Aula 5 - Fluxo Concatenado e Indutancia

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P R I N C Í P I O S D E 
M Á Q U I N A S E L É T R I C A S
A U L A 5
P R O F . M E . F A B I O P R O F . M E . F A B I O P R O F . M E . F A B I O P R O F . M E . F A B I O D A L L AD A L L AD A L L AD A L L A V R O C H AV R O C H AV R O C H AV R O C H A
1
F L U X O C O N C A T E N A D O E 
I N D U T Â N C I A
2
LEI DA INDUÇÃO DE FARADAY
• A variação do fluxo magnético em uma expira da
origem a uma força eletromotriz induzida V:
3
�� = ����
�	
� = −�����
mas,
�	
� = ∮� · ��
Logo
∮� · �� = − � � �����
LEI DE LENZ
Correção do sinal da Lei de Indução
• Segundo a constatação do físico alemão HenrichHenrichHenrichHenrich LenzLenzLenzLenz, a corrente induzida
em uma espira tem sentido tal que seu fluxo magnético se opõe ao fluxo que
lhe deu origem.
4
1º ) Fluxo cresce regra da mão direita, cria 
corrente entrando em +.
2º ) A corrente induzida tem sentido 
oposto a anterior, pois seu fluxo 
(vermelho pontilhado) se opõe ao fluxo 
originário, logo a corrente induzida e 
representada pela seta vermelha ao lado. 
I = 	 	�	
�� = −
���
��
FLUXO CONCATENADO
• Faraday quantificou o valor da tensão elétrica induzida pela variação de
campo magnético.
• Lenz verificou que era necessário adicionar o sinal (-) porque a corrente que
surgia criava um campo que se opunha à variação do campo que a produziu.
5
FLUXO CONCATENADO
• Se o fluxo devido ao campo original está aumentandoaumentandoaumentandoaumentando, as linhas de campo
induzido terão direção oposta, tentando compensar o aumento.
6
X => campo entrando no plano
=> campo saindo do plano
FLUXO CONCATENADO
• Se o fluxo devido ao campo original está diminuindodiminuindodiminuindodiminuindo, as linhas de campo
induzido terão direção idêntica, tentando compensar a diminuição.
7
X => campo entrando no plano
=> campo saindo do plano
FLUXO CONCATENADO
• Como o enrolamento (e portanto o contorno C) concatena o fluxo do
núcleo N vezes, a tensão induzida pode ser dado por:
• Este fluxo que enlaça diversas espiras é denominado de fluxo
concatenado (λ).
8
dt
d
dt
d
Ne
λφ
==
φλ N=
INDUTÂNCIA
• Em um circuito magnético um parâmetro muito importante denominado de
indutância está presente.
• A indutância tem a propriedade de armazenar energia na forma de campo
magnético.
9
INDUTÂNCIA
• Definição:
– Em um circuito magnético, composto de material ferromagnético de
permeabilidade constante ou que inclua um entreferro dominante, a
relação entre o fluxo (φ) e a corrente (i) será linear e poderemos
definir a indutância (L) como:
10
[ ][ ]H Wb/A 
i
L
λ
=
�
INDUTÂNCIA
• Trabalhando a equação da indutância com as equações já conhecidas =>
11
[ ][ ]H Wb/A 
i
L
λ
=
φλφ N
F
NiF =
ℜ
== ; ; 
ℜ
=
2
N
L
INDUTÂNCIA
• Supondo que a relutância do núcleo seja desprezível em comparação com a
