srad 8
m 0.150
sm2.1
1
-=-=-=
r
vAw
!! aA = −r1!!θ = −r1α
m 150.0
sm3 2
1
-=-=
r
aAa
( )kk !!! 2srad20-==aa
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Exemplo 15.6
15 - 36
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) jii
jjki
rrka
aaaaaa
ABABA
nABtABAABAB
!!!
!!!!
!!!!
!!!!!!
222
222
2
sm40.6sm2sm3
m100.0srad8m100.0srad20sm3
-+=
-´-=
-´+=
++=+=
wa
( ) ( ) 222 sm12.8sm40.6m5 =-= BB ajisa !!!
• A aceleração de cada ponto da 
engrenagem é obtida pela 
adição da aceleração do centro 
da engrenagem e das 
acelerações relativas com 
relação ao centro. 
Este último inclui componentes 
de aceleração normal e 
tangencial.
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Exemplo 15.6
15 - 37
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )jii
jjki
rrkaaaa ACACAACAC
!!!
!!!!
!!!!!!!
222
222
2
sm60.9sm3sm3
m150.0srad8m150.0srad20sm3
+-=
---´-=
-´+=+= wa
( )jac !! 2sm60.9=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )iji
iiki
rrkaaaa ADADAADAD
!!!
!!!!
!!!!!!!
222
222
2
sm60.9sm3sm3
m150.0srad8m150.0srad20sm3
++=
---´-=
-´+=+= wa
( ) ( ) 222 sm95.12sm3m6.12 =+= DD ajisa !!!
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Exemplo 15.7
15 - 38
A manivela AB do sistema do motor 
tem uma velocidade angular constante 
no sentido horário de 2000 rpm.
Para a posição da manivela mostrada, 
determine a aceleração angular da biela 
BD e a aceleração do ponto D.
SOLUÇÃO:
• A aceleração angular da biela BD e a 
aceleração do ponto D será determinada 
a partir
( ) ( )
nBDtBDBBDBD
aaaaaa !!!!!! ++=+=
• A aceleração de B é determinada a partir 
da velocidade de rotação dada de AB.
• As direções das acelerações 
são determinadas 
a partir da geometria.
( ) ( )
nBDtBDD
aaa !!! e,,
• As equações componente para a 
aceleração do ponto D são resolvidas 
simultaneamente para a aceleração de D
e para a aceleração angular da biela.
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Exemplo 15.7
15 - 39
• A aceleração de B é determinada a partir da velocidade de 
rotação dada de AB.
SOLUÇÃO:
• A aceleração angular da biela BD e a aceleração do ponto 
D serádeterminada a partir
( ) ( )
nBDtBDBBDBD
aaaaaa !!!!!! ++=+=
( )( ) 222
AB
sm3289srad4.209m 0,075
0
constantesrad209.4rpm2000
===
=
===
ABB
AB
ra w
a
w
( )( )jiaB
!!!
°-°-= 40sen40cossm3289 2
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Exemplo 15.7
15 - 40
• As direções das acelerações são determinadas 
a partir da geometria.
( ) ( )
nBDtBDD
aaa !!! e,,
A partir do Exemplo 15.3, wBD = 62.0 rad/s, β = 13.95o.
( ) ( ) ( )( ) 222 sm769srad0.620,2m === BDnBD BDa w
( ) ( )( )jia
nBD
!!!
°+°-= 95.13sen95.13cossm769 2
( ) ( ) BDBDtBD BDa aa 2,0==
A direção de (aD/B)t é conhecida, mas o sentido não,
!! 
!aD B( )t = 0,2αBD( ) ±sen76.05°
!
j ± cos76.05°!i( )
iaa DD
!
"
! =
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Exemplo 15.7
15 - 41
( ) ( )
nBDtBDBBDBD
aaaaaa !!!!!! ++=+=
• As equações componente para a aceleração do ponto D são 
resolvidas simultaneamente.
Componentes x:
°+°-°-=- 95.13sen2,095.13cos76940cos3289 BDDa a
°+°+°-= 95.13cos2,095.13769sen403289sen0 BDa
Componentes y:
( )
( ) ia
k
D
BD
!!