do entreferro, a indutância total do enrolamento será igual a:
12
g
AN
L
g0
2µ
=
Em outras aplicações, pode ser utilizado o valor médio de permeabilidade do
material, que pode ser utilizado com exatidão razoável para o cálculo de
indutância (sem gap):
C
C
l
AN
L
µ2
=
Considerando µr muito 
elevado. Rc≅0.
0
. .
T
lc g
Ac Agµ µ
ℜ = +
INDUTÂNCIA
• Apesar do parâmetro indutância se desenvolver em um circuito magnético
devido à variação de fluxo observa-se que a indutância é um parâmetro que
depende das dimensões físicas e da propriedade magnética do meio.
• Desta forma, o parâmetro indutância pode ser aumentado de quatro formas:
a) aumentando o número de espiras;
b) utilizando núcleo de ferro de maior permeabilidade;
c) reduzindo o comprimento médio do núcleo de ferro; e
d) aumentando a área de seção transversal do núcleo de ferro.
13
2
.
A
L N
l
µ
=
EXERCÍCIO 6
14
O circuito magnético tem dimensões Ac=Ag=9cm2, g=0,050 cm, lc= 30 cm e
N= 500 espiras. Suponha um valor de µr=70.000 para o material do núcleo. A
densidade de fluxo (B) no núcleo é de 1T.
Encontre:
a) Relutância do core e gap e permeâncias
b) A indutância do enrolamento.
µ0=4π10
-7 [H/m]
15
Cálculos em sala:
INDUTÂNCIA
• Da definição de indutância e da tensão induzida podemos verificar a tensão
no elemento indutivo:
16
L
i
λ
=
d
e
dt
λ
=
( . )
L
d L i
e
dt
=
cteL
L
di
e L
dt
=
� Da equação da tensão no indutor verificamos como a corrente se
comporta neste sistema:
L
di
e L
dt
=
1
ldi e dt
L
=
0 0
1
i t
ldi e dt
L
=∫ ∫
0
1
( ) (0)
t
li t e dt i
L
= +∫
INDUTÂNCIA
• A equação revela uma propriedade importante da indutância: a corrente
num indutor não pode variar abruptamente, num tempo nulo, pois uma
alteração finita de corrente em um tempo nulo requer que uma tensão
infinita apareça no indutor.
� Portanto:
NUNCA ABRA ABRUPTAMENTE UM CIRCUITO INDUTIVO
TRANSPORTANDO ALTA CORRENTE OU QUE POSSUA ALTA
INDUTANCIA.
17
L
di
e L
dt
=
INDUTÂNCIA
18
� Por outro lado, a equação de i(t) revela que, num tempo nulo, a contribuição
para a corrente no indutor do termo com a integral é zero, de forma que a
corrente imediatamente antes (i-) e depois (i+) da aplicação da tensão no
indutor é a mesma.
0
1
( ) (0)
t
li t e dt i
L
= +∫
� Num circuito em condições normais a indutância opera como “inércia” para a
corrente.
PortantoPortantoPortantoPortanto
o indutor se opõe a variação de corrente instantânea, tende a 
manter a corrente que já possuía. 
Condição inicial
ENERGIA EM CIRCUITOS MAGNÉTICOS
• Em um circuito magnético, a potência é dado por:
19
][ Wi
dt
d
eip
λ
==
� A variação da energia magnética armazenada (∆w) no circuito
magnético, durante o intervalo de tempo entre t1 e t2.
[J] 
2
1
2
1
∫∫ ==∆
λ
λ
λidpdtw
t
t
ENERGIA EM CIRCUITOS MAGNÉTICOS
• em SI, a energia magnética armazenada é dada em joules.
20
� A energia total armazenada, para qualquer valor de λ, pode ser
obtida fazendo λ1=0.
[J] )(
2
1
 
2
1
2
2
2
1
λλλ
λ
λ
λ
−==∆ ∫ L
d
L
w
[J] 
22
1 22
i
L
L
w ==∆ λ
ENERGIA ARMAZENADA NA INDUTÂNCIA
• Supondo que um indutor tenha corrente inicial nula (i0=0A). Então, se um corrente i
circula na bobina, na qual existe uma diferença de potencial eL, a energia total recebida
no intervalo de tempo de 0 a t é:
• A energia armazenada num elemento indutivo depende do quadrado da corrente. Em
um circuito AC verifica-se que o indutor tem a propriedade de armazenar e devolver
energia à rede.
• Uma equação útil para o cálculo da energia magnética armazenada em qualquer
material:
W = � ���� �� = 
��
�� �! �
Ex: core ou gap de volume V.
21
0
.
t
lw e idt= ∫ )(
2
..
2
1
JJouleiLW →=
0
.
t
di
w L idt
dt
 
=  
 
∫
0
( )
i
w Li di= ∫
EXERCÍCIO 7
22
O circuito magnético tem dimensões Ac=Ag=9cm2, g=0,050 cm, lc= 30 cm e
N= 500 espiras. Suponha um valor de µr=70.000 para o material do núcleo. A
densidade de fluxo (B) no núcleo é de 1T.
Encontre:
e) A Energia magnética armazenada W.
23
Cálculos em sala: 
INDUTÂNCIAS PRÓPRIA E MÚTUA
24
Observe que as fontes de excitação tem contribuição de fluxo aditivo. Isto
ocorre devido à organização dos enrolamentos.
Portanto, a FMM total é dada pela soma das contribuições parciais:
2211 iNiNF +=
INDUTÂNCIAS PRÓPRIA E MÚTUA
25
Considerando Ac=Ag e µr 
muito elevado. Rc≅0.0. .
T
lc g
Ac Agµ µ
ℜ = +
( )
g
A
iNiN c02211
µ
φ +=
2211 iNiNF +=
φℜ=F
ℜ
+
= 2211
iNiN
φ
INDUTÂNCIAS PRÓPRIA E MÚTUA
26
O fluxo concatenado resultante da bobina 1 é 
dado por:
φλ 11 N=
g
A
iN
g
A
iN cc 022
0
11
µµ
φ +=
2
0
211
02
11 i
g
A
NNi
g
A
N cc
µµ
λ +=
2121111 iLiL +=λ
(28)
(29)
Que pode ser reescrita por:
INDUTÂNCIAS PRÓPRIA E MÚTUA
27
2 0
11 1
cAL N
g
µ
=
0
12 1 2
cAL N N
g
µ
=
L11 é a indutânciaindutânciaindutânciaindutância própriaprópriaprópriaprópria da bobina 1. L11i1 é o fluxo
concatenado da bobina 1 devido à sua própria
corrente i1.
L12 é a indutânciaindutânciaindutânciaindutância mútuamútuamútuamútua entre as bobinas 1 e 2. L12i2 é
o fluxo concatenado da bobina 1 devido à corrente i2
da outra bobina .
2121111iLiL +=λ
INDUTÂNCIAS PRÓPRIA E MÚTUA
28
2 21 1 22 2
L i L iλ = +
Do mesmo modo, o fluxo concatenado da bobina 2 é:
L21 =L12 é a indutância mútua
0 0
2 2 2 1 1 2 2
c cA AN N N i N i
g g
µ µ
λ φ
 
= = + 
 
20 0
2 1 2 1 2 2
c cA AN N i N i
g g
µ µ
λ = +
L22 é a indutância própria
(30)
(31)
INDUTÂNCIAS PRÓPRIA E MÚTUA
29
Para obter a indutância mútua, considere o fluxo mútuo:
"##"$$
%$(') %#(')
") = "$# = "#$")
"$ = "$$+	"$#"# = "##+	"#$
"$$, "## = Fluxo próprio ou 
de dispersão.
"$#, "#$ = Fluxo mútuo. 
Sabendo que * = +,,	
A contribuição em cada enrolamento é:
*. = +.,.. + +.,.�*� = +�,�� + +�,�.
Igualando (29) e (32) e (30) e (33) para a indutância mutua temos: 
	�$#= 0$"$#%# e e e e �#$ =
0#"#$
%$
(32)
(33)
EXERCÍCIO 8
30
31
Cálculos em sala:
32
EXERCíCIO 9 - Proposto
ATÉ A PRÓXIMA AULA!
33
Nos vemos na Nos vemos na Nos vemos na Nos vemos na 
próxima aula...próxima aula...próxima aula...próxima aula...
Exato Tesla..Exato Tesla..Exato Tesla..Exato Tesla..