!!
2
2
sm2787
srad9937
-=
=a
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Exemplo 15.8
15 - 42
Na posição mostrada, a manivela AB
tem uma velocidade angular constante 
w1 = 20 rad/s no sentido anti-horário.
Determine as velocidades angulares e 
acelerações angulares da biela BD e da 
manivela DE.
SOLUÇÃO:
• As velocidades angulares são determinadas 
pela resolução simultânea das equações 
componente a partir 
BDBD vvv
!!! +=
• As acelerações angulares são 
determinadas pela resolução simultânea 
das equações componente a partir 
BDBD aaa
!!! +=
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Exemplo 15.8
15 - 43
SOLUÇÃO:
• As velocidades angulares são determinadas pela resolução 
simultânea das equações componente a partir 
BDBD vvv
!!! +=
( )
ji
jikrv
DEDE
DEEDDED
!!
!!!!!!
ww
ww
5,425,42
5,425,42
--=
+-´=´=
( )
ij
jikrv BABB
!!
!!!!!!
700400
352020
-=
+´=´=w
42,5 700 7,5DE BDw w- = - -Componentes x:
BDDE ww 304005,42 ++=-Componentes y:
( ) ( )kk DEBD
!!!! srad29.11srad33.29 =-= ww
( )jirv DBBDDBBD 5.730// +´=´= ww
!!!!
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Exemplo 15.8
15 - 44
• As acelerações angulares são determinadas pela resolução 
simultânea das equações componente a partir 
BDBD aaa
!!! +=
!! 
!aD =
!
αDE ×
!rD/E −ωDE
2 !rD/E
=αDE
!
k × −42,5!i +42,5!j( )− 11.29( )2 −42,5!i +42,5!j( )
= −42,5αDE
!
i −42,5αDE
!
j +5417!i −5417!j
( ) ( )
ji
jirra BABBABB
!!
!!!!!!
140008000
3520200 22
+-=
+-=-´= wa
( ) ( ) ( )
jiji
jijik
rra
BDBD
BD
BDBDBDBDBD
!!!!
!!!!!
!!!!
643925807305,7
5,73033.295,730 2
2
--+-=
+-+´=
-´=
aa
a
wa
Componentes x: 392245,75,42 -=+- BDDE aa
Componentes y: 15022305,42 -=-- BDDE aa
( ) ( )kk DEBD !!!! 22 srad809srad645 =-= aa
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Taxa de Mudança em Relação a um Sistema de Coordenadas Rotativa
15 - 45
• O sistema de coordenadas 
OXYZ é fixo.
• O sistema de coordenadas 
Oxyz gira sobre eixo fixo 
OA com velocidade angular
W
!
• A função vetorial varia 
em direção e módulo.
( )tQ
!
( ) kQjQiQQ zyxOxyz !"!"!""! ++=
• Com relação ao sistema de coordenadas 
fixo OXYZ ,
( ) kQjQiQkQjQiQQ zyxzyxOXYZ !"!"!""!"!"!!" +++++=
• derivada em
relação ao sistema girante.
( ) ==++ Oxyzzyx QkQjQiQ !""!"!"!
• Se fosse constante em relação ao ref. girante, 
então seria equivalente à velocidade de um 
ponto em um corpo rígido ligado a Oxyz e 
( )OXYZQ!"
QkQjQiQ zyx
!!"!"!"! ´W=++
Q
!
• Com relação ao sistema de coordenadas 
rotativo Oxyz, kQjQiQQ zyx
!!!!
++=
• Com relação ao sistema de coordenadas 
fixo OXYZ, ( ) ( ) QQQ OxyzOXYZ !!"!"! ´W+=
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Aceleração de Coriolis
15 - 46
• O sistema de coordenadas OXY é fixo e o sistema de 
coordenadas Oxy gira com velocidade angular .W
!
• O vetor posição para a partícula P é o mesmo em 
ambos os sistemas de coordenadas, mas a taxa de 
mudança depende da escolha do sistema de coordenadas.
Pr
!
• A velocidade absoluta da partícula P é
( ) ( )OxyOXYP rrrv !
""!"" +´W==
• Imagine uma placa rígida presa ao sistema de 
coordenadas rotativo Oxy, que chamaremos de F . Seja 
P’ um ponto sobre a placa que corresponde 
instantaneamente a posição da partícula P. 
( ) == OxyP rv !
""
F velocidade de P ao longo de seu 
caminho na placa
='Pv
! velocidade absoluta do ponto P’ sobre a placa
• A velocidade absoluta para a partícula P pode ser escrita 
como
FPPP vvv
!!! += ¢
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Aceleração de Coriolis
15 - 47
( )
FPP
OxyP
vv
rrv
!!
"
!!!
+=
+´W=
¢
• A aceleração absoluta da partícula P é
! 
!aP =
!"Ω× !r +
!
Ω× !"r( )
OXY
+ d
dt
!"r( )
Oxy
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥OXY
( ) ( ) ( )OxyOxyP rrrra !!"!"
"""""!"" +´W+´W´W+´W= 2
 
!"r( )OXY =
!
Ω× !r + !"r( )Oxy
d
dt
!"r( )Oxy⎡⎣ ⎤⎦OXY =
!""r( )Oxy +
!
Ω× !"r( )Oxy
mas,
( )
( )OxyP
P
ra
rra
!!""
""""!""
=
´W´W+´W=¢
F
• Utilizando o ponto P’ conceitual na placa
• A aceleração absoluta da partícula P torna-se
( )
( ) 22
2
=´W=´W=
++=
´W++=
¢
¢
F
F
F
POxyc
cPP
OxyPPP
vra
aaa
raaa
!"#"
""
"""
#"
""""
Aceleração de Coriolis
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Aceleração de Coriolis
15 - 48
• Considere um colar P que é feito para deslizar na 
velocidade relativa constante u ao longo da haste OB. A 
haste está girando a uma velocidade angular constante w. 
O ponto A na haste corresponde à posição instantânea de P.
cPAP aaaa
!!!! ++= F
• A aceleração absoluta do colar é
( ) 0== OxyP ra !!
""
F
uava cPc w22 =´W= F
!!!
• A aceleração absoluta consiste dos vetores radial e 
tangencial mostrados.
( ) 2wrarra AA =´W´W+´W= !
!!!"!!
em que
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Aceleração de Coriolis
15 - 49
uvvtt
uvvt
A
A
¢+=¢D+
+=
¢
!!!
!!!
, em
, em
• Uma mudança na velocidade vezes Δt é
representada pela soma dos três vetores.
TTTTRRv ¢¢¢+¢¢+¢=D!
( ) 2wrarra AA =´W´W+´W= !
!!!"!!recordando, 
• é devido à mudança na direção da velocidade 
do ponto A na haste,
AA
tt
arr
t
v
t
TT
====
¢¢
®®
2
00
limlim www
D
qD
D DD
TT ¢¢
• resultam de efeitos combinados de 
movimento relativo de P e da rotação da haste
TTRR ¢¢¢¢ e 
uuu
t
r
t
u
t
TT
t
RR
tt
www
D
Dw
D
qD
DD DD
2
limlim
00
=+=
÷
ø
ö
ç
è
æ +=÷÷
ø
ö
çç
è
æ ¢¢¢
+
¢
®®
uava cPc w22 =´W= F
!!!recordando, 
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Exemplo 15.9
15 - 50
O disco D do mecanismo de Geneva gira 
no sentido anti-horário com velocidade 
angular constante wD = 10 rad/s.
No instante em que Φ = 150o, determine 
(a) a velocidade angular do disco S, e (b) a 
velocidade do pino P relativo ao disco S.
SOLUÇÃO:
• A velocidade absoluta do ponto P pode 
ser escrita como
sPPP vvv
!!! += ¢
• A módulo e direção da velocidade
do pino P são calculadas a partir da 
velocidade angular e radial do disco D.
Pv
!
• A direção da velocidade do ponto 
P’ em S coincidindo com P é 
perpendicular ao raio OP.
Pv ¢
!
• A direção da velocidade de P
com respeito a S é paralela à fresta.
sPv
!
• Resolva o triângulovetorial para a 
velocidade angular de S e velocidade 
relativa de P.
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Exemplo 15.9
15 - 51
SOLUÇÃO:
• A velocidade absoluta do ponto P pode ser escrita como
sPPP vvv
!!! += ¢
• O módulo e direção da velocidade do pino P são calculados a 
partir da velocidade angular e radial do disco D.
( )( ) smm500srad 10mm 50 === DP Rv w
• A direção da velocidade do ponto P em relação a a S é 
paralela à fresta.
Da lei dos cossenos,
mm 1.37551.030cos2 2222 ==°-+= rRRllRr
Da lei dos senos,
°=
°
=
°
= 4.42
742.0
30sinsin30sin
R
sin bbb
r
°=°-°-°= 6.17304.4290g
O ângulo interior do triângulo vetor é
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Exemplo 15.9
15 - 52
• A direção da velocidade do ponto P’ em S coincidindo com P é 
perpendicular ao raio OP. A partir do triângulo de velocidade,
( )
mm 1.37
smm2.151
smm2.1516.17sensmm500sen
==
=°==¢
ss
PP
r
vv
ww
g
( )ks
!! srad08.4-=w
( ) °== 6.17cossm500cosgPsP vv
( )( )jiv sP
!!! °-°-= 4.42sin4.42cossm477
smm 500=Pv
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Exemplo 15.10
15 - 53
No mecanismo de Genebra, o disco 
D gira com uma velocidade de 
sentido anti-horário angular 
constante de 10 rad/s. 
No instante em que Φ = 150o, 
determine a aceleração angular do 
disco S.
SOLUÇÃO:
• A aceleração absoluta do pino P pode ser 
expressa como
csPPP aaaa
!!!! ++= ¢
• A velocidade angular instantânea do disco 
S é determinada como no Exemplo 15.9.
• A única incógnita envolvida na equação de 
aceleração é a aceleração angular 
instantânea do disco S.
• Resolva cada termo de aceleração no 
componente paralelo à fresta. Resolva para 
a aceleração angular do disco S.
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Exemplo 15.10
15 - 54
SOLUÇÃO:
• A aceleração absoluta do pino P pode ser expressa como
csPPP aaaa
!!!! ++= ¢
• A partir do Exemplo 15.9.
( )
( )( )jiv
k
sP
S
!!!
!!
°-°-=
-=°=
4.42sin4.42cossmm477
srad08.44.42 wb
• Considerando-se cada termo na equação de aceleração,
( )( )
( )( )jia
Ra
P
DP
!!!
°-°=
===
30sen30cossmm5000
smm5000srad10mm500
2
222w
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )( )jia
jira
jira
aaa
StP
StP
SnP
tPnPP
!!!
!!!
!!!
!!!
°+°-=
°+°-=
°-°-=
+=
¢
¢
¢
¢¢¢
4.42cos4.42senmm1.37
4.42cos4.42sen
4.42sen4.42cos2
a
a
w
note: αS pode ser positivo ou negativo
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Edição
Exemplo 15.10
15 - 55
• A aceleração relativa deve ser paralela à fresta.
• Lançar a equação
sPa
!
sPv
!
• A direção da aceleração de Coriolis é obtida pela 
rotação da direção da velocidade relativa 
por 90o no sentido de wS.
( )( )
( )( )( )
( )( )ji
ji
jiva sPSc
!!
!!
!!!
4.42cos4.42sensmm3890
4.42cos4.42sensmm477srad08.42
4.42cos4.42sen2
2 +°-=
+°-=
+°-= w
• Igualando as componentes dos termos de aceleração 
perpendiculares à fresta,
37.1 3890 5000cos17.7 0
233rad s
S
S
a
a
- + ° =
= -
( )kS
!! srad233-=a
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Edição
Movimento sobre um Ponto Fixo
15 - 56
• O deslocamento mais geral de um corpo rígido com 
um ponto fixo O é equivalente a uma rotação do corpo 
sobre um eixo atravès de O.
• Como o eixo instantâneo de rotação e a linha de ação 
da velocidade angular coincidem, a velocidade de 
uma partícula P do corpo é
 
!
ω
r
dt
rdv !!
!
! ´== w
e a aceleração da partícula P é
( ) .
dt
drra wawwa
!
!!!!!!! =´´+´=
• As velocidades angulares têm módulo e direção e 
obedecem a lei do paralelogramo de adição. Elas são 
vetores.
• Como o vetor se move dentro do corpo e no espaço, 
ele gera um cone de corpo e de espaço que é tangente 
ao longo do eixo instantâneo de rotação.
w!
• A aceleração angular representa a velocidade da 
ponta de .w
! a
!
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Edição
Movimento Geral
15 - 57
• Para as partículas A e B de um corpo rígido,
ABAB vvv
!!! +=
• A partícula A é fixada dentro do corpo e o 
movimento do corpo em relação a AX’Y’Z’ é o 
movimento de um corpo com um ponto fixo
ABAB rvv
!!!! ´+= w
• Da mesma forma, a aceleração da partícula P é
( )ABABA
ABAB
rra
aaa
!!!!!!
!!!
´´+´+=
+=
wwa
• O movimento mais geral de um corpo rígido é equivalente a: 
- uma translação em que todas as partículas têm a mesma 
velocidade e aceleração de uma partícula de referência A, e
- de um movimento em que a partícula A é assumida fixa.
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Edição
Exemplo 15.11
15 - 58
O guindaste gira com uma velocidade 
angular constante w1 = 0.30 rad/s e a 
lança está sendo levantada com uma 
velocidade angular constante w2 = 0.50 
rad/s. O comprimento da lança é l = 
12m.
Determine:
• a velocidade angular da lança,
• a aceleração angular da lança,
• velocidade da ponta da lança, e
• A aceleração da ponta da lança.
• A aceleração angular da lança,
 
!
α =
!"ω( )Oxyz +
!
Ω×
!
ω =
!"ω
1
+
!"ω 2 +
!
Ω×
!
ω
=
!
ω1 ×
!
ω 2
• A velocidade da ponta da lança,
rv !!! ´=w
• A aceleração da ponta da lança,
( ) vrrra !!!!!!!!!! ´+´=´´+´= wawwa
SOLUÇÃO:
Com 
• A velocidade angular da lança,
21 www
!!! +=
( )
ji
jir
kj
!!
!!!
!!!!
639.10
30sen30cos12
50.030.0 21
+=
°+°=
== ww
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N
ona 
Edição
Exemplo 15.11
15 - 59
jir
kj
!!!
!!!!
639.10
50.030.0 21
+=
== ww
SOLUÇÃO:
• A velocidade angular da lança,
21 www
!!! +=
( ) ( )kj
!!! srad50.0srad30.0 +=w
• A aceleração angular da lança,
 
!
α =
!"ω1 +
!"ω 2 =
!"ω 2( )OXYZ =
!"ω 2( )Oxyz +
!
Ω×
!
ω 2
=
!
ω1 ×
!
ω 2 = 0.30rad s( )
!
j × 0.50rad s( ) !k
( )i!! 2srad15.0=a
• A velocidade da ponta da lança,
0639.10
5.03.00
kji
rv
!!!
!!! =´=w
!! 
!v = − 3.00m s( )!i − 5.20m s( )!j − 3.12m s( ) !k
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ona 
Edição
Exemplo 15.11
15 - 60
jir
kj
!!!
!!!!
639.10
50.030.0 21
+=
== ww
• A aceleração da ponta da lança
( )
kjiik
kjikji
a
vrrra
!!!!!
!!!!!!
!
!!!!!!!!!!
90.050.160.294.090.0
12.320.53
50.030.00
0639.10
0015.0
+---=
--
+=
´+´=´´+´= wawwa
( ) ( ) ( )kjia !!!! 222 sm80.1sm50.1sm54.3 +--=
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Edição
Movimento Tridimensional: Aceleração de Coriolis
15 - 61
• Com relação ao sistema de coordenadas fixo OXYZ
e ao sistema de coordenadas rotativo Oxyz,
( ) ( ) QQQ OxyzOXYZ !!"!"! ´W+=
• Considere o movimento da partícula P relativa a um 
sistema de coordenadas rotativo Oxyz ou F abreviado. 
A velocidade absoluta pode ser expressa como
( )
FPP
OxyzP
vv
rrv
!!
"!!
!!
+=
+´W=
¢
• A aceleração absoluta pode ser expressa como
( ) ( ) ( )
( ) Coriolis de Aceleração 22
2
=´W=´W=
++=
+´W+´W´W+´W=
¢
F
F
POxyzc
cPp
OxyzOxyzP
vra
aaa
rrrra
!!"!
!!
!!!
""!"!
!!!!!"!!
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Edição
Sistema de Coordenadas de Referência em Movimento Geral
15 - 62
Considere:
- o sistema de coordenadas fixo OXYZ,
- o sistema de coordenadas translativo 
AX’Y’Z’, e
- o sistema de coordenadas translativo e 
rotativo Axyz ou F.
• Com respeito a OXYZ e AX’Y’Z’,
APAP
APAP
APAP
aaa
vvv
rrr
!!!
!!!
!!!
+=+=
+=
• A velocidade e a aceleração de P relativa a 
AX’Y’Z’ podem ser encontradas em termos da 
velocidade e da aceleração de P relativa a Axyz.
( )
FPP
AxyzAPAPAP
vv
rrvv
!!
"!!
!!!
+=
+´W+=
¢
( )
( ) ( )
cPP
AxyzAPAxyzAP
APAPAP
aaa
rr
rraa
!!!
""!"!
!
!!!!"!!!
++=
+´W+
´W´W+´W+=
¢ F
2
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Edição
Exemplo 15.15
15 - 63
Para o disco montado sobre o braço, 
as taxas de rotação angular indicadas 
são constantes.
Determine:
• a velocidade do ponto P,
• a aceleração do ponto P, e
• a velocidade angular e a 
aceleração angular do disco.
SOLUÇÃO:
• Defina um sistema de coordenadas fixo de 
referência OXYZ em O e um sistema de 
coordenadas móvel de referência Axyz ou 
F preso ao braço em A.
• Com P’ do sistema de coordenadas de 
referência móvel coincidindo com P, a 
velocidade do ponto P é encontrada a 
partir de FPPP vvv
!!! += ¢
• A aceleração de P é encontrada a partir
cPPP aaaa
!!!! ++= ¢ F
• A velocidade angular e aceleração 
angular do disco são
( ) wWwa
wWw
!!"!!
!!!
´+=
+=
F
FD
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Edição
Exemplo 15.15
15 - 64
SOLUÇÃO:
• Defina um sistema de coordenadas fixo de 
referência OXYZ em O e um sistema de 
coordenadas móvel de referência Axyz ou F preso 
ao braço em A.
j
jRiLr
!!
!!!
1wW =
+=
k
jRr
D
AP
!!
!!
2ww =
=
F
• Com P’ do sistema de coordenadas de referência móvel 
coincidindo com P, a velocidade do ponto P é 
encontrada a partir de
( )
iRjRkrv
kLjRiLjrv
vvv
APDP
P
PPP
!!!!!!
!!!!!!!
!!!
22
11
www
wwW
-=´=´=
-=+´=´=
+=
¢
¢
FF
F
kLiRvP
!!!
12 ww --=
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Edição
Exemplo 15.15
15 - 65
• A aceleração de P é encontrada a partir
cPPP aaaa
!!!! ++= ¢ F
( ) ( ) iLkLjraP
!!!!!!! 2
111 wwwWW -=-´=´´=¢
( )
( ) jRiRk
ra APDDP
!!!
!!!!
2
222 www
ww
-=-´=
´´= FFF
( ) kRiRj
va Pc
!!!
!!!
2121 22
2
wwww
W
=-´=
´= F
kRjRiLaP
!!!!
21
2
2
2
1 2 wwww +--=
• A velocidade angular e aceleração angular do disco,
FDwWw
!!! += kj
!!!
21 www +=
( )
( )kjj !!!
!!"!!
211 www
wWwa
+´=
´+= F
i
!!
21wwa =